FRACTURA MECÁNICA UN ENFOQUE GLOBAL - Oller

CIMNEB A R C E L O N A

mecnicaFractura

Un enfoque global

S. Oller

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UPC

Este libro estudia los fundamentos delcomportamiento a fractura mecnica de un material genrico, y se introduceen la simulacin del mismo mediantetcnicas basadas en la mecnica y elclculo numrico. La redaccin de estetrabajo constituye un compromiso entrela clsica "mecnica de fractura" y laaplicacin de la "mecnica de medioscontinuos" al problema de fractura. Es un libro orientado y diseado para el estudiante que se inicia en estadisciplina y permite comprender y

evaluar el comportamiento a fracturatanto en materiales frgiles como enaquellos dctiles. Se incluyenconceptos clsicos y tambin sedesarrollan temas muy actuales, con el objetivo de dar al estudiante unenfoque amplio y a la vez moderno.Este libro ha salido a la luz luego dediez aos de permanecer en forma denotas de clase del curso de "Master enMtodos Numricos para el Clculo yDiseo en Ingeniera de la UniversidadPolitcnica de Catalua".

UNIVERSITAT POLITCNICADE CATALUNYA

UPC

Fractura mecnica Un enfoque global

Sergio Oller

Profesor de la Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona

Publicado por CIMNE

Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera

BARCELONA, Espaa

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Contenido

PRESENTACIN. ....................................................................................................................XI INTRODUCCIN..................................................................................................................XIII LISTA DE SIMBOLOS. ......................................................................................................... XV

Parte A La mecnica de fractura y el problema de fractura

1 CONCEPTOS BSICOS ........................................................................................................ 3 1.1 FRACTURA EN MATERIALES FRGILES............................................................................... 3

1.1.1 Tipos de Fallos ........................................................................................................ 3 1.2 MODOS DE PROPAGACIN DE FISURAS............................................................................... 5 1.3 CONCENTRACIN DE TENSIONES........................................................................................ 6

1.3.1 Placa de dimensiones finitas; sometida a traccin:.................................................. 7 1.3.2 Placas de grandes dimensiones sometidas a traccin .............................................. 8

1.4 FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIONES ............................................................................. 9 1.4.1 Obtencin de "KI " en forma clsica..................................................................... 11 1.4.2 Obtencin de "KI" para cualquier modo de fractura............................................. 14

1.5 MECNICA DE FRACTURA ELSTICA LINEAL (MFEL). ...................................................... 15

2 PRINCIPIOS DE LA MECNICA DE FRACTURA ........................................................ 17 2.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 17 2.2 RESISTENCIA TERICA...................................................................................................... 17 2.3 RELACIN ENTRE LA ENERGA TOTAL Y LA SEPARACIN ENTRE PLANOS ATMICOS. ..... 18 2.4 RELACIN TENSIN-DESPLAZAMIENTO. ........................................................................... 19 2.5 TRABAJO DE FRACTURA: MODO I ; MODO II.................................................................... 21

2.5.1 Modo I ................................................................................................................... 21 2.5.2 Modo II.................................................................................................................. 23 2.5.3 Teora de Griffith................................................................................................... 24

2.6 RELACIN ENTRE RESISTENCIA REAL Y RESISTENCIA TERICA ....................................... 28 2.7 EVALUACIN DE LA ENERGA DE FRACTURA.................................................................... 32 2.8 RELACIN ENTRE ENERGA DE FRACTURA, RESISTENCIA A FRACTURA Y TENACIDAD. . 32 2.9 EFECTO DE LA TEMPERATURA EN LA RESIS-TENCIA A FRACTURA. ................................. 34

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global

3 FRACTURA DCTIL. .......................................................................................................... 37 3.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 37 3.2 DEFORMACIN PLSTICA EN LA CABEZA DE LA FISURA................................................... 37 3.3 PROBLEMAS DE FRACTURA DCTIL ................................................................................. 42

3.3.1 Mtodo del Desplazamiento de Apertura de Fisura (COD). ................................ 43 3.3.2 Mtodo del la "Integral-J". Integral de Rice. ......................................................... 47

4 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA FRACTURA........................................................ 53 4.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 53 4.2 CLASIFICACIN GENERAL................................................................................................. 54

4.2.1 Modelos basados en la elasticidad lineal y no-lineal............................................. 55 4.2.2 Modelos basados en la teora de la plasticidad. ..................................................... 55 4.2.3 Modelos basados en la teora endocrnica. ........................................................... 56 4.2.4 Modelos de fractura. .............................................................................................. 56

4.3 MODELOS BASADOS EN LA MECNICA DE FRACTURA LINEAL........................................ 57 4.4 MODELIZACIN DE UN MATERIAL MEDIANTE LA MECNICA DE FRACTURA.................. 59 4.5 MODELOS BASADOS EN MECNICA DE FRACTURA.......................................................... 60

4.5.1 Modelo de la Mxima Tensin. Teora KIC........................................................ 61 4.5.2 Modelo de la Energa de Deformacin. Teora SC. ............................................ 63 4.5.3 Modelo de la Tasa de liberacin de Energa. Teora G. .................................. 68

5 ELEMENTOS FINITOS EN LA MECNICA DE FRACTURA..................................... 71 5.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 71 5.2 ELEMENTOS FINITOS NO-SINGULARES. ............................................................................. 72

5.2.1 Elemento finito isoparamtrico cuadrtico Caso 1. ............................................ 73 5.2.2 Elemento finito isoparamtrico cuadrtico Caso 2. ............................................ 75

5.3 CLCULO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIONES. .................................................. 77 5.3.1 Factor de Intensidad de Tensiones en funcin del campo de desplazamientos. .... 77 5.3.2 Factor de Intensidad de Tensiones en funcin de la integral-Jde Rice. ............. 78

5.4 ESTRATEGIA DE PROPAGACIN DE FISURA. ..................................................................... 82

Parte B La mecnica clsica y el problema de fractura

6 RESEA SOBRE ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD. ................................................ 89 6.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 89 6.2 COMPORTAMIENTO ELSTICO. ......................................................................................... 89

6.2.1 Clculo de los Invariantes de un Tensor................................................................ 94 6.3 ELASTICIDAD NO-LINEAL................................................................................................. 94

6.3.1 Introduccin........................................................................................................... 94 6.3.2 Modelo Hiperelstico No-Lineal. .......................................................................... 95

6.4 PLASTICIDAD EN PEQUEAS DEFORMACIONES. ............................................................. 100 6.4.1 Introduccin......................................................................................................... 100 6.4.2 Criterios de Discontinuidad de Comportamiento o Criterio de Fluencia Plsti... 102

6.5 COMPORTAMIENTO ELASTO-PLSTICO. ......................................................................... 106 6.5.1 Teora de Levy-Mises. ......................................................................................... 106 6.5.2 Teora de Prandtl-Reus. ....................................................................................... 106

6.6 TEORA CLSICA DE PLASTICIDAD. ................................................................................ 107 6.6.1 Trabajo Plstico Unitario o Especifico. ............................................................... 108 6.6.2 Superficie de Carga Plstica. Variable de Endurecimiento Plstico. .................. 109

Contenido

6.6.3 Relacin Tensin-Deformacin. Consistencia Plstica y Rigidez Tangente....... 112 6.7 POSTULADO DE ESTABILIDAD DE DRUCKER Y AXIOMA DE LA MXIMA DISIPACIN PLSTICA. ............................................................................................................................. 113 6.8 CONDICIN DE ESTABILIDAD.......................................................................................... 114

6.8.1 Estabilidad local. ................................................................................................. 114 6.8.2 Estabilidad Global. .............................................................................................. 115

6.9 CONDICIN DE UNICIDAD EN LA SOLUCIN. .................................................................. 117 6.10 CONDICIN DE CARGA-DESCARGA. KUHN-TUCKER..................................................... 117 6.11 CRITERIOS CLSICOS DE FLUENCIA O DISCONTI-NUIDAD PLSTICA........................... 117

6.11.1 Criterio de Rankine. De la Mxima Tensin de Traccin............................... 118 6.11.2 Criterio de Tresca. De la Mxima Tensin de Cortante.................................. 121 6.11.3 Criterio de von Mises. De Tensin Cortante Octadrica................................. 123 6.11.4 Criterio de Mohr-Coulomb. De Tensin Cortante Octadrica. ....................... 125 6.11.5 Criterio de Drucker-Prager.............................................................................. 129

7 LA FRACTURA Y LA MECNICA CLSICA. ............................................................. 131 7.1 INTRODUCCIN. .............................................................................................................. 131 7.2 ABLANDAMIENTO POR DEFORMACIN COMO PROPIEDAD DEL MATERIAL. .................... 133 7.3 INTRODUCCIN AL FENMENO DE LOCALIZACIN DE DEFORMACIONES Y BIFURC........ 135

7.3.1 Condicin de localizacin. Tensor acstico. ....................................................... 136 7.4 OBJETIVIDAD EN LA RESPUESTA. LOCALIZACIN DE DEFORMACIONES......................... 138

7.4.1 Problema de objetividad uniaxial. ....................................................................... 139 7.4.2 Disipacin de energa en traccin uniaxial Relacin con la energa de fractura

fG ...................................................................................................................... 141 7.4.3 Disipacin de energa en compresin uniaxial Relacin con la energa de fractura

cG . ..................................................................................................................... 143 7.4.4 Medida de la zona con comportamiento inelstico Longitud caracterstica en un

dominio discreto (M.E.F.). ................................................................................. 144

8 MODELOS BASADOS EN LA MECNICA CLSICA. ............................................... 147 8.1 INTRODUCCIN. .............................................................................................................. 147 8.2 MODELOS DE FISURAS DISTRIBUIDA. ............................................................................. 148

8.2.1 Modelo de Hillerborg. ......................................................................................... 149 8.2.2 Modelo de Rots.................................................................................................... 151

8.3 MODELOS DE PLASTICIDAD Y DAO. .............................................................................. 155 8.3.1 Modelos de Plasticidad con Ablandamiento con o sin Degradacin de Rigidez. 156 8.3.2 Modelos de Plasticidad con endurecimiento con o sin degradacin de rigidez... 158 8.3.3 Modelos de Zona Inerte, combinados con plasticidad endurecible. .................... 169

9 MODELO DE DAO-PLSTICO................................................................................. 173 9.1 INTRODUCCIN. .............................................................................................................. 173 9.2 BASES DEL MODELO DE DAO-PLSTICO. ................................................................... 174

9.2.1 Hiptesis sobre el comportamiento del material a representar. ........................... 176 9.2.2 Algunas Caractersticas del Modelo de Dao Plstico. ....................................... 177

9.3 VARIABLES FUNDAMENTALES DEL MODELO DE DAO-PLSTICO. ............................. 180 9.3.1 Definicin de la variable de dao plstico........................................................... 180 9.3.2 Definicin de la ley de evolucin de la cohesin

p.................................... 182


9.3.3 Definicin de la variable , ngulo de rozamiento interno. ............................... 184 9.3.4 Definicin de la variable , ngulo dilatancia.................................................... 187

9.4 GENERALIZACIN DEL MODELO DE DAO PLSTICO CON DEGRADACIN DE RIGIDEZ. . 188 9.4.1 Introduccin......................................................................................................... 188 9.4.2 Ecuacin constitutiva elasto-plstica con degradacin de rigidez....................... 190 9.4.3 Ecuacin constitutiva tangente para procesos con degradacin de rigidez. ........ 192 9.4.4 Funciones de Fluencia particulares...................................................................... 193

10 MODELO DE DAO ISTROPO. ............................................................................ 199 10.1 INTRODUCCIN. ....................................................................................................... 199 10.2 MODELO DE DAO ISTROPO. ............................................................................. 200 10.3 ENERGA LIBRE DE HELMHOLTZ Y ECUACIN CONSTITUTIVA. ................ 201 10.4 CRITERIO UMBRAL DE DAO. .............................................................................. 202 10.5 LEY DE EVOLUCIN DE LA VARIABLE INTERNA DE DAO. ........................ 203 10.6 TENSOR CONSTITUTIVO DE DAO TANGENTE................................................ 204 10.7 PARTICULARIZACIN DEL CRITERIO DE DAO. ............................................. 205

10.7.1 Ablandamiento general. .................................................................................. 205 10.7.2 Ablandamiento Exponencial. .......................................................................... 205 10.7.3 Ablandamiento lineal. ..................................................................................... 205

10.8 PARTICULARIZACIN DE LA FUNCIN UMBRAL DE TENSIN. .................. 208 10.8.1 Modelo de Simo y Ju....................................................................................... 208 10.8.2 Modelo de Lemaitre y Mazars. ....................................................................... 210 10.8.3 Modelo para distintas superficies de dao. ..................................................... 211 Criterio de Rankine. De la mxima tensin de traccin ................................................... 211 Criterio de Tresca. De la mxima tensin de cortante...................................................... 211 Criterio de von Mises. De tensin cortante octadrica ..................................................... 212 Criterio de Mohr-Coulomb. De tensin cortante octadrica............................................. 213 Criterio de Drucker-Prager ............................................................................................... 213 Deduccin del parmetro A.............................................................................................. 214

11 FATIGA. UN NUEVO ENFOQUE. ................................................................................. 217 11.1 INTRODUCCIN. ............................................................................................................ 217 11.2 BREVE REVISIN DEL TRATAMIENTO TRADICIONAL DE LA FATIGA.............................. 218 11.3 ESTUDIO DE LA FATIGA MEDIANTE LA MECNICA DE MEDIOS CONTINUOS.................. 220

11.3.1 Introduccin. ................................................................................................... 220 11.3.2 Modelo elasto-plstico con dao..................................................................... 221 11.3.3 Formulacin del problema de fatiga isotrmica. Funcin umbral y resist. ..... 222 11.3.4 Curvas de Whler............................................................................................ 223 11.3.5 Particularizacin de la funcin de reduccin para un acero A517. ................ 224 11.3.6 Ejemplos de evolucin de la resistencia en funcin del nmero de ciclos...... 226

Contenido

Apndices

A1 Problema de equilibrio bi-dimensional en coordenadas polares................................... 231

A2 Comportamiento del Hormign y Otros Geomateriales................................................ 237

A3 Bases de la Modelizacin Constitutiva. ........................................................................... 245

A4 Tensor de Tensiones, Deformaciones e Invariantes. ...................................................... 263

A5 Ejemplo de Fractura ......................................................................................................... 277

BIBLIOGRAFA..................................................................................................................... 285 ndice Temtico. ...................................................................................................................... 287

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1.4.2 Obtencin de "KI" para cualquier modo de fractura. 9

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FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global 18

2.3 Relacin entre la Energa Total y la Separacin entre Planos Atmicos.

La mecnica de fractura incorpora el concepto de "energa de fractura" dentro de su

formulacin. Entiende que es un parmetro del material y es esencial para analizar el comportamiento de un slido durante un proceso de fractura. Actualmente se ha extendido el concepto de energa de fractura a la mecnica de medios continuos y sobre este parmetro tambin se han elaborado teoras para representar el comportamiento a fractura de los slidos. Debido a la importancia de la energa de fractura dentro de la formulacin de la "mecnica de fractura" y de "medios continuos", se presentar a continuacin una justificacin de su existencia basada en un trabajo de Orowan3

Primeramente se comenzar definiendo la densidad de energa total de un tomo a a partir de la suma de la energa de los electrones e que lo componen, esto es:

= ea

Figura 2.1 Energa versus separacin Inter-atmica.

2 Rice, J. (1968). "A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. Transactions, ASME, J. Appl. Mechanics. Vol 35, 379-386. 3 Orowan, E. (1949). "Fracture strength of solids". Report on Progress in Physics, Vol.12, Physical Society of London.

Resistencia terica a cizalladura provocada por tensiones tangenciales th : Es la tensin tangencial requerida para deslizar un plano atmico respecto de su adyacente.

0ic

Plano atmico an

0

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Separacin Inter-atmica

Mnimo de energa Equilibrio estable

Asntota de separacin total de planos atmicos

Configuracin atmica esquemtica

cC 0iC

Plano atmico

2 Principios de la Mecnica de Fractura

19

Se dice que un slido libre de acciones externas est en equilibrio, cuando su sistema atmico tambin lo est y su densidad de energa total vale 0 . En tal caso, la separacin entre planos atmicos es 0ic .

La energa de ligadura entre planos atmicos durante el estado de equilibrio de un slido, resulta de la diferencia entre la energa de los "n" tomos que componen dos planos interatmicos paralelos, restada de la energa mnima que se alcanza en el estado de equilibrio natural interno,

( ) planos entre ligadura de Energa:0an (2.1) donde las magnitudes 0ic y la energa de ligadura dependen de la naturaleza de los tomos y la temperatura del sistema.

Si en un material ideal sin defectos, un plano atmico es forzado a desplazarse de su posicin de equilibrio mediante acciones externas, se produce una alteracin d en la densidad de energa potencial interna (ver Figura 2.1). La magnitud de esta perturbacin es proporcional a la tensin producida por la accin externa, multiplicada por la unidad de rea, y por la distancia recorrida por el tomo, esto es

idcd = (2.2) De aqu resulta que la tensin es la pendiente de la curva energa - separacin entre planos,

idcd= (2.3)

Como puede observarse en la Figura 2.1, el lmite superior de la funcin de energa, cuando la separacin de planos tiende a infinito, es el que corresponde a dos planos aislados, debido a que las fuerzas de ligadura entre ellos se han desvanecido. En el caso de equilibrio interno natural, para un estado del material libre de cargas externas, se tiene que 0ic es la distancia entre planos y por lo tanto se cumple que 0 , siendo sta una condicin de contorno del problema.

2.4 Relacin Tensin-Desplazamiento. Haciendo la derivada de la funcin de energa representada en la Figura 2.1, resulta una

curva tensin vs. desplazamiento (separacin entre planos inter-atmicos ic ), cuya forma se muestra en la Figura 2.2. En ella se observa el cero de tensin para el estado de equilibrio natural interno del material, luego un incremento de tensin hasta un mximo que establece la resistencia terica a traccin de un material th y seguidamente una prdida de resistencia hasta llegar a cero. Esto implica que la energa disponible para disipar durante un proceso de traccin pura est acotada y se la denominara "energa de fractura por unidad de rea" fG y su magnitud es un parmetro del material. En cuanto a lo que ocurre a compresin, se muestra un incremento de tensin, pero no est definido su lmite


39::>

@67.+:A/# 4 )4 &

( )

=

=

uccth

iith

2sen

2sen

0

0

=

ddu

ci +:A/

9::


9:=


fG fA 0

==

fthfff

AAGW

+:F/

9:A


:;

2.5.2 Modo II

9J7 ;I:D 8 9 :B -#)+9:B/,

= 02

seni

thc

u +:;K/

L u

02

ith

c

u= +:;;/

0ic

GT d

duKuud

dG

=

=

= +:;:/

G GTK ()+9:B/+:;;/+:;:/

= 2ththG +:;=/

7/(!"6&*7*


9:B#!9:D! aU U &

"

u

th

)


( )ae UUUU += int +:;A/

EUe 2/2=

0= fAU #

1.2aAf = +9:D/) E

M 0 +:B;/

9:D


= 43 )1/()3( += &+:;D/+:;B/

( )( ) ( )( )114

1122

0

222

++

=++

= EadxxaEUa

a +:;F/

!+:;A/

( ) ( )( )

++

+=+= 1142

2

220

2int

Ea

aE

UUUU ae +:;H/

( )( ) 0112

22

0int

=++

=

E

a

a

U +:;I/

0 a E

( )( )114 0

++

=

a

E +::K/

8+::K/

( )20

1

=

a

E

a

E

=

0

+::;/

+::K/

( )( )114 0

++

=

Ea +:::/


% ! # 8 a ! # ! +::K/ ca +9:F/

( )( )114

2

0

++

=

Eac +::=/

9:F


& +::A/ +;;=/#)# ar =

( )( ) ( )),()1(

, 2

2222

== fbGEfbaK fI +::B/

b !+9;B;H/ f

1)( 2 =fb C(;;A

)1( 2==f

IGE

aK +::D/

3 th

f

) + :: /

9:H


# 8 ( + ;=/ + # / 9 :H 5 #! max

=

ba

max 2 +::F/

))O max th )

th=max +::H/

&+:I/+::F/+::H/

20

200

0

00

822

ac

bEc

Eba

i

thdef

fi

th ==

=

+::I/

3!

[ ] [ ]))/)(/()/)(/()/()/( 222222 23 += xyyxyx cosax = senby =

( )+

+= 22

2222

cos

cos2

3

basenbabsena

+:=K/

0= ab2= &

+::I/21


9:I


9:;K


> # p

fG += 0 8 @!

$(3C+8# /- % !- fW

fff AWG = +9:;;/

9:;;


0

=

=

a

Ka

EG ICff fIC EGK = +:=A/

-0

( ) == aK

a

EG ICff 21

( )21 =f

ICEG

K +:=B/

5 :=

ICK fG (

Material KIC MNm-3/2

Gf KJ/m2

- 0.1% MNm-2

Traccin

f MNm-2

Traccin

E GNm-2

G GNm-2

Poisson

Acero dctil 100-200 50-95 280 462 207 81 0,27-0,3 Acero de alta resistencia 30-150 5-110 370 602 208 82 0,27-0,3 Hierro fundido nodular 6-20 0.2-3.0 - 735 175 - 0,2-0,3 Aleacin de titanio 30-120 7-120 750-910 900-1040 106 40 0,33 Aleacin de aluminio 22-45 7-30 250-450 320-550 70-72 26-28 0,33 Matriz reforzado fibras long. de carbono (CFR) (*)

20-45 2-30

Matriz reforzado fibras long. de vidrio (GFR) ) (*)

10-100 3-60

Matriz reforzado fibras laminado vidrio (GFR)

10-60 5-100

Madera (*) 8-13 6-20 59 132 12,5 - - Vidrio 0,3-0,7 0,002-0,01 - 30-1000 50-80 20-35 0,2-0,27 Acrlico 1,0-2,0 1,3-1,6 - 50-80 2,7-3,2 - 0,4 Policarbonato 1,0-3,5 2,0-5,0 - 56-66 2,0-3,0 - 0,4 Hormign 0,2-0,4 0,03-1 4 4,3 18,5 - 0,1-0,2 Epoxy 0,5-0,7 0,08-0,34

(*) Magnitudes medidas perpendicular a la fibra

:=


!

3 fG f

3 9 :;: ! 90//)%/% +/ 9 :;:

"# +:=:/ fG p +:D/ M +/

+/ !

9:;:


8#%#5 #

L # 3

! 3

+9:;=/

v t 5 dr +

/

= K/h-env B 10

=

n

m

d GD

r

x

KAB

m

dr

xt

+:=D/

A x

dr 0D K O G m n 5

9:;=

,0#4&'&&51,"6923@-+A

f

t

2 22

222

@9

,

2 )822 )&222 )


#

$%&'()$!%%)*+,&*,+' &- K 5,43 n

$%&'()$!%!(,)(-!%&*+

@)?+/

: ;

>+/ = ;- ; ;

9

-+/ ; :

:A

!"#$

% & & ' % () *+,&*-+,&.&,/01& , 2 / 3 &4( *&(&.5&6 ( ( % /

7 !$% / 7 8'194'!!: ; ..0 !"/48 ;' / / %;1:! %/8

YSYS rd 2= / ; 1 :


)(2 YSra + ;;''1:

3 Fractura Dctil

YSr YSYS rd 2= ; /

YSmax

y = )( '/'

* rKIy = 2 4' 0= '! ICI KK = ' YSr /

2

2

2 YSIC

YSK

r

= ::

1:


2

2

6 YSIC

YSK

r

= :$

6 %

; )(2 YSra + ;1::*'19*''

3 Fractura Dctil

8';;19*,%;% %47,22 ;,& - /

'/&.&;1:!

( ) ( ) 339-E ,85,725,12

ASTMrabKab YSYS

IC

:"

/'

/ ( '8 8 ' / 1:! ; 8/8D;/

Ejemplo 3.1=Una lmina de aleacin aluminio tiene una fisura central de 25 mm de longitud. Si la tensin de fractura de este material es f=200 MN/m2 y la tensin de plasticidad YS=400 MN/m2, calcular la tenacidad del material suponiendo: a) Comportamiento frgil, utilizando la Mecnica de Fractura Lineal , y b) Comportamiento dctil, utilizando las correcciones correspondientes. a) Tenacidad considerando un material frgil: A partir de las ecuaciones (1.14) y (1.19) con f=1, resulta

2/33

6,3921025200

=

== mMNaK fIC

b) Tenacidad considerando un material dctil: A partir de las ecuaciones (3.5) y (3.6), resulta

( ) 2/32

32

2

42400200

2111025200

21 =

+=

+=+= mMNaraK

YS

ffYSfIC

Ejemplo 3.2=Dado un cilindro sometido a una presin de p=19 MN/m2, con una fractura longitudinal sobre la superficie externa, cuyas caractersticas geomtricas y mecnicas son: longitud del cilindro L=6,5 m, dimetro d=1,6 m, espesor de las paredes e=50 mm, longitud de la fisura 2a=50 mm, mdulo de elasticidad E=187 GN/m2, factor de intensidad de tensiones critico lineal KIC=90 MN/m3/2, radio plstico en la cabeza de la fisura rYS=2,5 mm. Determinar el factor de seguridad suponiendo: a) Comportamiento frgil, utilizando la Mecnica de Fractura Lineal , y b) Comportamiento dctil, utilizando las correcciones por la influencia de la plasticidad en la cabeza de la fisura.

+..

+.

+..)+

.

.

/+

.


Planteando la condicin de equilibrio membranal, se obtiene la tensin anular de traccin en el cilindro,

2263

6

/304/1030410502

6,110192

mMNmNe

dp==

==

A partir de la ecuacin (1.15), resulta el factor de intensidad de tensiones en la cabeza de la fisura,

2/332

1

198,855,61025

tan5,6304 tan

=

=

= mMN

La

LK I

a) Factor de seguridad considerando un material frgil:

%63,51001198,85

901001 =

=

=

I

IC

KK

r

El clculo de la mxima tensin anular elstica que provoca la fractura, resulta de considerar el factor de intensidad crtico en la siguiente expresin,

( ) 232

1/134,321

5,61025

tan5,6

90

tan

mMN

La

L

K ICf =

=

=

b) Factor de seguridad considerando un material dctil: Hay que calcular nuevamente el factor de intensidad de tensiones critico considerando la influencia de la plasticidad y la mxima tensin anular elstica que provoca la fractura. Esto es,

( )

( ) 2/32133

21

39,945,6

105,21025tan5,6134,321

)(tan

=

+

=

=

+=

mMN

Lra

LK YSfIC

En el caso en que se consideren los mecanismos plsticos, resulta el siguiente factor de seguridad

%79,101001198,8539,941001 =

=

=

I

IC

KK

r

Observando el desarrollo de este ejercicio, se concluye que el no considerar la plasticidad en el factor de intensidad de tensiones crtica, conduce a una subvaluacin de la tenacidad del material.

$ 0$ $ $

48$0'$$$;':C

3 Fractura Dctil

' ?4 1 @ 0

' ICK 0fG . '

/E.

! 4( &,/ 0 1& *+,.12 3'4.


;(; fv

( '

/ pv 7/

8/

8 cF ; 1 :A 8' /

pv fv /F

18

8'

1:A=AC#

3 Fractura Dctil

21 '88

Ejemplo 3.3=Un depsito cilndrico de acero que trabaja en forma de membrana bajo presin interna, tiene un dimetro de 4 m y un espesor de paredes de 10 mm. Se observa que en la cara externa del cilindro hay una fractura de 6.5 mm de profundidad (ver Figura del Ejemplo). Por otro lado, a partir de un ensayo COD (ver Apartado 3.3.1 y Figura 3.9 ), resultan las siguientes datos geomtricos y mecnicos del material: Fc=65 KN, vp=0,35 mm, v0=2,5 mm, B=25 mm, b= 50 mm, a=25 mm, E=200 GN/m2, YS=450MN/m2, =0.3 (ver Figura del Ejemplo). Calcular la mxima presin interna que puede soportar el depsito en estas condiciones.

Ensayo COD sobre la pieza de acero.

Depsito cilndrico sometido a presin.

a) Ensayo COD sobre la pieza de prueba. De la relacin (a / b)=(25 mm/ 50 mm)=0,5, y de la 9:!, resulta f1(a/b)=10,61. A partir de esta informacin y de la ecuacin (1.18se obtiene el factor de intensidad de tensiones crtico en la cabeza de la fisura, calculado sin considerar los efectos plsticos,

23

33

3

1 37,12361.1010501025

1065

=

=

= mMNbaf

bBF

K cIC

Utilizando el mtodo COD (Apartado 3.3.1), ecuacin (3.10), se calcula el desplazamiento crtico de apertura entre labios de fisura que provoca el crecimiento de la fractura en presencia de plasticidad,

!

#1

#1

%8

!

#1

!

+..

+9.

+..

+..


( ) ( )

m

vabvab

EK

vp

YS

ICf

4333

333

3

220

22

1070279,1105,210256.010504,0

1035,0)10251050(4,0102004502

)3.01()37,123(6,04,0

4,02

1

=++

+

=

=

++

+

=

b) Presin mxima que puede soportar el depsito. Conocido el desplazamiento crtico vf que desestabiliza la fisura, puede ahora calcularse el factor de intensidad de tensiones afectado por la plasticidad. Para ello se utiliza la ecuacin (3.11), que para una lmina sometida a tensin plana (=1), se escribe,

2343 36,1081070279,1450102001 === mMNvEK fYSIC

Teniendo en cuenta la expresin del factor de intensidad de tensiones critico, puede ahora calcularse la mxima tensin anular que puede soportar el depsito, al lmite de la estabilidad de la fisura. Para ello, a partir de la ecuacin (1.16) y teniendo en cuenta que por la geometra de la pared del depsito f =1,12., resulta la siguiente tensin,

( ) ( ) 23 04,67712,1105,636,108

= =

= mMN

faK IC

f

Sustituyendo en la condicin de equilibrio anular de la membrana, resulta la presin buscada,

( ) ( ) 23 38,34

04,6771010222

=

=

== mMN

de

pe

dp ff

Ejemplo 3.4=Una placa de acero de dimensiones infinitas, tiene una fractura de 10 mm, que se propaga a partir de un orificio de 50 mm . Esta constituida de un material que tiene las siguientes caractersticas, KIC = 35 MN/m-3/2 , YS =250 MN/m2 , y E= 187 GN/m2 . Se quiere saber a que tensin se produce el fallo y cual es el desplazamiento crtico en el momento en que se desestabiliza la fisura.

26

/5,105035,0

1035mMN

a

K ICf =

=

=

Considerando la influencia de la plasticidad, resulta el siguiente factor de intensidad de tensiones critico,

La longitud activa de la fisura que se debeconsiderar es,

ma 035,0101021050 33

=+

=

y la tensin elstica a la que se produce elcrecimiento de la fisura es,

3 Fractura Dctil

( ) 2/32

2

2

50,36250

5,105211035,05,105

21 =

+=

+=+= mMNaraK

YS

ffYSfIC

De este nuevo factor de intensidad de tensiones, puede obtenerse una correccin para calcular la tensin mxima influenciada por los fenmenos plsticos,

26

/110035,0

10507,36mMN

a

K ICf =

=

=

La apertura critica de la fisura que provoca su propagacin resulta entonces,

mE

Kv

YS

ICf

53

22

1085,2101872501

)507,36(=

=

=

Y por ltimo, la energa de fractura del material se obtiene como,

26

22

/12,7101871)507,36(

mjkE

KG ICf =

=

=

3.3.2 Mtodo del la "Integral-J". Integral de Rice.

0 ( &,/01*+,&6>;&.5&>B0(6( 6% ' '8/ /' (

; / '%;

78'6; U ; V ; ; / ' %; 7 / ; ABV = B A / ' ;1:#

0!12#34#/5# 6%!)!-7' 0! 1 : % ( 8 ( 8 ((!47*0%#!8!02"0!"% +9?0"

#$56$3$4%7463$@A7*!0$8!0 1$$#$

%3$8$'8%7%3$("88.B$B%"!"66 !$6!%!!$$8

+88'

&!("$C:DE""$D 1)#$67

$675$

',.; +!! + *) 0!! % 5 %$ 5 2 .0$!%%"$!%$!))9#$'$'$7767(5$

(3!F3)0!!%8!!!8!!"#!!! ! #$7$3$

)3! /?;G"+;4"!!? @"2 / ( $5 88 %"6+#$6&!$

*G1!)*$0!!%%.$! $)$1$#$'3$6$

4 Modelos Constitutivos para Fractura

)

Dao y/odPlasticidaento,endurecimi y/ontoablandamie con dPlasticida

perfecta, dPlasticida

y Daodad Plasticila deTeora la en

basados Modelos

fractura. demecnica la en Basadosdiscreta,Fisura

difusa, oa distribuidFisura Fracturade Modelos

elstico.HipoGreen, de icoHiperelst

Cauchy, de Elstico

linealno y Linealdad Elasticila en basados Modelos

VOSCONSTITUTIMODELOS

$%

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global *

)

)

C ) ($)A 38


+

) 0&4 a dd TN fB ($)A

>dd aN /const.

($)A) $ %8 *

C"$

+ %

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global (,

*

$%B) 1 2

# 2 )3r


(-

$%B')!

=($)A0

& *: ICK


=


(/

4.5.2 Modelo de la Energa de Deformacin. Teora SC. ) C &/-8 )

* !

2 ) CS 2

AS3H4 H !3%


hay un estado de deslizamiento entre labios de fisura KII=0 y el crecimiento de la fisura se da segn el ngulo =0. Sustituyendo este estado particular en la ecuacin (4.11), resulta la densidad de energa critica,

( )=

GK

S ICC 4212 (4.14)

2. La direccin de propagacin de la fisura viene dada por el lugar geomtrico de los

puntos donde se cumple el mnimo de la densidad de energa minS .

0

0

0

0

2

2

0

>

==

=

=

S

S

(4.15)

Las ecuaciones (4.13) y (4.15) determinan la estacionalidad, o mnimo de la densidad de

energa S , y particularmente la ecuacin (4.15) establece la forma paramtrica de la curva lmite de estabilidad de fisura, en el plano KI - KII (ver Figura 4.6).

3. El incremento de longitud de la fisura se supone proporcional a la magnitud minS y

este incremento se mantiene siempre que la relacin CCmin dVdWrS )(== , se mantenga igual al valor crtico de la densidad de energa acumulada (ver ecuaciones (4.11) y (4.13)). Por el contrario, la fisura se estabiliza y detiene su propagacin para densidades de energa menor que el valor crtico.

Es posible dibujar estas curvas lmites de estabilidad de una fisura (ver Figura 4.6), tanto para

el modelo KC como el SC , en funcin de factores de intensidad de tensin adimensionales ( ICII KKK =* , ICIII KKK =* ). Estas curvas son vlidas para cualquier material elstico y slo estn definidas dentro del rango de traccin. En el caso que haya compresin < 0, la friccin entre labios de fisura impedira su definicin dentro del contexto antes establecido, pues dara factores de intensidad de tensin negativos. En un hipottico caso en que ocurra esta situacin, la condicin lmite de propagacin de fisura se debe formular conforme al Modo II de fractura, es decir para comportamientos con KI =0 y KII 0. Entonces, para este caso en que < 0 (estado de compresin normal a los labios de la fisura), la condicin crtica de crecimiento de una fisura, resulta coincidente con la que establece la teora KC, y se escribe

0= IICIII KKK (4.16)

donde KIIC es el factor de intensidad de tensiones critica en Modo II , KI =(a)1/2 ,

=IIK KII =(a)1/2 y es el coeficiente de friccin entre las caras de la fisura que estn en contacto. Esta ecuacin permite describir la curva lmite tambin en el caso que haya compresin < 0, condicin que se desarrolla friccin entre labios de la fisura (ver Figura 4.8)


(

$%F'

*0IC

IIII

IC

II K

KK

KK

K == ** ,

$%-'+*?1?11

=3%&F4*

17 2a

aaKK

aaKK

IIII

II

+===

++===

2sen2

)(

2cos22

)(

21

2121

3%&-4

2,0

6,0

0,1

*

IK

*IIK

G o30

IC

II K

KK =*

IC

IIII K

KK =*

IK

IIK

; CS

; CK

&

G o70 &!&

&!&

=34KIC KI

KIIC

KII

Teora SC (=0)

aK

aK

II

I

=

=

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global ((

ICII KKK =* ICIIII KKK =

*

ICKa= 1*

1 ICKa= 2*

2

( )

( )+=

=

2cos12sen

2cos12sen*

**

2

***

1

III

III

KK

KK 3%&.4

" *2

*

1 3$%.4

$%.'; *2*

1

00.0- 12 3!2 4 SC 6 % '&! #7 % 8 2

,

!$%B33%B44

( )

==

=cossen

sen2

aK

aKfaKII

Iii 3%&/4

GB G&B

G8E

G%B

GFE

G8E G%B

G.B

G-B GFE

IC

IC

Ka

Ka

=

=

2*2

1*1


67

ngu

lo de

frac

tura

pos

itivo

0

ngu

lo de

frac

tura

neg

ativo

- 0

Sustituyendo los valores de IK , IIK y las magnitudes ija de la ecuacin (4.12), en la

ecuacin (4.11), resulta la densidad de energa S para el problema uniaxial previamente formulado

[ ] ++= ++= 22221121122

22122

11

sencoscossen2sen

2

aaaa

KaKKaKaS IIIIII (4.20)

comparada esta con su valor crtico CS (ecuacin (4.13)), resulta la condicin lmite de propagacin de la fisura o Iniciacin de la fisura,

( ) [ ]

( ) ( )G

aG

KSK

KaKKaKaSSSSf

ICCII

IICIICICICCC

421

421

,)2

( I Modoy )0( tensin de uniaxial caso

2 con 022

22212

211

====

++===

(4.21)

La condicin de fractura (4.21) decide:

(4.22)

Sustituida ahora la ecuacin (4.20) en (4.15) resulta el ngulo que indica la orientacin

de la propagacin de la fisura

( ) ( ) ( )[ ] ( )000 2sen22sen22sen21200

==

=

S (4.23)

La ecuacin anterior tiene dos soluciones para 0, para un valor fijo de 0 ( )2/0

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global (*

00.0. 12 3!2 4 SC 6 % '&! #7 9 8 2

,! $ %B !

) !7 , 33%%44

[ ][ ] =

+=cos1

cos

2

222

senRaK

RsenaK

II

I 3%


(+

= aaI dvaaG 00 ),()0,(211lim2 3%

FRACTURA MECNICA Un Enfoque Global ),

A! ( )G !

>

+

+

==

0

)1(8

)()(0

2

2

22

G

GKKG III

3%8E4

A

) G

)1(8

22

++

=G

KKG IICICC 3%8&4

KIC KIIC(5 55.

! " #

$%%&&'(()* $ " # +

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Descarga

Descarga

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Carga

Carga


2364 20

Inicializacin de variables

Entrada de Datos: Geometra, Cargas,

Condiciones de contorno

Clculo de la Rigidez

Resolucin del sistema de ecuaciones:

Obtencin del campo de

Obtencin del campo de Deformaciones, Tensiones

elsticas y Factor de

Verificacin de la condicin critica. Desconexin de Nodos

y nueva definicin de malla

Nuevo Anlisis?

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6.4.1 Introduccin. /

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6.6.3 Relacin Tensin-Deformacin. Consistencia Plstica y Rigidez Tangente.

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" Calculo de la tensin predictora para el tiempo actual tt + , iteracin de equilibrio i ,

contador de convergencia del modelo constitutivo 1=k

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ttpittttik :

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11

# Verificacin de la condicin de fluencia plstica:

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6.11.1 Criterio de Rankine. De la Mxima Tensin de Traccin. O6"@=-

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Figura 6.11 Superficie de fluencia de Rankine: a) En el espacio de tensiones principales, b) Segn los meridianos de traccin y compresin Mxima, c) Segn el plano

octadrico I1=0 o plano .

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meridiano de traccin

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I

III

IIIIII == 6

6+

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II I

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6

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6


6.11.2 Criterio de Tresca. De la Mxima Tensin de Cortante. "@-


Figura 6.12 Superficie de fluencia de Tresca: a) En el espacio de tensiones principales, b) Segn los meridianos de traccin y compresin Mxima, c) Segn el plano octadrico

I1=0 o plano .

2

1

3

plano octadrico 01 =I (plano )

II

I

III

IIIIII ==

6

6+

corte puro

6= Meridiano de traccin

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0= Meridiano de corte puro

0= Meridiano de corte puro

6= Meridiano de compressin

( )xt = 210

( )xt =2

10

( )xt = 320

II I

III

0c 0t

0= corte puro

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c)

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Planos Meridianos

Plano Octadrico


6.11.3 Criterio de von Mises. De Tensin Cortante Octadrica. . "0"$ !

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02 MohrRc

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7 La Fractura y la Mecnica Clsica

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FRACTURA MECÁNICA UN ENFOQUE GLOBAL - Oller

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