Fractional Fourier Transform: Fractional Wiener Filter in Scilab

Fα(x) = Cαe iπy 2 cotα∫

f (x)e iπx2 cotαe−i 2πsin α xy dx

Aplicacion en Scilab para el tratamiento desenales con la transformacion de Fourier

fraccionaria: Filtro de Wiener fraccionario

Marcos Amaris Gonzalez1

[email protected]

Rafael Angel Torres2

[email protected]

1Autor2Director de Tesis

Abril de 2009

Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒1/22

Planteamiento del Problema

Senales estacionarias y no estacionarias.

Representacion en Tiempo y/o Frecuencia.

Transformacion de Fourier.

F (y) =

∫ ∞−∞

f (x)e−2ixy dx (1)


STFT

G (τ, y) =

∫ ∞−∞

f (x)g(x − τ)e−2ixy dx (2)

La ecuacion 2 se puede interpretar como los resultado de latransformacion de Fourier estandar para cada punto G (τ, y)

Figura: Ventana Rectangular


Transformacion Wavelet

w(t) =1√|a|

w

(t − b

a

)(3)

donde a es la escala y es b la traslacion.

Figura: Wavelet.


Distribucion de Wigner

Wf (x , y) =

∫ ∞−∞

f

(x +

x ′

2

)f

(x − x ′

2

)e−2πix ′y dx ′ (4)

Valor de amplitud en cada punto W (x , y) asociados a un unafuncion f (x) y a su transformada F (y).

|f (x) |2 =

∫ ∞−∞Wf (x , y) dy

|F (y) |2 =

∫ ∞−∞Wf (x , y) dx

|fα (xα) |2 =

∫ ∞−∞Wf (x cosα− y senα, x senα + y cosα)dy



Wf (x , y) =

∫ ∞−∞

f

(x +

x ′

2

)f

(x − x ′

2

)e−2πix ′y dx ′ (4)

Figura: Grafica de una distribucion de WignerMarcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒5/22

Marco Teorico

N. Wiener, 1929; V. Namias, 1980; L. Almeida, 1993.

La expresion propuesta por Namıas esta dada por la siguienteecuacion:

Fα(y) = Cαe iπy2 cotα

∫f (x)e iπx2 cotαe−i 2π

sin αxy dx . (5)

donde α = aπ/2, a es un numero real.

Cα =e i(s(α) π

4−α

2)√

| sinα|(6)


Propiedades de la FrFT

Linealidad: c1 y c2 son constantes.

Fα[c1f (x) + c2g(x)] = c1Fα[f (x)] + c2Fα[g(x)] (7)

Conservacion de la energıa:∫<

f (x)g ∗ (x)dx =

∫<

fα(y)g ∗α (y)dy (8)

Corrimiento: ς variable de corrimiento.

Fα[f (x − ς)] = Fα(y − ς cotα)e iπ sinα(ς2 cosα−2yς) (9)


Propiedades de la FrFT

Modulacion:

Fα[f (x)e i2πδx ] = Fα(y − δ sinα)e−iπ cosα(δ2 sinα−2δy) (7)

Escalamiento: m variable de escala.

Fα[f (mx)] =√

cosβ/ cosαe12

(α−β)e iπy2 cot α(1− cos2 β

cos2 α)

fβ(ysinβ

m sinα)

(8)


Casos particulares

a α = aπ/2 Operador Operacion

0 o 4 0 o 2π F 0 = F 4 = I Identidad

1 π/2 F 1 = F FT

2 π F 2 = FF = P Reflexion

3 3π/2 F 3 = FF 2 = F−1 FT inversa

Tabla: Casos particulares de la FrFT


Justificacion

Viabilidad Tecnica.

? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.

? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.


Justificacion

Viabilidad Economica.

? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.

? Viabilidad Social.


Justificacion

Viabilidad Social.

? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.

GOTS IDETISUM


Hipotesis

Discretizacion de la ecuacion 5

x = n∆x y = k∆y

Teorema de muestreo estandar de Shannon-Whittaker.

∆x =ξ

N∆y =

ζ

N

Segun lo anterior obtenemos la siguiente expresion:

fα(k) = Cαeiπk2ζ2 cot α

N2

n=N/2−1∑n=N/2

f (n)eiπn2ξ2 cot α

N2 e−2iπnkζξ

N2 sin α (9)


Algoritmos fracF.m y fracft.m

fα(y) = Cα

∫ ∞∞

f (x)e iπ(y2 cotα+x2 cotα−2xy cscα)dx (10)

x2 cscα− x2 cscα + y 2 cscα− y 2 cscα = 0

y la ecuacion 10 queda de la siguiente manera:

fα(y) = Cα

∫ ∞∞

f (x)e iπ(y2(cotα−cscα)+x2(cotα−cscα)+(x−y)2 cscα)dx

(11)cotα− cscα = tanα/2 se reemplaza en la ecuacion 11:

Fα(y) = Cαe−iπ tan(α/2)y2∫ ∞−∞

e iπ cscα(y−x)2[e−iπ tan(α/2)x2

f (x)]dx .

(12)Marcos Amaris Gonzalez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒11/22

Teorema de muestreo en Dominios fraccionarios

Teorema (Muestreo en Dominios fraccionarios)

Sea f (x) una funcion tal que su Fα(y) tiene soporte compactofinito ζ, f (x) puede ser muestreada y reconstruida perfectamentesi las muestras se toman a una tasa ∆x ≤ sinα/ζ.

Figura: ∆x en dominios fraccionarios.1

1R. Torres, et al. Sampling theorem in fractional Fourier domains. (SPIE)”. Pag. 1188-1192. A Marano, J. L.

Paz (2004).


Algoritmo Propuesto

ξ

N=

sinα

ζ⇒ ξζ = N sinα ξ = ζ =

√N sinα

y al implementar esto en la ecuacion 9,

fα(k) = Cαeiπk2 cos α

N

n=N/2−1∑n=N/2

f (n)eiπn2 cos α

N e−2iπnk

N (13)

Intervalo de accion del Kernel 0,5 ≤ |a| ≤ 1,5.

fα(k) = Cαeiπk2 cos α

N F

[f (n)e

iπn2 cos αN

]. (14)


Convolucion fraccionaria

La convolucion fraccionaria fα∗ g de dos funciones f (x) y g(x) se

define de la siguiente manera:

[fα∗ g ] = F−α[Fα[f ]Fα[g ]] (15)

Solucion Forma de operadores:

[f ∗α g ](x) = F−α[Fα[f ](xα)Fα[g ](xα)e iπx2 cotα](x). (16)

Solucion en forma de integral:

[f ∗α g ](x) =

∫f (y)g(x − y)e2iπy(x−y) cotαdy . (17)


Filtro de Wiener fraccionario

f (x) = e(x) + r(x) (18)

Funcion de filtro:

Gα(vα) =Eα

S (vα)

EαS (vα) + Rα

R (vα)e−iπv2

α cotα (19)

donde EαS (vα) es el cuadrado en el dominio de Fourier fraccionario

de la senal sin el ruido y RαR (vα) es el cuadrado en el dominio

fraccionario del ruido.

hy (x) = [Fy ∗α g ](x) (20)



Figura: Proceso de distorsion en el dominio fraccionario de Fourier.


Metodologıa Xtremme Programing

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Fases


Desarrollo de la aplicacion

global fc, fy, dwf, dwF, fc2d, Fy2d;stacksize();figure();uimenu();exec();plot(); imread(); imshow();

Figura: Menu principal de la aplicacion



Funcion Rectangulo

fc = [zeros(1, 50), ones(1, 28), zeros(1, 50)];

Figura: Senal Rectangulo



Funcion Triangulo

fc = [zeros(1, 50), linspace(0, 1, 14), linspace(1, 0, 14), zeros(1, 50)];

Figura: Senal Triangulo



Funcion Coseno

x = [linspace(−%pi , %pi , 28)];

fc = [zeros(1, 50), cos( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];

Figura: Senal Coseno



Funcion Seno

x = [linspace(−%pi , %pi , 28)];

fc = [zeros(1, 50), sin( %pi ∗ x), zeros(1, 50)];

Figura: Senal Seno



Funcion Chirp

x = [−7 : 0,5 : 6,5];

fc = [zeros(1, 50), exp( %i ∗ (0,2 ∗ %pi ∗ x . ∗ x)/2), zeros(1, 50)];

Figura: Senal Chrirp



Funcion Gauss

x = [−7 : 0,5 : 6,5];

fc = [zeros(1, 50), (5 ∗ exp(−(x . ∗ x)/0,5)), zeros(1, 50)]

Figura: Senal Gauss



Funcion Chirp*Gauss

x = [−7 : 0,5 : 6,5];

exp( %i ∗ (2 ∗ %pi ∗ x . ∗ x)/0,5). ∗ (2 ∗ exp(−(x . ∗ x)/20))

Figura: Senal Rectangulo


Demostracion y Resultados

Propiedad de escalamiento de la FrFT

f (x/m)F−→ |M|F (my).

Figura: Senal escalada y su transformada de Fourier fraccionaria.



FrFT de una funcion rectangulo

Entre a mas tiende a 0, se obtiene un espectro frecuencial muyparecido a la funcion de entrada.




Figura: Distribucion de Wigner de una senal rectangulo




Figura: Rotacion de la DW de la senal rectangulo por la FrFT



Imagenes

Figura: Imagen Tru.jpg de Scilab Image Processing.



Imagenes

Figura: FrFT de la imagen Tru.jpg con a = 0,5 en las filas y columnas.



Imagenes

Figura: Prpiedad de Aditividad de la transformacion.



Imagenes

Figura: Imagen onion de Matlab.



Imagenes

Figura: FrFT de la imagen onion con a = 0,25 en la filas y a = 0,75 enlas columnas.



Imagenes

Figura: imagen onion en su dominio directo, luego de haber estado en eldominio fraccionario.




Figura: Filtro creado.




Figura: Luego del proceso de filtrado por convolucion fraccionaria.


Limitaciones e Inconvenientes

♣ I think LATEX is fun.

♠ stacksize

No. de muestras Dimension fracF FrFT0 DFrFT

128 1 0 0 0.094

256 1 0.16 0.023 0.312

512 1 0.16 0.017 1.052

1024 1 0.18 0.016 4.657

128 2 1.265 1.219 20.937

256 2 2.813 2.828 177.984

512 2 6.672 7.141 1259.312

1024 2 17.515 19.843 6167.481

Tabla: Duracion de FrFT a senales 1D y 2D con los algoritmosimplementados


Limitaciones e Inconvenientes

Inconvenientes en las Fases de los algoritmos


Conclusiones

† Investigacion en diferentes areas.

† Analisis, estudio y tratamiento de senales no estacionarias sonmuchas de las ventajas de la FrFT .

† La convolucion fraccionaria y el filtro de Wiener fraccionario, seimplementan de tal forma que minimiza el error al momento de laseparacion de dos senales en el dominio de Fourier fraccionario.

† FrFT y Distribucion de Wigner.


Preguntas

¿ ? ¿ ? ¿ ?


Gracias por su atencion


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Software

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