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FRACTALES (et ondelettes)
Pierre-Olivier Amblard
Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083
Groupe Non Lineaire
CENTRE NATIONAL
DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
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Fractales–3eme, analyse en ondelettes
� Ondelettes continues
� Ondelettes et signaux holderiens
� Analyse en ondelette des signaux fractals
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Representation en temps, en frequence,. . .
espace L2 des signaux deterministes,
Ex = ||x(t)||2 =
∫|x(t)|2dt < +∞
Le signal admet une transformee de Fourier
X(ν) =
∫x(t)e−2iπνtdt
La transformee de Fourier est unitaire : elle conserve les produits scalaires.
Encombrements temporel et frequentiel
∆t2 =1
Ex
∫(t−mx)
2|x(t)|2dt
∆ν2 =1
Ex
∫(ν −mX)2|X(ν)|2dν
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alors,
∆t∆ν ≥ 1
4π
avec egalite si
x(t) = ae−2iπmXte−b(t−mx)2
5
. . . et leurs limites
representation frequentielle : presuppose le meme contenu a tous temps
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
time, s
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
10
20
30
40
50
frequency, Hz
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Representation temps-frequence
idee : analyser le contenu frequentiel a travers une fenetre glissante
F (t, ν) =
∫x(u)h∗(u− t)e−2iπνudu
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Plan temps-frequence, son pavage, et ses problemes
Meme resolution quelque soit la rapidite des phenomenes etudies. . .
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Un pavage alternatif
bonne resolution frequentielle pour les phenomenes lents,
bonne resolution temporelle pour les phenomenes rapides
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Transformee en ondelettes
Soit ψ(t) une fonction de L1(R) et x(t) un signal de L2(R).
Tx(a, b) =1√a
∫x(u)ψ∗
(u− b
a
)du
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Condition d’admissibilite et formule de reconstruction
Sous la condition dite d’admissibilite,
Cψ =
∫ +∞
0
|ψ(ν)|2ν
dν < +∞
ou ψ(ν) est la transformee de Fourier de l’ondelette, on a
x(t) =1
Cψ
∫ ∫Tx(a, b)
1√aψ
(t− b
a
)dadb
a2
La condition d’admissibilite impose que la transformee de Fourier de
l’ondelette soit nulle pour la frequence nulle. Autrement dit∫ψ(t)dt = 0
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Signaux holderiens
Un signal f(t) est dit holderien en t0 d’ordre n+ α, α ∈]0, 1[, s’il verifie
|f(t) − Pn(t− t0)| ≤ C|t− t0|n+α
ou Pn(t) est un polynome de degre n.
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Analyse en ondelettes des signaux holderiens
Soit f(t) un signal holderien en t0 d’ordre n+ α, α ∈]0, 1[. Si l’ondelette ψ
a au moins n+ 1 moments nuls, si∫
(1 + |t|)n+1|ψ(t)|dt < +∞, alors la
transformee en ondelette de f en t0 verifie.
|Tf (a, t0)| ≤ Can+α+1/2
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Une famille d’ondelettes : les derivees de gaussienne
ψ0 =1√2πe−t
2/2 et ψn = (−1)ndψn−1(t)
dt
sont des ondelettes avec n moments nuls.
−5 0 5
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ψ1
−5 0 5
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ψ2
−5 0 5
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ψ3
15
Illustration
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ψ1
ψ2
ψ3
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Estimation x(t) = t+ |t|α, α ∈ [0, 1]
α=1.25pente=−1.75
α=1.66pente=−2.16
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Ondelettes et fBm
Considerons un fBm d’index H. Sa transformee en ondelette
TB(a, b) =1√a
∫BH(t)ψ∗
(t− b
a
)dt
est un champ aleatoire centre gaussien.
� A une echelle donnee a, la transformee en ondelette est stationnaire au
second ordre
� A une echelle donnee et un temps b fixe, Var[TB(a, b)] ∝ a2H+1
idee pour estimer H, calcul de
SB(a) =1
T
∫ T/2
−T/2
|[TB(a, b)|2db
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H = 0.33pente=1.56
2H+1=1.66
19
H = 0.66
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
10
20
30
40
50
60
70
80
2H+1=2.33
pente=2.2
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Bruits en 1/f et estimation spectrale
bruit en 1/f : signal stationnaire de DSP Sx(ν) = C/να.
Correlation Γx ∝ |τ |α−1
On doit avoir α < 1.
Si α ∈]0, 1[, longue dependance
Deux estimateurs spectraux : spectrogramme
Spx(ν) =1
T
∫ T/2
−T/2
∣∣∣∣
∫x(t)h∗(t− b)e−2iπνtdt
∣∣∣∣2
db
et scalogramme
Scx(a) =1
T
∫ T/2
−T/2
1
a
∣∣∣∣∫x(t)ψ∗
(t− b
a
)dt
∣∣∣∣2
db
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Ondelette, 1er effet : biais
E[Scx(a = ν0/ν)] = Cν−αb1
E[Spx(ν)] = Cν−αb2(ν)
=⇒ adequation analyse en banc de filtre a surtension constante et
processus en 1/f .
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Ondelette, 2eme effet : variance
Variance d’estimateurs calcules sur une duree T de grandeurs
� blanches ou melangeantes : Var[e] ∝ 1/T
� a longue dependance : Var[e] ∝ 1/T 1−α
Exemple : pour la moyenne d’un signal de puissance unite, btenir une
variance de 10−3
� blanc : 1000 echantillons
� longue dependance α = .1, 4600 echantillons
� longue dependance α = .4, 100000 echantillons !
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2eme effet, suite
Si l’ondelette a N moments nuls, alors a l’echelle a
Sxa(ν) = aC′ν2N−α + o(ν2N−α)
de sorte que
rxa(τ) ≈ 1
τ2N+1−α
Si 2N + 1 − α > 1 ⇔ N > α/2 alors xa(t) est a memoire courte
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Recapitulons. . .
La tranformee en ondelette
� stationnarise les processus non stationnaire a accroissements
stationnaires,
� est en adequation avec les processus en 1/f ,
� est un filtre blanchisseur (imparfait) des processus a longue
dependance, des que l’ondelette est bien choisie.
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