Fractales en Agricultura

7/25/2019 Fractales en Agricultura

1/212

Departamento de Matemtica Aplicada a la Agronoma

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Agrnomos

TESIS DOCTORAL

Aplicacin de tcnicas de anlisis multifractal

a distribuciones de tamao volumen de partculas de suelo

obtenidas mediante anlisis por difraccin de lser

Autora: M^ Elosa Montero Pascual

Ingeniera Agrnoma

Director: Miguel ngel Martn Martn

Doctor en Ciencias Matemticas

2 3


2/212


3/212

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politcnica

de Madrid el da de de

2003.

Presidente D

Vocal D

Vocal D

Vocal D

Secretario D

Suplente D

Suplente D

Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el da de de2003

en la E.T.S.I./Facultad

Calificacin:

EL PRESIDENTE

LOS VOCALES

EL SECRETARIO


4/212

V


5/212

mis familias


6/212

V


7/212

El cientfico no estudia la naturaleza porque es til

sino porq ue le cautiva y le cautiva porque es bella.

Si la naturaleza no fuera hermosa

no valdra la pena conocerla

y si no valiera la pena conocer la naturaleza

tampoco valdra la pena vivir.

Por supues to no me refiero aqu

a la belleza que estimula los sentidos

la de las cualidades y las apariencias;

no es que la desdee en absoluto

sino que sta nada tiene que hacer con la ciencia.

Me refiero a la belleza ms profunda

la que procede del orden armonioso de las partes

y que puede captar una inteligencia pura.

Henri Poincar

VII


8/212

V


9/212

A g r a d e c i m i e n t o s

Quiero expresar mi ag radec imien to a las s igu ien tes per sonas e in s t i tuc iones :

A M ig u e l n g e l M a r t n p o r c o m p a r t i r y t r a n s m i t i r m e s u p a s i n p o r l a s m a te m t i c a s

duran te todos es tos aos , adems de se r una r e fe renc ia para m en la ta r ea de ensear .

A F . Jav ie r Can iego , Fernando San Jos y F . Jav ie r Taguas po r ab r i rme camino y se r

un verdadero equ ipo de t r aba jo .

A Juan Jos Ibez y Jess Pastor por todo su apoyo y ayuda en la real izacin de la

par te exper imen ta l de es te t r aba jo en e l Cen t ro de C ienc ias Med ioambien ta les de l Conse jo

Super ior de Invest igaciones Cient f icas en Madr id .

A Anton io Lpez , Concepc in Gonz lez y Glo r ia Lpez po r su co laborac in y ayuda

en todo lo relacionado con las muestras de suelo anal izadas en es te es tudio .

A J o s M a r a M a r t n G a r c a p o r e s c u c h a r m e p a c i e n t e m e n te , c o m p a r t i r g e n e r o s a m e n te

sus conoc imien tos y ayudarme ms a l l de lo que se pod a ped i r .

A mi gente mis pad res y mis her m ano s; Al be r to , I sabel , Mon tse, Nieves; Alicia , G ua -

da lupe , Ju l ia , Lu ismi , Migue l ; Mar ia , M. Carmen , Merche y Mnica) po r sos tenerme de una

u o tra manera en los momentos de mayor d if icu l tad . Gracias por es tar ah y ser como sois .

A Carmen y Rosa , qu ienes me impu lsaron desde e l comienzo para que es te t r aba jo

e s t h o y t e r m in a d o .

X


10/212


11/212

ndice Genera l

A g r a d e c i m i e n t o s i x

nd ice Gen era l XI

R e s u m e n 1

A b s t r a c t 3

I I n t r o d u c c i n y F u n d a m e n t o s 5

1

In trod ucc i n y Ob je t ivos 7

1.1. Distribucin del tam ao de partculas 9

1.2. Com plejidad y geom etra fractal 9

1.3. Fra cta les en la edafologa 10

1.4. Ob jetivo s 12

1.5. Organ izacin del tra ba jo 13

2.

C o n c e p t o s B s ic o s

de

Eda fo log a 15

2.1. El suelo 16

2.1.1. Edafogn esis de un suelo 18

2.1.2. El suelo: un sistem a disperso y polifsico 19

2.2.

Pro pied ade s fsicas del suelo 20

2.2.1. Granu lome tra 20

2.2.2. Fracciones granu lom tricas 21

2.2.3. Caracterizacin del tam ao de las partcu las 23

2.2.4. Relaciones masa volum en 25

2.2.5.

Superficie especfica 26

2.2.6. Es tru ctu ra y agregacin 27

XI


12/212

XII

2.3.

El agu a del suelo 29

2.3 .1 .

E sta do energtico del agu a en el suelo . . 30

2.3.2 . El potencial capilar y las curvas caractersticas de hum edad 31

2.3 .3 .

Valores caractersticos 32

2.3.4. Perm eabilidad 32

2.4. La atmsfera del suelo 32

2.5. La degrad acin y erosin del suelo 34

2.5 .1 .

Erosin hdrica 35

2.5 .2. Erosin elica : 36

3

Co nce pto s B s i cos de Teor a de l a M ed ida y An l i s i s M ul t i frac ta l 39

3.1 .

Ele m ento s bsicos de teor a de la riiedida . . . . . 40

3.1 .1 .

M edidas y distribuciones de m asa 40

3.1 .2. Con juntos y me dida de Borel . . 41

3.1.3 . M edida Lebesgue enS y K . . . 42

3.1.4. M edida y dimensin de Hausdorff 43

3.1.5 .

Den sidades 44

3.2. M edidas multifractales ; 45

3.3.

Modelos generadores de me didas mu ltifractales 47

3.3 .1 .

M edida binomial 48

3.3 .2. M edida invariante asociada a un Sistem a de Funciones Itera das (SFI) 49

3.3.3 . Med ida multinomial 52

3.3 .4. Cciscadas mu ltiplicativas aleato rias 53

3.4. Anlisis mu ltifractal. Dimensiones de informacin 53

3.4.1-.

En tropa y dimensin de entropa 53

3.4.2 . Dim ensiones de Rnyi 54

3.5. M todo s prctico s de anlisis mu ltifractal 57

3.5 .1 .

M todo de los histogramas 57

3.5.2. M todo de los mom entos 58

3.5.3 . M todo directo de Chiiabra y Jensen 59

4 .

A n t e c e d e n t e s 6 1

4.1. Mo delos clsicos de la distribucin de partc ulas . 62

4.2. Mo delos fractales de distribucin de par tcula s 65

4.2.1 .

La dimensin fractal de fragmen tacin 66

4.2.2 .

Los modelos fractales y las propiedades hidrul icas del suelo . . . . . 69

4.3. Mo delos multifractales . . . 76


13/212

XIII

4.3 .1 .

Modelo de M artn y Tagua s 1998) 76

4.3.2. Anlisis mu ltifractal de distribuciones de tam ao s de poros 80

4.3.3 .

Aplicacin del anlisis mu ltifractal a las distribuciones del tam a o de

partc ulas prim arias y agregados 81

4.4. Ar tculos seleccionados por su inters 82

4.4 .1 .

Beuselinck, Govers y Poese n 1999) 82

4.4.2. Filgueira, Fournier, Sarli, Arag n y Raw ls 1999) 84

4.4.3 .

Kra vchenk o, Boa st y Bullock 1999) 86

4.4.4 . Caniego, M artn y San Jos 2001) 89

I I H erra m ienta s y Desa rro l lo 9 3

5 M at e r i a le s y M t od os 95

5.1 .

Cara ctersticas de las mu estras de suelo estud iada s 95

5.2. T cnica de anlisis por difraccin de lser 103

5 .2 .1 .

Prin cip ios de la difraccin de lser 104

5.2.2. M od os de anlisis po r difraccin de lser 105

5.3.

An lisis m ultifracta l de las distribuc iones 107

5.3.1 . C onstruccin de la medida pa ra m todos en escala lognormal 107

5.3.2. Descripcin de los m todos de anlisis mu ltifractal 111

5.3.3.

Ejemplo de anlisis mu ltifractal de un a m uestra 114

I I I R esu l ta d o s y Co n c lus io nes 1 1 9

6 Re sul ta dos y Di scu s in 121

6.1.

M todo Clsico 123

6.1.1.

Resum en de los resultados del m todo

lsico

128

6.2. M todo en escala lognormal con Intervalo Fijo 131

6.2.1. Resum en de los resultados del m todo Intervalo Fijo 143

6.3.

M todo en escala lognormal con Int. Variable 147

6.3.1.

Resum en de los resultados del m todo

Intervalo Variable

152

6.4. Perfiles SG-4 y C-4 153

6.4.1.

Re sultado s del anlisis en

Hmedo

153

6.4.2. Res ultados del anlisis en

Seco

158

7. Co nc lus ion es 163


14/212

XIV

nd ice de Tab las 166

n d i c e d e F i g u r a s 1 7 6

Bibliografa 180

IV An exo s 199

A An l is i s por Difracc in de Lser 201

A l Anlisis en mo do Seco 202

A 2 Anlisis en modo Hm edo 208

B

M t o d o C l s i c o 2 1 5

B l

Dim ensiones de Rnyi en Seco 216

B 2 Dimensiones de Rnyi en H med o 231

B 3

Exp one ntes de Hlder en Seco 246

B 4 E x p o n e n t e s d e H o l d e r e n H m e d o 2 6 1

C M to do en Esca la Lognorm al con In terva lo Fi jo 277

C l Dimen siones de Rnyi en Seco 278

C 2 Dimensiones de Rnyi en Hm edo 293

C 3 Ex pon ente s de Holder en Seco 308

C 4 Expo nentes de Holder en Hm edo 323

C 5 Grficos 338

D M to do en Esca la Lognorm al con In terva lo Var iab le 353

D l Dimen siones de Rnyi en Seco 354

D 2

Dimen siones de Rnyi en H med o 369

D 3 Ex pon ente s de Holder en Seco 384

D 4 Expo nentes de Holder en Hm edo 399

D 5 Grficos 414


15/212

R e s u m e n

La caracterizacin de la distribucin del tamao de las partculas del suelo es un

problema edafolgico de gran importancia. Se trata de un primer paso de cara a su posterior

modelizacin y su relacin con importantes fenmenos del suelo.

En el presente estudio se aborda la aplicacin de diversas tcnicas de anlisis multi-

fractal a distribuciones de tamaos de partculas que han sido obtenidas a partir del anlisis

por difraccin de lser de muestras de suelo. Con ello se pretende comprobar la naturaleza

multifractal de este tipo de distribuciones y determinar las ventajas e inconvenientes de ca

da tcnica. Este aspecto es esencial para la caracterizacin y posterior simulacin de estas

distribuciones mediante modelos matemticos de naturaleza multifractal.

Dado el carcter interdisciplinar del estudio se ha procedido a exponer los conceptos

edafolgicos y matemticos bsicos para entender el problema estudiado. Asimismo se ha

realizado una revisin de las diversas aproximaciones de que ha sido objeto el problema a lo

largo del siglo XX, especialmente en las dos ltimas dcadas, etapa en la que la geometra

fractal ha sido aplicada con gran frecuencia.

En el trabajo aqu presentado se han aplicado tres tcnicas de anlisis multifractal a

dos tipos de distribuciones obtenidas al analizar setenta muestras de suelos por difraccin

de lser.

La totalidad de los resultados obtenidos se encuentran recogidos en la parte denomina

da Anexos CD -Rom adjunto). La mayora de estos resultados ha sido expue sta en

Resultados

y onclusiones

donde se ha procedido a discutir los aspectos ms relevantes de cada tcnica

y, en pa rtic ula r, los resu ltado s de dos perfiles especficos SG-4 y C-4).


16/212


17/212

A b s t r a c t

Characterization of soil particle size distributions is a pedological problem of great

importance. This is the first step in order to achieve its posterior modlling and simlate its

relation with other important phenomena of soils.

The purpose of this work is the appUcation of diferent multifractal analysis techniques

to pa rticle size distributio ns obtain ed thro ug h lser diffraction analysis of soil samples. Doing

so , it is intended to test the multifractal nature of such distributions and to determine

the advantages or disadvantages of each technique. This is a key move to characterize and

simlate these distributions by means of mathematical models of multifractal nature.

Due to t he interdisciplinary ch aracter of this study, basic pedological and math ema tical

concepts have been exposed. In addition, a review about the diferent approximations made

to the problem along the 20th Century has been realized, paying special attention to the last

two decades. During those years fractal geometry was intensively apphed to soil particle size

distr ibutions.

Seventy soil samples were analyzed by lser diffraction technique. Total results obtai

ned from the application of three multifractal analysis techniques to both kinds of distribu

tions achieved from lser diffraction analysis have been coUected in the part named nexos

Appendixes) attached CD -Rom ).

Most results have been exposed and discussed in Resultados y Conclusiones Results

and Conclusions). In this part most relevant aspects of each technique have been discussed

payin g special atten tio n, as a prectical exam ple, to two specific profiles SG-4 and C -4).


18/212


19/212

Par te I

Introduccin y un dam entos


20/212


21/212

Cap tu lo 1

In t roduccin y Obje t ivos

La ciencia es la progresiva aproximacin del homb re al mundo real.

Max Planck

El concepto de

suelo

ha sufrido una importante evolucin en el ltimo siglo. Lo que

hace dcadas se consideraba como un sistema esttico, pas a ser entendido como un sistema

dinmico y en constante evolucin. Desde 1945 la evaluacin de la calidad del suelo ha

tenido una gran importancia en los programas de la Organizacin de las Naciones Unidas

para la Agricultura y la Alimentacin (FAO) y en las ltimas dcadas del siglo XX se ha

dado una revolucin en la forma de entender y estudiar el suelo, considerando que su calidad

y salud determina el mantenimiento de la agricultura, la calidad del medio ambiente y,

consecuentemente, la salud vegetal, animal y humana [77].

As, en 1976 la PAO publicaba el resultado de un proyecto conjunto denominado

Framework for Land Evaluation

[60], a partir del cual se realizaron numerosos trabajos

para su aplicacin en forestacin, agricultura de secano, de regado, y pastoreo extensivo

[61,

62, 63, 64]. Durante estos aos, conceptos, principios y definiciones de

suelo, tipos de

utilizacin, cualidades y procedimientos de evaluacin fueron desarrollndose, de forma que

el trmino calidad del suelo en el sentido de salud del suelo fue ganando peso poco a poco.


22/212

8 - Introduccin y Objetivos

Un segundo hito en la historia reciente fue el lanzamiento en 1987 de la

Evaluacin

Global de la Degradacin del Suelo

por el Programa de las Naciones Unidas para el Medio

Ambiente (PNUMA) en colaboracin con la International Society of Soil Science (ISSS)

y la FAO [150]. El concepto de desarrollo sostenible, que fue iniciado por la Bruntland

Commission [163] y posteriormente ampliado por la Agenda 21 [161] de la Conferencia de

las Naciones Unidas sobre Medio Ambiente y Desarrollo [162], ha sido una fuerza motriz en

la investigacin y el desarrollo ms reciente [111]. En 1992 J. Haberern [77] deca:

Una reciente llamada a desarrollar un ndice de salud del suelo ha sido esti

mulada por la percepcin de que la salud y el bienestar de la humanidad estn

asociados con la calidad y la salud de los suelos.

La calidad del suelo fue definida po r Larso n y Pie rce en 1991 [96] como la cap acid ad

de un suelo para funcionar, tanto dentro de las fronteras de su ecosistema (...) como con el

medio ambiente externo a ese ecosistema .

La evaluacin de la calidad del suelo y la identificacin de propied ades clave que pu eda n

servir como indicadores de su funcin presentan grandes dificultades debido a los muchos

aspectos que definen la calidad y a los mltiples factores fsicos, qumicos y biolgicos que

controlan los procesos biogeoqumicos y su variacin en el tiempo, espacio e intensidad [50].

Gra n pa rte de la discusin actua l en este tem a se encuentra centra da en las propiedades

y atributos del suelo que deben ser considerados a la hora de definir los indicadores bsicos

de su calidad [111].

En tre los atribu tos y las propiedades que m encionab an Do ran y Pa rkin en 1994 [50], se

encuentra

la distribucin del tamao de las partculas.

Las principales razones de este inters

son el elevado nmero de propiedades en las que influyen y la susceptibilidad que tienen a

ser modificadas por procesos de erosin o degradacin. Al estudio y caracterizacin de este

tipo de distribuciones mediante tcnicas matemticas de origen fractal hemos dedicado el

trabajo aqu presentado.


23/212

1 1 Distribucin del tamao de partculas

1 .1 . D is t ribucin de l ta m a o de pa r t cu la s

El estudio y caracterizacin de la distribucin del tamao de partculas en el suelo ha

sido y es un problema de gran inters tanto para edaflogos como para matemticos.

Los intereses de ambas comunidades cientficais se dan cita en la bsqueda de modelos

matemticos que ayuden a describir y caracterizar las distribuciones obtenidas empricamen-

te , as como en la simulacin de fenmenos del suelo que estn estrechamente relacionados

con la distribucin de las partcu las movim iento del agu a en el suelo, por ejemplo).

Para el estudio edafolgico de las distribuciones de partculas habitualmente se recurre

a mtodos como el anlisis textural por el mtodo de la pipeta o la separacin por columnas

de tamices de fracciones de tamaos de agregados en intervalos que pueden encontrarse entre

0,25 y 28 mm [38, 72, 88, 169]. La limitacin de estos mtodos de anlisis se centra en el

reducido nmero de fracciones de tam ao s que prop orcion an generalm ente inferior a diez).

Sin embargo, en los ltimos aos se est extendiendo el uso de aparatos basados en la

tcnica de la difraccin de lser [23, 24, 30,1 16,1 64] por su gran pote ncia hda d pa ra el estudio

de las distribuciones de partculas [167], ya que posibili ta su medicin en un ampho rango

de escalas desde centsimas de miera 0,05 /im) hast a milm etros 3500 |xm) ) obtenindose

un mayor nmero de fracciones.

Este mayor nmero de fracciones posibilita la caracterizacin de las distribuciones

obtenidas mediante la aplicacin de tcnicas matemticas de origen fractal que requieren un

elevado nmero de datos. A este fin se ha dedicado el trabajo aqu presentado.

1.2. C om plejidad y ge om etra fractal

A com ienzos del siglo XX eran conocidos ciertos conjuntos con propieda des parad jicas

que se escapaban de los conocimientos de la geometra euchdea clsica: conjunto de Cantor,

curva de Koch, curva de Peano... Estos conjuntos eran llamados

monstruos geomtricos

y

permanecieron durante muchos aos calificados como tales mientras se desarrollaban los


24/212

1 0

Introduccin y Objetivos

elementos de la

teora geomtrica de la medida

necesarios para su comprensin y estudio.

A principios de la dcada de 1980 Mandelbrot acu el trmino fractal para este t ipo

de conjuntos matemticos publicando su famoso libro

The fractal geom etry of natura [100].

En esta obra propona la modelizacin de un gran nmero de fenmenos y formas de la

naturaleza mediante el uso de ideas y conceptos de la teora geomtrica de la medida, la

cual, a partir de ese momento, comenz a denominarse

geometra fractal.

La teora de los sistemas dinmicos aport a la ciencia las nociones de comportamiento

catico

y

complejidad

durante la segunda mitad del siglo XX. Algunos de los fenmenos que

por entonces eran catalogados como aleatorios pasaron a ser considerados complejos y a ser

explicados como el resultado de la repeticin sucesiva de leyes simples y deterministas, dando

lugar al denominado caos determinista. Halsey et al. [78] intr od uje ron en 1986 el formalismo

termodinmica

con el objetivo de aplicar los m todo s de la mecnica e stadstic a al estudio

de las distribuciones complejas. As, fenmenos como los de la turbulencia en fluidos y de

los agregados por percolacin o por difusin limitada, comenzaron a ser interpretados desde

una nueva perspectiva.

Ambos campos, geometra fractal y formalismo termodinmico, interaccionaron y re-

sultaron ser complementarios en la tarea de caracterizar distribuciones complejas, dando

lugar al

anlisis multifractal

[18, 58, 59]. Es te m tod o d e anlisis comenz entonces a ser

aplicado a medidas empricas que presentaran caractersticas similares a las de las distribu-

ciones complejas.

1.3. Frac tale s en la edafologa

Algunas propiedades del suelo, como es el caso de los tamaos de las partculas, mues-

tran cierto grado de heterogeneidad y una

ausencia de escala caracterstica

en la que realizar

su estudio. Resulta entonces obligado colocar objetos de tam a o conocido cuando se quiere

tomar una fotografa del suelo para tener una referencia. Esto es debido a que se pueden en-

contrar mezcladas partculas con dimetros del orden de fracciones de miera o de milmetros,


25/212

1.3 Fractales en la edafologa . 11

de la misma manera que en los poros de un suelo hay una gran variedad de tamaos. A su

vez puede acontecer la invariabilidad respecto de la escala [156 157] fenm eno por el cua l

una caracterstica de un suelo puede presentar propiedades semejantes al cambiar la escala

en la que se realiza el estudio.

Los conjuntos y distribuciones fractales tamb in pre sen tan estas propiedades lo cual

explica que la idea de Mandelbrot tuviera una buena acogida en la comunidad cientfica

edafolgica y diera lugar a una gran cantidad de trabajos que relacionan las ciencias del suelo

y la geom etra fractal. Desde entonces la geom etra fractal ha sido utilizada pa ra explicar

los procesos de retencin y movim iento del agu a [42 139 160] estud iar la heterogeneidad y

conectivdad de la red porosa en la difusin de gases [43] caracterizar depsitos minerales

[2

35] simular la estr uctu ra y la fragmentacin del suelo [129 130] y caracterizar su variacin

espacial [66 92] entre otras muchas aplicaciones.

De la misma manera los parmetros fractales tambin han sido empleados en la des

cripcin estadstica de las distribuciones de los tamaos de partculas del suelo basndose en

el comportamiento de invarianza de escala de algunas de sus propiedades. Se han encontra

do leyes de Pareto en la distribucin del nmero acumulado de agregados mayores que un

determinado tamao o leyes potenciales en la funcin de distribucin de la masa acumulada

de partculas de tamao caracterstico inferior a un cierto valor X. Ta nto las leyes de Pa ret o

como las leyes potenciales encontradas pueden ser consideradas como escalamientos globales

representando sus exponentes una estimacin grosera de la dependencia de escala que tiene

lugar en el nm ero o m asa acumu lados respecto a la escala de m edida.

Una observacin ms minuciosa de la distribucin de masa en distintas zonas de los

intervalos de tamaos revelara la presencia de regiones con ms o menos masa. Este compor-

tamiento heterogneo est presente en la mayora de las medidas empricas de la naturaleza

exhibiendo el llamado comportamiento multifractal [101].

En el caso de las distribuciones del tam a o de las par tcula s recientemente se han

empleado tcnicas de la geometra fractal basadas en el uso de los Sistemas de Funciones

Iteradas {SFI para estudiar la naturaleza multifractal de estas distribuciones y caracteri-


26/212


zarlas [108, 109, 153]. Este mtodo ha resultado ser muy eficaz cuando el nmero de datos

de la distribucin es bajo.

Sin embargo, cuando se dispone de un mayor nmero de datos, este estudio y carac

terizacin puede ser realizado aplicando tcnicas basadas en el

anlisis multifractal

[31, 32,

75, 92, 106, 114], para lo cual se ha desarrollado el presente trabajo.

1.4. Objetivos

La caracterizacin d elasdistribuciones de tam ao s de p artculas del suelo es un p roble

ma matemtico de gran importancia. La comprobacin de la posible naturaleza multifractal

de estas distribuciones, la modelizacin y simulacin de su influencia en algunas propiedades

fsicas y fenmenos del suelo, as como la deteccin de cambios que puedan darse en las

distribuciones como consecuencia de la gestin del suelo, son importantes cuestiones edafo-

lgicas que dependen directamente del problema de la caracterizacin de las distribuciones

aqu planteado.

Por estas razones, el objetivo generaldel presente trab ajo es la exploracin y valoracin

de la aplicacin de tcnicas de anlisis multifractal a datos de distribuciones de tamao s de

partculas de suelo obtenidos mediante difraccin de lser

De este objetivo general derivan otros

objetivos especficos:

Com probacin de la naturaleza m ultifractal de las distribuciones de tam ao s de part

culas de suelos.

Caracterizacin de las distribuciones de tamaos de partculas mediante parmetros

mu ltifractales dimensiones de Rnyi y expo nentes de Ho lder).

De term inac in de las ventajes e inconvenientes de cad a tcnica de anlisis mu ltifractal

aplicada.


27/212

1.5 Orga nizacin del trabajo 13

1 .5 . O rga n iza c in de l t r a b a jo

El presente trabajo se ha dividido en cuatro partes: Introduccin y Fundamentos ,

Herram ientas y Desarro llo , Resultados y Conc lusiones y Anexos .

En la primera parte se desarrolla la introduccin y los conceptos fundamentales para

la comprensin del problema objeto de estudio.

El captulo 1 se ha ded icado a la presentacin gene ral del problem a interdisciplinar

objeto de estudio y su origen.

En el captulo 2 se explican aquellos conceptos del mbito de la edafologa que estn

relacionados con el problema de la caracterizacin de las distribuciones de partculas en los

suelos y con otras propiedades fsicas importantes que influyen en los procesos del suelo que

afectan principalmente a los cultivos.

El captulo 3 presenta los conceptos bsicos y elementales de la teora de la medida

y del anlisis multifractal. Se presta especial atencin a los conocimientos que soportan

tericamente el anlisis multifractal y que permiten interpretar los parmetros multifractales

obtenidos.

El captulo 4 resume de forma global la evolucin que ha seguido el estudio y caracte-

rizacin de la distribucin del tamao de partculas. Adems se han seleccionado los trabajos

ms representativos que han aparecido en la lnea de investigacin del presente trabajo y que

pueden ayudar a entender su origen y/o metodologa. Se ha intentado realizar la presentacin

de estos trabajos siendo fiel a lo expuesto por los autores de los mismos.

La segunda parte, Herramientas y Desarrollo , incluye el captulo 5 que est dedica-

do a describir los materiales y mtodos de anlisis utilizados a lo largo del trabajo. En este

captulo se describen las caractersticas de las muestras de suelo analizadas y las tcnicas em-

plead as en su caracterizacin difraccin de lser en los mo dos

Seco y Hmedo,

y las tcnicas

de anlisis multifractal: mtodos Clsico, Intervalo Fijo e Intervalo Variable). Tambin se

presenta en la seccin 5.3.1 la metodologa de construccin de la medida desarrollada para

aplicar las tcnicas de anlisis multifractal en escala lognormal que son objeto de estudio.


28/212


La tercera parte del trabajo,

Resultados y Conclusiones ,

incluye la descripcin y

discusin en el captulo 6 de los resultados obtenidos al aplicar las tcnicas multifractales

a las distribuciones de partculas. Al final del captulo, en la seccin 6.4, se presta especial

atencin a dos casos particulares de suelos. Finalmente, en el captulo 7 se presentan las

conclusiones finales derivadas del trabajo.

Debido al elevado nmero de muestras estudiadas y las distintas tcnicas de anlisis

em pleadas dos m odos de anlisis de difraccin de lser y tres tcnicas de anlisis m ultifrac-

ta l ) ,

los resultados numricos obtenidos se han recogido en una cuarta parte denominada

.

Anexos

incluida en el CD-Rom que se adjunta. sta se encuentra dividida a su vez en

cua tro cap tulos que recogen los resu ltados del anlisis po r difraccin de lser Anexo A)

y del anlisis multifractal por los mtodos Clsico Anexo B) , Intervalo Fijo Anexo C) e

Intervalo Variable Anexo D ).


29/212

Captulo 2

Conceptos Bsicos de Edafologa

No hay nada en toda lan tur lez que sea

ms importante omerezc ms atencinqueel suelo.

Verdaderamente es elsueloel que a limenta yprovee

a toda la naturaleza toda la cre cin depende del suelo

que es el cimiento definitivo de nuestra existencia.

Friedrich A. Falon

^

En el presente captulo vamos a desarrollar algunos de los aspectos relacionados con

la edafologa .que consideramos necesarios para comprender la naturaleza de este trabajo.

Hemos atendido especialmente a los aspectos relacionados con la denominada fsica del suelo

y, en concreto, con la distribucin del tamao de partculas, con una presentacin global de

las caractersticas ms importantes. Al hacerlo nos hemos sentido reflejados en las palabras

de Dexter [48]:

No resulta fcil definir exactamente qu son las propiedades fsicas en con-

traste con las propiedades qumicas o biolgicas. No hay una frontera clara entre

estas diferentes disciplinas. Las fronteras imp uestas resu ltan a menudo artificiales

^ Texto publicado en 1862


30/212

1 6 - Conceptos sicos de Edafologa

y son, en el mejor de los casos, una conveniencia adminis t rat iva. Estas d i ferentes

discip l inas no pueden ser coninmente ident i f icadas en el mundo real s lo con

con jun tos d i scre tos de f enmenos o p rob lem as . To do lo que po de m os dec i r es que

la f sica del suelo viene a ser lo que hacen los f sicos cuando estudian el suelo, la

qumica del suelo v iene a ser lo que hacen los qumicos cuando estudian el suelo ,

y la b io loga del suelo v iene a ser lo que hacen los b ilogos cuando estudian el

sue lo . Los f enmenos y p rob lem as de los sue los r ea l es r equ ieren no rma lme n te m s

d e u n o d e e s o s co m p o n en t e s p a r a s u e s t u d i o ad ecu ad o .

A lo l a rgo de l p resen te cap tu lo , expondremos los concep tos t e r i cos r e l ac ionados con

algunas de l as p rop iedades que resu l t an de mayor i n t e rs por l a i n f luencia que t i enen en e l

co m p o r t am i en t o d e u n s u e l o . Es t a s p r o p i ed ad es s o n la d i s tr i b u c i n d e l t am a o d e p a r t cu l a s ,

las relaciones masa-volumen, la superf icie espec f ica y la es t ructura.

Tambin ded icaremos par t e de l cap tu lo a l a f ase l qu ida y gaseosa , cons iderando l a

impor t anc i a que t i enen en l a func in de l sue lo como sopor t e de l a v ida vegeta l , y a l p roceso

de la erosin.

2 . 1 .

E l suelo

El t r m i n o suelo se ref iere a la capa externa de la superf icie ter rest re que es t ransfor

mada por el cl ima y los procesos f s icos , qumicos y b iolgicos que en el la ocurren [81] . La

des in t eg rac in y descompos ic in de l a roca madre med ian te p rocesos f s i cos y qu micos dan

lugar a la fase in icial del suelo , que poster iormente evoluciona en mayor o menor medida

inf lu ido por la act iv idad micro y macroscpica que en l se d. Se t rata , por tanto , de un

proceso abierto y dinmico^ co ns tan tem en te inf lu ido po r los factore s cl imt icos y b iolgicos

que se dan a sus a l r ededor y en permanen te evo luc in y cambio .

S am pa t Ga va nde [71] lo def in a as en 1972:

Considerando el suelo desde el punto de v is ta f s ico , se puede def in i r como un

s i s t ema de g ran comple j idad , he t e rogneo , d i sper so y t r i f s i co ( s l ido , l qu ido y


31/212

2.1 El suelo 1 7

gaseoso) . E l s i s t ema sue lo a s de fin ido m ues t ra , como ca ra c te r s t i ca fundam enta l ,

un d inamismo in tens ivo , de te rminado por los e fec tos que provocan agen tes t a l e s

como la t em pe ra tur a , l a luz , l a p res in to t a l , e l agu a , los so lu tos y los o rgan i sm os .

Unos aos ms tarde , en 1999, Kel t ing e t a l . [87] se refer an a l suelo en los s iguientes

t r m i n o s :

El suelo es un complejo cuerpo vivo de mi l lares de procesos qumicos, f s icos

y b io lg icos in t e rac tuando y que e s t n en cons tan te cambio , he te rogneo en su

na tura leza , y a menudo escur r id izo en su medic in .

Dinamismo y com plejidad

fue ron prob able me nte los t rm ino s m s repe t idos a l hab la r

sob re e l suelo y su ca l idad en e l s im pos ium Defining Soi l Q ua l i ty for a Sus ta ina ble E nvi-

ro nm en t org aniz ado po r la Soil Science Socie ty of Am eric a en 1992. D ora n y Pa rk in [50]

a f i rmaban:

( . . . ) una conferencia internacional sobre la evaluacin y control de la ca l idad

del suelo consta t que def ini r y evaluar la ca l idad y sa lud del suelo es compl icado

por la necesidad de considerar las ml t iples funciones del suelo e integrar los

at ri b ut o s fsicos, qum icos y biolgicos del suelo que definen su funcin [121, 141].

( . . . ) El suelo es un cuerpo dinmico, vivo, na tura l , que juega muchos roles en los

ecos i s t emas t e r re s t re s . Los componentes de l sue lo inc luyen ma te r i a l e s mine ra le s

inorgn icos (pa r t cu las de a rena , l imo y a rc i l l a ) , ma te r i a o rgn ica , agua , gases , y

organismos vivos ta les como lornbrices de t ie rra , insectos, bacter ias , hongos, a lgas

y nem ato do s . H ay un cont inuo in te rcam bio de mo lcu las e iones en t re l a s fa ses

sl ida , l quida y gaseosa que estn media t izadas por procesos f s icos, qumicos y

biolgicos.

Muchos autores y asociac iones dedicados a l estudio del suelo coinciden en af i rmar que

el suelo es un medio ms complejo que el aire o el agua, l legando incluso a definirlo como el

sis tema ms complejo conocido por la c iencia [111].


32/212

18 -

Concep tos Bsicos de Edafologa

2 1 1 Edafognes i s de un sue lo

El suelo est formado por capas de distinta profundidad que son denominadas ha-

bitualmente

horizontes

y el conjunto de horizontes estudiados en profundidad se denomina

p rfil

La capa superficial, horizonte A, es la zona de mayor actividad biolgica, generalmente

se encuentra enriquecida con materia orgnica y es de color ms oscuro que los horizontes

in fe r iores . Se en t i ende por hor izonte B aque l formado por mate r i a les migra tor ios de capas

super iores que se han acumulado en una zona in te rmedia de l pe r f i l . Por l t imo, cuando e l

sue lo es e l resu l t ado de l a degradac in y t rans formac in de l a roca madre , e l hor izonte C

es t formado p or m ate r i a l p roveniente de es ta f ragme ntac in . En o t ros casos e l hor izon te C

puede es tar formado por sedimentos de or igen aluvial , el ico o glacia l .

El proceso t pico de formiacin de un suelo edafognesis) po dr a resum irse de l a s i

gu i e n t e ma ne ra :

Comienza con la degradacin fsica de la roca madre, formando as el material de

procedencia del suelo.

Una progres iva acumulacin de res tos orgnicos en la superf ic ie conduce a l desarrol lo

de un hor izonte A, en e l que l a mate r i a orgnica puede cementa r en mayor o menor

g ra do .

La transformacin qumica de los restos orgnicos acumulados por hidratacin, oxi

dacin, reduccin...), su disolucin y reprecipitacin puede dar lugar a la formacin de

arcillas.

Par te d l as pa r t cu las de a rc i l l a formadas pueden migra r jun to a o t ras pa r t cu las

t ranspor tab les , por e jemplo sa les so lubles , hac ia reg iones ms profundas y acumularse

en una zo na in te rme dia , ho r izonte B , s i tu ad a en t re e l hor izo nte A y el m s profundo

hor izonte C formado por mate r i a l de l a roca madre .

M edia nte proce sos de es te t ipo , e l pe rf il en conju nto c om ienza a profundiza r a l t ra ns

formarse gradua lmente l a pa r t e super ior de l hor izonte C , has ta que con e l t i empo se


33/212

2.1 El suelo

^ 19

da u n esta do casi estable en el que los procesos de forma cin y los procesos de erosin

del suelo se encuentran prcticamente en equilibrio estacionario.

2.1.2. El suelo: un siste m a disp erso y polifsico

El suelo es un medio heterogneo polifsico disperso y poroso. Se encue ntra consti-

tui do po r tres fases de na tur ale za d isti nta : la fase slida la fase lquida y la fase gaseosa.

Fase slida: constituye la llamada

m atriz del suelo.

Incluye las partculas del suelo

que varan en su composicin qumica y mineralgica as como en su tam ao forma

y orientacin. Tambin incluye materiales orgnicos que se encuentran unidos a las

partculas minerales y que a su vez pueden provocar que las partculas se unan entre

s.

Fase lquida: es el agua del suelo y siempre tien e sustan cias disueltas en l. Llena parcial

o totalmente el espacio libre que hay entre las partculas slidas y se mueve con mayor

o menor libertad en el suelo.

Fase gaseosa: es la llam ada atmsfera del suelo. Com parte con la fase lquida los huecos

que hay entre las partculas slidas del suelo.

La organizacin de la fase slida del suelo determina las caractersticas geomtricas

del espacio poroso en el que se retienen y se mueven el agua y el aire. Estas caractersticas

influyen a su vez en las prop iedad es fsicas qum icas y biolgicas del suelo. Es necesario por

tan to cara cteriza r la organizacin de la fase slida esto es de las par tcu las que constituyen

la matriz del suelo.


34/212

20 Conceptos sicos de Edafologa

2 .2 . P r o p ie da d es fs icas de l s ue lo

En opinin de Dexter y Young [49]:

La fsica del suelo tiene que ver con el estado energtico de las diferentes

fases (slida, lquida y gaseosa) del sistem a del suelo y busca cuantificar los flujos

de estas fases que son producidas por gradientes de energa. El estudio del estado

energtico y el flujo del agua en relacin con la heterogeneidad espacial de las

diferentes fases es crucial en la fsica del suelo. No rm alm ente el trm ino est ru ctu ra

del suelo es empleado para hacer referencia a esta heterogeneidad. Sin embargo,

la fsica del suelo tiene que ver con much o m s qu e con el agua. Los flujos de calor

y gas a travs de la superficie del suelo y dentro del suelo tambin son tenidos en

cuenta. La mecnica es la rama ms antigua de la fsica y en el caso de la mecnica

del suelo tiene que ver con cmo cambia de tamao, forma y heterogeneidad el

sistema del suelo en respuesta a diferentes potenciales mec nicos imp uestos.

La composicin mineral y el tamao de las partculas de la fraccin slida de un suelo

son dos caractersticas que influyen de forma decisiva en su comportamiento en cuestiones

como su interaccin con fluidos y solutos, compresibilidad, resistencia y rgimen trmico.

En general, es posible separar las partculas en grupos segn sus tamaos y caracte-

rizarlo en base a las proporciones relativas de dichos grupos, que pueden diferir tanto en la

composicin mineral como en el tamao de las partculas.

2 .2 . 1 . Granu lometr a

La clasiflcacin de las partculas del suelo en funcin de su tamao (dimetro) parte

de la condicin de considerar que las partculas son esfricas, reduccin en la que se basan los

mtodos empleados en granulometra (separacin por tamices, mtodo de la pipeta, mtodo

de Bouyucos, etc.) y que en realidad resulta ser incorrecta en la mayora de los casos. As,

resulta necesario definir elvolumen equiv lenteo dimetro p rentede las partcu las mayores


35/212

2 2 Propiedades fsicas del suelo

2 1

DENOMINACIN

Elementos gruesos:

- Bloques

- Cantos

- Grava gruesa

- Grava media

- Gravilla

Tierra fina:

DIMETRO APARENTE

>25 cm

6 a 25 cm

2 a 6 cm

0,6 a 2 cm

0,2 a 0,6 cm


36/212

2 2 -

Conceptos sicos de Edafologa

cul iares :

Arena : Segn sea cons iderada una u o t r a c l as i f i cac in , e l i n t e rva lo de t amaos de l as

are na s es 50-2000 yum USD A) o 20-2000 yum ISSS ) . E st a fraccin es f re cuen tem ente

d i v i d i d a e n s u b fr a c ci o n es d e n o m i n a d a s : A r e n a m u y g r u e s a , A r e n a g r u e s a , A r e n a m e d i a ,

A ren a fina y Ar en a muy f ina. Los g rano s de a re na no rm alm en te son de cuarzo , aun que

t am bi n pue den se r de f e ldespa to , mica y, ocas iona lm en te , o t ro s minera l es pesa dos .

En l a mayor a de l o s casos , l o s g ranos de a rena t i enen d imens iones cas i un i fo rmes y

se ap rox iman en g ran med ida a l a fo rm.a es f r i ca . Pueden p resen t a r ca ras co r t an t es y

e l evada du reza , l o cua l exp l i ca su ab ras iv idad .

Limo : E l i n t e rva lo de t am a os co r respon d ien t e a es t a fr acc in es 2 -50 / im USD A) o 2 -

20 yum ISSS) . Los g ran os de l imo se pare cen ba s t a n t e a lo s g rano s de a ren a minera lg i ca

y f s icam en te . Su m enor t am a o y l a cons igu i en t e mayor superf i ci e po r un id ad de

m asa) y e l hecho de que f r ecuen tem en te es t n r ecu b ie r to s de par t c u l as de a rc il la , ha cen

que en c i e r t a me d id a se co m po r t en con cara c t e r s t i cas f is icoqumicas parec idas a las de

l as a rc il l as . Un p redom in io de par t c u l as de l imo en un sue lo le da c i e r t as ca rac t e r s t i cas

des favorab l es i nes t ab i l i dad es t ru c tu ra l , ape lm aza m ien to , f ac i li dad pa ra fo rmar cos t r a

super f i c i a l , acumulac in de agua , e t c . ) ya que no f avorecen l a fo rmacin de par t cu l as

sec und ar i as ag rega dos) . Po r o t ro l ado , su peq ue o t a m a o pue de f avorecer l a oc lus in

de l o s po ros de l a mat r i z de l sue lo , r educ i endo su permeab i l i dad y aerac in .

Arc i l l a : Es t a f r acc in co r responde a l as par t cu l as minera l es cuyo d i met ro aparen t e

es i n fe rio r a 2 yum USD A e ISSS) . Es t a s par t cu l a s p rese n t a n gene ra lm en te fo rma de

l m ina o de agu ja y sue l en per t enec er a l g rup o de lo s a lum inos i l i ca tos . Son m inera l es se

cundar ios formados en el propio proceso de evolucin del suelo a par t i r de los minerales

p r imar ios de l a roca madre . S in embargo , en a lgunos casos l a f r acc in de a rc i l l a puede

inc lu i r par t cu l as de o t ros minera l es , t a l es como x idos de h i e r ro o carbona to ca l c i co .

Las arci l las t i enen superf ic ie espec f ica y carga elct r ica superf ic ial e levadas , lo cual se

t r a du ce en u na ac t i v ida d fis icoqumica e l evada de g ra n im pa c to en e l com por t am ien to


37/212

2 2 Propiedades fsicas del suelo 2 3

del sue lo . Las a rc i l las re t ienen en su est ruc tura gran cant idad de agua , inf luyendo en

los procesos de hidra tac in y deshidra tac in de l sue lo con los consiguientes cambios de

vo lumen de l sue lo . Adems , sue l en t ene r ca rga nega t iva y cuando se h id ra t an fo rman

una doble capa e lec t rost t ica con iones in tercambiables en la soluc in de l sue lo .

2.2.3.

Caracterizacin del ta m a o de las partc ulas

La ca rac t e r i zac in de l t amao de l a s pa r t cu l a s de un sue lo puede rea l i za r se de dos

formas: mediante la c las i f icac in textura l de l sue lo o a t ravs de las curvas de la d is t r ibucin

de l t amao de l a s pa r t cu l a s .

T e x t u r a

E l t r m i n o textura hace referencia a l in te rva lo de ta m a os de par t c ula s de un sue lo , es

dec i r , lo ca li fica en funcin de la pro por c in de par t cu las gr and es, m ed ian as o peq ue as que

pueda t ene r . Es una ca rac t e r s t i ca na tu ra l y pe rmanen te y , por e l l o , una de l a s ms u t i l i zadas

para carac ter izar sus propiedades f s icas . A par t i r de la composic in granulomtr ica de los

suelos , se in tent agrupar los sue los con propiedades f s icas y comportamiento hidrul ico

pa rec idos en un nmero reduc ido de c l a se s t ex tu ra l e s .

Las d i s t i n t a s c l a ses t ex tu r a l e s c reada s han s ido repre se n tad as en los l l amado s tringulos

o diagramas texturales que corre spo nde n a las d i ferentes clas if icac iones gra nulo m tr icas . En

el t r ingulo textura l de la c las i f icac in USDA podemos ident i f icar doce c lases textura les , ta l

y como puede observarse en la figura 2.L El nombre de cada clase pretende expresar qu

fraccin granulomtrica es la ms influyente en el comportamiento que caracterice al suelo

clasificado. Dentro del nombre de una clase tex tural aparecer el trmino

arcilloso

cuando el

suelo presente un mnimo de2 de arcilla, el trmino limosocuando ste tenga al menos

un 40 de limo, y

arenoso

cuando el porcentaje de la fraccin arena alcance o supere el

44 . El trmino franco hace referencia a un 'equilibrio' en las proporciones, que aporta la

mayor parte de las cualidades de los tres tipos anteriores sin presentar sus defectos. Esta


38/212

4


Figura

2 .1 :

Tringulo de texturas segn la clasificacin USDA

tex tur a corresponde al estado ptim o pa ra el cultivo agrcola: 20-25 de arcilla, 30-35 de

limo y 40-50 de arena.

urvas de d i s tr ibuc in de l tamao de par t cu las

Cualquier intento de clasificar un suelo dividiendo el intervalo de tamaos de partculas

en fracciones para posteriormente agruparlos en clases es doblemente artificial. Aunque esta

prctica est ampliamente extendida, la disparidad de clasificaciones y su artificialidad im

piden que cubra las expectativas volcadas sobre la clasificacin de texturas. Por ello, parece

ms adecuado medir y presentar la distribucin del tamao de partculas mediante las de

nominadas

curvas de la distribucin del tama o de partculas

las cuales son frecuentemente

utilizadas en el mbito de la ingeniera del suelo [81].

En el eje de ordenadas se representa el porcentaje de partculas del suelo cuyo dimetro

(aparente) es inferior al dimetro representado en abolsas. El eje de abcisas sigue una escala

logartmica para poder abarcar varios rdenes de magnitud del tamao de partculas dando

el suficiente espacio para representar la zona de las partculas ms pequeas. De esta forma

se repre senta u na distribucin acum ulada (vase la figura 5.4). Tambin po dra represe ntarse


39/212

2.2 Propiedades fsicas del suelo . 25

grficamente mediante un histograma de frecuencias para el tamao de partculas, en el que

el pico de la curva muestra el tamao de partcula ms relevante.

La informacin que se puede obtener con estas representaciones acumuladas de la

distribucin del tamao de partculas incluye, entre otras cuestiones, el dimetro de la mayor

par tcula en la coleccin de partcu las, o el pa tr n de clases, es decir, se puede ver si un suelo

est compuesto de distintos grupos de partculas, cada uno de un tamao uniforme, o si se

trata de una distribucin de tamaos ms o menos uniforme y continua.

Un suelo con predominio de un a o varias clases de tama os , pr esenta r u na curva tipo

escalera con unos pocos escalones correspondientes a las cleises ms predominantes. Estos

suelos sern denominados

pobremente distribuidos.

Los suelos que presenten curvas suaves

sin grandes desniveles visibles sern denominados bien distribuidos.

2 . 2 .4 . R e l a c i o n e s m a s a v o l u m e n

Las relaciones entre las tres fases del suelo dan lugar a una serie de relaciones masa-

volumen empleadas habitualmente para caracterizar su estado fsico.

Volumen slido: K {rv?)-Es la suma del volumen de los com ponen tes inorgnicos,

Vi,

y del volumen de los componentes orgnicos, K, que forman la matriz del suelo.

V, = Vi + K (2.1)

Masa slida:

Mg {kg).

Es la suma de la masa de los componentes inorgnicos,

Mi,

y

de la masa de los componentes orgnicos,

MQ ,

que forman la matriz del suelo.

Ms=^Mi + Mo (2.2)

Volumen de huecos:Vy m^). Es la suma del volumen ocupado por la fase lquida, Vw,

y

del volumen ocupado por la fase gaseosa,

Va,

del suelo.

V, = V^ + a (2.3)

Volumen total: Vt (m^). Es la suma del volumen slido y del volumen de huecos.

Vt = s+

^

(2.4)


40/212

2 6 - Conceptos Bsicos de Edafologa

nd ice de poros :e

{m^/m^).

Es lar e l ac in en t re elv o l u m e n dehuecosy el v o l u m e n

sl ido.

a= | 2.5)

Densidad rea l :

Ps {kg/w?).

Es la den sida d de la fase sl ida o den sida d de las pa r t c ula s .

Ps- TT 2-6)

E nunh o r i z o n t e d a d opsp u e d e c o n s id e r a r se p r c t i c a m e n t e c o n s t a n t e en elt i em p o ,yaque

depende de l a composic in mine ra lg ica de l a s pa r t cu lasye s inde pen dien te de l a e s t ruc tura .

Va r a en t re 2 6

y

2 7

y

en ge nera l se ut i l iza e l va lor m edio 2 65 .

D e n s i d a d a p a r e n t e :

pa kg/m^).

Es lar e l ac indem a sa s l id a p o r v o l u m e n t o t a l .Se

puede d i s t ingui r en t re dens idad apa ren te en seco :

Pa==^ 2.7)

y d e n s i d a d a p a r e n t e e n h m e d o :

Ms

+

^

w=

y^

2.8)

In form a sobre e l g ra do de com pac ta c in de un hor i zon teye s t d i re c tam ente re l ac ionado con

la e s t ruc tura . Toma va lores en t re1 y 2.

Volumen espec f ico: Ve m^/kg). E s

el

vo lum en to ta l po r un id ad de ma sa s l ida .

= 2.9)

P o r o s i d a d :

t m^/m^).

E slar e l ac in en t re e l vo lu me n de huecosye l vo lum en to ta l .

Vy Vy e

^ VrKTVs TT e

(2.10)

2.2.5.

Superficie especfica

Se define la supe rficie especfica com o lar e l ac in en t r e el re a superf ic ia l qu e t iene

u n a p a r t c u l ay sum a s a {rn^/g). La i m p o r t a n c i a de lasuperf ic ie especf ica est b as ad aen

l a cor re l ac in que presen ta con impor tan tes fenmenos de l sue lo , t a l e s como eli n t e r c a m b i o


41/212

2.2 Propiedades fsicas del suelo 2 7

ca t in ico , l a re t enc in y l ibe rac in de produc tos qu micos (nu t r i en tes o con taminantes) ,

la hidra tac in y re tencin del agua, y c ier tas propiedades f s icas como la plast ic idad o la

cohesin.

La superf ic ie espec f ica depende pr incipalmente del tamao de la par t cula y de su

forma. Las par t culas que se aproximan a un cubo o a una esfera t ienen menor superf ic ie

espec f ica que las a largadas o aplanadas. As , las par t culas de arc i l la , adems de tener

mucha super f i c i e e spec f i ca por su pequeo t amao , se ca rac te r i zan por su fo rma ap lanada .

Mien t ras que l a a rena presen ta va lores normalmente in fe r io res a 1 m?/g, la arc i l la pu ede

alcanzar valores del orden de centenas.

2 . 2 . 6 . E s t r u c t u r a y a g r e g a c i n

L a agregacin del suelo es e l proceso por e l cual las par t culas pr imarias se unen for

m a n d o p a r t c u l a s s e c u n d a r i a s {agregados , no rm alm ente med ian te fue rzas na tu ra le s y sus

t anc ias p rocedentes de exhudados de ra ces y de l a ac t iv idad mic rob iana [151]. Por ot ro lado,

la fragmentacin del suelo es e l proceso opu esto , en e l cua l las pa r t cu las secu nd arias son

de st ru ida s en fragmentos o piezas. As, los f ragm entos del suelo son def inidos po r Ars ha d e t

a l.

[6] como e l re su l t ado de l a rup tura de una masa de sue lo a t ravs de p lanos na tura le s

de fragi l idad. En la prct ica e l t rmino agregado es comnmente u t i l i zado pa ra desc r ib i r

l a s un idades e s t ruc tura le s que resultan de la fragmentacin de la matriz del suelo mediante

esfuerzo mecnico,

tan to en e l l abo ra tor io como en e l cam po .

E l t r m i n o estructura apa rece genera lme nte a soc iado a l a d i s t r ibuc i n de l as pa r t cu las

pr inaa r i a s y secundar i a s cuando se t ra t a de ca rac te r i za r l a ma t r i z de un sue lo . Es s t e un

aspec to de gran impor tanc ia en cua lqu ie r sue lo de cu l t ivo , como a f i rmaba Yoder en 1937

[168]:

Cualquiera que est concienciado con la conservacin del suelo y a l mismo

t iempo famil iar izado con la est recha re lac in ent re la labranza y la a l ta ero-

s ionabi l idad , e s t p repa rado pa ra comprender que l a pos ib i l idad de me jora r su


42/212

28 Conceptos Bsicos de Edafologa

estructura debera ser investigada en toda su extensin.

Pero tambin resulta difcil de definir ya que, en realidad, el trmino no es del todo

objetivo, expresando ms un concepto cualitativo que cuantitativo. As, podemos encontrar

definiciones de la estructura de un suelo como la de Hillel [81]:

la disposicin y organiza-

cin de las partculas primarias y secundarias) del suelo;

o la de Dexter y Young [49]:

la

heterogeneidad e spacial de sus distintas fases.

Adems, la estructura del suelo es variable en el tiempo y en el espacio, resultado de su

gran sensibilidad a los factores climticos y biolgicos o a los sistemas de produ ccin agrcola.

De hecho no hay una manera de medir la estructura de un suelo aceptada umversalmente,

lo cual supone una dificultad en la tarea de caracterizar la matriz slida de un suelo.

Aunque la caracterizacin de la estructura podra realizarse a travs del anlisis de

imgenes, la obtencin de las distribuciones de agregados por fragmentacin en laboratorio

resulta ms fcil de conseguir. Adems hay una correlacin positiva entre los tamaos de los

agregados obtenidos por anlisis de imgenes y los obtenidos por procesos de fragmentacin

del suelo [8, 143].

Por estas razones las distribuciones de agregados obtenidas mediante la fragnaentacin

de un suelo sometido a fuerzas mecnicas son a menudo estudiad as p ara caracterizar indirec

tamente su estructura. Para una revisin completa y detallada sobre la estructura del suelo

y la distribucin de agregados vase el trabajo de Daz-Zorita et al. [45].

i s t r ibuc in de l tamao de agregados

Describamos arriba la influencia que la distribucin del tamao de agregados tiene

sobre un elevado nmero de factores de inters agronmico.

Sin embargo, el estudio de la distribucin del tamao de agregados presenta una di

ficultad importante que debe ser tenida en cuenta a la hora de disear un experimento: la

separacin y clasificacin de los agregados por tamaos conlleva necesariamente la ruptura

y destruccin de la estructura original por medios artificiales ms o menos agresivos. Los


43/212

2.3 El agua del suelo

29

elementos a tener en cuenta, entre otros, sern por tanto la escala en la que se quiere medir

los agregados y los medios mecnicos empleados para romper y separar los agregados.

En 1962 Chepil [38] present un aparato diseado para la separacin de agregados

secos que consista en catorce tamices anidados de diferente luz de malla. Unos aos ms

tarde, en 1965, Kemper y Chepil [88] publicaban una revisin de los mtodos de separacin

y clasificacin de agregados. En la actualidad la separacin de fracciones de agregados por

tamaos se realiza siguiendo el mtodo diseado por Chepil.

2.3.

El agu a del suelo

La gran importancia del agua en el suelo est relacionada con dos fenmenos: (i)

interviene en la nutricin de las plantas como soporte y vehculo de los nutrientes que stas

necesitan y (ii) es uno de los principales factores que intervienen en la formacin de un suelo.

El agua del suelo puede proceder de una precipitacin o de una capa de agua sub-

terrnea. Considerando que la precipitacin es la principal fuente de agua para un suelo, nos

centraremos en los movimientos y tipos de agua que se pueden encontrar a partir de ella.

A gua d e escorren ta: se identifica a s al agu a que corre superficialmente o en el interior

de los horizontes superficiales en direccin paralela a la superficie. La escorrenta sola-

me nte afecta a las superficies en pendiente som etidas a lluvias violentas. La escorrenta

hipod rm ica (en el interior de los horizo ntes superio res) es la caus a princ ipal del

empobrecimiento debido al arrastre lateral de las partculas ms finas.

Agua gravitacional: se infiltra en el interior de los horizontes gracias a la fuerza de

gravedad a travs de los poros gruesos (>10

im

siguiendo, generalmente, trayectorias

verticales. Se divide en dos:

De flujo rpido:

circula por los poros ms grandes (>50

jL-rn

durante la primeras

horas posteriores a la precipitacin.


44/212

30


De flujo lento: desciende lentam ente p or los poros de dim etro e ntre 10 y 50 im^

llegando a durar el proceso incluso varias semanas.

Si el suelo es perm eable, el agu a gravitacion al alim enta el drena je profundo.

Ag ua r etenid a: es reten ida por el suelo dura nte el proceso de infiltracin de las lluvias,

ocupando los poros medios y finos (


45/212

2.S El agua del suelo 31

El potencial total es la suma de distintos potenciales:

^ = V m + ^g + P+

VTT

+ V f (2-11)

donde ipmes el potencial m atricial (tambin denom inado capilar), ijj es el gravitatorio, -0^

es el de presin,

ij ^

es el osmtico y

I I Q

es el potencial de presin-env oltura.

2.3.2. El potenc ial capilar y las curvas cara cterstica s de hum edad

El potencial capilar describe la fuerza de succin del suelo para el agua y se expresa

en atmsferas o en centmetros de agua. El suelo retiene el agua con energa variable: en el

caso del agua capilar absorbible lo hace con menos fuerza que en el caso del agua capilar no

absorbible. Esta fuerza de retencin depende de la cantidad de agua retenida (cuanto menor

es la cantidad de agua que hay en un suelo, mayor es la fuerza de succin ejercida) y de

la superficie d e Icis pa rtcu las slidas ( au m en ta con la superficie especfica). Por o tro lado,

la fuerza de retencin del suelo y la facilidad relativa de remocin del agua en la zona de

crecimiento de las plantas, estn en relacin con la granulometra y la distribucin de los

agregados finos llamada microestructura [71],

El potencial capilar puede variar mucho en funcin de la granulometra del suelo con

siderado. Para evitar los inconvenientes que esto puede representar, se expresa por medio del

pF :

el logaritmo del potencial capilar. Las curvas caractersticas de humedad son la represen

tacin del pF frente a la humedad del suelo, partiendo del estado de saturacin para llegar a

valores reducidos de humedad mediante desecacin. El proceso contrario (humectacin) dar

lugar a una curva distinta por el fenmeno de histresis. La influencia de la microestructura

se manifiesta en la forma de las curvas de retencin de humedad. La estructura ms desea

ble es aquella en la que disminuciones iguales del potencial (aumento de succin) liberan

cantidades casi iguales de agua [71].

La zona de la curva correspondiente a pF altos es interesante en relacin a las pro

piedades de drenaje del suelo. Por ello ha sido objeto de estudio en modelos diseados para

predecir estas curvas a partir de la distribucin del tamao de partculas [7].


46/212

32 - Concep tos Bsicos de Edafologa

2.3.3 . Valores carac ter s t i cos

Hay dos valores que resultan de especial inters al considerar el contenido de agua de

un suelo:

La capacidad de cam po c): es la m xim a cantidad de agua retenida por el suelo ca

pilar ms ligada). Se mide en el campo, tres das despus de las lluvias y con el suelo

protegido contra la evaporacin.

El pun to de m arch itam iento /) : es el valor lmite del ag ua ligada, es decir, el agua que

no es absorbible por las plantas.

La diferencia entre los dos valores c /) es la den om inad a agua til que es la cantidad

de agua almacenada por el suelo despus de un periodo de lluvias. El agua til es baja para

las arenas, mayor en las arcillas y mxima para los limos.

2 . 3 . 4 . P e r m e a b i l i d a d

La permeabilidad [k ] de un suelo se define como la velocidad de infiltracin del agua

de gravitacin, expresada en cm/hora. Est relacionada con los movimientos descendentes

del agua de gravitacin que se infiltra despus de las lluvias.

La permeabilidad depende, por orden de importancia, de la estructura y de la granulo-

metra, ya que stas condicionan la porosidad no capilar, es decir, la distribucin de los poros

gruesos por los que circula el agua gravitacional. Para que un suelo escurra rpidamente y,

por lo ta nto , est bien aireado, es necesario que la porosidad no capilar sobrepase el

10

del

volumen global.

2 .4 . L a a tm s fe r a de l sue lo

Los gases que forman la atmsfera del suelo pueden encontrarse como gas libre o como

gas disuelto. Entre los gases que pueden componerla, los ms importantes desde el punto


47/212

2 4 La atmsfera del suelo

3 3

de vista agronmieo son: el oxgeno, que influye en la respiracin de las plantas y de los

microorganismos aerobios, y el dixido de carbono, producto de la actividad respiratoria y

necesario para que los organismos auttrofos realicen sus sntesis orgnicas.

Cuando la estructura del suelo es favorable y ste presenta una fuerte porosidad,

la dinmica de intercambio de gases entre los gases libres y los gases disueltos se da con

normalidad. En caso contrario, la respiracin de las plantas y de los microorganismos puede

verse afectada.

En un suelo bien aireado la atmsfera contiene un porcentaje de oxgeno ligeramente

inferior al de la atmsfera exterior (20

aproxima dam ente) y mucho ms dixido de carbono,

alrededor del doble, pudiendo llegar hasta el 1-3

en suelos con gran actividad biolgica.

En los horizontes ms profundos que no tengan buena estructura el intercambio gaseoso

se realizar de forma ms aleatoria, el contenido de oxgeno gaseoso puede descender de

forma importante y aumentar el de dixido de carbono, pudiendo llegar hasta el

5 .

En

estos horizontes, la respiracin de las races se realiza empleando otras formas de oxgeno

presentes en el suelo. Esto puede ocurrir tambin cuando el suelo se encuentra saturado, caso

en el que las plantas recurren al oxgeno disuelto, aunque para ello deben darse una serie de

condiciones, como que el agua sea fra y se renueve rpidamente.

Los poros gruesos, que son los primeros en vaciarse de agua, facilitan la circulacin

del oxgeno libre en el suelo. Los poros medios y finos contienen el agua capilar, la cual es

tambin necesaria para las plantas, dificultando la circulacin del oxgeno. La difusin de los

gases es m uy peque a cuando la porosida d llena de aire es inferior al 10 , probablem ente

porque los poros no son continuos. El tamao de los poros y las condiciones de drenaje

determinan la porosidad llena de aire, al igual que el encogimiento y el hinchamiento del

suelo. Si el suelo contiene una cantidad apreciable de agregados relativamente estables de

tam ao m oderad o, entre 1 y 5 mm de d im etro, por lo general tend r los suficientes poros

grandes para tener una aeracin adecuada, siempre que el drenaje sea bueno. Si no es as,

los poros grandes estarn llenos de agua en lugar de gases Ubres, provocando una aeracin

reducida [71].


48/212

34 - Conceptos Bsicos de Edafologa

2 . 5 .

L a de g ra da c i n y e ro s in de l s ue lo

En 1974 la FAO y el PNUMA celebraron en Roma una Consulta de Expertos sobre

Degradacin de los Suelos. A raz de ese encuentro y de las recomendaciones que en l

se realizaron, el PNUMA, la FAO y la Unesco iniciaron en 1975 el proyecto denominado

Evaluacin M und ial de la Degradac in de los Suelos - Fase I con el objetivo de crear un a

metodologa para evaluar la degradacin de los suelos y comenzar esta evaluacin en escala

global (vase las referencias [140, 65]). En ella se defina la

degradacin

de los suelos como

un proceso que rebaja la capacidad actual y potencial del suelo para producir (cuantitativa

y cualitativamente) bienes o servicios , reconocindose entre los procesos de degradacin la

erosin hdrica y la erosin clica [65].

Por erosin entendemos el proceso de desalojamiento y transporte de partculas del

suelo realizado por sus dos agentes ms importantes: el

agua y

el

viento.

Es difcil saber

cul de ellos es el agente predominante en cada lugar n particular, aunque en general la

erosin elica suele asociarse a procesos de larga duracin, mientras que la erosin hdrica

suele ir asociada a procesos rpidos. Hasta principios del siglo XX se pensaba que el agua

era el principal agente erosivo, lo cual provoc que durante mucho tienapo el estudio del

efecto del viento tuviera poca prioridad. En ese sentido, el Prairie State Forestry Project

desarrollado hacia 1935 en los EE.UU. marc un punto de inflexin en lo referente a polticas

de investigacin [21].

En 1926 Bennett [20] fue el primero en reconocer la variabilidad de las propiedades

resistentes a la erosin de los suelos, denominada una dcada despus erosionabilidad del

suelo por Cook [40]. En su estudio, Bennett nombr las propiedades del suelo que a su juicio

eran ms importantes en relacin a su erosionabilidad: textura, estructura, materia orgnica

y composicin qumica.

En 1940 Zinng [170] public la primera ecuacin propuesta para calcular la prdida

de suelo en el campo. Wischmeier y Smith presentaron en 1965 [166] la

Ecuacin Universal

de Prdida de Suelos EUP S),

conocida tam bin p or sus siglas en ingls:

USLE.

La

EUPS


49/212

2.5 La degradacin y erosin del suelo. 3 5

cuant i f ica la prdida del suelo {A , kg/m?s, a t ravs del pr od uc to de se is fac tores que re-

presentaxL: la erosividad por precipitacin pluvial (i2), la erosionabil idad del suelo {K , la

longi tud de la pendiente (L) , la inc l inacin de la pendiente (5) , los mtodos de manejo de

cosechas (C) , y los mtodos de control de la erosin (P) .

A = [ ,22A-R-K-L-S-C-P (2.12)

El fac tor de erosionabi l idad del suelo, K, es un a desc r ipc in cuan t i t a t iva de l a e ro

s ionabi l idad inhe ren te de un sue lo de te rminado . A pa r t i r de los t raba jos de Wischmeie r y

Mannering, 1969 [165] y de Wischmeier et al . (1971) la fraccin l imosa se ampli para incluir

en ella la clasificacin de las arenas muy finas y mejor el valor de prediccin tanto para

a renas como pa ra l imos . E l p roduc to de l porcen ta je de l imos y e l porcen ta je a rena - l imos de

u n suelo explic ento nce s el 85 de la variac in en los valore s de K observados en los suelos

ana l i zados .

P robablemente se t ra t e de l m todo de eva luac in ms empleado en l a ac tua l idad ,

au nq ue p resen ta a lgn pu nto db i l , como es e l hecho de no pe rm i t i r n in g n t ipo de in te racc in

no l ineal ent r e los fac tores [90]. Rec ientem ente ha s ido revisad a pa sa nd o a ser refer ida com o

E U P S R ( R U S L E ) [136].

Desde entonces, la preocupacin por encontrar ndices, indicadores, parmetros, mo

delos y propiedades asociados a la calidad y salud de un suelo no ha hecho ms que crecer.

En las referencias [3, .90, 155] puede encontrarse una ampha revisin de los mtodos de

evaluacin e ndices de erosionabilidad desarrollados durante el pasado siglo.

2 5 1 E r o s i n h d r i c a

La erosin y degradacin del suelo son procesos multifactoriales entre los cuales se en

cuentran de forma dominante la lluvia, la topografa y la cubierta vegetal, de tal manera que

su alteracin o eliminacin puede ser el desencadenante de otros procesos fsicos y qumicos

[27,

47].


50/212

3 6


Las cost ras superf ic iales son capas de menos de 2 3 mm de espesor que se caracter izan

por t ener una mayor dens idad , una p resenc i a de po ros ms pequeos y unas p rop i edades de

t ran sm isi n h idr ul ic a infer iores en 2 3 rde nes a las del suelo suby ace nte [86]. De ah que

la forma cin d e co st ra ha ya s ido se ala da co m o la pr incipa l caus a de la escorren t a [1 , 118]

y erosin de un suelo

[113].

La susceptibidad del suelo a formar costra depende de numerosas propiedades fsicas

y qumicas. Su textura, especialmente el contenido de arcilla, es uno de esos factores, de

forma que cuanto mayor es el contenido de arcilla, mayor es la cantidad de agregados que

permanecen estables durante una precipitacin [22]. As, Ben-Hur et al. [19] encontraron que

los suelos de textu ra m edia cerca de20 arcilla) eran los ms proclives a la formacin de

costra.

La es tabi l idad de los agregados t iene una funcin esencial en la capacidad de retencin

hdr ica, en la d in m ica h idrolgica , en la form acin d e cost ra s y en la erosin por salp icad ura

[26, 47 , 54 , 83 , 142, 145] . Me yer [112] af i rm aba qu e un su elo se eros iona en la m ed ida en

que l as un idades es t ruc tu ra l es , como los ag regados , sean i ncapaces de sopor t a r l as fuerzas

del impacto de las gotas de l luvia o de la corr iente superf ic ial . Si los agregados se muest ran

ines t ab l es du r an t e u n p roceso de l l uv ia o r iego par t e de lo s po ro s pued en se r t apo na do s p o r

par t cu las del suelo , favoreciendo en tonce s la esc orren t a [41 , 168] . Po r o t ro lado , la granulo -

met r a tambin inf luye en los procesos de erosin; Morgan [115] ident i f ica las f racciones de

l imo grueso 20-50

JLTJI

y are na f ina 50-100 / im) c om o las f racciones m eno s res i s tentes a los

p r o c e s o s d e d e s p r e n d i m i e n t o y t r a n s p o r t e .

2 5 2

E r o s i n e l i c a

El viento est provocado por un gradiente en la densidad del aire generado por dife

rencias en las presiones y/o temperaturas de la atmsfera. La capacidad erosiva del viento

crece exponencialmente con su velocidad, como en el caso del agua, pero no est afectada por

la fuerza de la gravedad. Sin embargo, es importante la extensin de terreno sin obstculos


51/212

2 5 La degradacin y erosin del suelo 3 7

en la que el v ien to puede i r gan and o mo me nto e inc re me nta r as su potenc ia e ros iva pues to

que

ad em s de a lcan zar suf iciente velocidad deb e llegar a ser lo que se den om ina un viento

eficiente cap az de gen erar un mo vim iento vis ible de las pa r t c ula s que se enc uen tren a nivel

del suelo. Adems de la velocidad hay dos t ipos de causas de la eros in el ica: las inherentes

a las propiedades del suelo y las asociadas a la cobertura vegetal [21 104] .

En t re l a s inherentes a la s propieda des de l sue lo se enc uen t ra l a t ex tu ra ya que l a

eros in el ica es t di r ect am en te inf luida po r e l ta m a o la forma la den s ida d y la es tab i l ida d

m ecn ica de las un ida de s es t ruc tura les de la superf ic ie del suelo. As los suelos de te xt ur a f ina

son part icularmente suscept ibles de sufr i r eros in el ica

[149].

Segn Chepil [37] la resistencia

a la eros in del viento es t re lacionada con el porcentaje de unidades es t ructurales del suelo

seco con d im et ro mayor que 0 84 m m .


52/212

3 8



53/212

Captulo 3

Conceptos Bsicos de Teora de la

Medida y Anlisis Multifractal

Cuan do las proposiciones matem ticas se refieren a la realidad no son ciertas;

cuando son ciertas no hacen referencia a la realidad.

A l b e r t E i n s t e i n

El estudio y caracterizacin de algunas distribuciones empricas puede ser realizado

a partir de los conocimientos desarrollados en las reas de la teora de la medida y de la

geometra fractal. Esta tarea requiere comprender qu es una medida y ciertos aspectos de

la teor a de la medida seccin 3.1), conocer las med idas m ultifractales y algunos de los

mo delos tericos que las gen eran secciones 3.2 y 3.3) y, finalmente, estab lecer los m tod os

que actualmente se emplean en el anlisis y caracterizacin de las medidas multifractales

secciones 3.4 y 3.5).

En el presen te cap tulo exponemos las bases tericas necesarias pa ra afrontar el anlisis

multifractal de distribuciones de partculas primarias y agregados del suelo mediante, que es

el objetivo general del trabajo. Para ms detalles sobre los conceptos expuestos consltense

las referencias [56, 58, 76].


54/212

4 0

Conceptos Bsicos de Teora de la Medida y Anlisis Multifractal

3 . 1 . E l e m e n t o s b s i c o s d e t e o r a d e l a m e d i d a

3.1.1.

M edidas y distribuciones de masa

De f i n i c i n

Una medida sobre X G ^^ es una aplicacin /j, que asigna un nmero no

negativo a cada subconjunto de X de tal forma que:

1 . M0)

= o

2. jj, es montona: si A


55/212

3.1 Elementos bsicos de teora de la medida 4 1

3.1.2.

Conjuntos y medida de Borel

Definicin

2

Sea T una familia de subconjuntos de

que verifica:

S R ^ e ^

2 Para Ek

T, con k

1,2,...,

entonces

ur=i?fce T. (3.2)

3

Si M eT entonces

SR \M

e T.

Se dice que 7 es una a-lgebra de

3?

y el par

(IR ,

J^) se llama espacio medible.

La interseccin de cualquier familia de (T-lgebras de ? es, a su vez, ot ra cr-lgebra de

3? .

La interseccin de todas las

(T- lgebras

de 3? que cont ienen a un a familia de subconjuntos

de 5 ' se llama cr-lgebra engendrada por dicha familia y adems es la mnima cr-lgebra que

la contiene.

Definicin La a-lgebra de 5R engendrada por la familia de los conjuntos abiertos se

llama a-lgebra de Borel y sus elementos son denominados conjuntos de Borel.

Definicin 4 Se dice que n es una medida de Borel en X cU ' si los subconjuntos de Borel

de X son n-medibles.

Una medida de Borel J Les denominada

regular de Borel

si cada subconjun to de

X

est

incluido en un conjunto de Borel de la misma medida.

Cuando en adelante se hable de medida significar medida regular de Borel .

Una medida

j, en X es

denominada

finita

si

iJ'{X)

< oo.

Si /i(A) < 00 para todo conjunto acotado A entonces se dice localmente finita.

Se dice que /i es una medida de probabilidad si

^{X) =

1.


56/212

4 2

Conceptos Bsico de Teora de la Medida

y

Anlisis Mu ltifractal

r opo s i c i n

Sea /i una m edida de Borel ocalmen te finita en 3 ysea B{x, e) una bola

de centrox

E y radio e definida como B{x,e) = {y

W^\|y- a:|


57/212

3.1 Elementos bsicos de teora de la medida

4 3

Co ns ider an do esta s def inic iones, se pue de dedu cir que las m edid as L \ L^ y L^ son las

m e d i d a s c o n o c i d a s t r a d i c i o n a l m e n t e c o m o

longitud^ rea

y

volumen

de un conjun to .

3 1 4

M e d i d a y d i m e n s i n d e H a u s d o rf F

Sean

x, y

dos puntos de3R ,con

x=

( x i, .. ., x^), y = (yi, ...,? /) . Se define ladistancia

eucUdea o mtricaen J entre los puntos a:,ycomo:

d{x,y)

Y.{xi - Vi) (3.8)

Sea

D

un co njun to n o vaco en el espacio n-d im en sio nal eucl deo 3f? . Den om ina m os

dimetro

del con junto

D

a

I

D

1= sup{< (x,y) I x, y e -D}

es decir, la mayor distancia a la que se encuentran cualquier par de puntos de D .

Si {Di}es una coleccin numerable de conjuntos de dimetro menor que5que cubren

un conjunto

F,

es decir, tal que

F

C U^^A con


58/212

4 4 Conceptos Bsicos de Teora de laMedida y Anlisis Multifractal

El valor s es n i c o ,

de tal

m a n e r a q u e t o m a d a o t r a c a n t i d a d

7^

s, se

verifica qu e

si

t < se n t o n c e sH {F)= 00,y si > s e n t o n c e sH^{F) =0. Sedice qu e ses ladimensin de

Hausdo rff del conjunto F (s =dimuiF))

y

pue de to m ar cau lqu ie r va lor rea l pos i t ivo .

Los l l am ado s con jun tos frac tal e s t i enen t p i cam ente d im ens in

de

Hausdo rff no e nte

ra ,

de

forma que

la

m e d i d a s - d i m e n s io n a l c o r r e sp o n d i e n t e r e su l t a

ser la

a d e c u a d a p a r a

su

medicin.

Si s

es un

n m e r o e n t e r o

y F es un

conjun to m edib le Lebesgue , en tonces H (F)

es

p r o p o r c i o n a l

a la

m e d i d a

de

Lebesgue 5-d imens iona l :

H^{F) =

CsL^{F), s i endo

el

factor

de

p r o p o r c i o n a l i d a d u n a c o n s t a n t e Cg q u e d e p e n d ede s.

3.1 .5 .

D e n s i d a d e s

Sea

un

conju n to s -d imens iona l ,

es

deci r ,

un

c o n j u n t o

de

Bo r e l E Z^

con

m e d i d a

O


59/212

8.2 Medidas multifractales

. 45

pa ra f -c as i tod o a; [59].

P r o p o s i c i n

2

5ea un conjunto s-dimensional en 3? . Entonces

1.

R {E, x)

=D\E, X )=O

]?ora i -ca5 todo

x E

8.

2-

< D\E, X)

{x),cP{y))i, 02)

, 0iv}) con sus

respectivas razones de contractividad r i, r 2 , . . -, rjv {u i,^2,

-

,

4>N\PI,P2,

-

TPN}

es denominado Sistema de Funciones Ite

radas

(SFI) [16]. M ediante las semejanzas 0j y las probabilidades

Pi,

un SFI determina el

modo en el que una distribucin fractal reproduce su estructura a diferentes escalas [153].


64/212

50 Conceptos Bsicos, de Teora de la Medida y Anlisis Multifractal

Si Ties la razn de co ntractividad de (pi, entonces la razn de contractividad del SFI

es r = m x { r i , r 2 , . . . , r i v } . .

En estas condiciones, se verifica el siguiente teorema:

1. Hay un nico conjunto E que verifique que es igual a la unin de copias semejantes

0i(^) para = 1 ,2 , . . . ,A ^:

E = U^ME) (3.22)

E

es denominado el

conjunto autosemejante

asociado a las semejanzas

(>i,

^2 , ,N

2.

Hay un a nica distribucin de probab ilidad /i tal que su sopo rte sea E, es decir, que

verifique que fj,{E) =

ij,[W^)

= 1, y para todo intervalo I CW .

M/) = E P .

M (0- ( I )) (3.23)

i = l

do nde 0^ es la funcin recproca de 0.

Se dice entonces que fi es la medida invariante del SFI y que es singular (vanse m s

detalles en las referencias [57, 82]).

Consideremos, por ejemplo, una masa unidad (m = 1) distribuida sobre el intervalo

/ = [0,1] con el SFI siguiente: S {^,(f)o,(f)i]mo,mi}, con (j)o{x) = | , 0 i (x ) =

+ \-

Adems se verifica que mQ^rrii,

(UIQ

+m i) = 1, y r = 5.

Usando la siguiente notacin:

(j)i{I) = li ; 0 j( / i ) = lij

tenemos que se verifican las siguientes ecuaciones:

5 ( / ) = 4 ( / ) U 0 i ( ) = / o U / i

S^il) = Mo U / i ) U M^o U / i ) = looU Iw U /oi U L


65/212

3.3 Modelos generadores demedidas multifractales

51

/ )

Ui ... ij^s{o i}/i . .. ife

La ecuacin 3.22) implicaque / es elsoportede fx

y puesto

que

0 r i / ^ . ) n /

= 0

si i^j

se puede deducir

a

part i r

de la

ecuac in 3.23)

que

M-^j)

= mj , j =

0 ,1 .

Si4>j{Ii = lij, entonces, aplicando

de

nuevo

la

ecuacin 3.23),

se

tiene

// /y ) = m -rrij,

ecuacin

que se

verifica porque

la

medida

del

solapamiento

es

cero.

En general, podemos afirmarque

verificndose la igualdad cuandoelconjunto seatotalm ente inconexo.

La ecuacin 3.23) gar antiza ,

por

t an to ,

que la

distribucin

//

replica

su

estructura

a

cualquier escala, dicindose entoncesqueies unadistribucin omedida de probabilidad

autosemejante

que

presenta

un

elevado grado

de

irregularidad.

En el caso particular de quePi = ri la medida fj,es la distribucin uniforme en el

intervalo

/ .


66/212

5 2

Conceptos Bsicos de Teora de la M edida y nlisis M ultifractl

0,10

-

0,08 -

0,06

0,04-

0 , 0 2

0,00

*

0,0

0,1

0,2

( a )

0,4 0,5

0,6 0,7 0,9

1,0

Figura 3.3: a) Distribucin trinomial en la etapa k=4; b) La misma distribucin trinomial

generada con aleatoriedad.

3 3 3 M e d i d a m u l t i n o m i a l

Cuando el nmero de fragmentos en los que se divide el soporte es 6 > 2, el modelo

genera una medida multinomial (vase la figiura 3.3) que es la generaliz

Fractales en Agricultura

Documents

Transcript of Fractales en Agricultura