ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSiVEL, EXTERNO 391

dade dos computadores estao tornando possivel a soluc;ao das equac;5es completas de Navier-Stokes usando metodos numericos [14, 15].

PARTE B ESCOAMENTO DE FLUIDOS AO REDOR DE CORPOS IMERSOS Sempre que existir movimento relativo entre urn corpo solido e o fluido viscoso que o circunda, o corpo experimentani uma forc;a resultante F. 0 modulo desta forc;a depende de muitos fatores - cer­tamente da velocidad\'! relativa V, mas tambem da forma e do tamanho do corpo, e das propriedades do fluido (p, J.L etc.). Conforme o fluido escoa em torno do corpo, ele gerani tens5es superficiais so­bre cada elemento da superficie, e e isso que fani aparecer a forc;a resultante. As tens5es superficiais sao compostas de tens5es tangenciais devido a ac;ao viscosa e de tens5es normais devido a pressao local. Podemos ser tentados a pensar que a forc;a liquida pode ser deduzida analiticamente por meio da integrac;ao dessas tens5es sobre a superffcie do corpo. 0 primeiro passo poderia ser: Dada a forma do corpo (e considerando que o numero de Reynolds e grande o suficiente para que a teoria do esco­amento nao viscoso possa ser usada), calcule a distribuic;ao de pressao. Em seguida, integre a pressao sobre a superficie do corpo para obter a contribuic;ao das forc;as de pressao para a forc;a liquida F. (Conforme discutido no Capitulo 6, esta etapa foi desenvolvida muito cedo na historia da medinica dos fluidos e levou ao resultado de que nao havia arrasto sobre o corpo!) 0 segundo passo poderia ser: Use esta distribuic;ao de pressao para determinar (pelo menos em principia, usando a Eq. 9.17, por exemplo) a ten sao viscosa superficial T w· Em seguida, integre a tensao viscosa sobre a superffcie do corpo para obter sua contribuic;ao para a forc;a resultante F. Conceitualmente, este procedimento parece ser de aplicac;ao direta, mas ele e bastante diffcil de ser realizado na pnitica, exceto para formas de corpo mais simples. Alem disso, mesmo se fosse possivel realiza-lo, esse procedimento levaria a resultados erroneos na maior parte dos casos, porque ele nao leva em conta uma consequencia muito importante da existencia das camadas-limite- a separac;ao do escoamento. Isto causa uma esteira, que nao somente cria uma regiao de baixa pressao que geralmente leva a urn arrasto maior sobre o corpo, mas tambem muda radicalmente o campo de escoamento global e, por conseguinte, a regiao de escoamento nao viscoso e a distribuic;ao de pressao sobre o corpo.

Por estas raz5es, devemos recorrer a metodos experimentais para deterrninar a forc;a resultante sobre a maioria das formas de corpos (embora as abordagens com DFC estejam melhorandorapidamente). Tradicionalmente, a forc;a resultante F e decomposta na forc;a de arras to, F D• definida como a com­ponente da forc;a paralela a direc;ao do movirpento, e na forc;a de sustentac;ao, FL (caso ela exista para o corpo), definida como a componente da forc;a perpendicular a direc;ao do movimento. Nas Sec;5es 9-7 e 9-8, examinaremos estas forc;as para algumas formas de corpo diferentes.

9-7 ARRASTO

0 arrasto e a componente da forc;a sobre urn corpo que atua paralelamente a direc;ao do movimento relativo. Ao discutirmos a necessidade de resultados experimentais na medinica dos fluidos (Capitulo 7), consideramos o problema de determinar a forc;a de arrasto, F D• sobre urn a esfera lisa de diametro fi:, movendo-se atraves de urn fluido viscoso, incompressivel, com velocidade V; a massa espedfica e a viscosidade eram p e J.L, respectivamente. A forc;a de arrasto, Fv, foi escrita na forma funcional

FD=fi(d,V, f.1,p)

A aplicac;ao do teorema Pi de Buckingham resultou em dois parametros adimensionais TI que foram escritos na forma funcional como

FD = !2 (pVd) p V2 d2 f.1

Note que rP e proporcional a area de sec;ao transversal (A = 7Trf214) e que, portanto, podemos escre­ver

~- (pVd) p V2 A -/3 J;' = /3 ( Rf ) (9.29)

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10-2

10-3

MAOUINAS DE FLUXO 437

ABRANGENCIA

De acordo com Japikse [3], "Turbomaquinas representam urn mercado de 400 bilh6es de d6lares (possivelmente muito mais), apresentando, neste momento, urn crescimento mundial enorme. Estima­se que apenas as bombas centrffugas industriais consumam 5% de toda energia produzida nos EUA". Portanto, o projeto apropriado, a construc;ao, a selec;ao e a aplicac;ao de bombas e compressores sao aspectos economicamente significativos.

0 projeto de maquinas reais envolve diversos conhecimentos tecnicos, incluindo mecanica dos fluidos, materiais, mancais, vedac;6es e vibrac;6es. Estes t6picos sao abordados em numerosos textos especializados. 0 nosso objetivo aqui e apresentar somente detalhes suficientes para ilustrar a base analftica do projeto de escoamento de fluido e discutir brevemente as limitac;6es dos resultados ob­tidos a partir de modelos analfticos simples. Para informac;6es mais detalhadas de projeto, consulte as referencias.

A engenharia de aplicac;6es ou de "sistemas" requer vasta experiencia. Boa parte des sa experiencia deve ser ganha no campo, trabalhando com outros engenheiros. Nossa abordagem nao pretende ser completa; discutimos somente os aspectos mais importantes para a aplicac;ao sistemica, e bem-suce­dida, de bombas, compressores e turbinas.

Neste capitulo, nosso tratamento e quase que exclusivamente dedicado aos escoamentos incompres­siveis. 0 material apresentado neste capitulo e de natureza diferente daqueles discutidos nos capitu­los anteriores. Os Capftulos de 1 a 9 cobriram muito dos fundamentos de mecanica dos fluidos, com resultados analfticos em muitos casos. Este capitulo tambem abordara analises, mas a complexidade inerente do assunto nos conduzira a algumas correlac;6es e a resultados empfricos. Para o estudante, isso pode parecer urn tanto o quanto forc;ado, mas a obtenc;ao de resultados a partir da combinac;ao de teoria e experimentac;ao e uma pratica bastante comum na ciencia da engenharia.

ANALISE DE TURBOMAQUINAS

0 metodo de analise usado para turbomaquinas e escolhido de acordo com a informac;ao desejada. Quando se quer informac;ao geral sobre vazao, variac;ao de pressao, torque e potencia, deve ser usa­da uma analise de volume de controle finito. Caso se queira informac;oes detalhadas sobre angulos de pas ou perfis de velocidade, entao elementos de pas individuais devem ser analisados usando urn volume de controle infinitesimal ou outro procedimento detalhado. N6s consideramos apenas pro­cessos de escoamento idealizado neste livro, e, desta forma, nos concentramos na aproximac;ao por volume de controle finito, aplicando o princfpio da quantidade de movimento angular. A analise se­guinte aplica-se tanto a maquinas que realizam trabalho quanto a maquinas que extraem trabalho de urn escoamento.

0 Principio da Quantidade de Movimento Angular 0 princfpio da quantidade de movimento angular foi aplicado a volumes de controle finitos no Capi­tulo 4. 0 resultado obtido foi a Eq. 4.46,

~ fv ~ afv ~ 1 ~ ~ ~ r X Fs + r X g p d¥ + Teixo = -0

r X V p d¥ + r X V p V • dA ~ t~ ~

(4.46)

A Eq. 4.46 estabelece que o momenta das forc;as superficiais e das forc;as de campo, mais o torque aplicado, levam a uma variac;ao na quantidade de movimento angular do escoamento. [As forc;as su­perficiais sao devidas ao atrito e a pressao, a forc;a de campo e devida a gravidade, 0 torque aplicado pode ser positivo ou negativo (dependendo se o trabalho e realizado pelo fluido ou sobre o fluido) e a variac;ao na quantidade de movimento angular pode aparecer como variac;ao na quantidade de movi­mento angular no interior do volume de controle, ou como fluxo de quanti dade de movimento angular atraves da superffcie de controle.]

Na proxima sec;ao, a Eq. 4.46 e simplificada para a analise de turbomaquinas.

Equa«;ao de Euler para Turbomaquinas Para a analise de turbomaquinas, e conveniente escolher urn volume de controle fixo englobando o rotor, a fim de avaliar o torque de eixo. Como estamos considerando volumes de controle para os

446 CAPITULO 10

Por causa dessas perdas, a potencia real entregue ao fluido por uma bomba e men or do que aquel:i prevista pela equa~ao de quantidade de movimento angular. No caso de uma turbina, a potencia re~ entregue ao eixo e menor do que a potencia cedida pela corrente de fluido.

N6s podemos definir a potencia, a altura de carga e a eficiencia de uma turbomaquina, baseados em que a maquina ou realiza trabalho (ou potencia) sobre o fluido ou extrai trabalho (ou potencia do fluido.

Maquinas para Realizar Trabalho sobre um fluido Para uma bomba, a potencia hidrtiulica e dada pela taxa de energia mecanica cedida ao fluido,

(1Q:8a)

on de

'• ( -2 ) ( -2 ) . . ·. p v 'p 'v ·. · Hp =;: · ~ + - + z . .,.-. . -. + -. + z

· ·. pg 2g desearg~ ·· ... PK 2g suc~~o

Para uma bomba, o aumento de carga medido em uma bancada de testes e menor do que aquele pro­duzido pelo rotor. A taxa de energia mecanica recebida e maior do que a taxa de aumento de carg~ produzida pelo rotor. A potencia mecanica necessaria para acionar a bomba e relacionada com a po­tencia hidraulica pela defini~ao da eficiencia de bomba como

(1Q.8c)

Para avaliar a varia~ao real na altura de carga atraves da maquina a partir da Eq. l0.8b, n6s deve­mos conhecer a pressao, a velocidade e a eleva~ao do fluido nas duas se~oes de medi~ao. A velocida­de do fluido pode ser calculada a partir da vazao volumetrica e dos diametros de passagem medidos (Linhas de descarga e de suc~ao para bombas tern, em geral, diametros diferentes.)

A pres sao estatica e geralmente medida em trechos retos de tubos a montante da entrada da bomb.:. e a jusante da salda da bomba. A eleva~ao de cada manometro pode ser registrada, ou as leituras ck pressao estatica podem ser corrigidas para a mesma eleva~ao. (A linha de centro da bomba fomec.:: urn nlvel de referencia conveniente.)

Maquinas para Extra«;ao de Trabalho (Potencia) de um Fluido Para uma turbina hidraulica, a potencia hidrtiulica e definida como a taxa de energia mecanica reti­rada da corrente de fluido em escoamento,

(1Q:9a)

on de

(p y2 ) (p vz )

Ht = . -+ - + z - - + - + z pg 2g entrada pg 2g safda

(10.9b)

Para uma turbina hidraulica, a potencia cedida pelo rotor (a potencia mecanica) e menor do que:: taxa de energia transferida do fluido para o rotor, porque o rotor tern que superar perdas por atritt viscoso e mecanico.

A potencia mecanica fomecida por uma turbina e relacionada com a potencia hidraulica pela de­fini~ao da eficiencia de turbina como

Wm wT 11t = -.-. = ·-· --· wh pQgHr

(1Q;9c)

l

I

E~ !

01 !

tr~

d~ e~ .

~

nte

io,

(1)

m

12-2 PROPAGA(/AO DE ONDAS DE SOM

Velocidade do Som

INTRODUCAO AO ESCOAMENTO COMPRESSIVEL 555

Urn iniciante nos estudos do escoamento compressivel pode pensar que rela~ao velocidade do som tern a ver com as velocidades presentes em urn escoamento. Veremos neste e no proximo capitulo que a velocidade do som, c, e urn indicador importante em medinica dos fluidos: escoamentos com velocidades menores do que a velocidade do som sao chamados de subsonicos; escoamentos com velocidades maiores do que a velocidade do som sao chamados de supersonicos; e aprenderemos que os comportamentos dos escoamentos subsonicos e supersonicos sao completamente diferentes. Jade­finimos anteriormente o numero de Mach M de urn escoamento (atraves da Eq. 7.16, no Capitulo 2 e no Capitulo 7). Esta defini~ao e tao importante para os nossos estudos que a redefinimos aqui,

M=v (12.13) c

sendo V a velocidade (do fluido, ou em alguns casos da aeronave), de forma queM < 1 eM > 1 cor­respondem aos escoamentos subsonicos e supersonicos, respectivamente. Adicionalmente, menciona­mos na Se~ao 12-1 que iremos demonstrar, no Exemplo 12.5, que para M < 0,3, geralmente podemos considerar escoamento incompressivel. Consequentemente, o conhecimento do valor do numero de Mach e importante em mecanica dos fluidos.

Uma resposta a questao colocada no infcio desta se~ao e que a velocidade do some importante em mecanica dos fluidos por que e a velocidade na qual "sinais" podem viajar atraves do meio. Consi­dere, por exemplo, urn objeto tal como uma aeronave em movimento - o ar em ultima amilise tern que se mover para fora de seu caminho. Na epoca de Newton, pensava-se que isto acontecia quando as partfculas (invisfveis) dear literalmente ricocheteavam na frente do objeto, da mesma forma como bolas ricocheteando em uma parede; agora, sabemos que, na maior parte dos casos, o ar come~a a mover-se para fora do caminho bern antes de encontrar o objeto (isto nao sera verdadeiro quando temos escoamento supersonico!). Como oar "sabe" mover-se para fora do caminho? Ele sabe, pois, conforme o objeto se move, disturbios sao gerados. Esses disturbios sao ondas de pressao infinite­simais - ondas de som - , que emanam do objeto em todas as dire~oes. Sao estas ondas que "sina­lizam" o ar e o redirecionam em tomo do corpo conforme ele se aproxima. Estas ondas viajam para fora na velocidade do som.

[0 some uma onda de pres sao com val ores de varia~ao de pres sao muito baixa, para o ouvido huma­no geralmente na faixa de 10- 9 atm (o limiar da audi~ao) ate 10- 3 atm (voce sentini dor!). Sobrepostas na pressao atmosferica ambiente, as ondas de som consistem em flutua~oes de pressao extremamente pequenas. Como a faixa da audi~ao humana cobre em tomo de cinco ou seis ordens de valor da varia­~ao da pressao, tipicamente usamos a escala logarftmica adimensional, o nfvel decibel, para indicar a intensidade do som; 0 dB corresponde ao limiar da audi~ao. Se voce ouvir o seu MP3 no maximo volume, voce tera em tomo de 100 dB- em tomo de 1010 da intensidade do limiar da audi~ao!]

Fig. 12.1 Onda de propagac;:ao do som mostrando o volume de controle esco­lhido para a analise.

p Vx = 0 p

p+ dp -dvx

p + dp y

c.---- 0 Observador estacionario ,

'''+. I X (a) Onda propaganda

~--~-t -x I

p I I

c - 1 p I

I I I

I : p+dp I - C-dVx I oP+dp

i 'f--... Observador dentro do VC

(b) Volume de controle inercial movendo-se com a onda , velocidade c

558 CAPiTULO 12

E = dp =pdp v dplp dp

Para estes meios,

c= JlfJP (12.17)

Para urn gas ideal, a pressao e a massa especffica no escoamento isentr6pico sao relacionados r-=~

pk = constante p

Tomando logaritmos e diferenciando, obtemos

Portanto,

dp- kdp = 0 p p

ap) = kE ap s P

Mas pip = RT, e assim, finalmente, obtemos

c = v'kifi

(12. I:.:

(12.18)

para urn gas ideal. A velocidade do som no ar foi medida com exatidao por diversos pesquisadore,. [ 4]. Os resultados concordam muito bern com a previsao te6rica da Eq. 12.18.

A caracterfstica importante da propagac;ao do som em urn gas ideal, como mostrado pela Eq. 12.= ~­e que a velocidade do same umafun9iiO apenas da temperatura. A variac;ao na temperatura atmosi't­rica com a altitude para urn dia-padrao foi discutida no Capitulo 3; as propriedades estao resumi~ na Tabela A.3. A correspondente variac;ao em c e calculada como urn exercfcio no Problema 12.:.:.! trac;ada na forma gr:ifica como uma func;ao da altitude.

EXEMPLO 12.3 Velocidade do Som no Ac;o, na Agua, na Agua do Mar e no Ar Calcule a velocidade dosom no (a)ac;o (Eu = 200 GN/m2), (b) na agua (a 20°C), (c) na agua do mar (a 20°C) e (d) no ar no nivel do mar em urn dia-padrao.

OETERMINAR: A veloeidade do som no (a) a~o (E.,= 200 GN/m2), (b) na agua (a 20°C),

(c) na agua do mar (a 20°C) e (d) no ar no nivel do mar em um dia-padrao.

souu;M: (a) Parao a~o, um solido, usamos a Eq. 12.11, com a massa espedfica, p, obtida da Tabela A.l(b),

c = .jE;;rp = -JEviSGpH2o

I I 1: I> I

~------------------c~~~o i 200 X 109 N 1 m3 kg • m m2 X 7,83 X 1000 kg X N. s2 = SOSOmls c=

i (b) Para a agua tambem usamos a Eq .. I 2.17, com os dados obtidos da Tabela A.2,

c = .jE;;rp = yEviSGpH2o

2 24 X 109 N 1 m3 kg • m ' m2 X 0,998 X 1000 kg X N. s2 = 1500 mls

.Cagua ·c=