SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Preddiplomski sveučilišni studij fizike

FOURIEROVE PREOBRAZBE-

PRIMJENA U FIZICI

Završni rad

Anton Aladenić

Osijek, 2014.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

Preddiplomski sveučilišni studij fizike

FOURIEROVE PREOBRAZBE-

PRIMJENA U FIZICI

Završni rad

Anton Aladenić

Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac

Osijek, 2014.

Sadržaj 1.UVOD .................................................................................................................................................... 1

1.1. Zadatak završnog rada .................................................................................................................. 1

2.FOURIEROV RED ................................................................................................................................... 2

2.1. Motivacija za nastanak Fourierove transformacije ...................................................................... 2

2.2. Fourierov red ................................................................................................................................ 3

2.3. Uvjeti na funkciju ................................................................................................................. 4

2.4. Određivanje Fourierovih koeficijenata ................................................................................... 6

2.5. Konvergencija Fourierovog reda .................................................................................................. 7

3. FOURIEROVA PREOBRAZBA ................................................................................................................ 8

3.1. Integralne preobrazbe- uvod ........................................................................................................ 8

3.2. Razvoj Fourierovog integrala ...................................................................................................... 10

3.3. Fourierova preobrazba- teorem inverzije .................................................................................. 13

3.4 Fourierova preobrazba derivacije ............................................................................................... 17

3.5. Teorem konvolucije .................................................................................................................... 21

3.6 reprezentacija ......................................................................................................................... 24

3.7 Funkcija transfera ........................................................................................................................ 29

4. Zaključak ............................................................................................................................................ 31

5. Literatura ........................................................................................................................................... 32

1

1.UVOD

1.1. Zadatak završnog rada

U ovome radu upoznati ćemo se sa Fourierovom preobrazbom, jednom od integralnih

preobrazbi. Integralne preobrazbe imaju šitoku primjenu u raznim matematičkim i fizikalnim

problemima. Upoznati ćemo se sa svojstvima Fourierove preobrazbe i njenom primjenom, a

osobito u fizici. Vidjeti ćemo na koje funkcije se Fourierova preobrazba može primjeniti i na

koji način odrediti Fourierovu preobrazbu određenih funkcija. Također ćemo proučiti i

inverznu Fourierovu preobrazbu, čije je određivanje glavni problem pri rješavanju problema u

kojima se koriste općenito integralne preobrazbe. Poseban naglasak ovoga rada staviti ćemo

na primjene Fourierove preobrazbe na fizikalne probleme, te ćemo riješiti nekoliko

karakterističnih primjera i zadataka gdje Fourierova preobrazba nezaobilazan alat,te donosi

najveću primjenu i pomoć pri rješavanju.

2

2.FOURIEROV RED

2.1. Motivacija za nastanak Fourierove transformacije U većini literatura sam pojam Fourierove transformacije se prezentrira čitateljima kao

samosatalan i cjelovit izraz, bez nekog pojašnjenja i motivacije da se shvati kako je sam izraz

nastao. U ovom dijelu ćemo objasniti kako je uopće došlo do potrebe za razvojem

Fourierovog reda, te kako iz toga proizlazi nastanak Fourierovih transformacija. Fourierova

analiza proizlazi iz generalne ideje da se svaka periodična funkcija može zapisati kao suma

(ne mora nužno biti konačna) sinusa različitih amplituda, frekvekcija i faza. Ta suma naziva

se Fourierovim redom.

Motivacija koju je Jean Baptiste Joseph Fourier (Slika 1.) postavio je problem rješavanja

parcijalne diferencijalne jednadžbe širenja topline. Teoriju o širenju topline i sam pojam

Fourierovog reda razvio je u razdoblju od 1804. do 1807. godine, a kasnije je to objavio u

svom velikom radu O širenju topline čvrstim tijelima 1822. godine. Taj rad, a i sam pojam

Fourierovog reda naišao je na otpor među određenim ljudima, najviše među matematičarima

među kojima su bili Lagrange i Laplace. Razlog protivljenju je bila Fourierova tvrdnja da se

sve (čak i nederivabilne) funkcije mogu razviti u trigonometrijski red. Iako derivabilnost nije

nužan uvjet za zapisivanje funkcije kao sume trigonometrijskih funkcija, kasnije ćemo ipak

pokazati da je Fourier bio preambiciozan u svojoj tvrdnji.

Slika 1. Jean Baptiste Joseph Fourier

3

Iako je Fourierova tranformacija proizašla kao rezultat proučavanja Fourierovog reda, danas

se to često servira kao gotov alat i teško je iz same formule Fourierove transformacije shvatiti

motivaciju za njen nastanak.

2.2. Fourierov red Kod razvoja funkcije u Fourierov red, uvjet je taj da je funkcija periodična. Ono što se

prirodno postavlja je pitanje može li se to napraviti i za neperiodične funkcije na nekom

intervalu? Odgovor je : da, ali ako te neperiodične funkcije učinimo periodičnima. Tada taj

interval postaje period te funkcije i ponavlja se beskonačno mnogo puta. Pretpostavimo da je

promatrana funkcija periodična na nekom intervalu [-π, π]. Dakle za danu funkciju

f : ℝ → ℝ , periodičnu na intervalu [-π, π] , želimo pronaći koeficijente , , ∈ ℝ , za

k=1, . . . , n tako da vrijedi

∑

U ovom izrazu ima ulogu amplitude, a ulogu faze za sinus funkciju frekvencije .

Član

je poseban i on translatira funkciju duž - osi. Ako u gornjem izrazu upotrijebimo

adicijsku formulu za sinus funkciju,

vidimo da Fourierov red možemo napisati i drugačije:

∑

Valja primjetiti da u ovoj formuli i ne ovise ni o varijabli ni o – to su

brojevi koji su dio koeficijenata uz . Stoga definiramo nove brojeve i

∈ ℝ u kojima će implicitno biti uključeni i . Sada nova formula izgleda kao:

∑

Traženje Fourierovog reda se sada svodi na određivanje koeficijenata i . Također valja

primijetiti da više ne moramo eksplicitno promatrati fazu pojedine sinus funkcije , nego je

dovoljno tražiti samo koeficijente (amplitude) uz sinus i kosinus.

4

2.3. Uvjeti na funkciju Sada se postavlja pitanje da li vrijedi jednakost (2.2.1) za svaku periodičnu funkciju i može li

se zaista svaka periodička funkcija zapisati kao konačna suma sinusa i kosinusa

različitih amplituda i frenkvencija? Da bismo mogli dati odgovor na ovo pitanje treba se

prisjetiti nekih od elementarnih tvrdnji iz diferencijalnog računa kao što su : Zbroj svakih

dviju neprekidnih funkcija opet mora biti neprekidna funkcija ili zbroj dvije derivabilne

funkcije je opet derivabilna funkcija ili još jače tvrdnje zbroj svakih dviju m-puta derivabilnih

funkcija, m ∈ ℕ , mora opet biti m-puta derivabilna funkcija. I kosinus i sinus su neprekidne i

m-puta derivabilne funkcije pa vrijedi da je i njihova suma takva. Uzevši ovo u obzir ove

činjenice čini se kao da je nemoguće razviti nederivabilnu funkciju u ovako definiran

Fourierov red. No stvar prima drugačiju perspektivu kada iskoristimo činjenicu da veće

frekvencije trigonometrijskih funkcija u sumi (2.2.1) uzrokuju oštrije rubove u rezultantnoj

krivulji. Primjer toga možemo vidjeti na slici 2 gdje vidimo funkciju rectangle koja je

definirana kao

{ ∈

Stoga, kada bismo dodavali sve više i više funkcija, brojač k bio bi sve veći i naša rezultantna

krivulja bi sve bolje aproksimirala vrhove u kojima funkcija nije derivabilna.

Slika 2. Rectangle funkcija- aproksimacija uz pomoć Fourierova reda na intervalu [ ] ,za

brojač : a) k=2 , b) k=4 , c) k=8 , d) k=16

5

Ovu činjenicu možemo iskoristiti za motivaciju da sumu (2.2.1) preoblikujemo tako da ide u

beskonačnost i to na sljedeći način:

∑

No ova suma se može bolje zapisati ako se prisjetimo Eulerove formule:

Uvođenjem novih koeficijenata , formulu (2.3.1) možemo zapisati na novi

način. Međutim, moramo biti sigurni da ćemo na kraju dobiti realne koeficijente. Stoga ćemo

iskoristiti svojstvo da je , gdje je z ,a oznaka za konjugirano

kompleksan broj. Valja primjetiti da s pomoću Eulerove formule, ako želimo dobiti

konjugirano kompleksan broj, dovoljno je za uzeti – (neparnost sinusne funkcije).

Imajući to na umu, želimo pronaći koeficijente takve da vrijedi

št je ekv vale t :

( ) ( )

Nadalje vrijedi da je :

Valja primjetiti da je = . Sada iz gornjeg izraza dobijemo dvije

jed adžbe :

Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa imaginarnom jedinicom, tj. te joj

dodamo drugu jednadžbu, dobivamo :

6

Gore smo se koristili jednakošću Sada je lako odrediti samu

vrijednost . Ako uvedemo oznaku općenitiji razvoj u Fourierov red možemo

zapisati sljedećom formulom :

∑

gdje su :

Nulti član u ovom slučaju je

2.4. Određivanje Fourierovih koeficijenata

U ovom odjeljku ćemo pokazati kako za danu periodičnu funkciju izračunati -ti

koeficijent . Budući da je funkcija:

djeleći ovu jednadžbu sa , dobivamo :

(

)

∑

za . Sada iskoristimo činjenicu da je konstanta, tako da pri integraciji obje strane po

varijabli [ ] dobivamo:

∫

∫

∫ ∑

∫

∑ ∫

∫

∑

( )

za Čini se kao da je izraz postao još kompliciraniji,no međutim ako primjetimo da je po

Eulerovoj formuli, te jer je

7

Vidimo da se cijela suma poništava, te sada samo trebamo podijeliti jednadžbu sa , te

dobivamo formulu za -ti koeficijent Fourierova reda:

∫

Slično se može pokazati da vrijedi i za općenitiji period [ ], te da je tada Fourierov

red:

∑

sa pridruženim koeficijentima:

∫

gdje je Valja primjetiti da koeficijent

služi da bismo sveli sinus i kosinus funkcije

na interval [ ] s periodom . Time je možemo promatrati i na [ ] s periodom .

2.5. Konvergencija Fourierovog reda Problem konvergencije Fourierovog reda bilo je jedno od nerazjašnjenih pitanja stoljećima.

Razlog tome je alternirajuća perioda sinus i kosinus funkcija. Tim svojstvom je otežano

promatranje konvergencije ovako definiranog reda. No stvar otežava i razmatranje Fourierove

tvrdnje da se ovako može razviti svaka,pa čak i nederivabilna funkcija. Rezultati razmatranja

ovakvog reda govore da je najbitniji uvjet zapravo integrabilnost funkcije koju razvijamo u

red. Što se tiče same konvergencije navesti ćemo jedan važan teorem koji govori o

konvergenciji po normi:

(Riesz-Fischer teorem):

([

])

∫ | |

ako i samo ako je Fourierov red te funkcije - konvergentan,tj. ako

∫ | ∑

|

kada n .

8

Dakle kvadrat razlike funkcije f(x) i njene konačne aprosksimacije na nekom intervalu teži u

nulu. Ovakve rezultate o konvergenciji Fourierova reda dobijemo ako se koristimo

općenitijim, Lebesgueovim integralom. Pri analizi signala integral funkcije predstavlja

energiju signala. Ako je taj signal konačan, kaže se da signal ima konačnu energiju. To

rješenje je postignuto čak prije više od sto godina, davne 1907. godine.

3. FOURIEROVA PREOBRAZBA

3.1. Integralne preobrazbe- uvod

U matematičkoj fizici često se susrećemo sa parovima funkcija povezanih izrazom oblika:

∫

Funkcija je integralna transformacija funkcije , sa jezgrom preobrazbe .

Preobrazba se također može shvatiti kao preslikavanje funkcije zadane u t prostoru, u

funkciju zadanu u prostoru:

To su primjerice preslikavanja između prostora ili

Integralne preobrazbe imaju puno fizičkih primjena i značenja koje ćemo vidjeti u nastavku.

Najčešća opća primjena je skicirana na slici 3. Pretpostavka je da se zadani problem može

riješiti vrlo teško, uz puno koraka i poteškoća (ako je uopće rješiv) u orginalnom prostoru.

Često se događa da se preobrazbom iz orginalnog prostora problem lakše riješi ako ga se

preslika u neki drugi prostor. Zatim se inverznom preobrazbom rješenje problema preobrazi

natrag u orginalni prostor.

9

Slika 3. Shematski prikaz rješavanja problema integralnom preobrazbom

Jedna od mnogobrojnih, ali i jedna od najbitnijih integralnih preobrazbi je i Fourierova

preobrazba, definirana izrazom:

√ ∫

Jezgra Fourierove preobrazbe je :

√

čiji su realni i imaginarni dijelovi dani sa kosinusom i sinusom. To ih čini vrlo pogodnima za

proučavanje valnih pojava. Postoje dvije modifikacije gornje preobrazbe, a to su Fourierova

kosinusna i sinusna preobrazba:

√

∫

√

∫

Linearnost :

Jedna od karakteristika koja je zajednička svim preobrazbama je njihova linearnost. Pod time

se misli na svojstvo da je preobrazba linearne kombinacije jednaka linearnoj kombinaciji

preobrazbi:

∫ [ ] ∫

10

∫ [ ]

∫ ∫

gdje su konstante, a , i funkcije za koje je preobrazba definirana. Ako

prikažemo ovu preobrazbu linearnim operatorom može se napisati:

[ ]

Za očekivati je da postoji i inverni operator sa svojstvom :

[ ]

Određivanje inverzne preobrazbe je glavni problem kod integralnih preobrazbi .

3.2. Razvoj Fourierovog integrala

U odjeljku 2.4 pokazali smo prednosti korištenja Fourierovih redova pri predstavljanju

funkcija koje su :

(1) Ograničene na području [ ]

(2) Ili su definirane na intervalu (- ), ali su periodične

No sada ćemo proučiti prikaz neperiodične funkcije na intervalu (- ). Fizički to znači

rastavljanje jednog pulsa ili valnog paketa na sinusoidalne valove. U odjeljku 2.4 vidjeli smo

da se na intervalu [ ] , koeficijenti iz razvoja Fourierova reda računaju kao:

∫

No ako promjenimo interval na [ ] te ako umjesto eksponencijalne funkcije prebacimo

jezgru preobrazbe na trigonometrijske funkcije i ako zamjenimo varijablu , dobivamo

dva izraza za izračun koeficijenata s kojima ćemo moći lakše provoditi račun:

∫

∫

što rezultira Fourierovim redom oblika:

11

∫

∑

∫

∑

∫

Ili skraćeno:

∫

∑∫

Sada pustimo da grainca L neizmjerno raste : L . Uvedemo još i oznake:

Ako :

∫

postoji i konačan je, tada prvi član iz prethodnog izraza nestaje, a drugi postaje :

∑ ∫

Sada se zamjenom beskonačne sume po integralom po , konačno dobiva:

∫

∫

Međutim treba naglasiti da je gornji rezultat čisto formalne naravi. Njegov izvod nije strogi

matematički izvod. Ta relacija se naziva FOURIEROV INTEGRAL, te vrijedi za funkcije koje

su :

(1) Po dijelovima kontinuirane;

(2) Derivabilne;

(3) Apsolutno integrabilne, odnosno ∫ | |

je konačan.

12

Fourierov integral- eksponencijalni oblik:

Izraz za Fourierov integral koji smo iskazali posljednom formulom parne funkcije F može se

iskazati i u eksponencijalnom obliku, ako primjetimo da se, zbot parnosti kosinusa kao

funkcije , može napisati:

∫

∫

a zbog neparnosti sinusa kao funkcije imamo:

∫

∫

Ako sada drugu od gornjih jednadžbi pomnožimo sa i te se doda prvoj, dobiva se:

∫

∫ ( )

∫

∫

Zbog kasnije usporededbe gornje relacije sa samim izrazom za Fourierovu transformaciju,

izvest ćemo zamjenu u gornjoj relaciji, čime gornji izraz postaje:

∫

∫

Ovdje smo uveli varijablu kao nijemu varijablu integracije, no u većini fizikalnih problema

ona ima značenje kutne brzine. Uz ovakvo tumačenje zadnje dvije relacije se mogu

protumačiti prikaz funkcije kao neprekidnim prijelazom neprekidnih harmonijskih

funkcija čije frekvencije neprekidno poprimaju sve realne vrijednosti na intervalu

(0, ) , dakle ovo nije rastav funkcije na diskretni spektar,nego na KONTINUIRANI spektar.

IZVOD DIRACOVE DELTA FUNKCIJE:

Ako u posljednjem izrazu zamjenimo redosljed integracije,dobivamo :

∫ {

∫

}

No, usporedbom gornjeg izraza i definicije Diracove delta funkcije:

∫

Zaključujemo da je izraz u vitičastoj zagradi upravo :

13

∫

3.3. Fourierova preobrazba- teorem inverzije

Definirajmo funkciju Fourierovu preobrazbu od , definiranu sa :

√ ∫

EKSPONENCIJALNA PREOBRAZBA:

Usporedimo li gornji izraz sa (3.2.1) :

∫

∫

√

Uočavamo dio srazmjeran s , tako da je sada lako očitati inverznu preobrazbu:

√ ∫

Valja primjetiti da su relacije (3.3.1) i (3.3.2) simetrične do na predznak .

Ako par funkcija i , iz Fourierove preobrazbe prevede u 3-D prostor, tada relacije (3.3.1) i

(3.3.2) postaju:

( )

∫

∫ ( )

Integracija se vrši po cijelom prostoru. Te dvije relacije predstavljaju razvoj funkcija i

( ) po funkcijama , slično kao što se funkcija može razviti u red potencija

∑

Razlika je ta što potpun skup funkcija po kojima se razvoj radi nije DISKRETAN skup

potencija , nego je to sad kontinuirani skup ravnih valova

| | ∈

14

a umjesto koeficijenata dolazi ( ) koja se zove i AMPLITUDA VALA, te dakako zbog

toga što je kontinuirana varijabla, umjesto sume dolazi integral.

KOSINUSNA PREOBRAZBA:

Ako je funkcija parna ili neparna, gornje preobrazbe možemo izraziti u drugačijem

obliku. Promotrimo prvo slučaj kad je funkcija parna:

Tada iz izraza (3.3.1) slijedi:

√ ∫ √

∫

Dio sa sinusom isčezava zbog neparnosti podintegralne funkcije. Iz gornjeg izraza je parna

funkcija, pa sličnim postupkom iz (3.3.2) dolazimo do :

√

∫

Ove dvije relacije zovu se kosinusne Fourierove preobrazbe.

SINUSNA PREOBRAZBA:

Sada ćemo pretpostaviti da je neparna funkcija kako bi dobili par sinusnih Fourierovih

preobrazbi:

Iz jednadžbe (3.3.1) slijedi:

√ ∫ √

∫

Sada isčezava dio sa kosinusom zbog neparnosti podintegralne funkcije. Sličnim postupkom

se iz (3.3.2) dobiva inverz:

√

∫

15

Ove dvije relacije zovu se sinusne Fourierove preobrazbe.

U posljednoj relaciji se može izvesti fizički smisao kao razvoja po kontinuiranim

sinusnim valovima. Amplituda vala je dana sa √

, gdje je sinusna

Fourierova preobrazba od .

Također može se primjetiti da Fourierova sinusna i kosinusna preobrazba sadrže samo

nenegativne vrijednosti argumenta. Da bi došli do tih relacija, koristili smo se svojstvima

parnosti funkcije . No sada kad smo preobrazbe već postavili, ponašanje funkcija i za

negativne vrijednosti argumenta je posve nebitno. Konačno, preobrazbe svaka za sebe

posjeduje određenu parnost; parne su za Fourierovu kosinusnu preobrazbu,a neparne za

sinusnu.

Rješimo sada jedan zadatak u kojem ćemo koristiti Fourierove preobrazbe za rastav konačnog

pulsa u sinusne valove.

Zadatak 3.1

Zamislimo beskonačni sinusoidalni val , koji je pomoću Kerrove ćelije ili nekako

drukčije, narezan na manje komade, tako da je :

{

| |

| |

Zadatak je pronaći Fourierovu preobrazbu od .

Rješenje:

Pošto je neparna funkcija, to znači da moramo koristiti Fourierovu sinusnu preobrazbu

(3.3.7):

√

∫

Trigonometrijskim identitetom:

[ ]

se gornji integral svede na tablični integral sa rješenjem za amplitudnu funkciju

16

√

{ [ ]

[ ]

}

Proučimo sad kako ovisi o .

Za veliki i , prvi član desne strane je mnogo veći od drugoga, kojeg stoga

možemo cijelog izostaviti. Dobivena krivulja je ista kao i ona koja se dobije pri ogibu na

jednoj pukotini. Njene nule se nalaze u točkama :

Amplituda se može tumačiti i kao Diracova delta raspodjela. Budući da je raspodjela

vrlo malena izvan središnjeg maksimuma, uzimamo :

Udaljenost do prve nultočke, kao mjeru frekventne širine ulaznog pulsa. Ako je N velik onda

je jasno da će frekventna širina biti mala. Naprotiv, ako je puls kraći,tj. manjem N odgovarati

će veća frekventna širina.

Slika 4. A) konačni dio sinusnog vala za i N=10 gore, N=100 dolje; B) njegova

Fourierova preobrazba

17

NAČELO NEODREĐENOSTI:

Ovdje ćemo navesti klasični analog poznatog načela neodređenosti ili Heisebnergovog načela

iz kvantne mehanike. Ako radimo s elektromagnetskim valovima, tada je energija valnog

pulsa ili fotona i dana je sa izrazima:

Sa smo označili Planckovu konstantu, koja je mjera neodređenosti u energiji ulaznog pulsa.

Budući da valu od ciklusa za prolaz treba :

sekundi, također postoji i neodređenost u tom vremenu iznosa:

Za umnožak ove dvije neodređenosti dobiva se :

Orginalno Heisenbergovo načelo neodređenosti kaže da je :

što je očito zadovoljeno prethodnom relacijom koju smo izračunali.

3.4 Fourierova preobrazba derivacije

U prošlim odlomcima pokazali smo kako izvesti Fourierovu preobrazbu neke funkcije, a sada

ćemo pokazati i kako se izvodi Fourierova preobrazba derivacije funkcije, od koje ćemo imati

podosta koristi u rješavanju nekih karakterističnih problema koje ćemo u nastavku također

prikazati.

Koristeći eksponencijalni oblik, Fourierova preobrazba od je dana sa

√ ∫

Budući da je i derivacija opet nekakva funkcija od , pa stoga imamo:

18

√ ∫

izraz za Fourierovu preobrazbu derivacije. Ako parcijalno integriramo gornji izraz,dobivamo

sljedeći izraz:

√ |

√ ∫

Da bi Fourierova preobrazba od uopće postojala, mora iščezavati u (jer bi inače

cijeli integral za divergirao), pa je prvi član s desne strane gornjeg izraza jednak nuli,te

nam preostaje :

Fourierova preobrazba derivacije srazmjerna je samoj Fourierovoj preobrazbi funkcije, tj.

umjesto deriviranja, dobivamo samo množenje sa . Gornji izraz je lako poopćiti za

preobrazbu -te derivacije :

Ovo svojstvo će nam biti od velike koristi pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Rješimo sada nekoliko karakterističnih primjera uz pomoć gore navedenih izraza.

Zadatak 3.2 Valna jednadžba

Neka je 1-D valna jednadžba koja opisuje male titraje beskonačno duge žice sa slobodnim

krajevima :

U početnom trenutku, , položaj žice opisan je funkcijom

Primjernom Fourierove preobrazbe riješite gornju jednadžbu!

Rješenje:

Ovaj zadatak riješiti ćemo tako da ćemo iz prostora Fourierovom preobrazbom prijeći u

prostor. U tom prostoru će se jednadžba riješiti,a zatim ćemo inverznom Fourierovom

preobrazbom rješenje prebaciti nazad u prostor.

19

Pomnožimo obje strane valne jednadžbe s , te prointegrirajmo po na intervalu

jer je žica beskonačna.

∫

∫

Primjernom pravila za preobrazbu derivacije (3.4.1) na lijevu stranu gornjeg izraza slijedi:

gdje je y(k,t) Fourierova preobrazba od Y(x,t):

√ ∫

Možemo primjetiti da smo već znatno olakšali posao, umjesto početne parcijalne

diferencijalne jednadžbe, dobili smo običnu diferencijalnu jednadžbu, koju prepoznajemo kao

jednadžbu harmonijskog oscilatora:

Kao što znamo, dva opća rješenja jednadžbe harmonijskog oscilatora su dana u

trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku. Mi ćemo proučiti rješenje u obliku

eksponencijalne funkcije:

U gornja rješenja treba uračunati i početni uvjet Jednadžba za y u t=0 glasi:

√ ∫

Budući da je jednadžba harmonijskog oscilatora homogena, množenje rješenja s

konstantom (u )je također rješenje. Ako se za tu konstantnu (u ) odabere , tada rješenja

koja zadovoljavaju i jednadžbu oscilatora i početni uvjet izgledaju kao:

To je dakle rješenje u prostoru . Sada ćemo primjenom inverzne Fourierove preobrazbe ovo

rješenje prebaciti u početni prostor:

√ ∫

√ ∫

20

Funkcija F poznata je iz početnog uvjeta. Rješenje s predznakom + opisuje val koji se širi u

smjeru (onda je faza ), a rješenje sa predznakom – opisuje val koji se širi

smjeru (onda je faza ) . Valja također primjetiti da smo u ovom zadatku

primjenili postupak koji je skiciran na slici 3. Prvo smo Fourierovom preobrazbom problem iz

prostora prebacili u prostor i riješili ga u tom prostoru, a zatim smo inverznom

Fourierovom preobrazbom vratili rješenje u prostor .

Zadatak 3.3 Parcijalna diferencijalna jednadžba širenja topline (toplinski tok)

Kako bi prikazali još jednu preobrazbu parcijalne diferencijalne jednadžbe u običnu,

napravimo Fourierovu preobrazbu parcijalne diferencijalne jednadžbe toplinskog toka:

čije je rješenje temperatura u prostoru kao funkcija vremena. Radeći Fourierovu

preobrazbu obje strane ove jednadžbe (primjetimo da je ovdje varijabla zamjenjena sa ,

jer je vrijeme u PDJ toplinskog toka ), dobivamo :

√ ∫

što vodi na Običnu diferencijalnu jednadžbu za Fourierovu transformaciju funkcije u

vremenskoj varijabli ,

Integriranjem dobivamo

l

tj. :

Gdje je konstanta integracije i ovisi o varijabli , te je općenito određena početnim

uvjetima. Međutim , je početna prostorna raspodjela funkcije , stoga nam je

dana preobrazbom (u ) početne raspodjele funkcije označene sa Prebacujući ovo

rješenje nazad inverznom Fourierovom transformacijom, dobivamo:

√ ∫

Radi jednostavnosti, uzmimo smo da je - neovisna i integrirajmo sa nadopunom na

potpuni kvadrat u , te napravimo prigodne promjene varijabli i parametara (

). To nas vodi na partikularno rješenje PDJ toplinskog toka :

21

√

Efektivno,pokazali smo da je inverzna Fourierova preobrazba od

3.5. Teorem konvolucije

Promotrimo dvije funkcije i , čije su Fourierove preobrazbe i .

Nazovimo KONVOLUCIJOM funkcija i na intervalu s oznakom

integral:

√ ∫

Pošto se u gornjem itegralu i pojavljuju s različitim argumentima, uvodimo zamjenu

varijable integracije varijablom

tada gornji integral prelazi u:

∫

Budući da je nijema varijabla, njenom zamjenom u gornjem integralu zaključujemo

da je :

∫

∫

Primjerice, rješenje Poissonove jednadžbe :

∫

| |

se može prepoznati kao konvolucija gustoće naboja

i težinske funkcije

| |

22

U literaturi se često za ovakav postupak koristi njemači naziv faltung ili engleski naziv

folding (što bi značilo slaganje ili preklapanje), a smisao ovih naziva može se isčitati sa slike

5.

Slika 5. Primjer foldinga uz teorem konvolucije

Ako je zadana funkcija na slici

Tad sa slike vidimo da su prikazane funkcije i Sada je lako primjetiti da su

one zrcalne jedna drugoj u odnosu na pravac

odnosno, funkcija može se konstruirati preklopom funkcije oko pravca

.

Sada u integral (3.5.1) uvrstimo Fourierovu preobrazbu za

∫

√ ∫

∫

√ ∫ [∫

]

∫

23

Ovaj rezultat možemo protumačiti ovako: inverzna Fourierova preobrazba od UMNOŠKA

Fourierovih preobrazbi je konvolucija početnih funkcija . U posebnom slučaju kada je

, gornja relacija postaje :

∫

∫

PARSEVALOVA RELACIJA:

Relacije slične zadnjim dvijema koje smo izveli se također mogu izvesti i za Fourierovu

sinusnu i kosinusnu preobrazbu. Jednadžba (3.5.3) i odgvorajuće sinusne i kosinusne

preobrazbe često se nazivaju i Parsevalovim relacijama.

Krenimo sa :

∫

te umjesto i uvrstimo njihove Fourierove preobrazbe:

∫

∫

√

∫

√ ∫

√ ∫

√ ∫

∫

∫

∫

∫

Time je izvedena PARSEVALOVA RELACIJA:

∫

∫

Parsevalova relacija osigurava da,ako je normirana na jedinicu i njena Fourierova

preobrazba će također biti normirana na jedinicu. Ovo svojstvo ima jako veliki značaj u

kvantnoj mehanici. Primjerice u Fraunhoferovoj difrakciji, difrakcijski uzorak (amplituda) se

pojavljuje u obliku funkcije koja opisuje pukotinu. Sa intenzitetom koji je proporcionalan

kvadratu amplitude, Parsevalova relacija vodi na činjenicu da se energija koja prođe

pukotinom čini kao da se nalazi negdje u difrakcijskom uzorku- to je zakon o sačuvanju

energije.

24

3.6 reprezentacija

U složenijim dinamičkim problemima i u kvantnoj mehanici, količina gibanja i prostorni

položaj , se u jednadžbama pojavljuju u nekom smislu ravnopravno i ponegdje simetrično.

Ovdje ćemo proučiti i pokazati kako se sa kvantnomehaničke valne funkcije u koordinati ,

može prijeći na kvantnomehaničku valnu funkciju u koordinati .

To se naziva reprezentacijom. Proučimo 1-D valnu funkciju koja je rješenje

valne jednadžbe,

Ona ima sljedeća svojstva:

(1) je diferencijal vjerojatnosti nalaženja kvantnog objekta u dijelu

prostora između točaka i ;

(2) Budući da se radi o 1-D slučaju, kvantni objekt sigurno mora biti negdje na osi, a ta

vjerojatnost da se on nalazi bilo gdje na osi je jednaka jedinici :

∫

(3) Srednja vrijednost položaja kvantnog objekta ⟨ ⟩ se računa kao:

⟨ ⟩ ∫

Naš cilj je :

Pronaći funkciju koja ima svojstva analogna sa (1), (2) i (3), ali koja se odnosi na

količinu gibanja , a ne na položaj .

Ponovno, pošto se ovdje radi o 1-D slučaju, znači komponentu količine gibanja

(1) je diferencijal vjerojatnosti nalaženja kvantnog objekta u dijelu -

prostora između točaka i ;

(2) Budući da u jednodimenzionalnom slučaju objekt sigurno mora biti negdje na osi ,

tada je vejrojatnost da se ona nalazi na toj osi jednaka jedinici:

∫

(3) Srednja vrijednost količine gibanja kvantnog objekta ⟨ ⟩ se računa kao :

⟨ ⟩ ∫

Pokažimo sada da je funkcija Fourierova preobrazba funkcije , tj. da je

25

√ ∫

√ ∫

Ili trodimenzijski:

∭

Svojstvo (1) je definicija vjerojatnosti. Svojstvo (2) je normiranje, a zadovoljeno je zbog

Parsevalove relacije; ako je normirana na jedinicu, tada je i normirana na jedinicu.

Kako bismo provjerili svojstvo (3) moramo pokazati da je:

⟨ ⟩ ∫

∫

Gdje je

operator količine gibanja u prostornoj, tj. - reprezentaciji. Na mjesto i u

gornjoj relaciji uvrstimo njihove Fourierove preobrazbe:

∫

∫

√ ∫

√ ∫

∫

∫

∫

gdje je:

Tako da je sada:

∫

∫

∫

∫ [

]

Ako sada parcijalno integriramo gornji izraz po y, dobivamo :

∫ [

]

[ ]

∫

Član u uglatoj zagradi je jednak nuli jer je :

Ovo nam daje :

26

∫

∫

∫

∫

U gornjem izrazu možemo preopoznati reprezentaciju Diracove delta funkcije:

∫

te sada izraz postaje :

∫

∫

∫

∫ (

)

što smo i trebali pokazati.

Pokažimo sada korisnost ovih relacija na jednom zadatku!

Zadatak 3.4. Vodikov atom

Vodikov atom u osnovnom stanju je opisan prostornom valnom funkcijom

√

gdje je

Bohrov polumjer

Pronađite valnu funkciju osnovnog stanja vodikovog atoma u reprezentaciji!

Rješenje:

Ovaj problem je u 3-D, pa koristimo izraz:

∭

√ ∫

pri čemu znamo da se u izrazu radi o trostrukom integralu,no označili smo ga kao

jednostruki,to je čista simbolika označavanja.

Uz prepoznavanje tabličnog integrala:

27

∫

dobivamo traženu valnu funkciju:

Ovakav oblik valne funkcije pokazao se iznimno korisnim u objašnjavanju pojava kao što je

Comptonovo raspršenje od atomskih elektrona.

Vezu među prostornom i reprezentacijom možemo još detaljnije razjasniti pomoću

KOMUTATORA, odnosno osnovnih komutacijskih relacija kvantne mehanike. Moguć je

prijelaz sa klasičnog hamiltonijana na valnu jednadžbu pomoću zahtjeva da

količina gibanja (mislimo na no u daljnjem računu ćemo pisati samo ) i koordinata

položaja NE KOMUTIRAJU:

[ ]

U slučaju više čestica prethodni izraz postaje:

[ ]

ili prostornu reprezentaciju dobivamo izborom:

zamjenjujući količinu gibanja prostornom parcijalnom derivacijom.

Uz ove zamjene lako se vidi da je :

[ ]

Međutim jednadžbu komutatora (3.6.1) isto tako možemo zadovoljiti i izborom:

koji se naziva p reprezentacija. Opet lako vidimo da vrijedi:

[ ]

28

reprezentacija je općenito šire prihvaćena jer je potencijalna energija koja

se pojavljuje u hamiltonijanu većinom zadana u prostornim koordinatama, dok reprezentacija

momenta uglavnom vodi na integralne jednadžbe. Za primjer, promotriti ćemo slučaj

harmonijskog oscilatora.

Zadatak 3.5. Harmonijski oscilator

Klasični hamiltonijan slobodnog harmonijskog oscilatora je:

Prijeđite u kvantnu mehaniku i nađite valnu funkciju najnižeg energijskog stanja u

reprezentaciji.

Rješenje:

U reprezentaciji, zamjenama (3.6.2) u jednadžbi:

dobivamo :

Znamo da je valna funkcija koja odgovara energiji:

√

jednaka :

(

√

)

U reprezentaciji , u skladu sa zamjenama (3.6.3) jednadžba glasi:

Za istu vrijednost energije E= , gornja jednadžba postaje:

(

)

29

Rješenje ove jednadžbe možemo potražiti u eksponencijalnom obliku:

s rješenjem:

I prostorna i momentna reprezentacija mogu se koristiti ovisno o problemima koji se

rješavaju.

3.7 Funkcija transfera

Zamislimo vremenski ovisni električn puls koji je izgrađen pridodavanjem mnoštva

ravnih valova različitih frekvencija. Svaka kutna frekvencija doprinosi članom:

U tom slučaju cijelu se puls može zapisati u obliku:

∫

Množitelj 1/2 u ovom integralu potječe od veze kutne frekvencije i linearne frekvencije. No

međutim, ako je frekvencija onda, kako onda protumačiti njene negativne vrijednosti u

integralu od do 0? To možemo protumačiti kao jedan od načina da bi se izbjegao zapis

preko dviju funkcija: sinus i kosinus. Budući da (3.7.1) ima oblik Fourierove preobrazbe,

njena inverzna preobrazba je :

∫

Ova jednadžba predstavlja rastav pulsa po komponentama frekvencije. S druge strane,

jednadžba (3.7.1) predstavlja sintezu (sjedinjenje) pulsa iz njegovih komponenti.

Promotrimo sada jedna elektronički uređaj kao što je stereo pojačalo, čiji je način rada

prikazan na slici 6.

Ulazni signal opisati ćemo funkcijom , dok ćemo izlazni signal opisati funkcijom .

Ako ulazni signal ima samo jednu frekvenciju , odnosno ako ima oblik

pojačalo će promjeniti njegovu amplitudu, a također moguće je da promjeni i njegovu fazu.

Te promjene najviše ovise o frekvenciji ulaznog signala, stoga je izlazni signal oblika :

30

Funkcija opisuje promjenu amplitude i faze izlaznog signala u odnosu na ulazni signal i

ona se zove FUNKCIJA TRANSFERA. To je najčešće kompleksna funkcija s realnim

dijelom i imaginarnim dijelom :

Slika 6. Mehanizam stereo pojačala- uz funkciju transfera

U jednadžbi (3.7.3) smo pretpostavili da funkcija transfera ovisi o samo jednoj frekvenciji, ali

ne i o ulanzoj amplitudi ili o drugim frekvencijama. Znači da smo pretpostavili linearno

preslikavanje na . U tom slučaju se ukupni izlazni signal dobiva integracijom po

cijelom ulaznom signalu:

∫

Svaki takav uređaj,tj. pojačalo, ima svoju karakterističnu funkciju transfera. Ako znamo tu

funkciju, tada izlazni signal možemo lagano izračunati za svaki ulaz . Ako sada

shvatimo kao inverznu Fourierovu preobrazbu funkcije tada imamo:

∫

Uvrstimo sad (3.7.5) i (3.7.2) u (3.7.4) , te dobivamo:

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

31

Ovaj rezultat možemo protumačiti tako da ulaz,odnosno UZROK- , modificiran s

proizvodi izlaz, odnosno POSLJEDICU - . Kao što znamo, uzrok prethodi

posljedici, tako onda moramo zahtjevati da je . To postižemo zahtjevom:

Uz ovaj zahtjev jednadžba (3.7.6) postaje :

∫

4. Zaključak

Kao što smo vidjeli u proteklim poglavljima, Fourierov red, a naročito Fourierova preobrazba

imaju jako velik značaj kako u matematici, tako i u fizici, te pri analizi raznih signala. Vidjeli

smo da posebnu korisnost imamo od Fourierove preobrazbe derivacije s kojom smo riješili

valnu jednadžbu titranja beskonačne žice, te problem širenja topline, odnosno jednadžbu

toplinskog toka . Najveća primjena Fourierove preobrazbe u tim problemima je ta što nam

omogućuje prijelaz sa parcijalne diferencijalne jednadžbe u običnu, što je daleko lakši

problem za rješavanje. Veliku primjenu i korisnost također imamo i od teorema konvolucije te

Parsevalove relacije, osobito u kvantnomehaničkim problemima. Rješili smo slučaj atoma

vodika, našli smo valnu jednadžbu osnovnog stanja atoma vodika u reprezentaciji, te smo

riješili problem 1-D harmonijskog oscilatora, također u momentnoj reprezentaciji i to sve uz

pomoć Fourierove preobrazbe te smo tako olakšali rješavanje problema iz prostorne

reprezentacije. Također smo proučili i funkciju transfera koja igra veliku ulogu kod analize

raznih signala uređaja kao što su stereo pojačalo i slični uređaji. Možemo slobodno reći i

zaključiti da bi bez postojanja Fourierovih preobrazbi rješavanje mnogih matematičkih,

fizikalnih, te inženjerskih problema bilo znatno otežano, pa čak i jedva rješivo, te da danas u

znanosti i tehnici Fourierove preobrazbe igraju jednu od vodećih uloga u primjeni

matematičkog alata pri rješavanju velikog broja realnih prirodoslovnih i tehničkih problema.

32

5. Literatura

(1) Zvonko Glumac; Matematičke metode fizike- uvod ; Sveučilište J.J. Strossmayera u

Osijeku, Odjel za fiziku ; Osijek, 2007. -2013. g.

(2) George B. Arfken, Hans J. Weber ; Mathematical methods for physicists-sixth edition;

Miami University Oxford,OH; University of Virginia Charlottesville, VA; 2005.g.

(3) Eugene Butkov; Mathematical physics; St. John's University New York; New York;

1973.g.

(4) Domagoj Matijević i Stjepan Poljak; Fourierov red i Fourierova transformacija ;

http://e.math.hr/sites/default/files/br19/matijevic.pdf