FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2019/11/M22R.pdf© 2014 e-Banka nalog RIC....

© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.

FORMULE

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B =2 2

2 1 2 1( ) ( )x x y y− + −

● Linearna funkcija: ( )f x kx n= + ● Smerni koeficient premice: 2 1

2 1

y yk

x x

−=

−

● Naklonski kot premice: tank = ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1

k k

k k

−=

+

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)

● Trikotnik: 1 sin

2 2ccv

S ab = = = ( )( )( )s s a s b s c− − − , 2

a b cs

+ +=

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abc

RS

= , S

rs

= , ( )2a b c

s+ +

=

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3

, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R= = = =

● Deltoid, romb: 2

efS = ● Romb: 2 sinS a =

● Paralelogram: sinS ab = ● Trapez: 2

a cvS +

=

● Dolžina krožnega loka: 180

rl

=

● Ploščina krožnega izseka:

2

360r

S

=

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b cR

= = = ● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc = + −

3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S= + , V Sv=

● Piramida: plP S S= + , 13

V Sv=

● Krogla: 24P r= , 34

3r

V

=

● Valj: 22 2P r rv= + , 2V r v=

● Stožec:

2P r rs= + , 21

3V r v=

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1 + =

● sintancos

=

● cos( ) cos cos sin sin =

● sin( ) sin cos cos sin =

● 2

2

11 tancos

+ =

● sin2 2sin cos =

● 2 2cos2 cos sin = −

5. Kvadratna enačba in kvadratna funkcija

● 2 0ax bx c+ + =

● 2( )f x ax bx c= + +

● 2( ) ( )f x a x p q= − +

● 1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −

● Rešitvi: 1,2 2b D

xa

− = , 2 4D b ac= −

● Teme: ( , )T p q , 2

bp

a−

= , 4D

qa

−=


6. Logaritmi

● log xa y x a y= = ● log logn

a ax n x=

● log ( ) log loga a axy x y= + ● log

loglog

ab

a

xx

b=

● log log loga a ax

x yy= −

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d= + − , 1(2 ( 1) )2nn

s a n d= + −

● Geometrijsko zaporedje: 11

nna a q −= , 1

1

1

n

n

qs a

q

−=

−

● Navadno obrestovanje: 0nG G o= + , 0

100

G npo =

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r= , 1100

pr = +

8. Obdelava podatkov (statistika)

● Aritmetična sredina: 1 2 ... nx x xx

n

+ + +=

1 1 2 2

1 2

...

...k k

k

f x f x f xx

f f f

+ + +=

+ + +

9. Odvod

● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij:

1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

−= =

= =

= = −

= =

= =

= =

● Pravila za odvajanje:

( )

( )

( )

( )( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

kf x kf x

f x f x g x f x g x

g x g x

f g x f g x g x

+ = +

= +

=

−

=

=

10. Kombinatorika in verjetnostni račun

● Permutacije brez ponavljanja: !nP n=

● Variacije brez ponavljanja: !

( )!r

nn

Vn r

=−

● Variacije s ponavljanjem: ( )p r rnV n=

● Kombinacije brez ponavljanja: ( )!! !( )!

rr nn

V n nCrr r n r

= = =−

● Verjetnost slučajnega dogodka A : ( )število ugodnih izidov

število vseh izidovm

P An

= =


1. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, katere graf je na sliki.

(5 točk)

Rešitev 1. Skupaj 5 točk

• Zapis enačbe kvadratne funkcije, npr.: 1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − − ................................. 1 točka

• Upoštevani podatki, npr.: 6 (0 1)(0 3)a= − − .............................................................. 1 točka

• Izračunan koeficient, npr.: 2a = .................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Zapisana kvadratna funkcija, npr.: ( ) 2( 1)( 3)f x x x= − − ............................................ 1 točka

Opomba: Če kandidat samo izpiše potrebne podatke, dobi le 1 točko.

2. Narišite graf funkcije 1( )f xx

= in določite presečišče grafa s premico 2.y = −

(4 točke)


x0 1

1

y

Rešitev 2. Skupaj 4 točke

• Narisan graf funkcije 1( )f xx

= ....................................................................... (1 + 1*) 2 točki

• Narisana premica ali nastavek 1 2x= − ....................................................................... 1 točka

• Določeno presečišče: 1( , 2)2

P − − ............................................................................... 1 točka


3. Napišite kvadratno funkcijo, ki ima teme v točki ( 2,1)T − , njen graf pa seka ordinatno os pri 2.y =

(5 točk)


• Zapisana ali uporabljena enačba kvadratne funkcije ................................................. 1 točka

• Upoštevani podatki, npr.: 2( ) ( 2) 1f x a x= + + ............................................................ 1 točka

• Zapisano ali upoštevano presečišče z ordinatno osjo ................................................ 1 točka

• Določen koeficient: 14

a = .......................................................................................... 1 točka

• Določena funkcija, npr.: 21( ) ( 2) 14

f x x= + + .............................................................. 1 točka

4. Rešite enačbo ( ) ( )2 23 1 4 2 3 0x x x x+ − − − = .

(4 točke)


• Reševanje, npr.: 2 2 29 6 1 8 12 0x x x x x+ + − + − = ....................................................... 2 točki

(kvadriraje 1 točka, množenje 1 točka)

• Urejanje enačbe (tudi po napačnem kvadriranju ali množenju),npr.: 18 1 0x+ = .... 1* točka

• Rešitev: 1

18x = − ...................................................................................................... 1 točka

5. Dani sta funkciji 2( ) 1 in ( ) ( 3)( 1)f x x g x x x= − = + − .

5.1. Izračunajte ničle in temeni obeh funkcij.

(5 točk) 5.2. Narišite grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem.

(6 točk)

5.3. Izračunajte presečišči grafov funkcij ( ) in ( )f x g x .

(4 točke)


y

x

1

10


5.1. (5 točk)

• Funkcija ( )f x : 1 21, 1x x= − = ; ( )0,1fT ........................................................... (1 + 1) 2 točki

• Funkcija ( )1 2 ( ) : 3, 1; 1, 4gg x x x T= − = − − ..................................................... (1 + 2) 3 točke

5.2. (6 točk)

• Narisana grafa .................................................................................................. (3 + 3) 6 točk


5.3. (4 točke)

• Nastavitev ( ) ( )f x g x= ............................................................................................... 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 2 2 2 0x x+ − = ....................................................................... 1* točka

• Rešena enačba: 1 22, 1x x= − = ................................................................................. 1 točka

• Izračunani obe ordinati: 1 23, 0y y= − = ..................................................................... 1 točka

6. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, katere graf je na sliki.

(5 točk)



• Zapis kvadratne funkcije ............................................................................................. 1 točka

• Upoštevani podatki, npr.: 6 (0 1)(0 3)a− = − − ............................................................ 1 točka

• Izračunan koeficient, npr.: 2a = − .................................................................. (1* + 1) 2 točki

• Napisana kvadratna funkcija: ( ) 2( 1)( 3)f x x x= − − − ali

( )22( ) 2 8 6 ali ( ) 2 2 2f x x x f x x= − + − = − − + ............................................................ 1 točka

Opomba: Če kandidat izpiše vsaj dva pravilna podatka, dobi 1 točko.

7. Narišite krivuljo 3y x= in premico 1x = ter zapišite koordinati njunega presečišča.

(4 točke)

y

x

1

10


• Narisana krivulja 3y x= .............................................................................................. 2 točki

• Narisana premica 1x = .............................................................................................. 1 točka


• Določeno presečišče: ( )1,1P ...................................................................................... 1 točka

Opomba: Zadnjo točko dobi tudi kandidat, ki pravilno določi presečišče iz napačnih grafov.

8. Dani sta funkciji ( ) ( ) 212 in .2

xf x g x x x= = +

8.1. Narišite grafa danih funkciji v isti koordinatni sistem.

(7 točk)

8.2. Označite presečišča grafov in z računom pokažite, da je eno presečišče ( )2, 4 .P

(5 točk)

8.3. Izračunajte ( ) ( )5 6 .f g−

(3 točke)


y

x

1

10


8.1. (7 točk)


Graf funkcije ( ) 2xf x = :

• predstavlja graf eksponentne funkcije ........................................................................ 1 točka

• graf poteka skozi točko (0,1) ...................................................................................... 1 točka

Graf funkcije ( ) 212

g x x x= + :

• graf poteka skozi teme ( )11, 2

T − − ............................................................................. 2 točki

• graf poteka skozi točki ( ) ( )2,0 in 0,0− ........................................................... (1 + 1) 2 točki

• graf je parabola ........................................................................................................... 1 točka

8.2. (5 točk)

• Označeni presečišči ........................................................................................ (1 + 1) 2 točki

• ( )2 4f = ..................................................................................................................... 1 točka

• ( )2 4g = ..................................................................................................................... 1 točka

• Ugotovitev (2) (2)f g= ............................................................................................... 1 točka

8.3. (3 točke)

• Vrednosti: ..................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Razlika: 8 ................................................................................................................... 1 točka

9. Rešite enačbo ( ) ( ) ( )( )2

2 2 3 3 1 1 3x x x x x− + − = − + −

(4 točke)


• Razrešeni oklepaji (leva stran 1 točka, desna stran 1 točka) ....................................... 2 točki

• Urejena enačba, npr.: 10 10x− = − ........................................................................... 1* točka

• Rešitev: 1x = .............................................................................................................. 1 točka


10. Dana je funkcija 2( ) 4f x x x= + . Določite ničli, teme in natančno narišite graf funkcije ( )f x .

(5 točk)

x0 1

1

y


• Ničli: 1 24, 0x x= − = .................................................................................................... 1 točka

• Teme: ( )2, 4T − − ............................................................................................ (1* + 1) 2 točki

x

1

0 1

y

• Narisan graf ...................................................................................................... (1* + 1) 2 točki


11. Dani sta funkciji ( ) 2 6f x x x= − − + in ( ) 3.g x x= +

11.1. Narišite oba grafa v istem koordinatnem sistemu.

(7 točk) 11.2. Izračunajte koordinate presečišč obeh grafov.

(5 točk) 11.3. Izračunajte razdaljo med presečiščema. Rezultat delno korenite.

(3 točke)

x0 1

1

y


11.1. (7 točk)

• Narisana premica......................................................................................................... 1 točka Izračunano ali upoštevano:

• Ničli: 1 23, 2x x= − = .................................................................................................... 1 točka

• Teme: ( )1 1, 62 4

T − ........................................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Presečišče parabole in ordinatne osi: ( )N 0,6 ............................................................. 1 točka

• Pravilna parabola ............................................................................................. (1* + 1) 2 točki 11.2. (5 točk)

• Nastavljena enačba, npr.: 2 6 3x x x− − + = + .............................................................. 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 2 2 3 0x x+ − = .......................................................................... 1 točka


• Rešitvi enačbe: 1 23, 1x x= − = ......................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Izračunani ordinati 1 20, 4y y= = ................................................................................ 1 točka

x

1

0

y

1

Opomba: S slike odčitane koordinate presečišč se vrednotijo skupaj 3 točke.

11.3. (3 točke)

• Izračunana razdalja: 32 ............................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Rešitev: 4 2 .............................................................................................................. 1 točka

12. Dani sta kvadratna funkcija ( ) 2 4f x x x= − + in linearna funkcija ( ) 2 3g x x= − .

12.1. Zapišite ničli in koordinati temena funkcije ( )f x .

(5 točk) 12.2. Narišite grafa obeh funkcij v danem koordinatnem sistemu.

(5 točk) 12.3. Izračunajte koordinate presečišč grafov funkcij.

(5 točk)


1

1

0 x

y


12.1. (5 točk)

• Ničli: 1 20, 4x x= = ........................................................................................ (1*+1) 2 točki

• Določeno teme: 2, 4p q= = ali ( )2,4T ...................................................... (1*+2) 3 točke

12.2. (5 točk)


• Narisana parabola (ničli, teme, oblika) ...................................................... (1+1+1) 3 točke

• Narisana premica ..................................................................................................... 2 točki

12.3. (5 točk)

• Nastavljena enačba, npr.: 2 4 2 3x x x− + = − ........................................................... 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 2 2 3 0x x− − = ..................................................................... 1 točka

• Rešitvi enačbe: 1 21, 3x x= − = ................................................................................ 1 točka

• Izračunani tudi ordinati: 1 25, 3y y= − = ali

napisani točki ( )1 1, 5P − − , ( )2 3,3P ................................................................ (1*+1) 2 točki

13. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, ki ima teme v točki ( )T 1,8 in eno ničlo 1.x = −

(5 točk)


• Postopek, npr.: ( )2

( ) 1 8f x a x= − + (ali le 2( ) ( )f x a x p q= − + ) ................................. 1 točka

• Vstavljeni podatki, npr.: ( )2

( 1) 1 1 8 0f a− = − − + = ..................................................... 1 točka

• Izračunan koeficient: 2a = − ........................................................................... (1* + 1) 2 točki

• Rešitev, npr.: ( )2

( ) 2 1 8f x x= − − + ............................................................................ 1 točka

Opomba: Če na koncu kandidat iz pravilne temenske oblike zapiše napačno splošno obliko, vseeno dobi zadnjo točko.

14. Dana je enačba parabole: 2 6 5.y x x= − +


14.1. Parabolo natančno narišite.

(6 točk) 14.2. Zapišite enačbo premice, ki gre skozi teme parabole in je vzporedna abscisni osi.

(3 točke)

14.3. Izračunajte dolžino daljice, ki jo parabola odreže od premice 3.y = −

(6 točk)

y

x

1

10


14.1. (6 točk)

• Narisana parabola ........................................................................................................ 6 točk


Od tega za:

ničli: 1 21, x 5x = = ............................... 2 točki,

teme: ( )3, 4T − ..................................... 2 točki,

odsek na ordinatni točki: (0) 5f = ....... 1 točka,

pravilna oblika ..................................... 1 točka.

Opomba: Za le izračunani ničli dobi kandidat 1 točko, za le izračunano teme dobi kandidat

1 točko.

14.2. (3 točke)

• 4y = − ........................................................................................................................ 3 točke

Opomba: Za enačbo z vstavljenimi podatki ali za skozi teme narisano premico vzporedno osi x

dobi kandidat 2 točki.

14.3. (6 točk)

1. način:

• Zapisana enačba, npr.: 2 6 5 3x x− + = − .................................................................... 1 točka

• Urejena enačba: 2 6 8 0x x− + = ................................................................................ 1 točka

• Rešena enačba: 1 22, 4x x= = .................................................................................... 2 točki

• Izračunana razdalja: 2d = (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki

2. način:

• Narisana premica 3y = − ............................................................................................ 2 točki

• Določeni presečišči (lahko samo abscisi) .................................................................... 2 točki

• Izračunana razdalja: 2d = (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki

15. Dani sta kvadratna funkcija ( ) 2 2 3f x x x= − + + in linearna funkcija ( ) 3 1g x x= + .

15.1. Zapišite ničli in koordinati temena funkcije ( )f x .

(5 točk) 15.2. Narišite obe funkciji v danem koordinatnem sistemu.

(5 točk) 15.3. Izračunajte koordinate presečišč grafov funkcij.

(5 točk)


1

1

0 x

y


15.1. (5 točk)

• Ničli: 1 2 1, 3x x= − = .................................................................................... (1*+1) 2 točki

• Določeno teme: 1, 4p q= = ali ( )1,4T ...................................................... (1*+2) 3 točke

15.2. (5 točk)


• Narisana parabola .................................................................................................. 3 točke

• Narisana premica .................................................................................................... 2 točki

15.3. (5 točk)

• Nastavljena enačba, npr.: 2 2 3 3 1x x x− + + = + ..................................................... 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 2 2 0x x+ − = ...................................................................... 1 točka

• Rešitvi enačbe: 1 21, 2x x= = − .............................................................................. 1 točka

• Izračunani tudi ordinati: 1 24 , 5y y= = − ali

napisani točki ( )1 2, 5P − − , ( )2 1,4P ........................................................................... 2 točki

16. Z grafa kvadratne funkcije določite:

- ničli,

- zalogo vrednosti,

- za katere vrednosti x je funkcija negativna.

(5 točk)


x

1

y

10


• Ničli: 4, 0− ...................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Zaloga vrednosti, npr.: )2,− ................................................................................... 1 točka

• Funkcija je negativna na intervalu ( )4,0− .................................................................... 2 točki

Opomba: Če kandidat zapiše poljuben interval, na katerem je funkcija negativna, ali našteje nekaj vrednosti, za katere je funkcija negativna, dobi 1 točko od zadnjih dveh.

17. Izračunajte abscisi presečišč parabole 22 1y x x= − − + in premice 1.y x= +

(5 točk)


• Napisana enačba: 22 1 1x x x− − + = + ........................................................................ 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 22 2 0x x− − = .......................................................................... 1 točka

• Postopek reševanja .................................................................................................. 1* točka

• Rešitev: 1 21, 0x x= − = ................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat nadaljuje nalogo z računanjem ordinat ali presečišč, tega ne ocenjujemo.

18. Če šestkratnik nekega števila zmanjšamo za 9, dobimo kvadrat prvotnega števila. Izračunajte to število.

(4 točke)


• Zapis enačbe, npr.: 26 9x x− = .................................................................................. 1 točka

• Ureditev enačbe, npr.: 2 6 9 0x x− + = ....................................................................... 1 točka


• Reševanje ................................................................................................................. 1* točka

• Rešitev: 3 je iskano število. ....................................................................................... 1 točka

Opomba: Za uganjeno rešitev (le odgovor) dobi kandidat 1 točko. Za uganjeno in preverjeno rešitev pa vse 4 točke.

19. Dani sta enačbi parabole 21 32 2

y x x= − − in premice 32

y x= − .

a) Parabolo in premico natančno narišite v dani koordinatni sistem.

(8 točk) b) Izračunajte abscisi presečišč parabole in premice.

(4 točke) c) Za katere x leži premica nad parabolo?

(3 točke)

y

x

1

10


19.1. (8 točk)


• Narisana parabola (ničli, teme, začetna vrednost, oblika) .................... (2 + 2 + 1 + 1) 6 točk

• Narisana premica ......................................................................................................... 2 točki

Opomba: Samo izračunani ničli: 1 21, 3x x= − = ............... 1 točka.

Samo izračunani koordinati temena (1, 2)T − ... 1 točka.

19.2. (4 točke)

• Nastavek, npr.: 21 3 32 2 2

x x x− − = − ........................................................................... 1 točka

• Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka

• Rešitev enačbe: 1 20, 4x x= = ........................................................................ (1 + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat "pokvari" rezultat z napačnimi ordinatami presečišč, to toleriramo. 19.3. (3 točke)

• Nastavitev neenačbe, npr.: 23 1 32 2 2

x x x− − − ......................................................... 1 točka

• Reševanje ................................................................................................................. 1* točka

• Odgovor: Na intervalu ( )0,4 (ali 0 4x ) ............................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat prebere rešitev s slike, dobi vse 3 točke.

20. Dana je parabola 2 2 3y x x= + − . Izračunajte koordinati temena in koordinate presečišč s

koordinatnima osema. Parabolo narišite.

(5 točk)


y

x0

1

1


• Izračunani ničli: 1 23, 1x x= − = ................................................................................... 1 točka

• Napisano presečišče z osjo y : ( )0, 3N − ................................................................... 1 točka

• Izračunani koordinati temena: ( 1, 4)T − − ..................................................................... 1 točka


y

x0

1

1

T

• Narisana parabola:

graf poteka skozi značilne točke, pravilna oblika ............................................ (1 + 1) 2 točki

21. Izračunajte abscisi presečišč parabole 2 2 5y x x= + + in premice 3 7y x= + .

(5 točk)


• Napisana enačba: 2 2 5 3 7x x x+ + = + ....................................................................... 1 točka

• Urejena enačba, npr.: 2 2 0x x− − = ........................................................................ 1* točka

• Postopek reševanja .................................................................................................... 1 točka

• Rešitev: 1 21, 2x x= − = .................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat "pokvari" rezultat z zapisom točke npr. ( 1,2)− ali če napačno izračuna še

ordinati točk, v celoti izgubi 1 točko.

22. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, katere graf seka abscisno os pri 1 21 in 3,x x= − = ordinatno

os pa v točki ( )30,2

A .

(5 točk)


1. način:

• Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka


• Upoštevanje ničel, npr.: ( )( )1 3 0a x x+ − = ............................................................... 1 točka

• Upoštevanje točke A, npr.: ( )( ) 30 1 0 32

a + − = .......................................................... 1 točka

• Izračunan koeficient: 12

a = − ..................................................................................... 1 točka

• Rešitev, npr.: ( )( )1( ) 1 32

f x x x= − + − ........................................................................ 1 točka

2. način:

• Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka

• Zapis sistema enačb, npr.:

0

9 3 0

30 02

a b c

a b c

c

− + =

+ + =

+ + =

.................................................................. 1 točka

• Reševanje sistema enačb ........................................................................................ 1* točka

• Rešitev sistema: 1 3, 1,2 2

a b c= − = = .......................................................................... 1 točka

• Rešitev: 21 3( )2 2

f x x x= − + + ..................................................................................... 1 točka

23. Natančno narišite graf funkcije 2( ) 4 4f x x x= − + .

(4 točke)

y

x

1

10


• Ničla: 1,2 2x = .............................................................................................................. 1 točka


• Graf poteka skozi ( )0,4P in ( )2,0T ............................................................... (1 + 1) 2 točki

• Oblika parabole ........................................................................................................... 1 točka

Opomba:Če graf ni narisan, dobi kandidat največ 2 točki.

24. Dani sta parabola 2 2 2y x x= − + in premica 2 1.y x= −

24.1. Izračunajte koordinate presečišč parabole in premice.

(5 točk) 24.2. Parabolo in premico natančno narišite v isti koordinatni sistem.

(6 točk) 24.3. Izračunajte kot, ki ga premica oklepa z abscisno osjo.

Kot zapišite v stopinjah in minutah.

(4 točke)


x

y

1

1

0


24.1. (5 točk)

• Nastavitev enačbe, npr.: 2 2 2 2 1x x x− + = − ............................................................. 1 točka


• Rešitev enačbe: 1 21, 3x x= = ......................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Izračunani ordinati: 1 21, 5y y= = ............................................................................... 1 točka

24.2. (6 točk)


• Narisana parabola s temenom (1,1)T , odsekom 2 na ordinatni osi

in pravilne oblike ....................................................................................... (1 + 1 + 2) 4 točke

Opomba: Samo za izračun temena in odseka na ordinatni osi dobi kandidat (1 + 1) 2 točki.

• Narisana premica ......................................................................................................... 2 točki

24.3. (4 točke)

• Uporaba zveze: tan 2 = .......................................................................................... 2 točki

(Samo tan k = le 1 točka.)

• Izračunana velikost kota: o63,4349 .................................................................... 1 točka

• Rešitev zapisana v stopinjah in minutah, npr.: o63 26' ........................................ 1 točka

25. Dani sta funkciji 2( ) 4 4f x x x= − + in ( ) .g x x=

25.1. Izračunajte ničli in koordinati temena funkcije ( )f x ter natančno narišite grafa obeh funkcij

v isti koordinatni sistem.

(7 točk)

25.2. Izračunajte koordinate presečišč grafov funkcij ( )f x in ( ).g x

(4 točke) 25.3. Izračunajte razdaljo med presečiščema. Rezultat delno korenite.

(4 točke)


x

y

1

10


25.1. (7 točk)

• Ničle: 2 4 4 0x x− + =

( )( ) 1,22 2 0, 2x x x− − = = ................................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko za ustrezen postopek iskanja ničel.

• Izračunane koordinate temena, npr.:

( )2

4 4 1 44 2, 02 4 1

p q− − −

= − = = =

............................................................... (1 + 1) 2 točki

• Narisana parabola ....................................................................................................... 2 točki

• Narisana premica ........................................................................................................ 1 točka


25.2. (4 točke)

• Nastavljena enačba: 2 4 4x x x− + = .......................................................................... 1 točka

• Reševanje enačbe: ................................................................................................... 1* točka

• Rešitev: 1 1 2 21, 1 in 4, 4x y x y= = = = ali ( ) ( )1 21,1 in 4,4T T ............................ (1 + 1) 2 točki

25.3. (4 točke)

• Razdalja: ( ) ( ) ( )2 2

1 2, 4 1 4 1 3 2d T T = − + − = ............................... (1* + 1* + 1 + 1) 4 točke

(postopek, uporaba podatkov, izračun, delno korenjenje)

26. Dani sta kvadratni funkciji 21( )2

f x x= in 2( ) 3g x x x= − − .

26.1. Narišite grafa obeh funkcij v dani koordinatni sistem.

(6 točk) 26.2. Izračunajte presečišči grafov danih funkcij.

(6 točk)

26.3. Izračunajte ( ) ( )2 1f g− − .

(3 točke)


y

x

1

10


26.1. (6 točk)

• Narisan graf funkcije f .............................................................................................. 3 točke

• Narisan graf funkcije g .............................................................................................. 3 točke

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za ničli, 1 točko za teme in 1 točko za obliko.


y

x

1

10

26.2. (6 točk)

• Zapis enačbe, npr.: 2 21 32

x x x= − − ........................................................................... 1 točka

• Reševanje enačbe, npr.: 2 2 0x x+ = ....................................................................... 1* točka

• Izračunani abscisi presečišč: 1 0x = in 2 2x = − .............................................. (1 + 1) 2 točki

• Zapis presečišč: ( )1 0,0P in ( )2 2,2P − ............................................................. (1 + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi vse točke, tudi če presečišči prebere iz preglednic.

26.3. (3 točke)

• Izračun: ( )2 2f = ....................................................................................................... 1 točka

• Izračun: ( )1 2g − = ...................................................................................................... 1 točka

• Izračun: ( ) ( )2 1 0f g− − = .......................................................................................... 1 točka

27. Skicirajte graf kvadratne funkcije 2( ) 2 8 6f x x x= − + v dani koordinatni sistem.

(5 točk)


y

x0

1

1


• Ničli funkcije: 1 1x = in 2 3x = ......................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Presečišče grafa z ordinatno osjo ( )0,6N ali teme ( )2, 2T − ...................................... 1 točka


x

y

1

10

( )f x

• Skica grafa ................................................................................................................... 2 točki

28. Na sliki je graf kvadratne funkcije.

x

y

1

1

0

Za to funkcijo zapišite:

ničli:

teme:

kje funkcija narašča:


kje je funkcija pozitivna:

(4 točke)


• Ničli: 1 20, 4x x= = ..................................................................................................... 1 točka

• Teme: ( )2,3T ali 2, 3p q= = ................................................................................... 1 točka

• Funkcija narašča: ( ,2− ali 2x ............................................................................ 1 točka

Opomba: Kandidat dobi 1 točko tudi za ( ),2− ali 2x .

• Funkcija je pozitivna: ( )0,4 ali 0 4x ................................................................... 1 točka

29. Brez uporabe žepnega računala rešite kvadratno neenačbo: 2 3 2 0x x+ + .

(5 točk)


• Razcep, npr.: ( )( )2 1 0x x+ + .................................................................................. 1 točka

• Zapis ali upoštevanje ničel: 1 22, 1x x= − = − .............................................................. 1 točka

• Postopek iskanja rešitve neenačbe, npr. skica parabole ......................................... 1* točka

• Rezultat, npr.: ( )2, 1x − − ................................................................................ (1 +1) 2 točki

30. Dani sta funkciji ( ) 3 1f x x= + in 2( ) 3g x x= − . Izračunajte presečišči grafov funkcij f in g .

(5 točk)

Rešitev 30. Skupaj (5 točk)

• Zapis enačbe, npr.: 23 1 3x x+ = − ............................................................................. 1 točka

• Poenostavitev enačbe, npr.: 2 3 4 0x x− − = .............................................................. 1 točka


• Izračun abscis presečišč: 1 24, 1x x= = − .................................................................... 1 točka

• Zapis presečišč, npr.: ( ) ( )1 24,13 , 1, 2P P − − ............................................................... 1* točka

Opomba: Če kandidat pravilno najde eno presečišče, dobi od zadnjih dveh točk le eno točko.

31. Rešite enačbo: ( )( ) ( )2

2 3 1 1 12.x x x+ + =- - -

(5 točk)


• Odpravljeni oklepaji, npr.: ( )( ) 22 3 1 2 4 6x x x x− + = − − ............................................ 1 točka


• Odpravljena oklepaja, npr.: ( )2 21 2 1x x x+ = + + ....................................................... 1 točka

• Poenostavljena enačba, npr.: 2 6 5 0x x− + = .......................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko za pravilno poenostavljanje enačbe, dobljene z nepravilnim odpravljanjem oklepajev.

• Rešitvi: 1 21, 5x x= = ....................................................................................... (1 + 1) 2 točki

32. Dana je funkcija 2( ) 2 3.f x x x= + -

32.1. Zapišite presečišča s koordinatnima osema in teme grafa dane funkcije.

(5 točk) 32.2. Narišite graf funkcije in zapišite, za katere vrednosti x je funkcija negativna.

(4 točke)

32.3. Zapišite enačbo tangente na krivuljo v točki ( )02, .T y

(6 točk)

x

y

1

10



32.1. (5 točk)

• Zapisana presečišča s koordinatnima osema:

( ) ( ) ( )1 23,0 1,0 0, 3, , x x yP P P −− .................................................................. (1 + 1 + 1) 3 točke

Opomba: Če kandidat pravilno izračuna samo ničli in začetno vrednost funkcije f , dobi 2

točki.

• Teme: ( )1, 4T − − .............................................................................................. (1 + 1) 2 točki

32.2. (4 točke)

x

y

1

10-3

-3

( )f x

• Graf funkcije poteka skozi izračunane točke in ima pravilno obliko ............... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če poteka graf funkcije skozi napačno izračunane točke.

• Rešitev neenačbe: npr.: ( )3,1x − ................................................................ (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če določi interval iz napačno narisanega grafa.

32.3. (6 točk)

• Izračun ordinate točke T : 0 5y = ............................................................................... 1 točka

• Odvod funkcije: ( ) 2 2f x x = + .................................................................................... 1 točka

• Izračun smernega koeficienta tangente: ( )2 6tk f == ................................ (1* + 1) 2 točki

• Uporaba formule: y kx n= + ali ( )0 0y y k x x− = − .................................................. 1* točka

• Rezultat: 6 7y x= − .................................................................................................... 1 točka

33. Zapišite kvadratno funkcijo, ki ima teme v točki ( 1,1)T − in eno ničlo 1 2.x =


(5 točk)


• Uporabljena ustrezna pot reševanja, npr.: 2( ) ( )f x a x p q= − + ...................................... 1 točka

• Upoštevani podatki, npr.: 2( ) ( 1) 1f x a x= + + .................................................................. 1 točka

• Upoštevana ničla, npr.: 2(2 1) 1 0a + + = .......................................................................... 1 točka

• Določen koeficient: 19

a = − ............................................................................................. 1 točka

• Določena funkcija, npr.: 21( ) ( 1) 19

f x x= − + + ................................................................. 1 točka

34. V preglednici je tabelirana kvadratna funkcija:

x ( )f x

2− 5−

1− 0

0 3

1 4

2 3

3 0

4 5−

34.1. Iz preglednice odčitajte in zapišite:

ničli funkcije: __________________________

teme funkcije: __________________________

presečišče grafa z osjo :y __________________________

Narišite graf funkcije v dani koordinatni sistem.

(6 točk)

34.2. Zapišite enačbo kvadratne funkcije .f

(5 točk)

34.3. Zapišite enačbo tangente na graf kvadratne funkcije 2( ) 2 3f x x x= − + +

v točki ( )2,3 .T

(4 točke)


x

y

1

10


34.1. (6 točk)

• Ničli funkcije, npr.: 1 21, 3x x= =- ................................................................... (1 + 1) 2 točki

• Teme funkcije, npr.: ( )1,4T ........................................................................................ 1 točka

• Presečišče grafa z osjo y , npr.: ( )0,3N ................................................................... 1 točka

• Narisana parabola ........................................................................................... (1 + 1) 2 točki


x

y

1

10-1 2 3-2

( )f x

34.2. (5 točk)

• Zapis ali uporaba ene izmed oblik enačbe kvadratne funkcije ................................... 1 točka

• Izračun koeficienta: 1a = − ............................................................................. (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če uporabi pravilni postopek za izračun vodilnega koeficienta.

• Zapis enačbe kvadratne funkcije, npr.: 2( ) 2 3f x x x= − + + ........................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če pravilno upošteva napačno izračunan vodilni koeficient.

34.3. (4 točke)

• Odvod funkcije: ( ) 2 2f x x = − + ................................................................................. 1 točka

• Izračun smernega koeficienta tangente: ( )2 2tk f = = − ........................................ 1* točka

• Izračun prostega člena tangente: 7n = ................................................................... 1* točka

• Zapis enačbe tangente, npr.: 2 7y x= − + .................................................................. 1 točka

35. Dana je kvadratna funkcija 2( ) 2 3f x x x= − − .

35.1. Izračunajte ničli, začetno vrednost in teme funkcije f ter njen graf narišite v dani

koordinatni sistem.

(6 točk)

35.2. Zapišite enačbo tangente na graf funkcije f v točki ( )04,D y .


(6 točk) 35.3. Izračunajte oddaljenost točke D od koordinatnega izhodišča. Rezultat zaokrožite

na dve mesti natančno.

(3 točke)

x

y

1

10


35.1. (6 točk):

• Izračunani ničli: 1 23, 1x x= = − ................................................................................... 1 točka

• Izračunana začetna vrednost: ( )0 3f = − .................................................................. 1 točka

• Izračun temena: ( )1, 4T − ............................................................................................ 1 točka


x

y

1

10-1

-3

3

-4

( )f x

• Graf funkcije (pravilno upoštevanje ničel,

začetne vrednosti in temena) ................................................................ (1* + 1* + 1) 3 točke

Opomba: Kandidat dobi prvo postopkovno točko, če graf funkcije poteka skozi izračunani ničli, začetno vrednost in teme. Kandidat dobi drugo postopkovno točko, če ima graf funkcije pravilno obliko.

35.2. (6 točk):

• Izračun ordinate točke D : 0 5y = .............................................................................. 1 točka

• Odvod funkcije: ( ) 2 2f x x = − ................................................................................... 1 točka

• Izračun smernega koeficienta tangente: ( )4 6tk f = = ................................. (1* + 1) 2 točki

• Uporaba formule: y kx n= + ali ( )0 0y y k x x− = − .................................................. 1* točka

• Rezultat: 6 19y x= − .................................................................................................. 1 točka

35.3. (3 točke):

• Uporaba obrazca, npr.: ( ) ( )2 2

( , ) 4 0 5 0d O D = − + − ............................................... 1 točka

• Rezultat in pravilno zaokroževanje: ( , ) 41 6,4d O D = .............................. (1 + 1*) 2 točki

36. Dana je funkcija 2( ) 2 8f x x x= − + + . Določite teme in presečišča grafa funkcije s koordinatnima

osema.

(5 točk)



•...........................................................................................................................................................T

eme, npr.: ( )1,9T ali 1p = , 9q = ......................................................................... (1* + 1) 2 točki

•...........................................................................................................................................................P

resečišče z ordinatno osjo (0) 8f = ali ( )0,8N ................................................................ 1 točka

•...........................................................................................................................................................Ničli oz. presečišči z abscisno osjo po formuli ali z razstavljanjem:

1 24, 2x x= = − ali ( ) ( )2,0 , 4,0A B− ...................................................................... (1* + 1) 2 točki

37. Izračunajte, za kateri x ima kvadratna funkcija 2( ) 4 1f x x x= + − najmanjšo vrednost. Kolikšna je

ta vrednost?

(4 točke)


•...........................................................................................................................................................I

zračunana abscisa temena (po formuli ali s temensko obliko): 2p = − ............... (1* + 1) 2 točki

•...........................................................................................................................................................I

zračunana ordinata temena (po formuli ali s temensko obliko): 5q = − ........................... 1 točka

•...........................................................................................................................................................O

dgovor: Za 2x = − ima funkcija najmanjšo vrednost 5− . ................................................ 1 točka

38. Dana je funkcija 2( ) 4 .f x x x= − Določite ničli, teme in natančno narišite graf funkcije ( ).f x

(5 točk)


x

y

10

1


•...........................................................................................................................................................N

ičli: 1 20, 4x x= = .............................................................................................................. 1 točka

•...........................................................................................................................................................T

eme: (2, 4)T − ...................................................................................................... (1* + 1) 2 točki


y

1

1 x0

•...........................................................................................................................................................Narisan graf ......................................................................................................................... 2 točki

39. Rešite enačbo: 2 22( 3) 3( 2) 3 2x x x− − + + = .

(4 točke)

Rešitev Naloga

Točke Rešitev Dodatna navodila

39 1 kvadrat dvočlenika: ( )2 22 4 4x x x+ = + +

1 poenostavljena enačba, npr.: 2 22 6 3 12 12 3 2x x x x− − − − + =

1 reševanje linearne enačbe

1 rešitev: 2x = −

Skupaj 4

40. Dana je funkcija 2( ) 2f x x= − + .

40.1. Izračunajte ničle, teme in začetno vrednost funkcije f .

(6 točk)

40.2. Narišite graf funkcije f . Kako ga imenujemo?

(4 točke)

40.3. Izračunajte presečišči grafa funkcije f in premice z enačbo 2 1y x= − .

(5 točk)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


40.1 1 postopek računanja ničel

2 izračun ničel, npr.: 1 2x = , 2 2x = − 1 + 1

2 izračun in zapis temena, npr.: ( )0,2T 1 + 1

1 izračun začetne vrednosti: ( )0 2f =

Skupaj 6

Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila

40.2 3 narisan graf 1* + 1* + 1 Kandidat dobi prvo postopkovno točko, če graf funkcije poteka skozi izračunani ničli, teme in začetno vrednost. Kandidat dobi drugo postopkovno točko, če ima


funkcije

x

y

10

1

f(x)

graf funkcije pravilno obliko.

1 odgovor: Parabola.

Skupaj 4


40.3 1 zapis enačbe, npr.: 2 2 2 1x x− + = −

1 reševanje enačbe

1 rešitvi enačbe, npr.: 1 3x = − , 2 1x =

1 izračun ordinat presečišč, npr.: 1 7y = − , 2 1y =

1 zapis presečišč, npr.: ( )1 3, 7P − − , ( )2 1,1P

Skupaj 5

41. Na sliki je graf kvadratne funkcije f . Rešite neenačbo ( ) 0f x .


x

y

10

1

(4 točke)

Rešitev Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila

41 2 zapis ali upoštevanje, da sta 0 in 4 ničli funkcije f 1 + 1

2 rešitev, npr.: ( ) 0f x za 0x ali za 4x 1 + 1 Kandidat dobi 1 točko, če na abscisni osi samo označi

območje, kjer je ( ) 0f x .

Skupaj 4 Kandidat izgubi v celoti eno točko, če pri rešitvi zapiše stroga neenačaja.

42. Rešite enačbo: 2 23 3 27.x x =

(5 točk)

Rešitev Naloga



42 1 zapis ali upoštevanje, da je 327 3=

1 zapis enačbe, npr.: 2 2 3x x+ =

1* reševanje kvadratne enačbe

2 rešitvi, npr.: 1 1,x = 2 3x = − 1 + 1

Skupaj 5

43. Narišite graf kvadratne funkcije 2( ) 2.f x x x= − + +

(5 točk)

Rešitev Naloga


43 1 izračun ničel, npr.: 1 1x = − in 2 2x =

1 zapis ali uporaba začetne vrednosti, npr.: (0) 2f =

1 zapis ali uporaba temena, npr.: ( )1 1,2

2 4T

2 narisan graf kvadratne funkcije

y

1

1 x0–1 2

( )f x

1* + 1 Kandidat dobi postopkovno točko, če parabola poteka skozi izračunane točke.

Skupaj 5

44. Izračunajte, za katere vrednosti spremenljivke x velja 2 4 0.x −

(4 točke)

Rešitev Naloga


44 1* ustrezen postopek reševanja kvadratne neenačbe

1 ugotovitev, da sta 1 2x = in 2 2x = − rešitvi


kvadratne enačbe 2 4 0x − =

2 rešitev, npr.: 2 ali 2x x − 1 + 1 Če kandidat zapiše, da je

rešitev 2 ali 2x x − , dobi

le 1 točko.

Skupaj 4

45. Dana je funkcija 2( ) 2 8.f x x x= − + +

45.1. Izračunajte:

ničli: __________________________

začetno vrednost: ________________

teme funkcije: ___________________

(5 točk)

45.2. Narišite graf funkcije f v dani koordinatni sistem. Zapišite:

definicijsko območje funkcije f : _____________________

zalogo vrednosti funkcije f : _________________________

(5 točk)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


45.1 2 izračun ničel, npr.: 1 2x = − , 2 4x = 1 + 1

1 izračun začetne vrednosti, npr.: (0) 8f =

2 izračun temena, npr.: (1,9)T 1 + 1

Skupaj 5


45.2 3 narisan graf funkcije 1* + 1* + 1


y

1

x10

89

Kandidat dobi prvo postopkovno točko, če graf poteka skozi ničle funkcije. Kandidat dobi drugo postopkovno točko, če graf funkcije poteka skozi začetno vrednost funkcije.

1 zapis definicijskega območja, npr.: fD =

1 zapis zaloge vrednosti, npr.: ( , 9fZ = −

Skupaj 5

46. Parabola je dana z enačbo 2 4 3y x x= + + . Izračunajte teme parabole, presečišča parabole s

koordinatnima osema in parabolo narišite v dani koordinatni sistem.

(6 točk)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


46 2 zapis presečišč z abscisno osjo, npr.:

( )1 23,0 , ( 1,0)x xP P− −

1 + 1

1 zapis presečišča z ordinatno osjo, npr.:

( )0,3yP

1 zapis temena, npr.: ( )2, 1T − −

2 narisana parabola 1* + 1 Kandidat dobi postopkovno točko, če parabola poteka skozi izračunane točke.


y

1

x10

-1

3

-1-3

Skupaj 6

47. Izračunajte ničli funkcije ( ) 2 5 4f x x x= + + in koordinati temena grafa te funkcije. Zapišite

presečišče grafa funkcije f z ordinatno osjo. V dani koordinatni sistem narišite graf funkcije .f

(6 točk)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


47 1 izračun ničel, npr.: 1 4x = − in 2 1x = −

2 izračun temena, npr.: ( )5 9,

2 4T − −

1 + 1

1 zapis presečišča, npr.: (0,4)P

2 narisan graf kvadratne funkcije

x10

1

y

1* + 1 Kandidat dobi postopkovno točko, če narisana krivulja poteka skozi teme in presečišča grafa funkcije s koordinatnima osema.


Skupaj 6

48. Površina zemljišča v obliki pravokotnika je 21000 m . Ena stranica je za 10 m daljša od druge.

Izračunajte dolžino krajše stranice.

(5 točk)

Rešitev Naloga


48 2 zapis ali upoštevanje zvez med stranicama,

npr.: 1000a b = , 10a b= +

1 + 1

1 zapis kvadratne enačbe, npr.:

( )10 1000b b+ =

1* reševanje enačbe

1 dolžina krajše stranice, npr.: 27,02 mb =

Skupaj 5

FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2019/11/M22R.pdf© 2014 e-Banka nalog RIC....

Documents

Transcript of FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2019/11/M22R.pdf© 2014 e-Banka nalog RIC....