Formulation du modèle MiSP coque tridimensionnel dégénéré
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Revue Européenne des ÉlémentsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tecm19
Formulation du modèle MiSP coque tridimensionneldégénéréRezak Ayad a , Jean-Louis Batoz b & Gouri Dhatt ca Université de Reims Champagne-Ardenne Groupe de Mécanique Matériaux et Structures(GMMS) , EA 2617, ESIEC, Esp Roland Garros BP 1029, F-51686 , Reimsb InSIC, 27 rue d'Hellieule , F-88100 , Saint-Dié des Vosgesc Laboratoire Roberval, Université de Technologie de Compiègne , UPRES A 6066, Centrede Recherche de Royallieu BP 20529, F-60205 , Compiègne cedexPublished online: 26 Apr 2012.
To cite this article: Rezak Ayad , Jean-Louis Batoz & Gouri Dhatt (2002) Formulation du modèle MiSP coquetridimensionnel dégénéré, Revue Européenne des Éléments, 11:6, 719-747
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Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002, pages 719 à 747
Formulation du modèle MiSPcoque tridimensionnel dégénéré
Rezak Ayad* — Jean-Louis Batoz** — Gouri Dhatt***
* Université de Reims Champagne-ArdenneGroupe de Mécanique Matériaux et Structures (GMMS)EA 2617, ESIEC, Esp Roland GarrosBP 1029, F-51686 Reims
** InSIC, 27 rue d’HellieuleF-88100 Saint-Dié des Vosges
*** Laboratoire Roberval, Université de Technologie de CompiègneUPRES A 6066, Centre de Recherche de RoyallieuBP 20529, F-60205 Compiègne cedex
RÉSUMÉ. Ce travail traite d’une approche variationnelle mixte pour l’analyse linéaire descoques. Le modèle MiSP (Mixed Shear Projection) est basé sur le principe de Hellinger-Reissner, avec une représentation particulière des déformations de cisaillement transversal.Pour améliorer le comportement membranaire des coques, une représentation 3D du concept« Fiber Rotation » est faite. Elle sera adaptée à la formulation du modèle MiSP dégénéré.Deux éléments de coque à 4 nœuds sont développés : MiSP4-Q4 et MiSP4-FRQ. Des tests devalidation standards sont présentés. Ils montrent une bonne convergence des deux élémentsfinis.
ABSTRACT. This work deals with a mixed variational approach for the linear analysis ofshells. MiSP model (Mixed Shear Projection) is based on the Hellinger-Reissner principlewith a particular representation of the transverse shear strains. To improve the membranebehaviour of shells, a 3D representation of the “Fiber Rotation” concept is made andadapted to the formulation of the degenerated MiSP model. Two 4-node shell finite elementsare developed: MiSP4-Q4 and MiSP4-FRQ. Several tests usually used to validate shellelements are presented. These show a quite good behaviour of these two elements.
MOTS-CLÉS : élément fini, coque, formulation mixte, Reissner-Mindlin, rotation de fibre plane.
KEYWORDS: finite element, shell, mixed formulation, Reissner-Mindlin, in-plane fiber rotation.
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720 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
1. Introduction
Les éléments finis utilisés pour la discrétisation géométrique des coques sontparmi les plus difficiles à concevoir. Deux approches sont aujourd’hui largementutilisées : la première est celle qui consiste à approcher la coque par un ensemble desurfaces (ou facettes) planes de préférence triangulaires pour tenir compte dessurfaces gauches si elles existent, c’est l’approche dite « facettes planes », lesnormales aux nœuds sont en général discontinues. Les éléments finis correspondantssont obtenus par combinaison des éléments de membrane et de plaque en flexionavec ou sans effet de cisaillement transversal (CT). Le couplage membrane flexionest mis en évidence après transformation des variables nodales locales dans le repèreglobal. Les travaux ou articles traitant de cette approche sont très nombreux. Onpourra consulter les ouvrages [COO 89, ZIE 91, BAT 92] pour plus de détails. Leséléments de coque à facettes planes sont simples à formuler et sont capables dereprésenter les mouvements de corps rigides. Ces éléments ont quelquesinconvénients [YAN 90], à savoir une limitation à leur forme triangulaire si la coquediscrétisée présente un gauchissement, et une lenteur de la convergence dans le casdes problèmes sensibles aux défauts de géométrie, tels que le flambement [LAR 90].L’approche par facettes planes a été introduite pour la première fois en 1961 parGreen et al [GRE 61]. Une liste d’éléments plats assez connus est présentée parYang et al. [YAN 90]. Des éléments mixtes et hybrides sont également formulés àl’aide de cette approche ( [MAU 73, YOS 74]). Batoz et al [BAT 80, BAT 82,POL 92, CHA 87,...] ont utilisé cette approche en combinant les éléments de plaquede Kirchhoff discret DKT et DKQ aux éléments de membrane classiques CST(Constant Strain Triangle) et Q4 bilinéaire standard. Ils ont obtenu de bons résultatspour des problèmes non linéaires statiques et dynamiques.
La deuxième approche géométrique est celle initiée au début des années 70 parAhmad, Irons et Zienkiewicz [AHM 70]. Il s’agit de l’approche isoparamétriquecourbe. Elle trouve son application dans des domaines variés de calcul desstructures : coques composites multicouches [VLA 87, VLA 90, RAM 91, WIL 90],etc., analyse des non-linéarités géométriques et matérielles [BAT 86, BAT 83,COF 91, DVO 91, DVO 84, FEZ 81, HUG 81, PAR 91, RAM 86, BOI 91, SIM 89,SIM 90]... Cette approche, appelée également approche du solide 3D-dégénéré,permet de discrétiser directement les équations tridimensionnelles de la mécaniquedes solides. L’introduction d’hypothèses cinématiques et mécaniques conduit à uneformulation dégénérée avec une représentation isoparamétrique de la géométrie px
&
et des déplacements pu&
d’un point de la surface moyenne. Le vecteur pu&
est défini
par ses composantes cartésiennes (U,V,W). Les composantes de rotation sont aunombre de deux ou trois suivant que les normales aux nœuds sont continues oudiscontinues d’un élément à un autre. L’introduction de l’hypothèse des sectionsdroites (Hencky-Mindlin-Reissner) permet de retenir une mesure des déformationsde CT. Une revue historique conduisant à la formulation d’éléments basés sur cetype d’approche est faite par Irons [IRO 76]. Les travaux de Stanley [STA 85] et les
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Formulation du modèle MiSP coque 721
ouvrages de Bathe [BAT 82], Crisfield [CRI 86], Hughes [HUG 87], Cook et al.[COO 89], Zienkiewicz et Taylor [ZIE 91] et Batoz et Dhatt [BAT 92] offrent despossibilités assez variées sur la manière de présenter le formalisme variationnelrelatif à cette approche. Ces possibilités incluent notamment les différentes formesdu principe des travaux virtuels avec intégration numérique ou explicite suivantl’épaisseur des matrices élémentaires. Dans ce travail, nous retenons cette approchepour le développement de deux éléments de coque mixtes à 4 nœuds de formequadrilatérale quelconque à épaisseur constante et avec discontinuité des normalesaux nœuds.
2. Formulation théorique du modèle MiSP coque dégénéré à 4 nœuds
Nous commençons par définir les quantités géométriques, cinématiques etmécaniques nécessaires à la construction du modèle mixte projeté en cisaillementMiSP coque. Celui-ci est obtenu à partir de l’élément mixte de flexion/CT MiSP4développé par Ayad et al. [AYA 98]. Celui-ci est robuste et simple à formuler. Lapartie membrane est représentée dans un premier temps par l’élément quadrilatéralstandard à 4 nœuds et 3 ddl par nœud (U,V,W). On notera cet élément MiSP4-Q4.La prise en compte des rotations autour de la normale à la surface moyenne pourformuler le modèle FRQ (Fiber Rotation Quadrilateral) sera traitée par la suite(section 2.7). L’élément de coque correspondant portera le nom de MiSP4-FRQ.
2.1. Géométrie de l’élément MiSP4-Q4
1
2
3
4
h
η
ξ
surface moyenne A ζ
βxi
i
U,V,W,θx,θy
σx,σy,σxy,σxz,σ yz
4n&
3n&
2n&
1n&
n&
1a&
2a
&
1n&
12t&
11t&
βyi
θyi
θxixi
yi
Z,W
Y,V
X,Ui&
j&
k&
θX
θY
θZ
j
k
l
Figure 1. Elément de coque courbe MiSP4-Q4
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722 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
La géométrie de l’élément MiSP4-Q4 est représentée par la surface moyenne Aet l’épaisseur h considérée constante. Le vecteur position d’un point quelconques’écrit en fonction des coordonnées isoparamétriques (figure 1):
2 ; ),(),(),,(
hznzxx pq ζηξηξζηξ =+=
&&&
[1]
px&
est le vecteur position du point p de la surface moyenne, défini par :
>>=<<= ∑=
iiippi
ip ZYXxxNxii
; ),(),(4,1
&& ηξηξ [2]
Xi,Yi,Zi sont les coordonnées cartésiennes du nœud i dans le repère global ),,( kji&&*
,
Ni(ξ,η) sont les fonctions d’interpolation bilinéaires standards définies pour unélément à 4 nœuds. La base covariante au point p est donnée par :
[ ] [ ] )0 ( 210 == ζennaaF&&&
[3]
Les vecteurs de base 1a&
et 2a&
(figure 1) sont généralement non orthogonaux. Ils
sont définis par :
∑∑==
====4,1
,,24,1
,,1 et i
piipi
piip xNxaxNxa&&&&&&
ηηξξ[4]
>>=<<>>=<< ZYXZYX aaaaaaaa 22221111 ;
La normale n&
au point p s’écrit :
−−−
=∧∧∧
=
XYYX
ZXXZ
YZZY
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aan
2121
2121
2121
2121
21 ; &&
&&
&&
&
[5]
Un repère tangent orthonormé, sur lequel seront définies les composantescartésiennes locales tσ
&
et tε&
des tenseurs de contraintes et de déformations, est
nécessaire. L’épaisseur h étant constante, le repère tangent (ntt&
&&
,, 21 ) est tel que la
normale n&
soit orthogonale à la surface moyenne (ζ = 0). Le vecteur tangent 1t&
est
considéré comme étant porté par le vecteur de base 1a&
et normalisé par rapport à
son module 1a&
:
1
11 a
at
&
&
&
=
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Formulation du modèle MiSP coque 723
Le vecteur normal étant donné par la relation [5], le vecteur tangent 2t&
sera
défini par le produit vectoriel 1tn&
&
∧ . On définit ainsi un repère tangent orthonormé
unique au point p, représenté par la matrice [Q] suivante :
[ ] [ ]
==
ZZZ
YYY
XXX
ntt
ntt
ntt
nttQ
21
21
21
21&
&&
[6]
En conséquence, nous pouvons définir une base orthonormée [ ] [ ]iiii nttQ&
&&
21=en chaque nœud en utilisant la relation [6].
2.2. Cinématique de l’élément MiSP4-Q4
2.2.1. Champ de déplacements d’un point quelconque de la coque
Le champ de déplacements d’un point quelconque q de la coque s’écrit avecl’hypothèse de sections droites de Hencky/Mindlin/Reissner :
0 ; ; ),(),(),,( 21 =•+=+= nttzuu yxpq
&
&&&
&&
&& ββββηξβηξζηξ [7]
),( ηξpu&
est le vecteur déplacement du point p (z ou ζ=0), ),( ηξβ&
le vecteur
rotation orthogonal à la normale n&
. β&
s’écrit également :
2121 ; ttttn yxxy
&&&
&&&
&&
θθθθθθβ +=−=∧= car qpuu pq&
&
&&
∧+= θ
Ainsi, au nœud i (figure 1), xiiyyiix e θβθβ −== t ; xθ et yθ sont les rotations
de la normale n&
autour des axes x et y respectivement. Le vecteur qu&
est donné
par :
{ }
+
−+
=
+−+=
∑∑
∑∑
==
==
i
i
i
i
i
i
Z
Y
X
yi
Z
Y
X
xii
i
i
i
i
iiq
iyiixii
ipii
iq
t
t
t
t
t
t
Nz
W
V
U
Nu
ttNzuNu
1
1
1
2
2
2
4,14,1
124,14,1
)(
θθ
θθ&&
&&
[8]
Les variables nodales sont définies par :
>=>=<< 4 1... àiWVUu yixiiiin θθ [9]
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724 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
où Ui,Vi,Wi sont les composantes cartésiennes du vecteur piu&
dans le repère global,
θxi, θyi les composantes du vecteur rotation de la normale in&
autour des vecteurs it1&
et it2
&
respectivement. Le passage du repère tangent local (ntt&
&&
,, 21 ) à chaque nœud
au repère global ( kji&&&
,, ) permet d’obtenir 6 ddl par nœud : les déplacements
globaux Ui,Vi,Wi et les rotations globales θXi,θYi, θZi autour des axes X,Y,Z(figure 2). le passage aux rotations globales est obtenu en utilisant la relationsuivante :
><><
=
Zi
Yi
Xi
i
i
yi
xi
t
t
θθθ
θθ
2
1&
&
; >< it1&
et >< it2&
est la représentation en ligne des
vecteurs tangents 1t&
et 2t&
au nœud i.
Figure 2. Composantes locales et globales de la rotation θ&
au nœud i
2.2.2. Champ de déformations
Nous avons retenu une approximation linéaire en z pour les déformations { }sεincluant la membrane et la flexion et constante en z pour les déformations decisaillement transversal { }sγ . Une description plus complète de celles-ci, sous forme
de fractions rationnelles quadratiques en z, est donnée par [BAT 92]. Nous avons pumontrer, par exemple, pour le modèle déplacement simplifié Q4γ−Q4 [AYAD 93]ou Q4γ-24 [BAT 92], que l’on peut aboutir à des expressions beaucoup plus simples({ }sε linéaire en z et { }sγ constante en z) sans toutefois affecter la forme des
résultats obtenus par l’élément MITC4 [DVO 84] en utilisant une descriptionquadratique complète. Ainsi, pour MiSP4-Q4, nous écrivons :
X Y
Z i
ni
& t i2
&
t i1
&
iθ&
xiθ
yiθ
Ziθ Xiθ
Yiθ Ui
Wi
Vi Surface moyenne A
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{ } { } { }10 εεε zs += et { } { }γγ =s [10]
Les déformations de membrane ><=>< xyyx ee γε 0 , de flexion
>>=<< 1111 xyyx γεεε et de cisaillement transversal >>=<< yzxz γγγ sont
définies respectivement par les expressions suivantes :
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }nn uBuB 1100 ; == εε ; { } { }ncs uB ][=γ [11]
Les matrices [ ]0B , [ ]1B et ][ cB ainsi que la procédure ayant conduit à leur
définition sont détaillées en annexe A.
2.3. Formulation de la matrice de rigidité mixte
2.3.1. Forme généralisée du PTV
L’expression du PTV est définie sous sa forme généralisée en pondérant lesrelations de comportement suivantes :
{ } [ ] { } { } { } [ ] { } { }0et 0 11 =−=− −−ssss GH τγσε [12]
par les contraintes virtuelles { }*sσ et { }*
sτ .
( ) sur 0 avec 0 **
,1int uqq
ne
eext
e SuuWWW =∀=−= ∑=
&&
[13]
ec
emf
e WWW += int [14]
[ ] { } { } { }( )dVHWeV
sssssse
mf ∫ ><+><+><−= − **1* σεεσσσ [15]
[ ] { } { } { }( )dVGWeV
sssssse
c ∫ ><+><+><−= − **1* τγγτττ [16]
>>=<< xyyxs τσσσ ; >>=<< yzxzs τττ
Les matrices de comportement [H] et [G] sont définies, comme pour les plaques,par les relations suivantes pour un matériau homogène et isotrope :
[ ]
−−=
2
100
01
01
1 2 νν
ν
νE
H et [ ]
+
=10
01
)1(2 νE
G [17]
(E: module d’Young, ν : coefficient de poisson) :
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726 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
2.3.2. Approximation locale des contraintes (continuité C-1)
Le choix des fonctions de base pour l’approximation des contraintes est trèsimportant dans les formulations mixtes. Plusieurs considérations peuvent influencerce choix. Par exemple, pour le modèle MiSP4-Q4 avec 5 ddl par nœud :
– l’approximation des vecteurs { } { }ss τσ et doit contenir au moins cinq termes
constants et trois termes de { }sσ linéaires en z (état de contraintes pour une plaque
en membrane-flexion/CT) ;
– les paramètres d’approximation ><>< τσ αα et doivent assurer un rang
correct à la matrice de rigidité obtenue après leur élimination par condensationstatique. Ils doivent donc vérifier la condition de stabilité (nécessaire et nonsuffisante) suivante : ( )(σαn inclue les paramètres de membrane et de flexion) ;
20)( ; 6)()( )( =−≥+ nn ununnn τσ αα
– le choix du nombre de paramètres τσ αα et est tel que le modèle mixte final ne
soit pas équivalent au modèle déplacement correspondant.
En conséquence nous retenons les approximations suivantes :
2.3.2.1. Approximation suivant ζ
{ } { } { }10 σζσσ +=s (linéaire en ζ ) [18]
{ } ( ){ }021 τζτ −=s (quadratique en ζ ) [19]
{ }{ }10 , σσ et { }0τ sont fonction de ξ,η uniquement. L’approximation des contraintes
de CT { }sτ tient compte des conditions d’équilibre sur les faces supérieures et
inférieures de la coque ({τs}=0 pour ζ= ± 1)
2.3.2.2. Approximation suivant ξ,η
Nous considérons les approximations suivantes pour { }1σ et { }0τ :
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }ccf pp ατασ == 011 ; [20a,b]
[ ] [ ]
><
><=
><><
><=
2
2
2
2
2
1 0
0 ;
00
00
00
p
pp
p
p
p
p c [21a,b]
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Les contraintes de membrane { }0σ sont définies explicitement en fonction des
déplacements aux nœuds par l’intermédiaire de la loi de comportement et desrelations déformations-déplacements correspondantes :
{ } [ ][ ]{ }nuBH 00 =σ ; [ ]0B (annexe A) [22]
2.3.2.3. Elimination des contraintes. Matrices de rigidité finales
La forme eWint [14] s’écrit en utilisant les approximations [18] et [19] et en
intégrant explicitement suivant ζ :
fmemf
ec
emf
e WWWWWW 10int ; +=+= [23]
avec [ ] { } { } { }( ) ηξσεεσσσ ddhJHW
rA
m ∫ ><+><+><−= −00
*00
*00
1*00 [24]
[ ] { } { } { } ηξσεεσσσ ddJhhh
HW
rA
f ∫
><+><+><−= −
01*11
*11
1*11 3
22
[25]
[ ] { } { } { } ηξτγγτττ ddhJGW
rA
ec ∫
><+><+><= −
00**
001*
0 3
2
5
4 [26]
[ ] 2100 aaFdetJ&&
∧== (fonction de ξ et η). Ar est l’aire de l’élément de référence
isoparamétrique à 4 nœuds (Les bornes d’intégration sont 11 ≤≤− ξ et 11 ≤≤− η ).
La relation [22] étant satisfaite explicitement. En tenant compte des relations
[a2], [a8] et [a16] de l’annexe A et des relations [20] et [21], eWint s’écrira :
[ ]{ } [ ] { }{ }
><><+>=<n
nnemn
e
ukuukuW
αα ***
int [27]
[ ]emk est la matrice de rigidité de membrane définie par :
[ ] [ ] [ ][ ]∫=rA
mTe
m ddJBHBk ηξ000 ; [ ] [ ]HhHm = [28]
[ ]k est la matrice du modèle mixte général en flexion/CT (non définie positive) :
>>=<<>>=<<>>=<< 811212 ; ; 1 fccfffp ααααααξηηξ ��
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[ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
−
−=
0
0
0
1
11
Tu
Tu
u
u
kk
kk
kk
k
τ
ττ ; ><><>=< cf ααα [29]
[ ] [ ] [ ] [ ]∫ −=rA
T ddJh
pHpk ηξ011
11 3 ; [ ] [ ] [ ]∫=
rA
Tu ddJ
hBpk ηξ0
2
1116
[29a,b]
[ ] [ ] [ ] [ ]∫ −=rA
cT
c ddhJpGpk ηξτ 01
15
8 ; [ ] [ ] [ ]∫=
rA
cT
cu ddhJBpk ηξτ 03
2[30c,d]
[ ]1p et [ ]cp [21] étant polynomiales en ξ,η, les matrices ci-dessus sont donc
intégrées exactement par un schéma de Gauss à 2 x 2 points. L’éliminationsuccessive des variables { }fα et { }cα au niveau local se traduit par :
{ } [ ] [ ]{ }nuf ukk 11
1−=α et { } [ ] [ ]{ }nuc ukk ττα 1−= [31a,b]
ainsi [ ]{ }ne
ne ukuW >=< *
int où [ ]ek est la matrice de rigidité élémentaire finale :
[ ] [ ] [ ] [ ]ec
ef
em
e kkkk ++= ; [ ]emk (relation [28] ) [32]
[ ] [ ] [ ] [ ]uT
uef kkkk 1
111
−= ; [ ] [ ] [ ] [ ]uT
uec kkkk τττ
1−= [33]
Les matrices ci-dessus sont de dimension (20 x 20). Les matrices à inverser [33]sont de dimensions (12 x 12) pour [ ]1k et (8 x 8) pour [ ]τk . Les relations [31] seront
utilisées par la suite pour évaluer les contraintes {σs} et {τs} au point ξ,η,ζ .
2.4. Calcul des contraintes et des efforts généralisés
2.4.1. Contraintes
Les contraintes dans le plan tangent {σs} sont calculées en utilisant les relations[18], [20a], [21a], [22] et [31a] :
{ } [ ][ ] [ ][ ] [ ]( ){ }nus ukkpBH 11
110−+= ζσ , >>=<< xyyxs τσσσ [34]
Les contraintes de cisaillement transversal(CT) xzτ et yzτ sont quadratiques
suivant l’épaisseur, ce qui constitue un avantage par rapport aux modèlesdéplacements où elles sont généralement calculées soit par la loi de comportementen CT, soit en intégrant les équations d’équilibre tridimensionnelles. Dans notre cas,elles sont calculées en fonction de {un} en utilisant [19, 20b, 21b et 31b] :
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Formulation du modèle MiSP coque 729
{ } [ ][ ] [ ]{ }nucs ukkp ττζτ 12 )1( −−= , >>=<< yzxzs τττ [35]
avec 1pour 0 ±=== ζττ yzxz
2.4.2. Efforts généralisés
Pour le modèle MiSP4-Q4, les efforts normaux {N}, les moments de flexion{ M} et les efforts de cisaillement transversal {T} sont calculés en intégrant lescomposantes des vecteurs contraintes { }sσ et { }sτ suivant l’épaisseur :
{ } { } [ ][ ]{ }n
h
hs uBHhdzN 0
2/
2/== ∫−
σ , >>=<< xyyx NNNN [36]
{ } { } [ ][ ] [ ]{ }nu
h
hs ukkp
hdzzM 1
111
22/
2/ 6−
−== ∫ σ , >>=<< xyyx MMMM [37]
{ } { } [ ][ ] [ ]{ }nuc
h
hs ukkphdzT τττ 12/
2/ 3
2 −
−== ∫ , >>=<< yx TTT [38]
Connaissant { }nu , nous pouvons calculer les efforts résultants en tout point ξ, ηde la surface moyenne.
2.5. Rigidité fictive
Le passage de 5 ddl à 6 ddl par nœud conduit à une singularité de la matrice derigidité globale si tous les éléments connectés à un nœud sont coplanaires .Pouréviter cette difficulté numérique, nous introduisons une matrice fictive [kθz] associée
aux quatre rotations nodales fictives θzi. Batoz et Dhatt [BAT 92] ont proposé unematrice [kθz] généralisant celle de Zienkiewicz [ZIE 77] pour le triangle équilatéral.
Elle est basée sur la discrétisation d’une forme intégrale ezWθ fictive associée à
l’opérateur Laplacien dezθ pondérée par *zθ :
( ) ηξθθθθαθ ddJHWeA
yzyzxzxzfez 0,
*,,
*,1∫ += [39]
zii
iz N θθ ∑=
=4,1
; { } [ ]{ }znznz
zN
N
Nθθ
θθ
ξη
ξ
η
ξ =
><><
=
,
,
,
,[40]
Sachant que [ ]
=
η
ξ
θθ
θθ
,
,0
,
,
z
zT
yz
xzC ( [ ]0C : annexe A )
En effectuant les mêmes développements sur les termes virtuels, nous obtenons :
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730 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
[ ]{ }znezzn
ez kW θθ θθ >=< * [41]
avec [ ] [ ][ ]( ) [ ][ ]( ) ηξα ξξθ ddJNCNCHk Tf
ez ∫= 0001 [42]
Hf1 est une valeur caractéristique de la matrice de comportement en flexion [Hf]
(par exemple Hf1= )1(12 23 ν−Eh ). α est un coefficient petit (10-4 dans la
programmation effectuée) dépendant de la précision de l’ordinateur. En ajoutant
ainsi [ ]ezkθ à la matrices de rigidité [ke], nous évitons la singularité de la matrice
globale [K].
2.6. Prise en compte des rotations autour de la normale.Modèle FRQ tridimensionnel
2.6.1. Champ de déplacements
En introduisant le concept de « Fibre Plane en Rotation » [AYAD 93,[AYA 95]appliqué à l’élément de membrane de type déplacements FRQ, le champ dedéplacements qu
&
d’un point quelconque de la coque se traduit par :
)(),(),(),,(4
1iz
iipq rNnzuu
i
*
*
*
*
&&
∧+∧+= ∑=
θηξθηξζηξ ; izz nii
&
*
θθ = [43]
ou encore ( ) ( )iizi
iiiyixi
ipq rnNnzttNuuiii
*&&**&&
∧+∧++= ∑∑==
θθθζηξ4
121
4
1
)(),,( [44]
avec ipi xxpir&&
&
&
−== et 22hzh +≤≤− ; ne pas confondre x,y,z avec X,Y,Z. [45]
izθ est la rotation de la fibre ir&
(reliant le point p au nœud i) autour de la normale
in&
au nœud i (figure 3).
Figure 3. Rotation θz autour de la normale. Modèle FRQ tridimensionnel
X Y
Z i
θzi
ni
&
(axe z) t i2
&
(axe y)
t i1
&
(axe x)
p ir&
ix&
xp
&
piri&
&
=
Surface moyenne de la coque
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Formulation du modèle MiSP coque 731
Le terme iiz rni
*&
∧θ [44] est introduit pour enrichir le comportement de
l’élément de coque en membrane.
2.6.2. Matrice de rigidité de l’élément de coque MiSP4-FRQ
L’introduction du terme bulle iiz rni
*&
∧θ [44] engendrera une modification dans
les matrices [B0] et [B
1] (annexe A, relations [a3] et [a9]) en créant quatre colonnes
correspondant aux rotations nodales θzi. Les composantes de déformations {ε0} et
{ ε1} [11] font intervenir les dérivées de pu
&
par rapport à ξ,η, nous écrivons :
( )∑=
+=4
1,,
izipip ii
PuNu θξξξ
&
&&
; ( )∑=
+=4
1,,
izipip ii
PuNu θηηη
&
&&
[46]
avec 2,1, ; anNrnNPanNrnNP iiiiiiiiii
&&&&
&
&&&&
&
∧+∧=∧+∧=ηηξξ
La prise en compte des vecteurs i
Pξ
&
et i
Pη
&
dans l’expression de {ε0} et {ε
1} est
détaillée dans l’annexe B. Connaissant les nouvelles matrices [B0’] (3 x 24) et [B1’](3 x 24) correspondant aux vecteurs {ε
0} et {ε
1} (modifiés par l’introduction
des ziθ ), la matrice de rigidité finale de dimension égale à 24 est définie par les
relations [32] et [33] en remplaçant [B0] par [B0’] et [B1] par [B1’]. Les termesen ziθ n’interviennent pas dans la matrice [cB ] ([a17], annexe A). Les contraintes et
les efforts résultants sont calculés de la même façon que pour l’élément MiSP4-Q4.
3. Résultats numériques
Dans cette partie, nous analyserons les performances de convergence et deprécision des deux éléments mixtes de coque développés MiSP4-Q4 et MiSP4-FRQ, à travers des cas tests standards considérés par les ingénieurs comme desoutils importants de validation [NAF 90]. Ces tests ont pour but de vérifier lacapacité d’un élément de coque à simuler des comportements complexes où les étatsde membrane ou de flexion sont dominants.
3.1. Toit cylindrique soumis à son propre poids
Le toit cylindrique de la figure 4 est soumis à son propre poids. Il repose surdeux diaphragmes rigides à ses extrémités. Les deux bords droits sont libres. Lesrapports d’épaisseur sont importants (R/h= 100 et L/h= 200). Les déformations decisaillement transversal sont négligeables et les déformations de membrane sontimportantes par rapport à celles de flexion. Ce problème sert de test d’aptitude d’unélément à simuler des états complexes de contraintes ou de déformations demembrane. La solution de référence, basée sur la théorie des coques surbaissées, est
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732 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
obtenue par Scordelis et Lo [SCO 69], celle basée sur la théorie des coquesprofondes est sensiblement différente. Nous avons traité ce problème en utilisant lesdeux éléments MiSP4-Q4 et MiSP4-FRQ. Les résultats obtenus sont comparés àceux de l’élément Q4γ-Q4 [BAT 92, AYA 93] qui est une version plus simplifiée del’élément MITC4 [DVO 84]. Le quart du toit est discrétisé en considérant desmaillages réguliers avec N= 2 à 15 éléments sur les bords AB et AD. Les résultatsdu déplacement vertical en C et B sont reportés sur les figures 5 et 6.
Figure 4. Toit cylindrique soumis à son poids propre
16141210864200,200
0,300
0,400
0,500
0,600
MiSP4-Q4
MiSP4-FRQ
Q4 -Q4
Réf.
N
0.541
γ
WC (cm)
Figure 5. Toit cylindrique soumis à son poids propre. Convergence de WC
Les effets de membrane étant très importants pour ce cas-test, on observe bienune meilleure convergence vers la solution théorique de l’élément de coque enrichien membrane MiSP4-FRQ. Tous les éléments convergent rapidement vers lasolution de coques profondes W
C = 0.541cm et W
B = -3.61cm. Les éléments MiSP4-
Q4 et Q4γ-Q4 donnent des résultats sensiblement identiques.
X , U
Y , VZ , W
Libre
A
B
C
D
DiaphragmeMaillage N=2
E=3 10 10 Pa, ν=0.3 et fz=-0.625 104 PaCL: U=W=θY=0 sur AD U=θY=θZ=0 sur CD (symétrie) V=θX=θZ=0 sur CB (symétrie)Solutions de références :WC=0.541cm (coques profondes)WC=0.525cm (coques surbaissées)
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Formulation du modèle MiSP coque 733
16141210864202,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
MiSP4-Q4MiSP4-FRQ
Q4γ -Q4Réf.
N
3.61-WB (cm)
Figure 6. Toit cylindrique soumis à son poids propre. Convergence de -WB
3.2. Cylindre pincé avec diaphragmes
Un des cas tests populaires, jugé sévère pour les problèmes de coque, est celuid’un cylindre court (L/R = 2) (R/h = 100) supporté par deux diaphragmes rigides àses extrémités et soumis à deux charges unitaires concentrées diamétralementopposées (figure 7). Ce test permet d’examiner l’aptitude d’un élément de coque àsimuler des états de membrane complexes avec une part importante de flexion sansextension de la surface moyenne, notamment au niveau des zones sollicitées(point C). Par raison de symétrie, seul le huitième de la coque est étudié (portionABCD).
Figure 7. Cylindre pincé avec diaphragmes. Données
Les résultats des déplacements WC et VD en fonction du nombre N d’éléments
suivant AB et BC ( maillages réguliers N= 4 à 15 ) sont reportés sur les figures
R X, U
Z, WY, V
P=1
A
BD
C
P=1
LDiaphragme
Maillage N=2 (2x2) de la portion ABCD, …
Données :L=6m , R=3m, h=0.03mΕ=3 1010 Pa, ν=0.3
Conditions aux limites:
U=W=θY =0 sur ADSymétrie:
W=θX=θY=0 sur AB
V= θX=θZ=0 sur BC
U= θY=θZ=0 sur CD
Chargement:FZ=-P/4=-0.25N au nœudcoïncidant avec le point C
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734 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
8 et 9. Une solution de référence basée sur une théorie de coques minces est donnéepar Flügge [FLU 60] et Lindberg et al. [LIN 69] :
– déplacement WC sous la charge : 24.164=−= PEhWW CC
– déplacement VD suivant Y : 11.4=−= PEhVV DD
1614121086420
50
100
150
200
MiSP4-Q4MiSP4-FRQ
Q4γ−Q4Réf.
N
164.24
EhWC /P
Figure 8. Cylindre pincé avec diaphragmes
1614121086423,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
MiSP4-Q4MiSP4-FRQ
Q4γ−Q4Réf.
N
4.114
-EhVD /P
Figure 9. Cylindre pincé avec diaphragmes. Convergence de VD
Concernant le déplacement WC, une convergence monotone vers la solution de
référence est obtenue par les éléments MiSP4-Q4, MiSP4-FRQ et Q4γ-Q4(figure 8). Cette convergence est un peu lente pour des maillages à faible nombred’éléments (N = 4 et 6). Cela s’explique par l’approximation bilinéaire utilisée pourles rotations βx et βy, conduisant à une représentation moins riche de la flexion auniveau élémentaire. Rappelons que, dans le cas du cylindre pincé, la flexion est
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Formulation du modèle MiSP coque 735
dominante au voisinage du point C. Une approximation quadratique incomplète desrotations conduirait à des courbures de flexion plus riches ayant pour conséquenceune meilleure vitesse de convergence de la flèche au point C. Dans le cas dudéplacement VD, les éléments MiSP4-Q4, MiSP4-FRQ et Q4γ-Q4 convergentrapidement vers la solution de référence (figure 9).
3002001000-200
-100
0
100Réf. [LIN69]MiSP4-FRQ
D C
Ehw/P
a) déplacement normal le long de DC
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -200
-100
0
100
R éf . [L IN 69] M iS P4-F R Q
B C
E hw /P
α o
b) déplacement normal le long de BC
9080706050403020100-4
-2
0
2
4
6Réf. [LIN69]
MiSP4-FRQ
A D
Ehv/P
α o
c) déplacement tangentiel le long de AD
Figure 10. Cylindre pincé. Déplacements le long de DC,BC et AD (R/h=100)
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736 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
9080706050403020100-20
-10
0
10
Réf.[LIN69]
MISP4-FRQ
RNy /P
B Coα
30020010000,0
0,1
0,2
Réf.[L IN69]
M iS P4-F RQ
D C
M x /P
9080706050403020100-0,002
-0,001
0,000
0,001
0,002
0,003
Réf.[LIN69]
MiSP4-FRQ
αo
M xy /P
A D
Figure 11. Cylindre pincé. Distribution des efforts résultants
Pour un maillage N = 15 associé à l’élément MiSP4-FRQ, nous avons reportésur la figure 10 les résultats du déplacement normal w suivant DC et BC et dudéplacement tangentiel v suivant AD. Nous avons également étudié la distributiondes efforts résultants sur des points nodaux particuliers : l’effort normal sur BC, lesmoments de flexion Mx sur DC et Mxy sur AD (α= 0° à 90°). Les résultats de ces
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Formulation du modèle MiSP coque 737
efforts, calculés aux nœuds, sont présentés sur la figure 11. Ils sont comparés auxsolutions de référence données par Lindberg et al. [LIN 69]. L’élément FRQ étantriche en membrane, une bonne estimation est obtenue par exemple pour l’effort Nysur BC et pour le déplacement tangentiel v sur AD. Les moments Mx et Mxy sontégalement bien répartis sur DC et AD respectivement. Un maillage raffiné auvoisinage du point C est utile pour mieux représenter le moment Mx.
3.3. Poutre vrillée sous charges concentrées
Ce problème a été proposé par MacNeal et Harder [MAC 85]. Il s’agit d’unepoutre vrillée ou d’une coque hélicoïdale encastrée à une extrémité et soumise àdeux cas de chargement concentré à l’autre extrémité: une charge PZ dans le plan(suivant l’axe Z) et une autre hors plan PY (suivant l’axe Y) (figure 12). Ce test meten évidence le gauchissement de la coque. Il constitue ainsi un bon examen devalidation d’éléments finis de coque tenant compte du gauchissement de la surfacemoyenne, en particulier les éléments quadrilatéraux à 4 nœuds que nous proposons.
Figure 12. Poutre vrillée sous charges concentrées
Nous comparons les résultats des déplacements dans la direction de la charge àune solution exacte obtenue par Batoz et al [BAT 91] en utilisant un élément fini depoutre vrillée. Celui-ci est formulé en considérant un modèle variationnel mixte avecsatisfaction des équations de l’équilibre interne. Les déplacements au point A (figure12) sont donnés pour deux épaisseurs différentes :
– épaisseur h=0,32 (L/h= 37,5)
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738 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
– chargement dans le plan PZ=1 : W
A= 0,00542
– chargement hors plan PY=1 : V
A= 0,00175
– épaisseur h=0,0032 (L/h =3 750)
– chargement dans le plan PZ=1 : W
A= 5 316
– chargement hors plan PY=1 : V
A= 1 296
Nous avons analysé ce problème en considérant les maillages 2 x 12 (figure 12),4 x 24 et 6 x 36. Les résultats des éléments MiSP4-Q4 et MiSP4-FRQ sontcomparés à ceux des éléments Q4γ-Q4 et DKT-CST ou DKT18 (élément de plaquemince DKT combiné à l’élément de membrane classique CST). Les résultats pourles deux cas de chargement sont reportés sur les tableaux 1 et 2 pour l’épaisseurh = 0,32 et h = 0,0032 respectivement :
a. Chargement dans le plan : PZ = 103, P
Y = 0
Maillage MiSP4-Q4 MiSP4-FRQ
Q4γ-Q4 DKT-CST
2x12 5.35 5.37 5.35 5.334x24 5.39 5.40 5.39 5.376x36 5.41 5.41 5.40 5.43Référence W
A=5.42
b. Chargement hors plan : PY = 103, P
Z = 0
Maillage MiSP4-Q4 MiSP4-FRQ
Q4γ-Q4 DKT-CST
2x12 1.61 1.72 1.61 1.464x24 1.71 1.74 1.71 1.626x36 1.73 1.75 1.73 1.68Référence V
A=1.75
Tableau 1. Poutre vrillée. Résultat des déplacements en A pour h=0,32
Pour h = 0,32 (tableau 1), les quatre éléments MiSP4-Q4, MiSP4-FRQ, Q4γ-Q4et DKT-CST convergent de façon monotone vers la solution de référence pour lesdeux cas de charge. Dans le cas du chargement hors plan, les effets de membranedominent ceux de flexion au voisinage de l’encastrement, c’est pour cette raison quel’élément MiSP4-FRQ (riche en membrane) donne de très bons résultats. Laconvergence des éléments MiSP4-Q4, Q4γ-Q4 et DKT-CST est plus lente car lapartie membrane, représentée par les éléments standards bilinéaire Q4 (pour lesquadrilatères) et linéaire CST (pour le triangle DKT), n’est pas assez riche enapproximation pour simuler des effets membranaires dominants.
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Formulation du modèle MiSP coque 739
a. Chargement dans le plan : PZ = 1, P
Y = 0
Maillage MiSP4-Q4MiSP4-FRQ Q4γ-Q4 DKT-CST
2x12 5127 5131 5127 52684x24 5205 5206 5204 52036x36 5227 5212 5227 5258Référence WA=5316
b. Chargement hors plan : PY = 1, P
Z = 0
maillage MiSP4-Q4MiSP4-FRQ Q4γ-Q4 DKT-CST
2x12 1257 1257 1256 12854x24 1283 1282 1283 12826x36 1288 1285 1288 1287Référence VA=1296
Tableau 2. Poutre vrillée. Résultat des déplacements en A pour h=0,0032
Pour une coque très mince (h= 0,0032, tableau 2), les éléments MiSP4-Q4,MiSP4-FRQ et Q4γ-Q4 convergent de façon monotone vers la solution de référencepour les deux cas de charge. Une petite divergence passagère est observée pourl’élément DKT-CST dans le cas du maillage 4 x 24, celui-ci reconverge à nouveau àpartir de 6 x 36.
4. Conclusions
Deux nouveaux éléments finis de coques basés sur l’approche géométrique dusolide tridimensionnel dégénéré sont présentés : les éléments quadrilatéraux courbesà 4 nœuds MiSP4-Q4 et MiSP4-FRQ. La partie flexion/CT est basée sur le modèlemixte MiSP(Mixed Shear Projected), proposé initialement par les auteurs pourformuler des éléments de plaques [AYA 93, AYA 98]. Ce modèle considère lesdéformations de CT comme étant indépendantes de l’approximation des variablescinématiques. Le modèle MiSP est dans ce cas de type Hellinger-Reissner avecdéformations de CT projetées. Les éléments de coque développés possèdent lesdegrés de liberté les plus simples et les plus importants pour l’ingénieur , c’est-à-direU,V,W, θX , θY �θZ au nœud i. Ces éléments n’utilisent pas de fonctions bulles pour
leur stabilité, comme c’est le cas de beaucoup d’éléments mixtes. Ainsi, lacondensation statique concernera uniquement les contraintes {θs},{ τs }, ce qui
constitue un point fort de cette formulation, c’est-à-dire éviter le blocage en CT sansfaire appel aux fonctions bulles. Les éléments du modèle MiSP Coque, qu’ils soienttriangulaires MiSP3 coque [AYA 93, AYA 95] ou quadrilatéraux MiSP4-Q4 et
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740 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
MiSP4-FRQ, peuvent être considérés comme parmi les plus simples des élémentsmixtes de coque existant à l’heure actuelle.
Nous avons essayé d’améliorer le comportement de membrane en proposant unélément quadrilatéral avec rotation θz autour de la normale. L’élément FRQ est basésur une approche originale le concept de « Fibre Plane en Rotation ». Le champ dedéplacement d’un point de la surface moyenne est enrichi par adjonction d’unerotation plane quadratique particulière. Il est performant si une intégration réduite(2 x 2 points de Gauss) est utilisée pour évaluer la matrice de rigidité. De très bonsrésultats sont obtenus pour des problèmes plans [AYA 93]. Nous avons développéune représentation tridimensionnelle de l’élément de membrane FRQ en considérantθz comme une rotation locale autour de la normale à la surface moyenne en généralcourbe. Ceci est nécessaire pour que cet élément puisse intégrer l’approcheisoparamétrique courbe utilisée pour formuler l’élément de coque MiSP4-FRQ.
L’extension du modèle MiSP Coque pour l’analyse non linéaire géométrique esten cours de développement. Elle concerne la formulation de la matrice de rigiditégéométrique et du vecteur résidu, nécessaire à l’obtention de la matrice tangentedans le cadre d’une formulation lagrangienne actualisée à chaque itération.Actuellement, nous développons également un bloc de flambage et un blocdynamique dans notre code interne MODEL’PACK, utilisant le modèle MiSPCoque. Ces deux blocs seront utilisés pour la modélisation de la résistance à lacompression verticale et du comportement dynamique des emballages de transporten carton ondulé. Ce matériau étant orthotrope, nous essayons de développer, enpartenariat avec la division composites de l’UTC, un modèle de comportementorthotrope homogénéisé, relatif au carton ondulé (recyclé ou non), qui sera intégrépar la suite dans le code MODEL’PACK.
5. Bibliographie
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Formulation du modèle MiSP coque 741
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[BAT 83] BATHE K.J. and DVORKIN E., “Our discrete Kirchhoff and isoparametric shellelements for non-linear analysis”, Comput. Struct., Vol. 16, N° 1-4, 1983, p. 89-98.
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[BAT 91] BATOZ J.L. et TRIKI S., Développement d’un élément fini de poutre vrillée,Rapport interne, UTC/LG2MS/MNM, octobre 1991.
[BAT 92] BATOZ J.L. et DHATT G., Modélisation des structures par éléments finis, Vol.3:Coques, Eds Hermès, Paris 1992.
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[CHA 87] CHATELAIN J., Analyse non linéaire des coques minces isotropes et composites paréléments finis quadrilatéraux, Thèse de Doctorat, Université de Technologie deCompiègne, 1987.
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742 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
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Formulation du modèle MiSP coque 743
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Annexe A. Vecteurs ><><>< �0,0 10 et
A.1. vecteur >>=<< xyyx ee γε0
;
;
,2,1
,022,
012,,2
,021,
011,,1
xpypxy
ppypypy
ppxpxpx
utut
ucucuute
ucucuute
&&
&&
&&&&&
&&&&&
•+•=+=•=+=•=
γηξ
ηξ
[a1]
[ ]
••••=
=
22
12
21
11
2221
12110
tata
tata
CC
CCC
oo
oo
&&
&&
&&
&&
,
21,aa&&
sont les vecteurs de la base contravariante au point p définis par :
)(1
; )(1
2111212
2121221 aaaa
aaaaaa
aa
&&&&&&
−−=−= où a11, a12, a21, a22 sont les
termes du tenseur métrique au point p de la surface moyenne.
En utilisant l’approximation [8], nous obtenons :
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744 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
{ } [ ]{ }nuB00 =ε [a2]
La matrice [ ]0B fait intervenir uniquement les termes relatifs aux variables
iii WVU ,, :
[ ] 41 ...
00
00
00
1221
22
11
0
=
><+><><><
= à i
ctct
ct
ct
B
ii
i
i
[a3]
; 022,
012,2
021,
011,1 cNcNccNcNc iiiiii ηξηξ +=+= [a4]
Les colonnes « zéros » correspondent aux rotations locales xiθ et yiθ .
A.2. vecteur >>=<< 1111 xyyx γεεε
111111 ; ; xyxyxyyyyxxx γχεεχεεχε +=+=+= [a5]
111 et , xyyx γεε interviennent lorsque les nœuds ne sont pas coplanaires, ce qui
distingue l’approche iso paramétrique courbe de celle par facettes planes où les troistermes précédents sont nuls. xyyx χχχ et , sont les courbures de flexion :
xyxy
yyy
xxx
tt
cct
cct
,2,1
,022,
012,,2
,021,
011,,1
;
;
ββχββββχββββχ
ηξ
ηξ
&&
&&
&&&&&
&&&&&
•+•=+=•=+=•=
; 21 tt yx
&&&
βββ += ; yx θβ = et xy θβ −= [a6]
xpypxy
pcpcypypy
pcpcxpxpx
utut
ububuut
ububuut
,2,11
,22,12,,21
,21,11,,11
;
;
&&
&&
&&
&&&
&&
&&&
•+•=+=•=+=•=
γεε
ηξ
ηξ
[a7]
cijb sont les termes de la matrice [ ] [ ][ ]0CAb nc = , [ ]nA est donnée par :
[ ]
••−•−•
=ξξ
ηη
,1
,2
,1
,2
nana
nanaAn &&&&
&&&&
En utilisant l’approximation [8], nous obtenons :
{ } [ ]{ }nuB11 =ε [a8]
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Formulation du modèle MiSP coque 745
[ ] )4,1( ...
1221
22
11
1221
22
11
1 =
><+><><><
><+><><><
= i
cTcT
cT
cT
btbt
bt
bt
B
iiii
ii
ii
icic
ic
ic
[a9]
; 22,12,221,11,1 ciciicciciic bNbNbbNbNb ηξηξ +=+=
; 1222211211 >••−>=<<>••−>=<< iiiiii ttttTttttT&&&&&&&&
A.3. vecteur >>=<< yzxz γγγ
{ } [ ] { }ξγγ TC0= [a10]
>>=<< zz ηξξ γγγ sont les déformations covariantes de CT :
βγ ξξ
&
&&&
•+•= 1, aun pz et βγ ηη
&
&&&
•+•= 2, aun pz [a11]
L’utilisation de l’approximation [8] pour évaluer >< ξγ conduit à un blocage en
CT. Pour éviter cela, nous utilisons l’approche des déformations de CT projetées.Les composantes covariantes zξγ et zηγ [a11] sont définies en fonction des
déformations zξγ et zηγ calculées au milieu des côtés de l’élément (figure a1).
η
ξA
B
C
D
2
3
4
1
γ ξ zC
γ ξ zA
γ η zB
γ η zD
γ η z
γ ξ z
X Y
Z
U,V,W
θx , θy
Figure a1. Déformations de CT covariantes projetées
{ } [ ]{ } [ ]
−
++
−==
=ξ
ηξ
ηγ
γγ
γ ξη
ξξ 1
0
0
1
1
0
0
1
2
1AA k
z
z ; [a12]
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746 Revue européenne des éléments finis. Volume 11 – n° 6/2002
[ ]
−
++
−=>=<><
ξη
ξη
γγγγγ ηξηξξ 1
0
0
1
1
0
0
1
2
1 ; AD
zCz
Bz
Azk [a13]
Les déformations de bord >< kξγ sont plus générales pour un élément de coque,
elles sont projetées sur les variables nodales par une technique de collocation parpoint (hypothèses de Mindlin sous forme discrète). Les points considérés sont les
milieux des côtés A, B, C et D (figure a1). Les quatre déformationsAzξγ , B
zηγ , Czξγ et
Dzηγ sont définies en appliquant les relations [a11] respectivement aux points
A(ξ=0,η=-1), B(ξ=1,η=0), C(ξ=0,η=1) et D(ξ=-1,η=0). Nous obtenons :
Dy
DDx
DDp
DDz
Cy
CCx
CCp
CCz
By
BBx
BBp
BBz
Ay
AAx
AAp
AAz
tataun
tataun
tataun
tataun
)()(
)()(
)()(
)()(
1222,
1121,
1222,
1121,
θθγθθγθθγθθγ
ηη
ξξ
ηη
ξξ
&&
&&&&
&&
&&&&
&&
&&&&
&&
&&&&
•+•−•=•+•−•=•+•−•=•+•−•=
[a14]
DCBA n,n,nn&&&&
, sont les normales aux points A,B,C,D respectivement. β&
&
et pu des
relations [a11] et [a14] sont calculés en fonction de <un> en utilisantl’approximation [8].
Le vecteur <γξ> [a12] s’écrit , en effet :
{ } [ ]{ }nc uB ξξγ = ; [ ] [ ][ ]csc BAB =ξ [a15]
La matrice [ ]csB (dimensions 4 x 20) est présentée en détail dans la référence
[AYA93]. { γ} [a10] s’écrit ainsi :
{ } [ ]{ } ><=
= nnCyz
xzuuB ;
γγ
γ ( relation [9] ) [a16]
[ ] [ ] [ ] 2x20) s(dimension ξc
T
0C BCB = [a17]
La matrice [ ]CB fait intervenir toutes les variables nodales.
Annexe B. Modèle FRQ tridimensionnel pour l’élément de coque MiSP4-FRQ
B.1. Déformations de membrane {ε0}
Le vecteur des déformations de membrane {ε0} est défini par les relations [a1]
de l’annexe A. Considérons par exemple la première composante ex de {ε0} :
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Formulation du modèle MiSP coque 747
ηξ ,021,
011,,1 ppxpxpx ucucu ; ute
&&&&&
+=•= ; ξ,pu&
et η,pu&
( relation [46] ) [b1]
Pour simplifier les calculs, on adoptera la convention d’Einstein (sans le
symbole∑= 4,1i
). ex s’écrit :
( ) ( ) ziiipiiix PcPct uNcNcte θηξηξ
&&&
&& 0
210111,
021,
0111 +•++•= [b2]
En définissant quatre colonnes relatives àziθ dans la matrice [B0] qui devient
[B0’] de dimension 3x24, nous y introduisons le terme ( )ii PcPct ηξ
&&& 0
210111 +• associé
à ziθ . La même démarche est utilisée pour calculer ey et γxy .
B.2. Déformations {ε1}
Considérons comme pour la section B.1 la première composante de{ ε1} (relation [a5],[a6] et [a7] de l’annexe A) :
11 xxx εχε += [b3]
xχ est une courbure de flexion; la rotationziθ ne peut y intervenir. Par contre, la
composante 1xε [a7] fait intervenir les dérivées du vecteur déplacement pu&
:
ηξε ,21,11,,11 pcpcxpxpx ububu ; ut&&
&&&
+=•= [b4]
La démarche de calcul du terme associé àziθ dans la matrice [B1] est la même
que celle décrite dans la section B.1. Nous aboutissons à une expression analogue àcelle donnée par la relation [b2] en remplaçant la matrice [C0] par [bc] :
( ) ( ) ziicicpiicicx PbPbt uNbNbt θε ηξηξ
&&&
&&
21111,21,1111 +•++•= [b5]
Le terme scalaire associé àziθ est introduit par la suite dans les colonnes
correspondantes de la matrice [B1’] de dimension 3x24. La même démarche est àsuivre pour obtenir 1yε et 1xyγ en fonction de ziθ .D
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