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Formulas Matematcicas
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Fórmulas y tablas de Matemáticas
Fórmulas de Geometría
Área de un triángulo
Circunferencia
Áreas y perímetros
Áreas y volúmenes
Diagonales
Teoremas de Thales, Pitágoras, del cateto y de la altura
Fórmulas de Geometría analítica en el plano
Vectores
Aplicaciones de vectores
Producto escalar de vectores
Traslaciones
Coordenadas polares
Ecuaciones de la recta
Ecuaciones de Cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación de la elipse
Ecuación de la hipérbola
Ecuación de la parábola
Fórmulas de Geometría analítica en el espacio
Vectores en el espacio
Puntos
Rectas en el espacio
El plano
Posiciones relativas
Ángulos
Distancias
Áreas y volúmenes
Fórmulas de Aritmética
Fracciones
Potencias
Potencias negativas
Radicales
Proporcionalidad
Sistema métrico decimal
Divisibilidad
Fórmulas de Cálculo
Dominio, simetría, puntos de corte, asíntotas y ramas parabólicas
Crecimiento y decrecimiento
Máximos y mínimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Límite de una función
Continuidad de una función
Derivada de una función
Fórmulas de integrales
Métodos de integración
Integral definida
Aplicaciones de las integrales
Fórmulas de Trigonometría
Razones trigonométricas
Relaciones entre ángulos
Identidades trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
Resolución de triángulos rectángulos
Resolución de triángulos acutángulos y obtusángulos
Fórmulas de Sucesiones
Progresiones aritméticas y geométricas
Límites de sucesiones
Fórmulas de Probabilidad
Combinatoria
Distribución binomial
Distribución normal
Tabla de la distribución normal
Fórmulas de Álgebra
Monomios
Polinomios
Binomio de Newton
Factorización de polinomios
Fracciones algebraicas
Ecuaciones
Problemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Fórmulas de Álgebra lineal
Matrices
Operaciones con matrices
Determinantes
Método Cramer
Método Gauss
Método Gauss II
Discusión de sistemas
Fórmulas de Estadística
Estadística descriptiva
Inferencia estadística
Tablas
Tabla de la suma
Tablas de multiplicar
Sistema métrico decimal
Unidades inglesas
Números cardinales
Números ordinales
Proporcionalidad
Intervalos, semirrectas y entornos de números reales
Perímetro del triangulo
Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno
Área del triángulo
Conociendo la base y la altura
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R = radio de la circunferencia circunscrita
Circunferencia inscrita en un triángulo
r = radio de la circunferencia inscrita
p = semiperímetro
Fórmula de Herón.
p = semiperímetro
Ángulos de un triángulo
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Teoremas
Del cateto
De la altura
De Pitágoras
Semejanza de triángulos
Criterios de semejanza de triángulos
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
1.Longitudes
Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
2.Áreas
Área del círculo
Área del sector circular
Área de la corona circular
Área del trapecio circular
Área del segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Área de la lúnula
3.Ángulos en la circunferencia
Central
Inscrito
Semiinscrito
Interior
Exterior
Problemas y ejercicios de la circunferencia y el círculo
1Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.
2 Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
3La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
4Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
1 milla = 1 852 m
5La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
6El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.
7Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.
8Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
9En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
10La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.
11Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.
12Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6cm y el radio del círculo mide 3 cm.
13En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
14Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.
15Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
16A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
17En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
18Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
19Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
20Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
21Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecio
Polígono
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
Polígono regular
Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
Círculo
Sector circular
Corona circular
Trapecio circular
Segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Lúnula de Hipócrates
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Pirámide
Tronco de pirámide
Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica
Área y volumen del casquete esférico
Área y volumen de la zona esférica
1Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.
2Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
3Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.
4Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.
5Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.
6Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
7Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.
8Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
9Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
Ejercicios y problemas resueltos de áreas y volúmenes II
10Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
11
Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.
12Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.
13Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
14Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total y volumen:
En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
15Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
16Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
17Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
18Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
Ejercicios y problemas resueltos de áreas y volúmenes III
19
Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.
20Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.
21Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
22Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?
23Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
24La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
25Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.
26Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.
27Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.
Diagonal
Diagonales de un polígono
Las diagonales son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos
Número de diagonales de un polígono
Si n es el número de lados de un polígono:
Número de diagonales = n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
Diagonal del cuadrado
Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.
Diagonal del rectángulo
Calcular la diagonal de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.
Diagonales de un poliedro
Las diagonales de un poliedro son segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Diagonal del cubo
Diagonal del ortoedro
EjerciciosCalcular la diagonal de un cubo de 5 cm de arista.
Calcular la diagonal de un ortoedro de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
Teoremas de Geometriarema de Thales
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
El teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Teoremas de triángulos rectángulos
Teorema del cateto
Teorema la altura
Teorema de Pitágoras
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Altura del triángulo equilátero
Lado de un triángulo equilátero inscrito
Diagonal del cuadrado
Lado de un cuadrado inscrito
Diagonal del rectángulo
Lado oblicuo del trapecio rectángulo
Altura del trapecio isósceles
Apotema de un polígono regular
Apotema del hexágono inscrito
Problemas del teorema de Pitágoras
1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
2En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
3La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
4Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los
catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.
5Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
6Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
7Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
8 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
9 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
10 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
11 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
12 El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
13En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
14 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
15 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
16 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
17Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
18Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
19 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
20Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
Geometría en el espacioVectores en el espacio
Componentes de un vector en el espacio
Módulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Suma de vectores
Producto de un número real por un vector
Vectores linealmente dependientes
Vectores linealmente independientes
Producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Vectores ortogonales
Proyección
Cosenos directores
Producto vectorial
Área del paralelogramo
Área de un triángulo
Producto mixto
Volumen del paralelepípedo
Volumen de un tetraedro
Puntos
Coordenadas del punto medio de un segmento
Coordenadas del baricentro de un triángulo
Puntos alineados
Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.
Puntos coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.
Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también son coplanarios.
Rectas en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implícitas de la recta
El plano
Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Ángulos
Ángulo entre dos rectas
Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.
Ángulo entre dos planos
Dos planos son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.
Ángulo entre recta y plano
Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.
Distancias
Distancia entre un punto y una recta
Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas que se cruzan
Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Distancia de un punto a un plano
Distancia entre planos paralelos
Problemas de vectores
Problemas de distancias, áreas y volúmenes
Ejercicios de la recta
Ejercicios del plano
Geometría analítica plana
VectoresCoordenadas de un vector
Módulo
Vector unitario
Suma
Resta
Producto de un vector por un escalar
Producto escalar de vectores
Expresión analítica del producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores
Proyección
Combinación lineal de vectores
Sistema de referencia
Distancia entre dos puntos
Coordenadas del punto medio
Simétrico de un punto
División de un segmento
Puntos alineados
Coordenadas del baricentro
Ecuaciones de la recta
Vectorial
Paramétricas
Continua
Pendiente
Punto-pendiente
General
Explícita
Canónica o segmentaria
Que pasa por dos puntos
Paralelas al eje OX
Paralelas al eje OY
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
Posiciones relativas
Secantes
Paralelas
Coincidentes
Ángulo que forman dos rectas
Distancia de un punto a una recta
Ecuaciones de las bisectrices
Ecuación de la mediatriz
Cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida
Ecuación de la elipse
Excentricidad
Ecuación reducida
De eje vertical
De eje horizontal y centro distinto al origen
De eje vertical y centro distinto al origen
Ecuación de la hipérbola
Excentricidad
Asíntotas
Ecuación reducida
F'(-c,0) y F(c,0)
De eje vertical
F'(0, -c) y F(0, c)
De eje horizontal y centro distinto al origen
Donde A y B tienen signos opuestos.
De eje vertical y centro distinto al origen
Hipérbola equilátera
Asíntotas
,
Excentricidad
Referida a sus asíntotas
Ecuación de la parábola
Ecuación reducida de la parábola
De ejes el de abscisas y de vértice (0, 0)
De ejes el de ordenadas y de vértice (0, 0)
Paralela a OX y vértice distinto al origen
Paralela a OY, y vértice distinto al origen
Ejercicios resueltos de vectores
Ejercicios resueltos del producto escalar de vectores
Ejercicios y problemas de la ecuación de la recta I
Ejercicios y problemas de la ecuación de la recta II
Ejercicios y problemas resueltos de la ecuación de la circunferencia
Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la elipse
Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la hipérbola
Problemas y ejercicios resueltos de la ecuación de la parábola
FÓRMULAS DE ARITMÉTICA
Número mixto
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.
Reducción de fracciones a común denominador
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
.
Potencia de fracciones
Propiedades
Fracción generatriz
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Propiedades de las potencias Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negativo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
Multiplicación de potencias con la misma base
am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
División de potencias con la misma base
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
Potencia de un potencia
(am)n=am · n
(25)3 = 215
Multiplicación de potencias con el mismo exponente
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
an : b n = (a : b) n
63 : 33 = 23
Ejercicios
33 · 34 · 3 = 38
57 : 53 = 54
(53)4 = 512
(5 · 2 · 3) 4 = 304
(34)4 = 316
[(53)4]2 = (512)2 = 524
(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
25 · 24 · 2 = 210
27 : 26 = 2
(22)4 = 28
(4 · 2 · 3)4 = 244
(25)4 = 220
[(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32
2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2
22 : 23 = 2−1 = 1/2
2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32
22 : 2−3 = 25 = 32
2−2 : 2−3 = 2
Potencias negativasPotencias de base negativa
Para determinar el signo de una potencia de base negativa tendremos en cuenta que:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
26 = 64
(−2)6 = 64
2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.
23 = 8
(−2)3 = −8
Potencias de exponente negativo
La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.
Ejercicios de potencias negativas
(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561
(−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3
3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9
5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125
(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 = (−3)1 · (−3)6· (−3)−4 = (−3)3
Fórmulas y propiedades de los radicales
Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radicalSe descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Propiedades de los radicalesProducto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Proporcionalidad
azón
Proporción
Constante de proporcionalidad
Propiedad de las proporciones
Proporción continua
Medio proporcional
Tercero proporcional
Cuarto proporcional
Porcentajes
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Regla de tres compuesta directa
Regla de tres compuesta inversa
Regla de tres compuesta mixta
Ejercicios
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
A más superficie más obreros. Directa.
A más días menos obreros. Inversa.
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³
4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³
A más grifos menos horas. Inversa.
A más depósitos más horas. Directa.
A más m³ más horas. Directa.
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
100 € 116 €
1200 € x €
Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.
Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Sistema métrico decimal
Medidas de longitud
kilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 m
Decámetro dam 10 m
Metro m 1 m
Decímetro dm 0.1 m
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m
Medidas de masa
kilogramo kg 1000 g
hectogramo hg 100 g
Decagramo dag 10 g
Gramo g 1 g
Decigramo dg 0.1 g
centigramo cg 0.01 g
miligramo mg 0.001 g
Otras unidades de masa
Tonelada métrica
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
1 q = 100 kg
Medidas de capacidad
kilolitro kl 1000 l
hectolitro hl 100 l
Decalitro dal 10 l
Litro l 1 l
Decilitro dl 0.1 l
centilitro cl 0.01 l
mililitro ml 0.001 l
Medidas de superficie
kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2
hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2
decámetro cuadrado dam2 100 m2
metro cuadrado m2 1 m2
decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2
milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Unidades de superficie agrarias
Hectárea
1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²
Área
1 a = 1 dam2 = 100 m²
Centiárea
1 ca = 1 m²
Medidas de volumen
kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3
decámetro cúbico dam3 1 000 m3
Metro m3 1 m3
decímetro cúbico dm3 0.001 m3
centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Capacidad Volumen Masa (de agua)
1 kl 1 m³ 1 t
1 l 1 dm3 1 kg
1 ml 1 cm³ 1 g
Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal1 Expresa en metros:
13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m
27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0.04 m + 0.003 m = 7.043 m
325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52.69 m = 308.29 m
453 600 mm + 9 830 cm 53.6 m + 98.3 m = 151.9 m
51.83 hm + 9.7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m
2 Expresa en litros:
13 kl 5 hl 7 dal 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l
27 l 4 cl 3 ml 7 l + 0.04 l + 0.003 l = 7.043 l
325.56 dal + 526.9 dl 255.6 l + 52.69 l = 308.29 l
453 600 ml + 9 830 cl 53.6 l + 98.3 l = 151.9 l
51.83 hl + 9.7 dal + 3 700 cl 183 l + 97 l + 37 l = 317 l
3Expresa en gramos:
15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g
24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0.5 g = 482.5 g
32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0.8 g + 0.07 g = 23.87 g
435 dg 480 cg 2 600 mg 3.5 g + 4.8 g + 2.6 g = 10.9 g
4Expresa en centilitros:
13 dal 7l 5 dl 4 cl 5 ml
3 000 cl + 700 cl + 50 cl + 4 cl + 0.5 cl = 3 754.5 cl
26 hl 8 l 2 ml
60 000 cl + 800 cl + 0.2 cl= 60 800.2 cl
30.072 kl + 5.06 dal + 400 ml
7 200 cl + 5 060 cl + 40 cl = 12 300 cl
4 0.000534 kl + 0.47 l
53.4 cl + 47 cl = 100.4 cl
5Expresa en centígramos:
13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg
3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0.5 cg = 3 754.5 cg
26 hg 8 g 2 mg
60 000 cg + 800 cg + 0.2 cg = 60 800.2 cg
30.072 kg + 5.06 dag + 400 mg
7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg
6Expresa en metros:
15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m
24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0.5 m = 482.5 m
32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0.8 m + 0.07 m = 23.87 m
435 dm 480 cm 2 600 mm 3.5 m + 4.8 m + 2.6 m = 10.9 m
7Pasa a decímetros cuadrados:
10.027 dam2
0.027 · 10 000 = 270 dm2
20.35 m2
0.35 · 100 = 35 dm2
3438 cm2
438 : 100 = 4.38 dm2
490 000 mm2
90 000 : 10 000= 9 dm2
8Expresa en metros cuadrados:
15 hm2 24 dam2 60 dm2 72 cm2 =
= 50 000 m2 + 2 400 m2 + 0.60 m2 + 0.0072 m2 =
= 52400.6072 m2
20.00351 km2 + 4 700 cm2 =
= 3510 m2 + 0.47 m2 = 3510.47 m2
30.058 hm2 − 3.321 m2 =
= 580 m2 − 3.321 m2 = 576.679 m2
9Expresa en hectáreas:
1431 943 a
431 943 : 100 = 4 319.43 ha
2586 500 m2
586 500 : 10 000 = 58.65 hm2 = 58.65 ha
30.325 km2
0.325 · 100 = 32.5 hm2 = 32.5 ha
47 km2 31 hm2 50 dam2
7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm2 = 731.5 ha
551 m2 33 dm2 10 cm2 =
51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=
0.00513310 hm2 = 0.00513310 ha
10Calcula y expresa el resultado en forma compleja:
10.03598 km2 + 96.45 ha + 5 000 a =
= 3.5698 hm2 + 96.45 hm2 + 50 hm2 =
= 150.0198 hm2 = 1 km2 50 hm2 1 dam2 98 m2
2179.72 m2 − 0.831 dam2 =
=176.72 m2 − 83.1 m2 = 93.62 m2 = 93 m2 62 dm2
352 dam2 31 m2 500 cm2 =
= 5 200m2 + 31 m2 + 0.05 m2 = 5 231.05 =
= 52 dam2 31 m2 5 dm2
11Pasa a metros cúbicos:
10.000005 hm3
0.000005 · 1 000 000 = 5 m3
2 52 dam3
52 · 1000 = 52 000 m3
3 749 dm3
749 : 1000 = 0.749 m3
4 450 000 cm3
450 000 : 1 000 000 = 0.45 m3
12Pasa a centímetros cúbicos:
1 5.22 dm3 =
5.22 · 1000 = 5 22 0 cm3
2 6 500 mm3
6 500 : 1000 = 6.5 cm3
3 3.7 dl =
= 3.7 · l00 = 370 ml = 370 cm3
4 25 cl =
= 0.25 l = 0.25 dm3 = 250 cm3
13Calcula y expresa el resultado en metros cúbicos:
17 200 dm3 + (3.5 m3 4 600 dm3) =
= 7.2 m3 + 3.5 m3 + 4.6 m3 = 15.3 m3
20.015 hm3 − (570 m3 5.3 dm3 ) =
= 15 000 m3 − 570.0053 m3 = 14 429.9947 m3
Reglas de divisibilidad
Un número es divisible por :
2, si termina en cero o número par.
24, 238, 1024.
3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
36, 564, 2040.
5, si termina en cero o cinco.
45, 515, 7525.
7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.
343
34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7
105
10 - 5 · 2 = 0
2261
226 - 1 · 2 = 224
Volvemos a repetir el proceso con 224.
22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.
4224
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisblilidad
4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
36, 404, 1 028.
6, si es divisible por 2 y por 3.
72, 324, 2 400
8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
4000, 1048, 1 512.
9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
81, 900, 3 663.
10, si la cifra de las unidades es 0.
130, 1440, 10 230
25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
500, 1025, 1875.
125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
1000, 1 125, 4 250.
Factorización de un número
Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
432 = 24 · 33
FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA
Moda
La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li-1 es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
1 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
Mediana para datos agrupados
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra .
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
CuartilesLos cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Cálculo de deciles
Ordenamos los datos de menor a mayor.
Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se
encuentra , .
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Cálculo de percentiles
Ordenamos los datos de menor a mayor.
Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se
encuentra ,.
Desviación mediaLa desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
Desviación media para datos agrupados
VarianzaLa varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Coeficiente de variaciónEl coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
Coeficiente de variación en tanto por ciento
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.
xi = Xi − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.
Distribuciones bidimensionales
Covarianza
Coeficiente de correlación lineal
Recta de regresión de Y sobre X
Recta de regresión de X sobre Y
Fórmulas de inferencia estadísticatervalos característicos
El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α.
El nivel de significación se designa mediante α.
El valor crítico (k) como z α/2 .
En una distribución N(μ, σ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 - α es:
(μ - z α/2 · σ , μ + z α/2 · σ )
1 - α α/2 z α/2 Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)
0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )
0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )
Teorema central del límite
μ media de la población
σ desviación típica de la población
n Tamaño de la muestra (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal")
Las medias de las muestras siguen aproximadamente la distribución:
Estimación de la media de una población
Intervalo de confianza para la media
Error máximo de estimación
Tamaño de la muestra
Estimación de una proporción
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de estimación es:
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.
Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral
H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k
2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α. Determinar:
El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p').
3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se rechaza.
Contraste Bilateral
H0: μ = k (o bien H0: p = k)
H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k).
o bien:
Contraste unilateral
Caso 1
H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).
H1: μ < k (o bien H1: p < k).
Valores críticos
1 - α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33
o bien:
Caso 2
H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).
H1: μ > k (o bien H1: p > k).
o bien:
Errores
H0 Verdadera Falsa
AceptarDecisón correcta
Probabilidad = 1 - α
Decisión incorrecta:
ERROR DE TIPO II
RechazarERROR DE TIPO I
Probabilidad = α Decisión correcta
Formulas de TrigonometríaRazones trigonométricas
Seno
Coseno
Tangente
Cosecante
Secante
Cotangente
Relaciones entre las razones trigonométricas de dos ángulos
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Ángulos que difieren en 180°
Ángulos opuestos
Ángulos negativos
Mayores de 360º
Ángulos que difieren en 90º
Ángulos que suman en 270º
Ángulos que suman en 270º
Ángulos que difieren en 270º
Identidades trigonométricas
sen² α + cos² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Suma de ángulos
Diferencia de ángulos
Ángulo doble
Ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Teorema de los senos
Teorema del coseno
Teorema de las tangentes
SucesionesUna sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:
Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.
Sucesiones estrictamente crecientes
an+1 > an
Sucesiones crecientes
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
an+1 < an
Sucesiones decrecientes
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
an= k
Sucesiones acotadas inferiormente
an ≥ k
Sucesiones acotadas superiormente
an ≤ k'
Sucesiones acotadas
k ≤ an ≤ K'
Operaciones con sucesiones
Suma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Sucesión inversible
Cociente
EjerciciosHallar el término general de las siguientes sucesiones:
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8= -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
an = 3· 2 n-1
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...
Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.
an= (n + 1) 2 + 1
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...
an= (n + 1)2 - 1
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...
an= (n + 1)2 - 1
2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...
an= (n + 1) 2 - 2
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
an= (-1)n (n + 1)2
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
Tenemos dos sucesiones:
2, 5, 8, 11, 14, ...
4, 9, 16, 25, 36, ...
La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.
an= (3n - 1)/(n + 1) 2
10
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
Estudia la monotonía y las cotas:
1
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
La sucesión va decreciendo.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente decreciente.
Límite
a1= 3
a3= 1
a1000= 0.5012506253127
a1000 000 = 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada.
1/2 < an ≤ 3
2
Monotonía
Cada término es mayor que la anterior.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente creciente.
Límite
a1= 0.5
a3= 0.6666
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1
Sucesión convergente
Cotas
Por ser creciente, 1/2 es una cota inferior, el mínimo.
1 es una cota superior, el supremo. o extremo superior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 ≤ an < 1
Probabilidad
Ley de Laplace
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A B =
p(A B) = p(A) + p(B)
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A B ≠
p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)
Probabilidad condicionada
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(A B) = p(A) · p(B)
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
p(A B) = p(A) · p(B/A)
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Teorema de la probabilidad total
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Teorema de Bayes
0 ≤ p(A) ≤ 1
p(E) = 1
Ejercicios
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3De que ambos mueran antes de los 20 años.
En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:
1 Con una persona sin gafas.
2Con una mujer con gafas.
En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:
1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?
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Fórmulas de Álgebra
Monomios
axn + bxn = (a + b)bxn
axn − bxn = (a − b)bxn
axn · bxm = (a · b)bxn +m
axn : bxm = (a : b)bxn − m
(axn)m = amxn · m
Productos notables
Binomios al cuadrado
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(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
Binomios al cubo
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
Binomio de Newton
Diferencia de cuadrados
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
Diferencia cuarta
a4 − b4 = (a + b) · (a − b) · (a2 + b2)
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c
Cocientes notables
Factorización
Factor común
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Doble extracción de factor común
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
Trinomio de segundo grado
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
Ecuaciones
Ecuación de segundo grado
ax2 + bx +c = 0
Ecuación bicuadrada
ax4 + bx2 + c = 0
Proporcionalidad
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones.
Constante de proporcionalidad
Propiedad de las proporciones
Proporción continua
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales.
Medio proporcional
En una proporción continua, se denomina medio proporcional a cada uno de los términos iguales.
Tercero proporcional
En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.
Cuarto proporcional
Un cuarto proporcional es uno cualquiera de los términos de una proporción.
Porcentajes
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Regla de tres directa
Regla de tres simple inversa
Regla de tres compuesta
Regla de tres compuesta directa
Regla de tres compuesta inversa
Regla de tres compuesta mixta
Ejercicios
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³
4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
100 € 116 €
1200 € x €
Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.
Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Intervalos y semirrectas de números reales
Intervalo abierto
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a
(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}
x ≤ a
(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}
Valor absoluto de un número real
|a| = |−a|
|a · b| = |a| ·|b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Distancia
d(a, b) = |b − a|
Entornos
Er(a) = (a-r, a+r)
Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien, a a-r < x < a+r.
Entornos laterales
Por la izquierda
Er(a-) = (a-r, a)
Por la derecha
Er(a+) = (a, a+r)
Entorno reducido
E r*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}
FuncionesDominio de una función
D = {x / f (x)}
Dominio de la función polinómica
D =
Dominio de la función racional
El dominio es menos los valores que anulan al denominador.
Dominio de la función radical de índice impar
D =
Dominio de la función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
D =
Dominio de la función seno
D = .
Dominio de la función coseno
D = .
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
f o i = i o f = f
Función inversa o recíproca Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
f o f -1 = f -1 o f = x
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función en x e y.
3Se intercambian las variables.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
Función creciente
f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
Función decreciente
f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:
Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se llama cota superior.
Función acotada inferiormente
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .
El número k′ se llama cota inferior.
Función acotada
Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Simetría respecto del eje de ordenadas
f(-x) = f(x)
Simetría respecto al origen
f(-x) = -f(x)
Funciones periódicas
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:
f(x) = f(x + z T)
Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es:
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la ecuación resultante.
Punto de corte con el ejes OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).
Asíntotas
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas
Ramas parabólicas
Hay ramas parabólicas si:
Rama parabólica en la dirección del eje OY
Rama parabólica en la dirección del eje OX
Fórmulas de Geometría
Fórmulas de perímetros y áreas
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecio
Polígono
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
Polígono regular
n es el número de lados.
Longitud de la circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
Círculo
Sector circular
Corona circular
Trapecio circular
Segmento circular
Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Problemas y ejercicios resueltos de áreas
Fórmulas de áreas y volúmenes
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Cubo
Ortoedro
Prisma
Pirámide
Tronco de pirámide
Cilindro
Cono
Tronco de cono
Esfera
Huso y cuña
Casquete esférico
Zona esférica