Fórmulas e Nomenclaturas da Matemática Financeira

8/17/2019 Fórmulas e Nomenclaturas da Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Fórmulas e Nomenclaturas

Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1

10/AGOSTO/2011

1 Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.


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Fator multiplicativo ou fator matemático:

100

i Fm

Fm→ fator matemáticoi→ taxa de juros

Fórmula da capitalização simples ou juros simples:

J = PV . i. n ou J = C . i . n

J→ jurosPV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)C→ capital

FV = PV + J ou M = C +J

FV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capitalJ→ juros

J = FV – PV ou J = M - C

J→ jurosFV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capital

Fórmulas auxiliares de juros simples:


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3

1- Valor presente ou capital:

ni

J PV

.

PV→ valor presenteJ→ jurosi→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)

2- taxa:

n PV

J i

.

i→ taxa de juros J→ jurosPV→ valor presenten→ número de períodos (período de tempo)

3- número de períodos ou período de tempo:

i PV

J n

.

n→ número de períodos (período de tempo)

J→ jurosPV→ valor presentei→ taxa de juros

Fórmula da capitalização composta ou juroscompostos:

J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1])

J→ jurosPV→ valor presente


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i→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)

C→ capital

FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)n

FV→ valor futuroPV→ valor presente

i→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)M→ montanteC→ capital

J = FV – PV ou J = M – C

J→ juros

FV→ valor futuroPV→ valor presenteM→ montanteC→ capital

Fórmulas auxiliares de juros compostos:

1- Valor presente ou capital:

11

n

i

J PV

PV→ valor presentei→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)

2- taxa:


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5

1 n

PV

FV i

i→ taxa de juros FV→ valor futuroPV→ valor presenten→ número de períodos (período de tempo)

3- número de períodos ou período de tempo:

i PV

FV

n

1log

log

n→ número de períodos (período de tempo)FV→ valor futuro

PV→ valor presentei→ taxa de juroslog→ logaritmo

Fórmula de financiamento (coeficiente definanciamento):

nii

CF

11

ou

ni

iCF

1

1

1


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CF→ coeficiente de financiamento

i→ taxa de jurosn→ número de períodos (período de tempo)

Fórmula de financiamento (valor da prestação):

PMT = PV . CF ou VP = C . CF

PMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presenteCF→ coeficiente de financiamentoVp→ valor da prestaçãoC→ capital

Fórmula de financiamento (valor da prestação comum valor de entrada):

PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CF

PMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presenteCF→ coeficiente de financiamentoVp→ valor da prestaçãoC→ capitalVpe→ valor da prestação de entrada

Fórmula de financiamento (valor da prestação igualao valor da entrada):

PMT→ valor da prestaçãoPV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)


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CF→ coeficiente de financiamento

CF

PMT PV

PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)PMT→ valor da prestaçãoCF→ coeficiente de financiamento

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre umcapital para a realização de alguma operação financeira.

Fórmula de taxa proporcional:

2

1

2

1

t

t

i

i

i1→ taxa inicial (taxa que tenho)i2→ taxa final (taxa que quero)t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês)t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para onúmero de capitalizações)

Fórmula de taxa equivalente:

ie = (1 + ik)k – 1

ie→ taxa equivalente (taxa que quero)ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho)k→ número de capitalizações convertido para a unidadepadrão ou unidade apropriada

Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente:


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Fórmula Taxa PeríodoNúmero de

capitalizações1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2

1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3

1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4

1+ia = (1+imes)12 imes mês 12

1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24

1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52

1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365

Taxa Nominal é quando o período de formação eincorporação dos juros ao capital não coincide comaquele a que a taxa está referida.

iN = n x i

in→ taxa nominali→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodos

Taxa Efetiva é quando o período de formação eincorporação dos juros ao Capital coincide com aquele aque a taxa está referida.

ie = (1 + ie)1/n – 1

in→ taxa nominali→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodos

Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxainflacionária do período da operação.


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Taxa acumulada de juros com taxas variáveis énormalmente utilizada em situações de correções de

contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operaçãofinanceira sem se considerar os efeitos da inflação.

Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiropara determinar a rentabilidade por dia útil,

normalmente é multiplicada por 30 (conversão domercado financeiro).

Taxa média é a taxa de juros que tem como base teóricao conceito estatístico da média geométrica.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: ataxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa dainflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre as

três taxas dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e umvalor aplicado no início do mês produziu um rendimentoglobal de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultadoé igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada.

A variação real no final deste mês será definida por:

vreal = 1 + ireal

pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:


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10

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período foi de:

ireal = 2%

Capitalização em períodos fracionários:

CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o

montante ou valor futuro a juros compostos donúmero de períodos inteiros. Ao valor futuro(montante) obtido adicionam-se os juros simples correspondentes no período fracionário.

FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q

Juros compostos

Nos períodos inteiros

Juros simples

Nas frações de períodos (taxaproporcional)

FV→ valor futuroPV→ valor presente

i→ taxa de jurosn→ número de capitalizações ou número de períodosn + p/q→ prazo totalp/q→ fração do período total

n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros e p/q: fração desse período para calcular o montanteou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente

na taxa: i no fim de n + p/q períodos:


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DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

ATENÇÃO: O desconto comercial difere do descontoracional principalmente por que se trata de uma taxaaplicada ao valor nominal do título. Não é umadescapitalização, como no caso do desconto racional e asequações do desconto comercial, são diferentes dasequações dos descontos racionais. O desconto comercialsimples é o tipo de desconto aplicado no comércio e ataxa de desconto é única para cada prazo determinado.Assim, um título pago com um mês de antecedência deveser descontado a uma taxa diferente de um título pagocom três meses de antecedência.

O valor do desconto é obtido diretamente do produto dataxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atualou valor a ser pago pelo título é o valor nominaldescontado

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

D c = N – A c

Dc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquido

i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

D c = N . i . n

Dc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de juros

n→ número de períodos antecipação


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Fórmulas auxiliares do desconto comercial:

1- taxa:

n N

Di

.

i→ taxa de juros D→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de face

n→ número de períodos de antecipação

2- valor nominal:

ni

D N

.

N→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceD→ Descontoi→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação

Equação ou Formula do Valor Atual ComercialSimples:

A = N . (1 – i.n)

A→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

Fórmulas auxiliares do valor atual:

1- taxa:


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14

n

N

D

i

1

i→ taxa de juros D→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facen→ número de períodos de antecipação

Equação ou Formula do Desconto Comercial

Composto:

D c = N – A c

Dc→ DescontoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

A c = N . (1 + i) – n ou nci

N A

)1(

N→ Valor nominal = valor bruto = valor de faceAc→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO

D r = N – A r

Dr→ Desconto RacionalAr→ Valor atual = valor líquidoi→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Equação ou Formula do Desconto Racional Composto:


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15

nr

i

N A

)1(

Ar→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

Equivalência de taxas de descontos:(1 + i c . (1 + i r ) = 1

Ar→ Valor atual = valor líquidoN→ Valor nominal = valor bruto = valor de facei→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos

ATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtidoexatamente da mesma forma que o juro, com a diferençaque o desconto corresponde a uma descapitalização. Paraobter o valor D do desconto racional simples a serconcedido sobre o valor nominal N de um título que venceem n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i ,utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros ecalcula-se o valor do desconto.

Se o desconto racional a ser aplicado é o composto,utiliza-se a mesma equação da descapitalização no jurocomposto (chamando de o valor a ser pago). O valor dodesconto pode ser obtido com a equação equivalente domontante:

N = A + D

O desconto racional também é chamado de descontoverdadeiro, desconto justo e desconto real.

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