formularium Wiskunde
-
Upload
michiel-vermeulen -
Category
Documents
-
view
163 -
download
1
Transcript of formularium Wiskunde
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Formularium Wiskunde
Vlakke analytische meetkunde
1. VectorenDe vector A⃗B heeft
Een lengte, |AB| Een richting, die van de rechte AB Een zin, van A naar B ( pijl)
Gelijke vectoren
Zelfde lengte Zelfde richting Zelfde zin
2 vectoren zijn // als ze dezelfde zin hebben.
Tegengestelde vectoren
Zelfde lengte Zelfde richting Tegengestelde zin
Formule chasles-möbius:
A⃗B+ B⃗C= A⃗C
2. PlaatsvectorenVerband vectoren en plaatsvectoren
A⃗=O⃗A
A⃗B=B⃗−A⃗
Evenwijdige plaatsvectoren
Corresponderen met punten die collineair zijn met de oorsprong
Tegengestelde plaatsvectoren
Zijn vectoren die symmetrisch gelegen zijn t.o.v. de oorsprong
Midden van een lijnstuk
M⃗=12
( A⃗+ B⃗ )
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Zwaartepunt van een driehoek
Z⃗= A⃗+B⃗+ C⃗3
Als ABCD een parallellogram is, dan geldt dat
A⃗+C⃗=B⃗+D⃗
In een willekeurige driehoek ABC geldt voor de middenparallel [ MN ] van [BC ] :
M⃗N=12B⃗C
3. Vectoriële vergelijkingenRichtingsvector van een rechte
Is elke vector ( verschillende v/d nulvector) die // is met de rechte.
Vectoriële vergelijking van een rechte bepaald door 2 punten
P⃗= (1−k ) A⃗+k B⃗
Vectoriële vergelijking van een rechte bepaald door 1 punt en een richtingsvector
P⃗= A⃗+k S⃗
Vectoriële vergelijking van een rechte door de oorsprong
P⃗=k S⃗
4. Cartesische CoördinatenMidden van een lijnstuk
M (x1+x22
,y1+ y22
)
Zwaartepunt van een driehoek
Z (x1+x2+x3
3,y1+ y2+ y3
3)
5. RichtingscoëfficiëntDefinitie richtingsgetallen
De coördinaat (a ,b ) van een richtingsvector S⃗ van een rechte.
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Definitie richtingscoëfficiënt
1e getal van een koppel richtingsgetallen van een rechte gelijk aan 1 2e getal = richtingscoëfficiënt
Richtingsgetallen van een rechte door de punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)
(x2−x1 , y2− y1)
Richtingscoëfficiënt bepalen
Vorm v/d vergelijking = y=mx+q ricco = m
Vorm v/d vergelijking = ux+vy+w=0 ricco m=−uv
Richtingsgetallen 2e coördinaat als 1e = 1
2 punten m=y2− y1x2−x1
6. ParametervergelijkingenStelsel parametervergelijkingen van de rechte AB met A(x1 , y1) en B(x2 , y2)
{ x=(1−k ) x1+k x2y=(1−k ) y1+k y2
Stelsel parametervergelijkingen van de recht door A(x1 , y1) en met richtingsgetallen (a ,b)
{x=x1−kay= y1−kb
7. Cartesische vergelijkingen van rechtenCartesische vergelijking van een rechte bepaald door een punt A(x1 , y1) en een koppel
richtingsgetallen (a ,b)
x−x1a
=y− y1b
Cartesische vergelijking van een rechte bepaald door een punt A(x1 , y1) en een richtingscoëfficiënt m.
y− y1=m(x−x1)
Cartesische vergelijking van een rechte bepaald door 2 punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)
y− y1=y2− y1x2− x1
(x−x1)
8. Het Scalaire product of inproductNorm van een vector
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Is de afstand van het beginpunt tot het eindpunt van een representant van die vector
Scalair product
A⃗ . B⃗=‖A⃗‖.‖B⃗‖.cos (^⃗A , B⃗)
9. Loodrechte stand2 rechten a en b met koppels richtingsgetallen (a1 , b1) en (a2 , b2)
a⊥b⇔a1a2+b1b2=0
2 rechten a en b met richtingscoëfficiënten m1 en m2
a⊥b⇔m1m2=−1⇔− 1m2
10. Afstanden en hoekenAfstand van het punt A(x1 , y1) tot de oorsprong
‖OA‖=√x12+ y12
Afstand tussen de punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)
‖AB‖=√ (x2−x1 ) ²+ ( y2− y1 ) ²
11. De cirkelEen cirkel met middelpunt M en straal r
Is de verzameling van alle punten van het vlak die op een afstand r van M liggen.
De straal r van een cirkel
Is de lengte van elk lijnstuk begrensd door het middelpunt v/d cirkel en een punt dat op de cirkel ligt
Een koorde
Is een lijnstuk dat 2 verschillende punten v/d cirkel verbindt.
De middellijn
Is een koorde die door het middelpunt gaat
De diameter van een cirkel
Is de lengte van de middellijn
Het apothema van een koorde
Is het lijnstuk dat vanuit het middelpunt loodrecht op de koorde staat
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
De raaklijn van de cirkel
Is een rechte die precies 1 gemeen punt heeft met de cirkel
De normaal in een punt van de cirkel
Is de loodlijn op de raaklijn in dat punt van de cirkel
Omtrek van de cirkel met straal r
2πr
Oppervlakte van een cirkel met straal r
π r2
Er is een rechte waarvoor geldt
Ze gaat door het middelpunt v/d cirkel Ze staat loodrecht op een koorde Ze deelt die koorde middendoor
Een middelpuntshoek van een cirkel
Is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is
Een omtrekshoek van een cirkel
Is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan beide benen de cirkel snijden
Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan zijn gelijk.
In een cirkel is een omtrekshoek de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
Elke omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht
Cartesische vergelijking van de cirkel met middelpunt (x1 , y1 ) en straal r
(x−x1 ) ²+( y− y1 ) ²=r ²
Cartesische vergelijking van de cirkel door de oorsprong met straal r
x ²+ y ²=r ²
Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte
Snijdend Rakend Geen gemeenschappelijke punten
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Ruimtemeetkunde
1. InleidingPrisma
Is een ruimtelichaam waarbij 2 zijvlakken congruente veelhoeken zijn die bovendien // zijn en waarbij alle overige zijvlakken rechthoeken zijn.
Cilinder
Is een ruimtelichaam dat ontstaat als we een rechthoek laten wendelen om de drager van een zijde.
Piramide
Is een ruimtelichaam waarbij 1 zijvlak een veelhoek is en alle overige zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn.
Kegel
Ruimte lichaam dat ontstaat als we een rechthoekige driehoek laten wentelen om de drager van de rechthoekszijde.
Bol
Is een ruimte lichaam dat ontstaat als we een halve cirkel laten wentelen om de middellijn die de halve cirkel begrenst.
Veelvlakken
Zijn ruimtefiguren waarvan de zijvlakken veelhoeken zijn.
Lichaamsdiagonaal
Elk verbindingslijnstuk van 2 hoekpunten van een veelvlak dat niet in 1 van de zijvlakken ligt.
Diagonaalvlak
Elk vlak dat een lichaamsdiagonaal van het veelvlak bevat.
Regelmatige veelvlakken
Zijn veelvlakken waarbij alle zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn.
Formule van Euler
z+h=r+2
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
2. Onderlinge ligging van rechten en vlakken.Onderlinge ligging van rechten
Snijdend Kruisend Strikt // Samenvallend
Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Snijdend Rechte ligt in het vlak Strikt //
Onderlinge ligging van vlakken
Snijdend Strikt // Samenvallend
3. Vlakke voorstellingenVerschillende voorstellingen
Kavalierperspectief Aanzichten Uitslagen
4. Rekenen in de ruimteAfstand van een punt A tot een vlak α
Is gelijk aan de afstand van A tot het snijpunt van de loodlijn uit A op α met α.
Afstand tussen 2 evenwijdige vlakken
Is gelijk aan de afstand van een willekeurig punt van 1 van deze vlakken tot het ander vlak
Hoek tussen een rechte a en een vlak α
Is de hoek gevormd door a en zijn loodrechte projectie op α
Hoeken van 2 snijdende vlakken
Zijn de hoeken gevormd door de loodlijnen die getrokken worden in beide vlakken op de snijlijn in een punt van de snijlijn
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
5. Inhouden en oppervlaktenRecht prisma
A=2. A grondvlak+omtrek grondvlak .h
V=A grondvlak .h
Cilinder
A=2πr (r+h )
V=π r2h
Piramide
A=A grondvlak+12. omtrek grondvlak .apothema
V=13. A grondvlak . h
Kegel
A=πr (r+a )
V=13π r2h
Bol
V= 43πr ³
1 hl 100l1l 10dl1dl 10cl1m³ 1000dm³1dm³ 1000cm³1m² 100dm²1dm² 100cm²1dm³ 1l1 are 100m²
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Beschrijvende statistiek
1. Gegevens verzamelenBeschrijvende statistiek
Verzamelt gegevens en beschrijft de toestand door die gegevens te ordenen in tabellen, te verwerken, samen te vatten en grafisch voor te stellen
Populatie
De verzameling van alle elementen waarvan we een bepaalde eigenschap willen bestuderen.
Steekproef
Een deel van de populatie waarvoor we waarnemingen uitvoeren om een bepaalde eigenschap te bestuderen
Omvang van de steekproef
Aantal elementen van de steekproef
Waarnemingsgetallen
Resultaten (waarnemingen) van een onderzoek
Kwantitatieve kenmerken
Kenmerken die kunnen uitgedrukt worden met een getal, eventueel gevolg door een eenheid
Kwalitatieve kenmerken
Kenmerken die een beoordeling uitdrukken of waarbij het gaat over het al dan niet aanwezig zijn van een eigenschap
Discrete gegevens
De uitkomstverzameling telt een bepaald aantal elementen, slechts welbepaalde afzonderlijke waarden zijn mogelijk
Continue gegevens
De uitkomstverzameling bevat alle reële waarden binnen een bepaald interval
2. Niet-gegroepeerde gegevens ordenen
Absolute frequentie a f i van het waarnemingsgetal x i
Is het aantal keren dat x i in de tabel voorkomt
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Relatieve frequentie r f i van het waarnemingsgetal x i
Is de verhouding van de absolute frequentie van dat waarnemingsgetal tot het aantal gegevens
r f i=a f in
Cumulatieve absolute frequentie ca f i van het waarnemingsgetal x i
Is het aantal waarnemingsgetallen kleiner of gelijk aan x i
ca f i=a f 1+a f 2+a f 3+…+a f i
Cumulatieve relatieve frequentie crf i van het waarnemingsgetal x i
Is de verhouding van de cumulatieve absolute frequentie van dat waarnemingsgetal tot het totale aantal gegevens
cr f i=ca f i
n
Frequentie tabel
Is een tabel met gerangschikte gegevens waarin bij elke waarnemingsgetal de relatieve of absolute frequentie of beide vermeld worden
3. Grafische voorstellingenStaafdiagram
Schijfdiagram
De grootte van de corresponderende middelpunthoek is gelijk aan 360° vermenigvuldigd met de relatieve frequentie
r f i .360 °
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Ogief
Horizontale as waarnemingsgetallen Verticale as cumulatieve absolute frequentie (ca f i)
Duid voor elk waarnemingsgetal het punt met bijhorende ca f i aan Verbind de punten met een vloeiende lijn
4. Gegroepeerde gegevens ordenenVariatiebreedte
Is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.
Klassen
Zijn halfopen intervallen, zodanig dat elk waarnemingsgetal tot precies 1 klasse behoort.
Klassenbreedte
Is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van een klasse.
Klassengemiddelde
Is het rekenkundige gemiddelde van de 2 grenzen van een klasse.
Absolute frequentie van een klasse
Is het aantal waarnemingsgetallen dat tot die klasse behoort.
Relatieve frequentie van een klasse
Is de verhouding van de absolute frequentie van die klasse tot het totale aantal waarnemingsgetallen
Cumulatieve absolute frequentie van een klasse
Is het aantal waarnemingsgetallen dat tot die klasse of een lagere klasse behoort.
Cumulatieve relatieve frequentie van een klasse
Is de verhouding van de absolute cumulatieve frequentie van die klasse tot het totale aantal waarnemingsgetallen
Gegroepeerde frequentie tabel
Is een frequentie tabel waarbij de waarnemingsgetallen gegroepeerd zijn in klassen
5. Gegroepeerde gegevens grafisch voorstellenHistogram
Diagram waarin met elke klasse een rechthoek correspondeert. De breedte van de rechthoek komt overeen met de klassenbreedte. De hoogte komt overeen met de absolute frequentie.
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Frequentiepolygoon
Breid het histogram links en rechts uit met een klasse frequentie 0. Neem het midden van de bovenste zijde van elke rechthoek. Gebroken lijn = frequentiepolygoon van de gegroepeerde frequentieverdeling.
Cumulatieve frequentiepolygoon
Begin de kromme bij het punt waarvan de 1e coördinaat de ondergrens van de 1ste klasse is en die als 2e coördinaat 0 heeft.
Voor elke klasse zoek je het punt met als 1e coördinaat de bovengrens van die klasse en als 2e
coördinaat de cumulatieve absolute of cumulatieve relatieve frequentie van die klasse. De gebroken lijn = cumulatieve frequentiepolygoon van de gegroepeerde
frequentieverdeling
6. CentrummatenRekenkundig gemiddelde
x=x1+x2+…+xn−1+xn
n
Mediaan (Me )
1. Het middelste waarnemingsgetal als het aantal waarnemingsgetallen oneven is.2. Het gemiddelde van de 2 middelste waarnemingsgetallen als het aantal waarnemingsgetallen
even is.
Modus (Mo )
Is het waarnemingsgetal met de grootste enkelvoudige absolute frequentie.
7. SpreidingsmatenVariatiebreedte
Verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal
Kwartielen
1e kwartiel Q1 = mediaan van de 1ste helft van de gerangschikte gegevens
2e kwartiel Q2 = mediaan van de gegevens
3e kwartiel Q3 = mediaan van de 2de helft van de gerangschikte gegevens
Percentielen
De getallen p1 , p2 ,…, p99 zodanig dat 1%,2%,…,99% van de waarnemingsgetallen kleiner zijn dan of
gelijk aan respectievelijk p1 , p2 ,…, p99
Interkwartielafstand
Q3−Q1
13
Formularium wiskunde, 4e jaar
Boxplot
Schematische voorstelling die het kleinste en het grootste gegeven weergeeft en ook de drie kwartielen, de mediaan en het gemiddelde
Variatie
s ²=(x1−x )2+(x2−x )2+…+ (xn−x )2
n
Standaardafwijking
s=√ (x1−x )2+(x2−x )2+…+(xn−x )2
n
8. Vergelijken van gegevensVariatiecoëfficiënt
V= sx
Z-scores
z i=xi−x
s
9. Relatieve frequentie & kansToevals- of kansexperiment
Een experiment waarvan de uitkomst door het toeval wordt bepaald
Theoretische kans
Van sommige uikomsten kan men de kans exact op voorhand bepalen
Experimentele kans
Bij een herhaaldelijk uitvoeren van een kansexperiment, geeft de relatieve frequentie van een bepaalde uitkomst je een schatting van de kans op die gebeurtenis
Wet van de grote getallen of het principe van statistische stabiliteit
Schatting van een kans wordt betrouwbaarder naarmate je het experiment vaker uitvoert
Grootste waarde
3e kwartiel
GemiddeldeKleinste waarde
1e kwartiel
13
Formularium wiskunde, 4e jaar