FormulariodelEGEL-IMECATRO

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERA MECATRNICA

Direccin General Adjunta de los EGEL

JUNIO 2015

formulario


ABRIL 2013


JUNIO 2015

formularioEXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA

EN INGENIERA MECATRNICA

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarn el Examen General para el Egreso de Ingeniera Mecatrnica (EGEL-IMECATRO) y est vigente a partir de enero de 2015. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido est sujeto a revisiones peridicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y crticas que hagan los miembros de las comunidades acadmicas de instituciones de educacin superior de nuestro pas, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Tcnico del examen. El Ceneval y el Consejo Tcnico del EGEL-IMECATRO agradecern todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Srvase dirigirlos a:

Direccin General Adjunta de los EGEL Direccin de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A.C. Av. Desierto de los leones nm. 37

Col San ngel, Del. lvaro Obregn, C.P. 01000 Mxico, D.F.

Tel: 01 (55) 5322-9200 Ext. 5110 http://www.ceneval.edu.mx

Email: [email protected]

D. R. 2015 Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A. C. (Ceneval) Tercera edicin

Directorio

Direccin General Dr. en Qum. Rafael Lpez Castaares

Direccin General Adjunta de los Exmenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Catalina Betancourt Correa

Direccin del rea de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

M. en Ed. Luz Mara Sols Segura

Coordinacin del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Mecatrnica (EGEL-IMECATRO)

Lic. Claudia Myrna Rubio Pizarro

Consejo Tcnico

Representantes de instituciones educativas

M. en C. Manuel Aparicio Razo

Benemrita Universidad Autnoma de Puebla

Dr. Sergio Daz Zagal

Instituto Tecnolgico de Toluca

Dr. Jorge Alejandro Manrquez Frayre Instituto Tecnolgico y de Estudios

Superiores de Monterrey Dr. Jos Ramn lvarez Bada Universidad Anhuac del Norte

M. en C Luis Ricardo Vidal Portilla

Universidad Autnoma de Ciudad Jurez

Dr. Hctor Mndez Aza

Universidad Autnoma de San Luis Potos

Mtra. Adriana Cecilia Avelar Dueas Universidad de Guadalajara

Dr. Vctor Ayala Ramrez Universidad de Guanajuato

Dr. Vctor Hugo Bentez Baltazar Universidad de Sonora

Mtro. Omar Aceves Suriano Universidad del Valle de Mxico

Dr. Eduardo Gamaliel Hernndez

Martnez Universidad Iberoamericana

Dr. Ismael Osuna Galn Universidad Politcnica de Chiapas

Dr. Marving Omar Aguilar Justo Universidad Politcnica de

Aguascalientes

M en A. Oscar Omar Ovalle Osuna Universidad Autnoma de Baja

California

M. en C. Juan Carlos Bretn Pozas Universidad Politcnica del Valle de

Mxico

Dra. Mara de la Luz Garca Cruz Universidad Popular Autnoma del

Estado de Puebla

Dr. Manuel Arias Montiel Universidad Tecnolgica de la

Mixteca

Representantes de Colegios y Organizaciones Gremiales

M. en C. Braulio Jos Cruz Jimnez Asociacin Nacional de Facultades y

Escuelas de Ingeniera, A. C.

Contenido

Integracin de tecnologas para el diseo mecatrnico ............................................. 9

Esfuerzos y deformaciones .............................................................................................. 9 Razn de Poisson ............................................................................................................ 9 Ley de Hooke generalizada .............................................................................................. 9 Esfuerzos cortantes y deformacin transversal ................................................................ 9 Esfuerzos y deformacin debido a torsin-potencia ......................................................... 9 Esfuerzos por flexin y cortante axial ............................................................................. 10 Deflexin en vigas, mtodo de integracin ..................................................................... 10 Columnas ....................................................................................................................... 10 Comportamiento mecnico deformacin ........................................................................ 10 Comportamiento mecnico dureza ................................................................................. 10 Motores-engranes .......................................................................................................... 10 Vida til de un balero ...................................................................................................... 12 Momentos....................................................................................................................... 13 Mecanismo biela manivela ............................................................................................. 13 Resorte Helicoidal de torsin .......................................................................................... 13 Coeficiente de caudal ..................................................................................................... 14 Energa ........................................................................................................................... 14 Carga ............................................................................................................................. 15 Corriente ........................................................................................................................ 17 Voltaje ............................................................................................................................ 17 Resistencia ..................................................................................................................... 17

Automatizacin de sistemas ........................................................................................ 25

Tabla de transformadas de Laplace ............................................................................... 25 Teoremas de las transformadas de Laplace .................................................................. 26 Expansin en fracciones parciales ................................................................................. 27 Tipos de respuesta ......................................................................................................... 27 Regla de Mason ............................................................................................................. 30

Controladores PID .......................................................................................................... 30 Tabla de propiedades de la transformada z ................................................................... 34 Tabla de transformada Z y transformada Z modificada .............................................. 35 Procesos de mquinas-herramientas ............................................................................. 36 Configuraciones bsicas de amplificadores operacionales ............................................ 39 Puente de Wheatstone ................................................................................................... 40 Coeficiente alfa de Cronbach ......................................................................................... 40 Cambios de base numrica ............................................................................................ 41

Desarrollo y coordinacin de proyectos mecatrnicos ............................................. 42

Calidad ........................................................................................................................... 42 Redes (diagrama PERT) ................................................................................................ 43 Toma de decisiones (rboles de decisin) ..................................................................... 43 Balanceo de lneas de ensamble ................................................................................... 44 Balanceo de lneas con base en los operarios ............................................................... 44 Secuenciacin de tareas ................................................................................................ 44 Inventarios ...................................................................................................................... 44 Tiempo estndar ............................................................................................................ 46 Punto de equilibrio .......................................................................................................... 46 Ingeniera econmica ..................................................................................................... 46 Rotacin de inventarios .................................................................................................. 47 Anlisis de la deuda ....................................................................................................... 48 Anlisis de la rentabilidad ............................................................................................... 48 Anlisis de la liquidez ..................................................................................................... 48 Estadstica para la administracin de operaciones ........................................................ 49

Anexos ........................................................................................................................... 52

Matemticas ................................................................................................................... 52 Fsica .............................................................................................................................. 82 Anlisis dimensional y teora de semejanza ................................................................... 93 Tablas caractersticas de los flip flops ............................................................................ 94 Tablas de excitacin de los flip flops JK y T ................................................................... 94

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Mecatrnica (EGEL-IMECATRO)

Direccin de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

9

Integracin de tecnologas para el diseo mecatrnico

Esfuerzos y deformaciones

AF= ; Yp

d

FS

= ; L = ; E= ;

AEPL=

Razn de Poisson

l a t

long

=

Ley de Hooke generalizada

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )+=

===

+=

+=

+=

12

1 ,1 ,1

1

1

1

EG

dondeGGG

E

E

E

zxzxyzyzxyxy

yxzz

xzyy

zyxX

Esfuerzos cortantes y deformacin transversal

x

z

x

Y

== ; G=

Esfuerzos y deformacin debido a torsin- potencia

JTc= ;

JGTL= ; TP = ; f 2=



10

Esfuerzos por flexin y cortante axial

McI

= ; It

VQ=

Deflexin en vigas, mtodo de integracin

EIxM

dxyd )(2

2

=

Carga crtica en columnas

2

2

LEIPcr

= ; 22

2

=

rL

E

ecr

Comportamiento mecnico (relaciones esfuerzo-deformacin)

0AF= ;

0

0

lll = ; E= ;

AEFLl = ;

100%

=

o

fo

AAA

RA ; 100%

=

o

of

lll

El

223whFL

flexin = ;

afK = ;

=

m

VF0

exp1)( ;

nKCdNda )(= ; ( )

1000lnTLM A B t = +

;

AF

t = ;

=

f

ot A

Aln ; ntt k = ;

Comportamiento mecnico (dureza Brinell)

)(

222

iDDDD

FHB

=

;

Motores-engranes

=

33000

HPP pND =



11

PHP = potencia (Horse Power) T = torsin (par) lbin N = revoluciones por minuto (rpm) D = dimetro de paso (in) = velocidad angular (rpm) p = paso diametral

Mdulo NDm =

m = mdulo del engranaje D = dimetro de paso N = nmero de dientes

Relacin de velocidades e

sv Ds

DeNsNem

===

mv =relacin de velocidades Ne =nmero de dientes en el engrane de entrada Ns = nmero de dientes en el engrane de salida De =dimetro de paso del engrane de entrada Ds = dimetro de paso del engrane de salida e = velocidad angular del engrane de entrada s = velocidad angular del engrane de salida

Fuerza tangencial en un engrane recto NpT

rTWt 2==

Wt = fuerza tangencial T = Par torsor r = radio de paso N = nmero de dientes p = paso diametral



12

Vibraciones mKFrecuenciaresonancia =

441

3 2 2D

J R

= =

= T LJ G

= T cJ

4 4 4 42 16

= =

E Emax,eje hueco

E I E I

TR TD(R R ) (D D )

2= P T f 3 3

2 1 6 = = = m a x

T R T TJ R D

= esfuerzo cortante por torsin = deformacin (ngulo de torsin) D = dimetro de la flecha F = frecuencia en revoluciones por segundo (tambin llamados hertz) G = mdulo de elasticidad para cortante J = momento polar de inercia L = longitud de la flecha T = par torsor en Nm o lbin P = potencia transmitida en watts (Nm/s) R = distancia del plano neutro al punto interior de inters ( Rr ) R = radio de la flecha Conversin de grados a radianes: multiplicar por 0.0175 Conversin de radianes a grados: multiplicar por 57.3 1 HP = 33 000 lbft/min (caballo de potencia) 1 CV = 736 W (caballo de vapor) Par a la salida de un motor Tsal mot = 716200 x HP / (rpm) (kg mm)

Vida til de un balero L10=(C/P)p En donde: L10= vida nominal bsica en millones de revoluciones C = capacidad de carga dinmica(N) P = capacidad dinmica equivalente (N) p = 3 para baleros de bolas p = 10/3 para baleros de rodillos



13

Momentos M = F*d En donde: F = fuerza aplicada d = distancia perpendicular de la lnea de accin de la fuerza al punto de aplicacin

Mecanismo biela manivela

Velocidad media: Vm= 2R/ Donde: Vm= velocidad media = velocidad de giro de la manivela R= brazo de la manivela Velocidad mxima

VM= R Donde: = velocidad de giro de la manivela (en rad/seg) R= brazo de la manivela

Exam

Resor(El ng Torsin

Carga

Torsinangula

Longitu

Coefic

Cuandenergaltura

Q K=

Q= CaP= DSG= GK= Co

Energ Energ La eneen una W = P P = VI

men General p

rte helicoidagulo de tors

n mxima per

mxima perm

n (desplazamar)

ud de una esp

ciente de ca

do el flujo pa. El coefic(h) o presi

PKS G

(lq

audal Diferencia deGravedad esoeficiente de

ga

ga en una r

erga W cona resistencia

P t = V I t = VI

para el Egres

al de torsiin se deb

rmanente

manente

miento

pira

audal

pasa a travciente de cin (P) ent

quidos)

e presin specfica (1 pe caudal o Cv

esistencia

sumida en ua R atravesa

V2 t / R = I2 R

so de la Licen

n be expresar

(=mx

5

=f

mx

SF

(=

57 3

lE

.

=(57.3)

lEl

F

s de una audal es unre la entrada

para agua)v

un tiempo t, ada por una

R t

ciatura en IngDirecc

14

en grados)

) (f f plSfE

7.3

( )f perma

)FalE

Fa

vlvula u on factor de da y salida de

para entregacorriente I c

Formulageniera Mecacin de Dise

)perm

otro dispositdiseo que e la vlvula c

ar una potencon una cad

ario para el satrnica (EGE

o, Ingeniera

tivo restrictivrelaciona la

con el cauda

ncia constanda de Voltaje

sustentante dEL-IMECATRs y Arquitectu

vo pierde ua diferencia al (Q).

nte P disipade V:

del RO) ura

na de

da



15

P = VR P = I R V = RI Para obtener el resultado en caloras: 1 cal = 4.186 J Energa almacenada en el campo capacitivo La energa W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar un voltaje V con una carga Q es: W = (C V2) / 2 = (Q V) / 2 = Q2 / 2 C Energa almacenada en el campo inductivo La energa W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente I con un flujo concatenado Y: W = (L I2 )/ 2 = (Y I) / 2 = Y2 / 2 L Donde el flujo concatenado Y es igual al producto del nmero de vueltas N de la inductancia por el flujo magntico F: Y = N F = L I

Carga Es una propiedad que tienen algunas de las partculas de los tomos que forman la materia. Se dice que los materiales estn cargados cuando, por algn motivo, tienen un exceso o defecto de carga. * Hay dos tipos de carga: positiva ( + ) y negativa ( ). Dos cargas con el mismo signo se repelen y con distinto signo se atraen, y su fuerza de atraccin crece con la cantidad de carga y decrece con la distancia segn la ley de Coulomb: * La constante dielctrica relativa r depende del material. Para el aire (o para el vaco) vale 1.

2

212

00

2

29 1085,8 ,

41 109

mNC

CmNk

===

Coulomb deLey 221

=

rqqkF

r



16

Campo elctrico Es la fuerza elctrica por unidad de carga. Para una carga puntual q, el campo elctrico viene dado por: Campo elctrico Donde: F

(r) = Fuerza elctrica q = carga puntual r = La constante dielctrica relativa Para el aire (o para el vaco) vale 1. K = depende del medio que rodea las cargas. Para el vaco = 9x109 Nm/C2 Lneas de fuerza (o de campo) Son todas las trayectorias que describira una carga de prueba si la soltramos cerca de la carga que produce el campo. - Lneas de fuerza de un dipolo - Las lneas de campo siempre van de ( + ) ( ) Potencial elctrico Es la energa potencial elctrica por unidad de carga. Diferencia de potencial Puede interpretarse como el trabajo que debe entregarse a una carga unitaria para moverla desde el punto 1 hasta el punto 2. Por lo tanto, indica qu posibilidad tiene una carga de ir desde un punto a otro, ya que es la energa potencial que tiene en un punto referido a la que tiene en el otro. Para un campo elctrico constante se tiene:

( ) ( ) [ ] Newton Volt Eq Coulomb metro

F rE r = = =

[ ] voltrQkV

r

== V

V = V2 V1 V = E d; [ V ]

( ) 2r

k QE rr

=



17

Diferencia de potencial entre dos placas planas paralelas:

Corriente = ( ) = ( )

Voltaje =

Resistencia

=R resistencia )(

= resistividad del conductor 2m

m

=L longitud )(m

=A rea )( 2m Variacin de la resistencia con la temperatura

( )[ ]122 1 ttRR += Por relaciones de resistencia

T

tTtT

RR

11

2

1

2

=

++=

= coeficiente de correccin por temperatura

ALR =

AQddEV

r ==

0

1



18

Inductancia

vdtde = v

dtdiLe =

=e voltaje inducido en voltios

=dtd velocidad del flujo ( / )wb seg

=dtdi velocidad de la corriente )/( segAmp

=L inductancia ( )henry Enlace de flujo, voltaje inducido

LI=

= enlaces de flujo ( )wb =L inductancia ( )henry =I corriente ( )amperes

= jV2

1212 I

M =

=V voltios = velocidad angular )/( segrad

=12M inductancia mutua )(H Enlaces de flujo interno e inductancia en conductor

7int 102

= I .. ( / )wb m

7int 102

1 =L .... )/( mH

Inductancia entre dos puntos externos de un conductor

1

2712 ln102 D

DXL = )/( mH

=D distancia )(m



19

Inductancia de una lnea monofsica

1

71 ln102 r

DXL

= . )/( mH

2

72 ln102 r

DXL

= . )/( mH

21 LLL +=

rDXL

= ln104 7 . )/( mH

=L inductancia )(henry =D distancia )(m

41

= rer =r radio conductor )(m

Inductancia de una lnea monofsica con conductores compuestos

( )( ) ( )( )( ) ( )2

72 10 aa ab ac am ba bb bc bm na nb nc nmxn

aa ab ac an ba bb bc bm na nb nc nn

D D D ...D D D D ...D ... D D D ...DL ln

D D D ...D D D D ...D ... D D D ...D =

S

my D

DXL ln102 7= . )/( mH

yx LLL +=

=L inductancia ( )henry =xL inductancia lado x ( )henry =yL inductancia lado y ( )henry

cabaaa DDD distancia mutua )(m 4

1== errD aaaa distancia propia )(m 4

1== errD bbbb 4

1== errD cccc

=mD distancia media geomtrica entre conductores )(m =sD distancia media geomtrica propia (radio medio geomtrico)



20

Reactancia inductiva en lneas monofsicas

2LX fL=

s

mL D

DfX ln104 7= . ( ) Por tablas

daL XXX += . ( ) =aX reactancia inductiva a 1 ft espaciamiento ( ) =dX factor de espaciamiento ( )

Motor de corriente continua Vt=VC + (Ia*Ra) En donde: Vt= Voltaje en las terminales de la armadura VC= Fuerza contra electromotriz Ia= Corriente en la armadura Ra= Resistencia de la armadura



21

Circuito oscilador LM555

= 10.693( + 2 ) = 0.693( + 2 ) = 0.693 El transistor



22

Circuitos de polarizacin de transitores bipolares Polarizacin de corriente de base

= + (1 + ) = = + 1 + Si ( 1) = + = ( + )

Polarizacin de tensin de base constante

= + (1 + ) = = + 1 +

Autopolarizacin

Idnticas frmulas al caso anterior, siendo = || = + = +

Polarizacin de colector base

= + (1 + )( + ) = = El transistor nunca entra en saturacin

Filtros activos



23

Filtro pasa bajas de primer orden

= 1 + = + = 1 =

Filtro pasa bajas de segundo orden (MFB)

= = = 2( + 1)+ ( 4 ( + 1)) = 1

Filtro pasa bajas de segundo orden

= 1 + = 1+ ( + 4 ( + 1) 4 ) = 1 = ( + ) 1 ; > 1 = ( + )

Filtro pasa altas de primer orden



24

= 1 + = 1 = 1 ; > 1 = = +

Filtro pasa altas de segundo orden (MFB)

= = 1(2 + ) = (2 + ) = 10

Filtro pasa altas de segundo orden (VCVS)

= 1 + = 4+ ( + 8 ( + 1)) = = 1 ; > 1 = = 10

Filtros pasa banda (MFB) < 2



25

= = 2 = 2 = 2 = = = = ( )

Filtros rechazo de banda = 12 = 2 = +

Automatizacin de sistemas

Tabla de transformadas de Laplace

Impulso unitario ( )t 1



26

Impulso ( )tA A Escaln unitario ( )tu donde u(t) = 1

s1

Escaln ( )tAu donde u(t) = 1 sA

Rampa unitaria At 2s

A

A nt 1!

+nsAn

A te +s

A

1( + ) Asen t

22

+sA

Acos t 22 +s

As

Teoremas de las transformadas de Laplace

L [ ] )()()()( 2121 sFsFtftf = L )0()0(...)0()0()(

)( 12121 =

nnnnnn

nfsffsfssFs

dttfd

Donde 0),()0( 11

1 ==

tatf

dtdf n

nn

L s

fssFtf )0()()(

1+=

0

( )( )t F sL f t

s =

L [ ] )()( += sFtfe tL ( ) ( )[ ] )(sFetutf s =

)()(0

ssFLimtfLimst

=

)()(0

ssFLimtfLimst

=

L{ } )()1()( sFdsdtft n

nnn =



27

Expansin en fracciones parciales

CASO 1

))...()(())...()((

)()()(

n

m

pspspszszszsK

sAsBsF

++++++==

21

21 donde: 1 2

1 2

m

n

z , z ,..., z cerosp , p ,..., p polos

m n

<

)(...

)()()(

n

n

psa

psa

psasF

+++

++

+=

2

2

1

1 donde: ( )1 2ka k , ,...n=

constantes

( )kps

kk sAsBpsa

=

+=

)()(

CASO 2

))...()(())...()((

)()()(

n

m

pspspszszszsK

sAsBsF

++++++==

21

21 donde: 1 2

1 2

m

n

z , z ,..., z cerosp , p ,..., p polos

m n

<

repetidospolos

ri

r

iidiferentespolos

rn

n

psb

psb

psb

psa

psa

psasF

)(...

)()()(...

)()()(

221

2

2

1

1

+++

++

++

+++

++

+=

( )ips

rir sA

sBpsb=

+=

)()(

( )ips

rir sA

sBpsdsdb

=

+=

)()(

1

( )ips

rir sA

sBpsdsdb

=

+=

)()(

!21

2

22

( )ips

rir

r

sAsBps

dsd

rb

=

+

=

)()(

)!1(1

1

11

CASO 3

))()(())...()((

)()()(

jsjspszszszsK

sAsBsF m

+++++++== 21 donde:

realpolopcomplejospolosjceroszzz m

,...,, 21

22)()(

++++

+=

scbs

psasF

( )( ) jTSsAsBssR pp

jsp +=++=

+=

)()()( 22

[ ]tSenStCosTeaetf pptpt

++= 1)(

CASO 4

1212

11

ot s o

o

t set s

+

Tipos de respuesta Respuesta al escaln de sistemas de primer orden



28

( ) 1 , 0t

y t e t

= Respuesta al escaln de sistemas de segundo orden

1. Subamortiguado 0 1< 1, races reales y diferentes

4. No amortiguado = 0 , races imaginarias puras

Especificaciones de la respuesta transitoria

Tiempo de crecimiento o tiempo de elevacin (Tr)

1tan;r dd n

T

=

=

donde

21d n =

Tiempo de pico (Tp)

Si = 0 y(t) = 1 cos(dt)

Si 0 1 y(t) = 1 + n2 2 1

e s1t

s1

e s2 t

s2



29

dpT

=

Mximo sobreimpulso o mximo sobretiro (Mp)

21pM e

=

Tiempo de establecimiento o tiempo de asentamiento (Ts)

Para un criterio de 2%, 4

sn

T

=

Para un criterio de 5%, 3

sn

T

=



30

Regla de Mason La funcin de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) est dada por:

y donde:

= ganancia de la trayectoria directa i-sima entre yentrada y ysalida

= determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) +

(productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que

no se tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) +...

= el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-sima trayectoria directa

Controladores PID Estructura ideal

donde: E(s)=R(s) - Y(s) R(s) es la transformada de Laplace de la referencia Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulacin Frmulas para sintonizacin por el mtodo de ganancia ltima de Ziegler-Nichols

== iiiG

1)s(U)s(Y)s(G

iG

i

+

+== s

s11K

)s(E)s(U)s(Gc D

ic

GananciaProporcional

TiempoIntegral

TiempoDerivativoTipo de Controlador

Kc i d

Proporcional P Ku/2 --- ---

Proporcional Integral PI Ku/2.2 Tu/1.2 ---

Proporcional Integral-Derivativo PID Ku/1.7 Tu/2 Tu/8



31

Sintonizacin por criterios integrales para cambios en perturbacin para un PID ideal

donde: K= ganancia del proceso de primer orden,= constante de tiempo,

to = tiempo muerto

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL IINNTTEEGGRRAALL

ISE IAE ITAE

959003051

.tK

.Kc

=9860

09840.t

K.Kc

=9770

08590.t

K.Kc

=

73900

4920

.

it

.

=7070

06080

.

it

.

=6800

06740

.

it

.

=

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL IINNTTEEGGRRAALL DDEERRIIVVAATTIIVVOO

ISE IAE ITAE

945004951

.tK

.Kc

=9210

04351.t

K.Kc

=9470

03571.t

K.Kc

=

77100

1011

.

it

.

=7490

08780

.

it

.

=7380

08420

.

it

.

=

006105600

.

dt

*.

=1371

04820.

dt

*.

=9950

03810.

dt

*.

=



32

Sintonizacin por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL IINNTTEEGGRRAALL

IAE ITAE

861007580

.tK.Kc

=9160

05860.t

K.Kc

=

=03230021

t*..

i

=01650031

t*..

i

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL IINNTTEEGGRRAALL DDEERRIIVVAATTIIVVOO

IAE ITAE

869000861

.tK

.Kc

=8550

09650.t

K.Kc

=

=01300740

t*..

i

=014707960

t*..

i

914003480

.

dt

*.

=92920

03080.

dt

*.

=



33

Aportacin de magnitud y fase para cada trmino de la funcin de transferencia



34

Tabla de propiedades de la transformada z )(tx o )(kx

[ ])(txZ o [ ])(kxZ 1. )(tax )(zaX

2. )()( 21 tbxtax + )()( 21 zbXzaX + 3. )( Ttx + o )1( +kx )0()( zxzzX

4. )2( Ttx + )()0()( 22 TzxxzzXz 5. )2( +kx )1()0()( 22 zxxzzXz 6. )( kTtx + )(...)()0()( 1 TkTzxTxzxzzXz kkk 7. )( kTtx )(zXz k 8. )( knx + 1( ) (0) (1) ... ( 1)k k kz X z z x z x zx k 9. )( knx )(zXz k

10. )(ttx

)(zXdzdTz

11. )(kkx

)(zXdzdz

12. )(txe at ( )aTX ze 13. )(txe ak ( )aX ze

14. )(kxak

azX

15. ( )kka x k

azX

dzdz

16. )0(x lim

( ),X zz

si el lmite existe

17. )(x 1lim (1 ) ( ) ,

1z X z

z

si )()1( 1 zXz es analtica sobre y

fuera del crculo unitario. 18. )1()()( = kxkxkx )()1( 1 zXz 19. )()1()( kxkxkx += )0()()1( zxzXz

20. 0

n

kx(k )

= )(1

11 zXz

21.

22.

),( atxa ),( azX

a

)(kxk m)(zX

dzdz

m



35

23.

24.

Tabla de transformada Z y transformada Z modificada

Funcin en el dominio del tiempo, f(t)

Transformada de Laplace,

F(s)

Transformada Z, F(z) Transformada Z modificada, F(z,m)

u(t) (escaln

unitario) 1s

1

11 z

1

11z

z

t

21

s

1

1 21T z

( z )

1 2

1 1 21 1m T z T z =

z ) ( z )

2t

32 !s

2 1 1

1 31

1T Z ( z )

( z )

+

2 1 2 3

1 1 2 1 32 1 22

1 1 1m z ( m )z z

z ( z ) ( z )T

++ +

1nt 1

n(n )!

s

11

1 1011

1

nn

n a Tal i m ( ) a e z

1 11

1 10 1 1

n amTn

n aTae zl im ( )

a e z

a te 1

+s a 11

1 a Te z

1

11

a m T

a te z

e z

1

a t b t(e e )b a

1+ +(s a) (s b)

1 11 1 1

1 1 aT bTb a e z e z

1

1 11 1

a m T b m T

a T b Tz e e

b a e z e z

( )1 1 a tea 1+s(s a)

1

1 1

1 1

1 1

a t

a T

( e )za

( z ) ( e z )

1

1 11

1 1

a m T

a Tz ea ( z ) e T z

1 1

a Teta a 2

1+s (s a)

1 1

1 2 1 11 1

1 1 1

a T

a TT z ( e )z

a ( z ) a( z ) ( e z )

1

1 2 1 11

1 1 1

+ +

a m T

a T )z T a m T ea ( z ) a( z ) a( e z

=

n

kkTnTykTx

0)()(

)()( zYzX

=0)(

kkx

)1(X



36

2

11

+

+

a t

(a b) b taa

b ea a

2++

s bs (s a)

1 2 1 11

1 1 1

+

a T

a Tz b T (a b) ( e )a ( z ) a( z ) ( e z )

1

1 1 2 1

1

11

1 1

1

a m T

a T

b T z bb m T

az ( z ) za b a e( )

a e z

+ + +

Procesos de mquinas-herramientas Torneado

cp c

L dta v

=

; c

vnd

=

; cv f n= ; c pMRR v f a= ; ( )1tan D d

2 L

=

ap = profundidad de corte (m) tc = tiempo de corte (min) MRR = tasa de remocin de material (m3/min) n = velocidad de avance (rpm) f = alimentacin del material (m/rev) L = longitud a tornear (m) d = dimetro de acabado (m) vc = velocidad de corte (m/min) = ngulo de giro D = dimetro mayor (m) Fresado

e p fMRR a a v= ; ( )1tan D d

2 L

=

; f

c

vnD

=

; f c zv n z f=

ap = ancho de corte axial (m) ae = ancho de corte radial (m) vf = velocidad de avance (m/min) Dc = dimetro de la herramienta (m) n = velocidad del husillo (rpm) zc = nmero efectivo de dientes fz = avance (m/diente) Taladrado

cc

d Ltf v

= 1000

; L t m= + ; m d= 0.3

tc = tiempo de corte (min) d = dimetro de la broca (mm) L = recorrido total de la broca (mm) vc = velocidad de corte (m/min) f = avance por revolucin de la broca (mm/rev) t = espesor de la pieza o profundidad de orificio (mm) m = espacio muerto (mm)



37

Equivalencia de elementos de sistemas dinmicos

Tipo de sistema

Mecnico traslacional

Mecnico rotacional Elctrico Flujo Trmico

Variable tipo A Velocidad,

Velocidad, Voltaje, Presin,

Temperatura,

Elemento tipo A Masa,

Momento de inercia, Capacitor,

Flujo del capacitor,

Capacitor trmico,

Ecuaciones elementales = = = = =

Energa almacenada Cintica Cintica

Campo elctrico Potencial Trmica

Ecuaciones de energa = 12 = 12 = 12 = 12 = 12

Variable tipo T Fuerza, Torque, Corriente,

Tasa de flujo,

Flujo de calor,

Elemento tipo T Esfuerzo, 1/k

Esfuerzo, 1/k Inductor, L

Tensor de inercia, I Ninguno

Ecuaciones elementales = 1 = 1 = = Ninguno

Energa almacenada Potencial Potencial

Campo magntico Cintica Ninguna

Ecuaciones de energa = 12 = 12 = 12 = 12 Ninguna Elemento

tipo D Amortiguador,

Amortiguador rotacional, Resistor,

Resistencia al flujo,

Resistor trmico,

Ecuaciones elementales = = = 1 = 1 = 1

Energa disipada

== 1=

== 1==== 1

=== 1 =



38

Criterio de estabilidad de Routh Sea la funcin de transferencia de un sistema lineal en lazo cerrado: ( )( ) = + ++ ++ ++ + = ( )( ) , Ordenamiento de coeficientes a travs de:

donde = = = = = = = = Resolucin de un convetidor digital a analgico (DAC) Para un DAC el nmero total de escalones discretos es 2 1, donde n es el nmero de bits. As, par un DAC de 8 bits, la resolucin es: 12 1 100 = 0.3922%



39

Configuraciones bsicas de amplificadores operacionales

Configuracin Diagrama Relacin entrada-salida

Seguidor Vout = Vin

Inversor =

No inversor = 1 +

Sumador inversor

= + ++

Restador

= ( + )( + )



40

Integrador = +

Derivador =

Puente de Wheatstone

En condicin de equilibrio, se cumple que: =

Coeficiente alfa de Cronbach

i

T

SKK S

=

2211

donde:

: El nmero de mediciones : Sumatoria de varianzas de las mediciones : Varianza de la suma de las mediciones

: Coeficiente de alfa de Cronbach



41

Cambios de base numrica

Nmero decimal

Representacin binaria

Representacin octal

Representacin hexadecimal

0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10 1010 12 A (valor decimal 10) 11 1011 13 B (valor decimal 11) 12 1100 14 C (valor decimal 12) 13 1101 15 D (valor decimal 13) 14 1110 16 E (valor decimal 14) 15 1111 17 F (valor decimal 15) 16 10000 20 10



42

Desarrollo y coordinacin de proyectos mecatrnicos

Calidad

Tiempo de ciclo

Dc

p

TT

U=

TD = tiempo disponible Up = unidades por procesar

Porcentaje de utilizacin

R

D

P%U

C=

PR = produccin real CD = capacidad diseada

ndice de utilizacin de la mquina

t i empo de ma rchat i empo u t i l i zab le

Eficiencia en el trabajo

R

e

P

C =

PR = produccin real Ce = capacidad efectiva

Tamao de lote econmico

2ASEOQ

I=

A = demanda anual S = costo promedio de hacer un pedido

de material

I = costo de almacenar una unidad en el

inventario

Tiempo promedio de actividades ( )( )( )T o t a lT %T r a b a j o % a c t u a c i nT p s u p l e m e n t o s

N m.d e p i e za s p r o d u c i d a s= +

Nm. de ciclos por observar

( )12p

p pS

N

=

Sp = Precisin relativa deseada P = % de presencia de la actividad N = nmero de observaciones o muestras

Teora de colas Tiempo de espera cero

0 1P

t a s a d e l l e g a d a t a s a d e s e rv i c i ot a s a d e u t i l i za c i n

=

=

= = =

Tiempo de espera X

2

1L q

=



43

Correlacin

( )( )1 2

1 1 2 2

1 2

X X X Xr

n

=

( )21 11

X X

n

=

Error estndar de la produccin

pp qn

=

p = Porcentaje de tiempo inactivo q = Porcentaje de tiempo en marcha n = Nmero de observaciones o tamao de la muestra

Pronstico (suavizacin exponencial)

( )( )1 11 = + t t tF A F Tiempo bsico de proceso

valor atribuidotiempo observado

valor tipo

Ft= Pronstico para el periodo t Ft-1= Pronstico para el periodo t-1 At-1= Datos reales del periodo t-1 = Constante de suavizacin de 0 a 1

Redes (diagrama PERT)

6)4(dij

bma ++=

dij = duracin de la actividad a = duracin optimista m = duracin ms probable b = duracin pesimista Tiempo ms temprano tj Tiempo ms tardo Tj tj = mx(ti + dij) Tj = mn(Ti + dij)

j = suceso cuya fecha hay que calcular i = etapas origen de actividades que llegan a l

Toma de decisiones (rboles de decisin)

( )1

( ) ( )N

i j ijj

VE d P s V=

= VE = valor esperado de la alternativa de decisin di = alternativa de decisin P (sj) = probabilidad del estado de la naturaleza sj

Vij = resultado correspondiente a la alternativa de decisin di y el estado de la naturaleza sj N = nmero de estados de la naturaleza



44

Balanceo de lneas de ensamble

T iempo de p roducc in po r d aT iempo de c i c l o

P roducc in po r d a (en un idades )=

Suma de los t iempos de las tareas (T)

Nmero de estaciones Tiempo del ciclo

=

= Suma de los tiempos de las tareas (T)Eficiencia Nmero real de estaciones de trabajo (Na) x Tiempo de ciclo de la estacin de trabajo (C)

Balanceo de lneas con base en los operarios

100operacinpor permitidos tiemposlos de Suma

operacinpor tiemposlos de Suma Eficiencia = E - 100 dinactivida de % =

MENmero de operarios necesarios R

E

=

R = tasa de produccin deseada ME = tiempo por operacin E = eficiencia

Nm. de operarios de la operacin 60minPiezas por hora de una operacin Tiempo de la operacin

=

Secuenciacin de tareas Programacin de N trabajos en una mquina actividad cada de flujo de tiemposlos de Suma flujo de totalTiempo =

sactividade de totalNmeroflujo de totalTiempo flujo de medio Tiempo =

Inventarios Costo anual total

2D QTC D C S HQ

= + +

TC = costo total anual D = demanda (anual) C= costo por unidad Q = volumen de la orden (cantidad ptima) S = costo por preparacin o por colocar una orden L = tiempo de entrega



45

_

d

_d

H = costo anual de mantener y almacenar una unidad del inventario promedio

MODELO Q. Cantidad ptima de la orden en un periodo de cantidad fija

2 D SQH

=

Q = cantidad ptima de pedido D = demanda (anual) S = costo por preparacin o por colocar una orden

H = costo anual de mantener y almacenar una unidad del inventario promedio

MODELO Q. Punto de reorden R d L=

R = punto de reorden = demanda diaria promedio L = tiempo de entrega en das

MODELO Q. Punto de reorden considerando existencia de seguridad

LR d L z = + R = punto de reorden = demanda diaria promedio L = tiempo de entrega en das

z = nmero de desviaciones estndar para una probabilidad especfica de servicio

L = desviacin estndar de uso durante el tiempo de entrega MODELO Q. Demanda diaria promedio

n

dd

n

ii

== 1_

n = nmero de das MODELO Q. Desviacin estndar de la demanda a lo largo de un periodo de n das

nddn

i id

= = 12

_)(

MODELO Q. Desviacin estndar de una serie de demandas independientes

223

22

21 ...... is ++++=

MODELO Q. Desviacin estndar durante el plazo

=

=L

idL i

1

2

MODELO P. Cantidad ptima de la orden en un periodo fijo _

( ) T Lq d T L z I += + +



46

_

dq = punto de reorden

= demanda diaria promedio T = cantidad de das entre revisiones L = tiempo de entrega en das

z = nmero de desviaciones estndar para una probabilidad especfica de servicio

LT+ = desviacin estndar de la demanda entre revisiones y tiempo de entrega I = nivel corriente del inventario

MODELO P. Desviacin estndar de una serie de demandas independientes a lo largo del periodo entre revisiones T y el tiempo de entrega L.

+

=+ =

LT

idLT i

1

2

Tiempo estndar Tiempo normal

desempeo de ndice unidadpor observado desempeo de tiempo normal Tiempo = Tiempo normal durante un periodo

desempeo de ndice producidas unidades de nm.

trabajadotiempo normal Tiempo =

Tiempo estndar

normal tiempo as(toleranci normal tiempoestndar Tiempo += )

Punto de equilibrio CFpunto de equilibrio CV1-P Q

=

CF = costos fijos totales CV = costos variables totales P = precio del producto Q = cantidad de productos vendidos

Ingeniera econmica Tasa de inters anual efectivo

11

+=

m

mri

Encontrar un presente dado un futuro

1(1 )n

P Fi

= +

Encontrar un futuro dado un presente (1 )nF P i= +



47

Encontrar un presente dada una anualidad (1 ) 1

(1 )

n

n

iP Ai i

+ = +

Encontrar una anualidad dado un presente

(1 )(1 ) 1

n

n

i iA Pi

+= +

Encontrar una anualidad dado un futuro

(1 ) 1niA Fi

= +

Encontrar un futuro dada una anualidad (1 ) 1niF A

i + =

Encontrar un presente dado un gradiente

(1 ) 1(1 ) (1 )

n

n n

G i nPi i i i

+ = + +

Encontrar un futuro dado un gradiente (1 ) 1nG iF n

i i + =

Encontrar una anualidad dado un gradiente 1

(1 ) 1nnA G

i i

= +

Relacin costo-beneficio

/ ingreso egresosB Ccostos

=

Depreciacin

nVSBDt

=

t = ao Dt = cargo por depreciacin anual B = costo inicial o base no ajustada VS = valor de salvamento n = vida depreciable esperada o periodo de recuperacin

Depreciacin valor en libros

tVL B t D=

Rotacin de inventarios

Rotacin de inventarios = Costo de ventas Inventario



48

Rotacin de los activos totales

Rotacin de activos totales = Ventas Activos totales

Anlisis de la deuda Razn de deuda

Razn de deuda = Pasivos totales Activos totales

Razn de la capacidad de pago de intereses

Razn de la capacidad de pago de intereses = Utilidad antes de intereses e impuestos Intereses

Anlisis de la rentabilidad Margen de utilidad bruta

Margen de utilidad bruta = Ventas-costo de ventas = Utilidad bruta Ventas Ventas

Margen de utilidad operativa

Margen de utilidad neta = Utilidad neta despus de impuestos Ventas Rendimiento sobre los activos

Rendimiento sobre los activos = Utilidad neta despus de impuestos

Activos totales Rendimiento sobre el capital contable

Rendimiento sobre el capital contable = Utilidad neta despus de impuestos Capital contable

Anlisis de la liquidez

Capital de trabajo neto Capital de trabajo neto = activo circulante-pasivo circulante

Razn circulante

Razn circulante = Activo circulante Pasivo circulante



49

Razn rpida (prueba del cido)

Razn rpida = Activo circulante-inventario Pasivo circulante

Estadstica para la administracin de operaciones Media aritmtica

ta1rx x n

=

xr = ltima marca de clase = amplitud de intervalo ta = frecuencia acumulada n = nmero de datos

Promedio

1

n

ii

xX

n==

xi= marca de clase n= nmero de datos

Mediana

= +

d i

n c2M L i

f

Li = lmite inferior n = nmero de datos c = frecuencia acumulada anterior a la mediana i =amplitud del intervalo

Moda

11 2o i

M L i = +

Li = lmite inferior 1 = frecuencia en la moda menos anterior 2 = frecuencia en la moda menos la frecuencia posterior i = amplitud del intervalo



50

Media de proporcin

= +

i

in c4Q L t

f

Q = cuartil (4) D = decil (10) Li = lmite inferior in = nmero de datos c = frecuencia acumulada exterior f = frecuencia t = amplitud de intervalo Desviacin estndar poblacional

( )2f x XS

n

=

Muestral

( )21

f x XS

n

=

f = frecuencia x = marca de clase

X = media aritmtica n = nmero de datos

Varianza S2 Poblacional

( )22 f x xSn

=

Muestral

( )22

1f x x

Sn

=



51

Ingeniera econmica Valor actual neto = (1 + ) donde: = = = = Amortizacin Valor actual : ( ) Valor futuro: ( ) Donde: i = la tasa de inters n = el nmero de periodos Para el clculo de la amortizacin de capital se usa la siguiente frmula:

1 1

=+ nm iA

( i )

m = saldo al final del periodo



52

Anexos Ciencias bsicas

Matemticas Geometra

Volumen = 433r

rea de la superficie = 4 2 r

r

Volumen = r h2

rea de la superficie lateral = 2 rh

r

h

Volumen = 13

2r h

rea de la superficie lateral = + = r r h r l2 2

h

r

l

Volumen ( )= + +13 2 2 h a ab b rea de la superficie lateral

( ) ( )( )

= + + = +

a b h b aa b l

2 2

h

a

b

l



53

Geometra analtica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2:

( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= =, , , , Distancia entre dos puntos:

( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= + + = + +2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 Recta que pasa por dos puntos:

- Forma paramtrica: x x l t= +1 y y m t= +1 z z n t= +1

-Forma simtrica:

t x xl

= 1 t y ym

= 1 t z zn

= 1

Cosenos directores:

cos = =x xd

ld

2 1 cos = =y yd

md

2 1 cos = =z zd

nd

2 1

donde , , denotan los ngulos que forman la lnea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuacin del plano

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

= 1 2 3, , :

( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0 + + =

-Forma general: Ax By Cz D+ + + = 0

cos cos cos2 2 2 1 + + = o l m n2 2 2 1+ + = Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

d Ax By Cz DA B C

=

+ + ++ +

0 0 02 2 2



54

En la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

Sistemas de coordenadas Coordenadas cilndricas:

x ry rz z

===

cossen

o ( )

r x ytan

z z

yx

= +=

=

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P(x,y,z)(r,,z){

x

O

Coordenadas esfricas:

x ry rz r

===

sen cossen sencos

o ( )r x y z

tan yxz

x y z

= + +=

=

+ +

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,,{

)(x,y,z)

O

z

r

x

ngulo entre dos rectas en el plano tan = +

m mm m

2 1

1 21

Vectores A B = A B cos 0

donde es el ngulo formado por A y B A B = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3

dondeA i j k= + +A A A1 2 3 , B i j k= + +

B B B1 2 3 Son resultados fundamentales:

Producto cruz: 1 2 31 2 3

i j kA B A A A

B B B

=



55

( ) ( ) ( ) kji 122131132332 BABABABABABA ++= Magnitud del producto cruz sen =A B A B El operador nabla se define as:

zyx

++= kji

En las frmulas que vienen a continuacin vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

++=

++== kjikji

zU

yU

xU

Uzyx

U

Divergencia de A = div A

++

++==

kjikjiA 321 AAAzyx

= + +

Ax

Ay

Az

1 2 3

Rotacional de A = rot A 1 2 3A A Ax y z

= = + + + +

A i j k x i j k

321

kji

AAAzyx

=

=

+

+

Ay

Az

Az

Ax

Ax

Ay

3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = ( ) 22

2

2

2

22

zU

yU

xUUU

++==

Integrales mltiples

( )( )

2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dydx

= = ( )( ){ }2 1( ) ,b f xx a y f x F x y dy dx= ==

La integral tambin se puede escribir as:

( )( )

2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dxdy

= = ( )( ){ }2 1( ) ,d g yy c x g y F x y dx dy= ==

Longitud de curva correspondiente al intervalo paramtrico a t, .

( ) ( )t

as s t r t dt= =



56

En parmetro arbitrario: En parmetro s: Vector tangente unitario

t tr tr t

( )( )( )

=

t s r s( ) ( )= Vector normal principal

( ) ( ) ( )n t b t t t=

n sr sr s

( )( )( )

=

Vector binormal

( )( )( )

r r tb tr r t =

( ) ( )( )( )

r s r sb sr s

=

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo ( ) b t n n b t t n b= = =x x x, ,

Recta tangente en t0 Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica

( ) ( ) ( ) r r t r t = + 0 0 x xxy y

yz z

x

=

=

0

0

0

0

0

0

Plano osculador ( ) t n, en t0 Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t =0 0 0 0 x x y y z z

x y zx y z

=0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsin

32 2

1 ( )

y

y =

+

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

tr t r t

r tt

r t r t r tr t r t

=

=

x xx3 2

( ) ( )s r s = d T k Nds

= d N B kT

ds=

d B Nds

=

Plano normal Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica:

( )( ) ( ) r r t r t =0 0 0 ( ) ( ) ( ) + + =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0



57

Plano rectificante ( ) t b, en t0 Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica:

( )( ) ( ) r r t n t =0 0 0 x x y y z z

x y zy z y z z x z x x y x y

- - -0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

=

Componentes tangencial y normal de la aceleracin

.T

aa Ta

= =

N

x aa Na

= =

Propiedades de la divergencia

I) div (F +

G ) = div (

F ) +div (

G )

II) div ( ) = div( ) + ( grad )

III) div ( x ) = G rot ( ) - ( )

F

F

F

F

G [ F ] F [rot

G ]



58

Trigonometra Medida de ngulos planos Representacin La medida de un ngulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por y . Unidades comunes (sexagesimales): grado (), minuto ('), segundo ("). el 1 = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco 1 radin (rad) es el ngulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco tambin unitario. Por lo tanto,

11 1 (nmero adimensional)1

mradm

= =

Con frecuencia no se indica especficamente la unidad, como en la siguiente tabla.

0 30 45 60 75 90 180 270 360 0 / 6 / 4 / 3 5 / 12 / 2 3 / 2 2

0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28

Equivalencias. Por definicin

180360 2 rad, 1 rad = 57.2967

1 rad = 0.017453 rad180

=180 57.2967

longitud de arco = radio

arc

= =

=

=

=



59

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ngulo central (en radianes) de la circunferencia: b = r

Funciones trigonomtricas En un tringulo rectngulo:

cateto opuestosen ;cateto adyacentecateto adyacentecos ;

hipotenusacateto opuestotan ;

cateto adyacente

acbcab

= =

= =

= =

Operaciones con funciones trigonomtricas sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 12 12 2A A=

sec tan2 2 1A A = cos cos2 12 12 2A A= +

csc cot2 2 1A A = sen sen cos2 2A A A=

tan sencos

A AA

= cos cos sen2 2 2A A A=

cot cossen

A AA

= ( )sen sen cos cos senA B A B A B =

sen cscA A = 1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B = cos secA A = 1 ( )tan A B tanA tanB

tanAtanB =

1

tan cotA A = 1 sen cosA A

21

2=

( )sen sen = A A cos cosA A2

12

= +

( )cos cos =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= +12

( ) AA tantan = ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= + +12

( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= + +12



60

Las leyes siguientes son vlidas para cualquier tringulo plano ABC de lados a, b, c y de ngulos A, B, C.

Ley de los senos

aA

bB

cCsen sen sen

= =

Ley de los cosenos

c a b a b C2 2 2 2= + cos Los otros lados y ngulos estn relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

( )( )

a ba b

tan A Btan A B

+

=+

1212

Los otros lados y ngulos estn relacionados en forma similar

Nmeros complejos Forma trigonomtrica o polar de un nmero complejo

Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tanyzx

= =

.

Luego:

sin sin

cos cos

y y rrx x rr

= = = =

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = + = +



61

Forma exponencial de un nmero complejo Sea (cos sin )z r i= + un nmero complejo donde r es su mdulo y su argumento. Entonces, mediante el empleo de la frmula de Euler, se obtiene:

(cos sin ) iz r i r e = + = Teorema de De Moivre Siendo p un nmero real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

( ) ( ) ( )cos cosp pr isen r p isen p + = + Sea n cualquier entero positivo y p n=

1 , entonces

r cos + isen( )[ ]1n = r 1n cos +2kn + isen +2kn[ ] donde k es un entero positivo. De aqu se pueden obtener las races n-simas distintas de un nmero complejo haciendo 0 1 2 1, , , ,k n=



62

Resolucin geomtrica de ecuaciones Definiciones geomtricas importantes

Producto mixto (triple producto escalar) [ ]a b ca a ab b bc c c

=1 2 3

1 2 3

1 2 3

ngulo entre dos vectores cos = a b a b

; sen =a x b

a b

Ecuacin vectorial de la recta p p= o + tu

Ecuaciones paramtricas de la recta ( )x x aty y btz z ct

u a b co

o

o

= += += +

= , ,

Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simtrica

x xa

y yb

z zc

o o o =

=

;

u a= ( , b, c)

Distancia de un punto Q a una recta dP Qo

= x u

u

Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2

1 2

u x u

PP u x ud

=

Ecuacin vectorial de un plano p p ru svo= + +

Ecuaciones paramtricas de un plano

x x ru svy y ru svz z ru sv

o x x

o y y

o z z

= + += + += + +

Ecuacin cartesiana de un plano en forma general Ax+By+Cz+D=0 ; N A= ( , B, C)



63

Ecuacin normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A,B,C = =

Distancia de un punto Q a un plano dPoQ N

N=

ngulo entre una recta y un plano sen =u N u N



64

lgebra Frmulas para potencias y races

( )n n np a q a p q a = m n m na a a + = m

m nn

a aa

= ( ) ( )n mm n m na a a = =

1nna a

= nn

n

a ab b

=

( )n n np a q a p q a = n n na b a b = 1

n nn

n

a a ab bb

= =

n x nm x ma a =

( ) mmn m n na a a = = a i a =

( ) ( )22 No es vlida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2 = + = Nota: Los exponentes para potencias y races deben ser escalares. Transformacin de expresiones algebraicas usuales

( )2 2 22a b a ab b = +

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b = +

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( ) ( )2 2a b a b a b = +

( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b = + + 2

21,20 2 4

p px px q x q+ + = = ( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c + = + + +

( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 21 1 2 1 2 3

n n n n n nn n n n nna b a a b a b a b b

+ = + + + + +

( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b + = + + + + (solo para n par)



65

Logaritmos

( )log log logx y x y = + log log logx x yy =

log lognx n x= 1log logn x xn

=

Binomio de Newton

( ) 1 2 2 3 30 1 2 3

n n n n nn n n na b a a b a b a b + = + + + +

Donde n tiene que ser un nmero entero y

( )( ) ( )( )

1 2 1 !1 2 3 ! !

n n n n n k nk k k n k

+ = =

Permutaciones

Nmero de permutaciones de n elementos

! 1 2 3nP n n= = Combinaciones y ordenaciones

Nmero de combinaciones sin repeticin Nmero de combinaciones con repeticin

( )!

! !nk

nnCkk n k

= =

( )( )

11 !! 1 !

r nk

n kn kC

kk n+ +

= =

r con repeticin

Nmero de ordenaciones sin repeticin Nmero de ordenaciones con repeticin

( )!!

!n nk k k

n nO C P kk n k

= = = r n kkO n=

donde: C: nmero de combinaciones posibles n: nmero de elementos dados k:nmero de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: nmero de ordenaciones posibles



66

Serie binmica o binomial

( ) ( )1 1 1 11 1 1

f x x x x x

= = + + +

es un nmero cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

( )( )( ) ( )1 2 3 11 2 3

nn n +

=

Serie de Taylor (serie de Maclaurin)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''

2

1! 2!f a f a

f x f a x a x a= + + +

Forma de Maclaurin, cuando 0a =

( ) ( ) ( ) ( )' ''

20 001! 2!

f ff x f x x= + + +



67

Series de Fourier

Generalidades: Toda funcin peridica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad x en un nmero finito de intervalos continuos, podr descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma:

( ) ( ) ( )01

cos sin2 n nnaf x a nx b nx

=

= + + Los coeficientes de cada trmino se forman como sigue:

( ) ( )1 coska f x kx dx

= ( ) ( )

1 sinkb f x kx dx

=

Funciones pares: ( ) ( )f x f x=

( ) ( )0

2 coska f x kx dx

= Para 0,1,2, ,k =

0kb = Funciones impares: ( ) ( )f x f x=

( ) ( )0

2 sinkb f x kx dx

= Para

0,1, 2, ,k =

0=ka



68

Tablas de desarrollo en series de Fourier

y a= para 0 x < < y a= para 0 2x < <

= + + +

4 sin(3 ) sin(5 )sin ...

3 5a x x

y x

y a= para x < < y a= para 2x + < <

4 1cos sin cos(3 )sin(3 )

31

cos(5 )sin(5 ) ...5

ay x x

x

= +

+ +

y a= para 2x < <

( )2y f x= + 2 sin( ) sin2( )

cos cos22 1 3

sin3( ) cos3 ...

3

ay x x

x

= +

+

/y ax b= para 0 x b y a= para b x b

( ) /y a x b= para b x

2 2

2

4 1 1sin sin sin(3 )sin(3 )

1 31

sin(5 )sin(5 ) ...5

ay b x b x

b

b x

= +

+ +

2ax

y

= para 0 2x < <

( )2y f x= + sin sin2 sin 3

...2 1 2 3a a x x x

y

= + + +

2 /y ax = para 0 / 2x

( )2 /y a x = para / 2 x ( )y f x= +

2 2 2

8 sin 3 sin 5sin ...

3 5

x xy a x

= +



69

/y ax = para 0 x

( )2 /y a x = para 2x < < ( )2y f x= +

2 2 2 2

4 cos cos 3 cos 5...

2 1 3 5

a a x x xy

= + + +

siny a x= para 0 x siny a x= para 2x

( )y f x= + 2 4 cos2 cos 4 cos 6

...1 3 3 5 5 7

a a x x xy

= + + +

0y = para 0 / 2x sin( / 2)y a x = para / 2 3 / 2x

( )2y f x= +

2 2 2

2 1 cos2 cos 4 cos 6cos . ...

2 4 2 1 4 17 6 1

a x x xy x

= + +

2y x= para x

( ) ( )2y f x f x= = + 2

2 2 2

cos cos2 cos 34 ...

3 1 2 3

x x xy

= +

axy

= para 0 x < <

( )2y f x= +

2 2 2 2

2 cos cos2 cos 3...

4 1 2 3sin sin2 sin 3

...1 2 3

a a x x xy

a x x x

= + + +

+ +



70

Clculo diferencial Relacin de cambio: derivada Pendiente en un punto. Relacin (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m vara en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es tambin la pendiente de su tangente en dicho punto:

m = tan = y 'x '

Relacin media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variacin de la funcin y = f (x) es la relacin de los incrementos yx

correspondientes al segmento de curva PP1

yx

=f (x + x) f (x)

x

Derivada (cociente diferencial) Cuando x tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relacin de incrementos se convierte en la relacin de diferenciales, que es la derivada (o intensidad de cambio) de la funcin en P:

y ' = limx0

yx

=dydx

= f '(x)

Interpretacin geomtrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendr la curva de y ' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la curva y ' = f '(x) se obtendr y '' = f ''(x) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) . Ejemplo: y = Ax3 + Bx2 +Cx + D



71

Radio de curvatura en un punto dado x

= (1 + y2 )3

y

Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio

a = x 1+ y2

yy

b = y + 1+ y2

y

Determinacin de los valores mximos, mnimos y puntos de inflexin Valores mximos y mnimos Hgase y ' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustityase ahora x = a en y '' Si y ''(a) > 0 habr un mnimo en x = a Si y ''(a) < 0 habr un mximo en x = a Punto de inflexin Hgase y '' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustityase ahora x = a en y ''' Si y ''(a) 0 habr un punto de inflexin en x = a Forma de la curva y = f (x)



72

Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta xy '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta xy '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y ''(x) > 0 y(x) ser cncava hacia arribay ''(x) < 0 y(x) ser cncava hacia abajoy ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendr en x un punto de inflexin sin cambio de signo y(x) tendr en x un mximo o un mnimo

Otros casos Si para x = a y'(a) = y''(a) = y'''(a) == y(n1)(a) = 0 , pero yn 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:

Tablas de derivadas ddx

c( ) = 0 ( )ddx

cx c=

( )ddx

cx ncxn n= 1 ( )ddx

u v wdudx

dvdx

dwdx

=

( )ddx

cu cdudx

= ( )ddx

uv udvdx

vdudx

= +

( )ddx

uvw u vdwdx

u wdvdx

v wdudx

= + + ( ) ( )ddx

uv

v dudx udv

dxv

=

2

( )ddx

u nududx

n n= 1 dudx dxdu

= 1

dFdx

dFdu

dudx

= (Regla de la cadena)



73

Derivadas de las funciones exponenciales y logartmicas

[ ]ln ln

-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v udx dx dx

du dvvu u udx dx

= = =

+

loglog 0, 1aaed duu a a

dx u dx= >

lnu ud dua a adx dx

= 1ln loged d duu udx dx u dx

= =

u ud due edx dx

=

Derivadas de las funciones trigonomtricas y de las trigonomtricas inversas ddx

u u dudx

sen cos= ddx

u u dudx

cot csc= 2

ddx

u u dudx

cos sen= ddx

u u u dudx

sec sec tan=

ddx

u u dudx

tan sec= 2 ddx

u u u dudx

csc csc cot=

1 1

2

1cos 0 cos1

= <

Exam

[

csc

si

ddx

sec

si si

ddx

+

Clcu Signif Por int

(y f=

La int

C es uconsta Signifi Comocurvasy F =igualela direcurva el pun

men General p

-1c h1

0, si

uu

u

=

> +

-1

1

1

c h

sec h 0,sec h 0,

uu u

uu

=

> <

( )F x a partia la original

( )f x

C+

al derivar, ya

ario para el satrnica (EGE

o, Ingeniera

2

1 ,1

0, 10, 1

dudxu

uu

> >< <

]2

1 ,

1

duu dx

r de una fun( )f x . Por lo

que la deriv

sustentante dEL-IMECATRs y Arquitectu

ncin dada tanto,

vada de una

del RO) ura

a



75

La integral definida La integral definida tiene la forma:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= =

En la integral resultante se sustituye primero el lmite superior y luego el interior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece as la constante C. Reglas de integracin Formas fundamentales

u dv uv v du= u ue du e C= +

u dun

u C nn n=+

+ + 1 1 11 a du

aa

Cuu

= + ln

lndu u Cu

= +

Formas trigonomtricas

sen cosu du u C= + csc cot cscu u du u C= +

+= Cuduu sencos += Cuduu seclntan

+= Cuduu tansec 2 cot ln senu du u C= +

2csc cotu du u C= + Cuuduu ++= tanseclnsec

+= Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= +



76

Formas cuadrticas

a u duu

a ua

u a u2 2 2 22

2 2

2 2+ = + + + + ln

dua u

ua

C2 2

1

= + sen

( )u a u du u a u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 22

2 2

82

8+ = + + + + + ln +=+

Cau

auadu 1

22tan1

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2+= +

+ ++ ln

duu u a a

ua

C2 2

11

= + sec

duu a u

a ua u

C2 2 2

2 2

2+=

++

dua u a

u au a

C2 21

2=

+

+ ln

( )du

a uu

a a uC

2 2 3 2 2 2 2+=

++ /

duu a a

u au a

C2 21

2=

+

+ ln

a uu

dua u

uu a u C

2 2

2

2 22 2+ =

++ + + + ln du

u a u aa u a

uC

2 2

2 21+

= + +

+ ln

( )u a u du u u a a u a ua

C2 2 2 2 2 2 24

1

82

8 = + + sen a u du u a u a u

aC2 2 2 2

21

2 2 = + + sen

u dua u

ua u

au a u C

2

2 22 2

22 2

2 2+= + + + + ln

dua u

u a u C2 2

2 2

+= + + + ln

u a duu

u aa

u u a C2 2 2 22

2 2

2 2 = + + ln u du

a uu

a ua u

aC

2

2 22 2

21

2 2= + + sen

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2=

+ + ln

a uu

duu

a uua

C2 2

22 2 11 = + sen

duu a u a

a a uu

C2 2

2 21

= +

+ ln ( )4

2 2 2 2 2 2 2 2 22 ln8 8u au u a du u a u a u u a C = + +

duu a u a u

a u C2 2 2 2

2 21

= + u au

du u a aau

C2 2

2 2 1 = + cos

( ) ( )a u du u u a a u a ua

C2 232 2 2 2 2

41

82 5

38

= + + sen u au

duu a

uu u a C

2 2

2

2 22 2 =

+ + + ln

( )du

a u

ua a u

C2 2

32 2 2 2

=

+ duu a

u u a C2 2

2 2

= + + ln

+++=Cauuaauu

auduu 22222

22

2

ln22

( )21 lnudu a bu a a bu C

a bu b= + + +

+



77

( )( )

( )du

u a bua bu

a n ub na n

duu a bun n n+

=+

+ 1

2 32 11 1

duu u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2=

+

( ) ( )[ ]u dua bu b a bu a a bu a a bu C2

32 21

24 2

+= + + + + + ln

( )3 2 2 22 2 2

du u Ca u au a

= +

( )du

u a bu au

a buC

+=

++ 1 ln

1

1 ln , si 0

2 tan , si 0

du a bu a C au a bu a a bu a

du a bu C aau a bu a

+ = + >+ + +

+= + /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

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