Formulario Series de Fourier -...
Transcript of Formulario Series de Fourier -...
SERIES DE FOURIER
Revisión 1 56757.90
Página 1 de 2
DEFINICIÓN PRINCIPAL
La serie de Fourier de una función ( )f x con periodo 2p L= es:
( ) 0
1
cos sen2 n n
n
a n x n xf x a b
L Lπ π
∞
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
donde los coeficientes de Fourier están dados por:
( )01 L
La f x dx
L −= ∫ ( )1
cosL
n L
n xa f x dx
L Lπ
−= ∫ ( )1
senL
n L
n xb f x dx
L Lπ
−= ∫
FUNCIONES PARES E IMPARES Serie de Fourier de una función par ( )f x con periodo 2p L=
( ) 0
1
cos2 n
n
a n xf x a
Lπ
∞
=
= +∑
( )0 0
2 La f x dx
L= ∫ ( )
0
2cos
L
nn x
a f x dxL L
π= ∫ 0nb =
Serie de Fourier de una función impar ( )f x con periodo 2p L=
( )1
sennn
n xf x b
Lπ
∞
=
=∑
0 0a = 0na = ( )0
2sen
L
nn x
b f x dxL L
π= ∫
EXTENSIONES DE MEDIO INTERVALO DE LA SERIE DE FOURIER Extensión par (serie de cosenos con periodo 2p L= )
( ) 0
1
cos2 n
n
a n xf x a
Lπ
∞
=
= +∑
( )0 0
2 La f x dx
L= ∫ ( )
0
2cos
L
nn x
a f x dxL L
π= ∫ 0nb =
Extensión impar (serie de senos con periodo 2p L= )
( )1
sennn
n xf x b
Lπ
∞
=
=∑
0 0a = 0na = ( )0
2sen
L
nn x
b f x dxL L
π= ∫
Extensión periódica (serie de Fourier con periodo p L= )
( ) 0
1
cos sen2 / 2 / 2n n
n
a n x n xf x a b
L Lπ π
∞
=
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
( )0 0
2 La f x dx
L= ∫ ( )
0
2cos
/ 2L
nn x
a f x dxL L
π= ∫ ( )
0
2sen
/ 2L
nn x
b f x dxL L
π= ∫
–L L
–L L
–L L
–L L
–L L
SERIES DE FOURIER
Revisión 1 56757.90
Página 2 de 2
SERIE COMPLEJA DE FOURIER Serie compleja (o exponencial) de Fourier, para una función ( )f x con periodo 2p L=
( ) on xin
n
f x c e ω∞
=−∞
=∑ donde la frecuencia fundamental es 02pπ
ω =
Coeficientes complejos ( )01
2L
Lc f x dx
L −= ∫ ( ) 0
12
Ln xi
n Lc f x e dx
Lω−
−= ∫
n nc c− =
(complejo conjugado)
Relación con coeficientes de
la serie de Fourier
00 2
ac = ( )1
2n n nc a b i= − ( )12n n nc a b i− = +
NOTA: Al efectuar la sumatoria, siempre tomar el mismo número de coeficientes positivos y negativos.
ALGUNAS INTEGRALES ÚTILES AL TRABAJAR CON SERIES DE FOURIER
2
1sen sen cos
xx axdx ax ax C
a a= − +∫
2
1cos cos sen
xx axdx ax ax C
a a= + +∫
2
23 2
2 2sen cos sen
x xx axdx ax ax C
a a a⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
22
3 2
2 2cos sen cos
x xx axdx ax ax C
a a a⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
3 2
33 2 4
6 3 6sen cos sen
x x xx axdx ax ax C
a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
3 23
3 2 4
6 3 6cos sen cos
x x xx axdx ax ax C
a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
3 4 2
42 4 3 5
4 24 12 24sen sen cos
x x x xx axdx ax ax C
a a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
3 4 24
2 4 3 5
4 24 12 24cos cos sen
x x x xx axdx ax ax C
a a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫