Formulario Meccanica Quantistica
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Indice
1 Matrici di Pauli 3
2 Funzioni di operatori 5
3 Principio di indeterminazione 5
4 Equazione di Shroedinger 6
4.1 Equazione donda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Equazione donda stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Particella libera D-dim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 Particella su un segmento (Buca infinita) . . . . . . . . . . . . 7
4.5 Raccordo della funzione donda in un punto x0 . . . . . . . . . 7
4.6 Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Teorema del viriale 8
6 Coefficienti di riflessione e trasmissione 9
6.1 Matrice di trasmissione e matrice di scattering . . . . . . . . . 9
7 Oscillatore armonico 1-dim 11
7.1 Rappresentazione nello spazio delle coordinate . . . . . . . . . 11
7.2 Operatori di creazione e distruzione (innalzamento e abbas-samento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8 Il momento angolare 13
8.1 Algebra del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8.2 Rappresentazioni matriciali del momento angolare . . . . . . 14
8.3 Armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.4 Composizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . 17
9 Atomo di idrogeno 19
10 Teoria delle Perturbazioni 20
10.1 Teoria delle Perturbazioni indipendenti dal tempo . . . . . . . 20
10.1.1 Caso non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
-
10.2 Teoria delle Perturbazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . 22
11 WKB: approssimazione semiclassica 23
12 Formule 24
12.1 integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12.2 moto del centro di massa e moto relativo . . . . . . . . . . . . 24
2
-
1 Matrici di Pauli
i, i = 1, 2, 3 oppure i = x, y, z
x =
(0 11 0
)y =
(0 ii 0
)z =
(1 00 1
)
~ = (x, y, z)
autovalori ed autovettori
~n = (nx, ny, nz) = (cos sin , sin sin , cos ) ~n ~n = 1~ ~n |~n = () |~n
(+) = +1() = 1
} ~n
|+~n = ei+
1 + nz2
(1
nx+iny1+nz
)= ei+
(cos(/2)ei sin(/2)
)
|~n = ei
1 nz2
(1
nx+iny1nz
)= ei
(sin(/2)
ei cos(/2))
~n = (1, 0, 0) ~ ~n = x |+x = 12(
11
)|x = 12
(11
)
~n = (0, 1, 0) ~ ~n = y |+y = 12(
1i
)|y = 12
(1i
)
~n = (0, 0, 1) ~ ~n = z |+z = |+ =(
10
)|z = | =
(01
)
formalismo di Dirac
x = |+| + |+|y = i (|+| |+|)z = |++| ||
proprieta`
i = i
2i = 1ITr(i) = 0
det(i) = 1[i, j] = 2iijkk
{i, j} = 2ij1Iij = ij1I + iijkk
3
-
~ ~a = k
akk
(~ ~a)2 = ~a ~a(~ ~a)(~ ~b) = ~a ~b+ i~ (~a~b)
operatori di innalzamento e abbassamento
+ = x + iy = 2|+| =(
0 20 0
) +
(10
)= 0
+
(01
)= 2
(10
)
= x iy = 2|+| =(
0 02 0
)
(10
)= 2
(01
)
(01
)= 0
operatori di proiezione
IP+~n = |+~n+~n| = 12
1 + nz nx inynx + iny 1 nz
IP~n = |~n~n| = 12
1 nz (nx iny)(nx + iny) 1 + nz
IP+ =1
2(1 + z) = |++| =
1 00 0
IP+
10
= 1
0
IP+
01
= 0
IP =1
2(1 z) = || =
0 00 1
IP
10
= 0IP
01
= 0
1
1I, ~ sono una base per le matrici 2 2
A =
(a11 a12a21 a22
)= a01I + ~a ~ =
a0 + az ax iayax + iay a0 az
H = E01I + ~E ~ = E01I + | ~E|~n ~
U(t) = eiHt/h = eiE0t/hei~n~ = eiE0t/h(1I cos() i~n ~ sin())
dove = | ~E|t/h.4
-
2 Funzioni di operatori
f(A) =n=0
f (n)
n!An
f(A) =
A
f(z)
2pii(z A)1
f(A) =A
f() IP =A
f() ||
f(A) = X f(Adiag)X1
dove A = X AdiagX1, e X ha per colonne gli autovettori di A. A e` lo
spettro degli autovalori di A.
eA eB =
{eA+B solo se [A,B] = 0eA+B+g(A,B) g(A,B) = 1
2[A,B] + 1
12[A, [A,B]] + 1
12[B, [B,A]] + . . .
eA eB = eA+B+12
[A,B] per operatori canonici: [A,B] 1I
3 Principio di indeterminazione
(A)2(B)2 14C2
dove:
[A,B] = iC
A = A, B = B, C = C
(A)2 = A2 A2 = |A2| |A|2(B)2 = B2 B2 = |B2| |B|2
5
-
4 Equazione di Shroedinger
4.1 Equazione donda
H (~x, t) = ih
t(~x, t)
H =~p2
2m+ V (~x)
~p = ih~[ h
2
2m2 + V (~x)
](~x, t) = ih
t(~x, t)
2 = 2
x2+
2
y2+
2
z2
4.2 Equazione donda stazionaria
per gli stati stazionari
(~x, t) = U(t)(~x) = eiEt/h(~x)
H (~x) = E (~x)
[ h
2
2m2 + V (~x)
](~x) = E (~x)
4.3 Particella libera D-dim
Autofunzioni ed autovalori
~p(~x, t) = ~x|~p = 1hD/2
~x|~k = 1(2pih)D/2
ei(~k~xt)
~k =~p
h, =
E
h=
~p2
2mh
6
-
4.4 Particella su un segmento (Buca infinita)
Autofunzioni ed autovalori
x [0, L] n(x) =
2L
sin(npixL
) n = 1, 2, 3 . . .
En =1
2m(npihL
)2
x [L/2, L/2]n(x) =
2L
cos(npixL
) n = 1, 3, 5, . . .
n(x) =
2L
sin(npixL
) n = 2, 4, 6, . . .
En =1
2m(npihL
)2
4.5 Raccordo della funzione donda in un punto x0
I(x) = (x x0) II(x) = (x x0)
energia potenziale non divergente:{II(x0) = I(x0) continuita` della funz. dondadIIdx
(x0) =dIdx
(x0) continuita` della derivata
energia potenziale V (x) = aV0(x x0):{II(x0) = I(x0) continuita` della funz. dondadIIdx
(x0) =dIdx
(x0) 2maV0h2 (x0) discontinuita` della derivata
4.6 Delta di Dirac
(x) = 0 x 6= 0f(0) =
+
f(x)(x)dx
1 = +
(x)dx
e` una funzione(distribuzione) pari
(x) = (x)
se largomento e` una funzione g(x)
(g(x)) =
{xi}:g(xi)=0,g(xi)6=0
(x xi)|g(xi)|
rappresentazione integrale:
(x x0) = 12pi
+
eik(xx0)dk
7
-
5 Teorema del viriale
H| = E|
2|T | = |~r ~V |
dove T = energia cinetica, V= energia potenziale.
Se V e` a simmetria sferica e proporzionale a rn:
2|T | = n|V |E = |T |+ |V |{ |T | = n
n+2E
|V | = 2n+2
E
8
-
6 Coefficienti di riflessione e trasmissione
La densita` di corrente
~J = ih2m
(~ ~)
soddisfa lequazione di continuita`
||2t
+ ~J = 0
~J = 0 per stati stazionari
J = costante per stati stazionari, 1-dim
1-dim: onda piana incidente da su una barriera/buca
I = AeikIx +BeikIx stato stazionario asintotico prima della barriera/buca
II = CeikIIx dopo la
densita` di corrente associate:
JI = JIncidente + JRiflessa =hkI2m
(|A|2 |B|2)
JII = JTrasmessa =hkII2m
(|C|2).
coefficienti di riflessione e trasmissione
R =|JRiflessa||JIncidente|
=|B|2|A|2
T =|JTrasmessa||JIncidente|
=|C|2kII|A|2kI
R + T = 1
6.1 Matrice di trasmissione e matrice di scattering
I = Aeikx +Beikx stato stazionario asintotico prima della barriera/buca
II = Ceikx +Deikx dopo la
matrice di trasmissione M :(CD
)= M
(AB
)=
(M11 M12M12 M
11
) (AB
)V (x) = V (x)
detM = 1 J = costante
M12 = V (x) = V (x)9
-
matrice di scattering S:
(CB
)= S
(AD
)=
1
M11
(1 M12M12 1
) (AB
)SS+ = S+S = 1
R = |M12M11|2
T = | 1M11|2
10
-
7 Oscillatore armonico 1-dim
7.1 Rappresentazione nello spazio delle coordinate
H = h2
2m
d2
dx2+
1
2m2x2
Autovalori ed autofunzioni
En = h (n+12)
n = Cn Hn() e2/2
}n = 0, 1, 2 . . .
dove
=
mhx
Cn =1
2n/2n!
(mhpi
)1/4
Hn() = (1)ne2 dndn e2
H0 = 1H1 = 2H2 = 2 + 42H3 = 12 + 83...
Gli autovalori:
hanno uno spettro discreto
sono equidistanti
lenergia dello stato fondamentale e` diversa da zero E0 = 1/2h
Le autofunzioni:
sono reali a meno di un fattore di fase costante
hanno parita` definita : sono (dis)pari per n (dis)pari
n(x) = (1)nn(x)
hanno n radici reali
11
-
7.2 Operatori di creazione e distruzione (innalzamentoe abbassamento)
H
h= aa+ 1/2
a =
m2hx+ i
2mhp
a =
m2hx i
2mhp
[a, a] = 1
x =
h2m
(a + a)
p =
mh2
i(a a){a |n = n |n 1a |n = n+ 1 |n+ 1
|n = (a)nn!|0 n|m = n,m
12
-
8 Il momento angolare
8.1 Algebra del momento angolare
[Ji, Jj] = ihijkJk
J2 = J2x + J2y + J
2z
[J2, Jk] = 0 k = 1, 2, 3
j = 0, 1, . . .j m j
{J2|j,m = h2j(j + 1)|j,mJz|j,m = hm|j,m
operatori a scala, di innalzamento e abbassamento
J = Jx iJy
J = J+
[Jz, J] = hJ
[J2, J] = 0
[J+, J] = 2hJz
{J+, J} = 2(J2 J2z )
J+J = J2 J2z + hJzJJ+ = J2 J2z hJz
J+|j,m = h
(j m)(j +m+ 1)|j,m+ 1J|j,m = h
(j +m)(j m+ 1)|j,m 1
13
-
8.2 Rappresentazioni matriciali del momento angolare
j = 1/2
J2 = 34h2(
1 00 1
)
Jx =12h
(0 11 0
)= 1
2h x |+12x = 12
(11
)|1
2x = 1
2
(11
)
Jy =12h
(0 ii 0
)= 1
2h y |+12y = 12
(1i
)|1
2y = 1
2
(1i
)
Jz =12h
(1 00 1
)= 1
2h z |+12 z =
(10
)|1
2 z(
01
)
J+ = h
(0 10 0
)= 1
2h + =
12h (x + iy)
J = h
(0 01 0
)= 1
2h = 12 h (x iy)
j = 1
J2 = 2h2
1 0 00 1 00 0 1
Jx =
12h
0 1 01 0 10 1 0
|1x = 12 12
1
|0x = 12 101
|1x = 12 12
1
Jy =
12h
0 i 0i 0 i0 i 0
|1y = 12 121
|0y = 12 10
1
|1y = 12 121
Jz = h
1 0 00 0 00 0 1
|1z = 10
0
|0z = 01
0
|1z = 00
1
J+ =
2h
0 1 00 0 10 0 0
J =
2h
0 0 01 0 00 1 0
14
-
8.3 Armoniche sferiche
rappresentazione del momento angolare in termini di operatori differenzialix = r sin cosy = r sin sinz = r cos
Lx = ih (y z z y ) = +ih (sin + cot cos )Ly = ih (z x x z ) = ih (cos cot sin )Lz = ih (x y y x) = ih L2 = L2x + L
2y + L
2z = h2
[1
sin
(sin
) + 1sin2
2
2
]autofunzioni di L2 e Lz
l = 0, 1, . . .l m l
{L2Y ml (, ) = h
2l(l + 1) Y ml (, )LzY
ml (, ) = hm Y
ml (, )
Y ml (, ) = , |l,m
rappresentazione esplicita delle armoniche sferiche
m 0 Y ml (, ) = (1)m(
(2l+1)4pi
(lm)!(l+m)!
)1/2Pml (cos ) e
im
m < 0 Y ml (, ) = Y|m|l (, ) = (1)|m| Y |m|l
(, )
dove Pml (u) sono le funzioni associate di Legendre, legate ai polinomi diLegendre Pl(u) tramite:
Pml (u) = (1 u2)m/2 dm
dumPl(u) 0 m l
Pl(u) =1
2ll!dl
dul[(u2 1)l] formula di Rodriguez
integrale di normalizzazione 2pi0
d pi
0sin d Y ml
(, )Y m
l (, ) = llmm
alcune espressioni esplicite (a meno di una fase arbitraria)
l = 0 Y 00 =
14pi
l = 1 Y 01 =
34pi
cos =
34pi
zr
Y 11 =
38pi
sin ei =
38pi
(xiy)r
l = 2 Y 02 =
516pi
(3 cos2 1) =
516pi
(3z2r2)r2
Y 12 =
158pi
cos sin ei =
158pi
zr
(xiy)r
Y 22 =
1532pi
sin2 e2i =
1532pi
((xiy)r
)2...
15
-
Teorema di addizione
lm=l
Y ml (v1) Yml(v2) =
(2l + 1)
4piPl(v1 v2)
16
-
8.4 Composizione di momenti angolari
~J = ~J1 1I + 1I ~J2
j = |j1 j2| . . . j1 + j2
|j1 j2; jm =m1
m2
|j1 j2;m1m2 j1 j2;m1m2|j1 j2; jm
j1 j2;m1m2|j1 j2; jm = coefficienti di ClebschGordan
j1 j2;m1m2|j1 j2; jm = (1)jj1j2j2 j1;m2m1|j2 j1; jm
formula di ricorrenza(j m)(j m+ 1) j1 j2;m1m2|j1 j2; j,m 1 =
=
(j1 m1 + 1)(j1 m1) j1 j2;m1 1,m2|j1 j2; jm ++
(j2 m2 + 1)(j2 m2) j1 j2;m1,m2 1|j1 j2; jm
fissati j1 j2:
|jm = m1
m2
|m1m2 m1m2|jm
|m1m2 =j
m
|jm jm|m1m2
m1m2|jm = jm|m1m2 = jm|m1m2 Re
j1 j2 = 1/2 1/2
|1 1 = | 12
12
|1 1 = | 121
2
|1 0 =
12| 1
21
2 +
12| 1
212
|0 0 =
12| 1
21
2
12| 1
212
17
-
j1 j2 = 1 1/2
|32
32 = | 1 1
2
|32
12 =
13| 1 1
2 +
23| 0 1
2
|321
2 =
23| 0 1
2 +
13| 1 1
2
|323
2 = | 1 1
2
|12
12 =
23| 1 1
2
13| 0 1
2
|121
2 =
13| 0 1
2
23| 1 1
2
j1 j2 = 1 1
|2 2 = | 1 1|2 1 =
12| 1 0 +
12| 0 1
|2 0 =
16| 1 1 +
23| 0 0 +
16|1 1
|2 1 =
12| 1 0 +
12| 0 1
|2 2 = | 1 1
|1 1 =
12| 1 0
12| 0 1
|1 0 =
12| 1 1
12| 1 1
|1 1 =
12| 0 1
12| 1 0
|0 0 =
13| 1 1
13| 0 0 +
13|1 1
18
-
9 Atomo di idrogeno
Autovalori ed autofunzioni
{ h2
2m2 Ze
2
r}nlm(r, , ) = Ennlm(r, , )
2 = 1r
d2
dr2r L
2
h2r2
n = 1, . . .l = 0, . . . n 1
{En = Z2e22n2a0 = 13.6 eV Z2/n2nlm(r, , ) = Rnl(r)Y
ml (, )
a0 = raggio di Bohr =h2
me2
Autofunzione radiale
{ h2
2m
1
r
d2
dr2r +
h2
2m
l(l + 1)
r2 Ze
2
r}Rnl(r) = EnRnl(r)
Rnl(r) = Nnl l e/2 L2l+1n+l ()
dove =2Zr
na0
Nnl =2Z3/2
a3/20 n
2
(n l 1)![(n+ l)!]3
Lkp(u) =pks=0
(1)s+k(
pk + s
)p!
s!us
R10 =(Z
a0
)3/22 eZr/a0
R20 =(Z
2a0
)3/2(2 Zr/a0) eZr/2a0
R21 =(Z
2a0
)3/2 Zr3a0
eZr/2a0
...
19
-
10 Teoria delle Perturbazioni
10.1 Teoria delle Perturbazioni indipendenti dal tempo
H = H(0) + V
H(0)|n(0) = E(0)n |n(0)H|n = En|n{ |n = |n(0)+ |n(1)+ 2|n(2)+ . . .En = E
(0)n +
(1)n +
2(2)n + . . .
10.1.1 Caso non degenere
al primo ordine in :
(1)n = n(0)|V |n(0)|n(1) = k 6=n k(0)|V |n(0)E(0)n E(0)k |k(0)
al secondo ordine in :
(2)n = n(0)|V |n(1) =k 6=n
|k(0)|V |n(0)|2E
(0)n E(0)k
|n(2) = k 6=nm6=n [ k(0)|V |m(0)m(0)|V |n(0)(E(0)n E(0)k )(E(0)n E(0)m ) k(0)|V |n(0)n(0)|V |n(0)(E(0)n E(0)k )2]|k(0)
10.1.2 Caso degenere
degenerazione di ordine g
Si diagonalizza la matrice g g della perturbazione V (nel sottospazioD degenere)
Vmm = m(0)|V |m(0)mD
Vmmm(0)|l(0) = (1)l m(0)|l(0)
gli autovalori sono le correzioni dellenergia al primordine;gli autovettori sono la base imperturbata nello spazio degenere:
|l(0) = mDm(0)|l(0) |m(0)
le correzioni al primordine in :
|l(1) = k/D
k(0)|V |l(0)E
(0)D E(0)k
|k(0)20
-
Se al primordine (ad un certo ordine) la degenerazione non e` rimossatotalmente (due o piu` autovalori di Vmm sono uguali) si costruisce la matricedella perturbazione al secondordine (allordine superiore):
m(0)|V |m(1) = k/D
m(0)|V |k(0)k(0)|V |m(0)E
(0)D E(0)k
e i suoi autovettori costituiscono la base imperturbata per il sottospazio an-cora degenere.
21
-
10.2 Teoria delle Perturbazioni dipendenti dal tempo
H = H(0) + V (t)
H(0)|n(0) = E(0)n |n(0)
ih ddt|(t) = [H(0) + V (t)]|(t)
cn(t) = n(0)|(t)
ih ddtcn(t) = E
(0)n +
k Vn,k(t) ck(t)
cn(t) = an(t) eiE(0)n t/h
ih ddtan(t) =
k e
in,ktVn,k(t) ak(t)
Vn,k(t) = n(0)|V (t)|k(0)
n,k(t) = (E(0)n E(0)k )/h
an(t) = a(0)n (t) + a
(1)n (t) +
2a(2)n (t) + . . .
an(t = 0) = a(0)n = n,i
a(1)n (t) =1
ih
t0ein,iVn,i()d
Probabilita` di transizione dallo stato iniziale i allo stato finale f 6= i:
Pif (t) = |cf (t)|2 ' |a(1)f (t)|2 =2
h2| t
0eif,iVf,i()d |2
Probabilita` di transizione per una perturbazione costante:
Pif (t) =2
h2|Vf,i|2 4
2f,isin2(
f,it
2)
Probabilita` di permanenza nello stato iniziale i:
Pii(t) = 1f
Pif (t)
22
-
11 WKB: approssimazione semiclassica
formule di raccordo
1(E,x)
e| x(E)x
(E,x)h
dx| +2p(E,x)
cos (| x(E)x p(E,x)h dx | pi/4)1
(E,x)e+|
x(E)x
(E,x)h
dx| 1p(E,x)
sin (| x(E)x p(E,x)h dx | pi/4)dove
p(E, x) =
2m(E V (x))(E, x) =
2m(V (x) E)
Condizione di BohrSommerfeld
x2(E)x1(E)
p(E, x)dx = pih(n+ 1/2)
Densita dei livelli energetici
dn
dE=
m
pih
x2(E)x1(E)
dx
p(E, x)
Coefficiente di trasmissione
T ' e2 x2(E)x1(E)
(E,x)h
dx
23
-
12 Formule
12.1 integrali
+
ex2
dx =
pi
+
x2mex2
dx = (1)m dm
dm
+
ex2
dx =
pi
1
m(2m 1)!!
2mm > 0
+0
exdx =1
+0
xmexdx = (1)m dm
dm
+0
exdx =m!
m+1m 0
12.2 moto del centro di massa e moto relativo
Lhamiltoniano che descrive un sistema a due particelle di massa m1,m2 e dicoordinate ~r1, ~r2 e momenti coniugati ~p1, ~p2:
H = h2
2m121
h2
2m222 + V (|~r1 ~r2|)
diventa
H = h2
2m2G
h2
22 + V (|~r|)
effettuando il cambiamento di variabili
~rG =m1 ~r1+m2 ~r2m1+m2
la coordinata del centro di massa
~r = ~r1 ~r2 la coordinata del moto relativo~pG = ~p1 + ~p2 il momento del centro di massa
~p = m2 ~p1m1 ~p2m1+m2
il momento del moto relativo
m = m1 +m2 la massa totale = m1m2
m1+m2la massa ridotta
24