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Formulario di Fisica MECCANICA DEI SOLIDI Cinematica (spostamento, velocità, accelerazione)

velocità media

!vm =

Δ!xΔt

=!x f −

!xi

t f −ti

velocità istantanea !v = lim

Δt→0

Δ!xΔt

=d!x

dt.

accelerazione media

!am =Δ!vΔt

=!v f −!vi

t f −ti

accelerazione istantanea !a = lim

Δt→0

Δ!vΔt

=d!vdt

.

· legge oraria del MRU (

!vm =!v ): x t( )= x 0( )+ vt .

· leggi orarie del MRUA ( !am =

!a ): x t( )= x 0( )+ v 0( )t +

12

at2 ; v t( )= v 0( )+ at .

· Relazioni sul moto circolare:

velocità angolare media ωm =

ΔϑΔt

=ϑ f −ϑi

t f −ti

velocità angolare istantanea ω=

dϑdt

.

accelerazione angolare media αm =

ΔωΔt

=ω f −ωi

t f −ti

accelerazione angolare istantanea α=

dωdt

.

· MCU ( ω COSTANTE ): v =

2πrT

= ωr , ac =

v2

r.

· MCUA ( α COSTANTE ): ϑ t( )= ϑ 0( )+ω 0( )t +

12αt2 , ω t( )= ω 0( )+αt .

· Relazioni sul MA:

x t( )= x 0( )·cos ωt( ) ; v t( )=−ωx 0( )sin ωt( );

a t( )=−ω2x 0( )cos ωt( )=−ω2x t( ) .

Applicazione: · Periodo di un moto armonico di una molla di costante elastica k: T = 2π m k .

· Periodo di un moto armonico di un pendolo di lunghezza l: T = 2π l g .

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Dinamica (forze, lavoro, energia)

!Fi

i=1

n

∑ = m!a (II principio della dinamica), dove !F N⎡⎣ ⎤⎦ indica la forza applicata a un oggetto

di massa m kg⎡⎣ ⎤⎦ . momento torcente (o della forza):

!τ =!r×!F N·m⎡⎣ ⎤⎦

Applicazione:

· Condizione di equilibrio di un punto materiale:

!Fi

i=1

n

∑ =!0 .

· Condizione di equilibrio di un corpo rigido:

!Fi

i=1

n

∑ =!0 e

!τi

i=1

n

∑ =!0 .

quantità di moto

!p = m!v kg·m s⎡⎣ ⎤⎦ .

impulso di una forza

!I =Δ

!p =!F t( )dt

ti

t f

∫ kg·m s⎡⎣ ⎤⎦ ( =!F·Δt se

!F COSTANTE ), da cui il

secondo principio della dinamica

!F =

d!pdt

.

Vale il principio di conservazione della quantità di moto: in un sistema chiuso e isolato la quantità di moto si conserva, ovvero

!pi =!pf .

Applicazione: · Urto elastico:

!pi =!pf e Ki = K f , dove K indica l’energia cinetica ( J⎡⎣ ⎤⎦ ).

· Urto anelastico: !pi =!pf ma Ki ≠K f (se completamente anelastico ΔK è massima, ovvero

i due oggetti rimangono attaccati). momento della quantità di moto

!L =!r× !p = m!r× !v kg·m2 s⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ , da cui il secondo principio

della dinamica rotazionale !τ =

d!L

dt.

forze fondamentali

i. forza peso !F = m!g ( g =

gT = G MT

RT2 ! 9,8m s2 accelerazione di gravità terrestre).

ii. forza elastica: !Fe =−kΔ

!x , dove k N m⎡⎣ ⎤⎦ è la costante elastica del materiale.

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iii. forza gravitazionale:

!FH =−G Mm

r2 r (

!H =

!FH

m campo gravitazionale, G costante di

gravitazione universale). iv. forza di attrito statico (

!Fs =−µs

!N x , dove µs (adimensionale) indica il coefficiente di

attrito statico, !N = N l’intensità della forza normale e x il versore spostamento),

dinamico ( !Fd =−µd

!N v , dove µd (adimensionale) indica il coefficiente di attrito

dinamico e v il versore velocità) e viscoso ( !Fv =−β

!v , dove β kg s⎡⎣ ⎤⎦ indica il coefficiente di attrito viscoso).

Lavoro di una forza

L =

!F i d!x

xi

x f

∫ (che per !F COSTANTE si ha L =

!F iΔ

!x = F·Δxcosϑ )

i. Lavoro della forza peso: L =−mgΔh

ii. Lavoro della forza elastica: L =−

12

kΔx2

iii. Lavoro della forza di gravitazione: L = GMm 1

rf

−1ri

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (

UH = G Mm

r energia potenziale

gravitazionale e VH = G M

r potenziale gravitazionale)

energia cinetica K =

12

mv2 (rotazionale: K =

12

Iω2 , dove I = miri

2

i=1

n

∑ è il momento

d’inerzia). energia potenziale gravitazionale U =Ug = mgh .

energia potenziale elastica U =Uela =

12

kΔx2 .

energia meccanica totale E = K +U . lavoro totale L = LC + LNC , dove LC =−ΔU è il lavoro delle forze conservative, LNC =ΔE è il lavoro delle forze non conservative. Da qui il Teorema della vis viva: L =ΔK . Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica: in un sistema chiuso e isolato l’energia totale si conserva, Ki +Ui = K f +U f .

potenza meccanica P =

LΔt

=!F i!v W⎡⎣ ⎤⎦ .

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MECCANICA DEI FLUIDI Fluidostatica e fluidodinamica

pressione idrostatica p =

!NS

Pa⎡⎣ ⎤⎦ ; 1 atm = 1,013·105 Pa = 1,013 bar = 760 mmHg .

legge di Stevin p h( )= pext +ρgh , dove pext indica la pressione esterna sopra al fluido

d’indagine e ρ kg m3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ la densità del fluido.

principio di Archimede un oggetto immerso in un fluido (di volume Vimm ) riceve una spinta rivolta verso l’alto pari al peso del fluido spostato: FA = ρF Vimmg , dove ρF indica la densità del fluido.

portata media Qm =

ΔVΔt

m3 s⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ( = S !vm se a sezione S costante).

portata istantanea Q =

d Vdt

( = S !v se a sezione S costante).

legge di Castelli

Qi = Qf →Si

!vi = Sf!v f .

pressione idrodinamica pd = p+ρgh+

12ρv2 .

legge di Bernoulli pdi = pd f → pi +ρghi +

12ρvi

2 = pf +ρghf +12ρv f

2 .

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TERMODINAMICA temperatura T K⎡⎣ ⎤⎦= T°C + 273,15 condizioni standard STP di temperatura ( 0 °C = 273,15 K ), pressione ( 1 atm ) e volume ( 22,4ℓ mol , 1 ℓ= 1 dm3 = 10−3 m3 ). equazione fondamentale della calorimetria ΔE = Q = m c ΔT , dove Q indica il calore J⎡⎣ ⎤⎦ che si ha per variazione di temperatura ( 1 cal = 4,184 J ) e c J kg·K( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ il calore specifico del

corpo di massa m. capacità termica C = m c J K⎡⎣ ⎤⎦ . calore latente λQ = Q m J kg⎡⎣ ⎤⎦ , dove Q indica il calore J⎡⎣ ⎤⎦ che si ha per cambiamento di stato. primo principio della dinamica Q =ΔU + L , ovvero il calore fornito (o sottratto) a un sistema termodinamico o serve per variare l’energia interna del sistema ( ΔU = nc VΔT , dove c V J K⎡⎣ ⎤⎦ indica il calore specifico a volume costante) o serve per far compiere (o compiere) lavoro. · se il sistema riceve calore Q+ > 0 · se il sistema cede calore Q− < 0 · se il sistema fa lavoro L+ > 0 · se al sistema si fa lavoro L− < 0

rendimento di una macchina termica η=

L+

Q+ = 1−Q−

Q+ .

teorema di Carnot η≤ ηC = 1−

Tfredda

Tcalda

.

entropia S: ΔS =

ΔQT

J K⎡⎣ ⎤⎦ (o dS =

1T

dQA

B

∫ ).

secondo principio della dinamica ΔS≥ 0 . equazione di stato dei gas perfetti (ideali) pV = nRT , dove V m3⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ indica il volume, n il

numero di moli di gas ed R = NAkB la costante dei gas perfetti ( NA indica il numero di Avogadro, kB indica la costante di Boltzmann).

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· trasformazione isobara ( Δp = 0 o VT

COSTANTE ) L =−pΔV , Q = ncpΔT (dove cp J K⎡⎣ ⎤⎦

indica il calore specifico a pressione costante).

· trasformazione isocora ( ΔV = 0 o pT

COSTANTE ) L = 0 , Q = nc VΔT .

· trasformazione isoterma ( ΔT = 0 o pV COSTANTE ) L =−nRT ln

Vf

Vi

=−Q .

· trasformazione adiabatica ( Q = 0 o pV γ COSTANTE , dove γ= cp c V ) L =

1γ−1

Δ pV( ) .

relazione di Mayer R = cp−c V .

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ONDE Onde meccaniche, suono funzione d’onda y = ψ x−vt( ); caso dell’onda armonica ψ x−vt( )= Acos kx−ωt( ) , dove

A m⎡⎣ ⎤⎦ indica l’ampiezza, k = 2π λ m−1⎡⎣⎢⎤⎦⎥ il numero d’onda ( λ m⎡⎣ ⎤⎦ la lunghezza d’onda) e

ω= 2π T rad s⎡⎣ ⎤⎦ la pulsazione d’onda ( T s⎡⎣ ⎤⎦ il periodo). Si ha che v =λT

=λ f , dove f

indica la frequenza ( f = 1 T Hz⎡⎣ ⎤⎦ ).

Onde stazionarie su una corda λn =

2ℓn

e fn = n v

2ℓ sono rispettivamente la lunghezza

d’onda e la frequenza dell’n-esimo armonico, n∈!\ 0{ } . velocità di un’onda sonora su una corda v = T µ , dove T N⎡⎣ ⎤⎦ indica la tensione della corda e µ kg m⎡⎣ ⎤⎦ la densità lineare. velocità di un’onda sonora nello spazio v = γp ρ (dipende dalla temperatura:

v = v0 1+αT con v0 = 331 m s la velocità a 0°C e α= 1 273,15 °C−1 , T espressa in °C).

intensità di un’onda sonora I =

PS

W m2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ; livello sonoro

β= 10log I

I0

, dove

I0 = 10−12 W m2 rappresenta la soglia di udibilità. Udibilità fino a 1 W m2 che corrisponde a 120 dB. frequenza f Hz⎡⎣ ⎤⎦ di udibilità 20-20˙000.

Effetto Doppler ′f =

v−vS

v−vO

f , dove ′f indica la frequenza percepita dall’osservatore O, f

la frequenza dell’onda emessa dalla sorgente S, vS la velocità della sorgente e vO la velocità dell’osservatore (le velocità sono positive se hanno lo stesso verso della propagazione dell’onda, altrimenti sono negative).

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Onde elettromagnetiche (prima parte), luce riflessione i = s . Si ha diffusione se la superficie non è liscia. rifrazione (Snell-Cartesio) n1 sin i = n2 sin r , dove ni = vi c rappresenta l’indice di rifrazione dell’i-esimo mezzo, con c velocità della luce nel vuoto. Si ha dispersione se la luce non è monocromatica. interferenza (Young) dsinϑ= nλ (frange luminose per fasci luminosi coerenti in fase,

n∈! ); dsinϑ= 2n+1( )λ2

(frange oscure per fasci luminosi coerenti in fase, n∈! ).

diffrazione (Huygens – Fraunhofer) dsinϑ= nλ (frange oscure, n∈!\ 0{ } ). in un reticolo di diffrazione dsinϑ= nλ (frange luminose n∈! ), dove d è il passo del reticolo.

risoluzione di un’immagine (criterio di Rayleigh): ϑmin = 1,22 λ

D, dove D è l’apertura del

dispositivo ottico (ad esempio la pupilla) usato per osservare le sorgenti luminose. lunghezza d’onda λ ; frequenza f delle onde radio: > 300 mm; < 109 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f delle µ onde: 0,3 – 300 mm; 109−1012 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi IR (infrarosso): 700 - 300˙000 nm = 0,3 mm ;

1012−4,3·1014 Hz lunghezza d’onda λ dei colori dello spettro del visibile in nm:

Rosso 610-700 Arancione 590-610 Giallo 570-590 Verde 470-570 Azzurro 440-470 Indaco 420-440 Violetto 380-400

lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi UV (ultravioletto): 3 – 400 nm; 7,5·1014−1017 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi X: 0,003 – 3 nm; 1017−1020 Hz lunghezza d’onda λ ; frequenza f dei raggi γ : < 0,003 nm; >1020 Hz

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ELETTROMAGNETISMO Elettrostatica

legge di Coulomb

!FE = k Qq

r2 r (

!H =

!FH

m

!E =

!FE

q N C o V m⎡⎣ ⎤⎦ campo elettrico, k costante di

Coulomb, k =

14πε

dove ε= ε0·εr con ε0 costante dielettrica del vuoto e εr costante

dielettrica relativa al materiale). flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana φE =

!E i n·S = E·S·cosϑ V·m⎡⎣ ⎤⎦

teorema di Gauss: in una superficie gaussiana (chiusa) il flusso vale φE =

qiint

i=1

n

∑ε

.

Applicazioni:

· campo elettrico su una superficie sferica uniformemente carica E r( )= k Q

r2 .

· campo elettrico di una distribuzione uniforme infinita lineare di carica E r( )=

λQ

2πεr, dove

λQ =

Qℓ

C m⎡⎣ ⎤⎦ .

· campo elettrico di una distribuzione uniforme infinita superficiale di carica E =

σ2ε

, dove

σ=

QS

C m2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ .

energia potenziale elettrica (di una coppia di cariche) U = k Qq

r (posto U∞ = 0 ).

principio di conservazione dell’energia estesa ai fenomeni elettrici: Ki +Ui = K f +U f .

potenziale elettrico V =

Uq

V⎡⎣ ⎤⎦ ; per una carica puntiforme V = k Q

r.

il campo elettrico come gradiente del potenziale elettrico ΔV =−

!E iΔ

!x (caso

!E uniforme).

lavoro per spostare una carica elettrica L =−qΔV .

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la circuitazione del campo elettrico ΓE =!E iΔ

!r∑ (o ΓE =

!E i d!r"∫ ) V⎡⎣ ⎤⎦ .

il campo elettrico è conservativo: ΓE ≡ 0 .

la capacità di un conduttore (in particolare un condensatore) C =

QΔV

F⎡⎣ ⎤⎦ .

la capacità di un condensatore a facce piane parallele C = ε

Sd

.

intensità del campo elettrico all’interno di un condensatore piano E = σ ε

energia immagazzinata in un condensatore E =

12

Q2

C.

densità di energia del campo elettrico (uniforme) nel vuoto uE =

12ε0E

2 .

n condensatori in serie, C1 , C2 ,…, Cn :

Ceq =1

1Cii=1

n

∑.

n condensatori in parallelo, C1 , C2 ,…, Cn : Ceq = Ci

i=1

n

∑ .

Elettrodinamica

intensità di corrente elettrica media Im =

ΔqΔt

= ne ·e·vd ·S A⎡⎣ ⎤⎦ , dove ne #elettroni m3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ , e è la

carica elementare, vd la velocità di deriva, S la sezione del filo dove scorre la corrente.

intensità di corrente elettrica istantanea I =

dqdt

A⎡⎣ ⎤⎦ forza elettromotrice di una batteria ideale (generatore di tensione) fem = L q V⎡⎣ ⎤⎦ potenza elettrica erogata dal generatore Pe = fem·I

la resistenza elettrica R =ΔV

IΩ⎡⎣ ⎤⎦ (prima legge di Ohm).

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la resistenza elettrica di un filo R = ρR

ℓS

, dove ρR Ω·m⎡⎣ ⎤⎦ indica la resistività del materiale

(seconda legge di Ohm). potenza elettrica dissipata da un resistore Pd = R·I 2 .

n resistenze in serie, R1 , R2 ,…, Rn : Req = Ri

i=1

n

∑ .

n resistenze in parallelo, R1 , R2 ,…, Rn :

Req =1

1Rii=1

n

∑.

I legge di Kirchhoff: in un nodo IIN = IOUT∑∑ . II legge di Kirchhoff: in una maglia ΔV = 0 . circuito RC in corrente continua:

· fase di carica fem = Ri t( )+

1C

q t( )→ q t( )= fem·C 1−e−t τc( ) e

i t( )=

femR

e−t τc , dove τc = RC

è il tempo caratteristico.

· fase di scarica (su una resistenza R): 0 = Ri t( )+

1C

q t( )→ q t( )= q 0( )e−t τc e i t( )=−

q 0( )RC

e−t τc

Magnetismo la forza esercitata su un filo percorso da corrente elettrica immerso in un campo magnetico (legge di Laplace)

!F = I

!ℓ×!B , dove

!B T⎡⎣ ⎤⎦ indica il campo magnetico.

intensità di campo magnetico generato da un filo percorso da corrente (legge di Biot-

Savart, esperimento di Oersted) B =

µ2π

Ir

, dove µ = µ0·µr con µ0 permeabilità magnetica

del vuoto e µr permeabilità magnetica relativa al materiale). forza di Lorentz

!F = q!v×

!B .

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moto di una carica elettrica immersa in un campo magnetico · caso

!v"!B : MRU.

· caso !v⊥!B : MCU con raggio di curvatura

r =

mvqB

.

· altri casi: composizione dei due moti (moto a elica). forza di Lorentz generalizzata

!F = q

!E+!v×!B( ) .

moto di una carica elettrica immersa in un campo elettro-magnetico · selettore di velocità: v = E B .

· spettrometro di massa: fase di accelerazione 12

v2 = qΔV ; fase di rotazione r =

mvqB

.

flusso del campo magnetico φB =

!Bn·S Wb⎡⎣ ⎤⎦ .

teorema di Gauss magnetico φB ≡ 0 . circuitazione del campo magnetico ΓB =

!B iΔ

!r∑ (o ΓB =

!B i d!r"∫ ) T·m⎡⎣ ⎤⎦

teorema di Ampere ΓB = µ Ii

conc

i=1

n

∑ .

Applicazioni: · intensità del campo magnetico generato da un solenoide B = µnsI , dove ns = N ℓ è la densità di spira. momento torcente in una spira percorsa da corrente I immersa in un campo magnetico

!B

!τ = ISn×

!B =!µB×

!B , dove

!µB A·m2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ indica il momento magnetico.

intensità della forza tra due fili percorsi da corrente immersi in un campo magnetico

(esperimento di Ampere) F =

µ2π

I1I2

rℓ .

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Elettromagnetismo

legge di Faraday femm =

ΔφB

Δt (valore assoluto della forza elettromotrice indotta media) o

fem =

dφB

dt (valore assoluto della forza elettromotrice indotta istantanea).

legge di Lenz femm =−

ΔφB

Δt (forza elettromotrice indotta media) o

fem =−

dφB

dt (forza

elettromotrice indotta istantanea).

induzione elettromagnetica (legge di Faraday-Neumann-Lenz) ΓEi

=−dφB

dt, dove

!Ei

rappresenta il campo elettrico indotto e la sua circuitazione la fem indotta istantanea.

induttanza Li =

dφB

di H⎡⎣ ⎤⎦ →ΔV = Li

didt

.

induttanza di un solenoide Li = µns

2ℓS .

energia immagazzinata in un solenoide U =

12

LI 2 .

densità di energia del campo magnetico (uniforme) nel vuoto uB =

12µ0

B2 .

circuito RLi in corrente continua:

· fase di carica fem = Ri t( )+ L

di t( )dt→

i t( )=

femR

1−e−t τl( ) , dove τl = Li R è il tempo

caratteristico.

· fase di scarica (su una resistenza R): 0 = Ri t( )+ L

di t( )dt→ i t( )= i 0( )e−t τl .

Circuiti in corrente alternata generatore AC ( ω COSTANTE): fem = fem0 sin ωt( ) , dove fem0 = NBSω .

circuito puramente resistivo: i t( )= i0 sin ωt( ) , dove i0 =

fem0

R.

potenza istantanea dissipata P t( )= Ri2 t( ).

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potenza istantanea massima dissipata PMAX = Ri02 .

potenza media dissipata P = Rieff2 , dove

ieff =

femeff

R, con

ieff =

i0

2 e

femeff =

fem0

2.

circuito puramente capacitivo: i t( )= i0 sin ωt +

π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , dove

i0 =

fem0

XC

, con XC =

1ωC

che è

chiamata reattanza capacitiva. potenza media dissipata P = 0 .

circuito puramente induttivo: i t( )= i0 sin ωt− π

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ , dove

i0 =

fem0

XLi

, con XLi= ωLi che è

chiamata reattanza induttiva. potenza media dissipata P = 0 .

circuito RCL in serie: impedenza Z = R2 + X2 = R2 + ωL− 1

ωC⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

, tanϕ=

ωL− 1ωC

R.

potenza media dissipata P = femeff ieff cosφ= femeff ieff

RZ

.

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche (seconda parte) valori medi (nel vuoto) valori istantanei (nel vuoto)

φE =qint∑ε0

φB ≡ 0

ΓE =−ΔφB

Δt

ΓB = µ0 iconc + µ0ε0ΔφE

Δt∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

φE =qint∑ε0

φB ≡ 0

ΓE =−dφB

dt

ΓB = µ0 iconc + µ0ε0dφE

dt∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

in caso di assenza di sorgenti (nel vuoto)

φE = 0φB ≡ 0

ΓE =−dφB

dt

ΓB =1c2

dφE

dt

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

, dove c =

1ε0µ0

.

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onda elettromagnetica che si propaga lungo l’asse x:

!E x;t( )= EMAX sin kx−ωt( )z!B x;t( )= BMAX sin kx−ωt( )y

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

, con

E = cB . densità di energia media trasportata da un’onda elettromagnetica che si propaga nel

vuoto: u =

12ε0Eeff

2 +1

2µ0

Beff2 = ε0Eeff

2 =1

µ0

Beff2 .

quantità di moto media trasportata dall’onda p =

uVc

.

intensità media di un’onda elettromagnetica I = uc .

intensità trasmessa per un fascio non polarizzato I =

I0

2;

intensità trasmessa per un fascio polarizzato (legge di Malus) I = I0 cos2 ϑ .

polarizzazione totale (angolo di Brewster) tanϑB =

n2

n1

.

pressione di radiazione pr =

Ic

.

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FISICA MODERNA Relatività trasformazioni di Galilei da un sistema di riferimento Oxyzt a un sistema di riferimento

′O ′x ′y ′z ′t che si sta muovendo rispetto al primo lungo l’asse x a velocità costante.

′x = x−vt′y = y′z = z′t = t

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

, con la legge di composizione delle velocità ′u = u−v

trasformazioni di Lorentz da un sistema di riferimento Oxyzt a un sistema di riferimento

′O ′x ′y ′z ′t che si sta muovendo rispetto al primo lungo l’asse x a velocità costante.

′x = γ x−vt( )′y = y′z = z

′t = γ t− vc2 x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

, dove

γ=1

1− v2

c2

è il fattore lorentziano.

legge di composizione delle velocità

′u =u−v

1− uvc2

.

dilatazione degli intervalli temporali Δt = γΔt0 , dove Δt0 è l’invariante tempo proprio.

contrazione della lunghezza lungo il moto L =

L0

γ, dove L0 è l’invariante lunghezza

propria. L’invariante intervallo spazio-tempo Δs( )2

= Δx( )2+ Δy( )2

+ Δz( )2−c2 Δt( )2 .

effetto Doppler relativistico ′f =

c ± vc∓v

f , dove i segni sopra fanno riferimento

all’avvicinamento tra sorgente e osservatore mentre quelli sotto fanno riferimento al loro reciproco allontanamento. massa relativistica m = γm0 , dove m0 indica l’invariante massa a riposo.

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quantità di moto relativistica !p = γm0

!v .

il secondo principio della dinamica relativistica

!F = m!a + m0

!v dγdt

;

vale il principio di conservazione della quantità di moto relativistica. energia relativistica E = E0 + K→mc2 = m0c

2 + K→ K = m0 γ−1( )c2 . vale il principio di conservazione della massa-energia; è possibile misurare le masse delle particelle in MeV c2 .

l’invariante quadrivettore energia-quantità di moto Ec2

2

−p2 ( = m02c2 ).

Fisica quantistica irraggiamento del corpo nero (legge di Stefan-Boltzmann) P = εσST 4 , dove 0 <ε≤1 ( ε= 1 per il corpo nero), σ= 5,67·10−8 W K·m2( ) è la costante di Stefan.

intensità della radiazione del corpo nero (emittanza) I = σT 4 .

in generale l’emittanza è l’integrale improprio della densità di energia

I λ( )dλ0

+∞

∫ .

legge dello spostamento di Wien λMAX =

bT

, dove b = 2,90·10−3 m·K è la costante di Wien,

fornisce la lunghezza d’onda per la quale si ha l’intensità massima.

legge di Rayleigh-Jeans (valida per λ≥λMAX ) I λ( )dλ=

8πkBcTλ4 J m3⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ .

legge di Planck En = nhf , n∈! (quantizzazione dell’energia della radiazione), dove h rappresenta la costante di Planck.

densità di energia della radiazione del corpo nero:

I λ( )dλ=2πhc2

λ5 · 1

ehcλkBT −1

J m3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ .

effetto fotoelettrico KMAX = hf −L0 , dove L0 = hf0 rappresenta il lavoro di estrazione, con

f0 frequenza di soglia.

massa; quantità di moto di un fotone: mfotone = 0 ; pfotone =

hλ

.

18 di 19

formula dello scattering di Compton: Δλ=λc 1−cosϑ( ) , dove λc =

hmec

= 2,43·10−12 m è

la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone e ϑ l’angolo con il quale si diffonde il fotone X. atomo di Bohr

· rn = a0

n2

Z, n∈!\ 0{ } , dove

a0 =

! 2

mek0e2 = 5,29·10−11m indica il raggio della prima orbita

di Bohr (con !=

h2π

) e Z è il numero atomico dell’idrogenoide.

· vn =

k0e2

!Zn

, n∈!\ 0{ } , dove v1 =

k0e2

!= 2,18·106 m s .

· En =−

mek0e4

2! 2Z2

n2 , n∈!\ 0{ } , dove E1 =−13,6 eV ( 1 eV = 1,60·10−19 J ).

Applicazione:

· deduzione della legge empirica di Rydberg-Ritz

1λ

= R 1nf

2 −1

ni2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟, dove nf ,ni ∈!\ 0{ } con

nf < ni , R =

mek0e4

4π! 3 = 1,097·107 m−1 constante di Rydberg.

· conferma sperimentale: esperimento di Franck-Hertz.

la lunghezza d’onda di de Broglie λ=

hp

;

· conferma sperimentale: esperimento di Davisson e Germer (legge di Bragg): 2dsinϑ= nλ , n∈!\ 0{ } ; · conferma teorica: quantizzazione del momento angolare Ln = n! , n∈!\ 0{ } . equazione di Schroedinger (caso di un elettrone che si muove di MRU):

∂∂tψ x;t( )=

!i2me

∂2

∂x2 ψ x;t( ) , dove i rappresenta l’unità immaginaria.

La soluzione dell’equazione di Schroedinger nel caso dell’elettrone dell’atomo di idrogeno implica l’esistenza di quattro numeri quantici:

19 di 19

· numero quantico principale n, n∈!\ 0{ } (già trovato da Bohr). · numero quantico del momento angolare orbitante ℓ= 0, 1, …, n−1 ; fornisce l’intensità del momento angolare orbitante dell’elettrone L = ℓ ℓ+1( )·" . · numero quantico magnetico mℓ =−ℓ, −ℓ+1, …, −1, 0, 1, 2, …, ℓ−1, ℓ ; fornisce i valori della componente z del momento angolare dell’elettrone: Lz = mℓ" .

· numero quantico di spin ms = ±

12

.

principio di indeterminazione di Heisenberg: Δpx ·Δx≥ !

2 (o

ΔE·Δt≥ !

2).

TABELLA DELLE COSTANTI

costante di gravitazione universale G = 6,67·10−11 Nm2

kg2

costante di Boltzmann kB = 1,38·10−23 J

K

numero di Avogadro NA = 6,02·1023 mol−1

costante dielettrica nel vuoto ε0 = 8,85·10−12 F m

costante di Coulomb nel vuoto k0 = 8,99·109 Nm2

C2

permeabilità magnetica del vuoto µ0 = 4π·10−7 H m

velocità della luce nel vuoto c = 3,00·108 m s

carica elementare e = 1,60·10−19 C

massa dell’elettrone me = 9,11·10−31kg

costante di Planck h = 6,63·10−34 J·s