Formulario antisismica maverick

FORMULAS DE INTEGRALES

I . IDEALIZACIÓN MATEMÁTICA

Modelo real

Integración por partes

II . PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DINÁMICO

II.1. FORMULACIÓN DE LA EDM Las incognitas son los GDL din - Existen 03 metodos para la formulación de la EDM

A. METODO GENERACIÓN DIRECTASe realiza un equilibrio Dinámico

Se formula la EDM transformando el prob. Din. en un prob. Tipo statico, para el cual se usa el

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALE DE 2do ORDEN principio de Alambert

SIST. LIBRE SIN AMORT.

B. METODO TRABAJO VIRTUAL

Consiste en aplicar el principio de trabajovirtual generado por un desplazamientovirtual en dirección de la configuración x : Desplazamiento real

deformada. dv : Desplazamiento virtual

C. PRINCIPIO DE HAMILTON

SIST. LIBRE CON AMORT.

Genera la EDM en base a una ecu. Definida, por lo que es necesario definir los tipos de fzas que pueden ser:conservativas o no conservativasFza conservativa: cuando actua tratando que la estructura recupere su forma inicial. (fza restitutiva)Fza no conservativa: cuando se encarga de generar una deformación permanente en la estructura

Fza que disipa energía (fza de amortiguamiento) II.2. SOLUCIÓN DELA EDM Consiste en det. inicialmente la Rpta dinamica a nivel de los desplazamientos

En Ing. Civil ζ < 1 Э vibración ζ < 20%

A. METODO PASO A PASO La solución se da por un proceso iterativo aplicando la teoria de diferencias finitasSolución imaginaria Generalmente se usa en un analisis sismico no lineal.

Reemplazar en EDM B. METODOD DEL DESACOPLAMIENTOTransforma un sistema de m gdl a m problemas de 1 gdl y se resuelve por matrices

La respuesta dinamica se puede deteminar en función del tiempo (t) ola frecuencia (f)

Pag - 16

Rta Din

x Tiempo

x Frecuencia

∫ Duhamel

Fourier

Metodo

Pag - 01

UNASAM ING. CIVILINGENIERÍA ANTISÍSMICA

Es llevar el modelo real a uno matematico para ello existen 03 metodos.

Por: Maverick Aguirre Jara

Por: Maverick Aguirre Jara

MODELO DE MASA DISTRIBUIDA MMDMODELO DE ELEMTOS FINITOS MEFMODELO DE MASA CONCENTRADA MMC

FORMULAS DE DERIVADAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A y B dependen de las condiciones iniciales

SOLUCIÓN GENERAL X (H) SOLUCIÓN GENERAL X (P)

Sol. FundamtRaices Reales

Raices Iguales Sol. Fundamt

Raices Imaginarias Sol. Fundamt

Raices Imaginarias Sol. Fundamt

Fza externa

Fza efectiva

Fza de inercia

FORMULARIO DE INGENIERÍA ANTISÍSMICA Por Maverick Aguirre

𝑆𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑥

𝑆𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 =𝑥

2−𝑆𝑒𝑛2𝑥

4

𝐶𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 =𝑥

2+𝑆𝑒𝑛2𝑥

4

𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥

𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑎𝑥

𝑙𝑛𝑎; 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0

𝑈𝑑𝑉 = 𝑈𝑉 − 𝑉𝑑𝑈

(𝑒𝑢)′= 𝑒𝑢𝑢′

(𝑢. 𝑣)′= 𝑢′. 𝑣 + 𝑢. 𝑣′

𝑙𝑛𝑢´ =𝑢′

𝑢

𝑆𝑒𝑛𝑢′ = 𝑢′𝐶𝑜𝑠𝑢

𝐶𝑜𝑠𝑢′ = −𝑢′𝑆𝑒𝑛𝑢

𝐿𝑜𝑔𝑎𝑢′ =𝑢′

𝑢𝐿𝑜𝑔𝑎𝑢

𝑆𝑒𝑛 𝐴 ± 𝐵 = 𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵± 𝐶𝑜𝑠𝐴 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵

𝐶𝑜𝑠 𝐴 ± 𝐵 = 𝐶𝑜𝑠𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐵 ∓ 𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝐵

𝐶𝑜𝑠𝐴 + 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛𝐴 + 𝐵

2𝐶𝑜𝑠

𝐴 − 𝐵2

𝑆𝑒𝑛2𝐴 + 𝐶𝑜𝑠2𝐵=1

𝑆𝑒𝑛2𝐴 = 2𝑆𝑒𝑛𝐴 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝐴

𝐶𝑜𝑠2𝐴 = 𝐶𝑜𝑠2𝐴 − 𝑆𝑒𝑛2𝐴

𝐶𝑜𝑠2𝐴 = 1 − 2𝑆𝑒𝑛2𝐴

𝑆𝑒𝑛𝐴

2=

1 − 𝐶𝑜𝑠𝐴

2

𝑆𝑒𝑛2𝐴 =1

21 − 𝐶𝑜𝑠2𝐴

𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0

𝑋(𝐻): 𝜆2 +𝜔2 = 0

𝑟1 = 𝜔𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑟2 = 𝜔𝑖 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑋(𝑡) = 𝐴. 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵. 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑥 + 2𝜁𝜔 𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0

𝑋(𝐻): 𝜆2 + 2𝜁𝜔𝜆 + 𝜔2 = 0

𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔 𝜁2 − 1

𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔 1 − 𝜁2𝑖

𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝜁2𝑖

𝑟1,2 = −𝜁𝜔 ± 𝜔𝐷𝑖

𝑟1,2 ∶

𝑟1 = −𝜁𝜔 +𝜔𝐷𝑖 𝑒−𝜁𝜔𝑡𝐶𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡

𝑟2 = −𝜁𝜔 −𝜔𝐷𝑖 𝑒−𝜁𝜔𝑡𝑆𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡

𝑋(𝐻) = 𝐴𝑒−𝜁𝜔𝑡𝐶𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 + 𝐵𝑒−𝜁𝜔𝑡𝑆𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡𝑡 = 0 ;

𝑥(𝑜) 𝑥(𝑜)

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

𝑟1,2 =−𝐵 ± 𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴

𝑟1 = 𝑎 𝑒𝑎𝑡

𝑟2 = −𝑏 𝑒−𝑏𝑡

𝑟1 = 𝑎𝑖 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑟2 = −𝑏𝑖 𝑆𝑒𝑛 𝑏𝑡

𝑟1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑒𝑎𝑡𝐶𝑜𝑠 𝑏𝑡𝑟2 = −𝑐 − 𝑑𝑖 𝑒−𝑐𝑡𝑆𝑒𝑛 𝑑𝑡

𝑟1 = 𝑎 𝑒𝑎𝑡

𝑟2 = 𝑎 𝑡𝑒𝑎𝑡

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑃(𝑡)

Si 𝑃(𝑡) = 𝑎𝑥

𝑋(𝑃) = 𝐴𝑥 ; 𝑋(𝑃) = 𝐴 ; 𝑋(𝑃) = 0

F ma

𝐹 = 𝑚𝑎 𝐹 − 𝑚𝑎 = 0 𝐹 + 𝐹𝐼 = 0 𝐹𝑥 = 0−𝑚𝑎 = 𝐹𝐼

𝑚𝑎 :

−𝑚𝑎 :

𝐹 :

1. SISTEMAS LIBRES

1.1. SIST. LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTOLa Solucion es X(t) = XH

Solución de la EDM

1.2. SIST. LIBRES CON AMORTIGUAMIENTOLa Solucion es X(t) = XH

1. Determinar Ecmax

2. Determinar EpmaxCoeficiente de Amortiguamiento

3. Consevación de energia Ecmax = Epmax

ECU. DEFLEXIÓN ESTATICA

Equivale a la elastica generada por su peso propio

Pag - 02 Pag - 15

SISTEMAS DISCRETOS

DEFLEXION ESTATICA

Por: Maverick Aguirre Jara Por: Maverick Aguirre Jara

CAPITULO II DET. DE LA RTA. DINÁMICA PARA SIST. DE 1 GDLdinámico RAYLEIGH CASO PARTICULAR

𝑚 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0

𝑚 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

𝑥 + 2𝜁𝜔 𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑋(𝑜)

𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑋(𝑡) = −𝜁𝜔𝑡 𝑋(𝑜)𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 + 𝑋 𝑜 + 𝜔𝑋(𝑜)

𝜔𝐷𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑋(𝑜)

𝜔𝑋(𝑜)𝜌 = 𝑋(𝑜)

2 + 𝑋(𝑜)

𝜔

2

𝑋(𝑡) = 𝜌cos(𝜔𝑡 − 𝜃)𝑋(𝑚𝑎𝑥) = 𝜌

𝜔𝐷 = 𝜔 1− 𝜁2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑋(𝑜) − 𝜁𝜔𝑋(𝑜)

𝜔𝐷𝑋(𝑜)𝜌 = 𝑋(𝑜)

2 + 𝑋 𝑜 − 𝜁𝜔𝑋(𝑜)

𝜔𝐷

2

𝑋(𝑡) = −𝜁𝜔𝑡𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝐷𝑡 − 𝜃)

𝑌𝑑(𝑥,𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑍𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝐸𝑐𝑚𝑎𝑥 =1

2𝜔2𝑍𝑚𝑎𝑥

2 0

𝑙

𝑚(𝑥)𝜓 𝑥2 𝑑𝑥

𝐸𝑝𝑚𝑎𝑥 =1

2𝑍𝑚𝑎𝑥 𝑔

0

𝑙

𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝜔2 =𝑔

0

𝑙𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑍𝑚𝑎𝑥 0𝑙𝑚(𝑥)𝜓 𝑥

2 𝑑𝑥

𝑌𝑑 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝜓(𝑥)𝑍𝑚𝑎𝑥

𝜓(𝑥)

𝜔2 =𝑔

0

𝑙𝑚(𝑥)𝑌𝑑(𝑥)𝑑𝑥

0𝑙𝑚(𝑥)𝑌𝑑 𝑥

2 𝑑𝑥

𝜔2 =𝐾∗

𝑚∗ = 𝐾𝑖Δ𝜓𝑖

2

𝑚𝑖𝜓𝑖2

𝜁 =𝐶

𝐶𝑐𝑟

𝐶𝑐𝑟 = 2𝑚𝜔

𝐶 = 2𝑚𝜔𝜁

𝜁 ∶

1. Determinar Ecmax Decremento log (δ) Se utiliza para determinar el amortiguamiento de una estructura consecutiva Es el Ln de 2 amplitudes consecutivas en un mov. Sub amortiguado.

2. Determinar Epmax

3. Consevación de energia Ecmax = Epmax DECREMENTO LOG

ECU. RAYLEIGH

Al determinar la curvatura se genera erroresEn consecuencia se tiene Caso Particular Se conoce 2 amplitudes no consecutivas

1. Asumir una forma de vibrar que cumpla con las condiconesde borde

2. Determinar la FI generado por

3. Det el desplasamiento generado por la FI

4. Determinar la Ecmax

5. Determinar la Epmax

6. Consevación de energia Ecmax = Epmax

ECU. RAYLEIGH MODIFICADO7. Realizar procesos iterativos hasta el paso 6

Realizar las iteracioneshasta que w converga

Pag - 14 Pag - 03

RAYLEIGH MODIFICADO PARA SISTEMAS CONTINUOS

SUPERPOSICIÓN DE SIST. CON AMORTIGUAMIENTO

DECREMENTO LOGARITMICORAYLEIGH PARA SISTEMAS CONTINUOS


𝑌(𝑥,𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑍(𝑡)

𝑍(𝑡) = 𝑍𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑌(𝑥,𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑍𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡



2 0

𝑙

𝑚(𝑥)𝜓 𝑥2 𝑑𝑥



2 0

𝑙

𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥)´´ 2

𝑑𝑥

𝜔2 = 0

𝑙𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥)

´´ 2𝑑𝑥

0𝑙𝑚(𝑥)𝜓 𝑥

2 𝑑𝑥

𝜓(𝑥)´´ = Curvatura

𝑌𝑜(𝑥,𝑡) = 𝜓𝑜(𝑥)𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝜓𝑜(𝑥)

𝜓𝑜(𝑥)𝐹𝐼 = 𝑚(𝑥)

𝑌𝑜(𝑥,𝑡)

𝐹𝐼 = −𝑚(𝑥)𝜔2𝜓𝑜(𝑥)𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡


2𝜔2𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥

2 0

𝑙

𝑚(𝑥)𝜓𝑜 𝑥2 𝑑𝑥


2𝜔2𝑍𝑜𝑚𝑎𝑥

2 𝑍1𝑚𝑎𝑥2

0

𝑙

𝑚(𝑥)𝜓𝑜(𝑥)𝜓1(𝑥)𝑑𝑥

𝑌1(𝑥,𝑡) = 𝜓1(𝑥)𝑍1(𝑡) 𝑍1 𝑡 = 𝑍1𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑌1(𝑥,𝑡) = 𝜓1(𝑥)𝑍1𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝜔2 = 0𝑙𝑚(𝑥)𝜓𝑜 𝑥

2 𝑑𝑥

0

𝑙𝑚(𝑥)𝜓𝑜(𝑥)𝜓1(𝑥)𝑑𝑥

𝜔2 = 0

𝑙𝑚(𝑥)𝜓1 𝑥

2 𝑑𝑥

0𝑙𝑚(𝑥)𝜓1(𝑥)𝜓2(𝑥)𝑑𝑥

𝛿 = 𝐿𝑛𝑋1𝑋2

= 𝐿𝑛𝑋𝑛𝑋𝑛+1

𝑋𝑖 = −𝜁𝜔𝑡𝑖𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝐷𝑡𝑖 − 𝜃)

𝑡2 = 𝑡1+𝑡𝐷 = 𝑡1 +2𝜋

𝜔𝐷

𝛿 =2𝜋𝜔𝜁

𝜔𝐷=

2𝜋𝜁

1 − 𝜁2

𝑡𝑚 = 𝑡1+m𝑡𝐷

𝛿 = 𝐿𝑛𝑋1𝑋𝑚

=2𝜋𝑚𝜉

1 − 𝜉2

2. SISTEMAS FORZADOS 2.1. SIST. FORZADOS SIN AMORTIGUAMIENTO La Solucion es X(t) = XH +XP

Si el sistema no parte del reposoMasa participante (cant. De masa del sist. Cont. Que participa en el movimiento)

Coef. de participación.

Rta dinámica.

Si el sistema parte del reposo

DET. Mo FLECTOR

CASO ζ = 0

A nivel espectralDET. FZA CORTANTE

Cuando Existe resonanciael desplazamiento es grande Dmax se obtiene derivando =0 y falla la estructura

DET. CORTANTE basal

Dimensionar paraEvitar el fenomeno de resonancia, esto se controla con las dimensiones de los elemtos estructurales Coef. sismico

Pag - 04 Pag - 13

RESPUESTA DIN. A NIVEL ESPECTRAL

EVALUACIÓN DE LAS FUERZAS DE SECCIÓN

SISTEMAS CONTINUOS BAJO LA ACCIÓN DEL SISMO

ζ < 20 %

SISTEMA CONTINUO α GDL SISTEMA DISCRETO 1 GDL

El desplazamiento

en la estructura real

EVAL. FZA. DE INERCIA EN UN SIST. CONTINUO

En Ing. Civil


FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

componente

𝑚 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡

𝑥 + 𝜔2𝑥 =1

𝑚𝑃 𝑡

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑋 𝑜

𝜔−

𝑃𝑜Ω

𝑚 𝜔2 − Ω2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 +

𝑃𝑜𝑚 𝜔2 − Ω2

𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝑋(0) = 0 𝑋 𝑜 = 0

𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝑋(0) ≠ 0 𝑋 𝑜 ≠ 0

𝑋(𝑡) =𝑃𝑜

𝑚 𝜔2 − Ω2𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝐷 =𝑋𝑑𝑖𝑛𝑋𝑒𝑠𝑡

𝑋𝑑𝑖𝑛 = 𝑋(𝑡) =𝑃𝑜

𝑚 𝜔2 − Ω2𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝑋𝑒𝑠𝑡 =𝑃𝑜𝐾 𝛽 =

Ω

𝜔

𝐷 =1

1 −Ω2

𝜔2

𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝐷𝑚𝑎𝑥 =1

1 −Ω2

𝜔2

Ω ≠ 𝜔

Ω = 𝜔

𝑋(𝐻) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡

𝑋(𝑃) = 𝐶𝑠𝑒𝑛𝑡𝐶 =

𝑃𝑜𝑚(𝑤2 −2)

𝑋(𝐻) 𝑋(𝑃)


𝐴𝑠𝑢𝑚𝑖𝑟 𝜓(𝑥)

𝑚∗ 𝑍 + 𝐶∗ 𝑍 + 𝐾∗𝑍 = − 𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 𝑌𝑠(𝑡)

𝑙 = 𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝑚∗ 𝑍 + 𝐶∗ 𝑍 + 𝐾∗𝑍 = −𝑙 𝑌𝑠(𝑡)

𝑍 + 2𝜁𝜔 𝑍 + 𝜔2𝑍 = −𝑙

𝑚∗ 𝑌𝑠(𝑡)

𝑙

𝑚∗

𝑍(𝑡) = −1

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗ 𝑒−𝜁𝑤 𝑡 𝑌𝑠(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏

𝑉(𝑡)

𝑍(𝑡) = −1

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗ 𝑉(𝑡)

𝑌(𝑥,𝑡) = −𝜓(𝑥)

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗𝑉(𝑡)

𝑀(𝑥,𝑡) = 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′(𝑥)

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗ 𝑉(𝑡)

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝐼(𝑥)𝜓′′(𝑥)

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗ 𝑃𝑠𝑣

𝑉 =𝑑𝑀

𝑑𝑥

𝑉𝑏 =𝑙2𝜔𝐷

𝑚∗ 𝑉(𝑡) 𝑉𝑚𝑎𝑥 =𝑙2𝜔


𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 =𝜓(𝑥)

𝜔𝐷

𝑙

𝑚∗ 𝑉(𝑡)

𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 =𝜓(𝑥)

𝜔

𝑙


𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 =𝜓(𝑥)𝑙

𝑚∗ 𝑃𝑠𝑑

𝑌 𝑥 𝑚𝑎𝑥 =𝜓(𝑥)𝑙

𝜔2𝑚∗ 𝑃𝑠𝑎

𝐹𝐼 𝑥,𝑡 =𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝜔𝑙

𝑚∗𝑉(𝑡)

𝐹𝐼𝑚𝑎𝑥 =𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝜔𝑙

𝑚∗𝑃𝑠𝑣

𝐹𝐼𝑚𝑎𝑥 =𝑚(𝑥)𝜓(𝑥)𝑙

𝑚∗𝑃𝑠𝑎

𝐶 =𝑃𝑠𝑎

𝑔

𝜔𝐷 = 𝜔

2.2. SIST. FORZADOS CON AMORTIGUAMIENTO La Solucion es X(t) = XH +XPSistema continuo de α gdl

REDUCIR LOS GDL gdl = ngdl = α Se asume una función Para poder resolver manualmente

forma de vibrarEn la actualidad se modela con todos sus gdl

en Prg como ETABS 2013, SAP 2000

COMO ELEGIR 2.2.1. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = PoSen Ωt

Función cualquiera que debe cumplirlas condiciones de borde MASA GENERALIZADA

(condiciones de apoyo)

Elegir 2 ó mas para eliminar RIGIDEZ GENRALIZADA

incertidumbres

mal elegida aumenta la rigidez AMORTIGUAMIENTO GENERL

(K)

adecuada genera la menor ω

CARGA GENERALIZADA

Se desprecia la componente tranciente

mi masas puntualeski reortes puntualesk(x) resortes distribuidosQ+ cargas puntuales Desplazamiento del sueloSR solidos rigidos

Desplazamiento relativo

Pag - 12 Pag - 05

Sistema discreto

SISTEMA SÍSMICO

SISTEMAS CONTINUOS

PARAMETROS GENERALIZADOS


CASO PARTICULAR

𝑚 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡

𝑥 + 2𝜉𝜔 𝑥 + 𝜔2𝑥 =1

𝑚𝑃 𝑡

𝑚∗ = 0

𝑙

𝑚(𝑥) 𝜓 𝑥2 𝑑𝑥 +

𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝜓𝑖2 +

𝑖=1

𝑛

𝐼𝑜𝑖 𝜓𝑖´ 2

𝐾∗ = 0

𝑙

𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥)´´ 2

𝑑𝑥 + 0

𝑙

𝐾(𝑥)𝜓(𝑥)2 𝑑𝑥 +

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖 Δ𝜓𝑖2

𝐶∗ = 0

𝑙

𝐶(𝑥)𝜓(𝑥)2 𝑑𝑥 +

𝑖=1

𝑛

𝐶𝑖 𝜓𝑖2

𝑃∗ = 0

𝑙

𝑃(𝑥,𝑡)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 +

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖𝜓𝑖


𝜓(𝑥)

𝑚∗ = 0

𝑙

𝑚(𝑥) 𝜓 𝑥2 𝑑𝑥

𝐾∗ = 0

𝑙

𝐸𝐼(𝑥) 𝜓(𝑥)´´ 2

𝑑𝑥

𝐶∗ = 0

𝑙

𝐶(𝑥)𝜓(𝑥)2 𝑑𝑥

𝑃∗ = 0

𝑙

𝑃(𝑥,𝑡)𝜓(𝑥)𝑑𝑥

𝜓(𝑥)

𝜓(𝑥)

𝜓(𝑥)

𝜓(𝑥)

𝑋𝐻 = 𝑒−𝜔𝜁𝑡[𝐴 cos𝜔𝐷𝑡 + B sen𝜔𝐷𝑡]

𝑋𝑒𝑠𝑡 =𝑃𝑜𝐾𝛽 =

Ω

𝜔

𝑋𝑃 =𝑋𝑒𝑠𝑡

1 − 𝛽2 2 + 2𝜁𝛽 2 1− 𝛽2 𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 − 2𝜁𝛽𝑐𝑜𝑠Ω𝑡

𝑚 𝑥𝑟 + 𝐶 𝑥𝑟 + 𝐾𝑥𝑟 = −𝑚 𝑥𝑠

𝑥𝑟 + 2𝜁𝜔 𝑥𝑟 + 𝜔2𝑥𝑟 = − 𝑥𝑠

𝑥𝑟:

𝑥𝑠:

𝑚 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝐾𝑥 = 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑜𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝑋𝑝 = 𝜌𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡 − 𝜃)𝜌 =

𝑋𝑒𝑠𝑡

(1 − 𝛽2)2+(2𝜁𝛽)2

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2𝜁𝛽

1 − 𝛽2

a = 𝑋𝑒𝑠𝑡(1−𝛽2)

(1−𝛽2)2+(2𝜁𝛽)2

b = 𝑋𝑒𝑠𝑡2𝜁𝛽

(1−𝛽2)2+(2𝜁𝛽)2ab

𝑋(𝑡) = 𝑋𝐻 + 𝑋𝑃

𝑋(𝑡) = 𝑋𝑃

𝑋𝐻 = 𝑒−𝜁𝜔𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡

𝑋𝑃 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛Ω𝑡 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠Ω𝑡

2.2.2. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = CARGA PERIODICA

Valor aproximado de la envolvente de la Rta maxima

PSEUDO ESPECTRO VELOCIDAD PSV

De la integral de Duhamel para un sistema que parte del reposo

TRANSFORMACIÓN DE CARGA PERIODICA A CARGA ARMONICA POR SERIE DE FOURIER

ECUACIÓN DE PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA ZONA ZRelacion entre Pseudo espectro de aceleración, velocidad y desplazamiento 3 0.4

Coeficiente de amortiguamiento menor al 20% 2 0.3

En Ing. Civil 1 0.15

2.2.3. PARA UNA CARGA DINAMICA P(t) = mt+n TIPO Tp(s) S

S1 0.4 1

S2 0.6 1.2

S3 0.9 1.4

S4 Det. Det.

A NIVEL DE DESPLAZAMIENTOS

UEn Ing. Civil En General A 1.5

B 1.3

C 1

D ** Criterio del Proyectista

A NIVEL DE VELOCIDAD

En Cualquier Caso Regular Irregul.

R 0.75R

9.5 7.125

6.5 4.875

6 4.5A NIVEL DE ACELRACIÓN 8 6

7 5.25En Ing. Civil En General 6 4.5

4 3

3 2.25

7 5.25

Pag - 06 Pag - 11

PSEUDO ESPECTRO DE RESPUESTA

PARÁMETROS DEL SUELO

FA

CT

OR

D

E

ZO

NA

Pórticos de Acero

Muros de ductilidad limitada

Albañilería Armada o Confinada

Const. de Madera (Por sfzos adm.)

DESCRIPCIÓN

Roca o suelos muy rígidos

Suelos Intermedios

Flexible o estratos gran esp.

Condic. Excepcionales

CATEGORÍA DE EDIFICACIONES

Edificaciones Esenciales

Edificaciones Importantes

Edificaciones Comunes

Edificaciones Menores

Struct Acero Arriostres Excéntrc.

Struct. Acero con Arriostres Cruz

Pórticos de Concreto Armado

Sistema Dual

Muros Estructurales

PARAMETROS SÍSMICOS


RELACIÓN ENTRE PSEUDO SPECTRO Y SPECTRO DE RTA.

Sistema Estructural

SISTEMAS ESTRUCTURALES

𝑃𝑠𝑎 = 𝜔𝑃𝑠𝑣 = 𝜔2𝑃𝑠𝑑

𝜉 < 20%

𝑃 𝑡 =𝑎𝑂2+

𝑛=1

𝑛

𝑎𝑛𝐶𝑜𝑠2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑝+

𝑛=1

𝑛

𝑏𝑛𝑆𝑒𝑛2𝜋𝑛𝑡

𝑎𝑜 =1

𝑇𝑝 0

𝑇𝑝

𝑃 𝑡 𝑑𝑡

𝑎𝑛 =2

𝑇𝑝 0

𝑇𝑝

𝑃 𝑡 𝐶𝑜𝑠2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑝𝑏𝑛 =

2

𝑇𝑝 0

𝑇𝑝

𝑃 𝑡 𝑆𝑒𝑛2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑝

𝑋𝑝 =1

𝑚𝐾𝑎𝑜 +

𝑛=1

𝑛1

1 − 𝛽𝑛2 2𝜁𝛽𝑛

𝑎𝑛2𝜁𝛽𝑛 + 𝑏𝑛 1 − 𝛽𝑛2 𝑆𝑒𝑛

2𝜋𝑛𝑡𝑇𝑝

+ 𝑎𝑛 1 − 𝛽𝑛2 − 𝑏𝑛2𝜁𝛽𝑛 𝐶𝑜𝑠

2𝜋𝑛𝑡𝑇𝑝

𝑋(𝑡) = 𝐷𝑢ℎ𝑎𝑚𝑒𝑙 =−1

𝜔𝐷 0

𝑡

𝑒−𝜁𝜔 𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏

𝑋𝑚𝑎𝑥 =1

𝜔𝐷 0

𝑡


𝑃𝑠𝑣

𝑋(𝑡) ∶ 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑃𝑠𝑣 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑢𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑃𝑠𝑎 =𝑍𝑈𝐶𝑆

𝑅𝑔 𝐶 = 2.5

𝑇𝑆𝑇𝑃

≤ 2.5

𝜉 < 20%

𝜁 = 0 ; 𝑆𝑑 = 𝑃𝑠𝑑

𝜁 ≠ 0 ; 𝜔𝐷 ≈ 𝜔 , 𝑆𝑑 ≈ 𝑃𝑠𝑑

𝜁 = 0 ; 𝑆𝑑 = 𝑃𝑠𝑑

𝜁 ≠ 0 ; 𝑆𝑑 ≠ 𝑃𝑠𝑑

𝜁 = 0 ; 𝑆𝑣 ≠ 𝑃𝑠𝑣 𝜁 ≠ 0 ; 𝑆𝑣 ≠ 𝑃𝑠𝑣

𝜉 < 20%

𝜁 = 0 ; 𝑆𝑎 = 𝑃𝑠a

𝜁 ≠ 0 ; 𝑆𝑎 ≈ 𝑃𝑠a

𝜁 = 0 ; 𝑆𝑎 = 𝑃𝑠a

𝜁 ≠ 0 ; 𝑆𝑎 ≠ 𝑃𝑠a

CASO I Carga impulsiva, son de gran intensidad pero de corta duraciónz = 0 td : Tiempo de duración de la carga impulsiva

Si parte del reposo

CASO II Movimiento forzadoMovimiento libre

z ≠ 0 se mueve por el se mueve por

impulso de la carga inercia

dinámica

Es la envolvente de la respuesta maximaCada sismo tiene un espectro de respuesta

De la Integral de Duhamel

ESPECTRO DESPLAZAMIENTO Sd1. Asumir un coef de amort. = a%2. Asumir una serie de periodos de vibración T1, T2, …..Tn3. Se obtiene frecuencias angulares del sit. W1, W2,……..Wn CONDENSACIÓN ESTÁTICA4. Se obtiene la integral de Duhamel J1, J2,……Jn Mi = Mi' = 6EI∆/L^25. Por lo tanto se tiene X(t) X1, X2,….Xn6. Se obtiene respuesta max Xmx1,Xmx2,….Xmxn Ri = Ri' = 12EI∆/L^37. Graficar la envolvente valores max)

ESPECTRO VELOCIDAD SvMi = 4EIθ/L CONDENSACIÓN DINÁMICA

Mi' = 2EIθ/LDe forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento Ri = Ri' = 6EIθ/L^2

ESPECTRO ACELERACIÓN Sa

De forma similar a los pasos para determinar el espectro desplazamiento Ni = Ni' = ∂EA/L

Pag - 10 Pag - 07

FORMULAS DE ANALISIS ESTRUCTURAL

Corta Duración Se da generalmente

en la fase II La

fase I se estudia

para det.

Condicion inicial

de fase II

No se aprecia el efecto de la

fza Amort. FA=CX Por eso

en el cal. Aprox. Se puede

despreciar la Fza Amort.(FA)

No depende de la carga Dinamica

depende del area que genera la carga

dinamica.

PERIODOS TRESPUESTA

MAXIMAFZAS

AMORTIGUADORAS RESPUESTA DINÁMICA

Larga Duración

Se da en la fase IInfluye la Fza Amortiguadora

RESPUESTA ANTE FUERZAS IMPULSIVAS


DUHAMEL PARA SISMOS

ESPECTRO DE RESPUESTA

𝑋(𝑡) = −1

𝑊𝐷 𝑒−𝜁𝑤𝑡 𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝑊𝐷 𝑡𝑑𝜏

𝑋(𝑡) = −1

𝜔𝐷 0

𝑡

𝑋𝑠 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑋(𝑡) = −1

𝜔𝐷 0

𝑡


𝜔𝐷 = 𝜔 1 − 𝜁2 𝑡 = 𝑡 − 𝜏

𝑚 𝑥𝑟 + 𝑘𝑥𝑟 = −𝑚 𝑥𝑠

𝑥𝑟 + 𝜔2𝑥𝑟 = − 𝑥𝑠

𝑚 𝑥𝑟 + 𝐶 𝑥𝑟 + 𝑘𝑥𝑟 = −𝑚 𝑥𝑠

𝑥𝑟 + 2𝜁𝜔 𝑥𝑟 + 𝜔2𝑥𝑟 = − 𝑥𝑠

𝑃(𝑡) = −𝑚 𝑥𝑠

𝑋(𝑡) =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡−

1


𝑋(𝑡) =𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2=

𝑑2

𝑑𝑡2−

1


𝑡𝑑 >𝑇

4

𝑡𝑑 ≤𝑇

4𝑋𝑡𝑑 ≈ 0

𝐼 = 𝑚 𝑋(𝑡𝑑) −𝑚 𝑋(0)

𝐼 = 𝑚 𝑋(𝑡𝑑) 𝑋(𝑡𝑑) =𝐼

𝑚

𝐴1 = 𝐴2

𝐾𝐿𝐿 𝐾𝐿𝜃𝐾𝜃𝐿 𝐾𝜃𝜃

𝐾 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 = 𝐾 𝐿𝐿 − 𝐾 𝐿𝜃[𝐾𝜃𝜃]−1 𝐾 𝜃𝐿

Mi' Mi

Ri' RiL

∆

Ri' RiL

θMiMi

Ni' Ni

L

∂

𝐾𝐿𝐸 =

𝑖𝑝

# 𝑃ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

[𝐶]𝑖𝑝𝑇 [𝐾𝐿]𝑖𝑝[𝐶]𝑖𝑝

[𝐶𝑖] = 𝐶𝑜𝑠𝛼𝑖 , 𝑆𝑒𝑛𝛼𝑖 , 𝑑𝑖

3

12

Respuesta maxima FASE II Metodo que nos permite hallar la frecuencia angular del sistema ω

En este caso el impulso es de tiempo τ

FASE I 0 ≤ t ≤ td

Para det. Sus condiciones finales de fase I, que sonlas condiciones iniciales de la fase II.

CASO 01

≈ 0 Por que el tiempo es corto

Si el sistema no parte del reposo

I

Si parte del reposo Si el sistema parte del reposo

FASE II t > tdCorresponde a un movimiento libre parte de td CASO 02

0Si el sistema no parte del reposo

Reemplazando cond. Iniciales se det. A y B.Si el sistema parte del reposo

Pag - 08 Pag - 09

IMPULSOS DE CORTA DURACIÓN ( I )


INTEGRAL DE DUHAMEL

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑜)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑋 𝑜

𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 +

1

𝑚𝜔 0

𝑡

𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑋(𝑡) =1

𝑚𝜔 0

𝑡

𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑋(𝑡) =−𝜁𝜔 𝑡 𝑋(𝑜)𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 + 𝑋 𝑜 + 𝜁𝜔𝑋(𝑜)

𝜔𝐷𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷𝑡 +

1

𝑚𝜔𝐷 0

𝑡

−𝜁𝜔 𝑡 𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏

𝑋(𝑡) =1

𝑚𝜔𝐷 0

𝑡

−𝜁𝜔 𝑡 𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝐷 𝑡𝑑𝜏


𝑚 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡

𝜁 = 0

𝜁 ≠ 0

𝑋(0) ≠ 0 𝑋 𝑜 ≠ 0

𝑋(0) ≠ 0 𝑋 𝑜 ≠ 0

𝑋(0) = 0 𝑋 𝑜 = 0

𝑋(0) = 0 𝑋 𝑜 = 0

𝑡 = 𝑡 − 𝑡𝑑

𝑡 = 𝑡 − 𝜏

𝑚 𝑥 + 𝐶 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑃 𝑡

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎 𝐶 𝑥

𝑡𝑑 <𝑇

4

𝑡 = 𝑡𝑑 − 𝑡

𝑡 = 𝑡 − 𝑡𝑑

𝑚 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0

𝑋(𝑡) = 𝑋𝐻 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑋(𝑡) = 𝑋𝑜𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑋(𝑜)

𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡𝑑)𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 + 𝑋(𝑡𝑑)

𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡𝑑)

𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 =

𝐼

𝑚𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡

𝑋𝑚𝑎𝑥 =𝐼

𝑚𝜔


0

𝑡𝑑

𝑚 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 + 0

𝑡𝑑

𝐾𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 0

𝑡𝑑

𝑃(𝑡)𝑑𝑡

𝑚 𝑥 𝑡𝑑 −𝑚 𝑥 0 = 𝐼

𝑚 𝑥 𝑡𝑑 = 𝐼 𝑂𝑗𝑜 𝑥 𝑡𝑑 ≈ 0

𝐼 = 𝐴 = 𝑃(𝑡)Δ𝜏

𝑡𝑑 = 𝜏

Δ𝑥𝑖 = 𝑃 𝜏𝑖Δ𝜏𝑖

𝑚𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔(𝑡 − 𝜏𝑖)

𝑋(𝑡) = Δ𝑥𝑖 = 𝑃 𝜏Δ𝜏

𝑚𝜔𝑠𝑒𝑛𝜔(𝑡 − 𝜏)

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 Δ𝜏 .0

. .

. . 𝑋(𝑡) =

1

𝑚𝜔 𝑃 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

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