Formulario di Fluidodinamica con definizioni e costanti 1

FORMULARIO

- EQUAZIONE DEL TRASPORTO DI REYNOLDS

dSnubdVdtbddttdBVo So

)*(*)/)((/)( ∫ ∫+= ρρ

Dove B(t) è la grandezza fisica estensiva e risulta essere uguale a :

∫=)(

)(*)(tV

dVtbtB ρ

Dove Voè il volume di controllo(regione di osservazione fissa nello spazio) mentreV(t) è il volume

materiale(cioè la porzione di materia che seguiamo durante il moto).

- EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA( O DELLA PORTATA

MASSICA)

Ipotesi:

-Flusso stazionario;

-Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa;

outMinM__

=

SoutUoutoutSinUinin **** ρρ =

Tale formula è ottenuta considerando che per come abbiamo def. il volume materiale la massa

non può che conservarsi quindi: d M / d t =0 e quindi applicando Reynolds otteniamo la

formula sopra citata

- EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

Ipotesi:

-Flusso stazionario;

-Caratteristiche del flusso costanti sulle suo attraverso le quali vi è flusso di massa.

Questa formula è stata ricavata considerando che per un sistema la derivata fatta rispetto al

tempo dalla quantità di moto risulta essere uguale alla risultante delle forze esterne agenti sul

sistema cioè: d Q / d t = F_ e poi applicando sempre il teorema di Reynolds.

gVSininiUiiUiFn

i

ρρ −+=∑=

)*)Pr*)*(**((1

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Dove « i « sono le superfici attraverso le quali vi è flusso di massa e F_ è la risultante delle

forze (è in vettore quindi avrà due componenti essendo l’espressione precedente una relazione

vettoriale e quindi andrà proiettata sugli assi) che devo applicare per tener fermo il condotto.

- EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI CHIUSI

Ipotesi:

-Flusso stazionario;

-M costante;

-Potenza termica e meccanica costanti nel tempo;

-sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze all’interno del volume di

controllo(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto).

tQLegzuegzum TinizTfin ∆+=++−++−−

*)(])2/()2/[* 22

Dove __

QeL sono la potenza meccanica e termica.

etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz)

Infatti come sappiamo l’energia interna dipende solo dalla temperatura(per le sostanze

incomprimibili e per i gas perfetti) e non dal tipi di trasf. Effettuata; quindi se io considero ue trasf.

Per le quali si ha la stesa variazione di temperatura la variazione di energia interna sarà

uguale.QUINDI LA VARIAZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA QUALSIASI TRASF.

SARA’ UGUALE ALLA VARIZIONE DI ENERGIA INTERNA IN UNA TRASF. ISOCORA

NELLA QUALE APPUNTO etfin-et iniz=Cv *( Ttfin-Ttiniz).

- EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA PER I SISTEMI APERTI

Ipotesi:

-Flusso stazionario;

-una sola sup di ingrasso e una sola suo di uscita ;

-sistema caratterizzato da un unico valore delle sue grandezze sulle sup attraverso le quali vi è

flusso di massa(cioè la grandezza può variare nel tempo ma non varia da punto a punto sulle

sup.).

−−

+=+++−+++ QmLPegzuPegzum SinSout ])/2/()/2/[* 22_

ρρ

mL_

è il lavoro meccanico depurato del termine di pressione ed_

m è la portata massica.

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Tale relazione dev’essere verificata come per l’eq, di conservazione della massa in ogni istante

fra ingresso e uscita.

L’eq. di conservazione dell’energia per i sistemi aperti può anche essere scritta in altro modo;

infatti l’espressione fra parentesi quadre è un bilancio di energia fra ingesso e uscita

ESPRESSO PER UNITA’ DI MASSA. Allora il volume specifico v =V/m =1/ ρ ; di

conseguenza P/ ρ =P* v Ricordandoci che l’entalpia( che corrisponde al calore scambiato in

una trasf. Isobara) per unità di massa è def come : h=P *v +e e allora

P / ρ +e=h e quindi la formula precedente puo essere riscritta utilizzando l’entalpia h :

h= P *v + e = Cp * ∆ T

−−

+=++−++ QmLhgzuhgzum SinSout ])2/()2/[* 22_

- EQUAZIONE DI BERNOULLI

Ipotesi:

-Flusso stazionario;

-Forze di volume conservative;

-forze viscose trascurabili;

-densità ρ=cost

tPgzu cos/2/2 =++ ρ

- LEGGE DI STEVINO

La pressione varia solo con la quota se il fluido è fermo e allora se mi muovo all’interno dello

stesso fluido , punti aventi la stessa quota devono avere la stessa pressione ( cioè le suo.

Isopressione sono sup. isolivello) :

P(y)= Po + ρ * g * h

L’eq di Bernoulli si applica fra due punti che si trovano sulla stessa linea di corrente ed è una

sorta di legge di conservazione dell’energia ristretta ai soli temini meccanici(manca infatti

l’energia interna per unità di massa“e”)

- LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI

P * V = m* R* T

Oppure : P*V = n *ℜ * T

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Dove R è la costante del gas ( ad esempio per l’aria R= 287 J/ (Kg *K )) mentre ℜ è la

costante universale del gas e vale ℜ =8314 J/ (Kmole *K ).

Su dimostra che la costante di un gas si calcola facendo il rapporto fra la costante universale e

la massa molare del gas ( massa in Kg di una quantità di materia pari ad una Kmole)che per

l’aria vale M=28,97 Kg/Kmole

R= ℜ / M=

)*/(287Kg/Kmole 28,97

)K * (KmoleJ/ 8314 KKgJ=

Un’altra formulazione della legge di stato dei gas perfetti è:

P/ ρ = R* T

Ricordiamo inoltre che l’aria è un gas biatomico quindi :

Cv= 5\2 R

- TRASFORMAZIONE ISOTERMA(T=COST)

P * V= COST

P/ p = COST

- TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Contiene in se tutte e tre le trasf e infatti per k= 0 otteniamo la trasf. Isobara, per k=1

abbiamo la trasf. Isoterma e per k =infinito otteniamo la trasf isocora):

P * KV = COST

Oppure l’altra formula è:

K

P

ρ=COST

Oppure:

k

k

i

f

i

f

P

P

T

T 1

)(

−

=

COSTANTI

DENSITA’

Densità è def come il rapporto fra la massa e il volume della sostanza cioè:

ρ = M / V

Aria

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ρ =1,23 Kg / m^3

Acqua

ρ =1000 Kg / m^3

CALORE SPECIFICO:

E’ def. come il calore da fornire in una ben precisa trasf. Per avere una variazione unitaria di

temperatura espresso per unità di massa ; il calore specifico è quindi una funzione di linea

quindi fissato lo stato( caratterizzato per un sistema semplice da due grandezze fisiche intensive

e indip.) avremo un valore di calore specifico per ogni trasd. Che si può effettuare partendo da

quello stato.

Cs= (d q / d T)trasf.

Quelli tabellati sono il calore specifico per una trasf. Isocora e isobara nell’ipotesi che il

lavoro scambiato siansolo lavoro di variazione di volume.PER L’ARIA TALE VALORI SONO:

ARIA

Cp= 718 J / Kg*K

Cv=1005 J / Kg*K

Ricordando sempre che Cp=Cv +R per la relazione di Mayer valida per i gas perfetti.

Per i liquidi essendo il modulo di comprimilità elevato ( quindi bisogna applicare delle enormi

varizioni di pressione per avere piccole variazioni relative di volume specifico) e allora

supporremo che tutte le trasf siamo a volume costante e quindi abbiamo solo il Cs.

ACQUA

Cs= 4186,8 J / Kg*K

EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA:

1 Kcal corrisponde al calore da fornire a 1 kg d’acqua per aumentare la sua temperatura di 1C in particolare da 14,5C a 15,5 C.

Essa equivale in Joule a:

1 Kcal= 4186,8 J

CAVALLO VAPORE:

Def come la potenza sviluppata da un cavallo per sollevare un peso di 75 Kgforza alla velocità di

1 m/sec.

Potenza= L/ t = ( F*s)/ t= F* v

1 Cvapore = 735 W

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