Formulaire 1 – Fonctions circulaires,...
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Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2016/2017
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Formulaire 1 – Fonctions circulaires, trigonométrie
• Fonctions trigonométriques
|
|cos(x)
sin(x)tan(x)
1
i
U
a
b = a cos(θ)
θ
c = a sin(θ)
Dans le cercle trigonométrique :
sin(x) = ordonnée cos(x) = abscisse tan(x) = voir dessin
Géométrie du triangle :
sin(θ) =côté opposéhypothénuse
=c
acos(θ) =
côté adjacenthypothénuse
=b
atan(θ) =
côté opposécôté adjacent
=c
b=
sin(x)
cos(x)
| | | | | | | | | | | | |
||
|
x 7→ sin(x)x 7→ cos(x)
π
2
π
3π
2−π
2−π
− 3π
2
1
−1
x 7→ tan(x)
| | | | | | | | | | | | |
||
||
||
|
π
2
π 3π
2−π
2−π− 3π
2
1
−1
• Dérivées
d
dxcos(x) = − sin(x)
d
dxsin(x) = cos(x)
d
dxtan(x) = 1 + tan2(x) =
1
cos2(x).
• Valeurs particulières
0π
6
π
4
π
3
π
2
sin
cos
tan
01
2
√2
2
√3
21
1
√3
2
√2
2
1
20
01√3
1√3 −
1
• Relations remarquables
sin(x+ 2π) = sin(x) cos(x+ 2π) = cos(x)
sin(x+ π) = − sin(x) cos(x+ π) = − cos(x) tan(x+ π) = tan(x)
sin(
x+π
2
)
= cos(x) cos(
x+π
2
)
= − sin(x) tan(
x+π
2
)
= − 1
tan(x)
sin(π
2− x
)
= cos(x) cos(π
2− x
)
= sin(x) tan(π
2− x
)
=1
tan(x)
• Principales formules de trigonométrie
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b d’où :
sin(2a) = 2 sina cos a cos(2a) = 2 cos2(a)− 1
sin2 a =1− cos 2a
2cos2 a =
1 + cos 2a
2
sin p+ sin q = 2 sinp+ q
2cos
p− q
2cos p+ cos q = 2 cos
p+ q
2cos
p− q
2
sinx =2t
1 + t2cosx =
1− t2
1 + t2tanx =
2t
1− t2où t = tan
t
2.
• Fonctions sinusoïdales
∗ Ce sont les fonctions définies par t 7→ f(t) = A sin(ωt+ ϕ) ou f(t) = A cos(ωt+ ϕ).
∗ A est l’amplitude ; ω est la pulsation ; ϕ est la phase.
∗ Fréquence : f = ω
2πPériode : T = 2π
ω.
∗ Changement d’origine t′ = t− t0 ; on obtient une autre sinusoïde : g(t) = A sin(ωt′ + ϕ+ ωt0) :
même amplitude, même pulsation, phase augmentée de ωt0 (de même avec cos.
∗ Déphasage entre deux sinusoïdes de même pulsation f(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) et g(t) = A2 sin(ωt+ ϕ2) :
c’est la quantité ϕ2 − ϕ1, invariant par changement d’origine.
∗ Les deux sinusoïdes A sin(ωt+ ϕ) et A cos(ωt+ ϕ) sont déphasées l’une de l’autre de π
2.
∗ Dérivée :d
dtA sin(ωt+ ϕ) = Aω cos(ωt+ ϕ),
d
dtA cos(ωt+ ϕ) = −Aω sin(ωt+ ϕ)
Ce sont encore des sinusoïdes. Ne pas oublier le facteur ω (dérivée composée).
∗ Autre représentation des sinusoïdes :
a sin(ωt) + b cos(ωt) = A sin(ωt+ϕ) = A cos(ωt+ϕ′) où A =√
a2 + b2 et (cos(ϕ), sin(ϕ)) =
(
a
A,b
A
)
,
Si a > 0 et b 6= 0, ϕ = Arctan
(
b
a
)
= Arcsin
(
b
A
)
. De même :
a sin(ωt) + b cos(ωt) = A cos(ωt+ ϕ′)A où A =√
a2 + b2 et (cos(ϕ), sin(ϕ)) =
(
b
A,− a
A
)
,
Si a > 0 et b 6= 0 : ϕ = −Arctan
(
b
a
)
= −Arccos
(
b
A
)
.
∗ Somme de deux sinusoïdes de même amplitude et même pulsation :
A sin(ωt+ ϕ1) + A sin(ωt+ ϕ2) = A′ sin
(
ωt+ϕ1 + ϕ2
2
)
où A′ = 2 cosϕ2 − ϕ1
2
∗ Produit de deux sinusoïdes de même pulsation :
A1 sin(ωt+ ϕ1)A2 sin(ωt+ ϕ2) =1
2A1A2(cos(ϕ2 − ϕ1)− cos(2ωt+ ϕ1 + ϕ2)).
À une constante additive près, on obtient une sinusoïde de fréquence deux fois plus importante, donc de
période deux fois plus petite.
Valeur moyenne :1
T
∫
T
0
A1 sin(ωt+ ϕ1)A2 sin(ωt+ ϕ2) dt =1
2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1).
∗ Cas particulier :
sin2(ωt) =1
2− 1
2cos(2ωt), cos2(ωt) =
1
2+
1
2cos(2ωt),
1
T
∫
T
0
cos2(ωt) dt =1
T
∫
T
0
cos2(ωt) dt =1
2.
2