Parte 1: segnali e sistemiNota per luso del formulario: possibile scrivere ulteriori formule solo negli spazi riservati a talescopo, contrassegnati da un riquadro con la dicitura Spazio riservato a formule personali.1.2 Principali notazioni utilizzateN insieme dei numeri naturali 1, 2, . . . , N0 =N0 insieme dei numeri naturali, zero incluso 0, 1, 2, . . .Z insieme dei numeri interi relativi . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .R insieme dei numeri realiR+ =]0, [ insieme dei numeri reali positivi (zero escluso)R =] , 0[ insieme dei numeri reali negativi (zero escluso)R =R, insieme ampliato dei numeri reali1.3 Segnali elementari e denizioni fondamentaliSegnali elementariGradino:u(t) =_1, se t 0;0, altrimenti .u(n) =_1, se n 0;0, altrimenti .Signum:sgn(t) =_1, se t 0;1, altrimenti .sgn(n) =_1, se n 0;1, altrimenti .Finestra rettangolare:rect(t) =_1, se [t[ 0.5;0, altrimenti .RN(n) =_1, se n 0, 1, . . . , N1};0, altrimenti .2 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 2.0 (9 CFU)Finestra triangolare:(t) =_1[t[ , se [t[ < 1;0, altrimenti .B2N(n) =1[nN[N, se n 0, . . . , 2N1;0, altrimenti .Impulso:(t) (impulso di Dirac) una distribuzione (n) =_1, se n = 0;0, altrimenti .1.3.1 Propriet elementari dellimpulso di Dirac (t)(a) Area unitaria:_+(t)dt = 1.(b) Campionamento:_+(t t0)x(t)dt = x(t0), t0 R, x(t) continua in t0.(c) Prodotto: x(t)(t t0) = x(t0)(t t0), t0 R, x(t) continua in t0.(d) Parit: (t) =(t).(e) Cambiamento di scala: (at) =1[a[(t), a R0.(f) Derivazione:_+_ dndtn (t)_x(t)dt = (1)n_ dndtnx(t)_t=0, n N, x(t) derivabile no allor-dine n con derivata n-esima continua in t = 0.(g) Integrazione: u(t) =_t(u)du.(h) Integrazione denita:_ba(t)x(t)dt =_x(0) , se a < 0 < b;0, se a > 0 oppure b < 0; a 0.3. Disuguaglianza di Chebishev: Sia X una v.a. con media e varianza 2nite. Si ha:P([X [ ) 22per ogni > 0.2.4.17 Variabili aleatorie discrete notevoliNome DF Media Varianza Momenti e momenti centralidella distribuzione n= E(Xn); n= E[(X )n]Uniforme discreta p(k) =1NN+12N21123 =N(N+1)24k = 1, 2, . . . , N 4 =(N+1)(2N+1)(3N2+3N1)30Bernoulli p(k) =_q, k = 0p, k = 1p pq n = p, n NX Bern(p) p [0, 1], q = 1pBinomiale p(k) =_nk_pkqnknp npq 3 = npq(qp)X B(n, p) k = 0, 1, . . . , n, 4 = 3n2p2q2+npq(16pq)p [0, 1], q = 1pBinomiale negativa p(k) =_r+k1k_prqk rprqp23 =r(q+q2)p3X NB(r, p) k N0, r N, 4 =r(q+(3r+4)q2+q3p4p [0, 1], q = 1pGeometrica p(k) = pqk1 1pqp23 =q+q2p2X Geom(p) k N, 4 =q+7q2+q3p4p [0, 1], q = 1pPoisson p(k) =kk! e 3 =X Poiss() k N0, 4 = +32> 02.4 Variabile aleatoria 272.4.18 Variabili aleatorie continue notevoliNome pdf Media Varianza Momenti e momenti centralidella distribuzione n= E(Xn); n= E[(X )n]Uniforme f (x) =_1ba, x [a, b]0, altrovea+b2(ba)212n =_0, n dispari(ba)n2n(n+1), n pariX U(a, b) < a < b < +Gaussiana o normale f (x) =12e(x)222 2n =_0, n disparin(n1)!!, n pariX N(, ) R, > 0,Esponenziale f (x) = exu(x)112n =n!nX Exp() > 0,Laplace f (x) =2 e[x[022n =_0, n disparin!n , n pariX Lap() > 0,Rayleigh f (x) =2xbex2b u(x)_b4b_14_n = bn/2n2_n2_X Rayleigh(b) b > 0, (x) funzione gamma eulerianaSpazio per formule personali28 Formulario di Teoria dei Segnali (Gelli-Verde) - ver. 2.0 (9 CFU)2.4.19 CDF della v.a. gaussiana e funzione G(x)Se X N(, ), allora F(x) =G_x_, con G(x) =12_xeu22du.1. G() = 0, G(+) = 1, G(0) =12.2. G(x) una funzione monotona strettamente crescente.3. G(x) = 1G(x).4. G(x) =12_1+erf_x2__, con erf(x) =2_x0eu2du (funzione di errore).2.4.20 Tabella dei valori della funzione G(x)x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.75490.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8016 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83801.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8718 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88361.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9083 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9509 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9758 0.9762 0.97672.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9989 0.9980 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995Pervaloridix < 0, siusilarelazione G(x) = 1 G(x), pervaloridix > 3.29siusilapprossimazioneG(x) 11x2 ex22 .2.5 Coppie di variabili aleatorie 292.5 Coppie di variabili aleatorie2.5.1 Funzione di distribuzione cumulativa (CDF) congiuntaLa funzione di distribuzione cumulativa (CDF) congiunta di una coppia (X,Y) di vv.aa. :F(x, y) = P(X x,Y y), (x, y) RR2.5.2 Propriet della CDF congiunta1. F(, y) = 0, F(x, +) = 0, F(+, +) = 1.2. P(x1 < X x2,Y y) = F(x2, y) F(x1, y); P(X x, y1