ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO I – PROBABILIDADES

1.4 – Álgebra dos acontecimentos

União de acontecimentos:

Intersecção de acontecimentos:

Acontecimentos complementares:

Acontecimentos incompatíveis:

Propriedades dos acontecimentos

1) Associatividade:

2) Comutatividade:

3) Distributividade:

4) Leis de De Morgan: ;

1.5 – Conceitos de Probabilidade

Abordagem clássica de Probabilidade

a = número de casos (resultados) favoráveis

b = número de casos (resultados) desfavoráveis

1.6 – Análise combinatória

Permutações simples (sem repetição):

Permutações completas (com repetição): Permutações – n.º de elementos que se podem formar com n

elementos

Arranjos simples (sem repetição):

Arranjos completos (com repetição):

Arranjos – n.º de sequências que se podem formar com p dos n

elementos

Combinações simples (sem repetição):

Combinações completas (com repetição):

Combinações – n.º de agrupamentos que se podem formar com p

dos n elementos, considerando-se distintos dois agrupamentos

quando diferem entre si na natureza dos elementos que deles façam

parte.

1.7 – Medida de Probabilidade e Axiomática de

Kolmogorov

A1 –

A2 –

A3 – Em acontecimentos incompatíveis:

1 – ;

2 –

3 –

4 –

5 –

6 –

1.8 – Acontecimentos independentes

- Se A e B são mutuamente exclusivos, A e B são dependentes

- Se A e B são independentes, A e B não são mutuamente

exclusivos

- Dois acontecimentos não podem ser simultaneamente

independentes e mutuamente exclusivos

Para 3 acontecimentos A, B e C:

1)

2)

3)

4) Se uma destas proposições não for satisfeita, os acontecimentos

não são independentes

Acontecimentos dependentes

1.9 – Probabilidade condicionada

1.10 – Teorema da Soma

Se A e B forem mutuamente exclusivos:

Se A e B forem compatíveis:

1.11 – Probabilidade da Intersecção

Teorema do Produto para Acont. Dependentes

Para 3 acontecimentos:

Para n acontecimentos:

Teorema do Produto para Acont. Independentes

Para n acontecimentos:

1.12 – Teorema da Probabilidade Total

Sejam acontecimentos que formam S.

Seja, B, tal que :

1.13 – Teorema de Bayes

Para 2 acontecimentos, tem-se:

ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

2.2 – Função de distribuição

Propriedades da função de distribuição:

1)

2)

3)

4) É uma função contínua à direita

5)

6)

2.3 – Variáveis Aleatórias Discretas

Propriedades da função de probabilidade:

1)

2) Caso n finito,

Caso n infinito,

2.4 – Variáveis Aleatórias Contínuas

Propriedades da função densidade de probabilidade:

1)

2)

3)

4)

Observações:

1)

2)

3)

2.5 – Valor Esperado de V.A.

Propriedades do valor esperado: (X, Y são duas v.a. e K uma constante real)

1) E(K) = K

2) E(K.X) = K.E(X)

3) E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

4) E(X,Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem independentes

2.6 – Variância de V.A.

Propriedades da variância (X, Y são duas v.a. e K uma constante real)

1) V(K) = 0

2) V(K.X) = K2.V(X)

3) V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem

independentes

4) V(X) = E(X2)-E

2(X)

5) Se X é uma v.a. tal que E(X) = µ e V(X) = σ2, então

a v.a. tem E(W) = 0 e V(W) = 1

Desvio padrão:

Observações:

ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO III – DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE

3.1 – Distribuições Discretas

Distribuição Uniforme:

Distribuição de Bernoulli:

Distribuição Binomial:

Aditividade nas Distribuições Binomiais

Observação:

Distribuição de Poisson:

Aditividade nas distribuições de Poisson

A distribuição Binomial converge para a distribuição de

Poisson, quando e , mantendo-se

3.2 – Distribuições contínuas

Distribuição Normal:

Aditividade na Distribuição Normal

Corolário 1: Se são v.a.

independentes em que , então

Corolário 2: Se , então

, onde

Aproximação da distribuição Binomial à distribuição

Normal (quando )

Ou seja,

Aproximação da distribuição Poisson à distribuição

Normal (quando )

Ou seja,

ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO IV – DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM

Estatísticas importantes:

; Sn - total

4.6 - Teorema do limite central

Corolário 1 (teorema de De Moivre e Laplace)

4.7 – Distribuições Amostrais Teóricas

Se a população não tem uma distribuição Normal ou a

sua distribuição é desconhecida:

Se :

Se for uma grande amostra, :

4.8 – Distribuições amostrais mais importantes

4.8.1 – População Bernoulli (proporção)

Estatísticas importantes

Amostras de pequena dimensão, :

Amostras de grande dimensão, :

4.8.2 – População Bernoulli (duas proporção)

Para duas populações de Bernoulli onde são extraídas

duas amostras independentes de grande dimensão,

Para :

4.8.3 – População Normal

4.8.3.1 – Distribuição da Média amostral quando σ2

é conhecida

4.8.3.2 – Distribuição da variância amostral

4.8.3.3 – Distribuição da média amostral quando σ2

é desconhecida

4.8.3.4 – Distribuição da diferença entre médias

amostrais

Duas amostras independentes de duas populações

normais

Caso 1: e são conhecidas

Caso 2: e são desconhecidas, mas

Caso 3: e são desconhecidas, mas diferentes e

com e

Caso 4: e são desconhecidas, mas diferentes e

com e

Onde é o maior inteiro contido em:

4.8.3.5 – Distribuição do quociente entre variâncias

amostrais

Duas amostras independentes e de duas

populações normais

ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO V – ESTIMAÇÃO

5.2 – Estimação Pontual

1) Se →

2) Se →

3) Se →

5.3 – Estimação por Intervalos

Intervalo de confiança (para )

Grau ou coeficiente de confiança

Parâmetros (população) (desconhecidos)

Estatísticas (amostra) (conhecidos)

µ

σ

θ

τ t

Consultar a tabela do formulário disponível na Intranet (página 5) para determinar qual o IC consoante os

parâmetros a estimar, o tipo de população, a dimensão da amostra, se se conhece σ ou não e a distribuição

amostral

5.3.7 – Dimensão da amostra

Estimação da média, supondo uma amostra aleatória simples com reposição

5.3.8 – Dimensão da amostra

Estimação da proporção, supondo uma amostra aleatória simples com reposição

(média amostral subtraindo a média da população)

ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO VI – ENSAIOS DE HIPÓTESES

6.4 – Etapas de um teste de hipóteses

1. Formulação da hipótese nula ( ) e da sua

alternativa ( )

2. Especificar o nível de significância ( ) desejado e

os valores críticos associados

3. Escolher o teste estatístico apropriado para testar

(em função da natureza dos dados)

4. Determinar a região de rejeição de , em função

das etapas anteriores

5. Calcular o valor do teste a partir dos dados

amostrais e tomar uma decisão. Se este valor se

situar na zona de rejeição de , esta é rejeitada. Se

se situar na zona de não rejeição, não podemos

rejeitar

Consultar a tabela do formulário disponível na

Intranet (página 5) para determinar qual o teste a

utilizar consoante os parâmetros a estimar, o tipo

de população, a dimensão da amostra, se se

conhece σ ou não e a distribuição amostral

6.5 – Teste do Qui-Quadrado (variáveis

qualitativas)

Var. Y

Var. X (Tabela de frequências observadas)

Margens da tabela de contingência:

Construção da tabela de frequências esperadas:

Hipótese de independência:

6.7 – Análise da Variância – ANOVA

Média amostral das observações da população i

SQT – soma de quadrados total

SQD – soma de quadrados dentro das amostras

SQE – soma de quadrados entre amostras

Estatística-teste: