1

Formes différentielles et intégrales curvilignes

1. Formes différentielles.

2. Formes exactes, formes fermées.

3. Intégrales curvilignes.

4. Formule de Green-Riemann.

5. Intégration complexe.

Pierre-Jean Hormière

____________

« Voyez-vous, Messieurs, tout a commencé avec les chemins de fer. »

François-Joseph, sur son lit de mort.

Introduction

Les formes différentielles permettent d’étendre le calcul intégral à des domaines qui sont des « variétés » (non nécessairement affines) : courbes, surfaces, etc. Dans cet exposé, on se limite aux formes différentielles de degré 1 et à leurs intégrales curvilignes. Mais les formes différentielles de degré 2 permettraient d’étudier de même les intégrales de surface, etc. Le calcul différentiel extérieur fut l’un des plus hauts plaisirs autodidactes de ma chaste jeunesse…

1. Formes différentielles. Soit E l’espace vectoriel R

n rapporté à sa base canonique (e1, e2, …, en). L’espace dual E*, c’est-à-

dire l’espace des formes linéaires sur E, est rapporté à la base duale, notée ici (dx1, dx2, …, dxn).

Définition 1 : Soit U un ouvert de E. Une forme différentielle de classe Ck sur U (de degré 1) est

une application ω de U dans E*, de classe Ck, autrement dit, un champ de formes linéaires sur E.

Pour tout x ∈ U, notons ω(x) = ∑=

n

iii dxxA

1

).( , où A1, A2, …, An sont des applications de classe Ck

de U dans R, appelées coefficients de la forme ω.

Pour tout vecteur h = (h1, h2, …, hn) de Rn on a < ω(x) , h > = ∑

=

n

iii hxA

1

).( .

Proposition 1 : Les formes différentielles de classe Ck sur U forment un espace vectoriel Ωk

(U, R) pour les lois usuelles.

Remarque : Si l’on pose (f.ω)(x) = ∑=

n

iii dxxAxf

1

).().( pour toute f ∈ Ck(U, R), et toute ω ∈ Ωk

(U, R),

Ωk(U, R) devient un module sur l’anneau C

k(U, R), ayant pour base (dx1, dx2, …, dxn).

Définition 2 : Soient U un ouvert de Rn, V un ouvert de R

p, ϕ : U → V une application de classe C

k.

Si ω est une forme différentielle sur V, la transposée ou l’image réciproque par ϕ de ω est la forme différentielle sur U, notée ϕ* ω, définie par :

∀x ∈ U ϕ* ω(x) = ω(ϕ(x)) o ϕ’(x).

En pratique, si ω(y) = ∑=

n

iii dyyA

1

).( , et si l’on note ϕ1, …, ϕp les composantes de ϕ, on a

2

(ϕ* ω)(x) = ∑∑= = ∂

∂n

i

p

ji

i

jj dxx

xxA

1 1

).()).((ϕϕ , soit (ϕ* ω)(x) = ∑

=

p

jjj doA

1

).( ϕϕ .

On obtient donc la transposée de la forme ω en remplaçant y par ϕ(x) et dyj par dϕj.

Exemple : passage en polaires.

ω(x, y) = P(x, y).dx + Q(x, y).dy = [ cos(θ).P(r.cosθ, r.sinθ) + sin(θ).Q(r.cosθ, r.sinθ) ].dr

+ [ − sin(θ).P(r.cosθ, r.sinθ) + cos(θ).Q(r.cosθ, r.sinθ) ].r.dθ.

En vérité, si ϕ : (r, θ) ∈ R2 → (x, y) = (r.cosθ, r.sinθ) ∈ U, la forme différentielle ci-dessus est ϕ*ω.

Proposition 2 : i) L’application ϕ* : ω ∈ Ωk(V, R) → ϕ* ω ∈ Ωk

(U, R) est linéaire.

ii) Si ψ : V → W est de classe Ck, on a (ψ o ϕ)* ω = ϕ* (ψ* ω) pour toute ω ∈ Ωk

(W, R).

2. Formes exactes, formes fermées. 2.1. Toute forme exacte est fermée.

Soit f une fonction numérique de classe Ck+1

sur l’ouvert U de E. A tout point x ∈ U associons la

différentielle f’(x) = dfx = ∑= ∂

∂n

ii

i

dxxxf

1

).( . On définit une forme différentielle de classe Ck sur

l’ouvert U, notée ω = d f. Il découle de la règle de la chaîne que ϕ*(d f) = d( f o ϕ).

Définition 1 : Une forme différentielle ω de classe Ck sur l’ouvert U est dite exacte s’il existe une

fonction f de classe Ck+1

sur U telle que ω = d f. La fonction f est appelée une primitive de ω.

Proposition 1 : Si ω est exacte sur l’ouvert connexe U et si f est une primitive de ω, les autres sont de la forme g = f + cte.

Proposition 2 : Condition nécessaire. Si ω(x) = ∑=

n

iii dxxA

1

).( est une forme différentielle exacte de

classe Ck ( k ≥ 2 ), on a ∀x ∈ U ∀(i, j) ∈ [1, n]

2 )(x

xA

j

i

∂∂ = )(x

xA

i

j

∂∂

(F).

Preuve : Cela découle aussitôt du théorème d’interversion des dérivées partielles de Schwarz.

Définition 2 : Une forme différentielle de classe Ck ( k ≥ 2 ) est dite fermée si elle satisfait aux

conditions (F) précédentes.

Corollaire : Toute forme exacte de classe Ck ( k ≥ 2 ) est une forme fermée.

Autrement dit, les formes exactes forment un sous-espace vectoriel de l’espace des formes fermées.

Exemples :

1) Soit ω = f(x).dx + g(y).dy , où f ∈ Ck(I, R) et g ∈ C

k(J, R), I et J intervalles de R.

Elle est fermée, car x∂

∂ g(y) = y∂

∂ f(x) = 0.

Elle est exacte, car ω = dF, où F(x, y) = ∫ dxxf ).( + ∫ dyyg ).( .

2) Soit U = R2 − (0, 0) , ω =

²²..

yxdyydxx

++

est une forme différentielle de classe C∞

.

Elle est fermée, car x∂

∂ (²² yx

y+ ) =

²)²²(2

yxxy

+−

= y∂

∂ (²² yx

x+ ).

3

Elle est exacte, car ω = dF, où F(x, y) = 21 ln( x

2 + y

2 ). Notons qu’en polaires, ω =

rdr .

3) Soit U = R2 − (0, 0) , ω =

²²..

yxdxydyx

+−

est une forme différentielle de classe C∞

.

Cette forme jouant un rôle fondamental, nous allons l’étudier en détail, maintenant et dans la suite. La vraie raison de ce rôle est qu’en polaires, ω = dθ : elle est liée à la délicate question des angles.

Elle est fermée, car x∂

∂ (²² yx

x+ ) =

²)²²(²²

yxxy

+−

= y∂

∂ (²² yx

y+

−).

Mais elle n’est pas exacte dans U. En effet, si elle l’était, nous aurions ω = dF, pour une fonction F de classe C

1 dans U.

Fixons r > 0, et considérons alors la fonction g(θ) = F(r.cosθ, r.sinθ).

Par la règle de la chaîne, g’(θ) = − r.sin θ.xF

∂∂ + r.cos θ.

yF

∂∂ = 1, donc g(θ) = θ + cte.

Cela contredit le fait qu’il s’agit d’une fonction 2π-périodique.

Par contre, ω est exacte dans différents ouverts inclus dans U :

• dans le demi-plan x > 0, ω = dF, où F(x, y) = Arctan xy

= Arcsin²² yx

y

+.

• dans le demi-plan y > 0, ω = dG, où G(x, y) = Arccotan yx = Arccos

²² yxx+

.

• dans le plan fendu R2 − Ox’ , ω = dH, où H(x, y) = 2 Arctan

²² yxx

y

++.

• dans le plan fendu R2 − Ox , ω = dK, où K(x, y) = 2 Arccotan

yyxx ²²++

.

Les vérifications sont laissées au lecteur, mais intuitivement claires s’il a étudié le chapitre sur les courbes en polaires. Nous reviendrons à trois reprises, aux § 3, 4 et 5, sur cette forme différentielle.

4) Soit U un ouvert de R3 ne rencontrant pas le plan d’équation y + z = 0,

ω = )²(

).().().(zy

dzyxdyxzdxxz+

+−−++.

Il est facile de vérifier que cette forme est fermée. Nous allons montrer qu’elle est exacte.

Cherchons une fonction F telle que xF

∂∂ =

zy+1 ,

yF

∂∂ =

)²( zyxz

+− ,

zF

∂∂ = −

)²( zyyx

++

.

Intégrons par rapport à x, il vient F(x, y, z) = zy

x+ + g(y, z).

D’où )²( zy

x+− +

yg

∂∂

= )²( zyxz

+− et

)²( zyx

+− +

zg

∂∂

= −)²( zyyx

++

.

La première condition donne yg

∂∂

= )²( zy

z+ , g(y, z) =

zyz

+− + h(z).

La deuxième condition conduit à h’(z) = 0, donc h(z) = cte.

Finalement F(x, y, z) = zyzx

+− + cte. Réciproque facile.

2.2. Théorèmes de Poincaré.

Sur quels ouverts y a-t-il coïncidence entre formes exactes et formes fermées ? Il revint à Henri Poincaré (1854-1912) de commencer à élucider cette question. Le théorème que nous allons montrer est un résultat élémentaire, le plus simple du genre.

4

Définition 3 : Une partie U de Rn est dite étoilée s’il existe un point a ∈ U tel que, pour tout x ∈ U,

le segment [a, x] est inclus dans U.

Exemples :

1) Un ensemble convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.

2) Le plan fendu R2 privé d’une demi-droite fermée d’origine O est un ouvert étoilé.

« Petit » théorème de Poincaré : Toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.

Preuve : A translation près, supposons U étoilé en O, i.e. ∀x ∈ U ∀t ∈ [0, 1] t.x ∈ U.

Soit ω(x) =∑=

n

iii dxxA

1

).( une forme fermée de classe C1 sur U.

Analyse : Supposons qu’il existe F telle que ω = dF. Fixons x = (x1, x2, …, xn) ∈ U et considérons la fonction ϕ(t) = F(t.x) sur [0, 1].

F(x) − F(0) = ∫1

0).'( dttϕ = ∫∑

= ∂∂1

01

..).( dtxxtxF

i

n

i i

= ∫∑=

1

01

..).( dtxxtA i

n

ii

Synthèse : Définissons donc la fonction F sur U par F(x) = ∫∑=

1

01

..).( dtxxtA i

n

ii .

Comme φ : (t, x1, x2, …, xn) → ∑=

n

iini xtxtxA

11 ).,...,( est continue et a des dérivées partielles en les xi

continues, à savoir : ix∂

∂φ = Ai(t.x1, …, t.xn) + ∑

= ∂∂n

jjn

i

j txtxtxxA

11 ).,...,( , F est de classe C

1.

De plus, ix

F∂∂ (x) = ∫

1

01 ),...,([ ni txtxA + ∑

= ∂∂n

jjn

i

j txtxtxxA

11 ).,...,( ].dt

= ∫1

01 ),...,([ ni txtxA + ∑

= ∂∂n

jjn

j

i txtxtxxA

11 ).,...,( ].dt , en vertu des conditions (F)

= ∫1

01 )),...,(.( ni txtxAt

dtd .dt = Ai(x1, …, xn). cqfd.

Corollaire : Toute forme différentielle fermée sur un ouvert est localement exacte, i.e. admet des primitives locales.

Preuve : Cela vient de ce que tout point de U admet pour voisinage une boule ouverte, qui est étoilée par rapport à son centre.

Définition 4 : Un ouvert U de E est dit simplement connexe si : i) Pour tout couple (a, b) de point de U il existe un chemin continu γ : [0, 1] → U d’origine a et d’extrémité b. ii) Tout lacet de U est homotope à un lacet ponctuel, autrement dit, peut être déformé continûment en un chemin constant.

Exemples :

1) Le plan R2, un disque et un rectangle ouverts de R

2, sont simplement connexes.

2) Un ouvert étoilé est simplement connexe.

3) Le plan R2 privé d’un point ou d’un disque fermé, n’est pas simplement connexe.

« Grand » théorème de Poincaré : Toute forme différentielle fermée sur un ouvert simplement connexe est exacte.

Preuve : Hors programme. On la trouvera dans Cartan, Couty-Ezra, etc.

5

2.3. Traduction en termes d’analyse vectorielle.

Dans ce §, on se place dans l’espace euclidien orienté standard E = R3.

Définitions 5 : 1) Soit F : M(x, y, z) ∈ U → F(M) ∈ R un champ scalaire. On appelle gradient de F

le champ de vecteurs défini par (∀M ∈ U) gradF (M) = (xF

∂∂ ,

yF

∂∂ ,

zF

∂∂ ).

2) Soit un champ de vecteurs M(x, y, z) ∈ U → V (M) = (A(M), B(M), C(M)) ∈ E. On appelle rotationnel de ce champ de vecteurs le champ de vecteurs défini par :

(∀M ∈ U) )(VRot (M) = (yC

∂∂ −

zB

∂∂ ,

zA

∂∂ −

xC

∂∂ ,

xB

∂∂ −

yA

∂∂ )

et divergence de ce champ de vecteurs le champ scalaire défini par :

(∀M ∈ U) div(V )(M) = xA

∂∂ +

yB

∂∂ +

zC

∂∂ .

Définition 6 : Un champ de vecteurs M(x, y, z) ∈ U → V (M) = (A(M), B(M), C(M)) ∈ E est appelé

champ de gradients s’il existe une fonction F : U → R telle que (∀M ∈ U) V (M) = gradF (M).

champ de rotationnels s’il existe un champ de vecteurs W (M) sur U, tel que :

(∀M ∈ U) V (M) = )(WRot (M)

Théorème : 1) Tout champ de gradients a un rotationnel nul. Tout champ de rotationnels a une divergence nulle. 2) Dans un ouvert étoilé ou simplement connexe, tout champ de rotationnel nul est un champ de gradients, et tout champ à divergence nulle est un champ de rotationnels.

Preuve : Tout cela découle de ce qui précède, hormis la dernière assertion, qui sera admise.

3. Intégrales curvilignes. Soit ω une forme différentielle de classe C

k sur l’ouvert U de E.

Pour tout x ∈ U et tout h ∈ E, on note ω(x).h = [ω(x)](h).

Soit Γ un arc orienté de classe Ck dont l’image S est incluse dans U.

Si (I = [a, b], ϕ, S) est une paramétrisation de Γ, considérons l’intégrale ∫b

adttt ).'()).(( ϕϕω .

Si (J = [c, d], ψ, S) est un autre représentant de Γ, et θ : [a, b] → [c, d] un changement de paramètre admissible, c’est-à-dire un C

k–difféomorphisme croissant, avec ϕ = ψ o θ, on a :

∫b

adttt ).'()).(( ϕϕω = ∫

b

adtttt ).'()).('())).((( θθψθψω = ∫

b

aduuu ).'()).(( ψψω [ chgt de var u = θ(t) ]

Définition : On appelle intégrale curviligne de ω sur l’arc orienté Γ de classe Ck, et on note∫Γ ω ,

l’une quelconque des intégrales simples ∫Γ ω = ∫b

adttt ).'()).(( ϕϕω .

Notons que ω(ϕ(t)).ϕ’(t) = (ϕ*ω)(t), donc ∫Γ ω = ∫b

adtt).(*ωϕ . Avec ces notations et la prop 2 du

§1, le raisonnement ci-dessus se réduit à ϕ*ω = (ψ o θ)*ω = θ*(ψ*ω).

En pratique, si ω(x) =∑=

n

iii dxxA

1

).( , ∫Γ ω = ∫ ∑=

b

ai

n

ii dtttA ).(')).((

1

ϕϕ

Remarque : L’intégrale curviligne est définie sur un arc orienté Γ. Si on change l’orientation de Γ, elle est changée en son opposée.

6

Interprétation physique : Munissons l’espace E = Rn du produit scalaire canonique. Si l’on note M(t)

= ϕ(t) le point courant de Γ, et si on considère le champ de vecteurs )(MV = (A1(M), …, An(M))

associé à ω, alors ∫Γ ω = ∫Γ dMMV .)( .

C’est la circulation ou le travail du champ de vecteurs )(MV le long de l’arc Γ.

Propriétés de l’intégrale curviligne.

1) Linéarité : Pour un arc Γ donné, l’application ω → ∫Γ ω est une forme linéaire.

2) Formule de Chasles : Si Γ = Γ1 ∨ Γ2 (i.e. juxtaposé), alors ∫Γ ω = ∫Γ1

ω + ∫Γ2

ω .

3) Majoration : Munissons E = Rn du produit scalaire canonique, et notons M(t) = ϕ(t) le point

courant de Γ = (I, M, S). Soit )(MV = (A1(M), …, An(M)) le champ de vecteurs associé à ω, L la

longueur de l’arc Γ et A un majorant de || )(MV || sur le support S. Alors |∫Γ ω | ≤ L.A.

4) Image d’un arc. Soient Γ un arc orienté de classe Ck tracé dans U, et Φ : U → V une fonction de

classe Ck, Φ(Γ) l’arc image de Γ par Φ. Si ω est une forme différentielle continue sur V, on a :

∫ ΓΦ )(ω = ∫Γ (Φ*ω)

5) Cas où ω est une différentielle exacte. Soient f une fonction de classe C1 et ω sa différentielle. Si

A et B sont les extrémités de Γ, on a ∫Γ ω = ∫Γdf = f(B) − f(A).

En particulier, si Γ est un arc fermé, ∫Γ ω = 0.

Preuve : ∫Γdf = ∫ ∑= ∂

∂b

a

n

iin

i

dttttxf

11 ).(')).(),...,(( ϕϕϕ

= ∫b

an dttt

dtdf

)).(),...,(( 1 ϕϕ = f(ϕ(b)) − f(ϕ(a)) = f(B) – f(A).

Extension de l’intégrale curviligne.

Si Γ est continu et de classe Ck par morceaux, juxtaposé d’arcs Γi (1 ≤ i ≤ p) de classe C

k , alors on

pose ∫Γ ω = ∑=

p

i 1∫Γi

ω , définition indépendante de la subdivision choisie.

Les propriétés de l’intégrale curviligne s’étendent sans peine.

Exemples :

1) Soient E = R2, U = E – (0, 0), Γ le cercle de centre (a, b) de rayon R, ne passant pas par O,

parcouru dans le sens direct, et ω = ²²..

yxdxydyx

+−

.

On a ∫Γ ω = dttbtaRRba

tbtaRR.

)sin.cos.(2²²²)sin.cos.(²2

0∫ ++++++π

.

Posant c = ²² ba + , il existe (∃t0) a.cos t + b.sin t = c.cos( t − t0 ).

Par translation ∫Γ ω = duuRcRc

uRcR .cos.2²²

cos.²2

0∫ +++π

= π [ 1 + ²²²²

cRcR

−− ] ,

après calculs (intégration de fraction rationnelle en sinus-cosinus). Au final :

7

∫Γ ω = 0 si c2 > R

2 , i.e. si l’origine est extérieure au cercle Γ.

∫Γ ω = 2π si c2 < R

2 , i.e. si l’origine est intérieure au cercle Γ.

∫Γ ω = π si c2 = R

2 , i.e. si l’origine est sur le cercle Γ.

Conséquence : on retrouve le fait que ω n’est pas une forme exacte sur E = R2 – (0, 0).

2) Soit f : [a, b] → R une fonction continue, Γ = ABCD l’arc continu, où A = (a, 0), B = (b, 0), C = (0, f(b)), D = (a, f(a)), obtenue en concaténant les segments AB, BC, la courbe y = f(x) parcourue dans le sens des x décroissants, et le segment DA parcouru dans le sens des y décroissants.

Alors ∫Γ ω = − ∫b

adxxf ).( .

4. Formule de Green-Riemann 1.

Dans ce §, nous nous plaçons dans le plan euclidien orienté E = R

2.

Formule de Green-Riemann : Soient K un compact simple de E, et ω = P(x, y).dx + Q(x, y).dy une forme différentielle de classe C

1 sur un ouvert U contenant K. Si l’on oriente le bord de K de

façon que le point courant laisse le compact à sa gauche, alors :

∫∫K (xQ

∂∂

− yP

∂∂ ).dx.dy = ∫∂K P.dx + Q.dy.

Preuve : Qu’est-ce qu’un « compact simple », qu’est-ce qu’un « bord orienté », qu’est-ce que « la gauche » ? A ces questions délicates nous ne chercherons pas à répondre, mais nous démontrerons la formule de Green-Riemann dans des situations simples.

1) Cas d’un rectangle :

Supposons que K = [a, b]×[c, d], et notons A = (a, c), B = (b, c), C = (b, d), D = (a, d) ses sommets. Orientons le rectangle ABCD dans le sens trigonométrique.

∫AB P(x, y).dx + Q(x, y).dy = ∫AB P(x, y).dx = ∫b

adxcxP ).,(

1 George GREEN (1793-1841), mathématicien anglais, né et mort à Sneinton, près de Nottingham. Boulanger de son métier, il s’initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et peut-être cela explique-t-il la très grande originalité de son approche des phénomènes physiques. A travers sa recherche d’une formulation mathématique de la théorie de l’électricité statique et du magnétisme, il est le créateur de la théorie du potentiel. À l’âge de quarante ans, il entra à l’université de Cambridge, où il soutint sa thèse en 1837. Il fut élu membre du Caius College de Cambridge en 1839. En 1828, Green publia à compte d’auteur An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, qui passa inaperçu du monde mathématique jusqu’à sa réédition par lord Kelvin, en 1846, dans le Journal für Mathematik. On y trouve la formule de Green, ainsi que la fonction de Green (ainsi dénommée par Riemann) qui est devenue un des concepts fondamentaux de la théorie des équations aux dérivées partielles ; c’est dans ce mémoire qu’apparaît pour la première fois le terme «potentiel», et Green n’hésite pas à considérer des potentiels dans des espaces à n dimensions. En 1832 et 1833, Green publia des articles sur les lois de l’équi-libre des fluides, sur les lois de l’attraction dans un espace n-dimensionnel (où il introduit les fonctions appelées de nos jours ultrasphériques) et sur le mouvement d’un fluide agité par les vibrations d’un ellipsoïde (où l’on peut voir la première utilisation du principe de Dirichlet). Mentionnons enfin un écrit de 1837 sur la propagation, où il utilise des techniques d’approximation de solutions d’équations différentielles. Enfin, on ne présente plus Riemann…

8

∫BC P(x, y).dx + Q(x, y).dy = ∫BC Q(x, y).dy = ∫d

cdyybQ ).,(

∫CD P(x, y).dx + Q(x, y).dy = ∫CD P(x, y).dx = ∫a

bdxdxP ).,( = − ∫

b

adxdxP ).,(

∫DA P(x, y).dx + Q(x, y).dy = ∫DA Q(x, y).dy = ∫c

ddyyaQ ).,( = − ∫

d

cdyyaQ ).,(

∫∫K xQ

∂∂

.dx.dy = )).,(( dxyxxQ

dyd

c

b

a∫ ∫ ∂∂

= ∫ −d

cdyyaQybQ )).,(),((

∫∫K yP

∂∂ .dx.dy = )).,(( dyyx

yPdx

b

a

d

c∫ ∫ ∂∂ = ∫ −

b

adxcxPdxP )).,(),(( .

Il reste à vérifier le résultat .

2) Cas d’un compact élémentaire.

• Soit K le compact plan défini par les inégalités a ≤ x ≤ b , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) , où ϕ1 et ϕ2 sont deux

fonctions numériques, continues sur le segment [a, b], et telles que ϕ1(x) < ϕ2(x) pour tout x ∈ ]a,

b[. Soit P une fonction numérique de classe C1 sur K (c’est-à-dire sur un ouvert contenant K).

En vertu des propriétés des intégrales doubles :

∫∫ ∂∂

Kdxdyyx

yP ).,( = ∫ ∫ ∂

∂b

a

x

xdyyx

yPdx

)(

)(

2

1

).,(ϕ

ϕ = ∫

b

adxxxP )).(,( 2ϕ − ∫

b

adxxxP )).(,( 1ϕ .

Considérons l’arc Γ = ABCD obtenu en concaténant l’arc AB défini par x ∈ [a, b], y = ϕ1(x) orienté

dans le sens des x croissants, le segment BC défini par x = b, ϕ1(b) ≤ y ≤ ϕ2(b) orienté dans le sens

des y croissants, l’arc CD défini par x ∈ [a, b], y = ϕ2(x) orienté dans le sens des x décroissants, et le

segment DA défini par x = a, ϕ1(a) ≤ y ≤ ϕ2(a) orienté dans le sens des y décroissants.

∫Γ dxyxP ).,( = ∫AB P(x, y).dx + ∫BC P(x, y).dx + ∫CD P(x, y).dx + ∫DA P(x, y).dx

On a aussitôt ∫BC P(x, y).dx = ∫CD P(x, y).dx = 0.

∫AB P(x, y).dx = ∫b

adxxxP )).(,( 1ϕ et ∫CD P(x, y).dx = − ∫

b

adxxxP )).(,( 2ϕ .

En définitive, − ∫Γ dxyxP ).,( = ∫∫ ∂∂

Kdxdyyx

yP ).,( .

• Soit K le compact plan défini par les inégalités c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) , où ψ1 et ψ2 sont

deux fonctions numériques, continues sur [c, d], et telles que ψ1(y) < ψ2(y) pour tout y ∈ ]c, d[.

Soit Q une fonction numérique de classe C1 sur K (c’est-à-dire sur un ouvert contenant K).

Considérons l’arc Γ = ABCD obtenu en concaténant l’arc AB défini par y ∈ [c, d], x = ψ1(y) orienté

dans le sens des y décroissants, le segment BC défini par y = c, ψ1(c) ≤ x ≤ ψ2(c) orienté dans le

9

sens des x croissants, l’arc CD défini par y ∈ [c, d], x = ψ2(y) orienté dans le sens des y croissants,

et le segment DA défini par y = d, ψ1(d) ≤ x ≤ ψ2(d) orienté dans le sens des x décroissants.

Le lecteur est prié de montrer que ∫Γ dxyxQ ).,( = ∫∫ ∂∂

Kdxdyyx

xQ

).,( .

Définition : Appelons compact élémentaire du plan un compact K pouvant être défini à la fois par :

• K = (x, y) ; a ≤ x ≤ b , ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) , où ϕ1 et ϕ2 sont deux fonctions numériques, continues

sur [a, b], et telles que ϕ1(x) < ϕ2(x) pour tout x ∈ ]a, b[.

• K = (x, y) ; c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) , où ψ1 et ψ2 sont des fonctions numériques, continues

sur [c, d], et telles que ψ1(y) < ψ2(y) pour tout y ∈ ]c, d[.

Exemple : Les disques circulaires et elliptiques sont des compacts élémentaires.

Théorème : La formule de Green-Riemann est établie dans le cas des compacts élémentaires du plan, leur bord étant orienté et paramétré comme indiqué.

Exercice : Montrer directement la formule de Green-Riemann lorsque K = (x, y) ; x2 + y

2 ≤ R

2 ,

par passages en polaires.

Application 1 : Retour sur la forme différentielle ωωωω = dθθθθ.

Soient ω = ²²..

yxdxydyx

+−

, Γ le cercle de centre A(a, b) et de rayon R, parcouru dans le sens direct.

Retrouvons le calcul de ∫Γ ω à l’aide de la formule de Green-Riemann.

• Si c2 > R

2 , i.e. si l’origine est extérieure au cercle Γ, ∫Γ ω = 0 .

En effet, ∫Γ ω = ∫∫K (xQ

∂∂

− yP

∂∂ ).dx.dy = 0 , où K est le disque de frontière Γ.

• Si c2 < R

2 , i.e. si l’origine est intérieure au cercle Γ, ∫Γ ω = 2π.

En effet, soit C un cercle de centre O et de rayon r > 0 inclus dans le disque de frontière Γ, et soit K le compact compris entre les cercles C et Γ. Orientons le bord ∂K de façon que Γ soit parcouru dans le sens trigonométrique, C dans le sens des aiguilles d’une montre.

Alors, par Green-Riemann, ∫∂Kω = 0. Or ∫∂K

ω = ∫Γ ω − ∫C ω . Par conséquent :

∫Γ ω = ∫C ω = ∫ +−−+π

θθθθθθθθ2

0)).cos.sin.(sin).sin.cos.(cos(

²1 drdrrdrdrrr

= 2π .

• Si c2 = R

2 , i.e. si l’origine est sur le cercle Γ, ∫Γ ω = π.

Le cercle Γ passant par O, l’intégrale curviligne est impropre. Nous allons cependant la calculer en évitant le point O grâce à un arc de cercle centré en O de rayon r assez petit, coupant Γ en A et B.

10

Si K est le compact compris entre le cercle Γ et l’arc de cercle, orientons le bord ∂K dans le sens

trigonométrique. Derechef, ∫∂Kω = 0 par Green-Riemann. Or ∫∂K

ω = ∫ −Γ AOBω + ∫AEB

ω .

De plus, ∫AEBω = β − α, où α et β sont les angles polaires respectifs de A et B.

Lorsque r → 0, ∫AEBω → −π, donc ∫ −Γ AOB

ω → ∫Γ ω = π.

Application 2 : Calcul d’aires planes.

Corollaire : L’aire d’un compact simple K est donnée par les formules :

A = ∫∫Kdxdy = ∫∂Kdyx. = − ∫∂K

dxy. = 21 ∫∂ −

Kdxydyx )..(

où le bord ∂K de K est orienté dans le sens positif.

En notations complexes, A = 21 ∫∂K

dzz ).Im( ; en polaires, A = 21 ∫∂K

r2.dθ.

A noter qu’il s’agit d’une aire algébrique orientée.

Exemples :

1) Aire délimitée par l’ellipse ²²

ax +

²²

by

= 1.

Paramétrons le bord par x = a.cos t, y = b.sin t.

Il vient ∫∫Kdxdy = 21 ∫∂ −

Kdxydyx )..( = πab.

2) Aire d’une boucle de strophoïde droite. On nomme ainsi la cubique d’équation cartésienne x.( x

2 + y

2 ) + a.( x

2 − y

2 ) = 0

Paramétrant par y = tx, il vient x = a.1²1²

+−

tt , y = at.

1²1²

+−

tt .

Le lecteur est prié d’étudier et de tracer cet arc paramétré. Il constatera que la boucle correspond à l’intervalle [−1, 1]. Elle a pour aire

A = 21 ∫

+

−−

1

1)( ydxxdy =

21 ∫

+

−

1

1².dtx = … = ( 2 −

2π ).a

2.

Remarque : on peut aussi passer en polaires.

3) Aire d’une boucle de folium de Descartes.

C’est la cubique d’équation cartésienne x3 + y

3 − 3axy = 0

Paramétrant par y = tx, il vient x = 1

33+tat , y =

1²3

3+tat .

Le lecteur est prié d’étudier et de tracer cet arc paramétré. Il constatera que la boucle correspond à

l’intervalle [0, +∞[. Elle a pour aire A = 21 ∫

+∞−

0)( ydxxdy =

21 ∫

+∞

0².dtx = … =

23 a

2.

Exercice : lemniscate de Bernoulli.

Soient F(c, 0) et F’(−c, 0). Lieu des points M tels que MF.MF’ = c2 ?

Equation cartésienne, équation polaire, représentation paramétrique au moyen de y/x = t2.

Représentation graphique. Aire de chaque boucle.

Exercice : Etudier et représenter l’arc paramétré x = 41²1

tt

++ , y =

41 tt

+ .

Equation cartésienne de la courbe. Points d’inflexion ? Aire délimitée par la courbe.

11

Une belle application de la formule de Green-Riemann : le planimètre polaire d’Amsler (1854).

Fils de fermiers, le suisse Jacob Amsler (1823-1912) étudia la théologie avant de se tourner vers les mathématiques et la physique. Il étudia à Iéna, Königsberg et Zurich, et publia des articles sur le magnétisme, la conduction de la chaleur, l’attraction des ellipsoïdes. En 1854 il inventa le planimètre polaire, appareil mesurant des aires enserrées dans des courbes planes. Les instruments précédents remontant au bavarois Hermann (1814), utilisaient un mouvement rectiligne relayé par un cône ou un disque. Amsler simplifia le planimètre à disque, remplaça le mouvement rectiligne par un mouve-ment circulaire, le bras portant la roulette étant articulé à un premier bras tournant autour d’un point fixe, le pôle. Le fonctionnement de ce planimètre était alors expliqué par des arguments empiriques ; en fait, il se justifie aisément grâce à la formule de Green-Riemann. Amsler créa dès 1854 un atelier pour produire son planimètre ; y furent fabriqués environ 50.000 exemplaires, de 1854 à sa mort. Entre 500.000 et 1.000.000 planimètres polaires ont été fabriqués depuis 1854. Leur déclin n’a commencé qu’avec le développement des ordinateurs (cf. D. Tournès, Les intégrateurs mécaniques, Pour la science, juillet 2005)

En supposant les deux bras de longueur égale à L, notons (x, y) les coordonnées du pointeur M, qui suit la courbe, et (a, b) celle de l’articulation A. La roulette étant perpendiculaire au second bras, seule compte la composante du déplace-ment perpendiculaire à ce bras, égale à la projection du vecteur de déplacement infinité-

simal du pointeur dM = (dx, dy) sur le vecteur

unitaire normal au bras ),( yxN . Un calcul

rapide donne ),( yxN = L1 (b − y, x − a). La pro-

jection s’exprime alors par le produit scalaire

),( yxN .dM = L1 [( b − y ).dx + ( x − a ).dy].

Un calcul trigonométrique relatif au triangle isocèle OAM montre que (OA,OM ) = ArccosLr

2,

puis que a = 2x +

²4²1Lr

ryL − et b =

2y

− ²4

²1Lr

rxL − , où r = ²² yx + .

La formule de Green-Riemann permet alors d’écrire, après calculs :

L1 ∫ −+−

Cdyaxdxyb ).().( =

L1 ∫∫ ∂

−∂−∂−∂

Sdxdy

yyb

xax

).)()(

( = … = L1 ∫∫Sdxdy.

Elle donne l’aire.

12

5. Intégration complexe. 5.1. Formes différentielles et intégration complexe.

Soit E le C-espace vectoriel C2 rapporté à sa base canonique (e1, e2). L’espace dual E* est rapporté à

la base duale, notée ici (dx, dy). Si l’on pose dz = dx + i.dy et dz= dx − i.dy, (dz, dz ) est également une C-base de E*.

Définition 1 : Soit U un ouvert de C identifié à R2. Une forme différentielle de classe C

k sur U est

une application ω de U dans E*, de classe Ck, autrement dit, un champ de formes linéaires sur E*.

ω(x, y) = P(x, y).dx + Q(x, y).dy

où P et Q sont des fonctions de classe Ck sur U, à valeurs complexes.

Soit f : U → C une fonction complexe continue définie sur l’ouvert U de C. Posons f(z) = f(x, y) = P(x, y) + i.Q(x, y), où P est la partie réelle, et Q la partie imaginaire de f.

Définition 2 : On note f(z).dz la forme différentielle : f(z).dz ≡ ( P(x, y) + i.Q(x, y) ).(dx + i.dy) = ( P(x, y).dx − Q(x, y).dy ) + i.( Q(x, y).dx + P(x, y).dy )

Si Γ est un arc continu et C1-par morceaux tracé dans U, on note ∫Γ dzzf ).( l’intégrale curviligne de

cette forme différentielle le long de l’arc Γ.

Propriétés de l’intégration complexe.

1) Linéarité : l’application f → ∫Γ dzzf ).( est linéaire.

2) Formule de Chasles.

3) Majoration : |∫Γ dzzf ).( | ≤ L.A, où L est la longueur de Γ et A majore | f(z) | sur le support de Γ.

4) Si l’arc Γ est de classe C1 et si γ : t ∈ [a, b] → γ(t) ∈ U en est une paramétrisation,

∫Γ dzzf ).( = ∫b

adtttf ).'()).(( γγ .

Exemple : zdz =

yixdyidx..

++

= ²²..

yxdyydxx

++

+ i.²²..

yxdxydyx

+−

.

Si Γ est le cercle de centre O et de rayon r > 0 parcouru dans le sens direct, ∫Γ zdz = 2iπ.

Exercice : Soient Γ le cercle de centre A(a, b) et de rayon R, parcouru dans le sens direct, et

ω = ²²..

yxdxydyx

+−

. Calculer ∫Γ ω = Im∫Γ zdz efficacement, et retrouver les résultats des § 3 et 4.

5.2. Cas où f est somme d’une série entière.

Soient ∑+∞

=0

.n

nn za une série entière de rayon de convergence R > 0, f(z) sa somme dans le disque ouvert

D = z ; |z| < R . La série ∑+∞

= +0

.1n

nn zna a pour rayon de convergence R ; soit g(z) sa somme.

Théorème : La forme différentielle f(z).dz est fermée et exacte dans D, g(z).dz en est une primitive.

En particulier ∫Γ dzzf ).( = g(B) – g(A) pour tout arc Γ tracé dans D, d’origine A et d’extrémité B,

et ∫Γ dzzf ).( = 0 pour tout lacet Γ tracé dans D.

13

5.3. Fonctions holomorphes.

Définition : Soient U un ouvert de C, f : U → C une fonction de variable complexe. On dit que f est

C1-holomorphe si, pour tout z ∈ U, f’(z) = limu→0

uzfuzf )()( −+

existe, lorsque u tend vers 0 par

valeurs complexes non nulles, et si la fonction z → f’(z) est continue dans U.

Exemples :

1) La fonction z → 1/z est C1-holomorphe dans C*, de C-dérivée −1/z

2.

2) La somme d’une série entière de rayon R > 0 est C1-holomorphe dans le disque ouvert |z| < R.

Remarque : On peut montrer que toute fonction C1-holomorphe dans un ouvert U de C est

développable en série entière au voisinage de tout point de U.

Si l’on pose z = x + iy = (x, y) et f(z) = P(x, y) + i.Q(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), f devient une fonction

d’un ouvert U de R2, à valeurs dans R

2. La formule : f(z + u) = f(z) + f’(z).u + o(u)

s’écrit aussi, en posant u = h + ik , et f’(z) = a + ib : P(x + h, y + k) = P(x, y) + a.h − b.k + o( ||(h, k)|| )

Q(x + h, y + k) = Q(x, y) + b.h + a.k + o( ||(h, k)|| )

Cela montre que f est R-différentiable, et même de classe C1, de jacobienne

−

abba =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yQ

xQ

yP

xP

.

On en déduit les formules de Cauchy-Riemann : xP

∂∂ =

yQ

∂∂

et yP

∂∂ = −

xQ

∂∂

.

Vues sous cet angle, les fonctions C1-holomorphes sont des fonctions C

1 particulières.

Théorème : Si f est C1-holomorphe dans U, la forme différentielle f(z).dz est fermée dans U.

Preuve : xP

∂∂ =

yQ

∂∂

⇔ Q(x, y).dx + P(x, y).dy est fermée ;

yP

∂∂ = −

xQ

∂∂

⇔ P(x, y).dx − Q(x, y).dy est fermée.

Exemple : zdz est fermée dans C*… mais elle n’est pas exacte !

__________ Exercices

1. Formes exactes, fermées, facteurs intégrants.

Exercice 1 : Montrer que la forme différentielle ω(x, y) = (y2 − x

2).dx + 2xy.dy est fermée et exacte

sur R2. Intégrer l’équation différentielle associée.

Exercice 2 : Montrer que la forme différentielle ω(x, y) = ( 2x2y

3 − x ).dx + ( 2x

3y

2 – y ).dy est

fermée et exacte sur R2. Intégrer l’équation différentielle ( 2x

2y

3 − x ).dx + ( 2x

3y

2 – y ).dy = 0.

Exercice 3 : Soit D = (x, y) ; x > 0, y > 0 , ω = ( x2 + y

2 ).( dx

yxyx

.²

²²3 − + dy

xyxy

.²

²²3 − ).

Est-ce une différentielle exacte ? Si oui, en trouver une primitive.

Exercice 4 : Soit c > 0. 1) Montrer que la forme différentielle

14

ω(x, y) = 4 ( x2 + y

2 − c

2 ).x.dx + 4 ( x

2 + y

2 + c

2 ).y.dy

est fermée et exacte sur R2. Trouver ses primitives.

2) Intégrer l’équation différentielle 4(x2 + y

2 − c

2).x.dx + 4(x

2 + y

2 + c

2).y.dy = 0.

Reconnaître géométriquement les courbes intégrales.

Problème 5 : Facteurs intégrants.

La fonction λ : U → R est appelée facteur intégrant de la forme différentielle ω si la forme différentielle : ϖ(x) = λ(x).ω(x) est exacte.

1) Montrer que la forme différentielle ω = (y2 − x

2).dx − 2xy.dy n’est pas fermée, donc pas

exacte. Vérifier que λ(x, y) = ²)²²(

1yx + est un facteur intégrant de ω sur R

2 − (0, 0).

2) Montrer que ω = ( x + y2

).dx – 2xy.dy admet un facteur intégrant de la forme λ(x, y) = f(x).

3) Quelle est la différentielle de où F(x, y) = x ²1 y− + y ²1 x− ?

En déduire que la forme différentielle ω = 21 x

dx−

+ 21 y

dy−

a un facteur intégrant.

4) Soit ω(x, y) = ( x3 − 3xy

2 ).dx + ( 3x

2y – y

3 )dy . Trouver une fonction f : R → R de classe C

1 et

non nulle telle que f(xy

).ω(x, y) soit exacte.

5) Montrer que la forme différentielle ω(x, y) = (x2 + y

2 − 1).dx – 2xy.dy n’est fermée sur aucun

ouvert non vide de R2. Trouver un ouvert non vide U de R

2, et une fonction non nulle ϕ : I → R de

classe C1, tels que ϖ(x, y) = ϕ(x

2 − y

2).ω(x, y) soit exacte dans U.

6) Soit U l’ouvert de R3 défini par xyz ≠ 0. Montrer que la forme différentielle

ω = yzdx +

zxdy

+ xydz n’est pas exacte mais admet un facteur intégrant.

7) Sur R3 , on considère la forme différentielle ω = ( y − z ).dx + ( z − x ).dy + ( x − y ).dz.

Trouver une fonction numérique f de classe C1 sur R* telle que α = f(y − z).ω soit fermée.

Déterminer les primitives locales de α.

Problème 6 : étude d’une forme différentielle.

Soit ω la forme différentielle définie en tout point M = (x, y, z) de R3 par :

ω(M) = − 4xy2z.dx + 4x

2yz.dy + ( x

4 − y

4 ).dz

et soit DDDD l’ensemble des points M tels que x2 − y

2 ≠ 0.

1) Dessiner l’ensemble des points M = (x, y, z) tels que x2 − y

2 = 0.

2) Soit ϕ : R* → R une fonction de classe C1.

a) Ecrire une équation différentielle linéaire du premier ordre à laquelle doit satisfaire ϕ pour

que la forme différentielle Ω définie en tout point M = (x, y, z) de DDDD par Ω(M) = ϕ(x2 − y

2).ω(M)

soit exacte. b) Déterminer alors ϕ telle que ϕ(1) = 1 , ϕ(−1) = 1.

3) En déduire une fonction U : DDDD → R de classe C2 telle que :

i) dU = Ω ii) Pour tout point M = (x, y, z) de DDDD tel que z = 0, U(M) = 0.

(Centrale 1994, extrait)

15

2. Intégrales curvilignes.

Exercice 7 : Calculer les intégrales curvilignes suivantes sur les courbes indiquées :

∫Γ ++− dyyxdxyx ).().( où Γ est le segment joignant A(1, 0) à B(0, 1).

∫Γ + dyxdxy .. où Γ est l’arc de la parabole y = x2 d’origine A(0, 0) et d’extrémité B(2, 4).

∫Γ + dxydyx ².². où Γ est la demi-ellipse 4x2 + y

2 = 4 d’origine A(0, 2) et d’extrémité B(0, −2).

Exercice 8 : Soit Γ un arc de classe C1

d’extrémités A(2, 0) et B(1, 1).

Calculer ∫Γ ω , où ω = ( y3 + 6xy

2 ).dx + ( 3xy

2 + 6x

2y ).dy

Exercice 9 : Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. 1) Montrer que la forme différentielle

ω = ]).sin.cos.().cos.sin..[(²²

dyxyxxdxxyxxyx

e y

++−+

−

est fermée.

2) Que dire de l’intégrale curviligne ∫γω , où γ est le contour formé du segment [a, b] de Ox, du

demi-cercle x2 + y

2 = b

2 (y ≥ 0), du segment [−b, −a] de Ox et du demi-cercle x

2 + y

2 = a

2 (y ≥ 0) ?

3) En déduire les intégrales ∫+∞

0.sin dt

tt et ∫

+∞

0.

²²sin dx

xx .

Exercice 10 : On considère les fonctions f(x) = duxue u ²).sin(.0

²∫+∞

− et g(x) = duxue u ²).cos(.0

²∫+∞

− .

1) Montrer que f et g sont définies sur R. Parité ?

2) On considère les formes différentielles ω1 = ]).2sin().2²).[cos(²( dyxydxxyxy +−

ω2 = ]).2cos().2²).[sin(²( dyxydxxyxyh −−

où h est une fonction de classe C1 de R dans R, telle que h(0) = 1.

Déterminer h pour que ω1 et ω2 soient exactes.

3) Soit γ le contour formé du segment [OA] de Ox, où A(R, 0), de l’arc de cercle AB : x2 + y

2 = R

2

(l’angle polaire 0 ≤ θ ≤ 4π ), et du segment BO.

Quelle est la valeur des intégrales curvilignes ∫γω1 et ∫γ ω2 ?

Limites de ∫OA1ω , ∫OA

2ω , ∫AB1ω et ∫AB

2ω lorsque R → +∞ ?

4) On pose a = tg θ. Montrer que :

∫+∞ − +0

²)1²( ²)].2sin(.²)2.[cos( dxaxaaxe xa = 2π

∫+∞ − −0

²)1²( ²)].2cos(.²)2.[sin( dxaxaaxe xa = 0

5) En déduire les intégrales dua

aue u ).²1²2cos(.

0

²

−∫+∞

− et dua

aue u ).²1²2sin(.

0

²

−∫+∞

− .

6) Montrer que g(x) = 2π

²)1(21²1

xx+

++ et f(x) = 2π sgn(x)

²)1(21²1

xx+

−+ .

(Saint-Cyr, 1983)

16

Exercice 11 : Fonctions harmoniques.

Soit f une fonction de classe C2 sur R

2, harmonique en ce sens que ∆ f =

²²xf

∂∂

+ ²

²yf

∂∂

= 0.

Soit M0(x0, y0) un point quelconque du plan.

1) Montrer que la fonction F(r) = π21 ∫ ++

πθθθ

2

000 ).sin.,cos.( dryrxf est de classe C

1 sur R

+.

Calculer sa dérivée.

2) Démontrer que r.F’(r) est égal à la valeur d’une intégrale curviligne d’une forme différentielle

α = A(x, y).dx + B(x, y).dy le long d’un arc orienté Γ : r.F’(r) = ∫Γ + dyyxBdxyxA ).,().,(

Préciser la forme différentielle α et l’arc orienté Γ.

3) Démontrer que la fonction F est constante. Conséquence ?

4) Démontrer que pour tout r > 0, f(x0, y0) = ²

1rπ ∫∫D dxdyyxf ).,( ,

où D est le disque de centre M0 et de rayon r.

( Mines 2004, extrait )

3. Intégration complexe.

Exercice 12 : Soient a, b > 0. A l’aide d’une intégrale du type ∫γ zdz , calculer ∫ +

π2

0 ²sin²²cos².

tbtadtab .

Solution : On peut calculer cette intégrale par des moyens purement réels. Il s’agit en effet d’une fraction rationnelle en sinus-cosinus. La forme différentielle f(x).dx étant invariante par x → x + π, on peut poser t = tan x (cf. règle de Bioche). Calculons cette intégrale via la variable complexe. Considérons l’arc paramétré

γ : t ∈ [−π, π] → γ(t) = a.cos t + ib.sin t et calculons de deux façons l’intégrale curviligne ∫γ zdz .

D’une part,∫γ zdz = ∫

+

− ++−π

πdt

tibtatibta .

sincoscossin = ∫

+

− ++−π

πdt

tbtaiabttab .²sin²²cos²

cossin²)²( = iab∫

+

− +π

π tbtadt

²sin²²cos²,

car la partie réelle est nulle par imparité.

D’autre part, ∫γ zdz = 2iπ I(γ, 0) = 2iπ, en vertu de la notion d’indice.

Conclusion : ∫ +π2

0 ²sin²²cos².

tbtadtab =

abπ2 .

Exercice 13 : Montrer la (semi) convergence des intégrales ∫+∞

0²).cos( dtt et ∫

+∞

0²).sin( dtt .

En considérant f(z) = exp(−z2) et le lacet γ = OAB, où OA = OB = R (fig.1), calculer ces intégrales.

Exercice 14 : En considérant f(z) = aziz

+)exp(

, a > 0, et le lacet γ = OAB, où OA = OB = R (fig.2),

établir les formules : dxaxx.cos

0∫+∞

+ = ∫∞+ −

+0.

²²dy

ayye y

, dxaxx.sin

0∫+∞

+ = a∫∞+ −

+0.

²²dy

aye y

. Quid si a → 0+ ?

Exercice 15 : Considérant f(z) = z

iz)exp( et le lacet γ, où OA = OB = R (fig.3), montrer que :

∫+∞

∞−dx

xx.sin = π .

17

_____________ Bibliographie Raymond Couty, Jacques Ezra : Analyse spéciales AA’, t. 2 (Armand Colin) Henri Cartan : Cours de calcul différentiel (Hermann) Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès : Cours de mathématiques, tome 4 (Dunod) Laurent Schwartz : Cours de l’X, tome 2 (Hermann) Eric Amar et Etienne Matheron : Analyse complexe (Cassini) Dominique Tournès : Les intégrateurs mécaniques (Pour la science, juillet 2005) Le package « difforms » de Maple permet de travailler les formes différentielles.

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