Formalisation pour les sciences sociales et politiques

SOCA-D-173

2019-2020 Exercices préparatoires partie I

Exercice 1

Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 trois ensembles inclus dans l’univers Ω.

1.1. Représenter sur un diagramme de Venn les frontières des ensembles suivants, et les définir, d’aborden utilisant les opérateurs, puis en compréhension.a) L’ensemble des éléments de 𝐴 qui font partie d’un seul des autres ensembles.b) L’ensemble des éléments de 𝐴 qui font partie d’au plus un des autres ensembles.c) L’ensemble des éléments de 𝐴 qui ne font partie ni de 𝐵 ni de 𝐶.

1.2. Représenter les propositions suivantes, d’abord en utilisant des diagrammes de Venn (un pour propo-sition), puis la notation de la logique des prédicats :a) 𝐴 et 𝐵 sont videsb) Au moins un 𝐶 n’est pas un 𝐴c) Au moins un 𝐶 est un 𝐴.

1.3. Parmi les relations au point précédent, lesquelles peuvent être vraies au même temps ? Considérezchaque paire possible, puis les trois.

Solution de l’exercice 1

1.1. Dans cet exercice c’est plus facile de commencer par les diagramme, puis écrire les autres réponsesavec la bonne notation.

Remarque. Dans les exercices d’examen vous pouvez avoir plus de trois ensembles à la fois : voirpour chaque question si les ensembles à utiliser sont 3 ou moins, dans ce cas on peut les représentersur un diagramme de Venn comme aide à la résolution.

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a) Dans ce cas on part de l’ensemble défini au TP 02, Ex. 2, dont on doit exclure les élémentsappartenant à la fois à 𝐵 et 𝐶.

Diagramme de Venn

Opérateurs Avec les opérateurs, les réponses suivantes sont correctes :

[𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] ∖ (𝐵 ∩ 𝐶),

[(𝐴 ∩𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)] ∖ (𝐵 ∩ 𝐶),

[(𝐴 ∩𝐵) ∖ 𝐶] ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶) ∖𝐵],

[𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] ∖ [(𝐴 ∩𝐵) ∩ 𝐶].

En compréhension En compréhension, les réponses suivantes sont possibles :

𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ [(𝑥 ∈ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐶)] ∧ ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ Ω | [(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)] ∨ [(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)] ∧ ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ Ω | [(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)] ∧ (𝑥 /∈ 𝐶) ∨ [(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 /∈ 𝐵)] ∧ (𝑥 ∈ 𝐶),

𝑥 ∈ 𝐴 | ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ 𝐴 | [(𝑥 ∈ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐶)] ∧ ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ 𝐴 | [(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 /∈ 𝐶)] ∨ [(𝑥 /∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)],

Remarque. Ici et dans la suite on peut toujours remplacer les propositions dans la forme 𝑥 /∈ 𝐷avec ¬(𝑥 ∈ 𝐷).

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b) Ici on doit exclure de 𝐴 les éléments communs à 𝐵 et 𝐶, c’est à dire qu’on doit lui enleverl’intersection entre 𝐵 et 𝐶.

Diagramme de Venn

Opérateurs

𝐴 ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)

ou bien𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

En compréhension

𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ 𝐴 | ¬[(𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶)].

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c) Ici on doit enlever de 𝐴 les éléments qui font partie d’au moins un entre 𝐵 et 𝐶, c’est à direqu’on doit lui enlever la réunion de 𝐵 et 𝐶 :

Diagramme de Venn

Opérateurs

𝐴 ∖ (𝐵 ∪ 𝐶)

ou bien𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

En compréhension

𝑥 ∈ Ω | (𝑥 ∈ 𝐴) ∧ [(𝑥 /∈ 𝐵) ∧ (𝑥 /∈ 𝐶)],

𝑥 ∈ 𝐴 | (𝑥 /∈ 𝐵) ∧ (𝑥 /∈ 𝐶).

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1.2. Voir prochain exercice pour un rappel des règles pour représenter des propositions regardant desensembles sur un diagramme de Venn.Concernant la notation de la logique des prédicats, on peut écrire trois sortes de propositions relativesaux éléments d’un univers Ω :

∀𝑥 ∈ Ω P(𝑥)

∃𝑥 ∈ Ω P(𝑥)

@𝑥 ∈ Ω P(𝑥)

pour indiquer que la proposition P(𝑥) est vraie, respectivement, pour tous les éléments, au moins un

élément, et aucun élément de l’univers.a)

@𝑥 ∈ Ω (𝑥 ∈ 𝐴) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵)

∀𝑥 ∈ Ω (𝑥 /∈ 𝐴) ∧ (𝑥 /∈ 𝐵)

b)

∃𝑥 ∈ Ω (𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 /∈ 𝐴)

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c)

∃𝑥 ∈ Ω (𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴)

Parmi les trois sous-questions 𝑎, 𝑏 et 𝑐 on peut considérer trois paires, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 et 𝑎, 𝑐.1.3. 𝑎, 𝑏 peuvent être vraies en même temps : 𝐴 et 𝐵 peuvent être vides, et il peut y avoir un 𝐶, qui

forcement ne sera pas un 𝐴.𝑏, 𝑐 peuvent être vraies en même temps : il suffit d’avoir deux éléments dans 𝐶, l’un dans 𝐴, l’autre

pas.𝑎, 𝑐 sont contradictoires : si 𝐴 est vide, il ne peut pas avoir un élément en commun avec 𝐶.

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Exercice 2

Pour chaque formule, dessiner l’arbre syntaxique et remplir la table de vérité (une colonne pour chaquenœud de l’arbre).

2.1. [(𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (¬𝑎 ⇒ 𝑏)] ⇔ 𝑏

2.2. (𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ ((𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ ¬𝑝)

2.3. ((𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ¬𝑞) ⇒ ¬𝑝

Solution de l’exercice 2

Remarque. Ce genre d’exercice peut être résolu de façon automatique, sans réfléchir, en vérifiant à chaquefois les valeurs à écrire pour chaque colonne sur le syllabus. Ceci dit, cette façon de procéder est assez lente,et plus sujette à erreur. Si par contre vous intégrez la simple règle correspondant à chaque connecteur, vousallez être à la fois plus rapides et plus précis (et vous allez effectivement apprendre la logique).

Voici un résumé :

Expression Valeur

¬𝑎 1 si 𝑎 vaut 0 et vice versa

𝑎 ∧ 𝑏 1 uniquement si 𝑎 et 𝑏 valent 1

𝑎 ∨ 𝑏 1 si au moins une entre 𝑎 et 𝑏 vaut 1

𝑎 ⇒ 𝑏 1, sauf si 𝑎 vaut 1 et 𝑏 vaut 0

𝑎 ⇔ 𝑏 1 si 𝑎 et 𝑏 ont la même valeur

Un autre avantage de connaître ces règles par coeur : vous pourrez facilement et rapidement vérifier latable en la relisant par ligne.

2.1.

Arbre syntaxique On doit d’abord identifier le sommet le plus haut, dans ce cas l’équivalence

⇔ entre le terme entre parenthèses carrées et le terme 𝑏. On continue ainsi jusqu’à on arrive aux

« feuilles » 𝑎 et 𝑏.

Table de vérité On a 2 variables indépendantes, 𝑎 et 𝑏, donc 22 = 4 éventualités possibles (tableaude 4 lignes).On commence à remplir le tableau, de gauche à droite, en énumérant les 4 éventualités, une par ligne :

𝑎 𝑏

1 1

1 0

0 1

0 0

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On procède en remplissant les autres colonnes. Ici il ne s’agit plus d’énumérer toutes les éventualités,

mais d’évaluer la valeur de vérité correspondant à chaque éventualité. On commence à rajouter les

expressions que on trouve en lisant l’arbre du bas vers le haut. D’abord ¬𝑎 ici il suffit de mettre 0 dans

les lignes où 𝑎 vaut 1, et 1 où elle vaut 0 (Syllabus sec. 3.2).

𝑎 𝑏 ¬𝑎1 1 0

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Pour 𝑎 ⇒ 𝑏 on met 0 seulement si 𝑎 = 1 et 𝑏 = 0, sinon on met 1 (voir Sec. 3.3.5) :

𝑎 𝑏 ¬𝑎 𝑎 ⇒ 𝑏

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

L’expression ¬𝑎 ⇒ 𝑏 signifie (¬𝑎) ⇒ 𝑏 : on met 0 seulement si (¬𝑎) = 1 et 𝑏 = 0, sinon 1 (voir

Sec. 3.3.4) :

𝑎 𝑏 ¬𝑎 𝑎 ⇒ 𝑏 ¬𝑎 ⇒ 𝑏

1 1 0 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 0

En remontant encore l’arbre, on trouve la conjonction des deux dernières colonnes, qui vaut 0 sauf

pour les lignes où les deux termes valent 1 (Sec. 3.3.2) :

𝑎 𝑏 ¬𝑎 𝑎 ⇒ 𝑏 ¬𝑎 ⇒ 𝑏 (𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (¬𝑎 ⇒ 𝑏)

1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0

Finalement on arrive au sommet de l’arbre avec l’équivalence entre la dernière colonne évalué et la

colonne correspondant à 𝑏. L’équivalence entre deux termes vaut 1 quand ils ont la même valeur, sinon

0 (Sec. 3.3.5) :

𝑎 𝑏 ¬𝑎 𝑎 ⇒ 𝑏 ¬𝑎 ⇒ 𝑏 (𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (¬𝑎 ⇒ 𝑏) [(𝑎 ⇒ 𝑏) ∧ (¬𝑎 ⇒ 𝑏)] ⇔ 𝑏

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1

L’expression est vraie pour toute éventualité : c’est donc une loi logique.

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2.2.

Arbre syntaxique

⇔

∨

¬

𝑝

∧

¬

𝑞

𝑝

∧

𝑞𝑝

Table de vérité

𝑝 ¬𝑝 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ ¬𝑞 (𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ ¬𝑝 (𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ ((𝑝 ∧ ¬𝑞) ∨ ¬𝑝)

1 0 1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 1 0

Le résultat est donc que la proposition est une contradiction (tout le temps fausse). Le contraire

d’une contradiction (une proposition qui est vraie dans toute éventualité) est appelé loi logique ou

tautologie. Une proposition parfois vraie et parfois fausse est dite contingente.

2.3.

Arbre syntaxique

⇒

¬

𝑝

∧

¬

𝑞

⇒

𝑞𝑝

Table de vérité

𝑝 𝑞 ¬𝑞 ¬𝑝 𝑝 ⇒ 𝑞 (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ¬𝑞 ((𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ ¬𝑞) ⇒ ¬𝑝1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1

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Exercice 3

Ces arguments sont-ils valides ?Procéder dans cet ordre :— identifier S, P, M, et les formes des trois propositions.— dessiner la conclusion sur un diagramme à deux ensembles ;— dessiner les deux prémisses sur un diagramme à trois ensembles ;— prouver la validité/invalidité en comparant les deux diagrammes.Si nécessaire pour arriver à la validité, on peut toujours assumer que 𝑆, 𝑀 , 𝑃 ne sont pas vides.

3.1.

Tout étudiant préparé va passer l’examen

Certains étudiants sont préparés

∴ Certains étudiants vont passer l’examen

3.2.Certains exercices sont faciles

Mais tout exercice demande attention

∴ Certaines tâches qui demandent attention sont faciles.

3.3.Aucun exercice n’est amusant

Certains exercices sont utiles

∴ Certaines activités utiles ne sont pas amusantes.

Solution de l’exercice 3

3.1. Examen du 2015-01-17

Structure du syllogisme

Remarque. Utilisez toujours les lettres 𝑆, 𝑃 et 𝑀 pour indiquer, respectivement, sujet, prédicat etmoyen terme : ça va être plus facile pour vous de vérifier votre solution en la comparant avec d’autresexercices, et plus facile pour nous de la corriger.

a Identifier sujet et prédicat dans la conclusion. Sujet 𝑆 : ensemble des étudiants ; prédicat 𝑃 :ensemble de ceux qui passent l’examen.

b Identifier le moyen terme : c’est le terme qui apparaît dans les deux prémisses, mais pas dans la

conclusion. Moyen terme 𝑀 : ensemble des (étudiants) préparés.

c Identifier la structure :

Tout étudiant préparé (M) va passer l’examen (P) Tout M est un P

Certains étudiants (S) sont préparés (M) Certains S sont des M

∴ Certains étudiants (S) vont passer l’examen (P) Certains S sont des P

d Identifier les formes :

Tout M est un P Universelle affirmative, MaP

Certains S sont des M Particulière affirmative SiM

∴ Certains S sont des P Particulière affirmative SiP

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Diagramme de Venn : conclusion

a Dessiner un diagramme de Venn à deux ensembles

Remarque. C’est important de marquer clairement S,P dans ce diagramme, sinon on ne peutpas évaluer votre réponse !

b On doit maintenant marquer la conclusion sur ce diagramme.

Remarque. Rappel : il n’y a que deux signes possibles :— proposition universelle : noircir la partie vide (Fig. 4.1, 4.2)— proposition particulière : marquer un 𝑋 dans la partie non vide. (Fig. 4.3, 4.4).

Certains S sont des P, particulière affirmative, 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅. Je trace donc un 𝑋 dans 𝑆 ∩ 𝑃 .

Diagramme de Venn : prémisses

a Dessiner un diagramme de Venn à trois ensembles

Remarque. C’est important de marquer clairement S,M,P dans le diagramme, sinon on nepeut pas évaluer votre réponse !

On doit maintenant marquer les deux prémisses sur le diagramme. Pour chaque prémisse, on consi-

dère les deux ensembles que elle relie dans le diagramme à trois ensembles, et on marque le contenu

de la prémisse selon les conventions illustrés au cours, voir section précédente.

b Marquer la première prémisse

Tout M est un P, universelle affirmative, 𝑀 ∖ 𝑃 = ∅ : noircir 𝑀 ∖ 𝑃 . (Fig. 4.1).

c Marquer la deuxième prémisse

Certains S sont des M, particulière affirmative, 𝑆 ∩ 𝑀 = ∅ : marquer un 𝑋 dans 𝑆 ∩ 𝑀(Fig. 4.3). Après avoir marquée la prémisse précédente, la seule partie où on peut mettre le 𝑋 est𝑆 ∩𝑀 ∩ 𝑃 .

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Remarque. Chacune des prémisses concerne deux des trois ensembles représentés : 𝑀 et 𝑃 pourla première, 𝑀 et 𝑆 pour la deuxième. Une fois identifiés les deux ensembles concernés, marquer laprémisse suit exactement les mêmes règles que pour le diagramme à deux ensembles de la conclusion,mais :

— dans la conclusion, le sujet est toujours 𝑆, le prédicat est toujours 𝑃 ; dans le prémisses 𝑀peut être sujet ou prédicat, et ceci indépendamment dans l’une et dans l’autre prémisse (voirSyllabus, Sec. 4.8). Il faut faire attention à ça car deux des quatre formes sont asymétriques :par exemple le diagrammes de 𝑀𝑎𝑃 et 𝑃𝑎𝑀 sont différents, tandis que les diagrammes de𝑀𝑒𝑃 et 𝑃𝑒𝑀 sont identiques.

— chacune des quatre parties d’un diagramme à deux ensembles est ultérieurement partitionnée endeux sous-parties dans un diagramme à trois ensembles, par la présence du troisième ensemble.— Pour marquer une universelle, on noircit tout simplement les deux sous-parties concernées,

sans s’inquiéter si l’une ou l’autre est déjà noircie.— Pour marquer une particulière, on a deux possibilités :

— soit l’une des deux sous-parties est vide (noircie), dans ce cas on marque le 𝑋 dansl’autre ;

— soit les deux sont prives de signes, dans ce cas :— si on est à la première prémisse, on marque d’abord la deuxième, dans l’espoir de

noircir une des deux sous-parties et résoudre ainsi le dilemme ;— si les deux sous-parties restent disponibles, on doit marquer le 𝑋 sur la frontière entre

les deux, pour signifier que il y a au moins un élément dans au moins une entre ces

deux sous-parties, mais on ne sait pas dans laquelle. Dans ce cas, on doit tenir comptedes deux éventualités dans la discussion de la validité : le syllogisme serait valideuniquement si la conclusion est vérifiée dans les deux éventualités a.

a. En pratique ce n’est jamais le cas ! Mais il faut quand même savoir le justifier dans la discussion pour gagner ce

point.

Validité On doit maintenant comparer le diagramme de la conclusion avec celui des prémisses pour

vérifier si la conclusion découle des prémisses.

Certains S sont des P, particulière affirmative, 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅.Pour que le syllogisme soit valide, après avoir dessinée les deux prémisses, on doit voir que la conclusionne peut pas être fausse : dans ce cas, on doit se retrouver avec au moins un 𝑋 dans 𝑆 ∩ 𝑃 . C’estbien le cas ici, car le 𝑋 de la deuxième prémisse est dans 𝑆 ∩𝑀 ∩𝑃 , une des deux parties qui forment𝑆 ∩ 𝑃 .Le syllogisme est donc valide, car la conclusion ne peux pas être fausse si les prémisses sont vraies.

Remarque. En interprétant davantage le texte, on pourrait aussi conclure que :— Ceux qui passent l’examen sont tous des étudiants (tout 𝑃 est un 𝑆)— Tout étudiant préparé est un étudiant (tout 𝑀 est un 𝑆)Ces prémisses « cachées » ne vont pas changer le résultat, ni ne sont nécessaires. Les avoir marquées

ou moins dans le diagramme n’a pas changé l’évaluation.

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3.2. Examen du 2015-05-19

Structure du syllogisme

a Identifier sujet et prédicat dans la conclusion. Sujet 𝑆 : tâches demandant attention ; prédicat 𝑃 :tâches faciles.

b Identifier le moyen terme : c’est le terme qui apparaît dans les deux prémisses, mais pas dans la

conclusion. Moyen terme 𝑀 : exercices.

c Identifier la structure :

Certains exercices (M) sont faciles (P) Certains M sont des P

Mais tout exercice (M) demande attention (S) Tout M est un S

∴ Certaines tâches qui demandent attention (S) sont faciles (P). Certains S sont des P

d Identifier les formes :

Certains M sont des P Particulière affirmative (MiP)

Tout M est un S Universelle affirmative (MaS)

∴ Certains S sont des P Particulière affirmative (SiP)

Diagramme de Venn : conclusion

Certains S sont des P, particulière affirmative, 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅. Je trace donc un 𝑋 dans 𝑆 ∩ 𝑃 .

Diagramme de Venn : prémisses

Remarque. Dans ce cas on a une prémisse particulière suivie par une prémisse universelle. On vadonc commencer par l’universelle (voir syllabus, remarque 4.4 p. 53).

Tout M est un S, universelle affirmative, 𝑀 ∖ 𝑆 = ∅ : noircir 𝑀 ∖ 𝑆 (Fig. 4.1).Certains M sont des P, particulière affirmative,𝑀∩𝑃 = ∅ :marquer un 𝑋 dans𝑀∩𝑃 (Fig. 4.3).Après avoir marquée la deuxième prémisse, la seule partie où on peut mettre le 𝑋 est 𝑆 ∩𝑀 ∩ 𝑃 .

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Validité Certains S sont des P, particulière affirmative, 𝑆 ∩ 𝑃 = ∅.Pour que le syllogisme soit valide, après avoir dessinée les deux prémisses, on doit voir que la conclusionne peut pas être fausse : dans ce cas, on doit se retrouver avec au moins un 𝑋 dans 𝑆 ∩ 𝑃 . C’estbien le cas ici, car le 𝑋 de la deuxième prémisse est dans 𝑆 ∩𝑀 ∩𝑃 , une des deux parties qui forment𝑆 ∩ 𝑃 .Le syllogisme est donc valide, car la conclusion ne peux pas être fausse si les prémisses sont vraies.

3.3. Examen du 2015-06-05

Structure du syllogisme Sujet 𝑆 : activités utiles ; prédicat 𝑃 : (activités) amusant(es).Moyen terme 𝑀 : exercices.

Aucun exercice (M) n’est amusant (P) Aucun M n’est un P MeP

Certains exercices (M) sont utiles (S) Certains M sont des S MiS

∴ Certaines activités utiles (S) ne sont pas amusantes (P). Certains S ne sont pas des P SoP

Diagramme de Venn : conclusion

Certains S ne sont pas des P, particulière négative (SoP), 𝑆 ∖ 𝑃 = ∅ : marquer un 𝑋 dans lapartie non vide 𝑆 ∖ 𝑃 (Fig. 4.4).

Diagramme de Venn : prémisses

Aucun M n’est un P, universelle négative (MeP). C’est-à-dire que l’intersection entre 𝑀 et 𝑃 est vide.On noircit donc cette partie du diagramme (𝑀 ∩ 𝑃 = ∅, comme en Fig. 4.2).Certains M sont des S, particulière affirmative (MiS), voir Fig. 4.3. C’est-à-dire que l’intersectionentre𝑀 et 𝑆 contient au moins un élément. On marque donc une croix dans cette partie du diagramme.Comme une partie de l’intersection entre 𝑀 et 𝑆 a été noirci à l’étape précédente, on est obligés àplacer la croix dans l’autre.

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Validité On vérifie maintenant si la conclusion est visible sur le diagramme des prémisses. La croixest placée dans 𝑆, sans être dans 𝑃 . Il y a donc au moins un élément de 𝑆 qui n’est pas un 𝑃 .Autrement dit, « certains 𝑆 ne sont pas des 𝑃 ».La conclusion est donc visible sur le diagramme, ce qui veut dire qu’elle découle directement desprémisses. L’argument est donc valide.

Exercices sur les réseaux : voir prochain TP (05).

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