Basisferdigheter og regneteknikk

”Det late geni eksisterer ikke!”-Vibeke Gwendoline Fængsrud

SUPERFORKURS

B&RMATEMATIKK

GANGETABELLEN

KAPITTEL 1

PROSENTREGNING

DEL 1: HVA BETYR PROSENT? PROSENT BETYR HUNDREDEL

Prosent er en av de mest utbredte matematiske metodene i dagliglivet. Følg nøye med, naskal du lære prosent. Prosentregning er viktig for a gjøre gode kjøp pa salg, og dessutenseinere i livet for din økonomi hvis du skal ta opp lan for a kjøpe bil eller hus.

REGEL

Prosent betyr hundredel, prosenttegnet ser slik ut: %

• Du kan alltid bytte ut prosenttegnet % med 1100

• Du kan alltid bytte ut a % med a100

Derfor har vi at 1 prosent av 100 kroner er 1 krone. Og 15 prosent av 100 kroner er 15kroner. Ettersom vi regner med 100 øre i en krone, er det lett a se at en prosent av enkrone er ett øre.Prosentregning er en type brøkregning. Det er brøkregning med 100-deler. Nar alle erenige om a bare regne med hundredeler, sa blir det faktisk enklere for deg!

Lag en figur med en hundrelapp og 15 kronestykker og 85 kronestykker. Elleren langpannekake pa 5 x 20 ruter, der 15 ruter er pynta med non-stop.

Prosentregning er ikke her for a plage deg, og nar du lærer det, vil det gjøre livet letterefor deg. Du vil ha stor nytte av prosentregning gjennom hele livet, sa bruk tid pa a læredeg dette ordentlig.

EKSEMPEL 1.1Her er noen prosenter du kanskje kjenner fra før:

• 100 % er helheten, siden 100 % = 100 · 1100 = 100

100 = 1

• 50 % er halvparten av helheten, siden 50 % = 50· 1100 = 50

100 = 50:50100:50 = 1

2 = 0, 5

1

EKSEMPEL 1.2Her er flere prosenter du kanskje kjenner fra før:

• 1 % er en hundredel, 1 % = 1 · 1100 = 1

100 = 0, 01 = 1100

• 5 % er en tyvendedel, 5 % = 5 · 1100 = 5

100 = 0, 05 = 120

• 10 % er en tiendedel, 10 % = 10 · 1100 = 10

100 = 0, 1 = 110

• 20 % er en femdel, 5 % = 20 · 1100 = 20

100 = 0, 20 = 15

• 25 % er en firedel, 25 % = 25 · 1100 = 25

100 = 0, 25 = 14

• 33, 3 % er ca en tredel, 33, 3 % = 33, 3 · 1100 = 33,3

100 = 0, 333 ⇡ 13

Som du kanskje ser av regningen over, er det viktig a kunne brøkregler nar man regnermed prosent. Prosentregning er brøkregning med 100 i nevner.

REPETISJON AV REGEL OM A GANGE BRØK MED TALL

a

b· c =

a · cb

REGNING MED PROSENT

Det er ikke alltid vi starter med en hel pizza eller en hel hundrelapp. Vi ma ogsa a kunneregne ut 30 % av 250 kr, eller 25 % av 700 gram kjøttdeig og mye annet.Vi har sett at prosentregning er brøkregning. En brøk betyr a se pa en del av en helhet.Helheten kan for eksempel være 700 gram kjøttdeig, og vi er interessert 25 % (altsa 25

100).

REGEL OM DEL AV EN HELHET

Nar en del er a % av en helhet har vi:

del =a

100· helheten =

a · helheten

100

Dette er den aller viktigste regelen om prosent. Regelen sier at du kan bytte utprosenttegnet (%) med 1

100 .

EKSEMPEL 1.3Beregn 25 % av 700 gram kjøttdeig. Vi skriver g for gram i utregningen.

25 % · 700 g =25 · 700 g

100=

25 · 7 g

1= 175 g

2

Nar vi regner med prosent, handler det ofte om penger. Derfor tar vi med et eksempelmed penger her:

EKSEMPEL 1.4Beregn 20 % av 2500 kr.

20 % av 2500 kr =20 · 2500 kr

100=

20 · 25 kr

1= 500 kr

Her kan du ogsa bruke at 20 % = 15 og skrive 20 % av 2500 kr = 1

5 ·2500 kr = 500 kr.

Lag din egen tegning av dette pa den ledige plassen under her. Du kan tegne500-lapper, eller tegne et annet diagram du velger selv.

Prosent brukes ogsa for a se pa forholdet mellom en del og en helhet. 34 kan være forholdet

mellom 3 boller og en hel pose med 4 boller. Her husker vi at 14 = 0, 25 = 25 %. Derfor er

1 bolle 25 %, og 3 boller er 3 · 25 % = 75 % av alle bollene i posen.

REGEL: PROSENT UTTRYKKER FORHOLD

At del = a100 · helhet, er det samme som at

del

helhet=

a

100

Da er forholdet mellom del og helhet lik a %.

Repeter gjerne at enhver brøk uttrykker et forhold.

LITT KORT OM PROMILLE. PROMILLE BETYR TUSENDEL

Noen ganger regner vi med forhold der det er mer hensikstmessig a regne med tusendelerenn med hundredeler. Du har kanskje hørt om a kjøre bil eller motorsykkel med promille.Det betyr a kjøre med alkohol i blodet. 0,2 promille sier vi og det betyr 0,2 promille spriti blodet, eller 0,2 milliliter ren sprit per 1 liter blod. Allerede ved 0,2 promille er du sapavirket at det er bade farlig og ulovlig a kjøre bil.

REGEL

Promille betyr tusendel,

• Du kan alltid bytte ut promilletegnet med 11000

3

EKSEMPEL 1.5Skriv 0,2 promille som desimaltall

0, 2 promille = 0, 2 · 1

1000=

0, 2

1000=

0, 2 · 101000 · 10 =

2

10000= 0, 0002

Merk at det gar helt fint a skrive 0,2 som teller i en brøk. Du kan bare utvidebrøken med 10 etterpa.

Hvis du laner penger i banken, kan det være at lanerenten er 3,5 % per ar.

EKSEMPEL 1.6Skriv 3,5 % som promille

3, 5 % =3, 5

100=

3, 5 · 10100 · 10 =

35

1000= 35 promille

OPPGAVER DEL 1

1.1) Utfør beregningene og gi svaret som brøk med 100 i nevner.

a) 25 % =

b) 15 % =

c) 10 % =

d) 1 % =

e) 100 % =

f) 50 % =

g) 60 % =

h) 70 % =

i) 75 % =

1.2) Utfør beregningene og gi svaret som enklest mulig brøk etter forkorting.

a) 25 % =

b) 15 % =

c) 10 % =

d) 1 % =

e) 100 % =

f) 50 % =

g) 60 % =

h) 70 % =

i) 75 % =

1.3) Utfør beregningene og gi svaret bade som brøk med 100 i nevner og somdesimaltall.

a) 25 % =

b) 75 % =

c) 10 % =

d) 90 % =

e) 100 % =

f) 0 % =

g) 35 % =

h) 65 % =

1.4) Utfør beregningene og gi svaret som brøk med 1000 i nevner.

a) 250 promille =

b) 150 promille =

c) 10 promille =

d) 1 promille =

e) 1000 promille =

f) 100 promille =

g) 600 promille =

h) 70 promille =

i) 700 promille =

4

1.5) Utfør beregningene og forenkle svaret mest mulig. Husk benevningen!

a) 25 % av 200 kr

b) 75 % av 200 kr

c) 10 % av 450 jenter

d) 90 % av 450 jenter

e) 60 % av 1000 kr

f) 40 % av 1000 kr

g) 1 % av 2200 gutter

h) 99 % av 2200 gutter

i) 70 % av 250 kr

j) 30 % av 250 kr

k) 75 % av 300 elever

l) 25 % av 300 elever

m) 25 % av 8 fotballer

n) 75 % av 8 fotballer

o) 100 % av 8 fotballer

p) 0 % av 8 fotballer

1.6 Regn ut summene av to og to delsvar i oppgava over.

• a) + b) =

• c) + d) =

• e) + f) =

• g) + h) =

• i) + j) =

• k) + l) =

• o) + p) =

• q) + r) =

• Ser du noe mønster?

DEL 2: OMGJØRING AV PROSENT, DESIMALTALL OG BRØK

A GJØRE OM FRA PROSENT TIL DESIMALTALL OG TILBAKE

At tallsystemet vart er bygget opp med 1’ere, 10’ere, 10’deler og 100’deler er grunnen tilat vi har valgt a regne med prosent (hundredeler) og promille (som betyr tusendel). Adele pa hundre er det samme som a flytte komma to plasser til venstre. Den regelen harvi allerede brukt mye i eksemplene sa langt i heftet.

REGLER FOR OMGJØRING FRA PROSENT TIL DESIMALTALLOG FRA DESIMALTALL TIL PROSENT

• Nar p er et si↵er mellom 0 og 9 har vi at p % = p100 = 0, 0p

• Nar p og q er si↵er mellom 0 og 9 har vi at pq % = pq100 = 0, pq

• A fjerne % er det samme som a flytte komma to plasser til venstre.

• A sette inn % er det samme som a flytte komma to plasser til høyre.

Den siste regelen gjelder fordi en likhet kan leses bade fra venstre mot høyre og fra høyremot venstre.

Det du ma huske om promille, er at promille betyr tusendel, sa da skal du flytte kommetre plasser. Ellers er det helt likt som a regne med prosent. Promille brukes mindre ennprosent, sa det viktigste er a kunne prosentregning. Vi ser derfor mest pa prosentregningher.

5

EKSEMPEL 1.7Vi ser pa 6 % og 75 % som eksempler. Vi ser at utregningene til høyre erunødvendige. Disse utregningene er baklengs av utregningene til venstre. Det erunødvendig a skrive dette to ganger.

6 % = 6 · 1

100=

6

100= 0, 06 0, 06 =

6

100= 6 · 1

100= 6 %

75 % = 75 · 1

100=

75

100= 0, 75 0, 75 =

75

100= 75 · 1

100= 75 %

EKSEMPEL 1.8

200 % = 200 · 1

100=

200

100= 2

200 % av en pizza er 2 pizza’er. Det er 2 ganger sa mye som en pizza. Altsa dobbeltsa mye.

Det a flytte komma to plasser gjør vi pa samme maten nar vi gjør om mellom meter ogcentimeter. Vi flytter to plasser mot venstre nar vi gjør om fra centimeter til meter og toplasser til høyre nar vi gjør om fra centimeter til meter.

EKSEMPEL 1.9 Vi far et liknende regnestykke nar vi ser pa 6 centimeter, og vilgjøre om dette til meter med desimaltall. Her bruker vi at 1 cm = 1

100 m, akkuratsom 1 % = 1

100 .

6 cm = 6 · ( 1

100m) = (6 · 1

100) m =

6

100m = 0, 06 m

Pass pa a flytte komma den riktige veien. Er du i tvil, sa bruk trikset 1 = 100100 og regn

med brøken. Se ogsa huskereglene under.

HUSKEREGLER FOR A FLYTTE KOMMA DEN RIKTIGE VEIEN

Husk at cent i prosent (pro-cent) betyr hundredelakkurat som cent i centimeter betyr hundredel

• 6 % er en liten del av helheten,akkurat som 6 cm er en liten del av 1 meter,

• 60 % er mellom halvparten og helheten,akkurat som 60 cm er mellom en halv meter og 1 meter,

• 600 % = 6, som er 6 ganger sa mye som 1,akkurat som 600 cm = 6 m, som er 6 ganger sa mye som 1 meter,

6

Denne regelen kan du ogsa bruke nar du ser pa for eksempel 7 % og 70 % eller 9 % og 90%. Du ser at det er stor forskjell pa 6 %, 60 % og 600 %. A plassere komma rett er veldigviktig! Det er stor forskjell pa 600 kroner og 6 kroner. Pass pa sa du ikke blir lurt!

A GJØRE OM FRA PROSENT TIL BRØK OG TILBAKE

REGEL FOR OMGJØRING AV PROSENT TIL BRØK

Du gjør om fra prosent til brøk ved a bytte ut %-tegnet med 1100 .

Sa kan du forkorte brøken hvis mulig.

EKSEMPEL 1.10

50 % = 50 · 1

100=

50

100=

1

2

Vi skal na se pa hvordan det kan gjøres den motsatte veien, nar vi starter med en brøk,og skal gjøre om til prosent.

REGEL FOR OMGJØRING FRA BRØK TIL PROSENT

Du kan alltid ga via desimaltall nar du skal regne om fra brøk til prosent.

Vi starter med et enkelt eksempel, nemlig 2550 . Husk at en brøk er det samme som forholdet

mellom 2 mengder.

EKSEMPEL 1.11 En gruppe bestar at 25 jenter og 50 elever totalt. Hvor mangeprosent utgjør jentene?

25

50=

1

2= 0, 5 = 0, 50 = 50 %

I siste skritt har vi brukt regelen med a flytte komme 2 plasser til høyre nar vi garfra desimaltall til prosent. Du kan ogsa bruke at du husker at 1

2 = 50 %.

Husk at vi kan gjøre om fra en brøk til desimaltall ved a utføre divisjonen for hand,eller ved a regne ut divisjonen pa kalkulator. Kalkulator er nyttig nar tallene er litt merkompliserte, som 521

743 og andre vanskelige tall.

EKSEMPEL 1.1257 ⇡ 0, 714. Sa gjør du om til prosent ved a flytte komma 2 plasser til høyre.

Svar: 57 ⇡ 0, 714 = 71, 4 %.

Mange syns ogsa at det er greit a regne ut prosenten ved a bruke likning med en ukjentx. Det skal vi se pa seinere. Na fortsetter vi med a regne som i eksempelet over.

7

EKSEMPEL 1.13 Det er 15 jenter i klassen og 25 elever totalt i klassen. Hvormange prosent av elevene er jenter?

15 av 25 er et forhold mellom to størrelser som vi skriver som brøken 1525 . Hvis du

regner pa kalkulator far du: 1525 = 15 : 25 = 0, 6. Du kan ogsa forkorte brøken og

regne ut 3 delt pa 5. Du far 0,6 uansett! Deretter bruker du regelen over om aflytte komma: 0, 6 = 60 %

Svaret er at det er 60 % jenter i klassen.

OPPGAVER DEL 2

2.1) Gjør om fra desimaltall til prosent

a) 0, 5 =

b) 0, 75 =

c) 0, 65 =

d) 0, 99 =

e) 0, 02 =

f) 1, 0 =

g) 2, 5 =

h) 6 =

2.2) Gjør om fra brøk via desimaltall til prosent

a) 14

b) 15

c) 34

d) 35

e) 25

f) 45

g) 13

h) 23

i) 3248

j) 140

k) 3045

l) 92

2.3) En fiskefilet veier 900 gram. Asma kjøper 300 gram av denne. Hvor stor prosent avhele fileten kjøpte Asma?

2.4) Pa et klassetrinn er det 85 elever. Av disse er 45 jenter. Hvor mange prosent jenterer det pa trinnet?

a) Gjør et raskt overslag over svaret.

b) Regn ut svaret nøyaktig.

2.5) En stor kake veier 1400 gram. Eirik ønsker a kjøpe 800 gram av kaka. Hvor mangeprosent utgjør det av hele kaka?

a) Gjør et raskt overslag over svaret. Lag gjerne en liten skisse av en rund kake. Lagogsa en skisse av en avlang rektangulær langpannekake med 2 ganger 7 biter.

b) Beregn svaret (bruk kalkulator)

2.6) Et kjøttstykke veier 400 gram. Ada ønsker a kjøpe 320 gram av kjøttstykket. Hvormange prosent utgjør det av hele stykket?

a) Gjør et raskt overslag over svaret. Lag gjerne en liten skisse.

b) Beregn svaret nøyaktig.

8

DEL 3: RABATT, PRISENDRING OG NYPRIS

A REGNE MED PRISENDRING OG NYPRIS I TO STEGProsent brukes veldig ofte i praktiske sammenhenger som nar en butikk har salg (som foreksempel 30 % rabatt), eller nar prisen pa en bussbillett øker med 6 %.Først repererer vi hvordan nyprisen blir ved prisendring, uten a tenke pa prosent:

REGLER FOR A REGNE MED RABATT OG PRISØKNING

Nypris = Førpris� rabatt Nypris = Førpris + prisøkning

Vi tar rabatt først, og ser pa rabatt oppgitt i prosent.

EKSEMPEL 1.14En jakke hadde førpris 2500 kroner, og prisen er satt ned med 20 %. Du vil finneut hva jakka koster na. Vi kan gjøre dette i to steg pa følgende mate:

Rabatten blir: 20 % · 2500 kr = 20 · 1100 · 2500 kr = 500 kr

Da far vi at nyprisen blir: Førpris� rabatt = 2500 kr � 500 kr = 2000 kr

Andre ganger er det slik at prisene øker med en gitt prosent. Regnestykket blir noksa likt,men her bruker vi pluss.

EKSEMPEL 1.15Et manedskort kostet tidligere 320 kr, men sa øker prisen med 15 %. Du skal regneut den nye prisen. Vi kan gjøre dette i 2 steg pa følgende mate.

Prisøkningen blir: 15 % · 320 kr = 15100 · 320 kr = 15·320

100 kr = 15·3210 kr = 48 kr

Nyprisen blir: 320 kr + 48 kr = 368 kr

A REGNE MED RABATT OG NYPRIS I ETT STEGNar du star i butikken pa salg kan det være litt vanskelig a regne ut nyprisen ved a regnei to steg slik vi gjorde i forrige avsnitt. Vi kan isteden bruke en enkel metode: Istedenfor a se pa at rabatten er 20 %, kan vi tenke at vi ma betale 80 %. Dette kan vi kalleprosentvenner, pa samme mate som at man pa barneskolen lærte at 2 og 8 er 10-er venner.

REGEL

Vi kan finne nypris etter rabatt ved a se pa prosentvenner. Prosentvennerer to tall skrevet med prosent som tilsammen gir 100 %.

Nar a %+ b % = 100% har vi at a % rabatt betyr at du betaler b % , og da er

nypris = b % · førpris = b

100· førpris

9

Prosentvenner brukes nar du vil regne ut nypris etter rabatt i ett steg. Til lærere ogspesielt interesserte elever: Prosentvenn ved rabatt er det samme som vekstfaktor vedrabatt, som er beskrevet i siste kapittel i heftet.

EKSEMPEL 1.16 Her far du noen eksempler:

• 10 % og 90 % er prosentvenner og 10 % + 90 % = 100 % = 1

• 25 % og 75 % er prosentvenner og 25 % + 75 % = 100 % = 1

• Huskeregel: 25 % rabatt betyr at du betaler 75 %.

Det er mange andre prosentvenner. Prøv a finne noen prosentvenner selv!

EKSEMPEL 1.17 En skjorte kosta tidligere 300 kr, og er nedsatt med 20 %.Da kan du tenke deg at du skal betale 80 % av førprisen, altsa 80 % av 300 kr. Vifar da det enklere regnestykket:

nypris = 80 % · 300 kr = 80 · 300100

kr = 80 · 3 kr = 240 kr

OVERSLAGSREGNING NAR DU STAR I EN BUTIKK MED SALG

Du kan bruke en forenklet versjon av denne teknikken for a gjøre enkle prisoverslag nardu star i en butikk med salg. Hvis førprisen ikke slutter pa to nuller, sa ma du runde avtil nærmeste hundelapp først, og sa bruke metoden.

REGEL

Overslag for nypris ved a se pa prosentvenner. Nar førprisen er oppgitt, ograbatten er a %, kan du bruke prosentvennen b % slik:

• Rund av førprisen til nærmeste 100-lapp. Se pa tallet for antall hundrelapper.NB: Rund førprisen oppover nar det er den nærmeste hundrelappen.

• Gang b kroner med antall hundrelapper, og du har svaret.

EKSEMPEL 1.18En bukse kosta tidligere 430 kr, og er nedsatt 20 %. Vi runder av førprisen til 400kr, altsa til 4 hundrelapper. Da kan du tenke som i forrige eksempel: Du skal betale80 %, altsa 80 kroner for hver hundrelapp i førprisen, og det er 4 hundrelapper.For et grovt overslag kan du se bort fra de 30 kronene i første omgang.

Overslag for nypris i ett steg: 80 kr · 4 = 320 kr

Vi fortsetter eksemplet, og regner litt mer nøyaktig.

10

EKSEMPEL 1.19 Det blir litt mer nøyaktig hvis du legge til de 30 kronene duikke tok med istad:

80 kr · 4 + 30 kr = 320 kr + 30 kr = 350 kr

Hvis du finner fram kalkulatoren og regner nøyaktig vil du fa deg en bittelitenhyggelig overraskelse. Du vil se at prisen blir 344 kr, som er litt lavere enn dittoverslag. Dette er fordi du ogsa far rabatt pa de 30 kronene.

OPPGAVER DEL 3

3.1) En jakke kostet ordinært 400 kroner og er satt ned med 10 %.

a) Regn først ut rabatten i kroner og deretter nyprisen. Gjør dette i 2 steg.

b) Bruk prosentvennen til 10 %, og regn ut nyprisen i 1 steg.

3.2) En jakke kostet i februar 400 kroner. I mars blir prisen satt opp med 10 %.

a) Regn først ut prisøkningen.

b) Regn sa ut nyprisen ved a lage et addisjonsstykke.

3.3) En sykkel kostet i mai 4000 kroner. I juli bli prisen blir satt ned med 30 %.

a) Regn først ut rabatten og deretter nyprisen i to steg.

b) Bruk prosentvennen til 30 %, og regn nyprisen i ett steg. Tips: 4000 kr = 40 hundre-lapper

3.4) En jakke kostet i februar 400 kroner. I mars blir prisen satt opp med 50 kroner. Regnut prisøkningen i prosent. Husk at vi spør etter endringen i prosent av førprisen.

3.5) En sykkel kostet i mai 4000 kroner. I juli kommer sykkelen pa salg, og prisen blirsatt ned med 1600 kroner.a) Regn ut nyprisen.b) Regn ut rabatten i prosent.c) Regn ut (eller tenk ut) hvor mange prosent nyprisen er av førprisen.d) Ser du noen sammenheng mellom svarene pa b) og c)? Hint: Prosentvenner

3.6) En jakke kosta i desember 810 kroner. I mars blir prisen satt ned med 30 %. Gjør etoverslag i ett steg og regn ut omtrent hva du na ma betale.

3.7) En jakke kosta i desember 900 kroner. I mars blir prisen satt ned med 40 %. Gjør etoverslag i ett steg og regn ut omtrent hva du na ma betale.

3.8) En bukse kosta i desember 620 kroner. I januar blir prisen satt ned med 70 %.a) Gjør et overslag i ett steg og regn ut omtrent hva du na ma betale.b) Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig hva du ma betale.

11

3.9) En bukse kosta i desember 540 kroner. I januar blir prisen satt ned med 60 %.a) Gjør et overslag i ett steg og regn ut omtrent hva du na ma betale.b) Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig hva du ma betale.

3.10) En bukse kosta i desember 590 kroner. I januar blir prisen satt ned med 40 %.a) Gjør et overslag i ett steg og regn ut omtrent hva du na ma betale.b) Bruk kalkulator og regn ut nøyaktig hva du ma betale.

3.11) En jakke kosta i februar 400 kroner. I mars blir prisen satt opp med 10 %. I aprilblir prisen satt ned med 10 % av prisen fra mars.

a) Regn først ut prisøkningen. Regn sa ut nyprisen i mars.

b) Regn ut rabatten pa 10 % av prisen i mars.

c) Regn ut den nye prisen pa jakka i april.

3.12) En T-skjorte kosta i februar 100 kroner. I mars blir prisen satt ned med 20 %. Iapril blir prisen satt opp med 20 % av prisen fra mars.

a) Regn først ut rabatten i mars. Regn sa ut nyprisen i mars.

b) Regn ut prisøkningen pa 20 % av prisen i mars.

c) Regn ut den nye prisen pa jakka i april.

DEL 4: BLANDA OPPGAVER MED PROSENT

Vi repeterer den aller viktigste regelen i dette heftet.

REGEL OM DEL AV EN HELHET

Nar en del er a % av en helhet har vi:

del =a

100· helhet =

a · helhet100

I oppgavene vi har sett pa sa langt har det for det meste vært a og helheten som harvært oppgitt. Men i noen oppgaver er det delen og helheten som er oppgitt, eller delen ogprosenten a som er oppgitt. Slike oppgaver løses lettest ved likning, og vi tar den metodenførst. Etterpa tar vi en metode som fungerer for de som ikke liker a regne med likninger.

A LØSE PROSENTOPPGAVER VED HJELP AV LIKNING

Regelboksen over kan brukes ogsa for a finne helheten nar a og delen er oppgitt, ved akalle helheten for x og løse likningen. Den samme metoden fungerer ogsa om det er a somer ukjent.

12

EKSEMPEL 1.20 En dress er nedsatt med en rabatt pa 400 kr. Du far opplystat rabatten er 20 % av førprisen. Finn førprisen. Førprisen er helheten og er denukjente x, delen er rabatten. Sa setter vi inn de kjente tallene:

400 kr =20

100· x =

1

5· x

Deretter blir vi kvitt 15 ved a gange begge sider av likningen med 5 for a fa x aleine

pa høyre side:5 · 400 kr = x

Førprisen (x) var 2000 kr.

Du kan kontrollregne slik: 20 % av 2000 kr = 20·2000 kr100 = 400 kr

I neste eksempel er det ogsa en ukjent, men teksten er formulert litt annerledes.

EKSEMPEL 1.21 En jakke koster na 600 og nyprisen er 75 % av førprisen. Finnførprisen.

Førprisen er helheten og er den ukjente x. Sa setter vi inn de kjente tallene:

75

100· x = 600 kr

Sa vil vi ha x aleine pa venstre side. Det gjør vi slik: Vi ganger vi begge sider medbrøken snudd pa hodet. Altsa vi ganger med 100

75 pa begge sider. Venstre side blir;10075 · 75

100 · x = 1 · x = x. Likningen blir:

x =100

75· 600 kr =

4

3· 600 kr = 800 kr

Det er sjelden det star i butikken at nyprisen er 75 % av førprisen. Butikken oppgirvanligvis rabatten. I skoleoppgaver kan det hende at de oppgir nypris i prosent av førprisenpa denne maten.Du kan ogsa bruke likning nar helhet og delen er oppgitt og det er a % som er ukjent.

A LØSE PROSENTOPPGAVER UTEN A BRUKE LIKNING

Hvis du veldig gjerne vil unnga a regne med likninger, kan du pugge denne regelen:

REGEL FOR A FINNE HELHET UTEN A BRUKE LIKNING

Nar del er oppgitt og a % er oppgitt sa kan vi finne helheten slik:

helhet =100

a· del

Vi ser pa det samme eksemplet som før, men bruker na denne metoden:

13

EKSEMPEL 1.22 En dress er satt med 400 kr. Du far opplyst at rabatten er20 % av førprisen. Finn førprisen.

førpris = helhet =100

a· del = 100

20· 400 kr = 2000 kr

Førprisen var 2000 kr.

Du kan kontrollregne slik: 20 % av 2000 = 20·2000100 = 400.

REGEL FOR A FINNE PROSENTEN UTEN LIKNING

Nar del er oppgitt og helhet er oppgitt finner vi prosenten ved a se pa brøken

del

helheten

Her regner vi videre ved a ga via desimaltall. Sa flytter du tilslutt komma’et toplasser til høyre nar du gjør om til prosent.

Dette har vi sett pa tidligere i heftet. Repeter dette hvis du er usikker. Vi ser pa eteksempel med bruk av denne regelen.

EKSEMPEL 1.23En jakke er satt ned med 100 kr. Førprisen var 250 kr. Finn ut hvor mange prosentvaren er nedsatt.

100 kr

250 kr=

2

5= 0, 4 = 0, 40 = 40 %

Repeter gjerne HUSKEREGLER for a flytte komma rett vei fra tidligere i heftet. Dukan bruke de reglene som en kontroll pa at du ikke har fatt komma pa feil sted. Enskissetegning som viser helheten (250 kr) og delen (rabatten 100 kr) kan ogsa være til godhjelp. Husk at førprisen skal være helheten.

EKSEMPEL 1.24Vi fortsetter eksemplet over og ønsker a kontrollere svaret ved a gjøre et overslag.Du kan tenke slik: Jakka er nedsatt med en del (100 kr) som er litt mindre ennhalvparten av helheten. Prosenten bør derfor være litt mindre enn 50 %. Svaretmitt ser rimelig ut.

OPPGAVER DEL 4

Du velger selv om du løser oppgavene ved likning eller ved andre metoder. Prøv gjerneogsa a regne oppgavene uten kalkulator. Da bruker du blyant og papir. Prøv gjerne ogsahoderegning!

4.1) En jakke koster na 600 kr, og nyprisen er 75 % av førprisen. Finn førprisen.

14

4.2) En jakke koster na 400 kr, og nyprisen er 80 % av førprisen. Finn førprisen.

4.3) En jakke koster na 600 kr, og førprisen var 1000 kr.a) Finn rabatten i kroner b) Finn ut hvor mange prosent jakka er nedsatt med.

4.4) En jakke koster na 300 kr, og førprisen var 500 kr. Lag gjerne en skissetegning.a) Finn ut hvor mange prosent nyprisen utgjør av førprisen.b) Finn ut rabatten i kroner. c) Finn ut hvor mange prosent jakka er nedsatt med.

4.5) En jakke koster na 600 kr, og førprisen var 750 kr.a) Finn ut hvor mange prosent jakka er nedsatt med.Velg selv om du bruker noen mellomregninger.Lag gjerne en skissetegning, og bruk denne til a se om svaret ditt virker rimelig.

4.6) En jakke koster na 250 kr og førprisen var 500 kr.a) Finn hvor mange prosent jakka er nedsatt med.

4.7) En jakke hadde førprisen pa 500 kr. Jakka er merket med: 50 % av 50 % rabatt.a) Finn ut hva jakka koster na.b) Finn ut mange prosent jakka er nedsatt i forhold til den opprinnelige prisen.

4.8) En jakke hadde førprisen 400 kr. Jakka er priset ned en gang med en rød prislapp.Det er opplyst at rødpris er 30 % prosent rabatt i forhold til førpris. Deretter er jakkaytterligere nedsatt til 50 % av prisen pa rød prislapp.

a) Finn ut hva jakka koster na.b) Finn ut mange prosent jakka er nedsatt i forhold til den opprinnelige prisen.Hint: Det kan være lurt med en mellomregning der du finner ut hvilket beløp som starpa den røde prislappen. Lag gjerne ogsa en skissetegning (bruk for eksempel en tallinjemed 0, 50, 100, 150, osv til 400). Du kan ogsa bruke at 70 % er prosentvennen til 30 %.

DEL 5:A REGNE MED PRISER MED OG UTEN MEDVERDIAVGIFT

Merverdiavgiften er en avgift staten krever pa varer og tjenester. Vi bruker forkortelsenmva. For vanlige varer er den pa 25 %. Mva. er 25 % sier vi. Men vi ma alltid stille ossselv spørsmalet: Prosent av hva? Du veit sikkert at 25 % av 100 kroner er mindre enn25 % av 200 kr. Mva. er 25 % av prisen uten mva. Mva. er ikke 25 % av utsalgsprisen.

REGEL

A beregne utsalgspris med 25 % mva.Mva. regnes som 25 % av prisen uten mva. Vi husker at 25 % = 1

4 = 0, 25

Utsalgspris = pris uten mva.+ 0, 25 · pris uten mva. = 1, 25 · pris uten mva.

15

EKSEMPEL 1.25 En butikkeier vil selge en vare til 150 kr uten mva. Hvordanser regnestykket ut for butikkeieren?

Utsalgspris = 1, 25 · 150 kr = 187, 5 kr

Av 187,5 kr skal staten ha 0, 25 · 150 kr = 37, 5 krButikkeieren sitter igjen med 187,5 kr - 37,5 kr = 150 kr, akkurat som hun ønsket.

EKSEMPEL 1.26Vi fortsetter eksemplet over og spør: Hvor mange prosent utgjør mva. (37,5 kr) avhele utsalgsprisen (187,5 kr)?

Her bruker vi det vi har lært om a ga fra brøk via desimaltall til prosent.

37, 5 kr

187, 5 kr=

375

1875= 0, 2 = 20 %

Svaret 20 % av utsalgsprisen gjelder for alle varer som har 25 % mva.

Mange tror at mva er 25 % av utsalgsprisen, men det er feil. Selv om vi sier at merverdi-avgiften er 25 %, sa utgjør den bare 20 % av prisen du betaler i butikken.

Du kan ogsa merke deg at mat og andre næringsmidler har 15 % mva.

VEKSTFAKTOR

REGLER FOR VEKSTFAKTOR

A regne med a % rabatt og a % prisøkning

Ved rabatt har vi at:

Nypris = Førpris � rabatt = 1 · førpris� a

100· førpris = (1� a

100) · førpris

Ved prisøkning har vi:

Nypris = Førpris + prisøkning = 1 · førpris + a

100· førpris = (1 +

a

100) · førpris

Vi kaller faktoren (1 + a100) og (1� a

100) for vekstfaktor.

Det er viktig a ikke blande sammen førpris og nypris. Hvis nyprisen er mindre ennførprisen, blir varen billigere. Da er vekstfaktoren mindre enn 1. Hvis nyprisen er størreenn førprisen, er vekstfaktoren større enn 1. Da er varen blitt dyrere. En viktig forskjell!

16

EKSEMPEL 1.27 Et manedskort kostet tidligere 320 kr, og prisen har økt med15 %. Du er interessert i a regne ut den nye prisen. Na regner vi ut prisen vedhjelp av vekstfaktoren.

Nypris = (1 +15

100) · førpris = 1, 15 · førpris

Nar vi setter inn, far vi at nypris = 1, 15 · 320 kr = 368 kr

MERK: Ordet vekstfaktor brukes ogsa ved rabatt, selv om den nye prisen har krympa iforhold til den gamle prisen.

EKSEMPEL 1.28 Vekstfaktor og prosentvenner er det samme20 % rabatt tilsvarer en vekstfaktor pa (1� 20

100) = 1� 20 % = 80 %. Vi husker at20 % og 80 % er prosentvenner. Her ser vi at vekstfaktor og prosentvenner hengersammen. Det er faktisk det samme nar vi regner med rabatt.

Vi kan ogsa bruke vekstfaktor til a vise at merverdiavgiften (mva.) alltid vil utgjøre 80 %av førprisen nar mva er 25 %.

REGEL

A beregne mva. som prosent av utsalgsprisVi har allerede sett at vekstfaktoren er 1,25 nar mva. skal legges til pris uten mva.Vi kaller pris uten mva. for x og far likningen:

Utsalgsprisen = (1, 25) · x =5

4· x

Vi løser denne likningen ved a gange begge sider med 45 og far:

x =4

5· utsalgspris = 80 % av utsalgspris

At prisen uten mva. er 80 % av utsalgsprisen betyr at mva. utgjør 20 % av ut-salgsprisen.

Dette regnestykket gjelder for alle varer som har 25 % merverdiavgift.

Uansett om du liker likninger eller ikke kan du pugge regelen.

OPPGAVER DEL 5

5.1) En hylle er merket med 400 kr uten mva. Hva blir prisen du ma betale med mva.?

5.2) En kjøpmann vil sitte igjen med 300 kr for en jakke. Han ønsker altsa en pris utenmva. pa 300 kr. Hva ma han sette som utsalgspris?

5.3) En bukse er merket 300 kr inkl. mva. Hva er prisen uten mva.?

5.4) En kjole kosta 200 kr, og prisen blei satt opp med en vekstfaktor pa 1,15. Hva ernyprisen pa kjolen?

17

Fasit

OPPGAVER DEL 1

1.1) Svaret som brøk med 100 i nevner

a) 25100

b) 15100

c) 10100

d) 1100

e) 100100 (= 1)

f) 50100

g) 60100

h) 70100

i) 75100

1.2) Svarene som enklest mulig brøk etter forkorting

a) 14

b) 320

c) 110

d) 1100

e) 1 (= 11)

f) 12

g) 35

h) 710

i) 34

1.3) Svarene bade som brøk med 100 i nevner og som desimaltall

a) 25100 = 0, 25

b) 75100 = 0, 75

c) 10100 = 0, 1

d) 90100 = 0, 9

e) 100100 = 1

f) 0100 = 0

g) 35100 = 0, 35

h) 65100 = 0, 65

1.4) Svarene som brøk med 1000 i nevner

a) 2501000

b) 1501000

c) 101000

d) 11000

e) 10001000

f) 1001000

g) 6001000

h) 701000

i) 7001000

1.5) Utfør beregningene, og forenkle svaret mest mulig. Husk benevningen!

a) 50 kr

b) 150 kr

c) 45 jenter

d) 405 jenter

e) 600 kr

f) 400 kr

g) 22 gutter

h) 2178 gutter

i) 175 kr

j) 75 kr

k) 225 elever

l) 75 elever

m) 2 fotballer

n) 6 fotballer

o) 8 fotballer

p) 0 fotballer

1.6 Regn ut summene av to og to delsvar i oppgava over

• a) + b)= 200 kr

• c) + d)= 450 jenter

• e) + f)= 1000 kr

• g) + h)= 200 gutter

• i) + j)= 250 kr

• k) + l)= 300 elever

• m) + n)= 8 fotballer

• o) + p)= 8 fotballer

• Mønster? Summen erhelheten som var detsamme i disse to opp-gavene.Se prosentvenner

18

OPPGAVER DEL 2

2.1) Gjør om fra desimaltall til prosent

a) 50 %

b) 75 %

c) 65 %

d) 99 %

e) 2 %

f) 100 %

g) 250 %

h) 600 %

2.2) Gjør om fra brøk via desimaltall til prosent

a) 0, 25 = 25 %

b) 0, 2 = 20 %

c) 0, 75 = 75 %

d) 0, 6 = 60 %

e) 0, 4 = 40 %

f) 0, 8 = 8%

g) ⇡ 0, 33= 33, 3 %

h) ⇡ 0, 67= 66, 7 %

i) ⇡ 0, 67= 66, 7 %

j) 0, 025 = 2, 5 %

k) ⇡ 0, 33= 33 %

l) 4, 5 = 450 %

2.2) Gjør om fra desimaltall til prosent

a) 50 %

b) 75 %

c) 65 %

d) 53 %

e) 80 %

f) 99 %

g) 2 %

h) 100 %

i) 200 %

j) 150 %

k) 250 %

l) 600 %

2.3) 33, 3% (avrundet)

2.4) a) Litt over halvparten, litt over 50 %, b) 52,9 % (avrundet)

2.5)

a) Litt over halvparten og mindre enn 34 , ca 60 % .

Ev. del kaka i 14 stykker, som hver veier 100 g, kunden kjøper 8 stykker 814 = 4

7

b) 58, 2% (avrundet)

2.6) a) Cirka 34 , dvs ca 75 %, b) 80 %

OPPGAVER DEL 3

3.1) Rabatten: 40 kroner, nypris:360 kr.

3.2) Prisøkningen:40 kr, nypris: 440 kr

3.3) Rabatten: 1200 kr, nypris :2800 kr, 40 · 70kr = 2800 kr

3.4) Prisøkningen i prosent: 50 kr400 kr = 1

8 = 12, 5%

3.5) a) Nypris: 2400 kr, b) Rabatten i prosent:1600 kr

4000 kr= 0, 4 = 40%

19

c) 60% av førprisen. d) Prosentvennene 60 % + 40 % = 100 % = 1.

3.6) a) Ca 560 kr (eller 560 kr +10 kr = 570 kr)

3.7) a) Eksakt 540 kr.

3.8) a) Ca 180 kr (eller ca 180 kr + 10 kr = 190 kr) b) Eksakt 186 kr

3.9) Et lavt overslag er 40 kr · 5 = 200 kr. Eksakt 216 kr

3.10) Et høyt overslag 60 kr · 6 = 360 kr. Eksakt: 354 kr

3.11) a)Prisøkningen er 40 kr; b) Nypris i mars: 440 kr;

c) 10 % av prisen i mars: 44 kr, aprilpris blir 396 kr (NB: svaret er ikke 400 kr!)

3.12) a) Rabatten i mars: 20 kr; b) Nyprisen i mars: 80 kr gir prisøkning pa 16 kr;

c) nyprisen i april: 96 kr (NB: svaret er ikke 100 kr!)

OPPGAVER DEL 4

4.1) Førprisen er 800 kr

4.2) 500 kr

4.3) a) 400 b) 40 %

4.4) a) 60 % b) 200 kr c) 40 %

4.5) a) 150750 = 1

5 = 0, 2 = 20%

4.6) a) Nedsatt til halvparten = 50 %.

4.7) a) 125 kr b) 14 ( 0, 5 · 0, 5 = 0, 25 ) eller ( 1

2 ·12 = 1

4 )

4.8) a) 140 kr ( rødpris = 280 kr) Rødpris er 70 % av førpris, b) 65 %

OPPGAVER DEL 5

5.1) 500 kr med mva.

5.2) Utsalgspris: 375 kr.

5.3) Prisen uten mva. = 240 kr.

5.4) Nyprisen er 230 kr.

20