Forkurs i matematikk og statistikk for biologistudenterDag 1

π

Tall et punkt på tall‐linjen ‐∞ til +∞

Irrasjonale tall: kan ikke skrives som brøk av to heltall

, π= 3.141593…, naturlige tallet e= 2.718282…

Reelle tall:Naturlige tall (telletallene, heltallene) 0 1 2 3 4 Heltall (integer): ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 …Rasjonale tall m/n, n≠0. Brøk :teller over brøkstreken, nevner under .Desimaltall: 4=4.00000, 3/4=0.750000

Uekte brøk : teller > nevneren, brøk>1 Utvide brøk:multiplisere teller og nevner med samme tallForkorte brøk: Når teller og nevner er faktorisert kan et likt tall i teller og nevner erstattes med tallet 1. Hvis teller og nevner er like store blir brøken lik tallet 1. Et blandet tall er sammensatt av et heltall og en brøk, 2½. En uekte brøk kan presenteres som et blandet tall. En brøk som har 0 (null) i teller blir lik 0. Et heltall n kan omgjøres til en brøk: 3= 3/1

Transcendentale tall : ikke løsning av noen algebraisk ligning med rasjonale koeffisienter

#Det naturlige tallet e som en sumn<‐seq(0,100,1)sum(1/factorial(n))[1] 2.718282#sammenlign med eexp(1)[1] 2.718282#Leibniz rekkeatan(1)[1] 0.7853982pi/4[1] 0.7853982

n<‐seq(0,1E6,1)sum((‐1)^n*1/(2*n+1))[1] 0.7853984#ln2n<‐seq(1,1E6,1)sum((‐1)^(n‐1)/n)[1] 0.6931467log(2)[1] 0.6931472

komplekse tall

z<‐2+3*1iRe(z)[1] 2Im(z)[1] 3plot(z)abline(v=2,h=3,col=3)arrows(0,0,2,3)#lengdeMod(z)[1] 3.605551#polarvinkelArg(z)[1] 0.9827937

#Summen av to komplekse tall z og z1z<‐2+3*1iz1<‐3+2*1iz3<‐z+z1

i<‐0+1i;i #komplekst tall i[1] 0+1ii^2 #i opphøyd i andre[1] ‐1+0ii^3 #i^3[1] 0‐1ii^4[1] 1+0ii^5[1] 0+1i

#Addere8+16[1] 24#Subtrahere25‐6[1] 19#Minus minus gir pluss‐5‐(‐2)[1] ‐3#Dividere56/7[1] 83/4[1] 0.75#Multiplisere7*8[1] 56#Kvadratrotsqrt(9)[1] 3

#Potens2^3[1] 8#Heltallsdivisjon32%/%5[1] 6#masse C‐atom12/6.023E23[1] 1.992363e‐23#5 pluss 7 modulo 9(5+7)%%9[1] 3

En potens består av et grunntall og en eksponent

. Primtall <50 er 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

Det finnes uendelig mange primtall. Eulers formel er:

hvor p er primtall. Ethvert positivt tall kan uttrykkes som et unikt produkt av primtall.

Riemanns zetafunksjon Heltallsverdiene s kan uttrykkes som zeta s (ζ(s))

n<‐seq(1,10000,1) #tall fra 1 til 10000sum(1/n^2) #sum av 1/n^2[1] 1.644834pi^2/6 #sjekker at dette =pi^2/6[1] 1.644934

n<‐seq(1,100000,1)#Summerer rekken 1/n fra 1‐100000x<‐sum(1/n);x [1] 12.09015# Sammenligner med log(n) + gamman<‐100000log(n)+ 0.5772156649[1] 12.09014

Et irrasjonalt tall, 1.2020569032… kalt Apérys konstant

n<‐seq(1,1E6,1) #en rekke heltall fra 1‐1 millionx<‐sum(1/(n^3));x #summerer 1/n^3[1] 1.202057

library(schoolmath)data(primlist)primlist[2:200] #De 200 første primtallene

[1] 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47[16] 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113[31] 127 131 133 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193[46] 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 259 263 269 271[61] 277 281 283 293 301 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359[76] 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449[91] 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 511 521 523 541 547

[106] 553 557 559 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619[121] 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727[136] 733 739 743 751 757 761 769 773 787 793 797 809 811 817 821[151] 823 827 829 839 853 857 859 863 871 877 881 883 887 889 907[166] 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013[181] 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103[196] 1109 1117 1123 1129

Primtallene kan ikke skrives som et produkt av to mindre tall

Goldbachs binære konjektur : ethvert liketall >4 kan uttrykkes som en sum av to primtall: 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7 og 5+5,

Primtallesteoremet: Når n går mot uendelig blir antall primtall ≤ n lik

Tvillingprimtall er primtall med to på hverandre følgende primtall av oddetalltypen 3&5, 5&7, 11&13 osv. Hvis man tar den resiproke av primtalltvillinger og summerer dem får man en rekke som konvergerer mot Bruns sum 1.90216….

Stor Liten Navn Stor Liten Navn

Α α Alfa Ν ν Nu

Β β Beta Ξ ξ Xi

Γ γ Gamma Ο ο Omikron

Δ δ Delta Π π Pi

Ε ε Epsilon Ρ ρ Rho

Ζ ζ Zeta Σ σ Sigma

Η η Eta Τ τ Tau

Θ θ Theta Υ υ Upsilon

Ι ι Iota Φ φ Phi

Κ κ Kappa Χ χ Chi

Λ λ Lambda Ψ ψ Psi

Μ μ Mu Ω ω Omega

Euklids aksiomer for punkter, linjer og sirkler

For en vilkårlig trekant med hypotenus c og vinkel theta motstående til hypotenusen gjelder:

Areal (A) av et kvadrat med like sider h:

Arealet av trekant med bredde b og høyde h:

Areal av parallelogram:

Areal av trapes:

En sirkel med sentrum i origo og radius r, og 0≤θ≤2π kan beskrives som polarkoordinater:

Hvis sentrum i sirkelen ligger i (x0,y0) så har vi:

#Sirkel med radius a=2 og vinkel thetatheta<‐ seq(0,2*pi,length=100)a<‐2x<‐a*sin(theta)y<‐a*cos(theta)plot(x,y,type="l“)

Vi kan generelt finne avstanden dmellom to punkter A=(x1,y1) og B (x2,y2) i planet:

#avstanden mellom A(‐1,2) og B(‐1,‐1)d<‐sqrt((‐1‐(‐1))^2+(‐1‐2)^2);d[1] 3

Sirkelens kvadratur, kubens fordobling og vinkelens tredeling

Praktiske øvelser dag 1

gamma(1/2)[1] 1.772454sqrt(pi)[1] 1.772454