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Fondamenti di controllo di processo
Stefano Miani1
1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e MeccanicaUniversita degli Studi di Udine
Gennaio 2007
Programma del modulo
1. Modelli di processo (2 ore)
2. Strumenti per l’analisi (10 ore)I trasformateI funzioni di trasferimentoI stabilita’ e marginiI risposta in frequenzaI strumenti software per la modellazione di sistemi di controlloI specifiche del sistema in retroazione
3. Regolatori industriali (2 ore)I Controllo a relayI Controllo PIDI Processi target
Controllo di processo: celle di lavorazione automatica peroperazioni ripetitive/pericoloseScopo:
I riduzione costi;
I qualita’;
Problema: isole realizzate con dispositivi eterogenei e protocollidiversiIntegrazione dei flussi informativi a livello aziendale medianteadozione standard
I migliore utilizzo risorse mediante accurata pianificazione(anche real time);
I flessibilita’ produzione (nuove lavorazioni);
I riduzione tempi produzione;
I miglioramento progettazione prodotti (informazioni nonambigue);
I identificazione, conservazione e riutilizzo informazioni relativeai prodotti;
I controllo della produzione;
I riduzione scarti;
I riduzione scorte;
Struttura a livelli
GestioneaziendaGestione
stabilimentoSupervisione
integrata
Supervisione di cella
Sistemi di controllo
1
3
4
5
6
2
Piano officina (campo)
PLC, CN,controlloriper robot
sottoprocesso produttivo
sensori, attuatoriprocessi fisici
dispositivi di controlloconfigurazione parametri (PC, PLC)"completo" , ottimizzazione, raccolta info,
basi di dati, coordinamento tra celle,operatori umani, pianificazione (PC; workstation)
produzione, logistica, amministrazione,manutenzione, pianificazione, ordini (Sist. inf. az.)
flussi fisici e finanziari
Livello 1: schema a livelli
Livello 1: piano officina (campo). Realizza funzioni di misura ecomando sui processi produttivi. Dispositivi interagenti con ilprocesso fisico: sensori, attuatori.
CONTROLLO
SISTEMA DI
PROCESSO FISICO
ATTUATORISENSORI
DISTURBI
MATERIALI
ENERGIA
MATERIALI
ENERGIA
informazioni
Livello 1, schema “controllistico”
+
–
+ +Controllorein retroazione Attuatore Processo
Trasduttoredel disturbo
Misuradel disturbo
Misuradel segnale
di riferimento
Segnaledi riferimento
Variabiledi controllo
Variabilecontrollata
Variabilemanipolabile
Disturbosull’attuatore
Disturbosul processo
Misura dellavariabile controllata Trasduttore
della variabilecontrollata
Disturbosul trasduttore
Disturbosul trasduttore
CompensatoreTrasduttoredel segnale
di riferimento
Livelli 2 e 3
Livello 2: sistemi di controllo. Funzioni di controllo di processi efunzioni di sicurezza. Controllori interagenti con dispositivi dilivello 1: PLC, regolatori, CNC, etc.
Livello 3: supervisione di cella. Sviluppo di un sottoprocessoproduttivo completo mediante varie macchine (e controllori).Coordinamento delle macchine. Configurazione dei parametri dellivello 2, ottimizzazione (traiettorie, sequenze, etc.). Possononecessitare di intervento umano.
Controllo della posizione di un carroponte
I riduzione dei tempi di spostamento dei materiali
I risparmio energetico
I sicurezza
mt
mp
x
Θ
l
I=Momento di inerzia del pendolo rispetto al baricentro;mp=massa del pendolo;mt=massa del carrello;b=coefficiente di attrito aerodinamico;g=accelerazione di gravita;l=distanza del baricentro del pendolo dal centro di rotazione
Equazioni fondamentali
ΣF = Ma
Στ = Iα
(I + mpl2)θ + mpgl sin(θ) + mpl x cos(θ) = 0
(mt + mp)x + bx + mpl θ cos(θ)−mpl θ2 sin(θ)− u = 0
Comportamento del sistema simulabile mediante Simulink
a=x..
Σ F
α=θ..
v=x. x
ω=θ. θΣ τ
Rotazione
Traslazione
cos
TrigonometricFunction1
sin
TrigonometricFunction
Step
Scope1
Scope
Product2
Product1
Product1s
Integrator3
1s
Integrator2
1s
Integrator1
1s
Integrator
−K−
Gain1
−K−
Gain
−K−
Attrito1
−b
Attrito
−K−
1/M
−K−
1/I
Figura: Schema Simulink del carroponte
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
t
θ
Figura: Grafici dell’andamento della posizione del carroponte edell’angolo del carico
Controllo di livello
I Efficienza, riduzione dei costi di produzione
I Velocita elevate (2 m/min) e prodotti larghi (0.42 m2)
I Perturbazioni sensibili nel processo
I Velocita/stabilita
���������������
���������������
���������������
���������������
Submerged nozzle
Stopper Rod
Molten steel
Level sensor
Water cooled mold
Extracting speed V
Reference level
ActuatorLadle
Tundish Controller
��������������
Water cooled mold
Controller
ActuatorStopper Rod
Reference level
Level sensor
Tundish
Submerged nozzle
Molten steel
Ladle
Extracting speed V
Controller
ActuatorStopper Rod
Level measurement������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
Q o
Q i
U
O
y(t) =1
C
∫ t
0(qi (τ)− q0(τ))dτ
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Figura: Risposta (nominale) dello stopper a un segnale a gradino di u
Fenomeno di clogging/unclogging
(Dussud et al. 1998) clogging/unclogging ' disturbo p(t) agentesulla posizione di apertura dello stopper Ac ' 10× 10−3m,Tc ' 600s
Qi
1+s τK
Ac
cT
Nonlineartime-varying
model
Linear time-invariantwith additive disturbance
QiK
1+s τ
p(t)p(t)
t
+
-O O
11+.5s
530 535 540 545 550 555 560 565 570 575 580−5
0
5
10
Time (seconds)
Figura: Simulazione del comportamento in presenza di unclogging
Reference level
Levelmeasure
QioQ
Extractingspeed
N (s)
D (s)c
c W (s)P
W (s)D
Controller
Actuator Model
+
p(t)
+-
-
+
Actual level
++
filterLow-pass
Measurementnoise
y
Process
V
-
K 1
2K W (s)A s
Clogging/Uncloggingdisturbance
n(t)
1. Taratura del PID per garantire buoni margini di stabilita
2. (ri) taratura locale per reiezione ai disturbi
3. Progetto del filtro passa-basso per l’errore di misura
Controllo di posizione di una struttura flessibile
I Tempi di risposta ridotti (1 s)
I Dimensioni non trascurabili (60/120m)
I Funzionamento in diverse condizioni
Imc ϑ0(t) = −k [ϑ0(t)− ϑ1(t)] + τ(t)
Iv ϑi (t) = −k [ϑi (t)− ϑi−1(t)]− k [ϑi (t)− ϑi+1(t)] + τi (t)L
= −2k ϑi (t) + k ϑi−1(t) + k ϑi+1(t) + τLi (t)
Iv ϑ20(t) = −k [ϑ20(t)− ϑ19(t)] + τL20(t) i = 1 . . . 19
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Time (s)
Ang
ular
pos
ition
(deg
)
position
position
tip
motor
Figura: Simulazione della risposta all’impulso del sistema oscillante
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Time (s)
Tip
ang
ular
pos
ition
(de
g)
Figura: Grafico dell’andamento simulato del sistema reale (120 m) e realedel sistema da laboratorio (2 m)
Gradino, rampa e parabola
Gradino (o step)
δ−1(t) = sca(t) =
{0 per t < 01 per t ≥ 0
Rampa
δ−2(t) = ram(t) =
{0 per t < 0t per t ≥ 0
Parabola
δ−3(t) = par(t) =
{0 per t < 0t2
2 per t ≥ 0
1
t
t
t
Impulso
δ−2(t) =∫ t−∞ δ−1(τ)dτ δ−1(t) = dδ−2(t)
dt = δ−2(t)
δ−3(t) =∫ t−∞ δ−2(τ)dτ δ−2(t) = dδ−3(t)
dt = δ−3(t)
“Derivando” il gradino siottiene l’impulso δ(t) (Delta diDirac)
δ−1(t) =
∫ t
−∞δ(τ)dτ t0
Definizione, proprieta, antitrasformata
s ∈ C, s = σ + iω
e−st = e−σte−iωt = e−σt (cos(ωt) + i sin(ωt))
F (s) = L[f (t)] =
∫ +∞
0−f (t)e−stdt (∃ σ integrale esiste σ > σ)
Operatore lineare
L[αf (t) + βg(t)] = αF (s) + βG (s)
Trasforma derivate e integrali in t in operazioni algebriche in s
L[f (t)] = sF (s)−f (0)(f (0−) se discontinua
)L[
∫ t
0f (τ)dτ ] =
1
sF (s)
Per ogni f (t) esiste una sola F (s) e viceversa.
Tabella delle trasformate piu comuni
f (t) F (s)
f (t) sF (s)− f (0)
f (t) s2F (s)− sf (0)− f (0)∫ t0 f (τ)dτ 1
s F (s)
δ−1(t)1s
eαt f (t) F (s − α)
eαt 1s−α
δ−2(t)1s2
δ(t) 1
sin(ωt) ωs2+ω2
cos(ωt) ss2+ω2
eαt sin(ωt) ω(s−α)2+ω2
f (t − τ) e−τsF (s)
Antitrasformata
f (t) = L−1[F (s)] =1
2πi
∫ σ+i∞
σ−i∞F (s)estds (σ > σ)
Segnale con trasformata razionale
U(s) =N(s)
D(s)=
∑i
Ai
s − pi(pi = poli)
Ai = lims→pi
U(s)(s − pi ) (Ai = residuo di U(s) in pi )
Esempio: antitrasformata semplice
U(s) =s + 1
(s + 3) (s + 2)
A1 = lims→−3
s + 1
s + 2=−2
−1A2 = lim
s→−2
s + 1
s + 3=−1
1
U(s) =2
s + 3+
−1
s + 2
U(s) =∑
i
Ai
s − pi=⇒ u(t) =
∑i
Aiepi t
Esempio: continua da esempio precedente
u(t) = 2e−3t − e−2t
Se polo pi = α + iω complesso allora ∃ p∗i = α− iω
Ai
s − pi
A∗is − p∗i
y1 : Ais−pi
=⇒ Aieαte iωt y2 :
A∗is−p∗i
=⇒ A∗i eαte−iωt
y1 + y2 = 2|Ai |eαt cos (ωt + θ)
Polo reale: p = α → eαt
Coppia di poli complessi: p = α± iω → eαt cos (ωt + θ)
Dalle equazioni differenziali alla funzione di trasferimento
My(t) + by(t) + Ky(t) = u(t)(Ms2 + bs + K
)Y (s)− sMy(0)− y(0)− by(0) = U(s)
Se y(0) = 0 e y(0) = 0, allora
Y (s)
U(s)= W (s) =
1
Ms2 + bs + K
W (s) = Y (s)U(s) e il rapporto tra le trasformate dei segnali in uscita e
in ingressou(t) = δ(t) (U(s) = 1) =⇒ Y (s) = W (s)U(s) = W (s)Trasformata della risposta all’impulso (risposta impulsiva)
Albero con motore e due volani in figura, in cui viene fornita lacoppia motrice cm al primo volano mediante albero rigido.
cmθ1
B B1
θ2
2
L’albero tra i due volani, di inerzia J1 e J2, e’ elastico e la coppiadi richiamo elastica e’ pari a Cel = K (θ1 − θ2).Coppia di attrito sui due supporti: cattr
i = Biωi
Uscita=y = θ1, ingresso=u = cm
J1θ1 = cm − cattr1 − K (θ1 − θ2)
J2θ2 = −cattr2 + K (θ1 − θ2)
W (s) =s2J2 + sB2 + K
s (s3J1J2 + (J1B2 + J2B1) s2 + (J1K + J2K + B1B2) + K (B1 + B2))
In forma di stato:x1 = x2
x2 = 1J1
u − B1
J1x2 − K
J1(x1 − x3)
x3 = x4
x4 = −B2
J2x4 + K
J2(x1 − x3)
y = x1
Funzione di trasferimento razionale
W (s) =NW (s)
DW (s)
Ingresso con trasformata razionale
U(s) =NU(s)
DU(s)
=⇒ Uscita con trasformata razionale
Y (s) = W (s)U(s) =∑
i
Ai
s − pi
y(t) =∑
i
Aieαi t +
∑j
|Aj |eαj t cos (ωj + θj)
Funzioni di trasferimento elementari
Funzione di trasferimento proporzionale
G (s) = Kp =⇒ Y (s) = KpU(s), y(t) = Kpu(t)
Funzione di trasferimento derivativa (o derivatore ideale)
G (s) = s =⇒ Y (s) = sU(s), y(t) = u(t) (u(0) = 0)
Funzione di trasferimento integrale (o integratore)
G (s) =1
s=⇒ Y (s) =
1
sU(s), y(t) =
∫ t
0u(τ)dτ
Zeri, poli e rappresentazioni
G (s) =bmsm + bm−1s
m−1 + . . . b0
sn + an−1sn−1 + . . . a0
Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G (s)G (s) e stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa
G (s) =
µ∏
i (1 + sτi )∏
i
(1 + 2ξni
sωni
+(
sωni
)2)
sg∏
i (1 + sTi )∏
i
(1 + 2ξdi
sωdi
+(
sωdi
)2)
Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1s )
Parametri caratteristici
Valore di regime y∞, valore massimo ymax
Sovraelongazione massima S% = 100 ymax−y∞y∞
Tempo max sovraelongazione TM , Tempo di salita Ts (y(t) da0, 1 a 0, 9 di y∞)
Parametri caratteristici
Tempo di ritardo Tr (y(t) = 0, 5y∞)Tempo di assestamento Taε (y(t) in (1− 0.01ε)y∞,(1 + 0.01ε)y∞)Periodo oscillazione Tp
G (s) =µ
1 + sTy(t) = µ
(1− e−t/T
)
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/T
y/µ
y∞ S% Ts Tr Ta5 Ta1
µ 0 ' 2.2T ' 0.7T ' 3T ' 4.6T
G (s) = µ(1+sT1)(1+sT2)
, T1 > T2
y(t) = µ(1− T1
T1−T2e−t/T1 + T2
T1−T2e−t/T2
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y/µ
t
T1=1, T
2=3
y∞ S%
µ 0
G (s) = µ
1+2ξs/ωn+(s/ωn)2
y(t) = µ
(1− 1√
1−ξ2e−ξωnt sin
(ωnt
√1− ξ2 + arccos ξ
))
ξ: smorzamento (critico=√
22 )
ωn: pulsazione naturaley∞ µ
S% 100−ξπ/√
1−ξ2
Taε − 1ξωn
ln 0.01ξ
Risposta in frequenza
Funzione di trasferimento W (s) stabile
u(t) = A sin(ωt + φ)
Y (s) = W (s)U(s)
I modi del sistema decadono =⇒ restano i modi in ingresso
yrp(t) = A|W (iω)| sin (ωt + φ + arg (W (iω)))
Se il sistema e stabile si comporta come un guadagno e unosfasatore (variabili) alle varie frequenze
W (s) =1
(s + 1)(s + 3)
u(t) = sin(t) =⇒ y(t) =
∣∣∣∣ 1
(1i + 1)(1i + 3)
∣∣∣∣ sin
(t + ∠
1
(1i + 1)(1i + 3)
)
Diagrammi di Bode
G (iω) = |G (iω)|e i arg(G(iω)): risposta in frequenzaRappresentazione grafica di modulo e fase
|G (iω)|dB = 20 log10 |G (iω)|
|G (iω)|dB = |µ|dB +∑
j |1 + iωτj |dB +∑
j
∣∣1 + 2iξNj ω/ωN
j − ω2/ω2j
∣∣dB−
g |ω|dB −∑
j |1 + iωTj |dB −∑
j
∣∣1 + 2iξDj ω/ωD
j − ω2/ω2j
∣∣dB
arg (G (iω)) = arg(µ) +∑
j arg (1 + iωτj) + · · · −∑j arg
(1 + 2iξD
j ω/ωDj − ω2/ω2
j
)µ 1/s 1/ (1 + sT ) 1/ (1 + 2ξs/ωn + s2/ω2
n)
|µ|dB = 20 log10 |µ| arg(µ) =
{0 se µ > 0−π se µ < 0∣∣∣∣ 1
(iω)g
∣∣∣∣dB
= −20g log10 ω arg
(1
(iω)g
)= −g
π
2
∣∣∣∣ 1
1 + iωT
∣∣∣∣dB
=
{0 se ω � 1/|T |−20 log10 ω − 20 log10 |T | se ω � 1/|T |
arg
(1
1 + iωT
)=
{0 se ω � 1/|T |−π
2 sign(T ) se ω � 1/|T |
∣∣∣∣ 1
1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n
∣∣∣∣dB
=
{0 se ω � ωn
−40 log10ωωn
se ω � ωn
arg
(1
1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n
)=
{0 se ω � ωn
−π sign(ξ) se ω � ωn
Pulsazione critica ωC : |G (jωC )| = 1
−150
−100
−50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−270
−180
−90
0
Pha
se (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Margine di fase φm: φm = π + ∠(G (jωC ))
Pulsazione di attraversamento ωπ: ∠G (jωπ) = −πMargine di guadagno.
k : m =1
|G (jωπ)|
−150
−100
−50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−270
−180
−90
0
Pha
se (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Carroponte
W (s) =0.1
s
1 + 2 · 1.61(10−16) (s/0.99) + (s/0.99)2
(19.96s + 1)(1 + 2 · 1.78(10−2) (s/1.40) + (s/1.40)2
)
−200
−150
−100
−50
0
50From: Input Point To: Output Point
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Il modello2 lineare permette di valutare il comportamento delsistema
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25nonlinearelineare 0.1+0.1u
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0nonlinearelineare−.15+.15u
Quando viene chiusa la retroazione il comportamento cambia
C(s)
H(s)
r +y
P(s)−
I P(s)= funzione di trasferimento del processo (modello delprocesso)
I C (s)=funzione di trasferimento del controllore (realizzata daappositi dispositivi, vedi parte Prof. Vitturi su PLC)
I H(s)=funzione di trasferimento del trasduttore (posta pari a 1nel seguito)
C(s)
H(s)
r +y
P(s)−
L’effettivo comportamento I/O e dettato da L(s) = C (s)P(s):
Wry (s) =C (s)P(s)
1 + C (s)P(s)
I passaggio da stabilita a instabilita (e viceversa);
I tempi di risposta del sistema ad anello chiuso;
Modifica dei margini di stabilita
P(s) =10
(s/3)2 + 2 · 0.5 · s/3 + 1, C (s) =
10s + 1
s
−50
0
50
100M
agni
tude
(dB
)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Margini piccoli o negativi =⇒ sistema prossimo all’instabilita oinstabile
I Tempi di risposta: dipendono dalla banda passante ωW diW (s) (si pensi alla banda passante di un sistema del primoordine)
I ωW dipende dalla pulsazione critica ωLC di L(s)
I Modifica dei tempi di risposta ottenuta mediante opportunascelta di ωL
C
I Per il sistema ad anello chiuso vale
ωW ' ωLC
I Banda ad anello aperto non aumentabile a piacere perI realizzabilita componentiI stabilita in presenza incertezzeI disturbi presenti nel sistema
I compromesso tra banda/stabilita/realizzabilita/disturbi
Funzioni principali
I funzioni di controllo (PID o relay)
I interfaccia verso processo
I interfaccia operatore
I allarmi
Funzioni ausiliarie
I interfaccia comunicazione con supervisore
I funzioni di programmazione
I ripartenza dopo mancata alimentazione
I autodiagnosi
I back-up malfunzionamenti
I efficacia regolazione ampia gamma processi industriali(specifiche non stringenti)
I relativa facilita’ di taratura (utenti/compito))
I importanza e convenzienza standardizzazione (utilizzo,robustezza, affidabilita’, costi, produzione e manutenzione,scorte)
I prestazioni scadenti causa sensori e attuatori (rumore, filtri,calibrazione, isteresi, attriti statici)
I utilizzo in strutture di controllo piu’ complesse
I eccessivo sforzo per conoscenza approfondita del modello
Approccio generale
I considerazioni di tipo statico
I scarsa valutazione aspetti dinamici, solo nella fase finale
I sistemi gia’ in funzionamento/migliorie
I rapporto tempi/costi.
SoluzioneEsperimenti post installazione per identificazione parametri fon-damentali (guadagno, costante di tempo dominante, ritardoequivalente) e correzione guadagni.
Progetto integrato
Parametri del processo e del regolatore tenuti in conto dall’inizio.Utilizzabile per processi in cui il transitorio o gli aspetti dinamici(vedi risposta in frequenza) sono parte rilevante del processo
Regolatore Processo
d ny u x ysp
Regolatore (controllore) rappresentato da C (s), processo da G (s).
I ysp(t) = segnale di riferimento o setpoint. In generale,ysp(t) = Yspδ−1(t);
I d(t) = disturbo di carico, in bassa frequenza. In generaled(t) = Dδ−1(t);
I n(t) = disturbo (o rumore) a alta frequenza (es: misuaralivello).
Nel controllo di processo, nel 1995 il 95% dei controllori erano PID(Astrom e Hagglund, PID controllers, Theory design and tuning).Motivazioni: specifiche non particolarmenti stringenti
I relay: sistemi del primo ordine con dinamica lenta (regolazionetemperatura, livello)
I P: processi integrali (regolazione livello) se si accetta errore diregime permanente
I PI: processi del primo ordine (e ritardo) privi di azioneintegrale (puramente algebrici come regolazione valvola)
I PID: processi con dinamica del secondo ordine (reale ocomplessa smorzata).
Controllo a relay (on-off)
I Funzionamento on-off (basso consumo);
I Utilizzato per processi con dinamica lenta;
I In generale e’ presente isteresi ε;
I A tre valori [um, 0, uM ] per pilotare motori elettrici perservovalvole;
I Cicli limite: metodo funzione descrittiva. Cicli dipendono daum, uM e ε.
Azione proporzionale
u(t) = KCe(t),U(s)
E (s)= KC
I effetto principale: allargamento banda senza sfasare;
I riduzione margine guadagno e fase;
I lega l’errore e all’ingresso secondo il guadagno proporzionaleKC ;
I In letteratura, banda proporzionale PB = 100/KC ;
I L’errore di regime permanente eP∞ ai (soli) gradini su ysp e d
e’ non nullo. Detto KP = G (0), si ha
eP∞ =
1
1 + KCKPYsp −
KP
1 + KCKPD
I eP∞ = 0 se u(t) = KCe(t) + U. U = reset;
Azione integrale
u(t) =KC
TI
∫ t
0e(τ)dτ + u(0),
U(s)
E (s)=
KC
TI
1
s
I effetto principale: errore di regime permanente nullo;
I riduzione margine di fase;
I effetto combinato di PI:
C (s) =KC
TI
1 + sTI
s
I u(0) da assegnare nella commutazione manuale/automaticoper evitare salti (bumpless transfer).
Azione derivativa
u(t) = KCTDd
dte(t),
U(s)
E (s)= KCTDs
I amplifica segnali a alta frequenza =⇒ usura attuatori;
I associata a un passabasso:
C (s) =KCTDs
1 + sTD/N, N ' 5÷ 10
I utilizzata sempre congiuntamente a altre azioni.
I dal punto di vista meccanico (prendere con cautela), e’assimibilabile all’azione dell’attrito.
Forma ISA
PID(s) = KC
(bYsp − Y +
1
sTIE +
sTD
1 + sTd/N(cYsp − Y )
)
Gff =U
Ysp= KC
(b +
1
sTI+
sTD
1 + sTd/Nc
)Gfb = KC
(1 +
1
sTI+
sTD
1 + sTd/N
)b e c variano tra 0 e 1 (c o 0 o 1)
G (s)ff
yspProcesso
d n
u x y
G (s)fb
−
Scelta di b e c permette variazione zeri della funzione ditrasferimento ad anello chiuso.
Sistemi con risposta non oscillante
Metodo della tangente
Ga(s) =µ
1 + Tse−τs (1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
τ T+τ
−yτ/T
y
−
−
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
τ
−τ/TT+τ
Metodo delle areeL’area compresa tra l’asintoto della curva e la risposta al gradino di(1) e’ data da
S1 = µuτ +
∫ ∞
τe−
t−τT dt = µu(τ + T ) = y(τ + T )
L’integrale della risposta di (1) tra t = 0 e t = T + τ e’ dato da
S2 =
∫ T
0µu(1− e−
tT )dt =
µuT
e=
yT
e
e dunque
T =eS2
y
E’ consigliabile rispetto alla tangente per segnali“rumorosi”
Primo metodo di Ziegler e Nichols (anello aperto)
G (s) =KP
1 + sTe−sτ
R =KP
T
KC TI TD
P 1/ (Rτ)
PI 0.9/ (Rτ) 3τ
PID 1.2/ (Rτ) 2τ 0.5τ
Secondo metodo di Ziegler e Nichols (anello chiuso orisposta frequenza)
I si inserisce solo azione proporzionale KC ;
I si aumenta guadagno fino a innescare oscillazione che hapulsazione ω = ωπ (ωπ=plsazione di attraversamento). SiaKu il valore del guadagno;
I il periodo dell’oscillazione e’ T = 2πω .
KC TI TD
P 0.5Ku
PI 0.45Ku T/1.2
PID 0.6Ku T/2 T/0.8