Folytonos jelek Fourier transzformációja
-
Upload
angelique-elian -
Category
Documents
-
view
66 -
download
4
description
Transcript of Folytonos jelek Fourier transzformációja
Folytonos jelek Fourier Folytonos jelek Fourier transzformációjatranszformációja
• Milyen jelekre alkalmazható a Fourier Milyen jelekre alkalmazható a Fourier transzformáció?transzformáció?– Nem csak véges időtartamú jelekre Nem csak véges időtartamú jelekre
alkalmazható, a feltétel:alkalmazható, a feltétel:•Véges energia van a rendszerbenVéges energia van a rendszerben
•Ebben az esetben a hibajel energiatartalma Ebben az esetben a hibajel energiatartalma nullanulla
dttx2
02
dtte
dejXtxte tj
21
Folytonos jelek Fourier Folytonos jelek Fourier transzformációjatranszformációja
• Dirichlet feltételekDirichlet feltételek– A folytonos helyeken:A folytonos helyeken:
– Szakadási-helyeken:Szakadási-helyeken:
– A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség)sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség)
dejXtx tj
21
dejX tj
21 a jobb és baloldali határérték
átlagértéket adja
Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására
Dirac delta függvény
1
dtetjX tj ttx
det tj
21
Szintetizáló egyenlet (t)-re
0tttx 00
tjtj edtettjX
dett ttj 0
21
0
Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására
0 atuetx at
00
dtedteedtetuejX tjatjattjat
jae
jajX tja
11
0
Szimmetrikus aszimmetrikus
22
1
a
jX a
arctgjX
Exponenciális függvény
Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására
Négyszög impulzus az időtérben
A két szélesség szorzata állandó határozatlansági reláció!!!
121
1
TsindtejX
T
T
tj
dttxX 0
djXx21
0
Itt 120 TdttxX
területdjXx
21
21
01Itt
Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására
Gauss függvény 02
aetx at
aaajta
a
ja
a
j
a
tjta
tjat
ea
edte
dte
dteejX
44
0
2
2
0
22
22
222
2
24222
422222
22
lnalna
lnaaln
t
A két szélesség szorzata állandó határozatlansági reláció!!!
Periodikus jelek Fourier Periodikus jelek Fourier transzformáltjatranszformáltja
0 jXTegyük fel
tjtjtj ededejXtx 0
21
21
21
0
Periodikus jel
020 tje
k
kk
tjkk kajXeatx 020
Általánosabban
Periodikus jelek Fourier Periodikus jelek Fourier transzformáltjatranszformáltja
00 jX
tjtj eetcostx 00
21
21
0
„vonalas spektrum”
Periodikus jelek Fourier Periodikus jelek Fourier transzformáltjatranszformáltja
Mintavevő periodikus jelsorozat
n
nTttx
2
2
10
T
T
tjkk T
dtetxatx
n Tk
TjX
22
t –ben periodikus jelneka frekvenciában periodikus jelfelel meg. Inverz összefüggés aperiódikusokban
A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai1) Linearitás
jbYjaXtbytax
2) Időbeli eltolás jXettx tj 00
tdetxetdetxdtettxjX tjtjttjtj 000
Az amplitúdó nem változik jXjXejXe tjtj 00
Fázis: lineáris eltolás 00 tjXjXe tj
A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai
Konjugált szimmetria
jXjXrealtx
jXjX
jXjX
páros
páratlan
jXRejXRe
jXImjXIm
páros
páratlan
A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságaiIdőskála megváltoztatása
ajX
aatx
1 Időbeni összenyomásfrekvenciában széthúzás
x(t) valós és páros
jXtxa 1
txtx jXjXjX Valós és páros
x(t) valós és páratlan
txtx jXjXjX Képzetes és páratlan
A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonság
jXjHjYtxthty
Inverz Fourier transzformáció Y(j)-ra
dejXdeh tjj
21
ddejXeh tjj
21
ddejXh tj
21
tydtxh
A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonság
Következmények a frekvencia válaszra
tx h(t) txthty
Impulzus válasz
jXjHjY
Frekvencia válasz
Egy folytonos lineáris invariáns rendszer frekvencia válasza az impulzus válasz Fourier transzformáltja
A FT konvolúciós A FT konvolúciós tulajdonságtulajdonságPélda:
tjetx 0 H(j) txthty
020 tjeAz előzőek szerint
02 jHjY
tjtj
tj
ejHdejH
dejYty
0002
21
21
A folytonos Fourier A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságaitranszformáció tulajdonságai
Differenciál operátor dttdx
ty Lineáris invariáns rendszerek esetében
dedtd
jXdejXdtd
dttdx
ty tjtj
21
21
dejXjdttdx
ty tj
21
jXjHjXjjY
jjH Erősíti a magas-frekvenciájú jeleket, /2 fáziseltolás
Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válaszaimpulzus válasza
tcsinth
ttsin
deth
cc
ctjc
c21
Nem kauzális rendszer!
ccdjHh
22
21
0
sin
csin Def.
Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válaszaimpulzus válasza
Mi a rendszer válasza az egységugrás függvényre tvégtelen
t
dtthts
10
jHdtths
Sorbakapcsolt szűrőkSorbakapcsolt szűrők
jHjH 21
jHjH 2
1
Élesebb frekvenciaszelektivitás
Az ideális aluláteresztő szűrő Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus alkalmazása és a impulzus alkalmazása és a
konvolúciókonvolúció
?ttsin
ttsin
84
konvolúció
szorzás
jXjY
txty
)t(htx
Konvolúció alkalmazásaKonvolúció alkalmazása
)t(htx
?ee btat 22
ba
eab
eb
ea
ba
11
4
222
44
2tba
ab
eba
Gauss fv. szorozva Gauss fv=Gauss fv
Gauss fv. konvolúciója Gauss fv=Gauss fv
Példák a Fourier Példák a Fourier transzformáció alkalmazásáratranszformáció alkalmazására
0 atuetx at
00
dtedteedtetuejX tjatjattjat
jae
jajX tja
11
0
Szimmetrikus aszimmetrikus
22
1
a
jX a
arctgjX
Exponenciális függvény
Konvolúció alkalmazásaKonvolúció alkalmazása
tuetx t2 tueth t
txthty
jjjjjXjHjY
21
11
21
11
tueetuetuety tttt 22
Inverz Fouriertranszformáció
racionális törtfüggvények felbontása
Lineáris konstans együtthatós Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris differenciálegyenlettel leírható lineáris
invariáns rendszerekinvariáns rendszerek
m
kk
k
k
N
kk
k
k dttxd
bdttyd
a00
Differenciálási szabály alkalmazásának jXj
dttxd k
k
k
Mindkét oldal Fourier transzformációja
m
k
kk
N
k
kk jXjbjYja
00
jX
ja
jbjY N
k
kk
m
k
kk
0
0 jXjHjY
Lineáris konstans együtthatós Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris differenciálegyenlettel leírható lineáris
invariáns rendszerekinvariáns rendszerek
jX
ja
jbjY N
k
kk
m
k
kk
0
0 jXjHjY
racionális törtfüggvény a j-nak
parciális törtekre való bontás után meg lehet határozni thHa X(j) is racionális, akkor Y(j) is racionális lesz
Parseval tételParseval tétel
djXdttx22
21
A teljes energia az időtartományban
A teljes energia a frekvencia tartományban
221
jX spektrális energia sűrűség