Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek
description
Transcript of Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek
![Page 1: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Folyadékok egyensúlyát leíró Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletekegyenletek
![Page 2: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Fizikai terek:
az áramló közegek (kontinuumok) fizikai jellemzői a térben folytonosan oszlanak meg. E térbeli megoszlásokat gyűjtőnévvel fizikai tereknek nevezzük.
![Page 3: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Jellemzők lehetnek:Jellemzők lehetnek:
skalár mennyiségek (csak nagyságuk van) pl.: nyomás, hőmérséklet, térerősség
vektor mennyiségek (nagyság, irány, értelem)
pl.: sebesség, gyorsulás, erő
![Page 4: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Skalár mennyiségek skalár térben, vektor mennyiségek vektor térben kezelhetők.
Speciális vektor tér az erőtér: erőtér az a térbeli tartomány, amelynek bármely pontjában meghatározott irányú, nagyságú és értelmű erő hat.
![Page 5: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Áramlástanban:Áramlástanban:
Meghatározott irányú és nagyságú erő hat az erőtérben levő folyadékelemre.
folyadékok mozgása erőtérben.
Következménye:
![Page 6: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/6.jpg)
6
gravitációs erőtér: föld tömeg vonzásából adódik (minden áramlástechnikai feladatnál fellép)
centrifugális erőtér mágneses erőtér, stb.
A térerők burkoló görbéi az erővonalak.
erővonalak
Az erőteret a létrehozó jelenségről nevezzük el.
![Page 7: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Az erőtér irányában elmozduló tömeg munkát végez, a térerő ellenében csak munkabefektetéssel lehet elmozdulni.
Az erőtér valamely pontjában az egységnyi tömegre ható erőt térerősségnek nevezzük.
dV
dF
dm
dFE
tömegerő dVEdF
térerő
![Page 8: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/8.jpg)
8
A teljes rendszerre ható tömegerők (térfogati erők) eredője:
mV
mEEdmdVEF
![Page 9: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Az erőtérben nyugvó tömegegységnek munkavégző képessége van, melyet potenciálnak nevezünk.
A munka dW Fds mEds
2
1
2
1
2
1
EdsmFdsdW
általános egyenlete alapján:
![Page 10: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/10.jpg)
10
az egységnyi tömeg munkavégző képessége (potenciál)
dU Eds
m
mEds
m
dW
A valóságban helyesen
dU Eds ill. EdU
ds
ahol a negatív előjel arra utal, hogy a térerő mindig a csökkenő potenciál irányába mutat.
![Page 11: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Az egységtömeg munkája azaz a potenciál:
dU Eds egyenlet alapján
2
1
2
1
z
z
EdsdU E=const
][][][ 1221
2
1zzEsEU z
z
U U E z z2 1 2 1 ( )
![Page 12: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Munkát kell befektetni, ha
1-ből 2-be kívánjuk
emelni a testet.z2
x
z
2
1z1
U U g z z g z z2 1 2 1 2 1 ( )( ) ( )
Ha nehézségi erőteret vizsgálunk a fenti koordináta-
rendszerben, tehát z g akkor E=-g
![Page 13: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Bármely úton 1-ből a 2-be jutáshoz munka befektetés szükséges (egységnyi tömeg esetén a potenciál):
2
1
2
1
EdsdU
2-ből 1-be munkaszolgáltatás
2
1
1
2
1
2
EdsEdsdU
2
1
E
![Page 14: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/14.jpg)
14
akkor az erőtér potenciálos vagy más néven konzervatív erőtér (Mi csak ilyennel foglalkozunk)
A munka csak a kezdő ill. véghelyzettől függ.
(A tömeg mechanikai energiatartalma nem változik.)
Ha azaz
Eds 0 igaz
01
2
2
1
EdsEds
![Page 15: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Ilyen erőterek:
A föld gravitációs erőtere
az egyenes vonalú gyorsuló mozgás
tehetetlenségi erőtere
centrifugális erőtér
elektrosztatikus erőtér
![Page 16: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/16.jpg)
16
2
1
equipotenciális felület
EA tér azonos potenciálú felületeit, amelyek munkavégzés képessége azonos equipotenciálos felületeknek nevezzük.
![Page 17: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/17.jpg)
17
EdU
dsE g ;
a jelölt koordináta-rendszer esetén
dU Eds
U
U
z U
dsgEdsdU0 0 0
zUU sgU 0][][
0
gzUU 0 gzUU 0
Például egységtömeg esetén z magasságban a potenciál:
z
x
F Ö L D
g
s=z U=U
z=0 U=U0
z
![Page 18: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/18.jpg)
18
potenciáldU Edspotenciális energia
FdsmEdsmdUdWdEP )(
2
1
2
1
2
1
FdsdEdW p
)( 12122/1 ssFEEW pp
E E F s sp p2 1 1 2 ( )
Általános megfogalmazás:
![Page 19: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/19.jpg)
19
E E F s sp p1 2 2 1 ( )
A potenciális energiák különbsége egyenlő azzal a munkával, amelyet a konzervatív erőknek kell végeznie ahhoz, hogy a testek 1-ből a 2-be kerüljenek.
általános alak: EpF grad
FdE
dsp
![Page 20: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Sebességtér:Sebességtér:
(a vektortér analógiája alapján dolgozzuk fel)
A teret, melyet áramlóáramló folyadék tölt ki sebességtérsebességtérnek nevezzük.
A tér minden egyes pontjához (tömegpontjához) tartozik egy sebességvektor (nagyság, irány és helyzet)
![Page 21: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Azokat a görbéket, melyeknek érintői az adott pillanatban a sebességvektorok, áramvonalnakáramvonalnak nevezzük.
equipotenciális felület
1
2
![Page 22: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Formai analógia:Formai analógia:
erőtérerőtér SebességtérSebességtér
- erővonalak - áramvonalak
- térerő - sebesség
E vs
- potenciál - sebesség potenciál
EdU
ds v
d
dss
EdsdU dsvd s
![Page 23: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/23.jpg)
23
A sebességtér potenciálja:A sebességtér potenciálja:
d v dss A vektortér analógiájára, ha a sebességtér 1-es
pontjából a 2-esbe.
d v dss 1
2
1
2
2 1 1
2 v dss
![Page 24: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Majd 2-esből az 1-esbe mozgatjuk a tömegpontot
d v dss 2
1
2
1 1 2 2
1 v dss
és 2 1 1 2 1
2
2
1 ( ) v ds v dss s
v ds v dss s1
2
1
20
potenciális áramlásról beszélünk.
![Page 25: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Egyszerűbben: ha egy zárt görbe mentén vett potenciál értéke 0 (zérus) potenciálos az áramlás, jelölése:
d 0(Áramlásban a v·ds szorzatot cirkulációcirkulációnak nevezzük)
Potenciálos az áramlás, ha a sebesség zárt görbe mentén vett cirkulációja zérus vds
s
0Bővebb magyarázat nélkül:
a potenciális áramlások egyben örvénymentes (rotációmentes, forgásmentes) áramlások is.
![Page 26: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Fizikai szemléltetése:Fizikai szemléltetése: Potenciálos örvénymentesPotenciálos örvénymentes
![Page 27: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Nem potenciálosNem potenciálosörvényesörvényes
![Page 28: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/28.jpg)
28
potenciálos
áramlás
rotációs
áramlás
vt
vt
vt
r
vt
r
![Page 29: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/29.jpg)
29
potenciálos
áramlás
rotációs
áramlás
perdületállandóság
vc
rt
hiperbola
v r ct
v b rt
vt
r
vt
regyenes
![Page 30: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Egy sebességtér stacionáriusstacionárius, ha a sebesség a tér minden pontjában időben állandó; azaz
v f ss ( )
és instacionáriusinstacionárius az áramlás, ha a sebesség a tér azonos pontjában időfüggő:
v f ts ( )
Más néven: stacionárius = időállóstacionárius = időálló
instacionárius = nem időállóinstacionárius = nem időálló
![Page 31: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Példa: időálló:időálló: szivattyúból kilépő víz v=áll. sebessége
nem időálló:nem időálló: szabad kifolyású tartály kilépési
sebessége
![Page 32: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Áramlás folytonosságának Áramlás folytonosságának törvénye:törvénye:
KONTINUITÁS TÉTELEKONTINUITÁS TÉTELE
Anyagmegmaradás elve mozgó Anyagmegmaradás elve mozgó kontinuumokra:kontinuumokra:
Tetszőlegesen zárt rendszer m tömege az áramlás folyamán nem szaporodhat sem, nem csökkenhet.
![Page 33: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/33.jpg)
33
dm
dt0 ha dm d V ( )
dm
dt
d V
dt
( )0
dm
dt tV
V
t
0
![Page 34: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) közegek esetén
t0 azaz a sűrűség nem
függvénye az időnek.
Folyadékoknál 100 bar alatt mindig igaz. Gázok összenyomhatatlanoknak tekinthetünk ha sebességük lényegesen kisebb, mint a hang terjedési sebessége.
v a m
s
![Page 35: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/35.jpg)
35
(Mack számmal lehet jellemezni)
Mv
aa
Ma < 1 hangsebesség alatti (szubszonikus)
Ma > 1 hangsebesség feletti (szuperszonikus)
Ma > 5 (hiperszonikus)
![Page 36: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Vizsgáljuk meg a differenciálegyenlet második tagját:
V
t0
Tekintsük az elemi áramcsövet
Áramcső egy K zárt görbére illeszkedő áramvonalakból álló áramfelület, melynek dA keresztmetszete olyan kicsi, hogy a sebességeloszlást egyenletesnek vehetjük.
V
t0 zárt rendszerben
![Page 37: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/37.jpg)
37
vs
K
dA dq v dAv s
V
tdq v dAv s m
s
3
Adott felületen átáramló tömegáram:
dqV
tdq v dAm v s
kg
s
v dAsA
0
Összegezve az összes áramlási keresztmetszetet
![Page 38: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/38.jpg)
38
A1
dA
A2
dA
vs1
vs2
Egy kijelölt áramcső bármely két keresztmetszetére igaz, hogy
1 1 2 2
21
0 v dA v dAs sAA
1 1 1 2 2 2 0 v A v As s
1 1 1 2 2 2 v A v As s
azaz általánosságban
v A állandókg
s
![Page 39: Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062518/56814643550346895db34e36/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegységében ugyanannyi tömeg halad át.
INKOMPRESSZIBILIS közeg esetén
állandó
v A állandó m
s
3
Összenyomhatatlan közegÖsszenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegység alatt ugyanakkora térfogatú közeg halad át.