folleto matematica basica 2010 - utp.ac.pa · PDF file 5 El conjunto de números Reales...

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  • Nmeros reales ( )cbaacab +=+

    Elaborado y Recopilado por: Magstra Alba Castillo de Quiel

    Factorizacin

    = 0 ,/ bybab

    aQ

  • 2

    CONTENIDO Pgina

    1. NMEROS REALES.. 4 2. EXPONENTES 8

    2.1 Propiedades De Los Exponentes......................................................................... 8 3. RADICALES 10

    3.1 Propiedades De Los Radicales. 10 3.1.1 Ley Distributiva. 10

    3.2 Operaciones Con Radicales.. 13 3.2.1 Suma Y Resta De Radicales.. 13 3.2.2 Multiplicacin De Radicales.. 14 3.2.3 Multiplicacin De Radicales De Distintos ndice. 14 3.2.4 Divisin De Radicales 14

    3.3 Racionalizacin De Denominadores. 15 4. PRODUCTOS NOTABLES 17

    4.1 Binomio Al Cuadrado.. 17 4.2 Trinomio Al Cuadrado.. 18 4.3 Binomio Al Cubo.. 18 4.4 Suma Por Diferencia (Conjugados).. 18 4.5 Producto De La Forma ( )( )dcxbax ++ 19

    5. FACTORIZACIN.. 20 5.1 Factor Comn 21

    5.1.1 Factor Comn Monomio. 21 5.1.2 Factor Comn Polinomio 21 5.1.3 Factor Comn Por Agrupacin De Trminos. 22

    5.2 Trinomio Cuadrado Perfecto. 22 5.3 Diferencia De Cuadrados.. 23 5.4 Trinomio De La Forma cbxx ++2 . 24 5.5 Trinomio De La Forma cbxax ++2 ... 24 5.6 Suma Y Diferencia De Cubos Perfectos... 26 5.7 Polinomio Cubo Perfecto.. 27

    6. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 29 6.1 Reduccin.. 29 6.2 Multiplicacin Y Divisin. 29 6.3 Combinacin De Fracciones.. 30

    7. FIGURAS GEOMTRICAS PLANAS, IDENTIFICACIN, CLC ULO DE PERMETRO Y REA 32

    7.1 Conceptos Generales Sobre Polgonos.. 32 7.1.1 Elementos De Los Polgonos.. 32 7.1.2 Polgonos Regulares 33

    7.2 El Tringulo 35 7.2.1 Segmentos Notables De Un Tringulo Y Puntos De Interseccin.. 38 7.2.2 Permetro De Un Tringulo. 39 7.2.3 Teorema De Pitgoras. 39

    7.3 Cuadrilteros.. 41 7.3.1 rea De Cuadrilteros. 41

  • 3

    7.4 Conceptos Fundamentales Sobre La Circunferencia Y El Crculo 42 7.4.1 Elementos De La Circunferencia Y El Crculo 43

    7.5 Cuerpos Geomtricos (Slidos), Identificacin, Clculo Del rea Y Volumen 52 8. CONCEPTOS GENERALES DE LA TRIGONOMETRA. 56

    8.1. Sistema De Coordenadas Rectangulares O Plano Cartesiano... 56 8.2 Funciones Trigonomtricas Bsicas... 58 8.3 Funciones Trigonomtricas De Cualquier ngulo. 59 8.4 Funciones Trigonomtricas De Un ngulo En Posicin Normal.. 60 8.5 Funciones Para Cualquier ngulo En Trminos De Funciones De ngulo Agudo 62 (ngulos De Referencia O Relacionados) 62 8.6 Valores De Las Funciones Trigonomtricas De Los ngulos Especiales De 30 , 45, 60 Y Sus Mltiplos. 64 8.7 Funciones Trigonomtricas De ngulos De Cuadrantes 65 8.8 ngulos Coterminales 66 8.9 Funciones Trigonomtricas Y Sus Grficas 67 8.10 Grficas De Las Funciones Trigonomtricas 67

    BIBLIOGRAFIA. 74

  • 4

    1. NMEROS REALES El conjunto numrico con el que aprendemos a contar es el Conjunto de Los Nmeros Naturales { },...4,3,2,1=N . Cuando se trabaja solamente con este conjunto la sustraccin no siempre es posible, por ejemplo 4-4 y 8-12 no tienen respuesta en el conjunto de nmeros naturales. Surge entonces el Conjunto de Nmeros Enteros { },...3,2,1,0,1,2,3... =Z . Este conjunto numrico no es cerrado para la divisin porque no siempre al dividir nmeros enteros obtenemos como cociente un nmero entero, por ejemplo, al dividir

    14 2 obtenemos 7 que es un nmero entero, pero 142 no tienen solucin en este conjunto numrico. Para resolver esta situacin surge el Conjunto de Nmeros Racionales

    = 0 ,/ byba

    b

    aQ .

    Debemos observar que todo nmero entero es un nmero racional, es decir, el conjunto de los nmeros enteros es un subconjunto de los nmeros racionales, ya que todo nmero entero se puede escribir como un nmero racional con denominador 1, por la cual QZ . Todo nmero racional, se puede representar tambin como un nmero decimal finito o un nmero decimal peridico, que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

    81

    8 = ; 5.02

    1 = ; _

    3333.03

    1 = , ___

    141414.299

    212 = , 05

    0 =

    Algunos nmeros no pueden representarse como un cociente de dos nmeros enteros, a ellos se les conoce como el Conjunto de Nmeros Irracionales y se representan simblicamente por I . Estos nmeros pueden representarse como nmeros decimales

    infinitos no peridicos, por ejemplo: ...41421356.12 = ...1415926.3= ...7182818.2=e

    ...732.13 = ...912.173 = A la unin del Conjunto de Nmeros Racionales y el Conjunto de Nmeros Irracionales se le denomina Conjunto de Nmeros Reales R, es decir, un nmero real puede ser natural, entero, racional o irracional; como lo muestra el siguiente esquema.

    Nmeros Reales R

    Racionales Q

    Irracionales I

    Enteros Z

    Naturales N

    Cero Negativos (Opuestos de los Naturales)

  • 5

    El conjunto de nmeros Reales puede representarse grficamente sobre los puntos de una recta la cual llamaremos la recta real.

    El conjunto de nmeros Reales cumple la relacin de orden, la cual establece que dados dos nmeros reales cualesquiera a y b, se cumple una y slo una de las siguientes afirmaciones:

    Es importante observar que en la recta real, todo nmero que est a la derecha es mayor que cualquiera que este a su izquierda. En ocasiones necesitamos trabajar con todo el Conjunto de Nmeros Reales o con un subconjunto de l. Para representar estos conjuntos, utilizamos el concepto de intervalo. Un intervalo es un conjunto continuo de nmeros reales.

    Intervalo Notacin de

    intervalo Notacin de

    conjunto Representacin grfica

    Abierto ( )ba, { }bxa|x

  • 6

    PRCTICA N1

    I. Exprese los siguientes intervalos en notacin de conjunto y represente grficamente. 1. ( ]7,5 2. [ ]4,8 3. ( ) , 4.

    3

    4, 5.

    8 ,

    2

    5 6.

    + ,2

    3

    II. Exprese cada uno de los siguientes conjuntos en notacin de intervalo y represente grficamente.

    1.

  • 7

    RESPUESTAS I. Parte

    1) { }75

  • 8

    2. EXPONENTES

    2.1 Propiedades de los exponentes.

    a) Exponentes enteros positivos: Los exponentes enteros positivos se asocian a un nmero real para indicar la multiplicacin repetida de tal nmero. Por ejemplo escribimos 3xxxx = , en donde el entero positivo 3 se llama exponente e indica que el nmero real x se repite tres veces como factor

    factores ....... nxxxxxn= . El entero positivo nse llama exponente de x y el nmero real x es la base. La expresin nx es una potencia y se lee como " x a la n-sima potencia " o "x a la n".

    Teorema 1: para todo nmero real x, siendo n un entero positivo: 1. Si, 0>x , entonces 0>nx 2. Si x< 0, entonces 0>nx si n es par 3. Si x

  • 9

    Ejemplo 2: Encontrar el producto de ( )34233 zyx . Solucin:

    ( )( ) ( ) ( ) 12693432333 273 zyxzyx = Ejemplo 3: Encuentre el producto de

    3

    3

    32

    3

    2

    .2

    x

    y

    y

    x.

    Solucin:

    9

    9

    6

    43

    3

    32

    3

    2

    .42

    x

    y

    y

    x

    x

    y

    y

    x =

    5

    34

    x

    y=

    PRCTICA N2

    1. ( )( )432 53 abba 2. ( ) ( )342324 baba 3. ( ) ( )55432 23 abba 4. ( ) 4423

    32

    21

    6

    yxzyx

    5. 4892

    7343

    2

    2

    cba

    cba 6.

    627

    743

    12

    36

    zyx

    zyx

    7.

    1516

    2516

    +

    +

    nn

    nn

    ba

    ba 8.

    ( )( )2121

    34

    5

    3++ kk

    kk

    ba

    ba 9.

    ( ) ( )[ ]( )532

    234342

    4

    2.3

    yx

    yxxy

    10. ( ) ( )[ ]

    ( ) ( )[ ]223332322

    2

    42

    yxyx

    yxyx.

    Ejemplo 4: Exprese ( ) 2023 zyx sin exponentes negativos y simplificar. Solucin:

    ( ) ( )( )[ ] [ ] ( )( ) ( )( ) 462223223232023 21 yxyxyxyxzyx ====

    Ejemplo 5: Exprese ( ) 111

    +xy

    yx sin exponentes negativos y simplifique.

    Solucin:

    ( )xy

    xyxy

    xy

    xy

    yx

    xy

    yx +=+=+

    =+

    1.

    1

    11

    1

    11

    PRCTICA N3

    1. ( ) ( )3230432 2 ydcydc 2. ( )0yx + 3. ( )( )

    32261

    42 xxx 4. 373

    542

    22

    45

    .

    yx

    yx

    yx

    yx

    5. 3

    5

    13

    32

    .

    +

    +

    n

    n

    n

    n

    a

    a

    a

    a 6.

    ( )( ) ( )312

    21

    .3

    n

    n

    n

    n

    x

    x

    x

    x

    +

    +

    .

  • 10

    RESPUESTAS PRCTICA N2

    1). 7315 ba ; 2). 1818ba ; 3). 37132592 ba ; 4). 325142

    27zyx ; 5). 55

    32

    ba

    c ; 6).

    4

    23

    x

    zy ;

    7). 3

    2

    b

    a ; 8).

    2527 282 kk ba

    ; 9). 16

    6561 256yx ; 10). 842048 yx

    PRCTICA N3

    1. 2

    332

    d

    yc

    ; 2. 1; 3. 33

    4

    x ; 4. 17

    6

    x

    y

    ; 5. 4

    1na ; 6. 9x

    n2.

    3. RADICALES

    Raz es una expresin algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresin dada.

    As a2 es la raz cuadrada de 24a por que ( ) 22 4 2 aa = . Pero a2 tambin es raz cuadrada de 24a porque ( ) 22 42 aa = .

    As 3x es raz cbica de 327x porque ( ) 33 273 xx = .

    El signo de raz es , llamado signo radical. Debajo de este signo se coloca la cantidad a

    la cual se extrae la raz llamada cantidad subradical.

    El signo lleva un ndice que indica la potencia a que hay que elevar la raz para que reproduzca la cantidad subradical.