FOLLETO-1-OLIMPIADA-2007

“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

DE CIENCIAS BÁSICAS”

Facultad de Ingeniería

Universidad de San Carlos de Guatemala

2007

Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 2



Junta Directiva

Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos…………………………………………DECANO

Inga. Glenda Patricia García Soria……………………………….VOCAL PRIMERO

Inga. Alba Maritza Guerrero Spinola ……………………………VOCAL SEGUNDO

Ing. Miguel Ángel Dávila…………………………………………VOCAL TERCERO

Br. Kenneth Issur Estrada Ruiz…………………………………….VOCAL CUARTO

Br. Elisa Yazmina Vides Leiva…………………………………….VOCAL QUINTO

Inga. Marcia Ivonne Véliz Vargas………………………………………SECRETARIA


ÍNDICE

Presentación…………………………………………………………………………………....03

A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas…………… …………… 04

Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería USAC………...04

Niveles de competencia…………………………………………………….................04

Pruebas…………………...…………………………………………..…….................05

Inscripción…………………………………………………………………………….05

Premios ……………………………………………………………………………….05

Financiamiento y patrocinio……………..…………………………………................06

Comisión organizadora…………………………………………..…………................06

B. Contenidos de las pruebas………………………………………………………………08

Área de Matemática………………………………………………………..…………08

Área de Física… …………………………………………..……………..…………..09

Área de Química….…………………………………………….…………………….10

C. Pruebas y soluciones…………….………………..….………………………………….11

Matemática……………………………………………………………………………12

Física…………………………………………………………………………………..41

Química……………………………………………………………………………….59


PRESENTACIÓN

La Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas es un evento académico programado para

realizarse anualmente con la participación de estudiantes de las diferentes universidades del país,

que competirían - en su primera edición- en las áreas de Matemática, Física y Química.

En este contexto la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, a

través de la administración del Ingeniero Civil Murphy Olympo Paiz Recinos, se constituye en la

ponente y organizadora de esta I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas.

Este evento contribuye a la misión del Plan Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación 2005-

2014 en el que se contempla como un punto fundamental “Apoyar la formación de recursos

humanos de alto nivel académico y técnico”, así como incrementar el desarrollo de la Ciencias

Básicas.

Se busca generar incentivos para que los estudiantes universitarios en general, y los de carreras

de orientación científica-tecnológica en particular, se interesen en ampliar y profundizar sus

conocimientos de Ciencias Básicas. Así mismo descubrir valores guatemaltecos, que con su

educación y ejemplo estimulen a la juventud de Guatemala.

El presente documento incluye información general de esta actividad académica, así como las

pruebas y las respectivas soluciones.

““ IIdd yy EEnnsseeññaadd aa TTooddooss””


A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas

Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería de la USAC

En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego

Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la

Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un

problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments.

Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de

la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los Departamentos de

Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física

con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar

el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta

capacidad y conocimientos de estas ciencias. En este evento la participación de los estudiantes se

organizó en dos niveles y fueron premiados los ganadores de los tres primeros lugares. Los

premios fueron: calculadoras, libros de texto, medallas y diplomas.

Para el año 2007 se decidió en ampliar la convocatoria a todos los estudiantes de la USAC y de

otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia,

denominando al evento I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Se tiene considerado

en el futuro incluir a Biología entre las áreas a evaluar.

Niveles de competencia

La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera:

Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier

universidad nacional en los años 2006 ó 2007 y estén cursando primero ó segundo

año de la carrera.

Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum

en una carrera con el grado de licenciatura.


Pruebas

Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente en las instalaciones de la Facultad de

Ingeniería, el 29 de septiembre del 2007, a partir de las 9:00 horas. Cada estudiante participo

únicamente en un área (Matemática, Física o Química), en uno de los dos niveles indicados.

Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta

primera versión de la olimpiada las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores

amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y

habilidades más desarrolladas.

Para efectos de calificación es tan importante el razonamiento y procedimientos utilizados para

resolver los problemas planteados como la forma en que se escriban y estructuren las soluciones

propuestas por los participantes.

Inscripción

El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería –

USAC- ( http://www.ingeniería-usac.edu.gt ) o personalmente en el lugar que su respectiva

universidad estableció.

Únicamente se pudo participar en un área (Matemática, Física y Química), en uno de los dos

niveles indicados.

Premios

A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorga un diploma de

participación. En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgarán tres medallas

correspondientes a primero, segundo y tercer lugar.

Como incentivo para el mejoramiento en las participaciones de los estudiantes de cada

universidad, se otorga un reconocimiento a las Facultades de cada universidad cuyos estudiantes

muestren un mejor desempeño por equipos, medido a través del promedio obtenido por los

estudiantes participantes de cada una.

Para cada nivel ( I y II ) de cada materia ( Matemática, Física y Química ) los premios fueron:

Primer Lugar

1 Calculadora Voyage

(TEXAS INSTRUMENTS)

1 Lote de 5 libros

Medalla mas Diploma

Segundo Lugar

1 Lote de 3 libros

Q. 800.00 (en efectivo)

Medalla mas Diploma

Tercer Lugar

1 Lote de 2 libros

Q. 500.00 (en efectivo)

Medalla mas Diploma

http://www.ingeniera-usac.edu.gt/

Financiamiento y patrocinio

Asignación de Q15,000.00 (Quince mil quetzales) de la línea del fondo de apoyo a la

ciencia y tecnología – FACYT -, según contrato FACYT N.022-2007.

Asignación de Q8,540.00 (Ocho mil quinientos cuarenta quetzales) del presupuesto de la

Facultad de Ingeniería, Universidad de San Carlos de Guatemala, según acuerdo de Junta

Directiva, punto cuarto del Acta 17-2007.

Donación de dos calculadoras por la empresa DISTRICAL.

Donación de un lote de 64 libros por Editorial THOMSON.

Donación de un lote de 10 libros por Editorial PEARSON

Donación de un modelo atómico por PROQUIMICA

Comisión Organizadora

Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la I Olimpiada

Interuniversitaria de Ciencias Básicas.



Ing. Murphy Olimpo Paiz Recinos, Decano

Ing. Alberto Boy Piedrasanta, Director de la Escuela de Ciencias

Departamento de Matemática

Ing. Arturo Samayoa, Coordinador

Licda. Mayra Castillo

Ing. Silvia Hurtarte

Ing. Helen Ramírez

Ing. Vera Marroquín

Ing. Carlos Garrido

Ing. Oscar Martínez

Ing. Renato Ponciano


Departamento Física

Lic. Amahan Sánchez, Coordinador

Ing. Edgar Álvarez Coti

Ing. Otto Hurtarte

Ing. Luís De León

Área de Química General

Ing. Francisco Rosales, Coordinador

Inga. Casta Zeceña

Ing. Alberto Arango

Ing. Edgar Gamaliel De León

Ing. Byron Aguilar

Administrativo

Inga Mayra Corado

Ing. Pedro Pablo Hernández

Inga. Infieri Yoselin Mackenzie

Facultad de Ciencias Químicas y Farmacia

Dr. Oscar Cobar, Decano

Lic. Mario Manuel Rodas Morán

Universidad Rafael Landivar

Ing. Álvaro Zapeda, Decano

Licda. Zaida Urrutia

Lic. Gomer Castillo

Inga. Hilda Palma

Universidad del Valle de Guatemala

Dr. Adrián Gil, Decano

Ing. Carlos Paredes, Decano

Lic. Alan Reyes


B. Contenidos de las pruebas

Área de Matemática

Nivel I Escuela de Ciencias


Contenidos Ecuaciones y Desigualdades

Funciones y graficas

Geometría

Funciones Polinomiales y Racionales

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Trigonométricas

Trigonometría Analítica

Geometría Analítica

Limites y Derivadas

Reglas de Derivación

Aplicaciones de la Derivada

Nivel II Escuela de Ciencias


Contenidos

Integrales

Técnicas de Integración

Aplicaciones de la Integral

Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y Ecuaciones de

las Cónicas en Polares

Sucesiones y Series Infinitas

Vectores y Geometría Analítica en el Espacio

Funciones Vectoriales y Derivadas Parciales

Integrales Múltiples

Cálculo Vectorial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Modelos Matemáticos y Métodos Numéricos

Ecuaciones Lineales de Orden Superior


Área de Física

Nivel I

Mecánica

Escuela de Ciencias

Departamento de Física

Contenidos

Física y mediciones

Vectores

Movimiento en una dimensión

Movimiento en dos dimensiones

Las leyes del movimiento

Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton.

Energía y transferencia de energía

Energía Potencial

Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Cantidad de movimiento angular

Equilibrio

Elasticidad

Gravitación Universal

Mecánica de fluidos

Mecánica de fluidos Dinámica

Movimiento oscilatorio

Energía del oscilador armónico simple

Nivel II

Electricidad y

Magnetismo

Escuela de Ciencias

Departamento de Física

Contenidos

Ley de coulumb

Campo eléctrico

Ley de Gauss

Potencial eléctrico

Capacitores y dieléctricos

Corriente y Resistencia

Circuitos Eléctricos

Fuera Magnética

Ley de Ampere

Ley de Faraday y la ley de inducción

Inductancia


Área Química

Nivel I Escuela de Ciencias

Escuela de Química

Contenidos Ciencia Química y Medición

Teoría Atómica: el núcleo

Teoría Atómica: el electrón

Nivel II Escuela de Ciencias

Escuela de Química

Contenidos Estequiometría de las Reacciones

Soluciones

Cinética Química

Equilibrio Químico

Electroquímica

Termodinámica


C. Pruebas y soluciones


UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS

“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” .

EXAMEN DE MATEMÁTICA Nivel I

Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de

trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo. El

tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1 (20 puntos)

Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) xx

xx654

1822

b) 33log2log4log32

143

2 xxx


Luis y Ana viven en los extremos opuestos de una calle. A las 12:00 p.m. sale Luis hacia la casa

de Ana ha devolverle unos libros caminando a una velocidad de 5 pies/s, simultáneamente sale

Ana hacia la casa de Luis a devolverle unos cuadernos caminando a una velocidad de 3 pies/s. En

el punto de intersección Luis advierte que ha olvidado un libro y decide regresar y entra 30

segundos antes que Ana. Determine la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana.


Determine las constantes a y b de modo que

6

1lim

0

x

xba

x


¿Cuál es el último dígito de 3459

?

Continúa al reverso...



Una polea ubicada a una altura de 8 pies sostiene a un carrito sobre un plano inclinado que forma

un ángulo de 30 con la horizontal (Vea la figura). Si se suelta cuerda a razón de 0.3 pies/s, halle

el ritmo de cambio vertical y horizontal del carrito, cuando este se encuentra a 3 pies del suelo.

830

3


Un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm, respectivamente, con

uno de sus lados sobre la hipotenusa y dos de sus vértices sobre los catetos del triángulo (Vea la

figura). Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse.

4

3


Se dan las gráficas de dos funciones. Determine si es posible que alguna sea la derivada de la

otra.

x

y f

g


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA

Nivel I

Por

Ing. Arturo Samayoa D. Ing. Carlos Garrido L. Coordinador Departamento de Matemática Jefe de Área Matemática Básica

Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala


a) Comenzamos reescribiendo la ecuación, esto es:

xxxx

662922

Factorizando un 9 dentro del radical

xxxx

662322 Extrayendo a 9 del radical

026

236

2 x

xx

x Restando x

6 a ambos lados de la ecuación

Luego hacemos la sustitución x

xu6

2 , y resolvemos la ecuación 0232 uu , esto es:

0232 uu Ecuación original

021 uu Factorizando

1u y 2u Regla del producto cero

A continuación hallamos los valores para x, esto es:

xx

621 Haciendo u1

2

2 621

xx Elevando al cuadrado ambos lados

xx

621 Ecuación resultante

xxxx

621 Multiplicando por x a ambos lados

62 2 xx Ecuación resultante

062 2 xx Restando x a ambos lados

0232 xx Factorizando

2

3x y 2x Regla del producto cero


De manera análoga

xx

622 Haciendo u2

2

2 622

xx Elevando al cuadrado ambos lados

xx

624 Ecuación resultante

xxxx

624 Multiplicando por x a ambos lados

624 2 xx Ecuación resultante

0642 2 xx Restando x a ambos lados

0312 xx Factorizando


Se deja al lector probar que los valores 2

3x , 2x , 1x y 3x satisfacen la ecuación.

b)

33log2loglog2

1

4

4

33

2 xxx Usando las leyes de los logaritmos

33log2log2

1log 2

2

22 xxx Escribiendo los logaritmos en base 2

33log2loglog 2

2/12

22

xxx Usando las leyes de los logaritmos

33log2loglog 22 xxx Simplificando

3

3

2log 2

x

xx Reescribiendo como un solo logaritmo

8

3

2

x

xx Tomando exponente 2 a ambos lados

383

23

x

x

xxx Multiplicando por 3x a ambos lados

24822 xxx Simplificando

242482422 xxx Sumando 24 ambos lados

xxx 82422 Ecuación resultante

xxxxx 8882422 Restando x8 a ambos lados

024102 xx Ecuación resultante

046 xx Factorizando




Para resolver este problema utilizaremos los pasos para resolver problemas de ecuaciones dados

con palabras.

1. Identifique una cantidad desconocida y denótela con una variable:

x = distancia que había recorrido Luis al momento de encontrarse con Ana.

2. Escriba las demás cantidades desconocidas en términos de la variable

seleccionada:

5

x = tiempo transcurrido desde que Luis salió de su casa y se encontró con Ana.

(Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la velocidad)

53

x = distancia que había recorrido Ana desde que salió de su casa hasta que se encontró con

Luis.

(Recuerde que la distancia es velocidad por tiempo, el tiempo transcurrido es 5

x segundos)

3. Relacione las cantidades, un dibujo quizá ayudará.

Casa de Luis Casa de Ana

x 3x/5

8x/5

x2 = distancia total recorrida por Luis

5

8

5

3 xxx = distancia total recorrida por Ana

5

2x = tiempo total empleado por Luis (Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la

velocidad)

x

x

15

8

3

5

8

= tiempo total empleada por Ana


4. Identifique la condición y plantee la ecuación:

El tiempo de Luis es igual al tiempo de ana menos 30 segundos (Ella entró 30 segundos después),

esto es:

3015

8

5

2 x

x

5. Resuelva la ecuación y pruebe la solución:

3015

8

5

2 x

x Ecuación original

3015

8

15

8

15

8

5

2 xxx

x Restando x

15

8 a ambos lados

3015

2 x Ecuación resultante

302

15

15

2

2

15

x Multiplicando por

2

15 a ambos lados

225x Solución

Por lo tanto la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana es de

3602255

3225 pies.


Advierta que para que haya la posibilidad de que el límite exista es necesario que

0 xba , cuando 0x , lo cual provocaría una forma indeterminada del tipo 0

0. Luego

la única posibilidad de 0 xba cuando 0x es que 2ab .

A continuación manipulamos algebraicamente el límite, esto es:

x

xba

x

0lim Límite original

xba

xba

x

xba

x 0lim Multiplicando por el conjugado

xbax

xba

x

2

0lim Simplificando

xaax

xaa

x

2

22

0lim Sustituyendo 2ab


xaax

x

x

20lim Simplificando

xaax

20

1lim Simplificando

0

1

2

aa Evaluando el límite

a2

1 Valor del límite

6

1

2

1

a Igualando

6

12

2

12 a

aa Multiplicando por a2 a ambos lados

31

a Ecuación resultante

3313

a Multiplicando por 3 a ambos lados

3a Solución

Por lo tanto 932b .


Comenzamos observando las primeras diez potencias de 3, esto es:

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683

Observe que cada cuatro potencias se repite el último dígito. Por lo tanto cada potencia múltiplo

de 4 tiene como último dígito el 1. Pero el número 459 no es múltiplo de 4. Recuerde que un

número es múltiplo de 4 cuando sus últimos dos dígitos son cero o múltiplos de 4. De allí que el

número más pequeño que 459 múltiplo de 4 sea 456.

El comportamiento para el último dígito para las potencias mayores a 456 es el siguiente:

3456

3457

3458

3459

1 3 9 7

Usando un programa de computadora es fácil verificar que

3459

=

996909917130598194491288426359384373451581180562170262182935024385227514557774

530021322021291413232275306949119748233954970573663604023829504491047217550860

935720992184795139779324486163563006547299780574813665516707067



Para comenzar consideramos al carrito como una partícula sobre el plano inclinado. A

continuación introducimos algo de notación, esto es:

x = distancia horizontal que separa al carrito de la pared

y = distancia vertical que separa al carrito del suelo

z = longitud de la cuerda

La siguiente figura ilustra esta situación.

30

3

x

y8 -

y

z

De la figura es posible establecer que 2228 zxy ( 1 ) y que

x

y30tan ( 2 ) .

Despejando y de ( 2 ) e introduciendo en ( 1 ), se obtiene: 22230tan8 zxx . A

continuación derivamos ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo, esto es:

22230tan8 zxx Ecuación original

zzxxxx 2230tan30tan82 Derivando ambos lados

zzxxx 2230tan230tan16 2 Factorizando x del lado izquierdo

xx

zzx

230tan230tan16

22

Despejando x

xx

zzx

23

12

3

116

22

Simplificando

xx

zzx

23

2

3

16

2

Simplificando

x

zzx

3

8

3

16

2

Simplificando


x

zzx

3

8

3

3

3

16

2

Racionalizando

x

zzx

3

8

3

316

2

Simplificando

3

8316

2

x

zzx

Sumando las fracciones del denominador

x

zzx

8316

6

Simplificando

x

zzx

4382

6

Factorizando un 2 en el denominador

x

zzx

438

3

Simplificando

Sin embargo, advierta que el ritmo de cambio horizontal x necesita que se conozca previamente

la distancia vertical y y la distancia horizontal x. Nuevamente del dibujo es posible establecer

que:

330sin

y , de donde

2

330sin3 y

De manera análoga

330cos

x , de donde 6.23

2

330cos3 x

Luego, para hallar la longitud de la cuerda en ese instante, nuevamente hacemos uso de la

ecuación ( 1 ), esto es:

2228 zxy Ecuación original

2230cos330sin38 z Sustituyendo

22230cos330sin38 z Simplificando

2

22

2

33

2

138 z

Simplificando

2

22

2

33

2

13z

Simplificando

2

4

27

4

169z Simplificando


2

4

196z Simplificando

249 z Simplificando

249 z Sacando raíz a ambos lados

7z Solución

Sustituyendo en la expresión para x obtenemos:

x

zzx

438

3

Expresión original

2

33438

10

373

x Sustituyendo

3638

10

63

x

Simplificando

32

10

63

x

Simplificando

320

63x Simplificando

3

3

320

63x Racionalizando

60

363x Simplificando

320

21x Simplificando

82.1x p/s Valor aproximado de x

Advierta que el ritmo de cambio horizontal es negativo porque x es una magnitud que tiende a

disminuir.

Para hallar el ritmo de cambio horizontal derivamos ambos lados de la ecuación ( 2 ), con

respecto al tiempo esto es:


x

y30tan Ecuación original

30tanxy Despejando y

xy 30tan Derivando ambos lados

3

20

21

3

1y Sustituyendo

20

21y Hallando el valor de x

05.1y p/s Simplificando

Observe que el ritmo de cambio vertical es también negativo, puesto que y es una magnitud que tiende a

disminuir.


Comenzamos hallando la hipotenusa del triángulo, esto es: 52543 22 . A continuación

introducimos algo de notación:

x = ancho del rectángulo inscrito

h = alto del rectángulo inscrito

En la siguiente figura se ilustra este hecho:

3

s

4

t

x

h

A

B

CE

F

G

D

a

a

b b

4 -

t

3 - s

5

De la figura es posible establecer que 222 xts ( 1 ).


Luego advierta que ACE AGB, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo a. Por

lo tanto se cumple que

35

4 ht

Ecuación original

35

5

45

ht Multiplicando por 5 a ambos lados

ht3

54 Simplificando

43

544 ht Restando 4 a ambos lados

43

5 ht Simplificando

4

3

511 ht Multiplicando por -1 a ambos lados

ht3

54 Despejando t

Advierta también que ACE DEF, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo b.

Por lo tanto se cumple que

45

3 hs

Ecuación original

45

5

35

hs Multiplicando por 5 a ambos lados

hs4

53 Simplificando

34

533 hs Restando 3 a ambos lados

34

5 hs Simplificando

3

4

511 hs Multiplicando por -1 a ambos lados

hs4

53 Despejando s


Sustituyendo las expresiones para s y t en la ecuación ( 1 ), obtenemos:

222 xts Ecuación original

2

22

3

54

4

53 xhh

Sustituyendo

222

16

25

4

309

9

25

3

4016 xhhhh Desarrollando los binomios

22

144

625

6

12525 xhh Simplificando

2

2

12

255 xh

Factorizando

2

2

12

255 xh

Extrayendo raíz cuadrado a ambos lados

hx12

255 Despejando x

Por qué hx12

255 y no

hx

12

255 , porque si 0h , es lógico pensar que 5x y no a

– 5.

De allí que el área del rectángulo sea: xhA

Pero de acuerdo al último resultado el área del rectángulo puede inscribirse sólo en términos de h,

esto es:

hhhA

12

255

A continuación hallamos el domino físico de esta función:

012

255 h Desigualdad original

50512

255 h Restando 5 a ambos lados

512

25 h Simplificando

525

12

12

25

25

12

h Multiplicando por

25

12 a ambos lados

5

12h Simplificando e invirtiendo el signo


Sin embargo h, es una magnitud física que existe, por lo tanto el dominio de la función es:

5

12,0hIhD

Pero a fin de emplear el criterio de comparación en el procedimiento de optimización en intervalo

cerrado, tomaremos como dominio de la función el intervalo

5

12,0 sin mayores repercusiones

(No se afecta el valor ni la posición del máximo absoluto).

A continuación la optimización de A:

hhhA

12

255 Función original

2

12

255 hhhA Simplificando

hhA6

255 Derivando la función

06

255 h Igualando la derivada a 0

5056

255 h Restando 5 a ambos lados

56

25 h Simplificando

525

6

6

25

25

6

h Multiplicando por

25

6 a ambos lados

2.15

6h Despejando h

A continuación valuamos 5

6h y los extremos del dominio a fin de establecer los máximos o

mínimos de la función, esto es:

00012

2550

A Valuando en 0

05

12

5

12

12

255

5

12

A Valuando en

5

12

35

6

5

6

12

255

5

6

A Valuando en

5

6


Por lo tanto el área alcanza su valor máximo cuando la altura del rectángulo es de 5

6 cm. El

ancho del rectángulo es 5.22

5

5

6

12

255

x . Por lo tanto las dimensiones del rectángulo de

mayor área que puede inscribirse son de 5

6 de alto

2

5 de ancho, ambos en centímetros.


Comenzamos dividiendo el eje x en diferentes intervalos, como se muestra en la siguiente figura.

a

bc

d

e

x

y f

g

A partir de la figura, es posible establecer lo siguiente en cada intervalo.

Intervalo a: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba

del eje x.

Intervalo b: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba

del eje x.

Intervalo c: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Además g es decreciente y f está abajo

del eje x.

Intervalo d: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado, g es decreciente y f está

debajo del eje x.

Intervalo e: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Además, g es creciente y f está arriba del

eje x.

Por lo tanto g es la función y f es su derivada. ¿Es posible concluir esto sólo con el hecho de que

una función alcanza sus valores máximos o mínimos donde la derivada es cero?

No, Observe que estas dos funciones son muy particulares. Cada una de ellas, alcanza sus

valores máximos o mínimos donde la otra es cero.




ESCUELA DE CIENCIAS


EXAMEN DE MATEMATICA

Nivel II

Instrucciones: A continuación aparecen varios problemas, resuélvalos correctamente dejando

clara constancia de los procedimientos que le permitieron resolverlos. El tiempo máximo para

responder la prueba es de 2 horas.


Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de

etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye

agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a)

Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante 0t .

(b) Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B.


Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo kxjxziyF ˆˆˆ 2

que

es la frontera del triángulo cortado del plano 1 zyx por el primer octante, en sentido

antihorario, vista desde arriba.


Encuentre los puntos del elipsoide 132 222 zyx donde el plano tangente es paralelo al

plano 133 zyx .

Continúa al reverso...



Evalúe: (10 puntos cada uno)

a)

tansen

d

b) 233 )1( xxx

dx

c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando

dxxx

xx

1

1 2

2

11

11


La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 45º con la horizontal,

tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la

pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno.


Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un

plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal

para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen.


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA

Nivel II

Por:

Ing. Arturo Samayoa Dardón Inga. Vera Gladis Marroquín Ing. Oscar A.Martínez Lobos

Coordinador Depto. Matemática Jefe de Área Matemática Intermedia Profesor Departamento de Matemática

Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala


Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de

etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye

agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a)

Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante t≥0. (b)

Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B.

Solución:

Analizando por separado las cantidades de etanol en cada uno de los tanques:

Tanque A

100100

x

dt

dx dt

x

dx

10

10 ctx

10

1ln

ct

ex

10

1

t

kex 10

1

Como cuando 100;0 xt 100100 0 kke

t

ex 10

1

100

entonces la cantidad de etanol en cualquier instante en el tanque A es:

t

etx 10

1

100


Tanque B

100

10

100

10100 10

1

ye

dt

dy

t

10

10 10

1y

edt

dy t

t

eydt

dy10

1

1010

1

dtydtedyett

1010

110

1

10

1

110

1

10 ctyet

Como cuando 0;0 yt 000 11 cc t

e

ty

10

1

10

Por lo tanto la cantidad de etanol es: t

e

tty

10

1

10

Máximos

tt

tt

e

t

dt

dy

e

ete

dt

dy

10

12

10

1

10

1

10

1

1010

11010

Valor critico: 10010 tt

por lo tanto dt

dy es positiva para 0t y negativa para 0t

así que la cantidad máxima de etanol en el tanque B es cuando 10t y es 10y

entonces: e

ye

y100

1010*10

10

Por consiguiente la cantidad máxima de etanol en el tanque B es e

100 galones (aproximadamente

36.788 galones).



Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo kxjxziyF ˆˆˆ 2

que es

la frontera del triángulo cortado del plano 1 zyx por el primer octante, en sentido

antihorario, vista desde arriba.

Solución:

c

S

SdFrdF

.

Por integral de línea

Curva 1

2

1

20101

1

0

21

0

1

0

2

ttdtkdtjdtiktjtti

Curva 2

1

0

2 00001 dtkdtjiktjit

Curva 3

3

1

3010

1

0

31

0

1

0

22 t

dttdtkjdtiktjtti

Entonces 6

5

3

10

2

1. c rdF

y

Curva 3

dtdztz

dyy

dtdxtx

;1

0;0

;

Curva 2

dtdztz

dtdyty

dxx

;

;1

0;0

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

z

x

C2

C1

C3

Curva 1

0;0

;0

;1

dzz

dydyty

dtdxtx


kzjxix

xxzy

zdyx

kii

F ˆ1ˆ2ˆ

2

3

ˆˆˆ kji

133

1 zxF

S R k

dydxFSdF

ˆ

313

1113

1

0

1

0

dydxyxx

x

dydxyxxx

1

0

1

0113 dydxyx

x

1

0

1

04

dxxxx

1

0

21

2

114

6

5

2

73

2

11

0

2

dxxx

Como 6

5

6

5 se cumple el Teorema de Stokes


Encuentre los puntos del elipsoide 132 222 zyx donde el plano tangente es paralelo al

plano 133 zyx . (10 puntos)

Solución:

La superficie sobre la cual se encuentran los puntos es: 132 222 zyx

Estos puntos son tangentes al plano: 133 zyx

Por lo que el vector normal de la superficie 132 222 zyx , la cual se le designará como

),,( zyxF , es igual o algún número múltiplo o submúltiplo del vector gradiente del plano

133 zyx al cual se le denominará ),,( zyxG


14

3

84

9 22

2 kk

k5

22k

5

2,

10

2,

5

23&

5

2,

10

2,

5

23

Utilizando los vectores normales a ambas superficies ),,(),,( zyxGkzyxF , donde k está

representando la multiplicidad de uno sobre el otro. De esta ecuación se pueden establecer las

siguientes ecuaciones:

),,(),,( zyxGkzyxF xx

)3(2 kx

2

3kx

),,(),,( zyxGkzyxF yy

)1(4 ky

4

ky

),,(),,( zyxGkzyxF zz

)3(6 kz

2

kz

Estando las variables x,y,z en función de k se sustituyen en 132 222 zyx = ),,( zyxF pues los

puntos a encontrar pertenecen a esta superficie: 12

34

22

3222

kkk

Resolviendo para k:

Por lo tanto los puntos del elipsoide 132 222 zyx donde el plano tangente es paralelo al

plano 133 zyx son:



Evalúe: (10 puntos cada tema)

a)

tansen

d

b) 233 )1( xxx

dx


dxxx

xx

1

1 2

2

11

11

Conocimientos previos:

Identidades trigonométricas

2

cos1

2cos 2 xx

xx

x

cos

2tan1

2tan1

2

2

2cos

2sin2sin

xxx

2tan1

2tan2

sin2 x

x

x

Solución.

Sea: 2

tan

w diferenciando de ambos lados queda:

ddw2

sec2

1 2

ddw

2tan12 2 dwdw 212 d

w

dw

21

2

Por las identidades anteriores se tiene que:

2

2

1

1cos

w

w

21

2sin

w

w

Llevando la integral a funciones seno y coseno

sincossin

cos

tan

d

sen

d


Haciendo las sustituciones correspondientes:

22

2

2

22

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

sincossin

cos

w

w

w

w

w

w

w

dw

w

w

d

=

22

2

1212

12

wwww

dww

=

22

2

11

1

www

dww

=

w

dww

2

1 2

= wdww

dw

2

1

2

1

= cww 2

4

1ln

2

1

Sustituyendo por la variable original queda:

cd

2

tan4

1

2tanln

2

1

sincossin

cos 2

b) 233 )1( xxx

dx

23 1 xxx

dx =

3

23

13

12

1

21 xxx

dx

=

3

23

16

5

21 xxx

dx


Haciendo xu 6 y diferenciando ambos lados queda:

dxduu 56

23 1 xxx

dx =

32

631

665

6

5

21

6

uuu

duu

= 425

5

21

6

uuu

duu

= 4221

6

uu

du

=

22 1

6

u

du

Haciendo sustitución trigonométrica a partir de:

Sea utan

Diferenciando ambos lados queda:

dud 2sec 1sec 2 u

por lo tanto: 1sec 22 u

22 1

6

u

du =

4

2

sec

sec6 d

=

2sec

6d

= d2cos6

=

d

2

2cos16

= dd 2cos33

= c 2sin2

33

= c cossin22

33

= c cossin33

u 12 u

1


Regresando a la variable u:

22 1

6

u

du = c

uu

uu

1

1

13tan3

22

1

Si se regresa a la variable original queda:

23 1 xxx

dx = c

x

xx

13tan3

3

661


dxxx

xx

1

1 2

2

11

11

Si se analiza 11

11

2

2

xx

xxxf

Donde: 11

11*

11

11

2

2

2

2

xx

xx

xx

xxxf

112

x

xxf esta es una

función impar

Se observa con claridad que la gráfica es

simétrica respecto al origen por ser impar,

por lo que el resultado de la integral es

“cero”

011

111

1 2

2

dx

xx

xx

-2 -1 1 2

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6


Problema 5 (10 puntos) La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 60º con la horizontal,

tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la

pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno.

Solución

Sea yxx

y3tan

La fuerza total es 22

hvt FFF

Analizando la fuerza vertical total en la cortina:

Sea dAhgdFv donde:

Peso específico es 000,10 g

345sin

Ho por lo tanto

2

2345sin3 HH o

2

23&0,

2

23,4 bayhdxdA

Si b

adAhgF

223

04

2

23000,10 dxxFv

Resolviendo la integral queda que 90000vF newtons

45º

h

y

H

(x,y)

45º

h

y

H

(x,y)

dFh

dFv

3sen45o=

2

23

45º

3cos45o=

2

23


Analizando la fuerza horizontal total en la cortina:

Sea: dAdgdFh donde:

345cos

Bo por lo tanto

2

2345cos3 BB o

2

23&0,

2

23,4 bayddydA

Si b

adAdgF

2

23

04

2

23000,10 dyyFh

90000hF newtons

Por lo tanto: 229000090000 TF entonces: 2000,90TF newtons

Otra forma con los ejes sobre la cortina ( ver figura):

Area dxA 3

04 y profundidad

2

xh

Entonces

29000021000042

100003

0

23

0 xdx

xF newtons

45º

h

y

H

(x,y)

dFh

x

y

dx

h

h x

450


Problema 6 (10 puntos) Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un

plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal

para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen.

Solución:

dyyh 2

0

2525

= 215

3hh

dyyh

2

0 2

6

= 218108

12hhh

Igualando ambos resultado

22 153

1810812

hhhhh

Resolviendo la ecuación queda: 109135

3,10913

5

3,0 hhh

Se toma el valor de 109135

3h por estar dentro del intervalo físico del problema, así que el

volumen es:

Volumen de la esfera bajo el plano de corte =

109135

3

0

22

525 dyy

= 1091725125

18 pies cúbicos

Volumen del cono bajo el plano de corte =

109135

3

0

2

2

6dy

y

= 1091725125

18 pies cúbicos

Por lo tanto, la altura a la que deben ser cortadas ambas figuras debe ser

109135

3h pies.




ESCUELA DE CIENCIAS


EXAMEN DE FÍSICA Nivel I

Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de

trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo.


En una demostración conocida como carro balístico, una pelota se proyecta verticalmente hacia

arriba desde un carro que se mueve con velocidad constante a lo largo de la dirección horizontal.

La pelota cae en el contenedor del carro porque ambos tienen el mismo componente horizontal de

velocidad. Ahora considere un carro balístico sobre un plano inclinado que forma un ángulo

con la horizontal, como se ve en la figura. El carro (incluyendo sus ruedas) tiene una masa y

el momento de inercia de cada una de las dos ruedas es .

a. Con el uso de la conservación de la energía (suponiendo que no haya fricción entre el

carro y sus ejes) y suponiendo movimiento de rotación puro (sin deslizamiento),

demuestre que la aceleración del carro a lo largo del plano inclinado es

b. Nótese que el componente de la aceleración de la pelota soltada por el carro es .

Entonces, el componente de de la aceleración del carro es menor que la de la pelota por

el factor . Utilice este dato y ecuaciones de cinemática para demostrar que

la pelota rebasa al carro en una cantidad , donde y

es la rapidez inicial de la pelota impartida a ella por el resorte del carro.

c. Demuestre que la distancia que la pelota recorre medida a lo largo del plano inclinado

es



Dos resortes, ambos con longitud no estirada de 0.200 m pero diferentes constantes de fuerza

, están unidos a extremos opuestos de un bloque de masa en una superficie plana sin

fricción. Ahora los extremos exteriores de los resortes se unen a dos agujas que están a

0.100 m de las posiciones originales de los extremos de los resortes (vea la figura). Sea

(a) Calcule la longitud de cada resorte cuando

el bloque está en su nueva posición de equilibrio después de fijarse los resortes en las agujas. (b)

Calcule el período de vibración del bloque si se desplaza un poco de su nueva posición de

equilibrio y se suelta.



Un extremo de un poste de altura que pesa 400 N descansa en una superficie horizontal áspera

El extremo superior se sujeta con una cuerda fijada a la superficie que hace un

ángulo de con el poste (vea la figura). Se ejerce una fuerza horizontal sobre el poste

como se muestra. A) Si se aplica en el punto medio del poste, ¿qué valor máximo puede tener

sin hacer que el poste resbale? b) ¿Y si el punto de aplicación está a de la longitud del poste

desde la base? c) Demuestre que si el punto de aplicación de la fuerza está a suficiente altura, no

puede hacerse que el poste resbale, por más grande que sea la fuerza. Calcule esta altura crítica.


Un cubo sólido de lado y masa se desliza sobre una superficie sin fricción con velocidad

uniforme , como se muestra en la figura a. Golpea un pequeño obstáculo que está en el extremo

de la mesa, lo cual hace que el cubo se incline como se ve en la figura b. Encuentre el valor

mínimo de tal que el cubo caiga de la mesa. Nótese que el momento de inercia del cubo

alrededor de un eje a lo largo de una de sus aristas es . (Sugerencia: El cubo

experimenta una colisión inelástica en la arista)


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA

Nivel I

Por: Lic. Gomer Castillo Ing. Edgar Alvarez Cotti Ing. Otto Hurtarte

Departamento de Física Departamento de Física Coordinador de Física Básica

Universidad Rafael Landivar Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala

Problema 1

a) Para el carro considere un movimiento que inicia desde el reposo, a través de una

distancia sobre el plano inclinado. Por conservación de energía:

Luego, por cinemática, puesto que la aceleración es constante:

c) Puesto que la pelota es lanzada desde un carro en reposo, esta se moverá con una

aceleración a lo largo del plano inclinado, y con una aceleración

perpendicular al plano inclinado. Bajo esta configuración y por cinemática:

La distancia , a lo largo del plano inclinado, que la pelota recorre en el tiempo anterior será:


b) Así la pelota rebasa al carro por una distancia igual a:

donde

Por tanto,

Problema 2

a) Puesto que la fuerza neta del resorte en su nueva posición de equilibrio debe ser cero:

Entonces, las longitudes en la nueva posición de equilibrio son; para el resorte 1, 0.250 m y para

el resorte 2, 0.350 m.

b) A partir de la nueva posición de equilibrio si se desplaza el bloque un poco hacia la

derecha, entonces la fuerza neta sobre el bloque será:

De los resultados de la primera parte, la expresión dentro de los corchetes es cero, así, la fuerza

neta sobre el bloque es y la constante equivalente del resorte es ,

por tanto:


Problema 3

a) Sea el punto donde la cuerda está fijada al suelo y B el punto donde la cuerda está fijada

al poste, el ángulo entre la cuerda y el poste, la fuerza normal que el suelo ejerce

sobre el poste y la fuerza de fricción que el suelo ejerce sobre el poste, entonces

Sustituyendo (2) en (1)

Ahora, de (2) se tiene que y aplicando el hecho de que se tiene entonces que

b) De las relaciones del inciso anterior



Aplicando de nuevo las condiciones del inciso anterior:

c) De las condiciones del primer inciso, y asumiendo que se aplica a una altura del suelo


Aplicando de nuevo las condiciones del primer inciso:


Para la expresión anterior, conforme , crece desmesuradamente

con lo que queda demostrado que después de cierta altura desde el suelo al aplicar una fuerza

de cualquier magnitud el poste no resbalará. La altura crítica se obtiene al igualar la expresión

anterior a cero:

Problema 4

Durante la colisión inelástica se conserva la cantidad de movimiento angular, con lo que

Para que la caja caiga, debe cumplirse la condición de que el centro de masa de la caja alcance su

máxima altura a medida que la caja esta rotando, es decir, Ahora, usando

conservación de energía,




ESCUELA DE CIENCIAS


EXAMEN DE FÍSICA Nivel II

Instrucciones: El examen se presenta en la modalidad de selección múltiple, de las cuatro

posibilidades escoja la que más se aproxime a su respuesta después de calcular. Si ninguna es

semejante a su resultado, marque la opción ninguna es correcta (NEC). El o los examinadores

no están en el salón para resolver dudas, solamente para velar la pureza de la prueba.

Primera Serie (50 puntos)

1) La figura muestra dos cargas puntuales separadas a una distancia de 20 cm. En que región el

campo eléctrico producido por ambas cargas puede tener una resultante igual a cero

a) Region I I II III

b) Region II

c) Region III + 15µC - 9µC

d) Region I y III 25 cm

e) NEC

2) Las cargas eléctricas A y B se atraen entre sí. Las cargas eléctricas B y C también se atraen

una a la otra. Si se mantienen juntas A y C, que pasará entre ellas

a) Se atraerán b) Se repelerán c) Una no afectará a la otra d) Falta Información e) NEC

3) Una línea de carga infinita (Hint: considérela como una varilla) produce un campo de 8.0 x

103 N/C a una distancia de 5.62 m. el valor de la densidad lineal en C/m esta dado por

a) 5.5 x 10 -6

b) 2.5 x 10 -6

c) 4.5 x 10 -6

d) 1.5 x 10 -6

e) NEC

4) La figura muestra un sólido, limitado por un círculo de radio r= 25 cm y por una

superficie paraboloide. Si el sólido está sumergido en un campo eléctrico

uniforme y constante de magnitud E= 4.5 x 106 N/C, la magnitud del flujo a través

de la superficie paraboloide, en unidades SI, tiene un valor de:

a) Cero b) 3.26 x 105 c) 6.75 x 10

5 d) 8.84 x 10

5 e) NEC

E

5) Considere dos superficies esféricas concéntricas, S1 con radio a y S2 con radio 2a, ambas

centradas en el origen. Hay una carga +q en el origen y ninguna otra. Compare el flujo 1 que

atraviesa S1 con el flujo 2 que atraviesa S2

a) 1 = 42 b) 1 = 22 c) 1 = 2 d) 21 = 2 e) 41 = 2


6) Se tienen dos cargas sobre la base de un triangulo equilátero de 3 cm de lado. La

carga Q1= 3x1012

C y la carga Q2 = 3 x 1012

C. En el vértice de arriba se

coloca una carga Q3 = 1.5 C. La magnitud del Campo Eléctrico resultante (en

N/C) y su dirección en el lugar donde estaría ubicada Q3 es:

a) 15 b) 30 c) 15 d) 30 e) NEC

7) La magnitud y dirección de la Fuerza Eléctrica ( en N) resultante sobre la carga

Q3 es de

a) 22.5 b) 45.0 c) 22.5 d) 45.0 e) NEC

Q3

Q1 +Q2

8) Refiriéndonos al problema anterior, en la configuración mostrada, cuál es el potencial eléctrico

(en V) en el lugar donde está situada la carga Q3

a) 3.50 x 108

b) 1.35 x 10–06

c) 2.70 x 10–12

d) Cero e) NEC

9) Una esfera conductora inicialmente neutra tiene un radio de 50 cm. ¿Cuántos electrones hay

que quitarle para producir un potencial de 9kV en su superficie?

a) 1.19 x 1012

b) 1.87 x 1012

c) 2.42 x 1012

d) 3.13 x 1012

e) NEC

10) A cierta distancia de una carga puntual, la magnitud del Campo Eléctrico es 800 N/C y el

potencial eléctrico es de 3.00 kV, cuál es la distancia a la carga expresada en m?

a) 6.0 b) 0.006 c) 0.004 d) 3.75 e) NEC

11) Para el problema anterior, cuál es la carga expresada en C?

a) 1.25 b) 0.00125 c) 2.0 d) 0.002 e) NEC

12) Un capacitor de placas paralelas está bajo una diferencia de potencial Vo. Si la diferencia de

potencial se duplica, en que factor cambia la energía almacenada Uf/Uo

a) ½ b) 1 c) 2 d) 4 e) NEC

13) Un capacitor de placas paralelas está conectado a una batería que tiene un voltaje constante

entre sus terminales. Si entonces se separan las placas del capacitor:

a) disminuyen tanto el campo eléctrico como la carga en las placas

b) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas no

c) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas disminuye

d) el campo eléctrico aumenta, pero la carga en las placas disminuye

e) Ninguna es correcta

14) Un conductor circular transporta una corriente de 2A. ¿Cuántos electrones pasan a través de

cierta área transversal en 7 minutos?

a) 1.20x1021

b) 3.17x1021

c) 5.25x1021

d) 7.10x1021

e) NEC


15) En su casa de habitación (con un voltaje de 120 V) se encuentran funcionando 6 bombillas de

100W cada una, una lavadora que consume 2500 W, una plancha que consume 1200 W y un

calentador que consume 900 J/s. Cuanta carga por unidad de tiempo (C/s) pasa por la caja de

flipones en esas condiciones.

a) 5.62 b) 19.27 c) 29.83 d) 43.33 e) NEC

16) Refiriéndonos a la pregunta anterior, cuál es el costo (en US $ /kWh) en un mes de 31 días,

para mantener encendidas durante las 24 horas del día, las 6 bombillas de 100 W cada una, si el

costo de la energía eléctrica es de US $ 0.15/ kWh.

a) 0.67 b) 67 c) 670 d) 6700 e) NEC

17) El potencial eléctrico en V en el espacio entre las placas de cierto tubo al vacío está dado por

V= 1600 X2

+ 90, en donde V está en voltios y X es la distancia a partir de una de las placas en

metros. El campo eléctrico en V/m en x = 2.5 cm está dado por:

a) 80 i b) 63 i c) – 80 i d) – 63 i e) NEC

18) Cuando se aplica 115 V entre los extremos de un alambre conductor recto de 9.66 m de

longitud, la densidad de corriente es de 1.42 A/cm2. El campo eléctrico (en N/C) tiene un valor

de

a) 1064 b) 10.64 c) 11.90 d) 1190.28 e) NEC

19) Cuando dos resistores idénticos se conectan en paralelo con una batería, la potencia total

disipada por ellos es de 40W. Si posteriormente se conectan esos mismos resistores en serie con

la misma batería, la potencia total disipada en W será

a) 10 b) 20 c) 40 d) 80 e) 160

20) El plano de una bobina rectangular de 5 cm x 8 cm, es perpendicular a un campo magnético

B. Si la bobina tiene 75 vueltas y una resistencia total de 8 . La rapidez con la que tiene que

cambiar B con respecto del tiempo, para que haya una corriente inducida de 0.1 A, expresada en

Teslas/s, tiene un valor de

a) 0.80 b) 1.33 c) 1.60 d) 2.67 e) NEC

Segunda Serie (50 puntos)

Problema 1

Una varilla de masa m y de resistencia eléctrica R, puede deslizarse sin fricción sobre unos rieles

metálicos y que en su parte final se encuentran unidos por una pieza de metal del mismo material

formando un ángulo θ con respecto a la horizontal, dicha varilla es tirada por una cuerda que pasa

por una polea ideal sin fricción y que en su otro extremo tiene atada un masa M > m. En toda la

región existe un campo magnético vertical y hacia arriba B. Si inicialmente el sistema se

encuentra en reposo. Calcule:

a) Como esta dada la velocidad de la varilla como función del tiempo.

b) Cuál es el máximo valor de la velocidad vm de la varilla (Suponga que los riele son

suficientemente largo y que se alcanza dicha velocidad)

c) De manera práctica ¿Cuál es el valor aproximado del tiempo para el cual se alcanza dicho

valor de la velocidad vm?


d) Como esta dado el desplazamiento de la varilla y ¿cual será su valor para el tiempo en el

inciso c)?

Problema 2

Una esfera de radio R y con densidad de carga uniforme ρv, se le obtura un agujero esférico de

radio R/4, cuyo centro se encuentre a una distancia R/2 del centro de la esfera. Calcule:

a) El campo y el potencial eléctrico en el punto B(2R, R)

b) El campo eléctrico en A un punto interior de la esfera hueca. Describa las características

de dicho campo.

c) Cuanto trabajo hace el campo cuando una partícula de carga q se transporta de B(2R,R) a

C(2R,-R) a través de la curva 2R(x – 3/2R) = y2


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA

Nivel II

Por: Lic. Gomer Castillo Ing. Edgar Alvarez Cotti Ing. Otto Hurtarte

Departamento de Física Departamento de Física Coordinador de Física Básica

Universidad Rafael Landivar Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala

Primera Serie

1. La única región en donde el campo eléctrico puede ser cero es la Región III, debido a que

en dicha región el campo de la carga de + 15μC el cual es repulsivo, decrece

suficientemente para poder ser anulado por el campo de la carga de - 9 μC es atractivo y

de menor intensidad. c)

2. A y B se atraen, por lo que son de signo contrario.

B y C se atraen, por lo que son de signo contrario.

Conclusión A y C son de igual signo, por lo que se deberán repeler. b)

3. De la ley de Gauss

C/m 105.2)2(

2

)2(

6

rE

rE

LrLE

qSdE

o

o

o

encerradao

b)

4. /CNm 1084.8))( 252 rEEASdEE

d)

5. Las superficies S1 y S2 encierran la misma carga, por lo que 21 sS c)

6.

xCNE

r

QEEE

R

R

ˆ)/30(

)3/cos(2(4

1)3/cos()3/cos(

2

0

b)

7. xNxCNCEQF R ˆ)1045(ˆ)/30)(105.1( 66

3

d)


8. V 0

4

1

4

1

00

r

Q

r

QV

d)

9.

electrones 10125.3

10500)4( 4

1

12

9

0

0

e

QN

CVrQr

QV

e

d)

10.

m 75.3

4

1.

4

1

0

2

0

rE

V

r

QV

r

QE

d)

11. CVrQ 6

0 1025.1)4( a)

12.

4U

U

)4(2

1)2(

2

1 U

2

1

0

f

2

0

2

0f

2

00

CVVCCVU

d)

13. De las ecuaciones, abajo, se observa que si aumenta d, tanto Q como E disminuirán.

d

VEy )( 0 V

d

ACVQ

a)

14. electrones 1025.5

C 840

21

e

QN

tIQ

e

c)

15. A

Pt

33.43V

PI

W5200 W900120025001006

t

d)


16. 96.66$

h-kW 4.446)d31)(h24)(W600(

ECC

E

u

b)

17.

i

i

m

V80

E

x

VVE

c)

18. V/m90.11

A/cm42.1 2

L

VE

J

c)

19.

10W5W5W

W52

20

20

W20,W40

2

2

2

T

R

RT

P

R

RRIP

RVR

VP

PP

a)

20. T/s66.2NA

IR

dt

dB d)

Segunda Serie

Problema 1


D.C.L. masa m

Resolviendo la parte electromagnética:

n Interacció de Fuerza )cos(

Inducida Corriente )cos(

Inducida Fem )cos(

Faraday deLey ))cos((

22

R

vLBILBF

R

BLv

RI

BLv

BLxdt

d

dt

d

B

B

Resolviendo la parte mecánica:

Del D.C.L de m

mamgFT

maF

B

x

sincos

Del D.C.L de M

MaTMg

MaFy

Resolviendo para a

aMmvR

LBmgMg

222 cossin

D.C.L. masa M


Dado que dt

dva , la ecuación anterior se transforma en

0

sincos 222

Mm

mgMgv

RMm

LB

dt

dv

la ecuación anterior se puede representar como una ecuación diferencial separable haciendo

RMm

LBA

222 cosy

Mm

mgMgB

sin, así

A

BvA

dt

dv, cuya solución es

AteA

Bv 1

AteA

Bv 1

b)

222 cos

sinlim

LB

gRmMvv

tm

c) 1 A representa un constante de tiempo

222

1

cos

55

LB

RATm

d) /1 t

m evdt

dx

dtevdx t

m

/1

/

0 1 t

mm evtvxx

Problema 2

eq dsE0 ,

Entonces, 03

vE en el interior, y

2

04

1

R

QE T

, donde TQ es la carga total de la esfera.


a) Carga de esfera grande: Q

Carga eliminada del agujero: q

vRQ 3

3

4

6443

43

Qv

Rq

Por el principio de superposición

qQ EEE

2/3

220

2/3220

4

9

2

3

644

1

4

2

4

1

RR

RRQ

RR

RRQ

yxyx

aaaaE

2/32

0

2/32/32

0

4

13

2

3

644

1

5

1

5

2

4

1 yx

yx

aa

aaER

Q

R

Q

yx aaE 0867.01748.04

12

0

R

Q

438546.0

4

1

413

64

4

1

54

1

0

2/120

2/120 R

Q

R

Q

R

QV

b) En el interior de la esfera rE03

v , rE

03

vH

xarrEEE

233 00

RvvHT

TE es un campo uniforme en el interior del agujero.

c) Por la simetría BA VV , 0V , entonces

0 VqW

El trabajo neto es cero.




ESCUELA DE CIENCIAS


EXAMEN DE QUÍMICA

Nivel I

Instrucciones generales: El presente examen, consta de dos series. Dispone dos horas para

resolver su examen. Puede utilizar: tabla periódica, calculadora con las cuatro operaciones

básicas. No puede utilizar: ningún aparato electrónico (celular, ipod, mp3).

Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)

Instrucciones: A continuación se le presentan 20 preguntas de selección múltiple, subraye el

inciso considere correcto.

EVALUACION DE TODO EL CONTENIDO PROGRAMATICO.

1. Es la medida de la inercia que adquiere un cuerpo en base al movimiento.

a. Fuerza

b. Masa

c. Energía

d. Presión

e. Ninguna

2. En cual de los siguientes descriptores se sucede una reacción química:

a. Calentamiento a ebullición de la leche

b. Contracción volumétrica por enfriamiento del mercurio.

c. Oxidación del hierro en condiciones ambientales

d. Licuefacción del cobre

e. Ninguna

3. Cuál es el número máximo de electrones en una reempe d?.

a. Diez

b. Seis

c. Dos

d. Tres

e. Ninguna

4. Los metales de transición tienen su electrón diferencial en:

a. Reempe s

b. Reempe p

c. Reempe d

d. Reempe f.

e. Ninguna


5. Los elementos se agrupan en columnas según:

a. Su número atómico

b. La posición del electrón diferencial en la reempe

c. El nivel cuántico principal del electrón diferencial

d. Su número de masa.

e. Ninguno

6. Cual elemento posee 6 electrones en su último nivel electrónico:

a. Boro

b. Carbono

c. Nitrógeno

d. Oxigeno

e. Ninguno

7. Cual elemento comparte 3 electrones para alcanzar configuración electrónica

equivalente a gas noble:

a. Boro

b. Carbono

c. Nitrógeno

d. Oxigeno

e. Ninguno

8. Si dos elementos tienen cuatro electrones en el último nivel de su configuración es

porque:

a. Pertenecen al mismo periodo

b. Tienen cuatro niveles de energía

c. Pertenecen al mismo grupo periódico.

d. Poseen igual masa atómica.

e. Ninguno.

9. El hidrogeno, el deuterio y el tritio se diferencian entre sí por el número de:

a. Protones

b. Neutrones

c. Electrones

d. Electrones y neutrones

e. Ninguno

10. Cuando los electrones compartidos en una unión química pertenecen a uno solo de los

átomos, se denomina al enlace:

a. Covalente

b. Covalente coordinado.

c. Iónico

d. Covalente polar

e. Ninguno


11. En base a la electronegatividad de Pauli el enlace covalente menos polar entre dos

elementos se da en:

a. C – N

b. C – O

c. C – F

d. C – Ne

e. Ninguno

12. El número de oxidación del cloro molecular es:

a. Menos uno

b. Uno

c. Cero

d. Tres

e. Ninguno

13. El nombre que recibe el trióxido de manganeso en el sistema clásico:

a. Oxido mangánico

b. Anhídrido mangánico

c. Anhídrido manganoso

d. Oxido manganoso

e. Oxido permangánico

14. Para la reacción C4H10(g) + O2(g) → CO2(g) + H2O(g) los coeficientes

estequiométricos, respectivos en los enteros mas sencillos son:

a. 1, 13/2, 4, 5

b. 1, 13, 4, 5

c. 2, 13, 4, 5

d. 2, 13, 8, 10

e. Ninguno

15. Según el tipo de reacción HCl(g) + NH3(g) → NH4Cl(s) esta es una:

a. Análisis

b. Síntesis

c. Sustitución

d. Desplazamiento

e. Metátesis

16. Señale cual afirmación es falsa respecto al concepto de gas ideal:

a. Sus partículas son iguales en tamaño, forma y masa.

b. Las fuerzas de interacción entre sus partículas son despreciables

c. La energía promedio de sus moléculas solo depende de la temperatura.

d. Existen a presiones bajas y temperaturas altas.

e. No es licuable bajo ningunas condiciones.


17. En base a la teoría cinética de los gases ideales. Cuál de las siguientes proposiciones

es falsa.

a. Los choques entre las moléculas de un gas son elásticos.

b. Cada molécula posee una energía cinética igual al promedio de las energías de

todas.

c. El movimiento de las moléculas es caótico, pero en línea recta.

d. Las fuerzas intermoleculares y el volumen ocupado por las moléculas son

despreciables.

e. No existe a presiones altas y temperaturas altas

18. Una masa de 20g, sufre un incremento de 32˚Celsius. A cuántos grados de

temperatura equivale en Rankine.

a. 89.6 R

b. 57.6 R

c. 549.6 R

d. 17.78 R

e. Ninguno

19. Una vasija tiene las siguientes medidas, 20.5216 cm de largo, 6.537 cm de ancho y

4.0 cm de alto. Cuál es el volumen de la vasija?. Exprese su resultado con el número

correcto de cifras significativas.

a. 536.59 cm3

b. 5.36 E 2 cm3

c. 5.4 E 2 cm3

d. 536.5908 cm3

e. Ninguno

20. Considere los elementos A, B, y C, cuyas configuraciones del electrón diferencial

son: A: 5, 1, 1, ½; B: 5, 1, 0, ½; C: 4, 1, 0, ½ . Ordénelos según su

electronegatividad decreciente.

a. A, B y C

b. B, C y A

c. C, A y B

d. A, C y B

e. Ninguna

Segunda Serie (Cada respuesta correcta 12 puntos)

Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, dejando una constancia objetiva, lógica,

explícita y ordenada de su procedimiento en el cuadernillo proporcionado para el efecto,

anotando la respuesta específica en el temario.

Se calificará procedimiento y respuesta correcta.


ANALISIS DIMENSIONAL

1. La abundancia isotópica de Hidrógeno elemental es: 0.99985 de hidrogeno (H), 0.00012 de

deuterio (D) y 0.00003 de tritio (T). Existen tres clases de agua: H2O (agua), D2O (agua

pesada) y T2O (agua superpesada). Si las abundancias isotópicas de hidrogeno equivalen

completamente a las abundancias de clases de agua. ¿Cuántos kg de agua pesada se pueden

obtener de 1 tonel agua?.

RESPUESTA:

ENERGÍA ELECTROMAGNETICA

2. Albert Einstein ganó el Premio Nobel de la Física por explicar el efecto fotoeléctrico, que es

la emisión de electrones de una superficie al ser irradiada con un haz de luz. Una lámina de

oro es irradiada con un haz de luz y los e- emitidos crean una corriente eléctrica de 2

amperios. ¿Cuál es la mínima energía absorbida por la lámina en 2 segundos? ¿cuál es la

intensidad del haz de luz?

RESPUESTA:

ENLACE Y NOMENCLATURA

3. Determine el número de enlaces iónicos y covalentes para las oxisales sódicas del cloro.

RESPUESTA:

Enlace

Denominación Formula Iónico covalente

ESTEQUIOMETRÍA (LEYES PONDERALES)

4. El estaño (Sn) y el oxígeno (O) se combinan para formar dos óxidos diferentes. Uno

contiene 78.77% de Sn y el otro 88.12% de Sn. Encuentre el peso equivalente de Sn en

cada uno de los dos óxidos y demuestre que los valores concuerden con lo indicado en la

ley de las proporciones múltiples (Ley de Dalton).

RESPUESTA:

GASES IDEALES

5. Una mezcla de gases está formada por 88 g de C3H8 y 80 g de un gas desconocido. La

mezcla ocupa un recipiente rígido de 40 L y su temperatura es de 25°C. La presión total del

sistema es 2.79 bar. ¿Cuál es la masa molar del gas desconocido?

RESPUESTA:

“la imaginación es tan importante como el conocimiento”

Albert Einstein


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA

Nivel I

Por

Dra. Casta Zeceña Ing. Byron Aguilar Departamento de Química General Departamento de Química General


Primera Serie

1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 6. D 7. C

8. C 9. B 10. B 11. A 12. C 13. B 14. D

15. B 16. A 17. B 18. B 19. C 20.A

Segunda Serie

1. Respuesta 0.02725 Kg. de D2O

Solución

Datos: masa H = 1.00018 uma

Masa D2O = 19.999 g/mol

Masa H2O = 17.99936 g/mol

Densidad H2O = 1 Kg/ L

1 tonel agua (54 gal agua / 1 tonel agua) (3.785 L agua / 1 gal agua) (1 Kg agua / 1 L agua)

(1 Kmol agua / 17.99936 Kg agua) (0.00012 Kmol D2O / 1 Kmol agua)

(19.999 Kg D2O / 1 Kmol D2O) = 0.02725 Kg D2O

2. Respuesta 0.0369 KJ ; 2.496 E 19 fotón Datos:

Solución

Datos: Ei Au: 890 KJ/mol

F = 96485 C/mol

2 C/s (1 mol e/ 96485 C) (890 KJ / mol) (2s) = 0.0369 KJ

2 C/s (1 mol e/96485 C) (1 mol fotón / 1 mol e) (6.022e23 fotón / 1 mol fotón) (2s)=

2.496E19 fotón


3. Respuesta

Denominación Formula No. de enlaces

iónico covalente

Hipoclorito de Sodio NaClO 1 1

Clorito de Sodio NaClO2 1 2

Clorato de Sodio NaClO3 1 3

Perclorato de Sodio NaClO4 1 4

4. Respuesta: Relación es 29.68 a 59.34 en números enteros es de 1:2

Solución

Por definición del peso equivalente gramo será la cantidad de Sn que se combine con 8g de

oxigeno así para el primer óxido se encuentra que el oxigeno combinado en 100g del óxido es:

(100 – 78.77) = 21.23g

(78.77g Sn/21.23g O) = (Xg Sn/8.0g O)

X= 29.68g peso equivalente del Sn.

Para el segundo óxido

(88.12g Sn/11.88g O) = (Xg Sn/8.0g O)

X= 59.36g peso equivalente del Sn

Y la relación entre los pesos equivalentes gramos es 29.68 a 59.34 que corresponden a la relación

1:2 que es de números enteros y sencillos.

5. Respuesta M = 31.98 g/mol.

Solución

Datos: T = 25°C

V = 40 L

P = 2.79 bar

masa C3H8 = 88g

masa X = 80g

(2.79 bar) (1atm/1.01325bar) = 2.753 atm

nt = ((40L * 2.754 atm)/(0.082062 L-atm/mol K) ( 298.15 K)) = 4.502 mol

moles de C3H8 = (masa C3H8 / masa molar C3H8) = (88g) (44g/mol) = 2 moles C3H8


Según Dalton

nt = moles C3H8 + moles X

moles X = nt – moles C3H8

moles X = 4.502 mol – 2 mol = 2.502 mol X

moles X = (masa X/masa molar X)

Masa molar X = (masa/moles) = (80g/2.502mol) = 31.98g/mol




ESCUELA DE CIENCIAS


EXAMEN DE QUÍMICA

Nivel II

Instrucciones: A continuación se le presentan varios cuestionamientos, léalos con atención,

resuélvalos y luego marque su respuesta subrayando con TINTA el inciso correspondiente en

cada problema.

Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)

1. Cierta reacción química tiene como ecuación de velocidad experimental v = k[A]2[B], si la

[A] se duplica y la [B] se reduce a la mitad, ¿qué ocurrirá con la velocidad de reacción?

a) Se duplica

b) Se cuadruplica

c) Sigue igual

d) Se triplica

e) Ninguna

2. Después de cinco períodos de vida media para una reacción de primer orden, ¿qué fracción

de reactivo permanecerá?

a) 1/5

b) 1/10

c) 1/32

d) 5/2

e) Ninguna

3. Si se observa una línea recta con pendiente negativa al graficar ln[reactivo] contra tiempo,

¿de qué orden es la reacción?

a) Orden fraccionario

b) Segundo orden

c) Orden cero

d) Primer orden

e) Ninguna

4. Cuando los coeficientes estequiométricos de una ecuación balanceada se multiplican por

algún factor, la constante de equilibrio para la nueva ecuación es:

a) La constante antigua elevada a la potencia del factor de multiplicación

b) La constante antigua multiplicada por el factor de multiplicación

c) La constante antigua dividida por el factor de multiplicación

d) La constante antigua

e) Ninguna


5. Cuando dos o más ecuaciones químicas se suman para producir una ecuación neta, la

constante de equilibrio para la ecuación neta es:

a) La adición de las constante de equilibrio

b) El cociente de las constantes de equilibrio

c) El producto de las constantes de equilibrio

d) La diferencia de las constantes de equilibrio

e) Ninguna

Segunda Serie (Cada respuesta correcta 3 puntos)

6. La presión total para la mezcla de N2O4 y NO2 es 1.5 atm. Si Kp es 6.75 a 25 oC, para el

equilibrio NO2(g) N2O4(g) , ¿cuál será la presión parcial de NO2(g) en la mezcla?

a) 1.097 atm

b) 0.403 atm

c) 0.194 atm

d) 0.660 atm

e) Ninguna

7. ¿Cuál será el voltaje para la celda Pb / Pb+2

// Ag+

/ Ag si las concentraciones de los iones

plomo y plata son 1.5 M y 0.015 M respectivamente?

a) 0.69 V

b) 0.93 V

c) 1.43 V

d) 0.82 V

e) Ninguna

8. En una bomba calorimétrica se determina el calor desprendido por la reacción entre

aluminio sólido en polvo y oxígeno gaseoso, para formar óxido de aluminio sólido. En

experimentos anteriores se determinó que los materiales de la bomba, sin incluir el agua,

absorben 63 J por cada 1.00 oC de aumento en la temperatura. Con 0.300 g de aluminio y

exceso de oxígeno sellados en la bomba conteniendo 800 g de agua, la temperatura del

agua y de su contenido cambia de 21.00 a 23.50 oC después de completar la reacción.

¿Cuál será el calor liberado por mol de aluminio que reacciona?

a) 767.29 kJ

b) 194.18 kJ

c) 420.00 kJ

d) 113.40 kJ

e) Ninguna


9. Experimentalmente se ha determinado que ∆Hro para la combustión completa de octano es –

5470.68 kJ / mol. ¿Cuál será ∆Hfo para el octano?

a) – 4791.33 kJ

b) – 5720.63 kJ

c) – 249.95 kJ

d) – 285.83 kJ

e) Ninguna

10. Una solución acuosa de HClO4 tiene concentraciones molar y molal de 4.36 y 5.36

respectivamente. ¿Cuál será su densidad expresada en g/cc?

a) 1.251

b) 1.122

c) 1.300

d) 1.157

e) Ninguna

11. Para un análisis determinado se requieren 225 cc de HNO3 al 30%, con densidad de 1.17

g/cc. ¿Cuántos cc de ácido concentrado, de densidad 1.42 g/cc que contiene 70% de HNO3

en peso, debe diluirse con agua para preparar los 225 cc de la solución requerida?

a) 157.50

b) 96.43

c) 67.50

d) 79.45

e) Ninguna

12. ¿Cuál será la energía de activación para una reacción que a 500 oC se completa 50% en 5

minutos, mientras que a 600 oC la misma reacción se completa 50% en 2 minutos?

a) 22.85 kJ/mol

b) 51.43 kJ/mol

c) 74.28 kJ/mol

d) 37.14 kJ/mol

e) Ninguna

13. Una solución de 0.07265 g de una hormona en 100 mL de solución tiene una presión

osmótica de 12.60 mmHg a 21.6 oC. ¿Cuál es la masa molecular de la hormona?

a) 77.7

b) 521.1

c) 943..1

d) 1060.41

e) 2.32x105


14. Una solución que contiene cierta cantidad de un compuesto “X” disuelto en 75 g de ácido

acético, CH3COOH, se congela a 14.40 Celsius. Otra solución que contiene esta misma

cantidad de “X” disuelto en 75 g de ciclohexano hierve a 82.32 Celsius. El punto normal

de congelación del ácido acético es 16.60 Celsius y su Kc 3.90 oC/m. El punto normal de

ebullición del ciclohexano es 80.74 Celsius. ¿Cuál es el valor para la constante

ebulloscópica del ciclohexano?

a) 2.82 oC/m

b) 2.20 oC/m

c) 1.59 oC/m

d) 0.51 oC/m

e) Ninguna

15. Una solución que contiene 20 g de un soluto que no es volátil en exactamente 1 mol de un

disolvente volátil, tiene una presión de vapor de 0.500 atm a 20 Celsius. Se agrega un

segundo mol de solvente a la mezcla y la solución resultante tiene una presión de vapor de

0.550 atm a 20 Celsius. ¿Cuál es la presión de vapor del disolvente puro a 20 Celsius?

a) 0.20 atm

b) 1.05 atm

c) 0.61 atm

d) 0.44

e) Ninguna

Tercera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos)

Señale mediante una X en el paréntesis correspondiente, la respuesta correcta para cada uno de

los siguientes ejercicios

16. La carga total que transporta una mole de electrones es:

a. ( ) 1 Culombio

b. ( ) 6,02 x 1023

Culombios

c. ( ) 1 Faraday

d. ( ) 1 Amperio

17. Cuando una batería de plomo se esta cargando,

a. ( ) el dióxido de plomo se consume,

b. ( ) el ácido sulfúrico es regenerado

c. ( ) el electrodo de plomo se recubre se sulfato

d. ( ) el electrodo del electrolito disminuye.

18. En una celda voltaica, el cátodo:

a. ( ) siempre es metal puro

b. ( ) atrae los iones positivos de la solución electrolítica.

c. ( ) puede ser un metal inerte

d. ( ) tiene carga positiva


19. Cuando un acumulador de plomo se está descargando,

a. ( ) se regenera el dióxido de plomo

b. ( ) se consume el sulfato de plomo

c. ( ) se consume el ácido sulfúrico

d. ( ) se concentra el electrolito

20. Se desea que el equilibrio se desplace hacia la derecha (productos) para la reacción en fase

gaseosa: 2NO + 2 CO N2 + 2 CO2 + 179. 4 kcal Las mejores condiciones son:

a. ( ) Temperatura alta y alta presión

b. ( ) Baja temperatura y alta presión

c. ( ) Temperatura alta y baja presión

d. ( ) Temperatura y presión ambientales

21. La reacción de A + B P, es de primer orden a A; al duplicarse la concentración de A,

el siempre de reacción.

a. ( ) Se duplica

b. ( ) Se triplica

c. ( ) Se reduce ala mitad

d. ( ) Es igual

22. Para la reacción C + 2 D E, se ha obtenido experimentalmente la ley de velocidad

v = K [C] [D]. Si las concentraciones de C y D se duplican simultáneamente, la velocidad:

a. ( ) Se duplica

b. ( ) Se reduce ala mitad

c. ( ) Se hace 4 veces mayor.

d. ( ) Es igual

23. Un catalizador.

a. ( ) afecta un sistema en equilibrio

b. ( ) hace que la reacción alcance el equilibrio mas rápido

c. ( ) aumenta la energía cinética de los reactivos

d. ( ) se puede consumir durante la reacción

24. Una solución de HCI pH = 1, la concentración de la solución debe ser:

a. ( ) 2M

b. ( ) 0.02 M

c. ( ) 0.01

d. ( ) 1 M

25. Para convertir 100 ml de HCI = 1 en otra de pH = 2, es necesario:

a. ( ) evaporar 50 ml de agua

b. ( ) Adicionar 100 ml de agua

c. ( ) adicionar 900 ml de agua

d. ( ) Adicionar 0.1 mol de ácido clorhídrico


26. Señale la formación correcta:

a. Ganancia de electrones indica oxidación

b. Los iones negativos son atraídos por el cátodo

c. Para formar una mol de CI2 se requiere 2 Faraday

d. la cantidad corriente no depende del tiempo.

e. la resistencia de una solución se mide en amperios

27. la energía de activación de una reacción puede ser disminuida por:

a. ( ) disminución de la temperatura

b. ( ) adición de un catalizador

c. ( ) remoción de los productos a medida que se obtienen.

d. ( ) incremento de la presión

28. Para la reacción: 4NH3 (g) + 502(g) 4NO (g) + 6H20(g)

La velocidad de desaparición de NH3 es igual a la velocidad de:

a. ( ) desaparición de O2

b. ( ) formación de H2

c. ( ) Formación de NO

d. ( ) Ninguna de las anteriores

29. Un catalizador:

a. ( ) disminuye la energía de activación

b. ( ) aumenta la frecuencia de las colisiones

c. ( ) produce un efecto de orientación en las moléculas

d. ( ) incremente la energía cinética de los reaccionantes

30. En cuál de los siguientes casos, la reacción se acerca más a la completación:

a. ( ) Ke = 62,8

b. ( ) Ke = 4 x 102

c. ( ) Ke = 1,2 x 10-5

d. ( ) Ke = 0,03

Cuarta Serie (Cada respuesta correcta 6 puntos)

Instrucciones: Lea con atención los siguientes problemas, y luego resuélvalos dejando

constancia de todo su procedimiento.

1. Un matraz contiene una mezcla de los compuestos A y B, compuestos que se

descomponen mediante cinéticas de primer orden. Las vidas medias son 50.0 minutos

para A y 18.0 para B. Si las concentraciones de A y B son iguales al inicio, ¿cuánto

tiempo transcurrirá para que la concentración de A sea cuatro veces la de B?

2. Una tetera de 2.0 L contiene 116 g de una costra formada por residuos de CaCO3 que se

han acumulado por hervir agua. ¿Cuántas veces tendría que llenarse la tetera con agua

destilada para eliminar todo el sedimento a la temperatura de 25 oC?


3. Se tienen los siguientes datos para la reacción entre hidrógeno y óxido nítrico a 700 oC:

2H2(g) + 2 NO(g) 2H2O(g) + N2(g)

Experimento [H2] [NO] Velocidad inicial (M/s)

1 0.010 0.025 2.40x10 –6

2 0.0050 0.025 1.20x10 –6

3 0.010 0.0125 0.60x10 –6

Determinar la velocidad inicial de la reacción cuando las concentraciones de H2(g) y NO(g)

sean de 0.50 M y 0.70 M respectivamente.

4. La presión de vapor del agua pura a 25 oC es 23.76 mmHg y la del agua de mar es 22.98

mmHg. Suponiendo que el agua de mar sólo contiene NaCl, calcule su concentración

molal.

5. ¿Cuántos gramos de cloruro de plata precipitarán al añadir suficiente nitrato de plata para

reaccionar con 1500 mL de solución de cloruro de bario 0.400 M?


SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA

NIVEL II

Por

Ing. Alberto Arango Ing. Edgar Gamaliel De León Departamento de Química General Departamento de Química General


Primera Serie

1. Al sustituir en la ecuación de velocidad, v = k[A]2[B], las condiciones del problema,

resulta: v = k[2A]2[B/2] , al simplificar conduce a: v = 2k[A]

2[B], con lo cual la

velocidad se duplica.

2. La vida media es el tiempo necesario para que la concentración de una sustancia se

reduzca a la mitad de su valor inicial. Si se inicia con una X cantidad, al cabo del primer

período de vida media, la concentración es X/2, al completarse otra vida media, la

concentración será (X/2)/2, es decir X/4, que corresponde a la mitad del valor anterior,

con esta idea, al cabo de cinco períodos la concentración será X/32, es decir 1/32 del

valor inicial.

3. Cuando se traza la figura para logaritmo natural de la concentración de un reactivo contra

el tiempo, se obtiene aproximadamente una línea recta con pendiente negativa si la

reacción es de primer orden. Para las condiciones del problema, la reacción es de

primer orden.

4. La nueva constante será el valor de la constante antigua elevada a la potencia del

factor de multiplicación.

5. Al sumar dos o más ecuaciones químicas, el valor de la nueva constante será igual al

producto de las constantes de las ecuaciones que se han sumado.

Segunda Serie

6. Para el equilibrio: 2NO2(g) N2O4(g) , la presión total es la suma de las presiones

parciales de productos y reactivos, es decir:

PT = P NO2 + P N2O4 , equivalente a: 1.5 atm = P NO2 + P N2O4

despejando P N2O4 : P N2O4 = 1.5 – P NO2 ecuación 1

La constante de equilíbrio, Kp puede expresarse como: Kp = P N2O4 / (P NO2)2

Al sustituir Kp igual a 6.75 y la ecuación 1 en ésta última expresión se obtiene:

6.75 = (1.5 – P NO2 ) / (P NO2)2

Resolviendo se determina que: P NO2 = 0.403 atm


7. Para la celda, la reacción balanceada está dada por:

Pb + 2 Ag+

Pb +2

+ 2 Ag

El voltaje para la celda se puede calcular por la relación:

Ecelda = Eocelda – ( 0.0591 / n) log ( [Pb

+2] / [ Ag

+]

2 )

Para esta celda de acuerdo a la reacción, el número de moles de electrones es n=2. Con

la ayuda de una tabla de potenciales normales de reducción, y los datos de concentración

del problema, al sustituir en la ecuación anterior:

Ecelda = (0.13 Volt + 0.80 Volt) – ( 0.0591 / 2) log ( [1.5 M] / [ 0.015 M]2 )

Ecelda = 0.82 V

8. La energía total liberada cuando reacciona el aluminio está relacionada por:

E total = E absorbida por el agua + E absorbida por el calorímetro

Que también puede expresarse como:

E total = ( mCpDT ) agua + ( CDT ) calorímetro

Para los 0.300 g de aluminio, la energía liberada es:

E total =(800 g)(4.184J/g.oC)(23.5

oC – 21.0

oC) + (63 J/1.0

oC)(23.5

oC – 21.0

oC )

E total = 8,525.5 Joules

Finalmente, para 1 mol de aluminio:

Calor liberado = ( 8,525.5 J/0.300 g Al) x (27.0 g Al / 1 mol Al ) = 767,295 J / mol

Equivalentes a : 767.29 kJ / mol Al

9. La combustión completa del octano está expresada como:

C8H18 (l) + 25/2 O2 (g) 8CO2 (g) + 9H2O (l)

Al consultar en una tabla los valores de DHfo para cada sustancia en la reacción se

obtiene:

C8H18 (l) + 25/2 O2 (g) 8CO2 (g) + 9H2O (l)

X 0 –393.52 kJ/mol –285.83 kJ/mol

Para la reacción, ∆Hro está dado por:

∆Hro = [8( –393.52) + 9(–285.83] – ( x + 0 )

Resolviendo, se determina que x = – 249.95 kJ / moln


10. La densidad de la solución está relacionada con la M y m de la siguiente forma:

d = M ( Peso Molecular HClO4 / 1000 + 1 / m ) , al sustituir la información:

d = 4.36(100.45 / 1000 + 1 / 5.36 ) = 1.251 g/cc

11. Utilizando la expresión: C1xV1 = C2xV2

Al sustituir: ( 0.70x1.42 g/cc) V1 = (0.30x1.17 g/cc)(225 cc)

V1 = 79.45 cc

12. Para dos valores de temperatura diferentes, la relación entre constantes de velocidad y la

energía de activación está dada por:

ln ( K2 / K1 ) = ( Ea / R )( 1/T1 – 1/T2 ) ecuación 1

La vida media de la reacción está dada por: t ½ = ln 2 / K es decir K = ln 2 / t ½

Para 500 Celsius ( 773.15 Kelvin ): K1 = ln 2 / 5 minutos

Para 600 Celsius ( 873.15 Kelvin ): K2 = ln2 / 2 minutos

Al sustituir en la ecuación 1:

ln [( ln 2 / 2 ) / ( ln 2 / 5 ) ] = ( Ea / 8.314 J/mol.K )( 1 / 773.15 – 1 / 873.15 )

resolviendo se determina que Ea = 51,427.56 J/mol o 51.43 kJ/mol

13. La presión osmótica está dada por: p = MRT , al sustituir la información del problema:

(12.60 / 760) atm = M(0.0821 L.atm/mol.K)(294.75 K)

M = 6.85109x10 – 4

mol / L

Masa molecular = 0.07265 g /[(6.85109x10– 4

mol / L)(0.100 L)] = 1060.41 g/mol

14. Para X disuelto en ácido acético: Tc ácido – Tc solución = mKc

Sustituyendo: 16.60 oC – 14.40

oC = m(3.90

oC / m )

m = 0.5641 mol / kg

Para X disuelto en ciclohexano: Te solución – Te ciclohexano = mKe ciclohexano

Sustituyendo: 82.32 oC – 80.74

oC = (0.5641 mol /kg)(Ke ciclohexano)

Finalmente se encuentra: Ke ciclohexano = 2.8 oC / m

15. Para la solución: P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente )

Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto )

Considerando x la masa molar del soluto, para 1 mol de disolvente y 20 g de soluto:

Y solvente = 1 mol / ( 1 mol + 20 / x )

Para 2 moles de solvente y 20 g de soluto: Y solvente = 2 mol / (2 mol + 20 / x )


Las correspondientes presiones de vapor para la soluciones con 1 y 2 moles de solvente

son:

0.500 atm = (1 mol / ( 1 mol + 20 / x ))(P vapor solvente )

0.550 atm = (2 mol / ( 2 mol + 20 / x )) (P vapor solvente )

Resolviendo se determina: P vapor solvente = 0.61 atm

Tercera Serie

16. Respuesta “C”.

Razonamiento: 1 Faraday de corriente son 96,500 coulumbios y es la carga transportada por

6.022x 1023

electrones equivalente a 1 mol.

17. Respuesta “B”.

Razonamiento: el la recarga se produce la siguiente reacción:

2PbSO4 + 2H2O ----- Pb + PbO2 + 2H2SO4 Donde podemos ver la formación del ácido.

18. Respuesta “D”.

Razonamiento: Porque el flujo de electrones viene de la oxidación, donde se liberan

electrones y estos viajan hacia el cátodo que queda positivo y se produce la reducción.


Razonamiento: En la descarga se produce la siguiente reacción Pb + PbO2 + 2H2SO4

---- PbSO4 + 2H2O. Podemos observar que a medida que avanza la reacción se consume el

ácido.


Razonamiento: Al bajar la temperatura la reacción responde en sentido contrario, es decir

aumentando la temperatura y esto sucede en la formación de los productos al subir la presión

y como la P es proporcional al número de moles, vemos que hay menos moles en los

productos y el sistema actúa en sentido contrario entonces se desplaza hacia los productos.


Razonamiento: Al ver la ecuación de velocidad para una reacción de primer orden tenemos

V= K ( A ) y al duplicar la concentración de duplica la velocidad y por ende el tiempo de

reacción disminuye a la mitad.


Razonamiento: Basta observar la ecuación y vemos que al duplicarse C y al duplicarse D, la

velocidad se cuadriplica.


Razonamiento: El catalizar positivo, suministra un camino diferente a la reacción que le

permite transcurrir a través de un mecanismo distinto aumentando la velocidad de reacción.

24. Respuesta “D”.

Razonamiento: Los pH = 1 es igual [H +] = 10

-1= 0.1


25. Respuesta “A”.

Razonamiento: el HCl es ácido fuerte, se ioniza un 100% por lo tanto

pH = -log [ H

+] =

- log 0.1 = 1.


Razonamiento: Podemos observar que 2Cl - ---- Cl2(g) + 2e

- reacción anódica en la

electrólisis del cloruro de sodio en solución acuosa, vemos que se forma 1 mol de Cl2

cuando en el sistema pasa 2 mol de electrones, equivalente a 2 faraday.


Razonamiento: La energía de activación es la energía mínima necesaria para que los reactivos

pasen a productos y un catalizador al aumentar la velocidad de reacción disminuya la energía

de activación.


Razonamiento: Podemos ver la estequiometria de la reacción y va que el amoniaco y el (NO)

están en proporción 1 a 1, por lo tanto, la velocidad de desaparición del NH3 es igual a la

velocidad de formación de NO


Razonamiento: Puesto que el NaOH es una base fuerte, se disocia un 100% la

[OH] = 0.1 [H+] = 10

-13 = 13.


Razonamiento: Al ser la constante de equilibrio grande, en este caso de 400, quiere decir que

cuando para la reacción, la mayoría de los reactivos están convertidos a productos.

Cuarta Serie

1. La vida media para una reacción de primer orden está dada por la expresión:

t ½ = ln 2 / K

Para la reacción A: K = ln2 / 50 minutos

Para la reacción B: K = ln 2 / 18 minutos

La condición establecida es: [A] = 4 [B]

Para una reacción de primer orden, la concentración en el tiempo está relacionada por la

expresión:

Ln ([A]o / [A] ) = K t


Para la reacción A: ln ([A]o / [ 4 B ] ) = ( ln 2 / 50 ) t ecuación 1

Para la reacción B: ln ([B]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t ecuación 2

Según el problema, al inicio [A]o = [ B ]o , al sustituir esta relación en la ecuación 2 :

ln ([A]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t ecuación 3

Al resolver el sistema conformado por las ecuaciones 1 y 3, se determina que el tiempo

para que la concentración de A sea 4 veces la de B es: t = 56.26 minutos.

2. De una tabla que presenta valores de Kps, se lee para CaCO3 a 25 Celsius:

Kps = 8.7x10 – 9

La descomposición del CaCO3, se expresa como:

CaCO3 Ca +2

+ CO3 – 2

x x

Kps = (x)(x) = x2 equivalente a: ( 8.7x10

– 9 )

1/2 = x

X = 9.3274x10 – 5

mol /L

La concentración de CaCO3 en los 2 L, es:

( 116 g CaCO3 / 2 L )( 1 mol CaCO3 / 100.08 g CaCO3 ) = 0.57954 mol / L

El número de veces a llenar la tetera con agua destilada es:

( 0.57954 mol / L ) / ( 9.3274x10 – 5

mol /L ) = 6,214 veces

3. En primer lugar se determina la ley de velocidad para la reacción, para lo cual se aplica el

método de las velocidades iniciales a la información dada en el cuadro:

Relacionando información de los experimentos 1 y 2, se elimina la concentración de NO,

lo cual conduce a:

2.40x10 – 6

/ 1.20x10 – 6

= (0.010 / 0.0050)x

Resolviendo, se obtiene: X = 1

Luego con los experimentos 1 y 3, se elimina la concentración de H2, con lo cual se

obtiene:

2.40x10 – 6

/ 0.60x10 – 6

= (0.025 / 0.0125 )y ; al resolver : Y = 2


Con la información del experimento 1 se obtiene el valor de la constante:

2.40x10 – 6

= K (0.010)(0.025)2 ; al resolver: K = 0.384

De donde, la ley de velocidad es: V = 0.384 (H2 )(NO)2

Al sustituir en la ecuación de velocidad, las concentraciones dadas se determina:

V = 0.384 ( 0.50 ) (0.70)2

= 0.094 M/s

4. Para la solución: P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente )

Sustituyendo la información del problema en la ecuación se tiene:

22.98 mmHg = (Y solvente )(23.76 mmHg ) ; Y solvente = 0.9672

Pero también: Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto )

Como la molalidad está basada en 1 kg de solvente, que en este caso es agua; el

equivalente de 1 kg de agua en moles es 55.56 moles de agua. Sustituyendo esta cantidad

en la ecuación anterior:

0.9672 = 55.56 mol / (55.56 mol + mol soluto ) ; resolviendo se determina:

Moles de soluto ( NaCl ) = 1.88 moles, por consiguiente: m = 1.88 molal

5. La reacción para el proceso es:

2 AgNO3 (ac) + BaCl2 (ac) 2 AgCl (s) + Ba(NO3)2 (ac)

1.5 L x (0.400 mol BaCl2 /1 L) = 0.6 mol BaCl2

Luego, por estequiometría:

0.6 mol BaCl2 x (2 mol AgCl/1 mol BaCl2)(143.4 g AgCl/1 mol AgCl)= 172 g AgCl

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FOLLETO-1-OLIMPIADA-2007

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