Školska godina 2009/2010

Fizika

Auditorne vježbe – drugi dio Kinematika čestice.

Pravocrtno gibanje.

Superpozicija gibanja u dvije dimenzije.

Kružna gibanja

Ivica Sorić

(Ivica.Soric@fesb.hr)

Kemijsko – tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu Stručni studij kemijske tehnologije i materijala

Stručni studij prehrambene tehnologije

2

Taktika rješavanja problema

1. Razumijete li problem?

– Najčešća teškoća kod početnika je jednostavno nerazumijevanje problema. Najbolji test razumijevanja: Možete li problem objasniti svojim riječima? Ili još bolje: Možete li problem skicirati na papiru?

2. Jesu li jedinice u redu?

– Napišite zadane veličine zajedno sa jedinicama. Upotrebljavajte konzistentne jedinice kad uvrštavate veličine u jednadžbe. Često će biti potrebno pretvaranje jedinica.

3. Je li rezultat razuman?

– Da li rezultat ima smisla? Je li prevelik ili premalen? Je li predznak u redu? Odgovaraju li jedinice?

4. Čitanje grafova

– Uvijek prvo pročitajte što je na apscisi, a što na ordinati.

3

Ponavljanje

Brzina i akceleracija

Vektor položaja (u Kartezijevom koordinatnom sustavu):

Srednja brzina za tijelo koje u vremenu t prijeđe put s:

Trenutna brzina:

Trenutna akceleracija:

2

00 t2

atvxtx

kzjyixr

t

sv

rt

r

t

rv

t

d

dlim

0

2

2

0 d

d

d

dlim

t

rv

t

v

t

va

t

Pravocrtno gibanje s konstantnom akceleracijom

atvtv 0 Trenutna brzina:

Prijeđeni put:

4

Primjer 1

Iz mjesta A vlak krene prema mjestu B vozeći brzinom od 60 km/h. Pola sata kasnije krene drugi vlak iz mjesta B prema mjestu A vozeći brzinom od 100 km/h. Udaljenost od mjesta A do Mjesta B je 400 km. Na kojoj udaljenosti od mjesta A će se vlakovi mimoići?

Rezultat: x=168,75 km.

h5,0t

km400D

h

km100v

h

km60v

k

2

1

A (x=0) B (x=D)

v1 v2

x

km75,168h8125,2h

km60h8125,2tx

h8125,2

h

km100

h

km60

h5,0h

km100km400

vv

tvDt

tvDtvtv

ttvDtvtxtx

ttvDtx,tvtx

1

21

k2

k221

k2121

k2211

5

Primjer 2

Primjećujući policijsko auto, usporite svoj Porsche s brzine od 100 km/h na 80 km/h, pri čemu prijeđete put od 88 m, pri stalnoj akceleraciji. a) Koliko iznosi ta akceleracija? b) Koliko je proteklo vremena? Rezultat: a=-1,227 m/s2, t=4,526 s.

6

Primjer 3

Tijelo slobodno pada s neke visine h i u trenutku kad padne na tlo ima brzinu 10 m/s. S koje visine pada tijelo? Koliko vremena traje padanje? Koliko vremena treba tijelu da prevali prvi metar, a koliko da prevali posljednji metar puta? Rezultat: h=5,097 m, tukupno=1,019 s, tprvi=0,452 s, tzadnji=0,105 s.

s019,1

s

m81,9

s

m10

g

vt

tgv

2

tloukupno

ukupnotlo

h0

h1=h0-1 m

h2=1 m

m097,5

s

m81,92

s

m10

g2

v

g

v

2

gt

2

gh

t2

gh0

t2

ghth

2

2

2

tlo

2

tlo2

ukupno0

2

ukupno0

2

0

s452,0

s

m81,9

m2t

m1t2

g

t2

ghm1h

2

prvi

2

prvi

2

prvi00

s105,0m1m097,5

s

m81,9

2s019,1t

m1hg

2tt

m1hg

2tt

tt2

ghm1

2

zadnji

0ukupnozadnji

0

2

zadnjiukupno

2

zadnjiukupno0

7

Primjer 4 Tijelo bačeno u vis vrati se na Zemlju za 3 sekunde.

a) Kolikom je početnom brzinom bačeno tijelo? b) Do koje se najveće visine popelo? c) Na kojoj se visini nalazilo nakon dvije sekunde?

Rezultat: v0=14,715 m/s, hmax=11,036 m, h2 sek=9,81 m.

8

Princip superpozicije

Ako tijelo slijedi istovremeno dva ili više gibanja, tada je krajnja točka koju tijelo tim gibanjem dosegne neovisna o tome vrši li se gibanje istovremeno ili u sasvim proizvoljnom redu.

Gibanja duž tri međusobno okomite osi su neovisna, gibanje duž osi x ne ovisi o gibanju duž ostale dvije osi, y i z, itd.

9

Ponavljanje – kosi hitac

– Gibanje po osi x:

– Gibanje po osi y:

– Specijalni slučajevi:

horizontalni hitac ( )

vertikalni hitac ( )

hitac prema dolje ( )

costvxxcosvv 000x

2000y t

2

gsintvyygtsinvv

090

270

10

Primjer 5

Kamen kojeg čovjek baci u horizontalnom smjeru s visine h=2 m iznad tla padne na tlo na udaljenosti d=7 m od čovjeka. Odredite početnu brzinu kamena i brzinu kamena neposredno prije udara u tlo, te kut pod kojim kamen udaru u tlo.

Rezultat: v0=10,962 s, vudarca=12,626 m/s, =29,745º.

11

Primjer 6

Košarkaš puca na koš sa udaljenosti od 7 m. Izbacuje loptu s visine 2 m pod kutom od 60º prema horizontalnoj ravnini. Izračunajte:

a) Kojom početnom brzinom mora baciti loptu da bi ona završila u košu, visine 3.05 m?

b) Koliko vremena će lopta u tom slučaju letjeti zrakom do koša?

Rezultat: v0=6,2 m/s, t=2,258 s.

60

m7D

m05,3H

m2h0

h0

H

D

v0

Ht2

gsintvhy

Dcostvx

2

00

0

s258,2m05,160tgm7

s

m81,9

2HhDtg

g

2t

HhDtgt2

g

Ht2

gsint

cost

Dh

cost

Dv

2

0

0

2

2

0

0

s

m2,6

60coss258,2

m7

cost

Dv0

12

Primjer 7

Tijelo je izbačeno početnom brzinom v0=10 m/s pod kutom od =65o s balkona visokog 16 m.

a) Koliko daleko od podnožja zgrade će udariti o tlo?

b) Kolika je maksimalna visina hica s obzirom na tlo?

Rezultat: tpad=2,953 s, d=12,478 m, hmax=20,187 m.

13

Ponavljanje – jednoliko kružno gibanje – Brzina konstantna po iznosu, ali stalno mijenja smjer

– Linearna (obodna) brzina

iznos = umnožak polumjera kružnice i kutne brzine,

smjer = tangenta na putanju (kružnicu)

– Kutna brzina

iznos: vremenska derivacija prijeđenog kuta,

smjer: pravilo desne ruke, prsti slijede materijalnu točku, palac pokazuje smjer

– Vrijedi vektorska relacija:

– Radijalna akceleracija

iznos = umnožak obodne i kutne brzine,

smjer = prema središtu kružnice

– Ovisnost prijeđenog kuta o vremenu:

– Frekvencija: broj okreta u sekundi,

– Ophodno vrijeme: vrijeme za koje materijalna točka jednom obiđe kružnicu,

r

td

dr

tlimr

t

llimv

0t0t

tdd

rv

v

tlimv

t

vlim

t

vlima

0t0t0tr

vrra 0

2

r

t0

2f

2

f

1T

14

Primjer 1 Jednoliko kružno gibanje

“Top gun” piloti trebaju biti jako pažljivi pri lupinzima. Pri centripetalnoj akceleraciji, s glavom usmjerenom prema središtu zakrivljenosti putanje, pritisak krvi u mozgu se smanjuje, dovodeći do gubitka moždanih funkcija. Postoji nekoliko znakova upozorenja za pilota: kada je centripetalna akceleracija 2g ili 3g, pilot se osjeća teškim. Na oko 4g, pilot vidi samo crno-bijele slike i vidno polju mu se smanjuje na tzv. “tunelski vid”. Ako se ova akceleracija održi duže vrijeme, ili se poveća, gubi se vid, i uskoro dolazi do nesvjesnog stanja – tzv. g-LOC “g-induced loss of consciousness”. Kolika je centripetalna akceleracija, izražena u jedinicama akceleracije sile teže (g), ako pilot leti u avionu F-22, brzinom 2500 km/h (694 m/s), u kružnoj putanji s radijusom zakrivljenosti r = 5,80 km?

Rezultat: a = 8,5 g

15

Primjer 2 Jednoliko kružno gibanje

Izračunajte obodne brzine vrhova minutne i sekundne kazaljke na zidnom satu, ako su duljine kazaljki Rm=8 cm i Rs=6 cm.

Rezultat: vm=1,396·10-4 m/s, vs=5,236·10-3 m/s

s

m10396,1s

1800m08,0Rv

s1800s3600

2

sat1

2

41

mmm

1

m

s

m10283,6s

30m06,0Rv

s30s60

2

min1

2

31

sss

1

s

16

Primjer 3 Jednoliko kružno gibanje

Pretpostavite da se Zemlja oko Sunca, odnosno Mjesec oko Zemlje gibaju jednoliko po kružnici. Srednja udaljenost središta Zemlje i Sunca jest 1,49·1011 m, a Zemlje i Mjeseca 3,84·108 m. Ophodno vrijeme Zemlje oko Sunca jest 365,25 dana, a Mjeseca oko Zemlje 27,32 dana. Pomoću ovih podataka izračunajte kutnu i obodnu brzinu te centripetalnu (radijalnu) akceleraciju za gibanje:

a) Zemlje oko Sunca

b) Mjeseca oko Zemlje

c) Kolika je kutna brzina rotacije Zemlje oko svoje osi?

d) Koliku obodnu brzinu ima pritom točka Zemljine površine na ekvatoru, odnosno na zemljopisnoj širini Zagreba ( = 45,82o)

Rezultat: a) =2·10-7 rad/s, v=30 km/s, ar= 6·10-3 m/s2, b) =2,66·10-6 rad/s, v=1022 m/s, ar= 2,7·10-3 m/s2, c) =7,27·10-5 rad/s, d) vekv=0,463 km/s, vφ=0.322 km/s

17

Primjer 4 Jednoliko kružno gibanje

Kalem konca, sastavljen od valjka radijusa r=2 cm i bočnih strana oblika kruga radijusa R=3 cm postavljen je na horizontalnu ravninu. Izračunati brzinu osi kalema u odnosu na podlogu, ako se konac namotan na kalem vuče brzinom vk=10 cm/s u odnosu na podlogu.

Rezultat: a) v=6 cm/s

A

C

B

vkonca

vcentra r

R

s

cm6v

5

3

rR

Rvv

vR

r1v

vR

vrv

R

v

0Rvv

vrvv

koncakoncacentra

koncacentra

koncacentra

centra

centra

centraB

koncacentraA

18

Primjer 5 Jednoliko kružno gibanje

Cilindar polumjera R=0.2 m vrti se između dviju paralelnih traka koje se gibaju brzinama v1=0.5 m/s i v2=0.2 m/s. Nema klizanja. Naći kutnu brzinu vrtnje cilindra i brzinu njegovog centra

– A) kad se trake gibaju u istom smjeru

– B) Kad se trake gibaju u suprotnom smjeru

Rezultat: a) v=0,35 m/s, =0,75 s-1 b) v=0,15 m/s, =1,75 s-1

19

Ponavljanje – nejednoliko kružno gibanje

– Iznos obodne brzine nije više konstantan, već se mijenja s vremenom

– Kutna akceleracija:

iznos:

smjer: isti ili suprotan smjeru kutne brzine

– Osim radijalne postoji i tangencijalna akceleracija: nastaje zbog promjene iznosa obodne brzine

iznos:

smjer: tangenta na putanju (kružnicu),

– Ukupna akceleracija: vektorski zbroj radijalne i tangencijalne akceleracije,

Analogija pravocrtnog i kružnog gibanja:

2

2

0t td

d

td

d

tlim

rtd

dr

td

)r(d

td

vdat

tr aaa

rat

2

0

2

2

00

0

2

2

2

0

2

2

00

0

2

2

2

t2

1t

ttd

dtd

d

Kruzno

vax2v

at2

1tvxx

atvvtd

xda

td

xdv

Pravocrtno

20

Primjer 6 Nejednoliko kružno gibanje

Automobil se kreće zavojem polumjera zakrivljenosti 500 m ubrzavajući se u tangencijalnom smjeru akceleracijom 0,5 m/s2. Izračunajte centripetalnu i ukupnu akceleraciju automobila u trenutku kada mu je brzina 72 km/h. Koliko je vremena potrebno da automobil ubrza od 54 km/h do 72 km/h?

Rezultat : acp=0,8 m/s2, auk=0,94 m/s2, t=10 s

222

2

cp

2

tukupno

2

2

2

cp

s

m943,0

s

m8,0

s

m5,0aaa

s

m8,0

m500

s3600

m100072

r

v

r

vvva

v0

v

at

acp

s10

s

m5,0

s3600

m100018

a

vvt

tavv

2t

0

t0

21

Primjer 7 Nejednoliko kružno gibanje

Dok se vozite na Rotoru (rotirajući cilindar-sprava u lunaparku) primijetite čovjeka prestravljenog zbog doživljenih efekata i smanjite kutnu brzinu cilindra s 3,40 rad/s na 2,00 rad/s u 20 okretaja, pri konstantnoj kutnoj akceleraciji.

a) Kolika je konstantna kutna akceleracija tijekom smanjivanja kutne brzine?

b) Koliko je vremena proteklo?

Rezultat : a) =-0,0301 rad/s2, b) t=46,5 s.

22

Primjer 8 Nejednoliko kružno gibanje

Rotor nekog motora rotira tako da čini 180 okretaja u minuti. Ako se u vremenu od 10 sekundi brzina rotora poveća na 540 okretaja u minuti koliko je kutna akceleracija rotora?

Rezultat : = 3,77 rad/s2

1

1

0

s18s60

okr5402

s6s60

okr1802

22

11

0

0

s77,3s2,1

s10

s6s18

t

t

23

Primjer 9 Nejednoliko kružno gibanje

Kotač automobila, promjera 64 cm, okreće se brzinom od 900 okretaja u minuti. Ako je put kočenja vozila pri takvoj brzini 80 m, izračunati kutnu akceleraciju kotača i vrijeme potrebno da se zaustavi.

Rezultat : a) = 17,77 rad/s2, b) t=5,31 s.