Fizika I. Jegyzet (Pápay Kálmán)

Pápay Kálmán: Mérnöki fizika I. 1

Mérnöki fizika I.

Bevezető Az itt következő fizika jegyzet az Óbudai Egyetem gépész-, mechatronikai és biztonságtechnikai mérnök hallgatói számára készült. A jelenleg érvényes tanterv szerint fizikát egy féléven át heti 2 órában hallgatnak ezek a diákok. Ez mind terjedelmében, mind mélységében korlátozza a tanítható ismeretanyagot, melyet esetenként gyakorlati órák nélkül, ill. legfeljebb heti egy órás gyakorlatok keretében kell(ene) elmélyíteni. A tananyag összeállításakor ezért le kellett mondani a fizika néhány fontos, de részben időhiány miatt nem oktatható, részben más alapozó tárgyak keretében (pl. mechanika, géptan, anyagtechnológia, stb.) tanított anyagrészéről. Ennek megfelelően az itt következő anyagot szándékaink szerint az előadások otthoni feldolgozását segítő egyfajta fizika minimumnak kell tekinteni, amely a mérnökhallgatók számára a vizsgaanyag összefoglalásának is tekinthető.

TARTALOM Bevezető .................................................................................................................................................. 1

TARTALOM .............................................................................................................................................. 1

1. A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJÁNAK ELEMEI ................................................................... 3

Nyugvó folyadékok .............................................................................................................................. 3

Áramló folyadékok .............................................................................................................................. 6

Az ideális folyadék stacionárius áramlása ....................................................................................... 7

A kontinuitási egyenlet. ............................................................................................................... 7

A Bernoulli egyenlet .................................................................................................................... 7

A Bernoulli-egyenlet alkalmazásán alapuló eszközök ................................................................. 8

Valódi folyadékok lamináris áramlása ............................................................................................ 9

Turbulens áramlások ..................................................................................................................... 10

2. A TERMODINAMIKA ALAPJAI ............................................................................................................. 11

Alapfogalmak és definíciók ................................................................................................................ 11

Gáztörvények..................................................................................................................................... 13

A Gay-Lussac törvények és a Boyle-Mariotte törvény .................................................................. 13

Az ideális gáz állapotegyenlete ..................................................................................................... 14

Az ideális gáz állapotjelzőinek értelmezése a kinetikus gázelmélet alapján ................................ 15

A valódi gázok állapotegyenlete: a van der Waals egyenlet ......................................................... 17

Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (1) .................................................................................. 18

Az első főtétel .................................................................................................................................... 19

Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (2) ................................................................................. 22

A Carnot-körfolyamat és a II. főtétel ................................................................................................. 24

A második főtétel matematikai megfogalmazása. Az entrópia. ....................................................... 28


Az entrópianövekedés tétele........................................................................................................ 29

Az entrópia statisztikus értelmezése ............................................................................................. 30

3. NYUGVÓ TÖLTÉSEK TERE (ELEKTROSZTATIKA) .................................................................................. 33

Az elektrosztatikus tér és vektorjellemzői. A tér szemléltetése erővonalakkal. ............................... 33

Munkavégzés az elektrosztatikus térben. Potenciál és feszültség. ................................................... 37

Az elektromos eltolási fluxus. Az elektrosztatika Gauss-tétele. ........................................................ 40

A Gauss tétel néhány alkalmazása .................................................................................................... 42

Vezetők erőtere ............................................................................................................................. 42

Töltött végtelen síklap erőtere ...................................................................................................... 43

Két síklap együttes tere. ................................................................................................................ 43

Kondenzátorok .............................................................................................................................. 44

4. TÖLTÉSEK MOZGÁSBAN, MÁGNESES ALAPJELENSÉGEK ................................................................... 47

Egyenáramok ..................................................................................................................................... 47

Kirchhoff törvényei ........................................................................................................................ 48

Az elektromos áram munkája és teljesítménye. .......................................................................... 50

Mágneses alapjelenségek. A stacionárius áram mágneses hatása. .................................................. 51

A mozgó töltésre ható erők. A mágneses indukcióvektor. ........................................................... 51

A mágneses fluxus ......................................................................................................................... 53

A gerjesztési törvény ..................................................................................................................... 53

Szolenoid mágneses tere. ......................................................................................................... 54

A mágneses tér térkitöltő anyagokban. A hiszterézis-görbe. ........................................................ 54

5. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK .............................................................. 56

A mozgási indukció, a Neumann- törvény. ........................................................................................ 56

A nyugalmi indukció, Faraday indukciótörvénye .............................................................................. 57

Az önindukció ................................................................................................................................ 57

A kölcsönös indukció, a transzformátor ........................................................................................ 58

Szinuszos váltakozó feszültség előállítása ......................................................................................... 58

Váltakozóáramú mennyiségek és váltakozó áramú körök ................................................................ 59

Fázisviszonyok a váltakozó áramú körökben ............................................................................ 60

A váltakozó áram munkája és teljesítménye ............................................................................. 64

Komplex mennyiségek bevezetése ........................................................................................... 65

A komplex Ohm-törvény ............................................................................................................... 67

Váltakozó áramú körök impedanciájának számítása ................................................................ 68

Egyszerű váltakozó áramú körök számítása. A komplex Kirchhoff-törvények. ......................... 69

A soros RLC kör ...................................................................................................................... 69

A párhuzamos RLC kör ........................................................................................................... 70

Irodalom ................................................................................................................................................ 72


1. A FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJÁNAK ELEMEI

A folyadékokban az atomok (molekulák) egymáshoz képest viszonylag szabadon

mozoghatnak. Bár a szilárdtestekkel ellentétben a folyadékoknak nincs kristályszerkezetük,

ami a molekulákat egyensúlyi helyhez kötné, azonban számottevő kohéziós erők működnek

bennük. Ezek a kohéziós erők gáz halmazállapotban már gyakorlatilag nem játszanak

szerepet. Az anyag halmazállapot-változásai a szilárd → folyékony → gáznemű irányban

ezért mindig energiafelvétellel, ellenkező irányban energiafelszabadulással járnak.

Noha a továbbiakban elsősorban folyadékokkal foglalkozunk, a tárgyalt törvények jelentős

része - megszorításokkal – gázokra is érvényes. Gázok esetében mindig figyelembe kell

venni, hogy – szemben a folyadékokkal – sűrűségük tetszőleges határok között változhat, ami

a számításokat jelentősen befolyásolhatja.

Az ideális folyadék összenyomhatatlan, a folyadékrétegek súrlódásmentesen elcsúszhatnak

egymáson. Ilyen folyadék ugyan nincs, de az őket leíró egyenletek egyszerűek, és több-

kevesebb korrekcióval gyakran alkalmazhatók a valódi folyadékokra is.

A valódi folyadékok kismértékben összenyomhatók, amit a kompresszibilitással

jellemzünk:

A kompresszibilitás ideális folyadékok

esetében 0, de valódi folyadékok esetében is

általában nagyon kicsi, és nyomásfüggő.

A valódi folyadékok áramlásakor az

egymáson elcsúszó folyadékrétegek között

fellépő súrlódási erő τ nyírófeszültséget

ébreszt (1.1. ábra), amelynek nagysága a felületek sebességkülönbségétől és távolságától

függ:

ahol a súrlódási együtthatóval analóg mennyiség, az ún. dinamikai viszkozitás

(mértékegysége: Pas) Másképpen, az egymáson elcsúszó A nagyságú felületek között fellépő

súrlódási erő:

Gyakran használatos a kinematikai viszkozitás is: = / , ahol a folyadék sűrűsége.

Nyugvó folyadékok

Nyugvó folyadékokban érvényes Pascal törvénye, mely szerint a nyomás a folyadékban

minden irányban gyengítetlenül terjed.

1.1. ábra


Pascal törvényén alapul pl. a hidraulikus emelő, amely segítségével nagy

súlyokat tudunk viszonylag kis erővel mozgatni (1.2. ábra). Mivel a

nyomás a szerkezet két végén megegyezik, ezért az alkalmazandó erő a

keresztmetszettel arányosan csökken: F/A = G/B

Ugyanezen törvényen alapszik a gépkocsik hidraulikus

fékberendezéseinek működése is (1.3. ábra). A fékolaj gyakorlatilag

összenyomhatatlan, ezért a fékpedál lenyomásakor a fékpofák nagy erővel

nyomódnak a féktárcsához vagy a fékdobhoz. Ha rendszer nincs

megfelelően légtelenítve, akkor a pedál lenyomásakor a nyomás alig

emelkedik, mert csak a légbuborékok nyomódnak össze. A Pascal-törvény

gázokra nem érvényes.

1.3. ábra

A folyadékok belsejében hidrosztatikai nyomás lép fel: ez a folyadék súlyából származik.

Valamely h magasságú folyadékoszlop hidrosztatikai nyomása - a nyomás definíciója szerint:

Ez az összefüggés természetesen csak homogén, állandó sűrűségű folyadékokra alkalmazható. Pl. a légnyomás

számításánál figyelembe kell venni, hogy a levegő sűrűsége a tengerszint fölötti magasságal csökken. Az ennek

alapján levezetett nyomás – magasság függvény az ún. barometrikus magasságformula:

ahol és a levegő nyomása, ill. sűrűsége a tengerszinten.

A folyadékba merülő testek felületének elemeire

különböző mélységben más-más nyomás hat. Az

ennek következtében fellépő erő a felhajtó erő. Ha a

folyadékba merülő testet azonos alakú és térfogatú

folyadékkal helyettesítjük, nyilvánvalóan

nyugalomban kell maradnia. Ez azt jelenti, hogy a

„folyadék-testre” saját súlyával megegyező

nagyságú, de azzal ellentétes irányú erőnek is kell

hatnia (1.4.ábra). Ebből rögtön adódik Arkhimédesz

törvénye: minden folyadékba merülő testre

felhajtóerő hat, melynek nagysága a test által

kiszorított folyadék súlyával egyezik meg:

Ff = .

1.2. ábra

1.4. ábra


Ebből következően a testek elmerülnek, ha átlagsűrűségük nagyobb a folyadék sűrűségénél,

és úsznak, ha kisebb annál. Ha a test és a folyadék azonos sűrűségű, a test a folyadékban

lebegni fog. Valamely úszó test bemerülési mélységét úgy határozhatjuk meg, hogy

egyensúlyi egyenletet írunk fel rá, azaz keressük a G = Ff feltétel teljesülését.

A folyadékfelszín molekulái - szemben a folyadék belsejében lévő társaikkal - a folyadék

belseje felé mutató eredő kohéziós erőt éreznek, és ennek eredményeképpen egy rugalmas,

vékony határoló réteget alkotnak a folyadék felszínén. Általában érvényes a következő

definíciós formula:

.l

F

α neve felületi feszültség, amely a folyadék felületét határoló görbe egységnyi hosszára

merőleges irányban ható erő, mértékegysége N/m. (Ez az erő az, ami pl. a vízcseppeket gömb

alakúra húzza össze.)

Mivel a felületi feszültség a mindenkori folyadékfelszín nagyságát csökkenteni igyekszik,

ezért a felszín egységnyi területtel való csökkentéséhez szükséges munkaként (vagy

energiaként) is értelmezhető:

.A

W

A folyadék felszíne mindig a rá ható erők eredőjére merőleges. Edényekben azonban a

folyadék molekulái között mindig ható kohéziós erők mellett a szilárd fal és a folyadék-

molekulák között adhéziós erő is ébred (1.5.ábra). Az anyagi minőségtől függő végeredmény

szerint beszélünk ún. nedvesítő és nem nedvesítő folyadékokról.

1.5. ábra

Igen kicsiny átmérőjű csövekben a felületi feszültség a nedvesítő folyadékot felfelé húzza, a

nem nedvesítőt lejjebb nyomja. A fellépő erő az ún. kapilláris erő, a jelenség neve

kapillaritás. A kapilláris jelenségekkel az élet számtalan területén találkozunk: ez teszi

lehetővé, hogy nedves felületeket szárazra töröljünk, vagy hogy a növények a talajból

nedvességet szívjanak fel.

Manométerek A manométerek nyomásmérő eszközök. A legegyszerűbb nyomásmérő eszköz, amely atmoszférikus

nagyságrendű nyomások mérésére használható, egy mindkét végén nyitott U alakú cső. Ha a csőbe ismert

sűrűségű folyadékot töltünk, alapesetben a cső két szárában azonos magasságban áll a folyadék. Ha a cső két


nyílása más-más nyomású közeghez kapcsolódik, a folyadékszintek eltolódnak (1.6.ábra). A

magasságkülönbségből – a hidrosztatikai nyomás számításával – a nyomáskülönbség meghatározható:

p = P + ρgh.

Ha abszolút nyomásértékre van szükség, a cső egyik szárát légteleníteni kell, majd le kell zárni . Ezzel a

módszerrel határozta meg Torricelli a levegő nyomását úgy, hogy a lezárt csőbe higanyt töltött.

Az atmoszférikusnál sokkal nagyobb vagy sokkal kisebb nyomások mérésére más eszközöket kell használni.

Ilyen pl. a Bourdon-manométer, amely akár 2000-szeres atmoszférikus nyomást is képes mérni. Ennek lényege

egy hajlított és egyik végén lezárt fémcső. A külső nyomás hatására a fémcső fokozatosan kiegyenesedik,

mozgását egy hitelesített skála előtt mozgó mutatóra viszik át (1.7.ábra).

Áramló folyadékok

Az áramló ideális és a valódi folyadékok viselkedése markánsan különbözik, amit a súrlódás

okoz. Az ideális folyadékra vonatkozó mozgásegyenletek viszonylag egyszerűek, míg a

valódi folyadékok esetében az egyenletek megoldása általában komoly matematikai

apparátust igényel. Utóbbiak esetében ezért gyakran az ideális folyadékra vonatkozó

egyenletek korrigált alakját használják, amelyek természetesen csak a valóságot többé-

kevésbé közelítő megoldásokkal szolgálnak. Bonyolultabb esetekben - az egzakt megoldások

lehetőségének hiányában - terepasztalon végzett modellkísérleteket végeznek. A

mozgásegyenletek bizonyos sebességhatárok között gázokra is érvényesek.

Mind az ideális folyadékok, mind a valódi folyadékok esetében valamely folyadékelem

mozgása lehet tisztán transzlációs, ill. párosulhat forgással. Ennek megfelelően

beszélünk örvénymentes, ill. örvénylő áramlásról ideális folyadékok esetében, vagy

lamináris, ill. turbulens áramlásról valódi folyadékoknál.

Az áramlást leíró fő paraméterek minden esetben a sebesség, a nyomás és a sűrűség. Ha

ezek függetlenek az időtől, akkor az áramlást stacionáriusnak nevezzük.

Az áramlást vizuálisan az ún. áramvonalakkal jeleníthetjük meg. Ezek egyrészt a

folyadékrészecskék útját, másrészt sebességét képesek megjeleníteni: ha az áramvonalak

közelebb kerülnek egymáshoz, az a mozgás sebességének növekedését jelzi, a sebességvektor

1.6. ábra 1.7. ábra


irányát pedig az áramvonalakhoz húzott érintő mindenkori iránya adja. Az áramvonalak

összességének, (vagy akár csak egy csoportjának) burkolófelületét - vagyis az áramló

folyadékot (vagy annak csak egy részét) magában foglaló képzeletbeli csövet - áramlási

csőnek nevezzük. Ez a cső egy merev falu csővel azonos módon viselkedik, mert a benne

áramvonalak soha nem lépik át az áramcső falát.

Az ideális folyadék stacionárius áramlása

A kontinuitási egyenlet. Ha megvizsgáljuk a folyadék viselkedését egy áramlási cső két különböző keresztmetszetén,

akkor nyilvánvaló, hogy a folyadék összenyomhatatlansága miatt dt idő alatt mindkét

keresztmetszeten ugyanakkora folyadéktérfogat halad át. Azaz A1v1dt = A2v2dt, ahonnan az

A1 v1 = A2 v2

egyenlőség következik. Ez a kontinuitási egyenlet, amely szerint az áramlás sebessége a

keresztmetszettel fordítottan arányos.

A Bernoulli egyenlet

Az ideális folyadék stacionárius áramlásának leírásához a 1.8. ábrán vázolt, legáltalánosabb

esetet vizsgáljuk meg: ekkor a folyadék változó keresztmetszetű, nem vízszintes csőben

áramlik nyomáskülönbség hatására.

Mivel a folyadék összenyomhatatlan, az

A1 keresztmetszeten δt idő alatt átáramló

folyadéktérfogat megegyezik az A2

keresztmetszeten ugyanezen idő alatt

kilépő folyadéktérfogattal. Másrészt mivel

az áramlás stacionárius is, és a két

keresztmetszet közötti csőszakaszon az

áramlás paraméterei nem változnak, az

egész folyadéktömb elmozdításához

szükséges munkát a két keresztmetszet

között úgy számolhatjuk ki, hogy a dδt idő alatt áthaladó folyadékmennyiségre alkalmazzuk a

munkatételt:

A mozgatóerők munkája W = p1A1 v1δt – p2A2 v2δt , a gravitációs erő ellen végzett munka

pedig A2 v2δtgh2 – A1v1δtgh1, továbbá m = V felhasználásával az egyenlet a következő

alakra hozható:

½v12 + p1 +gh1 = ½v

2 + p2 + gh2,

vagy másképpen

½v2 + p +gh = konstans.

Ez a Bernoulli-egyenlet, amely a mechanikai energia megmaradási tételének megfelelője

folyadékokra.

Az egyenlet egyik azonnal belátható következménye, hogy - változatlan vagy alig változó

helyzeti energia esetén - az áramlás nyomása csökken, ha sebessége növekszik, és fordítva.

A Bernoulli-egyenlet átrendezhető úgy, hogy minden tagja hosszúság mértékegységű legyen:

Ebben az első két tag neve rendre sebességmagasság és nyomásmagasság.

1.8 ábra


Vegyük észre, hogy az egyenlet levezetésekor eltekintettünk mind a súrlódási erőktől, mind a

sűrűség és a nyomás változásától a kiválasztott kereszmetszeten belül. Ezért az egyenlet

valódi (viszkózus) folyadékokra valamint gázok áramlására csak kellő óvatossággal

alkalmazható.

A Bernoulli-egyenlet alkalmazásán alapuló eszközök

A Venturi-cső

Az 1.9.ábrán vázolt Venturi cső az áramlás intenzitásának

meghatározására szolgál. Lényegében egy szűkítőt

tartalmazó vízszintes csődarab, amin a folyadékot

átvezetjük. A függőleges kivezetések manométerként

működnek. Az L és M helyekre felírva a Bernoulli-

egyenletet (mivel h1 = h2)

½v12 + p1 = ½v2

2 + p2 ,

ahonnan a nyomáskülönbség a két különböző

keresztmetszeten:

p1 – p2 = ½(v22 - v1

2).

Ha az L ill. M helyen a cső keresztmetszete A1 ill. A2 , akkor A1 v1 = A2 v2 miatt

p1 – p2 = ½v12 A

A

1

2

2

2 1

Ebből az áramlás sebessége, ill. intenzitása már számítható.

A Pitot-cső Az egyszerű Pitot-cső egy derékszögben meghajlított,

mindkét végén nyitott csődarab, amelyet az áramlásba

merítve az áramlás sebességét egyszerűen

meghatározhatjuk (1.10.ábra). A csövet vízszintes

áramlásba helyezve az ½v2 + p +gh = konstans alakú

Bernoulli-egyenlet ½v2 = gh alakúra egyszerűsödik,

ahonnan a sebességre a v = √ kifejezés adódik.

Az áramlás teljes nyomása általában két részből tevődik

össze: egy sztatikus komponensből, amelyet a folyadék

nyugalmi állapotban is kifejt, valamint egy dinamikus komponensből, amely a mozgás sebességétől függ. Az

ábrán látható manometer cső a sztatikus komponenst méri, a Pitot-cső azonban a teljes nyomást.

A Bernoulli-egyenletben a sztatikus

nyomás-komponens p +gh, (ez

vízszintes áramlás esetén p), a

dinamikus komponens pedig ½v2.

Vízszintes áramlás esetén tehát :

a teljes nyomás - a sztatikus nyomás =

½v2 + p - p = ½v

2, azaz

ástikus nyommás - sztateljes nyoρ

2v

A fenti eredmény alapján határozható

meg az ideális folyadék (és a gázok)

áramlási sebessége egy Pitot-cső és egy

sztatikus csőmanométer kombinációjának segítségével (1.11.ábra). A cső a p1 teljes nyomás és a p2 sztatikus

nyomás különbségét közvetlenül méri , és a sebességre skálázható. (A valóságban ugyan a sebesség a cső

1.9. ábra

1.11. ábra

1.10. ábra


átmérője mentén – a viszkozitás miatt – változik, de megmutatható, hogy ha a Pitot-cső nyitott vége az áramlási

cső tengelyétől a a sugár 0,7 részénél van elhelyezve, akkor az átlagos áramlási sebességet mutatja.)

Valódi folyadékok lamináris áramlása

A laminárisan áramló folyadék rétegei között súrlódási erő lép fel, ami az

egyenlettel számítható. Ha az áramlás stacionárius, a Δp = p1 – p2 nyomáskülönbségből

származó mozgató erő és a súrlódási erő egyforma nagyságú (és ellentétes irányú): Fm+Fs=0.

Kör keresztmetszetű, R sugarú, l hosszúságú csőben az áramlást egymásban elcsúszó

koncentrikus folyadékhengerekkel modellezhetjük (1.12. ábra).

1.12. ábra

A tengelytől r távolságban ebből a

alakú, szétválasztható differenciálegyenlet adódik, melyet integrálva a

parabolikus függvényt kapjuk az áramlás sebességeloszlására a csövön belül, amit az 1.13.

ábra szemléltet. Az áramlás sebessége a cső tengelyében a legnagyobb, a cső falánál pedig

zérus.

A fenti eredmény birtokában egyszerűen eljuthatunk az

áramlási intenzitást leíró Hagen-Poiseuille törvényhez.

Egy kiválasztott r sugarú, dr vastagságú

hengergyűrűben azonos sebességgel áramlik a

folyadék. A hengergyűrű dr vastagságú, körgyűrű

alakú keresztmetszetén tehát időegység alatt

folyadéktérfogat halad át. Innen

1.13. ábra


∫

A teljes keresztmetszetre elvégezve az integrálást megkapjuk az áramlási intenzitást a lhosszúságú csőre:

Ez a Hagen-Poiseuille törvény. Látható, hogy az áramlási intenzitás fenntartásához annál

nagyobb nyomáskülönbség szükséges, minél hosszabb és szűkebb keresztmetszetű a

csővezeték, továbbá minél nagyobb az áramló folyadék viszkozitása.

Lamináris áramlásoknál - egyszerűsége miatt - gyakran használják a Bernoulli-egyenlet

korrigált alakját, amely a súrlódásból származó veszteségeket is figyelembe veszi. Csőben

áramló folyadékokra:

Az utolsó tag az ún. veszteségmagasság , ahol az arányossági tényező

. Itt az

ellenállási tényező, amelyet a csőhossz és a csőátmérő hányadosával kell megszorozni.

Turbulens áramlások

Egy áramlásban a turbulencia különböző áramlási sebességeknél jelenhet meg. Az áramlás

jellegéről a dimenzió nélküli Reynolds-szám tájékoztat:

ahol D a csőátmérő, ρ a folyadék sűrűsége, η a viszkozitása és v az áramlás sebessége. Ha a

Reynolds-szám kisebb, mint 1100, az áramlás biztosan lamináris, ha nagyobb, mint 2200,

akkor biztosan turbulens. A közbenső tartományban az áramlás nem stabil.

.8

4

l

pRI


2. A TERMODINAMIKA ALAPJAI

Alapfogalmak és definíciók

A termodinamika törvényei általánosan érvényesek, de az egyszerűség kedvéért a

következőkben vizsgált rendszerekről feltételezzük, hogy környezetükkel csak mechanikai és

hőcserélő kapcsolatban vannak. Ha ezen túl a rendszer állandó térfogatú és hőszigetelt, akkor

zárt rendszernek nevezzük.

A rendszert leíró paramétereket két csoportba soroljuk. Az extenzív paraméterek (xi)

additívek, azaz két rendszer egyesítésekor összeadódnak. Ilyen pl. a térfogat, vagy a tömeg.

Az intenzív paraméterek (yi) két rendszer egyesítésekor kiegyenlítődnek. A nyomás és a

hőmérséklet intenzív paraméter.

A vizsgált rendszerek állapotát, ill. állapotváltozásait

alkalmasan megválasztott extenzív-intenzív

paraméterpárokkal egyértelműen jellemezhetjük, de csak

akkor, ha feltételezzük, hogy az állapotváltozások

egyensúlyi állapotok sorozatán keresztül, tehát csak igen

lassan játszódnak le. Az ilyen folyamatokat

kvázisztatikus állapotváltozásoknak nevezzük. Ezek az

állapotváltozások jól szemléltethetők pl. a p-V diagramon.

A diagram görbéjének minden pontja a rendszer egy

közbenső állapotát jellemzi, maga a görbe pedig az egész

állapotváltozást. Ha a görbe önmagában záródik,

körfolyamatról beszélünk (2.1 ábra), ha nem, akkor

nyitott folyamatról.

Ha az állapotváltozás gyors, a rendszer különböző

pontjain más-más lehet a leíró paraméterek értéke, így a

folyamat a diagramon nem ábrázolható, és leírásával az ún. nem egyensúlyi termodinamika

foglalkozik.

Valamely rendszer A állapotából a B-be vezető folyamat reverzibilis, ha a rendszert a B

állapotából az A-ba valamilyen módon vissza lehet vezetni úgy, hogy végeredményben a

rendszeren kívüli testeken semmiféle változás sem marad vissza - ellenkező esetben a

folyamat irreverzibilis. Ha egy folyamat reverzibilis, akkor teszőleges szakasza is az.

A kvázisztatikus – tehát idealizált körülmények között végbemenő - állapotváltozások

reverzibilisek: valamelyik intenzív paraméter pozitív vagy negatív irányú bármilyen kicsiny

megváltoztatásával a rendszer egyensúlyi állapotából egy másik egyensúlyi állapotába

hozható. A valóságban lejátszódó folyamatok azonban szigorúan véve szinte mindig

irreverzibilisek.

A tapasztalat szerint a termodinamikai rendszerek állapotát a p nyomás, V térfogat és T

hőmérséklet egyértelműen jellemzi. Ezen mennyiségek egy reverzibilis körfolyamat végén

rendre kiinduló értékeiket veszik fel, hiszen a rendszer is kiinduló állapotába jutott vissza.

(Maga a körfolyamat akkor reverzibilis, ha tetszőleges szakasza reverzibilis.) A szóban forgó

mennyiségek ezen közös tulajdonságát emeljük ki, amikor a termodinamikai állapotjelző

fogalmát általánosan definiáljuk: Valamely fizikai mennyiséget állapotjelzőnek tekintünk,

ha összmegváltozása valamely reverzibilis körfolyamat során zérus:

2.1 ábra


0.ΣΔy ill.0ΣΔx ii

Ha figyelembe vesszük, hogy kvázisztatikus állapotváltozás esetén xi és yi bármilyen

kicsiny megváltozásokat jelenthet, a definíció vonalintegrállal kifejezett alakjához jutunk:

∮ ∮

Ez egyben a matematikából ismerten azt is jelenti, hogy az állapotjelzők

megváltozásai mindig teljes differenciálok, és fordítva, ha egy fizikai mennyiség

megváltozása teljes differenciál, akkor az állapotjelző. A továbbiakban ezért az

állapotjelzők elemi megváltozását d betűvel, a nem állapotjelzőkét megkülönböztetésképpen

-val jelöljük (pl. dxi, dp, Q, W, stb.).

Ha a már ismert (p, V, T) állapotjelzők mellé a fenti definíciónak eleget tevő újabbakat

találunk, ezek az előzőekkel egyenértékűen jellemzik a termodinamikai rendszert. Az

állapotjelzők között azonban matematikai formában is megfogalmazhatók összefüggések, ún.

állapotegyenletek állnak fenn, ezért meghatározott számú állapotjelző rögzítésével a többi

értéke is determinálva van adott rendszer esetében.

Az általunk vizsgálandó rendszerek anyaga többnyire gáz halmazállapotú. A tárgyalást tovább

egyszerűsítendő bevezetjük az ideális gáz fogalmát: ennek molekuláit pontszerűnek tekintjük,

melyek között semmilyen kölcsönhatás nincs. Ebből következik, hogy a gázmolekulák

mozgása véletlenszerű.

A gáz által végzett, vagy a gázon végzett munka a

mechanikai munka definíciója alapján

pdVpAdsFdsW

alakban írható fel. A 2.2 ábrán. a p nyomású gáz

valamely A keresztmetszetű dugattyút ds úton elmozdít,

és eközben térfogatát dV-vel növeli. Általában két

különböző térfogatú állapot között az ún. térfogati

munka:

2

1

V

V

pdVW

A továbbiakban a munkát akkor tekintjük pozitívnak, ha a gáz végzi. A definícióból

következik, hogy a térfogati munka a p-V diagramon az állapotváltozás görbéje alatti területtel

egyezik meg.

A hő és a munka ún. transzportmennyiségek: a rendszerbe ezek révén juttathatunk vagy

vonhatunk ki energiát. Mértékegységük a joule (J). Fontos azonban leszögezni, hogy maga a

hő, vagy a munka nem energia, és nem a rendszer állapotjelzője. Ehhez elég pl. egy

reverzibilis körfolyamat munkáját megvizsgálni: az egy ciklus alatt végzett munka nem zérus,

mert a körfolyamat végére a bezárt területnek megfelelő eredő munkát kapunk. (Később látni

fogjuk, hogy az I. főtétel miatt ez a hőre ugyanígy érvényes.)

Ha valamely m tömegű test (vagy anyagmennyiség) hőmérséklete dt-vel megváltozik, a test

által felvett hőmennyiség δQ=cmdt, feltéve, hogy halmazállapotváltozás vagy kémiai

átalakulás nem ment végbe. A c arányossági tényezőt fajhőnek nevezzük ez az egységnyi

tömegű anyag 1 0C-kal való felmelegítéséhez szükséges hőmennyiség. Gázoknál különbséget

teszünk állandó nyomáson (cp) és állandó térfogaton (cv) mért fajhő között. A kétféle fajhő

viszonyának jellemzésére a v

p

c

c hányados használatos.

2.2 ábra


Ha a fajhő definíciójában egységnyi tömegű anyagon mólnyi mennyiséget értünk, mólhőről

beszélünk: C = Mc a mólhő, ahol M a móltömeg M

mn pedig az ún. mólszám, a szóban

forgó anyagmennyiség mólokban kifejezve. Végül, egy m tömegű test hőkapacitásán a K =

mc, azaz a test 1 0C-kal való felmelegítéséhez szükséges hőmennyiséget értjük.

A hőmérsékletet alapmennyiségnek tekintjük, fizikai magyarázatára később kerítünk sort. Az idők folyamán

több empirikus hőmérsékleti skálát is definiáltak, melyek alappontjai különböznek. A Celsius-féle hőmérsékleti

skála (1742) alappontjai a normál légköri nyomáson (101,3 kPa) olvadó tiszta jég és a forrásban levő víz

gőzének hőmérséklete: 0 0C, ill. 100

0C. A Celsius-skála alappontjainak a Réaumur-skálán (1730) 0

0R és 80

0R,

a Fahrenheit-skálán (1714) pedig 32 0F és 212

0F felel meg. A skálák közti átszámítás:

n 0C = 0,8n

0R = (1,8n + 32)

0F.

A fizikában a W. Thomson (Lord Kelvin) által már 1852-ben javasolt termodinamikai hőmérsékleti skála

használatos, melynek alappontja, az abszolút zérus fok, -273,14 C, osztása pedig a Celsius skáláéval megegyező.

Az abszolút hőmérséklet fogalmát később részletesen tárgyalni fogjuk. Az abszolút hőmérsékletet Kelvinben (K)

adjuk meg.

Gáztörvények

A Gay-Lussac törvények és a Boyle-Mariotte törvény Az állandó nyomáson melegített gáz térfogatváltozására Gay-Lussac (1802-ben) a következő

törvényt találta:

,10 tVV

ahol a térfogati hőtágulási tényező minden gáznál közelítőleg ugyanaz: C, 016273

1

V0 a t = 0 0C-hoz tartozó térfogatot jelenti a megadott

állandó nyomáson. Ezek szerint a gázok 0 0C-ról 1

0C-ra

melegítve a 0 0C-hoz tartozó térfogatuk 1/273-ad részével

terjednek ki.

A térfogat-hőmérséklet függvényt különböző nyomások

mellett ábrázolva a 2.3. ábrán látható egyenessereget

kapjuk. Az egyenesek mind a t = -273 0C pontban

metszenék az abszcissza-tengelyt, ha a Gay-Lussac

törvény igaz lenne ilyen alacsony hőmérsékleten. A

valódi gázok azonban már ennél jóval magasabb

hőmérsékleten cseppfolyósodnak, ezért ettől kezdve a

Gay-Lussac törvény már nem alkalmazható rájuk.

Az állandó térfogaton melegített gáz nyomásváltozását leíró második Gay-Lussac

törvény szintén lineáris összefüggés:

,1 '

0

tpp

ahol ` megegyezik a hőtágulási tényezővel. A p0

az adott állandó térfogaton a 0 0C-hoz tartozó

nyomás 10C-kal való felmelegítésnél a gáz nyomása

ennek a p0 nyomásnak 1/273-ad részével növekszik

meg. A nyomást különböző térfogatok mellett a

hőmérséklet függvényében ábrázolva a 2.4. ábrán

látható egyenessereget kapjuk. Az egyenesek ezúttal

is a t = -273 0C hőmérsékleten metszenék egymást, 2.4. ábra

2.3. ábra


ha a cseppfolyósodás nem következne be.

A Boyle-Mariotte törvény állandó hőmérsékleten teremt kapcsolatot a gáz nyomása és

térfogata között:

,llandóápV

azaz állandó hőmérsékleten a gáz nyomásának és térfogatának szorzata állandó. (Ez az

empirikus törvény egyébként a két Gay-Lussac törvényből egyszerűen levezethető .)

Az ideális gáz állapotegyenlete

A fentebb tárgyalt empirikus törvények legnagyobb hátránya, hogy csak speciális

állapotváltozásokra igazak: valamelyik állapotjelző állandóságát feltételezik. A

következőkben kapcsolatot teremtünk az ideális gáz két tetszőleges állapota között.

A 2.5. ábra 0 kiinduló és 1 végállapota közé beiktattuk a

2 közbenső állapotot úgy, hogy a t1=t2 feltétel

teljesüljön. Ily módon lehetővé vált a kiinduló és a

végállapot közötti kapcsolat megteremtése a már ismert

speciális törvények felhasználásával.

Ha a 0 állapotot úgy rögzítjük, hogy p0 = 101300 Pa (a

normál légköri nyomás), t0 = 0 0C legyen, akkor Gay-

Lussac második törvénye értelmében:

p2 = p0(1 + t).

.

Másrészt a Boyle-Mariotte törvény szerint

p1V1 = p2V2

továbbá V0 = V2, ill. t2 = t1 = t miatt

.10011 tβVpVp

Figyelembe véve, hogy 1

27316,, kapjuk:

.

16,27316,273

0011 Vp

t

Vp

A T = 273,16 + t abszolút hőmérséklet bevezetésével

CT

Vp

T

Vp

0

00

1

11 vagy pV = CT,

ahol adott tömegű és anyagi minőségű gáznál C a gáz tömegével arányos állandó: C=mR

(hiszen azonos körülmények között pl. kétszer akkora tömegű gáz nyomásának meg kell

duplázódnia). Ezzel az állapotegyenlet a

pV = mRT

alakot ölti, ahol R neve specifikus gázállandó, mértékegysége J/kgK, értéke minden gázra

más.

Az állapotegyenlet úgy is átalakítható, hogy minden gázra azonos értékű, univerzális állandót

tartalmazzon. Mivel bármilyen (kémiailag homogén és ideálisnak tekinthető) gáz 1 móljának

a térfogata 0 0C-on és normál légköri nyomáson 22,41 liter, ezért az ideális gáz tömegét

moláris tömegben kifejezve a gázállandó minden gázra azonos értékű lesz:

2.5. ábra


TnRMRTM

mpV M

ahol n az anyagmennyiség mólokban kifejezett számértéke, az ún. mólszám, és RM = MR a

minden anyagra azonos értékű univerzális vagy moláris gázállandó, értéke 8,314 J/molK.

Tehát az állapotegyenlet n mól ideális gázra:

TnRpV M

Az állapotegyenlet három megismert alakja természetesen egyenértékű, a feladat és a

felhasználó dönti el, melyiket célszerű használni.

Az ideális gáz állapotjelzőinek értelmezése a kinetikus gázelmélet alapján

Legyen a V térfogatú edénybe zárt, állandó hőmérsékletű ideális gázban összesen N számú,

egyenként tömegű molekula.

A gáz tömege m = N, sűrűsége:

.V

N

V

m

A molekulák erőhatás hiányában - a nehézségi erőtől most eltekintünk - a falon történő

két egymást követő ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Mivel a

gázban egy irány sem kitüntetett, ez a mozgás teljesen rendezetlen. Jelöljük a molekulák

átlagsebességét v -vel, és rendeljük ezt az átlagsebességet minden molekulához.

A 2.6. ábra szerinti derékszögű hasáb alakú edényben a molekulák hatodrésze fog az A

felületű oldallap felé haladni . A v sebességgel haladó molekulák közül t idő alatt csak az

ábrán vonalkázott térfogatában tartózkodó gázmolekulák fogják elérni az oldallapot, ezek

száma tvAV

N

6

1lesz.

A fallal való rugalmas és

merőleges ütközésnél mindegyik

molekula impulzusa v -ról (- v )-

ra, azaz (-2 v )-lal változik meg. A

fal tehát az FΔt =ΔI impulzustétel

alapján egy-egy molekulától 2 v

impulzust vesz fel, a t idő alatt

beleütköző molekuláktól pedig összesen

vtvAV

NI 2)

6

1(

impulzust. F = I/t miatt

,tA

I

A

Fp

ill. I értékének behelyettesítésével az ideális gáz nyomására végül a

2

3

1v

V

Np

2.6. ábra


kifejezés adódik, ahol 2v az összes előforduló sebességek négyzetének számtani középértékét

jelenti.

Ez az egyenlet 2

3

1vNpV alakba átírva a Boyle-Mariotte törvénnyel azonos, mivel az

egyenlet jobb oldalán csak állandók szerepelnek. Modellünk tehát helyesnek bizonyult: a

gázok nyomása egy edényben a molekuláknak az edény falán történő impulzuscseréjével

magyarázható.

Vizsgáljuk meg most az abszolút hőmérsékletet.

A fenti összefüggést a pV = mRT állapotegyenlettel összehasonlítva:

,3

1 2

RTNmRTvN

ahonnan

.2

3

2

1 2 RTv

Valamely molekula tömegét az M móltömeg és az L Loschmidt (Avogadro) szám

hányadosaként is kifejezhetjük: .L

M

Ezt felhasználva:

.2

3

2

3

2

3T

L

RT

L

MRRT M

Az L

RM az anyagi minőségtől független, univerzális állandó, a Boltzmann állandó:

.1038,1 23

K

J

L

Rk M

Ezekkel a jelölésekkel:

kTv2

3

2

1 2

Ezek szerint az ideális gáz molekuláinak átlagos mozgási energiája arányos a gáz abszolút

hőmérsékletével, és független a gáz anyagi minőségétől.

Abszolút zérus hőmérsékleten eszerint minden egyes molekula sebessége zérus lenne, ami

azonban a kvantummechanika eredményei alapján lehetetlen.

Levezetésünkben az ideális gáz minden molekuláját szabad tömegpontnak tekintettük,

amelynek helyzetét 3 független koordináta (x, y, z) határozza meg, és egyúttal a mozgási

energia is 3, egymástól független négyzetes tag összegeként fejezhető ki:

Erre való tekintettel azt mondjuk, hogy a tömegpontnak 3 szabadsági foka van. Mivel a

gázban az x, y, z irányok teljesen egyenértékűek, nyilvánvalóan

.2

1 222

zyxk vvvE


3

2222 v

vvv zyx ,

és így

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 v v v kTx y zz .

Azaz: mindegyik szabadsági fokra átlagban ½ kT energia jut. Boltzmann statisztikai

meggondolásokkal kimutatta, hogy ez az eredmény így általánosítható:

Hőegyensúlyban lévő, T abszolút hőmérsékletű rendszerben minden szabadsági fokra -

térbeli és időbeli átlagban – ugyanakkora, kTE2

1 energia jut. Ez az energia egyenletes

eloszlásának tétele, az ekvipartició-tétel.

A valódi gázok állapotegyenlete: a van der Waals egyenlet

A van der Waals egyenlet a legegyszerűbb egyenlet, amelyet a valódi gázok leírására

használhatunk. Az ideális gáz állapotegyenletéhez korrekciós kifejezéseket adunk, amelyek a

valódi gázok tulajdonságait veszik figyelembe. Kiindulásképpen először fejezzük ki a

nyomást az egyenletből, majd osszuk végig az egyenletet a gáz tömegével:

.

m

V

RTp

A v=V/m hányadost fajtérfogatnak nevezzük. A gázmolekulák nem pontszerűek, ezért a

fajtérfogatot egy b korrekciós taggal csökkentjük. Ha figyelembe vesszük, hogy a fal

közelében a molekulák lelassulnak a kohéziós erők miatt, akkor a nyomást is korrigálnunk

kell: ez a korrekciós tag a molekulák sűrűségével egyenesen, átlagos távolságukkal

fordítottan arányos. Ezért a korrekciónak a sűrűség négyzetével egyenesen arányosnak kell

lennie. Azaz v=1/ρ miatt

,2

2

v

a

bv

RTa

bm

V

RTp

ahonnan a van der Waals egyenletet átrendezéssel kapjuk:

.2

RTbvv

ap

Ha ábrázoljuk az izotermákat a p-V diagramon, a 2.7. ábrán látható, tipikusan harmadfokú

görbesereget kapunk a következő tulajdonságokkal:

1/ a T2 izotermánál minden p értékhez csak egy v tartozik

2/ a T1 izotermánál előfordul, hogy valamely p értéknek három V érték felel meg

3/ a fenti két típusú görbesereget egymástól a TK „kritikus izoterma” választja el, amelynek a

K pontban inflexiós pontja van.

Míg az elméleti kritikus izoterma és az e felettiek a megfelelő kísérleti izotermákkal

kvalitatíve teljesen megegyeznek, addig a TK alatti elméleti izotermákon fekvő S alakú

görbület értelmezhetetlen. Erre az esetre az ún. Maxwell szabály érvényes: ha a


szélsőértékhelyeket tartalmazó görbületet úgy helyettesítjük egy vízszintes szakasszal, hogy a

2.12. ábrán a két sávozott terület egymással egyenlő legyen, akkor az így módosított

izotermák már fizikailag értelmezhetők.

A kritikus hőmérséklet alatt gáz helyett gőzről, a

Maxwell-féle területen belül pedig telített gőzről

beszélünk. A megfelelő izoterma vízszintes szakasza a

tapasztalat szerint a folyadék + telített gőzből álló

rendszer viselkedését írja le. A rendszer tehát itt

kétfázisúvá válik.

Az izoterma vízszintes szakasza után a rendszer

térfogatának további csökkenését csak igen nagy

nyomások alkalmazásával érhetjük el: az izotermának ez a

szakasza már folyadékokra vonatkozik, tehát a p tengely

és a kritikus izoterma, ill. a kétfázisú tartomány bal oldali

határgörbéje között a rendszer ismét egyfázisú, folyadék

halmazállapotú.

A tapasztalat szerint minden gázhoz tartozik egy kritikus hőmérséklet, amelynél magasabb

hőmérsékleten a gáz bármilyen nagy nyomással sem cseppfolyósítható a kritikus hőmérséklet

felett az anyag nem lehet folyékony halmazállapotban. A kritikus hőmérséklet fölött a

rendszer gáz halmazállapotú, és minél magasabb a hőmérséklete, annál inkább alkalmazható

rá az ideális gázokra vonatkozó állapotegyenlet.

A kétfázisú tartomány jobb oldali határgörbéje és a kritikus izoterma közötti tartományban a

rendszer telítetlen gőz formájában van jelen. Magában a kritikus állapotban nincsen

semmiféle különbség a folyadék és a gőz között (tehát pl. határfelület sincsen, a felületi

feszültség és a párolgási hő is zérus).

Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (1)

Az izotermikus állapotváltozásoknál (T = állandó) az adott m tömegű ideális gáz

állapotegyenlete a

pV = állandó (= mRT)

Boyle-Mariotte törvénnyé egyszerűsödik, amelynek a p - V

diagramon hiperbola felel meg (2.8. ábra). A gáz által

végzett W munka könnyen kiszámítható: p = mRT/V

felhasználásával

2

1

2

1

.2

1

1

2V

V

V

V p

pnmRT

V

VnmRT

V

dVmRTpdVW

Korábbi megállapodásunk értelmében W tágulásnál pozitív,

összenyomásnál (a gázon munkát végzünk) negatív.

2.8. ábra

2.7. ábra


Az izochor állapotváltozásoknál (V = állandó) az állapotegyenlet a Gay-Lussac féle második

törvényre egyszerűsödik:

.TkonstansTV

mRp

Ha a gáz állandó V térfogaton a (p1, T1)

állapotból a (p2, T2) állapotba jut (2.9. ábra), a

térfogat állandósága miatt munkavégzés nincsen

(W = 0).

Az izobár állapotváltozásoknál (p = állandó) az

állapotegyenlet a Gay-Lussac féle első törvénybe

megy át:

T

p

mRTkonstansV

Ha a gáz állandó p nyomáson a (V1, T1)

állapotból a (V2, T2) állapotba (2.10. ábra)

kerül, a nyomás állandósága miatt a térfogati

munka egyszerűen számolható:

W = p (V2 - V1).

Az első főtétel

Az első főtétel a mechanikai energia megmaradási tételének kiterjesztése a hőcserét is

magában foglaló folyamatokra.

A főtételt először az ún. termodinamikai gépekre mondjuk ki. Ezek működésük közben egy

(vagy több) hőtartályból hőt vesznek fel, ill. egy vagy több hőtartálynak hőt adnak le,

miközben munkát végeznek. A gyakorlatban ezek a

gépek ciklikusan működnek, azaz állandóan

ugyanazok a folyamatok ismétlődnek működésük

során, a bennük lezajló állapotváltozások képe

körfolyamat a p - V diagramon (2.11. ábra). Mivel

valamely állapotváltozás során az 1-es és 2-es állapot

között a rendszer munkavégzését a

2

1

pdVW

formula szerint számoljuk, és körfolyamat esetén a

kezdeti és a végső állapot egybeesik, ezért egy

2.9. ábra

2.10. ábra

2.11. ábra


termodinamikai gép egy ciklus alatt végzett munkáját a

∮ ∮

kifejezés értéke adja meg, amely a körfolyamat görbéje által bezárt terület nagyságával

arányos. Az energiatétel miatt a felvett és leadott hőmennyiségek algebrai összegének meg

kell egyeznie az összes munkavégzéssel, azaz

∮ ∮

Ez a termodinamika I. főtételének matematikai megfogalmazása körfolyamatokra.

Másképpen: nem építhető elsőfajú perpetuum mobile, azaz olyan ciklikusan működő hőerőgép,

amely hőfelvétel nélkül munkát képes végezni.

A kijelentés nyitott folyamatokra nyilván nem igaz. Pl. a nagy nyomású gázpalackból

kieresztett gáz jó darabon képes egy dugattyút tolni maga előtt egy munkahengerben, anélkül,

hogy közben környezetéből hőt venne fel. Nyitott folyamatokra, ill. valamely körfolyamat

elemi szakaszára tehát általában Q W . Ahhoz, hogy a főtételt ilyen állapotváltozásokra is

kiterjeszthessük, az W elemi munkához hozzáadunk egy szintén munka dimenziójú, fiktív

U mennyiségnek az elemi megváltozását úgy, hogy a

Q = W + U

egyenlőség teljesüljön. Az U mennyiség összmegváltozásának egy körfolyamatra nézve

zérusnak kell lennie, különben az I. főtétellel ellentmondásba kerülünk:

∮ ∮ ∮

ahol tehát szükségképpen ∮ vagyis U eleget

tesz az állapotjelző definíciójának.

U fizikai jelentését a Gay-Lussac kísérlet segítségével

tisztázhatjuk (2.12. ábra). Itt egy hőszigetelt, folyadékot

tartalmazó edénybe helyezett fordított U alakú tartály

két szára közül A-ban nagy nyomású (ideálisnak

tekinthető) gáz van, az A-tól K csappal elválasztott B

edényben pedig vákuum. A csap nyitása és a gáz egy

részének B-be történő lassú átáramlása után létrejön egy

új egyensúlyi állapot, amelyben a gáz térfogata és

nyomása más lesz, hőmérséklete azonban a mérések

szerint nem változik. A vákuummal szemben nincs

munkavégzés, tehát Q = W = 0. Mivel a kezdeti és a

végső állapotban a térfogat és a nyomás különböző volt,

ezért U nem függhet sem a nyomástól, sem a térfogattól, csak az abszolút hőmérséklettől: U =

U(T). Az abszolút hőmérséklet azonban – mint korábban láttuk - a gáz molekuláinak átlagos

mozgási energiájára jellemző, ezért U is erre jellemző fizikai mennyiség, amelyet ezért a gáz

belső energiájának fogunk nevezni.

Ezek után az első főtételt nyitott folyamatokra a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

A rendszerrel közölt hőmennyiség egy része a rendszer belső energiáját növeli, másik

része árán a rendszer (tágulási) munkát végez:

2.12. ábra


Q = dU + W.

Vagy tetszőleges nyitott folyamatra:

Annak megállapítása, hogyan függ az ideális gáz belső energiája az állapotjelzőktől, az első

főtétel és a Gay-Lussac kisérlet alapján már lehetséges. Tegyük fel, hogy az m tömegű

gázzal állandó térfogaton (dV = 0) kis Q hőmennyiséget közlünk. Az első főtétel szerint

Q = dU + pdV = dU

mivel Q = cvmdT , ezért

dU = cvmdT , ill. .vmcdT

dU

Az ideális gázok cv fajhőjét tág határok között állandónak tekinthetjük. Így a belső energia

U = mcvT + U0 alakú lesz, ahol az U0 integrációs állandó az ún. zéruspont-energia, azaz a

gáz belső energiája az abszolút nulla fokon. Ez az U0 állandó a klasszikus termodinamikában

zérusnak választható, mert az energiatételben és alkalmazásaiban csak energiakülönbségek

lépnek fel, s így U0 kiesik.

Ha a gázzal állandó nyomáson (dp = 0) közlünk Q hőmennyiséget, az első főtétel szerint

Q = dU + pdV + (Vdp - Vdp) = dU + d(pV) - Vdp = d(U + pV).

Az egyenlet jobb oldalán egy fizikai mennyiség teljes differenciálja áll, aminek alapján egy

újabb állapotjelzőt definiálhatunk, a H entalpiát:

pVUH

Az entalpia a rendszer belső energiájának és a pV szorzatnak összege, maga is energia-

jellegű mennyiség. Mivel állandó nyomáson Q = cp mdT = dH ezért az entalpiaváltozás

dH = cp mdT.

Az entalpia segítségével az I. főtételt újabb alakba írhatjuk:

Q = dU + d(pV) - Vdp = dH - Vdp.

Integrálás után:

,2

1

,

1212

p

p

WIIVdpHHQ

ahol a

2

1

p

p

Vdp'W

mennyiséget a rendszer által végzett technikai munkának nevezik. Eszerint:

.WUUdVpUUQV

V

1212

2

1


A rendszerrel közölt hőmennyiség egyik része a rendszer entalpiáját növeli, a másik része

pedig mint technikai munka hasznosítható:

Q = dH + W’.

A technikai munka fogalma a különböző hőerőgépek tárgyalásánál játszik fontos szerepet,

mert ezekben a hasznosítható munka általában a technikai munkával egyezik meg.

A gázállandó és a fajhők kapcsolata

Az entalpia és a belső energia különbsége:

I - U = mcpT - mcvT = m(cp - cV) T = pV.

A pV = mRT állapotegyenlet felhasználásával Rcc vp , ill. a mólhőkre: Mvp RCC .

Az ideális gáz kétféle fajhőjének különbsége az R specifikus gázállandóval, a kétféle

mólhő különbsége az RM univerzális gázállandóval egyenlő.

Az ideális gáz speciális állapotváltozásai (2)

Az adiabatikus állapotváltozásoknál definíció szerint a rendszer és környezete között

hőkicserélődés nincs (Q = 0), azaz a rendszer vagy tökéletesen hőszigetelt, vagy az

állapotváltozás olyan gyors, hogy számottevő hőmennyiség felvételére vagy leadására nincs

idő (pl. a szifonpatronba zárt széndioxid gyors kitágulása adiabatikusnak tekinthető).

Az első főtételt alkalmazva látjuk, hogy adiabatikus kompresszió esetén a gázon végzett W

munka teljes egészében a gáz belső energiáját növeli:

-W = U2 - U1 = mcv (T2 - T1)

azaz a gáz felmelegszik. Adiabatikus tágulásnál a gáz a munkát a belső energia rovására

végzi, a gáz tehát lehűl. Az adiabatikus állapotváltozás bármelyik kis szakaszára fennáll az

első főtétel: dU + pdV = 0.

dU = mcv dT és p = mRT/V = m(cp - cv) T/V miatt

.0V

dVTccmdTmc vpv

A tömeggel és cv-vel való osztás, valamint a κ= cp / cv fajhőviszony bevezetése után ez a

differenciálegyenlet azonnal integrálható:

,1 állandónVnT

azaz


TV -1

= áll.

Két további összefüggést kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a V-nek, ill. a másik

esetben a T-nek a pV = mRT állapotegyenletből kifejezett értékét, és az állandókat a

konstansba belefoglaljuk:

konstansT

p

1

, ill. pV = állandó.

A fenti összefüggésnek a p - V diagramon

az ún. adiabaták felelnek meg. Az

izotermákkal összehasonlítva rögtön

kitűnik, hogy az adiabata ugyanabban a P

pontban meredekebb, mint az izoterma

(2.13. ábra).

Az adiabatikus folyamatok, ill. az ezekre

vonatkozó összefüggések módot nyújtanak a =

cp/cv fajhőviszony mérésére. Egy igen pontos

módszer a hangsebesség mérésén alapszik. A

hanghullámok miatt a gázban fellépő sűrűség- és

nyomásingadozások olyan gyorsak, hogy a

változások adiabatikusnak tekinthetők. Az ennek

figyelembevétgelével levezethető Laplace-féle

összefüggés szerint a hang sebessége (ideális) gázokban

,RTp

c

és így c mérése útján meghatározható.

Politrop állapotváltozásoknak hívjuk az olyan, a fentieknél általánosabb változásokat,

amelyek során a rendszer által felvett Q hőmennyiség arányos a dT hőmérsékletváltozással:

Q = cn mdT.

ahol cn az ún. politropikus fajhő. Az első főtétel alapján kimutatható, hogy politrop

állapotváltozásoknál az adiabatikus egyenletek a helyett az

nv

np

cc

ccn

politrop-kitevővel érvényesek, azaz pl.

pVn = állandó.

A gyakorlatban fontos esetekben n értéke általában 1 és közé esik.

2.13. ábra


A Carnot-körfolyamat és a II. főtétel

A hőerőgépek működését Carnot (1824) és Clausius

munkássága alapján tárgyaljuk. A Carnot-gép

működési sémáját a 2.14. ábra mutatja be. A modell

szerint a gép a T1 hőmérsékletű kazánból felvett Q1 hő

felhasználásával W munkát végez, majd a fel nem

használt Q2 hőt a hűtőnek adja le. A gép praktikus

okokból ciklikus működésű. Ha gondoskodunk arról,

hogy a gépben lezajló állapotváltozások kvázisztatikusak legyenek, a gép reverzibilis

működésű lesz.

A Carnot-géppel kapcsolatosan a következő előfeltevésekkel élünk:

1. a gép reverzibilis, benne kvázisztatikus állapotváltozások zajlanak

2. üzemanyaga ideális gáz

3. a gép két hőtartállyal (kazán és hűtő) áll kapcsolatban: a hőtartályokról feltételezzük,

hogy hőmérsékletüket az elvont vagy felvett hők észrevehetően nem befolyásolják.

4. ciklusonként 2 izotermikus és 2 adiabatikus állapotváltozás megy végbe.

Ez a gép természetesen idealizált, de a benne zajló

folyamatok jól számíthatók. Először meghatározzuk a

Carnot-gép hatásfokát, majd a konstrukció

változtatásával próbáljuk az eredményeket

általánosítani.

A Carnot-gép működését a p-V diagramon ábrázolva a

Carnot-körfolyamathoz jutunk (2.15. ábra).

A körfolyamat A-B szakaszán a gáz izotermikusan

tágul, és W1 munkát végez. Ehhez Q1 hőt vesz fel a T1

hőmérsékletű hőtartályból. A végzett munka:

Ezután a gázt a környezettől tökéletesen elszigeteljük (hőszigeteljük), és hagyjuk addig

adiabatikusan kiterjedni, amíg T2 T1 hőmérsékletre hűl. Az adiabatikus tágulásnál a gáz

munkája W2 = mcv (T1 - T2) .

A C-D szakaszon a gázt az alacsonyabb T2 hőmérsékletű hőtartállyal hozzuk érintkezésbe, és

izotermikusan összenyomjuk VD térfogatra. Az izotermikus kompresszió során a gáz lead a

hőtartálynak Q2 hőmennnyiséget, és W3 munkát végez:

.V

VnmRT

V

VnmRTWQ

D

C

C

D 2232

Az utolsó lépésben a környezettől ismét elszigetelt gázt adiabatikus összenyomással a kezdeti

állapotba visszük vissza, miközben a gáz munkája W4 = -mcv (T1 - T2) lesz.

2.14. ábra

2.15. ábra

.111

A

B

V

VnmRTWQ


A körfolyamat során a gáz által végzett összes munka az izotermikus munkák összege lesz,

mivel a két adiabatikus szakaszon végzett munkák azonos nagyságúak, de ellentétes

előjelűek. Az izotermikus szakaszok munkavégzéseinek összeadásánál vegyük figyelembe,

hogy az AD és BC adiabatikus szakaszok mentén TV-1

= állandó, azaz

T1VA-1

= T2VD-1

ill. T1VB-1

= T2VC-1

ahonnan D

C

A

B

V

V

V

V , és így a gáz teljes munkája egy ciklus alatt:

.)( 2121

A

B

V

VnTTmRQQW

Összefoglalva, a Carnot-körfolyamat végeredménye: a gáz a T1 hőmérsékletű hőtartályból

("kazánból") felvesz Q1 hőt, a T2 hőmérsékletű hőtartálynak ("hűtőnek") lead Q2 hőt, és

összesen W hasznos munkát végez.

A Carnot-gép termikus hatásfoka az I. főtétel figyelembevételével:

.11

2

1

21

1 T

T

T

TT

Q

W

Az hatásfok tehát csak a két hőtartály hőmérsékletétől függ, és annál nagyobb, minél

magasabb a "kazán" T1, és minél alacsonyabb a "hűtő" T2 hőmérséklete az = 1 = 100%

érték csak T2 = 0 K esetén lenne elérhető. Eredményünk úgy is megfogalmazható, hogy a

"kazánból" felvett Q1 hőmennyiségnek csak egy tört része, Q1, alakul át munkává, a másik

része, (1-) Q1, a "hűtőbe" jut.

A körfolyamat során végzett eredő munka a p - V diagramon a körfolyamat görbéje által

bezárt területként jelenik meg.

A Carnot körfolyamatot a megfordított

irányban (ADCBA) is vezethetjük. Ilyenkor

az előbbi hőmennyiségeknek és

munkáknak csak az előjele változik meg,

ill. a "felvett" és "leadott" szavak

felcserélődnek. A fordított Carnot-

körfolyamatnál tehát a gáz a hűtőből

felvesz Q2, a kazánnak lead Q1

hőmennyiséget, és a külső erők a gázon W munkát végeznek. Ez az inverz körfolyamat két

további géptípus, a hőszivattyú és a hűtőgép modelljének tekinthető.

A hőszivattyú arra szolgál, hogy munkavégzés és a hőnek a hidegebb (T2) környezettől (pl.

külső levegő, víz) való elvonása árán hőt juttasson egy magasabb (T1) hőmérsékletű helyre,

pl. terembe (2.16. ábra). A hőszivattyú jósági tényezője ideális esetben:

21

11

TT

T

W

Qhsz

Ha tehát pl. 20

0C-os (T1 = 293 K) helyiséget a 0

0C-os (T2 = 273 K) külső levegőből való hőelvonással,

elektromos kompresszorral működtetett hőszivattyúval fűtenénk, ideális esetben a nyert Q1 hőmennyiség

293/20 = 15-ször nagyobb lenne a befektetett W munkánál, vagy az ennek megfelelő teljesítményű

2.16. ábra


villanykályha által leadott hőmennyiségnél. A valóságban működő hőszivattyúk jósági tényezője azonban

lényegesen kisebb, 3-5 közötti érték.

A hűtőgép feladata, hogy egy tartályt a környezeténél (T1) alacsonyabb T2 hőmérsékleten

tartson, vagyis – bizonyos W munka befektetésével – vonja el a tartálytól azt a Q2

hőmennyiséget, amelyet az a környezettől felvesz. Mivel most a tartálytól elvont

hőmennyiség a hasznos, a hűtőgép jósági tényezője ideális esetben:

.21

22

TT

T

W

Qhg

Ha hőerőgépeink a Carnot-körfolyamat szerint működnének, 100 0C-os kazán és 0

0C-os hűtő

esetén is csak %25373/100 hatásfokkal dolgoznának. Ezért a következőkben

megvizsgáljuk, hogy előfeltevéseink módosításával hogyan javíthatnánk a hatásfokot.

a/ Irreverzibilis működésű gépek. Elképzelhető-e, hogy egy irreverzibilis gép hatásfoka

nagyobb legyen, mint egy azonos felépítésű reverzibilis gépé? Tegyük fel, hogy gépünk

dugattyúja súrlódással mozog a munkahengerben. Ekkor a súrlódás útján keletkezett hő az

izotermikus szakaszokon visszakerül a hőtartályokba úgy, hogy a gáz által a T1 tartályból

végeredményben felvett Q1 hőmennyiség kisebb a súrlódásmentes esetben felvett Q1-nél, a

T2 tartálynak leadott Q

2 hőmennyiség viszont nagyobb Q2-nél. Ily módon a súrlódásos

(irreverzibilis) körfolyamat hatásfoka:

1

2

1

21

1

21 1Q

Q

Q

QQ

Q

QQ

kisebb a reverzibilis esetre számolt

1

2

1

21

1

21 1Q

Q

Q

QQ

Q

QQ

értéknél. Tehát – amint az várható is volt – az irreverzibilis gépek hatásfoka a reverzibilis

gépek hatásfokánál csak kisebb lehet!

b/ Tetszőleges reverzibilis gép hatásfoka. A gépet reprezentáló általános körfolyamatot a

2.17. ábrán vázoltuk.

Ha a p – V síkot izotermákból és adiabatákból

alkotott sűrű hálózattal beborítjuk, akkor az adott

körfolyamatot összekapcsolt Carnot-körfolyamatok

láncával közelítettük. Mivel ekkor a belső (adiabatikus)

szakaszok a kétszeri, ellentétes irányú körülfutás miatt

végeredményben nem számítanak, az eredeti zárt görbét az

ABA’B’ … C’D’CD … zárt törtvonal görbével

helyettesíthetjük. A hálózat fokozatos sűrítésével

elérhetjük, hogy egyes izotermaszakaszokon felvett vagy

leadott hőmennyiségek egyre kevésbé különböznek a 2.17. ábra


megfelelő eredeti görbeszakaszokon felvett, ill. leadott hőmennyiségektől. A Carnot-géptől

eltérő működésű reverzibilis gépek termikus hatásfokát ezek szerint szintén a Carnot-

körfolyamatnál már megismert formula szerint számíthatjuk. Jó közelítéssel

max1

min2max1

T

TT

ahol T1max a legmelegebb, T2min a leghidegebb hőtartály hőmérséklete az összetevő Carnot-

gépek sorozatában. Láthatóan sem a részfolyamatok, sem a hőtartályok számának növelése

nem vezetett a hatásfok javulásához.

c/ Hőerőgép egy hőtartállyal és más üzemanyaggal. Eddigi eredményeink legalább két

hőtartállyal és ideális gázzal működő hőerőgépekre vonatkoznak. Láttuk, ezek körében a

Carnot-gép optimális hatásfokú. Ennél jobb hatásfokkal működő gépet most már csak az egy

hőtartállyal, ill. nem ideális gázzal működő gépek körében kereshetünk. Gondolatkísérletünk

blokksémáját a 2.18. ábra szemlélteti. A T1 és T2 hőmérsékletű hőtartályok között két

reverzibilis Carnot-gépet működtetünk:

az üzemanyagként ideális gázt

felhasználó A gép hatásfoka

A

T T

T

1 2

1

a valamilyen más üzemanyagot

felhasználó B gép hatásfoka legyen ennél

nagyobb: B A.

Működtessük most az A gépet

hűtőgépként, a B gépet pedig hőerőgépként. A T1 hőmérsékletű hőtartályból akkor nem fogy

hő, ha az A hűtőgép ugyanakkora Q1 hőmennyiséget ad le oda, mint amekkorát a B hőerőgép

felvesz onnan. A hűtőgép működtetéséhez WA munkára van szükség, az A gépnek a T2

hőmérsékletű hőtartályból tehát Q1 – WA hőt kell felvennie, és működése közben a B gép

ugyanoda Q1 – WB hőt ad le. Egy ciklus után a T1 hőmérsékletű hőtartályban végeredményben

ugyanannyi hő van, mint a ciklus megkezdése előtt volt, és hő csak a T2 hőmérsékletű

hőtartályból fogyott, mivel B A miatt WB WA, tehát ebbe a hőtartályba minden ciklusban

kevesebb hő jut, mint amennyit az A gép onnen felvesz.

Ezután a WB(WA) munkából WA-t felhasználnánk arra, hogy az A hűtőgépet működtessük, a

megmaradó WB – WA munkát pedig hasznos munkavégzésre fordíthatnánk. A folyamat

egyedüli eredménye az lenne, hogy kombinált két gépünk WB – WA munkát végez, és a T2

hőtartályból energia fogy. Ez a gép egy hőtartállyal működne (a T1 hőmérsékletű hőtartály

tetszőleges kicsiny lehet), és megépítéséhez végeredményben az szükséges, hogy találjunk két

olyan üzemanyagot, melyre nézve a Carnot-gép hatásfoka különbözik. Egy ilyen berendezés

vagy gép az első főtétellel nincs ellentétben, tehát nem (elsőfajú) perpetuum mobile, de az

emberiség számára ugyanolyan hasznos lenne, mert az óceánok, a talaj, vagy a légkör

kimeríthetetlen hőkészletét munkává alakítaná át, és így „ingyen” termelne munkát ezért az

ilyen gépet Oswald találóan másodfajú perpetuum mobilének nevezte el. A tapasztalat

azonban azt mutatta, hogy másodfajú örökmozgó szerkesztése nem lehetséges ez a második

főtétel egyik megfogalmazása.

2.18. ábra


Másképpen: nem találunk két olyan anyagot, melyre nézve a Carnot-körfolyamat termikus

hatásfoka különböző, tehát nem lehet olyan gépet szerkeszteni, amely egy hőtartályból

hőmennyiséget von el, és azt egyéb változások bekövetkezése nélkül munkává alakítja át.

Itt az „egyéb változások bekövetkezése nélkül” kikötés igen lényeges, mert pl. a gáz

izotermikus tágulásnál a hőtartályból felvett hőmennyiséget teljes egészében átalakítja ugyan

munkává, de ezen kívül más változás is fellép, ti. a gáz térfogata megnövekszik.

Az első főtétel nem mond semmit arról, hogy valamilyen folyamat a valóságban egy meghatározott irányban,

vagy pedig éppen a megfordított irányban megy-e végbe. Igy pl. a h magasságból leejtett m tömegű kőnek a

talajba való rugalmatlan ütközésénél a kő és környezete felmelegszik, összesen az mgh energiával egyenértékű

hőmennyiség fejlődik. Az energiatétel érvényes, de ugyanígy érvényes lenne a tétel a megfordított folyamatnál

is, ha t.i. a talajon nyugvó kő lehűlés árán a magasba emelkednék, de ilyesmit sohasem észlelünk: a fordított

folyamat lejátszódását a második főtétel tiltja, hiszen itt is egyetlen hőtartályból (a kőből elvont hő árán

nyernénk munkát (a kő felemelkedése során).

A II. főtételnek a valóságos folyamatok irányára vonatkozó állítása különösen a Clausius-féle

megfogalmazásából tűnik ki (1850): Hő nem juthat hidegebb testről melegebbre

„magától”, azaz anélkül, hogy egyidejűleg más változások ne történnének. Ez a megszorítás

itt is nagyon fontos, mert például a hőszivattyúnál hő jut ugyan a hidegebb hőtartályról a

melegebbre, de eközben egyrészt külső erők munkát végeznek, másrészt a melegebb

hőtartályra nem csupán a hidegebbtől elvont hőmennyiség kerül, hanem még a végzett

munkával egyenértékű hőmennyiség is.

A második főtétel matematikai megfogalmazása. Az entrópia.

Az előzőek szerint a Carnot-körfolyamat termikus hatásfoka:

1

21

1

21

T

TT

Q

QQ

,

attól függően, hogy a körfolyamat irreverzibilis ( jel) vagy reverzibilis (= jel). Ebből

következik, hogy

02

2

1

1 T

Q

T

Q

vagyis a Q/T hányadosoknak, az ún. redukált hőmennyiségeknek az összege nem lehet pozitív.

A fenti eredmény bármely körfolyamatra általánosítható. Az előző fejezetben egy

tetszőlegesen választott reverzibilis körfolyamatot n db összekapcsolt Carnot-körfolyamattal

közelítettünk (lásd 2.17. ábra). Mármost az egyes reverzibilis Carnot-körfolyamatokra

érvényes fenti egyenletek összegezésével kapjuk, figyelembe véve, hogy 2n az összes

hőtartályok száma:

n

ii

i .T

Q2

1

0

A hálózat sűrítésével, határesetben, az összegzés integrálásba megy át:

∮


Ha az adott körfolyamat irreverzibilis, azaz bármilyen kis irreverzibilis szakaszt tartalmaz,

akkor egyenlőségjel helyett a jel érvényes. Az így nyert, ún. Clausius-féle egyenlőtlenség a

második főtétel körfolyamatokra vonatkozó alakja:

∮

Tetszőleges körfolyamatra a redukált hőmennyiségek algebrai összege legfeljebb zérus lehet.

Az egyenlőség csak reverzibilis körfolyamatokra áll fenn.

Az állapotjelzők dxi = 0, ill. dyi = 0 definíciójára emlékezve, a Clausius-

egyenlőtlenség reverzibilis körfolyamatokra érvényes alakjában a T

Q mennyiséget egy S

állapotjelző dS differenciális megváltozásaként foghatjuk fel, hiszen összmegváltozása egy

reverzibilis körfolyamat során zérus. Ez az állapotjelző az entrópia, amelynek megváltozása,

miközben a rendszer valamely A állapotból reverzibilis módon B állapotba jut:

.)()(

B

A

rev

T

QASBS

Az entrópia mértékegysége: K

JS .

Reverzibilis adiabatikus folyamatoknál (Qrev = 0) az entrópia állandó marad. Az ilyen

folyamatokat izentropikus folyamatoknak is hívják.

Az A és B állapotok között a valóságban végbemenő folyamatok szigorúan véve mindig

irreverzibilisek, ezért az entrópiakülönbség meghatározásánál nem jöhetnek tekintetbe.

Gondolatban azonban mindig lehet találni olyan, az A-ból B-be vezető reverzibilis

(kvázisztatikus) folyamatot, amely az entrópiakülönbség kiszámítására felhasználható.

Az entrópianövekedés tétele

Jusson a rendszer az A állapotból valamilyen, a

valóságban végbemenő irreverzibilis

folyamattal a B állapotba, majd ebből egy

reverzibilisnek feltételezett folyamattal vissza

az A állapotba (2.19. ábra). Az így létrejött

irreverzibilis körfolyamatra a Clausius-féle

egyenlőtlenség szerint:

B

A

A

BT

Qrev

T

Qirrev .0

A baloldal második tagja az entrópia definíciójánál fogva SA - SB, és így

2.19. ábra


B

AAB

T

QirrevSS

azaz irreverzibilis folyamatoknál az entrópia növekedése mindig nagyobb, mint a redukált

hőmennyiségek összege (integrálja). Zárt rendszer esetén - ilyenné egészíthető ki általában

egy nem zárt rendszer is a vele kölcsönhatásban álló testek hozzáadásával - Q = 0 miatt az

utóbbi egyenlőtlenség jobb oldala zérus, vagyis

AB SS > 0

Zárt rendszerben a valóságban önmagától (spontán) végbemenő irreverzibilis

folyamatoknál a rendszer entrópiája növekszik (az ideális határesetnek megfelelő reverzibilis

folyamatoknál az entrópia nem változik) ez az entrópia növekedésének tétele, a második

főtétel egyik legfontosabb alakja.

Zárt rendszerben eszerint csak addig lehetségesek spontán végbemenő állapotváltozások,

amíg az entrópia maximális nem lesz ha egy zárt rendszer entrópiája maximális, a rendszer

egyensúlyban van. Az entrópia növekedésének tétele a természetben lejátszódó folyamatok

irányát szabja meg, amennyiben zárt rendszereknél kizárja az olyan spontán végbemenő

irreveruibilis folyamatokat, amelyek entrópiacsökkenéssel járnának.

Az entrópia statisztikus értelmezése

Végezzük el a következő gondolatkísérletet: fallal kettéválasztott doboz egyik felébe 100

gázmolekulát helyezünk. Ha kivesszük az elválasztó falat, a molekulák – az ideális gáz

definíciójának megfelelően – véletlenszerű mozgásuk során átjutnak a doboz eddig üres

felébe is.

Próbáljuk meghatározni, hogyan oszlik el a 100 molekula a rendszer egyensúlyi állapotában!

A 2.20. ábra mutatja be, hogy a rendszer molekuláinak különböző konfigurációi hányféle

módon valósulhatnak meg. A doboz két felébe beírt számok a szóban forgó konfigurációt

(makroállapotot), az alatta levő számok a kombinatorikailag lehetséges megvalósulási

lehetőségek (mikroállapotok) számát jelentik.

2.20. ábra

Bevezetjük egy meghatározott makroállapot termodinamikai valószínűségének (W) fogalmát,

melyet a makroállapothoz tartozó mikroállapotok számával definiálunk.

Ugyanezen állapot matematikai valószínűsége, mint a "kedvező és lehetséges esetek hányadosa", a


termodinamikai valószínűség és az összes mikroállapot számának hányadosa volna. A termodinamikában

azonban az előbbi valószínűség bevezetése bizonyult célszerűnek, amelynél tehát a lehetséges esetek számával

való osztás elmarad.

Látható, hogy a kiinduló állapot (100/0) termodinamikai valószínűsége a legkisebb (1), és a

legnagyobb, (

) valószínűség az 50/50 megoszlású állapothoz tartozik. Ennek alapján

nagy biztonsággal kijelenthető, hogy a rendszer egyensúlyi állapota igen nagy

valószínűséggel a molekulák 50/50 arányú eloszlása környékén áll majd be.

Mivel a molekulák rendszertelenül mozognak, az egyenlő megoszlásnak megfelelő,

molekuláris szempontból legrendezetlenebb állapot sokkal valószínűbb egy olyan,

"rendezettebb" állapotnál, amelynél pl. valamennyi molekula az edény egyik felében van.

A fentiek szerint például az edény egyik felébe zárt gáz molekulái a válaszfal eltávolítása után

csakhamar az egész edényt gyakorlatilag egyenletesen betöltik - a rendszer egy kisebb

valószínűségű rendezett állapotból egyre rendezetlenebb állapotba megy át, tehát a

termodinamikai valószínűség növekszik. Mivel az említett gondolatkísérlet során a rendszer

entrópiája is növekszik, feltételezhető, hogy valamely állapot S entrópiája és az állapot W

valószínűsége között összefüggés van. Valóban, amint azt Boltzmann kimutatta, az entrópia

arányos az állapot termodinamikai valószínűségének logaritmusával:

S= k lnW. (k = 1,3810-23

J/K, a Boltzmann állandó)

Ez a Boltzmann-féle egyenlet, amely összekapcsolja a fenomenológiai termodinamikát a

molekuláris, ill. statisztikus elmélettel, és amelynek alapján valamely 1 állapotból a 2-be való

átmenetnél az entrópiaváltozás így is számítható:

1

212 ln

W

WkSS

ahol W2/W1 a két állapot termodinamikai valószínűségének hányadosa (amely egyenlő a

matematikai valószínűségek W2/W1 hányadosával).

Az entrópiának szemléletes, statisztikai jelentést adó Boltzmann-egyenlet alapján a

második főtételnek - az entrópia növekedése elvének - mélyebb jelentése:

Zárt rendszer irreverzibilis állapotváltozásai során a rendszer egyre valószínűbb, azaz

rendezetlenebb állapotba jut, az egyensúly a legnagyobb valószínűségű állapotnak felel

meg, és ott a rendszer entrópiája maximális.

Eszerint a második főtétel valószínűségi, statisztikai jelegű törvény, amelynek éppúgy, mint

magának az entrópiának is, csak igen sok részecskéből álló rendszernél van értelme. Az

entrópia növekedése nem abszolút jellegű, hanem csak a folyamatok legvalószínűbb

lefolyását fejezi ki. Eltérések e statisztikai jellegű törvénytől előfordulhatnak, de a

makroszkopikusan észlelhető eltérések általában rendkívül ritkák.

Tekintsünk erre egy példát: álljon a rendszer két, egymással érintkező 1g tömegű rézgolyóból, az egyik

hőmérséklete legyen 27 0C, a másiké 28

0C. A rendszernek ezt az állapotát jelöljük 1-gyel, azt az állapotot pedig,

amely akkor áll fenn, miután a melegebb golyóról a hidegebbre Q = 10-7

J hőmennyiség átment, 2-vel. Ez a

hőmennyiség olyan kicsiny, hogy a golyók hőmérsékletváltozása ( 3 10-6

fok )az entrópia számolásánál


elhanyagolható. Így a rendszer entrópiájának megváltozása:

K

J

KKSSS 12

-7-7

12 101,1 301

J10

300

J10

Az állapotvalószínűségek aránya tehát:

és ez olyan elképzelhetetlenül nagy szám, hogy az 1 → 2 irreverzibilis állapotváltozás megfordítottja - J10-7

hőmennyiségnek a hidegebb testről a melegebbre való átmenetele - gyakorlatilag sohasem észlelhető.

A fentiekből láthatóan az irreverzibilitás mélyebb értelme abban áll, hogy az 1 állapotból a 2-be vezető

irreverzibilis folyamatnál a 2 állapot valószínűsége az 1-nél olyan sokszor nagyobb (az irreverzibilitás mértékéül

választható W2/W1 = eS/k

viszonyszám olyan nagy), hogy az irreverzibilis folyamat megfordítottjának spontán

bekövetkezése rendkívül kis valószínűségű, vagyis gyakorlatilag valószínűtlennek tekinthető.


3. NYUGVÓ TÖLTÉSEK TERE (ELEKTROSZTATIKA)

Az elektromos és a mágneses jelenségek általában töltések közötti kölcsönhatásokra

vezethetők vissza. E kölcsönhatások véges sebességgel jutnak el a kölcsönhatásban lévő egyik

objektumtól a másikig. A töltések elektromos és mágneses erőteret egyaránt létrehozhatnak.

A fizikai tulajdonságokkal bíró erőterek (mezők) a töltések közötti kölcsönhatások közvetítői.

Ebben a fejezetben a nyugvó töltések elektromos terének tulajdonságait vizsgáljuk. A nyugvó

töltések időben változatlan, sztatikus teret hoznak létre. (A mozgó töltésnek mágneses erőtere

is van, ennek leírásával a későbbiekben foglalkozunk.) Az elektromos és a mágneses

jelenségek megértése szempontjából alapvetően fontos az elektromos tér fogalmának és

tulajdonságainak tisztázása, amit az elektrosztatikus tér vizsgálata során fogunk megejteni.

Az elektrosztatikus tér és vektorjellemzői. A tér szemléltetése erővonalakkal. Az elektrosztatika alapjelenségei már az ókorban ismeretesek voltak, de ezek helyes

értelmezése az atomfizika kialakulását követően vált lehetővé. Az anyagot felépítő atomok

pozitív töltésű atommagból és ezt körülvevő negatív elektronokból állnak. Az elektromos

töltés az anyagi részecskék alapvető, tőlük el nem választható tulajdonsága. A töltés

kvantumos jellegű, vagyis létezik egy legkisebb, ún. elemi töltés, és minden töltésmennyiség,

amellyel valamely test vagy részecske rendelkezik, ennek egész számú többszöröse. Ezen

elemi töltés az elektron töltése, amely megállapodás szerint negatív (e = 1,6 * 10 -19

C.) Az

atommagban lévő proton töltése ugyanakkora, de pozitív. Ha az atomban a protonok és az

elektronok száma megegyezik, akkor a töltések hatása kifelé közömbösíti egymást, vagyis az

atom elektromos szempontból semleges. A kémiából ismeretes, hogy az atom elektronjai a

magtól való átlagos távolságaik szerint ún. elektronhéjakba sorolhatók. Az elemek számos

fizikai és kémiai tulajdonságát a legkülső héjon lévő elektronok (a vegyérték- vagy

valenciaelektronok) határozzák meg. Ha valamely semleges atom elektront ad le vagy vesz

fel, akkor a töltések egyensúlya megbomlik, és pozitív vagy negatív ion keletkezik. Általában

tehát a testek elektromos állapotát elektrontöbblettel, ill. elektronhiánnyal értelmezhetjük, és a

töltés nagyságát a többlet elektronok, ill. a hiányzó elektronok össztöltése adja. Az azonos

előjelű töltések taszítják, az ellenkező előjelűek vonzzák egymást.

Érvényes a töltésmegmaradás törvénye: zárt rendszerben az elektromos töltések algebrai

összege változatlan.

Ha valamely q töltést hordozó test vagy részecske méretét elhanyagolhatóan kicsinynek

tekintjük, akkor az általa hordozott töltést ponttöltésnek nevezzük. Ha a töltés egy test

felületén oszlik el, akkor a

felületi töltéssűrűséggel, ha a test egész térfogatában

oszlik el, akkor a

térfogati töltéssűrűséggel jellemezzük.

Ha valamely töltéssel rendelkező A testet fémhuzallal összekötünk egy semleges

(többletöltés nélküli) B testtel , akkor ez utóbbinak is töltése lesz. A fémhuzalon töltések

mennek át az A testről a B testre. A fémhuzal - amely szabad elektronokkal rendelkezik -

elősegíti a testek közötti töltések cseréjét. Az ilyen tulajdonságú anyagokat vezetőknek

nevezzük, szemben a szigetelőkkel, amelyek ilyen tulajdonsággal nem rendelkeznek, bennük a


töltések helyhez kötöttek. A félvezetők olyan anyagok, amelyek bizonyos körülmények között

vezetési tulajdonságokat mutatnak, máskor pedig szigetelőként viselkednek.

Tapasztalat szerint két ponttöltés között kölcsönösen fellépő erő nagysága egyenesen arányos

a töltések nagyságával és fordítottan arányos a köztük lévő távolság négyzetével. Az erő

iránya a két töltést összekötő egyenesbe esik:

,r

qqk 0

rF2

21

ahol q1 és q2 a töltések nagysága (előjellel figyelembe véve), r a köztük lévő távolság, és r0

az erő irányát meghatározó egységvektor, amely a két töltést összekötő egyenesszakaszon

azon töltés felé irányul, amelyre ható erőt értelmezni kívánjuk. A k arányossági tényező a

mértékrendszertől függő pozitív mennyiség, értéke vákuumban 9*109 Nm

2/C

2. Ez Coulomb

törvénye.

A töltések közötti erő nagysága megváltozik akkor, ha vákuum helyett szigetelőt

(dielektrikumot) alkalmazunk. A k arányossági tényezőt általánosan a

4

1k

kifejezésből számíthatjuk, ahol a töltések közötti teret kitöltő anyagra jellemző

dielektromos állandó. A vákuum dielektromos állandója

C2m

2. A különféle

szigetelőanyagoknak a vákuumra vonatkoztatott r relatív dielektromos állandóját szokás

megadni: r= 0.

Ha a vizsgált töltéselrendezés több

ponttöltésből áll, érvényesül a

szuperpozíció-elv: úgy tekinthetjük, hogy a

töltések külön-külön fejtik ki hatásukat egy

adott töltésre, és ezen erők vektori összege

adja a töltésre ható eredő erőt (3.1.ábra):

N

1ikiFF ik.

A szuperpozíció elvével kiegészített

Coulomb-törvény nagyszámú töltésből álló

rendszerek leírásához már nehézkesnek

bizonyul. Ezért a következőkben bevezetjük a tér vagy mező fogalmát, ami az összes

elektromos és mágneses jelenséget leíró átfogó elmélet létrejöttét lehetővé tette. Ezután a

töltések közti kölcsönhatást két lépésben írjuk le: minden elektromosan töltött test erőteret

(mezőt) hoz létre maga körül, mely erőtér (mező) akkor is létezik, ha más töltéssel nem

rendelkező testek hiányában hatását nem észleljük. Ha viszont az erőtér valamely pontjába

töltést helyezünk, akkor arra erő hat, amely erőhatást a térnek tulajdonítjuk. Tehát nem a

töltések hatnak közvetlenül egymásra, hanem az erőhatás az általuk gerjesztett erőterek

közvetítésével jön létre. Ilyen értelemben egy adott töltésre ható erő értelmezésénél a másik

töltésnek nincs jelentősége, csupán annak a térnek, amelyet ő gerjesztett. Az elektromos erőtér

vagy elektromos mező a gravitációs térhez hasonlóan vektortér. Ez azt jelenti, hogy a tér

minden pontjához hozzárendelünk egy vektormennyiséget, mint térjellemzőt úgy, hogy az

erőhatást az

F = qE(r)

3.1. ábra


összefüggés írja le. Az így értelmezett és E-vel jelölt vektormennyiség a térerősség, amely az

erőtér pontjaihoz rendelt fizikai mennyiség, és E(r) vektor-vektor függvény alakjában adható

meg. Tehát az E(r) elektromos térerősség definíciója:

Az erőtérre jellemző vektormennyiség, amelyet az erőtér valamely P pontjában elhelyezett

próbatöltésre ható erőnek és a töltésnek a hányadosa ad meg. Iránya a pozitív töltésre ható

erő irányába mutat. Mértékegysége: [E] = N/C = V/m.

A térerősség számértéke – másképpen - az egységnyi próbatöltésre ható erő nagyságával

egyenlő.

Az erőtér vagy mező ugyanolyan fizikai realitás, mint a bennünket környező objektumok, de

mivel érzékszerveinkre közvetlenül nem hat, szemléltetésére, ábrázolására szemléltető-

eszközökre van szükségünk. Faraday óta ezek az erővonalak, amelyeket úgy veszünk fel,

hogy az erőtér minden pontjában az E térerősség-vektor a görbe érintőjének irányába essen.

Az elektrosztatikus tér erővonalai pozitív töltésből kiinduló és negatív töltésen végződő

térbeli görbék. Az erővonalak értelemszerűen egymást nem metszhetik, mert ez azt jelentené,

hogy a térerősséget a metszéspontban többféle iránya is van. A térerősség nagyságát az

erővonalak sűrűségével - amelyen az erővonalakra merőleges egységnyi felületen felvett

erővonalak számát értjük - szemléltetjük.

Ha valamely q ponttöltés erőterének különböző pontjaiba a pozitív qp próbatöltést

elhelyezzük, arra különböző nagyságú, de mindenütt a q-ból kiinduló sugárirányú (radiális)

erő hat. Egyrészt Coulomb törvénye szerint: 0rF

2r

qqk

p , másrészt F = qE(r), így

a próbatöltés helyén a térerősség .2

0r

FE

r

qk

qp

Az erővonalak a q töltésből kiinduló sugárirányú egyenesek, amelyeken elhelyezett nyíl a

térerősség irányát mutatja.

3.2. ábra

A 3.2./a és /b ábrán egy pozitív és egy negatív ponttöltés erőterét szemléltetjük. A térerősség

r2-tel arányosan csökken, és a q ponttöltés köré írt egy-egy r sugarú gömbfelület minden


pontjában azonos nagyságú. A ponttöltés erőtere tehát gömbszimmetriát mutat.

Tekintsünk most két, egymás közelébe helyezett pontszerű töltést ( 3.3. ábra). A tetszőleges

P pontban lévő qp töltésre F1 ill. F2 erő hat. A szuperpozíció elvének megfelelően ezek

vektori összegére érvényesül: F = F1 + F2

A térerősség tehát a F pontban

;22 EEFFF

E 11

ppp qqq

vagyis a két ponttöltés tere összetevődik,

szuperponálódik. Az elmondottak

értelemszerűen általánosíthatók véges számú

ponttöltés halmazára is:

.1

21

0

ii rEE

N

i i

iN

i r

qk

A 3.4. ábra azt szemlélteti, hogy az

erővonalak - a térerősség definíciójának

megfelelően - pozitív töltésből kiinduló és negatív töltésen végződő, egymást nem metsző

görbék. Egyetlen pontszerű töltés esetén is helyes ez a megállapítás, u.i. ilyenkor azt

feltételezzük, hogy más testek a ponttöltéstől igen nagy távolságra vannak. Sztatikus tér

esetén a térerősség (és az erővonalak is) függetlenek az időtől.

3.4. ábra

Ha a ponttöltések sokasága egy térfogatban, egy felületen, ill. egy vonalon folytonos eloszlásúnak tekinthető,

akkor a ponttöltések halmazára alkalmazott összefüggést integrálnunk kell. Térbeli töltéseloszlás esetén a dV

elemi térfogatban lévő dq töltés P pontbeli hatását a dE vektor írja le:

ahol a 3.5. ábrának megfelelően r a P pontba mutató helyvektor nagyságát, az r0 egységvektor pedig annak

irányát jelenti! A dq töltések összhatása a P pontban:

.22

00rrE

r

dVk

r

dqk

;r

dqkd 0

rE2

3.3. ábra


Hasonlóképpen, felületi, ill. vonali töltéseloszlás esetén

;22 00rrE

r

dAk

r

dqk

illetve

;22 00rrE

r

dlk

r

dqk

ahol a felületi, pedig a vonalmenti

töltéssűrűséget jelöli.

Általános esetben ezen integrálok megoldása

bonyolult feladat. Sok esetben azonban

egyszerűbbé válnak, ha a tér különböző szerkezeti

tulajdonságait is (pl. a térszimmetriát)

felhasználjuk.

Az elektromos erőteret akkor

mondjuk homogénnak, ha minden

pontjában a térerősség nagysága is

és iránya is azonos, vagyis

E=konstans. A homogén erőtér

egymással párhuzamos, egyenletes

sűrűségű erővonalakkal ábrázolható

(3.6. ábra).

Egy töltés erőterében megváltozik a

térerősség, ha különböző

dielektromos állandójú térkitöltő anyagokat alkalmazunk. Az erőtér jellemzésére bevezettek

egy olyan térjellemzőt, amely független a teret kitöltő anyagtól. Ez a térjellemző a D

elektromos eltolási vektor. Definíció szerint:

D = E.

Vagyis az elektromos eltolási vektor a dielektromos állandó és a térerősség szorzataként

értelmezett vektormennyiség. Mértékegysége: [D] = C/m2 = As/m

2 .

Munkavégzés az elektrosztatikus térben. Potenciál és feszültség.

Az erőtérben a töltés mozgatása munkavégzéssel jár. A q töltésre ható F erő a sztatikus tér

minden pontjában állandó és qE-vel egyenlő, mivel E nem függ az időtől. Ez az állandó

nagyságú erő az erővonalak irányában a próbatöltés egyenletesen gyorsuló mozgását

eredményezi. Ha a pozitív qp próbatöltést gyorsulásmentesen akarjuk ugyanezen a pályán

mozgatni, akkor az erőtér ellenében - F erőt kell kifejteni. Mechanikából ismeretesen a - F

erő által végzett munka dr elmozdulás esetén: dW = - F dr.

Ha a töltést tetszőleges görbe mentén visszük A-ból B-be, akkor a munka a következő

vonalintegrállal számítható ki:

,d dsEqqWs

rE

ahol Es = E cos vagyis a térerősségnek a ds pályaelem-vektor irányába eső komponense.

Tekintsük a q pontszerű töltés erőterét és ebben mozgassuk a pozitív qp próbatöltést a tér

A pontjából B pontjába tetszőleges görbén. Elegendő sűrű felosztást véve, a görbe vonal

tetszőlegesen megközelíthető O középpontú körívekkel és sugárirányú egyenes szakaszokkal

(3.7. ábra). Legyen az A pont rA, a B pont rB távolságra a q töltés helyétől. A próbatöltés A

3.5. ábra

3.6. ábra


pontból B pontba viteléhez szükséges munkát úgy

számíthatjuk ki, hogy az egyes útszakaszokon végzett

munkákat összeadjuk, hiszen a munka

skalármennyiség. Az AA1 köríven végzett munka

zérussal egyenlő, mert az E térerősség-vektor minden

pontban merőleges a görbe érintőjére. Ugyanez

vonatkozik az A2A3 és az A4A5 szakaszokra. Az A1A2

szakaszon végzett munka a

2

1

2

2

1

1d

A

A

p

A

A

pdr

rkqqqW rE

integrállal egyenlő, mivel a ponttöltés erőterében a térerősség az 0rE

24

1

r

q

függvénnyel

adható meg. (Megjegyezzük, hogy a végeredményben nem szerepel az r0 vektor, mivel r

0 és

dr megegyező irányúak, és így r0

dr = dr.) Az összes sugárirányú szakaszon a végzett

munkát ugyanezen függvény megfelelő határok között számított integrálja adja meg. Tehát a

teljes munkavégzés

AB

p

B

A

prr

kqqdrr

kqqW111

2

A végzett munka láthatóan független az úttól, nagyságát csak a pálya kezdő- és végpontjának

helyzete határozza meg, azaz (a gravitációs térhez hasonlóan) az elektrosztatikus tér

konzervatív erőtér. A szuperpozíció-elv érvényessége miatt az eredmény tetszőleges

ponttöltések rendszerére is általánosítható: az elektrosztatikus térben adott két pont között

mozgatva a töltést a végzett munka ugyanakkora, bármilyen alakú is a két pontot összekötő

görbe, amelyen a töltés mozog.

Az előzőekből következik, hogy a zárt görbe mentén

végzett munka zérus. A 3.8. ábrának megfelelően WAB

abszolút értékben megegyezik WBA-val, de ellenkező

előjelű. Ezért

∮ ∮ ∮ .

Ha a qp próbatöltést egységnyinek választjuk, akkor az egyenletünkben csupán csak a térre

jellemző mennyiségek szerepelnek, és egy ún. téregyenletet kapunk:

∮

Elektrosztatikus térben az elektromos térerősség bármely zárt görbe menti integrálja zérus. Fizikai tartalma: a zárt görbe mentén végzett munka zérus.

Az a tény, hogy elektrosztatikus térben a töltés mozgatásakor végzett munka független az

úttól, lehetővé teszi az erőtérnek egy skalármennyiséggel való leírását, amelyet potenciálnak

nevezünk. Ha elektrosztatikus térben töltést mozgatunk a tér egy A pontjából valamely B

pontjába, a végzett munka mindig ugyanakkora lesz, a mozgás pályájától függetlenül.

Egységnyi töltést mozgatva, a munka az A és a B pontokhoz rendelt (A), ill. (B)

skalármennyiségek különbségeként írható fel:

3.7. ábra

3.8. ábra


).()(d ABB

A

rE

A (r) skalár-vektor függvény az elektromos potenciál, az elektrosztatikus erőtér skalár

jellemzője. A fenti összefüggésben a potenciál megváltozása, a potenciálkülönbség szerepel.

Az eredmény szempontjából tehát tetszőlegesen választhatunk egy pontot, amelyhez

viszonyítva megadjuk a függvény (A), ill. (B) értékét. Jelöljük ezt a pontot P0-val és legyen

ezen pontban a függvényérték zérus: (P0) = 0. Az ily módon választott P0 pontot zérus

potenciálú helynek nevezzük.

Ezzel az erőtér bármely P pontjában a potenciál értéke:

P

P

P0

d)( rE

Az elektrosztatikus potenciál az erőtér skalár jellemzője, amely az erőtér valamely P

pontjában a pozitív egységnyi töltés potenciális energiáját adja meg: vagyis egyenlő azzal a

munkával, amelyet az elektrosztatikus erők ellenében kell végeznünk, míg a pozitív

egységnyi töltést a P0 zérus potenciálú helyről a P pontba visszük.

A zérus potenciálú pontot elméleti számításoknál gyakran a végtelenben választjuk, máskor

(pl. áramkörök esetében) a földfelszín valamely pontját jelöljük ki.

Az erőtér A és B pontja közti potenciálkülönbséget feszültségnek nevezzük:

).()(d ABUB

A

AB rE

Mértékegysége [U]= [] = J/C = V.

Az erőtér két pontja között mérhető feszültség azzal a munkával egyenlő, amely a pozitív

egységnyi töltésnek az egyik pontból a másikba való eljuttatásához szükséges.

Általában az erőtérnek több

olyan pontja van, amelyben a

potenciál értéke megegyezik.

Ezen pontok összessége

(mértani helye) egy felületet

alkot, amelyet nívófelületnek,

vagy ekvipotenciális felületnek

nevezünk. Az ekvipotenciális

felületekkel ugyanolyan jól

szemléltethetjük az erőteret,

mint az erővonalakkal. A

potenciál értelmezéséből

következik, hogy a kétféle 3.9. ábra

ábrázolási mód között kapcsolat van: mivel egy ekvipotenciális felületen nincs munkavégzés,

ezért a térerősség mindig merőleges rá. És mivel a térerősségvektorok az erővonalak

érintővektorai, ezért az erővonalak is merőlegesen esnek be az ekvipotenciális felületekre. A

3.9. ábra ezt szemlélteti a pozitív, ill. negatív ponttöltés erőtere esetében.


Az elektromos eltolási fluxus. Az elektrosztatika Gauss-tétele.

Az elektromos fluxus fogalmának bevezetéséhez az egyszerűség kedvéért induljunk ki ismét a

homogén erőtérből (3.10. ábra). A párhuzamos erővonalak sűrűsége legyen most D

számértékével egyenlő. Ha a D vonalakra merőlegesen egy A felületet veszünk fel, akkor

azon DA vonal halad át. Ha ezen kiinduló helyzetből

elforgatjuk az A felületet, akkor az

őt metsző vonalak száma egyre

csökken, majd 90o-kal való

elforgatás esetén zérus lesz. A D

vektorral és az A felülettel tehát

értelmezhetünk egy

skalármennyiséget, amely

szemléletesen a felületen áthaladó

erővonalak, vagy D- vonalak

számát adja meg. Ezen mennyiséget

elektromos eltolási fluxusnak nevezzük és -vel jelöljük. Mivel értéke függ a felület D-

vonalakhoz viszonyított helyzetétől, ezért bevezetünk egy a felülethez rendelt A = A no ún.

felületvektort, amely merőleges a felületre (no a normális irányú egységvektor), a nagysága

pedig megegyezik a felület nagyságával. Ezzel a fluxus

DA = DAcos

alakban írható. A fluxus tehát az A és a D vektorok skalárszorzatával értelmezhető. A fluxus

mértékegysége: .2

2Asm

m

AsAD

Most általánosítjuk a fluxus fogalmát inhomogén

erőtérre és tetszőleges görbült felületre (3.11.

ábra). Mivel a felület pontjaiban D nagysága is

és iránya is különböző, a fent értelmezett módon

a fluxus csak olyan kicsi dA felületelemre írható

fel, amelyen D állandónak tekinthető. A dA

vektor tehát merőleges a felületelemre és

nagysága annak területével egyenlő. Így a

felületelemre a D vektor fluxusa DdA. Az

egész A felületre értelmezett fluxus:

.dADd nAD

Az elektromos eltolási fluxus a D vektornak valamely A felületen értelmezett integráljával

egyenlő.

3.10. ábra

3.11. ábra


3.12. ábra

Tekintsük ismét a ponttöltés erőterét. A gömbszimmetriát figyelembe véve számítsuk ki a

fluxust egy r sugarú gömbfelületre (3.12/a ábra). A D vektor nagysága a felület minden

pontjában ugyanakkora, az iránya a dA vektorral megegyező. Tehát

∮ ∮

Mivel D EQ

r

4 2 , ezt behelyettesítve a

∮

eredményt kapjuk. A D vektor fluxusa a töltést körülvevő gömbfelületre egyenlő a felület

belsejében lévő Q töltéssel. A számításból látszik, hogy minden, az előzővel koncentrikus

gömbfelületre a fluxus ugyanakkora lesz, az eredmény független r-től. Továbbá könnyen

belátható az is, hogy a töltést magában foglaló tetszőleges alakú zárt felületen is ugyanakkora

a fluxus. A 3.12b ábrán felvettünk egy A1 gömbfelületet és egy ezt körülvevő tetszőleges A2

zárt felületet. Mivel a két felület közötti térrészben töltések nincsenek, amelyeken az

erővonalak kezdődnének vagy végződnének, ezért ezen térfogatba belépő és kilépő vonalak

száma megegyezik.

A leírtak általánosíthatók arra az esetre, amikor a teret ponttöltések halmaza, vagy valamilyen

folytonos eloszlású töltés hozza létre. Az elmondottakat a Gauss-tételben foglalhatjuk össze:

∮ ∑

vagy térfogati töltéseloszlást feltételezve:

∮ ∫

Tetszőleges zárt felületre vonatkoztatott elektromos eltolási fluxus egyenlő a zárt felület

belsejében lévő töltések (algebrai) összegével.


A tételt felírhatjuk az E térerősség fluxusával is:

∮

∑

Gauss tétele segítségével ismert szimmetriájú terek esetén a térjellemzők sokkal egyszerűbben

határozhatók meg. A Gauss-tétel az elektrosztatikus tér alapegyenlete (a II. Maxwell-

egyenlet). Téregyenlet, amelyben az jut kifejezésre, hogy az elektrosztatikus tér forrásai a

töltések.

A Gauss tétel néhány alkalmazása

Vezetők erőtere

A fémes vezetők nagyszámú “szabad” elektront tartalmaznak, amelyek az anyagban szabadon

mozoghatnak, de nem hagyhatják el a fém felületét. A vezetőre kapcsolt feszültség az

elektronokat folytonos mozgásba hozza, ilyen esetben elektromos áramról beszélünk. Ezzel az

esettel külön fejezetben foglalkozunk. Az elektrosztatika a nyugvó töltések problémáival

foglalkozik, tehát olyan viszonyokkal, amikor az elektronok csak addig változtatják helyüket,

amíg a viszonylagos nyugalmi állapot feltételei létre nem jönnek. Vezető esetében az

elektronok úgy rendeződnek el, hogy a vezető belsejében zérus elektromos teret hozzanak

létre. Ha ez nem így lenne, akkor bármilyen kis térerősség mozgásba hozná a szabad

elektronokat. A többlet-töltés a vezető felületén egy-két atomi réteg mélységben helyezkedik

el, ahol nagy erők akadályozzák a kilépésüket. Egyensúly esetén csak a felületen

helyezkedhetnek el, mert egyébként teret hoznának létre a fém belsejében.

Vizsgáljuk meg a teret közvetlenül a vezető külső felületén. A térerősségnek merőlegesnek

kell lennie a felületre, mert érintőleges komponense nem lehet. (Ha lenne, akkor a felületen

mozgatná a töltést.) Ez viszont azt jelenti, hogy a potenciálnak érintőirányú megváltozása

nincs, vagyis a felület minden pontjában a potenciál ugyanakkora. A fém belsejében a zérus

térerősség miatt ugyanez a helyzet. Azaz: a vezető felülete ekvipotenciális felület, a fém

belseje ekvipotenciális tartomány.

Az elmondottak alapján gondoljuk

meg, mit mondhatunk egy üreges

vezető belsejében az erőtérről?

Vegyünk fel a vezető anyagának

belsejében egy tetszőlegesen zárt

felületet (3.13. ábra). Ebben az

előzőek értelmében nincs tér, és

nincsenek töltések. Mivel abból

indultunk ki, hogy az üreg nem

tartalmaz töltést, ebből az

következik, hogy az üreges vezető

belső felületén sem lehetnek töltések.

Az üreg belsejében tehát nincs erőtér.

Külső töltés tere nem hatol be

vezetővel körülvett üregbe.

Hasonló meggondolással belátható, ha földelt zárt vezetővel körülveszünk valamely

elektromosan töltött testet, akkor ezen belső töltés nem hozhat létre külső teret. Ezt a

jelenséget nevezzük árnyékolásnak. Az elmondottaknak fontos gyakorlati jelentősége van.

3.13. ábra


Töltött végtelen síklap erőtere Az erőtér leírásához az szükséges, hogy az erőtér tetszőleges pontjában ismerjük D értékét.

Ennek ismeretében ki tudjuk számítani a térerősséget és a potenciált is. Legyen a síklap

pozitív töltésű. A töltéseloszlást a felületi töltéssűrűséggel adjuk meg (3.14. ábra).

3.14. ábra

Ha más töltéssel rendelkező testek igen távol vannak a síktól, akkor szimmetria-

meggondolások alapján azt kell feltételezni, hogy a térerősség iránya mindenütt merőleges a

síkra. Gauss tétele tetszőleges zárt felületre vonatkozik, ezért most célszerű a szimmetriához

alkalmazkodva a síkkal párhuzamos lapú derékszögű hasábot felvenni. A hasáb mindegyik, a

síkra merőleges felületén a fluxus zérus lesz. A D vonalakra merőleges jobb és bal oldali A

felületen viszont = DA és mindkettő pozitív előjelű. A zárt felület belsejében lévő töltés

A-val egyenlő. Így Gauss tétele szerint

2 DA = A azaz

D

2

Tehát a síklap mindkét oldalán ugyanolyan erősségű, homogén erőtér van.

Két síklap együttes tere.

Az előző pozitív töltésű síklappal párhuzamosan vegyünk fel egy másik (ugyancsak végtelen

nagynak tekinthető) síkot, amelyen a töltéssűrűség ugyanakkora, de ellenkező előjelű (3.15.

ábra).

Itt gyakorlatilag a síkkondenzátor

modelljéről van szó. A zárt felületet az

előző feladatnak megfelelően célszerű

ismét felvenni. Ha olyan hasábot veszünk

fel, amely csak az egyik síkot foglalja

magában (3.15/a ábra), akkor DA = A,

mivel a síkok között megegyező, rajtuk

kívül pedig ellentétes a D vektorok

iránya. (Az ábrán a folytonos vonal a

pozitív töltésű sík, a szaggatott vonal a

negatív töltésű sík D vonalait mutatja).

Tehát D = , vagyis kétszer olyan erős

teret nyerünk a két lemez között, mint egy

sík esetén. Ha a hasábot úgy vesszük fel,

3.15. ábra


hogy mind a két síkot magában foglalja (3.15/b ábra), akkor a zárt felület belsejében lévő

összes töltés zérus, tehát a fluxus is zérus. Ez azt jelenti, hogy a síkokon kívül nincs tér.

Mindezt egyébként a szuperpozíció elve alapján is könnyen beláthatjuk.

Kondenzátorok

A kondenzátorok két, egymástól elszigetelt fémfelületből (fegyverzetből) álló elrendezések,

amelyek a töltéseket a fegyverzeteken tárolják.

Ha a síkkondenzátort egyenáramú áramforrásra kapcsoljuk (3.16. ábra), akkor az áramforrás

Ug feszültségének hatására rövid ideig tartó töltésáramlás indul meg az összekötő

vezetékekben. (A fegyverzetek között nem mozoghatnak töltések). A kondenzátornak az

áramforrás pozitív pólusához csatlakozó fegyverzetén elektronhiány, a másik fegyverzetén

ugyanakkora elektrontöbblet lép fel.

A töltések a fegyverzetek között elektromos teret hoznak létre, amely erőtér elég nagy és elég

közel álló felületek esetén homogén. A fegyverzetek között mérhető feszültség a töltéssel

arányosan növekszik és gátolja a további töltések felvitelét. A töltődési folyamat akkor

fejeződik be, ha a kondenzátor U feszültsége egyenlő az áramforrás Ug feszültségével.

Ha a 3.16. ábrán látható zárt felülettel körülvesszük az

egyik fegyverzetet (felülete A és Q töltés van rajta),

akkor ezen zárt felületre a D fluxusa

∮ ∮

mivel a fegyverzeteken kívül nincs erőtér, belül

viszont homogén, Gauss tétele szerint DA = Q.

Felhasználva a D = E és az EU

d összefüggéseket

kapjuk:

.Ud

AQ

Az A

d kifejezés adott (sík)kondenzátor esetén a kondenzátorra jellemző állandó, a

kondenzátor kapacitása (jele C). Így kapjuk a kondenzátorok alapegyenletét:

Q = CU

A kondenzátoron lévő töltés egyenesen arányos a fegyverzetek között mérhető feszültséggel.

Az alapegyenletet ugyan síkkondenzátorra vezettük le, de végső formájában más geometriai

elrendezésű kondenzátorra igaz. A C kapacitás minden esetben a kondenzátorra jellemző

mennyiség, amely számértékében azt mutatja meg, hogy egységnyi feszültség hatására

mekkora a fegyverzeteken felhalmozott töltés. (A kapacitást töltésbefogadó képességnek is

nevezik). A kapacitás mértékegysége:

.faradFV

As

U

QC

3.16. ábra


a/ Sorba kapcsolt kondenzátorok

A két sorba kapcsolt kondenzátoron (3.17/ a. ábra) a töltésmegosztás (influencia) miatt

megegyezik a töltés. Ha a kapacitásuk különböző, akkor a rajtuk eső feszültség nem lesz

egyenlő:

UQ

Cill U

Q

C1

1

2

2

.

A kondenzátorokra eső feszültségek összege az áramforrás feszültségével lesz egyenlő, ha a

töltési folyamat befejeződött: U = U1 + U2. Behelyettesítve U1 és U2 előbbi kifejezését:

21

111

CCC

3.17. ábra

Az CQ

U 1 jelölés az eredő kapacitás reciprokát jelenti, vagyis annak a kondenzátornak a

kapacitását, amelyen az áramforrás U feszültsége ugyanakkora Q töltést létesít, mint a C1

és C2 kapacitású kondenzátorokon. A leírtak általánosíthatók véges számú sorba kapcsolt

kondenzátor esetére is. Legyen a kondenzátorok száma n . Az eredő kapacitás reciproka:

1 1

1C Ckk

n

b/ Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok

A két párhuzamosan kapcsolt kondenzátoron (3.17 b/ ábra) megegyezik a feszültség,

mindkettő az áramforrás feszültségével egyenlő. Ha a kapacitásuk különböző, akkor a

kondenzátorok töltése sem egyenlő. A Q1 és Q2 töltések összege megegyezik a töltési

folyamatban a fő ágban áramló Q össztöltéssel: Q = Q1 + Q2. Mivel Q1 = C1U és Q2 = C2U,

behelyettesítés után

és így C = C1 + C2.

,21

CCU

Q


Általánosítva n darab párhuzamosan kapcsolt kondenzátorra:

C Ckk

n

1

A kondenzátorok a technika számos területén alkalmazott elektromos eszközök. A

leggyakrabban alkalmazott típusok a sík-, a gömb-, ill. a hengerkondenzátorok. A

fegyverzetek közt a leggyakrabban alkalmazott szigetelők anyaga: levegő, csillám, papír,

kerámia, olaj, stiroflex. A kondenzátorok csak bizonyos feszültségre tölthetők fel, mert egy

meghatározott feszültséget (próbafeszültség) túllépve “átütés” következik be, és a

szigetelőanyag megrongálódása miatt használhatatlanná válnak.


4. TÖLTÉSEK MOZGÁSBAN, MÁGNESES ALAPJELENSÉGEK

Egyenáramok

A különböző töltésű testek között fennálló potenciálkülönbség hatására az összekötő

vezetékben a szabad elektronok egyirányú mozgása, áramlása jön létre. Ha egy vezetőben

állandó töltésáramlást akarunk létrehozni, akkor állandó nagyságú potenciálkülönbség

fenntartásáról kell gondoskodni. Ezt a célt szolgálják a feszültségforrások. Az elektromos

töltések áramlása a folyadékáramláshoz hasonló jelenség. A feszültség (potenciálkülönbség) a

nyomáskülönbségnek megfelelő mennyiség.

A töltésáramlás a vezető keresztmetszetén t idő alatt átáramló Q töltéssel jellemezhető.

A töltés és az idő hányadosával értelmezett fizikai mennyiséget áramerősségnek vagy

áramintenzitásnak nevezzük.

Ha Q egyenesen arányos t-vel, akkor az I áramerősség nem függ az időtől. Az olyan

áramot, amelynél I állandó, stacionárius vagy egyenáramnak nevezzük. Az áramerősség

azonban általában függvénye az időnek: I = I(t). Az áramerősség általános definíciója a

fentiek alapján:

dt

dQ

t

QI

t 0lim

Az áramerősség a töltés idő szerinti deriváltja. Az I áramerősség az SI mértékrendszerben

alapmennyiség, mértékegysége: I = A (amper)=1 C/s.

A töltésáramlás irányát egy vezetőben (áramkörben) megállapodás szerint a pozitív töltés

mozgásának irányával adjuk meg, A kapcsolási rajzokon az

áramforrás feszültségét és az áramerősséget nyíllal szokás

jelölni, jóllehet nem vektormennyiségek. Az irány a

potenciálesés, ill. a pozitív töltésáramlás irányát tünteti fel.

Megállapodás szerint a feszültség iránya az áramforrás

pozitív pólusától a negatív pólusa felé mutat az áramirány

szintén a pozitív pólustól - a fogyasztón át - a negatív pólus

felé veendő fel, ami az elektronok mozgásirányával

ellentétes (4.1. ábra).

4.1. ábra

A vezetőre kapcsolt U feszültség és az I áramerősség között a mérések szerint

R

UI vagy GUI

összefüggés áll fenn, amelyet Ohm törvényeként ismerünk: a homogén és állandó

hőmérsékletű vezetőben folyó áram erőssége egyenesen arányos a vezető két végpontja

közötti feszültséggel.

G és R a vezetőre jellemző (az áramerősségtől és a feszültségtől független) mennyiségek: R

az ellenállás (rezisztencia), G a vezetés (konduktancia). A vezetés az ellenállás reciproka.


Mértékegységeik: RV

A (ohm), ill. G S

1

(siemens).

Kísérleti (és elméletileg is értelmezhető) eredmények azt mutatják, hogy a vezetők ellenállása

(állandó hőmérsékleten) egyenesen arányos az hosszúsággal és fordítottan arányos az A

keresztmetszettel:

RA

,

ahol a arányossági tényező a vezető anyagától függő fajlagos ellenállás. A fajlagos

ellenállás reciprokát fajlagos vezetésnek nevezzük:

1

.

A fajlagos ellenállás és a fajlagos vezetés a legfontosabb anyagállandók közé tartozik. A jó

vezetők fajlagos ellenállása 104 m nagyságrendű. Általában a 10

8 m-nél nagyobb fajlagos

ellenállású anyag már szigetelőnek tekinthető.

A vezetők ellenállása a tapasztalat szerint függ a hőmérséklettől. A fémek ellenállása a

hőmérséklet növekedésével nő a széné, a félvezetőké és az elektrolitoké pedig általában

csökken. A tiszta fémek és néhány ötvözet ellenállása az abszolút zérus fok közelében

ugrásszerűen lecsökken, gyakorlatilag zérussá válik. Ezt a jelenséget szupravezetésnek

nevezzük.

Kirchhoff törvényei

Az áramkörök általában valamilyen rendszer szerint kapcsolt áramforrásokból és

ellenállásokból állnak. Az áramforrások együttesen határozzák meg az egyes ellenállásokon

folyó áramot és rajtuk eső feszültséget. Az áramköri problémák megoldásában többek között

Kirchhoff törvényei nyújtanak segítséget.

Az áramkörben csomópont ott keletkezik, ahol

több vezeték galvanikus kapcsolatban van (több

összefutó vezeték forrasztási pontja). A

csomópontot képező vezetékekben különböző

irányú és nagyságú áramok folyhatnak. A 4.2.

ábrán látható A csomópontba I1, I3 és I5 áram

folyik befelé, ugyanakkor I2 és I4 áram kifelé. Az

áramlás folytonossága megkívánja, hogy adott t idő

alatt a befelé és kifelé áramló töltések mennyisége

megegyezzék. Ha az áramerősségeket az áram

irányának megfelelően előjeles mennyiségnek

tekintjük, akkor algebrai összegük zérus:

I1 - I2 + I3 - I4 + I5 = 0.

Kirchhoff I. törvénye általánosan, a csomópontot képező n darab vezetékre: .01

n

kk

I

Stacionárius áram esetén bármely csomópontban az áramerősségek algebrai összege zérus.

4.2. ábra


A 4.3. ábra egy összetett áramkör hálózat egyik

áramkörét mutatja, amely az A, B, C és D

csomópontokon keresztül csatlakozik a többi

áramkörhöz. A hurok valamely hálózatnak olyan

zárt része, amely egyszeri és egyirányú

körüljárással határolható el a többi áramkörtől.

A hurok nem azonos a soros áramkörrel, mert a

hurokban lévő ellenállásokon nem feltétlenül

egyirányú áramok folynak.) Tegyük fel, hogy a

hurokban lévő ellenállásokon az ábrán bejelölt

áramok folynak. Az ellenállásokon átfolyó áram

IkRk feszültségesést hoz létre, amelynek iránya

megegyezik az áramiránnyal. A

feszültségforrások U1 és U2 feszültségét a polaritásnak megfelelően vesszük fel (pozitív

pólustól a negatív felé.) Ha a tetszés szerint választott körüljárásnak megfelelően (az ábrán

pozitív körüljárás van feltüntetve) algebrailag összegezzük a feszültségeket, zérust kell

kapnunk eredményül.

I1R1 + U1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 - U2 = 0.

Másként felírva:

I1R1 - I2R2 - I3R3 - I4R4 = U2 - U1.

Az egyenlet bal oldalán az ellenállásokon eső feszültségek algebrai összege szerepel, a

jobb oldalon pedig a két áramforrás eredő feszültsége. (Vegyük észre, hogy az ellenállásokon

keresztül a telepek azonos pólusai vannak összekötve!) Kirchhoff II. törvényét tehát

általánosan úgy fogalmazhatjuk meg, hogy egy hurokban a fogyasztókon (ellenállásokon) eső

feszültségek összege egyenlő az áramforrások feszültségeinek összegével. n elemet

tartalmazó áramhurokra:

.01

n

kk

U

Stacionárius áram esetén bármely hurokban a feszültségesések algebrai összege zérus.

Ellenállások kapcsolása.

A kondenzátorok kapcsolásához hasonlóan két

alapesetből indulhatunk ki: soros és párhuzamos

kapcsolásból. Kirchhoff törvényeinek felhasználásával

ki tudjuk számítani az eredő ellenállást, amely két

vagy több ellenállást helyettesíthet oly módon, hogy ez

az eredő ellenállás az áramforrás változatlan

feszültsége mellett ugyanannyi áramot vesz fel, mint a

helyettesített eredeti kapcsolás ellenállásai együttesen.

a/ Soros kapcsolás: a 4.4. ábrán két sorba

kapcsolt ellenállást láthatunk. Az áramkörben nincs

elágazás, tehát mindkettőn ugyanaz az I áram folyik

keresztül. Az ellenállásokon eső feszültségek Ohm

törvénye alapján: U1 = IR1 és U2 = IR2 .

4.3. ábra

4.4. ábra


Kirchhoff II. törvényét alkalmazva: U = IR1 + IR2 = I (R1 + R2) így az eredő ellenállás

RU

IR Re 1 2

Sorba kapcsolt ellenállások eredőjét úgy kapjuk meg, hogy az

ellenállásokat összeadjuk.

n

kke RR

1

b/ Párhuzamos kapcsolás: a 4.5. ábrán két párhuzamosan kapcsolt

ellenállást láthatunk. Párhuzamos kapcsolást csomópont

kialakításával hozunk létre. A két ellenálláson általában különböző

áramok folynak, viszont a rajtuk eső feszültség megegyezik. Ohm

törvénye alapján:

IU

Rés I

U

R1

1

2

2

Kirchhoff I. törvényét alkalmazva az A csomópontra:

,11

21

21

RRUIII ahonnan

1 1 1

1 2R

I

U R Re

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciprokát úgy kapjuk meg, hogy az ellenállások reciprokait

összeadjuk.

.11

1

n

kke

RR

Ha egy hálózat vegyesen tartalmaz sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat, akkor az eredőszámítást

több lépésben végezzük. Ehhez azonban mindig el kell dönteni, hogy mely ellenállások vannak sorosan, ill.

párhuzamosan kapcsolva.

Az elektromos áram munkája és teljesítménye.

Az elektromos áram értelmezésénél láttuk, hogy az áramforrás feszültségének hatására

a vezetőben elektromos tér alakul ki, amely a szabad töltéseket mozgásba hozza. A töltések

mozgatásakor az erőtér munkát végez az áramforrásban felhalmozott energia rovására.

Ha egy R ellenállású fogyasztóra U állandó nagyságú feszültséget kapcsolunk, akkor

abban egyenáram fog folyni. Az elektromos erőtér munkája a feszültség definíciója alapján

W = QU. Mivel az egyenáram t idő alatt az áramkörben Q = It töltést szállít, az I erősségű

stacionárius áram t idő alatt végzett munkája az U feszültség alatt álló fogyasztóban:

A munka mértékegysége: W= J = Ws (wattszekundum).

A stacionárius áram teljesítménye, a teljesítmény definíciója alapján:

A fogyasztó ellenállásával kifejezve:

4.5. ábra

WU

Rt RI t ill P

U

RI R

2

2

2

2.

.UItW


A teljesítmény mértékegysége: Ws

JP

Mágneses alapjelenségek. A stacionárius áram mágneses hatása.

A megfigyelések szerint bizonyos természetben is megtalálható vasércek (magnetit)

vasdarabkákat magukhoz vonzanak, ill. hatásukra egyes fémek (Fe, Ni, Co) hasonló mágneses

tulajdonságot mutatnak. Ezen mesterséges mágnesek a mágneses tulajdonságukat hosszabb-

rövidebb ideig megtartják. Tartós mágnesezettséget mutatnak az acélötvözetek (permanens

mágnesek).

Mivel egy mágnesrúd az erőhatás szempontjából úgy viselkedik, mint a pozitív és negatív

töltéspárból álló ún. dipólus, ezért célszerű volt a különnemű (északi és déli) mágneses

pólusok feltételezése. A mágneses és az elektromos dipólus között azonban alapvető

különbség van. Amíg az elektromos dipólus „kettétörésével” a pozitív és negatív töltések

szétválaszthatóak, addig a mágnesrúd széttördelésével mindig újabb dipólus(oka)t kapunk,

minden darabkának lesz északi és déli pólusa egyaránt. Ez egyben azt jelenti, hogy a

szétválasztható elektromos töltéseknek megfelelő valódi mágneses töltések ( monopólusok)

nincsenek. Az anyagok mágneses tulajdonságának mélyebb magyarázatával itt nem

foglalkozhatunk. Csak annyit jegyzünk meg, hogy a lágyvas vagy az acélrúd elemi, azonosan

mágnesezett területek (domének) sokaságából áll, amelyek a rúd mágnesezetlen állapotában

teljesen rendezetlenül helyezkednek el és egymás hatását lerontják. Külső mágneses hatásra

viszont az elemi mágnesek rendeződnek és az anyag ezáltal mágneses tulajdonságot mutat.

Az elektromosság és a mágnesesség közötti kapcsolat felismerése akkor vált lehetővé, amikor

a galvánelemek feltalálásával tartós töltésáramlást tudtak létrehozni. Oersted kísérletében

kimutatta, hogy az árammal átjárt vezető közelébe helyezett mágnestű ugyanúgy kitérést

mutat, mint egy mágnesrúd közelében. Az áram irányának megváltoztatásával a mágnestű

ellentétes irányban tér ki. A stacionárius elektromos áram tehát mágneses teret létesít. A

kísérletek azt mutatják, hogy ez a tér a permanens mágnesekkel egyenértékű és időben

állandó, sztatikus tér.

A vezetőben (vagy a szabadon) mozgó töltésnek tehát elektromos terén kívül mágneses tere is

van, míg a nyugvó töltés csak elektromos teret gerjeszt. A két sztatikus tér hatás és leírás

szempontjából elkülöníthető egymástól, de az elektromos és mágneses erő lényegileg egy és

ugyanazon fizikai jelenségnek, a részecskék elektromágneses kölcsönhatásának

megnyilvánulása.

A mozgó töltésre ható erők. A mágneses indukcióvektor.

Az 4.6. ábrán látható nagy keresztmetszetű elektromágneses homogén mágneses terébe v

sebességgel érkezzék valamely Q ponttöltés. A v sebességvektor és az erővonalak iránya

által bezárt szöget jelöljük -val. A tapasztalat azt mutatja, hogy a mágneses tér a töltést

eltéríti mozgásirányától, tehát erőt fejt ki a töltésre. Az erő egyaránt merőleges a töltés

sebességére, és a teret az adott helyen jellemző vektor irányára. A töltésre ható ún. Lorentz-

erő a kísérletek szerint a következőképpen számítható:

F = Q [v x B]

Itt B a mágneses indukcióvektor, mely az erőtér valamely pontjában a teret ábrázoló erővonal

érintőjének irányába mutat, ugyanúgy, mint az elektrosztatikus térben az E vagy a D vektor.


Az erő nagysága F = Q v B sin , iránya a töltés haladási irányára és a mágneses indukcióra

egyaránt merőleges. A fentiek alapján a mágneses indukciót a töltésekre kifejtett erőhatásával

definiálhatjuk.

4.6. ábra

Vizsgáljuk meg most a mágneses tér hatását egy áramhurokra is (4.7.ábra). A mágneses térbe

helyezett áramhurokra – akár az iránytűre – forgatónyomaték hat. A hurokban folyó áramot I-

vel, az áramhurok felületét A-val jelölve, a mágneses indukciót a nyomatékhatás alapján a

következő formulával definiáljuk:

IA

MB max

ahol maxM a hurokra ható maximális forgatónyomaték. Másképpen: a B mágneses indukció

nagysága egyenlő az egységnyi árammal átjárt egységnyi felületű áramhurokra ható

maximális forgatónyomaték nagyságával. Mértékegysége: Nm/Am2 = Vs/ m

2 = T.

Az A felülethez egy felületvektort rendelhetünk: az A vektort, a felület normálvektorát,

melynek irányát az áram irányában forgatott jobb csavar haladási iránya adja meg.

A mágneses térbe helyezett áramhurok felületvektora egyensúlyi helyzetben a mágneses

indukció irányába áll be.

A mágneses indukcióra kétféle definíciót

adtunk, az egyik az erőhatáson, a másik a

nyomatékhatáson alapszik. Lényegileg a

kettő nem különbözik egymástól, hiszen

mindkettő a mozgó töltés és a mágneses tér

kölcsönhatásából következik. Az áramhurok

a mágneses tér vizsgálatában ugyanazt a

szerepet tölti be, mint az elektrosztatikus

térnél a próbatöltés. Mindkét esetben arra

kell ügyelni, hogy saját terükkel

gyakorlatilag ne módosítsák a vizsgálandó

teret. Ezért a próbatöltésnek pontszerűnek és

kis töltésűnek, az áramhuroknak viszont kis

felületűnek és gyenge árammal átjártnak kell

lennie. Az áramhurokkal (vagy nevezhetjük

próbahuroknak is) feltérképezhetjük a

mágneses teret. 4.7. ábra


Az elektrosztatikus tér analógiájára a mágneses térben is értelmezhetjük a térerősséget: a

mágneses térerősség H a mágneses indukció és a mágneses permeabilitás hányadosával

értelmezett vektormennyiség: H = B/. Mértékegysége: Vs/m2

Am/Vs = A/m.

A a térkitöltő anyagra jellemző arányossági tényező, neve mágneses permeabilitás. Az SI

mértékrendszerben a vákuum permeabilitása: o = 4 10-7

Vs/Am, az ehhez viszonyított

relatív permeabilitással szorozva kapjuk az anyag tényleges permeabilitását:

= r o.

mindenkori értéke azonban függ az anyag mágnesezettségi állapotától is.

Vákuumban és homogén térkitöltő közegben a H vektor és a B vektor azonos irányúak.

A mágneses fluxus

A mágneses fluxust - az elektromos eltolási fluxussal analóg módon -, a B mágneses

indukció felületi integráljaként definiáljuk:

ABd

Mértékegysége 1 Vs = 1 Wb (weber).

Ha az erőtér ábrázolásánál az indukcióvonalakra merőleges felületegységen annyi erővonalat

veszünk fel, amennyi ott az indukció számértéke, akkor szemléletesen a fluxus tetszőleges A

felületre a felületen áthaladó indukcióvonalak számával lesz egyenlő. Az elemi fluxust a BdA

skalár szorzat definiálja.

Az elektrosztatika Gauss-tételénél láttuk, hogy az eltolási vektor zárt felületre vett fluxusa a

felület belsejében található töltések algebrai összegével egyenlő. A mágneses tér azonban –

szemben az elektrosztatikus térrel – dipólusok tere: a kétfajta mágneses töltés

szétválaszthatatlan. Ebből következően a mágneses erővonalak önmagukba visszatérő görbék,

így a Gauss-tétel értelemszerű alkalmazásából az következik, hogy egy tetszőlegesen

választott zárt felületre számított fluxusnak mindig zérusnak kell lennie:

∮

azaz a ki- és belépő erővonalak száma nem különbözhet. Ezt egyenértékű azzal a

megfogalmazással, hogy a mágneses tér forrásmentes, vagyis mágneses monopólusok

nincsenek.

A gerjesztési törvény

Ez a törvény az elektrosztatika Gauss tételéhez hasonló jelentőségű összefüggés, segítségével

a mágneses térerősséget - a tér szimmetriatulajdonságait is felhasználva – általában más

eljárásoknál egyszerűbben meghatározhatjuk. A törvény igazolásától itt eltekintünk, de

használhatóságát példán fogjuk szemléltetni. A gerjesztési törvény általános megfogalmazása

a következő:

Tetszés szerinti áramok mágneses terében a mágneses térerősségnek bármely S zárt görbe

mentén képezett integrálja egyenlő a görbe által határolt felületen áthaladó áramok

algebrai összegével, másképpen a gerjesztéssel (4.8. ábra).


∮ ∑

Olyan zárt görbére, amely az áramvezetőt nem hurkolja

körül, a mágneses térerősség vonalintegrálja

értelemszerűen zérus lesz.

A gerjesztési törvény szemléletes jelentése az, hogy a

mágneses tér forrásai az áramok. (Vö. a Gauss tétellel,

mely szerint az elektromos tér forrásai a töltések.)

Szolenoid mágneses tere. A 4.9. ábra N menetszámú, hosszú tekercset

D mutat, amelyben I = konstans gerjesztő

áram folyik. A tekercsben kialakult mágneses

tér erővonalai (a végektől eltekintve)

párhuzamosak (az erővonalak nem metszhetik

egymást), vagyis az erőtér homogén. A

mágneses tér a tekercs sűrű csévélése esetén a

tekercs belsejére korlátozódik, vagyis kívül a

térerősség zérusnak vehető.

A tér jellegéhez alkalmazkodva, az ábrán

berajzolt zárt görbét célszerű most felvenni.

Erre a görbére alkalmazzuk a gerjesztési

törvényt:

∮ ∮ , mivel csak a tekercs belsejében nem zérus az integrál értéke, és a görbe által határolt felületen átfolyó áramok

összege, vagyis a gerjesztés: NI.

A gerjesztési törvény szerint tehát a tekercsben a mágneses térerősség:

HNI

A mágneses tér térkitöltő anyagokban. A hiszterézis-görbe.

A térkitöltő anyagok módosítják a mágneses teret, az anyagokat külső mágneses térbe

helyezve különböző mágneses tulajdonságokat mutatnak.

A diamágneses anyagok relatív permeabilitása r < 1, azaz a külső térrel ellentétes mágneses

rendeződés lép fel az anyagban, de r csak kevéssé tér el az 1-től. Ezek az anyagok csak külső

mágneses térben mutatnak mágneses tulajdonságokat, és permeabilitásuk nem függ a külső tér

változásaitól. Ilyen anyagok pl. a réz, alumínium, ólom, bizmut, arany, higany, kén stb.

4.8. ábra

4.9. ábra


A paramágneses anyagok esetében r > 1, de az eltérés ebben az esetben sem jelentős, azaz

a mágneses rendeződés mértéke jelentéktelen.

A ferromágneses anyagoknál (pl.

vas, kobalt, nikkel) r >> 1, azaz a

külső tér hatására jelentősen megnő

az anyag mágneses rendezettsége. A

permeabilitás a külső tér nagyságától

is függ, ahogy az a 4.10. ábráról is

leolvasható. Az ábra a ferrománeses

anyagok mágnesezettségének

változását ábrázolja a külső tér

függvényében. Látszik, hogy a

kezdetben gyorsan mágneseződő

anyag mágnesezési görbéje, az ún

hiszterézisgörbe, fokozatosan

ellaposodik, ahogy az anyagban a

mágneses rendezettség szinte teljessé

válik. Ez a rendezettség aztán a külső

tér megszüntével sem tűnik el teljesen,

a visszamaradt Br remanens indukció anyagról anyagra más-más értékű. A remanencia

megszüntetése csak egy ellentétes irányú, Hc nagyságú térrel, - ez az ún. koercitív erő –

lehetséges. Minél nagyobb a koercitív erő, annál több munkát igényel a ferromágneses anyag

átmágnesezése. Ez a munka az anyagban hővé alakul, tehát veszteséget jelent. Ez a

hiszterézisveszteség, ami a hiszterézishurok területével arányos. Ha a veszteség kicsiny, lágy

máneses anyagról (lásd lágyvas) beszélünk, ha nagy, akkor kemény mágneses anyagról.

A ferromágneses anyagok mágneses tulajdonságaiért részben az atomszerkezetük (az ún.

kompenzálatlan spinű elektronokat tartalmazó alhéjak), részben pedig kristályszerkezetük

felel.

A hiszterézisgörbe alakját az ún. Weiss-

féle doménelmélet magyarázta meg.

Eszerint a ferromágneses anyagokban

apró, azonos mágnesezettségű

tartományokat, más néven doméneket

találunk, melyek külső tér hiányában

egymás hatását lerontják. Amikor

azonban az anyag külső térbe kerül, az

annak megfelelő irányítottságú domének

fala eltolódik a többi rovására (4.11.

ábra), és a megváltozott állapot a tér

kikapcsolása után is fennmarad. Az

ellenkező irányú mágneses térben megint csak az annak megfelelő irányú domének kezdenek

növekedni, amíg az egész anyagban dominánsakká nem válnak.

4.10. ábra

4.11. ábra


5. AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ, VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK

Az előző fejezetekben azt láttuk, hogy a nyugvó töltések, ill. a térben vagy a vezetőben

állandó sebességgel mozgó töltések időben változatlan tereket hoznak létre. A téregyenletek

vagy csak elektromos, vagy csak mágneses mennyiségeket tartalmaznak, azaz a sztatikus

elektromos és a sztatikus mágneses tér független egymástól.

Ebben a fejezetben az elektromos és a mágneses tér kapcsolatával, kölcsönhatásával

foglalkozunk. Ez a kölcsönhatás csak akkor figyelhető meg, ha a terek nem sztatikusak, azaz

akár az elektromos, akár a mágneses tér időben változó. Ilyen esetben az addig függetlennek

tűnő terek hirtelen egymástól szét nem választható elektromos és mágneses tulajdonságokat

mutató, ún. elektromágneses térként viselkednek.

A mozgási indukció, a Neumann- törvény.

Az elektromágneses indukciónak ez a fajtája akkor áll elő, ha állandó mágneses térben vezetőt

mozgatunk. Mozgassunk egy B indukciójú homogén mágneses térben egy ℓ hosszúságú

vezetőt állandó v sebességgel az 5.1. ábra szerinti elrendezésben. Ilyenkor a vezetővel együtt

mozgó szabad elektronokra a mágneses tér erőt fejt ki (Lorentz-erő):

],[ q BvF

ami az elektronok negatív

töltése miatt az ábrán

feltüntetett irányba mutat, és az

elektronokat a vezető egyik

végébe hajtja. A töltésáramlás

a vezetőben azonban hamar

megszűnik, mivel a

szétválasztott töltések között

fellépő QE elektromos

vonzóerő gyorsan növekedik.

Az egyensúlyi állapotban a két

erő egyenlő, így:

.BvE

Az indukált térerősség csak a vezető mozgásának idejére áll fenn, és úgy viselkedik, mint egy

feszültségforrás:

. U

B]d[vEdl

A kapott összefüggés a Neumann törvény.

Esetünkben a tér homogenitása miatt U = vBlsin, ahol a v és B vektorok által bezárt szög.

Mivel az ábra szerint a sebesség és a mágneses indukció merőlegesek egymásra, ezért az

indukált feszültség U = vBl nagyságú lesz.

5.1.ábra


A nyugalmi indukció, Faraday indukciótörvénye

A nyugalmi elektromágneses indukció jelensége nyugalomban levő vezető és időben változó

mágneses tér esetén lép fel. Ha egy zárt vezetőt változó mágneses térbe helyezünk, akkor a

vezető által határolt felületen mérhető mágneses fluxus változásának sebességével arányos

feszültség fog indukálódni a vezetőben:

.dt

dΦ- U

Ez Faraday törvénye, mely szerint valamely zárt vezetőben indukált feszültség arányos a

vezető által határolt felületen átmenő indukciófluxus időegységre eső megváltozásával.

A képletben szereplő negatív előjel az ún. Lenz-szabályra utal: az indukált feszültség iránya

mindig olyan, hogy az általa indított áram mágneses terével akadályozza az indukáló hatást.

Faraday törvénye a Neumann-törvényből levezethető. Mivel az indukált feszültséget csak a

fluxusváltozásból számítja, ezért mind nyugalmi, mind mozgási indukció esetében

használható.

Az önindukció

Ez a jelenség a nyugalmi

indukció egyik speciális

esete, amikor egy

feszültség alatt álló

tekercsben az áramerősség

megváltozása hozza létre

az (ön)indukciós

feszültséget (5.2. ábra). Az

ábrázolt kapcsolásban az R

ellenállás segítségével

szabályozhatjuk az

áramerősséget az N menetszámú, A keresztmetszetű, hosszúságú tekercsben. Légmagos

tekercsben (szolenoidban) a tekercs fluxusát jó közelítéssel az egy menetre számolt fluxus N-

szeresének vehetjük: = N BA. Mivel B = H , továbbá a tekercsben H= NI/, ezért a

tekercs fluxusa

I L IA

μNΦ 2

alakba írható, ahol a tekercs geometriájára jellemző állandókat és a permeabilitást egyetlen

együtthatóba szokás foglalni, az L önindukciós tényezőbe (induktivitásba). Az induktivitás

mértékegysége a henry: 1 H = 1 Vs/A. Az induktivitás nagymértékben megnövekszik, ha a

tekercsbe vasmagot helyezünk. Mivel a ferromágneses anyagok permeabilitása nem

tekinthető állandónak, ezért L sem az.

Ha a tekercsben folyó áram erőssége változik, akkor Faraday törvénye értelmében

dt

diL

dt

dΦU ,

5.2. ábra


tehát az önindukciós feszültség nagysága egyenesen arányos az időegységre eső

áramerősségváltozással. Irányát a Lenz-szabály határozza meg.

A kölcsönös indukció, a transzformátor

Ez a jelenség közös

fluxussal csatolt tekercsek

esetén lép fel. Az 5.3. ábra

két, L1, ill. L2 induktivitású

tekercset ábrázol, szorosan

egymás mellé tekercselve.

Ha a tekercsek sűrűn

csévéltek, akkor ugyanazok

az erővonalak haladnak át

rajtuk. (A csatolás még

szorosabbá tehető, ha a két

tekercset ugyanarra a magra

tekercseljük.)

Kapcsoljunk most az ábra szerint feszültséget az egyik tekercsre, miközben a másik kapcsait

nyitva hagyjuk. Ekkor - ha az első tekercsben megváltozik az áramerősség – mindkét tekercs

fluxusváltozását az első tekercs árama határozza meg. Az első tekercsben természetesen

önindukciós feszültség lép fel, míg a második kapcsain a Faraday-törvény szerint

dt

diNμN

dt

dΦ

2u 11

22

2

A

feszültség indukálódik, mivel a második tekercs fluxusát az első tekercsben keletkező

térerősség határozza meg. Az együtthatókat az M kölcsönös indukciós együtthatóba foglalva,

a kölcsönös indukció során keletkezett feszültségre a következő kifejezést kapjuk:

dt

diMu 1

2 .

A kölcsönös indukció elvén működnek a transzformátorok, ahol a tekercsek szoros csatolását

közös, általában zárt vasmagon keresztül biztosítják. A primerkör váltakozó áramú gerjesztése

következtében a szekunder tekercsben feszültség indukálódik. A transzformátor terheletlen

állapotában a szekunder tekercsben áram nem folyik.

Szinuszos váltakozó feszültség előállítása

A váltakozó feszültség előállításának csak a fizikai alapjaival foglalkozunk azon sematikus

generátormodell alapján, melyet az 5.4. ábrán vázoltunk. Itt homogén mágneses térben

vezetőkeret forog állandó szögsebességgel. A vezetőkeret kivezetései csúszógyűrűkhöz

(Cs) csatlakoznak, amelyekről álló szénkeféken (Sz) keresztül jut a feszültség az A-B

kapcsokra. Az a/ ábra azt a fázishelyzetet mutatja, amikor a mágneses tér indukcióvonalai (a

rajzon X ) merőlegesek a vezetőkeret A=D felületére. Ekkor a B indukcióvektor és az A

felületvektor megegyező irányúak. A b/ ábra az = t általános fázishelyzetet mutatja az

előbbihez ( =0) viszonyítva. A vezetőkeret forgása következtében változik a tekercs fluxusa

is: = BAcos .

5.3. ábra


5.4. ábra

Figyelembe véve az = t összefüggést, a tekercsfluxus az idő függvényében = BAcost

alakba írható. Az indukciótörvény alapján az indukált feszültséget a fluxus deriválásával

kapjuk meg:

.sindt

dU tBA

Φ

Az A-B kapcsokon tehát szinuszosan váltakozó feszültség jelenik meg, amelynek maximális

értéke Um = BA. Ezzel a feszültség változása az idő függvényében a következő általánosan

használt alakba írható:

U = Um sin t.

A képletben szereplő a váltakozó feszültség körfrekvenciája, amely az f frekvenciával, ill. a

T periódusidővel is kifejezhető: = 2f = 2/T.

Váltakozóáramú mennyiségek és váltakozó áramú körök

A váltakozó mennyiségeknek gyakori, de mégis speciális fajtája az, amely szinusz

függvénnyel irható le. (Ilyen például az elektromos hálózat is, amelynél a frekvencia f=50

Hz.) Általában váltakozó feszültségnek, ill. áramnak nevezünk minden olyan feszültséget és

áramot, amely periodikus függvénnyel írható le. A periódushossz kifejezhető a T =1/f

periódusidővel, vagy az annak megfelelő T=2 fázisszöggel. Egy, a fenti

követelményeknek megfelelő i = i(t) függvényt mutat az 5.5. ábra.

5.5. ábra

A váltakozó áram vagy feszültség megadását első ránézésre éppen az nehezíti, hogy minden

pillanatban más értéket vesz fel. Ezért vált szükségessé a feszültség középértékének

definiálása. Ilyenkor mindig valamely időbeli középértékről van szó, amellyel a váltakozó


feszültség függvényét helyettesíthetjük. (Pl. a váltakozó áramú ampermérő vagy voltmérő

nem követi az áramerősség vagy feszültség ingadozását, hanem meghatározott, állandó

értéket mutat.) A leggyakrabban használt középérték az effektív érték.

Az effektív értéket a függvény négyzetének egy periódusra vett átlagértékéből számítjuk:

,)(0

22

T

effdttiTI

azaz

.)(1

0

2dtti

TI

T

eff

Ez az integrálközépérték az áram munkájával van összefüggésben. Ha az Ieff2T kifejezést

megszorozzuk R-rel, akkor az áramnak az R ellenálláson T idő alatt végzett munkáját kapjuk:

.2RTIW

eff

Ennek alapján a váltakozó áram effektív értéke megfelel annak az egyenáramnak, amely

valamely R ellenálláson T idő alatt ugyanannyi munkát végez.

Mivel a gyakorlatban az effektív érték használata a leggyakoribb, az eff indexet

általában nem írjuk ki. A továbbiakban az Ieff = I jelölést alkalmazzuk. A fenti definíciók

értelemszerűen alkalmazhatók a feszültségre és egyéb váltakozó mennyiségekre is.

Alkalmazásképpen álljon itt az i = Im sint függvénnyel leírt szinuszos áram effektív értékének számítása:

.sin1

0

222 dttIT

IT

m

A 2

212 tcostsin

linearizáló formulát felhasználva

,2

2cos2

2

00

2

2 mTT

mI

dttdtT

II

mert a második integrál zérust ad eredményül, mivel a cos 2t függvény T/2 szerint periodikus. Így

.2

mI

I

A szinuszos váltakozó áram effektív értéke tehát a maximális érték 2 -ed része.

A hazánkban rendszeresített hálózati feszültség szinuszos, frekvenciája 50 Hz, effektív értéke U =230 V.

Fázisviszonyok a váltakozó áramú körökben

A váltakozó áramú körök leggyakoribb kapcsolási elemei az R ohmos ellenállás, az L

induktivitású tekercs és a C kapacitással megadott kondenzátor. A három kapcsolási elem az

egyenáramú áramkörökhöz hasonlóan lehet sorba, párhuzamosan vagy vegyesen kapcsolva.

A tekercs és a kondenzátor az ohmos ellenálláshoz hasonlóan a töltésáramlással szemben

ellenállást jelent, de ezen kívül fáziseltolást is eredményez a rajta átfolyó áram és a kapcsán

mérhető feszültség között.

Először megvizsgáljuk a három kapcsolási elemnek a váltakozó áramra gyakorolt hatását.

a) Tiszta ohmos ellenállás (5.6. ábra): ha tUu m sin , akkor Kirchhoff huroktörvénye

szerint 0 iRu . Az i áramerősség az u(t) függvény behelyettesítésével tR

Ui m sin


5.6. ábra

Az Um/R hányados Ohm törvénye alapján az áramerősség Im maximális értékét adja meg. Ezt

figyelembe véve

tIi m sin

Összehasonlítva az u(t) és i(t) függvényeket látható, hogy tiszta ohmos ellenállás esetén az

áramerősség azonos fázisban változik a feszültséggel (5.7.ábra).

5.7. ábra

b) Tekercs áramköre, tiszta induktív ellenállás:Az L induktivitású ideális (ohmos ellenállása

zérus) tekercsre koszinuszos feszültséget kapcsolunk (5.8. ábra).

.cos tUum

5.8. ábra

A feszültség hatására frekvenciájú, időben váltakozó áram folyik az áramkörben,

amely a tekercsben dt

diLu feszültséget indukál. A huroktörvény szerint:

.0dt

diLu

Ezt a szétválasztható differenciálegyenletet integrálva megkapjuk az i= i( t) függvényt:


.sin CtL

Ui m

A t=0; i=0 kezdeti feltétel felhasználásával C=0. Az Lω

mU

kifejezés az áramerősség

maximális értékét adja.

Ohm törvénye alapján a nevezőben szereplő L ellenállás-jellegű mennyiség, amelyet XL-lel

jelölünk, és a tekercs induktív reaktanciájának nevezzük: .LXL

Az induktív reaktancia frekvenciafüggő, vagyis ugyanazon tekercsnek különböző frekvenciájú

váltakozó árammal szemben más az ellenállása.

A koszinuszosan váltakozó feszültség hatására az ideális tekercs áramkörében szinuszos

áram folyik, amely /2 fázisszöggel késik a feszültséghez képest:

2cossin

tItIi mm .

Az áram és feszültség közötti fázisviszonyt az 5.9. ábra szemlélteti. A tekercs

fáziskésleltető hatása az önindukció jelensége miatt lép fel.

5.9. ábra

A tárgyalt eset ideális tekercsre vonatkozik, amelynek csak induktív ellenállása van.

Gyakorlatilag ilyennek tekinthető az a valóságos tekercs is, amelyre fennáll, hogy R<< XL.

Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a tekercs áramkésleltető hatása kisebb mértékű, és a

fáziseltolás szöge 0 < < /2 határok között van. Az ilyen tekercset a számításokban sorba

kapcsolt tiszta induktív és ohmos ellenállással vehetjük figyelembe.

c) Kondenzátor áramköre, a tiszta kapacitív ellenállás: Az 5.10. ábrán látható C kapacitású

kondenzátorra tUu mm sin szinuszosan váltakozó feszültséget kapcsoltunk.


5.10. ábra

A váltakozó feszültség hatására a kondenzátor félperiódusonként feltöltődik és kisül, majd

ellentétes polaritással ismét feltöltődik és kisül. A kondenzátoron a töltés valamely t

időpillanatban legyen Q, feszültsége u. A kondenzátorok alapegyenlete (Q=CU) szerint:

C

qu . Az áramkörben a feszültségek összege a huroktörvény szerint:

,0C

qsinωiUm

ahonnan .sin tCUqm

Mivel az áramerősség

dt

dqi , ezért

tUCi m cos .

A CUm kifejezés az áramerősség maximális értékét adja: Im=CUm.

Ohm törvénye alapján a kondenzátor kapacitív ellenállása, vagyis a kapacitív reaktancia:

Cω1X c , amely az induktív reaktanciához hasonlóan frekvenciafüggő. A szinuszosan

váltakozó feszültség hatására a kondenzátor áramkörében tehát

2sincos

tItIi mm

áram folyik, amely a feszültséghez viszonyítva /2 fázisszöggel, azaz T/4 periódussal siet.

Az 5.11.ábra szemlélteti a feszültség és az áram fázisviszonyát.

5.11. ábra

Mindez az ideális kondenzátorra igaz, amelynek fegyverzetei között vákuum vagy tökéletes

szigetelő van, és amely ezáltal egyenárammal szemben végtelen nagy ellenállást jelent. A


valóságos kondenzátort párhuzamosan kapcsolt tiszta kapacitív és ohmos ellenállással

vehetjük figyelembe. Ebben az esetben a fáziseltolás szöge 0 < < /2.

A váltakozó áram munkája és teljesítménye Az áramforrásból és fogyasztókból álló zárt váltakozó áramú körben, mint láttuk,

általában fáziseltolás van a tápláló feszültség és az áramkörben folyó áram között. Például

egy elektromos motor, mint fogyasztó, ohmos és induktív ellenállást jelent, és így soros R-L

áramkörnek tekinthető. Az általa mechanikai munka formájában hasznosított elektromos

energia nagymértékben függ attól is, hogy milyen fázisviszonyok alakulnak ki az

áramkörében. A feszültség- és áramfüggvények fáziseltolást feltételezve :

u(t) = Um sin t; i(t) = Im sin (t + ).

A pillanatnyi teljesítményt az áramerősség és a feszültség szorzataként kapjuk:

p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin t sin (t+).

A sin sin = 2

1 (cos (-) – cos(+)) azonosság felhasználásával:

p(t) = u(t) i(t) =2

1Um Im (cos(-)-cos (2t+)).

Mivel 2

mUU , illetve

2

mII , továbbá cos(- ) = cos, így a teljesítményfüggvény:

tUIUItp 2coscos .

A váltakozó áramú teljesítmény tehát két komponensből tevődik össze: a

cosUIPh hatásos teljesítményből, amely nem függ t-től, és az tUI 2cos

teljesítmény komponensből, amely az áram és a feszültség frekvenciájának kétszereséveI (2)

változik (5.12. ábra). A hatásos teljesítményre szuperponálódik a váltakozó

teljesítménykomponens. A hatásos teljesítmény mértékegysége: [Ph] = W (watt).

5.12. ábra


A váltakozó áram dt idő alatt végzett munkája a teljesítmény dt

dWp definíciója alapján:

dttpdW . A T periódus alatt végzett munka tehát a

T

dttpW0

integrállal számítható, amely grafikusan a p(t) görbe alatti területtel szemléltethető. A

területre előjeles számot kapunk. Fizikailag a pozitív munka a fogyasztó által felvett munka,

mivel a fogyasztónál az áramerősség és a feszültség iránya (és így előjele is) megegyezik. A

negatív munka az áramforrás által leadott munka, mivel az áramforráson az áramerősség a

kapocsfeszültséggel ellentétes irányú. Ha elvégezzük el az integrálást:

T T

dttUIdtUIW0 0

2coscos

az első integrál értéke: PTTcosUI , a második integrál eredménye zérus, mivel az

integranduszban T/2 szerint periodikus függvény szerepel. Munkát tehát csak a hatásos

teljesítmény végez, az elnevezés is ebből adódik. Ennek alapján a hatásos teljesítmény úgy

értelmezhető, mint a váltakozó teljesítmény időbeli középértéke:

.1

0

T

hdttp

TP

A hatásos teljesítmény értéke az áramerősség és a feszültség effektív értékein kívül függ még

cos -től, amelyet teljesítménytényezőnek hívunk.

A p=p(t) függvény 2 frekvenciával váltakozó komponensét meddő teljesítménynek

nevezzük, mivel T periódus alatt végzett munkája mindig zérus. Megmutatható, hogy ezen

komponens amplitúdója Pm=UI sin, az időtől független meddő teljesítmény.

A hatásos és meddő teljesítményen kívül használatos még az ún. látszólagos teljesítmény,

amelyet az áramerősség és a feszültség effektív értékeinek szorzataként értelmezünk.

Mértékegysége: VA.

Komplex mennyiségek bevezetése Szinuszos áramú hálózatokban az áramerősségek és feszültségek szinuszosan változnak. Az

ilyen jeleket szinusz- és koszinusz függvényekkel egyaránt leírhatjuk, csupán a t = 0

időpillanat megváltozásától függ, hogy melyik függvényt alkalmazzuk. Ezen időfüggvények

általánosan a következő alakba írhatók:

u(t) = Um sin(ωt+1); i(t) = Im sin(ωt+2),

ahol 1 és 2 a feszültség, ill. az áramerősség kezdő fázisszöge. Az áram és feszültség közötti

fáziseltolási szöget a = 1 - 2 fázisok különbségeként értelmezzük. Általában a t = 0

időpont megfelelő megválasztásával az egyik mennyiség kezdőfázisa zérusnak vehető.

A fenti időfüggvényekkel számolva az áramkörökre felírt Kirchhoff egyenletek

differenciálegyenletekhez vezetnek. Pl. az 5.13. ábrán látható soros RLC körre a következő

egyenlet írható fel:

,sin1 tUidt

CRi

dt

diL

m


5.13. ábra

ahol a baloldalon rendre a tekercsen, az ohmos ellenálláson és a kondenzátoron eső UL , UR és

UC feszültségek szerepelnek. Az dt

dqi definíció figyelembevételével a differenciálegyenlet

tUC

q

dt

dqR

dt

qdL m sin

2

2

alakban írható, ami egy másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet.

Szinuszos hálózatoknál ezen egyenlet megoldása helyett lényegesen egyszerűbb út, ha

komplex időfüggvények bevezetésével a problémát komplex algebrai egyenletek megoldására

vezetjük vissza. E célból az 1 tcosUtu m valós időfüggvényhez az

tjj

m

tj

m eeUeUt 11

u (1)

egyenlettel megadott komplex időfüggvényt rendeljük. Ha ugyanis trigonometrikus alakba

átírjuk a komplex függvényt, vagyis

11

sincos tjtUtm

u ,

akkor a valós rész a kiindulásként felvett koszinuszos feszültséget adja. Ha szinuszos

feszültségből indulunk ki, akkor annak a komplex függvény képzetes része felel meg. A

komplex időfüggvényeknél tehát vagy a valós, vagy a képzetes résznek tulajdonítunk fizikai

realitást. A komplex áramerősség hasonlóképpen

tjj

m

tj

meeIeIt 22

i (2)

alakban írható fel.

A komplex időfüggvények komplex abszolút értéke a feszültség, ill. az áramerősség komplex

amplitúdója:

. . , 21 j

m

j

meIilleU

mmIU

Mivel szinuszos mennyiségekről van szó, 2 -vel osztva az effektív értéket kapjuk. A

komplex effektív értékeket a feszültség és áramerősség effektív értékével kifejezve: 21 . ,

jjIeillUe IU

Az (1) és (2) kifejezéseket az Um , ill. Im komplex amplitúdókkal a következő alakba írhatjuk:

)1(1

tjtjj

meeeU

mUtu (3)

)2(2

tjtjj

meeeI

mIti (4)

Az Um , ill. Im komplex mennyiségek a komplex számsíkon egy-egy vektorral ábrázolhatók,

melyeket ω szögsebességgel pozitív irányba körbeforgatva, az (1) és (2) egyenlettel megadott


időfüggvényeket írják le. Az 5.14a. ábrán a t = 0 időpillanatban ábrázoltuk a komplex

vektorokat. Ekkor

. . , 1mm

ItiUtu illése tj

5.14. ábra

Az 5.14b. ábra egy negyed periódussal későbbi fázishelyzetet mutat, amikor

mm Iti Utu jjjeej

Tj

ill.,vagyis,24

Tehát a j-vel való szorzás a vektoroknak 900-kal való elforgatását jelenti. Egy hálózat

vektorábrájának elkészítésénél a t=0 időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg. Ez azt

jelenti, hogy egy áram vagy feszültség fázisszögét szabadon választhatjuk, de ezzel a hálózat

valamennyi áramának és feszültségének a fázisszögét rögzítettük.

A komplex Ohm-törvény

Ha az egyenáramú Ohm-törvénybe a feszültséget és az áramerősséget komplex

mennyiségként helyettesítjük be, az Ohm törvény komplex alakját kapjuk:

)(j

j

m

j

m

tjj

m

tjj

m eeI

eU

eeI

eeU21

2

1

2

1

I

U

ti

tuZ

A Z impedancia az Um és Im komplex amplitúdók hányadosával egyenlő, amely viszont a

komplex effektív értékek hányadosával egyezik meg:

. vagyis IZU ,I

UZ

I

U

I

U

m

m (5)

A fenti összefüggés az Ohm-törvény váltakozó áramokra általánosított alakja, amely a

komplex effektív értékek és a komplex impedancia közötti összefüggést adja meg az

egyenáramú köröknél megismert formában.

Visszatérve az impedanciára, a


)21(

I

U

jeZ

összefüggésben az I

U hányados a komplex impedancia Z abszolút értéke, a 21 pedig az

ún. impedanciaszög, amely a feszültség és az áramerősség közötti fáziseltolás szögének felel

meg. Tehát a komplex impedancia általánosan: jZeZ

alakba írható. Az impedancia időtől független komplex szám.

Váltakozó áramú körök impedanciájának számítása

a.) Tiszta ohmos ellenállás: az R paraméterrel megadott ellenállásra váltakozó feszültséget

kapcsolva, az áramkörben folyó áram a feszültséggel fázisban van, tehát 1 - 2 =0

,I

U

I

U )21(Re

j

Z

vagyis az impedancia valós szám.

b.) Tiszta induktív ellenállás: L induktivitású tekercsre váltakozó feszültséget kapcsolva, az

áramerősség 2

fázisszöggel késik a feszültséghez képest, tehát 1 - 2 =π/2, így

.I

U

I

U2)21(

j

jee

Z

A feszültség és az áramerősség effektív értékének hányadosa az XL induktív reaktanciát adja

meg, 2

j

e viszont j-vel egyenlő. Így

LjX

LZ

vagyis az impedancia tiszta képzetes szám.

c.) Tiszta kapacitív ellenállás: C kapacitású kondenzátorra váltakozó feszültséget kapcsolva,

az áramerősség 2

fázisszöggel siet a feszültséghez képest, tehát 1 - 2 =-π/2, és

.I

U

I

U2)21(

j

jee

Z

Az I

U hányados az XC kapacitív reaktanciával egyenlő, 2

j

e

viszont –j alakban írható. Tehát

,C

jXC

Z

vagyis az impedancia tiszta képzetes szám.

Ohmos és reaktív ellenállásokat tartalmazó áramköröknél az eredő impedancia valós és

képzetes részt is tartalmazó komplex szám. Az impedancia valós része az R ohmos ellenállás,

a képzetes része az X reaktancia. A komplex impedancia általánosan tehát a következő

alakban írható fel: .jXR Z

Az impedancia abszolút értéke ilyenkor:

.22 XRZ


Az impedancia szöge:

.R

Xarctg

A komplex impedancia reciprokát admittanciának nevezzük, és Y-nal jelöljük.

.jBG Z

1Y

A G valós rész a hatásos vezetőképesség, a B képzetes rész pedig az ún. szuszceptancia.

Az admittancia abszolút értéke:

Az admittancia szöge:

.G

Barctg

y

Az admittancia értelmezéséből következik, hogy az abszolút értéke az impedancia abszolút

értékének reciproka, az arkusza pedig az impedancia fázisszögének –1-szerese. Ugyanis

.11

ajj

jYee

ZZe

Y

Az előzőekben tárgyalt speciális esetekre felírva az admittanciákat:

,1

RG

RY

,

1L L

L

jBjX

Y

.1

C C

C

jBjX

Y

Egyszerű váltakozó áramú körök számítása. A komplex Kirchhoff-törvények.

A soros RLC kör

Az 5.15. ábrán vázolt ún. soros RLC körre Kirchhoff huroktörvényét most értelemszerűen

komplex mennyiségekkel kell felírnunk:

n

kU1

0k

Azaz: váltakozó áramú körökben

bármely áramhurokban a komplex feszültségek összege zérus. A soros körre tehát:

0 CLR UUUU ;

ill.

0 CL XjXjR IIIU .

5.15. ábra

Az áramerősséggel való osztás és az egyenlet rendezése után az eredő impedancia :

;CL

XXjR Z

22

CL XXRZ

.Y 22 BG


Az impedancia szöge pedig:

R

XXarctg CL

A impedanciaszög előjele az XL és XC

reaktív ellenállások nagyságától függ. Az

5.16. ábrán XL > XC esetre ábrázoltuk az

impedanciát, ekkor >0. Mivel az

impedanciaszög a feszültség és az

áramerősség közötti fáziseltolási szöget adja

meg, = 1-2, ezért ebben az esetben 2 <

1, vagyis az áram késik a feszültséghez

képest (az áramkör induktív jellegű).

Ellenkező esetben (XL < XC) kapacitív

jellegű az áramkör, vagyis 2 > 1.

Speciális eset adódik akkor, ha XL = XC .

Ekkor UL=UC, Z = R és = 0, vagyis az áramkör tiszta ohmos ellenállásként viselkedik. A

két reaktív elemen ekkor a feszültség minden pillanatban megegyezik és többszöröse lehet a

tápfeszültségnek. Mivel a két feszültség ellentétes, ezért összegük bármely pillanatban zérus,

és az áramforrás összes feszültsége az ellenállásra esik. Ezt az esetet feszültségrezonanciának

nevezzük. Az áramkörben rezonancia esetén maximális áram folyik. A feltételből következik,

hogy a rezonanciafrekvencia:

LCr

1 ill.

LCf r

2

1 .

A feszültség és az áramerősség viszonyát az ún. feszültség-áram vektorábrán szemléltethetjük

(5.17. ábra). Mivel időfüggvények pillanatnyi fázishelyzetének ábrázolásáról van szó, ezért a

t időpillanatot tetszőlegesen választhatjuk meg. Soros áramkörök esetén ezt célszerű úgy

megválasztani, hogy az I komplex áramvektor

éppen a valós tengelyre essék. Soros

áramköröknél azért célszerű az áramvektort

alapul venni, mert az összes elemen ugyanaz az

áram folyik keresztül, viszont a feszültségek

nagyságban is, fázisban is eltérnek. Az ábra azt

az esetet mutatja, amikor CL XX , tehát

CL UU . A komplex feszültségvektorok

összegzése alapján megkapjuk az áramforrás U

feszültségét, amely fázissal megelőzi az I

vektort. Az ábrázolt áramkör tehát induktív

jellegű, mert az áramerősség késik az áramforrás

feszültségéhez képest fázisszöggel.

A párhuzamos RLC kör

Kirchhoff csomóponti törvénye most komplex alakban érvényes:

n

k 1

0kI , azaz

váltakozó áramú körökben bármely csomópontban a komplex áramerősségek összege zérus.

5.16. ábra

5.17. ábra


Alkalmazzuk a csomóponti törvényt a párhuzamosan kapcsolt R, L, C elemekből álló

áramkörre (5.18. ábra). Az U feszültséghez képest fázisban eltolt áramok folynak az egyes

ágakban.

;0CLR

IIII

ahol

,GUIR

,

LBjUI

L

.

CBjUI

C

Behelyettesítés, majd a feszültséggel való

egyszerűsítés után az eredő admittancia:

.LC

BBjG Y

Az admittancia abszolút értéke:

.22

LCBBGY

Az admittancia szöge: .G

BBarctg LC

y

Az 5.19. ábra az XL > XC azaz BL < BC esetet

szemlélteti. Mivel most a >0, ezért a fázisszög

negatív (2 > 1), tehát az áramerősség siet a

feszültséghez képest. (Az áramkör kapacitív jellegű,

de hasonlóan a soros áramkörhöz, itt is további két

eset, a 2 < 1 és a 2 = 1 lehetséges).

Az admittancia ismeretében a Z impedanciát már

egyszerűen megkapjuk, mivel abszolút értéke

YZ

1 , fázisszöge pedig a .

Ennél az áramkörnél is megvalósulhat az az eset, hogy I és U fázisban vannak, vagyis tiszta

ohmos ellenállásként mutatkozik az áramkör. Ezt az esetet áramrezonanciának nevezzük,

mivel a reaktív ellenállásokon az áramerősségek megegyeznek. A tekercs és a kondenzátor

által képezett hurokban lényegesen nagyobb áramok folyhatnak, mint a főágban, de ellentétes

fázisuk miatt minden pillanatban az eredőjük zérus. A rezonancia feltétele ugyanaz, mint a

soros RLC körnél:

CL XX , ill. ,CL

II

,1

LCr ill. .

2

1

LCf

r

Az áramkör impedanciája rezonancia esetén tiszta

ohmos.

Az 5.20. ábrán látható feszültség-áram vektorábra is

arra az esetre vonatkozik, amikor CL XX . A

kondenzátor-ágban nagyobb áram folyik, mint a

tekercs-ágban, az admittanciaszög pozitív, tehát a

csomópontba befolyó I áramerősség vektora az U

vektor előtt fázisszöggel siet.

5.18. ábra

5.19. ábra

5.20. ábra


Irodalom

Fizika I.-II. főiskolai jegyzet , BDGMF , 1978.

Budó: Kísérleti fizika I.-II. , Tankönyvkiadó, 1975.

Feynman: Mai fizika , Műszaki Könyvkiadó, 1970.

Duncan: Physics, Advanced Level Textbook, John Murray, 1987.

Fizika I. Jegyzet (Pápay Kálmán)

Documents

Transcript of Fizika I. Jegyzet (Pápay Kálmán)