Fizi a povestit Cristian Presuraîn lu ruApril 19, 2010

iObservatii:• Dia riti ile nu au fost in a integrate.• Permisiunile pentru materiale preluate nu au fost in a erute.• Paginatia este aleasa doar pentru a � printata usor pe unA4. Ea se poate s himba.

ii

Contents1 Me ani   11. Lumea material  este ordonat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Limbajul naturii este matemati a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Despre Godel s, i limitele intrinse i ale matemati ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Astronomia în epe u ies, irea din meditat, ie s, i m surarea mis,  rii as,trilor eres,ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. Cum putem m sura u un b t, raza întregului P mânt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. De e nu s-a învârtit P mântul pentru mii de ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Avantajul pra ti al stelelor �xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Umbra e as unde m rimea Lunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. Cum putem m sura distant,a pân  la Soare f r  s  mergem a olo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610. Modelul lui Ptolemeu s, i oin ident,ele sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711. De e sistemul lui Coperni este on eptual superior elui al lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812. Povestea lui Kepler s, i num rul magi 1.0042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913. Galileo Galilei s, i  derea liber  a orpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114. Despre Newton s, i ele trei prin ipii ale me ani ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215. Des, i diferite on eptual, masa inert, ial  s, i masa gravitat,ional  sunt perfe t egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316. Cum ade Luna mereu pe P mânt, f r  s -i ating  vreodat  suprafat,a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417. De e se s himb  mareele de dou  ori pe zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518. Despre omete s, i mis, area elipti   a a estora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519. Cum a fost des operit  planeta Neptun din penit,a stiloului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1620. O teorie o înt,elegem bine atun i ând putem s rie un program pe omputer are s  simuleze numeri teoria . . . . 1721. Fort,a de atra t,ie gravitat,ional  dintre doi oameni este egal  u greutatea unei furni i, sau povestea lui Cavendish 1722. Energia în �zi   este un num r u unit t, i de m sur , nu o not, iune izoteri   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823. Not, iunile �zi e ne ajut  s  înt,elegem fenomenele, dar nu au existent,  de sine st t toare . . . . . . . . . . . . . . . 1924. Me ani a analiti  , sau despre um a ajuns o simpl  s,me herie matemati   s  �e "piatra din olt," a �zi ii . . . . 1925. Prin ipiul a t, iunii minime în me ani a analiti   s, i e uat, iile lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026. Prin ipiul lui Fermat s, i dilema salvamarului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ele tromagnetism 2927. Ele tri itatea a un jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928. Dopul de plut  s, i âmpul ele tri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029. Broas a ele tro utat  s, i aparit,ia bateriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3130. Polii magneti i nu pot � separat,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331. Câmpul magneti este generat de sar inile ele tri e în mis, are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3432. Câmpul magneti a t,ioneaz  asupra sar inilor în mis, are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3433. Cum a m surat Millikan sar ina ele tronului de pe o pi  tur  de ulei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3534. Cum a m surat Thomson raportul dintre sar ina ele tri   s, i masa ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3735. Num rul lui Avogadro ne spune âte mole ule sunt în dou  g let,i de gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3836. Cum putem estima masa s, i dimensiunea unui atom din experimentele de ele troliz  . . . . . . . . . . . . . . . . . 3937. Sar ina pozitiv  a atomilor este on entrat  în nu leu, iar ele tronii orbiteaz  în jurul a estuia . . . . . . . . . . . 4138. O s urt  enumerare a st rilor materiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4339. Materia vie, sau um er et m Universul în dire t, ia gres, it  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4440. Câmpurile magneti e variabile genereaz  âmpuri ele tri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4641. S, i âmpurile ele tri e variabile genereaz  âmpuri magneti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4742. E uat, iile lui Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4843. Despre um se genereaz  undele ele tromagneti e s, i um au fost ele m surate de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . 4944. Lumina este o und  ele tromagneti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5145. Os ilat,iile undelor ele tromagneti e s, i difra t, ia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5246. Cum a fost vizualizat âmpul ele tri al luminii abia a um ât,iva ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5547. Energia âmpului ele tromagneti este distribuit  în toate olt,urile spat, iului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5648. Generatorii ele tri i transmit energie e hipamentelor ele tri e prin âmpul ele tromagneti din aer . . . . . . . . . 5749. Cum are âmpul ele tromagneti masa inert, ial  s, i problema ele tronului lasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5950. Presiunea luminii s, i um am putea ânt ri lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6151. Potent, ialele âmpului ele tromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6352. Forma analiti   a âmpului ele tromagneti s, i densitatea de lagrangean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65iii

iv CONTENTS3 Relativitate restrâns  7153. Sistemele de referint,  inert, iale sunt e hivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7154. E uat, iile lui Maxwell sunt a eleas, i în toate sistemele inert,iale, sau um am zugr vit asa ve inului . . . . . . . . . 7255. Câmpurile ele tri e s, i magneti e iau valori diferite în sisteme de referint,  inert, iale diferite . . . . . . . . . . . . . . 7356. Viteza luminii este a eeas, i în ori e sistem de referint,  inert,ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7557. Viteza luminii nu depinde de vitez  sursei e o emite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7658. Lumina nu ir ul  prin "eter", pre um sunetul în aer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7759. P mântul nu antreneaz  eterul în mis, area sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8060. De e trebuie a timpul s  se dilate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8161. Dilatarea timpului are lo nu numai pentru easuri, dar s, i pentru atomi sau ardeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . 8262. Dilatarea timpului pentru sistemele ele tromagneti e se poate expli a lasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8363. Dilatarea timpului este un fenomen universal, valabil nu numai pentru efe tele ele tromagneti e . . . . . . . . . . 8464. Contra t,ia Lorentz ne spune   obie tele în mis, are vor � turtite în dire t, ia mis,  rii . . . . . . . . . . . . . . . . . 8565. Postulatele lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8666. Nu exist  un timp absolut, �e are îs, i du e u el propriul s u timp. Materia genereaz  spat, iul s, i timpul. . . . . . . 8767. Despre simultaneitatea absolut  e nu exist  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8868. Paradoxul gemenilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8969. Evenimentele se pot ordona într-un spat,iu-timp 4-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9170. Formularea lui Minkovski pentru spat,iu-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9571. Cum numai un simplu prin ipiu de re ipro itate ondu e la transform rile lui Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 9772. Masa inert, ial  a unui orp res,te u viteza lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9873. De e ni i m  ar informat, ia nu poate dep s, i viteza luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10074. Masa s, i energia sunt e hivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 Relativitate generalizat  10775. Teoria in omplet  a gravitat,iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10776. Prin ipiul e hivalentei si heia înt,elegerii relativit t,ii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10877. Geometria ne-eu lidian  exempli� at  de suprafat,a sferei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11078. Harta unei suprafet,e urbe si metri a sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11279. Metri a spatiu-timpului urb. Analogia u o sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11480. Corpurile se mis, a pe geodezi a temporal  a spat, iu-timpului, iar lumina pe geodezi a nul  . . . . . . . . . . . . . 11781. Metri a spat,iu-timpului este data de tensorul de energie al obie telor e sunt ont,inute în spat, iu . . . . . . . . . . 11982. Teoria relativitatii generalizate, sumarizata in trei relatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12183. Aproximarea e uat, iei lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12284. Metri a S hwarzs hild a spatiu-timpului urb din jurul unei stele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12385. Raza de lumin  se urbeaz  în âmp gravitat,ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12586. Spat, iul însus, i este urbat în apropierea stelelor masive. Lentile gravitationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12687. Fre vent,a luminii este deplasat  spre ros,u în âmpurile gravitat,ionale intense. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12888. Timpul este în etinit în âmpurile gravitat,ionale intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13189. Sistemele de navigat,ie GPS foloses teoria relativit t,ii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13390. Periheliul lui Mer ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13491. Undele gravitat,ionale au fost dete tate indire t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13492. Sistemul LIGO de dete t, ie dire ta a undelor gravitat,ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13593. O alatorie atre gaurile negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13794. Dovezi experimentale ale existentei gaurilor negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13995. Radiatia Hawking si "gaurile de vierme" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14196. Friedmann si expansiunea prezisa a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14397. Hubble si expansiunea masurata a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14698. Radiat,ia osmi   de fond, sau um s-a întune at Universul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14899. Materia întune at  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150100. Energia întune at  este responsabil  de expansiunea a elerat  a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153101. Din olo de Einstein, sau teoria dinami ii newtoniene modi� ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555 Me ani a uanti   161102. Radiat, ia orpului negru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161103. Un os ilator uanti are nivele dis rete de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162104. De e orpurile în  lzite apar înros, ite s, i nu alb strite... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163105. Lumina este uanti� at  în pa hete dis rete de energie, numite fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164106. Emisia sau absorbt,ia luminii are lo prin tranzit,ii între nivelele dis rete de energie ale atomilor . . . . . . . . . . 166107. Unda pilot a ele tronului si rezonant,a ei în atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167108. Unda de probabilitate a fotonului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169109. Unda de probabilitate a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172110. E uat, ia lui S hrodinger des rie evolut, ia undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175111. Colapsul undei de probabilitate, misterul me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176112. Superpozitia uanti  , statuia uanti a s, i pisi a lui S hrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178113. Prin ipiul de in ertitudine al lui Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182114. Spinul ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184115. Situatia mai multor parti ule. Bozoni s, i fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

CONTENTS v116. Postulatele me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188117. De oerent,a poate expli a olapsul undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191118. Cons,tiint,a nu are probabil de-a fa e u me ani a uanti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193119. Ipoteza universurilor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197120. Paradoxul masuratorii fara intera tie, sau um putem identi� a o bomb  a tivat  f r  s  o vedem . . . . . . . . 199121. Laserul, sau um putem obtine o stare de superpozitie uanti a în garaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202122. Cal ulatoarele uanti e exempli� ate pe tabla de sah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206123. Cal ulatoarele uanti e implementate u elemente opti e liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209124. Me ani a uanti   nu poate � expli at  lasi , prin variabile as unse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214125. Me ani a uanti   nu este o teorie lo al  u variabile as unde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215126. Paradoxul EPR si veri� area lui experimentala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216127. Teleportarea uanti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222128. Criptogra�a uanti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256 Me ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti   231129. Esent,a me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231130. Mis, area relativisti   a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232131. Pozitronul exist ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234132. St rile semi- lasi e din ele trodinami a uanti   si unda de probabilitate a Universului . . . . . . . . . . . . . . . 237133. De la ampul lasi la a doua uanti� are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238134. De la ampul lasi la parti ule singurati e in Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241135. Metoda lui Feynman pentru o parti ula fara spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244136. Diagramele Feynman: propagatorul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249137. Diagramele Feymann: Intera t,ia dintre ele troni s, i fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252138. Diagramele Feynman si multiplele pro ese virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254139. Parti ulele virtule si supa Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259140. Antiparti ulele pot � interpretate a niste parti ule are merg înapoi în timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261141. Diagramele Feynman in reprezentarea impulsului. Din nou despre parti ule virtuale. . . . . . . . . . . . . . . . . 263142. Problema in�nitatilor din ele trodinami a uanti   si masa in�nit negativa a ele tronului . . . . . . . . . . . . . 268143. Renormalizarea ele trodinami ii uanti e în metoda dimensional  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271144. Deplasarea Lamb s, i lungimea de und  Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274145. Momentul anomal al ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277146. Vidul uanti are nu este into mai ... vid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277147. Aspe te moderne ale vidului uanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797 Modelul Standard al parti ulelor elementare 287148. Putina re apitulare si punere in s ena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287149. Metode de observat,ie a noilor parti ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288150. A eleratoarele moderne de parti ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289151. Pionul, pre ursorul fort,ei nu leare tari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292152. Intermezzo: Despre �u tuatiile de energie, sau legea lui Murphy din me ani a uanti a . . . . . . . . . . . . . . . 294153. Familiile de parti ule: leptoni, barioni si mezoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297154. Ordinea as unsa a noilor parti ule si sar inile lor aditionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298155. Aparit, ia quar ilor: aromele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300156. Sistematizarea parti ulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301157. Quar ii s, i " ulorile" lor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302158. Intermezzo: Ele tri ianul si transformarile de etalonare ale potentialelor ele tromagneti e . . . . . . . . . . . . . 304159. Intermezzo: Experimentul Aharonov-Bohm si faza ele tronului privita a un grad de libertate intern . . . . . . . 306160. Intermezzo: Spatiul Kaluza-Klein u patru dimensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310161. Intermezzo: Manun hiurile de �bre si spatiile interne ale parti ulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312162. Invarianta la etalonare pentru romodinami a uanti   s, i simetria SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315163. Gluonii olorati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318164. Quar ii se ignor  la distant,e mi i s, i se atrag la distant,e mari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320165. De e nu se g ses quar i liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322166. Cateva uvinte despre " ulorile" quar ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323167. Intera tia ele tro-slaba: punere in s ena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324168. Neutrinul, pre ursorul fort,ei nu leare slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325169. Teoria lui Fermi pentru intera t,iile slabe si bozonul W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326170. Eli itatea neutrinului s, i ruperea simetriei de hiralitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328171. Intera t, ia slab  s, i simetria SU (2) x U (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330172. Ideea de baza a bozonului Higgs: asemanarea u teoria supra ondu torilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334173. "Înghetul" Universului si ruperea spontana de simetrie datorata bozonului Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338174. A hizit, ia de mas  pentru bozonul W si uni� area ele tromagnetismului u teoria intera tiilor nu leare slabe . . . 342175. A hizitia de masa a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344176. Quar ii s, i intera t,ia slab  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346177. Modelul standard al parti ulelor elementare. Re apitulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348178. Os ilatiile neutrinilor si masa lor nenul  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349178. O s urta, foarte s urta istorie a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

vi CONTENTS179. Modelul in�at, ionar al Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358180. Violarea simetriei dintre materie si antimaterie si a elei de sar ina-paritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362181. Supersimetria parti ulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364182. Marea Uni� are a fortelor fundamentale ale Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368183. În  utarea bozonului Higgs u a eleratorul Large Hadron Collider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371184. G urile negre mi ros opi e, un peri ol pentru Pamant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372185. Ce ne mai as,tept m s  g sim la LHC? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

1Capitol 1Me ani  1. Lumea material  este ordonat .Einstein spunea odat    lu rul el mai de neînt,eles desprelume este   lumea poate � înt,eleas . Ciudat, nu? Ne-am �as,teptat poate a lumea s  �e o ole t,ie haoti   de întâmpl ripun tuale s, i omplet imprevizibile, un Univers în are ori e sepoate întâmpla s, i ori ând. Dar nu, Universul îs, i are legile lui,pe are oamenii de s,tiint,  în ear   s  le s oat  la suprafat, .Ploaia, de exemplu, ade mereu de sus în jos s, i nu neas,tept m s  ne punem umbrela sub pi ioare atun i ând ies, imdin as . Aristotel este desigur printre primii are a apre iata east  ordine în Univers s, i p rintele s,tiint,ei. Dar nu despreel as, vrea s  spun ai i âteva uvinte, i despre divinitate.Unii istori i spun   noi am inventat divinitatea atun i ândam în er at s  ne expli  m lu rurile din jurul nostru s, i nu amputut. Atun i am invo at intervent,ia divin . O onse int,  aa estei teorii este  , odat  e am des operit   multe lu ruriîn Univers se întâmpl  în mod natural, f r  intervent,ia dire t a divinit t, ii, am în eput s  ne îndoim de prezent,a ei.C  i ai i este heia a estei ordini a Universului relevate des,tiint, : este independent , este autosu� ient . Ploaia ade desus în jos mereu, independent par   de voint,a divinit t, ii. Celput, in în lumea material  îl putem pune pe Dumnezeu deoparte,îl l s m doar s  priveas  ,   i lumea material  o putem ex-pli a f r  el. Este desigur put, in  autoironie ai i, dar pe de alt parte poate   ai i st  r d  ina adân   a ateismului modern:putem expli a lumea material  f r  prezent,a divinit t, ii.Pentru �zi ieni îns , paradoxal, a est fapt este el însus, i aun dar dumnezeies . C  i e poate � mai frumos de ât a pornipe a est drum lung, la ap tul  ruia putem expli a poate totUniversul însus, i, sau m  ar modul în are el fun t, ioneaz ?2. Limbajul naturii este matemati aS  �m atent, i s, i s  observ m   ordinea Universului o " itim" u limbajul matemati ii. Da   avem dou  monede de in i lei,s,tim   avem ze e lei în total. Da   trenul plea   din Bu ures,tila o or  s, i s,tim ât de repede merge, atun i putem prezi e ândajunge la Râmni u Vâl ea. Pozit, ia unei stele o m sur m pe er s, i o s riem în aiet u ajutorul unor numere. Putem prezi eunde se va a�  steaua peste dou  ore da   lu m în al ul rotat, iaîn jurul P mântului, adunând s, i înmult, ind numere. Et ., et ...Matemati a st  profund la baza �zi ii s, i a a estei ordini aUniversului. Clar, f r  s  înv t, m s  rezolv m integrale nu vomputea rezolva e uat, iile din �zi  , f r  s  num r m nu putem s abord m a east  problem  a ordinii Universului. Matemati aeste limbajul naturii, as,a um a fost a�rmat adeseori.Matemati ianul Betrand Rusell (1872-1970) a în er atmagistral s  în apsuleze toat  logi a matemati ii în elebrasa arte " Prin ipia mathemati a", pentru a demonstranon ontradi t,ia s, i ompletitudinea matemati ii, f r  s reus,eas   de ât part,ial. Pentru ei urios,i, " Prin ipia math-emati a" este o arte diferit  de ori are alta. Dup  o s urt introdu ere în uvinte, urmeaz  mii de propozit,ii logi e are

se dedu una din alta. Este a s, i um Rusell ar în er a s ne onving    Universul are o stru tur  logi  , e se poatereg si s, i re onstrui prin propozit,ii logi e deduse una din alta, u ajutorul unor reguli de�nite mai dinainte.Foarte în ântat,i, mult, i oameni de s,tiint,  au ridi at matem-ati a în sfera abstra tului, undeva din olo de a est Univers,ne ontaminat  de timp s, i spat, iu, um spunea Mir ea Eliadedespre oameni. Dar vai, e dezam gire pentru ei, ândmatemati ianul Godel a demonstrat ( ulmea, matemati !)  s, i matemati a îs, i are limitele ei.3. Despre Godel s, i limitele intrinse i ale matemati iiAi i vrem s  lari�  m ideea   nu ne as,tept m s  putemexpli a tot Universul odat  e fa em parte din a est Univers.Nu este nevoie s  �i �lozof a s -t,i dai seama  , în a est az,nu putem expli a totul. Este o iluzie s  redem asta. O iluzie e trebuie eliminat  de la în eput, pentru a nu rea as,tept ri e nu se vor adeveri mai târziu.Matemati a este parte a a estei lumi tot as,a um eu, saudumneavoastr , suntem parte a a estei lumi. 1 + 1 = 2 pentrutoat  lumea, pentru   Universul în are tr im este as,a f  ut.Da   pun un m r lâng  altul am dou , ori ine e de a ord  sunt dou , dar asta pentru   nimi �zi nu se întâmpl  umerele. S, i pentru   este as,a pentru tot, i,  dem de a ord s, iputem onstrui limbajul matemati ii.

Figure 1.1: O mâna e o deseneaz  pe ealalt , într-o unos ut  lu rare a artistului olandez Maurits Es her.Cine este Creatorul s, i ine este reat,ia?Nu numai obie tele e le folosim fa parte din lume, dar hiars, i imaginat,ia noastr  este ontaminat  de lume,   i ea imit 

2 Capitolul 1 : Mecanicas, i opiaz  omport rile a estei lumi. Cine spunea   noi nuinvent m nimi , i doar redes operim? S  �e lar, matemati aeste parte a a estei lumi, se trage din ea s, i se manifest  în ea.Ca atare nu ne putem as,tepta a matemati a s  poat  expli a omplet îns s, i lumea din are fa e parte s, i are a reat-o,   iar rea ontradi t,ii prin referint,e la ea îns s, i.S  lu m de exemplu fraza "Eu mint". E us,or de v zut   ea nu poate � ni i adev rat  ni i fals  s, i   ea ont, ine oreferint,  la ea îns s, i. O astfel de propozit, ie ni i adev rat  ni ifals  este un os,mar pentru matemati  . S  s riem a um opropozit, ie matemati   despre un lu ru din lume. Ca 1+1=2.Da   propozit,ia matemati   ar � dintr-o alt  lume, iar lu rul la are se refer  (s  zi em nis,te mere) ar � din a east  lume, ni io ontradi t,ie nu ar putea ap rea printr-o referint,  la ea îns s, i.Ori e propozit, ie pe are o s riem este îns  parte a a esteilumi, doar a s  o s riem avem nevoie de erneal  are las urme de atomi pe hârtie. F  ând a esta propozit,ie s  se refere hiar la atomii din are e propozit, ia f  ut  (de i la propozit, iaîns s, i) putem rea auto-referint,a de are aveam nevoie apropozit, ia s  nu �e ni i adev rat  ni i fals . Iar a easta afost tehni a lui Kurt Godel (1906-1978) pentru a demonstrain ompletitudinea matemati ii. În a est fel a demonstratGodel   matemati a e in omplet ,   ont, ine propozit,ii e nupot � ar tate ni i adev rate ni i false.In orice sistem suficient de complex exist

o eroare ce nu poate fi decodificat

ă

ă

Figure 1.2: O ari atur  e s oate în evident,  faptul   paradoxurile se înmult,es odat  e omplexitatea unuisistem res,te.Metoda lui Godel este pe ât de interesant , pe atât dee� ient . Astfel, Godel urm res,te ideile lui Rusell, arere unoas,te   matemati a (s, i în general ori e fel de limbaj)este o ole t, ie de simboluri. Godel îns  are ideea genial  de aalege a este simboluri hiar numere!Exemplul el mai simplu este el al jo ului opera Gusti,un jo pe are opiii îl joa   pentru a-s, i transmite mesaje"se rete". Ai i, o parte din litere sunt înlo uite u ifre, prinidenti� area "operagusti"="1234567890". Dup  um se poatevedea, uvântul "toiag" se s rie a "91056". Desigur, în azuljo ului nu avem ifre su� iente s  a operim toate literele, as,a

în ât vom avea s, i uvinte a "5 123409" sau " 5d".În azul logi ii matemati e, Godel a putut res rie toatepropozit,iile logi e u numai s,apte ifre, prin nis,te arti� ii in-genioase, are au minimizat simbolurile folosite. Pra ti s, i u-vântul " sau" s, i uvântul ”egal” din propozit, iile logi e eraudes rise de nis,te numere. În �nal, �e are propozit,ie logi   eraexprimat  printr-o su esiune de ifre, adi   un num r. S  re-mar  m atun i   o su esiune de propozit, ii devine o su esiunede numere. A demonstra sau in�rma o propozit,ie se redu e la ag si su esiunea de numere ( onform unor reguli bine stabilite) are du e la a�rmarea propozit,iei sau la negarea ei.

Figure 1.3: Câte numere reale avem? Cum pentru �e are ifr  a num rului real avem ze e alegeri, înseamn   num rul total de numere reale este χ(R) = 10×10×...×10.Da   not m u χ(N) num rul de elemente in�nite alemult,imii numerelor naturale, atun i avem χ(R) = 10χ(N).Se poate ar ta   ele dou  numere χ(N) s, i χ(R) suntin�nit t,i diferite, pentru   nu poate � atribuit  o relat,iebije tiv  între mult,imile pe are le reprezint . Interesantîns , printr-o teorem  asem n toare u ea a lui Godel,matemati ienii au demonstrat   nu vom putea s,ti ni io-dat  da   exist  o ole t,ie de numere u un num r deelemente intermediar între χ(N) s, i χ(R).În prin ipiu, ne-am as,tepta a ori e propozit,ie are poate� formulat  s  �e nu numai fals  sau adev rat , dar s, idemonstrabil . În limbajul lui Godel, a easta înseamn   pentru ori e num r e reprezint  o propozit,ie logi   trebuie s g sim o su esiune de numere are reprezint  demonstrat,ia sauin�rmarea propozit, iei. Godel îns  a ar tat   exist  propozit, iimatemati e al  ror num r nu poate � onstruit a o su - esiune de numere ale propozit, iilor intermediare. Adi  , ualte uvinte,   matemati a este in omplet , pentru   exist propozit,ii are nu pot � demonstrate ni i false ni i adev rate.Demonstrat,ia lui Godel foloses,te faptul   metalimbajul,adi   limbajul logi ii, limbajul matemati ii, a devenit a um osu esiune de numere, su esiune  reia i se poate s, i ei atas,aun alt num r! Pe de alt  parte, limbajul matemati ii se refer la numere. Ne a� m atun i în situat, ia init, ial , ând vrem s des riem o lume (lumea numerelor, a matemati ii, a logi ii) u instrumente apart,inând a elei lumi ( tot numere, ele are

4. Astronomia începe cu ies, irea din meditat,ie s, i masurarea mis, carii as, trilor ceres, ti 3des riu metalimbajul). Propozit, ia onstruit  de Godel are nupoate � demonstrabil  este de fapt elebra "Eu mint", s ris  îna est metalimbaj al numerelor s, i are se refer  tot la numere.Este util de ment, ionat   teorema de in ompletitudine alui Godel nu a r mas în aria �lozo�ei. Astfel, matemati ienii hiar au g sit o propozit, ie matemati   despre are ei red  nu poate � demonstrat  ni i fals  ni i adev rat . A easta serefer  la num rul de elemente pe are le au diferite mult, imiin�nite s, i pe are matemati ienii le numes ardinali.Astfel, paradoxal, num rul de elemente in�nite al mult, imiinumerelor naturale ( ardinalul numerelor naturale) este diferitde num rul in�nit al elementelor mult, imii numerelor reale( ardinalul numerelor reale). Ciudat nu? Dou  numere in�nite are sunt diferite. A est lu ru este posibil, pentru   nu sepoate atribui o relat,ie bije tiv  (unu la unu) între elementele elor dou  mult, imi.Ne putem întreba îns  da   exist  mult, imi in�nite al  ror ardinal s  se a�e între el al numerelor naturale s, i el al nu-merelor reale ( are este evident mai mare). Conform teoremeilui Godel, apli at  în a est az, se poate ar ta   nu putem a�ani iodat  r spunsul la a east  întrebare, pentru   a east  în-trebare nu are o su esiune de propozit,ii logi e are s  ondu  la r spunsul ei! Cu alte uvinte, este demonstrat matemati  nu putem s,ti ni iodat  pre is da   exist  o astfel de mult, ime uun ardinal intermediar... Fas inant nu? S  s,tim u sigurant,    nu putem a�a vreodat  r spunsul la a east  întrebare...4. Astronomia în epe u ies, irea din meditat,ie s, im surarea mis,  rii as,trilor eres,tiO s  în epem a um in ursiunea în �zi  , printr-o s urt introdu ere în astronomie, pornind de la observat,ii simple,a esibile s, i nou , dar are as und în ele esent,a lu rurilor...Pentru gre ii anti i, r s ritul s, i apusul zilni al Soareluiera o enigm . Unii, a de exemplu Xenophanes (570-480î.H.), redeau   Soarele este o ole t, ie de pietre de fo , ese adun  în �e are dimineat,  s  formeze Soarele, a s  sedespart  apoi seara. Alt, ii redeau   Soarele este mereu altulîn �e are dimineat, . Greu de spus atun i e este Soarele, iar ei mai mult, i îl onsiderau desigur un zeu. Alt, ii, put, ini îns ,au îndr znit s  gândeas   altfel.Astfel, ei au observat   mis, area Soarelui pe er esteuniform , de 15 grade pe or . S  observ m   a easta ondu ela 360 de grade în 24 de ore, adi   într-o zi. Ori 360 de gradeeste un er omplet! P i atun i, au zis ei, nu este mai us,ors  presupunem   Soarele des rie un er omplet s, i o oles,teP mântul? Remar at,i ât de puterni este argumentul.C  P mântul poate � o olit a fost a eptat greu,   i elp rea urias, de mare s, i nimeni nu îi v zuse ap tul. Dar da  poate � o olit, înseamn    are form . Indienii redeau   eleste plat a o farfurie, purtat pe spate de un elefant.Filozoful Aristotel (384 î.H. - 322 î.H.) avea îns  alt  p rere.Astfel, el a putut estima în prim  instant,  pozit, ia Soareluiîn timpul nopt,ii, de ealalt  parte a P mântului. Desigur, detot e a avut nevoie a fost un eas are indi a ora din noapte,   i s,tia   Soarele se mis,   u 15 grade pe or . În a est fel,el putea al ula unde ajunge Soarele la ori e or  din noapte,de ealalt  parte a P mântului, de i putea extrapola pra ti pozit, ia Soarelui pe er.Apoi, Aristotel a studiat pozit, ia Lunii în adrul nopt, ilor u e lips  de Lun  s, i a omparat-o u pozit, ia extrapolat  aSoarelui (de ealalt  parte a P mântului) în a elas, i moment alnopt, ii. El a remar at atun i   pozit, ia extrapolat  a Soareluieste pre is opus  elei a Lunii fat,  de P mânt, de i   pra ti ei trei as,tri sunt aliniat,i în spat, iu.Ca atare, Aristotel a presupus atun i ore t   umbraP mântului ajunge pre is pe Lun  s, i ea este ea are as unde

Soarele

Către SteauaPolară

Est

Vest

Vară

Iarnă

Nord

15 /ho

Figure 1.4: Mis, area zilni   a Soarelui pe er, în diverseanotimpuri. De notat   Soarele se mis,   aparent pe er u o vitez  de 15◦ pe or , adi   exa t 360◦ pe zi, atât âtîi trebuie s  o oleas   P mântul.Luna s, i reeaz  efe tul de e lips . Cum a east  umbr  erotund , P mântul trebuia s  �e rotund a on luzionat el.Briliant, am zi e noi ast zi. C  i astfel toat  astronomia s-an s ut. Da   P mântul poate � o olit s, i e rotund, unde se a� el s, i ât de departe se a�  Soarele sau Luna? Dar stelele? Câtde mare e atun i P mântul?Iat  um, pornind de la o simpl  observat,ie s, i gândind alfelde ât majoritatea ( are vedea a elas,i lu ru) ât, iva oameniau putut rea atâta progres în înt,elegerea fenomenelor e neîn onjoar . A um tot, i gândim a Aristotel, dar s  nu uit ms -i  ut m printre noi pe ei put, ini are anti ipeaz  gândireadiferit  a urm toarelor milenii... S  nu uit m s  privim u alt,io hi lumea din jurul nostru.5. Cum putem m sura u un b t, raza întreguluiP mântPrimul are a m surat dimensiunile P mântului a fost gre ulEratostene (276 î.H. - 194 î.H.), u mai mult de o mie de aniînaintea lui Cristofor Columb (1451 - 1506).S  ne reamintim   expedit, ia lui Cristofor Columb  treIndii a fost �nant,at  de spanioli, dup  e portughezii aurefuzat. Se rede îns  adeseori gres,it   navigatorul Columba fost refuzat de portughezi pentru   a es,tia nu au rezut  P mântul e rotund s, i a atare el nu ar � putut ajunge în Indiio olind P mântul.Gres, it, portughezii au fost de a ord   P mântul e rotund,numai   ei s,tiau s, i dimensiunile lui, printre alt, ii de la gre ulEratostene, despre are vom dis uta ai i. Ori, au zis probabilei, "dup  al ulele noastre, Indiile sunt prea departe pentru ale atinge o olind P mântul". "O s  mori de sete pân  a olo,sau de s orbut", ar � ontinuat ei. Columb îns  nu a as ultat,pentru   el redea gres, it   P mântul este mai mi , i-a onvinspe spanioli s, i a ple at. S, i noro ul lui   a dat de Ameri a pân la Indii, pentru   altfel ar � murit sigur pân  la Indii! Cas  vedet,i   des operirile se pot fa e s, i pornind de la premisefalse atun i ând noro ul ne st  în drum, rar e e drept...Dar s  revenim la gre ul Eratostene s, i s  vedem um am surat a esta dimensiunile P mântului f r  laboratoare demilioane de Euro. Astfel, Eratostene a observat umbra unuib t, în dou  oras,e egiptene, în a elas, i moment de prânz al zilei.Într-un oras,, denumit Syene, Soarele era perfe t deasupra

4 Capitolul 1 : Mecanica apului, iar un b t, verti al nu d dea umbr , pentru   eraîndreptat hiar spre Soare. La a eeas,i or  îns , în Alexandria,oras,ul elebrei bibliote i, Soarele de amiaz  nu era perfe tdeasupra apului. În onse int, , b t,ul verti al, s  zi em de 2metri, d dea o umbr  de aproape 25 de entimetri.RazeleSoarelui

Syene

umbra

Alexandria

Pământul

băŃ

Figure 1.5: Cum a m surat gre ul Eratostene razaP mântului. S, tiind în lt,imea b t,ului (2 m), umbra lui înAlexandria (25 m) s, i distant,a dintre Syene s, i Alexandria(800 de Km) putet,i estima raza P mântului?O astfel de situat, ie se poate expli a simplu, da   vom onsidera   P mântul este rotund, iar Soarele este foartedeparte (s  zi em milioane de Km). În a est az, b t,ul ar� în linat diferit fat,  de Soare, în fun t, ie de lo at,ia sa pesuprafat,a P mântului rotund s, i va genera umbre de lungimidiferite. În a east  situat, ie, s,tiind distant,a dintre ele dou oras,e (800 de Km) s, i lungimea umbrei (25 de m pentru unstâlp de 2m), u put, in  geometrie, Eratostene a estimat razaP mântului a �ind de aproape 6000 Km.Curios îns , a elas,i efe t l-am obt, ine s, i da   P mântul ar� plat, iar Soarele s-ar a�a undeva aproape de P mânt. Ai i,situat, ia este asem n toare u ea în are Soarele ar � un felde be a�at pe un stâlp de iluminat eva mai mare. S, i în a est az lungimea umbrei ar � dependent  de lo at, ia b t,ului a�atpe undeva sub stâlp. Când suntem sub stâlp (situat, ia oras,uluiSyene) lumina ade peste noi exa t de deasupra apului s, inu l s m umbr . Când îns  ne mut m mai în olo de stâlp(situat, ia oras,ului Alexandria), vom avea o umbr  are selunges,te pe m sur  e ne dep rt m de stâlp. Luând în al uldistant,a dintre ele dou  oras,e s, i m rimea umbrei, putem al ula în lt, imea stâlpului pe are s-ar a�a Soarele s, i am obt, inetot am 6000Km. Care din ele dou  situat, ii e adev rat ?Desigur   ea în are P mântul e rotund, a spus Eratostene, are a tr it dup  Aristotel s, i unos,tea p rerea maestrului  P mântul e rotund. Ceea e e bine de ret, inut din a east poveste sunt dou  lu ruri. Primul este   e bine s  vezi e s-af  ut înainte, a s  în epi u premise ore te.Al doilea lu ru, poate mai important, este   uneleexperient,e sunt "dup  olt,", adi   pot � f  ute repede, odat  e premisele sunt ghi ite ore t. O umbr  de 25 de entimetrieste vizibil  pentru ori ine, iar experimentul poate � f  ut deun grup de s, olari în ex ursie de la Baia Mare la Bu ures,ti.Oare âte astfel de experimente nu s-ar putea fa e în �zi  ,psihologie sau biologie, numai da   am ghi i premisele ore te,numai da   am s,ti dup  are " olt," s  ne uitam...6. De e nu s-a învârtit P mântul pentru mii de ani

Am v zut în pun tul pre edent um ve hii gre i au on- luzionat în mod ore t   P mântul e rotund s, i i-au al ulats, i raza. Am folosit îns  pe as uns în determinarea formeiP mântului un lu ru esent, ial s, i anume   umbra P mântuluise poate forma pe Lun , u alte uvinte a Luna e un orpmaterial s, i nu fo , imagine sau alt eva.Teoria   Luna, împreun  u elelalte orpuri eres,ti(Soarele, stelele, stelele  z toare, et .) sunt substant,e mate-riale (bolovani eres,ti am putea spune) a âs,tigat în greutateodat  u  derea unui mare meteorit lâng  Aigos Potamoi,în 467 î.H. Evenimentul l-a determinat pe Anaxagoras dinKlazomenae (500 î.H. - 428 î.H.) s  presupun  hiar  Soarele e o piatr  ros, ie �erbinte mai mare de ât Peloponez!Astronomia va � fost astfel n s ut ,   i tot eea e va urma,va � de fapt m surarea mis,  rii a estor "pietre" prin spat,iu,mis, are v zut  de pe P mânt s, i apoi eventual înt,elegerea ei!Duetul experiment-teorie, um l-am numi azi.În urm toarele pun te vom exempli� a a east  idee u onstru t,ia s, i determinarea aproximativ  a sistemului P mânt-Soare-Lun , folosind alte âteva exemple heie din istoriaastronomiei. În er  m s -l fa em pe ititor s  înt,eleag    înmulte azuri m surarea propriu-zis  poate � efe tuat  de  tre ititor însus,i s, i   nu e mereu foarte di� il , îns  ideea tipuluide m sur toare a fost desigur revolut,ionar . As,a um amment, ionat deja, ideile noi s, i m sur torile ru iale sunt "dup  olt,", trebuie s  s,tim numai dup  are olt, s  ne uit m!Luna

Soarele

Cãtre Steaua Polarã

Sfera stelelorîn rotatie

Pãmântul Pãmântulîn rotatie

Luna Soarele

Sfera stelelor fixeFigure 1.6: Stânga: P mântul e nemis, at, iar Luna,Soarele s, i sfera stelelor revolut,ioneaz  în jurul P mântuluisin ron, u o perioad  de 24 de ore. Dreapta: a eeas, isituat,ie, doar   a um numai P mântul se învârte în jurulaxei orientate  tre Steaua Polar  (în sens opus!) la 24 deore, restul r mânând �xe pe par ursul unei zile.Am v zut de i um ve hii gre i au dedus   P mântul esterotund s, i au m surat dimensiunile lui. În plus, ei au presupus ore t (pentru timpul lor)   Soarele s, i Luna o oles P mântulîn �e are zi. Chiar s, i erul u stelele sale o oles,te P mântulîn �e are zi. Cel mai natural p rea atun i   întreaga bolt  ereas   ( u Soarele, Luna s, i elelalte stele �xate pe ea ape o ortin ) se rotes,te zilni , în jurul P mântului. Desigur   la intervale mai mari, de un an, Soarele se deplaseaz  pebolta ereas  , a s, i Luna la intervale de o lun . Dar pentruo singur  zi, putem presupune u o rezonabil  aproximat,ie  întreaga bolt  ereas   se învârte sin ron în jurul P mântului.Situat, ia este oare um surprinz toare. Avem trei tipuri deobie te eleste (Soarele, Luna s, i stelele), are se învârt sin ron

29Capitol 2Ele tromagnetismAm v zut în apitolul pre edent um sistemul lui Newtondes rie ore t intera t,ia gravitat,ional  dintre obie te, as,a um sunt planetele masive ale sistemului solar sau bileledin experimentul lui Cavendish. Nu ne as,teptam îns  anatura tuturor fort,elor s  �e numai gravitat,ional . Atra t, iagravitat,ional  dintre obie tele u are suntem obis,nuit, i esteprea mi  , de m rimea greut t,ii unei furni i, as,a um amv zut. Ea nu poate de i expli a adeziunea s o iului sau fort,amus, hilor nos,tri, de exemplu.Fort,a gravitat,ional  este prea mi   s, i pentru a expli aatra t,ia unui magnet, sau hârtiut,ele ridi ate de un piepteneatun i ând a esta este fre at. A este dou  exemple suntdesigur exoti e, f r  prea multe utilit t, i pra ti e (ex eptândutilizarea magnetului în navigat,ie), motiv pentru are au s, ifost ignorate se ole de-a rândul.În a este dou  exemple (magnetul s, i fre area unui pieptene)g sim îns  sâmburii urm toarei teorii, ele tromagnetismul.C  i, adeseori în �zi  , mi a ex ept, ie de la regul  "des oper "un alt sistem mai profund. Totul este s  remar  m s, i apoi s studiem ex ept, ia.27. Ele tri itatea a un jo Termenul de "ele tri itate" este deviat din gre es ul "elek-tron", are înseamn  " hihlimbar". Chihlimbarul este o r s, in solidi� at  de opa , e ont, ine de multe ori în interioruls u plante, sau mi i inse te s, i de a eea este folosit des abijuterie. Ve hii gre i au observat un efe t straniu: de âteori hihlimbarul era fre at, el atr gea pene sau obie te mi i.Desigur s, i noi ând eram opii, ne ju am fre ând un pieptenede haine: dup  a eea puteam folosi pieptenele pentru a atragebu  t,ele mi i de hârtie.

Figure 2.1: Inse t  onservat  în hihlimbarExpli at, ia ore t  a a estui fenomen a fost dat  de Mi hael

Faraday (1791 - 1867), are a presupus   obie tele pot aveaîn orporate în ele un fel de "�uid ele tri ", e poate � de dou tipuri: pozitiv s, i negativ, ele dou  tipuri atr gându-se între ele.Ast zi s,tim   materia obis,nuit  e onstituit  din ele troni,protoni s, i neutroni. Fluidul negativ al lui Faraday este formatatun i din toat  ole t, ia de ele troni, iar el pozitiv din toat  ole t, ia de protoni. O parte din materie, format  din neutroni,r mâne neutr  ele tri .De fapt, tuturor parti ulelor elementare li se poate atribuia east  ara teristi   fundamental , denumit  sar in  ele -tri  . Ea poate � nul , pozitiv , sau negativ . Ele tronii ausar ina ele tri   negativ , iar protonii o au pozitiv . Din feri- ire pentru noi, sar ina ele tri   are a eeas, i valoare absolut pentru ele tron s, i proton, doar semnul difer . Datorit  a estuilu ru, materialele obis,nuite sunt neutre din pun t de vedereele tri ,   i num rul de ele troni este egal u num rul deprotoni s, i atun i sar ina ele tri   total  este nul .Dup  um se s,tie, sar inile ele tri e se atrag sau se respinguna pe ealalt , dup  unos uta lege: sar inile ele tri e dea elas, i tip se resping, iar ele de tip opus se atrag. Unitatea dem sur  a sar inii ele tri e este Coulomb, o unitate e ne poateap rea arti� ial aleas  ast zi. Astfel, fort,a de intera t,ie întredou  parti ule u o sar in  ele tri   de un Coulomb, situatela un metru una de alta, este e hivalent  u greutatea unuimilion de tone!De fapt, da   am avea dou  persoane, una f  ut  doar dinele troni s, i alta doar din protoni, situate la un metru distant ,atun i fort,a de atra t,ie ar � e hivalent  u o greutate de 1026tone... Adi   aproape miliarde de miliarde de miliarde de tone,inimaginabil... De a eea am spus   "din feri ire" orpurilenoastre sunt neutre ele tri , altfel ne-am � lipit unii de alt, iipentru ves,ni ie...Cantitatea de ele tri itate dintr-un obie t este sumasar inilor ele tri e ale tuturor parti ulelor din are este formatobie tul. As,a um am ment, ionat, materialele obis,nuite suntneutre ele tri , pentru   a east  sum  este zero. Cu toatea estea, problema poate � âteodat  mai omplex ,   isar inile ele tri e dintr-un material se pot deplasa dintr-oparte în alta, des, i suma total  r mâne nul , iar materialulr mâne în ansamblu neutru din pun t de vedere ele tri .A east  deplasare a sar inilor ele troni e (ele troni s, i pro-toni) în material este destul de omplex  s, i ea depinde de ma-terial. Pentru dis ut, ia noastr , putem presupune momentan  doar ele tronii au a east  apa itate, protonii �ind imobilizat,iîn stru tura are d  de fapt forma materialului. Pentru ele -troni îns  unos dou  azuri extreme: metalele, în are uniidintre ei se pot deplasa liberi de la un ap t la altul s, i izolatorii,în are ele tronii ramân împere heat,i u protonii în atomi, darse pot totus, i mis, a put, in mai la stânga sau mai la dreapta.A um, s  lu m exemplul pieptenelui are atrage bu  t,elemi i de hârtie. Ce se întâmpl ? Odat  e pieptenele este fre atde haine, a esta a umuleaz  sau pierde sar ini ele tri e de pehaine (ele troni) s, i îs, i pierde neutralitatea, devenind în  r at uele tri itate. Cu toate a estea, hârtiut,a nu a fost ni i fre at ,ni i atins , s, i de i ea este în   neutr  din pun t de vedereele tri . Din a east  auz  ea nu poate � atras  de pieptenele

30 Capitolul 2 : Electromagnetismîn  r at ele tri . A easta pentru   dou  obie te trebuie s  �eambele în  r ate u sar ini ele tri e pentru a s  se resping  sauatrag . De e este atun i atras  hârtiut,a, da   ea este neutr ?

Figure 2.2: În �gur  este reprezentat  intera t,ia mi ro-s opi   e are lo atun i ând un pieptene fre at atrage ohârtiut, . Obie tul din stânga-sus este un pieptene fre at dehaine, are a devenit în  r at u sar ini ele tri e pozitive,iar el de jos este o hârtiut,  neutr  ele tri . Deoare esar inile ele tri e pozitive din piptene atrag ele troniidin hârtie, materialul hârtiei se polarizeaz  (ele tronii seredistribuie). Pentru   ele tronii sunt mai aproape depieptene, fort,a u are ei sunt atras, i e mai mare de âtfort,a u are sunt respinse sar inile pozitive din hârtie, esunt mai departe (vezi s hit,a din dreapta). În �nal, fort,atotal  este nenul , iar hârtiut,a este atras  în sus.Expli at, ia a estui fenomen st  în stru tura mi ros opi   ahârtiut,ei s, i în faptul   sar inile ele tri e negative (ele tronii)sunt într-o oare are m sur  put, in mobili. Astfel, pentrusimplitate, s  presupunem   pieptenele pierde ele troni înurma fre  rii s, i de i el are un ex es de sar in  ele tri   pozitiv (pra ti are mai mult, i protoni de ât ele troni). A east  sar in ele tri   pozitiv  în surplus atrage ele tronii din hârtiut, , are au sar ina ele tri   negativ . A um îns , hârtia este unizolator s, i de i ele tronii se pot deplasa put,in în interiorulatomilor,  tre partea u hârtiut,a, �ind atras,i de pieptene. Pede alt  parte, sar inile ele tri e pozitive (protonii) nu se potdeplasa, de i ele r mân la lo ul lor.S  observ m   în a est pro es ele dou  antit t,i de sar iniele tri e (ele troni s, i protoni) din hârtiut,  r mân în   egale s, ide i hârtia r mâne neutr , hiar da   ele tronii s-au deplasatput, in. Rezultatul �nal este   avem mai mult, i ele troni  trepartea u pieptenele de ât în partea opus . Fenomenul a estade reorganizare a sar inilor ele tri e dintr-un material izolatorpoart  numele de polarizare ele tri  .S  observ m  , da   sar ina pozitiv  în ex es din pieptenear atrage ele tronii din hârtie u a eeas, i fort,  u are respingeprotonii din hârtie, atun i hârtia tot nu se va mis, a... A eastaîn azul în are ele dou  fort,e (de atra t,ie s, i respingere) ar �egale în valoare absolut  s, i de i s-ar ompensa...Cu toate a estea, nimi nu ne împiedi   s  presupunem  fort,a de atra t,ie s, i respingere depinde de distant, ! Da   esteas,a, atun i fort,a u are sunt atras,i ele tronii din hârtiut,  estemai mare de ât ea u are sunt respins, i protonii, pentru  ele tronii sunt mai aproape de pieptene... Fort,a total  asuprahârtiut,ei va � atun i nenul  s, i de i hârtia va � atras  hiarda   ea r mâne neutr !Iat  um un simplu experiment efe tuat a o joa   atun i

ând eram opii poart  în el sâmburele s, i expli at,ia unei legifundamentale din ele trostati  : variat,ia fort,ei ele tri e udistant,a. Cu alte uvinte, este ne esar a a east  fort,  deintera t,ie dintre sar inile ele tri e s  depind  de distant ...28. Dopul de plut  s, i âmpul ele tri Fort,a ele tri   de atra t,ie sau respingere între orpurileîn  r ate ele tri a fost m surat  pentru prima dat  de CharlesAugustin de Coulomb (1736-1806), printr-un instrument foarteasem n tor u el al lui Cavendish folosit la m surarea fort,eigravitat,ionale. Rezultatul este uimitor de asem n tor: fort,ade atra t,ie sau respingere ele tri   este proport,ional  um rimea sar inilor s, i invers proport,ional  u p tratul distant,eidintre ele. Supozit, ia noastr  din se t,iunea pre edent  esteastfel on�rmat , a east  fort,  variaz  u distant,a.Fort,a Coulomb de atra t,ie sau respingere a dou  sar iniele tri e este:F =

1

4πǫ0

qQ

d2iAi i ǫ0 este onstant  de permitivitate a vidului, q s, i Q suntvalorile elor dou  sar ini ele tri e, d este distant,a dintre ele,iar i un ve tor unitate orientat pe dire t,ia elor dou  sar ini.Da   s riem a east  e uat, ie a:

E =1

4πǫ0

Q

d2i F = qEatun i putem de�ni al primul termen a un âmp ele tri produs de sar ina Q iar al doilea termen a �ind fort,a pe are o simte sar ina q în âmpul ele tri E produs de sar inaele tri   Q.Des, i se s,tie mai put, in, el are a veri� at primul formap trati   a atra t,iei ele trostati e a fost, a s, i în azulfort,ei gravitat,ionale, tot Henry Cavendish! Istoria spune  Benjamin Franklin (1706-1790) a observat   o sfer  metali  goal  pe interior, în  r at  u sar ini ele tri e pe suprafat,a sa,atrage o bil  de plut  doar da   bila de plut  este situat  înafara sferei metali e, dar nu în interiorul ei. Curios, nu?La o întâlnire a So iet t, ii Regale Britani e, Franklin i-a o-muni at a east  " uriozitate" lui Joseph Priestley (1733-1804).A esta a observat   efe tul este identi u el al ulat teoreti pentru fort,ele gravitat,ionale, da   ne imagin m o planet goal  pe interior. S, i ai i, da   punem un obie t în interiorulgol al planetei, a esta nu va � atras gravitat,ional de  treplanet , indiferent de pozit, ia lui. Priestley a tras on luzia   fort,ele ele tri e trebuie s  aib  a eeas,i omportare a elegravitat,ionale, adi   trebuie s  s ad  u p tratul distant,ei.Henry Cavendish, auzind a east  argumentare, a repetatfoarte bine aranjamentul lui Franklin s, i a dovedit   expo-nentul distant,ei din formula fort,ei ele trostati e este �e 2,�e difer  de 2 printr-o valoare mai mi   de 0.03! Din p  ateCavendish nu s, i-a publi at ni iodat  rezultatul are, în ziuade ast zi, i-ar � adus un premiu Nobel...Expli at, ia a estui fenomen pornes,te de la aranjamentuluniform al sar inilor ele tri e de pe sfera metali   (ele tronide exemplu). A easta fa e a fort,a ele tri   în entrul sfereis  �e perfe t nul  indiferent e omportare are a easta udistant,a, datorit  simetriei sferi e. Cu toate a estea, fort,aele tri   în elelalte pun te din interiorul sferei poate � nenul !A easta pentru   unele sar ini ele tri e de pe sfer  sunt mai

29. Broasca electrocutata s, i aparit,ia bateriei 31- -

----

----

----

-F

F

Figure 2.3: În �gur  este reprezentat  o sfer  metali  în  r at  ele tri . Lâng  a easta se adu e întâi un dop deplut  (dreapta sus). Sar inile ele tri e de pe sfera metali  vor polariza dopul de plut  s, i îl vor atrage înspre sfer .Într-un al doilea experiment se as,eaz  dopul de plut în interiorul sferei metali e ( entru). Si a um dopul deplut  este atras în toate p rt,ile de sar inile ele tri e de pesfer  îns  fort,a total  este identi nul . Cum este posibilun astfel de rezultat nul, are nu se reg ses,te init,ial însimetria problemei?îndep rtate, altele mai apropiate, iar valoarea fort,ei maidepinde s, i de distant, . Pra ti , simetria este rupt  s, i fort,atotal  va putea � nenul ...A um s, i ai i este toat  frumuset,ea problemei, da   fort,aele tri   variaz  pre is invers proport,ional u p tratuldistant,ei, atun i fort,a ele tri   total  în ori are pun t dininteriorul sferei este nul ! Numai în a est az s, i numai da  sar inile ele tri e de pe sfer  sunt aranjate uniform, este fort,aele tri   nul  în toate pun tele din interiorul sferei. De notat   în exteriorul sferei fort,a r mâne nenul  hiar s, i în a est az.Putem pune de i un material izolator a dopul de plut  în in-teriorul sferei, într-un pun t aleatoriu s, i m sura fort,a. Da   eaeste nenul , atun i dopul de plut  se va polariza ( a s, i hârtiut,adin se t, iunea pre edent ) s, i apoi va � atras într-o parte saualta... Interesant este   nu vrem s  punem o singur  sar in ele tri   u are s  test m prezent,a fort,ei, dintr-un motivpra ti : a easta atrage la rândul ei ele tronii din sferametali  .A es,tia, �ind foarte mobili, se vor deplasa într-o parte sau alta,stri ând uniformitatea e este ne esar  pentru a testa teoria!Pornind de la fort,a ele tri  , putem folosi o mi   s,me heriematemati  , pentru a introdu e eea e vom numi de a um în- olo un âmp ele tri . Astfel, fort,a de intera t, ie ele trostati  dintre dou  sar ini este proport,ional  u produsul sar inilora estora s, i a t, ioneaz  pe dire t,ia elor dou , a un ve tor. Neputem imagina atun i o sar in  mare în entru s, i una multmai mi  , pozitiv , pe are o vom numi sar in  de prob ,pe undeva prin spat, iu. Oriunde îns  s-ar a�a ea, sar ina deprob  este atras  sau respins  de sar ina mai mare u o fort, anume, are depinde de lo at,ia ei s, i este proport,ional  atât u valoarea sar inii mari ât s, i u ea a sar inii de prob . Pea easta sar ina de prob  o putem folosi s  m suram âmpulde fort,e ele tri e din jurul sar inilor.A est âmp de fort,  din jurul sar inii mari este un âmp

Figure 2.4: Stânga: Câmpul ele tri al unei sar iniele tri e pozitive Q. A esta este dat de fort,a u aresar ina Q a t,ioneaz  asupra unei alte sar ini ele tri epozitive q = +1C, de marime egal  u unitatea (numit sar in  de prob ). Dreapta: âmpul ele tri al unui dipolformat din dou  sar ini ele tri e opuseve torial, are a t, ioneaz  asupra sar inii de prob . Cum îns fort,a este proport,ional  u m rimea sar inii ele tri e a probei,putem împ rt,i fort,a ele trostati   la valoarea sar inii de prob .Obt, inem atun i un alt âmp ve torial, are este identi de fapt u âmpul de fort,  (pân  la o onstant ) s, i are este îns  inde-pendent de m rimea sar inii de prob . Îl numim pe a esta âmpele tri . Am putea spune   a esta este un âmp "potent", edeseneaz  în spat, iu liniile de fort,  ale sar inii ele tri e mari.Pra ti , putem spune atun i   sar ina ele tri   mare nuatrage dire t orpul de prob , i indire t, prin intermediula estui âmp ele tri . Astfel, sar ina mare Q reeaz  în primainstant,  a est âmp ele tri . Sar ina de prob , a�at  undevaprin spat, iu, simte a est âmp ele tri sub forma unei fort,e,fort,  are este atun i produsul dire t dintre sar ina sa ele tri  s, i âmpul ele tri din pun tul în are se a� . Fort,a a eastao vom denumi de a um în olo fort,  ele tri  . Pra ti , amîmp rt, it a t, iunea ele tri   în dou  etape. În prima etap o sar in  ele tri   reaz  un âmp ele tri , iar în ea de-adoua etap , âmpul ele tri a t, ioneaz  asupra unei alte sar iniele tri e prin intermediul fort,ei ele tri e.Des rierile matemati e ale intera t, iilor ele trostati e �e prinfort,e ale lui Coulomb �e prin âmpuri ele tri e sunt e hivalente, u unos,tint,ele pe are le avem în a est moment. Cum ammai dis utat în le t, iile pre edente, da   des rierile matemati esunt e hivalente, nimi nu fa e o des riere mai "real " de âtalta. Astfel, âmpurile ele tri e pot ap rea în prima instant,  am "misti e", nenaturale. De e ar trebui s  introdu emun element adit,ional are nu se vede u o hiul liber ( âmpulele tri ), are este generat în tot Universul de o simpl  sar in ele tri   s, i a  rei "potent, " se poate m sura doar plasândo alt  sar in  ele tri   în apropiere? Pare   ne ompli  mmai mult ! În plus, �e are sar in  ele tri   din Univers vaprodu e propriul ei âmp ele tri s, i pe toate a estea trebuies  le adun m, dup  um adun m s, i fort,ele într-un pun t.Cu toate a estea, vom vedea mai târziu   to mai a east des riere u âmp ele tri este mai "real " de ât ea u fort,e,pentru simplul motiv   a este âmpuri ele tri e pot evoluaîn ontinuare hiar s, i atun i ând sar inile ele tri e e le-augenerat au fost eliminate! Pra ti , âmpul ele tri ap t propria lui viat, , în lipsa sar inilor ele tri e...29. Broas a ele tro utat  s, i aparit, ia baterieiAm ment, ionat faptul a ele tronii (sar ini ele tri e neg-

32 Capitolul 2 : Electromagnetismative) posed  o anumit  mobilitate. Desigur, mobilitateaa easta depinde de material s, i ea este ea mai mare în metale.În se olul al XVIII-lea fuseser  deja onstruite dispozitivespe iale ( a de exemplu generatorul van der Graa�) arepermiteau extragerea ele tronilor prin fre are s, i depozitarea lorpe ondu tori metali i. De ai i, ele tronii puteau � pus, i apoiîn mis, are pentru produ erea anumitor efe te, a de exempludes  r  ri ele tri e. Cu toate a estea, un dispozitiv are s întret, in  ontinuu mis, area ele tronilor nu fusese des operit.Spre sfârs, itul se olului, Luigi Galvani (1737-1798), areefe tua experimente u ele tri itate pe broas,te, a observat unlu ru urios. Astfel, el a pus în onta t apetele a dou  �remetali e de materiale diferite. Apoi, u elelalte dou  apeter mase libere a atins mus, hii unei broas,te, are apoi s-au onvulsionat instantaneu. Dou  teorii au ap rut apoi are s expli e fenomenul. Prima, sust, inut  de Galvani, spunea  mus, hii genereaz  ele tri itate, eliberat  apoi de �rele metal-i e. A doua, sust, inut  de Alessandri Volta (1745-1827), spunea   �rele de metale diferite în onta t genereaz  ele tri itate,la are mus, hii broas,tei doar rea t,ioneaz .Cupru

Zinc

Figure 2.5: Experimentul lui Galvani. Ai i dou  �remetali e de zin s, i upru sunt aduse în onta t la ap tuldin dreapta �gurii. Ele formeaz  atun i la el lalt ap t(stânga �gurii) o baterie ele tri   e genereaz  s,o uriele tri e în mus, hii broas, tei.Pân  la urm , în azul studiat, s-a dovedit   Volta aredreptate, des, i, dup  um a presupus Galvani, ele tri itateapoate � produs  s, i de orpurile vii. Pentru a-s, i demonstrateoria, Volta a onstruit o su esiune de dis uri de metalediferite (zin s, i upru) în onta t, alternate u bu  t, i de arton impregnate u sare. În a est fel, el a onstruit de faptprima baterie are, �ind apabil  s  genereze sar ini ele tri eîn mis, are într-un mod ontinuu, s-a dovedit apoi ru ial  înurm toarele experimente de ele tri itate.O simpl  baterie se poate onstrui u ajutorul unei l mâi, în are la un ap t b g m un ui, iar la el lalt ap t punem omoned  de upru. Pra ti , l mâia joa   rolul bu  t, ii de artonimpregnate u sare din onstru t,ia lui Volta, �ind un ele trolit.Trebuie îns  spus  , pentru a lumina o simpl  diod  luminoas ,avem nevoie de âteva astfel de "baterii u l mâi" în serie.Interesant este  , pân  ast zi, prin ipiul bateriilor nu s-as himbat prea mult. Avem desigur metale diferite, ele trolit,idiferit, i, geometrii diferite, et ., îns  prin ipiul de baz  asupraviet,uit iat , mai mult de dou  se ole de la invent, ia lui.A esta este s, i motivul pentru are miniaturizarea bateriilor nupoate � onsiderat  de ât part,ial un su es... Desigur, bateriilese pot fa e mai mi i, dar la fel s, i energia sto at  în ele. În �nal,

Figure 2.6: Bateria lui Volta onsta în esent,a din treielemente: un dis de upru, unul de zin s, i între ele unele trolit ( a de exemplu hârtie impregnat  u sare). A esteelemente sunt as,ezate într-un sandwi h unul peste altulpentru a rea o tensiune ele tri   ât mai mare.densitatea de energie din toate bateriile r mâne am a eeas, i,deoare e propriet t,ile ele trolit, ilor r mân asem n toare. Dea eea avem în   baterii voluminoase s, i grele da   avem nevoiede energii mari.Sar inile ele tri e generate de  tre baterie sunt ole tatede obi ei prin dou  �re metali e as,ezate la apetele ei. S-aobservat apoi   alte �re metali e pot � utilizate de asemeneala transportul în ontinuare al sar inilor, punând astfel bazeleprimelor ir uite ele tri e. A est lu ru nu trebuie s  nesurprind    i metalele sunt ondu toare, prin ele sar inileele tri e ir ul  foarte us,or. Cir ulat,ia de sar ini ele tri e din ondu tori este uanti� at  de urentul ele tri . A esta sede�nes,te a �ind antitatea de sar in  ele tri   e tre e prin ondu tor în unitatea de timp.

Figure 2.7: În �gur  este exempli� at um putem aprindeo diod  luminoas , onfe t,ionând o baterie în bu  t ria asei. Pentru a easta, avem nevoie de âteva l mâi uele trozi "implantat,i", one tat,i în serie. Un ele trod poate� o moned  de upru iar el lalt un ui galvanizat (a operitde obi ei u un strat subt,ire de zin ). În er at,i!În �nal, s  ment, ion m   metoda lui Galvani de a generas,o uri ele tri e broas,tei a fost extins  azi în domeniul medi al.Astfel, în azul unui stop ardia , se poate folosi un aparat

71Capitol 3Relativitate restrâns În apitolul pre edent am v zut um ele tromagnetismul,elaborat pe par ursul se olului XIX, expli   foarte binefenomenele ele tri e s, i magneti e. Des, i nu am insistat, pepar ursul prezent rii teoriei am folosit un singur sistem dereferint,  inert,ial în are a east  teorie se elaboreaz . Desigur,am avut în minte un sistem de referint,  �x în raport uP mântul, pe suprafat,a  ruia am efe tuat experimentele.Problema major  este îns    P mântul îs, i s himb  dire t, iade mis, are în de ursul unui an s, i de fapt noi am veri� at,f r  voie, a eleas,i legi ale lui Maxwell în mai multe sistemeinert, iale... Desigur, a elas, i lu ru este valabil s, i pentru legileme ani ii newtoniene, unde a east  revelat,ie nu produ e nimi spe ial. În azul ele tromagneti ii îns , as,a um vom vedea, onstatarea de mai sus a produs o revolut,ie la în eputulse olului XX s, i a dat nas,tere teoriei relativit t, ii.53. Sistemele de referint,  inert, iale sunt e hivalenteÎn �zi  , un sistem de referint,  reprezint  un ansamblurigid de pun te din spat, iu fat,  de are se raporteaz  pozit, iaunui orp s, i  ruia i se atas,eaz  un sistem de trei axe x, y,z, numite axe de referint, . Pe par ursul a estui apitol, o s avem în vedere numai sistemele de referint,  ortogonale, unde ele trei axe x, y, z sunt perpendi ulare între ele.Pra ti , un sistem de referint,  ortogonal poate � privit a o hart  tridimensional : pozit, ia ori  rui pun t o putemdetermina u ajutorul a trei oordinate x, y, z. Interesanteste   putem alege, pentru a eeas,i situat, ie, o in�nitate desisteme de referint, ; depinde unde aleg entrul sistemului de oordinate s, i în e dire t, ie sunt orientate axele.Pentru un singur moment de timp, odat  e am alessistemul de oordinate (originea lui s, i orientarea), putemdetermina pozit, ia ori  rui pun t u ajutorul oordonatelorsale. Problema se ompli   îns  da   vrem s  studiem mis, area orpurilor în timp. De e? O s  spunet, i, doar putem alegeun sistem de referint,e pe are s -l p str m mereu a elas, i...Da   eu aleg originea hiar în olt,ul de sus al unei amere,iar ele trei axe date de ele trei dungi e formeaz  olt,ul,atun i pot determina pozit, ia unui pun t, în ori e moment,prin trei numere e se s himb  în timp x(t), y(t), z(t). Ele vorreprezenta traie toria orpului.Desigur, faptul   putem des rie mis, area orpurilor în timpîn a elas, i sistem de referint,  este ore t. Trebuie numai s  ons,tientiz m eea e se întâmpl  u sistemul de referint, însus, i... De multe ori avem senzat, ia unui sistem de referint, absolut, are st  �x, f r  s  se mis,te sau s  se roteas  , îna eeas, i pozit, ie din spat, iu. A est lu ru îns  nu este adev rat,   i nimeni nu a putut g si un astfel de sistem de referint, absolut pân  a um...Astfel, în azul olt,ului de amer , este lar   sistemulde referint,  nu este un sistem de referint,  absolut,   i a est olt, de amer  se mis,   odat  u P mântul în jurul Soarelui!Un sistem de referint,  �xat rigid pe Soare ar � probabil maiaproape de el absolut, da   n-am realiza   s, i Soarele semis,   fat,  de stelele �xe...

x

y

z z'

x' y'

v

O

O'

xA

yA

zA

A

Figure 3.1: Dou  sisteme de oordinate ortogonale (Oxyzs, i O′x′y′z′) în mis, are unul fat,  de altul u viteza v.Pozit,ia ori  rui pun t A se determin  u ajutorul a treinumere în �e are dintre a este trei sisteme de oordinate,{xA, yA, zA} sau {x′A, y

′

A, z′

A}.Într-o prim  instant, , situat, ia a easta omplex  se poateignora. Pot alege de exemplu sistemul meu de referint, ortogonal dat de olt,ul amerei. Este adev rat   a est olt, semis,  , îns  nu m  deranjeaz , în �e are moment eu determinpozit, ia pun telor din Univers raportate la a est olt,, oriundes-ar a�a a est olt, ... Pentru un p ianjen are îs, i fa e plas  îna el olt, de amer  nu prea are sens s  s,tie mis, area olt,ului,pentru   ori um el se deplaseaz  prin Univers odat  u el.Dar, pentru o înt,elegere a unor multitudini de evenimentedin Univers, ar � bine s  s,tiu um se mis,   olt,ul amereimele (originea sistemului de referint, ) prin a est Univers...Cu alte uvinte, ar � bine s  ons,tientizez mis, area sistemuluide referint, . Ajungem astfel la on luzia  , pentru a des rieevolut,ia temporal  a sistemelor �zi e, avem nevoie s  s,timnu numai originea s, i orientarea sistemului de oordinate laun moment dat, dar s, i mis, area a estora prin spat,iu. Avematun i o ole t,ie in�nit  de sisteme de oordinate, are semis,   unele fat,  de altele, pe traie torii urbe, a elereaz ,et . Dintre a estea îns , ele mai importante vor � pentru noisistemele de referint,  inert,iale.Oare âte nu sunt lu rurile otidiene din jurul nostru are nespun eva fundamental despre Univers? Cerul întune at nespune   Universul are o dimensiune s, i vârst  �nit , altfel am� inundat, i de lumina stelelor (paradoxul lui Olbers). Faptul   apar linii întune ate între dou  degete pe are le apropiemne spune   lumina este o und . Oare e se as unde în spatelefaptului   nu putem du e de ât trei linii perpendi ulare una

72 Capitolul 3 : Relativitate restrânsape ealalt ? Nimeni nu s,tie...Teoreti , sistemul de referint,  inert,ial este a el sistem dereferint,  în are mis, area unui orp l sat liber, asupra  ruianu a t,ioneaz  ni i o fort, , este re tilinie s,i uniform . Estepra ti a el sistem are satisfa e prima lege a lui Newton, are ne spunea   un orp l sat liber se mis,   re tiliniu s, iuniform. C  i, da   as, avea un orp liber de fort,e în vidul osmi s, i sistemul meu de referint,  a elereaz  fat,  de orp,atun i mis, area orpului în a el sistem de referint,  va p reaa elerat ! Un astfel de sistem nu satisfa e ni i legile luiNewton, ni i intuit, ia noastr : de e ar a elera orpul da   nua t, ioneaz  o fort,  asupra lui?S  mai observ m   ori e sistem de referint,  are se mis,  liniar s, i uniform fat,  de a est obie t l sat liber în in�nitatea osmi   este de asemenea un sistem de referint,  inert,ial. Înpra ti  , sistemele de referint,  inert, iale sunt a elea are semis,   u vitez  onstant  în raport u un sistem imaginar are este de�nit de stelele �xe. Foarte important este îns  s remar  m   toate sistemele de referint,  inert,iale se mis,  unul fat,  de altul u vitez  onstant .Este us,or s  ne imagin m a este sisteme de referint, inert, iale,   i avem experient,a lor aproape zilni . Un astfel desistem este el pe are îl de�nim ând st m în repaus pe unperon. Axele a estuia le putem �xa rigide fat,  de peret, ii g rii.O minge asupra  reia nu a t, ioneaz  ni i o fort,  r mâne înrepaus fat,  de a est sistem.Un alt sistem inert, ial este el pe are îl de�nim atun i ândsuntem într-un tren e ir ul  u vitez  onstant . Axelea estui sistem le �x m rigid de peret, ii trenului. Uitându-nepe fereastr , am putea a um vedea mingea de pe peron umse deplaseaz , u vitez  onstant , în dire t,ia opus  trenului.A est lu ru satisfa e îns  legea lui Newton, are ne spune   un orp asupra  ruia nu a t, ioneaz  fort,e se deplaseaz  u vitez  onstant . Ori asta este exa t eea e se întâmpl  u mingea:ea pare   se deplaseaz  în sens opus u vitez  onstant !Desigur, în azul mingii ne d m seama   noi suntem ei e ne deplas m,   i putem privi apoi opa ii în mis, are, saugara. De âte ori nu ne îns,el m îns , atun i ând un tren delâng  noi pornes,te în et, iar noi ne speriem pentru un s urtmoment, având senzat,ia   trenul nostru este el ple at?Mai iudat îns , ând ne a� m în tren s, i d m drumul la unobie t s  ad  jos, el ade în mod natural pe podea, f r  ar mâne în urma trenului. De fapt, da   am trage perdelele s, iam a operi ferestrele s, i am avea el mai silent, ios tren, ni i nuam putea s,ti   ne a� m în tren! Am putea merge u 100 deKm/h s, i tot nu ne-am putea da seama   trenul merge, ori âteexperimente me ani e am efe tua în abin ...A est aspe t a fost în apsulat de Galileo Galilei în prin ipiulde relativitate e îi poart  numele s, i are spune   toatesistemele de referint,  inert, iale sunt e hivalente pentru legilelui Newton. Pra ti , legile me ani ii sunt a eleas,i în �e aredin a este sisteme. A easta expli   de e orpurile ad simplupe podeaua trenului în mis, are, pentru   putem apli a pur s, isimplu legea  derii orpurilor libere în sistemul de referint,  altrenului, as,a um o s,tiam din sistemul de referint,  al peronului.Desigur, omportarea  derii orpurilor în tren o putemexpli a si altfel, da   onsider m   toate orpurile în  dereliber  din interiorul trenului în mis, are primes un impuls îndire t, ia de mis, are a trenului. Pra ti , as,a um am dis utatla le t, ia de me ani  , ele vor ir ula paralel s, i sin ron upodeaua trenului, v zut de pe peronul trenului. De a eea,lu ru foarte important, un observator din tren sau unul de

pe peronul trenului va prezi e a eeas,i mis, are a orpului în  dere, fat,  de tren, f r  s  se ontrazi   unul pe altul.54. E uat, iile lui Maxwell sunt a eleas, i în toatesistemele inert, iale, sau um am zugr vit asa ve inuluiS  revenim a um la âmpul ele tromagneti s, i s  neîntreb m în are sistem inert, ial am elaborat noi teoria ele tro-magnetismului. Desigur, ne-am � dorit s  o � elaborat într-unfel de "sistem inert, ial absolut", da   el o � existând... s, i astfels  � s  pat de toate grijile. Cu toate a estea, in ons,tient, amefe tuat toate experimentele de ele tromagnetism pe suprafat,aP mântului. Partea proast  este   P mântul se mis,   înraport u Soarele s, i de i nu poate � un "sistem inert, ial abso-lut", des, i poate � onsiderat un sistem de referint,  inert,ial pemomente s urte.Astfel, am dovedit valabilitatea e uat, iilor lui Maxwellîntr-un sistem de referint,  inert, ial parti ular, are este �x uP mântul s, i nu are ni i un ara ter de "sistem de referint, absolut"! Suntem astfel în situat, ia unui zugrav are zugr ves,teo as  foarte frumos s, i, la întoar erea proprietarului, îi arat a estuia mun a minunat . Proprietarul este de a ord, f  ândîns  observat,ia   a ea as  este a ve inului s, i nu a lui.

Figure 3.2: Pozit,ia P mântului în patru lo uri ale orbiteisale în jurul Soarelui. Noi am veri� at, de-a lungul anului,legile lui Maxwell într-un sistem de referint,  inert,ialparti ular, �xat în a elas, i lo pe suprafat,a P mântu-lui (reprezentat în �gur  prin nis,te �guri mi i). CumP mântul îns  îs, i s himb  pozit,ia în timpul anului, noiam veri� at f r  s  vrem legile lui Maxwell în mai multesisteme de referint, . Cum ni i unul nu este preferent,ials, i um legile lui Maxwell nu ont,in un termen referitor laviteza P mântului, e musai atun i a legile lui Maxwell s �e valabile în ori e sistem de referint,  inert,ial!De fapt, da   urm rim mis, area P mântului, vedem  viteza P mântului îs, i s himb  dire t,ia s, i de i noi am veri� atexperimental legile lui Maxwell într-o multitudine de sisteme

55. Câmpurile electrice s, i magnetice iau valori diferite în sisteme de referint,a inert,iale diferite 73de referint,  inert, iale! Cum e uat, iile lui Maxwell nu ont,in ni iun termen referitor la viteza P mântului, nu ne r mâne de âtde on luzionat   ele sunt probabil valabile în ori e sistem dereferint,  inert, ial...Mare s ofal , o s  spunet, i, înseamn  atun i   s, i legile luiMaxwell satisfa prin ipiul de relativitate al lui Galiei, a s, ilegile lui Newton: ele sunt a eleas, i în ori e sistem de referint, inert, ial. Care este problema?În se t, iunile urm toare o s  dis ut m âteva probleme. As,a um vom vedea, ea mai mare problem  este viteza luminii(viteza undelor ele tromagneti e), are este o onstant universal  în e uat, iile lui Maxwell. Atun i lumina trebuie s mearg  u a eeas,i vitez  (egal  u valoarea onstantei) da  este privit  din ori e sistem de referint,  inert, ial... Ori um sepoate as,a eva, din moment e sistemele de referint,  inert, ial se deplaseaz  unele fat,  de altele?În ontinuare vom vedea   e hivalent,a e uat, iilor lui Maxwellîn diverse sisteme de referint,  inert, iale pune probleme serioase.De fapt, ai i este pun tul unde se sparge me ani a lasi   s, i are impune teoria relativit t,ii restrânse. De a eea poate  n-ar � r u s  re apitul m ordinea a estor argumente ru iale:1. E uat, iile lui Maxwell au fost obt, inute într-un sistem inert,ialrigid u P mântul.2. E uat, iile lui Maxwell nu ont,in ni i un termen are s  serefere la viteza P mântului.3. P mântul nu este spe ial în Univers, ba mai mult, el aredire t, ii diferite de mis, are în diverse momente ale anului. În�e are moment noi am veri� at astfel e uat,iile lui Maxwellpentru diferite sisteme de referint,  inert, iale.Din observat,iile de mai sus nu se poate trage de ât o singur  on luzie logi  : E uat,iile lui Maxwell sunt a eleas, i în ori esistem inert,ial !Da   nu v  onving argumentele de mai sus, atun i putemadu e s, i veri�  ri experimentale. S  ne gândim numai lasatelit, ii lansat,i pe orbite în jurul P mântului sau în sistemulSolar, are efe tueaz  m sur tori bazate pe âmpuri ele tro-magneti e. În fond, ne-am � as,teptat hiar a a es,ti satelit, is  se pr bus,eas   da   e uat, iile lui Maxwell ar � fost diferiteîn sistemele de referint,  inert, iale ale satelitului, pentru  ele troni a de la bord nu ar mai � fun t, ionat as,a um am onstruit-o noi pe P mânt...55. Câmpurile ele tri e s, i magneti e iau valori diferiteîn sisteme de referint,  inert, iale diferiteÎn pun tul pre edent am ajuns la on luzia   e uat, iile luiMaxwell sunt a eleas, i în ori e sistem inert, ial. S  dis ut ma um despre prima onse int,  major  a a estei observat,ii.Pentru a easta, s  studiem put, in legile ele tromagnetismuluiîn dou  sisteme de referint,  inert, iale diferite. S  alegemdou  azuri ment, ionate mai devreme, el al trenului s, i el alperonului.Pentru us,urint,a exprim rii, ând vom spune de a um în olo   un observator din tren m soar  eva, înt,elegem   el fa ea ele m sur tori în sistemul de referint,  inert, ial are este rigid u trenul. Desigur, a elas,i lu ru va � subînt,eles s, i pentruobservatorul de pe peron: ând el m soar  eva, el m soar  înraport u sistemul de referint,  e este �xat rigid de peron.S  în epem a um u un az simplu: s  presupunem   întren se a�  o sar in  ele tri   în repaus. Atun i, un observatordin tren ar raporta numai un âmp ele tri , sau mai bine spusun âmp ele trostati , pentru   sar ina ele tri   nu este înmis, are fat,  de tren. Pe de alt  parte, observatorul de peperon va vedea o sar in  ele tri   în mis, are, are genereaz 

astfel s, i âmp ele tri s, i âmp magneti ! Ce se întâmpl  atun i u âmpul magneti , este el sau nu este în realitate?Figure 3.3: Avem o sar in  ele tri   în tren. Pentruobservatorul din tren (stânga), sar ina este în repaus,de i a easta produ e numai âmp ele tri E. Pentruobservatorul de pe peron (dreapta), sar ina ele tri   esteîn mis, are, de i produ e s, i âmp magneti B, are estedesenat într-un plan perpendi ular pe dire t,ia de mis, are atrenului. Ce se întâmpl ? Produ e sar ina ele tri   âmpmagneti sau nu? Cum poate un observator ( el de peperon) s  vad  s, i âmp magneti iar altul ( el din tren) s vad  numai âmp ele tri ?Chiar da   întrebarea pare în uietoare, solut,ia nu este. V mai adu et, i aminte ând am spus   trebuie s  lu m legile �zi ii a pe nis,te e uat, ii matemati e are des riu lumea s, i nimi maimult? Cum âmpul ele tri , are este un âmp ve torial, nueste o ole t,ie de "s get,i �zi e" de are ne înt,ep m, i un sistemmatemati are des rie um se omport  sar inile ele tri e?Ei bine, a um avem a eeas, i situat, ie. Fie are din ei doiobservatori are sistemul s u matemati are des rie lumea, u alte uvinte anumite valori pentru âmpul ele tromagneti .Câmpurile ele tri e s, i magneti e vor � îns  diferite în eledou  sisteme de referint, , pentru   sistemele u are des riuei lumea sunt diferite! Ciudat nu? Desigur, dar adev rat. Ceea e e important, este   ambii observatori s  prezi   a eeas, imis, are a sar inilor ele tri e, altfel ar ies, i ontradi t,ii.Faptul   doi observatori, din dou  sisteme inert, iale, prezi a eleas, i rezultate pentru mis, area sar inilor, nu este delo evident. În exemplul nostru, ne putem imagina   vrem s  al ul m are este fort,a u are a t, ioneaz  sar ina din trenasupra unei a doua sar ini ele tri e de prob , a�at  tot întren. Vor prezi e s, i observatorul din tren s, i el de pe perona eeas,i in�uent, ? Va avea sar ina de prob  a eeas, i mis, are înambele azuri? S  vedem...Observatorul din tren ar al ula âmpul ele tri dat deprima sar in  ele tri  , apoi fort,a ele tri   asupra sar inii deprob , pentru a în �nal s  determine mis, area a esteia, înparti ular a elerat,ia ei. Observatorul de pe peron va al ulas, i âmpul ele tri s, i âmpul magneti dat de prima sar in din tren ( are se mis,   pentru el). Apoi va al ula s, i el fort,ele e a t, ioneaz  asupra sar inii de prob , îns  nu numai fort,aele tri  , dar s, i pe ea magneti   pentru  , pentru el s, isar ina de prob  va � în mis, are. În �nal, folosind fort,ele, vaobt, ine s, i el o a elerat,ie pentru sar ina de prob .S  observ m îns  um âmpul ele tromagneti este diferitpentru ei doi observatori, a s, i fort,ele e a t, ioneaz  asuprasar inilor s, i de i nimi nu ne asigur    ei vor obt, ine în �nala eeas, i a elerat,ie a sar inii de prob ! Pra ti , noi nu putem� siguri   ei vor prezi e a eeas, i mis, are a sar inilor, ea arese observ  în pra ti  ...Partea ea mai interesant  este  , pentru viteze mi i alesar inii, folosind e uat, iile lui Maxwell (�e are în sistemul lui

74 Capitolul 3 : Relativitate restrânsa

vvB'

v

E'

+q

+qE

vF'e

F'mF

e

Figure 3.4: Stânga: Dou  sar ini ele tri e pozitive se resp-ing într-un ompartiment de tren (în  sut,  este s hit,at fort,a ele tri   e a t,ioneaz  asupra sar inii de sus).Dreapta: Fat,  de un observator de pe peron, ambele sar inisunt în mis, are. În a est az prima sar in  ( ea de jos)genereaz  un âmp ele tri modi� at E′, dar s, i un âmpmagneti adit,ional B

′. Cea de-a doua sar in  ( ea de sus)este a um în mis, are în a est âmp magneti s, i ea va simt,io fort,  magneti   adit,ionala (vezi  sut,a din dreapta). Înprin ipiu, suma fort,elor magneti e s, i ele tri e în azul dindreapta ar putea � diferit  de fort,a ele tri   din stânga, eea e înseamn    ei observatori ar prezi e mis,  ri diferiteale elor dou  sar ini. Cu toate a estea, s, i ai i este mira- olul e uat,iilor lui Maxwell, fort,a magneti   din dreapta ompenseaz  exa t s  derea fort,ei ele tri e, în as,a fel în ât ele dou  fort,e totale din stânga s, i dreapta sunt egale!de referint, ), ei doi observatori vor obt, ine a eeas, i valoare aa elerat,iei. Cum se poate? Da   am studia al ulele, e uat, ie u e uat, ie, am observa   heia întregii potriviri o poart fort,a magneti  . Astfel, a easta este luat  în onsiderare doarde observatorul de pe peron, dar ea are pre is valoarea are ompenseaz  diferent,a de fort,  ele tri   raportat  de ei doiobservatori. De fapt, la viteze apropiate de viteza luminii,exist  on�gurat,ii în are fort,a ele tri   este aproape ompletînlo uit  u ea magneti   s, i totus, i ei doi observatori prezi a eeas, i mis, are a sar inilor.Un alt exemplu de orelat,ie strâns  dintre âmpul ele tri s, i magneti este legea indu t, iei magneti e. Ai i un âmp mag-neti variabil indu e o tensiune ele tri   într-un ondu tor.A east  tensiune ele tri   pune apoi în mis, are ele tronii din ondu tor. Pra ti , ele tronii din ondu tor "simt" âmpulele tri e a fost generat de  tre âmpul magneti variabil, onform u e uat,iile lui Einstein.Pentru ineva de pe magnet îns  situat, ia e diferit , pentru a el nu vede âmp ele tri ( âmpul magneti este stati fatade el, nu e variabil), i doar âmp magneti . El vede îns  un ondu tor în mis, are, are se se deplaseaz  relativ fata de el s, ipresupune ore t a asupra sar inilor ele tri e din ondu tora t, ioneaz  fort,  magneti  , are le pune în mis, are. Ce puneatun i în mis, are sar inile din ondu tor, fort,  magneti  sau fort,a ele tri  ? Observatorul de pe ondu tor spune  fort,a ele tri  , iar el de pe magnet spune   fort,a magneti .Pra ti , �e are observator are r spunsul lui diferit, îns  elmai important este   ei prezi ambii a sar inile ele tri e vor� puse în mis, are s, i ambii vor  dea de a ord asupra vitezei.Ori a est lu ru este posibil to mai pentru a fort,  magneti  (proport, ional  u viteza s, i âmpul magneti ) are o valoare efa e posibil  a easta potrivire.

"Potrivirea" a easta a fort,ei magneti e se poate înt,eleges, i antitativ, da   vizualizam âmpul magneti neuniform almagnetului. Da   ne-am a�a pe ondu tor, am vedea ummagnetul se mis, a fata de noi s, i de i um noi vom per epea est âmp magneti a �ind variabil pentru noi. Ori gradulde "variabilitate" depinde de viteza u are magnetul se mis, afata de noi, de i u vitez  relativ  dintre magnet s, i ondu tor.Cres,te viteza, res,te s, i variat,ia âmpului. A easta variat,ie esteîns  proport,ional  u âmpul ele tri generat, de i u fort,aele tri   pe are o simt sar inile în ondu tor. În plus, a eas, ivariat,ie depinde s, i de m rimea total  a âmpului magneti are variaz . Estimativ atun i, âmpul ele tri pe are îl simtsar inile din ondu tor res,te u sar ina ele tri  , u vitez relativ  a ondu torului fata de magnet s, i u âmpul magneti .

Figure 3.5: Un magnet s, i un ondu tor sunt în mis, arerelativ . Datorit  a estui lu ru, âmpul magneti in-du e urent ele tri în ondu tor. Stânga: în sistemul dereferint,  al ondu torului magnetul în mis, are reeaz  âmpmagneti variabil, are la rândul lui reeaz  âmp ele tri e a t,ioneaz  asupra sar inilor ele tri e. Mis, area a estora ondu e apoi la un urent ele tri . Dreapta: în sistemulde referint,  al magnetului, ondu torul este în mis, are s, i u el sar inile ele tri e din ondu tor (ele tronii). Asupraele tronilor a t,ioneaz  numai fort,a magneti  , pentru   îna est sistem de referint,  magnetul este stati s, i de i nu ex-ista âmp ele tri . Fort,a asupra ele tronilor va genera dinnou urent ele tri . La viteze mi i, fort,a asupra ele tron-ilor va � de fapt a eeas, i indiferent de sistemul de referint, ales s, i la fel va � s, i urentul ele tri generat. Exemplulne arat  în   odat    nu apar ontradi t,ii ând folosime uat,iile lui Maxwell dintr-un sistem de referint,  în altul s, ide i a este legi r mân valabile în ori e sistem de referint, .Pe de alt  parte, un observator a�at pe magnetul în mis, arevede doar o sar ini ele tri e ( ele din ondu tor) e se mis,  relativ la el. El nu observ  âmp ele tri , i doar âmp mag-neti . Cu toate a estea, s,tie de la primul observator   asuprasar inii s-a a t, ionat u o fort, . Cum nu are âmp ele tri , elnu poate da vin  de ât pe âmpul magneti , are a t,ioneaz asupra sar inii. Mai mult, va trebui s  on luzioneze  a east  fort,  res,te u sar ina ele tri  , âmpul magneti s, i u viteza sar inii, as,a um a prezis primul observator, pentrua raporta a eeas, i mis, are a sar inii ele tri e.Vedem astfel a fort,  magneti   are o form  spe ial on-struit , pentru a doi observatori din sisteme inert, iale diferites  prezi   a eleas, i rezultate, folosind �e are în parte legilelui Maxwell. Este desigur remar abil  , la viteze mi i, fort, magneti   potrives,te as,a de bine lu rurile.Desigur, da   era s  � onstruit noi Universul, am � ales o

107Capitol 4Relativitate generalizat Cine presupune   teoria relativit t,ii generalizate este multmai di� il  de ât ea a relativit t, ii restrânse, s-ar putea îns,ela.Este adev rat   e uat, iile sunt mult mai omplexe, îns  bazateoriei, metri a spat,iu-timpului, a fost deja onstruit  înteoria relativit t,ii restrânse. Asa um am dis utat in apitolulpre edent, a easta reprezinta o formula e ne da "distanta"dintre doua evenimente in spatiu-timp, a easta distantaputandu-se masura �e u rigla �e u easul.Tot eea e trebuie ad ugat in teoria relativitatii generalizatesunt trei ingrediente aditionale: forma urb  a a estei metri i,formula are ne spune um se onstruies,te metri a urba, s, ie uatiile are spun um se mis,   materia în a east  metri  .Restul sunt detalii...O s  pornim s, i noi la drum, dis utând despre esent,a teorieirelativitatii generalizate in a din primele se t, iuni. A eastareprezinta o rasturnare a metodei pedagogi e obisnuite, arein epe de la lu rurile simple, pre um urbura luminii saudilatarea timpului in ampuri gravitational si apoi merge atre lu rurile mai omplexe, a de exemplu metri a spatiului urb. Noi insa o sa fortam putin apa itatea de asimilare adumneavoastra, si o sa in er am sa onstruim esenta teorieipe elementele apitolului pre edent, in mod spe ial metri aspatiu-timpului. Abia dupa a easta urmeaza s  dis ut mapli at, iile s, i nout t, ile teoriei.75. Teoria in omplet  a gravitat, ieiÎn apitolul de relativitate restrâns  am dis utat extensivdespre e uat, iile ele tromagnetismului, pe "spinarea" aroraam dezvoltat de fapt teoria. Dupa um ati vazut insa, nune-am "atins" de teoria atra tiei gravitationale a lui Newton,desi si a easta trebuie fa uta ompatibila u teoria relativitatiirestranse. De exemplu, nu am dis utat despre fort,a de atra t,iegravitationala dintre orpuri, are este instantanee in teorialui Newton, des, i relativitatea restrâns  ne spune   ni i oinformat, ie nu poate ir ula u o viteza mai mare de at vitezaluminii. Cu alte uvinte, nu se poate a un orp s  atrag instantaneu un alt orp a�at la mii de ani lumin ...Am putea extinde legea de atra t,ie gravitationala a lui New-ton, luând în al ul viteza �nit  a luminii? R spunsul este pozi-tiv. Da   vrem s  onstruim o teorie în are in�uenta gravitat,ieis  nu dep s,eas   viteza luminii, ea mai natural  în er are estes  presupunem   a easta se deplaseaz  exa t u viteza luminii.Pentru a easta ar trebui sa pornim de la potentialul grav-itational, si nu de la forta, are este o onse inta a lui. A estpotential gravitational ne este familiar, el �ind proportional uenergia potentiala pe are o a umuleaza un orp de proba a�atin a el amp gravitational. Pra ti , potentialul gravitationalne spune are este "potenta" orpului de proba are s apa dea olo, at de multa energie poate el onverti apoi in energie ineti a... El reste u masa a elor orpuri are reeaza ampulgravitational, si este mai puterni in apropierea a estora. Amputea spune a potentialul gravitational este foarte asemanatorpotentialului ele tri ( el are de�neste tensiunea ele tri aintre doua pun te), atata doar a forta e rezulta din el (forta

Figure 4.1: Atra t,ia gravitat,ional  pe are o exer it P mîntul se poate des rie s, i prin intermediul potent,ialuluigravitat,ional V (r). Ai i r reprezint  distant,a de la pun tulde masur  la entrul P mantului. Potent,ialul gravitat,ional reste u masa Pamantului M si s ade invers proportional u r. În plus, el poate � privit a o und  sferi   e plea  din entrul P mantului s, i are se se deplaseaz  u viteza�nit  a luminii. Ca atare, P mântul nu atrage orpurilea olo unde potent,ialul gravitat,ional în   n-a ajuns! En-ergia potent,ial  a unui orp în âmpul gravitat,ional alP mantului se s rie simplu a E = mV (r), �ind dat  demasa orpului s, i de potent,ialul gravitat,ional în pun tulunde se a�  orpul. La în lt,imi h mi i fat,  de suprafat,aP mântului, potent,ialul graviational ia forma simpl V = gh, unde g este a elerat,ia gravitat,ional .gravitationala) este mereu de atra tie, si nu de atra tie si derespingere a in azul fortei ele tri e.Da a vrem sa extidem teoria gravitatiei in asa fel in atintera tiile gravitationale sa se deplaseze u viteza maxima aluminii, putem opia reteta potentialelor ele tri e din teoriaele tromagnetismului. E uat, iile pe are le vom obtine sedovedes nu prea omplexe, s, i asem n toare u ele ale uneisar ini ele tri e are emite potent, iale ele tri e sub forma unorunde sferi e e se deplaseaz  u viteza luminii. Teoria astfelobt, inut  se numeste a potent,ialelor gravitat,ionale retardate.Potentialele se numes "retardate" pentru   ele ir ul  u ovitez  egal  u ea a luminii s, i de i ajung intr-un pun t anumedin Univers mai târziu, si nu instantaneu.Pra ti , atun i �e are orp isi extinde in�uenta gravitation-ala ontinuu, prin intermediul unui front de unde sferi e e sedeplaseaza pre is u viteza luminii. Ori, u alte uvinte, un orp emite in ontinuu unde e sunt e hivalente potentialelor

108 Capitolul 4 : Relativitate generalizatagravitationale, unde e se deplaseaza u viteza luminii. Atentieinsa, asa um vom vedea mai tarziu, a estea nu sunt in aunde gravitationale, pentru a ele nu poarta intrinse energie(altfel, un orp lasat liber in Univers ar pierde in ontinuuenergie prin a est me anism si masa lui ar s adea, eea e nueste in a azul).Teoria potentialelor gravitationale retardate, des, i adev rat într-o prim  aproximat,ie, nu este ins  solutia �nal ! Cualte uvinte, formula potent, ialelor gravitat,ionale retardatenu reprezint  forma omplet  a teoriei gravitat,iei, des, i teoriagravitat,iei se redu e într-o prim  aproximat,ie la a easta.A est lu ru a fost a entuat în mod spe ial de AlbertEinstein, desi a esta a urmat o alta ale de gandire. Astfel,Einstein a fost nemult,umit de faptul   teoria relativit t,ii re-stranse se restrânge la azurile sistemelor de referinta inert,iale.El a sesizat leg tura dintre sistemele de referinta inertiales, i âmpul gravitat,ional, pentru   sistemele inert, iale trebuie  utate la dep rtare de âmpuri gravitat,ionale s, i a presupus   in�uent,a âmpului gravitat,ional este mai profund .Epopeea  ut rii sale a durat ât, iva ani, pân  în anul 1915, ând formulele prin ipale are o des riu au fost g site. S în er  m s, i noi s  urm rim în parte a east  urgere a ideilor,pornind de la a ele observat,ii are l-au f  ut pe Einstein s  read    gravitat,ia joa   un rol mai profund în natur  de âto simpl  fort,  de atra t,ie.Dup  um vom vedea in �nal, gravitat,ia se va dovedi multmai mult de ât o simpla intera tie e se deplaseaza u viteza�nita a luminii. Astfel, forta gravitationala va � intrinse diferita de tot restul fort,elor din Univers (ele tromagneti  ,nu lear  sau slab ). Forta gravitationala va � in �nal omanifestare dire t  a propriet t,ilor spat,iu-timpului asupraobie telor are sunt il el !Ori, in termeni tehni i, metri a spatiu-timpului este ea areva determina um se mis a obie tele, si nu forta gravitationala.De a eea, asa um vom aminti des, �zi ienii pun astazi un semnde egalitate intre gravitatie si teoria relativitatii generalizate.Ambele sunt a elasi lu ru.76. Prin ipiul e hivalentei si heia înt,elegeriirelativit t, ii generalizatePoate p rea iudat, dar motivul pentru are Einstein s-aîn  p t,ânat s  read    gravitat,ia joa   un rol spe ial sereg ses,te în gândirea s, i experimentele lui Newton. Astfel, New-ton a realizat   teoria sa are un aspe t pe are nu îl putea ex-pli a: e hivalent,a dintre masa inert,ial  s, i masa gravitat,ional .Am dis utat a est pun t în apitolul de me ani  , dar s re apitul m pe s urt ai i. Masa inert,ial  a unui orp se al uleaz  în experient,e în are nu intervine gravitat,ia. Ease de�nes,te   raportul dintre fort,a u are se trage de un orp s, i a elerat,ia pe are a east  fort,  o imprim . Pe dealt  parte, masa gravitat,ional  se de�nes,te a raportul dintrefort,a u are orpul este atras de P mânt (da a ar � asezatpe suprafata lui) s, i o onstanta universala g, e reprezintaa elerat,ia u are toate orpurile ad pe P mânt (si are arevaloarea g = 9.8m/s2).Cele dou  valori ale maselor au primit denumiri diferite,deoare e sunt rezultate ale unor tipuri diferite de experient,e(a eler ri în imponderabilitate sau atra t,ie gravitat,ional ).Dupa um se vede, primul experiment este dinami ( orpurilese mis,  , pentru   noi tragem de ele) iar el de-al doileaeste stati s, i impli   gravitat,ia (P mântul trage de orpuri)...Vedem de i ai i o relat,ie intrinse   între mis, area orpurilor s, ifort,ele de gravitat,ie.Da a luam in onsiderare a si orpul despre are vorbim ar ade a elerat u a eeasi a eleratie g, atun i egalitatea elordoua mase s-ar expli a. Pra ti , Pamantul trage de el, el ade u a eleratia g iar masa inertiala va � dat de raportul fortei

F = mg si a eleratiei g de i va � in a est az egala u masagravitationala. Dar de fapt noi stim a si a est orp ade ua eleratia g. Egalitatea elor doua mase inseamna atun ipur si simplu a toate orpurile ad u a eeasi a eleratie g lasuprafata Pamantului (desigur, da a se neglijeasa fre arile).Cu alte uvinte, în ondit, ii ideale, dou  orpuri diferitel sate libere vor  dea în a eeas,i manier  pe P mânt, un lu rupe are îl s,tim de la experient,ele lui Galilei. Ori, într-o alt formulare put, in diferit : mis, area orpului m într-un âmpgravitat,ional este independent  de valoarea masei sale. Pun tula esta este esent, ial, as,a   merit  s  îl strig m în gura mare:Mis, area unui orp pun tual într-un âmp gravitat,ional esteindependent  de masa s, i ompozit,ia sa, da a se neglijeazafre arile.S, i totus, i, s, i-a zis Einstein, de e orpurile nu ad diferit în âmpul gravitat,ional, da   ele tot sunt diferite? Trebuie s �e un motiv mai profund de ât oin ident,a egalit t,ii maselorgravitat,ionale s, i inert, iale, as,a um a fost formulat  de Newton.C  i e determin  atun i mis, area a elui orp? Da   a east mis, are nu are de-a fa e u orpul însus, i (pentru   toate semis,   la fel) atun i e poate �? Cu e este in jurul orpului?Dar e este, a este numai spatiu vid... Ne apropiem deraspuns...

Figure 4.2: Reprezentare a lui Einstein a�at in imponder-abilitate intr-un lift. Intrebarea este, va putea sti Einsteinda a se a�a intr-un lift a�at in imponderabilitatea osmi a,departe de stele? Sau poate a se a�a intr-un lift in aderelibera? Cum in el de-al doilea az toate orpurile adsin ronizate Einstein n-ar putea observa diferenta fatade primul az. Pra ti , din interiorul liftului, Einsteinnu poate vedea da   este în imponderabilitatea spatiuluiinterstelar sau în  dere liber .De a eea, si pentru a r spunde la a east  întrebare, Einsteina imaginat elebrul experiment al liftului. În lift, o persoan fa e experimente u orpuri, neputându-se uita afara pe uneventual geam. O alt  persoan , pus  pe s,otii, �e pune liftulîn spat,iul imponderabil, �e îl lasa s  ad  liber în âmpulgravitat,ional al P mântului. Dup  um intuitiv ne as,teptam,deoare e toate obie tele din liftul în  dere ad sin ronizate,în a elas,i timp, observatorul din lift nu va remar a ni i o

76. Principiul echivalentei si cheia înt,elegerii relativitat,ii generalizate 109diferent,  între ele dou  situat, ii, ea în are liftul ade liberpe P mânt, ori ea în are liftul e în imponderabilitate undevaîn spat, iul îndep rtat.Desigur, obie tele ad sin ronizate to mai datorit  egalit t,ii elor dou  mase, în onformitate u observat,iile lui Galilei.Rezultatul este îns  remar abil: un observator din lift nupoate fa e diferent,a între ele dou  situat, ii (  derea liber  sauimponderabilitate), el put, in da   se uit  la orpurile din lift.Situat, iile sunt identi e. Este îns  posibil a situat, iile ele dou s  �e identi e în ori e privint, ?Albert Einstein, sub in�uent,a teoriei relativit t,ii restranse,a propus exa t a est lu ru, s, i anume   ele dou  situat, ii ( eaîn are liftul ade liber, sau ea în are e adus în imponder-abilitate) sunt e hivalente. A esta este unos ut a prin ipiule hivalentei. Dintre proprietatile omune, Einstein a de is sase foloseas a de una anume, si anume metri a spatiu-tipului, are trebuie sa �e de i a eeasi in ambele situatii.Sa ne adu em a um aminte a, in spatiul impoderabil,departe de ampuri gravitationale, metri a spatiu-timpuluieste data de teoria relativitatii restranse, si ea a fost dis utatain apitolul pre edent. Asa um am vazut, a easta de�neste defapt "distanta" dintre ori are doua evenimente din spatiu-timp."distanta" pe are am denumit-o interval. Da a evenimentelesunt temporale, atun i "distanta" se masoara u un easin mis are re tilinie si uniforma intre ele doua evenimente.Pra ti , ea este data de timpul propriu al easului in mis are.Dupa um am dis utat, easul bate mai in et (intarzaie)to mai pentru a este in mis are, iar timpul propriu e tre e va� altul de at diferenta de timp dintre momentul �nal si initial al ulata in sistemul nostru de referinta. Timpul propriu poate� insa al ulat dire t din spatiu-timp, u ajutorul metri ii,de i u o formula asemanatoare teoremei lui Pitagora.Pentru simplitatea dis utiei o sa denumim metri a a eastaa spatiu-timpului minkowskiana, pentru a sa stim a ea seapli a teoriei relativitatii restranse. Si, pentru a forma a esteimetri e (dis utata in apitolul pre edent) este asemanatoareteoremei lui Pitagora, o sa aso iem a easta metri a spatiuluieu lidian, el in are se apli a pre is teorema lui Pitagora.Sa revenim la observatorul din liftul in adere libera, si saremar am um situatia a estuia este e hivalenta u ea dinliftul in imponderabilitate, departe de ampuri gravitationale.Atun i, da   observatorul din liftul în  dere liber  îs, i va trasa oordonate de spat,iu s, i timp, spat,iu-timpul observat de elva � tot minkovskian! Cu alte uvinte, a�ându-ne în interi-orul liftului în  dere liber , vom veri� a în întregime legilerelativit t,ii restranse. A easta des, i ne-am a�a în  dere într-un âmp gravitat,ional s, i nu în spat, iul imponderabil pre um ampresupus ând am onstruit teoria relativit t,ii restranse!Presupunerea lui Einstein este astfel ru ial  s, i ea m res,teîn primul rând situat, iile în are relativitatea restrâns  poate� apli at , el put, in u azul liftului în  dere liber  în âmpgravitat,ional.S  observ m îns    oriunde este un âmp gravitat,ionalputem alege un lift în  dere liber . Într-un sistem inert, ial rigid u liftul, legile relativit t, ii restrânse vor � lo al satisf  ute.Lo al, metri a spat,iu-timpului va � minkovskiana, în a ord uteoria relativit t,ii restrânse. Pra ti atun i, în ori e pun t dinspat, iu ( hiar s, i în ele în are a t, ioneaz  fort,e gravitat,ionale)putem g si lo al sisteme de referint,  ( ele ale liftului de i) are satisfa legile relativit t,ii restrânse. Desigur, a esteaa tioneaza pe o zona mi a ( ea din interiorul liftului), de a eeasi sublinierea noastra a a est sistem de referinta va � lo al.Ne putem imagina atun i tot spatiul, hiar si a olo unde ampurile gravitationale sunt puterni e, a �ind onstruitde bu atele mai mi i (lo ale) unde spatiu-timpul esteminkowskian (de i se supune teoriei relativitatii restranse).Inseamna a easta a tot spatiu-timpul este minkowskian? Nudesigur, a i nu are um, stim doar a in azul general ( ampuri

Figure 4.3: Cheia teoriei relativitatii generalizate. Stanga:o suprafata spatiala urba, pe are este desenata o metri a( a o plasa de peste) e s oate in evidenta proprietatilelo ale. Astfel, lo al, suprafata este planara, desi la distantemai mari ea ramane urba. Axele sistemului de oordinatesunt x si y. Dreapta: in a elasi fel este si spat,iu-timpul urb. Pe zone mi i, lo ale, a esta este minkovskianan, ad-i a des ris de teoria relativitatii restranse, dar pe distantemari va � urb, si pentru a estea trebuie sa dezvoltam teoriarelativitatii generalizate. Axele sunt a um x si ct (timp).gravitationale) un orp lasat liber nu isi va pastra viteza on-stanta... Si atun i, e poate � spatiu-timpul da a este ontruitdin zone mi i in are e minkowskian, a intr-un fel de puzzle?Raspunsul pe are l-a gasit Einstein este heia intregiipovesti... El se bazeaza pe asemanarea dintre spatiu-timpulminkowskian si spatiul eu lidian, la are se mai adauga uningredient: suprafetele urbe! Astfel, se stie a suprafetele urbe sunt, pe portiuni lo ale, drepte, planare am putea spune.Atun i Einstein a generalizat: în prezent,a gravitat,iei, putempresupune   toate evenimentele se as,eaz  pe un spat,iu-timp 4-dimensional urb. Lo al, pe port, iuni mi i, putem alege o met-ri   Minkovskiana. În totalitate îns , spat, iu-timpul va � urb.Un spatiu-timp urb poate � imaginat prin analogie usuprafet,ele urbe, un deal s  spunem. Metri a a estor suprafet,e urbe ( a dealul de exemplu) este ne-eu lidian , spre deosebirede ea a unor suprafet,e planare. Pe port,iuni mi i ale dealului,putem onsidera îns  suprafat,a planar  s, i de i eu lidian .Tot as,a, ne putem imagina   tot spat,iu-timpul este urb, aun deal. Pe port, iuni mi i îns , ni-l putem imagina planar, eea e înseamn    putem onsturi lo al sisteme de referint, minkovskiene.Sistemele de oordonate lo ale ale spat,iu-timpului e vorsatisfa e astfel legile relativit t,ii restrânse vor � el rigid fat, de un lift în  dere liber , s, i ele are au vitez  onstant  fat, de a esta. Conse int,a prin ipiului e hivalentei, pra ti heiaintregii probleme este de i:Într-un âmp gravitat,ional, toate evenimentele se as,eaz pe un spat,iu-timp 4-dimensional urb. Lo al, metri a spatiu-timpului este minkowskiana.In �nalul se tiunii putem raspunde si la intrebarea initiala: e pune in mis are orpurile a�ate intr-un amp gravitational,da a a easta mis are nu trebuie sa depinda de proprietatile orpului, atata timp at el ramane pun tual? Desigur, trebuiesa �e eva din jurul orpului. Iar raspunsul lui Einstein este:Corpurile sunt puse in mis are hiar de atre spatiu-timpul urb are este reat de ampul gravitational!Dar, pentru a l muri mai bine a este aspe te, o s  dis ut mîn ontinuare despre suprafet,ele urbe (neeu lidiene), e hiva-lentul bi-dimensional al spatiu-timpului urb. A easta esteîns  numai un pas intermediar,   i în �nal va trebui s  ne onfruntam u exemplul unui spat,iu-timp urb...

110 Capitolul 4 : Relativitate generalizata77. Geometria ne-eu lidian  exempli� at  desuprafat,a sfereiAm dis utat pân  a um de impli at, iile fundamentale aunei simple observat,ii, a ea a prin ipiului e hivalentei.Am vazut um a esta sugereaza heia teoriei relativitatiigeneralizate: spatiu-timpul este urb. A um îns  trebuie s intr m mai adân în subie t s, i s  dis ut m despre stru tura urb  a spat, iu-timpului. Vom în epe de a eea mai simplu, ugeometria ne-eu lidian  ( urb ) a spat,iului.Pentru a �xa îns  la în eput not, iunile, ment, ion m  geometria eu lidian  se apli   suprafet,elor planare. Conformlui Eu lid ( a. 325 î.Hr - 265 î.Hr) a estea sunt suprafet,e pe are, printr-un pun t, se poate du e doar o singur  paralel la o linie dreapt  dat . Din pun tul nostru de vedere, el maiimportant este  , in geometria eu lidiana, distant,a dintredou  pun te se poate al ula din oordinatele pun telor uteorema lui Pitagora. Pe de alta parte, geometria ne-eu lidianase apli a suprafetelor urbe, a de exemplu o sfera sau un ilindru. Ai i distanta dintre doua pun te va avea nevoie de oalta formula de at teorema lui Pitagora.

Figure 4.4: Imagine din Google Earth u meridianele siparalelele Pamantului. Toate meridianele sunt geodezi e,de�nind linia ea mai s urt  dintre dou  pun te prin aretre , dar nu toate paralelele. Geodezi ele împart P mântulîn dou  emisfere egale. Si e uatorul este o geodezi a.Cer ul polar si tropi ele nu sunt o geodezi a. O linie aretre e prin Romania si Noua Zeelanda, si are impartePamantul in doua parti egale va � o geodezi a.Pentru simplitate, s  lu m azul unei foi de hârtie. A eastaeste o suprafat,  bidimensional , pentru   pe ea se pot desenadoar dou  axe perpendi ulare una pe alta. În a elas, i timp îns ,da   foaia este întins  perfe t, suprafat,a este s, i eu lidian ,planar  am putea spune. Astfel, printr-un pun t se poate du edoar o singur  paralel  la o alt  linie, iar suma unghiurilorîntr-un triunghi este de 180 de grade.S  lu m a um o alt  suprafat,  s, i anume suprafat,a sferi   aglobului P mântes , are nu este planar . Mai este ai i valabilpostulatul liniilor paralele al lui Eu lid?Pentru a dis uta îns  de linii paralele pe suprafet,e urbe,va trebui mai întâi s  expli  m e înt,elegem ai i prin linie

dreapt . Desigur, în azul eu lidian (foaia de hârtie întins ,de exemplu), linia dreapt  dintre dou  pun te este ole t,iade pun te intermediare are de�nes,te distant,a ea mai s urt dintre ele dou  pun te.În azul sferei, sau al ori  rei alte suprafet,e urbe, situat, iaeste mai omplex . Ai i nu mai este lar imediat are estedistant,a ea mai s urt  dintre dou  pun te. Desigur, a eastatrebuie al ulat  de �e are dat  în fun t, ie de forma lo al a suprafet,ei sferi e s, i ea de�nes,te eea e se numes,te ogeodezi  . Geodezi a este de i linia ea mai s urt  dintre dou pun te date. Ea este e hivalentul liniilor drepte din geometriaeu lidian , si trebuie a�ata de la az la az.S  lu m de exemplu azul parti ular al suprafat,ei sferi ea P mântului. Va mai amintit, i, meridianele sunt a ele linii are str bat P mântul de la Nord la Sud, tre ând prin ei doipoli. S  alegem a um dou  oras,e a�ate pe a elas, i meridian,unul mai la Sud s, i altul mai la Nord. E lar, linia e de�nes,tedistant,a ea mai s urt  dintre a este dou  oras,e este hiarmeridianul. Meridianul este atun i o geodezi   parti ular .Pra ti , putem observa us,or a ori e geodezi a în geometriasferei este atun i o linie urb  (un er ) are împarte P mântulîn dou  emisfere perfe t egale. În azul meridianului, geodezi atre e prin ei doi poli îns , în general, ea va tre e prinpun te opuse pe suprafat,a sferei, onstruind pra ti er ul dediametru maxim are în onjoar  P mântul.Nu numai meridianele sunt geodezi e, dar s, i e uatorul. Olinie are unes,te România u Noua Zeeland  este o geodezi  în a east  geometrie, pentru   ele dou  t, ri sunt situate la apete opuse ale P mântului. Da   vrem s  ajungem ât mairepede in Noua Zeeland , atun i trebuie s  urm rim a east linie a geodezi ei, pentru   ea de�nes,te distant,a ea mais urt  între dou  pun te de pe o suprafat,  urb .Figure 4.5: Cele trei tipuri de geometrii: eu lidiana(stânga), elipti   ( entru) s,i hiperboli   (dreapta). Liniileparalele isi pastreaza distanta intre ele (stanga), se apropie(mijlo ) sau se indeparteaza (dreapta). Suma unghiurilorîntr-un triunghi este �e 180 de grade (stanga), �e maimare de at 180 de grade ( entru) sau mai mi   (dreapta).S  test m a um prin ipiul lui Eu lid pe suprafat,a urb  aP mântului s, i s  lu m a exemplu "linia dreapt " (geodezi a) hiar meridianul e tre e prin Bu ures,ti. Putem du e a umo paralel  printr-un alt pun t (s  zi em Rm. Vâl ea) lameridianul P mântului e tre e prin Bu ures,ti? Sunt multegeodezi e ("linii drepte") e plea   din Vâl ea, dar ea are ares,ansa s  �e paralel  este hiar meridianul e tre e prin Vâl ea.Ghinion îns , meridianul e tre e prin Vâl ea se întâlnes,te umeridianul e tre e prin Bu ures,ti de dou  ori, la ei doi poli!Putem trage atun i on luzia simpl : pe suprafat,a sferei,dou  linii paralele ( ele doua meridiane alese) se întâlnes !Desigur, rezultatul este de asteptat, deoare e ori e doua er uri mari are in onjoara P mântul (înp rt, indu-l în dou p rt,i egale) se vor interse ta. Prin ipiul lui Eu lid nu mai estevalabil, de unde denumirea de geometrie non-eu lidian .

161Capitol 5Me ani a uanti  În primele patru apitole ale a estei  rt, i am dis utat teori-ile lasi e: me ani a, ele tromagnetismul, teoria relativit t,iirestrânse s, i ea a relativit t, ii generalizate. În ultimele patru apitole, vom dis uta orespondentele uanti e ale a estorteorii lasi e.Astfel, me ani a lasi   va lua forma me ani ii uanti eiar ele tromagnetismul va lua forma ele trodinami ii uanti e.Teoria relativit t, ii restrânse se va materializa în teoriile uanti e de âmp, adunate în modelul standard al parti ulelorelementare. Cât despre teoria relativit t,ii generalizate, nimeninu a reus, it s  o uanti� e pân  în prezent, as,a   vom dis utanumai o propunere e în ear   s  fa   a est lu ru, unos ut sub numele de teoria orzilor relativiste.Cuanti� area teoriilor lasi e este îns  mai mult de ât osimpl  s,me herie matemati  , este o noua imagine a realit t,ii are iese la iveal , u aspe te extrem de paradoxale înt,elegeriinoastre lasi e. Vom vorbi de in ertitudine a unoasterii, deteleportare, de atra t,ie a vidului sau de dis ontinuit t, i înlumea aparent ontinu .Este interesant de observat   multe dintre a este aspe teparadoxale ale me ani ii uanti e au în eput s  �e în orporatepe s ar  larg  în tehnologie, îns  ele nu ne-au uprins în  viat,a de zi u zi, are r mâne lasi  . Astfel, ne as,tept m adimineat,a s  ne trezim în a elas,i pat, des, i me ani a uanti  ne spune   este posibil (dar u o s,ans  in�nitezimal deminim ) s  ne trezim si pe Luna... Noi in a vedem imagininetede si �ltrate ale lumii din jurul nostru, desi o hii nostrisunt apabili de a inregistra "puri ii" uanti i din a esteimagini, dati de natura dis reta a luminii, fotonii...Pe de alt  parte este posibil a, peste milioane de ani,oamenii s  experimenteze dire t u simt,urile lor a east  form  uanti   a lumii, în fond natura ei real . Poate   su�etullor va putea s ri de la un pun t la altul în univers, as,a umpoate fa e uanti un ele tron, poate   reierul oamenilorva per epe �ash-urile dis rete de lumin  e formeaz  fotonii,poate   gândirea lor va ies, i atun i din forma ei analiti  s, i ontinu  pe are o simt, im noi a um s, i va avea olapsuri uanti e de neb nuit... La urma urmei, revolut,ia uanti   esteo revolut,ie a ultimei sute de ani, iar urm rile a estei revolut,iipeste sute sau mii de ani sunt imposibil de prezis.Noi vom urm ri, în urm toarele dis ut, ii, um a avut lo a east  revolut,ie uanti   s, i în e onst  ea. Vom in epe pe olinie "istori a" si pedagogi a in a elasi timp, urmarind aparitiadiverselor on epte uanti e si evolutia lor ulterioara. Insprepartea a doua a apitolului ne vom on entra pe aspe te maiavansate, are sunt la ora a tuale subie te a tive de er etare.102. Radiat, ia orpului negruFaptul   lumina e vine de la Soare este ompus  dinmai multe ulori a fost demonstrat u su es de  tre Isaa Newton prin experient,ele sale u o prism  opti  . Newton aplasat prisma în drumul unei singure raze de lumin  alb  s, i�e are uloare omponent  a fost deviat  într-o alt  dire t, ie.El a reusit astfel sa separe �e are uloare din raza alba de

lumina. Proie tând apoi toate ulorile astfel separate pe une ran, Newton a obt, inut spe trul a elei raze de lumin  alb , e era in a est az olorat a un ur ubeu, de la ros,u la violet.În anul 1859, Gustav Kir ho� (1824-1887) era preo upat deprezent,a unor anumite linii întune ate în spe trul luminii dela Soare, pe are el le-a m surat într-o manier  asem n toarelui Newton. Desigur, a este linii întune ate relev  absent,aunor ulori în lumina parti ular  a Soarelui. În în er area sade a le înt,elege, Kir ho� a onsiderat absorbt,ia s, i emisia delumin  a orpurilor în  lzite în general, nu numai a Soarelui.

Figure 5.1: Pentru m surarea radiat,iei orpului negru, seia mai întâi o in inta în his  (stanga), a  rei peret,i inte-riori se înnegres . Apoi in inta se în  lzes, te uniform la otemperatur  T dat , dup  are ea se va înros, i datorita al-durii, hiar da a in inta este neagra. Spe trul luminii radi-ate in urma in alzirii se poate m sura printr-o gaur  mi  f  ut  în in int . In �gura este prezentat prin ipiul masur-atorii spe trului, printr-o prisma opti a asezata in alea lu-minii emise. Datorita dispersiei, lumina se separa in ulo-rile omponente. Apoi, masurand intensitatea luminoasa a�e arei omponente putem re onstitui spe trul intregii raze.Faptul   Soarele �erbinte, sau fo ul, emite lumin , este unfapt obis,nuit. Pare normal   ori e obie t în  lzit se înros,es,tes, i emite lumin . Cu ât se în  lzes,te mai mult, u atât devinemai str lu itor s, i emite mai mult  lumin . Kir ho� a fostinteresat între relat,ia dintre temperatura orpului s, i spe trulluminii emise. Pentru o temperatur  dat , ât de mult lumin  se emite, are este spe trul a esteia?Într-o prim  etap , Kir ho� a ar tat, printr-un argumentingenios,   raportul dintre ât  lumina radiaz  un orp ând este în  lzit s, i ât  lumina absoarbe este o m rimeuniversal , independent  de natura orpului s, i dependent doar de temperatura lui. Fizi ienii au ales s  m soare a east m rime universal  pe un az parti ular, aproape ideal, el alas,a-numitului orp negru.Dupa um ii sugereaza numele, un orp negru absoarbe

162 Capitolul 5 : Mecanica cuanticatoat  lumina in ident  pe el. Pra ti , din toata lumina e adepe el nu se mai re�e ta nimi , eea e il fa e sa apara negru.Contrar asteptarilor insa, un orp negru radiaza lumin  da aeste in alzit! Cu alte uvinte, un orp negru va apare si elrosu odata e este in alzit... Emisia orpului negru are de i unspe tru de lumina (mai mult rosu, mai putin galben, et .). Inplus, spe trul a esta este dependent de temperatur , pentru a u at il in alzim mai mult u atat el devine "mai rosu" sau"mai galben"...Pentru un orp negru de i, absorbt,ia luminii egaleaz unitatea (pentru a se absoarbe tot), pe and emisia estedependent  de temperatur . M rimea universal   utat de Kir ho� (raportul dintre emisie si absorbtie) ar � atun iegal  u emisia a estui orpului negru. De a eea, er et toriiau în eput s  �e interesat,i în m surarea spe trului radiat,iei orpului negru si dependenta a estuia de temperatur . Desigur,a easta ar trebui s  �e o marime universala, independent  dematerialul din are e fa ut orpul negru.1646 C

o

1460 Co

1259 Co

Figure 5.2: M sur torile originale ale �zi ienilor Lummersi Pringsheim (anul 1900) pentru variat,ia u temperatura aspe trului orpului negru. Pe axa verti ala este intensitateaunei anumite ulori din spe tru, iar pe axa orizontala estelungimea de unda a a elei ulori, exprimata in mi rometri.Spe trul de radiatie al orpului negru este reprezentat ladiverse temperaturi. Pe masura e temperatura reste,intensitatea luminii reste, iar lungimea de unda a max-imului se deplaseaza spre valori mai mi i (spre stanga).In plus, pe �gura mai sunt si tot felul de artifa te alemasuratorii (asa um se ade unor masuratori originale), a de exemplu o banda aditionala de absorbtie a apei,vizibila in jurul lungimii de unda de 3 mi rometri.O m sur toare de su es a spe trului de emisie a orpuluinegru, si a dependentei sale de temperatur , a fost efe tuat de �zi ienii Otto Ri hard Lummer s, i Ernst Pringsheim în anul1900. A es,tia au onsiderat o avitate în his , ât se poate deneagr , are are numai o gaur  mi   pe unde putem m suralumina are iese din interiorul avitatii. Apoi au în  lzit utotul a east  avitate, pân  ând tot, i peret, ii din interior auavut o temperatur  uniform .Datorit  temperaturii ridi ate, peret, ii au în eput s  emit lumin  în interior. Lumina era radiat  s, i absorbit  de peret, i

în ontinuu, ajungându-se dup  un timp la un e hilibrutermi . În �nal, Lummer s, i Pringsheim au m surat spe trulluminii radiate prin mi a gaur  f  ut  intent, ionat. Variindtemperatura in intei, ei au putut astfel masura si variatiaspe trului u temperatura.Spe trul m surat de ei doi �zi ieni are un maxim de radiat,iela o anumit  uloare a luminii, e depinde de temperatur .La temperaturi mi i, a est maxim este în infraros,u, iar latemperaturi din e în e mai mari el se apropie de ros,u. Dea eea orpurile în  lzite ne apar înros, ite.Ast zi, a este efe te sunt foarte bine unos ute. Ele suntfolosite invers, la m surarea temperaturii unui orp numaipe baza spe trului de lumin  generat de a esta. În a est felputem m sura temperatura orpului uman u ajutorul unuitermometru în infraros,u, sau temperatura medie a Universului, u ajutorul radiat,iei de fond. Spe trul radiatiei orpului negruar � ramas o uriozitate poate, u ateva apli atii tehni e,da a el nu ar � s os la suprafata una dintre esentele me ani ii uanti e: uanti� area nivelelor de energie....103. Un os ilator uanti are nivele dis rete de energieÎn paralel u m surarea spe trului de radiat,ie al orpuluinegru, �zi ienii au în er at s  expli e forma a estuia. Primul are a avut su es a fost �zi ianul german Max Plan k(1858-1947). Remar abil, a esta a putut �ta tot spe trul deradiatie al orpului negru, pentru toate temperaturile, u osingur  formul . Interesant este   a east  formul  ont, ineo singur  onstant  nou  h fat,  de ele deja unos ute, e aprimit mai târziu denumirea de onstanta lui Plan k.Raportul dintre emisivitatea e a unui orp si absorbtia sa aeste dat o onstanta universala K(λ, T ) = e(λ, T )/a(λ, T ).Pentru orpul negru a = 1, iar onstanta autata K depindenumai de emisivitate. Pla k a reusit sa �teze toate urbele deemisivitate (radiatie) ale orpului negru u formula:K(λ, T ) =

8πhc

λ5

1

ehc/λkT − 1Ai i h este onstanta lui Pla k, c este viteza luminii, λ estelungimea de unda, k este onstanta lui Boltzmann si T estetemperatura.Plan k îns  a venit s, i u o teorie are expli   �zi formulafolosit  pentru spe trul de radiatie. Pentru a easta, Plan k aapli at legile deja unos ute ale termodinami ii, onsiderând   suprafat,a orpului negru are emite este o ole t, ie haoti  de os ilatori a�at, i în e hilibru termi . Pentru a obt,ine îns  for-mula to mai des operit , el a trebuit s  introdu   o modi� areesent, ial : energia a estor os ilatori ia numai valori dis rete s, inu ori e valoare, as,a um spune me ani a lui Newton.Valorile dis rete ale energiei unui singur os ilator sunt,dupa Plan k, e hidistante, diferent,a ∆E dintre a este nivelede energie �ind proport,ional  u onstanta lui Plan k h s, ifre vent,a f a os ilatorului:∆E = h · fDesigur, presupunerea a easta iese omplet din adrul �zi ii lasi e, a olo unde un os ilator de o fre vent,  dat  poate aveaori e energie (nu numai valori dis rete), pentru   poate avea

104. De ce corpurile încalzite apar înros, ite s, i nu albastrite... 163ori e amplitudine a os ilatiei. In me ani a uanti a, simplisti vorbind, numai anumite amplitudini sunt permise, si de inumai anumite energii...Valoarea experimental  a onstantei lui Plank h iese din�tarea spe trului de radiat,ie al orpului negru. Pra ti ,a easta adu e u sine nas,terea me ani ii uanti e, a olo undeenergiile nu iau mereu ori e valori lasi e, i pot � uanti� ate,adi   iau în mod normal valori dis rete. Constanta lui Plankh are dimensiunile a t,iunii (v  mai adu et, i aminte, ea arereprezint  lagrangeanul sumat pe traie torie in me ani a la-si a), si ea este in�nitezimal de mi   fat  de valorile me ani eobis,nuite ale a t,iunii: h = 6.62 ∗ 10−34m2kg/s.

DE=hf

E =hf/20

0

E =hf+E1 0

E =2hf+E2 0

Figure 5.3: Nivelele uanti e de energie ale unei orzide hitara are vibreaza u fre venta f sunt dis rete sie hidistante. Da a ordonam nivelele de energie dupaun numar uanti n, atun i energia unui nivel esteEn = n · hf + hf/2, diferenta dintre ele �ind ∆E = hf .A easta diferenta este pentru oarda de hitara am de1026 de ori mai mi a de at energia medie a orzii. Pra ti ,pentru a s oate in evidenta efe tele uanti e, un hitaristar trebui sa " iupeas a" oarda si sa o deplaseze pe odistanta e hivalenta u dimensiunea unui nu leu atomi ...Pentru a ne fa e o idee despre at de mi a este onstantalui Plan k, putem al ula are este diferent,a dintre valoriledis rete de energie ale unui pendul are os ileaz  u o fre vent, f de o se und : ∆E = hf = 6.62 ∗ 10−34J . Pentru un pendulobis,nuit, de o mas  de aproximativ 100g obt, inem a a east energie este transferat  la o mis, are a pendulului de doarh = ∆E/mg = 10−34m! Deplasarea a easta este atât de mi  fat  de dimensiunea unui nu leu atomi am ât este un nu leufat,  de dimensiunea noastr ! Pra ti , ea de ordinul de m rimea eea e a ajuns s  �e unos ut a lungimea Plan k... Estede i remar abil um de onstanta lui Plan k rezult  din nis,tem sur tori ma ros opi e.Un alt exemplu poate � o oarda de hitara are os ileaza pefre venta sa fundamentala. In me ani a lasi a, mis area orziieste ontinua iar amplitudinea os ilatiei poate lua ori e valoare.Energia de vibratie a orzii o putem estima luand in onsider-are de exemplu energia ineti a Ec = mv2/2. Astfel, o oardade hitara antareste ateva grame, sa zi em un gram pentrusimplitate, m = 10−3Kg. Viteza medie de os ilatie se poate es-tima din amplitudinea a os ilatiei si fre venta sa. Putem alegepentru amplitudinea orzii de hitara am 1 milimetru (pentru a mis area este vizibila), iar pentru fre venta am f = 100Hz.Atun i oarda trebuie sa par urga un milimetru intr-un timpde aproape 0.01 se unde, de i aproape 100 milimetri pese unda, adi a v = 0.1m/s. Folosind a um formula enegiei ineti e si masa orzii, obtinem pentru energia medie o valoareestimativa de E ≃ mv2/2 = 10−3 · 0.01/2J = 5 · 10−6J .Pe de alta parte, diferenta intre nivelele dis rete de energieale orzii de hitara este de ∆E = hf = 6.62 ∗ 10−32J . Vedematun i a a easta diferenta uanti a este de 1026 de ori maimi a de at energia medie! Pra ti , pentru a vibra u a eastaenergie in�ma, oarda trebuie sa se miste u o amplitudine

de 10−13 ori mai mi a (energia este propotionala u patratulamplitudinii), adi a eva de ordinul de marime al nu leuluiunui atom! Cu alte uvinte, trebuie sa " iupim" o oardade hitara si o deplasam pe distanta unui nu leu de atompentru a observa efe tele uanti e in nivelele dis rete! Cu atatmai mult trebuie sa admiram reusita lui Plan k are, iata,reuseste sa gaseas a o manifestare a a estei dis retizari in�mein masuratorile radiatiei orpului negreu....Desigur, da a vorbim de faptul a energia orzii de hitara ianumai valori dis rete, trebuie sa �m atenti um interpretramamplitudinea os ilatiei... Astfel, intr-o imagina simplista,putem spune si a amplitudinea os ilatiei orzii de hitarapoate lua numai valori dis rete! Nu este ore t, insa ne ajutasa ne imaginam mai usor efe tele uanti e... In plus, nu maiputem vorbi de o mis are ontinua a orzii de hitara pentru aa easta ar insemna in esenta tre erea ontinua printre nivelelede energie, ori a est lu ru nu mai este posibil in me ani a uanti a, a olo unde a eastea au valori dis rete...În �nal, s  ment, ion m un lu ru surprinz tor. Astfel,os ilatorii e sunt în e hilibru termi , responsabili de emisiade lumin  in azul radiatiei orpului negru, nu sunt dat, i destru tura intern  a atomilor as,a um poate ne-am � as,teptat.În s himb, ei sunt dat, i de os ilat,iile atomilor în jurul pozit, iilorlor de e hilibru! Cu alte uvinte, nu stru tura intern  aatomilor a relevat forma uanti   a energiei, i mai degrab mis, area lor de os ilat,ie.Ori a est lu ru este suprinz tor, pentru a atomii suntelemente ompuse, formate din ele troni, protoni si neutroni.Pra ti , os ilatia întregului sistem ompus (atomul) este uanti� ata. Le t, ia de înv t,at este una singur : ori e mis, area unui obie t ompus este uanti� at  în me ani a uanti  , hiar s, i ea a atomilor, a pietrelor, a leag nului, sau a stelelor...104. De e orpurile în  lzite apar înros, ite s, i nualb strite...Este interesant de urm rit justi� area teoreti   a nivelelordis rete de energie. Astfel, orpul negru poate � privit a�ind onstituit dintr-o serie de os ilatori haoti i, a�at, i îne hilibru termi la temperatura aleas  pentru m sur toare.Tot, i os ilatorii sunt identi i, iar ei pot os ila, �e are, pe maimulte fre vent,e posibile. Os ilatorii pot � omparat,i u niste orzi os ilante, deoare e s, i �e are oard  os ilant  are maimulte fre vent,e posibile de vibrat,ie. Sa notam a, in azul orzii, fre ventele de vibratie ale orzii sunt armoni i (multiplinf0) ale unei fre vente fundamentale f0, date de lungimea orzii. A elasi lu ru este valabil si pentru os ilatorii orpuluinegru, si ei au niste fre vente fundamentale de os ilatie, siapoi armoni i u fre vente mai mari.În azul os ilatorilor din orpul negru, �e are dintre os ila-tori poate os ila doar u o singur  fre vent, , la alegerea lui.Clasi , un os ilator al orpului negru poate alege o singur fre vent,  s  os ileze s, i o amplitudine pentru a east  os ilat,ie.Datorit  e hilibrului termi , unii os ilatori vor alege fre vent,emai mari, alt,ii fre vent,e mai mi i, unii o amplitudine maimare a os ilatiei, altii una mai mi a, et .Distributia de fre vente si amplitudini a os ilatiilor se de-du e folosind legile termodinami ii. Astfel, în termodinami a lasi  , �e are fre vent,  are a eeas, i probabilitate de a �aleas  de os ilator. În plus, exist  s, i o lege universal , numit teorema e hipartit,iei energiei. Ea ne spune   energia medie ǫa os ilat,iilor este am a eeas, i, indiferent de fre vent,a os ilat,iei,s, i dat  numai de temperatur , �ind proport,ional  u a easta:ǫ = kT/2.Conse int,a a estor dou  presupuneri lasi e este urma-toarea. Astfel, la fre vent,e din e în e mai mari sunt din e în

164 Capitolul 5 : Mecanica cuantica e mai multe fre vent,e pe are os ilatorul le poate alege a saos ileze. A easta pentru a fre venta fundamentala a os ilatieieste ea mai mi a, iar armoni ele sunt multipli ai a esteifre vente. Cum probabilitatea de alegere este a eeas, i pentruori e valoare a fre vent,ei (in termodinami a lasi a), înseamn    ei mai mult, i os ilatori vor os ila u fre vent,e foarte mari.În plus, um �e are os ilat,ie are am a eeas, i energiemedie, înseamn    energia termi a totala a sistemului va �distribuita mai mult in os ilatii u fre vente foarte ridi ate.Presupunand a um a fre venta luminii emisa are egala ufre venta os ilatorului, atun i ne asteptam a orpul sa emitalumina la fre vente foarte mari, a olo unde sunt ele maimulte os ilatii.... Paradoxul a esta lasi poart  numele de" atastrof  ultraviolet " s, i a fost s os în evident,  de LordRayleigh s, i Sir James Jeans în 1905. Ca i, efe tuand al ulele lasi , vom dedu e a un orp in alzit va emite o antitatein�nita de energie luminoasa (datorita fre ventelor ridi ate) eea e evident nu este azul in pra ti a...Cum ar ar ta emisia unui astfel de orp negru în  lzit?El ar emite fre vent,e luminoase din e în e mai mari,  trealbastru (fre vent,a luminii albastre �ind mai mare de ât eaa luminii ros, ii) iar orpul în  lzit nu ar mai ar ta înros, it, ialb strit ! Mai mult, ori e be ar � un potent, ial peri ol în as ,   i ar emite raze X, a i ele au fre vent,  s, i mai mare de âtundele ele tromagneti e vizibile...Din feri ire îns , nu as,a stau lu rurile în realitate, are dedata a easta este uanti   s, i salveaz  " atastrofa ultraviolet ".Astfel, în situat, ia uanti  , �e are os ilator poate lua, pentruo fre vent,  dat , numai nivele dis rete de energie. Diferent,adintre valori este proport,ional  u onstant,a lui Plank s, ifre vent,a os ilatorului. A easta înseamn   , la fre vent,e maimari, diferent,a dintre nivelele de energie devine din e în e maimare! Cu alte uvinte, la fre vente mari sunt mai putine nivelede energie orespunzatoare unei fre vente anume de os ilatie...A um, os ilatorul are parte de a eeas, i energie medie dinpartea mediului ambiant, data de temperatur . Ce fre vent, alege el îns ? Datorita agitatiei termi e, os ilatorul isi poates himba fre venta, prin intera tie u ei eilalti os ilatori, insaenergia lui medie ramane am a eeasi. El va "s ri" atun iin pra ti a de la o fre venta la alta... Cum insa el are ladispozitie mai putine nivele de energie la fre vente mai mari,si mai multe la fre vente mai mi i, este foarte probabil a seva a�a in medie mai mult pe nivelele de energie de la fre ventemi i, pentru a si a estea sunt mai multe...S  remar  m   a est lu ru nu se întâmpl  în me ani a lasi  , a olo unde os ilat,ia putea avea ori e amplitudine s, iori e energie, pentru ori e fre vent, . Ai i os ilatorul puteaalege o fre vent,  mare s, i ajusta amplitudinea os ilat,iei pentruenergia de are dispunea. În azul uanti , nu mai poate fa ea est lu ru, pentru   os ilat,iile au nivele dis rete de energie, eea e se tradu e simplist prin faptul a os ilatorul nu poateavea de at ateva valori pentru amplitudinea de os ilatie.Os ilatorul nu poate fa e de ât s  "sara" de de la o fre ventala alta, sfarsind mai mult pe nivelele de energie ale fre ventelors azute, pentru a a estea sunt mai multe....Conse int,a? Deoare e os ilatorii uanti i vor alege fre vent,emai mi i s, i lumina emis  va avea fre vent,e mai mi i s, i va� de i ros, ie s, i nu albastr . Pra ti , be ul se va înros, i s, i nualbastri! Mai mult, fre vent,a razelor X este atât de mare, în âtprobabil put, ini os ilatori vor avea (din întâmplare) energiesu� ient , iar be ul nu va radia, din feri ire, raze X...Iata um, simpla uloare rosie o obie telor in alzite as undein spatele ei me ani a uanti a... Poate a veti medita asupraa estui lu ru atun i and veti privi in linistea serii luminaunui fo de tabara. V  va tre e desigur un �or pla ut, stiind a puteti intelege uloarea fo ului pe are il vedeti, a putetivedea me ani a uanti a dire t in a tiune. A elasi �or pe arel-a simtit si George Gamow and a inteles um fun tioneaza

Figure 5.4: In partea din dreapta este reprezentata o ole tie de os ilatori in e hilibru termi . In partea de suseste situatia lasi a, iar in ea de jos, situatia uanti a.Un os ilator poate � omparat u o oarda, el putand aveamai multe fre vente. Fre ventele posibile sunt detaliate in�gurile din stanga, iar ele sunt armoni i ale unei fre ventefundamentale f0. În situat,ia lasi   (stanga-sus), os ila-torii pot lua ori e energie la o fre venta data. E hilibrultermi distribuie atun i egal fre vente si energii diversiloros ilatori, energii are sunt aproximativ egale u energiatermi a kT/2, unde k este onstanta lui Botzmann. Cummulti os ilatori vor avea fre vente ridi ate (pentru a suntmulte fre vente), orpul în  lzit va ar ta alb strit. În azul uanti (jos), os ilatorii au putine moduri disponibile lafre vent,e ridi ate, pentru   nivelele de energie sunt dis rete( uanti� ate), iar diferenta de energie dintre ele reste u fre venta. Cei mai mult,i os ilatori vor alege atun ifre vent,e mai joase, a olo unde sunt mai multe nivele deenergie posibile, iar orpul în  lzit va ap rea înros, it.Soarele, privindu-l impreuna u prietena lui. Sa nu va asteptatila prea mult insa da a in er ati sa impartisiti entuziasmul sipartenerului dumneavoastra, a i puteti primi a elasi raspunspe are l-a primit si Gamow: "Draga, alt eva mai romanti nuputeai sa spui?"105. Lumina este uanti� at  în pa hete dis rete deenergie, numite fotoniO on�rmare ulterioar  (dup  5 ani) a propunerii lui Plan ka venit odat  u expli area efe tului fotoele tri de  treAlbert Einstein, pentru are a esta a s, i primit premiul Nobel.Ast zi, pare urios   premiul Nobel a fost a ordat lui Einsteinnu pentru ontribut, ia sa ovârs,itoare în ele dou  teorii alerelativit t,ii, i pentru o ontribut,ie în me ani a uanti  ! Nueste îns  de mirare, teoria relativit t,ii a fost foarte ontrover-sat  la în eput. Între timp îns , rolurile s-au s himbat...Astfel, Einstein a fost ons,tient de observat,iile experimentaleefe tuate de  tre �zi ianul Philipp Lenard (1862-1947) s, i alt, iila tre erea dintre se ole. Mai pre is, a es,tia au studiat om-portarea ele tronilor smuls,i de pe o suprafat,  metali   ânda easta este iluminat , m surând viteza u are erau eje tat, i.Faptul   se smulg ele troni într-o astfel de situat, ie nu estesurprinz tor. Clasi , ne putem imagina   lumina in ident 

231Capitol 6Me ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti  In apitolul pre edent am introdus me ani a uanti a,urmand a in a est apitol sa dis utam ateva notiuni deme ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti a.Pentru a sunt destul de "spe ializate", ele doua teorii ra-man de ele mai multe ori in gradina �zi ienilor si nu fa e partedin bagajul de unostinte generale al uiva interesat de propri-etatile Universului in are respira si traieste. Pentru a ridi a u-riozitatea ititorilor, iata ai i ateva din ideile fundamentale aleele trodinami ii uanti e si ale me ani ii uanti e relativiste.Intr-o prima instanta, me ani a uanti a relativista este,asa um ii spune si numele, o teorie are pune de a ordme ani a uanti a u teoria relativitatii restranse. Ea intro-du e pozitronul a o noua parti ula u a eleasi proprietati a ale ele tronului, insa u sar ina ele tri a pozitiva. Intr-oanaliza mai detaliata se poate arata a pozitronul nu estenumai ne esar pentru a fa e me ani a uanti a ompatibila uteoria relativitatii restranse, dar si pentru a pastra relatiile de auzalitate. Me ani a uanti a relativista, asa um se predala atedra, ramane insa o teorie pentru o singura parti ula, ade exemplu ele tronul sau pozitronul.In ontinuare, ele trodinami a uanti a este o extensiea me ani ii uanti e relativiste, pentru azul mai multorparti ule. Ea onsidera insa numai trei tipuri de parti ule:ele troni, pozitroni la are mai adaugam fotonii ( e mediazade fapt intera tia dintre ele troni sau pozitroni).Ai i ar trebui doar sa fa em un exer itiu si sa ontruimundele de probabilitate multi-parti ula pentru ele trei parti -ule, asa um ne invata me ani a uanti a, si sa apli am eletrei postulate ale me ani ii uanti e. In prin ipiu, toate bunesi frumoase, pana and trebuie sa s riem e uatia de evolutieS hrodinger a undei de probabilitate multi-parti ula. Ce formaea a easta? Cum arata? Postulatele me ani ii uanti e spundoar a o astfel de evolutie exista, insa nu ne spun are esteforma exa ta a e uatiei... A easta este in fond provo area eamai mare...Noi o sa intampinam a easta provo are prin intermediulmetodei lui Feynman, denumita si metoda integralelor de drum.Vom vedea a este posibil sa des riem ele trodinami a uanti ainventarizand intera tiile dintre ele ele trei parti ule pe areea le des rie: ele tronul, pozitronul si fotonul. Lu rul nu estede i i de olo, a i ele trodinami a uanti a ramane teoria eamai bine veri� ata de experiment.Din olo de a este aspe te ale ele trodinami ii uanti e, o samai dis utam si despre notiuni larg raspandite, a de exempluparti ule virtuale, antiparti ule sau diagrame Feynman. Sain epem insa u o s urta re apitulare.129. Esent,a me ani ii uanti eDup  um am v zut, me ani a uanti   este o extensieneobisnuit  a me ani ii lasi e. Da   în me ani a lasi   unele tron se deplasa ontinuu pe o urb , de la un pun t laaltul, în me ani a uanti   trebuie s  renunt, m la a east imagine. Ai i, între dou  m sur tori, trebuie s  uit m departi ul  s, i s  onsider m unda sa de probabilitate.

Dup  um v  amintit, i, unda de probabilitate a ele tronuluifara spin des rie probabilitatea de a g si ele tronul într-un lo în altul, iar evolut,ia ei este dat  de e uat, ia S hrodinger. Ea nune spune pre is unde vom g si ele tronul, i doar are este prob-abilitatea de a-l g si în toate lo urile în are el poate ajunge.Da   am putea privi u o hii nos,tri lumea uanti   am aveaimaginea unei lumi foarte nefamiliare, în are parti ulele par  sar brus dintr-un lo în altul: da   a um g sim un ele tronai i, peste âteva momente îl putem g si pe Luna s, i peste în  un minut poate tot ai i. Ni i vorb  de mis,  ri ontinue, deevolut,ii pe traie torii, et ., i doar de o unda de probabilitate are evolueaza, iar parti ula o putem gasi " and i i and olea" dupa um da unda de probabilitate...Desigur, v  mai adu et,i aminte s, i de postulatul olapsuluifun t, iei de und . A esta spune   unda de probabilitateevolueaz  ontinuu ( onform e uat, iei lui S hrodinger) doar înabsent,a observatorului. Odat  îns  e fa em o m sur toare,a east  und  se s himb  brus în tot Universul. Da   un omvede de exemplu unde este ele tronul, unda de probabilitate o-lapseaz , devine lo alizat  în zona unde a fost g sit ele tronul,dup  are în epe din nou s  evolueze ontinuu onform e uat, ieilui S hrodinger. Cu alte uvinte, simplisti vorbind, ara terulde parti ul  al ele tronului se fa e vizibil doar la m sur tori, înrest, trebuie s  ne gândim numai la unda sa de probabilitate.Atun i, datorit  postulatului olapsului undei de probabil-itate, va exista o probabilitate mai mare s  g sim ele tronulunde l-am g sit s, i la ultima masuratoare. În �nal, aparit,iilea estea su esive ale ele tronului (în urma m sur torii noas-tre), hiar da   pot � aleatorii, au o probabilitate mai marede a � g site aproape de traie toria lasi  ... De a eea lumeanoastra apare ontinua si lasi a...Faptul   în ori e moment putem g si ele tronul în toatelo urile posibile, desigur, u probabilit t,ile aferente, reprezint  heia înt,elegerii ori  rui sistem de parti ule uanti e si, inmod general, a ori  rui sistem lasi . A easta pentru a ea sepoate tradu e si prin a spune a ele tronul se a�a, in a elasitimp, in toate pun tele din spatiu...Astfel, pozitia ele tronului in spatiu poate � aso iata uneistari lasi e a ele tronului. Cum unda de probabilitate aele tronului reprezinta in fond un numar omplex in �e arepozitie a spatiului, putem spune a a easta unda de probabil-itate este data de o ole tie de numere omplexe, ate unulpentru �e are stare lasi a a ele tronului. Vorbim atun i deo superpozitie uanti a si de faptul a ele tronul se gaseste, ina elasi timp, in toate starile sale lasi e...A easta abordare fa e posibila generalizarea la ori e sistem(nu numai ele tron), �e el o roata de automobil, ole tie departi ule sau minge de fotbal. In apitolul prede ent am dat ateva exemple de superpozitie uanti a a unor sisteme, a deexemplu statuia uanti a, pisi a lui S hrodinger, sau hiar unfoton polarizat la un anume unghi...Asa um am dis utat, in azul general se stabiles toatepozit, iile lasi e pe are le poate lua un sistem, în totalitatealui. Apoi i se ataseaza �e arei stari lasi e ate un numar omplex, formandu-se astfel o ole tie ne numere pe areo numim tot unda de probabilitate. Dup  um ele tronul

232 Capitolul 6 : Mecanica cuantica relativista si electrodinamica cuantica

Figure 6.1: Unda de probabilitate a unui sistem, in trei azuri. Stanga: un ele tron fara spin se a�a in a elasitimp in sase pozitii spatiale, eea e inseamna a unda deprobabilitate primeste ate un numar omplex pentru �e arepozitie. Mijlo : o statuie uanti a se gaseste in a elasi timpin doua pozitii posibile. Dreapta: un sistem format dindoi ele troni si doi fotoni. O stare lasi a este o fotogra�eparti ulara a pozitiei elor patru parti ule. In �gura suntreprezentate doua stari lasi e posibile. Sistemul uanti al elor patru parti ule se a�a in a elasi timp in ambelesituatii. Unda de probabilitate a Universului format de elepatru parti ule primeste ate un numar omplex pentru�e are astfel de stare lasi a.poate � g sit în ori e moment în ori are dintre pozit, iile sale lasi e, tot as,a s, i sistemele lasi e, odat  uanti� ate, pot �g site ori ând în ori are dintre starile lor lasi e, u anumiteprobabilitati desigur... Ori, u alte uvinte, a sistemul segaseste in a elasi timp in toate starile sale lasi e.Atun i me ani a uanti a ne spune a sistemul poate �g sit la momentul urm tor, da a este masurat, în ori aredintre pozit, iile lasi e posibile s, i numai unda de probabilitatene va spune are este probabilitatea de a-l g si într-o situat, iesau alta, nu îns  u ertitudine. Desigur îns , este ne esars  s, i s riem e uat, ia lui S hrodinger pentru evolut,ia undei deprobabilitate a intregului sistem, altfel nu s,tim um va evoluaprobabilitatea de a-l g si într-o stare lasi   sau alta...In ele trodinami a uanti a sistemele " lasi e" sunt ole tiide trei tipuri de parti ule: ele tronul, fotonul s, i pozitronul.A este parti ule sunt imprastiate prin olturile indepartateale Universului, iar o stare " lasi a" ne spune unde se a�ain parte �e are din ele. Pra ti , da a Universul ar � fa utdoar din ele troni, pozitroni si fotoni, starea lasi a a tuturorparti ulelor ar � o stare lasi a a Universului intreg.Unda de probabilitate a sistemului reprezinta in a est azo ole tie de numere omplexe, ate unul pentru �e are stare lasi a a Universului (de i pentru �e are ombinatie posibilaa pozitiilor parti ulelor). Modulul a estor numere omplexene da probabilitatea de a gasi Universul in a ea stare lasi a.Cu alte uvinte, pentru a onstrui ele trodinami a uanti atrebuie sa onsideram toate a este stari lasi e ale Universului(fa ut numai din ele trei parti ule) si sa onsideram aUniversul se a�a de fapt intr-o stare de superpozitie uanti aa a estor stari lasi e...Intr-o imagine mai "artisti a", dar nu departe de adevar, amputea spune a Universul se a�a, in a elasi timp, in toate om-binatiile sale imaginabile... Lumea apare insa lasi a pentru aasupra ei se efe tueaza in ontinuu masuratori, iar unele dintrea este ombinatii au atun i o pondere mult mai mare de at

elelalte. O sa vedem mai tarziu, in metoda lui Feynman, uma easta existenta simultana in mai multe stari se rasfrange nunumai asupra pozitiilor parti ulelor, dar si asupra istoriei lor...Asa um am amintit insa, greutatea ea mai mare este ontru tia e uatiei de evolutie a a estei unde de probabilitategiganti a pentru intregul Univers. Cum arata ea, um o putems rie? Raspunsul este dat, in azul ele tronilor, fotonilorsi pozitronilor, to mai de atre ele trodinami a uanti a.Pentru a vedea um, sa fa em un pas inapoi si sa introdu empozitronul, prin intermediul me ani ii uanti e relativiste.130. Mis, area relativisti   a ele tronuluiConsiderentele de me ani a uanti   din apitolul pre edentnu au luat în al ul teoria relativit t,ii restranse. C  i, des, inu am ment, ionat, e uat, ia lui S hrodinger de evolut, ie a undeide probabilitate pentru o parti ula libera nu este relativisti invariant . Astfel, as,a dup  um arat  matemati ienii, timpuljoa   un rol preferent, ial in e uat,ia lui S hrodinger: el aparederivat doar o dat , în timp e pozit, ia spatiala apare derivat de dou  ori. Pentru a � relativist invariant , o e uat, ie trebuies  ont, in  în a elas, i mod s, i timpul s, i spat, iul...In ompatibilitatea e uat, iei lui S hrodinger u teoriarelativit t,ii este de nedorit. Primul are a reus, it s  s rie oe uat, ie uanti   pentru ele tron are s  �e ompatibil  uteoria relativit t,ii a fost �zi ianul Paul Dira (1902-1984).A esta a pornit de la forma relativist  (dar lasi a) pentruenergia E a unei parti ule libere, al ulat  de Einstein, în are p tratul energiei este o sum  a p tratului impulsului ps, i a patratului energiei de repaus mc2: E2 = p2c2 + m20c

4.Urmarind a easta forma, Dira a reus, it apoi s  onstruias  o e uat, ie de evolut, ie pentru unda de probabilitate, în are s, itimpul s, i spat, iul apar ambele derivate o singura data s, i areeste ompatibil  u teoria relativit t,ii.Surpriza ea mare a fost îns    Dira a trebuit s  extind st rile uanti e ale ele tronului pentru a s rie o astfel dee uat, ie. Astfel, pân  la Dira , ele tronul in repaus era des risde dou  st ri uanti e posibile într-un pun t din spat,iu, ateuna pentru �e are stare de spin. In e uatia lui Dira îns ,ele tronul trebuie des ris de patru st ri uanti e într-un singurpun t din spatiu. Cele patru st ri uanti e poart  denumirea ole tiv  de spinor.

Figure 6.2: Paul Dira la un onferinta e a avut lo lain eputul anilor 1930. Puteti ghi i subie tul dezvoltat petabla?Poate lumea ar � fost reti enta la noua e uat, ie a lui Dira ,da   a easta nu ar � expli at în mod natural un lu ru aparea azut din er pân  atun i: momentul magneti de spin

130. Mis, carea relativistica a electronului 233al ele tronului! C  i, sa ne adu em aminte a a esta fuseseintrodus de Pauli numai pe baze experimentale. În prin ipiu,nimi nu opres,te ele tronul în e uat,ia lui Pauli s  aib  s, i un altmoment magneti spin (sa zi em de doua sau de trei ori maimare) s, i de i onstru t,ia lui Pauli este oare um arti� ial ...Pe de alt  parte, e uat, ia lui Dira pornes,te de la formalui Einstein pentru energia ele tronului în mis, are, are esteapoi s ris  pentru fun t, iile de und  u patru st ri uanti edistin te, as,a-numit, ii spinori. Spinorii au o semni� atie maiadan a, legata de transformarile Lorentz in spatiu-timp, insanoi nu vom aborda a est aspe t ai i. Pentru noi este su� ienta um sa mentionam a nu exist  ni i un element arbitrarsau adit, ional în e uat,ia lui Dira si a marimea momentulmagneti de spin al ele tronului iese din a easta e uatie.

Figure 6.3: In �gura sunt reprezentate s hemati elepatru stari uanti e posibile ale ele tronului a�at in repausin a elasi pun t din spatiu. Doua dintre a este stari auenergia pozitiva, si doua energia negativa. Cele doua staripentru a eeasi energie identi� a ele doua stari de spin aleele tronului, s hemati desenate printr-o sageata. Sageatareprezinta orientarea momentul magneti de spin al ele -tronului, odata e a esta se a�a intr-un amp magneti ...Astfel, în aproximarea vitezelor mi i, e uat,ia lui Dira arata um ele tronul se omport  în âmp magneti a s, i um aravea atas,at un moment magneti de spin. Mai mult, valoareaa estuia este dis ret , ele dou  valori pe are le poate lua�ind exa t valorile propuse de Pauli s, i are sunt on�rmate ex-perimental. Cu alte uvinte, e uat, ia lui Pauli pentru ele tronrezult  a o aproximare a e uat,iei lui Dira la viteze mi i!Con luzia? Momentul magneti de spin al parti ulei este omanifestare a relativit t,ii restrânse, in lus  în e uat, ia lui Dira .Surpriza a fost as,a de mare, în ât s, i pân  azi e uat,ia lui Dira este onsiderat  una din ele mai frumoase e uat, ii ale �zi ii...Unda de probabilitate ψ a ele tronului relativist al lui Dira este des risa de o matri e oloana are are patru linii, pentru a ele tronul poate avea patru stari uanti e distin e in a elasipun t din spatiu, in a elasi moment de timp. Da a notam, a la teoria relativitatii, evenimentele spatiu-timpului uxµ = (ct, x, y, z), unde µ = 0 : 3, atun i unda de probabilitateψ devine:

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

Ai i ψ3 = ψ3(xµ) este un numar omplex, iar |ψ3(x

µ)|2 des rieprobabilitatea de a gasi ele tronul in starea uanti a 3 inevenimentul xµ (momentul de timp x0 = ct si pozitia spatialax1 = x, x2 = y, x3 = z).

E uatia lui Dira des rie evolutia undei de probabilitateψ(xµ), si ea are urmatoare forma ompa ti� ata:

(i~γµ∂µ −mc)ψ = 0Ai i se foloses mai multe onventii de notatie, toate insaidenti e u ele de la teoria relativitatii generalizate. In primulrand, re unoastem numarul omplex i si onventia lui Einstein, are spune a un indi e e se repeta trebuie insumat. Adi aγµ∂µ =

∑

µ γµ∂µ. In plus, ~ = h/2π este dat de onstanta luiPlan k iar c este viteza luminii.Apoi, ∂µ denota derivarea in raport u oordinatele spatialesi temporale: ∂µψ = ∂ψ/∂xµ. In plus, m este masa de repaus aele tronului, iar γµ desemneaza matri ile lui Dira . Interesanteste a ele pot lua mai multe forme, insa alegerea lui Dira este urmatoarea:

γ0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

; γ1 =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

;

γ2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 i 0 0−i 0 0 0

; γ3 =

0 0 1 00 0 0 −1−1 0 0 00 1 0 0

;O rezolvare minutioasa a e uatiei lui Dira arata a a eastaare in general patru tipuri de solutii, e desemneaza in fondpatru unde planare, orespunzatoare elor patru stari uanti e.Doua dintre a estea au energie pozitiva E = mc2 (re unoastemrelatia lui Einstein) iar doua energie negativa E = −mc2.Pentru a studia mis area ele tronului relativist intr-un ampele tromagneti , �zi ienii adapteaza e uatia lui Dira dupa o"reteta" valabila pentru ori e parti ula fara spin, inlo uind ∂µpur si simplu u (∂µ + ieAµ/c), unde Aµ = (−cφ,Ax, Ay, Az)reprezinta potentialele ampului ele tromagneti (vezi al doilea apitol), iar e sar ina ele tronului. E uatia devine

[

i~γµ(∂µ + ie

cAµ) −mc

]

ψ = 0Partea ea mai frumoasa dintre toate este a e uatia pre edentades rie um ele tronul se mis a in ampul ele tromagneti asi um ar � un mi magnet. A esta este momentul magneti de spin al ele tronului, si el iese egal u el al magnetronulBohr-Pro opiu, adi a exa t rezultatul experimental al luiStern and Gerla h...Noua propunere a lui Dira pentru mis area relativistaa ele tronului are insa si probleme. Astfel, ele patru st ri uanti e ale ele tronului, propuse de Dira , ar � în ontradi t,ie u doar ele dou  observate experimental! Ca i, sa ne adu emaminte, tabelul lui Mendeleev a fost re onstruit de Paulipresupunand a �e are nivel orbital poate � o upat de doardoi ele troni, ate unul pentru �e are stare posibila a spinului.De e de i patru stari uanti e in e uatia lui Dira , da   noivedem experimental a sunt doar dou ?Pentru a intelege e se intampla, putem privi mai in-deaproape ele doua noi stari uanti e, si le ompara u eledoua stari uanti e mai ve hi. Astfel, ele doua stari uanti e unos ute deja (de la Pauli) des riu o mis are relativista aele tronului, asa um ne asteptam. Pentru a este doua stari" uminti" relatia dintre energia si impulsul unui ele tron libereste ompatibila u relativitatea restransa: energia totala areo ontributie data de energia de repaus (m0c2 unde m0 estemasa de repaus a ele tronului) si una data de impuls. Energiaele tronului in mis are este de i mai mare de at energia sarepaus relativista m0c

2, asa um ne asteptam.

234 Capitolul 6 : Mecanica cuantica relativista si electrodinamica cuanticaCele doua noi stari uanti e aditionale au insa o omportare iudata. Astfel energia unor ele troni liberi a�ati in repauseste pentru a este stari uanti e E = −m0c2, adi a negativa!In plus, da a ele tronii se mai si mis a, energia devine hiarmai mi a de at −m0c

2! Dintr-un posibil dezastru pentruteoria sa, Dira a reusit sa fa a o vi torie glorioasa, u opropunere at se poate de bizara...Astfel, sa ne adu em aminte din nou de tabelul lui Mendeleevsi de maniera de ompletare a nivelelor de energie ale ele tron-ilor din atomi. Ca i, atun i and avem mai multi ele troni,trebuie sa asezam ele tronii de la valori s azute ale energiei lavalori mai ridi ate, ate unul pentru �e are nivel (pentru aele tronii sunt fermioni). Sa remar am a in azul atomuluivom avea ate doi ele troni pe �e are nivel orbital, pentru a ele tronul poate avea pe a el nivel doua stari uanti edistin te, datorita spinului.In azul ele tronului liber des ris de e uatia lui Dira avem oin�nitate de nivele de energie negativa, toate avand mai putinde at −m0c2. Ar trebui sa umplem atun i toata in�nitatea denivele de energie negativa (toate mai mi i de at −m0c

2) pana and putem pune ele troni de energie pozitiva, ei pe are ii ob-servam in experiment... Cum noi observam experimental a estiele troni de energie pozitiva, nu e oare mai bine sa presupunem a spatiul este deja umplut u ele tronii de energie negativa?

Figure 6.4: Reprezentarea starii de "vid", in propunerealui Dira . Ai i ar exista o mare de ele troni de energienegativa, are ar umple deja tot spatiul, ate doi in �e arepun t. In �gura sunt reprezentate patru pun te ale spatiu-lui, u ele patru stari uanti e posibile. In �e are pun t, ele doua stari u energie negativa ( ele de jos) ar � dejao upate de ele troni, iar ele de energie pozitiva ar � libere.Cu alte uvinte, sugestia lui Dira este   ele dou  noist ri uanti e nu au fost observate în pra ti   pentru   elesunt deja o upate u ele troni, în ori e pun t al spat, iului. Noiobservam doar pe ele doua stari uanti e ramase libere si de idoar ele troni u energie pozitiva, pentru a toate nivelele deenergie negativa au fost deja ompletate u ele troni liberi... În azul a esta am avea un Univers în are exist  deja o in�nitatede ele troni, hiar s, i în vid, are nu pot � observat,i în  .Desigur, o astfel de propunere este greu de a eptat... În�nal, Dira nu a avut dreptate, a i nu exist  o in�nitate deele troni are deja umplu pe jum tate spat, iul. Dar propunerealui Dira a evoluat, ajungând la o form  are presupuneaexistent,a unei noi parti ule, pozitronul, si a unei noi not, iunidin �zi   parti ulelor elementare, a ea a antiparti ulelor...

131. Pozitronul exist !As,a um am ment, ionat în pun tul pre edent, me ani a uanti a relativista (e uatia lui Dira ) ne spune a ele tronulare doua stari uanti e aditionale fata de ele unos ute dejaale spinului. Ceea e s,o heaz  în primul rând la a estea estefaptul   energia a estor doua noi stari se întinde la in�nit  tre valori negative.Pra ti , pentru ele tronii liberi, spe trul energeti are douabenzi separate: o banda de energii pozitive mai mari de atenergia de repaus a ele tronului m0c2, si o banda de energiinegative, mai mi i de at −m0c

2. A este dou  benzi de energiesunt împ rt, ite în dou  de eea e se numes,te o band  interzis ,o zon  de energii pe are ele tronii nu o pot avea.Asa um am mentionat, di� ultatea se observ  da   lu mîn al ul ompletarea nivelelor de energie u ele troni, pe bazapostulatelor are le-am folosit la atom: nivele de energie se ompleteaz  de la energia e mai joasa (in azul nostru energiinegative) în sus, pentru �e are stare uanti   distin ta âteun ele tron.Asa um am vazut in se tiunea pre edenta, solut, ia lui PaulDira a fost s  admit    exist  deja o in�nitate de ele troni are ompleteaz  noile niveluri de energie negative. Da anu ar asa, atun i ori e ele tron de energie pozitiva ar puteaavea o tranzit,ie spontan  atre un nivel de energie negativa(mai mi ) are ar � liber de ele troni. Pra ti , ele tronii s-arevapora in Univers pe starile de energie negativa, lu ru arenu se observa experimental. Da a insa toate nivele de energienegativa sunt deja o upate u ele troni, pro esul de mai susnu poate avea lo , a i doi ele troni nu pot imparti a eeasistare uanti a �nala... Pra ti , ele tronul de energie pozitivanu mai poate avea o tranzitie pe starile de energie negativa,pentru a a estea sunt deja o upate u ele troni...Solut, ia lui Dira pare desigur greu de a eptat s, i trebuiespus a ea ni i nu des rie realitatea ore t . În realitate, lumeanu este umplut  u o in�nitate de ele troni de energie negativ .Cu toate a estea, a easta propunere a lui Dira des rie ore t âteva efe te e vor ap rea lare în ele trodinami a uanti  .Astfel, s  presupunem pentru moment   nivelele de energienegativa sunt ompletate total u o in�nitate de ele troni si savedem e se poate intampla.Astfel, a zis Dira , da   o in�nitate de ele troni o up  omplet banda de energie negativ , noi nu observ m a estlu ru în experimente, pentru   noi m sur m mereu ele tronide energie pozitiv . Ele tronii a estia din banda de energienegativa ar forma atun i un fel de "fundal" aproape invizibil.Ceea e am putea îns  observa este disparit,ia unui ele trondin a east  band !Cum ar putea insa parasi un ele tron a easta banda deenergii negative? De exemplu, un ele tron din a easta bandaar putea absorbi un foton si, u energia obtinuta, s-ar puteadeplasa pe un nivel de energie pozitiva. A east  disparit, iear l sa în urm  un "gol" in marea de ele troni u energienegativa. Situat, ia este desigur asem n toare golurilor dinmaterialele semi ondu toare.Dira a studiat mis, area golului s, i a reus, it s  il exprime amis, area unei parti ule de energie pozitiv  s, i având sar inaele tri   pozitiv . A easta pentru a "lipsa" unui ele trondintr-un fundal de sar ini negative este experimentata a unlo de sar ina ele tri a pozitiva. Apoi, a zis Dira , noi nuputem "vedea" in�nitatea de ele troni din banda de energienegativ , i numai lipsa de ele troni din a east  band , adi  golurile. Atun i, pentru noi, golurile ar � nis,te parti uleoare are, are au de i energie pozitiv  s, i sar ina ele tri   totpozitiv . A este goluri au fost denumite mai apoi pozitroni s, iele reprezint  eea e azi numim antimateria ele tronului.Sa observam a absorbt,ia unui foton reeaz  un gol in bandade energii negative (de i un pozitron) dar s, i un ele tron in

287Capitol 7Modelul Standard al parti ulelor elementareDa a priviti putin de la distanta apitolele pre edente, osa observati a ele des riu intera tiile a doar doua forte dinnatura: forta ele tromagenti a si ea gravitationala. Intr-unfel nu este de mirare, a i ele mai multe pro ese �zi e dinjurul nostru se poat expli a doar prin ele doua forte...Pe de alta, si ai i este unul dintre marile mistere ale unoasterii, natura prezinta si alte intera tii, a de exempluintera tiile nu leare. A estea se manifesta in prin ipal intreparti ulele din interiorul nu leului ( a de exemplu neutronisau protoni), de unde si numele lor. In esenta insa, intera tiilenu leare se redu la forte fundamentale noi din Univers, a deexemplu forta slaba nu leara sau forta de uloare.De e spunem a a esta este un mister al unoasterii?Pentru a, intr-o prima instanta, ne-am � putut astepta poate a Universul sa �e fa ut dintr-un fel de "gelatina", eva farastru tura si simplu. Asa am � fa ut noi Universul, da a era saju am rolul unui Creator, nu? De e a fost nevoie de a eastastru tura omplexa a materiei? Oare Creatorul insusi nu aveaalta alegere da a ar � fost sa onstruias a un Univers oerentmatemati are sa in orporeze toate simetriile dorite?Un gand indraznet desigur, dar poate nu departe de adevar...Ca i, dupa um vom vedea in dis utiile urmatoare, simetriajoa a un rol ru ial in forma fortelor de intera tie. Mai mult,asa um sugereaza �zi a moderna, fortele de intera tie sunt unrezultat dire t al simetriilor. Cu alte uvinte, un matemati ianpoate spune: "Da-mi simetriile interne ale parti ulelor si euiti dau fortele de intera tie dintre ele"...Sa in er am si noi sa dam deoparte putin din voalul eas unde se retele a estor forte (si impli it ale a estui Univers),pornind u o mi a re apitulare a eea e am dis utat in apitolul pre edent.148. Putina re apitulare si punere in s enaÎn apitolul pre edent am urm rit în prin ipal onstru t, iaele trodinami ii uanti e, e este o teoria uanti   a âmpuluidedi at  intera t,iilor dintre ele troni prin intermediul fotonilor.Pra ti , asa um am aratat, ele tronii si fotonii nu sunt de atparti ulele a doua ampuri uanti� ate: unda de probabilitatea ele tronului si ampul ele tromagneti (pentru foton).Ast zi s,tim îns    exist  o multitudine de alte parti ule înnatur , des operite toate în se olul e to mai a tre ut. Povestealor este fas inant  în sine, si a easta nu numai pentru   a esteparti ule sunt alea pe are poate vom înt,elege legi în   maiprofunde ale Universului... Înainte de a în epe s  "toar em"put, in din a east  poveste, s  fa em îns  âteva observat,ii.Astfel, din pun t de vedere teoreti , vom urma a eeasi liniegenerala a teoriilor uanti e de amp in metoda lui Feynman,linie de argumentatie pe are am folosit-o in ele trodinam ia uanti a. Astfel, a este parti ule noi vor apartine si ele unor ampuri uanti� ate, pe are ar trebui sa le identi� am sausa le re onstruim (o vom fa e si noi desigur, dar doar panala un pun t...). In plus, intera tia dintre a este parti ule ovom des rie prin amplitudinile de probabilitate des rise dediagramele Feynman. In �nal pro edura este o opie a eea e

Figure 7.1: Fortele elementare ale naturii, organizatedupa gradul de uni� are. In stanga avem ele tri itatea simagnetismul, uni� are de Maxwell in ele tromagentism.A treia forta este forta nu leara slaba, are apare indezintegrarea nu leelor (si impli it a atomilor). A eastase uni� a u ele tromagnetismul in teoria ele tro-slaba.Mai in dreapta este forta tare nu leara, ea are tineprotonii si neutronii uniti in interiorul nu leelor. Labaza insa, a easta forta este datorata uar ilor, are suntpartile omponente ale neutronilor si protonilor. Forta deintera tie dintre uar i poarta numele de forta de uloarea,iar teoria lor se numeste romodinami a uanti a. Toatea este teorii de pana a um se regases in "modelul stan-dard al parti ulelor elementare". Cea mai din dreapta estegravitatia, are la ora a tuala fa e nota aparta, hiar da aea a fost in orporata in teoria relativitatii generalizate deEinstein. Nimeni nu stie in a um putem uni� a gravitatia u elelalte forte ale universului.am avut la ele trodinami a uanti a: parti ulele sunt rezultateale uanti� arii ampului, si intera tia dintre parti ule estedes risa de diagramele Feynman.Dupa um am vazut in se tiunea pre edenta, diagrameleFeynman se pot al ula in doua reprezentari: reprezentareaspatiala si reprezentarea impulsului. Prima este mai intuitiva,insa ea de-a doua este folosita mai des in pra ti a, deoare e ease apli a intera tiilor dintre parti ule are au energia si impul-sul bine de�nit. Cum in azul experientelor in a eleratoarelemoderne de parti ule avem de-a fa e u parti ule in identepentru a stim impulsul si energia initiala (pentru a stim at

288 Capitolul 7 : Modelul Standard al particulelor elementarede mult le-am a elerat) vedem a reprezentarea impulsuluieste ea mai potrivita. In onse inta, in a est apitol vom folosisi noi aproape peste tot diagramele Feynman in reprezentareaimpulsului.Aspe tul el mai fas inant al a estor diagrame sunt fara doarsi poate parti ulele virtuale. Asa um am dis utat in apitolulpre edent, parti ulele virtuale nu sunt de at alte reprezentariale parti ulelor obisnuite, are ne ajuta sa des riem mai usorintera tiile si amplitudinile lor de probabilitate de are avemnevoie. De i, de ate ori vom spune de exemplu "ele tronvirtual" sa nu va imaginati eva "misterios". Este vorba pursi simplu de a elasi ele tron u are noi suntem obisnuiti,dar are are tranzitii virtuale pe diverse stari de energie inde ursul pro eselor.Reprezentarea a easta spe iala de parti ule virtuale areanumite parti ularitati, pe are o sa le enumeram din nou. Inprimul rand, in reprezentarea impulsului, energia E si impulsulp unei parti ule virtuale pot lua ori e valori ne orelate. Ai i,energia si impulsul parti ulei virtuale nu trebuie sa mai �elegate de relatia lui Einstein pentru parti ulele reale, undeenergia reste intr-un mod unos ut odata e impulsul reste...Pra ti , putem avea parti ule virtuale u impuls nul si energie e depaseste u mult energia de repaus, hiar da a pare ilogi (pentru a la un impuls nul, energia parti ulei reale este egala u energia de repaus).Apoi, emisia si absorbtia de parti ule virtuale ( a de exempluemisia unui foton de atre un ele tron) are lo u onservareaenergiei si impulsului. Desigur, a estui pro es i se atribuie oamplitudine de probabilitate, prin intermediul diagramei saleFeynman aso iata, asa um am dis utat in apitolul pre edent.Si, in �nal, pro esele are impli a parti ule verti ale suntpro ese intermediare in diversele oliziuni din a eleratoarelemoderne de parti ule. Cu alte uvinte a este parti ule virtualenu pot intra sau iesi din pro esele de intera tie are au lo in a - eleratoarele de parti ule. In a odata insa, a este parti ule vir-tuale nu sunt de at o reprezentare a parti ulelor obisnuite, arefa mai usoara des rierea fenomenelor �zi e, de i nu trebuie sase speriam a, aoleu, a um trebuie sa invatam parti ule noi...Am v zut în apitolul pre edent   teoria ele trodinami ii uanti e poate � onstruit  logi pornind de la ele tromag-netism s, i me ani a uanti a relativista pentru un ele tron. Maimult, asa um vom vedea într-una din se t, iunile e urmeaz ,ele trodinami a uanti   este una din put, inele teorii e se pot onstrui ad-ho s, i are s  satisfa   erint,ele unei teorii apli a-bile la experiment: s  �e relativisti invariant , s  �e renormal-izabil , s  �e invariant  la transformarea de etalonare lo al  s, ia  rei e uat, ii s  �e ât se poate de simple! Cu alte uvinte,în mândria noastr  in�nit , am putea a�rma, parafrazându-lpe Einstein,   Dumnezeu nu ar � avut alt  alegere ori umpentru a onstrui lumea s, i am putea ple a linis,tit, i la ul are...Poate to mai pentru a ne mai domoli o astfel de mândrie,sau poate pentru   ori um Universul nu putea � as,a simplu(s  nu uit m   nu am uanti� at delo gravitat,ia), iat   des operim în natur  o ploaie de alte parti ule, nu numaiele troni, pozitroni sau fotoni. Pentru mult, i experimentalis,ti,a este noi parti ule s-au dovedit un adev rat rai, pentruteoreti ieni o în er are.În prima faz  multe din a este parti ule au reus, it s  �esistematizate în tabele de parti ule. Teoreti ienii îns  auavut apoi o mun   di� il  pentru a onstrui teorii are s des rie m  ar în parte propriet t,ile noilor parti ule. Datorit su esului ele trodinami ii uanti e, noile teorii au luat deasemenea forma unor teorii de âmpuri uanti e. Cum îns num rul parti ulelor elementare a res ut, tot as,a s, i num rula estor noi âmpuri uanti e.În forma prezent  se diferent, iaz  dou  teorii uanti e de âmp fundamentale. Prima este romodinami a uanti  , edes rie âmpul uanti aso iat quar ilor, ei din are sunt fa uti

protonii si neutronii. Apoi avem teoria ele tro-slab , e des riedezintegrarea nu leelor s, i în are este integrat  si ele trodi-nami a uanti   (si de i ele tromagnetismul). A estea douateorii fundamentale formeaza eea e se numeste azi "ModelulStandard al Parti ulelor Elementare" ("elementare", pentru ase refera la doar parti ulele elementare, nu si la ele ompuse).Cu tot su esul intermediar, noile teorii se arat  a � în   omplexe s, i nimeni nu rede azi   ele pot � teorii "ultime". Cualte uvinte, a estea sunt teoriile ele mai avansate veri� ateexperimental pe are le avem s, i u ele de�l m. Ele sunt îns nu numai omplexe, dar s, i in omplete, si nu expli   anumite oin ident,e, a de exemplu simpla egalitate a sar inii ele tri ea ele tronului s, i protonului...A este observat,ii fa evident  ne esitatea unei teorii maiavansate are s  des rie toate parti ulele elementare la un lo , are sa in luda si gravitatia s, i are s  �e de preferint,  logi  s, i simpl . O astfel de în er are (teoria orzilor relativiste) va� prezentat  îns  în apitolul urm tor des, i, trebuie spus de pea um, ea ramane doar la stadiul de propunere, a i nu a fostîn   veri� at  experimental.149. Metode de observat, ie a noilor parti uleÎn pun tele urm toare ne vom o upa de modul în areunele din noile parti ule au ies, it la iveal , felul în are au fostm surate, iar mai apoi vom în er a s  le sistematiz m. Înspat, iul rezervat nu putem fa e desigur o prezentare detaliat s, i de a eea vom neglija multe din des operirile esent, iale, umar � radioa tivitatea sau neutronii.O prim  întâlnire u o metod  de observat,ie a noilor parti -ule a fost f  ut în apitolul pre edent, unde am v zut um CarlAnderson a fotogra�at pentru prima dat  pozitronii, antiparti -ulele ele tronilor. A esti pozitroni proveneau din raze osmi e,o sursa naturala de noi parti ule. A easta nu atat din faptul aparti ulele e vin din spatiul osmi pot � noi, at prin faptul a ele sunt foarte energeti e. Energia lor ineti a mare fa e ala impa tul u atomii din atmosfera sa se reeze alte parti ule, are la randul lor vor � foarte energeti e. In �nal, printr-unefe t de avalansa, se reeza un adevarat jet de parti ule in at-mosfera Pamantului, e provin toate de la parti ula originala.90% dintre parti ulele osmi e are loves Pamantul suntprotoni, iar 9% sunt nu lee de heliu provenind de la Soare.In restul de 1% se regases si alte parti ule, provenind nunumai din ve inatatea osmi a, dar hiar si de la galaxii foarteindepartate. Ceea e este poate spe ial este a energia a estorparti ule osmi e poate atinge 1020eV, unde 1eV reprezintaenergia ineti a a umulata de un ele tron da a este a eleratintre doua pla i ale unui ondensator in ar at la 1V. Pentru omparatie, sa mentionam a energiile ele mai mari atinse departi ule in laboratoarele er etatorilor sunt de aproximativde 1013eV, adi a de milioane de ori mai mi i de at eea e segaseste in razele osmi e!Anderson a folosit in observatiile sale experimentale pentrudeterminarea pozitronului o amer  u eat,  Wilson. Camera u eat,  onst  dintr-un ilindru prev zut u un geam prin are se pot fa e fotogra�i. A est ilindru este umplut u aersaturat u vapori (de obi ei de al ool), eea e nu înseamn alt eva de ât   vaporii stau gata s  ondenseze pe diverseleparti ule din re ipient.Situat, ia este asem n toare u azul mult mai obis,nuit al et, iide dimineat, . Ai i vaporii de ap  ondenseaz  pe parti ulele depraf din atmosfer , formând eat,a. Nu este de i de mirare  ,în prezentarea pe are Charles Wilson a f  ut-o în 1927 odat  u primirea premiului Nobel, a esta ment, ioneaz  fenomenul de eata. Astfel, uriozitatea pentru fenomenul de ondensare api  turilor de ap  i-a fost des his  privind frumoasele fenomeneopti e are apar ând Soarele lumineaz  norii s, i a esteobservat,ii l-au inspirat ulterior în onstru t,ia amerei u eat, .

150. Acceleratoarele moderne de particule 289

Figure 7.2: Un desen artisti al impa tului razelor osmi easupra atmosferei Pamantului. In partea de sus se vede um o singura parti ula osmi a de energie mare genereaza(la impa tul u un atom din atmosfera) mai multe tipuri departi ule. A estea la randul lor vor genera alte parti ule en-ergeti e, si asa mai departe, obtinandu-se o adevarata ploaiepe parti ule din are numai ateva vor atinge suprafata Pa-mantului. Prin onventie, se obisnuieste sa se deseneze ulinie ontinua parti ulele are pot � observate de dete toaresi u linie intrerupta parti ulele are nu pot � observate (auo viata prea s urta sau nu intera tioneaza u dete torul).Camera u eata este atun i a un fel de pus a "in ar ata".Astfel, aerul sta "in ar at" u vapori saturati de apa, are ondenseaza imediat pe ori e parti ule e intra in in inta.A easta in mod spe ial pentru a parti ula in identa areenergii mare si ea poate ioniza atomii din in inta, formand entre de ondensare... Privind urma de ondens lasa departi ula in tre ere putem spune atun i eva despre traie toriaei. Pentru a putea masura si sar ina ele tri   a parti ulelor are tre , amera u eat,  se as,eaz  de obi ei într-un âmpmagneti , are urbeaz  traie toria a estora. Raza de urburane da in general raportul dintre sar ina ele tri a a parti ulei simasa sa. În plus, aerul din interiorul in intei amerei u eatatrebuie s  �e destul de pur, altfel vaporii ar putea ondensape ori e parti ul  de praf e se a�  a olo.Cu toate a estea, instrumentul astfel onstruit nu este în  îndeajuns de sensibil. Pentru a reste sensibilitatea, vaporiitrebuie adus, i în starea de suprasaturat,ie s, i de a eea partea dejos a ilindrului este prev zut  u un piston. Când pistonuleste retras brus , volumul aerului din ilindru res,te brus ,temperatura s ade dintr-o dat  s, i vaporii se suprasatureaz .În a el moment sistemul este extrem de sensibil, iar aerul va ondensa pe tot felul de parti ule are se întâmpl  s  trea  prin ilindru. În a est az putem fa e o fotogra�e a traie torieiparti ulei prin geamul de sti l .Este într-un fel surprinz tor   un astfel de sistem este as,ade sensibil în ât s  observe parti ule elementare a ele tronisau pozitroni. Cu toate a estea, lu rul este posibil, as,a um

Figure 7.3: S hema amerei u eata a lui Wilson. Inpartea de sus este un ompartiment saturat u vapori.Pentru a reste sensibilitatea, amera este prev zut  u unpiston in partea de jos. Când pistonul este retras brus ,volumul aerului din ilindru res,te brus , temperaturas ade brus , s, i vaporii se suprasatureaz . Cand o parti ulatre e prin amera, ea ionizeaza atomii intalniti in traie to-rie. Pe a estia ondenseaza vaporii sunt forma un pi aturiin�nitezimale. Parti ula lasa o urma de ondens in mis- area sa, urma are este observata si fotogra�ata (dreapta).Fotogra�a se fa e sin ron u mis area regulata a pistonului.o dovedes,te s, i prima m sur toare a unei alte parti ule ele-mentare, si anume muonul , mai denumit s, i muonul ele troni (pentru a ne reaminti   e rud  u ele tronul). A east  m sur -toare a fost efe tuat  de �zi ienii J. C. Street and E. C. Steven-son în 1937, u ajutorul unei astfel de amere u eat, . Vomreveni mai târziu la semni� at, ia teoreti   a a estei des operiri.O alt  tehni   pentru observat,ia noilor parti ule au fostpentru o bun  bu at  de timp dat  de pl  ile fotogra� e.Emulsiile fotogra� e pe are a estea le foloses sunt desigursensibile la absorbt,ia de fotoni ( uanta luminii),   i în a estfel se formeaz  o poza obisnuita. În anul 1937, er et torii M.Blau s, i H. Wamba her au observat   a este emulsii fotogra� esunt sensibile s, i la tre erea unor raze osmi e. Prin insistent,a�zi ianului Ce il Frank Powell (premiul Nobel în anul 1950),a east  tehni   a fost îmbun t t, it , în iuda faptului  primele expuneri la razele osmi e trebuiau efe tuate pe vârfulmunt, ilor s, i au durat aproape un an!Este de remar at  , pentru a observa traie toria parti -ulelor din razele osmi e, sau a elor rezultate în urma io nirii u nu leele atomilor din emulsia fotogra� a, planul pl  iifotogra� e trebuie s  �e întâmpl tor a elas, i u el în areparti ulele se deplaseaz . De a eea pl  ile fotogra� e au fost onstruite atun i a un fel de "sandwi h", pentru a se urm ritraie toria parti ulelor s, i într-o dire t, ie perpendi ular  pepla a fotogra�  . S, i în t,ara noastr  astfel de m sur tori aufost f  ute extensiv dup  r zboi de  tre... s, i olaboratorii s i .150. A eleratoarele moderne de parti uleÎn anii de dup  1955 m surarea noilor parti ule a  p tat unavans urias, odat  u introdu erea a eleratoarelor de parti ule, are au devenit ast zi pra ti singurele surse pentru m surareapre is  a noi s, i noi parti ule. Da   puterea dumneavoastr  de ump rare nu a avansat mult în ultimii ani, în as,a fel în ât s v  ump rat,i un televizor u e ran u ristale li hide, se preapoate s  avet,i un astfel de a elerator de parti ule în as .Ne referim desigur la tuburile atodi e de televizor, are pot �privite a nis,te "tunuri" de ele troni.

290 Capitolul 7 : Modelul Standard al particulelor elementare

Figure 7.4: Prima m sur toare a altei parti ule de âtele tron, proton sau neutron, efe tuat  de J. C. Street andE. C. Stevenson în 1937 într-o amer  u eat, . Parti ula, are a l sat urma alb  urbata din stânga, a fost denumit muon µ−. Ea mai este denumita si mionul "ele troni ",pentru a este o rud  a ele tronului e−. Curbura estedatorata prezentei ampului magneti , are arata amionul ele troni este in ar at u sar ina ele tri a. Razade urbura ne da raportul dintre masa si sar ina ele tri a.Presupunand a sar ina muonului este at a ele tronului,se obtine o masa pentru muonul ele troni am de 200 deori mai mare a a ele tronului.Ai i ele tronii sunt a elerat,i în tubul atodi datorit  uneitensiuni de 20kV reat  de un ondensator s, i ei  p t  astfelenergii de aproximativ 20keV (1eV este energia a umulat de un ele tron da   este a elerat într-un potent, ial ele tri de 1V). Înainte a ele tronii s  ating  e ranul �uores ent,ei sunt de�e tat, i de atre niste âmpuri magneti e spe ial reate, pentru a ei s  s aneze întreaga suprafat,  a e ranuluide televizor s, i s  reeze imaginea dorit .A easta metoda sta s, i la baza a eleratoarelor moderne departi ule, are a elereaz  parti ule in ar ate ele tri la energiide pân  la ât, iva TeV (1012eV ), dupa are le olizioneazaviolent unele u altele. A easta este de fapt energia pe arear apata-o un ele tron da a ar � a elerat intre pla ile unui ondesator intre are au fost apli ate o mie de miliarde devolti... Pentru omparat,ie, s  amintim   energia de repaus aele tronului ( u are de i se poate rea un ele tron din vidul uanti ) este mult mai mi a, �ind de aproximativ 0.5MeV(0.5 · 106eV ). Energia de repaus a protonului este am de1GeV (109eV ). Atun i, pentru a atinge a este energii de TeV(1012eV ), mult mai mari de at energia de repaus, ele troniitrebuie sa ir ule la viteze relativiste. Astfel, vitezele a u-mulate de ele tron în a eleratoarele de parti ule pot atinge99.9999991% din viteza luminii.Pe par ursul a estei apitol o sa exprimam des energiile inele tron-Volt (pres urtat eV). Dupa um am mentionat, ener-gia de 1eV este egala u energia ineti a pe are o primeste unele tron atun i and este a elerat intre pla ile unui onden-

Figure 7.5: In �gura este prezentata observarea unei noiparti ule, denumita Σ++c . Parti ula se dezintegreaza instanga jos in tot felul de parti ule e sunt identi� ate pes hita din dreapta prin litere gre esti. Indi ele a estorane da sar ina ele tri a. De exemplu π+ este un pionin ar at u sar ina ele tri a pozitiva, iar µ− este un muonele troni , u sar ina ele tri a negativa, ambele egale invaloare absoluta u ea a ele tronului e−. Masuratoarea aavut lo intr-o " amera u bule", in Laboratorul NationalBrookhaven (Statele Unite) in anul 1974. Camera u buleeste o versiune imbunatatita a amerei u eata, undegazul este inlo uit u un li hid suprain alzit.

Figure 7.6: In �gura este s hitat bombardamentul uele troni asupra unui proton, e are lo in a eleratoarelemoderne de parti ule, pentru a a�a stru tura interna aprotonului. In stanga ele tronul este a elerat intre douapla i de ondensator, intre are se pune e hivalentul a miide miliarde Volti. In dreapta este s hitat protonul, areeste format (asa um vom vedea mai tarziu) din trei quar i( ele trei bile mari). Pe langa quar i exista insa un norde parti ule sub forma lor virtuala (ele troni, pozitroni,et , reprezentati sub forma unor bile mai mi i si sagetiondulate). Contributia parti ulelor virtuale devine din ein e mai evidenta la energii mari de oliziune. Masurandprotonul atun i, masuram nu numai quar ii dar si alteparti ule sub forma lor virtuala, are fa parte din "supa"protonului.

381Capitol 8Teoria orzilor relativiste186. Introdu ând oarda relativist În apitolul pre edent am urm rit onstru t,ia ModeluluiStandard al Parti ulelor Elementare. A esta, împreun  u teo-ria relativit t,ii generalizate (denumit  âteodat  simplu teoriagravitat,iei), este aproape tot eea e s,tim despre evolut, iamateriei în a est moment. Da   am rede   ne-am a�aaproape de "sfârs, itul �zi ii", am putea in er a s  expli  m,de jos în sus, omportarea întregului Univers: fun tionareaprotonilor, a atomilor, apoi mis area stelelor, aparit,ia viet, ii s, iformarea ons,tiint,ei din reierul nostru...Pe de alt  parte, am v zut   ele dou  teorii (ModelulStandard s, i relativitatea generalizat ) sunt neuni� ate. Primateorie (modelul standard al parti ulelor elementare) este prinex elent,  o teorie uanti  , pe ând a doua teorie (teoriarelativit t, ii generalizate) este prin ex elent,  o teorie lasi  .Mai exist  îns  s, i o alt  deosebire fundamental . Astfel,in me ani a uanti a ea are joa   rolul determinant esteparti ula pun tual , pentru   în experiment ele tronul neapare pun tual, f r  o dimensiune anume. În teoria relativitatiigeneralizate, rolul determinant îl joa   âmpul.Prin urmare, suntem în fond în  utarea unei teorii uni�- atoare a me ani ii uanti e s, i teoriei gravitat,iei, o teorie pe are în   nimeni nu a g sit-o pân  a um... Ne-am as,tepta aea s  uni� e în parte s, i not, iunea de parti ul  u ea de âmp.O parte din greutatea a estei sar ini se datoreaz  în prin- ipal s arilor diferite ale elor dou  teorii: me ani a uanti  are de-a fa e u parti ule mi ros opi e, pe ând gravitat,iaare de-a fa e în general u orpurile masive eres,ti. Câtevapunt, i de leg tur  ar � interiorul stelelor masive, sau în eputulUniversului, dar a estea sunt mai degrab  azuri parti ulare.În în er area lor de a g si o astfel de teorie uni� atoare,�zi ienii au dat peste o solut, ie are are potent,ialul de a � ea ore t  s, i pe are ei o denumes " teoria orzilor relativiste". Pentru a a easta ar uni� a me ani a uanti a si teoriarelativitatii, unii �zi ieni o mai numes si "teoria tuturorlu rurilor" ("the theory of everything" in limba engleza).Esent,a teoriei orzilor relativiste este   toate parti uleleelementare sunt f  ute din a elasi tip de oard . A easta oarda ar vibra insa u viteze apropiate de viteza luminii,de a eea ea poarta numele de oarda relativista. Felul în are a easta oard  vibreaz  ne va da o parti ul  sau alta.Si ele tronul si quar ul si fotonul si toate elelalte parti uleelementare ar reprezenta de fapt a eeasi oarda, are apareinsa in moduri de vibratie diferite.In a est apitol vom în er a s  vedem prin ipalele ar-a teristi i ale teoriei orzilor relativiste, avertizând de laîn eput ititorul   a easta teorie este în prezent un domeniunou de er etare s, i foarte ontroversat în a elas, i timp. Înplus, nu exist  în   ni i o veri� are experimental  a teoriei orzilor relativiste. Este de i o s,ans  (mai mare, sau maimi  , dup  opinia �e  ruia) a teoria s  �e în �nal fals  s, i adumneavoastr  s  v  pierdet, i în zadar timpul. În a este aznu pot de ât s  v  onsolam   nu vet, i � fost singurul!

Figure 8.1: În �gura este reprezentata stru tura posibilaa materiei, de la mai mare la mai mi . Ai i �e are obie teste format din atomi, are la randul lor sunt formati dinele troni si protoni. Ele tronul insa nu ar � o parti ulaelementara, i ar � de fapt o oarda, e poarta denumireade " oarda relativista", pentru a vibreaza u viteza luminii.Protonul ar � format din quar i, insa a estia la randullor ar � formati si ei din a elasi tip de oarda. Naturaparti ulei (ele tron, quar , foton, et .) este data de modulde vibratie al a estei oarde.În �nal, o mi   observat,ie asupra tradu erii numelui teoriei.În englez  ea se numes,te "string theory", de la "string" are înseamn  oarda. În românes,te se mai spune s, i teoriastringurilor. Noi am optat ai i pentru denumirea "teoria orzilor relativiste", pentru a s oate în evident,  faptul   neas,teptam a singurul tip de "  r mida" de baz  a materiei s �e o " oard " s, i s  o putem vizualiza us,or. Coarda este îns  o oard  relativist  deoare e, as,a um vom vedea, vibrat, ia orziiare lo u viteze apropiate de viteza luminii.187. AvertismentLa noi in tara, teoria orzilor relativiste a fost popularizataprin intermediul unor tradu eri, a de exemplu "Universulintr-o oaja de nu a" al lui Stephen Hawking, si "Universulelegant" de Brian Green. Cartile sunt foarte bine s rise, asa a nu este de mirare a au fost elevi are au luat de izia de adeveni �zi ieni itindu-le. Paradoxal insa, pentru a ontinutula estor arti s-ar putea sa �e fals... A estea pentru a eledoua arti nu au evidentiat su� ient de lar ontroverseleputerni e din jurul teoriei orzilor relativiste.De a eea, inainte de a tre e la o introdu ere tehni   a orzilor, vrem s  atent, ion m din nou ititorul u privire la

382faptul   teoria orzilor este în   în dezvoltare. Astazi interesulpentru a easta teorie este oare um in s adere s, i pana a um eanu a fost veri� at  experimental s, i a atare poate � ompletfals .În lumea �zi ii teoreti e ontemporane este o dezbatereaprins  u privire la posibilitatea a teoria orzilor s  des rielumea �zi   real . Dezbaterea merge de la a onsidera teoriaun nonsens, pân  la a o onsidera singura teorie viabil la momentul prezent, iar numele er et torilor impli at, i îndezbatere pornes de la do toranzi obis,nuit, i pân  la laureat,iai premiului Nobel. Iat  ai i âteva itate ale unor nume unos ute din lumea �zi ii sau a matemati ii:Edward Witten (matemati ian, premiul Fields în 1990)"Teoria orzilor relativiste apartine se olului XXI, insa afost des operita din intamplare in se olul XX"Steven Weinberg (premiul Nobel în 1979) "În teoria orzilor relativiste nu exist  ni i un fel de " ârpeal ". Teoriaeste �e omplet adev rat , �e omplet fals "Ri hard Feynman (premiul Nobel în 1965) "Cred uadev rat   teoria orzilor relativiste este un nonsens. Nuîmi pla e   teoreti ienii orzilor nu pot al ula nimi exa t.De e sunt masele parti ulelor atâta ât sunt? Teoria orziinu d  ni i o expli at, ie pentru a este valori, absolut ni i una!"Sheldon Glashow (premiul Nobel în 1979) "Dup  âtev d eu, teoria orzilor relativiste este omplet rupt  deexperiment... De fapt, nu exist  ni i un fel de experiment are s  in�rme de�nitiv teoria. A east  teorie este mereusigur    nu poate � falsi� at . V  întreb, este a easta �zi  sau �lozo�e?"Dup  um vedem, p rerile despre teoria orzilor relativistesunt extrem de împ rt, ite hiar între spe ialis,ti. Ris ul esteatun i extrem de mare a tot eea e vom dis uta în se t, iunileurm toare s  se dovedeas   într-o zi fals s, i a alt  teorie s  ialo ul a um favorizat al teoriei orzilor.A east  posibilitate a devenit din e in e mai popularaîn ultimii ani, ând riti ii teoriei orzilor s-au înmult, it. Sane gandim de exemplu la ze ile de student, i români, �zi ieniteoreti ieni, pentru are a um ze e ani lu rul în adrul teoriei orzilor p rea atât de fas inant s, i promit, tor... Pe mult, i dintrea estia i-au atras uvinte magi e a "d-brane", "heteroti string", sau faima unor �zi ieni unos ut, i ( a Weinberg,S hwarz). Criti ii a uz   , în anii 90' s, i la în eputul anilor2000, lubul sust, in torilor teoriei orzilor a primit ele maimulte fonduri, în as,a fel în ât tinerii teoreti ieni erau aproapefort,at, i s  aleag  teoria orzilor, ignorând în mare parte alteteorii posibile.Ultimii ani insa nu au parut sa adu a progrese fundamentalein teoria orzilor relativiste si ni i on�rmari experimentale, utot efortul depus. Doar ativa dintre tinerii �zi ieni au ontin-uat sa profeseze in teoria orzilor relativiste si asta datorita inprin ipal numarului limitat de pozitii in universitati. Cei maimulti dintre ei au urmat alte ariere in �zi a, matemati a sauin afara mediilor a ademi e. Cu ei au dus insa si unostintelesi metodele invatate.R mâne desigur, a istoria s  dea r spuns a estor ontro-verse. Noi ne vom on entra in se tiunile e vin pe parteaex lusiv tehni a a teoriei orzilor relativiste.188. Istoria orzii relativisteTeoria orzilor relativiste a fost dezvoltat  în anii 1960 s, i1970 în prima instant,  a o teorie a hadronilor, a ele parti uleformate din mai multi quar i (neutroni, protoni, pioni, et .).

În a ei ani teoria quar ilor ( romodinami a uanti  ) nu eraîn   omplet dezvoltat  s, i a eptat , iar teoria orzilor era oalt  opt,iune pentru expli area intera tiilor dintre hadroni.Ideea de baza a teoriei orzilor este a parti ulele nu ar� pun tuale, i ar � un fel de orzi (benzi de au iu ) arevibreaza in moduri diferite. In azul hadronilor, ele ar � avutdimensiuni de ordinul 10−15m, adi a ar � fost tot atat de mari a si protonii... De unde si pana unde insa orzi?Ei bine, sugestia a pornit in mod spe ial de la observatiiexperimentale asupra "rezonantelor". A estea sunt parti ulede o viata foarte s urta, are se dezintegreaza rapid in alteparti ule unos ute. In a eleratoarele moderne de parti ule,"produ tia" de rezonante este o treaba inginereas a: pentrua produ e o "rezonanta", dire tiile, unghiurile, energiile sispinii parti ulelor in idente trebuie ajustate orespunzator.Odata insa obtinute rezonantele, s-a observat o relatie u-rioasa: momentul ineti unghiular J al a estor rezonanteera proportional patratul energiei lor E, si anume J ∼ E2.A easta relatie des rie asa-numitele " urbe Regge" ("Reggetraje tories" in limba engleza).Sa ne adu em a um aminte a momentul ineti unghiular J lasi des rie rotatia unei orp in jurul unei axe date ( are poate� o axa proprie a orpului). El este analogul impulsului in mis- are de rotatie si ne da o indi atie despre "puterea" rotatiei.Astfel, u at reste viteza unghiulara de rotatie ω u atat restesi momentul ineti unghiular J ∼ ω. Cu at este mai greu or-pul de masa m, u atat este mai puterni a rotatia J ∼ m. Inplus, rotatia devine mai puterni a si da a a el orp are dimen-siuni L mai mari: J ∼ L2 unde L este dimensiunea orpului.A uma, ne-am putea imagina a rezonantele nou produsear � un fel de orpuri rigide in rotatie nerelativista. In a est az energia E a rezonantei ar � sto ata in prin ipal in masa sade repaus m, dupa relatia lui Einstein E = mc2, si mai putinin mis area sa de rotatie. Cum am vazut a momentul ineti unghiular J este proportional u masam, vom sfarsi u o relatiede proportionalitate intre momentul ineti al rezonantelor sienergia lor J ∼ E, eea e nu este eea e ne dorim...De a eea �zi ienii au autat un alt model pentru expli areaa estei omportari, si au sfarsit a onsidera un orp delo rigid:o oarda elasti a, foarte asemanatoare unei benzi de au iu !In a est az, u at at oarda de lungime L este mai intinsa, u atat ea are mai multa energie E inmagazinata in ea, pentru a este a un fel de ar armat e ontine energie in el L ∼ E.Devenind mai intinsa, ea devine si mai lunga, si de i momentul ineti unghiular J devine mai mare odata u lungimea.Contributia a easta se adauga la ea originala, unde aparevariatia relativisti a a energiei u masa m ∼ E. In plus, oardade relativista se mis a (paradoxal) mai in et odata e energiainmagazinata in ea reste ω ∼ 1/E. A easta deoare e oardadevine mai lunga si, um apetele orzii au o viteza limitata deviteza luminii, viteza unghiulara ω trebuie sa s ada. Luand in al ul toti a esti termeni in relatia noastra J ∼ mL2ω, vedema um a momentul ineti unghiular reste u patratul energieiJ ∼ E2, exa t asa um ne dorim! Pra ti , atun i rezonantelestudiate ar � de fapt niste orzi vibrante.Comportarea orzilor relativiste devine interesanta da a neintoar em privirea spre mezoni, despre are astazi stim a suntformati dintr-un quar si un antiquar . Ori, am vazut a ai iforta de atra tie dintre ei doi uar i are o omportare iudata:ea devine mai puterni a pe masura e uar ii se inteparteaza,si mai slaba pe masura e ei se apropie unul de altul. In �naleste nevoie de energie in�nita pentru a separa ei doi quar i...A easta este insa si omportarea unei orzi obisnuite, a ia easta "manan a" energie odata e este intinsa din e in emai mult. Putem atun i spune a forta de atra tie dintre ei doi quar i e formeaza mezonul este des risa de o oarda,adi a de un fel de banda de au iu ... Pra ti , un mezon ar �o ole tie de doi uar i tinuti impreuna de o oarda relativista.

188. Istoria corzii relativiste 383

Figure 8.2: Relatia Regge dintre masa si momentul sau ineti orbital J pentru mezonii ρ. Relatia ar � expli atada a a estia ar � de fapt niste orzi in rotatie, asa um estes hitat in �gura. La valori mi i ale energiei (stanga) amavea o oarda mi a u o viteza de rotatie mare. La valorimari ale energiei orzii (dreapta) reste si lungimea orzii(pentru a este mai intinsa) si masa lor (pentru este datade energia E = mc2). De notat a momentul unghiulareste mai mi de at in azul and oarda era mai mi a.Asa um vom vedea insa, exista o diferenta fundamentalaintre o banda de au iu si oarda relativista. Astfel, o bandaobisnuita devine mai tensionata ând este extinsa, pe andtensiunea din oarda relativista este mereu a eeasi, indiferentde at de mult este intinsa oarda!Între timp îns , romodinami a uanti   s-a dovedit teoria ore t  pentru intera t,iile dintre uar i, as,a  , în etul uîn etul, teoria orzilor relativiste a fost dat  uit rii... Teoreti- ienii au lu rat apoi ât, iva ani singuri s, i au ontinuat s  fa  progrese în onstru t,ia unei teorii mai libere de ontradi t,ii s, imai onsistente.Astfel, teoria originala des ria doar bozoni, lu ru in ne on- ordanta u pra ti a, unde o parte din hadroni (protonii deexemplu) sunt fermioni. Teoria nu era de i in esenta apli abilatuturor hadronilor... Din feri ire insa, �zi ianul Pierre Ramonda reusit, in anul 1970, sa modi� e teoria orzilor, introdu andsi fermionii in teorie. Noua teorie imbunatatita a devenit unos uta sub numele de teoria super orzilor (despre areintelegem a sunt relativiste...). Asa um sugereaza si numele,ea este o teorie supersimetri a, in sensul a �e are parti ula areun partener supersimetri , asa um am dis utat in apitolulpre edent. Unul dintre avantajele noii teorii imbunatatitea fost eliminarea tahionului din teoria originala, o parti ulaelusiva e s-ar deplasa u o vitez  mai mare de ât vitezaluminii s, i are nu a fost observata pân  a um in experiment.În anul 1974, John S hwarz si Joël S herk fa o noua"des operire" teoreti a. Astfel, printre parti ulele are arputea � des rise de orzile relativiste ei identi� a una are arputea � gravitonul ! Dup  um se s,tie, gravitonul este parti ula uanti   aso iat  âmpului gravitat,ional. O in ludere agravitonului în arealul de parti ule elementare este un primpas spre uni� area Modelului Standard u teoria gravitat,iei(teoria relativit t,ii generalizate). Astazi se stie a teoria orzilor relativiste nu numai a permite, dar si ne asita oparti ula are poate � aso iata gravitonului, ori a easta esteuna dintre ele mai pla ute surprize ale �zi ienilor.

De exemplu, datorita gravitonului, putem generea noi par-ti ule printr-o o dinami a puterni a a spatiului. În abordarea uanti a am avea multi gravitoni are apoi s-ar dezintegra înalte parti ule... Ori o dinami a puterni a a spatiului a existatimediat dupa Big-Bang, atun i and au fost reate multe parti -ule. O alta situatie sunt gaurile negre. Din pa ate, ai i dinam-i a extrema este inautrul orizontului gaurii negre, a olo unde nune putem uita. Ce pa at, oare âte parti ule si e fel or � reatea olo, un adevarat laborator osmi , invizibil pentru noi însa...Pentru a a omoda gravitonul in teoria orzilor relativista,datele problemei se s himba substantial. Astfel, lungimea orzii nu mai poate � omparabila u ea a hadronilor, i u ea a gravitonului ! Cat de mi este insa un graviton?Lumea stiinti� a nu are un raspuns pre is, insa are o banuialaputerni a a el ar � de o dimensiune data de lungimea Plan k10−35m pe are am introdus-o in apitolul pre edent. Pra ti ,a easta ar � dimensiunea la are insasi stru tura spatiului arparea uanti� ata, asa um ne asteptam de la graviton...Realizand potentialul noii teorii odata u introdu erea gravi-tonului, S hwarz si S herk au propus apoi   teoria s-ar apli anu hadronilor, i tuturor parti ulelor elementare (ele tron,foton, graviton, et .)! O propunere remar abila, pentru a eaa s himbat omplet unghiul de vedere sub are noua teorie afost privita: a un potential andidat are poate uni� a toatefortele fundamentale ale naturii, in lusiv gravitatia!Cat ar � tensiunea T dintr-o oarda relativista in noul az? Valoarea a esteia este data a um de taria intera tieigravitationale purtata de un graviton. O valoare estimativa seobtine ombinand onstantele fundamentale, obtinand din nouo marime Plan k: T = c/G2 ≃ 1028g/cm2. A easta inseamnapra ti a tensiunea dintr-o oarda relativista e hivaleaza usute de miliarde de miliarde de tone intr-o banda de au iu are ar avea un diametru de ativa milimetri. La a este tensi-uni uriase, ori e material obisnuit s-ar rupe, desigur... Coardarelativista n-ar � fa uta insa dintr-un material a si el obisnuit( are este fa ut din atomi) i din eva u totul spe ial, farastru tura, apabil sa nu se rupa la a este tensiuni in redibile...Da a fa em identi� area gravitonului in teorie, sfarsim astfel u doua marimi de baza, lungimea orzii si tensiunea ei, marimi are sunt de ordinul unitatilor Plan k. De fapt, se poate arata a lungimea orzii este un rezultat al tensiunii la are ea esteintinsa. Astfel, o oarda libera are tendinta de a se strange, sia easta tendinta este ompensata in azul nostru de prin ipiulde in ertitudine, are impune o anumita dimensiune minima.A esta genereaza un fel de �u tuatie uanti a a orzii, are on-du e in �nal o dimensiune minima, data de lungimea de undaCompton L = Λ = h/(mc), unde m este masa orzii, asa umam dis utat in apitolul pre edent pentru parti ulele obisnuite.A um insa, tensiunea T si lungimea L a orzii ne da inesenta si energia E = mc2 inmagazinata in ea, a i u attragem mai mult de oarda, u atat ea va aduna mai multaenergie: E ≃ TL. Coarda noastra are o lungime si o tensiunedata de marimi Plan k, asa a nu este de mirare a produsul elor doua ne va da energia Plan k E ≃

√

~c5/G ≃ 1019GeV .Coarda relativista va avea atun i energia Plan k si hiar masaPlan k, asa in at lungimea de unda Compton Λ = h/(mc) vaiesi egala u lungimea Plan k 10−35 metri, asa um ne dorim...Ne putem imagina atun i um, datorita tensiunilor uriasedin oarda relativista, a easta are tendinta sa se strangaintr-un pun t. Cu toate a estea, �u tuatiile uanti e datoritaprin ipiului de in ertitudine o pastreaza pe a easta in dimen-siuni medii de marimea lungimii de unda Compton, are sedovedeste a um egala u lungimea Plan k, exa t asa um nedorim pentru graviton...Sfarsim astfel u o oarda relativista are este o ole tiede marimi Plan k. Surpriza este pla uta, da a ne reamintimdis utia din apitolul pre edent, a i ne asteptam a parti -ulele u adevarat elementare sa �e des rise in �nal de marimi

384

Figure 8.3: in partea de sus este reprezentata o oarda rel-ativista des hisa, lasata libera. Datorita tensiunii enormedin oarda, a easta are tendinta sa se restranga aproapeinstantaneu la un pun t. Atun i and insa oarda atingedimensiuni de marimea lungimii de unda Compton, �u tu-atiile uanti e joa a un rol important, iar oarda va avea inmedia o dimensiune data de a easta lungime Compton Λ =h/(mc). Pentru a masa m a orzii (data de energia in-magazinata) este in jur de masa Plan k, lungimea Comptonse dovedeste aproape egala u lungimea Plan k 10−35 metri.Plan k... Cu toate a estea, nu suntem in a a olo, si trebuiesa des riem u ajutorul orzilor relativiste ma ar parti uleleelementare unos ute, a de exemplu ele tronul, quar ul,fotonul, nu numai gravitonul...A um insa avem o problema fundamentala, ea a maselor derepaus a a estor parti ule unos ute, a i a estea sunt de mil-iarde de miliarde de ori mai mi i de at masa Plan k! Cum arputea des rie teoria orzilor relativiste parti ulele elementareobisnuite (ele tron, quar , foton) and masa a estora este multmai mi a de at masa unei orzi relativiste, are este de ordinulmasei Plan k si de i de miliarde de miliarde de ori mai mare?Solutia a estei probleme a venit odata u eea e �zi ieniinumes "prima revolutie" in teoria orzilor relativiste. A estaeste momentul in are �zi ienii John S hwarz s, i Mi hael Greenau aratat a teoria super orzilor este onsistenta matemati ,insa intr-un Univers de ze e dimensiuni ale spatiului si timpului!Chiar da a surprinzatoare, prezenta a estor 6 dimensiunispatiale aditionale a adus u sine un avantaj e rezolva prob-lema pre edenta. Astfel, in Universul u ze e dimensiuni searata a nivele de energie uanti� ate ale super orzilor in ep dela zero. Atun i este posibil sa atribuim parti ulelor obisnuite(ele tron, quar , et .) starile de energie nula ale orzilor,pentru a atun i si masa lor de repaus m = E/c2 va � nula.In prima instanta ar parea a solutia nu se potriveste, pentru a parti ulele obisnuite ar trebui sa aiba masa de repaus nula(pentru a E = mc2), eea e ele tronul nu are. Cu toatea estea, atribuirea de masa nenula pentru a estea se poatefa e prin me anisme aditionale, a de exemplu me anismulHiggs. Mai important este insa a in a est Univers u 10dimensiuni exista niste orzi relativiste a aror energie (si de imasa) este foarte mi a, multa mai mi a de at energia Plan ksi de i are pot reprezenta parti ulele elementare obisnuite(ele troni, fotoni, et .)Dupa a est su es, teoria orzilor a primit un avant puterni , are a s os in evidenta o parti ularitate aparte, ea a teoria ontine nenumarate variante. Putem exempli� a de exemplu u alegerea intre orzi in hise sau des hise. Apoi, in anul 1995,Edward Witten a propus a nenumaratele variante ale teoriei

are aparusera intre timp sa �e onsiderate a �ind manifestariale unei a eleiasi teorii fundamentale, are de data a eastas-ar manifesta in 11 dimensiuni.... A est al doilea momentsemni� ativ este unos ut sub numele de "a doua revolutie" atoriei orzilor relativiste.Ca i, odata u studiul mai aprofundat al teoriei, a reies, itla iveal  s, i omplexitatea as uns  s, i faptul   se pot onstruio multitudine de astfel de teorii, în fun t, ie de propriet t,ilealese ale orzii relativiste. Ceea e la în eput a p rut a � ooportunitate (   i avem atun i de unde alege teoria orzilor ore t ), s-a dovedit a � mai târziu o problem ,   i ni i pân ast zi �zi ienii nu au reus, it s  identi� e forma ore t  a teoriei orzilor are expli   Modelul Standard al parti ulelor... Ast zisunt el put, in in i teorii ale orzilor separate, u asem n riîntre ele (asemanari numite dualit t,i).Asa um am mentionat, teoria orzilor a adus la suprafat, o sugestie mai ve he, ea a unor noi dimensiuni spat,ialeadit,ionale. Astfel, supra orzile ar trebui s  existe într-unspat, iu u 9 dimensiuni spat, iale (10 in total da a luam in al ulsi timpul), dintre are de i 6 ar � adit,ionale la e observ mnoi. În mod evident, a estea ar � mi i, ompa ti� ate, dinmoment e noi observ m doar trei dimensiuni spat, iale...Ast zi, se dis ut  mult despre m surarea a estor dimensiunispat, iale adit, ionale. Pân  a um îns  nimeni nu a reus, it s  le m -soare. S  remar  m îns   , da   ele vor � g site, nu înseamn    teoria orzilor va � on�rmat . Des, i azi se obis,nuies,te s  sevorbeas   de dimensiunile adit, ionale în relat, ie u teoria orzilorrelativiste, a estea nu sunt numai apanajul teoriei orzilor.In ultimii ani se observa insa o s adere a a tivitatii indomeniul teoriei orzilor relativiste. A easta are de-a fa ein primul rand u ese ul a estei teorii de a onstrui in timps urt o teorie ompatibila u Modelul Standard al parti ulelorelementare. Dupa um spun unii riti i, teoria pare a in epesa �e uitata hiar inainte de a � demonstrata falsa...In �nal, o mi a paranteza despre arierele unora dintre�zi ienii impli ati in dezvoltarea teoriei orzilor relativiste.Astfel, am vazut a Pierre Ramond a introdus fermionii inteorie, teorie are de atun i in lude automat supersimetria.Cu toata a easta realizare remar abila, lui Ramond i s-arefuzat profesoratul la Yale. Si lui John S hwarz i s-a refuzatprofesoratul la Prin eton, in iuda ontributiilor sale ru ialementionate de noi mai sus. El a trebuit sa se mute in altaparte, unde a devenind er etator aso iat timp de 12 ani, �indplatit din fonduri temporare.Este a easta o ara teristi a a elor e sparg bariere? A elor e aleg in ertitudinea pentru a-si urma ideile? Cu exemple nunumai din �zi a, dar si din arta (van Gogh)? Oare nu estemai sigur a sa te atasezi unei teorii larg raspandite pentrua apata o pozitie permanenta de profesorat la o Universitate,visul elor mai multi er etatori? Desigur, asa este...Este insa ironi a, peste timp, er etatorii teoriei orzilor rel-ativiste si-au luat revansa. Peste ani, atun i and ei mai multidintre ei au deveni in �nal profesori, iar teoria orzilor ea maipopulara la atedrele de �zi a teoreti a, a fost randul �zi ie-nilor din elelate domenii on urente sa bata pe la usi in hise...189. Ce este o oard  relativista?Teoria orzilor ne spune   parti ulele elementare (ele tronii,quar ii, fotonii, et ., ) sunt toate de fapt nu nis,te pun tein�nitezimale, i niste orzi minus ule, un fel de "elasti e"f  ute toate din a elas, i tip de "material". A est material insanu trebuie privit a o ole tie de "parti ele" in a si mai mi i, i mai degraba a pe eva ontinuu, "lu ios" si fara stru turainterna. Grosimea a estor orzi se onsidera in�nitezimala sise neglijeaza, asa in at oarda poate � privita a un obie t puruni-dimensional.Corzile relativiste pot � des hise sau în hise ( a o br t,ar ..),