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F I S S I A M O I C O N C E T T I

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I

Le grandezze fsiche scalari sono caratterizzate da un modulo (o intensità) e da un’unità di misura. Esempi di grandezze fsiche scalari sono : il tempo, la lunghezza, la massa, la temperatura, la pressione … Le operazioni con questa classe di grandezze si eseguono con le regole dell’aritmeti-ca.

Le grandezze fsiche vettoriali sono caratterizzate da un modulo (o intensità), da un’unità di misura, da una direzione e da un verso. Esempi di grandezze fsiche vet-toriali sono: lo spostamento, la forza, la velocità, l’accelerazione. Le operazioni con questa classe di grandezze si eseguono con le regole dell’algebra vettoriale. In particolare, la somma e la sottrazione tra vettori si eseguono con la re-gola del parallelogramma, o in modo equivalente, con il metodo del punta-coda.

Per sommare due vettori aventi direzioni diverse e diversi punti di applicazione, si traslano i vettori nel piano in modo tale che la punta di uno tocchi la coda dell’altro e poi si disegna il vettore che congiunge la coda del primo con la punta del secondo (regola del punta-coda).

Per sommare due vettori con la regola del parallelogramma si traslano i due vettori in modo da portarli ad avere l’origine in comune. Quindi si disegna il parallelogramma avente per lati i due vettori assegnati.

Disegnato il parallelogramma, si traccia il vettore _ › r , diretto come la diagonale che ha

l’origine in comune con i due vettori addendi. Il vettore _ › r è la somma o risultante dei

due vettori: _ › r =

_ › a +

_ › b .

Il prodotto del vettore _ › a per lo scalare k positivo è un nuovo vettore, che indichiamo

con _ › r , avente per modulo ka cioè il prodotto di k per il modulo di

_ › a , la stessa direzio-

ne e lo stesso verso del vettore _ › a . Se k è negativo il vettore

_ › r ha verso opposto.

Per le applicazioni alla Fisica risulta particolarmente utile imparare a scomporre un vettore lungo gli assi di un sistema di riferimento cartesiano. Questa operazione ci porta a una seconda defnizione di vettore. Una grandezza vettoriale è identifcata, nel piano, da una coppia di numeri con la stessa unità di misura e, nello spazio, da una terna di numeri con la stessa unità di misura.

È possibile scomporre un vettore _ › r nel piano una volta assegnate due direzioni. I due

componenti individuati sulle rette prendono il nome di componenti vettoriali. Di particolare importanza è la scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani.Il vettore

_ › r risulta scomposto in due nuovi vettori tra loro perpendicolari:

– il componente _ › r x, un vettore avente la direzione dell’asse x e di modulo r

x,

– il componente _ › r y, un vettore avente la direzione dell’asse y e di modulo r

y.

Vale la relazione: _ › r =

_ › r x +

_ › r y mentre in modulo r = √

_____ r

x2 + r

y2 .

BOOK

MULTI

3UHSDUDWL??DOOD?YHULILFD

aA

rA

= aA

+ bA

bA

rA

O

rAy

rAx x

y

aA

bA

rA

???

e

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12 Esegui la somma dei vettori _ › a e

_

›

b (vedi fgura) con il metodo del punta-coda e con quello del parallelogramma. Verifca che il risultante non cambia.

aA

bA

[…]

13 Sono dati i vettori _

›

h e _

›

k (vedi fgura). Ricava il ri-

sultante _

›

h + _

›

k .

hA

kA

14 Ricava il risultante dei tre vettori _ › a , _

›

b e _ › c (vedi fgura).

aA

cA

bA

[…]

Ricava il risultante di tre vettori concorren-

ti (aventi cioè lo stesso punto di applica-

zione).

Applichiamo il metodo del punta-coda tra-

slando il vettore _

›

b sulla punta di _ › a e suc-

cessivamente traslando il vettore _ › c sulla

punta di _

›

b .

Il vettore che congiunge la coda di _ › a con

la punta di _ › c è la somma vettoriale dei tre

vettori.

Ricaviamo lo stesso risultato applicando la

regola del parallelogramma.

Eseguiamo la somma tra i vettori _ › a e

_

›

b che

indichiamo con _ › r ’, …

… infne, la somma tra _ › r ’ e

_ › c fornisce il

risultante _ › r dei tre vettori.

Il vettore risultante è lo stesso con entram-

bi i metodi. Più precisamente, i due vettori

risultanti non hanno solo la stessa lunghez-

za, ma anche la stessa direzione e lo stesso

verso e quindi sono uguali.

(VHUFL]LR?JXLGDWR

aA

cA

bA

cAb

A

rA

aA

rAr

A’

aA

cA

bA

rA’

aA

cA

bA

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CI

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e

DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?

???? ,O?PRGXOR?GHO?YHWWRUH?VRPPD????? /D?VRWWUD]LRQH?GL?YHWWRUL?QHO?SLDQR

15 Se due vettori _ › a e

_

›

b sono fra loro perpendicolari, il modulo della loro somma è:

a a + b c √______ a2 + b2

b √__ aI + √

_ b d √

______ (a + b)2

16 Se due vettori _ › a e

_

›

b sono fra loro perpendicolari, il modulo della loro differenza vale:

a √______ a2 – b2 c √

______ a2 + b2

b √__ aI – √

_ b d √

_ a + √

_ b

17 Un pallone si sposta di 34 m e, rimbalzando su un altro giocatore, cambia direzione seguendo la perpendico-lare, spostandosi di altri 6 m. Quanto vale lo sposta-mento complessivo del pallone? [35 m]

Due vettori __

› m ed

_ › n formano un angolo di 120° e ciascuno in modulo vale, rispettivamente, 50 u e 30 u. De-

termina il loro risultante.

Fissiamo una scala delle lunghezze. Decidiamo di

far corrispondere a 1 cm il valore 10 u. Scriveremo

perciò in uno dei due modi equivalenti:

1 cm : 10 u oppure ___10 u___

Tracciamo una linea retta a piacere e mediante un

goniometro fssiamo l’altra linea in modo che formi

un angolo di 120° con la precedente.

Tenendo conto del campione di misura delle lun-

ghezze che abbiamo scelto tracciamo su queste li-

nee i vettori __

› m ed

_ › n assegnati. Il vettore

__ › m risulta

lungo 5 cm mentre il vettore _ › n è di 3 cm.

Applichiamo uno dei modi grafci per eseguire la somma vettoriale, per esempio la regola del parallelogram-

ma, e ricaviamo il risultante.

Misuriamo la lunghezza del risultante _ › r . Risulta lungo circa 4,4 cm.

L’intensità del risultante si ricava dal prodotto:

r = lunghezza vettore × scala = 4,4 cm × 10 u ___ cm = 44 u

Il risultato è approssimato per eccesso non riuscendo a valutare i decimi di millimetro.

Notiamo che l’intensità del risultante è diversa dalla somma dei moduli dei due vettori addendi.

(VHUFL]LR?JXLGDWR

10 u

120°

nA

mA

10 u 10 u

rA

nA

mA

???

e

0 ( & & $ 1 , & $ ? ?B

18 Determina la somma di due vettori spostamento _ › p e

_ › q

di direzioni, rispettivamente, a e b.

p = 30 mq = 20 m

a

b[…]

19 Una pallina da golf percorre 200 m lungo la direzione r e successivamente torna indietro di 15 m lungo la stessa direzione. Quanto vale lo spostamento complessivo?

[185 m]

20 I vettori _

›

h e _

›

k , giacciono, rispettivamente, sulle

direzioni a e b. Conoscendo le loro intensità, h = 9 u e

k = 12 u, ricava la loro somma ( _

›

h + _

›

k ) e la differenza

( _

›

h − _

›

k ). Considera per entrambi i casi la scala 1 cm : 3 u.

a

b

SOMMA

u

DIFFERENZA

Confronta e commenta i risultati dell’operazione

( _

›

k − _

›

h ) e dell’operazione ( _

›

h − _

›

k ). Possiamo dire che la sottrazione di vettori gode della proprietà commu-tativa? Perché? […]

21 Siano dati i vettori _ › a e

_

›

b (vedi fgura). Ricava la

differenza _ › a −

_

›

b dei due vettori.

aA

bA

[…]

DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?

???? ,O?SURGRWWR?GL?XQ?YHWWRUH?SHU?XQR?VFDODUH

22 Moltiplicando uno scalare positivo per un vettore, ri-caviamo:

a lo stesso vettore

b un numero pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore

c un numero pari al modulo del vettore

d un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore

23 Se moltiplichiamo un vettore per uno scalare negativo, ricaviamo:

a un vettore di pari modulo, ma con verso opposto

b un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore e con lo stesso verso

c un vettore di modulo pari al prodotto dello scalare cambiato di segno per il modulo del vettore e con verso opposto

d un numero negativo pari al prodotto dello scalare per il modulo del vettore

24 Assegnato il vettore _ › t (vedi fgura) rappresenta il

vettore che risulta dalle operazioni indicate:

+ 2 _ › t ; –

_ › t ; + 3 _

2 _ › t ; –

4 _

3 _ › t . […]

tA

25 Dati i tre vettori della fgura con:

_ › a = 4 u

_

›

b = 2 u _ › c = 3 u

u

cA

bA

aA

calcola la seguente espressione vettoriale:

_ › r =

_ › a __

2 – 2

_

›

b + 4 _

3 _ › c , indicando modulo, direzione e

verso del risultante _ › r . Quanto vale l’intensità del

risultante _ › r ? […]

???

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ER

CI

ZI

e

DUJRPHQWL?GHL?SDUDJUD¾?

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26 Completa le seguenti frasi. Possiamo ritenere la ............................. di un vettore

l’operazione inversa della somma vettoriale. Infatti, assegnate nel piano ............. direzioni, è possibile scomporre un vettore conducendo dalla sua punta la parallela alla prima direzione e successivamente la ..................... alla seconda. Si individua in questo modo un ................................. la cui diagonale uscente dal punto di origine è il ................... assegnato, mentre i due lati del parallelogramma indicano i .......................... del vettore lungo le ..................... assegnate.

27 Individua la scomposizione corretta del vettore _ › a

lungo le direzioni assegnate r ed s.

aA

s

r

aA

s a b

r

aA

s

aA

s c d

28 Determina i componenti del vettore _ › a lungo le direzioni

assegnate. Come variano le intensità dei componenti del vettore a seconda dell’angolo tra le due rette? […]

aA

aA

aA a

A

29 Un vettore _ › g viene scomposto lungo gli assi cartesiani

e si trova che la componente gx misura 12 u, mentre la

componente gy misura 14 u. Quanto vale il modulo del

vettore _ › g ?

a 13 u c 26 u

b circa 18 u d circa 7 u

30 Individua la scomposizione corretta del vettore _ › r lungo

gli assi cartesiani.

x

rA

rA

y

x

y

a b

rA

rA

x

y

x

y

c d

31 Determina i componenti dei vettori indicati lungo gli assi cartesiani. In quali casi i componenti del vettore coincidono col vettore stesso? […]

x

y

x

y

x

y

x

y

aA

bA

cA

dA

32 Determina le componenti cartesiane del vettore asse-gnato in fgura, sapendo che il modulo del vettore

_ › c

vale 85 u.

x

y

315°

cA

[cx = 60 u; c

y = …]

???

e

0 ( & & $ 1 , & $ ? ?B

33 Un vettore _

›

b di modulo 50 u è applicato nell’origine O degli assi cartesiani e forma un angolo di 225° con il semiasse positivo delle ascisse. Disegna il vettore e calcola le sue componenti b

x e b

y. [− 35 u; − 35 u]

34 Scomponi il vettore _ › a in fgura e calcola le sue com-

ponenti ax e a

y. Il modulo di a vale 30 u. [− 21 u; 21 u]

x

y

135°

aA

35 Tre vettori sono disposti come in fgura. Sapendo che a = b = 10 u e c = 20 u, determina il vettore risultante. [r = 6 u]

x

y

45°

cA

aAb

A

6 7 5 $7 ( * , $ SHU?DIIURQWDUH?H?ULVROYHUH?L?SUREOHPL

Le componenti cartesiane di un vettore spostamento _ › s valgono rispettivamente, 20 m e 12 m.

Quanto vale il modulo del vettore? [23 m]

STRATEGIA Rifessione sul testo

I Leggere attentamente il testo e individuare l’area tematica e l’argomento specifco

Scomposizione cartesiana di un vettore nel piano

II Conoscere le formule relative a quell’argomento

Risultante di un vettore: s = √_____ s

x2 + s

y2

III Considerare i dati del problema e verifcare che le grandezze siano in unità SI, altrimenti fare le trasformazioni necessarie

sx = 20 m

sy = 12 m

IV Individuare eventuali dati sottintesi Tutti i dati sono espressi esplicitamente

V Individuare le richieste del problema Determinare: – il modulo del risultante

VI Confrontare le grandezze che compaiono nel problema con quelle presenti nelle formule (A punto II)

Tutte le grandezze sono presenti ed è possibile determinare la richiesta

VII Se i dati sono suffcienti sostituirli nella formula (A punto II) ed eseguire il calcolo

s = √_____ s

x2 + s

y2 = √

_______ 202 + 122 = √

________ 400 + 144 =

= √___ 544 = 23,32 ... m

Dobbiamo scrivere il risultato con lo stesso numero di cifre signifcative dei dati presenti nella formula. Scriviamo perciò : s = 23 m

VIII Se i dati non sono suffcienti, identifcare la grandezza mancante e calcolarla utilizzando i dati assegnati, sottintesi o calcolati; sostituire i dati così calcolati nella formula e trovare il risultato

Tutti i dati sono suffcienti

IX Scrivere il risultato fnale s = 23 m

???

/ ( ? 2 3 ( 5 $ = , 2 1 , ? & 2 1 ? , ? 9 ( 7 7 2 5 ,

eS

ER

CI

ZI

e

36 Durante una partita di pallanuoto una squadra riesce a fare goal con tre lanci. Il primo sposta la palla di 5,0 m verso Sud; il secondo la sposta di 3,0 m lungo la direzione Sud - 45° Est e l’ultimo colpo la sposta di 2,0 m in direzione Sud - 45° Ovest. Rappresenta il diagramma vettoriale degli spostamenti della palla.Disegna lo spostamento necessario per mandare la palla in rete con un solo colpo e calcola la sua intensità. [8,6 m]

37 Ricava il risultante dei quattro vettori concorrenti in-dicati in fgura.

aA

bA

cA

dA

[…]

38 I moduli dei vettori rappresentati in fgura misurano:

a = 5 u; b = 3 u; c = 5 u; d = 5 u

Determina modulo, direzione e verso dei seguenti vettori:

_

›

b + _

›

d _ › a +

_

›

b + _

›

d _ › a −

_ › c

aA

cA

dA

bA

39 Quale dei diagrammi seguenti mostra correttamente il risultante dei due spostamenti di 4 m e di 3 m ?

3 m5 m

4 m

3 m5 m

4 m

a b

3 m5 m

4 m

3 m5 m

4 m

c d

40 Due vettori _ › a e

_

›

b di uguale intensità pari a 20 u sono applicati a un punto O. Quanto deve valere l’angolo fra i due vettori affnché il vettore risultante abbia anch’esso un modulo di 20 u? Disegna i due vettori e cerca la soluzione per tentativi. Giustifca poi la risposta.

41 Disegna tre vettori a piacere situati nel piano e

verifca che _ › a + (

_

›

b + _ › c ) = (

_ › a +

_

›

b ) + _ › c . Verifcata

questa proprietà, avrai imparato che quando svolgi una somma tra vettori l’ordine in cui esegui la somma non ha importanza, ovvero hai verifcato la proprietà ........................... […]

42 Considera i vettori _ › a ,

_

›

b , _ › c ,

_

›

d della fgura. Determina modulo, direzione e verso del vettore:

_ › r =

_ › a +

_

›

b + _ › c +

_

›

d .

aA

bA

cA

dA

p R O B L E M I F I N A L I