i

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I

ROSYID ADRIANTO

Departemen FisikaUniversitas Airlangga, SurabayaE-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.idURL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com

Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat danhidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku ”FISIKA UNTUK

UNIVERSITAS JILID I” ini.

Ringkasan. Buku Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk me-

nunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas.

Daftar Isi

Bab 1. Pengukuran dan Vektor 11. Besaran dan Dimensi 1

Bab 2. Kinematika 31. Gerak Satu Dimensi 3

Bab 3. Hukum I Newton 51. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman 52. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton 5

Bab 4. Hukum II Newton 71. Gesekan 72. Gaya - gaya Hambat 103. Gaya Sentripetal 114. Gaya Gravitasi 135. Gerak Planet dan Satelit 146. Soal Latihan 16

Bibliografi 21

v

BAB 1

Pengukuran dan Vektor

Fisika adalah ilmu yang mempelajari keadaan dan sifat-sifat benda serta pe-rubahannya, mempelajari gejala-gejala alam serta hubungan antara satu gejaladengan gejala lainnya. Fisika berhubungan dengan materi dan energi, denganhukum-hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang, dengan interaksiantar partikel, dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan inti atom, dan dengansistem-sistem berskala lebih besar seperti gas, zat cair, dan zat padat. Beberapaorang menganggap fisika sebagai sains atau ilmu pengetahuan paling fundamentalkarena merupakan dasar dari semua bidang sains yang lain [5].

Dalam bidang sains dan teknologi sering kali dilakukan riset-riset yang tidaklepas dari berbagai macam pengukuran yang memerlukan beberapa macam alatukur. Dalam pengukuran ini sering melibatkan besaran-besaran penting yangmemiliki satuan dan dimensi. Besaran-besaran dalam fisika tidak hanya memi-liki satuan melainkan ada beberapa di antaranya yang memiliki arah. Besaran fisisyang memiliki satuan dan arah disebut besaran vektor.

Oleh sebab itu, dalam bab ini dibahas beberapa macam besaran beserta sat-uan dan dimensinya. Selain itu, dibahas pula beberapa macam alat ukur besertapenggunaannya dan analisis matematika suatu vektor.

1. Besaran dan Dimensi

Besaran adalah keadaan dan sifat-sifat benda yang dapat diukur. Besaran fisikadibedakan menjadi dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan.

1.1. Besaran pokok. Besaran pokok adalah besaran yang paling sederhanayang tidak dapat dinyatakan dengan besaran lain yang lebih sederhana. Dalam fisi-ka dikenal tujuh macam besaran pokok yaitu panjang, massa, waktu, arus listrik,suhu, jumlah zat dan intensitas cahaya. Untuk memudahkan pernyataan suatu be-saran dengan besaran pokok, dinyatakan suatu simbol yang disebut dimensi. Untukbesaran pokok mekanika (panjang, massa, dan waktu) berturut-turut mempunyaidimensi [L], [M], dan [T]. Besaran pokok ini hanya memiliki besar dan tidak memi-liki arah. Tabel 1 menunjukkan satuan, simbol dan dimensi dari besaran pokok.

1.2. Besaran turunan. Besaran turunan adalah besaran yang dapat ataubisa diturunkan dari besaran pokok. Besaran turunan ini memiliki besar dan arah.

1

2 1. PENGUKURAN DAN VEKTOR

Tabel 1. Besaran turunan

Besaran Fisika Satuan Simbol DimensiPanjang meter m LMassa kilogram kg MWaktu sekon s TArus listrik ampere A ISuhu termodinamika kelvin K θJumlah zat mol mol NIntensitas cahaya kandela cd J

BAB 2

Kinematika

Gambaran mengenai gerakan benda merupakan bagian yang penting dalampenggambaran alam semesta secara fisis. Masalah ini merupakan inti pengemban-gan sains dari Aristoteles hingga Galileo. Hukum tentang pergerakan benda-bendayang jatuh telah dikembangkan jauh sebelum Newton mengemukakan gagasannyatentang benda-benda jatuh. Salah satu fenomena ilmiah pada masa awal adalahmempersoalkan gerakan matahari melintasi langit dan gerak revolusi planet sertabintang. Keberhasilan mekanika newton adalah penemuan bahwa gerakan bumidan planet-planet lain mengelilingi matahari dapat dijelaskan lewat gaya tarik an-tara matahari dan planet-planet itu.

1. Gerak Satu Dimensi

Kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan den-gan menentukan posisi satu titik agar pembahasan tentang gerak dapat dipaha-mi secara mudah. Benda semacam itu dinamakan partikel. Sebagai contoh, ki-ta anggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengelilingi matahari dalam lin-tasan yang menyerupai lingkaran. Dalam kasus itu, kita hanya fokus terhadapgerakan pusat bumi, sehingga ukuran bumi dan rotasinya dapat diabaikan. Dalambidang astronomi, keseluruhan tata surya atau bahkan seluruh galaksi kadang-kadang diperlakukan sebagai partikel. Jika kita menganalisis rotasi atau strukturinternal sebuah benda maka kita tidak dapat lagi memperlakukannya sebagai se-buah partikel tunggal. Akan tetapi, materi kita tentang gerakan partikel tetapberguna, bahkan untuk kasus yang kompleks sekali pun, karena setiap benda dapatdianggap sebagai kumpulan atau ”sistem partikel”.

1.1. Kelajuan, Perpindahan, dan Kecepatan. Kelajuan rata-rata par-tikel disefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktutotal yang dibutuhkan:

Kelajuan rata-rata =jarak totalwaktu total

.

Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter per sekon (M/s), dan satuan yang bi-asanya dipakai di Amerika adalah feet per sekon (ft/s). Secara internasional, satuanyang lebih umum adalah kilometer per jam km/jam.

Konsep kecepatan serupa dengan konsep kelajuan akan tetapi berbeda karenakecepatan mencakup arah gerakan. Agar dapat memahami konsep ini, terlebihdahulu kita bahas konsep perpindahan. Pertama, kita buat sistem koordinat den-gan memilih titik acuan pada sebuah garis untuk titik asal O. Untuk tiap titik lainpada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauh-nya titik itu dari titik asal. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap

3

4 2. KINEMATIKA

titik asal O. Kesepakatan yang biasa digunakan adalah titik-titik di kanan titikasal diberi nilai positif dan titik-titik di kiri diberi nilai negatif.

Sebagai contoh, ada sebuah mobil yang berada pada posisi x1 saat t1 dan padaposisi x2 saat t2. Perubahan posisi mobil (x2−X1) dinamakan perpindahan. Dalamfisika biasanya ditulis : ∆x = x2 − x1.

Sementara kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata par-tikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan ∆x dan selang waktu∆t:

vrata-rata =∆x∆t

=x2 − x1

t2 − t1.

BAB 3

Hukum I Newton

Mekanika klasik atau mekanika Newton adalah teori tentang gerak yang di-dasarkan pada konsep massa dan gaya serta hukum - hukum yang menghubungkankonsep - konsep fisis ini dengan besaran kinematika (perpindahan, kecepatan, danpercepatan) yang telah dibahas sebelumnya. Semua gejala mekanika klasik dapatdigambarkan dengan menggunakan tiga hukum sederhana yang dinamakan hukumNewton tentang gerak. Hukum Newton menghubungkan percepatan sebuah bendadengan massanya dan gaya - gaya yang bekerja padanya [1].

Hukum - hukum Newton• Hukum I. ”Benda berada pada kondisi tetap seperti keadaan awal-

nya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama (kecuali jika bendadipengaruhi oleh gaya yang tidak seimbang atau gaya eksternal neto) pa-da kerangka acuan yang tetap seperti keadaan awalnya pula (diam ataubergerak dengan kecepatan sama)”.

Gaya neto yang bekerja pada sebuah benda disebut juga gaya resultanyaitu jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda:

Fneto =∑F .

Sementara pada hukum pertama ini besar gaya resultan adalah nol(∑F = 0).

• Hukum II. ”Percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan mas-sanya dan sebanding dengan gaya eksternal neto yang bekerja”:

a =Fneto

m, atau

∑F = ma

• Hukum III. ”Gaya - gaya selalu terjadi berpasangan. Jika benda Amemberikan gaya pada benda , gaya yang besarnya sama tetapi arahnyaberlawanan diberikan oleh benda B kepada benda A (Faksi = −Freaksi)”.

1. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman

Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan di-am atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau terus bergerakdengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang bekerja pada bendaitu. Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempun-yai kelembaman. Sehubungan dengan itu, hukum pertama Newton sering disebutdengan hukum kelembaman.

2. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton

Hukum pertama dan kedua Newton dapat dianggap sebagai definisi gaya. Gayaadalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubahkecepatannya (dipercepat atau diperlambat). Arah gaya adalah arah percepatan

5

6 3. HUKUM I NEWTON

yang disebabkannya jika gaya itu merupakan satu - satunya gaya yang bekerjapada benda tersebut. Besarnya gaya adalah hasil kali massa benda dan besarnyapercepatan yang dihasilkan gaya.

Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya ter-hadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada benda bermassa m1, dan meng-hasilkan percepatan a1, maka F = m1 a1. Jika gaya yang sama dikerjakan padabenda kedua yang massanya m2, dan menghasilkan suatu percepatan a2, makaF = m2 a2. Dengan menggabungkan persamaan - persamaan ini didapatkan

F = m1 a1 = m2 a2

atau

(2.1)m2

m1=a1

a2

Benda standar internasional adalah sebuah silinder campuran platinum yangdisimpan di Bureau of Weights and Measures di Severes, Perancis. Satuan SIuntuk massa benda adalah 1 kilogram. Gaya yang diperlukan untuk menghasilkanpercepatan 1 m/s2 pada benda standar adalah 1 newton (N).

BAB 4

Hukum II Newton

Bab keempat ini membahas penggunaan hukum Newton pada contoh kasuskehidupan sehari - hari yang lebih nyata. Bab ini juga membahas secara singkatgerakan benda yang dipengaruhi gaya hambat, yang tidak konstan tetapi bergan-tung pada kecepatan benda. Oleh sebab itu, diperlukan suatu kemampuan untukmendekati persoalan yang diawali dengan membuat gambar dan kemudian menun-jukkan gaya - gaya penting yang bekerja pada tiap benda dalam diagram bendabebas.

1. Gesekan

Jika Anda ingin memindahkan lemari pakaian besar yang diam di atas lantaidengan gaya horizontal yang kecil, maka mungkin saja lemari itu tidak bergeraksama sekali. Mengap ini terjadi? Alasannya sederhana yaitu karena lantai ju-ga melakukan gaya horizontal terhadap lemari yang dinamakan gaya gesek statisfs. Gaya gesek ini disebabkan oleh ikatan molekul - molekul lemari dan lantaidi daerah terjadinya kontak yang sangat erat antara kedua permukaan. Gaya iniberlawanan arah dengan gaya luar yang dikerjakan. Gaya gesek statis agak miripdengan gaya pendukung yang dapat menyesuaikan dari nol sampai suatu gaya mak-simum fs,maks, bergantung seberapa kuat Anda mendorong. Jika kotak meluncur,ikatan molekuler secara terus - menerus dibentuk dan dipecah, sementara poton-gan - potongan kecil permukaan berpecahan. Hasilnya adalah sebuah gaya gesekkinetik fk (gesekan luncuran) yang melawan gerakan. Untuk mempertahankan ko-tak agar meluncur dengan kecepatan konstan, Anda harus mengerjakan gaya yangsama besar dan berlawanan arah dengan gaya gesek kinetik ini.

Mari kita lanjutkan contoh kasus di atas. Misalkan lemari yang Anda pin-dahkan tadi bermassa 10 kg dengan luas sisi 1 m2 dan luas ujun 20 cm2. Jikalemari berada dengan sisinya di atas lantai, hanya sebagian kecil dari total 1 m2

yang benar - benar dalam kontak mikroskopik dengan lantai. Jika lemari ditem-patkan dengan ujungnya di atas lantai, bagian luas total yang benar - benar dalamkontak mikroskopik bertambah dengan faktor 50 karena gaya normal per satuanluas 50 kali lebih besar. Namun, karena luas ujung adalah seperlima puluh luassisi, maka luas kontak mikroskopik yang sesungguhnya tidak berubah. Jadi gayagesekan statis maksimum fs,maks sebanding dengan gaya normal antara permukaan- permukaan :

fs,maks = µs Fn ,

dengan µs dinamakan koefisien gesek statis. Koefisien gesek statis ini bergantungpada sifat permukaan lemari dan lantai. Jika Anda mengerjakan gaya horizontalyang lebih kecil dari fs,maks pada lemari maka gaya gesek akan tepat mengimbangigaya yang Anda kerjakan pada lemari tersebut. Sera matematis, dapat kita tulis

7

8 4. HUKUM II NEWTON

sebagai berikut:

(1.1) fs,maks ≤ µs Fn .Selain itu, gaya gesek kinetik juga berlawanan arah dengan arah gerakan.

Seperti gaya gesek statis, gaya gesek kinetik merupakan gejala yang kompleks dansulit untuk dimengerti secara utuh. Koefisien gesek kinetik µk didefinisikansebagai rasio antara besar gaya gesek kinetik fk dan gaya normal Fn atau kita tulissebagai berikut:

(1.2) fk = µkFn .

Secara eksperimen dibuktikan bahwa:(1) µk lebih kecil dari µs(2) µk bergantung pada kelajuan relatif permukaan, akan tetapi untuk kela-

juan sekitar 1 cm/s hingga beberapa meter per sekon µk hampir konstan(3) µk (seperti µs) bergantung pada sifat permukaan - permukaan yang ber-

sentuhan akan tetapi tidak bergantung pada luas kontak (makroskopik)Kita dapat mengukur µs dan µk antara dua permukaan hanya dengan menem-

patkan sebuah balok pada datar yang memiliki kemiringan tertentu hingga balokmulai meluncur. Misal θc adalah sudut kritis ketika balok mulai meluncur. Untuksudut - sudut yang kurang dari nilai sudut kritis maka balok berada dalam kese-timbangan statik di bawah pengaruh beratnya, gaya normal, dan gaya gesek statis.Ilustrasi pergerakan balok ini dapat dilihat pada Gambar 1. Dengan memilih sum-bu x sejajar permukaan bidang dan sumbu y tegak lurus dengan permukaan, maka

Gambar 1. Gaya - gaya yang bekerja pada sebuah balok bermassam pada bidang miring yang kasar.

kita dapatkan ∑Fy = 0

Fn −mg cos(θ) = 0Fn = mg cos(θ) ,

1. GESEKAN 9

dan ∑Fx = 0

mg sin(θ)− fs = 0fs = mg sin(θ) .

Sehingga kita dapatkan nilai fsfs = mg sin(θ)

=Fn

cos(θ)sin(θ)

= Fn tan(θ) .

Karena fs = µs Fn, maka nilai µs adalah

µs = tan(θc) .

Jadi koefisien gesek statis sama dengan tangen sudut kemiringan saat balok tepatmulai meluncur.

Pada sudut yang lebih besar dari θc, balok meluncur ke bawah bidang miringdengan percepatan ax. Dalam kasusu ini gaya gesek yang bekerja adalah µk Fnsehingga kita dapatkan ∑

Fx = max

mg sin(θ)− µk Fn = max .

Karena telah kita ketahui bahwa Fn = mg cos(θ) maka nilai percepatannya adalah

ax = g (sin(θ)− µk cos(θ)) .

Jika kita dapat mengukur percepatan ax maka kita dapat mengukur µk untukkedua permukaan. Tabel 1 menampilkan beberapa nilai pendekatan µs dan µkuntuk berbagai bahan [1].

Contoh Soal D.1Koefisien gesek statis antara ban mobil dan jalan pada suatu masa adalah 0,7.

Berapakah sudut kemiringan jalan yang paling terjal agar mobil dapat diparkirdengan roda terkunci dan tidak meluncur ke bawah bukit?

Tabel 1. Beberapa nilai - nilai pendekatan koefisien gesek

Bahan µs µkBaja pada baja 0,7 0,6Kuningan pada baja 0,5 0,4Tembaga pada besi tuang 1,1 0,3Kaca pada kaca 0,9 0,4Teflon pada teflon 0,04 0,04Teflon pada baja 0,04 0,04Karet pada beton (kering) 1,0 0,80Karet pada beton (basah) 0,3 0,25Ski yang licin pada salju (0oC) 0,1 0,05

10 4. HUKUM II NEWTON

JAWAB :Ingat hubungan antara koefisien gesek statis dan sudut kritis

µs = tan(θc) .

Maka besar sudut kritis adalah

θc = arctan(µs)= arctan(0, 7) = 34, 992o

Contoh Soal D.2Sebuah kotak meluncur sepanjang lantai horizontal dengan kelajuan awal 2,5

m/s. Kotak berhenti setelah meluncur 1,4 m. Carilah koefisien gesek kinetik.JAWAB :Pada arah vertikal berat kotak telah diimbangi oleh gaya normal lantai

Fn = mg .

Satu - satunya gaya horizontal yang bekerja pada kotak adalah gaya gesekkinetik (yang memiliki arah berlawanan dengan arah gerak kotak). Jika kita mis-alkan kecepatan adalah dalam arah positif, maka gaya gesek adalah

f = −µk Fn= −µkmg .

Dengan demikian percepatannya adalah

a =f

m= −µk g .

Karena percepatan konstan dan kecepatan akhir adalah nol maka dapat kita ker-jakan sebagai berikut

v2 = v20 + 2 a∆x = 0

a = − v20

2 ∆x

= − (2, 5 m/s)2

2(1, 4 m)= −2, 23 m/s2

Maka koefisien gesek kinetik adalah

µk = −ag

= −−2, 23 m/s2

9, 81 m/s2= 0, 228

2. Gaya - gaya Hambat

Saat sebuah benda bergerak melalui fluida seperti udara atau zat cair makafluida melakukan gaya hambat atau gaya yang memperlambat dan cenderung men-gurangi kelajuan benda. Gaya hambat ini bergantung pada bentuk benda, sifatfluida dan pada kelajuan benda relatif terhadap fluida. Tidak seperti gaya gesekbiasa, gaya hambat bertambah jika kelajuan benda bertambah. Untuk kelajuanyang kecil, gaya hambat hampir sebanding dengan kelajuan benda; untuk kelajuanyang lebih tinggi gaya ini mendekati kuadrat kelajuan benda.

3. GAYA SENTRIPETAL 11

Contohnya, sebuah bola pejal dijatuhkan dari keadaan diam kemudian jatuhkarena pengaruh gaya gravitasi (dengan asumsi besarnya konstan) dan gaya hambatyang besarnya b vn, dengan b dan n adalah suatu konstanta. Jadi, kita mempunyaigaya ke bawah yang konstan mg dan gaya ke atas b vn. Jika arah ke bawah diambilpositif, maka dari hukum kedua Newton didapat

Fneto = ma

= mg − b vn = ma

Pada t = 0 saat bola jatuh kelajuan awal nol, sehingga gaya yang memperlambatadalah nol sementara itu ada percepatan g yang arahnya ke bawah. Jika kelajuanbola bertambah, gaya hambat bertambah dan percepatannya berkurang dari g.Pada akhirnya, kelajuan cukup besar bagi gaya hambat b vn untuk menyamai gayagravitasi mg, sehingga percepatan adalah nol. Artinya bola bergerak dengan ke-lajuan konstan vt, yang disebut kelajuan terminal. Dengan demikian kita perolehhubungan mg = b vnt . Sehingga kelajuan terminal adalah

(2.1) vt =(mg

b

) 1n

Makin besar konstanta b makin kecil pula kelajuan terminalnya. Konstanta bbergantung pada bentuk benda. Sebuah parasut dirancang agar b besar sehinggakelajuan terminal kecil. Sebaliknya mobil dirancang agar b kecil untuk mereduksipengaruh resistansi angin.

Contoh Soal D.3Seorang penerjun bebas dengan massa 64 kg mencapai kelajuan terminal 180

km/jam dengan lengan dan kakinya terbentang.(a) Berapakah gaya hambat ke atas pada penerjun bebas?(b) Jika gaya hambat sama dengan b v2, berapakah nilai b?JAWAB :(a) Karena penerjun bebas bergerak dengan kecepatan konstan, gaya ke bawah

padanya mg harus diimbangi oleh gaya hambat ke atas Fd

Fd = mg

= (64 kg)(9, 81 m/s2) = 628 N

(b) Dengan mengambil b v2 sama dengan 628 N dang menggunakan v = 180km/jam = 50 m/s kita dapatkan

b v2 = 628 N

=628 N

(50 m/s)= 0, 251 kg/m

3. Gaya Sentripetal

Suatu benda yang bergerak pada suatu lingkaran berjari - jari r, dengan ke-cepatan v, mengalami percepatan ~a yang besarnya v2

r (telah kita bahas pada Bab 2subseksi Gerak Melingkar). Arah vektor percepatan ~a selalu menuju pusat lingkarandan selalu tegak lurus dengan vektor kecepatan ~v. Gaya sentripetal yang bekrjaadalah

(3.1) F = mv2

r

12 4. HUKUM II NEWTON

Jadi pada setiap gerak melingkar selalu terdapat gaya total, gaya sentripetal yangarahnya ke pusat lingkaran

Contoh Soal D.4Badul konis (conical pendulum) adalah suatu bandul yang terikat suatu benda

bermassa m yang berputar melingkar pada bidang datar dengan kecepatan v (lihatGambar 2). Hitung periode getaran τ .

Gambar 2. Gaya - gaya yang bekerja pada bandul konis yangterikat suatu benda bermassa m dan berputar melingkar padabidang datar dengan kecepatan v.

JAWAB :Jika tali membuat sudut θ dengan garis vertikal, maka jari - jari lintasan R =

l sin(θ). Gaya -gaya yang bekerja pada massa m adalah T (tegangan tali) danw (gaya berat). Tentunya T + w 6= 0 sehingga resultan kedua gaya ini adalahT cos(θ) = w = mg atau

T =mg

cos(θ)

Sementara itu besar T sin(θ) sama dengan gaya sentripetal yang membuat ben-da bergerak melingkar dengan kecepatan v yang konstan:

T sin(θ) = mv2

ratau v =

√Rg tan(θ)

4. GAYA GRAVITASI 13

Jika τ adalah waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu putaran danR = l sin(θ) maka

τ =2π Rv

=2π l sin(θ)√l sin(θ) g tan(θ)

= 2π

√l cos(θ)g

Perhatikan bahwa τ disebut juga periode dari getaran dan tidak bergantung padamassa.

4. Gaya Gravitasi

Hingga abad ke-17 kecenderungan benda untuk jatuh ke bumi dianggap sebagaisifat hakiki dari benda sendiri yang tidak perlu diterangkan lebih lanjut. Sir IsaacNewton tidak sependapat tentang ini. Berat benda harus dianggap sebagai gayatarik yang terjadi antara bumi dengan benda tersebut. Newton membandingkangerakan apel yang jatuh dari dahannya dengan bulan yang mengelilingi bumi. Apelyang terlepas dari dahannya mengalami gaya tarik dari bumi, dan memperpendekjaraknya dengan pusat bumi, maka ia jatuh ke tanah. Lain halnya dengan bulan,bulan mempunyai kecepatan tangensial yang seharusnya membuat ia menjauhi bu-mi. Tetapi gaya tarik yang bekerja antara bulan dengan bumi mencegah hal terse-but terjadi. Jarak bulan dan bumi, kecepatan tangensial relatif bulan terhadapbumi, dan gaya tarik bulan dengan bumi, membuat bulan mengelilingi bumi padalintasannya [5].

Newton menyimpulkan gaya tarik yang bekerja tersebut di dalam Hukum Grav-itasi Universalnya (”The law of universal gravitation”). Gaya yang bekerja antaradua partikel yang bermassa m1 dan m2 serta terpisah sejauh r adalah gaya tarikmenarik sepanjang garis hubung kedua partikel tersebut yang besarnya

(4.1) F = Gm1m2

r2,

dengan G adalah konstanta universal yang sama untuk semua partikel. Konstantauniversal G yang berdimensi L3 M−1 T−2 merupakan besaran skalar dan yangdipakai sekarang diperoleh dari P. R. Heyl dan P. Chizanowski dari U. S. NationalBureau of Standards (USA) tahun 1942 yaitu G = 6, 6732× 10−11 N m2/kg2

Mari kita ”menimbang” bumi untuk mencari massanya. Misal massa bumi ME

dan suatu benda pada permukaan bumi bermassa m mempunyai berat w, gaya tarikmenarik yang bekerja pada keduanya F = w = mg sedang

F = GmME

R2E

,

dengan RE adalah jari - jari bumi yang merupakan jarak antara benda dan pusatbumi, sementara g adalah percepatan gravitasi pada permukaan bumi. Sehingga

14 4. HUKUM II NEWTON

kita dapatkan

ME =g R2

E

G

=(9, 81 ms2)(6, 37× 106 m)2

6, 6732× 10−11 N m2/kg2

= 5, 97× 1024 kg = 5, 97× 1021 ton

Jika massa bumi ini dibagi dengan volumenya maka kita dapatkan kerapatan massabumi rata - rata 5,5 gram/cm3 atau sekitar 5,5 kali kerapatan air. Dari contoh inidapat kita simpulkan bahwa percepatan gravitasi

(4.2) g(r) =GME

r2,

merupakan besaran yang tidak konstan dan bergantung pada jarak benda ke pusatbumi.

Contoh Soal D.5Seorang astronot yang bermassa 80 kg ingin mengetahui beratnya pada:(a) permukaan matahari(b) permukaan bulandiketahui massa matahari = 2,0 ×1030 kg, massa bulan = 7,35 ×1022 kg dan

jari - jari matahari = 6,96 ×108 m sementara jari - jari bulan 1,74 ×106 mJAWAB :(a) berat astronot tersebut di permukaan matahari adalah

WS = GmMS

R2S

=(6, 6732× 10−11 N m2/kg2)(80 kg)(2, 0× 1030 kg)

(6, 96× 108 m)2

= 22 030, 7 N

(b) berat astronot tersebut di permukaan bulan adalah

WM = GmMM

R2M

=(6, 6732× 10−11 N m2/kg2)(80 kg)(7, 35× 1022 kg)

(1, 74× 106 m)2

= 129, 5 N

5. Gerak Planet dan Satelit

Gerakan benda - benda angkasa dalam sistem tata surya kita disimpulkan olehJohannes Keppler (1571 - 1630) dalam tiga poin penting yaitu:

(1) Semua planet - planet bergerak dalam orbit berbentuk ellips dengan mata-hari berada di salah satu fokusnya (hukum dari orbit)

(2) Garis hubung antara planet dengan matahari melintasi luasan yang samadan waktu yang sama (hukum dari luasan)

(3) Kuadrat dari periode planet mengelilingi matahari sebanding denganpangkat tiga jarak rata - rata antara planet dengan matahari (hukumdari periode)

5. GERAK PLANET DAN SATELIT 15

Gambar 3. Dua benda bergerak melingkar di bawah pengaruhgaya tarik menarik gravitasi.

Hukum - hukum di atas ini dapat diturunkan dari hukum hukum kinematika dangravitasi

Contohnya benda bermassa M dan m bergerak melingkar di bawah pengaruhgaya tarik gravitasi yang bekerja di antara mereka. Pusat massa dari sistem duabenda ini berada di titik C sedemikan hingga mr = M R (lihat Gambar 3). Hitungperiode getaran τ .

Benda yang besar bermassa M mempunyai jari - jari lintasan R, benda kecilbermassa m mempunyai jari - jari lintasan r. Gaya sentripetal yan bekerja (FC)dapat ditulis sebagai berikut

FC = mω2 r = Mω2R

atau

(5.1)GM m

(R+ r)2= mω2 r ,

dengan ω adalah kecepatan sudut masing - masing benda. Jika M >> m sepertihalnya massa matahari yang jauh lebih besar dari massa bumi, maka R dapatdiabaikan terhadap r. Persamaan (5.1) menjadi

GMs = ω2 r3 ,

dengan MS adalah massa matahari. Karena ω = 2πT dan T aadalah periode putaran

maka

(5.2) GMs =(

2πT

)2

r3 .

Persamaan (5.2) adalah persamaan dasar dari gerakan planet - planet yang berlakujuga untuk lintasan ellips dengan r adalah setengah sumbu panjangnya. Per-samaan (5.2) dapat pula ditulis dalam bentuk

T 2 =4π2

GMr3 ,

yang sesuai dengan hukum Keppler ketigaContoh Soal D.6Jika periode T dan jari - jari r dari suatu planet dapat diketahui maka Per-

samaan (5.2) dapat dipakai untuk menentukan massa matahari MS . Misal, periode

16 4. HUKUM II NEWTON

mengelilingi matahari T = 365 hari = 3, 1517 sekon, sementara jari - jari orbitnyaadalah r = 1, 5× 1011 m.

JAWAB :

MS =4π2 r3

GT 2

=(4π2)(1, 5× 1011 m)3

(6, 6732× 10−11 N m2/kg2)(3, 1517 s)≈ 2, 0× 1030 kg

Massa matahari adalah 300.000 kali massa bumi. Kesalahan yang dibuat den-gan mengabaikan harga R terhadap r adalah sangat kecil, karena

R =m

Mr

=1

300 000r

atauR

r≈ 1

300 000dari 1%

6. Soal Latihan

Soal 4.1Dua anak yang berada di atas kereta luncur ditarik melewati tanah yang dise-

limuti salju. Kereta luncur ditarik dengan tali yang membuat sudut dengan sumbu-x positif. Anak - anak itu mempunyai massa gabungan 45 kg dan kereta luncurmempunyai massa 5 kg. Koefisien gesek statis dan kinetik adalah 0,2 dan 0,15.Cari gaya gesek yang dikerjakan tanah pada kereta dan percepatan anak - anakserta kereta jika tegangan tali adalah (a) 100 N dan (b) 140 N

Soal 4.2Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 30 m/s sepanjang jalan horizontal.

Koefisien gesekan antara jalan dan ban adalah µs = 0, 5 dan µk = 0, 3. Berapajauh mobil bergerak sebelum berhenti jika

(a) mobil direm secara hati - hati sehingga roda - roda hampir selip dan(b) mobil direm keras agar roda terkunciSoal 4.3Sebuah mobil bergerak di atas jalan horizontal pada suatu lingkaran berjari

- jari 30 m. Jika koefisien gesek statis 0,6, maka hitung cepat mobil agar dapatbergerak tanpa selip

Soal 4.4Sebuah lengkungan berjari - jari 30 m dimiringkan dengan sudut θ. Cari θ agar

mobil dapat mengelilingi lengkungan itu dengan kelajuan 40 km/jam walaupunjalan licin.

Soal 4.5Sebuah balok tergantung pada tali yang tak bermassa yang melewati suatu

katrol yang licin dan dihubungkan ke balok lain pada meja yang licin pula. Hitungpercepatan tiap balok dan tegangan tali.

Soal 4.6Sebuah balok bermassa m1 berada di atas balok kedua yang massanya m2.

Balok kedua ini berada di atas meja horizontal yang licin. Sebuah gaya F dikerjakan

6. SOAL LATIHAN 17

Gambar 4. Ilustrasi gaya yang bekerja terhadap dua benda padasoal 4.6.

pada balok bawah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. Koefisien gesek statisdan kinetik antara balok - balok adalah µs dan µk

(a) Cari nilai maksimum F yang menyebabkan balok tidak saling bergeser satusama lain.

(b) Cari percepatan tiap balok jika F lebih besar dari nilai ini.Soal 4.7Suatu benda bermassa 0,8 kg berada pada bidang miring yang membuat sudut θ

dengan bidang datar. Koefisien gesek kinetik dengan bidang 0,3 dan g = 9, 8 m/s2.Berapa gaya yang diberikan agar bergerak (a) ke atas atau (b) ke bawah? (untukkedua hal anggap bahwa benda bergerak beraturan dengan percepatan konstan 0,1m/s2)

Soal 4.8Suatu balok bermassa m1 = 3 kg berada di atas balok kedua m2 = 5 kg.

Anggap tak ada gesekan antara balok m2 dengan lantai. Sementara itu kofisiengesek statis dan kinetik antara kedua balok adalah 0,2 dan 0,1. Kemudian balokkedua didosong dengan gaya sebesar F . Tentukan

(a) gaya maksimum yang dapat dikenakan pada balok agar balok - balok berg-erak tetapi dengan keadaan m1 tetap di atas balok m2. Hitung pula percepatannya.

(b) percepatan pada balok m1 dan m2 jika gaya yang lebih besar dari gayamaksimum pada (a) dikerjakan pada m2.

Soal 4.9Sebuah bola ping pong memiliki massa 2,3 gram dan kelajuan terminalnya 9

m/s. Gaya hambat berbentuk b v2. Berapa nilai b?Soal 4.10Sebuah kursi bergeser melintasi lantai yang dipoles dengan kelajuan awal 3

m/s. Setelah bergeser sejauh 2 m kursi berhenti. Berapakah koefisien gesek kinetikantara lantai dan kursi?

Soal 4.11Sebuah benda berada di bawah pengaruh gravitasi dan gaya hambat Fd = −b v(a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis sebagai berikut

a = g

(1− v

vt

),

dengan vt = mg/b adalah kelajuan terminal.

18 4. HUKUM II NEWTON

(b) Selesaikan secara numerik untuk mendapatkan sebuah grafik v terhadap tdan sebuah grafik x terhadap t untuk vt = 60 m/s

Soal 4.12Sebuah benda jatuh karena pengaruh gravitasi dan sebuah gaya hambatFd = −b v (seperti pada soal 4.11)(a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis

a =dvdt

= g − b

mv

(b) Susun kembali nilai percepatan ini menjadi

dvg −

(bv

)v

= dt

(c) Integrasikan persamaan ini untuk mendapatkan solusi eksak

v =mg

b

(1− e(

−b tm ))

= vt

(1− e(

−g tvt

))

(d) Gambar v terhadap t untuk v4 = 60 m/s dan bandingkan hasil ini denganpemecahan numerik pada soal 4.11(b)

Soal 4.13Sebuah balok 2 kg berada di atas balok 4 kg yang diam di atas meja licin.

Koefisien gesek antara kedua balok µs = 0, 3 dan µk = 0, 2. Gaya sebesar Fdigunakan untuk menarik balok 4 kg

(a) Berapa gaya maksimum F yang dapat diberikan jika balok 2 kg tidak bolehbergeser dari balok 4 kg?

(b) Jika F mempunyai stengah nilai ini maka cari percepatan tiap balok dangaya gesek yang bekerja pada tiap balok.

(c) Jika F dua kali nilai yang didapat dari soal (a) maka cari percepatan tiapbalok.

Soal 4.14Sebuah tangan mendorong dua benda pada permukaan licin. Massa benda

pertama 1 kg dan benda kedua yang tepat berada di depan benda kedua memilikimassa 1 kg. Tangan mengerjakan gaya 5 N pada benda 2 kg.

(a) Berapakah percepatan sistem?(b) Berapakah percepatan benda 1 kg? Berapa gaya yang dikerjakan padanya?

Dari mana asal gaya ini?(c) Tunjukkan semua gaya yang bekerja pada benda 2 kg. Berapakah gaya neto

yang bekerja pada benda ini?Soal 4.15Dua benda dihubungkan oleh tali tak bermassa yang bertumpu pada suatu

katrol, benda pertama berada pada permukaan bidang miring yang memiliki sudutθ sementara benda kedua tergantung bebas. Anggap permukaan bidang miring dankatrol licin. Cari percepatan benda pertama dan kedua serta tegangan talu untuk

(a) θ = 30o dan m1 = m2 = 5 kg serta(b) untuk nilai - nilai umum θ, m1 dan m2

Soal 4.16Sebuah kotak 3 kg diam di atas meja horizontal. Kotak itu diikatkan pada

kotak 2 kg lewat tali ringan yang bertumpu pada suatu katrol yang licin.(a) Berapa koefisien gesek statis minimum supaya benda tetap diam ?

6. SOAL LATIHAN 19

(b) Jika koefisien gesek statis lebih kecil dari yang ditemukan di soal (a) dankoefisien gesek kinetik antara kotak dan meja adalah 0,3 maka cari waktu agarmassa 2 kg jatuh 2 m ke tanah jika sistem mulai dari keadaan diam.

Soal 4.17Mesin Atwood berupa benda satu yang dikaitkan dengan tali pada benda kedua

melewati suatu katrol yang terpasang diam di langit - langit. Mesin ini digunakanuntuk mengukur percepatan gravitasi g dengan mengukur percepatan benda - ben-da. Dengan asumsi tali tak bermassa dan katrol licin tunjukkan bahwa besarnyapercepatan masing - masing benda adalah

a =m1 −m2

m1 +m2

sementara tegangan tali adalah

T =2m1 − m2 g

m1 +m2

Soal 4.18Seperti pada contoh soal D.6 periode T dan jari - jari r dari suatu planet. Misal

jari - jari orbitnya adalah r = 1, 5× 10111 m. Hitung jari - jari orbitnyaSoal 4.19Seperti pada contoh soal D.5 hitung berat astronot yang bermassa 100 kg ketika

dia berada di permukaan planet merkurius, venus, mars, jupiter, saturnus, uranusdan neptunus.

Soal 4.20Gunakan hukum Keppler ketiga untuk menentukan jari - jari planet A yang

mengelilingi matahari 27 kali lebih lama dibanding waktu yang dibutuhkan olehbumi dan tentukan pula waktu revolusi planet B yang memiliki jari - jari 10 kalilebih besar dari jari - jari bumi.

Bibliografi

[1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga,

Jakarta.[2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi,

Penerbit Binacipta, Bandung.

[3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press,Cambridge.

[4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing

Company, London.[5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS

21