Fisica Terrestre Parte IV Gravità e Gravimetria A. Caporali Dipartimento di Geologia, Paleontologia...
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Fisica Terrestre Parte IVGravità e Gravimetria
A. CaporaliDipartimento di Geologia, Paleontologia e GeofisicaUniversità di Padova
Potenziale gravitazionaleForza gravitazionale tra due masse puntiformi a una distanza r:
Potenziale gravitazionale di una massa puntiforme posta nell’origine ovvero di una sfera omogenea di massa m, a una distanza r:
Potenziale di una sfera ruotante intorno ad un asse con velocità angolare : occorre considerare anche il potenziale centrifugo
12321 r
r
mGmF
r
GmU
2
cos222 r
r
GmU
x
y
Equipotenziale di una sfera ruotante
Equipotenziale = luogo dei punti di coordinate r, , tali che U(r,)=U0=costanteLa figura di equilibrio di una massa fluida è una equipotenziale detta ‘sferoide’Gravità dello sferoide
2sin
cos
22
222
rr
U
rr
Gm
r
U
U
t
t
Lo sferoide terrestre
)sin1()( 2 far
La sezione della equipotenziale U0=cost è una ellisse:
1/f = 298.257; a = 6378137 m sono i valori convenzionali (WGS84)
2
cos222 r
r
GmU
12
f ;2
1
)sin1(2
sin
21
2
cos1)(
3232
0
223232
0
232
0
Gm
r
GmU
Gma
faGm
r
Gm
r
U
Gm
Gm
r
U
Gmr
r
a
Valori numerici nel potenziale terrestre
grandezza simbolo Valore
Raggio equatoriale a 6378137 +/- 2 m
appiattimentof
1/298.257
Velocità angolare 7292115*10-11 rad/sec
Massa gravitazionale Terrestre
Gm 3986005 * 108m3/sec2
Conseguenze osservabili dello schiacciamento terrestre
Precessione degli equinozi: periodo 26000 anni, ampiezza 23.5° (obliquità dell’eclittica rispetto all’equatore
Precessione della linea nodale dell’orbita di un satellite (inclusa la luna):Ampiezza: è uguale all’inclinazione dell’orbita sull’equatore; periodo dipende dal raggio orbitale
Precessione Euleriana: moto geografico dell’asse di rotazione rispetto all’asse z di massimo momento di inerzia: ampiezza circa 15 metri; periodo osservato 430 gg.Richiede che l’asse istantaneo di rotazione e l’asse di massimo momento di inerzia formino un angolo non nullo
23.5°
eclittica
Gravità e Anomalie orizzontali e verticali
Gravità normale: campo gravitazionale dello sferoide(viene calcolata in ogni punto con una espressione adottata convenzionalmente
(IGSN71)
Gravità terrestre: campo gravitazionale effettivo della Terra( Gravità osservata: può essere pensata come il gradiente di un potenziale W)
Anomalia di gravità: differenza tra gravità terrestre e gravità normale
Deviazione della verticale: componenti orizzontali (est e nord) della anomalia di gravità. Misurano la pendenza del geoide (W0=cost) rispetto allo sferoide di riferimento (U0=cost)
Anomalia gravitazionale: componente dell’anomalia lungo la normale allo sferoide
Ur ),(
Wrg ),,(
gg
gg
Formule per la gravità normale e anomalie su grande scala
=9.78031846(1+0.005278895sin2+0.000023462 sin4), ove è la latitudine del punto sull’ellissoide
Riduzione delle anomalie gravimetriche in superficieLa definizione di anomalia gravimetrica assume che la g sia misurata sul geoide. In pratica la misura viene invece fatta sulla superficie topografica, che può avere una separazione dal geoide anche di migliaia di metri.Si rende necessario pertanto riportare una misura di g ad altezza topografica qualsiasi al valore che avrebbe se fatta sulla superficie del geoide.La prima correzioni da apportare è quella ‘di aria libera’: detta H la quota della stazione, per H>0 la gravità misurata viene aumentata di 2/r per un abbassamento di un metro.
geoide
sferoide
N
H
Molla a riposoMolla
allungata2/r~2x9.8/6378000
=0.3 * 10-5 1/s2
= 0.3 mGal/m
Ove 1 mGal= 10-5 m/s2
Anomalia di Bouguer (1/2)
dVGdg 4
2
2 44;4r
GMgGMdVGgrdg
d
g
hGgAhGdVGAgdg 244;2
Anomalia di Bouguer (2/2)L’integrale di superficie è esteso alla superficie di un cilindro: solo gli integrali sulle due basi contribuiscono, e lo fanno in modo in modo uguale, per simmetria. L’integrale sulla superficie curva è nullo perché g e l’elemento di area dsono ortogonali.L’integrale di volume è il prodotto della densità per la porzione di strato di materia intercettato dalla superficie cilindrica.
In definitiva, l’accelerazione prodotta da una lastra è
Ove h è espresso in metri e si è assunta una densità media della crosta 2670 kg/m3
Per riportare allo sferoide la gravità misurata sulla superficie topografica, che si assume pianeggiante, dobbiamo aumentare, per ogni metro di quota, di 0.3 mGal (aria libera), e diminuire di 0.11 mGal (piastra di Bouguer), in definitiva aumentare di 0.19 mGal per metro.
d
d
g
g
A
A
hmGalh
hhGg
*11.0
*2670*10*67.6*28.62 11
Correzione topografica, e da corpi sommersi (1/2)
Campo prodotto da una distribuzione sferica di massa con contrasto di densità, posta a profodità (o altezza) b e distanza orizzontale x:
Il primo termine rappresenta il valore assoluto della forza, il secondo il fattore di proiezione cosper avere la componente normale
2222
3
3
4
bx
b
bx
RGg
b
R
g
x
Correzione topografica, e da corpi sommersi (2/2)
b
x
2/322 bx
b
maxmax
2
3
max
35.022
)(
3
4
)0(
gg
bxg
b
GRgxg
Esempio: una cupola di sale
La curva di best fit in basso corrisponde a b= 6 km, 4GR3/3b2=10 mGal
Assumendo che il sale abbia densità 2200 kg/m3 e i sedimenti circostanti 2400 kg/m3, si ottiene R=4 km
NB: non possiamo risolvere per R e separatamente
-0.035
Campo di una distribuzione rettilinea di massa
gN
Cerchio ausiliario
x
b
Piano topografico
Distribuzione lineare cilindrica di massa (sezione)
2R
dVGdg 4
22
2222 2
*44;2bx
RGgGRdVGgbxdg
Applichiamo il teorema di Gauss a una superficie cilindrica di lunghezza l (NB: il risultato sarà poi indipendente da l!) coassiale con l’asse della distribuzione di massa di densità in eccesso o difetto rispetto alla densità circostante
Poiché il gravimetro misura la sola componente verticale della g, dobbiamo moltiplicare g per il coseno dell’angolo rispetto alla verticale
22
2
2222
2 22
bx
bRG
bx
b
bx
RGg N
g(x=0)=gmax=-2GR2/b g(x=b)=gmax/2
Isostasia, orogeni: equilibrio statico
T = 30 km
hhHgHH)gρ(h
H)gρ(h
gHP
mm
m
5.4 equilibrioAll'
unitaria base di areaper immersa, massa della peso il è
aread' unitàper spostato, fluido del peso il è
m
h
H
In equilibrio, il peso del fluido spostato eguaglia la forza peso:
P
All’equilibrio, la topografia h viene sostenuta da una radice di profondità proporzionale H sufficiente a creare una spinta isostatica uguale e opposta
Isostasia, orogeni: sviluppo di un bacino flessurale per un supporto elasticoLa trattazione isostatica non considera l’elasticità del supporto e assume che l’unico sostegno venga dalla spinta isostatica, come per un galleggiante.
Quando si considera che il supporto è elastico, la profondità della radice H sarà inferiore che nel caso puramente isostatico perché alla spinta isostatica si sommano le forze elastiche nel supporto
Tali forze sono responsabili dello sviluppo di bacini flessurali ai fianchi, che tendono a riempirsi di sedimenti
Cliccare per far partire l’animazione
Isostasia e orogeni: effetti gravimetricig
m
h
H
Teorema: in un orogeno compensato isostaticamente l’anomalia di aria libera è zero
BghGhr
g 22
Corr. arialibera
Corr. Bouguer
Anomalia di Bouguer causata da difetto di massa di spessore H
hGHGgg mBB 22 : di Modello Segue che l’anomalia di aria libera g-+2h/r si annulla
Isostasia e fosse oceanicheA. Compensazione isostatica
m
w
H
h
TP=Tg
hhhHgHHhThTgm
wmw 4.3
27003200
10002700)(
B. Gravimetria (g è misurata sul fondo dell’oceano, in superfice):
hGHGg
ghGhr
g
wmB
Bw
)(2)(2
)(22
Segue che anche negli oceani compensati l’anomalia di aria libera si annulla