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Física para Ciencias:
Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por: Profesor Aldo Valcarce
1er semestre 2014
FIS109C – 2: Física para Ciencias 1er semestre 2014
Definición de posición y velocidad en 2D
El vector desplazamiento es
La posición de un objeto en 2-D.
El vector velocidad es
y
x 𝑟𝑓
𝑟𝑖 ∆𝑟
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𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖
𝑟𝑓 = 𝑥𝑓 + 𝑦𝑓
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 = ∆𝑥 + ∆𝑦
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
∆𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
𝑣 =∆𝑟
∆𝑡 𝑣𝑥 =
∆𝑥
∆𝑡 𝑣𝑦 =
∆𝑦
∆𝑡
Posición
Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de 30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?
30° N
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𝑟1 𝑟2
∆𝑟
Si ese desplazamiento fue
realizado en 4 horas ¿Cuál fue la
velocidad promedio?
En la figura la velocidad instantánea sería representada por la diferencia entre a) un vector muy cercano al vector P y b) el vector P, dividido por el tiempo requerido para hacer ese desplazamiento.
Definición de velocidad instantánea en 2D
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
Se define la rapidez (𝒗) como la magnitud del vector de velocidad
instantánea.
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𝑣 = 𝑣 𝑣 = (𝑣𝑥,𝑓 − 𝑣𝑥,𝑖)2 + (𝑣𝑦,𝑓 − 𝑣𝑦,𝑖)
2
Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:
1. La magnitud del vector velocidad (la rapidez 𝑣) puede cambiar con 𝑡.
2. La dirección del vector velocidad puede cambiar con 𝑡, pero su
magnitud (𝑣) permanece constante.
3. La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.
Definición de aceleración en 2D
𝑎 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
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𝑎 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Velocidad en 2D con aceleración
constante
La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con velocidad inicial 𝑣𝑖 y una
aceleración constante 𝑎 será:
𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡 𝑗
𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 + 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡
𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 × 𝑡
𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
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Eje x
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
Eje y
Posición en 2D con aceleración
constante
La velocidad final 𝑣𝑓 de un cuerpo con posición inicial 𝑟𝑖, velocidad
inicial 𝑣𝑖 y una aceleración constante 𝑎 será:
𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +
1
2𝑎𝑦 × 𝑡2 𝑗
𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑣𝑥,𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 𝑗 × 𝑡 +1
2𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 × 𝑡2
𝑟 𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣 𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎 × 𝑡2
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Eje x Eje y
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +
1
2𝑎𝑦 × 𝑡2
Ecuaciones de Movimiento en 2D
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =1
2𝑣𝑥,𝑖 + 𝑣𝑥,𝑓 × 𝑡
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𝑣𝑥,𝑓 = 𝑣𝑥,𝑖 + 𝑎𝑥 × 𝑡
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎𝑥 × 𝑡2
𝑣𝑥,𝑓2 = 𝑣𝑥,𝑖
2 + 2𝑎𝑥 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 =1
2𝑣𝑦,𝑖 + 𝑣𝑦,𝑓 × 𝑡
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 + 𝑎𝑦 × 𝑡
𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎𝑦 × 𝑡2
𝑣𝑦,𝑓2 = 𝑣𝑦,𝑖
2 + 2𝑎𝑦 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
Eje x Eje y
Ejemplo: Mov. 2D con 𝑎 constante
Una partícula parte del origen en 𝑡 = 0 con una velocidad inicial que
tiene una componente 𝑥 de 20 m/s y una componente 𝑦 de -15 m/s.
La partícula se mueve en el plano 𝑥𝑦 solo con una componente de
aceleración 𝑥, dada por 𝑎𝑥 = 4,0 m/s2.
a) Determine las componentes del vector velocidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo 𝑡.
b) Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en 𝑡=5 s.
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Proyectiles
Movimiento 2-D
Aceleración vertical
𝑎𝑦 = −𝑔
Aceleración horizontal
𝑎𝑥 = 0
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𝒂 = −𝒈 𝒋 En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra
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Componentes de 𝑣 en proyectiles
Fotografía de múltiple exposicion que muestra la posición de dos esferas a intervalos iguales de tiempo. Una se dejó caer desde una posición de reposo y la otra se lanzó horizontalmente.
Se ve que la altura (y por lo tanto el desplazamiento vertical) de las esferas es la misma.
El movimiento en la dirección vertical no se entera de lo que pasa en la dirección horizontal. Los movimientos vertical y horizontal son independientes.
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Independencia de las componentes
𝒗𝒙 y 𝑣𝑦 son independientes:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥= 0).
𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡
𝒗 = 𝒗𝒙 𝒊 + 𝒗𝒚 𝒋
Entonces, la magnitud de 𝑣
aumenta y su dirección cambia.
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Componente horizontal no cambia
Proyectiles: Ejemplo 1
Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde da la mesa. ¿A qué distancia, ∆𝑥, de la mesa llega la pelota al suelo?
2,0 m/s
∆x
1,5 m
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Proyectiles: Ejemplo 2 Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una distancia horizontal de 30m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?
y
x ∆x=30 m
a
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Proyectiles: Ejemplo 3
Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de 140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo de 37° con la horizontal.
b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado
a) Calcule el alcance ∆x, del proyectil.
c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final.
100 m/s
37°
140 m
R = 1,14 km
R = 12,3 s
R: 113 m/s, -45° al horizontal
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Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se supone ∆y =0)
o45
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Resumen
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𝑟 𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥,𝑖 × 𝑡 +1
2𝑎𝑥 × 𝑡2 𝑖 + 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦,𝑖 × 𝑡 +
1
2𝑎𝑦 × 𝑡2 𝑗
Se definieron los vectores posición 𝑟 , desplazamiento ∆𝑟 , velocidad 𝑣 y
aceleración 𝑎 en 2 dimensiones.
El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un
vector. La posición está definida como:
En el movimiento de proyectiles:
𝒗𝒙 es constante (𝑎𝑥= 0). 𝑣𝑦,𝑓 = 𝑣𝑦,𝑖 − 𝑔 ∆𝑡