1

Unidad Temática XV Óptica Geométrica 

Contenidos 

Reflexión  y  refracción.  Leyes.  Ley  de  Snell.  Principio  de Huygens.    Angulo  crítico.  Formación  de  imágenes    por reflexión:  en  un  espejo  plano  y  en  un  espejo  esférico. Rayos  principales.  Trazado  de  imágenes.  Ecuación  de  los espejos. Aumento.  Imágenes reales y virtuales. Formación de imágenes por  refracción: en una lente gruesa y en una lente  delgada.  Ecuación  del  constructor.  Ecuación  de  las lentes.  Trazado  de  imágenes.  Aumento.  Aberraciones.. Dispositivos  ópticos.  El  ojo  humano.  Microscopio  y Telescopio. 

 

2

• La luz es una radiación electromagnética de longitud de onda    comprendida entre 400 y 700 nm.  • Cuando  se  estudia  la  propagación  de  ondas electromagnéticas, se encuentra que esta se rige por simples leyes  geométricas  que,  en  general,  no  dependen  de  la longitud de onda y de la intensidad de la radiación. 

• Esto permite estudiar la propagación de la radiación luminosa mediante  el  concepto  de  rayos  que  se  propagan  en  línea recta en medios uniformes. 

• Para  que  esta  consideración  básica  sea  válida,  las dimensiones  de  los  objetos  involucrados  deben  ser mucho mayores que la longitud de onda de la luz, lo cual se cumple generalmente para la mayoría de los objetos que usamos. 

Introducción 

La  Óptica  Geométrica  es  la  rama  de  la Óptica que estudia la propagación de la luz y  su  trayectoria  en  los  diferentes  medios materiales. 

3

Rayo luminoso • La  radiación  luminosa  al  propagarse  sigue  determinadas trayectorias que se denominan rayos de luz.  

• El  rayo  luminoso  es  una  abstracción  geométrica  de  una situación  física  que  se  daría  cuando  de  la  radiación  total emitida  por  un  emisor  sólo  consideramos  aquella  parte que atraviesa un pequeño orificio situado en una pantalla opaca. 

• Si  la  velocidad  de  propagación    es  la  misma  en  todas direcciones el  rayo es  siempre perpendicular al  frente de onda. 

• La aproximación del rayo es muy exitosa para el estudio de espejos,  lentes,  prismas  y  instrumentos  ópticos  que  los emplean  como  ser  telescopios,  cámaras  fotográficas  y microscopios.  

Frentes de onda y aproximación del rayo Se denomina superficie o frente de onda al lugar geométrico determinado por los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la onda y  que  en  consecuencia  en  cualquier  instante  dado  están  en  el  mismo estado o fase de la perturbación. 

La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular al frente de  onda.  Las  líneas  perpendiculares  a  los  frentes  de  onda,  que  indican  la dirección y sentido de propagación de la perturbación, se denominan rayos. 

4

Para representar las ondas se eligen los frentes en donde la amplitud es máxima (arbitrario) En este caso la distancia entre dos frentes sucesivos es una longitud de onda. 

5

REFLEXIÓN  

Es el cambio de dirección que experimenta un rayo  luminoso al chocar con la superficie de un objeto opaco. 

Ej.: Ruta  seca y mojada en conducción nocturna 

REFLEXIÓN  

El  fenómeno  más  evidente  de  la reflexión sucede cuando la superficie es plana y pulimentada (espejo), en el que se  refleja  la  mayor  parte  del  rayo incidente  

Ángulo de incidencia y de reflexión El  ángulo  de  incidencia  “i”    es  el formado  por  el  rayo  incidente  y  la normal.  

La  normal    es    una    recta  imaginaria  perpendicular  a  la superficie  de  separación  de  los  dos  medios  en  el  punto  de contacto del rayo. 

El ángulo de reflexión “r”  es el formado por el rayo reflejado y la normal. 

6

REFLEXIÓN: LEYES  

El rayo marcha perpendicular al frente de las ondas  

Cuando un rayo incide sobre una superficie plana y pulida y rebota hacia el mismo medio decimos que se refleja y cumple las llamadas : "leyes de la reflexión“. 

Medio 1

Medio 2

normal

i r Rayo incidente

Rayo reflejado

Frente de onda incidente

Frente de onda reflejado

1.‐ El rayo incidente forma con la normal  un  ángulo  de  incidencia que  es  igual  al  ángulo  de reflexión  que  forma  el  rayo reflejado con la  normal. 

2.‐ El rayo incidente, el rayo  reflejado  y  la  normal están en un mismo plano.   

REFLEXIÓN: LEYES 

El rayo incidente  define  con la normal en el punto de contacto, un plano. El rayo reflejado estará en ese plano.  

i r

7

Refracción. Índice de refracción. 

• Refracción es el cambio en la dirección de propagación del rayo (la onda) al pasar de un medio a otro. 

• El ángulo que forma el rayo refractado con la normal se denomina ángulo de refracción. 

• Al dividir la velocidad de la luz en el vacío (c) por la velocidad de la luz en otro medio (v) obtenemos el índice de refracción en ese medio (n).  

 

 

• n(aire) = 1  , n(agua) = 1.33 

• Si la luz pasa de un medio más rápido a otro más lento el ángulo de refracción es menor que el de incidencia.  

• Si pasa de un medio de mayor índice de refracción a otro con menor índice de refracción el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia.  

 

cn

v

refracción

REFRACCIÓN: LEYES  

Medio 1

Medio 2

normal

1 1´

Rayo incidente

Rayo reflejado

Frente de onda incidente

Frente de onda reflejado

Frente de onda refractado

2

Rayo refractado

n1 v1

n2 v2

n1 < n2

8

En la foto de la derecha un haz laser incide sobre un bloque de acrílico transparente. (1) rayo incidente, (2) rayo reflejado en la interfase aire-acrílico, (3) rayo refractado en la interfase aire-acrílico, (4) rayo reflejado en la interfase acrílico-aire, (5) rayo refractado en la interfase acrílico-aire.

• El fenómeno de la refracción se rige por la llamada ley de la refracción o ley de Snell:  

 

       

 

 

 

• 1 = ángulo de incidencia • 2 = ángulo de refracción 

 

• Si n1 < n2 el rayo se acerca a la normal. 

• Si n1 > n2 en rayo se aleja de la normal. 

Ley de Snell 

1 1 2 2

1 21 2

sin( ) sin( )

y

n n

c cn n

v v

9

Reflexión total interna 

a b c

d e f

4% 6% 25%

38% 100% 100%

Өi=Өc Өr=Өc Өi>Өc Өr=Өc

Ocurre cuando el 1º medio tiene índice de refracción mayor que el 2º medio

Reflexión total interna 

• Cuando la luz incide en una interfase donde n1 > n2 , el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia, y  ocurre lo siguiente: 

• A  medida  que  el  ángulo  de  incidencia  se  hace  cada  vez  más grande,  el  rayo  transmitido  se  inclina  cada  vez más  lejos  de  la normal y más cerca de la interfase.  

• El rayo transmitido se hace cada vez más débil y el rayo reflejado (el que viaja de  regreso al medio de mayor  índice) se hace más intenso.  

• Cuando  se  alcanza  un  ángulo  particular  llamado  ángulo  crítico (c), el ángulo de refracción es de 90º, y toda la luz que incide en la interfase es reflejada tangente a la superficie. No se refractará o transmitirá nada de  luz. Esta reflexión total  interna continuará para todos los ángulos de incidencia mayores al ángulo crítico. 

21 2 2

1

sin( ) sin(90º ) sin( )c c

nn n n

n

10

Fibra Óptica

Cuando la luz pasa de un medio a otro de diferente índice de refracción, la longitud de onda cambia, no así su frecuencia. 

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 1 1

1 1 2 2

/

/ /

/

/

vT v f v f

v f y v f

n c v y n c v

n c v v

n c v v

2 2 1 1n n Si n1=1 (aire o vacio)  / nn

11

Ejemplo: Luz laser en un CD. La longitud de onda del laser es de 780 nm en aire, y el índice de refracción del plástico del Cd es n = 1,55. a) ¿Cuál es la velocidad de la luz dentro del CD? b) ¿Cuál es la  dentro del CD? 

2 1 1

1 2 2

88

1

310 /) 1,9410 /

1,55

780) 503

1,55

p

p p

pp

pp

nn v c

n v v

c m sa v m s

n

nmb nm

n

Principio de Huygens 

El Principio de Huygens es una construcción geométrica  en la que se utiliza el conocimiento previo del frente de una onda para determinar la posición de dicho frente en un instante posterior. En la construcción de Huygens:

“Cada punto de un frente de onda primario sirve como foco de ondas elementales secundarias que avanzan con una velocidad y frecuencia iguales a la de la onda primaria. El frente de onda primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas ondas secundarias.“

Construcción de Huygens para un frente de onda plano y un frente de onda esférico.

12

0 1

2 0

1

2

1

2

/

sin( ) /

sin( ) /

t CB v

AN v t

EAD CAB

FAN ABN

BC BA

AN BA

Dividiendo m.a.m. 

1 01 1 1 21 1 2 2

2 2 0 2 2 1

sin( ) /sin( ) sin( )

sin( ) /

v t v c n nBCn n

v t v c n nAN

Deducción de la ley de Snell a partir del principio de Huygens 

Formación de imágenes  por reflexión. Espejo plano 

s: distancia objeto s’: distancia imagen V: vértice 

Imagen real: se puede formar sobre una pantalla. Imagen virtual: no se puede formar sobre una pantalla. 

En los espejos planos la imagen es siempre virtual. 

13

Formación de Imágenes. Espejos Planos

•La imagen es: •Virtual (La imágenes virtuales son formadas por rayos divergentes. La luz parece originarse de ella). •Tiene el mismo tamaño que el objeto. •Se localiza detrás del espejo a la misma distancia que el objeto al espejo. •Es lateralmente invertida (Derecha por izquierda, etc.). •Como de alto debe ser un espejo para que uno pueda verse de cuerpo entero?

Formación de imágenes  por reflexión. Espejos esféricos 

OO’: eje óptico. C: Centro de curvatura del espejo. Aproximación paraxial: todos los rayos son próximos al eje óptico. Se reflejan todos en P’ dando la imagen de P.  Los rayos no paraxiales difuminan la imagen (aberración esférica).  

Convexo: rayos paralelos reflejados divergen. Cóncavo: rayos paralelos reflejados convergen. 

14

V: vértice. Intersección del eje óptico con el espejo. Las distancias s, s’ y R se miden desde V. Un rayo pasa por C, incide verticalmente sobre el espejo y se refleja sobre si mismo. El segundo incide en V y se refleja según las leyes de la reflexión. 

´ ´ ´tan( )

´

y y y sM

s s y s

´ ´ ´tan( )

´

y y y R s

s R R s y s R

Magnificación

donde hemos utilizado la ecuación de la Magnificación

´ ´ ´1 1

´ ´

1 1 2 1 1 12

´ ´ ´ / 2

s R s s R R s R R

s s R s s s s

R Ro

s s s s R s s R

Ecuación de los Espejos 

Igualando con la ecuación de la magnificación 

Si el objeto esta muy lejos (en el infinito), los rayos llegan paralelos al eje principal y luego de reflejarse se interceptan en un punto sobre el eje denominado FOCO. 

Si s  es  s’ = R/2 = f. La imagen esta en el punto focal  F del espejo. 

15

1 1 1

's s f

Ecuación de  los Espejos 

Rayos paralelos al eje principal, luego de reflejarse pasan por el foco. 

2

Rf Distancia 

focal 

Convenio de los signos para los espejos  • La luz incide desde la izquierda. • s positivo a la izquierda del vértice V (objeto real) • s negativo si el objeto esta a la derecha de V (objeto virtual) • s´ positivo a la izquierda del vértice V (imagen real) • s´ negativo a la derecha del vértice V (imagen virtual) • f y R positivos si el centro de curvatura esta a la izquierda del vértice V (espejo cóncavo) 

• f y R negativos si el centro de curvatura esta a la derecha del vértice V (espejo convexo) 

• y tamaño del objeto. Positivo por encima del eje principal. • y’ tamaño de la imagen. Positivo por encima del eje principal • Si M es positiva la imagen es derecha • Si M es negativa la imagen es invertida 

16

• El rayo 1 incide paralelo al eje principal y se refleja pasando por el punto focal F.

• El rayo 2 incide pasando por F y se refleja paralelo al eje principal. • El rayo 3 pasa por el centro de curvatura C y se refleja sobre si mismo.

Formación de imágenes. Diagramas de rayos.

Rayos principales

Definiciones: • Se dice en óptica que el medio es HOMOGÉNEO e ISÓTROPO cuando la velocidad de la luz es la misma en todos sus puntos y direcciones, por tanto su índice de refracción es constante. Si la velocidad de la luz  varía con la dirección se denomina ANISÓTROPO y si varía de un punto a otro, pero en cada uno de ellos es independiente de la dirección, se llama HETEROGÉNEO. 

• DIOPTRIO (DIOPTRA) es la superficie de separación de dos medios de distinta refringencia (distinto n) 

• SISTEMA ÓPTICO es un conjunto de superficies que separan medios de distintos índices de refracción; si está formado por superficies esféricas con los centros alineados se denomina SISTEMA ÓPTICO CENTRADO; la recta que une los centros es el EJE DEL SISTEMA. 

• Se llama CAMINO ÓPTICO (C) para un camino geométrico (s) de la luz, dentro de un medio homogéneo de índice de refracción (n) al producto de n por s: C = n s 

 

Imágenes formadas por refracción 

17

Imágenes formadas por refracción. Dioptra esférica. 

1 1 2 2sin( ) sin( )n n

En la aproximación paraxial 1 y 2 son pequeños y sin()  (en radianes), y podemos escribir: 

1 1 2 2n n

En la figura de abajo tenemos: 

1

2

Combinando estas tres expresiones y eliminando 1 y 2 tenemos: 

1 2 2 1( )n n n n

En la aproximación paraxial son , y pequeños y podemos expresar (ángulos en radianes):

tan( ) tan( ) tan( )´

d d d

s R s

Remplazando en la ecuación anterior y dividiendo por d:

1 2 2 1( )

´

n n n n

s s R

Ecuación de la

dioptra

1 2n n

18

Convenio de los signos para superficies refractoras 

El objeto esta siempre a la izquierda de V 

s  Positivo a la izquierda de V (objeto real) 

s  Negativo a la derecha de V (objeto virtual) 

s’   Positivo a la derecha de V (imagen real) 

s’   Negativo a la izquierda de V (imagen virtual) 

R  Positivo si el centro de curvatura C esta a la derecha de la superficie convexa 

R  Negativo si en centro de curvatura C esta a la izquierda de la superficie cóncava. 

y  Positivo por encima del eje óptico 

y'  Positivo por encima del eje óptico 

Refracción en una superficie plana 

1 2 2 1

2

1

( )

´

´

n n n n

s s RR

ns s

n

La imagen es virtual. 

¿Dónde se forma la imagen si n1 < n2? ¿Es virtual? 

19

Lentes delgadas

1 1 1

2 1

1 2 2

1 ( 1)

´

´

1 (1 )

´ ´

n n

s s R

s s

n n

s s R

Sumando la 1º y 3º ecuación 

1 2 1 2

1 21

2

1 1 1 1( 1)

´ 1 1 1 1( 1)

´llamando

´ ´

ns s R R

ns s R Rs s

s s

Si t es pequeño (despreciable frente a s’1 

1 2

1 1 1 1( 1)

´n

s s R R

Relaciona la distancia objeto s con la distancia s’ a la que se forma la imagen, en función del índice de refracción de la lente y de los radios de curvatura de sus superficies. 

Si s    s´= f distancia focal, y la ecuación anterior queda 

1 2

1 1 1( 1)n

f R R

Ecuación del  Constructor  de lentes 

Ecuación de las lentes delgadas 

Combinando esta dos ecuaciones 

1 1 1

´s s f

20

a) lente biconvexa convergente,  b) lente bicóncava divergente. F1: punto focal objeto, F2: punto focal imagen. Rayos incidentes paralelos al eje principal pasan por el foco imagen Rayos que pasan por el foco objeto se refractan paralelos a eje principal La lente divergente tiene los focos invertidos. 

Tipos de lentes delgadas

a) bi‐convexa b) convexa‐cóncava c) convexa‐plana 

Magnificación ´ ´y s

My s

d) bi‐cóncava e) convexa‐cóncava f) cóncava‐plana 

21

Diagrama de rayos

a) Lente convergente. Objeto a la izquierda del foco F1 => imagen real e invertida a la derecha del foco imagen

b) Lente convergente. Objeto entre el foco F1 y la lente => imagen virtual y derecha, a la izquierda del foco objeto.

b) Lente divergente. Objeto a la izquierda del foco F1 => imagen virtual y derecha, a la izquierda de la lente.

El diagrama de rayos muestra la localización de la imagen final de la combinación de lentes. Los puntos negros son los puntos focales de la primera lente y los rojos los de la segunda. 

Ejemplo de sistema de lentes 

22

Aberración esférica causada por una lente convergente.

Aberración cromática causada por una lente convergente. Rayos de diferentes longitudes de onda enfocan en diferentes puntos

Aberraciones 

Diagrama de una camara sencilla. En la realidad p >> q.

Partes importantes del ojo

23

a) Cuando un ojo hipermétrope mira un objeto situado entre el punto cercano y el ojo, el punto de la imagen está detrás de la retina, dando como resultado una visión borrosa. El músculo del ojo se contrae para tratar de poner el objeto en foco. (b) La hipermetropía se corrige con una lente convergente. 

(a) Cuando un ojo miope mira un objeto que se encuentra más allá del punto lejano del ojo, la imagen se forma delante de la retina, dando como resultado una visión borrosa. (b) La miopía se corrige con una lente divergente.  

24

Figura Activa 36.44 (b) Microscopio compuesto. La torreta de tres objetivos permite al usuario elegir entre varios niveles de aumento. Combinaciones de oculares con diferentes longitudes focales y objetivos diferentes pueden producir un amplio rango de aumentos.

Figura Activa 36.44 (a) Diagrama de componentes de un microscopio, consistente en una lente denominada objetivo y una lente ocular

Figura Activa 36.45 (a) Disposición de las lentes en un telescopio refractor, con el objeto en el “infinito”.