Fisica moderna relatividade_1
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1
Relatividade Restrita FSC5163 - Física 3
Aula I
2
Bibiografia:
Capítulo 1 – Relatividade ICapítulo 2 – Relatividade II (até página 64)Física Moderna – 3ª edição - Paul A. Tipler, Ralph A. Llewellyn
Capítulo 42 – Relatividade página 123Fundamentos de Física – Ótica e Física Moderna – Volume 4 – 4ª edição
Halliday, Resnick e Walker
3
Conhecimento Científico no Final do Século XIXConhecimento Científico no Final do Século XIX
Em 1900 alguns físicos pensavam que a física estava praticamente completa.
Lord Kelvin recomendou que os jovens não se dedicassem à física, pois só faltavam alguns detalhes pouco interessantes, como o refinamento de medidas.
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Conhecimento Científico no Final do Século XIXConhecimento Científico no Final do Século XIX
Lord Kelvin, no entanto, mencionou que havia “duas pequenas nuvens” no horizonte da física:
- os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley;
- a dificuldade em explicar a distribuição de energia na radiação de um corpo negro.
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Conhecimento Científico no Final do Século XIXConhecimento Científico no Final do Século XIX
A ruptura da física clássica ocorreu em muitos setores ao mesmo tempo:
- os resultados negativos do experimento de Michelson e Morley contrariava a relatividade newtoniana;
- o espectro de radiação de um corpo negro não estava de acordo com as previsões da termodinâmica;
- o efeito fotoelétrico e os espectros dos átomos não podiam ser explicados pela teoria eletromagnética;
- os fascinantes fenômenos associados aos raios X e à radioatividade pareciam ser totalmente fora do contexto da física clássica.
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Século XXSéculo XX
- Mecânica Quântica e Relatividade:
formuladas no início do século XX, dissiparam essas “nuvens escuras” de Kelvin, e forneceram respostas para todos esses enigmas e muito mais.
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Física ModernaFísica Moderna
8
Princípio da Relatividade:
-> Invariância das equações que expressam as leis da física:
As leis da física descobertas na Terra seriam as mesmas qualquer que fosse o ponto tomado como centro, ou seja, as mesmas equações seriam obtidas fosse qual fosse a origem do sistema de coordenadas.
-> O caráter relativista das leis da física começou a ser reconhecido:
Muito cedo na história da física clássica: ANTES de Galileu e Newton, Nicolau Copérnico, já havia mostrado que o cálculo dos movimentos dos planetas se tornaria mais simples e preciso se o antigo sistema aristoteliano, baseado na idéia de que a Terra é o centro do universo, fosse substituído por um modelo no qual os planetas se moviam em torno do Sol, e não a Terra. Em sua teoria, a localização da Terra não era considerada como especial ou previlegiada. É a escolha da origem do referencial copernicano no Sol que permite uma descrição simples do movimento planetário.
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Relatividade Clássica:
REFERENCIAIS: Quais são os referenciais em que as leis físicas são válidas?
→ Somente nos referenciais inerciais!
As Leis de Newton, que descrevem o movimento em sistemas mecânicos, não se aplicam a sistemas que possuam uma aceleração em relação a um referencial inercial; nenhum sistema acelerado é um referencial inercial.
NEWTON descobriu que, usando-se um certo tipo de referencial, torna-se muito mais simples determinar os movimentos a partir de suas causas: o referencial inercial. Qualquer referencial fixo em relação às estrelas fixas é um referencial inercial. Qualquer referencial em movimento com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é inercial. Como essa velocidade é arbitrária, há uma infinidade de referenciais inerciais, cada um dos quais em movimento relativo com velocidade constante em relação a qualquer outro. Em muitas situações, o referencial terrestre pode ser considerado inercial como boa aproximação.
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Transformação de Galileu: ˆ ˆ ˆ (Referencial R);
ˆ ˆ ˆ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ (Referencial R )́;
ˆ ˆ ˆ (Origem O ́wrt R)
Componentes cartesianas:
´ / ´ / ´
´ / ´ / ´
´ / ´ / ´
x x x x x
y y y y y
z z z z z
r xx yy zz
r x x y y z z
R Xx Yy Zz
x x X v v V a a
y y Y v v V a a
z z Z v v V a a
r R r
´ / ´ / ´
´ ´
v v V a a
F ma ma F
Validade:
-> os eixos de R´ permaneçam paralelos aos eixos de R (direções dos eixos R´ // aos R);
-> a origem O´ se mova em MRU relativamente a R.
Todo referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um referencial inercial também é um referencial inercial. As Leis de Newton são invariantes em todos os referenciais inerciais.
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Transformação de Galileu:
As Leis de Newton são invariantes, ou seja, conservam a mesma forma em qualquer referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um referencial inercial.
De acordo com as Leis de Newton:
- NÃO EXISTE uma posição especial ou privilegiada para medir o espaço e o tempo;
- NÃO EXISTE nenhuma velocidade especial ou privilegiada para o referencial inercial usado nas medidas: todos os
referenciais inerciais são equivalentes;
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Transformação de Galileu:
É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a outro qualquer. Galileu deu o exemplo de experiências de mecânica feitas no porão de um navio, com as escotilhas fechadas, que seriam incapazes de distiguir se o navio estaria ancorado ou em movimento retilíneo uniforme.
Princípio da Relatividade Newtoniana: As Leis de Newton são invariantes em todos os referenciais inerciais.
• Esse princípio deixa de valer para referenciais não-inerciais: aparecem as forças de inércia (centrífuga, Coriolis, etc.).
A transformação de Galileu envolve a suposição implícita de que os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos dois observadores são iguais, isto é, que t=t´.
A transformação de Galileu envolve a suposição implícita de que os intervalos de tempo medidos pelos relógios dos dois observadores são iguais, isto é, que t=t´.
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A velocidade da Luz
A visão de Newton foi extremamente bem-sucedida na descrição de fenômenos que vão do movimento de um projétil ao movimento de planetas, mas não conseguiu descrever os fenômenos eletromagnéticos.
A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell, foi um dos grandes trunfos da
ciência do século XIX. Fenômenos físicos aparentemente descorrelacionados, envolvendo a eletricidade, o magnetismo e a ótica passaram a ser compreendidos em termos de um único conjunto de leis e princípios físicos fundamentais.
Uma consequência fundamental dessa teoria é a propagação de ondas
eletromagnéticas. O exemplo mais importante de onda eletromagnética é a luz. Ele calculou a velocidade destas ondas e pôde expressá-la em termos de duas constantes fundamentais da eletrostática e da magnetostática: a permissividade elétrica do vácuo 0 e a permeabilidade magnética do vácuo 0, de uma forma
muito simples:
Unificação: eletricidade+ótica+magnetismo
8
0 0
13 10 /c m s
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A velocidade da Luz
Todas as ondas eletromagnéticas, e não apenas a luz se propagam no
vácuo com a velocidade c, não importando o valor do comprimento de onda, nem os detalhes do processo de geração da onda - por exemplo, se o emissor da onda está ou não em movimento. Essa é uma previsão fundamental das equações de Maxwell: c é uma constante universal da Física, que representa a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo. Entretanto, a noção de uma velocidade absoluta, representada por uma constante universal, está em conflito direto com algumas das noções básicas da Mecânica.
Apesar da completa equivalência entre os referenciais inerciais, a
descrição do movimento de uma dada partícula é diferente em dois referenciais distintos. Em particular, a velocidade de uma dada partícula em relação a um referencial inercial R difere da velocidade da mesma partícula em relação a um outro referencial R´ pela lei de composição de velocidades de Galileu:
v
´v
´v v V
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A velocidade da Luz
Se, no referencial R, a velocidade de propagação é c, então, de acordo
com a lei de composição de velocidades de Galileu, a velocidade no referencial R´, em movimento com velocidade V, ao longo da mesma direção e sentido da propagação da luz, seria c-V.
a velocidade da luz valeria c apenas num referencial específico
é derivada das equações de Maxwell, seria preciso concluir também que estas só valeriam nesse referencial especial. Que referencial especial seria esse?
Todas as ondas mecânicas correspondem à propagação de perturbações de um meio material.
Onde não há meio material, não há propagação!
8
0 0
13 10 /c m s
16
A velocidade da Luz
Ondas numa corda
- referencial “natural” é aquele em que ela está em repouso e onde cada ponto executa um movimento transversal à direção de extensão da corda, à medida que ela se propaga;
- a velocidade de propagação depende das propriedades físicas da corda:
v = (T/)1/2
Som: sólido, líquido ou gasoso.
Deveria haver um meio suporte para propagação das OEM:
- Se o éter existe de fato e o observador se move em relação a ele, assim como pode se mover em relação ao ar, então, devemos compor as velocidades da luz e do observador.- Se o éter não existe, a velocidade da luz é absoluta e, portanto, sua medida não dependerá do observador.
17
A velocidade da Luz
Durante o século XIX, e mesmo nas primeiras décadas após a formulação do eletromagnetismo por Maxwell, acreditava-se que a luz também só poderia se propagar através de um meio material.
Então deveria existir um meio material ocupando todo o espaço entre
as estrelas e os planetas, já que a luz se propaga das estrelas até o nosso planeta.
Este meio material hipotético, conhecido pelo nome de éter, estaria em repouso em relação às estrelas.
Para ser consistente com o caráter transverso das ondas
eletromagnéticas, o éter deveria ser rígido, como no exemplo da corda vibrante tensionada. Ao mesmo tempo, o éter não poderia oferecer resistência ao movimento dos corpos celestes, o que parecia estar em contradição com a primeira condição!
18
A velocidade da Luz
No referencial terrestre, a velocidade de propagação de um feixe
de luz ao longo da direção de movimento do planeta Terra seria c´=c-V; onde V é a velocidade da Terra. Por conseguinte,
e c´ variaria com a direção de propagação.
Se acreditássemos na existência do éter, então, o referencial
especial onde valeriam as equações de Maxwell, e onde a velocidade da luz seria c, seria o referencial Copernicano das estrelas fixas, pois nele o éter estaria em repouso. Deveria ser possível, por experiências de propagação da luz, detetar um movimento retilíneo uniforme em relação a ele, ou seja, o princípio da relatividade não seria válido na eletrodinâmica.
A equação de composição das velocidades de Galileu mostra que não
é possível manter o princípio da relatividade com validade simultânea das equações de Maxwell e das leis da Mecânica Newtoniana: uma das duas teria de ser abandonada!
´c c
19
A velocidade da Luz
Teria de ser válida, portanto, uma das seguintes opções:
1) A mecânica newtoniana e as equações de Maxwell são válidas, mas o princípio da relatividade não se aplica a todas as leis físicas: existe um referencial absoluto (o éter), onde a velocidade da luz é c em todas as direções, e deve ser possível, por meio de experiências eletromagnéticas, detetar um movimento retilíneo e uniforme em relação ao referencial absoluto do éter.
2) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas e à mecânica newtoniana é correta. Nesse caso, as equações de Maxwell teriam de ser modificadas, e deveria ser possível observar desvios das leis da eletrodinâmica clássica.
3) O princípio da relatividade aplica-se a todas as leis físicas, e as equações de Maxwell são corretas. Nesse caso, a mecânica newtoniana e a transformação de Galileu não podem ser corretas: deve ser possível observar desvios das leis da mecânica newtoniana => única compatível com os fatos experimentais.
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O experimento de Michelson e Morley
Teste experimental da primeira opção. Se ela fosse válida, deveria ser possível
detetar um movimento retilíneo uniforme em relação ao éter usando a lei de
Galileu de composição de velocidades c´= c-V: a velocidade da luz num referencial em movimento relativo ao éter deveria ser diferente em direções diferentes.
Um referencial onde o Sol estaria em repouso é com boa aproximação um referencial inercial. A velocidade de translação da Terra (V) em relação a esse referencial é da ordem de 30km/s. Pela lei de composição de velocidades, isso daria origem a desvios da ordem de
na velocidade de propagação da luz.
Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Albert
Michelson, em colaboração com Edward Morley, procuraram detetar esses
desvios usando o interferômetro de Michelson. Não observaram
nenhum deslocamento, o que permite descartar a opção 1.
4/ 10V c
21
O experimento de Michelson e Morley
- Seus braços têm comprimentos L1 e L2
- F é a fonte de luz- DF é uma placa semiespelhada divisora do feixe- E1 e E2 são espelhos
- A é o anteparo
1) A Terra está se movendo em relação ao hipotético éter com velocidade V na direção L1.
Como c e V são paralelos ao longo de L1 temos:
c
c´V
c
c´
V
Tempo total para ida e volta ao longo de L1:
1 1 1 1 11 2 2 2 2
22
2 2 2
11
onde
L L L c L c Lt
c V c V c V V cc
c
V
c
Ida: Volta:
L1
L2F
E1
E2
22
O experimento de Michelson e Morley
2) Percurso na direção L2. Visto do referencial do éter
o percurso é oblíquo.
c c´
V
Tempo total para ida e volta ao longo de L2:
cc´
V
O1 O2
E
2
L2
Tempo total para ida e volta ao longo de L2:
2 2 2´ 1
onde
c c V c
V
c
2 2 22 2 2 2
2
1 1 1
L L Lt
c c c
23
O experimento de Michelson e Morley
A diferença de caminho ótico entre os dois percursos é:
1 2 11 2 22 2 2 2
2 2 2( )
(1 ) 1 1 1
L L LL c t t L
c c
´ 1 21 2 22
´ ´ ´ 21 2 12 2
2 2; ´
11
2( )
1 1
L Lt t
cc
LL c t t L
Se girarmos agora de 900 o dispositivo todo, os papéis de L1 e L2 são
intercambiados. A figura observada anteriormente sofrerá um deslocamento correspondente ao caminho ótico:
´1 22 2
2 1( ) 1
1 1L L L L
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Os Postulados de Einstein
No início do século XX, a Física se encontrava num impasse. E ao invés de modificar o Eletromagnetismo de Maxwell, era necessário romper com a mecânica newtoniana. Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade no artigo “Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento”.
Para derivar a lei de composição das velocidades de Galileu, é preciso adotar o conceito newtoniano de tempo absoluto, isto é, supor que o tempo é o mesmo para todos os referenciais inerciais.
Einstein descartou essa hipótese (que parece tão natural) e REFORMULOU o conceito de tempo, levando a uma completa revolução das leis da Mecânica.
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Teoria da Relatividade:
-> É composta por duas teorias bem diferentes, a restrita (1905) e a geral (1916).
RESTRITA: trata da comparação entre os movimentos observados em diferentes referenciais que estejam se movendo com velocidade constante uns em relação aos outros.
GERAL: trata de referenciais acelerados e dos efeitos da gravidade. É importante para a cosmologia e para o estudo dos eventos que ocorrem nas proximidades de massas muito grandes (estrelas).
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Os Postulados de Einstein
A Teoria da Relatividade Restrita de Einstein é derivada a partir de dois
postulados fundamentais:
Princípio da Relatividade Restrita: As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
As equações de Maxwell são confirmadas como leis físicas válidas, e daí decorre:
Princípio da constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo (OEM), c, é a mesma em todas as direções e em todos os referenciais inerciais, e é independente do movimento da fonte.
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Tempo e Simultaneidade
Analisar detalhadamente o problema da contagem de tempo, tomando como base
os dois postulados anteriores.
Os intervalos de tempo entre dois eventos não são, em geral, iguais para diferentes referenciais.
O conceito de tempo está diretamente relacionado à noção de eventos
simultâneos.
A noção de simultaneidade não é absoluta:
2 eventos que são simultâneos para um determinado referencial inercial
ocorrem em instantes de tempo diferentes para outro referencial.
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Tempo e Simultaneidade
EXEMPLO:Uma fonte de luz (lâmpada), F, e dois detetores de luz, D1 e D2, são fixados sobre uma plataforma que se
movimenta com velocidade V constante ao longo do eixo OX do referencial S (que supomos ser inercial). - D1, D2 e F estão alinhados ao longo da direção paralela
ao eixo OX;- As distâncias entre D1 e F e entre F e D2, são iguais.
- O referencial S´ acompanha o movimento
da plataforma e, portanto, está em movimento
em relação a S com velocidade V ao longo do
eixo OX é o referencial próprio ou referencial de repouso do conjunto (por construção, a fonte, os detetores estão em repouso
no referencial S´).
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Tempo e Simultaneidade
EXEMPLO:
A fonte F é ligada. A luz emitida por ela se propaga atéchegar aos detetores D1 e D2.
- Pelo princípio da relatividade, a propagação da luz em S´ ocorre como em qualquer outro referencial inercial. Para ambos os sentidos de propagação ao longo do eixo O´X´, a velocidade vale c.
- Como os detetores D1 e D2 estão à mesma distância da
fonte F, eles irão detetar a luz simultanemente.
- O início da detecção de luz por D1 e D2 do ponto de
vista do referencial S´ são silmultâneos.
Referencial S´
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Tempo e Simultaneidade
- Pelo princípio da invariância da velocidade da luz o estado de movimento da fonte F (com velocidade V) não modifica a velocidade de propagação da luz, que também vale c para os dois sentidos de propagação ao longo do eixo X.
- Enquanto a luz se propaga a partir de F, o detetor D1
se aproxima e detetor D2 se afasta de F.
- Como a velocidade é a mesma nos dois sentidos de propagação, a detecção em D1 é anterior à detecção de
D2 do ponto de vista do referencial S.
Referencial S
Os dois eventos são simultâneos do ponto de vista do referencial S´ mas não do ponto de vista do referencial S → A simultaneidade é relativa. Ela não é uma propriedade absoluta ou intrínseca de dois eventos dados, devendo sempre ser definida em relação a um dado referencial.
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Intervalo relativístico
No espaço-tempo quadridimensional da relatividade, pode-se definir uma medida para um dado par de eventos, chamada intervalo relativístico que é uma propriedade intrínseca do par de eventos considerado e, portanto, é invariante quando tomamos diferentes referenciais inerciais.
2 2 21 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP x x y y z z
Rotações Espaciais
A distância entre dois pontos espaciais quaisquer P1 e P2 é
invariante por qualquer rotação dos eixos coordenados, porque ela representa uma distância (ou comprimento) que é uma propriedade intrínseca do par de pontos P1 e P2 e, portanto,
independe da escolha dos eixos coordenados:
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Intervalo relativístico
- A fonte F é ligada e começa a emitir luz- O detetor D começa a detectar a luz emitida por F.
Num certo referencial inercial S:- as coordenadas do evento “fonte é ligada” são (t1,x1,y1,z1);
- as coordenadas do evento “detecção por D” são (t2,x2,y2,z2);
- a distância percorrida pela luz da fonte até o detetor vale: 2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z
- O tempo transcorrido entre o instante da emissão da luz e o instante de sua detecção vale t2 – t1.
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Intervalo relativístico
2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z c t t
Pelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade de propagação vale c no referencial S, mesmo que a fonte esteja em movimentoem relação a S.
Portanto, a distância percorrida satisfaz a relação:
d = c(t2-t1)
E as coordenadas espaço-temporais dos eventos satisfazem a equação:
37
Intervalo relativístico
´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z c t t
Referencial S´: descrição dos mesmos dois eventos
As coordenadas espaço-temporais serão, em geral, diferentes:
evento “fonte ligada”: (t´1,x´
1,y´1,z´
1)
evento “detecção por D”: (t´2,x´
2,y´2,z´
2)
Entretanto, a equação anterior continuará sendo satisfeita, já que pelo postulado da invariância da velocidade da luz, a velocidade depropagação também vale c em S´:
38
Intervalo relativístico
2 2
2 1
2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1
( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
0
c t t
s c t t x x y y z z
s
O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ têm em comum???
Ambos os conjuntos satisfazem à mesma equação!
OBJETIVO: definir um intervalo relativístico (s) que seja
invariante quando muda-se de referencial.
Referencial S:
39
Intervalo relativístico
2 ´ ´ 22 1( )
2´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 2 ´ ´ 22 1 2 1 2 1 2 1
2´
( ) ( ) ( ) ( )
0
c t t
s c t t x x y y z z
s
O que as coordenadas dos eventos nos referenciais S e S´ tem em comum???
Referencial S´:
Portanto, s=s´ pode ser nulo, positivo ou negativo.Embora o transcurso de tempo seja diferente para diferentes referenciais, é possível definir uma grandeza invariante: o intervalo relativístico. Todos os referenciais inerciais medem o mesmo intervalo relativístico entre dois eventos dados.
Exercícios:
Solução:
Solução: