Fisica burbano

1. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR FSICA GENERAL SANTIAGO BURBANO DE ERCILLA LICENCIADO EN CIENCIAS FSICAS Y QUMICAS ENRIQUE BURBANO GARCA LICENCIADO EN CIENCIAS FSICAS CARLOS GRACIA MUOZ LICENCIADO EN CIENCIAS FSICAS Editorial Tbar, S.L. Gaztambide, 61 28015 Madrid Tel.: 91 550 02 60 Fax: 91 550 02 61 e-mail: [email protected] www.editorialtebar.com

2. Captulo I. FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS ................. 11 A) El mtodo cientfico ........................................................... 11 B) Magnitudes fsicas. Unidades ............................................. 13 C) Cualidades de los aparatos de medida. Errores en las medidas ............................................................................. 19 D) Medida de longitudes, tiempos y masas. Densidad ............ 20 Problemas ................................................................................ 26 Captulo II. CLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA ............................................................. 29 A) Vectores y escalares. Sistemas de referencia cartesianos .... 29 B) lgebra vectorial ................................................................ 32 C) Teora de momentos .......................................................... 38 D) Clculo infinitesimal vectorial ............................................ 42 E) Coordenadas polares ......................................................... 44 Problemas ................................................................................ 45 MECNICA Captulo III. CINEMTICA DE LA PARTCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILNEO .... 47 A) Introduccin ...................................................................... 47 B) Magnitudes fundamentales de la cinemtica de la partcula ............................................................................ 48 C) Movimientos rectilneos. Magnitudes angulares .................. 52 D) Casos particulares del movimiento rectilneo ..................... 54 Problemas ................................................................................ 64 Captulo IV. CINEMTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILNEOS DE LA PARTCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS ..................................... 69 A) Movimientos curvilneos de la partcula ............................. 69 B) Estudio de diversos movimientos curvilneos singulares de la partcula .................................................................... 74 C) Movimientos relativos ........................................................ 78 Problemas ................................................................................ 83 DINMICA DE LA PARTCULA Captulo V. FUERZA Y MASA. LAS TRES LEYES DE NEWTON. ESTTICA DE LA PARTCULA .................................. 89 A) Primera ley de Newton. Concepto de fuerza. Esttica de la partcula .................................................................... 89 B) Momento lineal. Segunda y tercera ley de Newton ............ 96 C) Magnitudes dinmicas angulares de la partcula ................ 99 D) Sistemas no inerciales. Dinmica del movimiento relativo de la partcula .................................................................... 103 Problemas ................................................................................ 108 Captulo VI. PESO. ROZAMIENTO. OSCILACIONES ................... 117 A) Peso. Centro de gravedad .................................................. 117 B) Rozamiento por deslizamiento ........................................... 121 C) Dinmica de las oscilaciones mecnicas ............................ 123 Problemas ................................................................................ 129 Captulo VII. TRABAJO Y ENERGA. TEORA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA ................................................................. 137 A) Trabajo, potencia, energa ................................................. 137 B) Teora de campos .............................................................. 140 C) Energas cintica y potencial gravitatoria. Principio de conservacin de la energa ................................................ 149 D) Energa en los osciladores. Resonancia .............................. 154 Problemas ................................................................................ 160 DINMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTCULAS Captulo VIII. DINMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTCULAS DISCRETOS ............................................................ 167 A) Sistemas de partculas discretos ......................................... 167 B) Magnitudes dinmicas angulares de los sistemas de partculas ........................................................................... 172 C) Energa en los sistemas de partculas ................................. 175 D) Choques entre parejas de partculas .................................. 179 Problemas ................................................................................ 183 Captulo IX. CINEMTICA Y ESTTICA DEL SLIDO RGIDO .. 189 A) Cinemtica del slido rgido .............................................. 189 B) Momentos ......................................................................... 192 C) Esttica del slido rgido .................................................... 196 D) Resistencia a la rodadura ................................................... 197 Problemas ................................................................................ 198 Captulo X. DINMICA DEL SLIDO RGIDO ............................. 203 A) Anlisis general .................................................................. 203 B) Trabajo y energa de un slido en rotacin ........................ 211 C) Oscilaciones, pndulo fsico y girscopo ............................ 213 Problemas ................................................................................ 219 Captulo XI. EL CAMPO GRAVITATORIO .................................... 227 A) Intensidad de campo gravitatorio ...................................... 228 B) Leyes de Kepler ................................................................. 230 C) Energa potencia gravitatoria ............................................. 232 D) Potencial gravitatorio ......................................................... 234 E) Trayectorias en un campo gravitatorio ............................... 237 F) Aplicacin del teorema de Gauss ....................................... 240 Problemas ................................................................................ 242 Captulo XII. ESTUDIO BSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECNICA DE FLUIDOS ...................... 245 A) Estudio bsico de la estructura de la materia ..................... 245 B) Hidrosttica ....................................................................... 253 C) Aerosttica ......................................................................... 260 D) Dinmica de fluidos en rgimen de Bernouilli ................... 264 E) Dinmica de los fuidos reales ............................................ 271 Problemas ................................................................................ 276 Captulo XIII. ELASTICIDAD. FENNEMOS MOLECULARES EN LOS LQUIDOS ................................................. 283 A) Elasticidad ......................................................................... 283 B) Fenmenos moleculares en los lquidos ............................. 288 Problemas ................................................................................ 294 Captulo XIV. TEMPERATURA Y DILATACIN. TEORA CINTICO MOLECULAR ........................................ 297 A) Termometra ...................................................................... 298 B) Dilatacin de slidos .......................................................... 301 C) Dilatacin de lquidos ........................................................ 304 D) Dilatacin de gases ideales ................................................ 306 E) Teora cintico molecular ................................................... 309 Problemas ................................................................................ 312 Captulo XV. EL CALOR Y SUS EFECTOS ................................... 315 A) Calorimetra ....................................................................... 315 B) Cambios de estado o de fase ............................................. 318 C) Licuefaccin de gases. Ecuacin de Van der Waals ........... 324 D) Transmisin de calor .......................................................... 328 E) Disoluciones: propiedades coligativas ................................ 329 Problemas ................................................................................ 334 9 MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR CONTENIDO 3. Captulo XVI. PRIMER Y SEGUNDO PRINCIPIOS DE LA TERMODINMICA ................................................. 337 A) Primer principio de termodinmica ................................... 337 B) Segundo principio de termodinmica ................................ 344 C) Mquinas trmicas ............................................................. 351 Problemas ................................................................................ 353 Captulo XVII. ONDAS .................................................................. 357 A) Ecuacin de ondas ............................................................ 357 B) Energa e intensidad de las ondas ..................................... 362 C) Efecto Doppler-Fizeau ........................................................ 365 D) Superposicin de ondas. Interferencias .............................. 367 E) Difraccin, reflexin y refraccin ........................................ 374 F) Polarizacin ....................................................................... 378 G) Acstica. Propagacin del sonido ...................................... 379 H) Cualidades fsicas del sonido ............................................. 382 I) Instrumentos musicales ...................................................... 385 J) Percepcin del sonido ........................................................ 387 Problemas ................................................................................ 389 ELECTROMAGNETISMO Captulo XVIII. ELECTROSTTICA .............................................. 395 A) Principios fundamentales de la electrosttica ..................... 395 B) El campo elctrico ............................................................. 399 C) Energa potencial de punto ................................................ 406 D) La funcin potencial del campo electrosttico ................... 409 E) Energa asociada a un campo elctrico .............................. 413 Problemas ................................................................................ 415 Captulo XIX. EL CAMPO ELCTRICO EN LA MATERIA ............ 419 A) Conductores cargados en equilibrio. Capacidad ................ 419 B) Fenmenos de influencia ................................................... 422 C) Condensadores .................................................................. 426 D) Dielctricos. Polarizacin ................................................... 429 E) El vector desplazamiento ................................................... 435 Problemas ................................................................................ 439 Captulo XX. CORRIENTE ELCTRICA CONTINUA ................... 443 A) Corriente elctrica: intensidad y resistencia. Efecto Joule .. 443 B) Fuerza electromotriz. Circuito fundamental de corriente continua ............................................................................ 450 C) Anlisis de circuitos: leyes de Kirchhoff .............................. 452 D) Corrientes no estacionarias. Corriente de desplazamiento . 454 E) Generadores termoelctricos ............................................. 457 F) Corriente continua en lquidos. Electrlisis. Pilas y acumuladores .................................................................... 458 G) Paso de la corriente a travs de los gases .......................... 464 Problemas ................................................................................ 466 Captulo XXI. EL CAMPO MAGNTICO ...................................... 475 A) Introduccin ...................................................................... 475 B) Fuerza de Lorentz: aplicaciones ......................................... 478 C) Ley de Biot y Savart: aplicaciones ..................................... 484 D) Propiedades generales del campo magntico. Ley de Ampre .............................................................................. 490 E) Campos magnticos producidos por corrientes no estacionarias ...................................................................... 494 F) Propiedades magnticas de la materia ............................... 495 G) Aparatos de medida de la corriente continua .................... 506 Problemas ................................................................................ 508 Captulo XXII. CORRIENTES INDUCIDAS ................................... 513 A) Leyes de Faraday y de Lenz .............................................. 513 B) Autoinduccin e induccin entre corrientes ....................... 517 C) Energa magntica. Descarga oscilante de un condensador ...................................................................... 521 D) Corrientes alternas: produccin. Elementos bsicos de una red elctrica ................................................................ 524 E) Estudio del circuito bsico de corriente .............................. 527 F) Intensidad y FEM eficaces. Potencia de una corriente alterna ............................................................................... 529 G) Impedancias en serie y en paralelo. Mtodo fasorial .......... 532 H) Fenmenos de resonancia ................................................. 533 I) Ampermetros. Voltmetros y vaatmetros para corrientes alternas .............................................................................. 535 J) Mquinas elctricas: generadores de corriente alterna ....... 536 K) Generadores de corriente continua .................................... 539 L) Electromotores ................................................................... 541 M) Transformadores ................................................................ 542 Problemas ................................................................................ 544 Captulo XXIII. ECUACIONES DE MAXWELL. ONDAS ELECTROMAGNTICAS ...................................... 551 A) Ecuaciones de Maxwell ...................................................... 551 B) Ondas electromagnticas ................................................... 552 Problemas ................................................................................ 566 Captulo XXIV. PTICA GEOMTRICA I ...................................... 569 A) Propagacin de la luz, reflexin y refraccin ...................... 569 B) Prisma ptico ..................................................................... 578 C) Dioptrio esfrico ................................................................ 579 D) Espejos .............................................................................. 583 Problemas ................................................................................ 587 Captulo XXV. PTICA GEOMTRICA II ...................................... 591 A) Sistemas pticos centrados ................................................ 591 B) Sistemas compuestos. Lentes ............................................. 594 C) Aberraciones geomtricas .................................................. 598 D) El ojo humano ................................................................... 599 E) Instrumentos de ptica ...................................................... 601 Problemas ................................................................................ 607 Captulo XXVI. PTICA FSICA .................................................... 611 A) Dispersin de la luz. Espectroscopa .................................. 613 B) Radiacin trmica. Cuerpo negro ...................................... 617 C) Fotometra ......................................................................... 622 D) El color .............................................................................. 625 E) Interferencias luminosas ..................................................... 629 F) Difraccin de la luz ............................................................ 634 G) Polarizacin ....................................................................... 640 Problemas ................................................................................ 645 RELATIVIDAD Captulo XXVII. CINEMTICA Y DINMICA RELATIVISTAS ....... 649 A) Cinemtica relativista ......................................................... 649 B) Dinmica relativista ........................................................... 659 Problemas ................................................................................ 665 EL TOMO Captulo XXVIII. CORTEZA ATMICA ......................................... 669 A) Teora de los cuantos ......................................................... 669 B) Modelo atmico de Bohr ................................................... 671 C) Correcciones al modelo de Bohr. Nmeros cunticos ........ 676 D) tomos con ms de un electrn ........................................ 681 E) Lser y mser .................................................................... 686 F) Rayos X ............................................................................. 688 G) Dualidad onda-corpsculo ................................................. 692 H) Mecnica cuntica ............................................................. 694 Problemas ................................................................................ 701 Captulo XXIX. ELECTRNICA .................................................... 703 A) Teora de bandas ............................................................... 703 B) Vlvulas electrnicas .......................................................... 707 C) Tubos fotoelctricos ........................................................... 713 D) Aplicaciones de los rayos catdicos ................................... 714 E) Dispositivos con semiconductores ...................................... 717 F) Conmutacin y puertas lgicas .......................................... 723 Problemas ................................................................................ 724 Captulo XXX. EL NCLEO ATMICO ........................................ 727 A) Caractersticas del ncleo .................................................. 727 B) Radiactividad natural ......................................................... 732 C) Reacciones nucleares ......................................................... 739 D) Reacciones de fisin y de fusin ........................................ 745 E) Partculas elementales ........................................................ 753 Problemas ................................................................................ 759 10 CONTENIDO MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR 4. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR A) EL MTODO CIENTFICO* I 1. Fsica De sobra son conocidas infinidad de palabras que el lenguaje diario pone en nuestras bocas: velocidad, fuerza, energa, luz, color, sonido, etc. y tantas y tantas otras que forman parte de nuestra cotidiana conversacin. Si nos introducimos en campos ms profesionalizados nos encontra- mos con tecnicismos tales como: luminotecnia, resonancia, reactancia, ondas moduladas, etc., que son utilizados y a veces intuitivamente comprendidos por individuos tan dispares como podamos encontrar dentro de las ms diferentes clases profesionales. Desde las ms elevadas posiciones in- telectuales; mdicos, bilogos, gelogos, filsofos, historiadores, gegrafos, ingenieros, etc., hasta el ms humilde trabajador, todos, absolutamente todos ellos sin excepcin, necesitan en un momento determinado de la Fsica para comprender algo que en ellos o fuera de ellos est sucedien- do; toda persona, aunque no haya seguido nunca un curso de Fsica, llega a su estudio teniendo ms conocimiento sobre el tema de lo que podra suponer, de lo contrario, no hubiera podido vivir en este mundo sin tener cierta conciencia de esta disciplina. La palabra fsica procede del vocablo griego jusiz que significa naturaleza, pudindose decir que la Fsica es una rama de la Filosofa Natural y estudia las propiedades bsicas del Universo y por tanto est regida por los inalterables principios que la naturaleza impone. I 2. El mtodo cientfico La Fsica trata de dar contestacin a los fenmenos de la Naturaleza, fenmenos de cada da, de cada instante, comienza por dar al hombre que la trabaja un agudo espritu de observacin, obligndole en todo momento a preguntarse los motivos (por qu?) de ciertos cambios que su medio material experimenta. Al no contentarse con un mero por que s se obliga a recorrer todos los conocimientos que de stas y otras disciplinas tiene, aunque es probable que previo a este anlisis memorstico, trate de clasificar el fenmeno. Su imaginacin juega, sus sentidos observan y analizan, su inteligencia determina, llegando en un alto porcentaje de los casos a la conclusin de que la Fsica puede darle una respuesta aclaratoria del fenmeno observado. Esta inquietud del hombre condicionada a su razn, tratando de explicarse los fenmenos que ocurren a su alrededor, hace que se organice sistemticamente, establecindose un mtodo para encontrar respuesta a sus interrogantes: observacin, razonamiento y experimentacin constituyen lo que llamamos el MTODO CIENTFICO; no necesariamente este proceso sigue el orden que hemos establecido, pinsese, por ejemplo, en los trabajos de Dimitri I. Mendeliev (1834-1907) ordenan- do los elementos en lo que hoy se denomina sistema peridico, atrevindose a dejar huecos predi- ciendo la existencia de elementos desconocidos hasta entonces, adelantndose la razn a la observacin. Muy frecuentemente, trabajos realizados por los que han sido llamados fsicos tericos y que a primera vista parecen puramente tericos y abstractos, encuentran con el tiempo las ms diversas aplicaciones tcnicas. En el estudio de la Fsica en general, las Matemticas constituyen la herramienta fundamental en la descripcin del comportamiento fsico; sin embargo, la descripcin perfectamente por- menorizada no es posible debido al comportamiento anrquico de la naturaleza en muchas de sus facetas. La aplicacin de las Matemticas a un fenmeno fsico implica un conocimiento ex- haustivo del problema, su formulacin matemtica representa un modelo o descripcin lmite ideal, que se aproxima, pero nunca alcanza por completo la situacin fsica real. El estudiante debe tener un proceso dual en su mente, debe pensar en la situacin fsica y tambin de acuerdo con la descripcin matemtica correspondiente; al construir el modelo matemtico idealiza- do, para su aplicacin a un problema real, debe conocer las limitaciones y aproximaciones que se han realizado y por supuesto tener conocimiento de las consecuencias que pueden tener, en muchos casos decimos que no influyen o que son despreciables. Esta aproximacin es totalmen- te vlida en un conocimiento en que es aplicada al problema tcnico, siempre que los efectos de esta aproximacin no vulneren el funcionamiento del mecanismo, estructura, prototipo... que se ha aplicado. CAPTULO I FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS * Algunas de las definiciones que vamos a dar en este captulo son incompletas, ya que definir palabras tan ambiguas como principio, hiptesis, etc. es cuestin de la Filosofa pura. 5. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR I 3. Fenmeno cientfico. Divisin de la Fsica La Fsica estudia el FENMENO CIENTFICO dando categora de tal a toda manifestacin de orden material. Partiendo del fenmeno y mediante observacin de otros similares, ya ocurridos, ya arti- ficialmente provocados, se elabora la CIENCIA. El principio de la ciencia, casi su definicin, es el siguiente: la comprobacin de todo conocimiento es el experimento. El EXPERIMENTO es el nico m- todo de comprobacin de la verdad cientfica. La Fsica estudia estas manifestaciones de la naturaleza, hacindolo de una manera puramente CUALITATIVA (descripcin del fenmeno), O CUANTITATIVA (medida de las magnitudes y relaciones de variacin entre ellas). Hasta el signo XIX se convena en distinguir dos tipos de fenmenos cientficos: el FENMENO QUMICO en el que la materia experimenta cambios en su composicin, en caso contrario el FEN- MENO ES FSICO. Son fenmenos fsicos las cadas de los cuerpos, su calentamiento, iluminacin, color, fusin, vaporizacin, etc. La combustin de un cuerpo es un fenmeno qumico. Actualmente nos resulta muy difcil poner un lmite definido entre la Fsica y otras Ciencias na- turales; la separacin hecha entre Fsica y Qumica no es real, existen extensas regiones limtrofes entre ambas; igual les ocurre a otras ramas de la Filosofa Natural a las que se les han aplicado los mtodos fsicos, tales como la Biologa, la Medicina, etc. Pasa exactamente lo mismo al tratar de delimitar en partes a la Fsica, unas y otras se solapan; digamos de todos modos, que la Fsica Clsica, atendiendo a la fenomenologa que se estudia, se divide en las siguientes partes: MECNICA, TERMOLOGA, ELECTROMAGNETISMO y PTICA que estudian respectivamente los movimientos, el calor y la temperatura, los fenmenos producidos por los cuerpos cargados y la luz. A principios del presente siglo, en 1905, Einstein demostr la necesidad de hacer un estudio diferente al que realiza la mecnica clsica o Newtoniana, para los objetos que se mueven a velocidades comparables a la luz (c = 3 108 m/s), naciendo la parte de la Fsica que se denomina MECNICA RELATIVISTA. No se tard mucho tiempo para que Planck, de Broglie, Shrdinger y otros, descubrieran que los objetos de tamao atmico a ms pequeos, requera un tratamiento diferente al dado hasta entonces, por lo que surge una nueva parte de la Fsica a la que llamamos MECNICA CUNTICA. De todas las maneras, todas las partes de la Fsica, incluyendo estas dos ltimas, siguen solapndose; y muchos de los trabajos de la vanguardia de la Fsica per- tenecen a estas dos ltimas mecnicas o a ambas. I 4. Principios El FENMENO CIENTFICO es ante todo un fenmeno de la NATURALEZA y por tanto su estudio co- menzar mediante la aplicacin al mismo de una serie de PRINCIPIOS los cuales pueden ser: axiomticos, definitorios e hipotticos. A partir de ellos, y mediante una exhaustiva comprobacin a distintos niveles cuantitativos y cualitativos, se llega a las LEYES Y TEORAS que nos dan cuenta del acontecer fenomnico. Entendemos por PRINCIPIO la verdad primera, ms evidente que las dems y cuyo conocimiento adquirimos con la razn; no necesita la comprobacin matemtica alguna. Son todos ellos universalmente admitidos. Como hemos dicho pueden ser de tres tipos: a) PRINCIPIO AXIOMTICO O AXIOMA: Proposicin evidente por s misma. Ejemplo: La distancia mnima entre dos puntos de un plano es una lnea recta. b) PRINCIPIO DEFINITORIO O DEFINICIN: Nos expresa la construccin o generacin de una magnitud. Ejemplo: Trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. c) PRINCIPIO HIPOTTICO, POSTULADO O LEY EMPRICA: Toda proposicin que sin ser axioma (no es evidente por s misma) sirve de base explicativa del fenmeno fsico. Como fcilmente puede deducirse, la formulacin de un postulado o hiptesis debe proceder de una minuciosa comprobacin experimental, cuya probabilidad de certidumbre aumenta en funcin directa del mayor nmero de hechos verificables y comprobables con ella. Ejemplo: Principio Ley de gravitacin universal de Newton. Del anlisis razonado de todas estas herramientas primeras de trabajo y estudio, concluimos que todas ellas vienen marcadas por una pauta lineal y continua: sea cual sea el punto de partida por el que iniciamos el estudio de un fenmeno, ste viene determinado por imposiciones de la naturaleza. Es de notar, sin embargo, que, conforme el estudio cientfico avanza y profundiza ms, tratando de desentraar la fenomnica del Universo, conforme el hombre ambicioso y aventurero ampla sus horizontes de observacin y anlisis, los principios universales se restringen ms y ms. Y as los que un da fueron considerados como principios, dejan hoy da de serlo, pasando a ser meras consecuencias de principios ms generales, es decir, pueden ser demostrados a partir de stos. A pesar de ellos, por razones de tipo histrico, se sigue empleando para aquellos la de- nominacin genrica con que antao se les catalogaba. (Principio de Pascal, Principio de Arqu- medes, etc.). Dichos principios son actualmente simples teoremas y de esta manera debera de- nominrseles. 12 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS 6. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR I 5. Leyes. Constantes fsicas De los principios y de sus aplicaciones a fenmenos determinados y concretos se extrae la LEY FSICA. sta es pues, en general, un hecho, una verdad restringida por la aplicacin de los principios a circunstancias particulares de instrumentacin y medio; concreta la medida de las magnitudes f- sicas permitiendo, en fin, establecer relaciones de variacin entre unas y otras. Expresada la ley mediante una frmula matemtica significa una idea, debiendo ser por su reducido alcance lo ms sencilla posible. Podramos afirmar de una ley Fsica formulada que salta de la pizarra su configu- racin conceptual y su significacin sencilla y clara! En su forma ms general podramos expresar matemticamente una ley de la siguiente forma: a = f(b, c, d, ...). Es decir, el valor de la magnitud a depende de los valores de las magnitudes b, c, d, etc. LAS CONSTANTES FSICAS que intervienen en las frmulas que expresan las leyes, pueden ser UNI- VERSALES O CIRCUNSTANCIALES, segn que su valor sea siempre el mismo, cualesquiera que sean las condiciones del lugar, tiempo, temperatura, etc., o bien dependa de las condiciones en que el fenmeno se realiza. Ejemplos: la constante de gravitacin G, la de los gases perfectos R, la carga de un electrn e son constantes universales. La velocidad inicial v0, la constante de la ley de Boyle- Mariotte K, el coeficiente dielctrico de un medio e... son constantes circunstanciales. I 6. Teora y teorema Un paso ms adelante en el desarrollo estructural de la elaboracin sistemtica nos lleva a considerar el trmino genrico de TEORA, entendindose como tal la deduccin y planificacin de los fenmenos particulares que, a la luz de principios y leyes, pueden ser estudiados y comprendidos. Como instrumento inseparable del desarrollo terico acudimos en general a la lgica y en particular al razonamiento matemtico. Llegamos finalmente a la cspide de esta gran pirmide cientfica que constituye la Fsica mediante la aceptacin de las conclusiones lgico-matemticas que la formulacin de una Ley nos determina y que denominamos con la palabra TEOREMA. Expresin viva y sencilla del smbolo matemtico a que reducimos el fenmeno cientfico, la cual nos da la esencia viva del fenmeno mismo frente a la fra e inerte expresin de una frmula. B) MAGNITUDES FSICAS. UNIDADES I 7. Magnitud y cantidad MAGNITUD es todo aquello susceptible de medida. Ejemplo: La longitud, la masa, el tiempo, son magnitudes, ya que pueden medirse. MEDIR es comparar dos magnitudes de la misma especie, una de las cuales se toma como UNI- DAD. Ejemplo: Si A y B son magnitudes de la misma especie, y se toma A como unidad, el nmero de unidades A que se necesitan para hacer una magnitud igual a B expresa la medida de B. CANTIDAD DE UNA MAGNITUD es el nmero de unidades a que es equivalente dicha magnitud. Ejemplo: El tiempo es una magnitud; siete aos es una cantidad. I 8. Unidad: expresin de una medida UNIDAD es una cantidad arbitraria que se adopta para comparar con ella cantidades de su misma especie. En la eleccin de una unidad influye la extensin de la cantidad a medir. Ejemplos: Para la medida de la distancia de la Tierra a una estrella de las llamadas lejanas escogeremos el ao luz; para la distancia entre dos ciudades el kilmetro; en la venta de un cable el metro; en la medida del espesor de una lmina el milmetro y para la medida de la longitud de onda de la luz la milimicra o el angstrm (). No es necesario que sean stas las unidades empleadas; siempre que nos convenga podemos tomar como unidad cualquier cantidad arbitraria: si llamamos A a una cantidad (superficie en la Fig. I-1), la cantidad B equivale a 4A; hemos medido B adoptando A como unidad. La expresin de una medida es un nmero concreto, es decir, un nmero (veces que la cantidad contiene a la unidad) seguido del nombre o expresin de la unidad empleada en la medida (500 kilmetros; 26 metros; 2 milmetros). I 9. Condiciones que debe reunir la unidad. Unidad natural En toda unidad de medida se debe poder determinar la igualdad y la suma. Ejemplo: adopta- da una determinada longitud como unidad metro, ha de poder establecerse qu magnitud es igual a un metro y qu magnitud contiene dos, tres, cuatro veces a nuestra unidad. De aqu nace el concepto de mltiplo (km = 1 000 m) empleado, a su vez, como unidad en medidas adecuadas. Este criterio de suma, que nos lleva a establecer mltiplos, nos da como consecuencia la posibilidad de conseguir submltiplos o divisores de la unidad, pues si el km se puede dividir en 1 000 partes MAGNITUDES FSICAS. UNIDADES 13 Fig. I-1. La medida de B es 4A. A B A A A A 7. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR iguales (metro), el metro goza necesariamente de la misma propiedad, obtenindose fracciones de la unidad que, a su vez, nos sirven como unidad cuando pueda interesarnos. Con la intencin de llegar a establecer en su da unidades nicas adoptadas universalmente para lo que llamaremos magnitudes fundamentales, y siempre con la idea de elegir conveniente el trmino adecuado para la extensin de la cantidad a medir, los organismos de carcter internacional [La Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), el Comit Internacional de Pesas y Medi- das (CIPM) y la Unin Internacional de Fsica Pura y Aplicada (UIFPA)] recomiendan para prefijos, smbolos y valores correspondientes a las unidades simples del Sistema Internacional (SI), que posteriormente definiremos, los indicados en la tabla adjunta. Un proceder unnime en esta lnea, nos proporcionara un mejor entendimiento y una mayor fluidez en el lenguaje cientfico, adems de una mejor comprensin en el orden de la magnitud de la cantidad a medir. Ejemplo: debemos tener en cuenta que para expresar una fuerza determinada, 1 kilogramo-fuerza por ejemplo, tambin se puede decir 10 newtones () o 106 dinas; o que 1 caballo de vapor es 75 kilogrmetros por segundo o 735 julios por segundo; esta pluralidad de formas para expresar lo mismo, es indudable que desconcierta al interlocutor y le dificulta el dar- se cuenta de la cantidad expresada. Existen en la naturaleza cantidades de una magnitud sin posibilidad de poderse encontrar divisores de ella, a tal cantidad la llamamos UNIDAD NATURAL de la magnitud; existen mltiplos enteros de ella pero nunca una fraccin. Decimos de tal magnitud que est cuantificada y a la unidad la llamamos quantum. As por ejemplo: la energa luminosa que emite un foco no vara de forma continua, existe para cada frecuencia una cantidad mnima, llamada fotn y que es indivisible. La UNIDAD NATURAL de energa electromagntica es la energa de un fotn. I 10. Magnitudes fundamentales y suplementarias Son MAGNITUDES FUNDAMENTALES aquellas cuyas unidades se eligen arbitrariamente tomndose como base de los sistemas de unidades y no tienen una ecuacin que las defina. Como los fenmenos fsicos se realizan en el espacio mientras transcurre el tiempo; la Natura- leza nos impone, as, dos magnitudes fundamentales: LONGITUD (L) y TIEMPO (T), sin definicin precisa, cuya existencia conocemos desde que se inicia nuestra razn. En la parte de la Fsica llamada Mecnica, es necesaria una tercera magnitud fundamental definida por nuestra propia intuicin que, con las dos anteriores, permita definir de una manera co- herente las dems magnitudes que intervienen en los fenmenos mecnicos; tal magnitud se elige arbitrariamente: en Fsica terica se usa la MASA (M) y en la tcnica la FUERZA (F). Muchos fenmenos fsicos varan segn la homogeneidad del espacio, en particular en electricidad, teniendo que introducir para su estudio, otra magnitud fundamental llamada COEFICIEN- TE DIELCTRICO o PERMITIVIDAD (e) que nos mide la variabilidad del espacio, desde el vaco hasta el ms complicado medio heterogneo; o bien, sta quedar definida si se toma a la INTENSIDAD DE CORRIENTE (A) como magnitud fundamental, por lo que puede tomarse como tal a la una o a la otra. Al variar el equilibrio energtico dentro del caos molecular en los sistemas fsicos, es necesario para el estudio de la Termologa introducir como magnitud fundamental la TEMPERATURA (q) que esencialmente nos caracteriza esta situacin. No pudiendo ser eludido, que los fenmenos pticos, deban ser observados por nuestros ojos, y que la retina tenga unas propiedades que provocan gran variedad de sensaciones, cuya medida entra dentro de la Psicologa Experimental, se hace necesario introducir en el estudio de la Foto- metra la magnitud fundamental INTENSIDAD LUMINOSA (J) que de alguna manera nos mide la sensa- cin de luminosidad en el ojo humano. Como se ver ms adelante, es necesario distinguir entre la magnitud fundamental masa y la que vamos a llamar CANTIDAD DE SUSTANCIA, (N); completndose, con esta ltima eleccin arbitraria, el cuadro de magnitudes fundamentales (L, T, M, A, q, J y N) que actualmente se utilizan en Fsica. Son MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS, EL NGULO PLANO, definido como la porcin de plano limitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto; a este punto se le llama vrtice y a las semirrectas lados del ngulo; y el NGULO SLIDO definido como cada una de las porciones del espacio limitadas por una superficie cnica. Ambas magnitudes son puramente geomtricas y todava no se ha decidido si son fundamentes o derivadas. I 11. Unidades patrones Elegidas convencionalmente las magnitudes fundamentales (como se explicar ms adelante), los diferentes Congresos Cientficos Internacionales fijaron las unidades llamadas PATRONES, cuyas definiciones han ido variando con las exigencias de superior precisin en las trmicas metrolgi- cas, y que exponemos a continuacin. La unidad de LONGITUD es el METRO (m): distancia a cero grados centgrados, entre dos trazos paralelos hechos en una barra de platino con 10% de iridio, que se conserva en el Museo Nacional de Pesas y medidas de Sevres, aproximadamente igual a la diezmillonsima parte del cuadrante 14 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS Factor Prefijo Smbolo 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto Y Z E P T G M k h da d c m n p f a z y 8. del meridiano terrestre. El 16 de octubre de 1960 la Conferencia General cambi la definicin clsica del metro, tomando como nuevo patrn (nuevo metro) a 1 650 76373 longitudes de onda, en el vaco, de la radiacin correspondiente a la transicin entre los niveles 2p10 y 5d5 del tomo de cripton 86. Debido a las constantes exigencias de superior precisin, en octubre del 86 la Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en esta fecha en Pars, define nuevamen- te el metro como la longitud recorrida en el vaco por las ondas electromagnticas durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo (lo que nos indica que la velocidad de estas ondas es 299 792 458 m/s)*. La unidad de MASA es el KILOGRAMO (kg), es la masa del prototipo de platino iridiado sanciona- do por la Conferencia General de Pesas y medidas en 1901 y depositado en el pabelln de Brete- nil de Sevres. Este prototipo tiene forma cilndrica, contiene aproximadamente el 90% de platino y el 10% de iridio, y su masa es muy aproximada a la de un litro de agua destilada a cuatro grados centgrados. Actualmente se define en funcin de la masa de los tomos como se ver ms adelante. La unidad de TIEMPO es el SEGUNDO (s): 1/86 400 del da solar medio. (86 400 es el nmero de segundos del da solar medio, que se obtiene multiplicando 24 horas del da, por 60 minutos de la hora y por 60 segundos del minuto). DA SOLAR MEDIO es la duracin media de los das solares del ao, determinadas por el tiempo que tarda el Sol, en su movimiento aparente en realizar un giro en torno a la Tierra. La XI conferencia General de Pesas y medidas de 1960 defini el SEGUNDO como la fraccin igual a 1/31 556 925,974 7 del ao trpico para enero de 1900, cero a doce horas del tiempo efemrides. Si bien, el patrn segundo astronmico es ms exacto que el segundo solar medio, se necesita- ba de un patrn material comparable a los prototipos metro patrn y kilogramo patrn; por lo que la XIII Conferencia General de 1967-68, adopt para EL SEGUNDO el patrn atmico de frecuencia definido como la duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del tomo de cesio 133. La unidad de INTENSIDAD DE CORRIENTE ELCTRICA es el AMPERIO (A) definido como la intensidad de una corriente elctrica constante que, mantenida entre dos conductores paralelos rectilneos, de longitud infinita, de seccin circular despreciable y colocados en el vaco a una distancia de un metro uno de otro, produce entre estos dos conductores una fuerza igual a 2 107 newtons por metro de longitud. La unidad de TEMPERATURA es el KELVIN (K) definido como grado de la escala termodinmica de las temperaturas absolutas, en la cual la temperatura del punto triple del agua es 273,16 K, por tanto es la fraccin 1/273,16 de la temperatura termodinmica del punto triple del agua. La unidad ptica de INTENSIDAD LUMINOSA es la CANDELA (cd) definida como la intensidad luminosa en una direccin determinada de una abertura perpendicular a esta direccin, que tenga una superficie de 1/600 000 metro cuadrado y radie como una radiador integral o cuerpo negro a la temperatura de fusin del platino (2 043 K = 1 770 C), bajo la presin de 101 325 pascales. I 12. Sistemas de unidades Llamamos SISTEMA DE UNIDADES al conjunto de stas que resulta de escoger determinadas unidades simples. La eleccin del sistema de unidades no se hace, en general, atendiendo a las magnitudes fundamentales; puesto que se eligen unidades simples que tienen con las fundamentales una depen- dencia funcional. As, por ejemplo, elegimos en el sistema tcnico como unidad por su dependen- cia con la masa, la magnitud fuerza. Esta unidad es el KILOPONDIO o KILOGRAMO-FUERZA; fuerza con que el kilogramo patrn es solicitado hacia la Tierra, al nivel del mar y 45 de latitud. En este sistema la unidad de masa es una unidad derivada y se llama UNIDAD TCNICA DE MASA. Ya hemos indicado la conveniencia de tomar universalmente un nico sistema de unidades; hoy por hoy es una cuestin de adaptacin y trnsito por lo que el lenguaje cientfico no est suje- to a las normas dadas por las CGPM, teniendo el lector que adquirir cierta flexibilidad en el empleo de sistemas de unidades y resultar, por decirlo as, polglota, lo cual le facilitar la comunicacin entre gentes cuyos intereses particulares estn situadas en diversos campos; por lo que entramos a definir los distintos sistemas que hoy suelen utilizarse, pero siempre, dndole la mxima importan- cia al que llamaremos sistema internacional. En mecnica emplearemos los siguientes sistemas: SISTEMA CEGESIMAL (CGS); sus unidades simples son el centmetro de longitud, el gramo de masa y el segundo de tiempo. SISTEMA GIORGI (G), o MKS; sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa y el segundo de tiempo. SISTEMA TCNICO; sus unidades simples son: el metro, el kilopondio o kilogramo fuerza y el segundo. En electricidad emplearemos: SISTEMA DE UNIDADES ELECTROSTTICAS; sus unidades simples son el centmetro de longitud, el gramo de masa, el segundo de tiempo y el coeficiente dielctrico para MAGNITUDES FSICAS. UNIDADES 15 * Obsrvese que la tendencia en la bsqueda de un patrn internacional es que su definicin sea de naturaleza universal, y no basada en ningn artilugio artificial susceptible de variaciones temporales. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR 9. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR UNIDADES FUNDAMENTALES EN EL SI Magnitud fsica Unidad Abreviatura Longitud Masa Tiempo Corriente elctrica Temperatura Intensidad luminosa Cantidad de sustancia Metro Kilogramo Segundo Amperio Kelvin Candela Mol m kg s A K cd mol el vaco e0 = 1/4p. SISTEMA GIORGI ELCTRICO; sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa, el segundo de tiempo y el amperio de intensidad. SISTEMA INTERNACIONAL (SI): sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa, el segundo de tiempo, el amperio de intensidad, el kelvin de temperatura, la candela de intensidad luminosa y el mol de cantidad de sustancia. Como vemos es el sistema GIORGI AMPLIADO, cuya extensin debe hacerse a todo tipo de aplicacin Cientfica o Tcnica, es el que fundamental- mente adoptaremos en este libro. En este sistema se distingue entre MASA, como coeficiente carac- terstico de cada partcula o cuerpo, que determina su comportamiento cuando interacta con otras partculas, y la magnitud CANTIDAD DE SUSTANCIA que nos define la cantidad de elementos o com- posiciones qumicas que llevan los cuerpos; esta magnitud es diferente de la masa y evidencia que la antigua definicin de masa como cantidad de materia es errnea. Se define el MOL como: la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales (tomos, molculas, iones...) como tomos de carbono hay en 0.012 kilogramos de Carbono 12. Su smbolo es mol. Como veremos en el captulo XII y en consecuencia, el valor de 1 u (UNIDAD UNIFICADA DE MASA ATMICA), ser, teniendo en cuenta que 1 u es la doceava parte de la masa de un tomo del istopo 12 del Carbono y que 0,012 kg de Carbono 12 contiene 6,022 1023 tomos/mol (NMERO DE AVOGADRO): 1 u = 0,012/12 6,022 1023 = 1,660 6 10 27 kg. As por ejemplo sabemos que un mol de hidrgeno contiene dos gramos de hidrgeno, uno de oxgeno contiene 32 gramos de oxgeno, uno de agua 18 gramos de agua... Luego iguales cantidades de sustancia (un mol) contienen generalmente diferentes masas; diferencia evidente entre masa y sustancia. En una reaccin qumica pueden variar el nmero de moles sin cambiar la masa. Tambin es importante la medicin del sistema ABSOLUTO INGLS, utilizado en los pases de ha- bla inglesa, en los que se eligen como unidades simples: el pie de longitud, la libra de masa, el segundo de tiempo, y el amperio de intensidad de corriente. Expresamos a continuacin, algunas unidades distintas a las ya definidas, que son normalmente utilizadas en los distintos medios de trabajo; dando su equivalencia en el SI: 16 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS MASA LONGITUD 1 gramo (g) 1 tonelada mtrica (t) 1 libra-masa (lbm) 1 slug 1 ton, long (2 240 lb) 1 ton, short (2 000 lb) 1 unidad de masa atmica (u) 1 unidad tcnica de masa (utm) = 103 kg = 103 kg = 0,453 6 kg = 14,59 kg = 1 016 kg = 907,2 kg = 1,661 1027 kg = 9,806 kg 1 micra () 1 milimicra (m) 1 angstrm () 1 unidad X (uX) 1 fermi (fm) 1 ao luz 1 parsec (pc) 1 milla* (mile) 1 pie (ft) 1 pulgada (in) 1 yarda (yd)** = 106 m = 109 m = 1010 m = 1013 m = 1015 m = 9,65 1015 m = 3,07 1016 m = 1 609 m = 0,304 8 m = 2,54 102 m = 0,914 4 m TIEMPO INTENSIDAD DE CORRIENTE ELCTRICA 1 ao (a) 1 da (d) 1 hora (h) 1 minuto (min) = 3,156 107 s = 84 400 s = 3 600 s = 60 s 1 UEEI = 3,336 1010 A ** Esta es la milla terrestre. La milla marina equivale a 1 852 m. ** Definida como unidad bsica de longitud para todos los pases anglosajones en 1854, como la distancia existente entre dos lneas trazadas sobre dos botones de oro fijos sobre una barra de platino que se conserva en Londres (1 yd = 3 ft). I 13. Magnitudes derivadas. Medidas indirectas Una MAGNITUD es DERIVADA cuando queda terminantemente definida empleando magnitudes simples. Ejemplo: al decir que un automvil lleva una velocidad de 60 kilmetros por hora, nom- bramos una cantidad que corresponde a una magnitud derivada o compuesta, ya que en su determinacin necesitamos la medida de una longitud (por medio de los pilotes que nos sealan distancias en la carretera, por ejemplo) y de un tiempo (por medio de un reloj o un cronmetro), la velocidad es una magnitud derivada. Las magnitudes fundamentales o simples, son elegidas convencionalmente, las dems tendrn que depender de ellas; por tanto, el que una magnitud sea simple o derivada ser arbitrario. Ya hemos indicado que en el CGS y SI la masa es fundamental, y derivada en el sistema TCNICO. 10. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR Realizamos una MEDIDA INDIRECTA cuando medimos una cantidad a costa de otras que se rela- cionan con aquella por medio de una frmula matemtica. La determinacin de una magnitud derivada requiere: a) Su definicin correcta, clara y conci- sa. b) Establecer una frmula matemtica en la que se compendien todas las ideas expresadas en la definicin. c) Fijar unidades de medida. Una vez comprendida y aprendida la definicin de una magnitud fsica, hay que expresarla por medio de una frmula. La FRMULA es, en Fsica, la expresin de una idea. Ejemplo: Un automvil ha recorrido 180 km en 3 horas. Cuntos kilmetros ha recorrido de una hora? Un nio operara as: 180 km/3 horas = 60 km recorridos en una hora; y es que, el cociente de dos n- meros concretos indica el reparto de la magnitud numerador, entre cada una de las unidades del denominador. As, se comprende, que cuando se define velocidad media como el espacio medio recorrido en la unidad de tiempo, si llamamos s al espacio o camino recorrido y t al tiempo empleado en recorrerlo, formularemos sin duda: En ocasiones se deber actuar a la inversa: de unas letras y signos matemticos, se habr de traducir a palabras sencillas, la esencia viva de todas esas frmulas que parecen fras y muertas. Ejemplo: nos dan la siguiente frmula: masa especfica media = masa/volumen, o con representa- cin literal: . Nos preguntan: Qu es masa especfica media? Contestaremos sin dudar: masa especfica media es la masa que corresponde a cada unidad de volumen. I 14. Unidades derivadas y suplementarias Para fijar unidades derivadas, basta considerar la frmula de la magnitud, expresando las unidades simples en el sistema que se desee adoptar. De acuerdo con las XII y XIV Conferencia General de Pesas y Medidas, adoptamos como unidades suplementarias y derivadas las que se definen en el cuadro de la siguiente pgina. La unidad de magnitud suplementaria NGULO PLANO es el RADIN (rad) definido como: ngulo plano que, teniendo su vrtice en el centro de un crculo, intercepta sobre la circunferencia de este crculo, un arco de longitud igual al radio. La unidad de la magnitud suplementaria NGULO SLIDO (w) es el ESTEREORRADIAN (sr) definido como: el ngulo slido que teniendo su vrtice en el centro de una esfera, abarca sobre la superficie de sta un rea equivalente al cuadrado del radio. Segn esta definicin, dividiendo el rea (A) de la porcin de la esfera que se limita, por el cuadrado del radio de sta, (R2 ), tendremos medido el ngulo slido en estereorradianes, es decir: w = A/ R2 . As por ejemplo, a la superficie total de la esfera (A = 4pR2 ), le correspondern w = 4p sr. (Ver tabla de unidades suplementarias y derivadas en la pgina siguiente.) PROBLEMAS: 1 al 4. I 15. Ecuacin de dimensiones Toda magnitud derivada se puede expresar por medio de un producto, ECUACIN DE DIMENSIO- NES, de las unidades simples y expresan la manera de intervenir en su formacin. Para que el anlisis que realizamos a continuacin sea lo ms sencillo posible, empleamos so- lamente tres magnitudes fundamentales, pudindose generalizar a tantas como se quiera. Repre- sentaremos por L, M y T las unidades, cualesquiera que sean, de longitud, masa y tiempo (unidades simples de los sistemas CGS y GIORGI); y por L, F y T las de longitud, fuerza y tiempo (unidades simples en el SISTEMA TCNICO). La ecuacin de dimensiones de una magnitud S en base L, M y T se escribir de la forma: [S] = La Mb Tc Ejemplos: una superficie, producto de dos dimensiones lineales, tendr por ecuacin de dimensiones: [superficie] = L L = L2 . De la misma forma [volumen] = L L L = L3 , [velocidad] = L/T = LT 1 . La ecuacin de dimensiones sirve para relacionar las unidades de los diversos sistemas. As, para ver las veces que una unidad de un sistema contiene a la correspondiente de otro, basta sustituir en su ecuacin de dimensiones cada unidad simple por su equivalente en el nuevo sistema. Ejemplo: para reducir km/h a cm/s, como [v] = LT 1 pondremos 1 km/h = 105 (60 60)1 = = 27,78 cm/s. Las magnitudes suplementarias son adimensionales. En efecto: consideremos por ejemplo el caso de un ngulo como el de la Fig. I-2, lo podemos medir considerando j como el cociente entre dos magnitudes, s y R, pudiendo expresarlo como magnitud derivada: j = s/R; pero tanto el arco s como el radio R se miden en unidades de longitud y ambas tienen la dimensin L, luego: [j] = L/L = 1 y la unidad del ngulo plano j = 1 rad es la unidad de una magnitud adimensional. Radin, grado y estereorradin no son unidades reales, sino descripciones del modo en que se r = M V/ velocidad media espacio tiempo v s t = = ECUACIN DE DIMENSIONES 17 Fig. I-2. El ngulo j es una magnitud adimensional, por ser el cociente de dos longitudes. 11. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR miden el ngulo plano y el ngulo slido. Muchas magnitudes utilizadas en Fsica son adimensionales; un ejemplo ms de stas es el coeficiente de las adiabticas, definido por el cociente entre dos calores especficos de idnticas dimensiones. I 16. Homogeneidad de las frmulas fsicas Para que la frmula representativa de una ley que nos relaciona diversas magnitudes fsicas sea correcta, debe ser homognea; es decir: las ecuaciones dimensionales de sus dos miembros deben ser idnticas. As, si una magnitud S tiene por ecuacin de dimensiones: [S] = La Mb Tc cuando viene expresada en funcin de otras tres P, Q y R por la frmula: [ ] [ ] [ ]P L M T Q L M T R L M Ta b c a b c a b c = = =1 1 1 2 2 2 3 3 3 siendo: S P Q Rx x x = 1 2 3 18 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS UNIDADES SUPLEMENTARIAS Y DERIVADAS Magnitud Unidad Smbolo Expresin en otras unidades SI UNIDADES SUPLEMENTARIAS ngulo plano ngulo slido radin estereorradin rad sr UNIDADES DERIVADAS Superficie Volumen Frecuencia Densidad Velocidad Velocidad angular Aceleracin Aceleracin angular Fuerza Presin (tensin mecnica) Viscosidad cinemtica Viscosidad dinmica Trabajo, energa, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad Tensin elctrica, diferencia de potencial, fuerza electromotriz Intensidad de campo elctrico Resistencia elctrica Conductancia elctrica Capacidad elctrica Flujo de induccin magntica Induccin electromagntica Induccin magntica Intensidad de campo magntico Fuerza magnetomotriz Flujo luminoso Luminancia Iluminacin Nmero de ondas Entropa Calor especfico Conductividad trmica Intensidad energtica Actividad (de una fuente radiactiva) metro cuadrado metro cbico hertz kilogramo por metro cbico metro por segundo radin por segundo metro por segundo cuadrado radin por segundo cuadrado newton pascal metro cuadrado por segundo pascal por segundo julio vatio culombio voltio voltio por metro ohmio siemens faradio weber henrio tesla amperio por metro amperio lumen candela por metro cuadrado lux una onda por metro julio por kelvin julio por kilogramo kelvin vatio por metro kelvin vatio por estereorradin una desintegracin por segundo m2 m3 Hz kg/m3 m/s rad/s m/s2 rad/s2 N Pa m2 /s Pa s J W C V V/m S F Wb H T A/m A lm cd/m2 lx 1/m J/K J/(kg K) W/(m K) W/sr Bq 1/s kg m/s2 N/m2 N s/m2 N m J/s A s W/A V/A A/V C /V V s Wb/A Wb/m2 cd sr lm/m2 1/s 12. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR tendr que verificarse: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = a b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = b c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 = c que sern las CONDICIONES DE EQUIDIMENSIONALIDAD (HOMOGENEIDAD) de la magnitud S. PROBLEMAS: 5 al 16. C) CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA. ERRORES EN LAS MEDIDAS I 17. Cualidades de los aparatos de medida FIDELIDAD. Decimos que un instrumento de medida es fiel cuando realizando diversas medidas de una misma magnitud en las mismas condiciones los resultados obtenidos son idnticos. EXACTITUD. Un aparato de medida es exacto cuando la medida realizada con l nos da justamente el valor de la magnitud fsica. PRECISIN. Es la mnima variacin de una magnitud que un instrumento de medida puede determinar. Ejemplo: una precisin de 0,1 mg en una balanza, indica que podemos dar sin error la cuarta cifra decimal de una masa expresada en gramos. SENSIBILIDAD. Un aparato de medida es tanto ms sensible cuanto menor es el valor de su precisin es decir, cuando aprecia menores variaciones en el valor de la magnitud a medir. Ejemplo: una balanza capaz de apreciar 0,1 mg es 10 veces ms precisa que la que aprecia sola- mente 1 mg. I 18. Errores o incertidumbres de las medidas La precisin necesaria de una medida fsica depende, tanto de la naturaleza de la magnitud a medir, como de su tamao. Ejemplo: tan absurdo sera pretender fijar la distancia entre dos ciudades con errores menores que un milmetro, como despreciar esta unidad en el espesor de una cha- pa de oro. La Fsica emplea procedimientos adecuados en cada caso, estudiando los posibles errores, siendo tan inconveniente el obtener resultados pobres en fracciones que los aparatos pueden medir, como el ampliar el nmero de cifras decimales por un simple clculo, rebasando los lmites de precisin del aparato. ERROR ABSOLUTO (e) es la diferencia entre la medida exacta de una magnitud y la medida obte- nida experimentalmente, la cual se considera con signo positivo. ERROR RELATIVO (E) es el cociente del error absoluto (e) entre el valor exacto de la magnitud (M). Su significado es el tanto por uno de error o error cometido por cada unidad de M. Multipli- cando por 100 el error relativo obtenemos el tanto por ciento de error. Ejemplo: un error relativo de 0,003 en la medida de una longitud, quiere decir que en cada metro hay una equivocacin correspondiente a 3 milmetros, y se obtendr un 0,3% de error en la medida efectuada. Los errores pueden ser sistemticos y accidentales. Los SISTEMTICOS son derivados, casi siempre, de una defectuosa construccin de los aparatos de medida y se evitan, en cierto modo, realizando las medidas con aparatos diversos y hallando la media aritmtica de los resultados obtenidos. Los errores ACCIDENTALES dependen de las condiciones fisiolgicas, y aun psquicas, del observador, as como de la iluminacin de los aparatos y dems circunstancias de ambiente que rodeen al experimentador. Se disminuye el valor de este error realizando numerosas medidas y obteniendo la media aritmtica de ellas. I 19. Clculo del error de una medida Aunque hayamos definido error como la diferencia entre la medida exacta de una magnitud y el valor obtenido experimentalmente, se comprende que no podemos conocer tal medida exacta ya que ste es el objetivo ideal de nuestras experiencias. Por ello, como la probabilidad de compensacin de errores accidentales crece con el nmero de medidas, tomamos como valor experimental la media aritmtica de los valores encontrados, repitiendo, cuantas ms veces mejor, la medida de la magnitud. El error de la media aritmtica queda determinado por la frmula de Gauss: e = 1 2 1 n ix x n n ( ) ( ) E M = e ERRORES 19 13. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR xi = valor de una medida; valor de la media aritmtica; n = nmero de medidas. Con lo que la forma de expresar el resultado de la medida ser: , y el error relativo: en tanto por ciento. I 20. Clculo del error relativo en medidas indirectas Supongamos que la magnitud a queda determinada al conocer las medidas de b y c por la frmula: en la que k, n y m son constantes conocidas. Se trata de calcular el error relativo de a una vez cal- culados los de b y c, como se ha hecho en el prrafo anterior. Tomando logaritmos neperianos en la expresin anterior: ln a = ln k + n ln b m ln c sustituyendo las diferenciales por incrementos finitos, haciendo positivos todos los trminos del segundo miembro: quedando as determinado el error mximo de a en funcin de los de b y c. Se ha dado signo + a todos los trminos del segundo miembro puesto que la probabilidad de errores accidentales por exceso y defecto es la misma y de esta manera nos colocamos en las condiciones ms desfavorables (sin compensacin de errores) obteniendo el mximo error relativo. I 21. Acotacin de errores En una medida directa, el valor de la magnitud problema est comprendido entre los valores mximo y mnimo obtenidos al realizar varias determinaciones experimentales. Las cifras comunes de tales medidas extremas, pueden considerarse ciertas. En el caso de las medidas indirectas nos pondremos en las condiciones ms desfavorables, para obtener los valores extremos, es decir si: calcularemos el valor mximo de la medida de a, empleando el valor mximo experimental de b, y el mnimo de c; para obtener el mnimo valor de la medida de a, emplearemos el mnimo de b, y el mximo de c; a estar comprendida entre los dos valores obtenidos y las cifras comunes de ellos pueden considerarse como ciertas. PROBLEMAS: 17 al 26. D) MEDIDA DE LONGITUDES, TIEMPOS Y MASAS. DENSIDAD La MEDIDA de una magnitud, como ya se ha dicho, est condicionada a la cantidad y al grado de precisin requerido. Los rdenes de las magnitudes fsicas cubren un dominio muy grande; as por ejemplo las masas estn comprendidas entre la del Universo y la masa casi infinitesimal que las teoras actuales le atribuyen al neutrino; existen rangos enormes de tiempos, presiones, velocidades, densidades u otras magnitudes. En las tablas adjuntas a este apartado expresamos los rangos de las magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo. Empleamos dos mtodos para obtener medidas, el que llamaremos DIRECTO que consiste en efectuar una lectura de un aparato que nos da la cantidad de la magnitud a medir y el INDIRECTO en el que se procede a aplicar la teora de un fenmeno fsico y mediante clculos matemticos llegamos al valor de la magnitud a medir. I 22. Medida de pequeas distancias. Mtodo de Fermi para la medida del radio del ncleo de los tomos Enrico Fermi (1901-1958) realiz la medida del radio de los ncleos de los tomos obteniendo que eran del orden de 1 a 6 veces 10 15 m; para obtener el valor de la seccin eficaz (s) del ncleo hizo pasar un haz de partculas de alta energa a travs de una delgada lmina de material y midi el nmero de partculas que no lo atraviesan por detenerse o deflectarse al encontrarse con la masa concentrada del ncleo; las partculas que atraviesan la lmina pasan sin dificultad a travs de la nube de electrones. Realizando el experimento con una lmina de espesor de un centmetro, a k b c = 2 3 E a a n b b m c c = = + da a n db b m dc c = diferenciando: a k b c n m = E x= 100 e/x e x = 20 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS 14. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR VALORES APROXIMADOS DE ALGUNAS LONGITUDES LONGITUD METROS Lmite experimental en la determinacin de la estructura nuclear Dimetro del protn Dimetro del tomo Longitud de un ribosoma Longitud de onda de la luz visible Tamao de las clulas de la mayor parte de los organismos vivientes Tamao de las partculas de polvo ms pequeas Altura de los seres humanos Radio de la Tierra Distancia media Tierra-Luna Radio del Sol Radio promedio de la rbita de la Tierra Distancia promedio Sol-Plutn Un ao luz Distancia de la Tierra a la estrella ms cercana (-Centauro) Radio de la Va Lctea Distancia de la galaxia ms cercana (M31 la nebulosa de Andrmeda) Radio del Universo visible 1017 1015 1010 1080 1060 1050 1040 1,7 10000 6,4 10600 3,8 10800 6,9 10800 1,5 10110 5,9 10120 9,46 10150 4,3 10160 6 10190 2 10220 1,4 10260 RANGO = 1026 /1017 = 1043 en la que existen cerca de 108 capas atmicas, la probabilidad de que algn ncleo quede detrs de otro es prcticamente nula. Si el nmero de partculas de alta energa que llegan a la lmina es n1 y n2 el nmero de las que salen por el otro lado, la diferencia n1 n2 sern las partculas que no han atravesado la l- mina. Medimos la fraccin de partculas que no la han atravesado y ser (n1 n2)/n1. Esta fraccin ser igual a la fraccin de rea cubierta por los ncleos, que la obtenemos por el cociente entre la seccin eficaz del ncleo (s) multiplicada por el nmero de tomos (N) que existen en la l- mina, y el rea total de la lmina (A); igualando estas dos fracciones nos quedar: y puesto que el ncleo es aproximadamente esfrico podemos poner: con lo que tenemos hecha la medida del radio del ncleo del tomo de forma indirecta. La medida inmediata superior que se ha podido detectar en la materia es el radio del tomo, con un valor de 10 10 m aproximadamente (su clculo lo veremos en el estudio del tomo) exis- tiendo una laguna en los tamaos a nivel atmico del orden de 10 5 . Comparando el radio nuclear con el radio atmico y teniendo en cuenta que la materia est concentrada prcticamente en el ncleo, obtenemos como conclusin de esta teora que la materia presenta enormes es- pacios vacos. Esto no impide que existan longitudes de onda de radiaciones electromagnticas tales como las de los rayos X y los g con tamaos comprendidos entre 10 10 y 10 15 m; no queremos decir que en este intervalo exista una total ausencia en los tamaos fsicos. El ojo humano es incapaz de detectar longitudes de onda menores que la ms pequea de la luz visible, es decir, 5 10 7 m. A partir de esta medida empleamos microscopios electrni- cos que funcionan con longitudes de onda menores que 5 10 7 m (rayos X) que impresio- nan las placas fotogrficas. Por este mtodo podemos obtener por ejemplo la medida de la separacin entre los ncleos de los tomos en los cristales (constantes reticulares de Bragg), estas medidas estn comprendidas entre 5 10 7 y 10 10 m. A partir de 5 10 7 en adelante existen infinidad de instrumentos (Microscopio con tornillo micromtrico, calibre, palmer, etc.) con los que medimos directamente. I 23. Medida de longitudes y ngulos: nonius El NONIUS o vernier es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ngulos. El empleado para medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que se desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma que n 1 divisiones de la regla se di- viden en n partes iguales en el nonius. Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una divisin del nonius es: d = D (n 1)/n. Se llama PRECISIN a la diferencia entre las longitudes de una divisin de la regla y otra del nonius. Su valor es: As, si cada divisin de la regla tiene por longitud un milmetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precisin es de 1/10 de mm (nonius decimal; Fig. I-3). Para efectuar una medida se hace coincidir el extremo A del cuerpo a medir con el extremo de la regla. El otro extremo quedar, en general, comprendido entre dos divisiones, en el caso de la Fig. I-4 entre las divisiones 3 y 4. Si la regla est dividida en mm, la longitud AB es 3 mm y algo ms. Para determinar esta fraccin se observa qu divisin del nonius coincide con una divisin de la regla; p D d D D n n Dn D n n D n = = = = ( ) ( )1 1 s p p = = = r A N n n n r A n n Nn 2 1 2 1 1 2 1 ? ( ) N A n n n s = 1 2 1 MEDIDA DE LONGITUDES , TIEMPOS Y MASAS. DENSIDAD 21 Fig. I-3. Nonius decimal. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Fig. I-4. Medida de la distancia AB con un nonius decimal. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A B 15. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR en nuestro ejemplo es la divisin 4. La medida realizada es 3D + 4p. En el caso de un nonius decimal, con la regla dividida en milmetros, la medida sera: 3,4 mm. En efecto: desde la divisin 4 del nonius a B hay una distancia igual a 4d. Desde la divisin 3 de la regla a la 4 del nonius hay una distancia igual a 4D. Su diferencia es la fraccin que se trata de determinar (de la divisin 3 de la regla al cero del nonius) y su valor es: 4D 4d = 4 (D d) = 4p Para la medida de ngulos se emplean nonius circulares, cuyo fundamento es el mismo que el del rectilneo, sustituyendo la regla por un limbo graduado y la reglilla por un arco con dimensiones adecuadas, que se puede deslizar sobre aqul (Fig. I-5). El nonius que hemos descrito es el empleado comnmente. Generalizando, realizaramos un nonius tomando n divisiones de la regla y dividindolas en m partes (m > n) en el nonius. Enton- ces, cada divisin del nonius tendra por longitud: d = nD/m, y la precisin sera: I 24. Calibre o pie de rey Es un aparato empleado para la medida de espesores y de dimetros interiores o exteriores de cilindros. Consta de una regla provista de un nonius, cuyo funcionamiento se comprende claramente a la vista de la Fig. I-6. Las piezas 1 y 1 sirven para la medida de espesores (AB). Las piezas 2 y 2, solidarias a las anteriores, se emplean para la medida de dimetros interiores (CD). La pie- za 3 solidaria a las 1 y 2 y que sale del extremo E de la regla, sirve para la medida de profun- didades (EF). I 25. Esfermetro. Palmer El ESFERMETRO es un aparato destinado a la medida de espesores y radios de esferas. Es un trpode sobre el que descansa la tuerca fija de un tornillo, del que se conoce el paso de rosca o avance del tornillo al darle una vuelta completa. El tornillo est provisto de una cabeza circular que seala en una regla el nmero de vueltas completas, ya que la longitud de cada una de las divisiones de la regla es igual al paso de rosca. La cabeza del tornillo est dividida en un cierto nmero de partes iguales. Se llama PRECISIN del esfermetro al avance del tornillo cuando se le gira un ngulo equivalente a una divisin de su cabeza. Si D es el paso de rosca y n es el nmero de divisiones de la cabeza, la precisin es: p = D/n. Para realizar una medida de espesores se hace que el extremo del tornillo toque justamente a la superficie superior del cuerpo a medir, que se encuentra apoyado sobre una superficie plana de vidrio (Fig. I-7). Si la cabeza seala entre las divisiones 6 y 7 de la regla, la lectura es 6d y algo ms. Si la regla seala la divisin 32 de la cabeza, la fraccin es 32D/n y la lectura es: 6D + 32D/n. A continuacin se hace otra lectura apoyando las tres patas y el extremo del tornillo en la superficie plana del vidrio. La diferencia entre las dos, es el espesor que se trata de determinar. Para la medida de radios de esferas se procede de la siguiente forma: apoyadas las patas del esfermetro sobre una superficie esfrica, se hace que el extremo del tornillo toque justamente su cspide. Las patas del esfermetro se habrn apoyado en los puntos A, B y C de la esfera (Fig. I- 8). El tornillo estar apoyado en el punto D. La medida efectuada corresponde a la distancia ED = f (flecha). Si se apoyan las tres patas del esfermetro sobre un papel, quedar determinado el tringulo equiltero ABC, cuyo lado lmedimos (media aritmtica de los tres lados). El radio de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C es: . Aplicando la propiedad de que la perpendicular desde un punto de la circunferencia al dimetro es media proporcional entre los dos segmentos en que ste queda dividido, y llamando R al radio de la esfera (DO), se obtiene: quedando, de esta forma, medido el radio de la esfera. El PALMER (Fig. 1-9) es un aparato destinado a la medida de espesores. Su fundamento es an- logo al del esfermetro. El nmero de vueltas de tornillo lo seala el extremo de una caperuza solidaria al tornillo, sobre una escala fija. Las fracciones de vuelta las seala la lnea de la escala, sobre las divisiones de la caperuza. PROBLEMAS: 27 al 32. r f R f Rf f R f r f 2 2 2 2 2 2 2 = = = + ( ) EA r l= = / 3 p D d D nD m m D m = = = ( )1 22 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS Fig. I-5. Nonius circular. 50 70 90 80 60 40 30 20100 180170160150 140 130 120 110 100 Fig. I-6. Calibre o pie de rey. 10203040506070809010111200 304050 A B 1 2 C D 1 2 E F 3 Fig. I-7. Esfermetro. Fig. I-8. Medida del radio de una esfera con un esfermetro. A D E C B R O 16. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR VALORES APROXIMADOS DE ALGUNOS INTERVALOS DE TIEMPO INTERVALO SEGUNDOS Intervalo de tiempo entre el big y bang y formacin de quarks Tiempo que tarda la luz en cruzar un ncleo de hidrgeno Duracin de una colisin nuclear Perodo de oscilacin de un rayo gamma de1 MeV Vida media de la partcula de mesn0 Perodo de una onda luminosa Perodo detectado por laser, lmite inferior de medida directa Perodo de rotacin tpico de una molcula Perodo de las ondas tpicas de radio Perodo de las ondas sonoras audibles Tiempo entre latidos normales del corazn Un da Un ao Edad del Homo erectus Edad del Sistema Solar Vida del Sol Edad del Universo Vida media del Molibdeno-130 Vida media que se le atribuye al protn 1043 1024 1022 4 1021 1016 2 1015 3 1014 1012 1060 1030 8 1010 8,6 10400 3,16 10700 1,3 10140 1,6 10170 3,8 10170 4,3 10170 2 10250 3 10380 RANGO = 1038 /1043 = 1081 I 26. Medida de grandes distancias. Triangulacin Las dimensiones de una habitacin o de un campo de ftbol las podemos obtener con una unidad de longitud y contar. Con este mtodo sera ms difcil medir la distancia entre dos cum- bres, e imposible si lo empleamos en la distancia a una estrella. Para efectuar esta ltimas medidas emplearemos un mtodo indirecto llamado TRIANGULACIN. El examen de la Fig. I-10 nos explica este mtodo. La distancia O1O2 es siempre conocida, al igual que los ngulos a1 y a2 , medidos con un aparato que tenga un crculo graduado. Mediante clculos trigonomtricos determinaremos la distancia que queremos medir. O1 y O2 pueden ser dos puntos de la Tierra en que se encuentran dos observadores y A el pico de la montaa, un satlite, o la Luna. Todo cambio de posicin de un astro debido a un cambio de posicin del observador (ya porque ste se mueve con la Tierra, ya porque el observador se traslada sobre la Tierra), se denomina corrimiento paralctico. Por ejemplo la rotacin terrestre determina un corrimiento diurno, la rotacin de la Tierra alrededor del Sol determina un corrimiento paralctico anual. Las observaciones hechas basndonos en estos movimientos las llamaremos mtodos paralcticos trigonomtricos. Si quisiramos medir la distancia a un astro A (Fig. I-10) O1 y O2 sern dos posiciones opues- tas en la rbita terrestre alrededor del Sol y la medida de ngulos se realizar con 6 meses de intervalo. Este mtodo no es aplicable para la medida de la distancia Tierra-Sol, y la exactitud con que se puede enfocar puntos del Sol y medir ngulos, no es lo suficientemente buena. La forma de ha- cerlo es medir las distancias relativas a todos los planetas por observaciones astronmicas o mediante ondas de radar (conociendo su velocidad y contando el tiempo que tardan en llegar al pla- neta, reflejarse en l y volver a la Tierra) y una vez conocidas estas distancias a escala de nuestro sistema solar, por triangulacin obtendremos la distancia al Sol. Si la estrella est demasiado lejos y nuestros aparatos no pueden realizar medidas de tal precisin, entonces se emplean otros mtodos. Por ejemplo uno de ellos es el llamado mtodo fotomtrico que consiste en la comparacin de la luminosidad aparente y los valores de la intensidad de radiacin y de la energa deducidos del espectro de la estrella. Una confirmacin de lo correcto de este mtodo para medir distancias estelares est dado por los resultados obtenidos para grupos de estrellas, conocidos como cmulos globulares, que son acumulaciones de estrellas que observa- mos que estn todas muy juntas, y al aplicar el mtodo fotomtrico obtenemos que es como deben de estar. En el estudio de los cmulos globulares se encuentra que existe una concentracin de ellos en cierta parte del cielo, y que la mayora de ellos estn aproximadamente a la misma distancia de nosotros e intuimos que esta concentracin de cmulos marca el centro de nuestra galaxia. Cono- cemos entonces la distancia al centro de la galaxia que se obtiene del orden de 1020 m. Con esta distancia tenemos la clave para medir distancias an mayores (distancias a otras galaxias) por mtodos fotogrficos y midiendo el ngulo que se subtiende en el cielo y tomando como hiptesis que todas las galaxias son ms o menos del mismo tamao que la nuestra, opera- remos por el mtodo de triangulacin. Recientemente se han obtenido fotografas de objetos celestes sumamente distantes; se cree que estas galaxias estn, alrededor de medio camino del lmite del Universo alejadas del orden de 1026 m distancia m- xima que se ha podido observar. I 27. Medida del tiempo. Reloj atmico Para medir el tiempo necesitamos que un fenmeno ocurra una y otra vez de modo regular, es decir que sea peridico. El da es el fenmeno natural, peridico, usa- do desde muy antiguo para la medida del tiempo, los das son casi del mismo largo en promedio, para verifi- car que esto es verdad tenemos que compararlo con otro fenmeno peridico. La medida del tiempo la basamos en algn fenmeno que se repita peridicamente. Galileo demostr que un pndulo oscila con intervalos de tiempo regulares, utilizando un dispositivo mecnico que cuenta estas oscilaciones tendremos el reloj de pndulo. En esencia, este es el mtodo que se emplea para la medida del tiempo, un reloj est siempre constituido por un OSCILADOR y un CONTADOR. La periodicidad de un oscilador de pndulo no es muy exacta, a medida que ha avanzado la ciencia se han empleado osciladores de periodicidad ms perfec- MEDIDA DE LONGITUDES , TIEMPOS Y MASAS. DENSIDAD 23 Fig. I-9. Palmer. Fig. I-10. Triangulacin. A O1 a1 a2 O2 17. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR ta, la mxima precisin con que se ha llegado a medir el tiempo ha sido con el llamado reloj atmico, que se basa en el hecho de que con haces de rayos lser se pueden frenar tomos hasta una velocidad correspondiente a una millonsima de grado kelvin por encima del cero absoluto. Estos tomos fros constituyen excelentes pndulos para los relojes atmicos porque a bajas temperaturas se puede medir su frecuencia natural con gran precisin. En la actualidad se consigue una precisin de una parte en 1014 (atraso o adelanto de un segundo en 3 millones de aos). En el 2005 se colocar en la Estacin Espacial Internacional un reloj de cesio, llamado PARCS (Primary Atomic Reference Clock in Space), capaz de funcionar con un margen de error de un segundo en 1016 , que probar algunas predicciones de la Teora de la Rela- tividad General de Einstein al funcionar ms lentamente que uno en la superficie terrestre debido a la diferencia de la intensidad del campo gravitatorio en ambas posiciones. La tecnologa probada en el PARCS permitir en el 2006 una nueva generacin de relojes, llamada RACE (Rubidium Atomic Clock Experiment) que conseguir una precisin de una parte en 1017 . I 28. Medidas indirectas de tiempos elementales y mximos Las medidas ms pequeas de las que podemos hablar, se realizan por la tcnica de la medida de distancias y velocidades. Un experimento realizado en estos ltimos aos por esta tcnica ha sido el clculo del tiempo de vida de la partcula mesn p0 , observando la seal microscpica, del orden de 10 9 m, dejada en una emulsin fotogrfica, en la cual haban sido creados mesones p0 , y sabiendo que stos viajan a una velocidad muy aproximada a la de la luz, deducimos que vi- vi durante unos 10 16 segundos. Con esta tcnica, podremos hablar de la longitud del ncleo de hidrgeno, recorrida a la mayor velocidad conocida (la luz) y obtendramos un tiempo de 10 24 segundos. Actualmente se admiten en el lenguaje cientfico, cantidades tan pequeas como 10 43 s, tiempo transcurrido despus del gran estallido, conocido habitualmente con la expresin inglesa big bang con el que se cree se comenz a formar el Universo, hasta que aparecen los quarks. Ms cerca del big bang, ni siquiera las teoras ms recientes permiten ir ms all, por lo que hemos de de- tenernos en el umbral del tiempo en tal cantidad. Para la medida de tiempos largos que tengan un posible significado fsico, vamos a emplear como unidad el EON = 109 aos (mil millones de aos), que simbolizaremos por e. El procedimiento para la medida de tiempos largos, est basado en las leyes de la radiactividad y concretamente en la vida media de distintos elementos de la tabla peridica. Esta tcnica aplicada al anlisis de los vestigios dejados por el Homo erectus en el frica central y al que se llam Toumai (Monos del sur, aunque se hallasen ms prximos a los seres humanos que a los monos), nos confirman que su primera evolucin se produjo hace 7 106 aos. Aplicadas estas tcnicas a determinadas rocas nos llevan a la conclusin de que la edad de la Tierra es de 4,6 e. Al Universo se le atribuye una edad de unos 15 e, tiempo en que tuvo lugar el big bang. Este no es el mximo de tiempo del que se puede hablar, puesto que hay posibilidad de ms tiempo en el fu- turo; as por ejemplo el Sol puede permanecer por los menos durante 12 eones en la secuencia principal en que estaba desde poco despus de su formacin; dado que el Sol se form hace 4,6 e, slo han transcurrido tres octavas partes de la vida de su secuencia principal. Existen estrellas como la Barnard y la Prxima Centauro que tienen unas vidas de secuencia principal, gotean- do sus dbiles fragmentos de radiacin, durante un total de 200 e. Ms all de este tiempo slo cabe prolongar su duracin, en conexin con las vidas medias de miles de millones de eones de algunos tomos radiactivos; naturalmente, cuanto ms larga sea la vida media, ms difcil ser detectar las pocas descomposiciones que se producen y medir el valor actual de la vida media. Se supone para el elemento llamado Molebdeno-130 una vida media de 600 millones de eones; como consecuencia de ello, es posible que cada tomo se pueda descomponer si se espera un tiempo suficiente? Aparentemente, todos los tomos se han formado a partir de Hidrgeno-1 cuando se produjo el big bang y posteriormente en el ncleo de las estrellas; como el ncleo del Hidrgeno-1 es un protn se descompondrn en protones individuales todos los tomos si esperamos lo suficiente? es posible que ni los protones sean estables, descomponindose en partculas de menor masa y el Universo est compuesto slo de electrones, neutrinos, fotones, quarks y, quizs, gravi- tones? Segn las teoras actuales se le supone al protn una vida media de 1022 e. La cosmologa actual no puede predecir si el Universo finalmente se contraer en un proceso inverso al que sigue actualmente para terminar en el big crunch, o si seguir expandindose indefinidamente, en cuyo caso la magnitud del tiempo se hara infinita. I 29. Masa A medida que vayamos estudiando los fenmenos fsicos en los que interviene la materia, tendremos que distinguir entre masa pesante o gravitatoria y masa inerte; sus definiciones sern comprendidas por el lector cuando haya llegado en sus estudios al captulo V, sin embargo vamos a adelantar stas, que sern comprendidas por aquellos que hayan estudiado un curso de Fsica elemental. 24 FSICA. MAGNITUDES FSICAS. SISTEMAS DE UNIDADES. ERRORES EN LAS MEDIDAS 18. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR VALORES APROXIMADOS DE ALGUNAS MASAS OBJETO KILOGRAMOS Masa en reposo que se le atribuye al neutrino Electrn Protn tomo de Uranio Bacteria Partcula de polvo Gota de lluvia Ser humano Cohete espacial Saturno El agua en los oceanos La Tierra El Sol Nuestra galaxia Universo 1034 9,1 1031 1,7 1027 4,0 1026 1015 6,7 1010 1060 5,9 10100 5 10600 1,4 10210 6,0 10240 2,0 10300 2,2 10410 10520 RANGO = 1052 /1034 = 1086 MASA PESANTE o GRAVITATORIA es una propiedad inherente de la materia en virtud de la cual los cuerpos se atraen entre s inde- pendientemente del medio en que se encuentren. De acuerdo con la ley de la gravitacin universal de Newton, el valor de la fuerza con que se atraen los cuerpos de masa M y M situados a una distancia d uno del otro y con la condicin de que d sea mucho mayor que las dimensiones de ambos cuerpos es F = GMM/d2 . La masa gravitatoria caracteriza la capacidad de la materia para crear campos gravitatorios y de estar sometida a la accin de estos campos. Si en la ecuacin anterior M es la masa de la Tierra (M0), entonces fuerza de atraccin de M0 (supuesta concentrada en el centro de la esfera terrestre) sobre la unidad de masa colocada en su superficie. A la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo cualquiera lo llamamos PESO de ste, y su valor ser: P = Mg, que depender de la posicin en que se encuentre, referida al centro de la Tierra, puesto que g vara en funcin de esa distancia. Sin embargo no depende de esa posicin el valor de M, a la que llamaremos masa pesante. La masa pesante se mide con la balanza, pudindose con ella definir la igualdad de masas, lo que nos permite, tomando la masa de un cuerpo como unidad (patrn), medir otras. MASA INERTE es la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo; resistencia que opone un cuerpo a modificar su estado de reposo o movimiento. De la segunda ley de Newton: F = Ma F/a = F/a = ... = M, se define la masa inerte como la constante de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleracin producida. Esta ltima ecuacin nos permite la medida dinmica de las masas inertes. Es un hecho experimental el que las dos masas, la pesante y la inerte son proporcionales. Si se toma como unidad de masa pesante la misma que la de inercia, ambas vendrn medidas, para un mismo cuerpo, por el mismo nmero, razn por la que no se hace distincin alguna entre ellas, llamndoles simplemente masa. Para la medida de masas pesantes (en reposo) en los comercios y en los laboratorios se utilizan normalmente las balanzas electrnicas digitales, y en ocasiones las balanzas de brazos de cuyos extremos penden unos platillos, midindose estas masas por comparacin con otras que llamamos pesas. I 30. Masa especfica o Densidad MASA ESPECFICA o DENSIDAD ABSOLUTA es la masa que corresponde a la unidad de volumen. La masa especfica se mide en g/cm3 en el sistema CGS; en kg/m3 en el SI y en utm/m3 en el TCNICO. (La masa especfica del agua a 4 C es: 1 g/cm3 (CGS); 1 000 kg/m3 (SI) 1 000/9,8 utm/m3 (TCNICO). La masa especfica del mercurio a 0 C es: 13,6 g/cm3 (CGS); 13 600 kg/m3 (SI); 13 600/9,8 utm/m3 (TCNICO).) De la frmula de la masa especfica, obtenemos: La ecuacin de dimensiones de la masa especfica es en los sistemas CGS y SI: [r] = [M]/[V] = M/L3 = ML 3 , y en el sistema TCNICO: [r] = [M]/[V] = FL 1 T2 / L3 = FL 4 T2 . Si el cuerpo no es homogneo la masa especfica en cada uno de sus puntos es: Para una distribucin laminar de masa, llamaremos DENSIDAD SUPERFICIAL: s s= = = zlm A A M A dM dA M dA 0 dM dV M dV V = = zr rEn consecuencia: r = = lm V M V dM dV0 M V= r r = M V g F M GM R0 0 0 2 9 8= = =/ / , N/kg, MEDIDA DE LONGITUDES , TIEMPOS Y MASAS. DENSIDAD 25 DENSIDADES DE ALGUNOS CUERPOS (en g/cm3 ) Platino Oro Mercurio Plomo Plata Cobre Bronce Hierro Acero Aluminio Glicerina Agua Hielo 21,4 19,3 13,6 11,3 10,5 8,9 8,8 7,9 7,8 2,7 1,26 1,00 0,920 19. MUESTRAPARAEXAMEN.PROHIBIDASUREPRODUCCIN.COPYRIGHTEDITORIALTBAR A) UNIDADES Y SISTEMAS 1. Teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades fundamentales, determinar los factores de conversin de: 1) km/h a mile/h. 2) lb/ft3 a g/cm3 . 3) t m/s2 a slug yd/s2 . 2. Pasar al SI las siguientes unidades: 1) 1 yarda/s. 2) 1 milla/h. 3) 1 poundal (pdl) = 1 lb ft/s2 . 4) 1 slug/ft3 . 3. Pasar al sistema absoluto ingls las siguientes unidades: 1) kg m2 . 2) utm/cm3 . 3) kg m2 /h. 4. Definir el ESTENO, unidad de fuerza en el sistema MTS (metro, tonelada masa, segundo). Calcular su equivalencia con la dina, el newton y el kilopondio. B) ANLISIS DIMENSIONAL 5. 1) Conocida la ecuacin de dimensiones de la velocidad [v] = LT1 determinar las de la aceleracin a y la fuerza F, sabiendo que [a] = [v]/[t] y que [F] = [M] [a], siendo t el tiempo y M la masa. 2) Determinar la ecuacin de dimensiones de la constante de gravitacin universal que interviene en la conocida ley de Newton: F = GMM/r2 (M y M = masas; F = fuerza; r = distancia entre los cuerpos). 3) Determinar la ecuacin de dimensiones del nmero p. 4) Determinar la ecuacin de dimensiones de un seno, un coseno y una tangente. 5) Determinar la ecuacin de dimensiones de la energa (W) sabiendo que [W] = [F] [r]. 6) Determinar la ecuacin de dimensiones de la constante de tensin superficial (s) sabiendo que: [s] = [W]/[A], (A: superficie). 7) Determinar la ecuacin de dimensiones del coeficiente de viscosidad (h) sabiendo que [h] = [F] [r]/[A] [v]. 8) Determinar la ecuacin de dimensiones del nmero de Reynolds (R), sabiendo que [v] = [R] [h]/[r] [r] (r: densidad). 6. Determinar en el SI la ecuacin de dimensiones de las siguientes magnitudes elctricas (Base: L, M, T, A). 1) De la constante de Cou- lomb (K) que interviene en la ley del

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