Universidad Nacional de Asunción

Facultad de Ingeniería

Física 1

Material de Apoyo

Problemas

2015

Marcello Pistilli

Capítulo 1

Trabajo Mecánico y Energía Mecánica

Trabajo Mecánico

En mecánica clásica, se dice que una fuerza realiza trabajo cuando altera el estado de

movimiento de un cuerpo. El trabajo de la fuerza sobre ese cuerpo será equivalente a

la energía necesaria para desplazarlo de manera acelerada.

El Trabajo Mecánico se define también como el producto escalar del vector Desplazamiento

por el vector Fuerza

𝑊 =�⃗� . 𝐹

En notación diferencial 𝑑𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑟

(Propiedades del producto escalar)

Energía

En física, “energía” se define como la capacidad para realizar un trabajo.

Energía Cinética

Es la energía debida a la velocidad que tiene un cuerpo

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 ∆𝐾 =

1

2𝑚[𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑜2]

(Demostrar)

Energía Potencial Gravitatoria

Es la energía asociada a las fuerzas gravitatorias, compartida por dos cuerpos de masas “m” y

“M” separados una distancia “r”.

𝑈𝑔 = −𝐺𝑚𝑀

𝑟 ∆𝑈𝑔 = −𝐺𝑚𝑀[

1

𝑟𝑓−1

𝑟𝑜]

Si la variación de la gravedad es insignificante se aplica la formula

𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ ∆𝑈𝑔 = 𝑚𝑔∆ℎ

Energía Potencial Elástica

Es la energía debida a la deformación de un cuerpo elástico, el ejemplo más sencillo es el

resorte con una longitud deformada igual a “x”.

𝑈𝑒 =1

2𝑘𝑥2 ∆𝑈𝑒 =

1

2𝑘[𝑥𝑓

2 − 𝑥𝑜2]

Fuerzas Conservativas

Si el trabajo total realizado por una Fuerza sobre una partícula que realiza un desplazamiento

en una trayectoria cerrada es cero se dice que esta Fuerza es Conservativa.

(Consecuencias de una Fuerza Conservativa)

Energía potencial

Es la energía asociada a una Fuerza conservativa. La variación de energía que produce el

trabajo de las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria realizada por la

partícula, depende de su posición final e inicial.

Como por ejemplo la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica.

(Características de la Energía Potencial)

Trabajo y energía mecánica

Finalmente enunciamos el siguiente principio para un sistema cerrado de partículas:

“El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica”

Donde la energía mecánica es la capacidad que tiene de hacer trabajo la energía cinética,

potencial gravitatoria y potencial elástica.

𝑊 = ∆𝐾 + ∆𝑈𝑔 + ∆𝑈𝑒

(Principio de la Conservación de la Energía)

(Equilibrio estable, inestable e indiferente)

Potencia

Es el trabajo realizado en la unidad de tiempo

𝑃 =𝑊

∆𝑡=𝐹.⃗⃗ ⃗ ∆ �⃗�

∆𝑡= 𝐹 . 𝑣

(Potencia, Potencia Media, Potencia Instantánea)

Rendimiento El rendimiento de un sistema es la relación entre el trabajo obtenido (trabajo útil) de su

funcionamiento y el trabajo suministrado o consumido por el mismo.

𝜂 =𝑊ú𝑡𝑖𝑙

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜=

𝑊ú𝑡𝑖𝑙∆𝑡

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜∆𝑡

=𝑃ú𝑡𝑖𝑙

𝑃𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎

(Unidades de medida del Trabajo, Energía y Potencia)

Ejercicio Resuelto Una fuerza P se aplica lentamente a una placa que está unida a dos resortes y provoca una deflexión 𝑥0. En cada uno de los dos casos indicados, obtenga una expresión para la constante 𝑘𝑒, en términos de 𝑘1 y 𝑘2, del resorte único equivalente al sistema dado, esto es, de un resorte que experimentaría la misma deformación 𝑥0 si se sometiera a la misma fuerza P.

a) En Serie

𝑃 = 𝑘𝑒𝑞∆𝑥0 → ∆𝑥0 =𝑃

𝑘𝑒𝑞

𝑆𝑖 ∆𝑥1 𝑦 ∆𝑥2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 1 𝑦 2

∆𝑥0 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑃

𝑘𝑒𝑞=𝑃1𝑘1+𝑃2𝑘2

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃1𝑦 𝑃2𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 1 𝑦 2

𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑃 = 𝑃1 = 𝑃2

𝑃

𝑘𝑒𝑞=𝑃1𝑘1+𝑃2𝑘2→

1

𝑘𝑒𝑞=1

𝑘1+1

𝑘2

∴𝟏

𝒌𝒆𝒒=𝟏

𝒌𝟏+𝟏

𝒌𝟐+⋯+

𝟏

𝒌𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆

b) En Paralelo 𝑃 = 𝑘𝑒𝑞∆𝑥0

𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2

𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑃 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑘𝑒𝑞∆𝑥0 = 𝑘1∆𝑥1 + 𝑘2∆𝑥2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑢𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠

∆𝑥0 = ∆𝑥1 = ∆𝑥2 𝑘𝑒𝑞∆𝑥0 = 𝑘1∆𝑥1 + 𝑘2∆𝑥2 → 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2

∴ 𝒌𝒆𝒒 = 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 +⋯+ 𝒌𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐

Ejercicios Propuestos

1) Un trozo de madera de 2.0 kg resbala por la superficie que se muestra en la figura. Los lados curvos son perfectamente lisos; pero el fondo horizontal tiene una longitud de 30 m y es áspero, con coeficiente de fricción cinética de 0.20 con la madera. El trozo de madera parte del reposo 4.0 m arriba del fondo áspero. a) ¿Dónde se detendrá finalmente este objeto? b) Para el movimiento desde que se suelta la madera hasta que se detiene, ¿cuál es el trabajo total que realiza la fricción? Respuesta: a) 20m de la orilla izquierda de la sección horizontal b)-78.4J 2) Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una superficie horizontal. El resorte tiene una constante k=20 kN/m y se sostiene mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm. Sabiendo que el paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se indica y que la máxima compresión adicional del resorte es de 40 mm, determine: a) El coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, b) La velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada. Respuesta: a) 0.2 b) 1.103 m/s 3) Dos discos idénticos de masa m están unidos a los extremos de un resorte ideal de constante elástica k. El sistema se sitúa en posición vertical sobre una mesa como se indica en la figura. El bloque superior se desplaza hacia abajo una distancia d, partiendo de su posición de equilibrio y a continuación se libera sin velocidad inicial. Hallar: a) El máximo valor de la reacción de la mesa b) El mínimo valor de la distancia d para que el bloque inferior llegue a separarse de la mesa.

Respuesta: a)2𝑚𝑔 + 𝑘𝑑 b)2𝑚𝑔

𝑘

4) Un vehículo que pesa 1tn posee un motor naftero con rendimiento del 20%, se encuentra subiendo una pendiente de 10⁰ de inclinación. Si se sabe que los rozamientos pueden ser despreciados y el vehículo inicialmente tenía una velocidad de 9km/h y luego de que las ruedas recorrieran un kilómetro la velocidad del vehículo aumento a 18km/h. Hallar: a) La energía en ergios que se le debe suministrar al motor para dicho proceso. b) La potencia útil promedio en HP durante el proceso si se sabe que su duración fue de 5 minutos. 5) A un modelo de auto de 2kg, controlado a control remoto, se le aplica una fuerza variable que produce las aceleraciones indicadas en el gráfico, cuando asciende un plano inclinado 20⁰. Determinar la altura que alcanza el auto.

Capítulo 2

Impulso y Cantidad de Movimiento

Consideremos primero una partícula sobre la cual actúa una Fuerza externa neta y constante

𝜮�⃗⃗� durante un tiempo ∆𝑡 , de 𝑡0 a 𝑡𝑓. El Impulso de la Fuerza neta, denotado con 𝑰 , se define

como el producto de la Fuerza neta y el intervalo de tiempo:

𝐼 = 𝛴𝐹 (𝑡𝑓 − 𝑡0) = 𝛴𝐹 ∆𝑡

De la segunda ley de Newton:

𝛴𝐹 = 𝑚𝑎

𝛴𝐹 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡(𝑚𝑣 )

El vector 𝒎�⃗⃗� se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o simplemente cantidad de

movimiento de la partícula. Al denotar con �⃗⃗� la cantidad de movimiento lineal de la partícula:

�⃗� = 𝑚𝑣

Y Luego podemos enunciar la segunda ley de Newton según la fórmula:

𝛴𝐹 =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=∆�⃗�

∆𝑡

Reemplazando la nueva expresión de la Fuerza neta en la ecuación del Impulso se obtiene el

teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento.

𝐼 =∆�⃗�

∆𝑡(𝑡𝑓 − 𝑡0)

𝐼 = ∆�⃗�

𝑰 = �⃗⃗� 𝒇 − �⃗⃗� 𝒐

𝐼 = 𝑚𝑣 𝑓 −𝑚𝑣 𝑜

𝑚𝑣 𝑜 + 𝛴𝐹 ∆𝑡 = 𝑚𝑣 𝑓

El teorema del impulso y la cantidad de movimiento también se cumple si las fuerzas no son constantes. Notemos también que todas las relaciones están expresadas de forma vectorial ya que las magnitudes estudiadas son vectoriales por ende se rigen bajo sus propiedades correspondientes.

Cuando no existen impulsos de las fuerzas externas a un sistema de partículas la cantidad de movimiento del sistema se conserva

𝐼 = �⃗� 𝑓 − �⃗� 𝑜 = 0

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐

Este hecho se conoce como el Principio de Conservación de la Cantidad de

Movimiento.

Generalmente las fuerzas externas de Resortes no Deformados, de Rozamientos, de Atracciones Gravitatorias, entre otras de magnitudes relativamente pequeñas, si se aplican en tiempos también muy pequeños su producto, el Impulso que generan, puede ser despreciado. En cambio, generalmente las Fuerzas Normales, de Resortes deformados, Tensiones, entre otras de magnitudes relativamente grandes, siempre poseen impulsos considerables.

Centro de masa de un sistema de partículas:

Se define como el punto geométrico que dinámicamente actúa como si en el estuviera

concentrada toda la masa 𝒎 del sistema y su posición �⃗� está dada por:

𝑚�⃗� =∑𝑚𝑖𝑟 𝑖

𝑛

𝑖=1

(Cantidad de movimiento del centro de masa)

(Sistemas de masas variables)

Impacto Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeño y durante el cual los dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre sí recibe el nombre de impacto. Si durante el impacto no existe impulso de fuerzas externas considerables se puede decir que la Cantidad de Movimiento del sistema se conserva:

�⃗� 𝑜 = �⃗� 𝑓

𝑚𝐴𝑣 𝐴 +𝑚𝐵𝑣 𝐵 = (𝑚𝐴 +𝑚𝐵) �⃗� = 𝑚𝐴𝑣 𝐴

′ +𝑚𝐵𝑣 𝐵′

Por el impacto, las dos partículas se deformarán y, al final del periodo de deformación, tendrán la misma velocidad �⃗⃗� . Se presentará un periodo de restitución, al final del cual, dependiendo de la magnitud de las fuerzas e impacto y de los materiales implicados, las dos partículas habrán recobrado su forma original o permanecerán deformadas. Se define como Coeficiente de Restitución “e” a la relación entre el Impulso de Restitución que se da durante el periodo de restitución y el Impulso de Deformación que se da durante el periodo de deformación

𝑒 =∫𝑅𝑑𝑡

∫ 𝑃𝑑𝑡=𝑅∆𝑡𝑟𝑃∆𝑡𝑑

=𝐼𝑚𝑝. 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝐼𝑚𝑝. 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Considerando la partícula A como sistema aislado:

𝑚𝐴𝑣 𝐴 − �⃗� ∆𝑡𝑑 = 𝑚𝐴�⃗�

𝑚𝐴�⃗� − �⃗� ∆𝑡𝑟 = 𝑚𝐴𝑣 𝐴′

𝑒 =𝑅∆𝑡𝑟𝑃∆𝑡𝑑

=𝑚𝐴�⃗� − 𝑚𝐴𝑣 𝐴

′

𝑚𝐴𝑣 𝐴 −𝑚𝐴�⃗� =�⃗� − 𝑣 𝐴

′

𝑣 𝐴 − �⃗�

Un análisis similar con la partícula B conduce a la relación:

𝑒 =𝑣 𝐵′ − �⃗�

�⃗� − 𝑣 𝐵

Puesto que los cocientes son iguales, también lo son al cociente obtenido al sumar, respectivamente, sus numeradores y sus denominadores. Se tiene, por lo tanto:

𝑒 =(�⃗� − 𝑣 𝐴

′ ) + (𝑣 𝐵′ − �⃗� )

(𝑣 𝐴 − �⃗� ) + (�⃗� − 𝑣 𝐵)

𝒆 =�⃗⃗� 𝑩′ − �⃗⃗� 𝑨

′

�⃗⃗� 𝑨 − �⃗⃗� 𝑩

Notemos que en la deducción del coeficiente de restitución la componente de la velocidad que estudiamos es aquella que tiene la misma dirección que los impulsos del impacto y estas fueron consideradas todas con el mismo sentido. (Choque perfectamente inelástico) (Choque inelástico) (Choque perfectamente elástico)

Ejercicios Propuestos

6) Una partícula de 5kg se mueve sobre una superficie horizontal, sin rozamiento, con una velocidad V=4m/s como se muestra en la figura. Cuando la partícula se encuentra a 10 m de la pared, explota partiéndose en dos piezas; 𝑚𝐴 = 3𝑘𝑔 y 𝑚𝐵 = 2𝑘𝑔. Si la pieza de 3kg alcanza la pared 3 segundos después de la explosión en 𝑌𝐴 = 7,5 𝑚, determinar la posición 𝑌𝐵 y el tiempo que tarda la partícula B en alcanzar la pared. 7) Una bala de masa m = 10g se mueve con velocidad 𝑉𝑜 y se incrusta en un bloque de masa M=990g, el cual se encuentra inicialmente en reposo unido a un resorte de constante k= 2 N/m. El resorte se comprime 2 cm. Calcular 𝑉𝑜 si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,2. Calcular el trabajo hecho por la bala al penetrar en el bloque. Respuesta: a) 28,14 m/s b) 3,96 J.

8) Un cuerpo de masa 𝑚𝐴 = 2𝑘𝑔 resbala sobre una mesa sin fricción con una velocidad de 10

m/s. Directamente enfrente de él y moviéndose en su misma dirección esta otro cuerpo de

masa 𝑚𝐵 = 5𝑘𝑔 cuya velocidad es de 3m/s. A la parte posterior de 𝑚𝐵 se sujeta un resorte

sin masa con una constante elástica k=1.120 N/m. Cuando los cuerpos chocas, ¿Cuál será la

máxima compresión del resorte? Respuesta: 0,25m

9) La masa 2m de la izquierda se mueve con velocidad 𝑽𝒐 hacia la derecha y choca

elásticamente con la masa m que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza

luego hacia la derecha y choca con la masa 𝑴 que también está en reposo y más hacia la

derecha, de tal forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular

el valor de la masa M en función de m, para que luego de los dos choques todas las masas

tengan la misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso.

M m

2

𝑚𝐴 𝑚𝐵

2𝑚 𝑚

𝑀

10) Una bola de masa m y radio R se encuentra colocada en el interior

de una esfera hueca que tiene su misma masa y radio interno 2R.

Ambos cuerpos se encuentran en reposo en la posición indicada en la

figura. Si se libera la bola, ¿Qué desplazamiento horizontal tiene la

esfera hueca cuando la bola llega al fondo?, ¿Qué velocidad tienen

ambos cuerpos en ese instante? Respuesta: a) 𝑅/2

11) A lo largo de un plano inclinado liso, cuyo ángulo con la horizontal es α, comenzó a deslizar

con velocidad inicial nula, una caja con arena de masa M. Después de recorrer una distancia S

sobre el plano inclinado, la caja fue chocada por una piedra de masa m, que se movía en

dirección horizontal. ¿Qué velocidad V tenía la piedra si la caja con arena paro un momento

después del choque? Las velocidades de la piedra y la caja se encuentran en el mismo plano.

12) Ricardo, cuya masa es de 80kg y Carmelita disfrutan un atardecer en una canoa de 30kg.

Cuando la canoa se encuentra en reposo en aguas tranquilas, se intercambian sus lugares, que

están separados una distancia de 3 m y que están localizados simétricamente respecto al

centro de la canoa. Ricardo nota que la canoa se mueve 0,4 m respecto de un tronco

sumergido y con ello calcula la masa de Carmelita. ¿Cuál es esta masa? Respuesta: 58kg

13) Una mujer de masa m esta parada sobre un pequeño vagón de masa M que se mueve

hacia la izquierda con una rapidez 𝑉𝑀 sobre una vía sin fricción, cuando repentinamente

empieza a cargarse el vagón con arena que cae de una cinta transportadora a razón constante

q. La arena impacta el vagón con una rapidez 𝑣𝑎 igual en magnitud a la de este último con un

ángulo de 60⁰ con relación a la horizontal (ver figura). ¿Con qué aceleración debe correr la

mujer para tratar de mantener constante la velocidad del vagón? ¿En qué dirección deberá

hacerlo?

(izquierda o

derecha)

14) La magnitud y dirección de las velocidades de dos pelotas idénticas sin fricción antes de que choquen entre sí son como se indica en la figura. Suponiendo que e = 0.90, determine la magnitud y dirección de la velocidad de cada pelota después del impacto. Respuesta: 𝑣𝐴=23.2 ft/s a 40.3° 𝑣𝐵=41.9 ft/s a 55.6°

Capítulo 3

Dinámica de Rotación

En los análisis realizados anteriormente los cuerpos fueron considerados como una masa puntual sin embargo los cuerpos tienen dimensiones y la masa se encuentra distribuida en el volumen del cuerpo, de forma que están constituidos por infinidad de masas puntuales.

Cuerpo Rígido

Es aquel cuyas posiciones relativas de las masas puntuales, que lo constituyen, no cambian en el tiempo. (Movimiento de Rotación de los cuerpos Rígidos) (Movimiento de Rotación y Traslación Simultánea de los Cuerpos Rígidos) Es demostrable que la acción de la fuerza está condicionada por la posición de la misma, y relacionada con la rotación que genera. La interacción de los cuerpos que considera la posición de las fuerzas aplicada a los mismos es el Momento de una Fuerza.

Momento de una Fuerza Producto vectorial del vector de posición por el vector Fuerza.

�⃗⃗� = 𝑟 × 𝐹 De la segunda ley de Newton

𝐹 = 𝑚𝑎

𝑟 × 𝐹 = 𝑚(𝑟 × 𝑎 )

�⃗⃗� = 𝑚(𝑟 × 𝑎 ) En un movimiento rotacional

𝑎 = ∝⃗⃗ × 𝑟

�⃗⃗� = 𝑚(𝑟 ×∝ ⃗⃗ ⃗ × 𝑟 ) Por propiedades del producto vectorial se demuestra:

�⃗⃗� = 𝑚𝑟2𝛼 El producto "𝑚𝑟2" es una característica que depende de la masa y la posición de la misma con respecto al punto fijo alrededor del cual gira. Es una característica geométrica del cuerpo. Esta característica es la de Momento de Inercia.

Momento de Inercia El momento de inercia 𝑰 es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia 𝑟 de cada partícula a dicho eje.

𝐼 = ∑𝑚𝑖𝑟𝑖2 = ∫𝑟2𝑑𝑚

𝑛

𝑖=0

Luego podemos enunciar el siguiente principio:

∑�⃗⃗� 𝑐𝑚 = 𝐼𝑐𝑚𝛼

La sumatoria de Momentos con respecto al centro de masa de un cuerpo rígido es igual al Momento de Inercia con respecto a su centro de masa por la aceleración angular del cuerpo. No siempre los cuerpos giran alrededor de su centro de masa, cuando se conoce el punto fijo en torno al cual giran resulta más práctico aplicar la siguiente relación:

∑�⃗⃗� 𝑂 = 𝐼𝑂𝛼

Donde la sumatoria de Momentos y el Momento de Inercia se toman con respecto al punto fijo

O.

Teorema de Steiner

Establece que el Momento de Inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa

por el centro de masa, es igual al Momento de Inercia con respecto al eje que pasa por el

centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia “𝑟” entre los dos

ejes.

𝐼𝑂 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑚𝑟2

Trabajo y Energía Rotacional

(Trabajo de una Fuerza en una trayectoria circular)

La energía cinética de un cuerpo en rotación es igual a la suma de las energías cinéticas de

cada partícula que lo componen.

𝐾𝑟𝑜𝑡 =∑1

2𝑚𝑖𝑣𝑖

2

𝑛

𝑖=0

𝑣𝑖 = 𝜔𝑟𝑖

𝐾𝑟𝑜𝑡 =1

2∑𝑚𝑖(𝜔𝑟𝑖)

2

𝑛

𝑖=0

𝐾𝑟𝑜𝑡 =1

2𝜔2∑𝑚𝑖𝑟𝑖

2

𝑛

𝑖=0

Pero ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖2𝑛

𝑖=0 = 𝐼 (𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑜𝑡 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜)

𝑲𝒓𝒐𝒕 =𝟏

𝟐𝑰𝝎𝟐

Impulso y Cantidad de Movimiento Angular

La fuerza cuyo momento genera el movimiento circular implica un Impulso Angular.

Impulso Angular

Es el producto vectorial del vector de posición por el vector Impulso de la fuerza, por lo tanto es igual al Momento de la fuerza por el tiempo.

𝐼𝑚𝑝⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹 . 𝑡

𝑟 × 𝐼𝑚𝑝⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟 × 𝐹 . 𝑡

𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 = �⃗⃗⃗� . 𝒕 Como

𝐼 = �⃗� 𝑓 − �⃗� 𝑜

𝑟 × 𝐼 = 𝑟 × �⃗� 𝑓 − 𝑟 × �⃗� 𝑜

Momento de la Cantidad de Movimiento

Es el producto vectorial del vector de posición por el vector cantidad de movimiento.

�⃗⃗� = �⃗� × �⃗⃗�

𝑟 × �⃗� = 𝑟 × 𝑚𝑣 = 𝑚(𝑟 × �⃗⃗� × 𝑟 )

𝑟 × �⃗� = 𝑚𝑟2�⃗⃗� = 𝐼�⃗⃗�

Cantidad de Movimiento Angular

Es el producto del momento de inercia del cuerpo por la velocidad angular.

�⃗⃗� = 𝑰�⃗⃗⃗� Finalmente tenemos que el impulso angular es igual a la variación de la cantidad de movimiento angular

�⃗⃗⃗� . 𝒕 = �⃗⃗� 𝒇 − �⃗⃗� 𝒐

Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular Si al considerar un sistema de masas donde no existe un momento externo que actúe sobre el mismo, el impulso angular es nulo y por lo tanto la cantidad de movimiento angular se conserva.

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐

(Choque de cuerpos rígidos que giran) (Rotación y Traslación) (Rueda sin resbalar)

Ejercicios Propuestos

15) En la figura las poleas “A” tienen una masa de 15kg y un radio de 10 cm. La polea doble “B” tiene una masa total de 75kg y un radio de giro de 150mm. La masa del bloque “C” es de 150kg. Determine las aceleraciones angulares de todas las poleas y las tensiones en el

cable que sostiene a C. 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑚𝑅𝑔𝑖𝑟𝑜2

16) Una polea doble de masa 𝑚1 = 5𝑘𝑔 y radio 𝑅1 = 50𝑐𝑚 y masa 𝑚2 = 4𝑘𝑔 y radio 𝑅2 = 25𝑐𝑚, se encuentra girando con velocidad angular 𝜔𝑜 = 6,25 𝑟𝑎𝑑/𝑠. La polea tiene un sistema de freno consistente en una barra como indica la figura. Entre la barra y la polea el coeficiente de rozamiento cinético es 𝜇𝑘 = 0,5. De la polea menor cuelga por medio de una cuerda enrollada a la misma una masa 𝑚 = 0,8𝑘𝑔. Si se aplica el freno la polea tarda un tiempo 𝑡 = 2𝑠 para que su velocidad se reduzca a la mitad. Calcular el valor de la Fuerza 𝐹 aplicada. 17) El péndulo físico que se muestra en la figura está compuesto por una varilla de longitud L=5R y masa m y de una esfera de radio R y masa M=2m. La varilla está sujeta en el punto O a un eje horizontal. Deducir las fórmulas que nos permiten calcular: a) La posición del centro de masa del péndulo respecto al eje que pasa por O. b) El momento de Inercia del péndulo respecto al eje que pasa por O. c) La velocidad angular 𝜔𝑜 que tiene que tener el péndulo en la posición que se muestra para que dé una vuelta completa alrededor de O. d) La fuerza que hace el eje que está en O sobre el péndulo en la posición que se muestra y en las condiciones mencionadas en la pregunta c.

Respuesta: 𝑎)29

6𝑅 𝑏)

1217

15𝑚𝑅2 𝑐) √

870

1217

𝑔

𝑅 𝑑)

7856

1217𝑚𝑔

18) Un disco de masa 𝑴 y radio 𝑹 se encuentra girando en sentido contrario a las manecillas del reloj, con una velocidad angular 𝝎𝒐 alrededor de un eje que pasa por 𝑶, como se indica en la Figura. El disco posee en su periferia una pestaña, que golpea en un momento dado a la varilla de masa 𝑴 y longitud 𝑳, que se encuentra en reposo en posición vertical, pivotado en el punto 𝑷. Despreciando el rozamiento en el eje y sabiendo que después del choque se le aplica al disco un momento 𝝉 que detiene al disco en 𝒕 segundos, calcular el mínimo valor de 𝝎𝒐 para que la varilla alcance la posición horizontal, después del choque ¿Se conserva la energía mecánica del sistema durante el proceso?, de no ser así calcular su variación.

19) Una rueda formada por dos discos el mayor de masa 𝑀1 = 2𝑘𝑔 y radio 𝑅1 = 30𝑐𝑚 y el menor de masa 𝑀2 = 1𝑘𝑔 y radio 𝑅2 = 15𝑐𝑚, esta unida por una cuerda a un cuerpo de masa 𝑀 = 0,5𝑘𝑔 como muestra la figura. La rueda se apoya por el disco menor sobre una guía horizontal y la polea fija no tiene masa. a) La aceleración del cuerpo b) La aceleración del centro de masa de la rueda c) La tensión en la cuerda y la Fuerza de Rozamiento

20) Una varilla uniforme de 1,5 kg y 1,2 m de longitud, está rotando verticalmente alrededor de su centre, como muestra la figura. Una pequeña pieza de 200g cae y choca, inelásticamente con coeficiente de restitución e=0,4; contra la varilla cuando esta se encuentra horizontal. La varilla se encuentra rotando en sentido antihorario a 120 rpm y la pieza cae del reposo desde una altura h=1,5m, determine:

a) La velocidad angular de la varilla inmediatamente después del impacto.

b) La fuerza media de contacto entre la varilla y la arcilla para un impacto de duración de 0,005 seg.

c) La pérdida total de energía mecánica en la colisión 21) Una carilla uniforme de longitud 75cm y 450g de masa puede girar alrededor de un extremo. La varilla se suelta de la posición horizontal. Un pequeño cuerpo impacta la varilla a una distancia d=20cm del extremo libre de la varilla, cuando esta se encuentra en posición vertical. Si la velocidad inicial del cuerpo es de 6m/s con un ángulo 𝜃 = 30⁰ con la horizontal y la varilla después del impacto permanece en reposo, determine: a) El coeficiente de restitución del choque. b) La velocidad del cuerpo después del choque. c) La fuerza media ejercida durante el impacto de duración 0,003 seg.

Capítulo 4

Estática y Elasticidad

En los Capítulos anteriores se consideró a los cuerpos como rígidos e indeformables. Esta consideración es muy útil para analizar el comportamiento de los cuerpos. En la realidad todos los cuerpos sufren deformaciones bajo la acción de las fuerzas y en muchos casos son muy importantes para despreciarse.

En el estudio de estas propiedades elásticas de los materiales introduciremos nuevas condiciones para el equilibrio de las estructuras, aparte de las ya conocidas en la estática:

∑𝐹 = 0 ∑�⃗⃗� = 0

Para este análisis introduciremos varias magnitudes físicas:

Esfuerzo o Fatiga

“Fuerza por unidad de superficie”. Que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma.

𝜎 =𝐹

𝑆

Fatiga Normal

“Fuerza normal a una sección por unidad de superficie”.

𝜎𝑛 =𝐹𝑛𝑆

Fatiga Tangencial

“Fuerza tangencial a una sección por unidad de superficie”.

𝜎𝑡 =𝐹𝑡𝑆

Deformación Unitaria

Variación de longitud por unidad de longitud inicial

휀 =∆𝐿

𝐿𝑜=𝐿𝑓 − 𝐿𝑜

𝐿𝑜

Módulo de Elasticidad

Analizando la relación entre la fatiga y la deformación unitaria de diferentes cuerpos, se encontró que la misma depende del material de que esta hecho el cuerpo. Esta relación se denomina módulo de Elasticidad (E) o módulo de Young (Y).

𝐸 =𝜎

휀

La proporcionalidad del esfuerzo y la deformación (en ciertas condiciones) se denomina ley de Hooke.

𝐸 =𝜎

휀 → 𝑭 = (

𝐸𝑆

𝐿𝑜)∆𝐿 = 𝒌 ∆𝒙

𝑘 =𝐸𝑆

𝐿𝑜

Si realizamos un ensayo de tracción, que consiste en traccionar una barra, de hierro por ejemplo, y realizamos un gráfico de fatiga vs deformación unitaria, el resultado sería el siguiente:

A medida que aumentamos la fatiga tensora la deformación unitaria por tracción va aumentando según la Ley de Hooke.

Límite de proporcionalidad Es el máximo valor de deformación hasta el cual el material cumple con la Ley de Hooke.

Limite elástico Es el máximo estado de deformación hasta el cual se puede llevar el material y este pueda recobrar su forma original al cesar la aplicación de la carga que produce la fatiga.

Resistencia máxima Es el máximo valor de fatiga que soporta el material.

Límite de Ruptura. Es el máximo valor de deformación que soportara el material sin romperse. (Deformación Unitaria por Cizalladura) (Módulo de Rigidez o Modulo de Torsión) (Módulo de Compresibilidad) (Coeficiente de Compresibilidad)

Ejercicios Propuestos

22) Una columna hueca de acero (𝐸𝑎𝑐 = 20𝑥10

10𝑁/𝑚2) de diámetro exterior 5cm e interior de 3cm se rellena de plomo (𝐸𝑃𝑏 = 1,8𝑥10

10𝑃𝑎) y se le somete a una Fuerza de 1tn, la longitud de la columna es 3m.Determinar su deformación. 23) Una barra AB de longitud L y peso despreciable, se halla inicialmente en la posición indicada en la figura, suspendida de un cable de longitud 𝐿1, sección 𝑆1 y módulo de Elasticidad 𝐸1. Se desea colocar una barra CD de longitud 𝐿2, sección 𝑆2 = 4𝑆1y módulo de Elasticidad 𝐸2 = 0,1𝐸1 de tal manera que la barra AB quede horizontal, sabiendo que 𝐻 = 25𝑐𝑚. Determinar 𝐿2. 24) El sistema que se muestra en la figura está formado por tres barras de Aluminio (𝐸𝑎𝑙 = 7𝑥10

10 𝑁/𝑚2) . Las secciones transversales de las barras son 𝐴1 = 2𝑐𝑚

2, 𝐴2 = 3𝑐𝑚2 𝑦

𝐴3 = 1𝑐𝑚2. Si la carga vertical es 𝑃 = 7000𝑘𝑔, calcular:

a) Las fuerzas en las barras. b) La deformación de la barra 3. c) El descenso del punto de aplicación de las cargas. 25) Un tornillo de acero con tuerca, de área de sección recta 𝐴𝑎𝑐 y de paso 𝑝 = 0,25𝑐𝑚 , sujeta un tubo de cobre de área de sección recta 𝐴𝑐𝑢 = 10𝑚𝑚

2 y longitud 𝐿 = 10𝑐𝑚, como indica la figura. En la posición en que la distancia de la cabeza del tornillo a la tuerca es L, se da a la tuerca un cuarto de vuelta. Si la relación entre las

áreas es de 𝐴𝑎𝑐 =𝜋

4 𝐴𝑐𝑢 y los módulos de Elasticidad son

𝐸𝑎𝑐 𝑦 𝐸𝑐𝑢. Calcular la fatiga normal que se desarrolla en el tubo de cobre y en el tornillo de acero. 26) La barra horizontal AB es absolutamente rígida y esta soportada por tres varillas, como se ve en la figura 3. Las dos varillas extremas tienen una sección de 3𝑐𝑚2, mientras que la varilla central tiene una sección de 9𝑐𝑚2. Todas las varillas son de acero y tienen una Longitud L=2,1m. La carga vertical P=18.000kgf está aplicada a una distancia L de la varilla 1. Despreciando el peso de la barra AB, calcular a) la fuerza que actúa sobre la varilla 2; b) la energía potencial almacenada en la varilla 1 y c) el desplazamiento vertical del punto M. Respuesta: a) 10.016 kg b) 12,22 kg.m c) desciende 0,241mm.

Capítulo 5

Gravitación Universal

Leyes de Kepler Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al

Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular �⃗⃗� es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

�⃗⃗� = �⃗� ×𝒎�⃗⃗� = 𝒄𝒕𝒆

Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.

Ley de Gravitación Universal

Es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton que establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa.

𝐹 = 𝐺𝑚𝑀

𝑟2

Afelio

Perihelio

Diferencia entre centro de masa y centro de gravedad Ya habíamos visto varias aplicaciones del centro de masa de un sistema de partículas en capítulos anteriores, definido según la siguiente expresión:

𝑚�⃗� 𝑚 =∑𝑚𝑖𝑟 𝑖

𝑛

𝑖=1

En cambio el Centro de Gravedad es el punto donde podemos considerar la aplicación de la

Resultante de Fuerzas Gravitatorias o Pesos de un sistema de partículas, según la fórmula:

𝑃�⃗� 𝑔 =∑𝑃𝑖𝑟 𝑖

𝑛

𝑖=1

Donde 𝑃 representa la resultante del peso, �⃗� la posición del centro de gravedad con respecto al sistema de referencia tomado, 𝑃𝑖 𝑦 𝑟 𝑖 el peso y la posición de cada partícula del sistema respectivamente. Regularmente se suelen utilizar de iguales, esto es porque cuando la gravedad no varía de forma apreciable en un sistema de partículas los centros de masa y gravedad tienden a coincidir:

�⃗� 𝑔 =∑ 𝑃𝑖𝑟 𝑖𝑛𝑖=1

𝑃=∑ 𝑚𝑖𝑔𝑟 𝑖𝑛𝑖=1

𝑚𝑔

�⃗� 𝑔 =𝑔∑ 𝑚𝑖𝑟 𝑖

𝑛𝑖=1

𝑚𝑔

�⃗� 𝑔 =∑ 𝑚𝑖𝑟 𝑖𝑛𝑖=1

𝑚

�⃗� 𝑔 = �⃗� 𝑚

¡¡Por lo tanto estos centros no coinciden cuando el cambio de gravedad en el sistema es apreciable!! Por ejemplo en el estudio de sistemas de estrellas y planetas.

(Masa Gravitatoria) (Diferencias entre Masa Gravitatoria y Masa Inercial) (Campo Gravitatorio) (Satélite Geoestacionario)

(Energía Potencial Gravitatoria)

𝑈𝑔 = −𝐺𝑚𝑀

𝑟 ∆𝑈𝑔 = −𝐺𝑚𝑀[

1

𝑟𝑓−1

𝑟𝑜]

Ejercicios Propuestos

28) Un satélite geoestacionario permanece a una distancia D del centro de la Tierra, sobre un punto del ecuador terrestre. Determinar el periodo del satélite que describe una órbita circular de radio 2D. Respuesta: 67,88h 29) Una nave espacial de 400kg aterrizo en un planeta que tiene un radio R y una masa M que son 10 y 100 veces mayores que los de la Tierra. a) ¿Cuál es el peso de la nave en el planeta? b) Si se quiere lanzar la nave de forma que su velocidad cuando se encuentre muy lejos del planeta sea 10km/s ¿a qué velocidad inicial debe ser lanzada la nave? c) Si se sitúa en una órbita a 300km de la superficie ¿Cuánto tiempo tarda la nave en dar una vuelta completa? d) ¿Qué velocidad tiene la nave en la órbita del apartado anterior? 30) Un cohete impulsor coloca en órbita a un satélite artificial, a una distancia de 20.000km del centro de la Tierra, con una velocidad de 5.000 m/s que forma un ángulo de 60⁰ con la dirección radial. a) La posición del apogeo y el perigeo de la órbita que seguirá el satélite. b) Las velocidades del mismo en dichos puntos. 31) Un cuerpo formado por 3 masas “m” unidas entre sí están separadas 50 metros entre ellas como indica la figura, el cuerpo se encuentra en el campo gravitacional de la masa “M” determinar el centro de masa y el centro de gravedad del cuerpo respecto a la masa “M”. 32) Dos estrellas giran en torno de su centro de masa común. Una de las estrellas tiene una masa M, que es dos veces la masa de la otra. Determinar el periodo de rotación de las estrellas en torno a su centro de masa sabiendo que ambas estrellas están separadas una

distancia d. Respuesta: 2𝜋√𝑑3

3𝐺𝑚

33) Un asteroide esférico de radio R y de densidad media 𝑑1 tiene en su seno incrustada una esfera de otro material de densidad 𝑑2, de radio r=R/4 y con su centro ubicado a una distancia d=R/2. Determinar la intensidad del campo gravitatorio en un punto ubicada a D del centro del asteroide, medida sobre la línea que une los centros de las esferas. 34) Tres esferas uniformes están fijas en las posiciones indicadas en la figura. a) Que magnitud y dirección tiene la fuerza que actúa sobre una partícula de masa “m” situada en el origen. b) Si la partícula se suelta del reposo a una distancia “d” del origen sobre una línea inclinada 45⁰ bajo el eje –X ¿Qué rapidez tiene la partícula cuando llega al origen?

50 m 50 m

100 m

a

a

Capítulo 6

Hidrostática

La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos o de la hidráulica que estudia los fluidos

incompresibles en estado de equilibrio.

Densidad: Es la masa por unidad de volumen.

𝛿 =𝑚

𝑉

Peso específico: Es el peso por unidad de volumen.

𝛾 =𝑊

𝑉

El peso específico es también el producto de la densidad y la gravedad:

𝛾 =𝑚𝑔

𝑉

𝛾 = 𝛿. 𝑔

Densidad relativa: Es la relación entre la densidad de un cuerpo y la densidad del agua.

𝛿′ =𝛿

𝛿𝐻2𝑂

Peso específico relativo: Es la relación entre el peso específico de un cuerpo y el peso específico del agua.

𝛾′ =𝛾

𝛾𝐻2𝑂

El peso específico relativo y la densidad relativa son medidas adimensionales y coinciden:

𝛾′ =𝛾

𝛾𝐻2𝑂=

𝛿. 𝑔

𝛿𝐻2𝑂 . 𝑔=

𝛿

𝛿𝐻2𝑂

∴ 𝛾′ = 𝛿′

(Unidades de medida de la densidad y el peso específico)

Presión: Magnitud Física que mide la proyección de la Fuerza en dirección perpendicular a una superficie por unidad de superficie.

𝑝 =𝐹

𝑆

Principio de Pascal

“La presión ejercida sobre un fluido poco compresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido”.

Teorema general de la Hidrostática

“La diferencia de presión entre dos puntos de un líquido es igual al peso específico del líquido por la altura entre los dos puntos”

Si consideramos aisladamente un volumen en forma de cubo de fluido, tomado de un

recipiente.

Como el líquido esta en equilibrio la sumatoria de fuerzas en cualquiera de sus partes debe ser igual a cero:

𝐹2 − 𝐹1 − 𝑃 = 0

Dividiendo la igualdad entre la superficie S de las caras

𝐹2𝑆−𝐹1𝑆=𝛾𝑙𝑖𝑞𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑆

∴ 𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾𝑙𝑖𝑞ℎ

El resultado es independiente de la forma que tome el volumen del líquido, el principio se cumple siempre y cuando exista una diferencia de alturas entre dos puntos dentro de un fluido en equilibrio.

(Experiencia de Torricelli) (Manómetro, Presión Manométrica y Absoluta)

Paradoja Hidrostática

Los tres recipientes tienen la misma altura “h” y contienen el mismo líquido, pero el recipiente 2 tiene menos líquido que los otros dos y el recipiente 3 más líquido que los otros 2. Sin embargo la fuerza ejercida por el líquido en el fondo de los 3 recipientes es la misma:

𝑝𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 𝛾𝑙𝑖𝑞ℎ

𝐹𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 𝑆. 𝑝𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜

El hecho de que la fuerza ejercida en el fondo del recipiente es igual, independientemente del peso del líquido es conocido como “Paradoja Hidrostática”

¿Cuáles serían entonces los valores de las Normales ejercidas por una mesa donde se apoyen los tres recipientes?

(Principio de vasos comunicantes, con uno y varios líquidos)

Principio de Arquímedes

“Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”.

Analizando las fuerzas de reacción al contacto sobre un cuerpo sumergido en un fluido

notamos una Fuerza 𝐹 2 mayor que la Fuerza 𝐹 1debido a que 𝐹 2 se encuentra en un punto de

mayor presión con respecto al punto de aplicación de 𝐹 1, a esta diferencia de Fuerzas

llamaremos Empuje �⃗� .

�⃗� = 𝐹 2 − 𝐹 1

Sea “S” la superficie de contacto de las Fuerzas

𝐸 = 𝑆 (𝑝2 − 𝑝1)

𝐸 = 𝑆 𝛾𝑙𝑖𝑞ℎ

∴ 𝐸 = 𝛾𝑙𝑖𝑞𝑉𝑙𝑖𝑞

Donde 𝛾𝑙𝑖𝑞es el peso específico del líquido y 𝑉𝑙𝑖𝑞 es el Volumen desplazado de líquido.

El Principio de Arquímedes también es demostrable con una figura irregular, por ejemplo:

E

En la figura a) se considera un elemento arbitrario de fluido, este se encuentra en equilibrio, entonces las fuerzas de reacción al contacto dibujadas en el grafico como 𝑑𝐹⊥ deben

equilibrar al peso 𝑾𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐, por lo tanto la resultante de estas fuerzas �⃗⃗� = 𝑬𝒎𝒑𝒖𝒋𝒆 debe ser

tal que tenga la misma magnitud que el peso del fluido y debe actuar sobre el centro de gravedad del elemento para que no exista un momento resultante.

Si reemplazamos el elemento de fluido por otro elemento solido por ejemplo, como en la figura b) las fuerzas debidas a la presión 𝑑𝐹⊥ son iguales e independientes del cuerpo que se encuentre en el fluido, debido al teorema general de la hidrostática.

∴ 𝐸 = 𝑊𝑙𝑖𝑞 = 𝛾𝑙𝑖𝑞𝑉𝑙𝑖𝑞

(Empuje para un cuerpo sumergido en más de un líquido)

(Empuje para un cuerpo sumergido en un líquido acelerado)

Trabajo realizado por el Empuje

El empuje siempre es vertical y su sentido es de abajo para arriba, en este aspecto es similar al peso W. Ya que Trabajo del Empuje solo depende de una posición inicial y una posición final, esto quiere decir independiente de la trayectoria, ¡El Empuje es una Fuerza Conservativa! Se podría formular entonces una Energía Potencial debido a la capacidad de hacer Trabajo del Empuje eligiendo un sistema de referencia conveniente.

𝜏 = 𝐸. ∆ℎ

𝑈𝐸 = −𝐸ℎ

El signo negativo en la fórmula de la energía potencial es una simple convención ya que el Empuje tiene un sentido de abajo hacia arriba por ejemplo al aumentar su altura el empuje hace trabajo que se convierte en otra energía, es decir disminuye su energía potencial, al contrario de la Energía Potencial del Peso que aumenta a medida que aumenta la altura ya que el Peso tiene un sentido de arriba hacia abajo.

Ejercicios Propuestos

35) Un vaso comunicante de secciones desiguales 𝑆1 = 4𝑐𝑚2 𝑦 𝑆2 = 2𝑐𝑚

2 contiene inicialmente mercurio de densidad relativa 13,6. En el vaso de mayor sección se carga 136 𝑐𝑚3 de agua. Posteriormente se carga aceite de densidad relativa 0.6 en el otro vaso. Calcular: a) ¿Qué volumen de aceite se debe cargar para que la superficie libre del aceite este al mismo nivel que la superficie libre de agua? b) ¿Cuánto descendió o ascendió, en cada rama, el nivel del mercurio desde la posición inicial (cuando solo había mercurio) a la posición final?

36) El bloque A de la figura cuelga mediante un cordón de la

balanza de resorte D y se sumerge en el líquido C contenido en el

vaso de precipitados B. La masa del vaso es 1kg; la del líquido es

de 1,8kg. La balanza D marca 3,5kg, y la E 7,5kg. El volumen del

bloque A es de 3,8 × 10−3 𝑚3.

a) ¿Qué densidad tiene el líquido?

b) ¿Qué marcará cada balanza si el bloque A se saca del líquido?

37) Los depósitos de la figura son de tal forma que la sección de

los émbolos son cuadradas de aristas 2𝑎 y 𝑎, respectivamente.

Los tubos verticales tienen secciones iguales 𝑆 = 𝑎2/4. Cada

recipiente contiene un volumen total de agua 𝑉 = 5𝑙𝑡𝑠.

Determinar la altura Z, sabiendo que a=10cm y 𝑋 + 𝑌 = 2,625𝑎.

38) Una esfera maciza de peso W y peso específico relativo al

líquido donde se halla sumergida 𝛾′, está sujeta por dos cables I

y II, ¿Cuál es la velocidad lineal de la esfera al pasar por la

posición vertical?

39) Un cuerpo de densidad relativa 𝛿1′ = 0,6 se encuentra sumergido

a una profundidad ℎ = 3𝑚. Exactamente encima de él se encuentra

flotando otro cuerpo de igual volumen, con las tres cuartas partes

sumergidas. Si se suelta el cuerpo sumergido determinar la máxima

altura que subirán los cuerpos luego de chocar, considerando que en

el choque los cuerpos quedan pegados.

40) Una caja cúbica de 1m de arista se encuentra

flotando con la mitad de su volumen sumergido, en

un líquido cuya densidad relativa es 𝛿′ = 0,8.

Determinar las masas 𝑚1 𝑦 𝑚2 de cada una de las dos

aristas opuestas sumergidas, si el ángulo α vale 30⁰ y

se desprecia la masa de las demás partes de la caja.

Respuesta: 302,64kg; 97,36kg

41) El sistema de la figura está constituido por dos esferas de volúmenes

iguales a 10 𝑐𝑚3, unidas entre sí por un hilo de aluminio de 1mm de diámetro.

Las esferas se encuentran flotando en un recipiente en reposo que contiene

agua. La esfera superior flota con la mitad de su volumen sumergido y la esfera

inferior es tres veces más pesada que la superior.

a) Determinar la deformación unitaria del hilo que las une.

b) Calcular el nuevo volumen sumergido de la esfera superior si el sistema se

acelera hacia abajo con una aceleración de 4,9 𝑚/𝑠2

Respuesta: a)2,23 × 10−7 b)5 𝑐𝑚3

42) Un bloque cúbico de madera de densidad 𝛿 = 780𝑘𝑔/𝑚3 de 10 cm de arista

flota en la superficie de separación de dos líquidos, aceite y agua. Si la densidad

del aceite es 𝛿 = 0,6 𝑔/𝑐𝑚3¿Qué altura se encuentra sumergida en el aceite?

1

2

α

Capítulo 7

Hidrodinámica

La hidrodinámica es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de los líquidos en relación con las causas que lo originan.

El estudio de los fluidos en movimiento requiere de varias simplificaciones que permitan analizar su comportamiento. Las condiciones de nuestro análisis son: 1. Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.

2. Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo.

3. Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo.

4. Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuación de Continuidad La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto conduce a una relación cuantitativa importante llamada ecuación de continuidad. Si analizamos el volumen de líquido que pasa a través de la sección 𝐴1 encontramos que durante un tiempo 𝑑𝑡 el líquido avanza una distancia 𝑣1𝑑𝑡, entonces el volumen que fluye es 𝑉 = 𝐴1𝑣1𝑑𝑡 que es el mismo volumen que fluye a través de cualquier otra sección durante un tiempo 𝑑𝑡 por ejemplo 𝑉 = 𝐴2𝑣2𝑑𝑡.

∴𝑉

𝑑𝑡= 𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 = 𝑐𝑡𝑒

El caudal se define como el volumen de agua que pasa a través de una sección en la unidad de tiempo:

𝑄 =𝑉

𝑡= 𝐴𝑣

Si el flujo permanece continuo y estacionario el caudal permanece constante y es aplicable la ecuación de continuidad:

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

𝑝⏟𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎

+ 𝛿𝑔ℎ⏞𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎

+1

2𝛿𝑉2⏟

𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎

= 𝑐𝑡𝑒

Es decir, la sumatoria de estas presiones en cualquier punto, un punto 1 por ejemplo, es igual a la sumatoria de las presiones nombradas en un punto 2:

𝑝1 + 𝛿𝑔ℎ1 +1

2𝛿𝑉1

2 = 𝑝2 + 𝛿𝑔ℎ2 +1

2𝛿𝑉2

2

(Formula de Torricelli) (Tubo de Venturi) (Como funciona un sifón)

(Fuerzas ejercidas por un líquido en movimiento)

43) Determinar el caudal de agua que circula por la tubería de

la figura en función de los datos indicados.

Respuesta: 1

4𝐷2𝑑2√

2𝑔ℎ

𝐷4−𝑑4

44) Dos tanques abiertos muy grandes A y F contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD, con una constricción en C y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Un tubo vertical E emboca en la constricción en C y baja al líquido del tanque F. Suponga flujo de línea de corriente y cero viscosidad. Si el área transversal en C es la mitad del área en D, y si D está a una distancia h1 bajo el nivel del líquido en A, ¿a qué altura h2 subirá el líquido en el tubo E? Exprese su respuesta en términos de h1. Respuesta: 3ℎ1 45) El tubo horizontal de la figura tiene área transversal de 40 𝑐𝑚2 en la parte más ancha y de 10 𝑐𝑚2 en la constricción. Fluye agua en el tubo, cuya descarga es de 6 × 10−3 𝑚3/𝑠. Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y angosta; b) la diferencia de presión entre estas porciones; c) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U.

46) Un tubo de sección transversal uniforme se utiliza para extraer

agua de un recipiente tal como se muestra en la figura. La presión

atmosférica es de 105𝑃𝑎.

a) Obtener una expresión para la velocidad con que el agua

abandona el tubo B

b) Si ℎ2 = 3𝑚 ¿Cuál es la velocidad con que el agua fluye hacia el

exterior en B?

c) Explicar la razón por la cual el agua fluirá por el tubo, desafiando

aparentemente la fuerza de la gravedad.

d) Para este valor de ℎ2 ¿Cuál es el valor máximo de ℎ1, para la cual todavía funcionaria el

sifón?

Respuesta: a)√2𝑔ℎ2 b) 7,67m/s d) 7,2m

47) El recipiente de la figura consta de dos partes de secciones diferentes, cada sección tiene

un embolo y estos se encuentran unidos por una barra, el sistema

de émbolos y la barra pesan 𝑊 = 0,25𝑘𝑔. La sección superior es

𝑆1 = 1𝑐𝑚2 y la inferior es 𝑆2 = 4𝑐𝑚

2. Sobre el embolo superior

se colocaron 136g de mercurio y en la sección inferior hay agua

hasta una altura ℎ𝐻20 = 30𝑐𝑚. La presión manométrica del aire

entre los émbolos es 𝑝𝑚 = 0,1 𝑎𝑡𝑚.

Calcular:

a) La presión del mercurio sobre el embolo superior (A)

b) La presión del embolo inferior (B) sobre la cara superior

del agua c) La velocidad de salida del agua por la parte inferior del

recipiente.

48) Un deposito cerrado de gran sección, contiene aire

comprimido a la presión manométrica de 0,2 atm en la

parte superior y una altura de agua H=3m en la parte

inferior. El agua se descarga por un tubo de 25mm de

diámetro.

El chorro que sale por el mismo se introduce totalmente

en un caño de 15 kg, e igual diámetro que el tubo de

descarga; y que esta pivotado en su extremo como

muestra la figura. Determine el ángulo que forma el tubo

con la vertical.

49) Una boquilla circular entrante de diámetro D, es colocada a una profundidad h por debajo

de la superficie de un tanque. Sabiendo que la velocidad del chorro expulsado es √𝟐𝒈𝒉 y

asumiendo que la velocidad de aproximación en el punto 1 es cero ¿Cuánto será el diámetro

del chorro en el punto 2?