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高等学校研究生教材
Finite Element Method
有 限 单 元 法
薛守义 编 著
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图书在版编目(CIP)数据
有限单元法 /薛守义编著.—北京:中国建材工业出
版社,2005.2ISBN7?80159?853?9
Ⅰ有⋯ Ⅱ薛⋯ Ⅲ有限元法-研究生-教材
Ⅳ024182
中国版本图书馆CIP数据核字(2005)第016868号
内 容 提 要
本书系统地阐述了有限单元法的基本概念、原理和方法,内容涉及结构
有限元分析的各个领域,包括平面问题、空间问题、杆系结构、平板结构、壳
体结构以及结构动力学问题、材料非线性问题、几何非线性问题、边界非线
性问题。此外,还简要介绍了结构物中的热传导、流体与固体相互作用,以
及在吸收有限元技术的基础上发展起来的边界单元法、有限条法、有限元线
法、无网格法。
本书适宜用于工程力学、结构工程、机械工程、道路与桥梁工程、岩土工
程等专业的研究生教材和继续学习的材料,也可作为其他相关专业科技人
员的参考书。
有限单元法
薛守义 编著
出版发行:
地 址:北京市西城区车公庄大街6号
邮 编:100044经 销:全国各地新华书店
印 刷:北京鑫正大印刷有限公司
开 本:787mm×960mm 1/16印 张:215字 数:416千字
版 次:2005年2月第一版
印 次:2005年2月第一次
定 价:3600元
网上书店:www.ecool100.com本书如出现印装质量问题,由我社发行部负责调换。联系电话:(010)88386904
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前 言
有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50年代发展起来的杆系结构矩阵位移法。1956年,Turner等人将这一思想加以推
广,用来求解弹性力学平面问题。1960年,Clough把这种解决弹性力学问题的
方法命名为“有限单元法”。此后,有限单元法获得迅速发展,逐渐趋于成熟,并
以其理论基础坚实、通用性和实用性极强等突出优点,被公认为最有效的数值方
法。目前,它已成为科学探索的有力工具;计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助
制造(CAM)的基本组成部分;而且被普遍列为工程力学、结构工程、机械工程、岩
土工程等专业的研究生学位课程。
从学科发展上看,有限单元法在20世纪70年代初期,原理上已基本成熟,
方法也逐步趋于完善。不过,到目前为止,在深化理论基础、构造优质单元、扩展
应用范围、提高计算效率与精度等方面仍有发展的余地。特别是对于复杂系统
行为的过程模拟或仿真计算,有限单元法仍面临巨大挑战,例如空间飞行系统响
应的模拟、核反应堆在事故工况下响应的模拟、多场耦合作用分析等。在各种复
杂问题中,有些实质性的东西(例如本构方程)并不属于有限单元法的范围,但其
发展仍需有限元技术的提高与适时参与。
从应用技术上看,到目前为止,已开发出很多商业化的有限元分析软件。一
般结构分析问题均可采取通用程序或专用程序求解,不必花费过多精力和时间
另编计算程序。即使如此,为了合理地使用或开发通用程序、准备数据以及恰当
地分析计算结果,必须对有限单元法的基本原理与方法有相当程度的理解,否
则,现成的有限元程序就只能是一个黑箱,使用者将面临很多困难的选择而处于
非常不利的地位。
从本质上讲,有限单元法是求解微分方程的一种近似方法,因此不仅能成功
地处理结构分析中的各种复杂问题,而且还被有效地用于求解热传导、流体力学
以及电磁场等领域的计算问题。本书以结构有限元分析为主,同时介绍与结构
分析有关的热传导问题以及流体与固体相互作用问题。
编写本书的意图是全面而系统地阐述有限单元法的概念、原理和方法,目的
在于使读者能够清晰地表达各种结构分析理论,深刻地理解有限单元法的数学
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力学基础,正确地构造单元并建立有限元公式,比较全面地掌握各种单元的性
能,从而能够有效地利用现有成果和程序进行结构分析,并为改进现有分析理
论、方法和计算程序(例如将新型单元或材料模型接入通用程序)打下坚实的基
础。
本书旨在为两方面的读者提供服务。其一是作为工程力学、结构工程、机械
工程、道路与桥梁工程、岩土工程等专业的研究生教材;其二是作为科技人员和
教师的参考书。作为硕士研究生教材时,建议授课内容(根据课时的多少)从前
14章中选取,难度较大的第15章和第16章可作为研究生继续学习的内容。第
17章简要介绍了在吸收有限元技术的基础上发展起来的边界单元法、有限条
法、有限元线法、无网格法,它有助于读者纵向地了解各种方法的特点,以便必要
时做出合适的选择。
本书编写过程中参考了大量文献资料,在此向他们表示衷心感谢。同时恳
请读者对本书提出批评指正。
编 者
2004年10月
2 有限单元法
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目 录
主要符号
第1章 有限单元法基本程式 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 弹性力学平面问题 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 结构离散 (4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13 单元分析 (5)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14 整体分析 (12)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
15 数值求解 (16)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
16 结语 (19)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (19)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第2章 有限单元法基本原理 (21)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
21 微分方程提法 (21)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
22 泛函变分提法 (26)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
23 位移有限单元法 (33)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
24 应力有限单元法 (37)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
25 结语 (40)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (41)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第3章 平面问题 (42)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
31 单元构造原则与方法 (42)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
32 矩形单元 (45)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
33 高次三角形单元 (49)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
34 T6单元计算 (54)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
35 结语 (57)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (57)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第4章 空间问题 (58)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
41 环状单元 (58)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
42 线性四面体单元 (63)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
43 高次四面体单元 (68)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
44 结语 (69)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (70)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第5章 等参单元 (71)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
51 等参单元的基本思想 (71)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
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52 平面四边形等参单元 (74)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
53 空间六面体等参单元 (79)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
54 高次三角形等参单元 (84)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
55 高次四面体等参单元 (85)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
56 数值积分 (86)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
57 结语 (90)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (91)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第6章 杆系结构 (92)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
61 工程梁单元 (92)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
62 剪切梁单元 (101)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
63 通用梁单元 (106)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
64 空间梁单元 (109)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
65 结语 (112)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (113)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第7章 平板结构 (114)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
71 薄板单元 (114)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
72 厚板单元 (126)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
73 DKT单元 (130)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
74 通用板单元 (133)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
75 结语 (134)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (134)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第8章 壳体结构 (136)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
81 平板型壳单元 (136)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
82 曲面型壳单元 (144)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
83 退化型壳单元 (150)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
84 结语 (157)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (157)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第9章 若干实际考虑 (158)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
91 单元与网格 (158)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
92 自由度减缩 (159)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
93 结果的处理 (162)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
94 自适应分析 (166)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
95 单元的连接 (170)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
96 初应变和初应力 (173)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
97 复杂结构材料 (174)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 有限单元法
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98 结语 (176)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (176)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第10章 动力分析 (177)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
101 动力有限元方程 (177)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
102 结构固有特性 (182)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
103 结构动力响应 (184)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
104 解的稳定性 (190)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
105 结语 (192)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (192)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第11章 多场问题 (194)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
111 热传导与变温应力 (194)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
112 流体与结构相互作用 (200)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
113 结语 (204)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (204)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第12章 有限元原理进阶与单元构造 (205)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
121 修正泛函及其构造方法 (205)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
122 广义变分原理与混合单元 (207)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
123 修正变分原理与杂交单元 (213)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
124 加权余量法与单元构造 (221)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
125 小片试验与非协调元 (225)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
126 结语 (232)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (232)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第13章 非线性方程求解 (234)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
131 迭代法 (234)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
132 增量法 (242)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
133 若干实际考虑 (244)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
134 结语 (247)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (247)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第14章 材料非线性问题 (248)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
141 材料本构方程 (248)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
142 弹塑性有限元方程 (263)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
143 流变有限元方程 (265)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
144 若干实际考虑 (267)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
145 结语 (268)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (269)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3目 录
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第15章 几何非线性问题 (270)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
151 变形和位移 (270)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
152 应变度量 (276)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
153 应力度量 (280)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
154 本构方程 (283)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
155 平衡方程 (286)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
156 微分方程弱形式 (286)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
157 有限元离散方程 (289)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
158 结语 (296)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (296)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第16章 边界非线性问题 (298)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
161 接触问题定义 (298)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
162 接触分析原理 (303)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
163 接触问题算法 (304)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
164 结语 (308)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (309)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
第17章 有限单元法旁系发展 (310)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
171 边界单元法 (310)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
172 有限条法 (314)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
173 有限元线法 (319)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
174 无网格法 (322)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
175 结语 (326)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
习 题 (326)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
参考文献 (327)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 有限单元法
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主 要 符 号
A 单元面积
Ae 平面问题或板弯曲问题中的单元面积域
ae 单元节点位移向量
a 整体节点位移向量
B,Bi 单元应变矩阵及其子矩阵
Bb,Bbi 板单元弯曲应变矩阵及其子矩阵
Bs,Bsi 板单元剪切应变矩阵及其子矩阵
C 阻尼矩阵或柔度矩阵
D 弹性矩阵
E 弹性模量
f 体力向量
G 剪切模量
J,J Jacobi矩阵及其行列式
Ke,K 单元刚度矩阵,整体刚度矩阵
Li 三角形单元的面积坐标
M 弯矩
M 质量矩阵或薄板弯曲中力矩组成的广义应力向量
Mx,My,Mxy 板弯曲问题中垂直x轴和y轴的截面上单位长度
的弯矩及扭矩
N,Ni 单元形函数矩阵,节点i的形函数
P,Pe 整体荷载向量,单元等效节点荷载向量
p 面力向量
T 转换矩阵
t 单元厚度
u 单元位移向量
u,v,w 位移向量的分量,表示x,y,z方向的位移
ε 应变向量
σ 应力向量
方向余弦矩阵
1主要符号
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θ,θxi,θyi 梁、板、壳法线转角
ξ,η,ζ 单元局部坐标或等参坐标
Πc,Πmc 余能泛函及修正余能泛函
Πp,Πmp 势能泛函及修正势能泛函
Ω,Γ 求解域及其边界
2 有限单元法
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第1
章
有限单元法基本程式
有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)是一种求解微分方程的近
似方法,起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程,包括控制方程和
边界条件;而有限元分析程式早已标准化,典型步骤包括结构或区域离散、单元
分析、整体分析和数值求解。
本章以弹性力学平面问题为例,阐述有限单元法的基本概念与程式。采用
有限单元法求解平面问题不仅简单,而且具有典型性。掌握了平面问题的有限
元分析方法,就可以很容易地推广到其他问题中去。
11 弹性力学平面问题
111 基本概念
平面问题是指这样一些问题,其结构尺寸及荷载分布沿某个方向(通常取为
z轴)不变,且具有特殊的边界条件。这样,结构内部的应力和应变就与z坐标
无关,而只是x,y坐标的函数。平面问题分为两种,即平面应力问题和平面应
变问题。
(1)平面应力问题
如果在结构内部只存在xy平面内的三个应力分量σx,σy,τxy,而另外三个
应力分量σz=τzx=τzy=0,则称为平面应力问题。例如,只承受纵向面内荷载
的薄板就可近似地视为这种问题(图11a):由于板很薄,故可认为应力和应变
与z坐标无关。再注意到平板两面上的σz=τzx=τzy=0,便可近似地认为这些
应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质,根据广义Hooke定律,
平面应力问题中的γzx和γzy显然为零,而εz由下式确定
εz=-νE σx+σ( )y (11)
其中,E为弹性模量;ν为泊松比。
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图11 平面问题
(2)平面应变问题
如果在结构内部只存在xy平面内的三个应变分量εx,εy,γxy,而另外三个
应变分量εz=γzx=γzy=0,则称为平面应变问题。很多结构分析问题都可简化
为平面应变问题,例如水坝、挡土墙、边坡、厚壁圆筒、隧道等。对于各向同性线
性弹性介质,根据广义Hooke定律,平面应变问题中的τzx和τzy显然也为零,而
σz由下式确定
σz=ν(σx+σy) (12)
在平面问题(无论平面应力还是平面应变)中,非零或独立的应力和应变只
有三个,即σx,σy,τxy和εx,εy,γxy,其向量式分别为
σ=
σxσyτx
烅烄
烆烍烌
烎y
= σx σy τx[ ]y T, ε=
εxεyγx
烅烄
烆烍烌
烎y
= εx εy γx[ ]y T
非零或独立的位移分量有两个,即沿坐标轴x,y方向的位移u,v,记为
u=u烅烄
烆烍烌
烎v=[ ]u v T
112 控制方程
(1)平衡方程
平衡微分方程简称平衡方程,它所描述的是物体或结构内部应力与外部体
积力之间的关系。在平面问题中,平衡方程为
σxx+
τyxy+X=0
τxyx+
σyy+Y
烍
烌
烎=0(13)
2 第1章 有限单元法基本程式
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其中X,Y分别为体力沿x,y方向的分量。f为体力向量,即
f=X{ }Y =[ ]X Y T
(2)几何方程
几何方程表达应变分量与位移分量之间的关系。平面问题几何方程的表达
式为
εx=ux
εy=vy
γxy=vx+
u
烍
烌
烎y
(14)
(3)本构方程
材料的本构方程表达应力与应变之间的关系。对于各向同性线性弹性介
质,有
σ=Dε (15)
根据广义Hooke定律,不难得到平面问题的弹性矩阵D。例如,对于平面应力
问题
D= E1-ν2
1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν)/
熿
燀
燄
燅2
(16)
对于平面应变问题,只要把上述各式中的E换成E/(1-ν2),把ν换成ν/(1-ν)
即可。
113 边界条件
边界条件是指求解域Ω的边界Γ上所受到的外加约束或作用。通常Γ可
以分为两个部分,即面力边界Γσ和位移边界Γu;在Γσ 上给定面力,在Γu 上给
定位移。有时在同一边界上,同时给定一部分面力和一部分位移,这种边界称为
混合边界。
(1)应力边界条件
在Γσ附近取微元体,面力与应力之间的平衡条件就是应力边界条件。在
平面问题中,有
311 弹性力学平面问题
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lσx+mτyx=珚Xlτxy+mσy=珡
烍烌
烎Y(17)
其中,珚X,珡Y 为已知的边界面力沿x,y方向的分量,面力向量珔p记为
珔p=珚X珡{ }Y = 珚X 珡[ ]Y T
l,m 为边界外法线N的方向余弦,l=nx=cos(N,x),m=ny=cos(N,y)。
(2)位移边界条件
位移边界条件是指结构在位移边界Γu 上所受到的约束。在平面问题中,
可表示为
u=珔u, v=珔v (18)
其中,珔u,珔v为已知的边界位移分量。
114 问题解法
(1)解析方法
求解上述问题可以采用解析方法,即在给出的边界条件下直接求解控制微
分方程,得出解析函数形式的解答。在具体求解时,可选择某些未知量作为基本
未知量,从而简化控制方程组。根据基本未知量的选取,可将求解方法分为位移
法、应力法和混合法,它们分别以位移分量、应力分量、一部分位移分量和一部分
应力分量为基本未知量。
(2)近似方法
对于很多实际问题,要获得解析解是不可能的。为了克服数学上的困难,学
者们提出了多种近似求解方法,例如有限差分法、变分法、有限单元法等,其中有
限单元法以其理论基础坚实、实用性极强等突出优点而被公认为最有效的数值
方法。
在有限单元法中,位移法应用最为广泛,其基本思想可简述如下:将结构离
散成有限个单元,每个单元设定若干个节点;选取节点位移作为基本未知量,并
在每个单元区域内选用某种插值函数以近似地表示单元内位移的分布;利用某
种原理(例如虚位移原理)建立求解基本未知量的方程组。
12 结 构 离 散
结构有限元分析的第一步是将结构离散化,即用假想的线或面将连续体分
割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体
4 第1章 有限单元法基本程式
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代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。在位移法中,
位移是场变量,节点位移为基本未知量。
对于平面问题,可采用3节点三角形单元(T3)离散结构,这些单元通过节点
互相连接(图12)。
图12 结构离散化
结构离散后,要对所有节点和单元从1开始按序进行编号。T3单元的节点
局部码为1,2,3,单元节点位移向量表示为
ae=
a1a2a烅烄
烆烍烌
烎3
, ai=uiv烅烄
烆烍烌
烎i(i=1,2,3)
13 单 元 分 析
在结构有限元中,单元分析的基本任务是建立单元节点力与节点位移之间
的关系即单元刚度方程,从而确定单元刚度矩阵。此外,还须将外部荷载转化为
单元等效节点荷载。
131 位移函数
给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分
布规律,即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个
数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
在有限单元法中,普遍地选择多项式作为位移函数,其原因是多项式的数学
运算比较简单;其理论根据则在于精确解总是能够在任一点的邻域内由多项式
逼近。
既然单元内任意点的位移由单元节点位移参数完全确定,因此选择单元位
移函数的一个基本原则就是,位移函数中的待定常数(也称为广义坐标)与单元
513 单 元 分 析
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节点位移参数相等。T3单元共有6个节点位移分量,故位移函数应包含6个待
定常数。为此,可假设单元内的位移为x,y的线性函数,即
u=α1+α2x+α3yv=α4+α5x+α6
烍烌
烎y(a)
设节点1,2,3的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)。将节点位移分量
和节点坐标代入式(a)
u1=α1+α2x1+α3y1u2=α1+α2x2+α3y2u3=α1+α2x3+α3y
烍烌
烎3
,
v1=α4+α5x1+α6y1v2=α4+α5x2+α6y2v3=α4+α5x3+α6y
烍烌
烎3
(b)
可求得待定系数;再将求得的系数代入式(a),整理后得
u=N1u1+N2u2+N3u3v=N1v1+N2v2+N3v
烍烌
烎3(19a)
或
u=u{ }v = N1I N2I N3[ ]Iae=Nae (19b)
其中,I是二阶单位矩阵,即
I=1 0[ ]0 1
Ni是插值函数,它们决定单元位移场的基本形态,且只与单元的形状、节点的配
置及插值方式有关,故通常称为形函数;N称为形函数矩阵。N的元素为
Ni=12A
(ai+bix+ciy) (i=1,2,3) (110)
其中的常数为
ai=xj yjxm ym
=xjym-xmyj
bi=-1 yj1 ym
=yj-ym
ci=1 xj1 xm
=-xj+xm
(i,j,m=1,2,→← 3
烍
烌
烎)
(111)
6 第1章 有限单元法基本程式
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2A=
1 x1 y11 x2 y21 x3 y3
(112)
根据解析几何,式(112)中的A等于三角形单元的面积。为使求得面积的
值不致成为负值,节点1,2,3的次序必须是逆时针转向(图12)。此外,ai,bi和ci是行列式2A第i行各元素的代数余子式。
132 应变和应力
单元位移函数确定以后,未知量就归结为节点位移。将单元位移函数(19)
代入几何方程(14),可得以单元节点位移表示的单元应变
ε=
εxεyγx
烅烄
烆烍烌
烎y
=12A
b1 0 b2 0 c3 00 c1 0 c2 0 c3c1 b1 c2 b2 c3 b
熿
燀
燄
燅3
ae (113a)
或
ε= B1 B2 B[ ]3ae=Bae (113b)
其中
Bi=12A
bi 00 cici b
熿
燀
燄
燅i
(i=1,2,3) (114)
可见,应变矩阵的元素为常数,单元应变自然也是常数。因此,T3单元称为
常应变三角形单元,简称CST单元。将式(113)代入本构方程(15)得到用节
点位移表示的单元应力
σ=Dε=DBae (115a)
或
σ=Sae= S1 S2 S[ ]3ae (115b)
对于平面应力问题,应力矩阵S的子矩阵为
Si=E
2(1-ν2)A
bi νciνbi ci1-ν2 ci
1-ν2 b
熿
燀
燄
燅i
(i=1,2,3) (116)
713 单 元 分 析
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对于平面应变问题,只要把上述各式中的E换成E/(1-ν2),把ν换成ν/(1-ν)
即可。
133 单元刚度矩阵
从平衡结构中取出的单元也是平衡的。显然,在与其相邻单元的公共边界面
上作用有分布力。此外,单元上就不再有其他力了(因为在有限单元法中,作用于
单元上的全部荷载都要按照等效的原则转化为作用于节点上的等效节点荷载)。
对于平衡的单元来讲,上述边界上的分布力显然是平衡的外力系,并与单元
的内部应力相对应。为方便起见,用等效的单元节点力来代替这些分布力。图
13所示为T3单元边界上的分布力和节点力。这样,单元节点力就与单元内部
应力相对应。节点力可理解为节点对单元的作用力。显然,对于单元而言,节点
力是外力;而对于整体结构来说,节点力则是内力。
图13 单元节点力
根据虚位移原理,可建立单元节点力与节点位移之间的关系即单元刚度方
程,从而得单元刚度矩阵。虚位移就是任意的、微小的可能位移,虚位移原理可
表述如下:如果在虚位移发生之前物体处于平衡状态,那么在虚位移发生时,外
力所做虚功等于物体的虚应变能。现假定单元e发生虚位移,根据式(19)有
δu=Nδae (a)
其中,δae为单元节点虚位移向量。按式(113),单元的虚应变为
δε=Bδae (b)
将虚位移原理应用于该单元,则单元节点力所做虚功等于单元的虚应变能,即
δaeTFe=∫ΩeδεTσdΩ (c)
其中,Ωe为单元体积域;Fe为单元节点力向量。例如,对于T3单元有
Fe=
F1F2F烅烄
烆烍烌
烎3
, Fi=UiV烅烄
烆烍烌
烎i(i=1,2,3)
8 第1章 有限单元法基本程式
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将式(a)和(b)代入式(c),得
δaeTFe=δaeT∫ΩeBTσdΩ=δaeT∫ΩeBTDBaedΩ由于虚位移是任意的,等式两边与δaeT相乘的矩阵应当相等,从而得到单元刚
度方程
Fe=∫ΩeBTσdΩ 或 Fe=Keae (117)
其中,Ke称为单元刚度矩阵,其表达式为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ (118)
在平面问题中,被积函数与z坐标无关,故有
Ke=ΩeBTDBtdxdydz=AeBTDBtdxdy其中,Ae为单元面积域;t为单元厚度。如果单元的材料是均质的,则矩阵D中
的元素是常量;如果单元厚度也是常量,再注意到Aedxdy=A,则有
Ke=BTDBtA=
k11 k12 k13k21 k22 k23k31 k32 k
熿
燀
燄
燅33
对于平面应力问题,子矩阵为
kij=BTiDBjtA=Et
4(1-ν2)A
bibj+1-ν2 cicj νbicj+
1-ν2 cibj
νcibj+1-ν2 bicj cicj+
1-ν2 bib
熿
燀
燄
燅j
(i=1,2,3;j=1,2,3)
单元刚度矩阵是6×6阶矩阵。为研究其性质,将单元刚度方程(117)写成
下述形式
U1V1U2V2U3V
烅
烄
烆
烍
烌
烎3
=
k11 k12 k13 k14 k15 k16k21 k22 k23 k24 k25 k26k31 k32 k33 k34 k35 k36k41 k42 k43 k44 k45 k46k51 k52 k53 k54 k55 k56k61 k62 k63 k64 k65 k
熿
燀
燄
燅66
u1v1u2v2u3v
烅
烄
烆
烍
烌
烎3
(d)
913 单 元 分 析
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(1)kij的物理意义
kij即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零
时,在第i个自由度方向引起的节点力。
(2)Ke的对称性
根据功的互等定理,u1=1时产生的节点力V1等于v1=1时产生的节点
力U1,即k21=k12。更一般地,有kij=kji。故Ke 是对称矩阵。事实上,从式
(118)很容易看出Ke的对称性。
(3)Ke的奇异性
当单元所有节点位移分量均发生单位位移时,由式(d)得
U1=k11+k12+k13+k14+k15+k16…
V3=k61+k62+k63+k64+k65+k烍烌
烎66
由于上述位移属于单元刚体移动,故所有节点力分量应均为零。于是,单元刚度
矩阵中任何一行元素的代数和等于零。由对称性可知,任何一列元素的代数和
也等于零。可见,单元刚度矩阵的行列式为零,即是奇异的。
134 等效节点荷载
离散体系的平衡分析是在节点上进行的,因此需要把作用在单元体上的非
节点荷载化成等效节点荷载。集中力作用点通常都被取做节点,因此荷载移置
的任务是将体力和面力按照静力等效的原则化成节点荷载。所谓静力等效就
是,原荷载与移置后的节点荷载在虚位移上的虚功相等。
当单元发生虚位移时,体力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚
功,即
δaeTPef=∫ΩeδuTfdΩ其中,Pef为单元的体力等效节点荷载。将δu=Nδae 代入上式,并注意到虚节
点位移的任意性,得
Pef=∫ΩeNTfdΩ (119)
在平面问题中,有
Pef=AeNTftdxdy (a)
当单元发生虚位移时,面力所做的虚功应当等于其等效节点荷载所做的虚
功,即
01 第1章 有限单元法基本程式
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δaeTPep=∫ΓeσδuT珔pdΓ
其中,Pep 为单元的面力等效节点荷载。将δu=Nδae代入上式得
Pep=∫ΓeσNT珔pdΓ (120)
在平面问题中,有
Pep=∫l
0NT珔ptds (b)
对于T3单元,根据图14所示的几何意义(参见习题16),不难看出
图14 Ni的几何意义
AeNidxdy=A/3 (i=1,2,3) (c)
∫lNids=l/2 (i=1,2,3) (d)
【例题11】 求常体力的等效节点荷载。
解 当体力为常数时,式(a)中的体力向量可提到积分号外。注意到式(c)有
Pef=tAeN1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N
[ ]3
T
dxdyX{ }Y
=tA31 0 1 0 1 0[ ]0 1 0 1 0 1
T X{ }Y=tA3
[X Y X Y X Y]T
当体力为重力,即f=[0 -ρg]T(图15a)时,其等效节点荷载为
Pef=-13ρgtA
[0 1 0 1 0 1]T
图15 外力
1113 单 元 分 析
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【例题12】 设31边的长度为l,其上作用沿x方向的均布荷载px=p(图
15b),求其等效节点荷载。
解 在31边上,N2=0。注意到式(d),珔p=[p 0]T的等效节点荷载为
Pep=∫l
0
N1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N
[ ]3
T p{ }0tds=plt2
[1 0 0 0 1 0]T
14 整 体 分 析
整体分析的基本任务是建立整体刚度方程,形成整体刚度矩阵和整体节点
荷载向量。
141 节点平衡
根据每个节点处力(各相关单元的节点力和节点荷载)的平衡条件,可得到一
组以节点位移分量为未知量的代数方程组。从结构中取出一个节点i,环绕节点i有若干个单元,节点i承受的节点荷载为Xi,Yi(图16),记为Pi=[Xi Yi]T。
单元作用于节点上的力与节点作用于单元上的节点力大小相等方向相反。
取节点i为脱离体,那么该节点在节点荷载和各单元所施加的节点力之间保持
平衡,即
∑eUie=Xi, ∑
eVie=Yi
显然,与节点i无关的单元不进入上述求和式。如果把单元e对节点i的作用
力记为Fie= Uie V[ ]ie T,则上式可用矩阵表示为
∑eFie=Pi
图16 节点i的平衡
21 第1章 有限单元法基本程式
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每个节点都可列出如上所述的一组平衡方程。如果有限元计算模型共有
N个节点,则可得到2N阶线性方程组
Ka=P (121)
此即整体刚度方程。其中K为整体刚度矩阵;a和P分别为整体节点位移向量
和整体节点荷载向量,即
a=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎N
, P=P1…
P烅烄
烆烍烌
烎N
142 虚功原理
也可以采用虚位移原理来建立整体刚度方程。为此,将虚位移原理应用于
整个结构,则整体节点荷载所做虚功等于所有单元的虚应变能之和,即
∑e∫ΩeδεTσdΩ=∑e∫Ωeδu
TfdΩ+∫ΓeσδuT珔pd( )Γ
将虚位移以及虚应变与虚节点位移之间的关系代入上式得
∑e∫ΩeδaeTBTσdΩ=∑eδaeT∫ΩeN
TfdΩ+∫ΓeσNT珔pd( )Γ
将单元节点位移向量ae用整体节点位移向量a来表示,即
ae=Aea
其中,Ae为单元连接矩阵。于是,得到整体平衡方程
∑eAeT∫ΩeBTσdΩ=∑eAeT(Pef+Pep) (122a)
将式(115)代入上式,可得到式(121),且
K=∑eAeTKeAe, P=∑
eAeT(Pef+Pep) (122b)
为简便起见,上式通常写成
K =∑eKe, P=∑
e(Pef+Pep) (122c)
此时的求和号表示集成,而非简单相加。
必须指出,在前面的分析中引入节点力并不意味着近似,因为在应用虚位移
原理进行整体分析时,根本涉及不到单元节点力问题。仅从整体分析考虑,内部
3114 整 体 分 析
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等效节点力的概念似乎可以放弃。但是,在有限单元法中,定义节点力是有意义
的,因为从功的意义上它们与节点位移共轭。为使节点力与节点位移之积给出
功的正确表达式,规定节点力的正向与节点位移的正向一致。
143 直接集成
在实际有限元分析中,建立整体刚度矩阵最常用的方法是直接集成法或直
接刚度法,即直接由单元刚度矩阵集合而成,其关键是把所有单元刚度矩阵的各
元素安放到K中的适当位置。具体地说,就是将单元刚度矩阵Ke扩大成单元
的贡献矩阵Kec;然后将各单元的Kec直接相加得出K。
(1)分块集成
对于三角形单元,分块集成时需把Ke中的6个元素搬家,按照整体码的顺
序在扩大后的矩阵中重新排列,并在空白处用零元素填补起来。一般地说,若单
元e的局部码1,2,3分别对应于整体码I,J,M,且设I<J<M,则该单元的贡
献矩阵如式(123)所示。
整体码 1 ⋯ I ⋯ J ⋯ M ⋯ N
Kec=
1…
I…
J…
M…
N
0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0… … … … …
0 ⋯ k11 ⋯ k12 ⋯ k13 ⋯ 0… … … … …
0 ⋯ k21 ⋯ k22 ⋯ k23 ⋯ 0… … … … …
0 ⋯ k31 ⋯ k32 ⋯ k33 ⋯ 0… … … … …
0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯
熿
燀
燄
燅0
1
2
3
(123)
1 2 3 局部码
(2)元素集成
在实际计算中,需要按元素形式集成整体刚度矩阵。如果单元e的局部码
1,2,3分别对应于整体码I,J,M,则该单元节点自由度编码如表11所示。
表11 自由度局部码与整体码
节点自由度 u1 v1 u2 v2 u3 v3
自由度局部码 1 2 3 4 5 6
自由度整体码 2I-1 2I 2J-1 2J 2M-1 2M
41 第1章 有限单元法基本程式
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利用上述编码表,不难确定单元刚度系数与整体刚度系数的对应关系。例如对
于单元刚度系数k25,从编码表第2格取出2I,从第5格取出2M-1,则对应的
整体刚度系数为K2I,2M-1,即
k25→K2I,2M-1
同理
k11→K2I-1,2I-1
…
把全部单元的刚度系数都按照编码表叠加到相应的整体刚度系数中去,就
可得到整体刚度矩阵。
(3)荷载集成
荷载集成的任务是形成整体节点荷载向量P。总的节点荷载包括集中力和
体力、面力移置而成的等效荷载。集中力作用点通常都被取做节点,因此只要将
给定的集中力直接送入P中的适当位置即可。例如在整体码为I的节点上沿x方向作用集中力Q,则该集中力在P中的位置为2I-1。
体力和面力按照等效的原则化成节点荷载。一般是先按单元移置,以后按
节点叠加。例如,设单元e的体力等效节点荷载向量已经得到,记为
Pef= F1x F1y F2x F2y F3x F3[ ]y T
若该单元节点局部码1,2,3对应的整体码为I,J,M,则F2x在P中的位置为
2J-1。
144 K的性质
(1)Kij的意义
整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自
由度发生单位位移,而其他节点位移都保持为零的变形状态,在所有各节点上需
要施加的节点荷载。例如,令u1=1,其余的节点位移均为零,则式(121)的节
点荷载向量显然等于K 的第一列元素的列阵。从物理上说,K 之对角线上的
主元素Kii总是正的,否则作用力的方向将与它引起的对应位移的方向相反。
(2)对称性
根据功的互等定理,可知K是对称矩阵。由于K是对称的,故在实际计算
中只形成并存贮上三角阵或下三角阵即可。
(3)奇异性
从物理上讲,当结构的几何约束尚未设置、刚体位移未被排除之前,不可能
有唯一的位移解。这个物理事实在数学上表现为K的奇异性,即其行列式的值
5114 整 体 分 析
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等于零。
(4)稀疏性
K是稀疏矩阵,且划分的单元越多越稀疏。如果节点编号恰当,那些非零
元素都将集中于刚度矩阵的对角线附近,呈斜带状(图17)。显然,带外的零元
素不必存贮,也不参加运算,这是有限元整体刚度矩阵的优良数值特性。
图17 半带宽
在整体刚度矩阵的各行中,由对角线到带边界所包
含最多的元素数目称为半带宽(Semi?bandwidth),用B表示。若单元各节点的整体码I,J,M 等非常接近,则
该单元的刚度系数便集中在K 的对角线附近。不难发
现,半带宽决定于各单元中节点整体码的最大差值D。
如果每个节点的自由度为n,则有
B=n(D+1) (124)
在平面问题中,n=2。
15 数 值 求 解
151 边界条件的引入
如前所述,整体刚度矩阵K 是奇异的,只有引入位移边界条件对刚度矩阵
加以修改,即消除刚体位移后才能求解整体刚度方程。对于平面问题来说,要消
除刚体位移,至少要有三个位移约束条件。
(1)零位移的实现
对于具有N个节点的平面结构,其平衡方程为
K1,1 K1,2 K1,3 K1,4 ⋯ K1,2N
K2,1 K2,2 K2,3 K2,4 ⋯ K2,2N
K3,1 K3,2 K3,3 K3,4 ⋯ K3,2N
K4,1 K4,2 K4,3 K4,4 ⋯ K4,2N
… … … … … …
K2N,1 K2N,2 K2N,3 K2N,4 ⋯ K2N,2
熿
燀
燄
燅N
u1v1u2v2…
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
=
X1Y1X2Y2…
Y
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
(125)
例如,为实现u1=0的条件,在式(125)中可作如下变化:在整体刚度矩阵K中,除了保留与u1相对应的并在主对角线上的系数K1,1外,第一行和第一列的
其余系数均改为零;在荷载列阵中,令u1对应的X1=0,从而有
61 第1章 有限单元法基本程式
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K1,1 0 0 0 ⋯ 00 K2,2 K2,3 K2,4 ⋯ K2,2N
0 K3,2 K3,3 K3,4 ⋯ K3,2N
0 K4,2 K4,3 K4,4 ⋯ K4,2N
… … … … ⋯ …
0 K2N,2K2N,3K2N,4 ⋯ K2N,2
熿
燀
燄
燅N
u1v1u2v2…
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
=
0Y1X2Y2…
Y
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
(126)
按式(126)求解就能实现u1=0的条件,其他零位移条件的实现可类推。
(2)有限位移的实现
例如,为实现u2=b,可仿照上述做法将式(125)改为
K1,1 K1,2 0 K1,4 ⋯ K1,2N
K2,1 K2,2 0 K2,4 ⋯ K2,2N
0 0 K3,3 0 ⋯ 0K4,1 K4,2 0 K4,4 ⋯ K4,2N
… … … … ⋯ …
K2N,1 K2N,2 0 K2N,4 ⋯ K2N,2
熿
燀
燄
燅N
u1v1u2v2…
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
=
X1-K1,3bY1-K2,3bK3,3b
Y2-K4,3b…
YN-K2N,3
烅
烄
烆
烍
烌
烎b(127)
不难发现,按(127)求解就能实现u2=b的条件。
然而,为程序设计方便起见,通常采用如下近似方法:把与u2对应的对角
线上的刚度系数K3,3乘以一个大数α(例如1010);把u2对应的节点荷载换成
αbK3,3,其余均保持不变,即把平衡方程改为
K1,1 K1,2 K1,3 K1,4 ⋯ K1,2N
K2,1 K2,2 K2,3 K2,4 ⋯ K2,2N
K3,1 K3,2 αK3,3 K3,4 ⋯ K3,2N
K4,1 K4,2 K4,3 K4,4 ⋯ K4,2N
… … … … … ⋯
K2N,1 K2N,2 K2N,3 K2N,4 ⋯ K2N,2
熿
燀
燄
燅N
u1v1u2v2…
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
=
X1Y1
αbK3,3
Y2…
Y
烅
烄
烆
烍
烌
烎N
(128)
显然,由于αK3,3比其他刚度系数大得多,故第三个方程实际上可写成
αK3,3u2≈αbK3,3
从而近似地实现了规定的边界条件u2=b。
152 未知量的求解
引入边界条件消除奇异性后,便可求解整体刚度方程。线性代数方程组的
7115 数 值 求 解
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求解方法可分为两类,即直接解法(例如高斯消去法、三角分解法、波前法等)和
迭代解法(例如超松弛迭代法、共轭梯度法等)。目前直接解法占主导地位,但在
大型问题中,更多采用的则是迭代解法。必须指出,代数方程组求解的效率在很
大程度上决定着有限元计算的效率,因此方程组解法备受重视。然而,本书不打
算介绍这方面的内容,因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。
求出节点位移后,计算单元应变、单元应力非常简单。事实上,只要按照前
图18 弹性薄板
述分析的步骤回代求解即可。
【例题13】 图18所示为一厚度为t的
弹性薄 板,其 材 料 的 弹 性 模 量 为E,泊 松 比
ν=02。单位长荷载q,不考虑重力。试计算
弹性体的位移和应力。
解 ①结构离散化
将结构化分为三个单元,共5个节点,其
中节点3,4,5为固定边界点。
单元节点局部码与整体码的对应关系
单元号 1 2 3局部码 1 2 3 1 2 3 1 2 3整体码 1 3 4 2 4 5 4 2 1
②单元刚度矩阵
对于单元(1),可求得A=05,b1=0,b2=-1,b3=1,c1=1,c2=-1,
c3=0。计算结果表明,三个单元的刚度矩阵相同,即
Ke= Et192×
04 0 -04 -04 0 040 1 -02 -1 02 0-04 -02 14 06 -1 -04-04 -1 06 14 -02 -040 02 -1 -02 1 0
熿
燀
燄
燅04 0 -04 -04 0 04③整体刚度方程
K=
k(1)11+k
(3)33 k(3)
32 k(1)12 k(1)
13+k(3)31 0
k(3)23 k(2)
11+k(3)22 0 k(2)
12+k(3)21 k(2)
13
k(1)21 0 k(1)
22 k(1)23 0
k(1)31+k
(3)13 k
(2)21+k
(3)12 k(1)
32 k(1)33+k
(2)22+k
(3)11 k(2)
23
0 k(2)31 0 k(2)
32 k(2)
熿
燀
燄
燅33
81 第1章 有限单元法基本程式
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由于节点3,4,5固定,因此只需给出与节点1,2有关的整体刚度矩阵。
Et192×
14 0 -1 -020 14 -04 04-1 -04 18 06
熿
燀
燄
燅-02 04 06 24
u1v1u2v
烅
烄
烆
烍
烌
烎2
=qt烅
烄
烆
烍
烌
烎
1000
④未知量计算
a=[u1 v1 u2 v2]T=qE
[25359 05292 15748 -02772]T
为求解单元应力,需据此形成单元节点位移向量。例如,对于单元(1),有
a(1)=[u1 v1 0 0 0 0]T=qE
[25359 05292 0 0 0 0]T
单元应力为
σ(1)=q[01103 05513 10566]T
16 结 语
从物理角度看,有限单元法将连续体问题转化成了离散体问题;从数学角度
看,有限单元法将微分方程问题转化为代数方程问题。结果,无限自由度问题变
成了有限自由度问题。
本章基于虚位移原理推导了位移法有限元公式,关于虚位移原理的证明见
第2章。必须指出,单元刚度方程(117)、单元刚度矩阵(118)、体力等效节点
荷载(119)、面力等效节点荷载(120)以及整体刚度方程(121)均具有普遍性。
在第2章中,将根据势能变分原理重新推导它们,以加深对有限单元法基本原理
的理解。
习 题
11 有限单元法中“离散”的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由
度的连续介质问题转变成有限自由度问题的?位移有限单元法的标准化
程式是怎样的?
12 什么叫做节点力和节点荷载?两者有什么不同?为什么应该保留节点力
的概念?
13 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度
系数的物理意义是什么?两者有何区别?
14 如图所示的有限元网格中,节点应如何编号,以使得整体刚度矩阵的半带
91习 题
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宽最小?
题14图 题15图
15 如图所示,某单元12边上作用均布压力p。该边长为l,与x轴的夹角为
α,单元厚度为t。试计算单元等效节点荷载向量Pep。
答案:Pep=(plt/2)[sinα -cosα sinα -cosα 0 0]T
=(pt/2)[y3-y1 x1-x3 y3-y1 x1-x3 0 0]T
16 什么是形函数?试证明T3单元的形函数满足
Ni(xj,yj)=1 i=j0 i≠{ j
, N1+N2+N3=1
17 试证明直角坐标可用形函数表示为
x=∑3
i=1Nixi, y=∑
3
i=1Niyi
18 图示为一固端深梁受集中力P 作用。材料的弹性模量为E,泊松比
ν=1/6,梁的厚度t=1。试用T3单元求节点位移。
答案:v1=-13678P/E,
v2=-09655P/E。
题18图
02 第1章 有限单元法基本程式
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第2
章
有限单元法基本原理
结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第1章以弹性力学
平面问题为例,阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性,但缺乏
系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解,本章将系统而深入地阐述有限
单元法的基本原理,内容包括:(1)介绍定解问题的微分方程提法;(2)根据微分
方程的等效积分形式,推导第1章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分
原理,从而建立定解问题的泛函变分提法;(3)基于势能变分原理推导位移有限
单元法的普遍公式,并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明;(4)基于余
能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。
在本章的阐述中,仍以结构分析课题为例,但所有方面的论述均以一般性说
明为先导。
21 微分方程提法
在物理或工程问题中,位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量,它们在
一定区域内满足某些控制方程;在域边界上满足给定的边界条件,有时还有初始
条件,它们统称为定解条件;控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程
或数学模型,这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提
法。
为了获得数学模型,必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力
学模型等,它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念,然后给出
定解问题微分方程提法的一般形式,最后列出弹性力学问题的微分方程。
211 结构分析模型
对任何复杂事物的研究,出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以
建构分析模型;而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制
条件和参数的正确反映。
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何谓模型?待分析的事物称为原型,其理想化的替代物就是模型。任何模
型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造出来的。
原型有各方面的因素和各种层次的特征,而模型只要求反映与某种目的有关的
那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特征,而
什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关(文献83)。
从本质上讲,有限单元法是求解微分方程的数值方法,即在物理或工程问题
的数学模型之基础上进行近似计算。因此,有限元计算的精度并不意味着实际
问题求解的精度。在采用有限单元法解题时,必须时刻牢记:问题的分析模型具
有根本的重要性。
现以结构分析问题为例,说明分析模型的基本概念。结构设计的核心任务
在于求解结构在外部荷载作用下产生的应力和变形。这些荷载效应取决于结构
类型、几何特征、材料性能、荷载条件等因素。在结构分析中,用于代替实际结构
并能反映结构主要受力和变形特点的理想模型称为结构分析模型,主要有几何
模型、力学模型、数学模型等。
从广义上理解,“结构”包括各种建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、
机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩等各种物体。任何结构及其构件都是
三维实体,但是在结构分析中,对某些特殊结构可以做出简化处理,并使得分析
更加有效。根据这种原则,人们将常见的结构分为杆系结构、薄壁结构和实体结
构(图21)。杆系结构就是若干个杆件通过若干个节点相互联结而组成的结构
体系。杆件的特点是横截面尺寸远比其杆长小得多。薄壁结构是厚度远小于其
他两个尺度的结构。如果结构的三个方向上尺度大约为同一量级,则称为实体
结构。在结构的几何与力学模型中,还需对结构的空间形式(平面结构、轴对称
结构、空间结构)、构件之间的连接形式(铰接、刚接或半刚接)、构件力学作用形
式(拉压、弯曲、扭转)等做出抽象。
图21 结构模型
数学模型主要是指基于力学模型得到的控制方程,其是否符合实际关键在
于力学模型中引入的基本假定。例如,结构变形属于小变形还是大变形;材料是
线性弹性的还是非线性的。这些力学假定将反映到控制方程中,例如在线性弹
性小变形假设下,几何方程和本构方程都将是线性的。
22 第2章 有限单元法基本原理
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212 微分方程的形式
连续介质问题的分析方法是:首先从介质中取微元进行分析,建立控制方
程;然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求解控制方程。显然,问题
的物理实质不同,控制方程和定解条件也就不同。然而,它们可被一般地表示为
图22 定解问题
(图22)
A(u)=A1(u)
A2(u)烅烄
烆烍烌
烎…
=0 在Ω内 (21)
B(u)=B1(u)
B2(u)烅烄
烆烍烌
烎…
=0 在Γ上 (22)
待求解的未知函数u可以是标量场(例如温度),也可以是若干变量组成的向量
场(例如位移、应力)。A和B为对于独立变量(例如空间坐标)的微分算子。上
述微分方程可以是单个方程,也可以是一组方程。
下面给出直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件,其建立方法
可参考弹性力学教科书(文献22,51,84)。
213 弹性力学方程
(1)平衡方程
σxx+
τyxy+
τzxz+X=0
τxyx+
σyy+
τzyz+Y=0
τxzx+
τyzy+
σzz+Z
烍
烌
烎=0
(23a)
σij,j+fi=0 (i,j=1,2,3) (23b)
其中,X,Y,Z分别为体力向量f沿x,y,z方向的分量,即
f=f1f2f烅烄
烆烍烌
烎3
=XY烅烄
烆烍烌
烎Z=[X Y Z]T
3221 微分方程提法
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而应力张量σij为具有6个独立分量的对称张量,常写成如下向量形式
σ=[σx σy σz τxy τyz τzx]T
式(23b)为平衡方程的指标记法。不重复出现的指标称为自由指标,重复出现
的指标称为哑标。按照爱因斯坦求和约定,哑标要取完指标域中所有的值,然后
将所得的各项加起来。
(2)几何方程
εx=ux
, 2εxy=γxy=vx+
uy
εy=vy
, 2εyz=γyz=wy+
vz
εz=wz
, 2εzx=γzx=uz+
w
烍
烌
烎x
(24a)
εij=12
(ui,j+uj,i) (i,j=1,2,3) (24b)
其中,u,v,w 分别为位移向量u沿坐标轴x,y,z方向的分量,即
u=
u1u2u烅烄
烆烍烌
烎3
=uv烅烄
烆烍烌
烎w=[u v w]T
应变张量εij也是对称张量,其向量形式为
ε= εx εy εz γxy γyz γ[ ]zxT
(3)本构方程
对于各向同性的线性弹性材料,本构方程就是广义Hooke定律,即
εx=1E
[σx-ν(σy+σz)], γxy=1Gτxy
εy=1E
[σy-ν(σz+σx)], γyz=1Gτyz
εz=1E
[σz-ν(σx+σy)], γzx=1Gτ
烍
烌
烎zx
(25a)
或
σij=λθδij+2Gεij (i,j=1,2,3) (25b)
或
σij=Dijklεkl (25c)
42 第2章 有限单元法基本原理
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其中,E为材料的弹性模量;ν为泊松比;G为剪切模量;θ=εx+εy+εz 为体积
应变;而
λ= νE(1+ν)(1-2ν), G= E
2(1+ν)
在有限单元法中,本构方程常写成矩阵形式,即
ε=Cσ 或 σ=Dε (26)
其中,C为柔度矩阵;D为弹性矩阵,可写成下列形式
D= E(1+ν)(1-2ν)
1-ν ν ν 0 0 01-ν ν 0 0 0
1-ν 0 0 0
对 1-2ν2 0 0
称 1-2ν2 0
1-2ν
熿
燀
燄
燅2
(27)
(4)边界条件
在给定面力的边界Γσ上,应力边界条件表示为
lσx+mτyx+nτzx=珚Xlτxy+mσy+nτzy=珡Ylτxz+mτyz+nσz=珔
烍烌
烎Z
(28a)
njσji≡pi=珔pi (i,j=1,2,3) (28b)
nσ=珔p (28c)
其中,珚X,珡Y,珔Z为已知的边界面力沿x,y,z方向的分量,边界面力向量珔p记为
珔p=
珔p1珔p2珔p烅烄
烆烍烌
烎3
=
珚X珡Y珔烅烄
烆烍烌
烎Z=[珚X 珡Y 珔Z]
l,m,n为边界外法线N的方向余弦,即
l=nx=cos(N,x), m=ny=cos(N,y), n=nz=cos(N,z)
而
5221 微分方程提法
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n=
nx 0 0 ny 0 nz0 ny 0 nx nz 00 0 nz ny 0 n
熿
燀
燄
燅x
=l 0 0 m 0 n0 m 0 l n 00 0 n m 0
熿
燀
燄
燅l
在位移有限单元法中,边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边
界条件是指结构在边界上所受到的位移约束,可表示为
u=珔u, v=珔v, w=珡w (29a)
或
ui=珔ui (i=1,2,3) (29b)
其中,珔u,珔v,珡w 为已知的边界位移分量。
22 泛函变分提法
221 等效积分形式
现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须
为零,因此有
∫ΩvTA(u)dΩ=∫Ω[v1A1(u)+v2A2(u)+⋯]dΩ=0 (a)
其中,v=[v1 v2 ⋯]T是函数向量,它是一组同微分方程个数相等的任意可
积(在Ω内)函数。
不难证明,式(a)是与微分方程组(21)完全等效的积分形式,即式(a)成立,
则式(21)成立。假设A(u)在Ω内不处处为零,则由于v可以任意选择,我们
选v为处处与A(u)同号的函数,于是vTA(u)在域内恒正。可见,要满足式
(a),必须A(u)≡0。
同理,假如边界条件(22)在边界上每点都得到满足,对于一组任意可积(在
Γ上)函数珔v应当成立
∫Γ珔vTB(u)dΓ=∫Γ 珔v1B1(u)+珔v2B2(u)+[ ]⋯ dΓ=0 (b)
这样,就可得到与控制方程(21)和边界条件(22)等效的积分形式
∫ΩvTA(u)dΩ+∫Γ珔vTB(u)dΓ=0 (210)
统称为微分方程的等效积分形式。
62 第2章 有限单元法基本原理
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222 微分方程弱形式
(1)一般形式
通常情况下,可以对式(210)进行分部积分,从而得到
∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(珔v)F(u)dΓ≡0 (211)
其中,C,D,E,F 是微分算子。通常式(211)称为微分方程的弱形式(weakform),相对而言,定解问题的微分方程称为强形式(strongform)。
由于分部积分的缘故,场函数u的导数的阶次在弱形式(211)中比在等效
积分形式(210)中为低。这样,使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续
性。当然,降低对u的连续性要求是以提高v和珔v的连续性要求为代价的。不
过,由于原来对v和珔v并无连续性要求,故适当提高其连续性并不困难。
(2)虚位移原理
在弹性力学问题中,微分方程包括3组控制方程和2组边界条件。假设位
移函数事先已经满足位移边界条件,且应变根据几何方程由位移确定,应力根据
本构方程由应变确定,则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边
界条件。将它们写成等效积分形式,并通过分部积分推导其弱形式。我们将发
现,弱形式就是熟知的虚位移原理。
注意到虚位移或位移变分(虚位移是指任意的、微小的可能位移,位移变分
也是这样定义的,以后在两者之间不作区分)的任意性,可不失一般性地以虚位
移δu=[δu δv δw]T为任意函数珔v,而v=-珔v。这样,平衡微分方程和应力
边界条件的等效积分形式为
-∫Ω(σij,j+fi)δuidΩ+∫Γσ(njσji-珔pi)δuidΓ=0 (a)
对上式中的第一项进行分部积分
∫Ωσij,jδuidΩ=∫Ω(σijδui),jdΩ-∫Ωσijδui,jdΩ (b)
根据散度定理(Green公式),即
∫ΩUi,idΩ=∫ΓUinidΓ有
∫Ω(σijδui),jdΩ=∫ΓnjσijδuidΓ=∫ΓσnjσijδuidΓ+∫ΓunjσijδuidΓ (c)
7222 泛函变分提法
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如前所述,虚位移是可能位移,故在满足给定位移的位移边界Γu 上,虚位
移为零,因为它不再有任何变化的可能。这样,上式中的最后一项为零。由于应
变与位移满足几何方程,故有
δεij=12
(δui,j+δuj,i)
考虑到应力张量的对称性,式(b)中最后一项为
∫Ωσijδui,jdΩ=∫Ω12(σijδui,j+σjiδuj,i)dΩ=∫ΩσijδεijdΩ (d)
将式(c),(d)代入式(b)得
∫Ωσij,jδuidΩ=∫ΓσnjσijδuidΓ-∫ΩσijδεijdΩ (e)
再代入式(a)得
∫ΩσijδεijdΩ-∫ΩfiδuidΩ-∫Γσ珔piδuidΓ=0 (212a)
或
∫ΩδεTσdΩ=∫ΩδuTfdΩ+∫ΓσδuT珔pdΓ (212b)
显然,上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功δW,而左边则是物体内应
力在虚应变上的虚应变能δU。可见,式(212)即虚功方程,与其相对应的虚位
移原理可表述如下:如果物体在外力作用下处于平衡状态,那么在虚位移发生
时,物体的虚应变能等于外力所做虚功,即
δU=δW (213)
(3)附加条件
根据前面的分析,在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这
3个附加条件的前提下,虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本
构方程是否为线性,在推导过程中并没有提出任何要求。因此,不论材料是线性
的还是非线性的,虚位移原理都成立。此外,要求事先满足的位移边界条件称为
强制边界条件。
223 势能变分原理
(1)一般形式
变分原理涉及到泛函的概念。简单地说,若把自变量(例如坐标)的函数称
82 第2章 有限单元法基本原理
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为自变函数,则泛函就是自变函数的函数。例如,应力和应变是坐标的函数,故
为自变函数;而应变能是应变和应力的函数,因而是泛函。
采用变分原理求解连续介质问题,首先需要建立一个标量泛函Π,它是未
知场函数u(例如位移场、应力场、温度场、水头场等)及其导数的函数,即
Π=∫ΩF u,ux( ),⋯ dΩ+∫ΓE u,u
x( ),⋯ dΓ
问题的真实解u使Π对于自变函数的微小变化δu取驻值,即泛函的变分(变分
运算法则与微分运算法则基本相同)等于零
δΠ=0 (214)
这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法,变分原理称为问题的泛函变分
提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到,但有些问题至今未能建立起
泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理,并在虚位移原理的基础
上加以证明。
(2)系统总势能
在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε,外力所做的功将以变形能
的形式储存起来,这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能
密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐
渐增加的,应力和应变也将从零开始逐渐增加,则应变能密度Wε为
Wε=∫ε
0σTdε=∫
εij
0σijdεij (215)
整个物体的应变能为
Uε=∫ΩWεdΩ (216)
对于线弹性体,σ=Dε并注意到D的对称性,有
Wε=∫ε
0εTDdε=12ε
TDε=12Dijklεijεkl(217)
Uε=∫ΩWεdΩ=12∫ΩεTDεdΩ=12∫ΩDijklεijεkldΩ (218)
通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功
释放一部分势能,故外力做功将使势能降低。因此,外力势能就是外力功的负
值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积,即力矢量与相应位移矢
量的标量积。于是,外力势能由下式计算
9222 泛函变分提法
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V=-∫ΩuTfdΩ-∫ΓσuT珔pdΓ=-∫ΩfiuidΩ-∫Γσ珔piuidΓ (219)
物体的总势能Πp 定义为物体的应变能Uε与外力势能V之和
Πp=Uε+V (220)
即
Πp=∫ΩWεdΩ-∫ΩuTfdΩ-∫ΓσuT珔pdΓ (221a)
或
Πp=∫ΩWεdΩ-∫ΩfiuidΩ-∫Γσ珔piuidΓ (221b)
在线性弹性条件下,注意到式(217),有
Πp=12∫ΩεTDεdΩ-∫ΩuTfdΩ-∫Γσu
T珔pdΓ (222a)
或
Πp=12∫ΩDijklεijεkldΩ-∫ΩfiuidΩ-∫Γσ珔piuidГ (222b)
(3)势能变分原理
总势能Πp 是一种泛函。势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件
的协调位移中,那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值,即势能的
变分为零
δΠp=δUε+δV=0 (223)
此即变分方程。对于线性弹性体,势能取最小值,即
δ2Πp=δ2Uε+δ2V≥0 (224)
此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。对这一原理可做如下通俗的理
解:在自然状态下,水总是从高处向低处流,边坡总是有向下滑动的趋势。这类
现象揭示出一种普遍的自然规律,即势能总有最小化的趋向。
首先,在虚位移原理的基础上证明势能泛函的变分为零,即泛函驻值条件
(223)。为此,对式(221)求变分
δΠp=∫ΩδWεdΩ-∫ΩδuTfdΩ-∫ΓσδuT珔pdΓ (a)
03 第2章 有限单元法基本原理
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=∫ΩδεTWεεdΩ-∫ΩδuTfdΩ-∫Γσδu
T珔pdΓ
根据应变能密度的定义(215),有Wεε =σ
,即本构方程(25)。将其代入式(a)
得
δΠp=∫ΩδεTσdΩ-∫ΩδuTfdΩ-∫ΓσδuT珔pdΓ
将上式与虚功方程(213)比较,可证式(223)。
现证明线性弹性情况下势能取最小值。以u表示真实位移,u表示可能
位移,并令
u=u+δu (b)
代入几何方程,有
ε=ε+δε (c)
将式(b),(c)代入式(221),可得
Πp =12∫ΩεTDεdΩ-∫ΩuTfdΩ-∫Γσu
T珔pdΓ
=Πp+δΠp+12∫ΩδεTDδεdΩ (d)
根据泛函驻值条件,一阶变分δΠp=0。考虑到应变能的非负性,由式(d)知
Πp-Πp≥0
即可能位移对应的势能总是不小于真实位移对应的势能,从而最小势能原理得
证。
(4)附加条件
根据前面的分析,将本构方程(25)代入虚功方程(212),便立即得到势能
变分原理。可见,势能变分原理与虚位移原理等价,只是本来作为附加条件的本
构方程已引入变分方程。因此,势能变分原理的附加条件就剩下几何方程和位
移边界条件。也就是说,变分方程(223)连同附加条件与弹性力学全部微分方
程等价。
在势能泛函中独立变量只有位移ui,而应变通过几何方程由位移确定,故
势能变分原理称为一类变量变分原理。此外,由于对泛函实施变分后的变分原
理就是弱形式,故弱形式也称为变分形式。然而,并非所有的弱形式都有相应的
公式化泛函及变分原理。
1322 泛函变分提法
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224 变分法及其困境
简单地说,变分法就是利用变分原理来求解定解问题的方法。变分原理具
有普遍性,而且它本身并不包含近似。然而,通常人们总是将变分法与近似解联
系在一起,原因何在?现以直接求泛函极值的Ritz法为例,说明用变分法求近
似解的基本思想及其遭遇的困境。
(1)Ritz法
在整个求解区域内,将待求解的场函数u表示为含有一族待定参数的试探
函数(trialfunction),即
u=u0+∑n
i=1Niai=u0+Na (225)
其中,a是待定参数向量;u0是满足非齐次边界条件的已知函数向量;N是满足
齐次边界条件的已知函数矩阵(即假设的试探函数要满足给定的边界条件)。例
如对于空间问题,位移试探函数具有如下形式
u=u0+∑n
i=1N1ia1i, v=v0+∑
n
i=1N2ia2i, w =w0+∑
n
i=1N3ia3i
其中,u0,v0,w0为边界上已知的位移;N1i,N2i,N3i为在边界上等于零的设定
函数;而aij是3n个待定参数。要保证数值方法的收敛性,N 中的函数应取自
完全系列。若将上式写成式(225)的形式,则
u=uv烅烄
烆烍烌
烎w
, u0=
u0v0w烅烄
烆烍烌
烎0
, ai=
a1ia2ia3
烅烄
烆烍烌
烎i
, a=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎n
Ni=
N1i 0 00 N2i 00 0 N3
熿
燀
燄
燅i
, N= N1 N2 ⋯ N[ ]n
将式(225)代入泛函表达式,可得用待定参数表示的泛函。调整试探函数
中的待定参数,使其满足泛函的驻值或极值条件,即
δΠ=δaTiΠai=δaT1
Πa1+δaT2
Πa2+⋯+δaTn
Πan=0 (226)
因δai是任意的,故有
Πai=0 (i=1,2,⋯,n) (227)
23 第2章 有限单元法基本原理
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这是与待定参数a的个数相等的方程组,可以求得a。
如果泛函Π中u及其导数的最高方次为二次,则称泛函Π 为二次泛函。
显然,对于二次泛函,Πa
可化为如下一组线性方程
Πa=Ka-P=0
(228)
(2)困境
在Ritz法中,N决定了试探函数的基本形态,待定参数使得场函数具有一
定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内,则变分法得到的解答是精
确的;如果试探函数取自完全的函数序列,则当项数不断增加时,近似解将趋近
于精确解。
然而,通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内,实际计算时也
不可能取无穷多项。因此,试探函数只能是真实场函数的近似。可见,变分法就
是在某个假定的范围内找出最佳解答,近似性就源于此。
采用变分法近似求解,要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场
函数。通常情况下这是不可能的,因而变分法的应用受到了限制。摆脱困境的
绝妙思想是分割近似,即把整个区域分割成若干子域,在子域内假设场函数并用
分片连续的场函数来代替整个域内的场函数。这就是有限单元法的基本思想。
23 位移有限单元法
有限单元法的数学基础可以追溯到古老的分割近似原理。例如,为了求得
曲线围成的面积,可以采用分段以直代曲的方法来求其近似值;分割越细,结果
越精确。有限单元法把连续体分割成许多小单元,尽管整个物体的场函数可能
非常复杂,但在这种小单元范围内却可选用简单的位移函数加以近似。
231 有限元公式
(1)单元刚度矩阵
结构离散以后,选择单元位移函数,以单元节点位移表示单元内任意点的位
移,即
u=Nae (229)
将上式代入几何方程(24),可得以单元节点位移表示的单元应变
ε=Bae (230)
再代入本构方程(25)得
3323 位移有限单元法
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σ=Dε=DBae (231)
于是,单元的势能为
Πep=12∫ΩeεTDεdΩ-aeTFe=12aeTKeae-aeTFe
其中,Fe是与单元边界上的面力相等效的单元节点力向量。对上式进行变分,
并注意到Ke的对称性,有
δΠep=12δa
eTKeae+12aeTKeδae-δaeTFe=δaeTKeae-δaeTFe
对单元应用最小势能原理
δΠep=δaeT(Keae-Fe)=0
由于δae是任意的,从而得到单元刚度方程
Keae=Fe (232)
其中,Ke为单元刚度矩阵,即
Ke=∫ΩeBTDBdΩ (233a)
其子块为
kij=∫ΩeBTiDBjdΩ (233b)
(2)整体刚度方程
对于离散结构系统,总势能为所有单元势能之和,即
Πp=∑eΠep=∑
e
12∫ΩeεTDεdΩ-∑e∫ΩeuTfdΩ-∑e∫Γeσu
T珔pdΓ
将u=Nae,ε=Bae代入上式得
Πp=aT∑e
12A
eTKeA( )ea-aT∑e
(AeTPe)=12aTKa-aTP (a)
其中
K=∑eAeTKeAe, ae=Aea (b)
P=∑eAeTPe, Pe=Pef+Pep (c)
43 第2章 有限单元法基本原理
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Pef=∫ΩeNTfdΩ (234)
Pep=∫ΓeσNT珔pdΓ (235)
对式(a)进行变分,并注意到K的对称性,有
δΠp=12δa
TKa+12aTKδa-δaTP=δaTKa-δaTP
于是,根据最小势能原理有
δΠp=δaT(Ka-P)=0
注意到δa是任意的,可得整体刚度方程
Ka=P (236)
实际上,由于位移场已经离散化,故泛函可看成以节点位移为变量的多元函
数。这样,泛函的变分问题转化为多元函数求极值的问题,极值条件为
Πpa=0
将泛函Πp 代入此式,可得式(236)。
与第1章 中 根 据 虚 位 移 原 理 推 导 出 的 普 遍 公 式 相 比,可 知 式(232),
(233a),(234),(235),(236)分别与式(117),(118),(119),(120),
(121)相同。
232 解的下限性
位移有限单元法求得的近似解将小于问题的精确解或真实值,故位移解称
为下限解。这是因为在假定单元位移函数以后,本来具有无限个自由度的结构
变成了有限个自由度的结构,这就意味着位移函数对结构的变形能力有所限制,
从而结构刚度随之增大、计算的位移较小。上述结论不难证明。如果采用真实
的位移函数计算离散系统的总势能,则有
Πp=12a
TKa-aTP (a)
根据最小势能原理,有
Ka=P (b)
代入式(a)得
5323 位移有限单元法
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Πp=-12a
TP (c)
通常情况下,有限元分析中假设的单元位移函数与真实的有差别,因此与上
述公式相应地有
珟Πp=12珘aT珦K珘a-珘aTP, 珦K珘a=P, 珟Πp=-
12珘aTP
其中,珘a,珦K,珟Πp 分别为近似的有限元系统的整体节点位移向量、整体刚度矩阵
和总势能。
根据最小势能原理,真实位移使Πp 取最小值。因此,势能的近似值珟Πp 必
定不小于Πp,即
珟Πp=-12珘aTP≥-12a
TP=Πp
上式表明
珘a≤a
从而位移近似解的下限性质得证。
233 解的收敛性
连续体本来具有无限个自由度,代以有限个单元的集合以后,便只有有限个
自由度了。人们自然会提出这样的问题:计算结果的收敛性如何?即:随网格的
逐步细分,有限元解是否收敛于精确解?研究表明,只要位移函数满足两个基本
要求,即完备性和协调性,计算结果便收敛于精确解。
(1)完备性要求
完备性要求包括两个条件,即刚体位移条件和常应变条件。首先,位移函数
必须包含单元的刚体位移。结构中的单元不仅产生与该单元本身变形相应的位
移,还可能因其他单元变形而通过节点位移产生单元刚体位移。因此,为了正确
反映单元的实际位移形态,位移函数必须具有反映刚体位移的能力。
位移函数必须反映单元的常应变。从物理上讲,当单元尺寸无限缩小时,单
元应变应趋近于常量。因此,单元位移函数中应该包括常应变项,否则就没有可
能收敛于正确解。
从泛函的角度讲,如果泛函中位移函数的最高阶导数是m 阶,则完备性要
求意味着单元位移函数至少是m 次完全多项式。换句话说,单元位移函数中必
须包括0至m 阶导数为常数的项。
(2)协调性要求
协调性要求意味着位移的某种连续性。由于单元位移函数采用多项式,故
63 第2章 有限单元法基本原理
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在单元内部协调条件总是能够满足,协调性要求只反映在相邻单元之间。实质
上说来,要求相邻单元间协调是为了保证在单元交界面上应变有限。
在有限元公式的推导中,只计算了各单元内部的应变能,没有计算单元交界
面上的功。这显然隐含着如下假定:单元交界面处不贡献功或能。由于交界面
的厚度是零,故当应变有限时功等于零。反之,若交界面处的应变无限,那么此
处的功就不等于零,忽略它将产生误差。
如果一个函数的第n阶导数是连续函数,则该函数称为Cn 连续。如果泛
函中位移函数的最高阶导数是m 阶,则单元位移函数在交界处必须Cm-1连续,
从而保证m 阶导数的存在,也即保证应变有限。在实体结构中,几何方程表明
应变是位移的一阶导数,势能泛函仅包含位移函数的一阶导数。因此,只要求在
单元交界处位移连续,即要求单元间C0连续,这个条件很容易满足。在板壳结
构中,应变是位移的二阶导数,势能泛函包含位移的二阶导数。因此,在单元交
界处,要求位移函数的一阶导数连续,即满足C1连续性。我们将发现,C1连续
不容易实现。
作为例子,对第1章中介绍的3节点三角形单元的收敛性进行讨论。在平
面问题中,泛函中位移函数的最高阶导数是一阶。因此,完备性要求单元位移函
数包含完全的一次多项式。由于该单元的位移函数就是完全的一次多项式,故
满足完备性要求。在单元边界上,位移是线性变化的。既然两个相邻单元在其
公共节点上具有相同的节点位移(两点唯一地确定一条直线),那么在公共边界
上也将具有相同的位移。可见,协调性要求也得到了满足。
单元既完备又协调是有限元解收敛的充分条件。在这两个条件中,完备性
要求是必要条件,通常也容易得到满足。
24 应力有限单元法
241 虚应力原理
前述位移法以位移为基本未知量,在满足附加条件下,位移试探函数需满足
的基本方程是平衡方程。求解弹性力学问题的应力法以应力为基本未知量,试
探函数为应力函数。
假设应力事先已满足平衡微分方程和应力边界条件,且应变根据本构方程
由应力确定,则此真实应力仍需满足的条件只剩下几何方程和位移边界条件。
以应力变分δσij和面力变分δpi(其中pi≡σijnj)为任意函数,几何方程和位移边
界条件的等效积分形式为
7324 应力有限单元法
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∫Ω εij-12(ui,j+uj,i[ ])δσijdΩ+∫Γu(ui-珔ui)δpidΓ=0 (237)
对上式进行分部积分可得
∫Ω(εijδσij+uiδσij,j)dΩ-∫ΓuiδσijnjdΓ+∫Γu(ui-珔ui)δpidΓ=0根据前提条件,平衡微分方程和应力边界条件已得到满足。对其变分,可知在
Ω内δσij,j=0,在Γσ上δpi=0。于是,上式可简化为
∫ΩεijδσijdΩ-∫Γu珔uiδpidΓ=0 (238a)
或
∫ΩδσTεdΩ-∫ΓuδpT珔udΓ=0 (238b)
这就是虚应力原理的虚功方程,该原理可叙述如下:虚反力在位移边界处给定位
移上所做的余虚功,等于应变在虚应力上所做的余虚功。
可见,虚功方程(238)连同附加条件(平衡微分方程、应力边界条件和本构
方程)等价于弹性力学全部方程。
242 余能变分原理
物体的余能Πc定义为物体的余应变能Uσ与给定位移边界Γu 上的边界反
力(包括支座反力)的余势Vc之和
Πc=Uσ+Vc (239)
现给出Uσ和Vc的计算方法。余应变能密度Wσ定义为
Wσ=∫σ
0εTdσ=∫
σij
0εijdσij (240)
整个物体的余应变能为
Uσ=∫ΩWσdΩ (241)
对于线性弹性体
ε=D-1σ=Cσ (242)
注意到D和C的对称性,有
83 第2章 有限单元法基本原理
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Wσ=12σ
TD-1σ=12σTCσ=12Cijklσijσkl
(243)
Uσ=∫ΩWσdΩ=12∫ΩσTD-1σdΩ=12∫ΩCijklσijσkldΩ (244)
在边界Γu 上给定了位移珔u,作用在Γu 上的边界反力为p,则边界反力的势
由下式计算
Vc=-∫ΓupT珔udΓ=-∫Γupi珔uidΓ (245)
物体总余能为
Πc=∫ΩWσdΩ-∫ΓupT珔udΓ (246a)
或
Πc=∫ΩWσdΩ-∫Γupi珔uidΓ (246b)
余能变分原理可叙述如下:在一切静力可能状态中,真实状态使物体的余能
取驻值,即
δΠc=δUσ+δVc=0 (247)
对于线性弹性体,余能取最小值,即
δ2Πc=δ2Uσ+δ2Vc≥0 (248)
此时的余能变分原理称为最小余能原理。采用证明最小势能原理的方法,不难
证明最小余能原理。
事实上,将本构方程εij=Wσσij
代入虚功方程(238),便立即得到余能变分
方程。可见,余能变分原理与虚应力原理是等价的,只是余能变分方程中引入了
本构方程。这样,余能变分原理的附加条件为平衡微分方程和应力边界条件。
此外,在 余 能 泛 函 中 只 有 应 力σij是 独 立 变 量(作 用 在Γu 上 的 边 界 反 力
pi≡σijnj),故余能变分原理也属于一类变量变分原理。
243 平衡模型
前面介绍的有限单元法以势能变分原理为基础,从假定位移出发、满足协调
条件,故称为位移有限单元法或协调模型。如果假定单元的应力状态,根据余能
变分原理来建立有限元方程,则称为应力有限单元法或平衡模型,这是因为假定
9324 应力有限单元法
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的应力状态必须满足平衡条件。在平衡模型中,基本未知量为节点力或节点应
力函数值,而单元应力表示为基本未知量的函数。
将结构离散后,有限元系统的余能可写成
Πc=∑e
12∫ΩeσTCσdΩ-∫Γeup
T珔ud( )Γ (249)
为说明问题简便起见,不考虑体力。此时,满足齐次平衡微分方程的应力可用待
定参数Fe表示为
σ=EFe (250)
其中,E为已知函数矩阵。根据应力边界条件式,单元边界力p与应力的关系
为
p=nσ (251)
将式(250)代入式(251)得
p=nEFe (252)
将式(250),(252)代入式(249)得
Πc=∑e
12F
eTHeFe+FeTB( )e (253)
其中
He=∫ΩeETCEdΩ (254)
Be=∫ΓeuETnT珔udΓ (255)
应力法有限元分析的其余步骤与位移有限单元法相似,不再赘述。需要指
出的是,除了杆单元和梁单元,用待定参数表示单元内部应力是很困难的,因此
应力有限单元法很少被采用。不过,余能经过修正后,在应力杂交单元中得到了
实际应用(参见第12章)。
25 结 语
在连续介质问题中,通过微元分析可推导出控制方程和边界条件,从而构成
微分方程提法。泛函变分提法可以通过微分方程等效积分形式的分部积分而得
到,也可以采用其他方式加以建立。本质上讲,两种提法是等价的,然而基于不
04 第2章 有限单元法基本原理
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同提法将导致不同的求解方法:通过直接求解微分方程发展了解析法;基于泛函
变分提法发展了有限单元法。
根据本章的讨论可知,微分方程的等效积分形式是最基本的;通过分部积分
可以得到弱形式(例如虚功原理、虚应力原理)。在泛函存在的情况下,通常可由
弱形式推导出变分原理,就像本章所做的那样。泛函实施变分后的变分原理就
是弱形式,然而并非所有的弱形式都有对应的公式化泛函。因此,尽管弱形式和
变分原理均可作为建立有限元公式的基础,但从弱形式入手建立有限元离散方
程更具普遍性。在第1章中,采用这种方法建立了位移有限单元法的普遍公式。
本章基于势能变分原理,重新推导了某些基本公式。采用变分原理的优点在于
能够说明解的性质,但这样做并不总是可行的;因为正如刚才所说,复杂问题的
泛函不易得到,甚至可能根本就不存在。
本章的内容属于整体框架性质的东西,具有一定的抽象性,还须在以后的具
体化中加深理解。这些内容对于深入理解有限单元法的实质至关重要,在学习
过程中时时加以回顾是极为有益的。
习 题
21 在有限单元法诞生之前,求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些?简要
说明每种方法的局限性,并叙述有限单元法的基本思路。
22 什么叫应变能?什么叫外力势能?试叙述势能变分原理和最小势能原理,
并回答下述问题:势能变分原理代表什么控制方程和边界条件?其中附加
了哪些条件?
23 什么是强形式?什么是弱形式?两者有何区别?建立弱形式的关键步骤
是什么?
24 为了使计算结果能够收敛于精确解,位移函数需要满足哪些条件?为什
么?
25 试证明Ritz法中的K 是对称矩阵。(提示:对方程Πa=Ka-P
求变分)
26 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解?变分法的应用常遇到什么
困难?Ritz法收敛的条件是什么?
27 试从虚应力原理出发证明最小余能原理。
14习 题
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第3
章
平面问题
在结构有限元分析中,关键在于选择单元类型和位移函数。单元位移函数
确定后,其余计算均可容易地按标准化步骤与公式进行。第1章介绍的3节点
三角形单元T3是最早提出的单元之一,用其划分网格比较灵活、适用性较强,因
而得到广泛采用。但是,由于单元中的应变和应力都是常量,因而当结构的应力
场随坐标而急剧变化时,只有布置密集的单元才能得到比较好的计算精度,从而
使得节点数量多、方程组庞大。本章将介绍平面问题有限元分析中的高次单元。
在此之前,先阐述构造单元的基本原则以及较为简单的几何方法。
31 单元构造原则与方法
311 基本原则
通常单元位移函数采用多项式,其中的待定常数由节点位移参数确定,因此
其个数应与单元节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程,单元的应变是
位移的一次导数。为了反映单元刚体位移和常应变即满足完备性要求,位移函
数中必须包含常数项和一次项,即完全一次多项式。
多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选择完全多项式以提高单元的精度。
一般地说,单元每边具有2个节点时应取一次多项式;每边有3个节点时应取二
次多项式。若由于项数限制而不能选取完全多项式时,也应使所选多项式具有
坐标的对称性,并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为
了使位移函数保持一定阶次的完全多项式,可在单元内部配置节点。然而,这种
节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性,除非不得已才加以采用。
312 单元形函数
(1)形函数的性质
位移函数取决于插值函数即形函数。形函数是定义于单元内坐标的连续函
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数。设单元具有m 个节点,则用形函数确定的单元位移可表示为
u=∑m
i=1Niui, v=∑
m
i=1Nivi (31)
不难证明,形函数具备如下基本性质
Ni(xj,yj)=δij=1 i=j0 i≠{ j
(32)
其中,δ称为Kroneckerdelta。
(2)收敛性的要求
形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求,即满足完备性条件和协
调性条件。现以整体坐标系中的形函数为例讨论完备性条件(这种讨论及结果
对局部坐标表示的形函数完全适用),至于协调性条件,则需具体单元具体分析。
单元完备的充分必要条件可归结为
∑m
i=1Ni(x,y)=1 (33)
∑m
i=1Ni(x,y)xi=x (34)
∑m
i=1Ni(x,y)yi=y (35)
为说明上述等式的充分性,可不失一般性地设单元产生单位水平刚体移动
u=1,即所有节点及单元内任一点都将产生单位水平移动。由式(31)可得式
(33),即
u=∑m
i=1Ni×1=1
这说明只要式(33)成立,位移函数便包含刚体位移。此外,对式(34)和(35)
分别就x,y求偏导数,可得
∑m
i=1
Nixxi=1
, ∑m
i=1
Niyyi=1
上式说明形函数中必然包含坐标的线性项,这样也就能满足常数应变条件。
下面说明式(33),(34),(35)的必要性。根据完备性要求,位移(仅以u为例)必须具下列形式
u=A+Bx+Cy+⋯ (a)
3431 单元构造原则与方法
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故
ui=A+Bxi+Cyi+⋯ (i=1,2,⋯,m) (b)
将式(a),(b)代入式(31),有
A+Bx+Cy+⋯=A∑m
i=1Ni+B∑
m
i=1Nixi+C∑
m
i=1Niyi+⋯
显然,为使A,B,C是任意常数时上式都能成立,则条件(33),(34),(35)是
必要的。
313 形函数构造方法
选择位移函数的方法是首先将单元位移表示为多项式,然后利用单元的几
何参数和节点位移来确定多项式中的待定常数,从而用单元形函数和节点位移
表示位移函数。这是第1章中构造T3单元时采用的方法,称为广义坐标法。此
法涉及到矩阵求逆,因此在单元形状复杂或某些特殊情况下(逆矩阵不存在)难
以实行。
现介绍一种简便而通用的形函数构造方法。首先根据形函数在节点上的性
质,利用几何方法将其构造出来;然后再用位移函数的完备性和协调性要求进行
校核。
设形函数是整体坐标(x,y)的函数。为确定Ni,可先做一组(m 条)不通过
节点i但通过单元其他所有节点的不可约曲线Fk=0,然后按下式计算
Ni(x,y)=∏m
k=1Fk(x,y)
∏m
k=1Fk(xi,yi)
(36)
很显然,这样确定的Ni在节点i的值为1。而当j≠i时,节点j必位于上述某
条曲线k上,故有Fk=0,进而式(36)的分子为零;由于节点i不通过上述任何
曲线,故式(36)的分母不为零。可见,Ni在非i的节点上均为零。
求得Ni(i=1,2,⋯,n)后,就要检验由它们确定的位移函数是否满足完备
性和协调性要求。为此,把Ni展成坐标的多项式
Ni(x,y)=Ai+Bix+Ciy+Dix2+Eixy+Fiy2+⋯ (37)
则完备性条件(33),(34),(35)等价于
44 第3章 平面问题
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∑n
i=1Ai=1, ∑
n
i=1Aixi=0, ∑
n
i=1Aiyi=0
∑n
i=1Bi=0, ∑
n
i=1Bixi=1, ∑
n
i=1Biyi=0
∑n
i=1Ci=0, ∑
n
i=1Cixi=0, ∑
n
i=1Ciyi=1
∑n
i=1Di=0, ∑
n
i=1Dixi=0, ∑
n
i=1Diyi=0
∑n
i=1Ei=0, ∑
n
i=1Eixi=0, ∑
n
i=1Eiyi=0
∑n
i=1Fi=0, ∑
n
i=1Fixi=0, ∑
n
i=1Fiyi=0
烍
烌
烎⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(38)
32 矩 形 单 元
321 位移函数
(1)广义坐标法
矩形单元(简称R4单元)的两边分别平行于x,y轴,边长分别为2a,2b(图
31)。单元有8个位移自由度,故位移函数可取为
u=α1+α2x+α3y+α4xyv=α5+α6x+α7y+α8x
烍烌
烎y(a)
显然,位移函数中包含着刚体位移和常应变项,故满足完备性要求。在单元交界
处,总是有x=常数或y=常数,故边界上的位移线性变化。这样,每条边界上
的两点便唯一地确定变形后的边界线。既然两个单元在交界处具有公共节点,
故变形后的边界线是重合的,即单元交界处的位移是连续的。可见,矩形单元的
位移函数满足协调性要求。
图31 矩形单元
5432 矩 形 单 元
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将节点位移分量和节点坐标代入式(a),可求得待定系数;再将求得的系数
代回式(a),整理后可得
u=∑4
i=1Niui, v=∑
4
i=1Nivi (39a)
或
u=Nae (39b)
其中
ae=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
N=[IN1 IN2 IN3 IN4]
I是二阶单位矩阵。
(2)几何方法
现采用前面介绍的几何方法来构造形函数。为构造N1,需做两条直线,即
F1=x0+a-x=0和F2=y0+b-y=0,它们通过节点2,3,4,但不通过节点
1。将上述直线和节点1的坐标(x0-a,y0-b)代入式(36),可得
N1=(x0+a-x)(y0+b-y)
[x0+a-(x0-a)][y0+b-(y0-b)]
= 14ab(x0+a-x)(y0+b-y) (b)
为使公式简洁起见,设定单元局部坐标系,将其原点放在矩形的形心,ξ轴
和η轴分别平行于整体坐标系x轴和y轴(图31)。在整体坐标系和局部坐标
系中,节点i的坐标分别为(xi,yi)和(ξi,ηi)。如果采用经归一化的无量纲局部
坐标,则节点坐标值分别为±1(如ξ1=-1,η1=-1)。显然,坐标变换的关系
式为
x=x0+aξ, y=y0+bη (310)
其中
x0=(x1+x2)/2=(x3+x4)/2
y0=(y2+y3)/2=(y1+y4)/2a=(x2-x1)/2=(x3-x4)/2b=(y3-y2)/2=(y4-y1)/
烍
烌
烎2
(311)
将式(310)代入式(b),可得
64 第3章 平面问题
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N1=14ab
[x0+a-(x0+aξ)][y0+b-(y0+bη)]=14(1-ξ)(1-η)
同理可构造出N2,N3,N4,从而有
N1=(1-ξ)(1-η)/4N2=(1+ξ)(1-η)/4N3=(1+ξ)(1+η)/4N4=(1-ξ)(1+η)/
烍
烌
烎4
(312)
引用新变量
ξ0=ξiξ, η0=ηiη (313)
其中,ξi,ηi为节点i的坐标,于是式(312)所示的形函数可合并表示为
Ni=(1+ξ0)(1+η0)/4 (i=1,2,3,4) (314)
上述形函数可表示为
Ni=Ai+Biξ+Ciη+Diξη (315)
按式(38)进行完备性检验,结果表明满足要求。例如
∑4
i=1Ai=
14+
14+
14+
14=1
∑4
i=1Aiξi=
14×
(-1)+14×1+14×
(-1)+14×1=0
322 应变和应力
将式(39)代入平面问题的几何方程,可求得单元的应变
ε=
εx
εy
γx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
uxvy
uy+
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎x
=
1auξ1bvη
1buη+1av
烅
烄
烆
烍
烌
烎ξ
(316a)
即
ε=Bae=[B1 B2 B3 B4]ae (316b)
7432 矩 形 单 元
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其中
Bi=1ab
bNiξ
0
0 aNiη
aNiη
bNi
熿
燀
燄
燅ξ
= 14ab
bξi(1+η0) 00 aηi(1+ξ0)
aηi(1+ξ0) bξi(1+η0
熿
燀
燄
燅)
(i=1,2,3,4
烍
烌
烎)
(317)
用节点位移表示的单元应力为
σ=Dε=DBae=Sae=[S1 S2 S3 S4]ae (318)
其中
Si=DBi (i=1,2,3,4) (319)
对于平面应力问题
Si=E
4ab(1-ν2)
bξi(1+η0) νaηi(1+ξ0)
νbξi(1+η0) aηi(1+ξ0)(1-ν)aηi(1+ξ0)/2 (1-ν)bξi(1+η0)/
熿
燀
燄
燅2(i=1,2,3,4
烍
烌
烎)
(320)
323 单元刚度矩阵
将单元刚度矩阵写成分块形式
Ke=
k11 k12 k13 k14k21 k22 k23 k24k31 k32 k33 k34k41 k42 k43 k
熿
燀
燄
燅44
(321)
对于平面应力问题,其中的子矩阵可由下式计算
kij=AeBTiDBjtdxdy=tab∫
1
-1∫1
-1BTiSjdξdη
= Et4(1-ν2)
baξiξj
(1+13ηiηj)+1-ν2
abηiηj
(1+13ξiξj) νξiηj+
1-ν2ηiξj
νηiξj+1-ν2ξiηj
abηiηj
(1+13ξiξj)+1-ν2
baξiξj
(1+13ηiηj
熿
燀
燄
燅)
(i=1,2,3,4) (322)
84 第3章 平面问题
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324 等效节点荷载
根据普遍公式(119),(120),不难求出矩形单元的等效节点荷载向量。当
体力为常数时,有
Pef=∫ΩeNTfdΩ=AeNTftdxdy
=tAeN1 0 N2 0 N3 0 N4 00 N1 0 N2 0 N3 0 N
[ ]4
T
dxdyX{ }Y
注意到
AeNidxdy=ab∫
1
-1∫1
-1Nidξdη=ab (i=1,2,3,4)
有
Pef=tab1 0 1 0 1 0 1 0[ ]0 1 0 1 0 1 0 1
T X{ }Y=tab[X Y X Y X Y X Y]T
例如,当体力为重力即f=[0 -ρg]T时,其等效节点荷载为
Pef=-ρgtab[0 1 0 1 0 1 0 1]T
当单元的一个边界承受三角形分布的面力时,可把合力的三分之一移置到
面力强度为零的节点上,三分之二移置到另一节点上。
33 高次三角形单元
331 面积坐标
对于T3单元,在第1章中已推导出直角坐标表示的形函数。对于高次三角
形单元,若仍用直角坐标定义形函数,计算刚度矩阵将十分复杂;而改用面积坐
标以后,公式可大为简化且积分运算非常简单。
图32 面积坐标
9433 高次三角形单元
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(1)面积坐标的定义
在图32所示的三角形单元中,任一点P(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形,其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定
L1=A1A
, L2=A2A
, L3=A3A
(323)
其中,A1,A2,A3分别为三角形P23,P31,P12的面积。根据解析几何,各三角
形的面积为
Ai=12
1 x y1 xj yj1 xm ym
=12(ai+bix+ciy) (i,j,m=1,2,→
← 3)
显然,三个面积坐标并不全是独立的,由于
A1+A2+A3=A
故有
L1+L2+L3=1 (324)
于是,面积坐标为
Li=12A
(ai+bix+ciy) (i=1,2,3) (325a)
或
L1L2L烅烄
烆烍烌
烎3
=12A
a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c
熿
燀
燄
燅3
1x烅烄
烆烍烌
烎y
(325b)
(2)面积坐标的特点
①T3单元的形函数Ni就是面积坐标Li,见式(325)。
②面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关,故称为局部坐标或自然
坐标。
③三个节点的面积坐标分别为节点1(1,0,0)、节点2(0,1,0)、节点3(0,0,
1),形心的面积坐标为(1/3,1/3,1/3)。
④单元边界方程为Li=0(i=1,2,3)。
⑤在平行于23边的一条直线上,所有点都有相同的面积坐标L1(L1对应
的三角形具有相同的高和底边),而且L1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。
05 第3章 平面问题
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⑥面积坐标与直角坐标互为线性关系。式(325)是用直角坐标表示的面积
坐标,而直角坐标可用面积坐标表示为
x=L1x1+L2x2+L3x3=∑3
i=1Lixi
y=L1y1+L2y2+L3y3=∑3
i=1Liy
烍烌
烎i
(326)
(3)求导与积分
利用复合函数求导法则,有
x=
12A b1
L1
+b2L2
+b3L( )
3
y=
12A c1
L1
+c2L2
+c3L( )
烍
烌
烎3
(327)
式(325)和(326)建立了直角坐标与面积坐标之间的相互映射关系:将xy平面上的一般三角形映射为L1L2平面上的直角三角形;或将L1L2平面上的直
角三角形映射为xy平面上的一般三角形(图33)。
图33 单元映射
在计算单元刚度矩阵和等效节点荷载时,若被积函数用面积坐标表示,则积
分将变得非常简单。例如
Aef(L1,L2,L3)dxdy=∫1
0dL1∫
1-L1
0f(L1,L2,1-L1-L2)JdL2
其中,Jacobi行列式为
J=
xL1
yL1
xL2
yL2
=x1-x3 y1-y3x2-x3 y2-y3
=2A
例如,对于面积坐标的密函数积分
AeLα1Lβ2Lγ3dxdy=2A∫
1
0dL1∫
1-L1
0Lα1Lβ2(1-L1-L2)γdL2
1533 高次三角形单元
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根据下述Euler公式
∫1
0tm(1-t)ndt= m!n!
(m+n+1)!
∫d
0tm(d-t)ndt= m!n!
(m+n+1)!dm+n+1
可得积分公式
AeLα1Lβ2Lγ3dxdy=
α!β!γ!(α+β+γ+2)!2A (328)
同理,可导出面积坐标的密函数在三角形某一边上的积分公式
∫lLαiLβjds= α!β!(α+β+1)!l (i,j=1,2,→
← 3) (329)
332 单元形函数
图34所示为节点数目不同的三角形单元。若用m 表示各种三角形单元
的节点数,则单元位移函数可写成
u=∑m
i=1Niui, v=∑
m
i=1Nivi (330)
形函数是局部坐标(L1,L2,L3)的函数,构造公式为
Ni(L1,L2,L3)=∏m
k=1Fk(L1,L2,L3)
∏m
k=1Fk(L1,L2,L3)i
(331)
图34 三角形单元
下面讨论单元形函数的构造及收敛性问题。为完整起见,3节点三角形单
元也包括在内。
25 第3章 平面问题
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(1)3节点线性单元(T3)图34a所示为T3单元。为求N1,可作一条通过节点2和3而不通过节点
1的直线L1=0。将其代入式(331),得
N1=L1/(L1)1=L1同理有
N2=L2, N3=L3上述各式可统一写成
Ni=Li (i=1,2,3) (332)
(2)6节点二次单元(T6)图34b所示为二次三角形单元,3个角点和3边中点为其6个节点。为了
求解N1,可作两条通过所有其他节点2,3,4,5,6而不通过节点1的直线,即
L1=0和L1=1/2。将其代入式(331),得
N1=L1(2L1-1)
(L1)1(2L1-1)1=(2L1-1)L1
同理得
N2=(2L2-1)L2, N3=(2L3-1)L3为了求解N4,可作两条通过所有其他1,2,3,5,6而不通过节点4的直线,
即L1=0和L2=0。将其代入式(331),得
N4=L1L2
(L1L2)4=
L1L2(1/2)(1/2)=4L1L2
同理得
N5=4L2L3, N6=4L3L1以上各式可统一写成
Ni=(2Li-1)Li (i=1,2,3) (333a)
N4=4L1L2, N5=4L2L3, N6=4L3L1 (333b)
现对收敛性进行检验,首先检验
∑6
i=1Ni=∑
3
i=1(2Li-1)Li+4(L1L2+L2L3+L3L1)
=2(L1+L2+L3)2-(L1+L2+L3)=1
式(33)得到满足。其次检验式(34)。注意到
3533 高次三角形单元
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x4=x1+x22
, x5=x2+x32
, x6=x3+x12
有
∑6
i=1Nixi=∑
3
i=1
(2Li-1)Lixi+4L1L2x4+4L2L3x5+4L3L1x6
=∑3
i=1Lixi=x
可见,式(34)满足。类似地可推出式(35),故满足完备性要求。
再来考察单元的协调性。由于位移函数是二次的,而每个边界上的三个公
共节点可唯一的确定二次曲线,故协调性也能够满足。因此,上述T6单元的形
函数满足全部收敛性条件。
(3)10节点三次单元(T10)如果三次单元的位移函数采用完全的三次多项式,则其中共包含20个待定
常数。确定这些常数需要20个节点位移,故需10个节点。图34c所示为10节点三角形单元,其中设在单元形心的内部节点是为了使位移函数可表示为完
全的三次多项式。
完全三次多项式中的常数项和一次项反映了刚体位移和常应变。在单元边
界上,位移按三次曲线分布,现每边有4个节点,可以保证相邻单元之间位移的
连续性。因此,完全三次多项式的位移函数可以满足解的收敛性要求。采用前
述几何方法,不难构造以面积坐标表示的形函数
Ni=12
(3Li-1)(3Li-2)Li (i=1,2,3) (334a)
N4=92L1L2
(3L1-1), N5=92L1L2
(3L2-1) (334b)
N6=92L2L3
(3L2-1), N7=92L2L3
(3L3-1) (334c)
N8=92L3L1
(3L3-1), N9=92L3L1
(3L1-1) (334d)
N10=L1L2L3
(1/3)(1/3)(1/3)=27L1L2L3 (334e)
34 T6单元计算
341 单元刚度矩阵
利用式(327),(328)和(329),可以很方便地求出高次三角形单元的应变
45 第3章 平面问题
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矩阵、刚度矩阵和等效节点荷载向量。现以T6单元为例,给出有关计算公式。
单元位移函数为
u=∑6
i=1Niui, v=∑
6
i=1Nivi (335)
其中形函数见式(333)。将式(335)代入平面问题的几何方程,可求得单元的
应变
ε=Bae=[B1 B2 B3 B4 B5 B6]ae (336)
其中
Bi=
Nix 0
0Niy
Niy
Ni
熿
燀
燄
燅x
(i=1,2,3,4,5,6) (337)
例如
B1=
N1x 0
0N1y
N1y
N1
熿
燀
燄
燅x
=12A
b1(4L1-1) 00 c1(4L1-1)
c1(4L1-1) b1(4L1-1
熿
燀
燄
燅)(338)
B4=
N4x 0
0N4y
N4y
N4
熿
燀
燄
燅x
=12A
4(L2b1-L1b2) 00 4(L2c1-L1c2)
4(L2c1-L1c2) 4(L2b1-L1b2
熿
燀
燄
燅)(339)
可见,应变矩阵的元素是面积坐标的一次式,从而也是直角坐标的一次式。这说
明T6单元内的应变按线性变化,故称为线性应变三角形单元,简称LST单元。
单元刚度矩阵按普遍公式(118)计算
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=AeBTDBtdxdy (340)
显然,被积函数均为面积坐标的幂函数,故可以很方便地利用式(327),(328)
和(329)进行积分。
5534 T6单元计算
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342 等效节点荷载
根据普遍公式(119),(120),不难求出单元的等效节点荷载向量。当体力
为常数时,有
Pef=∫ΩeNTfdΩ=AeNTftdxdy=tAe[N1I N2I N3I N4I N5I N6I]Tdxdy
X{ }Y注意到
AeNidxdy=AeLi(2Li-1)dxdy=0 (i=1,2,3)
AeN4dxdy=AeN5dxdy=AeN6dxdy=A/3
有
Pef=At30 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0[ ]0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
T X{ }Y
图35 分布面力
当单元的一个边界承受分布的面力时,其等效
节点荷载的计算也没有任何困难。例如(图35),
31边界上(N2,N4,N5,L2均为零)作用沿x方向
的三角形分布荷载,此时面力向量可写成
珔p=[ptL1 0]T
其等效节点荷载为
Pep=∫l
0
N1 0 0 0 N3 0 0 0 0 0 N6 00 N1 0 0 0 N3 0 0 0 0 0 N
[ ]6
TptL1烅烄烆
烍烌烎0tds
=ptt∫l
0[N1 0 0 0 N3 0 0 0 0 0 N6 0]TL1ds
根据公式(329),即
∫lLαiLβjds= α!β!(α+β+1)!l (i,j=1,2,→
← 3)
有
∫l
0N1L1ds=∫
l
0(2L1-1)L21ds=2×
3!0!(3+0+1)!l-
2!0!(2+0+1)!l=
l6
65 第3章 平面问题
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∫l
0N3L1ds=∫
l
0(2L3-1)L3L1ds=0, ∫
l
0N6L1ds=∫
l
04L3L21ds=
l3
故
Pep=pttl213 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
3[ ]0T
35 结 语
本章论述了构造单元形函数的基本原则和几何方法,并构造出了矩形单元
和高次三角形单元的形函数。其中,矩形单元采用比常应变三角形单元更高次
的位移模式,故可更好地逼近实际位移和应力,但这种单元在离散结构方面适应
性较差。对于高次三角形单元,采用面积坐标构造形函数非常简单;而且借助面
积坐标积分公式,单元刚度矩阵和等效节点荷载的计算也非常容易。
习 题
31 构造单元形函数有哪些基本原则?试采用构造单元的几何方法,构造T10单元的形函数,并对其收敛性进行讨论。
32 试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。
33 何谓面积坐标?其特点是什么?为什么称其为自然坐标或局部坐标?
34 计算体力为重力即f=[0 -ρg]T时,T6单元的等效节点荷载。
答案:Pef=-ρgtA3
[0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]T。
35 试写出式(337)中B5,B6的表达式。
36 设T3单元的31边界上作用三角形分布荷载,最大强度为pt(如图所示)。
试计算单元等效节点荷载。
答案:Pep=ptlt223 0 0 0 1
3[ ]0T
题36图
75习 题
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第4
章
空间问题
任何结构都是三维的,很多情况下难以简化为平面问题,必须按空间问题求
解。轴对称问题是空间问题的一种特殊情况。如果结构的几何形状、约束条件
及荷载分布都对称于某个轴(例如z轴),则其位移、应变、应力等也对称于此轴
而与环向坐标无关,这就是轴对称问题。实际中的矿山井筒、圆形面积荷载下的
路基路面、高压容器、炮筒、旋转圆盘等,通常都可以看作轴对称问题。
本章首先介绍用于分析空间轴对称问题的环状单元;然后介绍用于一般空
间问题的常应变四面体单元和高次四面体单元。
41 环 状 单 元
411 基本方程
图41所示为圆面积上加载的地基问题(上部结构通过圆形基础向地基施
加荷载)。在这类轴对称问题中,采用圆柱坐标比较方便,即以对称轴为z轴,
任一对称面为rz面。因只有径向位移u和轴向位移w,而且它们仅与坐标r和z有关而与环向坐标θ无关,故只需考虑坐标平面rz上的截面部分。这样,
轴对称问题的有限元分析与平面问题基本上相同。
图41 圆形基础均布压力下的地基
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(1)几何方程
轴对称情况下只发生径向位移u和轴向位移w,而切向位移v=0,而且u和w 与θ无关。在6个应变分量中,有2个剪应变分量γrθ和γθz等于零。几何
方程为
ε=
εrεθεzγ
烅
烄
烆
烍
烌
烎rz
=
ururwz
wr+
u
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
(41)
其中,εr是沿r方向的径向正应变;εθ是沿θ方向的环向正应变;εz 是沿z方向
的轴向正应变;γrz是rz平面中的剪应变。
(2)本构方程
轴对称问题中的4个非零应力分量为径向正应力σr、环向正应力σθ、轴向
正应力σz以及剪应力τrz,应力向量记为
σ=[σr σθ σz τrz]T
由于柱坐标系是正交坐标系,故本构方程为广义Hooke定律
σ=Dε (42)
对于各相同性的线弹性介质,式(42)中的弹性矩阵为
D= E(1+ν)(1-2ν)
1-ν 对
ν 1-ν 称
ν ν 1-ν0 0 0 (1-2ν)/
熿
燀
燄
燅2
(43)
412 结构离散
在轴对称问题中(图42),通常采用的单元是截面为三角形的圆环状单元,它
是由rz面的三角形环绕对称轴z回转一周而得到的。在相邻单元之间通过圆环
形的铰链互相连接。单元的棱边都是圆,称为节圆;节圆与rz平面的交点就是节
点。这样,各单元将在rz平面上形成三角形网络,就像平面问题中各三角形单元
在xy平面上形成的网络一样。但是,在轴对称问题中,单元体积是圆环的体积,
节点力和节点荷载都施加在圆环形的铰上,这些方面显然与平面问题不同。
设单元e的节点局部码为1,2,3,节点位移为
ai=uiw烅烄
烆烍烌
烎i(i=1,2,3)
9541 环 状 单 元
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图42 轴对称单元
单元节点位移向量为
ae=
a1a2a烅烄
烆烍烌
烎3=[u1 w1 u2 w2 u3 w3]T
413 位移函数
仿照平面问题,取线性位移函数,可得与平面问题类似的结果,即
u=N1u1+N2u2+N3u3w =N1w1+N2w2+N3w
烍烌
烎3(44a)
u=u{ }w =[N1I N2I N3I]ae=Nae (44b)
其中
Ni=12A
(ai+bir+ciz) (i=1,2,3) (45)
ai=rj zjrm zm
=rjzm-rmzj
bi=-1 zj1 zm
=zj-zm
ci=1 rj1 rm
=-rj+rm (i,j,m =1,2,→← 3
烍
烌
烎)
(46)
2A=
1 ri zi1 rj zj1 rm zm
(47)
06 第4章 空间问题
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414 应变和应力
将式(44)代入几何方程(41),得
ε= 12A
b1 0 b2 0 b3 0
f1 0 f2 0 f3 00 c1 0 c2 0 c3c1 b1 c2 b2 c3 b
熿
燀
燄
燅3
ae=Bae (48)
其中
fi=air +bi+
cizr
(i=1,2,3) (49)
根据本构方程,用节点位移表示的单元应力如下
σ=DBae=Sae=[S1 S2 S3]ae (410)
对于各相同性的线弹性介质,分块形式的应力矩阵为
Si=2A3A
bi+A1fi A1ciA1bi+fi AiciA1(bi+fi) ciA2ci A2b
熿
燀
燄
燅i
(i=1,2,3) (411)
其中
A1=ν1-ν
, A2=1-2ν2(1-ν), A3=
(1-ν)E4(1+ν)(1-2ν)(412)
415 单元刚度矩阵
单元刚度矩阵可由普遍公式(118)给出。沿着整个圆环求体积积分,可得
Ke=2πAeBTDBrdrdz (413)
由于被积函数中包含了坐标r和z,故上述积分不能简单地求出。为了避免复
杂的积分运算,可把每个单元中的r和z近似地当作常量,取为
珋r=(r1+r2+r3)/3, 珔z=(z1+z2+z3)/3 (414)
只要网格不太稀疏,这样处理引起的误差并不大。积分结果可表示为如下分块
形式
1641 环 状 单 元
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Ke=2π珋rABTDB=
k11 k12 k13k21 k22 k23k31 k32 k
熿
燀
燄
燅33
(415)
其中的子矩阵为
kij=2π珋rABTiDBj
=2πrA3A
bibj+fifj+A1(bifj+fibj)+A2cicj A1(bicj+ficj)+A2cibjA1(cibj+cifj)+A2bicj cicj+A2bib
[ ]j
(i,j=1,2,3) (416)
其中的A1,A2,A3见式(412)。
416 等效节点荷载
在轴对称问题中,单元为具有一定截面积的圆环状体,因此节点荷载应理解
为作用在节点所在的圆周上。
(1)体力
设体力为f=[R Z]T。根据普遍公式(119),其等效节点荷载为
Pef=2πAeNTfrdrdz (a)
若体力为常量,则
Pefi=2πAeNirdrdz
R{ }Z (b)
注意到面积坐标的积分公式(227)及
r=r1L1+r2L2+r3L3则有
AeNirdrdz=Ae
Li(r1L1+r2L2+r3L3)drdz=A12
(3珋r+ri)
(i=1,2,3烍烌
烎)(c)
代入式(b)得
Pefi=πA6
(3珋r+ri)R{ }Z (417a)
若式(b)中的r近似地取式(414),则
Pefi=PriP烅烄
烆烍烌
烎zi
e
=2πA珋r3R{ }Z (417b)
26 第4章 空间问题
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(2)面力
如图43所示,单元12边上作用均布压力p。该边长为l,与r轴的夹角
图43 均布压力
为α。面力为
珔p=珚R珔{ }Z =
psinα-pcos{ }α
根据普遍公式(120)
Pep=
Pep1Pep2Pep
烅烄
烆烍烌
烎3
=2π∫lNT珔prds
Pepi=PriP烅烄
烆烍烌
烎zi
e
=2π珔p∫lNirds (i=1,2,3) (d)
其中积分
∫lNirds=∫lLi(r1L1+r2L2+r3L3)ds注意到沿12边积分时,L3=0,则
∫lNirds=16(2ri+r2)l (i=1,2) (e)
代入式(d)得
Pepi=π3pl
(2ri+r2)sinα-cos{ }α (i=1,2) (418)
图44 四面体单元
由于沿12边L3=0,故Pep3=0。
42 线性四面体单元
图44所示为一四面体单元,以4个角点1,2,3,4为节点。为使四面体体
积V 不致成为负值,单元节点的局部编码1,2,
3,4必须依照下述顺序:在右手坐标系中,当按
照1→2→3的方向转动时,右手螺旋应向4的方
向前进。
421 位移函数
每个单元共有12个节点位移分量,其中每
3642 线性四面体单元
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个节点有3个位移分量,即
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎4
, ai=
uiviw烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2,3,4) (419)
假定单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数
u=β1+β2x+β3y+β4zv=β5+β6x+β7y+β8zw =β9+β10x+β11y+β12
烍烌
烎z
(420)
把4个节点的坐标代入上式,求出系数βi,再将其代回得到
u=∑4
i=1Niui, v=∑
4
i=1Nivi w =∑
4
i=1Niwi (421)
或
u=uv烅烄
烆烍烌
烎w=Nae=[IN1 IN2 IN3 IN4]ae (422)
其中,I为三阶单位矩阵,即
I=1 0 00 1 0熿
燀
燄
燅0 0 1
而
Ni=16V
(ai+bix+ciy+diz) (i=1,2,3,4) (423)
V=16
1 x1 y1 z11 x2 y2 z21 x3 y3 z31 x4 y4 z4
(424)
其他系数由下式计算
46 第4章 空间问题
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ai=
xj yj zjxm ym zmxp yp zp
bi=-
1 yj zj1 ym zm1 yp zp
ci=
1 xj zj1 xm zm1 xp zp
di=-
1 xj yj1 xm ym1 xp yp
(i,j,m,p=1,2,3,→← 4
烍
烌
烎)
(425)
422 体积坐标
如图45所示四面体内任一点P(x,y,z)可用体积坐标(L1,L2,L3,L4)表示。体积坐标是三角形面积坐标在三维问题中的推广,定义为P点与四面体
图45 四面体单元
四个面围成的四个子四面体的体积与原四面体体积的比
值,即
L1=V1V
, L2=V2V
L3=V3V
, L4=V4烍
烌
烎V
(426)
其中,V1,V2,V3,V4 分别是四面体P234,P341,P412,
P123的体积。因
V1+V2+V3+V4=V
故
L1+L2+L3+L4=1 (427)
根据解析几何,体积坐标为
Li=16V
(ai+bix+ciy+diz) (i=1,2,3,4) (428)
可见
Ni=Li (i=1,2,3,4) (429)
体积坐标的密函数对直角坐标求导数时,可利用下列公式
5642 线性四面体单元
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x=∑
4
i=1
Lix
Li=
16V a1
L1+
a2L2+
a3L3+
a4L( )
4
y=∑
4
i=1
Liy
Li=
16V b1
L1+
b2L2+
b3L3+
b4L( )
4
z=∑
4
i=1
Liz
Li=
16V c1
L1+
c2L2+
c3L3+
c4L( )
烍
烌
烎4
(430)
求体积坐标的密函数在四面体单元上的积分时,可应用下列公式
∫ΩeLa1Lb2Lc3Ld4dΩ=6V a!b!c!d!(a+b+c+d+3)! (431)
423 应变和应力
将式(421)代入空间问题的几何方程(24),得
ε=Bae=[B1 B2 B3 B4]ae (432)
其中的各个子矩阵为
Bi=16V
bi 0 00 ci 00 0 dici bi 00 di cidi 0 b
熿
燀
燄
燅i
(i=1,2,3,4) (433)
显然,矩阵B中的元素都是常量,故4节点四面体单元是常应变单元。根
据几何方程,式(420)中的系数β1,β5,β9代表刚体移动;系数β2,β7,β12代表常
量正应变;其余6个系数反映了常量剪应变和刚体转动。可见,所选位移函数充
分反映了单元的刚体位移和常量应变。另外,由于位移函数是线性的,可以保证
相邻单元之间位移的连续性。这样,位移函数(420)满足了收敛条件。
根据空间问题的物理方程,有
σ=Dε=DBae (434)
对于各向同性介质,弹性矩阵D见式(27)。
424 单元刚度矩阵
根据普遍公式(118),并注意到应变矩阵和弹性矩阵的元素都是常量,可求
66 第4章 空间问题
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出单元刚度矩阵为
Ke=BTDBV (435)
其分块形式为
Ke=
k11 -k12 k13 -k14-k21 k22 -k23 k24k31 -k32 k33 -k34-k41 k42 -k43 k
熿
燀
燄
燅44
(436)
其中的子矩阵kij由下式计算
kij=BTiDBjV (437)
对于各向同性弹性体,有
kij=A3
bibj+A2(cicj+didj) A1bicj+A2cibj A1bidj+A2dibjA1cibj+A2bicj cicj+A2(didj+bibj) A1cidj+A2dicjA1dibj+A2bidj A1dicj+A2cidj didj+A2(bibj+cicj
熿
燀
燄
燅)(i=1,2,3,4; j=1,2,3,4) (438)
其中
A1=ν1-ν
, A2=1-2ν2(1-ν), A3=
E(1-ν)36(1+ν)(1-2ν)V
(439)
425 等效节点荷载
(1)体力
设体力f=[X Y Z]T是常量,根据普遍公式(119),有
Pef=∫ΩeNTfdΩ=∫Ωe[N1I N2I N3I N4I]TfdΩ
注意到公式(429)和(431),则节点i的等效节点荷载为
Pefi=∫ΩeNiIfdΩ=f∫ΩeNidΩ=V4f (i=1,2,3,4)
(2)面力
设边界表面ijm 承受线性分布的面力珔p=[珚X 珡Y 珔Z]T,在节点i上的集
度分别为[珚Xi 珡Yi 珔Zi]T 等等。对于那些不相关的节点p,在表面ijm 上有
Np=0。根据普遍公式(120),有
7642 线性四面体单元
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Pepi=∫ΓeσNi珔pdΓ=16Aijm×
(珚Xi+12珚Xj+
12珚Xm)
(珡Yi+12珡Yj+
12珡Ym)
(珔Zi+12珔Zj+
12珔Zm
烅
烄
烆
烍
烌
烎)
(i,j,m)
其中,Aijm为边界表面ijm 的面积。
43 高次四面体单元
从前面的介绍可知,4节点四面体单元是常应变单元,这种单元难以适应急
剧变化的应力场,此时可考虑采用高次四面体单元。图46所示分别为10节点
四面体单元和20节点四面体单元。引入体积坐标以后,可采用与二维三角形单
元形函数构造相似的方法得到各次四面体单元的形函数。
将形函数表示为体积坐标(L1,L2,L3,L4)的函数,其构造公式为
Ni(L1,L2,L3,L4)=∏m
k=1Fk(L1,L2,L3,L4)
∏m
k=1Fk(L1,L2,L3,L4)i
(440)
431 10节点四面体单元
在空间问题中,完全二次多项式共有10项,即
图46 四面体单元
1, x,y,z, x2,y2,z2, xy,yz,zx
若位移函数取二次多项式,则二次单元应有10个节点。10节点四面体单元的
节点取4个角点和6个边内中点(图46a)。对于角点,例如节点1,可作通过节
86 第4章 空间问题
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点2,3,4,8,9,10的平面L1=0;通过节点5,6,7的平面L1=1/2。代入式
(440)得
N1=L11
·L1-1/2
1-1/2 =(2L1-1)L1
同理可得其他角点的形函数,并可统一表示为
Ni=(2Li-1)Li (i=1,2,3,4) (441a)
对于边中节点,例如节点5,可作平面L1=0和L2=0,代入式(440)得
N5=L11/2
·L21/2=4L1L2
同理可得其他边内节点的形函数,即
N5=4L1L2, N6=4L1L3, N7=4L1L4 (441b)
N8=4L2L3, N9=4L3L4, N10=4L2L4 (441c)
432 20节点四面体单元
在空间问题中,完全三次多项式共有20项。若位移函数取三次完全式,则
三次单元应有20个节点。可取4个角点、6条棱边的三分点及4个表面的形心
(图46b)。其中,表面与节点号的对应关系为
表面123———17, 表面124———18, 表面134———19, 表面234———20按照前面所述的方法,不难构造出20节点四面体单元的形函数。例如,对
于角点
Ni=12
(3Li-1)(3Li-2)Li (i=1,2,3,4) (442a)
对于棱边三分点和表面形心节点,这里只列出节点5和节点17的形函数,不难
发现其中的规律性。
N5=92L1L2
(3L1-1) (442b)
N17=27L1L2L3 (442c)
44 结 语
在空间问题的有限元分析中,最简单的单元是四面体单元,任何空间结构都
可以用这种单元灵活地加以离散;而应用最广泛的是六面体等参单元,它将在第
9644 结 语
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5章中介绍。此外,还有规则六面体单元(其构造方法类似平面问题中的矩形单
元,留给读者作练习)。实际上,仅采用规则单元难以贴合外形复杂的结构,故其
应用受到了限制。
习 题
41 与平面问题相比,轴对称问题有何特点?在有限元表达格式上有何区别?
42 试用体积坐标构造10节点四面体单元的形函数并讨论收敛性。
43 试构造规则六面体单元的形函数,并推导单元刚度矩阵。
答案:Ni=18
(1+ξiξ)(1+ηiη)(1+ζiζ) (i=1,2,⋯,8)
07 第4章 空间问题
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第5
章
等参单元
在前面各章介绍的平面问题和空间问题中,采用了形状比较简单或规则的
实体单元。用规则单元离散形状比较复杂的结构常会遇到困难,即不能很好地
拟合结构边界。解决问题的一种办法是采用较多的简单单元,而这样做会增加
节点数目或平衡方程组的阶次。另一种办法(通常也是较好的办法)是采用形状
比较复杂的等参单元。这种单元是20世纪60年代末期提出来的,它可以很方
便地用来离散具有复杂形体的结构。
本章内容包括:(1)等参单元的基本思想;(2)平面四边形等参单元;(3)空间
六面体等参单元;(4)用面积坐标和体积坐标表示的等参单元;(5)数值积分方法
与积分方案的选择。
51 等参单元的基本思想
511 真实单元
对于几何形状比较复杂的结构,可以采用形状较复杂的单元加以离散。例
如,在平面问题中,可以采用4节点直边单元(简称Q4)、8节点曲边单元(简称
Q8)、12节点曲边单元(简称Q12)等(图51)。
图51 真实单元
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用二维形函数表示单元位移
u=∑m
i=1
珡Ni(x,y)ui, v=∑m
i=1
珡Ni(x,y)vi (51)
其中,珡Ni(x,y)是整体坐标表示的形函数;m 是单元的节点个数。形函数珡Ni可
按第3章中介绍的几何方法加以构造,即
珡Ni(x,y)=∏m
k=1Fk(x,y)
∏m
k=1Fk(xi,yi)
(52)
为满足完备性要求,形函数必须满足下列3个条件
∑m
i=1
珡Ni(x,y)=1 (53)
∑m
i=1
珡Ni(x,y)xi=x, ∑m
i=1
珡Ni(x,y)yi=y (54)
显然,在整体坐标系中直接构造形函数是比较困难的。为此,可考虑进行坐
标变换,将整体坐标系xy中形状较复杂的真实单元变换成局部坐标系ξη中规
则的标准单元(例如2×2的正方形单元),然后在标准单元中构造形函数。
512 标准单元
图52所示为局部坐标系ξη平面上与上述真实单元对应的标准单元,它们
都是2×2的正方形,即,-1≤ξ≤+1,-1≤η≤+1。局部坐标系的原点放在
单元形心上。单元边界是四条直线,其方程为ξ=±1,η=±1。
图52 标准单元
通过坐标变换,节点数目相同的全部真实单元仅对应于具有该节点数目的
一个标准单元。因此,标准单元被称为母单元,真实单元称为子单元。
显然,在局部坐标系中构造母单元的形函数非常简单(见下节),而且将表明
构造形函数时只需满足下述条件
27 第5章 等参单元
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Ni(ξj,ηj)=δij, ∑m
i=1Ni(ξ,η)=1 (55)
513 坐标变换
采用形函数Ni(ξ,η)形成坐标变换式,即
x=∑m
i=1Ni(ξ,η)xi, y=∑
m
i=1Ni(ξ,η)yi (56)
注意到形函数的性质,通过上述坐标变换,可将正方形母单元变换成任意四边形
子单元:将母单元的节点(ξi,ηi)变换成子单元中对应的节点(xi,yi),将母单元
的直线边界变换成子单元的曲线边界。例如,当m=8时,式(56)是局部坐标
的二次函数式,它将8节点正方形变换成8节点二次任意四边形;将母单元的直
线边界变换成子单元的二次抛物线边界。
514 位移函数
为了说明问题,求式(56)的逆变换式(实际中并不需要这样做)
ξ=ξ(x,y), η=η(x,y)
并将其代入形函数Ni(ξ,η)中,得到整体坐标表示的形函数珡Ni(x,y),即
Ni(ξ,η)=Ni[ξ(x,y),η(x,y)]=珡Ni(x,y) (57)
采用形函数珡Ni(x,y),可将单元位移函数表示为
u=∑m
i=1
珡Ni(x,y)ui=∑m
i=1Ni(ξ,η)ui
v=∑m
i=1
珡Ni(x,y)vi=∑m
i=1Ni(ξ,η)v
烍烌
烎i
(58)
显然,只要式(55)得到满足,再注意到式(56),(57),下列各式自然成立
珡Ni(xj,yj)=Ni(ξj,ηj)=δij
∑m
i=1
珡Ni(x,y)=∑m
i=1Ni(ξ,η)=
烍烌
烎1(59)
∑m
i=1
珡Ni(x,y)xi=∑m
i=1Ni(ξ,η)xi=x
∑m
i=1
珡Ni(x,y)yi=∑m
i=1Ni(ξ,η)yi=
烍烌
烎y
(510)
即单元完备性条件(53),(54)均得到了满足。由于坐标变换式(56)和单元位
3751 等参单元的基本思想
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移函数(58)中用了相同的形函数Ni(ξ,η),故称这种变换为等参变换,相应的
单元称为等参单元。
52 平面四边形等参单元
521 单元形函数
如前所述,在等参单元形函数的构造中,只要式(55)成立,便可满足单元完
备性要求。对于母单元这种简单的规则单元,边界线方程很容易写出,因此采用
几何方法构造单元形函数非常方便,其构造公式为
Ni(ξ,η)=∏m
k=1Fk(ξ,η)
∏m
k=1Fk(ξi,ηi)
(511)
母单元的节点数目与形函数的阶次相适应,以保证用形函数定义的未知量
在相邻单元之间的连续性。因此,对于线性、二次和三次形函数,单元每边应分
别有2个、3个、4个节点(图52)。
(1)线性单元(Q4单元)
线性单元以4个角点为节点。为构造N1,需做如下两条直线:F1=1-ξ=0和F2=1-η=0,它们通过节点2,3,4,但不通过节点1。将上述直线和节点1的坐标代入式(511)得
N1=(1-ξ)(1-η)
(1-ξ1)(1-η1)=14
(1-ξ)(1-η)
同理可构造出N2,N3,N4,从而有
N1=(1-ξ)(1-η)/4N2=(1+ξ)(1-η)/4N3=(1+ξ)(1+η)/4N4=(1-ξ)(1+η)/
烍
烌
烎4
(512a)
或
Ni=(1+ξ0)(1+η0)/4 (i=1,2,3,4) (512b)
其中,ξ0=ξiξ,η0=ηiη,而ξi,ηi为节点i的坐标。
(2)二次单元(Q8单元)
在二次单元中,除4个角点外,其他节点放在各边的中点。为构造N1,我们
需做三条直线F1=1-ξ=0,F2=1-η=0和F3=ξ+η+1=0,它们通过节点
47 第5章 等参单元
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2,3,4,5,6,7,8,但不通过节点1。将上述直线和节点1的坐标代入式(511),
可得
N1=(1-ξ)(1-η)(ξ+η+1)
(1-ξ1)(1-η1)(ξ1+η1+1)=-14
(1-ξ)(1-η)(ξ+η+1)
同理可构造出其他形函数,并可统一表示为
Ni=14
(1+ξ0)(1+η0)(ξ0+η0-1) (i=1,2,3,4)(513a)
Ni=12
(1-ξ2)(1+η0) (i=5,7) (513b)
Ni=12
(1-η2)(1+ξ0) (i=6,8) (513c)
(3)三次单元(Q12单元)
除4个角点外,三次单元的其他节点放在各边的三分点上。按上述方法不
难构造出这种单元的形函数。
Ni=132
(1+ξ0)(1+η0)[9(ξ2+η2)-10] (i=1,2,3,4) (514a)
Ni=932
(1+ξ0)(1-η2)(1+9η0) (i=5,6,7,8) (514b)
Ni=932
(1+η0)(1-ξ2)(1+9ξ0) (i=9,10,11,12) (514c)
图53 线性单元的坐标变换
522 坐标变换
在进行等参坐标变换时,母单元都是2×2的正方形,而子单元则可随母单
元阶次而不同。线性母单元映射成的子单元是直边四边形(图53);二次和三
次母单元映射成的子单元可分别是二次曲线和三次曲线组成的四边形(图
54)。显然,母单元的直线正交坐标ξη,可看成子单元的曲线坐标。
不难验证,以上各种形函数都满足式(55)的要求,从而也就满足了完备性
5752 平面四边形等参单元
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图54 二次单元的坐标变换
要求。现在考察相邻子单元在公共边界上坐标及位移的连续性。以二次单元为
例,两个相邻子单元的公共边界都是二次曲线,既然它们在三个公共节点上具有
相同坐标,必然沿整个公共边界都有相同坐标,因而变换后的坐标是连续的。由
于等参变换的缘故,两个相邻子单元在公共边界上的位移也都是二次曲线,既然
它们在三个公共节点上具有相同位移,必然沿整个公共边界都有相同位移,从而
满足了协调性要求。
523 应变和应力
对于具有m 个节点的平面等参单元,位移函数可写成
u=u{ }v =[N1I N2I ⋯ NmI]ae=Nae (a)
其中,I为二阶单位矩阵;而单元节点位移向量为
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m
, ai=uiv烅烄
烆烍烌
烎i(i=1,2,⋯,m) (b)
将位移函数(a)代入平面问题的几何方程得单元应变
ε=Bae=[B1 B2 ⋯ Bm]ae (515)
其中的子矩阵为
Bi=
Nix 0
0Niy
Niy
Ni
熿
燀
燄
燅x
(i=1,2,⋯,m) (516)
67 第5章 等参单元
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Ni(ξ,η)是用局部坐标给出的,根据复合函数求导法则,可知
NiξNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎η
=
xξ
yξ
xη
y
熿
燀
燄
燅η
NixNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=J
NixNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
(c)
其中,J称为Jacobi矩阵,即
J=
xξ
yξ
xη
y
熿
燀
燄
燅η
=∑Niξxi ∑Ni
ξyi
∑Niηxi ∑Ni
ηy
熿
燀
燄
燅i
(517)
由式(c)可得形函数对整体坐标的导数
NixNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=J-1NiξNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎η
(518)
将上式代入式(516),即可求出单元应变矩阵。
将单元应变(515)代入平面问题的本构方程,可得到用节点位移表示的单
元应力
σ=Dε=DBae (519)
524 单元刚度矩阵
根据普遍公式(118),并设单元的厚度为t,则单元刚度矩阵为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=∫AeBTDBtdA (520)
图55 微元面积
一般情况下,Niξ
,Niη
,J都是ξ和η的函数,从而B也是ξ和η的函数,因
此上述积分应在局部坐标系内进行。这样,
面积元素dA也应表示成dξdη。图55所示
为子单元中任一点a(x,y)处的微小四边形。
显然,a 点 在 母 单 元 中 对 应 点 的 坐 标 为
(ξ,η),而微小四边形abdc对应于(ξ,η)的微
元面dξdη(亦即是由局部坐标系中的微元面
dξdη变换而成),ab,ac分别由dξ,dη变换
7752 平面四边形等参单元
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而成,即
ab= xξi+yξ( )jdξ, ac= x
ηi+yη( )jdη
其中,i,j表示x,y轴的单位基矢量,而微元面积dA应等于微小四边形相邻边
矢量积的模,即
dA=|ab×ac|
注意到,i×i=j×j=0,i×j=-j×i=k,有
dA= xξi+yξ( )j × x
ηi+yη( )jdξdη =
xξ
yξ
xη
yη
=Jdξdη
于是
Ke=∫1
-1∫1
-1BTDBJtdξdη (521)
525 等效节点荷载
根据普遍公式(119),体力的等效节点荷载为
Pef=∫ΩeNTfdΩ=AeNTftdxdy
将上式右端的N及dxdy用局部坐标(ξ,η)表示,则有
Pef=∫1
-1∫1
-1NTfJtdξdη (522)
根据普遍公式(120),面力的等效节点荷载为
Pep=∫ΓeσNT珔pdΓ=∫sNT珔ptds
例如,设珔p所作用的表面是η=1面,在坐标变换公式中令η=1,可得到Γeσ 的
方程如下
x=∑m
i=1Ni(η=1)xi, y=∑
m
i=1Ni(η=1)yi
因
ds= (dx)2+(dy)槡 2= (dxdξ
)2+(dydξ
)槡 2dξ=Adξ
于是有
87 第5章 等参单元
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Pep=∫1
-1NT珔pAtdξ (523)
53 空间六面体等参单元
531 单元形函数
在概念与分析方法上,空间等参单元与平面等参单元相似。空间等参单元
的母单元是2×2×2的立方体,常用的母单元为8节点线性立方体单元和20节
点二次立方体单元(图56)。形函数构造方法与平面问题的相同,公式为
Ni(ξ,η,ζ)=∏m
k=1Fk(ξ,η,ζ)
∏m
k=1Fk(ξi,ηi,ζi)
(524)
图56 立方体母单元
(1)8节点单元
8节点六面体单元以六面体的8个角点作为节点。为构造N1,可做3个平
面,即F1=1-ξ=0,F2=1-η=0和F3=1-ζ=0,它们通过节点2,3,4,5,6,
7,8,但不通过节点1。将上述平面和节点1的坐标代入式(524),可得
N1=(1-ξ)(1-η)(1-ζ)
(1-ξ1)(1-η1)(1-ζ1)=18
(1-ξ)(1-η)(1-ζ)
同理可构造出其他形函数,并可统一表示为
Ni=(1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0)/8 (i=1,2,⋯,8) (525)
其中
ξ0=ξiξ, η0=ηiη, ζ0=ζiζ (i=1,2,⋯,8)
9753 空间六面体等参单元
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而ξi,ηi,ζi是节点i的局部坐标,例如节点1的坐标为(-1,-1,-1)。
(2)20节点单元
20节点六面体单元的节点除六面体的8个角点外,还有每边的中点。为构
造N1,可做4个平面,即F1=1-ξ=0,F2=1-η=0,F3=1-ζ=0和
F4=ξ+η+ζ+2=0,它们通过除节点1以外的所有节点。将上述平面和节点
1的坐标代入式(524),可得
N1=(1-ξ)(1-η)(1-ζ)(ξ+η+ζ+2)
(1-ξ1)(1-η1)(1-ζ1)(ξ1+η1+ζ1+2)
=18(1-ξ)(1-η)(1-ζ)(-ξ-η-ζ-2)
同理可构造出其他形函数,并可统一表示为
Ni=(1+ξ0)(1+η0)(1+ζ0)(ξ0+η0+ζ0-2)ξ2iη2iζ2i/8
+(1-ξ2)(1+η0)(1+ζ0)(1-ξ2i)η2iζ2i/4
+(1-η2)(1+ζ0)(1+ξ0)(1-η2i)ζ2iξ2i/4
+(1-ζ2)(1+ξ0)(1+η0)(1-ζ2i)ξ2iη2i/4
(526)
其中
ξ0=ξiξ, η0=ηiη, ζ0=ζiζ (i=1,2,⋯,20)
而ξi,ηi,ζi是节点i的局部坐标。
图57 20节点单元
532 坐标变换
通过坐标变换,8节点母单元可映射为任意形状的8节点子单元,单元边界
面为平面;20节点母单元可映射为任意形状的20节点子单元,单元边界面为二
次曲面(图57)。
08 第5章 等参单元
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在整体坐标系中,等参单元内任一点的坐标可用上述母单元形函数表示如下
x=∑m
i=1Nixi, y=∑
m
i=1Niyi, z=∑
m
i=1Nizi (527)
其中,xi,yi,zi是节点i的整体坐标;m 是单元节点数。
533 位移函数
等参单元的位移函数为
u=∑m
i=1Niui, v=∑
m
i=1Nivi, w =∑
m
i=1Niwi (528a)
或
u=[N1I N2I ⋯ NmI]ae=Nae (528b)
其中,I为三阶单位矩阵;而单元节点位移向量为
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m
, ai=
uiviw烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2,⋯,m)
534 单元应变
根据空间问题的几何方程,单元应变可用节点位移表示如下
ε=Bae=[B1 B2 ⋯ Bm]ae (529)
其中
Bi=
Nix 0 0
Niy 0
Niz
0Niy 0
Nix
Niz 0
0 0Niz 0
Niy
Ni
熿
燀
燄
燅x
T
(530)
根据复合函数求导法则,可知
NiξNiηNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎ζ
=
xξ
yξ
zξ
xη
yη
zη
xζ
yζ
z
熿
燀
燄
燅ζ
NixNiyNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
=J
NixNiyNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
(531)
1853 空间六面体等参单元
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其中,J为三维Jacobi矩阵,即
J=
xξ
yξ
zξ
xη
yη
zη
xζ
yζ
z
熿
燀
燄
燅ζ
(532)
其元素计算式为
xξ=∑
m
i=1
Niξxi,⋯,z
ζ=∑
m
i=1
Niζzi (533)
根据式(531),有
NixNiyNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
=J-1
NiξNiηNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎ζ
(534)
535 单元刚度矩阵
单元刚度矩阵按普遍公式(118)计算,即
Ke=∫ΩeBTDBdΩ (535)
图58 微元体积
上述积分应在局部坐标系内进行,因此体积元素dΩ需表示成dξdηdζ。图58所示为子单元内任一点a(x,y,z)处的微小六面体,它是由局部坐标系中点
(ξ,η,ζ)处的微元体dξdηdζ变换而成的。以i,j,k表示x,y,z轴的单位基
矢量,ab,ac,ad分别由dξ,dη,dζ变换而成,则
ab= xξi+yξj
+zξ( )kdξac= x
ηi+yηj
+zη( )kdηad= x
ζi+yζj
+zζ( )kdζ上述3个矢量构成右手系,其混合积表示它们所构
成的平行六面体体积,故
28 第5章 等参单元
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dΩ=ab·(ac×ad)=Jdξdηdζ其中,J为矩阵J的行列式。将上式代入式(535),并写成分块形式
Ke=
k11 k12 ⋯ k1mk21 k22 ⋯ k2m
… … …
km1 km2 ⋯ k
熿
燀
燄
燅mm
(536)
其中子矩阵的计算公式为
kij=∫ΩeBTiDBjdΩ=∫1
-1∫1
-1∫1
-1BTiDBjJdξdηdζ (537)
536 等效节点荷载
对于体力f,根据普遍公式(119),有
Pef=∫ΩeNTfdΩ=∫1
-1∫1
-1∫1
-1NTfJdξdηdζ (538)
根据普遍公式(120),面力珔p的等效节点荷载为
Pep=∫ΓeσNT珔pdΓ (539)
设面力作用在ζ=1面上。在坐标变换公式中令ζ=1,可得到边界面Γeσ 的方
程如下
x=∑m
i=1Ni(ζ=1)xi, y=∑
m
i=1Ni(ζ=1)yi, z=∑
m
i=1Ni(ζ=1)zi
而微元面积dΓ为dξ,dη对应的面积元素,故有
dΓ= ab×ac =
i j kxξ
yξ
zξ
xη
yη
zη
=Adξdη
其中
A= (xξyη-xη
yξ
)2+(yξzη-yη
zξ
)2+(zξxη-zη
xξ
)槡 2
(540)
从而得到
3853 空间六面体等参单元
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Pepi=∫1
-1∫1
-1Ni珔pAdξdη (541)
54 高次三角形等参单元
541 坐标变换
在第3章中,构造了用面积坐标表示的高次三角形单元T6和T10,它们都
是具有直线边界的单元。可将这些形状规则的三角形单元作为母单元,通过等
参变换将其映射成曲边三角形单元。例如,直线边界的6节点三角形单元被映
射成二次曲线边界的6节点曲边三角形单元(图59)。
图59 三角形等参单元
对于等参三角形单元,坐标变换式为
x=∑m
i=1Ni(L1,L2,L3)xi, y=∑
m
i=1Ni(L1,L2,L3)yi (542)
其中,m 为单元节点数;形函数Ni见第3章中的公式(333),(334)。
542 单元计算
根据面积坐标的特点,选L1,L2为独立自然坐标,而L3=1-L1-L2。单
元刚度矩阵可表示为
Ke=∫AeBTDBtdA=∫1
0∫1-L1
0BTDBtJdL1dL2 (543)
其元素可一般地写成
∫AefdA=∫1
0∫1-L1
0f(L1,L2,L3)dL1dL2
=∫1
0∫1-L1
0f(L1,L2,1-L1-L2)dL1dL2
(544)
48 第5章 等参单元
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需要注意的是,在普通三角形单元中,直角坐标与面积坐标之间的关系比较
简单,即
x=∑3
i=1Lixi, y=∑
3
i=1Liyi (a)
因而可非常简单地完成单元计算。而在等参单元中,坐标变换式(542)使问题
变复杂了。例如,在普通三角形单元中,有
J=
xL1
yL1
xL2
yL2
=x1-x3 y1-y3x2-x3 y2-y3
=2A (b)
而在等参三角形单元中,J就没有这么简单了,其中的元素具有下述形式
xL1=∑
m
i=1
NiL1+
NiL3
L3L( )
1xi=∑
m
i=1
NiL1-
NiL( )
3xi (545)
因此,单元计算需要用Hammer数值积分。
55 高次四面体等参单元
在第4章中,构造了用体积坐标表示的10节点四面体单元和20节点四面
体单元。与平面三角形等参单元的情形相似,它们都可作为四面体母单元。通
过下述等参变换,将平面边界的四面体映射成曲面边界的四面体
x=∑m
i=1Nixi, y=∑
m
i=1Niyi, z=∑
m
i=1Nizi (546)
其中,m 为单元节点数;形函数Ni(L1,L2,L3,L4)见第4章中的公式(441)和
(442)。
以L1,L2,L3为独立自然坐标,而L4=1-L1-L2-L3。单元刚度矩阵可
表示为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=∫1
0∫1-L1
0∫1-L1-L2
0BTDBJdL1dL2dL3 (547)
其元素可一般地写成
∫ΩefdΩ=∫1
0∫1-L1
0∫1-L1-L2
0f(L1,L2,L3,L4)dL1dL2dL3
=∫1
0∫1-L1
0∫1-L1-L2
0f(L1,L2,L3,1-L1-L2-L3)dL1dL2dL3
(548)
5855 高次四面体等参单元
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可采用Hammer数值积分计算。
56 数 值 积 分
采用等参单元时,单元刚度矩阵和等效节点荷载算式中的被积函数通常很
复杂,难以用显式表示其积分。因此,一般都用数值积分方法计算积分值,即在
单元内选出某些点作为积分点,求出被积函数在这些积分点的数值,然后对这些
数值与合适权重的积求和作为近似积分值。已发展的数值积分法有多种,常用
的有Gauss积分和Hammer积分。
551 Gauss积分
(1)一维Gauss积分
对于一维Gauss积分,在区间[-1,1]中选定积分点ξ1,ξ2,⋯,ξN,然后由下
式计算积分值
I=∫1
-1f(ξ)dξ=∑
N
i=1ωif(ξi) (549)
其中,ωi是权重。ωi和ξi是根据计算精度最高而选定的,常用数值列于表51。
表51 Gauss积分数值
积 分 点 数 积 分 点 坐 标 权 重
1 ξ1=0 ω1=2
2 ξ1,2=05773502692 ω1,2=10000000000
3 ξ1,2=07745966692ξ3=0
ω1,2=05555555556ω3=08888888889
4 ξ1,2=08611363116ξ3,4=03399810436
ω1,2=03478548451ω3,4=06521451549
N点Gauss积分实际上是用一个ξ的2N-1次多项式近似代替被积函数
f(ξ),再计算这个近似多项式的积分结果。如果被积函数本身就是多项式,则
对于2N-1次及其以下的多项式,N 点积分给出其准确结果。如果被积函数
为高于2N-1次的多项式或不是多项式,Gauss积分给出近似结果,且积分点数
越多,数值积分的精度就越高。为验证上述说法,并弄清积分点坐标和权重的确
定方法,取N=2,则
I=∫1
-1f(ξ)dξ=ω1f(ξ1)+ω2f(ξ2) (a)
68 第5章 等参单元
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设被积函数为三次多项式
f(ξ)=c0+c1ξ+c2ξ2+c3ξ3 (b)
其积分值为
I=∫1
-1(c0+c1ξ+c2ξ2+c3ξ3)dξ=2c0+
23c2
(c)
由式(a),(b)和(c),有
ω1(c0+c1ξ1+c2ξ12+c3ξ13)+ω2(c0+c1ξ2+c2ξ22+c3ξ23)=2c0+23c2
注意到上式对于任何三次多项式被积函数都成立,可求得
ξ1=-ξ2=-1/槡3=-05773502692ω1=ω2=10000000000
很显然,如果采用上述积分点及权重的Gauss积分,那么当被积函数为三次
或三次以下的多项式时,积分将给出精确结果。
(2)二维Gauss积分
对于二维Gauss积分,可以先令η保持常数而沿ξ方向积分
∫1
-1f(ξ,η)dξ=∑
N
i=1ωif(ξi,η)=(η) (550)
再沿η方向积分,得到
∫1
-1∫1
-1f(ξ,η)dξdη=∫
1
-1(η)dη=∑
M
j=1ωj(ηj)=∑
M
j=1∑N
i=1ωiωjf(ξi,ηj)
(551)
(3)三维Gauss积分
类似地,对于三维Gauss积分有
∫1
-1∫1
-1∫1
-1f(ξ,η,ζ)dξdηdζ=∑
L
k=1∑M
j=1∑N
i=1ωiωjωkf(ξi,ηj,ζk) (552)
根据需要,沿不同方向可取不同的积分点数,对应的坐标位置及权重仍可由
表51确定。
552 Hammer积分
(1)二维Hammer积分
对于被积函数以面积坐标或体积坐标为自变量的积分,Hammer等人推导
出了有效的积分方案。二维Hammer积分可表示为
7856 数 值 积 分
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∫1
0∫1-L1
0f(L1,L2,L3)dL1dL2=A1f(1/3,1/3,1/3)
+B3[f(a,a,b)+f(a,b,a)+f(b,a,a)]
+C3[f(c,c,d)+f(c,d,c)+f(d,c,c)] (553)
其中,A1,B3,C3为权重;a,b,c,d及1/3都是积分点坐标。在三角形域上积
分,权重之和应等于1/2,故表52中所列权重应乘以1/2。
表52 二维Hammer积分表
积分点数 精确积分的多项式次数 积 分 点 坐 标 权 重
1 1 1/3,1/3,1/3 A1=1
3 2 a=1/6,b=2/3 B3=1/3
4 3 a=1/5,b=3/5A1=-27/48B3=25/48
7 5
a=01012865073b=07974269853c=04701420641d=00597158717
A1=02250000000B3=01259391805C3=01323941527
注:未标出的权重为零。
(2)三维Hammer积分
三维Hammer积分公式为
∫1
0∫1-L1
0∫1-L1-L2
0f(L1,L2,L3,L4)dL1dL2dL3=A1f(1/4,1/4,1/4,1/4)+
+B4[f(a,b,b,b)+f(b,a,b,b)+f(b,b,a,b)+f(b,b,b,a)]
(554)
其中,A1,B4为权重;a,b及1/4都是积分点坐标。在四面体上积分,权重之和
应等于1/6,故表53中所列权重应乘以1/6。
表53 三维Hammer积分表
积分点数 精确积分的多项式次数 积 分 点 坐 标 权 重
1 1 1/4,1/4,1/4,1/4 A1=1
4 2 a=058541020b=013819660
B4=1/4
5 3 a=1/3,b=1/6A1=-4/5B4=9/20
注:未标出的权重为零。
553 数值积分阶次
(1)单元精度要求
数值积分的阶次就是某个方向所选取的积分点数目,它直接影响计算精度
和计算量。对于N 点积分,当被积函数为m 次多项式且m≤2N-1时,可得精
88 第5章 等参单元
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确积分值。反之,对于 m 次多项式的被积函数,精确积分要求的积分点数
N≥(m+1)/2。
等参单元有关计算中的被积函数通常不能化为多项式,因而难以精确确定
积分点数。但是,如果单元很小,以致ε和σ中的元素可视为常量,则被积函数
的幂次取决于J的幂次。对于20节点空间单元,一般Ni是每个局部坐标的二
次式,整体坐标对局部坐标的导数为该坐标的一次式,因而在J中每个局部坐
标可能以5次幂出现,即m=5。此时,一维积分点数为N=(m+1)/2=3,空
间问题则可用3×3×3阶积分。对于平面8节点等参单元,可采用3×3阶积
分。经类似的分析可知,对于8节点空间单元和4节点平面单元,可分别采用
2×2×2和2×2阶积分。
由于单元内部的应力和应变不是常量,故上述积分点数少于精确积分所需
的数目。阶次低于精确积分所需阶次的高斯积分称为减缩积分,这种积分方案
对于提高有限元位移解的精度常常是有益的。因为减缩积分较精确积分得到的
积分值偏小;而位移有限单元法中对位移模式的限制使得单元刚度被夸大了,从
而上述两种因素引起的误差被部分地抵消了。此外,精确积分通常由插值函数
中非完全项的最高方次所要求,而决定有限元精度的通常是完全多项式的方次。
非完全项往往不能提高精度,反而可能带来不好的影响。采用减缩积分可能使
积分精度正好保证完全多项式方次的要求,从而改善精度。
现在来看等效节点荷载积分。如上所述,对于20节点空间单元,一般Ni是每个局部坐标的二次式,而在J中每个局部坐标可能以5次幂出现。因此,当
体力为常数时,被积函数中每个局部坐标的幂次可能为m=2+5=7。此时,一
维积分点数为N=(m+1)/2=4,空间问题则为4×4×4。
(2)K非奇异性要求
为使求解方程组Ka=P成为可能,引入强制边界条件后的K 必须是非奇
异的。K非奇异的条件是|K|≠0,或者说K是满秩的,即其所有行(列)都是相
互独立的。
如果采用精确积分方案计算K,则其非奇异性要求总是能够得到满足,因
为任何非刚体位移模式对应的精确应变能aTKa总是大于零的,这就意味着K必然是正定的。然而,当采用减缩积分时,K 的非奇异性并不是必然的。例如
有些情况下,对应于某种非刚体位移模式,减缩积分时高斯点上的应变正好等于
零,此时的应变能当然也为零,这种非刚体位移模式称为零能模式。因此,采用
减缩积分时,必须检查K 的非奇异性是否能满足。
为了讨论K的非奇异性,先让我们考虑矩阵秩的问题。所谓矩阵的秩就是
矩阵中独立的行(列)数。根据矩阵理论
若C=AB,则秩C≤min(秩A,秩B)
9856 数 值 积 分
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若C=A+B,则秩C≤秩A+秩B我们知道,K=∑
eKe,而单元刚度矩阵可表示为
Ke=∑ng
i=1HiBTiDBiJi
其中,ng为Gauss积分点数;Hi为权重之积。不难发现,Dd×d和Bd×nf(d与维
数有关,二维问题为3,三维问题为6;nf为单元自由度数)的秩均为d。如果单
元总数为M,则
秩K≤M·ng·d若K的阶数即a中未知量的数目为N,则K非奇异的必要条件是
M·ng·d≥N事实上,在刚度矩阵的数值积分中,我们是用节点参数a之间独立线性关
系的加权和来代替积分。因此,如果a中未知量的数目超过了所有积分点处提
供的独立关系的数目,则矩阵K必定奇异。具体分析时还要考虑约束情况。例
如平面问题中,每个积分点处采用3个独立关系,独立关系的总数为3ngM。如
果系统自由度总数为N,被约束的自由度数为Nc,则未知量的总数为N-Nc。
图510所示为两个单元的平面结构,其中3个自由度被约束以便消除刚体
位移。采用减缩积分方案,Q4单元用单点积分,而Q8单元用4点积分。计算表
明(表54),Q4单元的K是奇异的,而Q8单元则无奇异性。
图510 积分方案
表54 Gauss积分数值
单 元 自 由 度 数 独 立 关 系 数 奇 异 性
Q4 2×6-3=9 3×1×2=6 奇异
Q8 2×13-3=23 3×4×2=24 非奇异
57 结 语
等参单元的提出是有限单元法极为重要的实质性进展之一。采用等参单元
有三方面的优越性。其一,有些工程结构的形状比较复杂,例如拱坝、汽轮机的
09 第5章 等参单元
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叶片等具有曲面边界。如果用直边单元离散这些结构将需要大量的单元才能得
到较好的近似,而曲边的等参单元可非常方便地离散复杂结构。其二,如果在单
元内多取些节点,单元便具有较多的位移自由度,从而就能够插值表示较复杂的
单元内部位移场,这样也就提高了单元本身的精度。第三,等参单元刚度矩阵、
荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的,因此不管被积函数多么复杂都可方
便地采用标准化数值积分。
习 题
51 何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?在等参单元计算中,数值积分
的阶次是否越高越好?为什么?
52 在实际问题中,一维构件可能与多维构件同时出现在结构中。例如钢筋混
凝土结构中的钢筋、孔口边缘的加劲环等等。这样,在结构有限元分析中,
需同时采用一维单元和多维单元。试分别构造2节点、3节点一维等参单
元(母单元如图所示)的形函数,并指出通过等参变换后相应的子单元的曲
线类型。
答案:2节点单元 N1=(1-ξ), N2=(1+ξ);
3节点单元 N1=-ξ(1-ξ)/2, N2=ξ(1+ξ)/2, N3=1-ξ2。
题52图
53 试求20节点六面体等参单元的Niξ
。
答案:Niξ=ξi(1+η0)(1+ζ0)(2ξ0+η0+ζ0-1)ξ2iη2iζ2i/8
-ξ(1+η0)(1+ζ0)(1-ξ2i)η2iζ2i/2+ξi(1-η2)(1+ζ0)(1-η2i)ζ2iξ2i/4+ξi(1-ζ2)(1+η0)(1-ζ2i)ξ2iη2i/4
54 试计算Q4单元的J及其单元中心处的值。
答案:J|ξ=0,η=0=A/4, A是单元的面积。
55 试回答下列问题并说明理由:Q4单元能否用和R4单元相同的位移函数,即
u=α1+α2x+α3y+α4xyv=α5+α6x+α7y+α8x
烍烌
烎y
答案:不能,因为上述位移函数不能满足协调性要求。
56 何谓位移的零能模式?在什么条件下会发生零能模式?
19习 题
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第6
章
杆系结构
杆系结构就是若干个杆件通过节点相互联结而成的结构体系。杆件在节点
处铰接时称为桁架,刚接时称为刚架;全部杆件在同一平面内且杆件截面主轴以
及所承受的荷载也在该平面内时称为平面杆系结构;否则称为空间杆系结构。
通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆,而将承受横向力和弯矩的杆件称为
梁。在有限单元法中,桁架采用杆单元离散,刚架采用梁单元离散。杆单元公式
推导比较简单,也可通过梁单元凝聚而成,对此不予讨论而是留作练习。本章包
括下述内容:(1)基于工程梁理论构造平面工程梁单元;(2)基于剪切梁理论构造
平面剪切梁单元;(3)假设剪应变场构造通用梁单元;(4)基于工程梁理论构造空
间梁单元。
61 工程梁单元
611 工程梁理论
梁弯曲理论(包括工程梁理论和剪切梁理论)在弹性力学基本假定的基础上
引入了某些附加假定,将问题归结为求解中性轴位移,而梁内任一点的位移都可
以通过中性轴位移来表示。
图61 工程梁理论假设
(1)基本假设
图61a所示为平面梁。工程梁理论(也称为Euler?Bernoulli梁理论)引入了
两个基本假设,即平截面假设和横向纤维无挤压假设。前者认为梁的横截面变
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形后仍为平面,且垂直于变形后的中性轴(图61b)。该假设意味着横向剪切应
变γxy=0;后者认为梁的横向纤维无挤压,即εy=0。
(2)梁内位移
根据上述假设,可以用中性轴的轴向位移u、横向位移即挠度v、截面转角
θ表示梁内任一点的位移珔u,珔v。应该指出,角位移并非节点的实际位移,而是代
表通过节点的杆件横截面绕z坐标轴的转角。
线位移分量以沿坐标轴正向为正,截面转角θ以逆时针为正。显然,转角θ引起的轴向位移为-θy,轴力引起的轴向位移只与x有关,并以fu(x)表示。
这样,梁内任一点的轴向位移为
珔u=u-θy=fu(x)-θy (61)
根据横向纤维无挤压假设,有
εy=珔vy=0
(62)
故
珔v=v=fv(x) (63)
根据平截面假设,挠度与转角不是相互独立的变量,而是满足下述关系
θ=vx=dvdx
(64)
(3)应变和应力
由于横向线应变εy和横向剪应变γxy均为零,故梁内应变仅有一个分量不
为零,即
εx=珔ux=
ux-y
θx=
dudx-y
d2vdx2
(65)
梁内横向应力σy和横向剪应力τxy实际上并不为零,因为它们是平衡所必
需的。但因εy和γxy为零,故计算应变能时涉及不到σy 和τxy。这样,梁内便仅
有一个不为零的独立分量,即σx。此外,σy为次要应力,在本构方程中可忽略它
的影响,故有
σx=Eεx (66)
612 结构离散
(1)单元和节点
在杆系结构有限元分析中,通常以自然杆件为单元,杆件交汇点为节点。但
3961 工程梁单元
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当杆件截面变化、杆件中间作用有集中荷载或为了提高计算精度时,可适当分割
杆件或增设中间节点。例如,变截面杆件可用若干直梁单元离散处理。结构离
散化以后,对节点和单元进行编号,如图62a所示。
图62 刚架与单元
(2)坐标系
在杆系结构有限元分析中,需采用整体坐标系珔x珔y和局部坐标系xy。前者
是为整个结构建立的统一坐标系;而后者则是为各个单元建立的。如果单元的
两个端点采用局部码1和2,那么由节点1到节点2的方向规定为杆轴正方向。
杆轴的正方向取为x轴的正方向,杆轴逆时针旋转90°后的方向取为y轴的正
方向。
(3)节点位移和节点力
图62b所示为刚架结构中的一个典型单元。杆长为l,截面面积为A,截
面惯性矩为I,弹性模量为E。在平面刚架中,每个节点的节点位移和节点力各
有3个分量,在局部坐标系中分别表示为
ai=
uiviθ烅烄
烆烍烌
烎i
, Fi=
UiViM烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2)
其中,u为轴向位移,U 为轴力,沿x轴正方向为正;v为横向位移,V 为剪力,
沿y轴正方向为正;θ为角位移,M 为弯矩,逆时针旋转为正。单元节点位移向
量和单元节点力向量各有6个分量,即
ae=a1a烅烄
烆烍烌
烎2, Fe=
F1F烅烄
烆烍烌
烎2
整体坐标系中的单元节点位移向量和单元节点力向量分别表示为
ae=a1a烅烄
烆烍烌
烎2, Fe=
F1F烅烄
烆烍烌
烎2
49 第6章 杆系结构
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613 单元分析
首先建立局部坐标系中的单元刚度矩阵Ke,然后通过坐标变换将其转换成
整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke。
(1)位移函数
由于梁单元共有6个节点位移自由度,故位移函数应包含6个待定系数。
在小变形条件下,根据材料力学,梁单元在均布荷载作用下,横向位移即挠度的
精确解是三次多项式;横向位移和转角都不影响轴向力。因此,工程梁单元的中
性轴位移可假设为
u=α1+α2x
v=α3+α4x+α5x2+α6x烍烌
烎3
而
θ=dvdx=α4+2α5x+3α6x2
将两端点的位移分量和坐标代入上式,求解方程组可得待定系数;再将求得的系
数代入上式,可得
uv烅烄
烆烍烌
烎θ=
N1 0 0 N2 0 00 N3 N4 0 N5 N60 0 N1 0 0 N
熿
燀
燄
燅2
ae (67)
其中
N1=1-ξ, N2=ξN3=1-3ξ2+2ξ3, N4=(ξ-2ξ2+ξ3)l
N5=3ξ2-2ξ3, N6=(-ξ2+ξ3)烍烌
烎l
(68)
而ξ为归一化坐标,即
x=lξ (69)
梁单元的位移场为
珔u=珔u珔{ }v =
u-ydvdx烅烄
烆烍烌
烎v=Nae (610)
其中
5961 工程梁单元
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N=N1 -yN′3 -yN′4 N2 -yN′5 -yN′60 N3 N4 0 N5 N
[ ]6
(611)
(2)应变和应力
将式(610)代入平面问题的几何方程,只有εx 不为零,且
ε= ε{ }x = 珔u{ }x = du
dx-yd2vdx{ }2 =Bae (612)
其中几何矩阵为
B=[N′1 -yN″3 -yN″4 N′2 -yN″5 -yN″6] (613)
根据Hooke定律,可得到用节点位移表示的单元应力
σ={σx}=Dε=DBae (614)
其中弹性矩阵为
D=[E] (615)
(3)局部坐标系Ke
根据普遍公式(118),单元刚度矩阵为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=∫AdA∫l
0BTDBdx=l∫AdA∫
1
0BTDBdξ (616)
其中,A是梁的横截面面积。
将式(613),(615)代入上式,经运算得到
Ke=
EAl 0 0 -EAl 0 0
12EIl3
6EIl2 0 -12EIl3
6EIl2
4EIl 0 -6EIl2
2EIl
对 EAl 0 0
称 12EIl3 -6EIl2
4EI
熿
燀
燄
燅l
(617)
其中,I=∫Ay2dA是截面对主轴的惯性矩。
69 第6章 杆系结构
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(4)铰节点的处理
在刚架结构中有时会遇到铰节点,例如一端刚接而另一端铰接,或两端均为
铰接。因铰接端弯矩为零,故只有位移自由度参加整体集成,而转动自由度不参
加集成。这样的自由度属于内部自由度,在整体集成前应在单元层次上将其凝
聚掉。为此,将该单元的刚度方程表示如下
K0 K0cKc0 K
[ ]cc
e a0a烅烄
烆烍烌
烎c
e
=F0F烅烄
烆烍烌
烎c
e(a)
其中,ac是需凝聚掉的自由度;a0是需保留的自由度。单元刚度矩阵和节点力
向量也表示成了相应的分块形式。
从式(a)的第二式可解得
ac=K-1cc(Fc-Kc0a0) (b)
将上式代入式(a)的第一式,可得凝聚后的单元方程
Ka0=F0 (618)
其中
K =K0-K0cK-1ccKc0 (619)
F0 =F0-K0cK-1ccFc (620)
对于节点i刚接、节点j铰接的单元,凝聚后的单元刚度矩阵为
K =
EAl 0 0 -EAl 0
3EIl3
3EIl2 0 -3EIl3
对 3EIl 0 -3EIl2
EAl 0
称 3EIl
熿
燀
燄
燅3
为统一起见,K可通过增加零元素的行和列而恢复原来的阶数。例如,上式增
加零元素的第6行和第6列得
7961 工程梁单元
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Ke=
EAl 0 0 -EAl 0 0
3EIl3
3EIl2 0 -3EIl3 0
3EIl 0 -3EIl2 0
对 EAl 0 0
称 3EIl3
熿
燀
燄
燅
0
0
(621)
如果两端均为铰接,则梁单元退化为杆单元,凝聚后的刚度矩阵为
Ke=
EAl 0 0 -EAl 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0
对 EAl 0 0
称 0 0
熿
燀
燄
燅0
(622)
(5)坐标变换
在整体分析中,对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系珔x珔y,否则
围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此,在进行整
体分析之前,还需要进行坐标转换工作,把局部坐标系中得出的单元刚度方程转
换成整体坐标系中的单元刚度方程,从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。
从图63可知,整体坐标系中的节点力与局部坐标中的节点力具有如下转
换关系
图63 坐标转换
U1=U1cosα+V1sinα
V1=-U1sinα+V1cosα
M1=M1U2=U2cosα+V2sinα
V2=-U2sinα+V2cosα
M2=M2
上述各式可简写成
89 第6章 杆系结构
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Fe=TFe (623)
其中,T为转换矩阵,即
T=λ 00
[ ]λ=
cosα sinα 0 0 0 0-sinα cosα 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cosα sinα 00 0 0 -sinα cosα 0
熿
燀
燄
燅0 0 0 0 0 1
(624)
单元节点位移向量之间也存在着类似的关系
ae=Tae (625)
(6)整体坐标系Ke
根据普遍公式(117),局部坐标系下的单元刚度方程为
Fe=Keae (626)
将式(623)和(625)代入上式,可得
TFe=KeTae
两边各乘以T-1,得到
Fe=T-1KeTae
不难证明T是正交矩阵,即T-1=TT,故
Fe=Keae (627)
其中,Ke为整体坐标系中的单元刚度矩阵,即
Ke=TTKeT (628)
式(627)可写成分块矩阵形式如下
F1F烅烄
烆烍烌
烎2
e
=k11 k12k21 k
[ ]22
e a1a烅烄
烆烍烌
烎2
e
(629)
式中的子块kij是3×3阶矩阵,它是联系节点位移aj与节点力Fi的刚度子矩
阵。
(7)等效节点荷载
根据普遍公式(120),对于作用在梁上的面力p,局部坐标系下的等效节点
荷载为
9961 工程梁单元
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Pep=∫ΓσNT珔pdΓ=∫lNT珔pbdx=l∫
1
0NT珔pbdξ
通常,梁上的分布荷载以线荷载的形式给出,即珔q=珔pb。于是,上式可写成
Pep=∫lNT珔qds=l∫1
0NT珔qdξ (630)
此外,节点荷载在局部坐标系与整体坐标系之间的转换关系与节点力的完
全相同,即
Pep=TPep (631)
图64所示为一平面刚架,在其中的水平杆件上作用有均布线荷载q。为
求其等效节点荷载,将珔q=[0 -q]T及式(617)代入式(631),有
Pep=-ql∫1
0[0 N3 N4 0 N5 N6]Tdξ
=[0-ql2
-ql2
120-ql2
ql2
12]T
图64 等效节点荷载
614 整体分析与数值求解
(1)整体分析
采用直接刚度法,将整体坐标系下的单元刚度矩阵Ke 和单元节点荷载向
量Pe集成为整体刚度矩阵K和整体节点荷载向量P,并得到整体刚度方程
Ka=P (632)
其中,a为整体节点位移向量。
(2)数值求解
引入边界条件,由式(632)解得整体节点位移向量a。为计算单元e的杆
件内力,从a中抽取出该单元的整体坐标系下单元节点位移向量ae。根据式
(623),节点位移引起的杆端力为
001 第6章 杆系结构
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Fe=TFe=TKeae
再考虑到荷载引起的固端力,则杆端力为
Fe=TKeae-Peq (633)
如果需要计算支座反力,只要将支座处的杆端内力转换成整体坐标系中的分量
即可。
62 剪切梁单元
621 剪切梁理论
(1)基本假设
在工程梁理论中,假设截面转角为挠度的导数,故两变量并不相互独立,横
向剪应变为零。这个假设只在梁的跨高比l/t较大时成立,而当l/t<5时需考
虑剪切的影响。于是,提出了剪切梁理论(也称为Tiemoshenko梁理论)。该理
论也假设横向纤维无挤压,这一点与工程梁理论相同。另一个假设认为法平面
变形后仍为平面,但不再垂直于变形后的中性轴(图65)。
图65 剪切梁理论假设
(2)基本方程
对于剪切梁,根据横向纤维无挤压假设,仍然有εy=0及
珔v=v=fv(x) (634)
梁内任一点的轴向位移也还具有下述形式
珔u=u-θy=fu(x)-θy (635)
只是转角θ不再是挠度的导数,而且(根据几何方程)
γxy=珔vx+
珔uy=
dvdx-θ
(636)
应变分量εx 为
10162 剪切梁单元
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εx=珔ux=
dudx-y
dθdx
(637)
同前面工程梁的分析,梁内应力σx 为
σx=Eεx (638)
此外,还需考虑剪应力
τxy=Gγxy (639)
在结构有限元分析中,可在工程梁单元的基础上考虑剪切变形的影响;也可
以通过挠度和转角各自独立插值直接构造剪切梁单元。现分别加以介绍。
622 考虑剪切影响
(1)应变和应力
根据前面的分析,不考虑横向剪切变形影响时,应变及应变矩阵分别为式
(612)和(613)。现以Bb表示其中的B,ab表示其中的ae,则
εx=Bbab (a)
设横向剪切变形仅对挠度产生影响,附加位移场及附加的梁端挠度表示为
us=0v烅烄烆烍烌烎s
, as=vs1v烅烄
烆烍烌
烎s2(b)
则vs可按下式插值
vs=N1vs1+N2vs2 (640)
将式(b)表示的位移场代入平面几何方程,仅产生剪应变
γxy= N′1 N′[ ]2vs1v烅烄
烆烍烌
烎s2=Bsas (c)
注意到式(a)和(c),梁单元的应变为
ε=εxγx烅烄
烆烍烌
烎y=BbabBsa烅烄
烆烍烌
烎s(641)
单元应力为
σ=Dε=E 00 G/[ ]
kBbabBsa烅烄
烆烍烌
烎s=
EBbab(G/k)Bsa烅烄
烆烍烌
烎s(642)
其中,G为剪切模量;k为考虑剪应力不均匀分布的系数。由式(c)可知,剪应变
201 第6章 杆系结构
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和剪应力在截面上均匀分布,而实际上是抛物线分布,因此需要加以修正。根据
修正后的剪切应变能等于真实应变能的原则,可计算出校正因子。例如,对于矩
形截面梁,k=6/5;圆形截面时,k=10/9。
(2)单元刚度矩阵
将虚位移原理应用到单元上,有
∫ΩeδεTσdΩ=δaeFe (643)
其中,ae和Fe分别为同时考虑弯曲和剪切时的单元节点位移向量和单元节点
力向量,且ae可表示为
ae=ab+Aas (644)
A=0 1 0 0 0 0[ ]0 0 0 0 1 0
T(645)
将式(641),(642),(644)代入式(643)得
δaeT(Kbae-KbAas)+δaTs(Ksas+ATKbAas-ATKbae)=δaeTFe
其中
Kb=∫ΩeEBTbBbdΩ, Ks=∫Ωe(G/k)BTsBsdΩ (646)
注意到δae和δas的任意性,有
Kbae-KbAas=Fe (647)
(Ks+ATKbA)as=ATKbae (648)
为确定联系ae和Fe的单元刚度矩阵,须求出as。不难证明,根据式(648)
无法求得as,因为其系数矩阵为奇异矩阵。根据下述平衡关系
Q=GAkγxy=GAkdvsdx =
GAkl
(vs2-vs1)
Q=dMdx =ddx -EI
d2vdx( )2 =-EId
3vbdx3 =
6EIl3
[2(vb2-vb1)-l(θ1+θ2)]
可得
vs2-vs1=2b(vb2-vb1)-lb(θ1+θ2) (649)
其中
b=12kEIGAl2(650)
30162 剪切梁单元
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因
v2-v1=vb2-vb1+vs2-vs1 (651)
由式(649)和(651)可得
vs2-vs1=b1+b
(v2-v1)-lb
2(1+b)(θ1+θ2) (652)
将上式代入式(647),可得考虑横向剪切变形后的单元刚度矩阵为
Ke=
EAl 0 0 -EAl 0 0
12EI(1+b)l3
6EI(1+b)l2 0 - 12EI
(1+b)l36EI
(1+b)l2
(4+b)EI(1+b)l 0 - 6EI
(1+b)l2(2-b)EI(1+b)l
对 EAl 0 0
称 12EI(1+b)l3 - 6EI
(1+b)l2
(4+b)EI(1+b)
熿
燀
燄
燅l(653)
(3)等效节点荷载
弯曲变形和剪切变形引起的挠度分别见式(67)和(640),即
vb=[0 N3 N4 0 N5 N6]ab=Nbab (a)
vs=[N1 N2]as=Nsas (b)
假设梁上分布线荷载垂直于梁轴线,大小为q。根据虚功等效原则,有
δaeTPep=l∫1
0δvTbqdξ+l∫
1
0δvTsqdξ (c)
将式(a),(b)代入式(c)
δaeTPep=l∫1
0δaTbNTbqdξ+l∫
1
0δaTsNTsqdξ
再考虑到式(644),得
δaeTPep=δaeTl∫1
0NTbqd( )ξ +δaTsl∫
1
0NTsqdξ-lAT∫
1
0NTbqd( )ξ
经计算不难验证,上式中
401 第6章 杆系结构
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l∫1
0NTsqdξ-lAT∫
1
0NTbqdξ=0 (654)
从而有
Pep=l∫1
0NTbqdξ (655)
可见,横向剪切变形对等效节点荷载没有影响。
623 挠度和转角独立插值
为说明问题简洁清晰起见,不考虑轴向力引起的轴向位移。对于具有m 个
节点的等参梁单元(图66),挠度和转角各自独立插值,即
v=∑m
i=1Nivi, θ=∑
m
i=1Niθi (656)
其中,Ni为形函数。例如,对于2节点等参梁单元
N1=12
(1-ξ), N2=12
(1+ξ)
图66 梁单元的母单元
根据梁理论的基本假设,单元位移场为
珔u=-yθ=-y∑m
i=1Niθi, 珔v=v=∑
m
i=1Nivi
或
珔u=珔u珔{ }v = N1 N2 ⋯ N[ ]mae=Nae
其中
Ni=0 -yNiNi烅烄
烆烍烌
烎0, ae=
a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m
, ai=viθ烅烄
烆烍烌
烎i
其余的步骤将进入标准程序。例如,将位移函数代入平面几何方程,可得单元应变
ε=εxγx烅烄
烆烍烌
烎y=yBb1 yBb2 ⋯ yBbmBs1 Bs2 ⋯ Bs
[ ]mae=
yBbB
[ ]sae=Bae
50162 剪切梁单元
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其中
Bbi= 0 -dNid[ ]x , Bsi=
dNidx -N[ ]i
在本构方程中,不考虑次要应力σy的影响,故单元应力为
σ=σxτx烅烄
烆烍烌
烎y=E 00 G/[ ]
kεxγx烅烄
烆烍烌
烎y=DBae
单元刚度矩阵为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=Keb+Kes (657)
其中
Keb=EIl2∫
1
-1BTbBbdξ, Kes=
GAl2k∫
1
-1BTsBsdξ
分别为弯曲和横向剪切对应的刚度。
单元刚度方程经集成,得整体刚度方程
Ka=P (658)
其中
K=Kb+Ks=∑eKeb+∑
eKes
63 通用梁单元
631 剪切闭锁现象
在工程梁单元中,应变为挠度的二阶导数。为保证收敛,要求位移函数的一
阶导数在单元交界处连续,即C1连续。可见,工程梁单元是C1型单元。由于
单元交界是节点处的截面,而节点处的线位移和转角(即挠度的一阶导数)均为
节点位移参数,故梁单元的协调性总是能够满足。然而,工程梁单元未考虑横向
剪切变形的影响,故不适用于高度较大的梁。
在工程梁单元基础上考虑剪切变形对挠度影响而构造出来的梁单元仍属于
C1型单元;而挠度和转角各自独立插值构造的等参梁单元则属于C0型单元,
因为应变表达式中不再包含位移的二阶导数。人们期望这种格式简单的C0型
单元能够适用于各种高度的梁。然而计算表明,当梁的高度与梁的长度之比t/l趋于零时,这种单元将出现剪切闭锁现象,即算得的挠度趋于零。对此做如下简
要说明:
601 第6章 杆系结构
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经过对式(657)的分析可知,当t/l<<1时,刚度矩阵中的剪切项与弯曲项
的量级之比为α=(l/t)2。可见,当t/l→0时,α→∞,从而弯曲项可忽略不计。
若令Ks=αK′s,则根据式(658),有
K′sa≈P/α≈0
根据线性代数方程组的性质可知,除非Ks是奇异的,否则只能有零解,即
出现剪切闭锁。之所以出现这种现象,是因为构造单元时假设挠度和转角是相
互独立的。实际上,当梁的高度很小时,v与θ并不相互独立;此时采用同阶插
值会引起虚假剪应变。
为克服剪切闭锁,以使C0型单元适用于各种高度的梁,可采用减缩积分方
案;也可通过其他方式构造通用单元。以下先讨论减缩积分方案,然后介绍通过
假设剪应变场来构造通用梁单元的方法,这种方法将给构造通用板单元以重要
启示(文献48)。
632 减缩积分方案
当t/l<<1时,如果Ks奇异而K非奇异,则式(658)有非零解。采用减缩
积分方案,就是为了实现这一设想。现以2节点等参梁单元为例加以说明。
对于2节点单元,欲对Kes精确积分,需采用2点Gauss积分。减缩积分则
为1点积分,此时可得
Kes=GAkl
1 l/2 -1 l/2l/2 l2/4 -l/2 l2/4-1 -l/2 1 -l/2l/2 l2/4 -l/2 l2/
熿
燀
燄
燅4
可以检验,上述Kes中的任何一个二阶子行列式都等于零,故其秩为1。若共有
M 个单元,则秩Ks≤M。通常情况下,引入位移约束后的自由度数N 大于单
元数M,且秩Ks<N,即Ks是奇异的。
可以检验,当采用1点积分方案(对于Keb是精确积分)时,Keb的秩也是1。
这样,Ke的秩为2,而秩K≤2M,K 的非奇异性通常是有保证的。
图67 梁单元
633 假设剪应变法
对于图67所示的梁单元,设挠度v、
转角θ和横向剪应变γ分别为轴向坐标的
三次式、二次式和常数,表达式为(不考虑轴
向力引起的轴向位移)
70163 通用梁单元
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v=v1(1-ξ)+v2ξ+α1lξ(1-ξ)+α2lξ(1-ξ)(1-2ξ)
θ=θ1(1-ξ)+θ2ξ+α3ξ(1-ξ)
γ=γ烍烌
烎0
(a)
其中,α1,α2,α3,γ0为待定常数。显然,上式中已引入端部条件,还应满足几何
方程
γ=dvdx-θ=1ldvdξ-θ (b)
将式(a)代入上式得
α1=12
(θ1-θ2),α2=γ0-12γ1
,α3=-6γ0-12γ( )1 (c)
其中
γ1=2l
(-v1-v2)-θ1-θ2 (d)
而γ0为一内部参数,可由梁的应变能驻值条件求得
γ0=βγ1 (659)
其中
β=6λ
1+12λ, λ=
DbDsl2
, Db=Et312
, Ds=5Gt6
(660)
Db,Ds分别为梁的抗弯刚度、抗剪刚度。
将式(c)和式(659)代入式(a)得
v=v1(1-ξ)+v2ξ+l(θ1-θ2)ξ(1-ξ)/2
-lγ1(1-2β)ξ(1-ξ)(1-2ξ)/2θ=θ1(1-ξ)+θ2ξ+3(1-2β)γ1ξ(1-ξ)
γ=βγ
烍
烌
烎1
(661)
有了单元位移函数,其余步骤将进入标准程序。须进一步说明,根据式
(660)可得
β=6λ
1+12λ=(t/l)2
(5/6)(1-ν)+2(t/l)2(662)
可见,当t→0时,有β→0,即γ→0,从而不会出现剪切闭锁现象。
801 第6章 杆系结构
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64 空间梁单元
641 结构离散
空间刚架单元的每个节点有6个位移自由度。在局部坐标系中,它们分别
是沿坐标轴方向的线位移ui,vi,wi;绕x轴的扭角θxi,绕y轴的转角θyi,绕z轴的转角θzi。相应的节点力也有6个分量,即轴力Ui,横向剪力Vi,竖向剪力
Wi,扭矩Mxi,纵向弯矩Myi,横向弯矩Mzi。在图68中,角位移和力矩用双箭
头表示,并以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向时为正。单元节点位移
向量为
ae=a1a烅烄
烆烍烌
烎2, ai= ui vi wi θxi θyi θ[ ]zi
T (i=1,2)
单元节点力向量为
Fe=F1F烅烄
烆烍烌
烎2, Fi= Ui Vi Wi Mxi Myi M[ ]zi
T (i=1,2)
图68 空间刚架
642 位移函数
空间梁单元的节点位移共12个,位移函数中应包含12个待定系数。根据
工程梁理论并参照平面梁的分析,中性轴位移函数为
u=N1u1+N2u2v=N3v1+N4θz1+N5v2+N6θz2w =N3w1-N4θy1+N5w2-N6θy2θx=N1θx1+N2θx
烍
烌
烎2
(663)
其中形函数见式(68),而
90164 空间梁单元
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θy=-dwdx
, θz=dvdx
(664)
单元位移场为
珔u=
珔u珔v珡烅烄
烆烍烌
烎w=
u-yθz+zθyv-zθxw+yθ烅烄
烆烍烌
烎x
=Nae (665)
其中,N为形函数矩阵。
643 应变和应力
将单元位移函数(665)代入空间几何方程,只有εx,γxy,γxz不为零,其表达
式为
ε=
εx
γxy
γ
烅
烄
烆
烍
烌
烎xz
=
dudx-y
d2vdx2-z
d2wdx2
-zdθxdx
ydθxd
烅
烄
烆
烍
烌
烎x
=[B1 B2]ae=Bae (666)
其中
B1=
N′1 -yN″3 -zN″3 0 zN″4 -yN″40 0 0 -zN′1 0 00 0 0 yN′1
熿
燀
燄
燅0 0
B2=
N′2 -yN″5 -zN″5 0 zN″6 -yN″60 0 0 -zN′2 0 00 0 0 yN′2
熿
燀
燄
燅0 0
在本构关系中不考虑次要应力σy,σz的影响,则根据广义Hooke定律,有
σ=
σxτxyτ烅烄
烆烍烌
烎xz=E 0 00 G 00 0
熿
燀
燄
燅G
εxγxyγ烅烄
烆烍烌
烎xz=DBae (667)
644 局部坐标系Ke
根据普遍公式(118),局部坐标系中的单元刚度矩阵为
011 第6章 杆系结构
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Ke=∫ΩeBTDBdΩ=k11 k12k21 k
[ ]22
(668)
其中
kij=∫ΩeBTiDBjdΩ各子矩阵的显式为
k11=
珚A 0 0 0 0 0J″z 0 0 0 J′zJ″y 0 -J′y 0
对 Jk 0 02Jy 0
称 2J
熿
燀
燄
燅z
k22=
珚A 0 0 0 0 0J″z 0 0 0 -J′zJ″y 0 J′y 0
对 Jk 0 02Jy 0
称 2J
熿
燀
燄
燅z
k12=kT21=
珚A 0 0 0 0 00 -J″z 0 0 0 J′z0 0 -J″y 0 -J′y 00 0 0 -Jk 0 00 0 J′y 0 Jy 00 -J′z 0 0 0 J
熿
燀
燄
燅z
其中
珚A=EAl, Jy=
2EIyl
, J′y=6EIyl2
, J″y=12EIyl3
Jk=GIkl
, Jz=2EIzl
, J′z=6EIzl2
, J″z=12EIzl
烍
烌
烎3
而Iz为梁截面对z的抗弯惯矩;Iy为截面对y的抗弯惯矩;Ik为截面抗扭惯矩。
若考虑横向剪切变形的影响,则
11164 空间梁单元
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珚A=EAl, Jy=
(2-by)EIy(1+by)l
, J′y=6EIy
(1+by)l2, J″y=
12EIy(1+by)l3
Jk=GIkl
, Jz=(2-bz)EIz(1+bz)l
, J′z=6EIz
(1+bz)l2, J″z=
12EIz(1+bz)l3
by=12kEIyGAzl2
, bz=12kEIzGAyl2
其中,Ay,Az分别是梁在y,z方向承受剪力的面积。
645 整体坐标系Ke
类似平面刚架的分析,不难得到整体坐标系下的单元刚度矩阵
Ke=TTKeT (669)
其中转换矩阵T为
T=
0
0
熿
燀
燄
燅
(670)
而局部坐标系对整体坐标系的方向余弦矩阵为
=cos(x,珔x) cos(x,珔y) cos(x,珔z)
cos(y,珔x) cos(y,珔y) cos(y,珔z)
cos(z,珔x) cos(z,珔y) cos(z,珔z
熿
燀
燄
燅)(671)
65 结 语
为了表明结构有限元分析的统一性,本章没有直接采用杆系结构矩阵位移
分析中的现成公式,而是使用有限单元法的术语、记号以及标准化的程式,基于
弹性力学控制方程推导了有限元公式。
梁单元不同于前几章讨论的实体单元,因为在推导公式时引入了某些附加
假设。实际上,也可以利用实体单元来分析杆系结构以及后两章将要介绍的板
壳结构,从而避免引入附加假设。然而,这样做会遇到困难:当用实体单元对杆
系或板壳结构进行离散时,若网格适应结构的几何特点,将使单元不同方向的刚
度系数相差过大,从而导致求解方程的病态或奇异,最后可能使解丧失精度或根
本失败;若为避免上述问题而保持单元在各个方向尺度相近,则单元总数将过
大,从而影响分析的经济实用甚至使分析无法进行。
211 第6章 杆系结构
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习 题
61 对于杆系结构单元,为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵?为什么
还要坐标变换?
62 有哪几种梁弯曲理论?如何用中性轴位移确定梁内任一点的位移?
63 试推导梁的挠度和截面转角各自独立插值时的单元刚度矩阵和单元等效
节点荷载向量(假设梁上只作用分布线荷载q)。
64 设空间桁架结构的典型单元e长为l,截面积为A,弹性模量为E。试推
导局部坐标系中的单元刚度矩阵Ke和整体坐标系中的单元刚度矩阵珡Ke。
答案:Ke=EAl1 -1[ ]-1 1
, Ke=TTKeT,
T=l m n 0 0 00 0 0
[ ]l m n
。
311习 题
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第7
章
平板结构
结构中的平板构件在几何上具有一个显著特点,即一个方向的尺寸比另外
两个方向的尺寸要小得多。通常把平板分为薄板和厚板(或称中厚板)。定量地
说,当厚度t与另两个方向的最小尺度l之比t/l<1/15时,可视为薄板;否则就
属于厚板。
针对板的特殊性,弹性力学中的平板弯曲理论引入了某些附加假定,将问题
简化为二维问题。结果,求解平板位移归结为求解中面位移,而中面以外任一点
的位移都可以通过中面位移来表示。
引入附加假定后,薄板应变表现为位移的二阶导数。因此,为保证应变有
限,位移函数必须C1连续。这给板单元的构造带来很大困难,因而平板有限元
分析一直吸引着很多研究者,也构造了各种类型的单元。本章将分别介绍薄板
单元、厚板单元、DKT板单元及通用板单元。
71 薄 板 单 元
711 薄板理论
采用右手坐标系oxyz,以未变形的中面为xy坐标面,中面各点沿z轴的横
图71 薄板
向位移即挠度w(图71)。
(1)基本假定
当受到垂直于板面的横向荷载作用时,薄板将产生弯曲变形。如果板的挠
度与其厚度相比很小,则可采用经典薄板
理论,构造板单元也以该理论为基础。经
典薄板理论的附加假设包括:
第一条:板厚度方向的挤压变形可忽
略不计,即εz=0。这项假设类似于梁的横
向纤维间无挤压假设。
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第二条:在板弯曲变形中,中面法线保持为直线且仍为弹性曲面(挠度曲面)
的法线。这就是著名的Kirchhoff直法线假设,它类似于梁弯曲理论中的平截
面假设。
第三条:薄板中面只发生弯曲变形,没有面内的伸缩变形,即中面水平位移
(u)z=0=(v)z=0=0。
利用上述假设,薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度w 来
表示。
(2)位移分量
首先,根据第一条假设
εz=wz=0
可知
w=w(x,y) (71)
根据第二条假设,薄板弯曲后,板的法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线
都保持互相垂直,因而没有剪应变,即
γyz=vz+
wy=0
, γzx=wx+
uz=0
由上式可知
vz=-
wy
, uz=-
wx
上式对z积分,注意到w 与z无关,得
v=-zwy+f1(x,y), u=-zwx+f2
(x,y)
其中,f1(x,y)和f2(x,y)是任意函数。根据第三条假设,即
(u)z=0=(v)z=0=0
有f1(x,y)=f2(x,y)=0,从而
v=-zwy, u=-zwx
(72)
可见,薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度w 确定,任何
点的位移都可确定。
(3)应变分量
根据上述分析,薄板内不等于零的应变分量有如下三个
51171 薄 板 单 元
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εx=ux=-z
2wx2
εy=vy=-z
2wy2
γxy=uy+
vx=-2z
2wx
烍
烌
烎y
(73a)
或 ε=zκ (73b)
κ=
κx
κy
κx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-2wx2
-2wy2
-22wx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
(74)
其中,κ称为广义应变。在小变形的情况下,-2wx2
和-2wy2
分别代表薄板弹性
曲面在x方向和y方向的曲率,而-2wxy
代表在x方向和y方向的扭曲率。
(4)应力分量
注意到εz=0,而且在本构方程中不考虑次要应力τxz,τyz和σz,因此薄板弯
曲问题的本构方程与平面应力问题完全相同,即
σxσyτx
烅烄
烆烍烌
烎y
= E1-ν
熿
燀2
1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν)/
燄
燅2
εxεyγx
烅烄
烆烍烌
烎y
(75)
将式(74)代入上式得
σ=Dε=zDκ (76)
其中,D为平面应力问题的弹性矩阵。
(5)薄板内力
在x=常数的横截面上,单位宽度板上正应力σx 合成的弯矩Mx,剪应力
τxy合成的扭矩Mxy分别为
Mx=∫t/2
-t/2σxzdz, Mxy=∫
t/2
-t/2τxyzdz (a)
在y=常数的横截面上,单位宽度板上正应力σy 合成的弯矩My,剪应力τyx合
成的扭矩Myx分别为
611 第7章 平板结构
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My=∫t/2
-t/2σyzdz, Myx=∫
t/2
-t/2τyxzdz (b)
根据剪应力互等定律,有Mxy=Myx。将式(76)代入式(a)和(b)得
M=
MxMyMx
烅烄
烆烍烌
烎y
=t3
12Dκ=Dbκ(77)
其中,Db为弯曲弹性矩阵。对于各向同性材料,有
Db=
熿
燀
D1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν)/
燄
燅2
(78)
而D称为板的抗弯刚度,其表达式为
D= Et312(1-ν2)
(79)
比较式(76)和(77),可以得到用内力矩表示的平板应力
σ=12zt3 M(710)
根据上述薄板理论,平板中面的挠度w 可以作为基本未知量。如果求得挠
度,则板的位移、内力和应力均可按照上述公式计算。
(6)边界条件
除在板面上给定面力q或集中荷载P外,薄板边界通常分为三种,即几何
边界Γ1,混合边界Γ2,静力边界Γ3。在Γ1上给定挠度和转角,即
w|Γ1=w, wn Γ1
=θn (711)
其中,n为边界的法向。固支边是几何边界的特例,此时w=0,θn=0。
在Γ2上给定挠度和力矩,边界条件的表达式为
w|Γ2=w, Mn|Γ2=Mn (712)
其中
Mn=-D2wn2+ν
2ws )( 2
Γ2
(713)
71171 薄 板 单 元
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而s为边界的切向。简支边是混合边界的特例,此时w=0,Mn=0。
在Γ3上给定力矩和横向荷载,即
Mn|Γ3=Mn, Vn|Γ3=Qn+Mnss Γ3
=Vn (714)
其中
Mns=-D(1-ν)2wns
Qn=Mnn +
Mnss =-D n
2wn2+
2ws( )
烍
烌
烎2
(715)
当为自由边界时,Mn=0,Vn=0。
也可用Γσ和Γu 分别笼统地表示上述给定力的边界和给定位移的边界。按
前述定义的内力及边界上力矩的正方向示于图72中。
图72 力矩矢量
712 矩形板单元
(1)结构离散
对于矩形薄板构件,可以很方便地用矩形单元加以离散。若以矩形的4个
角点为节点,则得到一种简单的矩形板单元(图73)。
图73 矩形板单元
板弯曲时各单元间有力矩传递,其节点为刚性连接。单元面上的一点实际
上代表着一个长度为板厚的法线段。根据假设,此法线段长度不变,且薄板中面
各点不产生x和y方向的位移,故薄板节点所可能产生的位移就只有沿z方向
811 第7章 平板结构
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的挠度以及法线绕x和y轴的转角。把挠度wi及法线绕x轴的转角θx,绕y轴的转角θy指定为节点位移,并以按右手螺旋法则标出的矢量沿坐标轴正向时
为正(图73)。显然
θx=wy
, θy=-wx
(716)
矩形板单元的节点位移向量和节点i的位移向量分别为
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎4
, ai=
wiθxiθy
烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2,3,4) (717)
与转角相应的力矩为Mxi,Myi。角位移和力矩以按右手螺旋法则标出的矢量沿
坐标轴正向时为正(图73)。
必须注意,节点力矩 Mxi,Myi是集中力矩,而板内力矩 Mx,My 是分布力
矩。此外,两者的正负号规定也不同,因为Mx,My与应力正负号的规定相应。
(2)位移函数
设板的平面尺寸为2a×2b。仿照平面问题矩形单元的分析,引入局部坐标
系ξη,坐标变换公式为
x=xc+aξ, y=yc+bη (718)
其中,(xc,yc)为单元中心的整体坐标。由于矩形板单元共有12个自由度,故挠
度表达式应包含12个参数。可取局部坐标系中挠度的四次多项式
w=α1+α2ξ+α3η+α4ξ2+α5ξη+α6η2
+α7ξ3+α8ξ2η+α9ξη2+α10η3+α11ξ3η+α12ξη3 (a)
转角为
θx=wy=
wbη=1b
(α3+α5ξ+2α6η+α8ξ2+2α9ξη+3α10η2+α11ξ3+3α12ξη2)
θy=-wx=-
waξ=-1a
(α2+2α4ξ+α5η+3α7ξ2+2α8ξη+α9η2+3α11ξ2η+α12η3烍
烌
烎)
(719)
将节点位移分量和节点坐标代入上式,可求得待定系数;将求得的系数代回
式(a),整理后得到
w=Nae (720)
形函数为
91171 薄 板 单 元
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N=[N1 N2 N3 N4] (721a)
其中
Ni=[Ni Nxi Nyi] (i=1,2,3,4) (721b)
Ni=(1+ξ0)(1+η0)(2+ξ0+η0-ξ2-η2)/8
Nxi=-bηi(1+ξ0)(1+η0)(1-η2)/8
Nyi=aξi(1+ξ0)(1+η0)(1-ξ2)/
烍烌
烎8
(721c)
其中,ξ0=ξiξ,η0=ηiη。
(3)单元刚度矩阵
将式(720)代入几何方程(73),可得
ε=Bae=[B1 B2 B3 B4]ae (722)
其中
Bi=-z
2Nix2
2Niy2
22Nix
熿
燀
燄
燅y
=-z
1a22Niξ2
1b22Niη2
2ab2Niξ
熿
燀
燄
燅η
=-zab
ba2Niξ2
ab2Niη2
22Niξ
熿
燀
燄
燅η
(723)
单元刚度矩阵写成分块形式
Ke=
k11 k12 k13 k14
k21 k22 k23 k24
k31 k32 k33 k34
k41 k42 k43 k
熿
燀
燄
燅44
(724)
根据普遍公式(118),其中子矩阵的计算公式为
kij=∫ΩeBTiDBjdΩ=∫t/2
-t/2∫1
-1∫1
-1BTiDBjabdξdηdz (725)
其中,D为平面应力问题的弹性矩阵。
(4)等效节点荷载
在板的有限元分析中,因挠度和转角已经作为节点参数,故边界上的已知挠
度和转角作为强制边界条件引入没有什么问题。让我们来看面力引起的等效节
021 第7章 平板结构
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点荷载。
设薄板表面上作用有横向分布荷载q、在Γ3上横向剪力为Vn,在Γ2和Γ3
上弯矩为Mn,考虑到Mn 与wn
符号相反,则外力虚功为
δV=∫AqδwdA+∫Γ3VnδwdΓ-∫Γ2+Γ3Mn(δw)n dΓ
注意到式(720),对于单元e有
δVe=δaeT∫AeqNTdA+∫Γe3VnNTdΓ-∫Γe2+Γe3Mn
NTnd( )Γ
根据虚功等效原则,等效节点荷载所做虚功δaeTPe应等于δVe,于是有
Pe=∫AeqNTdA+∫Γe3VnNTdΓ-∫Γe2+Γe3Mn
NTndΓ
(726)
例如,当仅有均布荷载q作用时,有
Pe=∫∫AeqNTdxdy=qab∫1
-1∫1
-1NTdξdη
=4qab 14b12
-a12
14b12
a12
14
-b12
a12
14
-b12
-a[ ]12T
(5)解的收敛性
在薄板问题中,应变为挠度的二阶导数。因此,为满足完备性要求,单元位
移函数中应包含完全的二次多项式。由式(a)可知,完备性得到了满足。
先看挠度的连续性。由式(a)可知,沿ξ=±1或η=±1的单元边界上,挠
度均为完全的三次曲线,因此只研究其中一种边界即可。例如,在ξ=1的边界
ij上,挠度曲线可写成
w=A+Bη+Cη2+Dη3
转角θx 为
θx=wy=
1bwη=1b
(B+2Cη+3Dη2)
曲线两端的挠度值为wi,wj,转角为θxi,θxj。可见,该边界的挠度曲线联系着4个节点位移分量,而这4个参数可唯一地确定挠度三次多项式。既然两个单元
在交界处有公共的节点位移参数,故单元交界处的挠度w 是连续的。
再看在单元交界处斜率的连续性。显然,上述边界的wη
或wy
在单元交界
处也是连续的,即挠度沿单元交界线切线方向的导数是连续的。然而,挠度沿单
12171 薄 板 单 元
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元交界线法线方向的导数wξ
或wx
不再连续,因为在ξ=1的边界ij上,wξ
或
wx
也是η的三次多项式,即
θy=-wx=-
1awξ=A′+B′η+C′η2+D′η3
而此时只有两个转角位移分量θyi,θyj,它们显然不能唯一地决定一个三次式。
可见,现在所讨论的板单元是非协调元,或称为不完全协调元。单元交界处
法向导数不连续,意味着变形后出现棱而不再光滑,而这种非协调性可能导致解
答不收敛。不过,研究表明矩形板单元是收敛的,实际计算也表明了这一点。
713 三角形板单元
当薄板的几何形状复杂时,可方便地采用三角形板单元进行离散,因而三角
形单元适用性更强。
(1)位移函数
因3节点三角形板单元共有9个自由度(每个节点有3个位移自由度),故
位移函数中应包含9个参数。我们知道,一个完全三次多项式包含10项,即
α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2+α7x3+α8x2y+α9xy2+α10y3
因此,必须从其中去掉一项。前6项代表刚体位移和常应变,是保证收敛的必要
条件;而去掉三次方项的任何一个,都不能保持对于x和y的对称性。如果令
α8=α9,可保持式子的对称性,但在某些情况下(例如当三角形的两边平行于x轴和y轴时)求解式中系数将成为不可能。还有人建议增加形心挠度而采用完
全三次多项式,但这样的单元不能保证收敛。
为克服上述困难,人们采用了面积坐标。注意到
1=L1+L2+L3x=x1L1+x2L2+x3L3y=y1L1+y2L2+y3L
烍烌
烎3
(a)
那么,完全一次多项式必定可以表示为三个面积坐标的线性组合,即
P1=α1+α2x+α3y=λ1L1+λ2L2+λ3L3 (b)
显然,完全二次多项式可表示如下
P2=α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2
=β1L1+β2L2+β3L3+β4L21+β5L22+β6L23+β7L1L2+β8L2L3+β9L3L1
221 第7章 平板结构
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由于
L1=L1(L1+L2+L3)
L2=L2(L1+L2+L3)
L3=L3(L1+L2+L3
烍烌
烎)
因此L21,L22,L23的线性组合可表示为L1,L2,L3,L1L2,L2L3,L3L1的线性组
合。综合起来,可以得到如下完全二次多项式
P2=λ1L1+λ2L2+λ3L3+λ4L1L2+λ5L2L3+λ6L3L1 (c)
注意到
LiLj=LiLj(L1+L2+L3)=(L2iLj+L1L2L3/2)+(LiL2j+L1L2L3/2)
式(c)可写成
P2=λ1L1+λ2L2+λ3L3+λ4(L21L2+L1L2L3/2)+λ5(L22L3+L1L2L3/2)+λ6(L23L1+L1L2L3/2)
+λ4(L1L22+L1L2L3/2)+λ5(L2L23+L1L2L3/2)+λ6(L3L21+L1L2L3/2)
根据收敛准则的完备性要求,三角形薄板单元的位移模式必须包含上述完全的
二次式。此外,还应补充3个独立的三次项并保持L1,L2,L3之间的对称性(轮
换性)。为此,可将上式中后三项的系数变成独立系数,即
w=λ1L1+λ2L2+λ3L3+λ4(L21L2+L1L2L3/2)+λ5(L22L3+L1L2L3/2)+λ6(L23L1+L1L2L3/2)
+λ7(L1L22+L1L2L3/2)+λ8(L2L23+L1L2L3/2)+λ9(L3L21+L1L2L3/2)
(727)
可以证明,上式满足常应变的要求。
在式(727)中代入相应的节点位移,可确定其中的9个系数。再将其回代
入式中整理后得到
w=[N1 Nx1 Ny1 N2 Nx2 Ny2 N3 Nx3 Ny3]ae=Nae(728)
Ni=Li+L2iLj+L2iLm-LiL2j-LiL2m
Nxi=bjL2iLm-bmL2iLj+(bj-bm)LiLjLm/2 (i,j,m=1,2,→← 3)
Nyi=cjL2iLm-cmL2iLj+(cj-cm)LiLjLm/
烍
烌
烎2
(729)
32171 薄 板 单 元
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(2)单元刚度矩阵
将式(728)代入几何方程(73)可得
ε=Bae=[B1 B2 B3]ae (730)
其中
Bi=-z
2Nix2
2Nxix2
2Nyix2
2Niy2
2Nxiy2
2Nyiy2
22Nixy 2
2Nxixy 2
2Nyix
熿
燀
燄
燅y
(i=1,2,3) (731)
单元刚度矩阵写成分块形式
Ke=
k11 k12 k13k21 k22 k23k31 k32 k
熿
燀
燄
燅33
(732)
根据普遍公式(118),其中子矩阵的计算公式为
kij=∫ΩeBTiDBjdΩ (733)
(3)等效节点荷载
利用等效节点荷载计算的普遍公式和面积坐标的积分公式,不难得出单元
的等效节点荷载。例如,当薄板单元承受均布法向荷载q时,等效节点荷载为
Pe=∫ΓeσqNTdΓ=∫∫AeqNTdxdy
=qA 13b2-b324
c2-c324
13b3-b124
c3-c124
13b1-b224
c1-c2[ ]24
T
其中,A为三角形面积。
(4)解的收敛性
在前述位移函数的构造中,包含了完全的二次多项式,因此该单元满足了完
备性要求。在单元的任何一条边界上,例如12边,有L3=0,而w 将是面积坐
标的三次式,其中的4个系数可由两端点(即节点)的w 及ws
(共4个节点位
移)唯一地决定,因此可保证相邻单元沿着公共边界上具有相同的位移。单元边
界上的法向斜率wn
也是三次式,但只在两个节点上有相同的斜率,不能完全保
证法向斜率的连续。因此,所讨论的三角形板单元是非协调元。
421 第7章 平板结构
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这里简要提及另一种薄板单元,即6节点三角形板单元。在这种单元中,规
定单元的6个自由度为角点处的w 及边中节点处的法向斜率wn
。由此,可采
用完全二次多项式为单元位移函数
w=α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2
这将使整个单元中的力矩及曲率为常量。这种单元的刚度矩阵很容易推导,在
此不予介绍。推导了这种单元的Morley指出,尽管单元的不连续性看起来相当
严重,但它是收敛单元,并且它给出的近似与前述三角形单元的差不多。
714 协调板单元
(1)单元构造
采用增加节点位移参数的方法,可以构造协调薄板单元。除了挠度和转角
以外,可把节点的曲率和扭曲率也作为节点参数。例如,对于4节点矩形单元,
可以把节点i的挠度wi,转角θxi和θyi,扭曲率 2wx( )yi
作为节点参数(文献
12)。这样,单元共有16个自由度,可以假设挠度函数为包含完全二次多项式
(因而能满足完备性要求)的更高次形式
w=α1+α2x+α3y+α4x2+α5xy+α6y2+α7x3+α8x2y+α9xy2+α10y3
+α11x3y+α12x2y2+α13xy3+α14x3y2+α15x2y3+α16x3y3
在这种矩形单元的边界上,例如x=常数的边界ij上,挠度为y三次曲线,故
可由此边上两个节点的4个位移参数wi,wj,θxi和θxj唯一地确定,故这种单
元间挠度及其沿切向的导数是连续的。在单元边界ij上,法向导数wx
也是y
的三次曲 线,可 由 此 边 界 上 两 个 节 点 的4个 位 移 参 数θyi,θyj, 2wx( )yi
和
2wx( )yj
唯一地确定。可见,单元间法向导数也是连续的,从而协调性要求得
到了满足。
还可以把节点的挠度、转角、曲率和扭曲率都作为节点位移参数(文献57)。
这样,一个节点就有6个自由度,4节点矩形单元共有24个自由度、3节点三角
形单元共有18个自由度。显然,可以假设挠度函数为更高阶的多项式,并构造
出完备的协调单元。
(2)单元性能
在薄板弯曲理论中,应变为挠度的二阶导数。因此,基于薄板理论构造单元
时,在相邻单元的公共边界上不但要求挠度连续,而且还要求挠度的一阶导数连
52171 薄 板 单 元
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续(即C1连续性)。这种要求为单元的构造带来了相当大的困难。尽管可以构
造出上述协调板单元,但这些高阶协调板单元存在多方面的缺陷:(1)计算公式
比较复杂;(2)高阶导数自由度的边界条件不易确定;(3)当相邻单元的厚度有突
变或材料性质不同时,单元交界处的曲率、扭曲率可能发生突变,而协调板单元
强令这些高阶自由度连续便不符合实际情况。
72 厚 板 单 元
721 厚板理论
(1)基本假定
对于中厚板,直法线假设不再成立,实际中多基于Mindlin?Reissner中厚板
理论(文献53,60)构造单元,称为Mindlin板单元。中厚板理论认为板的中面法
线变形后仍基本保持为直线,但因横向变形的缘故,该直线不再垂直于变形后的
中面。因此,法线绕坐标轴的转角θx,θy不再是挠度的导数,而是独立变量。此
外,与薄板相类似,对于中厚板弯曲问题,中面内的线位移和板厚度方向的挤压
变形也可以忽略。
图74 转角规定
(2)板位移场
在上述假定下,只需研究板的中面位移即可。参照薄板的分析,挠度w 仍
然只是x,y的函数。与薄板不同,这里规定θx,θy 分别与wx
,wy
一致(图
74)。于是,板的位移场为
u=-zθx, v=-zθy, w=w(x,y) (734)
(3)应变分量
将式(734)代入空间问题的几何方程(24),并去掉为零的εz得
ε=zκ{ }γ (735)
其中弯曲引起的广义应变κ和横向剪切应变γ分别为
621 第7章 平板结构
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κ=
κx
κy
κx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-θxx
-θyy
-θxy-
θy
烅
烄
烆
烍
烌
烎x
(736)
γ=γxzγy{ }z=γxγ{ }y=
wx-θxwy-θ烅烄
烆烍烌
烎y(737)
(4)应力分量
考虑到εz=0,且忽略厚度方向的次要应力σz,空间问题的本构方程(27)
变为
σ=[σx σy τxy τyz τzx]T=Dε (738)
其中
D= E1-ν2
1 ν 0 0 01 0 0 0
对 1-ν2 0 0
1-ν2k 0
称 1-ν2
熿
燀
燄
燅k
(739)
E和ν分别为弹性模量和泊松比;k为考虑剪应力分布不均匀影响的系数,可取
为120。根据前面所述的位移函数,剪应力沿厚度方向接近均匀分布,实际上
是抛物线分布,120就是两种应变能的比值。弹性矩阵(739)可写成
D=D100D[ ]2
(740)
其中
D1=E1-ν2
1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν
熿
燀
燄
燅), D2=
Gk10
[ ]01
(741)
(5)边界条件
在厚板理论中,w,θx,θy 是相互独立的变量,边界上每点应有3个边界条
72172 厚 板 单 元
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件。因此,除了在板面上给定面力q外,其他3种类型的边界条件可表示为
w=w, θn=θn θs=θs 在Γ1上
w=w, Mn=Mn Ms=Ms 在Γ2上
Qn=Qn Mn=Mn Ms=Ms 在Γ3
烍烌
烎上
(742)
其中,n,s分别表示法向和切向。当然,也可用Γσ和Γu 分别笼统地表示上述给
定力的边界和给定位移的边界。
(6)势能泛函
考虑到位移边界条件作为强制性条件,板的总势能为
Πp=∫Ω12εTDεdΩ-∫AqwdA-∫Γ3QnwdΓ-∫Γ2+Γ3(Mnθn+Msθs)dΓ=∫Ω12εTDεdΩ-∫AqwdA-∫Γσ(Qnw+Mnθn+Msθs)dΓ (743)
将式(735)代入上式,沿厚度积分可得
Πp=12∫AκTDbκdA+12∫AγTDsγdA-∫AqwdA-∫Γσ(Qnw+Mnθn+Msθs)dΓ (744)
其中,A为板的面积;Db,Ds分别为弯曲弹性矩阵、剪切弹性矩阵
Db=t312D1=
Et312(1-ν2)
1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν
熿
燀
燄
燅)(745)
Ds=tD2=Gtk10
[ ]01
(746)
722 单元分析
(1)单元形函数
图75所示为8节点曲边单元及其母单元。z=0是子单元的中面。ξ,η是单元中面内的局部坐标,而ζ是在厚度方向的局部坐标。ζ=+1及ζ=-1代表单元的上下表面。
厚板单元的中面可以是四边形,也可以是三角形。相应单元的形函数在讨
论平面问题的有关章节中已经构造出来了。例如,对于8节点四边形单元,其形
函数见第5章的式(55),(56)和(57),即
821 第7章 平板结构
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Ni=14
(1+ξ0)(1+η0)(ξ0+η0-1) (i=1,2,3,4)
Ni=12
(1-ξ2)(1+η0) (i=5,7)
Ni=12
(1-η2)(1+ξ0) (i=6,8
烍
烌
烎)
(747)
其中,ξ0=ξiξ,η0=ηiη,而ξi,ηi为节点i的局部坐标。
图75 厚板单元中面
(2)坐标变换
与平面问题中等参单元的坐标变换相似,单元中面内任一点的整体坐标可
用局部坐标表示为
x=∑m
i=1Ni(ξ,η)xi, y=∑
m
i=1Ni(ξ,η)yi
其中,(xi,yi)为节点i的整体坐标;m 为单元的节点数。对于板来讲,ζ面(即
距离中面为ζ的面)上各点的整体坐标(xi,yi)显然与中面的相同。
设板的厚度为t,则单元内任一点的z坐标为z=tζ/2。于是,单元坐标变
换公式为
x=∑m
i=1Ni(ξ,η)xi, y=∑
m
i=1Ni(ξ,η)yi, z=tζ/2 (748)
(3)位移函数
挠度和转角各自独立插值,单元中面内任一点(ξ,η)的位移分量为
w =∑m
i=1Niwi, θx=∑
m
i=1Niθxi, θy=∑
m
i=1Niθyi (749a)
或
u=wθxθ烅烄
烆烍烌
烎y
=[N1I N2I ⋯ NmI]ae=Nae (749b)
92172 厚 板 单 元
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其中,I是三阶单位矩阵;而
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m
, ai=
wiθxiθy
烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2,⋯,m) (750)
将式(749)代入式(736),(737)得
κ=Bbae, γ=Bsae (751)
其中,Bb为弯曲应变矩阵;Bs为剪切应变矩阵,它们分别为
Bb=[Bb1 Bb2 ⋯ Bbm], Bs=[Bs1 Bs2 ⋯ Bsm](752a)
Bbi=
0 -Nix 0
0 0 -Niy
0 -Niy -
Ni
熿
燀
燄
燅x
, Bsi=
Nix -Ni 0
Niy 0 -N
熿
燀
燄
燅i
(752b)
将泛函(744)离散,再将式(751)代入,则由泛函的变分为零得
Ka=(Kb+Ks)a=P (753)
其中
Kb=∑eKeb, Ks=∑
eKes, P=∑
ePe (754)
Keb=∫AeBTbDbBbdA, Kes=∫AeBTsDsBsdA (755)
若仅有板面分布荷载作用,则单元等效节点荷载向量为
Pe=∫AeNTq烅烄
烆烍烌
烎00dA (756)
73 DKT单元
731 基本思想
离散Kirchhoff理论的基本思想是在若干离散点上满足Kirchhoff直法线假
设。基于这种理论构造薄板单元时,w,θx,θy 也各自独立插值;然后在若干离
031 第7章 平板结构
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散点上引入直法线假设。例如,对于三角形DKT单元(图76),在单元节点处
强迫下述条件实现(文献6)
w( )x i
-θxi=0, w( )y i
-θyi=0, (i=1,2,3) (757)
w( )s k
-θxk=0 (k=4,5,6) (758)
这样,从厚板出发的DKT单元便只能适用于薄板。当然,问题的泛函也恢复为
经典薄板理论的泛函表达式
Πp=∫A12κTDbκdA-∫AqwdA (759)
图76 三角形DKT单元
取wi,θxi,θyi为角节点参数;θxi,θyi为边中节点
参数。根据所选的节点参数,可假设单元内θx,
θy二次变化
θx=∑6
i=1Niθxi, θy=∑
6
i=1Niθyi (760)
其中,Ni 就是平面6节点三角形单元的形函
数,见第3章式(333)。通过假设单元边界上
转角的分布,可以从上式中消去边中节点的转
角,从而使单元节点位移向量仅包含9个角点参数。
732 边界转角
单元边界上法向和切向转角θn,θs与θx,θy之间的关系为
θnθ烅烄
烆烍烌
烎s=nx ny-ny n
[ ]x
θxθ烅烄
烆烍烌
烎y,
θxθ烅烄
烆烍烌
烎y=nx -nyny n
[ ]x
θnθ烅烄
烆烍烌
烎s(761)
(1)法向转角
每条边界的两端有两个法向转角θni,θnj,故可假设θn 法向转角沿边界线性
分布,从而边中节点的θnk为
θnk=12
(θni+θnj) (k=4,5,6;i=1,2,3;j=2,3,1) (762)
(2)切向转角
每条边界的两端有两个挠度wi,wj,两个切向转角θsi=w( )s i
,θsj=w( )s j
,
故可假设挠度是边界线坐标s的三次式,从而可确定边中节点的切向转角
13173 DKT单元
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θsk=-32lij
(wi-wj)-14
(θsi+θsj) (763)
其中,lij为单元的ij边界线长。
733 单元计算
将式(762),(763)代入式(761),可得各边中节点的θkx,θky;再代入式
(760)得
θx=Hxae, θy=Hyae (764)
其中
ae=[w1 θx1 θy1 w2 θx2 θy2 w3 θx3 θy3]T
单元的广义应变为
κ=
κx
κy
κx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-θxx
-θyy
-θxy-
θy
烅
烄
烆
烍
烌
烎x
=Bae (765)
单元刚度矩阵为
Ke=∫AeBTDbBdA=2A∫1
0∫1-L1
0BTDbBdL1dL2 (766)
在构造DKT单元的过程中,挠度场w 并没有出现。为了计算单元等效节
点荷载,可假设单元挠度场
w =∑3
i=1Niwi=Nwae (767)
其中
Nw=[N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0]
而Ni为3节点三角形单元的形函数,见第1章式(110)。若板面上作用分布荷
载q,则
Pe=∫AeqNTwdA (768)
若为均布荷载,则
231 第7章 平板结构
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Pei=∫Aeq[Ni 0 0]TdA=qA3
[1 0 0]T (i=1,2,3)
74 通用板单元
741 板单元的通用性
薄板单元是基于薄板理论构造的,当然只适用于薄板。DKT板单元在单元
节点处强制性地引入了薄板条件,故也只适用于薄板。在中厚板理论中,应变是
位移的一阶导数,因此基于这种理论构造单元只要求位移C0连续。我们已经
看到这种C0型单元的表达格式简单、便于应用,故很受工程界欢迎。然而,与
C0型梁单元相似,当板逐渐变薄时,Gauss点处的横向剪应变太大,而板的弯曲
变形则远小于实际变形;当板厚趋于零时,挠度趋于零,即出现剪切闭锁现象。
问题的根源与等参梁单元相似,即当板较厚时,挠度和转角是相互独立的变量,
故可分别独立插值;而当板很薄时,转角为挠度的导数而不再是独立的,分别独
立插值自然会出问题。
为了避免剪切闭锁现象,可采用减缩积分方案(文献99)。然而,这种方法
并不总是有效,因为减缩积分可能造成零能模式,即采用非刚体位移模式时系统
的变形能为零(这在实际上是不可能的,之所以出现是因为减缩积分的缘故)。
742 通用板单元的构造
鉴于上述厚板单元用于薄板时产生的困难,构造厚薄板通用的单元受到重
视。在前述构造通用梁单元时,通过假设剪应变场避免了剪切闭锁。用假设的
剪应变场代替式(744)中右边的第2项,同样成功地构造了无剪切闭锁的通用
板单元。构造通用单元的过程较复杂,这里仅以3节点三角形单元为例简要介
绍这种方法的基本思路,细节请参见文献50。
(1)剪应变场
构造剪应变场的过程是:确定单元边线上的剪应变确定单元角点处的剪
应变确定单元剪应变场。
参照通用梁单元的做法,假设三角形单元各边的剪应变γs为常数,且当板厚
t趋于零时,γs也趋于零;由γs确定单元各角点处的剪应变γxi,γyi,显然它们也将
随着γs而趋于零;同样地,由γxi,γyi插值而得到的剪应变场γx,γy也必将随γxi,
γyi而趋于零。这样,也就不会出现剪切闭锁现象。最后,剪应变场可表示为
γ=Bsae (769)
33174 通用板单元
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其中
ae=[w1 θx1 θy1 w2 θx2 θy2 w3 θx3 θy3]T
(2)转角场
设三角形单元各边的法向转角θn 线性分布;而切向转角θs参照通用梁单
元的转角确定,参见式(661)。通过θx,θy 与θn,θs之间的关系,求得各边的转
角θx,θy。根据各边的转角θx,θy,通过插值确定单元内的转角场。
将转角场θx,θy代入式(736)得
κ=Bbae (770)
(3)单元计算
将式(769),(770)代入离散后的势能泛函,由泛函变分为零可得有限元公
式。例如,单元刚度矩阵Ke为
Ke=Keb+Kes (771)
其中,Keb,Kes的算式在形式上与式(755)相同。
与DKT单元相似,在上述构造单元的过程中,挠度场w 也没有出现,可采
用类似的方法假设单元挠度,用于计算单元等效节点荷载。
75 结 语
在平板弯曲问题的有限元分析领域,学者们投入了大量精力,并提出了多种
板单元。由于完全协调的薄板单元难以构造,而且这种协调单元显得过刚,因此
非协调单元得到广泛应用。在厚板有限元分析中,基于中厚板理论构造的C0
型单元很受工程界欢迎。然而,由于C0型板单元用于薄板时出现剪切闭锁,故
构造优质通用板单元是有价值的。
此外,杂交板单元、混合板单元、拟协调板单元以及广义协调板单元颇受重
视(文献40,67,46,10)。这些内容将在第12章中介绍。
习 题
71 在薄板弯曲理论中做了哪些假设?如何用中面位移确定板内任一点的位
移?
72 薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同?各自是怎样选择节点位移
参数的?
73 在薄板单元中,节点力矩与薄板内力有何区别?
74 设矩形薄板单元中心处作用法向集中力P。试按照静力等效原则计算其
431 第7章 平板结构
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等效节点荷载。
74 答案:Pe=P 14b8-a814b8a814-b8a814-b8-a[ ]8
T
75 设弹性薄板位于弹性地基之上(例如水泥混凝土路面、建筑物的筏板基础
等)。试采用Winkler地基模型(即地基反力p=-kw,其中k为基床系
数),推导有限元方程。(提示:将地基反力作为分布荷载,计算其等效节点
荷载。)
74 答案:(K1+K2)a=P,其中K1为通常情况下的整体刚度矩阵;K2是因
地基反力的存在而形成的整体刚度矩阵,由单元刚度矩阵Ke2集合而成,
而Ke2为
Ke2=kANTNdxdy
76 试计算薄板弯曲时的弹性应变能。
74 答案:Uε=12∫Ω(σxεx+σyεy+τxyγxy)dΩ=12∫ΩσTεdΩ
=12∫A(Mxκx+Myκy+Mxyκxy)dA=12∫AMTκdΩ74 其中,A是板面积;M 是广义应力;κ是广义应变。
531习 题
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第8
章
壳体结构
壳体结构的几何形状和变形现象都很复杂,控制方程的求解相当困难。事
实上,只有在很特殊的情况下才能得到解析解,而且解的形式通常相当复杂,不
便于实际应用。在这种情况下,有限单元法自然成为壳体结构分析的有力工
具。
采用有限单元法分析壳体时,主要有三种类型的单元和模拟形式:(1)用平
板型壳单元组成的折板系统去代替原来的壳体,由平面应力状态和平板弯曲应
力状态加以组合而得壳体的应力状态;(2)采用曲面型壳单元离散壳体,根据壳
体理论推导单元刚度矩阵;(3)采用由三维实体单元退化而成的退化型壳单元,
基于空间弹性理论建立有限元公式。本章将分别介绍这三种类型的壳单元。
81 平板型壳单元
811 基本假设
壳体两曲面之间的距离t称为壳体的厚度,平分壳体厚度的曲面称为中曲
面或中 面。当 壳 体 的 厚 度 比 最 小 曲 率 半 径rmin等 其 他 尺 寸 小 得 多(例 如
t/rmin≤1/20)时,称为薄壳,否则称为厚壳。实际壳体的t/rmin多在1/1000和
1/50之间,故大都可以按薄壳进行计算。
(1)理论假设
与薄板问题相似,薄壳发生微小变形时,也可以忽略沿壳体厚度方向的挤压
变形,且认为直法线假设成立,即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法
线。与薄板不同的是,壳体变形时中面不但发生弯曲,而且也将产生面内伸缩变
形。
(2)折板假设
将壳体划分为有限个单元,它们都是曲面单元。但是,当网格足够小时,壳
块将足够扁平,可近似地视为平板单元,它们拼成的折板体系可近似代替原来的
![Page 147: Finite Element Method 有限单元法idl.hbdlib.cn › book › 00000000000000 › › pdfbook › 013 › 001 › ... · 前 言 有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062303/5f040e7a7e708231d40c1a64/html5/thumbnails/147.jpg)
光滑壳体结构(文献29)。常用的平板型壳单元有矩形壳单元和三角形壳单元
(文献97,98),其中矩形单元可用于离散柱壳;三角形单元适用于一般形状的壳
体。
(3)非耦合假设
壳体承受弯矩和面内力,而且它们将引起互相关联的变形,即耦合作用。但
在小变形情况下,就单元而言,可以认为横向弯曲与面内位移互不相关。这就是
非耦合假设。这样一来,就可以分别研究两者各自的单元特性,然后加以简单组
合。也就是说,薄壳的应力状态可以认为是平面应力状态和板弯曲应力状态的
简单组合,平板型壳单元的刚度矩阵可由平面应力单元(也称为平面膜元)和平
板弯曲单元的刚度矩阵组合而成。当然,面内变形与弯曲变形不耦合只是在局
部坐标系下的单元内部成立,而单元组装时两者的耦合效应将会出现。
在薄壳的直法线假设下,只需分析壳体中面的位移即可。这意味着位移只
是中面内两个坐标的函数,因此薄壳问题是一种准二维问题。局部坐标系的x轴和y轴取在单元所在平面内,以板面的法线方向作为z轴。板单元的任一节
点i有3个线位移分量,即板平面内的位移ui,vi和横向位移wi;还有2个法线
角位移分量θxi和θyi。这样每个节点有5个自由度,前两个对应于平面应力问
题,后3个对应于平板弯曲问题。
812 矩形单元
具有正交边界的柱形壳体结构,可沿其母线方向及垂直于母线的方向把柱
壳划分成一些矩形单元。建立局部坐标系,原点放在矩形的形心,图81中标出
了节点2的5个自由度。
图81 柱壳与矩形单元
(1)局部坐标系Ke
在局部坐标系下,与面内变形有关的情况同平面问题4节点矩形单元完全
一样,其单元刚度方程可写为
Fp=Kpap (81)
其中,节点力向量Fp和节点位移向量ap分别为
73181 平板型壳单元
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Fp=
Fp1Fp2Fp3Fp
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
, Fpi=UiV烅烄
烆烍烌
烎i; ap=
ap1ap2ap3ap
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
, api=uiv烅烄
烆烍烌
烎i
单元刚度矩阵Kp由式(321)给出,这里可改写为
Kp=
kp11 kp12 kp13 kp14kp21 kp22 kp23 kp24kp31 kp32 kp33 kp34kp41 kp42 kp43 kp
熿
燀
燄
燅44
(82)
在局部坐标系下,与弯曲变形有关的情况同4节点矩形薄板弯曲单元完全
一样,其单元刚度方程可写为
Fb=Kbab (83)
其中,节点力向量Fb和节点位移向量ab分别为
Fb=
Fb1Fb2Fb3Fb
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
, Fbi=
WiMxiMy
烅烄
烆烍烌
烎i
; ab=
ab1ab2ab3ab
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
, abi=
wiθxiθy
烅烄
烆烍烌
烎i
单元刚度矩阵Kb由式(724)给出,这里可改写为
Kb=
kb11 kb12 kb13 kb14kb21 kb22 kb23 kb24kb31 kb32 kb33 kb34kb41 kb42 kb43 kb
熿
燀
燄
燅44
(84)
根据前述假定,平面应力状态下的节点力与弯曲应力状态下的节点位移互
不影响;弯曲应力状态下的节点力与平面应力状态下的节点位移也互不影响,因
此很容易把两部分单元刚度方程和矩阵拼合起来得到矩形壳单元的刚度方程和
矩阵。矩形单元有20个自由度,其单元刚度矩阵为20×20的方阵。然而,在整
体坐标系中,壳体单元每个节点有6个自由度。为了便于从局部坐标系到整体
坐标系的转换,在单元局部坐标系中可增加节点角位移θzi,即单元平面内的转
角或法线绕z轴的转角。这样,每个节点有6个自由度,节点i的位移向量及对
应的节点力向量分别为
831 第8章 壳体结构
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ai=
apiabiθ烅烄
烆烍烌
烎zi
, Fi=
FpiFbiM烅烄
烆烍烌
烎zi
, (i=1,2,3,4)
单元刚度矩阵被扩大成为24×24阶方阵。壳体方程中并没有涉及到θzi,故对
应于θzi的行和列皆为零元素。这样,平板壳单元刚度方程为
Fe=Keae (85)
若将单元刚度矩阵写成分块形式
Ke=
k11 k12 k13 k14k21 k22 k23 k24k31 k32 k33 k34k41 k42 k43 k
熿
燀
燄
燅44
(86)
则其中的子块为
kij=
kpij 0 0 0 00 0 0 0
0 0 00 0 kbij 00 0 0
熿
燀
燄
燅0 0 0 0 0 0
(87
帿帿帿
帿帿帿 帿帿帿帿帿帿
帿帿帿帿帿
帿帿帿帿帿 帿帿帿帿帿帿帿帿帿帿
)
(2)整体坐标系Ke
在列节点平衡方程时,不同局部坐标系下得到的各相关单元节点力不能直
接叠加,从而单元刚度矩阵不能直接集成为整体刚度矩阵。这就需要将单元刚
度方程变换到统一的整体坐标系之中。局部坐标与整体坐标之间的关系为
图82 坐标轴
x
烅烄
烆烍烌
烎
yz=
cos(x,x) cos(x,y) cos(x,z)
cos(y,x) cos(y,y) cos(y,z)
cos(z,x) cos(z,y) cos(z,z
熿
燀
燄
燅)
x
烅
烄
烆
烍
烌
烎
yz=
x
烅
烄
烆
烍
烌
烎
yz
(88)
其中,为局部坐标系xyz对整体坐标系xyz的方向余
弦矩阵。
柱壳的母线是相互平行的,若取整体坐标系的y轴
与母线方向一致,则各单元的局部坐标轴y均可取与y轴
一致。从y轴向看去,其他坐标轴之间的关系如图82所
示。设单元的z轴与z轴间的夹角为φ(从z轴逆时针旋
93181 平板型壳单元
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转到z轴时为正),则有
=cosφ 0 -sinφ0 1 0sinφ 0 cos
熿
燀
燄
燅φ
(89)
显然,节点i的位移分量在不同坐标系中具有如下关系
uiviwiθxiθyiθ
烅
烄
烆
烍
烌
烎zi
=
cosφ 0 -sinφ 0 0 00 1 0 0 0 0sinφ 0 cosφ 0 0 00 0 0 cosφ 0 -sinφ0 0 0 0 1 00 0 0 sinφ 0 cos
熿
燀
燄
燅φ
uiviwiθxiθyiθ
烅
烄
烆
烍
烌
烎zi
=λ
uiviwiθxiθyiθ
烅
烄
烆
烍
烌
烎zi
或
ai=λai (i=1,2,3,4) (810)
式中
λ=00[ ]
(811)
不难看出,4节点单元的节点位移变换公式为
ae=Tae (812)
其中,T为变换矩阵,表达式为
T=
λ 0 0 00 λ 0 00 0 λ 00 0 0
熿
燀
燄
燅λ
(813)
同理有单元节点力变换公式
Fe=TFe (814)
将式(812),(814)代入式(85),可得整体坐标系下的单元刚度方程
Fe=Keae (815)
其中,整体坐标系下单元刚度矩阵为
Ke=TTKeT (816)
041 第8章 壳体结构
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813 三角形单元
具有3个节点的三角形单元应用较广,使用价值较大,因为它可以适应壳体
的复杂外形。把平面应力问题和薄板弯曲问题中的三角形单元刚度矩阵结合起
来,即可得到组合应力状态下三角形单元的刚度矩阵,其组合方法与矩形单元相
似,只是单元刚度矩阵是18×18阶的。
(1)局部坐标系Ke
在三角形板上建立局部坐标系(方法见后)。局部坐标系下的单元刚度矩阵
经组合而成,其分块形式为
Ke=
k11 k12 k13k21 k22 k23k31 k32 k
熿
燀
燄
燅33
(817)
其中,子块kij的形式见式(87)。
(2)整体坐标系Ke
经坐标变换,不难得到整体坐标系下的单元刚度矩阵
Ke=TTKeT (818)
其中,变换矩阵为
T=λ 0 00 λ 00 0
熿
燀
燄
燅λ
(819)
图83 坐标轴
而λ见式(811)。
(3)坐标变换矩阵T现说明三角形单元局部坐标系的建立及变换矩阵
的确定。以节点1为局部坐标系的原点,并取12边为
x轴,中面内与x轴垂直的轴为y轴,与xy面垂直且
符合右手法则的方向为z轴(图83)。根据3个节点
的整体坐标,可以确定方向余弦矩阵。
x轴的方向余弦:单元12边的长度用s表示,则
s= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)槡 2
s在整体坐标x,y,z轴上的投影分别为x2-x1,y2-y1,z2-z1,故x轴的方向
余弦为
14181 平板型壳单元
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α1=cos(x,x)=(x2-x1)/s
α2=cos(x,y)=(y2-y1)/s
α3=cos(x,z)=(z2-z1)/
烍烌
烎s
(820)
z轴的方向余弦:从节点1到节点2的矢量用v12表示,从节点1到节点3的矢量用v13表示。显然,v12与v13矢量积的方向为z轴正向,其模为三角形单
元面积的2倍,即
|v12×v13|=2A
若,x,y,z,轴的单位矢量分别为i,j,k,则
v12=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)kv13=(x3-x1)i+(y3-y1)j+(z3-z1)k
v12×v13=
i j kx2-x1 y2-y1 z2-z1x3-x1 y3-y1 z3-z1
由此可得z轴的方向余弦为
γ1=cos(z,x)=[(y2-y1)(z3-z1)-(z2-z1)(y3-y1)]/(2A)
γ2=cos(z,y)=[(z2-z1)(x3-x1)-(x2-x1)(z3-z1)]/(2A)
γ3=cos(z,z)=[(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)]/(2A
烍烌
烎)
(821)
y轴的方向余弦:根据式(820)和(821),x轴和z轴的单位矢量分别为
α1i+α2j+α3k和γ1i+γ2j+γ3k,故y轴的单位矢量为
β1i+β2j+β3k=(γ1i+γ2j+γ3k)×(α1i+α2j+α3k)
=(γ2α3-γ3α2)i+(γ3α1-γ1α3)j+(γ1α2-γ2α1)k
可见,y轴的方向余弦为
β1=cos(y,x)=γ2α3-γ3α2
β2=cos(y,y)=γ3α1-γ1α3
β3=cos(y,z)=γ1α2-γ2α
烍烌
烎1
(822)
从而
=
α1 α2 α3β1 β2 β3γ1 γ2 γ
熿
燀
燄
燅3
(823)
241 第8章 壳体结构
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单元组装和数值计算与标准程序完全相同。需要指出的是,计算所得节点
位移是相对于整体坐标系的。因此,计算应力和应变(设计所需为局部坐标系下
的数值)时,必须把整体坐标下的单元节点位移转换为局部坐标系下的单元节点
位移。
814 等效节点荷载
对于每个单元,壳体上作用的荷载可分解成两组,即一组作用在平面内,另
一组则垂直于平面。首先分别按平面应力问题和薄板弯曲问题,计算上述两组
荷载的单元等效节点荷载;其次将算得的节点荷载加以简单组合,并在与θzi相
应的位置补充零,从而得到局部坐标系中的单元等效节点荷载向量Pe;再次通
过坐标转换求出整体坐标系中的单元等效节点荷载向量Pe;最后集合成整体节
点荷载列阵P。
一般地说,在分布荷载作用下,单元的等效节点荷载包括力和力矩分量。当
单元比较小时,可忽略力矩分量,并把单元承受的外载合力平均分摊到单元的各
节点上。例如,设壳面承受法向分布荷载p(与局部坐标z轴同相时为正),它在
三角形单元3个节点上的强度分别为p1,p2,p3,则作用于单元上的荷载之合力
为
R=A3(p1+p2+p3)
其中,A为单元面积。把上述合力平均分摊到3个节点上,并转换到整体坐标
系中,得到整体坐标系中的节点荷载
XiYiZ烅烄
烆烍烌
烎i
=R3
cos(x,z)
cos(y,z)
cos(z,z烅烄
烆烍烌
烎)(824)
815 特殊情况的处理
(1)单元共面问题
把各单元的刚度矩阵、节点荷载向量加以集成,得到整体刚度矩阵K 和整
体节点荷载向量P,以及整体刚度方程
Ka=P (825)
通常情况下,引入位移边界条件便可求解上述方程组。但有一种特殊情况
需要注意。如果交汇于某节点的所有单元都位于同一个平面内,则由于Ke 中
θz方向的刚度系数均为零,局部坐标系中该节点的第6个平衡方程将是
34181 平板型壳单元
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0=0 (826)
如果整体坐标与上述单元局部坐标一致,则整体刚度矩阵的行列式|K|=0;如
果整体坐标与局部坐标不一致,经过变换后在该节点处得到6个表面上独立的
6个平衡方程。然而,由于式(826),行列式|K|的行向量是线性相关的,从而
仍有|K|=0。
(2)虚拟旋转刚度
为排除|K|=0而无法求解的困难,可以在局部坐标系内建立上述特殊节
点的平衡方程,并删去θz方向的平衡方程0=0。于是,剩下的方程组满足有唯
一解的条件。
上述方法在程序设计上实施起来比较麻烦。可采用下述方法处理:在这些
特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数kθzθz,这样局部坐标系中θz 方向的平衡方
程为
kθzθzθzi=0 (827)
经过坐标变换,整体坐标系中的该节点平衡方程将满足有唯一解的条件。由于
θz并不影响应力,而且与其他节点平衡方程无关,故可赋予kθzθz任何值。
(3)新型平面膜元
采用虚拟旋转刚度,需要判断是否有单元共面,故增加了编程的复杂性。一
种较好的替代方案是在平面膜元角点上增加旋转自由度θz,使其有对应的刚度
(文献9,49)。这样不仅能自动处理相邻节点单元共面所产生的问题,而且还可
以非常方便地与平板单元、曲壳单元及梁单元相连接。
82 曲面型壳单元
平板型壳单元概念直观、公式简单,只要单元划分足够密集,用折板系统代
替实际壳体所得解答可以满足工程要求。但是平板壳单元也存在一些缺点。例
如,在单元水平上,位移和应变关系没有体现薄膜和弯曲变形的耦合,只有通过
单元组合在总体结构中实现这种耦合作用;由于几何上的近似,在单元交界处会
出现不连续的弯矩,而这在连续的壳体结构中是不出现的。
为克服平板型壳单元的缺陷,人们自然试图开发能反映壳体的真实几何形
状曲面壳单元。采用这种曲面单元,在单元尺寸和形状相同时,可以得到更好的
计算结果。在各种壳体中,扁壳的描述和几何方程都比较简单,基于扁壳理论的
扁壳单元得到深入研究;而由于深壳理论的复杂性,要构造一种既满足完备性要
求又满足协调性要求的深壳单元是很困难的。本节首先介绍用于轴对称壳体分
441 第8章 壳体结构
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析的截锥单元,然后讨论基于扁壳理论的曲面壳单元。
821 截锥单元
(1)基本方程
轴对称壳体中面上任一点的位置由φ和θ确定(图84),其位移沿经(子
图84 轴对称薄壳
午)向、周向和法向的分量分别为u,v和w。如
果轴对称壳体承受的荷载及支承条件为轴对称,
则壳体的变形也将是轴对称的。在轴对称问题
中,v=0,u和w 仅是经向弧长s的函数,而与周
向角θ或周向弧长无关。根据薄壳理论中的直法
线假设和法向纤维无挤压假设,仅有经向应变εs和周向应变εθ不为零,此外还有中面经向和周向
的曲率变化κs和κθ。它们与中面位移的关系即
中面几何方程为
εs=duds+
wRs
εθ=1r
(usinφ+wcosφ)
κs=-ddsdwds-
uR( )s
κθ=-sinφr
dwds-
uR( )
烍
烌
烎s
(828)
其中,φ为子午线与对称轴的夹角;Rs是经向的曲率半径;r是平行圆半径。
壳体内任一点的应变可以用中面应变表示为
ε=ε(z)s
ε(z)烅烄
烆烍烌
烎θ=εs+zκsεθ+zκ烅烄
烆烍烌
烎θ(829)
其中,z是该点至中面的距离,沿法向测量。
忽略次要的法向应力σz,则本构方程与平面应力问题的相同;再注意到剪
应变γsθ=0,则
σ=σsσ烅烄
烆烍烌
烎θ= E1-ν2
1νν[ ]1
ε(z)s
ε(z)烅烄
烆烍烌
烎θ=Dε (830)
(2)位移模式
基于薄壳理论的轴对称壳体单元实质上是一维单元,其中最早提出的是在
54182 曲面型壳单元
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子午线方向为直线的截锥单元,其形状如图85所示。单元中面上任一点在局
部坐标系中的经向位移u和法向位移w 可以分别表示为坐标x的线性和三次
函数
u=α1+α2x
w=α3+α4x+α5x2+α6x烍烌
烎3(a)
其中的6个待定系数可由节点位移分量及其导数加以确定,它们满足的方程为
α1=u1, α3=w1, α4=θ1, α1+α2l=u2α3+α4l+α5l2+α6l3=w2, α4+2α5l+3α6l2=θ
烍烌
烎2(b)
由式(b)解出待定系数,然后将其代入式(a)得
u=u{ }w =[N1 N2]
a1a烅烄
烆烍烌
烎2=Nae (831)
其中
N1=1-ξ 0 00 1-3ξ2+2ξ3 l(ξ-2ξ2+ξ3
[ ])
N2=ξ 0 00 3ξ2-2ξ3 l(-ξ2+ξ3
[ ]烍
烌
烎)
(832)
而ξ=x/l。l为截锥单元经线的长度;ae为局部坐标系中单元节点位移向量
ae=a1a烅烄
烆烍烌
烎2=[u1 w1 θ1 u2 w2 θ2]T
图85 截锥单元
(3)局部坐标系Ke
在局部坐标系中,轴对称薄壳几何方程中的s可用x代替,而且因单元为直
线有曲率1/Rs=0。将式(831)代入几何方程得
ε=Bae (833)
641 第8章 壳体结构
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单元刚度矩阵为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=2π∫l
0BTDBrdx=2πl∫
1
0BTDBrdξ (834)
(4)整体坐标系Ke
整体坐标系中的单元节点位移向量为
ae=a1a烅烄
烆烍烌
烎2=[u1 w1 θ1 u2 w2 θ2]T
注意到ai与ai具有如下关系
ai=
uiwiθ烅烄
烆烍烌
烎i
=cosφ sinφ 0-sinφ cosφ 0熿
燀
燄
燅0 0 1
uiwiθ
烅烄
烆烍烌
烎i
=λ珔ai (i=1,2) (835)
整体坐标系中的单元刚度矩阵为
Ke=TTKeT (836)
其中转换矩阵为
T=λ 00
[ ]λ
(837)
若令φ=0,则截锥单元成为圆柱筒壳单元;若令φ=90°,则得到圆环板单
元。
为了更好地模拟轴对称壳体,可以采用曲边单元。此时,单元内的φ不再
是常数,单元的曲率1/Rs也不再是零。不过,这种单元的构造比较困难,也存
在一些难以克服的问题。此外,为考虑横向剪切变形的影响,可以构造位移和转
角各自独立插值的轴对称壳单元。这种单元在本质上与Mindlin板单元相似。
822 扁壳单元
(1)扁壳定义
在直角坐标系中,壳体中面的方程可表示为
z=z(x,y) (838)
曲面沿坐标轴向的曲率半径由下式计算
1Rx=-
2zx2
, 1Ry=-
2zy2
, 1Rxy=-
2zxy
(839)
74182 曲面型壳单元
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当 z( )x
21,z
( )y21时,曲面z=z(x,y)称为扁曲面,以其为中面的壳
体称为扁壳。实际中,当壳体的矢高小于平面最小尺寸的1/5时即可按扁壳计
算。
(2)曲线坐标
分析壳体需建立便于描述壳体的正交曲线坐标系。对于扁壳,这项工作比
较简单。作平行于坐标面xz和yz的两组竖直面与中面相交,以交线作为坐标
曲线。其中y=常数的坐标线称为x坐标线;x=常数的坐标线称为y坐标线。
由于扁壳中面上的点与其在直角坐标系xy平面上的投影点一一对应,故(x,y)
既可看作中面上点的投影点的直角坐标,也可视为中面上点的曲线坐标。
显然,上述坐标线在中面上并非正交曲线,坐标线分割而成的网格也不是矩
形。但是,对于扁壳,可近似地将坐标线看作是正交的,网格也可视为矩形(图
86)。现说明如下:设两坐标线的切线之间的夹角为β,则其余弦为
cosβ=z( )x z
( )y1+ z
( )x槡21+ z( )y槡
2(840)
根据扁壳的定义,cosβ≈0,即β≈π/2。这样,两坐标线及中面法线所组成的流
动坐标系可看作正交坐标系。
图86 扁壳单元
(3)基本方程
壳体中面上任一点(x,y,0)沿流动坐标轴的位移分量用u,v,w 表示,壳
体内任一点(x,y,z)的位移分量用u,v,w 表示。采用薄壳理论中的直法线假
设和法向纤维无挤压假设,则
u=u+zθy, v=v-zθx, w=w (841)
其中
841 第8章 壳体结构
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θx=wy
, θy=-wx
(842)
根据扁壳理论,壳体内任一点的应变为
εx=ux+
wRx
εy=vy+
wRy
γxy=uy+
vx+
wRx
烍
烌
烎y
(843)
将式(841),(842)代入上式,可得壳体内部应变与中面位移之间的关系,即
εx=ux+
wRx-z
2wx2
εy=vy+
wRy-z
2wy2
γxy=uy+
vx+
wRxy-2z
2wx
烍
烌
烎y
(844)
由于上述曲线坐标系是正交的,故应力与应变之间仍服从广义Hooke定律
σ=Dε (845)
因次要应力σz的影响可忽略不计,故其中的弹性矩阵与平面应力条件下的完全
相同。
(4)单元计算
把坐标线分割成的网格看作4节点矩形单元,局部坐标取在单元的中心。
扁壳单元的位移函数可根据平面矩形单元和薄板弯曲矩形单元的位移函数组合
而成。根据平面问题中矩形单元的公式,扁壳中面切向位移可表示为
u{ }v =Np1 0 Np2 0 Np3 0 Np4 0
0 Np1 0 Np2 0 Np3 0 Np熿
燀
燄
燅4aep (846)
其中
aep=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
Npi=(1+ξ0)(1+η0)/4 (i=1,2,3,4) (847)
其中,ξ0=ξiξ,η0=ηiη。
根据薄板弯曲问题中矩形单元的公式,扁壳中面法向位移可表示为
94182 曲面型壳单元
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w=[Nb1 Nb2 Nb3 Nb4]aeb (848)
其中
aeb=[w1 θx1 θy1 w2 θx2 θy2 w3 θx3 θy3 w4 θx4 θy4]T
Nbi=[Nbi Nbxi Nbyi] (i=1,2,3,4) (849)
Nbi=(1+ξ0)(1+η0)(2+ξ0+η0-ξ2-η2)/8
Nbxi=-bηi(1+ξ0)(1+η0)(1-η2)/8
Nbyi=aξi(1+ξ0)(1+η0)(1-ξ2)/
烍烌
烎8
(850)
经简单组合,可得扁壳单元的位移函数
u=[N1 N2 N3 N4]ae=Nae (851)
其中
u=uv烅烄
烆烍烌
烎w
, Ni=
Npi 0 0 0 0
0 Npi 0 0 0
0 0 Nbi Nbxi Nby
熿
燀
燄
燅i
, ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎4
(852)
ai=[ui vi wi θxi θyi]T (i=1,2,3,4)
确定单元位移函数后,单元计算的其他步骤便进入标准程序。例如,将式
(851)代入几何方程(844)得
ε=Bae (853)
再代入本构方程(845)得
σ=Dε=DBae (854)
根据普遍公式(118),单元刚度矩阵为
Ke=∫ΩeBTDBdΩ (855)
当壳体不满足扁壳条件时,前述基本方程不再成立。但是,由于每个单元的
尺寸比较小,总可以对每个单元分别选择坐标系xyz,使扁壳条件成立,从而可
按上述方法进行分析。当然,在这种情况下,回到整体坐标系时应进行变换。可
见,即使对于深壳,壳体有限元分析通常也可以不涉及复杂的壳体理论。
83 退化型壳单元
为了避免壳体理论和有限元公式的复杂性,提出了两种由实体单元退化而
成的C0型壳体单元,即超参数壳体单元和相对自由度壳体单元。这里仅介绍
051 第8章 壳体结构
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前者(文献1),而关于后者可参见文献81,73。
831 单元定义
类似空间等参单元,在整体直角坐标系下描述单元的几何形状、计算位移和
应变;引入母单元和相应的局部坐标系ξηζ,在该坐标系下进行单元位移插值并
计算单元刚度矩阵。
壳体母单元是2×2×2的立方体,可以映射成复杂形状的子单元。ζ=0为
单元的中面,ζ=±1分别为单元的顶面和底面,它们均为曲面。壳体单元的节
点取在中面上,母单元和子单元的中面如图87所示。
图87 壳体中面
过节点i作中面的法线,与顶面和底面交点的整体坐标值分别记为
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 顶
,
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 底
于是,中面上节点i的整体坐标(xi,yi,zi)为
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i
=12
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 顶
+12
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 底
(856)
中面上任一点的整体坐标可用局部坐标表示为
x烅烄
烆烍烌
烎yz 中面
=∑m
i=1Ni
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 中面
(857)
其中,Ni(ξ,η)为平面8节点等参单元的形函数,见式(513)。进一步,单元内
任一点的整体坐标可用局部坐标表示为
15183 退化型壳单元
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x烅烄
烆烍烌
烎yz=∑
m
i=1Ni
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 中面
+∑m
i=1Niζ2
ΔxiΔyiΔz烅烄
烆烍烌
烎i
(858)
其中,Δxi,Δyi,Δzi分别为节点i在中面法线方向的坐标差值,即
ΔxiΔyiΔz烅烄
烆烍烌
烎i
=
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 顶
-
xiyiz烅烄
烆烍烌
烎i 底
(859)
832 位移函数
与厚板类似,厚壳结构变形前的中曲面法线变形后仍基本保持为直线,但因
图88 节点局部坐标系
横向剪切变形的缘故,该直线不再垂直于变形后
的中曲面。此外,壳体厚度方向的挤压变形也可
以忽略。这样,厚壳的位移场可用中面位移表
示,且退化型壳单元每个节点有5个自由度,即
沿整体坐标轴的3个线位移ui,vi,wi,中面法
线的2个转角位移αi,βi。为定义节点i的角位
移,作3个正交向量V1i,V2i和V3i,构成流动的
局部坐标系(图88)。
(1)中面法线向量
过节点i的中面法线向量用V3i表示。显然
V3i=Δxii+Δyij+Δzik (860)
其中,i,j,k是整体坐标轴的单位基向量。V3i的方向余弦为
l3i=Δxi/tim3i=Δyi/tin3i=Δzi/t
烍烌
烎i
(861)
其中,ti= (Δxi)2+(Δyi)2+(Δzi)槡 2为节点i处的壳体厚度。
(2)中面切线向量
在节点i处作向量V1i和V2i,均切于中面并正交于V3i。为使局部坐标轴
与整体坐标轴大体一致,以利于成果的整理和边界条件的处理,令
V2i=V3i×i, V1i=V2i×V3i (862)
251 第8章 壳体结构
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即V2i正交于V3i和x轴,V1i正交于V2i和V3i。根据向量运算法则,不难由上
式求出V1i的方向余弦(l1i,m1i,n1i)和V2i的方向余弦(l2i,m2i,n2i)。
(3)位移函数
定义αi和βi分别为过节点i的中面法线绕V2i和V1i的转角,以右手螺旋法
则标出的矢量沿坐标轴正向时为正。转角αi将引起V1i方向的线位移,其大小
为tiζαi/2,它在x,y,z方向的分量分别为
tiζαi2l1i
, tiζαi2 m1i
, tiζαi2 n1i
转角βi将在V2i方向产生线位移,大小为tiζβi/2,它在x,y,z方向的分量分
别为
-tiζβi2l2i
, -tiζβi2 m2i
, -tiζβi2n2i
利用形函数Ni(ξ,η),单元内任一点的位移可用中面节点位移表示如下
uv烅烄
烆烍烌
烎w=∑
m
i=1Ni
uiviw烅烄
烆烍烌
烎i+∑
m
i=1
Nitiζ2
l1i -l2im1i -m2in1i -n2
熿
燀
燄
燅i
αiβ烅烄
烆烍烌
烎i(863)
我们知道,在等参单元中,用于规定单元形状的自由度数与用于规定单元位
移的自由度数相等。如果用于规定单元形状的自由度数大于规定单元位移的自
由度数,则这种单元称为超参数单元。比较式(859),(863)可知,退化型壳单
元属于超参数单元。
833 单元计算
(1)整体坐标系中的应变
将式(863)代入空间问题的几何方程,很容易得出整体坐标系中的单元应
变
ε=Bae=[B1 B2 ⋯ Bm]ae=∑m
i=1Biai (864)
其中
ai=[ui vi wi αi βi]T
显然,应变取决于下列矩阵
35183 退化型壳单元
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ux
vx
wx
uy
vy
wy
uz
vz
w
熿
燀
燄
燅z
(865)
其中的元素不难写出,例如
ux=∑
m
i=1
Nixui+
12∑
m
i=1
(Niζ)
x ti(l1iαi-l2iβi) (866)
而形函数的导数为
NixNiyNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
=J-1
NiξNiηNi
烅
烄
烆
烍
烌
烎ζ
=J-1
NiξNiη烅
烄
烆
烍
烌
烎0
(867)
这里,J是Jocobi矩阵。
(2)流动坐标系中的应变
壳体中面法线方向与z轴并不一致,而且随着点的位置不同而变化。在壳
体分析中,假定垂直于壳体中面的正应变等于零,因此须求出与此相应的单元应
力和应变。这样,便需要在单元内任一点建立局部坐标系xyz(这显然是逐点
流动坐标系),在该坐标系下定义弹性矩阵、计算转角位移。
在流动坐标系中,以中面法线方向为z轴正向。设x,y,z轴的单位基矢
量分别为e1,e2,e3。建立局部坐标系的关键是确定中面法线方向余弦,其对应
的基矢量为e3。
对于单元内任一点,整体坐标为(x,y,z),在母单元内的局部坐标和子单元
的曲线坐标为(ξ,η,ζ),该点位于ζ曲面上。以i,j,k表示x,y,z轴的单位基
矢量,则由dξ和dη引起的增量切线矢量分别为
ab= xξi+yξj
+zξ( )kdξac= xη
i+yηj+zη( )kdη
这两个切线矢量必然正交于该点的法线,于是
e3=ab×ac|ab×ac|=l3i+m3j+n3k
(868)
451 第8章 壳体结构
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选取其他两个流动坐标轴单位矢量如下
e2=e3×i=l2i+m2j+n2k (869)
e1=e2×e3=l1i+m1j+n1k (870)
这样,流动坐标轴的方向余弦矩阵为
=
l1 l2 l3m1 m2 m3n1 n2 n
熿
燀
燄
燅3
(871)
根据张量转换规则,有
ux
vx
wx
uy
vy
wy
uz
vz
w
熿
燀
燄
燅z
=T
ux
vx
wx
uy
vy
wy
uz
vz
w
熿
燀
燄
燅z
(872)
流动坐标系中的应变为
ε=
εxεyγxyγyzγ
烅
烄
烆
烍
烌
烎zx
=
uxvy
uy+vx
vz+wy
wx+u
烅
烄
烆
烍
烌
烎z
=Bae (873)
或
ε=[B1 ⋯ Bm]
a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m=∑
m
i=1Biai (874)
(3)流动坐标系中的应力
流动坐标系中的应力为
55183 退化型壳单元
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σ=[σx σy τxy τyz τzx]T=Dε=DBae (875)
因流动坐标系也是正交坐标系,故上式中的弹性矩阵D与厚板单元的弹性矩阵
相同。
在输出计算结果时,还可包括整体坐标系中的应力,即
σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σ
熿
燀
燄
燅z
=
σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy
熿
燀
燄
燅0
T (876)
(4)单元刚度矩阵
对单元应用虚位移原理,注意到功是客观量即与坐标系选择无关,则虚功方
程为
δaeTFe=∫ΩeδεTσdΩ=∫ΩeδεTσdΩ
将式(873),(875)代入上式,可得整体坐标系中的单元刚度矩阵
Ke=∫ΩeBTDBdΩ=∫1
-1∫1
-1∫1
-1BTDBJdξdηdζ (877)
整体刚度矩阵K由Ke集成。
(5)等效节点荷载
设壳体中面承受分布荷载p。在节点i,分布荷载沿x,y,z方向的分量分
别为pxi,pyi,pzi,则中面上任一点的分布荷载可表示为
p=
px
pyp
烅烄
烆烍烌
烎z
= ∑m
i=1Nipxi ∑
m
i=1Nipyi ∑
m
i=1Nip
熿
燀
燄
燅zi
T
(878)
在等效节点荷载计算中,虚功仅由中面线位移和中面荷载产生。根据等效
节点荷载的普遍公式(120),有
Xi=∫ΓeσNipxdΓ=∫1
-1∫1
-1NipxAdξdη
Yi=∫ΓeσNipydΓ=∫1
-1∫1
-1NipyAdξdη
Zi=∫ΓeσNipzdΓ=∫1
-1∫1
-1NipzAdξdη
Mαi=0, Mβi
烍
烌
烎=0
(879)
651 第8章 壳体结构
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其中
A= xξyη-xη
y( )ξ
2
+yξzη-yηz( )ξ
2
+ zξxη-zηx( )ξ槡
2(880)
84 结 语
学者们对退化型壳单元非常感兴趣,进行了大量研究,关玉璞等(文献27)
对此做过简单评述。这种单元具有很多优点,但也存在某些缺陷,即用于薄壳时
会出现剪切闭锁和薄膜闭锁(薄壳中面变形为无拉伸弯曲,而退化型壳单元描述
这种变形模式的能力不足,因而产生薄膜闭锁)。解决这一问题的常用方法是采
用减缩积分方案。不过,减缩积分有可能引起零能模式,因此至今人们还在寻找
更加合理的方法,采用多变量壳单元便是其中的一种。在这种单元中,剪切闭锁
和薄膜闭锁等现象通常不会出现。
习 题
81 薄壳理论有哪些假设?与薄板理论的假设有何异同?厚壳分析中引入了
何种假定?与厚板理论的假定有何异同?
82 何谓平板型壳单元?在分析这种单元时都做了哪些假设?应用平板型壳
单元可能会出现什么问题,如何解决?简述形成平板型壳单元刚度矩阵的
基本思路。
83 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对什么提出的?试说明单元
组装时,面内效应与弯曲效应两者的耦合将会出现。
84 轴对称薄壳截锥单元的位移函数是否满足收敛性要求?试推导截锥单元
的应变矩阵B。
85 建立退化型超参数壳单元公式用了几套坐标系?各有什么用处?
751习 题
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第9
章
若干实际考虑
前面各章介绍了各种结构有限元分析的基本思想和方法步骤。将其用于实
际问题时,需要考虑计算精度和效率问题。本章将讨论与此有关的3个主要问
题,即单元与网格划分、结构对称性的利用及结果的整理与检验。
此外,本章还将介绍初应力和初应变问题,以及非均质性和各向异性问题的
处理方法。
91 单元与网格
911 单元的类型
单元的选择与网格方案取决于结构的几何形状、荷载作用及边界条件。对
给定的具体问题,通常很难确定哪种单元最为合适。一般地说,采用高次单元,
可望用较少的单元获得所需精度的解答。例如,在节点数相同时,用6节点三角
形单元计算的结果要好于3节点三角形单元的结果(图91)。
图91 单元划分方案
单元形函数的阶次越高,单元的适应能力也就越强。但是,形函数阶次的提
高将使刚度矩阵的计算变得复杂,从而增加计算时间。可见,并非形函数阶次越
高就越好,特定情况下最合适的形函数阶次需要根据计算经验来确定。单元阶
次的选择与域内应力变化情况有关,应力梯度大的区域可采用较高阶的单元,否
则即使网格很密也难以达到理想的结果。此外,计算表明,对于以弯曲为主的单
薄结构(例如,地基中的混凝土防渗墙、隧道衬砌、挡土墙翼板等),不宜采用常应
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变三角形单元,最好采用8节点等参单元或高次三角形单元。同理,对于以弯曲
为主的空间单薄结构,不宜采用常应变四面体单元,最好采用20节点等参单元
或高次四面体单元。
912 单元的形状
通常情况下,单元的形状越紧凑、规则,解的精度越好。定义长宽比为四边
形单元最长尺度与最短尺度之比。在很多情况下,随着长宽比的增加,解的精度
将会下降(文献45)。
在有限元分析中有这样一种做法,即为了采用统一的表达格式,将某些不符
合常规等参单元形式的单元看作是等参单元的退化,例如四边形单元退化成三
角形单元、空间六面体单元退化为五面体单元或四面体单元。如图92所示。
然而,退化单元的形态不好,故精度较差。因此不能大量使用,在结构的重要位
置也不宜使用。
图92 形状不良的单元
913 网格的疏密
网格疏密布局取决于精度要求和效率,一般原则是在应力集中区域或高应
力梯度区域细分网格;精度要求较高时应减小单元的尺寸。
92 自由度减缩
对于大型复杂结构,如果直接对整个结构进行离散,将得到规模非常庞大
的方程组,从而导致过大的计算量。若能恰当地利用结构的对称性、采用子结构
技术等,可以使求解方程组的自由度数大为降低。
95192 自由度减缩
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921 结构的对称性
假想地将结构沿其中的某平面对折,若两部分的形状、材料性质和约束条件
完全重合,则称该平面为对称面,称该结构为对称结构。若荷载随结构对折后相
互重合,则称为对称荷载;若须将对称面某一边的荷载改变正负号后才与另一边
的荷载重合,则称为反对称荷载。
利用结构的对称性,可取结构的一部分建立有限元模型。这里的关键问题
是根据荷载对称情况,分析对称面上的位移状态,从而确定对称面上节点的位移
边界条件。例如,在对称面处,垂直于该面方向的位移必然为零。一般地说,对
图93 对称结构、对称荷载
称荷载作用在对称结构上,将
产生对称效应;反对称荷载作
用在对称结构上,将产生反对
称效应。
(1)对称荷载
图93a所示为一具有中
心圆孔的矩形薄板,在上、下边
界上作用有均布荷载。显然,
x=0和y=0既是结构的对称
面,也是荷载的对称面。可取
结构在第一象限的部分进行离散化。y轴上的节点没有水平位移即u=0,可放置
竖向滚动的铰支座;x轴上的节点没有竖向位移即v=0,可放置水平滚动的铰支
座。图93b为离散化以后得到的有限元计算模型。
图94 对称结构、反对称荷载
(2)反对称荷载
图94a所示为一具有中 心 圆 孔 的 矩 形 薄 板,在 边 界 上 作 用 均 布 剪 力。
x=0和y=0是结构的对称面,而荷载是反对称的。可取结构在第一象限的部
分进行离散化。y轴上的节点没有竖向位移即v=0,可放置水平滚动的铰支
061 第9章 若干实际考虑
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座;x轴上的节点没有水平位移即u=0,可放置竖向滚动的铰支座。图94b为
离散化以后得到的有限元计算模型。
922 子结构技术
(1)基本思想
在大型复杂结构的有限元分析中,可将原结构分成若干区域,每个区域作为
一个子结构,这些子结构在其公共边界上互相连接起来。结构计算可分几步进
行:首先逐个分析各子结构,并凝聚掉各自的内部自由度;然后把全部子结构组
合起来进行整体分析,从而得到总体求解方程。在整体分析中,已不再需要考虑
各子结构的内部自由度,只需考虑结构边界及相邻子结构公共边界上的自由度,
这样自由度总数当然会大为缩减。
(2)自由度凝聚
采用子结构法的关键之处在于,内部节点的自由度在子结构的刚度矩阵形
成以后可以凝聚掉,因此子结构实质上是具有内部自由度的超单元。现对内部
自由度的凝聚过程加以说明。
通过适当的节点编号,使子结构的刚度方程可以写成如下分块形式
Kbb KbiKib K
[ ]ii
aba烅烄
烆烍烌
烎i=FbP烅烄
烆烍烌
烎i(91)
其中,ab为子结构的边界自由度;ai为子结构的内部自由度;Fb是子结构的边
界节点力;Pi是子结构的内部节点荷载(这是因为子结构内部的单元集成后,
作为内力的内部节点力将不再出现,代之出现的是节点荷载)。将上式展开后
得
Kbbab+Kbiai=Fb (a)
Kibab+Kiiai=Pi (b)
由式(b)求得ai
ai=K-1ii(Pi-Kibab)
将其代入式(a),便得到子结构凝聚后的方程
Kbbab=Fb (92)
其中
Kbb=Kbb-KbiK-1ii KibFb=Fb-KbiK-1iiP
烍烌
烎i
(93)
16192 自由度减缩
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子结构的刚度方程(92)可以理解为超单元的单元刚度方程。将所有子结
构的刚度方程加以集成,可得减缩了的整体刚度方程
Ka=P (94)
其中,a为原结构边界及各子结构公共边界上的节点位移向量;而K 为减缩了
的整体刚度矩阵,即
K=∑Kbb (95)
式(94)中P的算式为
P=∑(Pb-KbiK-1iiPi)=∑Pb-∑KbiK-1iiPi (96)
其中,第一项是原结构边界及各子结构公共边界上的节点荷载向量,子结构集成
时它代替了作为内力的边界节点力;第二项是子结构内部荷载引起的边界节点
荷载。
(3)并行算法
有限元子结构并行算法的基本思想是,首先将大问题分解为若干小问题;然
后由每个处理机负责一个或多个小问题的计算,计算过程中处理机之间进行必
要的数据交换;最后由各个处理机协调工作得出整体解。
并行算法的基本步骤如下(文献91):将结构划分为子结构,按照先内部后
界面的顺序进行节点编号;各处理机同时生成各子结构的单元刚度矩阵和组集
子结构刚度矩阵;各处理机同时对子结构的非界面自由度进行凝聚消元;组集凝
聚后的整体界面方程;求解整体界面方程;各处理机接收根节点处理机发送的相
应界面位移,同时回代求解内部节点位移;最后各处理机同时求各子结构的应
力。
93 结果的处理
931 应力解的性质
在位移有限单元法中,位移沿单元边界是连续的,而位移的导数通常是不
连续的,因此在单元边界上应力是不连续的;基本未知量是位移,而单元应变和
应力是由位移求导得到的,因此应力的精度要比位移的精度低;对于利用Gauss积分的单元,经验表明在积分点上算得的应力具有最好的精度,而在节点上应力
的精度最差。然而,通常工程上感兴趣的却是某些边缘或节点上的应力。对应
力怎样处理才能够获得用于设计的最佳结果?让我们先看一看应力解的性质。
261 第9章 若干实际考虑
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设精确解为u,ε,σ,近似解为珘u,珘ε,珘σ,则
珘u=u+δu珘ε=ε+δε珘σ=σ+δσ
注意到δΠp(u)=0,近似解的势能泛函可表示为
Πp(珘u)=Πp(u)+12∫ΩδεTDδεdΩ=Πp(u)+12∫Ω(珘ε-ε)TD(珘ε-ε)dΩ (97)
=Πp(u)+∑e
12∫Ωe(珘ε-ε)TD(珘ε-ε)dΩ
根据最小势能原理,近似解的泛函Πp(珘u)越小,说明近似解越好。对于给定的
具体问题,真实泛函Πp(u)是固定的。于是,可以断言
χ(珘ε,ε)=∑e
12∫Ωe(珘ε-ε)TD(珘ε-ε)dΩ (98a)
或
χ(珘σ,σ)=∑e
12∫Ωe(珘σ-σ)TC(珘σ-σ)dΩ (98b)
越小越好。这说明珘σ是精确解σ在加权最小二乘意义上的近似解。分析与计
算表明,对于高次单元,有限元分析获得的应力必然在精确解的上下振荡,并在
某些点上正好等于精确解,也即单元内存在最佳应力点。
932 应力解的处理
(1)应力修匀
现在反过来考虑问题,即已经得到了近似解珘σ,希望获得改善的应力解σ
以使其更加接近精确解σ。既然有限元应力解在精确解的上下振荡,人们自然
想到要进行某种平均,例如使
χ(珘σ,σ)=∑e
12∫Ωe(珘σ-σ)TC(珘σ-σ)dΩ (99)
取最小值,即用加权最小二乘法改善应力解,这就是应力修匀。其中近似解为
珘σ(ξ,η)=DBae
而单元内任一点修匀后的应力用形函数表示如下
36193 结果的处理
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σ(ξ,η)=∑m
i=1Niσi (910)
其中,m 为单元的角点数;Ni 是用于修匀应力的形函数,与位移函数中的形函
数Ni可以是不同阶次的(例如比Ni低一阶)。修匀后的节点应力σi 是未知
量。于是,根据驻值条件
χσi
=0 (i=1,2,⋯,N)
得
∑e∫Ωe(珘σ-σ)TCNidΩ=0 (i=1,2,⋯,N) (911a)
由此可解出N(即进行修匀时节点总数)个修匀节点应力σi 。
修匀可在整个区域内进行,以得到全域内连续的应力场。然而,这样做时计
算量太大,且效果也不一定很好。比较实用的方法是进行单元内应力修匀或分
片应力修匀(例如在感兴趣的某个区域内修匀),而在节点上取有关单元应力的
平均值。对于单元应力修匀,当单元尺寸不断减小时,加权与否影响不大,故不
考虑加权即令权函数C=I(单位矩阵)。于是,式(911a)成为
∫Ωe(珘σ-σ)NidΩ=0 (i=1,2,⋯,m) (911b)
由此可解出m 个修匀节点应力σi 。
例如,对于二维等参单元Q8(图95),以4个角点修匀后的应力σ1 ,σ2 ,
σ3,σ4(任何一个应力分量)作为未知量,用下列双线性形函数(即Q4单元形函
图95 Gauss积分点
数)进行修匀
N1=(1-ξ)(1-η)/4
N2=(1+ξ)(1-η)/4
N3=(1+ξ)(1+η)/4
N4=(1-ξ)(1+η)/
烍
烌
烎4
(a)
修匀应力可表示为
σ(ξ,η)=N1σ1+N2σ2+N3σ3+N4σ4 (b)
将式(a),(b)代入式(911b),得到
∫∫A(珘σ-σ)NiJdξdη=0 (i=1,2,3,4) (c)
461 第9章 若干实际考虑
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这是以σ1,σ2,σ3,σ4 为未知量的代数方程组,积分后可以解出这些未知量。
如果考虑到Gauss积分点处的应力精度最高(文献3),修匀应力还可以采
用一种更为方便的方法。由于Ni 是线性函数,故可采用2×2阶Gauss积分,
得4个积分点的应力σ′1,σ′2,σ′3,σ′4。在积分点上,让修匀应力σ等于未修匀应
力σ′,即
σ(-1/槡3,-1/槡3)=σ′1
σ(+1/槡3,-1/槡3)=σ′2
σ(+1/槡3,+1/槡3)=σ′3
σ(-1/槡3,+1/槡3)=σ′
烍
烌
烎4
(d)
这样,在4个积分点上均有 σ~-σ=0,也即式(c)与式(d)等价。由(d)可得
σ1σ2σ3σ
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
=
a b c bb a b cc b a b
熿
燀
燄
燅b c b a
σ′1σ′2σ′3σ′
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
(912)
其中
a=1+槡32, b=-12
, c=1-槡32(913)
在单元公共节点上,取有关单元节点应力的平均值作为该节点的应力;各边
中点的应力取相邻节点应力的平均值。
(2)应力平均
对于三角形常应变单元,通常采用应力平均的方法处理计算结果。例如,为
求某节点i的应力,可采用绕节点平均的方法,即将围绕该节点的相关单元应力
进行平均
σi=1m∑
m
e=1σe (914)
其中,m 为围绕节点i的单元数;σe为单元e的应力。
另外一种常用的方法是把相邻两个单元的应力加以平均,作为单元公共边
中点,即此两单元合成的较大四边形单元形心处的应力
σi=12
(σ1+σ2) (915)
56193 结果的处理
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也可以采用面积加权平均,即
σi=A1σ1+A2σ2
A1+A2(916)
其中,A1,A2分别为两个单元的面积。
933 结果的验证
如何检验有限元分析结果的正确性?对于已获得解析解的问题进行有限元
分析,以检验数值方法的可行性与计算精度。对于无法获得解析解的问题,通过
试验结果进行检验可能是最好的方法,但这种方法比较昂贵且费时。
此外,计算结果的自身校核也是有益的。例如,计算出的应力与外力应该满
足平衡条件。例如,线弹性计算的局部应力超过了材料的屈服极限甚至强度,说
明线性分析不符合实际。
94 自适应分析
我们知道,在科学研究与工程计算中,为了满足某种需要,对有限元近似解
常提出一定的精度要求。因此,仅仅在初始网格上进行一次有限元计算往往是
不够的,还应该将下述步骤包含在计算过程之中:对计算结果的误差进行估计,
以判断是否满足特定精度的要求;根据上述估计控制计算过程,以最小的代价获
得满足要求的结果。这就是自适应有限元分析的基本思想,其实施依赖于可靠
的误差估计和网格自动细分技术(文献70)。
941 误差的估计
有限元解的误差估计方法主要有残值法和后处理法,这里仅介绍获得广泛
应用的后处理法。
(1)误差范数
设精确解和有限元近似解分别为σ,σ~,则定义误差为
eσ=σ-σ~ (917)
误差的能量范数为
‖e‖=∫ΩeTσCeσd( )Ω = ∑e∫Ωe(σ-σ~)TC(σ-σ~)d[ ]Ω
1/2(918)
对于单元,有
661 第9章 若干实际考虑
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‖e‖e=∫Ωe(σ-σ~)TC(σ-σ~)d[ ]Ω1/2
(919)
结构的总体能量范数为
‖u‖=∫ΩσTCσd( )Ω = ∑e∫ΩeσTCσd[ ]Ω
1/2(920)
由于无法获得精确解,故一般是以修匀后的改进值σ作为“精确解”来进
行误差估计。通过与精确值误差范数对比,发现这样做是非常有效的(文献
41)。于是
eσ=σ-σ~ (921)
‖^e‖=∫ΩeTσCeσd( )Ω = ∑e∫Ωe(σ-σ~)TC(σ-σ~[ ])
1/2(922)
‖^e‖e=∫Ωe(σ-σ~)TC(σ-σ~[ ])1/2
(923)
而结构的总体能量范数用下式近似
‖u‖= ‖珘u‖2+‖^e‖( )2 1/2 (924)
其中
‖珘u‖= ∑e∫Ωe珘σTC珘σd[ ]Ω
1/2(925)
(2)误差指标
总体误差指标以η表示,则
η=‖^e‖‖u‖≤
珔η (926)
其中,珔η是规定的允许值(通常规定为5%)。对于单元,误差指标
ξe=‖^e‖e‖e‖a
≤1 (927)
其中,‖e‖a是单元应力误差能量范数‖e‖e的允许值。显然,总的允许误差
为
珔η ‖珘u‖2+‖^e‖( )2 1/2
若单元总数为m,则
‖e‖a=珔η ‖珘u‖2+‖^e‖( )2 1/2 m1/2 (928)
76194 自适应分析
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942 网格自动细分
对于给定网格进行有限元分析,检查系统和单元的误差指标,看其是否满足
精度要求。若不满足,则进行网格自动细分,然后重新计算,直到满足精度要求
为止。可见,在自适应分析中,只需定义一种描述问题几何特性的初始网格和可
接受的误差水平。计算机将自动实现达成目的的过程。
网格细分可采用Babuska提出的h型,p型及h?p型等三种方式。在h型方
法中,单元的阶次(即单元插值多项式的阶次)p是固定的,仅通过细分网格即减
小h来达到提高计算精度的目的。p型方法则保持固定的网格即h不变,而提
高插值多项式的阶次p以改善计算结果。h?p型方法则是两者的结合。
在p型方法中,采用阶谱单元是必要的。为了说明阶谱单元的概念,先介绍
变节点单元。
(1)变节点单元
对于4节点母单元(图96),已经构造出形函数即式(512),它们满足下述
基本要求
图96 母单元
Ni=δij=1 i=j0 i≠{ j
(a)
∑m
i=1Ni(x,y)=1 (b)
现将式(512)作为构造4至8变节点单元的基础,并记为
N^i=(1+ξiξ)(1+ηiη)/4 (i=1,2,3,4)
如果增加边内节点5,则得5节点单元。按照第3章构造单元的基本方法,不难
得到
N5=12
(1-ξ2)(1-η)
861 第9章 若干实际考虑
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然而,这样形成的5个形函数不再满足式(a)和(b)的要求。为此,可对N1和
N2做出如下修正
N1=N^1-12N5
, N2=N^2-12N5
可以类似地讨论边内节点6,7,8,从而得到4至8节点单元的形函数为
N1=N^1-12N5-
12N8
, N2=N^2-12N5-
12N6
N3=N^3-12N6-
12N7
, N4=N^4-12N7-
12N8
N5=12
(1-ξ2)(1-η), N6=12
(1-η2)(1+ξ)
N7=12
(1-ξ2)(1+η), N8=12
(1-η2)(1-ξ
烍
烌
烎)
(c)
若5,6,7,8节点中的任何一个不存在,则相应的形函数为0。
(2)阶谱单元
前面构造的变节点单元是可行的,但应用起来并不方便,因为当低阶单元升
为高阶单元时,低阶单元的形函数也都随之变化。在自适应有限元分析中,若发
现较低阶单元的精度不满足要求时,需在单元网格不变的情况下提高单元的阶
次。这时自然希望原单元的形函数保持不变,已有的单元计算结果可以被接下
来的分析所利用,从而达到编程和运算的节省。
简单地说,阶谱单元(hierarchicalelement)就是在低阶单元形函数不变的情
况下,构造新增节点的形函数,从而增加形函数的阶次。这就使得原有低阶形函
数成为增加后高阶形函数的一个子集;前面形成的单元刚度矩阵成为阶次增加
后单元刚度矩阵的一个子块。
现以平面四边形等参单元为例说明阶谱单元的概念。设在4节点等参单元
的基础上增加第5个节点,前面已经按普通单元构造方法给出了形函数,相应的
位移函数为
u=∑5
i=1Niui=∑
4
i=1N^iui+N5(u5-
u1+u22
) (929)
在阶谱单元构造中,分别定义阶谱函数和节点参数如下
H1=N^1, H2=N^2, H3=N^3, H4=N^4, H5=N^5
a1=u1, a2=u2, a3=u3, a4=u4, a5=u5-u1+u22
96194 自适应分析
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则位移函数(929)成为
u=∑5
p=1Hpap (930)
其中,H1,H2,H3,H4仍保持线性单元的形式。同理,可以构造8节点阶谱单
元,阶谱函数H5,H6,H7,H8与8节点等参单元的N5,N6,N7,N8相同。
可见,阶谱单元的形函数即阶谱函数不再满足∑Hi=1,新的节点参数也
不再是节点的函数值。但是,阶谱单元的收敛性质并未改变,因为单元位移模式
没有发生任何变化,只是重新定义了若干节点参数。显然,我们可以构造不同的
阶谱函数,即阶普函数不是唯一的。当然,采用不同的阶谱函数时,节点参数的
定义也将不同。
95 单元的连接
很多复杂结构是由不同类型的构件组合而成的,例如梁与板组合结构、壳
体与实体组合结构等等。进行有限元分析时,需要用不同类型的单元剖分结构。
只要相连接单元的节点重合、节点自由度相同,单元集成就没有问题。但是,不
同类型的单元连接时,节点可能不重合,节点自由度也可能不一致,此时需要特
别处理。
基本要求是保证单元交界面上位移的协调性,关键是正确地建立交界面上
的约束方程。一般把主要承载构件上的单元节点作为主要节点,而把该节点周
围其他构件上的节点作为从属节点。此外,通常假定主从节点之间为刚性连接。
951 梁单元与实体单元
(1)节点不重合
如果梁单元与实体单元的节点不重合(图97),则处理问题的基本思路是
对梁单元的刚度矩阵进行修正,然后参与实体单元刚度集成。
图97 梁单元与实体单元
假设梁发生位移时,14边和23边仍然保持为直线。按几何关系容易确定
梁单元节点位移与1,2,3,4节点线位移之间的关系。例如,设梁单元节点i,j
071 第9章 若干实际考虑
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分别位于矩形单元14边、23边的中点,则
uiviθiujvjθ
烅
烄
烆
烍
烌
烎j
=
1/2 0 0 0 0 0 1/2 00 1/2 0 0 0 0 0 1/21/ti 0 0 0 0 0 -1/ti 00 0 1/2 0 1/2 0 0 00 0 0 1/2 0 1/2 0 00 0 1/tj 0 -1/tj
熿
燀
燄
燅0 0 0
u1v1u2v2u3v3u4v
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
或
ae=Ta′e (931)
其中,ti,tj分别为梁i,j两端的厚度;a′e是梁单元的新节点位移向量;T是转
换矩阵。
如果与ae对应的节点力为Fe,与a′e对应的节点力为F′e,则根据功等效的
原则,有
a′eTF′e=aeTFe
将式(931)代入上式得
a′eTF′e=a′eTTTFe
上式对任何a′e都是成立的,故有
F′e=TTFe (932)
梁单元的原刚度方程为
Keae=Fe (933)
将式(931),(932)代入上式,可得修正后的梁单元刚度方程和单元刚度矩阵
K′ea′e=F′e (934)
K′e=TTKeT (935)
上述单元修正或变换具有普遍意义,关键是建立变换前后单元节点位移间
的关系(931)。
(2)节点重合
当梁单元与实体单元的节点重合时,可通过一种过渡梁单元来实现。这种
梁单元的一端(例如节点1)有6个自由度,而与实体结构相连接的一端(节点2)
17195 单元的连接
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有3个自由度。将一般空间梁单元的3个转角自由度凝聚掉。
设需将节点2的3个转角凝聚掉,可把梁单元刚度方程写成如下分块形式
Fe
F烅烄
烆烍烌
烎0=Kee Ke0K0e K
[ ]00
ae
a烅烄
烆烍烌
烎0(936)
其中
ae= u1 v1 w1 θx1 θy1 θz1 u2 v2 w[ ]2 T
a0= θx2 θy2 θz[ ]2 T
F0= Mx2 My2 Mz[ ]2 T [ ]= 0 0 0
烍烌
烎T
于是有
Fe=Keae (937)
Ke=Kee-Ke0K-100K0e (938)
952 梁单元与板壳单元
实际中梁与板的组合很常见。通常情况下,板只承受横向弯曲,中面不发生
伸缩。如果梁的中性层与板的中面重合,则板中面仍然无伸缩变形;而且因梁单元
图98 板梁组合
和板单元的节点重合,连接时没有什么困难。
在实际结构中,板的加强梁通常只安排在
板的一侧。此时,梁的中性层与板的中面不重
合,梁单元的节点与板单元的节点间有偏心距
e,同时需考虑板中面的伸缩变形,故这样的板
单元相当于壳单元。如果以板为主体,则计算
时需把梁单元原来的节点位移变换到板的节
点位移。
对于考虑面内变形的板单元(图98),节点O的位移为
aO= uO vO wO θxO θy[ ]O T
对于梁单元,节点C的位移为
aC= uC wC θy[ ]C T
假设板梁组合构件变形后,OC仍为直线且垂直于板面,则
θyC=θyO, wC=wO, uC=uO+eθyO (939)
其中,e为OC距离。于是,板、梁节点位移之间有如下关系
271 第9章 若干实际考虑
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uCwCθy
烅烄
烆烍烌
烎C
=1 0 0 0 e0 0 1 0 0熿
燀
燄
燅0 0 0 0 1
uOvOwOθxOθy
烅
烄
烆
烍
烌
烎O
或
aC=λaO (940)
显然,梁单元的两个节点与板单元中的两个节点相对应。以ae表示梁单元
的节点位移向量,以a′e表示板单元中相应节点的位移向量,则
ae=Ta′e (941)
其中变换矩阵为
T=λ 00
[ ]λ
(942)
若变换以前梁单元刚度矩阵为Ke,则变换后的梁单元刚度矩阵为
K′e=TTKeT (943)
并与板单元中的两个节点相对应。
96 初应变和初应力
961 初应变和初应力
初应变指与应力无关而由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起的应变。当
物体内存在初应变ε0时,总应变ε应为同应力相关联的应变ε-ε0与初应变
ε0之和,从而本构方程可写成
σ=D(ε-ε0) (944)
其中的弹性矩阵D见式(27)。
当物体内存在初应力时,总应力应为同应变相关联的应力与初应力之和,即
σ=Dε+σ0 (945)
若初应变和初应力同时存在,则本构方程为
37196 初应变和初应力
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σ=D(ε-ε0)+σ0 (946)
962 等效节点荷载
将虚位移原理应用于整个结构,即外部荷载转换成的整体节点荷载P所做
虚功等于所有单元体的虚应变能之和
∑e∫ΩeδεTσdΩ=δaTP
将式(946)代入上式,并按单元集成后得
Ka=P+Pσ0+Pε0 (947)
其中
K=∑eKe, Pσ0=∑e P
eσ0
, Pε0=∑e Peε0
(948)
Ke=∫ΩeBTDBdΩ (949)
Peσ0=-∫ΩeBTσ0dΩ (950)
Peε0=∫ΩeBTDε0dΩ (951)
而Peσ0,Peε0分别为初应力和初应变引起的单元等效节点荷载向量。
可见,当物体内存在初应变、初应力时,可先将它们转化为等效节点荷载,类
似体力或面力的等效节点荷载那样叠加到整体节点荷载向量之中,然后按没有
初应变或初应力的情况进行分析。
97 复杂结构材料
在有限元分析中,各单元的弹性常数可以不同,各向异性材料的弹性矩阵
也只是比各向同性材料的复杂一些而已。也就是说,材料的非均质性和各向异
性并不会造成任何困难。
在实际工程中,常常遇到层状弹性体,且在层面内是各向同性的。因此除了
各向同性材料以外,人们特别感兴趣的还有横观各向同性材料,这种材料只有5个独立的弹性常数。
971 局部坐标系
图99所示为一层状弹性体。若局部坐标系珋y轴垂直于层面,则本构关系为
471 第9章 若干实际考虑
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珋εx=珋σxE1-ν2珋σyE2-ν1珋σzE1
, 珔γxy=珋τxyG2
珋εy=-ν2珋σxE2+珋σyE2-ν2珋σzE2
, 珔γyz=珋τyzG2
珋εz=-ν1珋σxE1-ν2珋σyE2+珋σzE1
, 珔γzx=珋τzxG
烍
烌
烎1
(952)
图99 层状弹性体
其中E2,ν2,G2是垂直于层面方向的弹性常
数;E1,ν1,G1是层面内的弹性常数,且有
G1=E1
2(1+ν1)
记
n=E1E2
, m=G2E2
(953)
则局部坐标系中的本构方程为
珔σ=珚D珔ε (954)
对于平面应力问题,有
珚D=E2
(1-nν22)
n nν2 0nν2 1 0
0 0 m(1-nν22
熿
燀
燄
燅)(955)
对于平面应变问题,有
珚D=A
n(1-nν22) nν2(1+ν1) 0对 (1-ν21) 0
称 m(1+ν1)(1-ν1-2nν22
熿
燀
燄
燅)
(956)
其中
A=E2
(1+ν1)(1-ν1-2nν22)(957)
972 整体坐标系
设局部坐标系珔x轴与整体坐标系x轴之间的夹角为α,则整体坐标系中的
应力或应变与局部坐标系中的应力或应变具有如下关系
57197 复杂结构材料
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珔σ=TTσ, 珔ε=TTε (958)
其中,T为变换矩阵,即
T=cos2α sin2α -2sinαcosαsin2α cos2α 2sinαcosαsinαcosα -sinαcosα cos2α-sin2
熿
燀
燄
燅α
(959)
将式(958)代入式(954)得
σ=T珚DTTε=Dε
从而可得整体坐标系中的弹性矩阵
D=T珚DTT (960)
98 结 语
采用有限单元法进行结构分析,可能会遇到很多实际问题,本章仅介绍了几
个比较重要的方面。最核心的问题也许是计算的效率与结果的精度,理想的目
标自然是高效地获得满足精度要求的结果。显然,误差的可靠估计以及在此基
础上实施自适应有限元分析具有突出的重要性。
习 题
91 减少问题自由度的措施有哪些?各自的基本概念如何?
92 试写出子结构法的计算步骤。
93 为什么说位移法中应力解的精度低于位移解?如何改善等参单元的应力
结果?如何改善常应变三角形单元的应力结果?
94 在无法获得精确解的条件下,如何进行误差估计?试说明这样做的合理
性。
95 如何构造连接实体单元和壳体单元的过渡单元?在形成其刚度矩阵时应
注意什么问题?
96 什么是阶谱单元?其节点参数和插值函数与通常的单元有何区别?
671 第9章 若干实际考虑
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第10
章
动力分析
有些情况下,结构物可能受强烈地震、机械振动或海浪冲击等动荷载作用而
发生不允许的变形甚至破坏。此时,结构设计必须考虑动荷载效应,进而要求进
行动力学分析。
本章以实体结构动力学问题为例,阐明如何应用有限单元法进行结构动力
分析,内容包括:(1)动力有限元方程及系数矩阵;(2)结构固有特性计算;(3)结
构动力响应计算;(4)解的稳定性。
101 动力有限元方程
1011 有限元方程
(1)一般方程
任何振动系统都具有一定的质量和刚度。质量意味着趋于保持运动继续下
去的惯性,而刚度则是扰动因变形而传播的前提。动荷引起变形,而刚度则通过
产生复原力而起反作用。此外,一般振动系统均为非保守系统,即振动过程中要
伴随能量的损耗,这种损耗表现为系统的阻尼特性(文献82)。
考虑到振动系统中由质量、阻尼和刚度所引起的三种力以及外荷载,将振动
系统离散后,便可得到有限元动力平衡方程组(文献4)
M̈a+Ca+Ka=P (101)
其中,M,C,K 分别为整体质量矩阵,阻尼矩阵和刚度矩阵;̈a,a,a,P分别为
整体节点加速度,速度,位移和动荷载向量。变量上面的符号“·”表示对时间求
导数。
在动力分析中,由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中,因此得到的求解方
程不是代数方程组,而是常微分方程组。
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(2)地震问题
对于地震反应问题,直接作用在结构上的荷载P=0,且阻尼力和弹性恢复
力分别只与相对速度和相对位移(相对于有限元系统的基底而言)有关,而惯性
力则与绝对加速度有关。现仍以ä,a,a分别表示相对加速度、相对速度和相对
位移,̈ag 表示地震牵连加速度(即地面加速度),则式(101)变为
M̈a+Ca+Ka=-M̈ag (102)
其中
äg=
1 0 0 1 0 0 ⋯
0 1 0 0 1 0 ⋯
0 0 1 0 0 1
熿
燀
燄
燅⋯
T ägx(t)
ägy(t)
ägz(t
烅
烄
烆
烍
烌
烎)
(103)
而ägx,̈agy和̈agz分别为地震时在x,y,z方向上的加速度分量。
1012 方程的推导
为简便地推导动力有限元方程式(101),我们可以首先把动力问题化成静
力问题,即将惯性力和阻尼力看作体积力施加在结构物上,这样就可以按照静力
问题的有限元分析推导有关方程。显然,问题的关键在于将惯性力和阻尼力转
化成单元等效节点荷载。
(1)位移、速度、加速度
在动力分析中,首先对空间进行离散,其步骤与静力分析相同。将结构离散
以后,单元位移函数为
u(x,y,z,t)=m
i=1Ni(x,y,z)ui(t)
v(x,y,z,t)=m
i=1Ni(x,y,z)vi(t)
w(x,y,z,t)=m
i=1Ni(x,y,z)wi(t
烍
烌
烎)
或
u=Nae (a)
其中单元节点位移向量为
871 第10章 动力分析
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ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎m
, ai=
ui(t)
vi(t)
wi(t烅烄
烆烍烌
烎)(i=1,2,⋯,m)
形函数矩阵为
N= N1I N2I ⋯ Nm[ ]I
而I为三阶单位矩阵。
显然,单元内部各点的速度和加速度分别可以用单元节点的速度和加速度
表示为
u=Nae (b)
ü=N̈ae (c)
(2)惯性力的等效节点荷载
若材料的质量密度为ρ,则根据D’Alembert原理,单元内单位体积上作用
的惯性力为
fi=-ρ̈u=-ρN̈ae (d)
其中的下标i表示惯性。利用体力等效节点荷载公式(119),可求得惯性力的
等效节点荷载
Pei=∫ΩeNTfidΩ=-∫ΩeρNTNdΩ̈ae (e)
或
Pei=-Mëae (104)
其中,Me为单元质量矩阵,即
Me=∫ΩeρNTNdΩ (105)
(3)阻尼力的等效节点荷载
假设阻尼力正比于运动速度,比例常数为α,则单元内单位体积上作用的阻
尼力可表示为
fd=-αρu=-αρNae (f)
其中的下标d表示阻尼。阻尼力的等效节点荷载为
Ped=∫ΩeNTfddΩ=-∫ΩeαρNTNdΩae (g)
971101 动力有限元方程
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或
Ped=-Ceae (106)
其中,Ce为单元阻尼矩阵,即
Ce=α∫ΩeρNTNdΩ=αMe (107)
(4)动力有限元方程的建立
对作用于单元上的动荷载(体力和面力),可采用式(119)和(120)将其转
化成等效节点荷载,即Pef和Pep。采用直接集成法,可将上述三种单元等效节点
荷载列阵集合成整体节点荷载向量。如果存在直接作用于节点上的集中动荷
载,则可将其直接叠加到相应的节点自由度上。若仍用P表示外部动荷载产生
的整体节点荷载向量,则总的整体节点荷载向量为-M̈a-Ca+P。将虚位移
原理应用于整个结构,便可得到如下方程
Ka=-M̈a-Ca+P (108)
此即动力有限元方程式(101)。
1013 系数矩阵
由上可见,采用有限单元法进行结构动力计算,必须建立结构系统的整体质
量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K。它们均由相应的单元矩阵按照通用的
方法直接集合而成。由于动力问题中K的形式与静力问题完全相同,只是采用
动力本构参数即可,故不再介绍。
(1)质量矩阵
整体质量矩阵M 的元素mij称为质量影响系数,其物理意义是自由度j的
单位加速度在自由度i方向引起的力。在对结构进行离散化处理时,分配单元
质量的常用方法有两种,即一致质量法和集中质量法。
一致质量法按式(105)计算单元质量矩阵。此时,使用了与推导单元刚度
矩阵相同的位移函数,故称其为一致质量矩阵。又因为单元的动能和势能是相
互协调的,故也称为协调质量矩阵。采用一致质量法求出的整体质量矩阵是与
整体刚度矩阵相仿的带状对称方阵。对于平面问题常应变三角形单元,一致质
量矩阵为
Me=∫ΩeρNTNdΩ=ρtAe
IN1N1 IN1N2 IN1N3IN2N1 IN2N2 IN2N3IN3N1 IN3N2 IN3N
熿
燀
燄
燅3
dxdy
081 第10章 动力分析
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=ρtA3
05 0 025 0 025 005 0 025 0 025
05 0 025 0对 05 0 025
称 05 0
熿
燀
燄
燅05
(109)
其中,A是三角形面积。
集中质量法简单地将单元的质量集中分配于单元的节点,形成集中质量矩
阵。每个节点所分配到的质量视该节点所管辖的范围而定。通常假定质量集中
在点上,一般不考虑转动惯量,所以与转动自由度相关的质量系数为零。此外,
任一节点的加速度仅在这一点上产生惯性力,对其他点没有作用,即质量矩阵中
的非对角线元素为零。因此,集中质量矩阵是对角矩阵,其对角线上与转动自由
度对应的元素为零。
关于质量矩阵的对角化,目前还没有理论可循。最常用的方法是对一致质
量矩阵的行求和,即
mDii=jmCij=
j∫ΩeρNTNdΩ=∫ΩeρNi j N( )jdΩ=∫ΩeρNidΩ
其中,mDii是集中质量矩阵的对角元素;mCij是一致质量矩阵的元素。对于平面问
题常应变三角形单元,集中质量矩阵为
Me=ρtA3
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0
熿
燀
燄
燅0 0 0 0 0 1
(1010)
集中质量矩阵是对角线矩阵,形式简单、计算方便。困难是对于高次单元如
何将单元的质量分配到各个节点上。分配方法可能有多种,不易把握。一致质
量矩阵是非对角线的,所以采用这种方法计算时,工作量要比采用集中质量法大
得多。研究表明,采用一致质量矩阵将高估系统的最高自振频率;而采用集中质
量矩阵则以同样量级低估最高自振频率。因此,有学者建议在实际应用中采用
混合质量矩阵,即这两种矩阵的平均值。
(2)阻尼矩阵
动力学方程中的阻尼项代表系统在运动中所耗散的能量。产生阻尼的原因
是多方面的,例如滑动摩擦、空气阻力、材料内摩擦等。完全考虑这些因素来确
181101 动力有限元方程
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定阻尼力是不可能的,通常是用等效黏滞阻尼来代替,即认为固体材料的阻尼与
黏滞流体中的黏滞阻尼相似,阻尼力与运动速度或应变速度呈线性关系。所谓
等效是指假定的黏滞阻尼在振动一周所产生的能量耗散与实际阻尼相同。
若假设阻尼力正比于运动速度,则单元阻尼矩阵按式(107)计算。此时的
单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵。如果假定阻尼应力正比于应变速度(由于
材料内摩擦引起的结构阻尼通常可以简化为这种情况),则可表示为
σC=βDε
于是,根据初应力的等效节点荷载公式(950),可以得到单元阻尼矩阵
Ce=β∫ΩeBTDBdΩ=βKe (1011)
可见,此单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵。
求出单元阻尼矩阵后,采用直接集成方法可得到整体阻尼矩阵。但是,阻尼
系数一般依赖于频率,而且事先并不知道。可见,要精确地确定阻尼矩阵相当困
难。通常将实际结构的阻尼矩阵简化为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合,即采
用Rayleigh阻尼
C=αM+βK (1012)
其中,α,β为不依赖于频率的常数,可以通过试验来确定。
102 结构固有特性
计算结构的固有频率和固有振型称为特征值问题。它是结构动力分析的基
本内容,而且也是采用振型叠加法计算结构动力响应的前提。
1021 广义特征值问题
在式(101)中令P=0,得到自由振动方程。在实际工程中,阻尼对结构自
振频率和振型的影响不大,因此可忽略阻尼力,从而得到无阻尼自由振动的运动
方程
M̈a+Ka=0 (1013)
式(1013)为常系数线性齐次常微分方程组,其解的形式为
a=cosωt (1014)
将其代入式(1013),可得齐次方程
281 第10章 动力分析
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(K-ω2M)=0 (1015)
在自由振动时,因结构中各节点的振幅不全为零,故其系数行列式必为零,
即
K-ω2M =0 (1016)
求解方程组(1015)的问题称为广义特征值问题。结构的刚度矩阵K 和质
量矩阵M 都 是n 阶 方 阵,其 中n 是 结 构 的 节 点 自 由 度 的 数 目。可 见,式
(1016)是关于ω2的n次代数方程,称为式(1013)的特征方程,其解ω2i(i=1,2,⋯,n)称为特征值。对应于每个特征值ω2i,由式(1015)可确定一组相应
的振幅值i(i=1,2,⋯,n),称为特征向量,在工程上通常称为结构的振型。
1022 特征值和特征向量
在结构有限元分析中,刚度矩阵和质量矩阵都是实对称矩阵。消除刚体位
移后的刚度矩阵是正定的;采用一致质量矩阵时,质量矩阵是正定的。数学上可
以证明,当质量矩阵为对称正定、刚度矩阵为对称正定或半正定时,所有特征值
为非负的实数,特征向量也是实向量。因此,对于广义特征值问题,可将其n个
实的特征值顺次排列为
0≤ω21≤ω22≤⋯≤ω2n-1≤ω2n (1017)
其中,ωi称为结构的第i阶固有频率,对应的特征向量i称为第i阶固有振型。
它们满足方程
Ki=ω2iMi (i=1,2,⋯,n) (1018)
显然,如果i是广义特征值问题的特征向量,乘以不等于零的常数后仍为
特征向量。为了确定起见,通常使特征向量满足
TiMi=1 (i=1,2,⋯,n) (1019)
这样规定的特征向量或振型称为正则振型。
将特征解(ω2i,i)和(ω2j,j)分别代回方程(1015)得到
Ki=ω2iMi (1020)
Kj=ω2jMj (1021)
式(1020)两端前乘以Tj,式(1021)两端前乘以Ti,并注意到K 和M 的对称
性,可以得到
(ω2i-ω2j)TjMi=0
381102 结构固有特性
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可见,当ωi≠ωj时,必有
TjMi=0 (1022)
上式表明特征向量关于矩阵M 是正交的。式(1019)和(1022)结合在一起可
表示为
TiMj=δij=1 i=j0 i≠{ j
(1023)
由式(1018)、式(1023),可得
TiKj=δijω2i=ω2i i=j0 i≠烅烄
烆 j(1024)
如果定义特征矩阵
Φ= 1 2 ⋯ [ ]n (1025)
则特征解的性质可表示成
ΦTMΦ=IΦTKΦ=Ω
烍烌烎2
(1026)
其中
Ω2=
ω21 0
ω22
0 ω2
熿
燀
燄
燅n
(1027)
求解特征值问题的现成方法很多,例如逆迭代法、子空间迭代法和Lanczos向量法等。由于特征值问题在数值计算中已做了详细介绍,这里就不再赘述。
103 结构动力响应
动力有限元方程组的解法主要有两类,即振型迭加法和直接积分法。关于
直接积分法,我们将着重研究不同数值积分方案的特点和步骤,并适当讨论解的
稳定性问题。
1031 振型迭加法
一般情况下,方程组(101)是耦合的。振型迭加法的基本思想是先将方程
481 第10章 动力分析
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组非耦合化,然后再积分求解非耦合方程组。M 和K 是振型正交的,而且在采
用系统比例阻尼假设下,C将也是振型正交的。所以借助振型向量所构成的位
移变换矩阵,便可实现方程组的非耦合化。
在求出结构无阻尼自由振动的频率和振型以后,可用振型的线性组合来表
示结构的节点位移
a=1x1(t)+2x2(t)+⋯+nxn(t)
= 1 2 ⋯ [ ]nx=Φx (1028)
其中,xi(t)是时间的函数,这样便有
a=Φx, ä=Φ̈x (1029)
代入方程式(101),并各项前乘ΦT,得
ΦTMΦ̈x+ΦTCΦx+ΦTKΦx=ΦTP (1030)
注意到式(1026),并设阻尼矩阵为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合,即
C=αM+βK (1031)
于是
ΦTCΦ=
2ω1λ1 0 ⋯ 00 2ω2λ2 ⋯ 0… … … …
0 0 ⋯ 2ωnλ
熿
燀
燄
燅n
(1032)
其中
2ωiλi=α+βωi (1033)
显然,如果已知结构的两个频率ωi,ωj以及相应的阻尼比λi,λj,则阻尼常数为
α=2(λiωj-λjωi)
(ωj+ωi)(ωj-ωi)ωiωj, β=
2(λiωj-λjωi)(ωj+ωi)(ωj-ωi)
将式(1026),(1032)代入式(1030),可得一组相互独立的微分方程
d2x1dt2 +2ω1λ1
dx1dt+ω
21x1=T1P=r1(t)
d2x2dt2 +2ω2λ2
dx2dt+ω
22x2=T2P=r2(t)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
d2xndt2 +2ωnλn
dxndt+ω
2nxn=TnP=rn(t
烍
烌
烎)
(1034)
581103 结构动力响应
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由于高阶振型对结构动力响应的贡献一般都很小,通常只计算最低的3到
5个振型即可。振型叠加法的缺点是必须求解特征值问题。另外,由于该法应
用了叠加原理,故只适用于线性问题。
单自由度微分方程(1034)可用后面将要介绍的直接积分法计算,但通常采
用Duhamel积分,其基本思想是:将激振力ri(t)分解为一系列微冲量的连续作
用,分别求出每个微冲量的响应,然后将所有微冲量的响应叠加起来。
xi(t)= 1ωi∫t
0ri(τ)e-λiωi(t-τ)sinωi(t-τ)dτ+e-λiωit(aisinωit+bicosωit)
(1035)
其中,ωi=ωi 1-λ2槡 i;常数ai,bi由初始条件确定。
1032 直接积分法
直接积分法是指直接对方程(101)进行逐步积分,而不进行任何形式的变
换。求解的基本思路基于如下两个概念:(1)将在求解时域0<t<T内任何时
刻都应满足运动方程的要求,代之以仅在相隔Δt的离散时间点上满足运动方
程;(2)在某时域内假定运动状态变量的时变规律或采用某种差分格式就时间变
量t离散方程组。在此基础上,可以建立由t时刻运动状态̈at,at,at计算t+Δt时刻运动状态ät+Δt,at+Δt,at+Δt的公式。
假设的时变规律或采用的差分格式不同,对t的离散方法就不同,从而也就
得到不同的数值积分方法。目前主要有中心差分法、线性加速度法、Newmark法和Wilson法。在以下讨论中,假定求解域被等分为n个时段(Δt=T/n),且
在0,Δt,2Δt,⋯,t时刻的解已经求得,计算的任务是求t+Δt时刻的解。
(1)中心差分法
在中心差分法中,加速度和速度可以用位移表示为(文献88)
ät=1Δt2
(at-Δt-2at+at+Δt) (a)
at=12Δt
(at+Δt-at-Δt) (b)
为了求得t+Δt时刻的位移解答at+Δt,可在t时刻建立运动方程,即
M̈at+Cat+Kat=Pt (1036)
将式(a)和(b)代入上式,得到
珡Kat+Δt=珚Pt+Δt (1037)
其中,珡K 称为有效刚度矩阵;珚Pt+Δt称为有效节点荷载,它们的表达式分别为
681 第10章 动力分析
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珡K= 1Δt2M+
12ΔtC
(1038)
珚Pt+Δt=Pt- K- 2Δt2( )M at- 1
Δt2M-12Δt( )Cat-Δt (1039)
当t=0时,为了计算aΔt,除了初始条件已知的a0外,还需要知道a-Δt。
为此,利用式(a)和(b)可以得到
a-Δt=a0-Δta0+Δt22ä0
(1040)
式(1037)是用相邻时刻的位移表示的代数方程组,由此可解出at+Δt。因
at+Δt是利用t时刻的运动方程得到的,K 不出现在有效刚度矩阵K中,因此中
心差分法被称为显式积分法。这种方法的优点是计算简单,缺点则在于它是有
条件稳定的,即当时间步长Δt过大时,积分是不稳定的(见104节)。
(2)线性加速度法
假定在时段[t,t+Δt]内加速度呈线性变化,即
ät+τ=̈at+τΔt
(̈at+Δt-̈at) (a)
于是,t+τ时刻的速度和位移可积分求得
at+τ=at+∫τ
0ät+τdτ
at+τ=at+∫τ
0at+τdτ
将式(a)代入以上二式,并令τ=Δt,得到
at+Δt=at+Δt2ät+
Δt2ät+Δt
(b)
at+Δt=at+Δtat+Δt23ät+
Δt26ät+Δt
(c)
由式(c)得到
ät+Δt=6Δt2
(at+Δt-at)-6Δtat-2̈at (d)
将式(d)代入式(b)得到
at+Δt=3Δtat+Δt-
3Δtat-2
at-Δt2ät
(e)
t+Δt时刻的位移解答at+Δt可通过满足t+Δt时刻的动力学方程
781103 结构动力响应
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M̈at+Δt+Cat+Δt+Kat+Δt=Pt+Δt (1041)
得到。将式(d)和(e)代入式(1041),得到由at,at,̈at计算at+Δt的公式
珡Kat+Δt=珚Pt+Δt (1042)
其中,珡K,珚Pt+Δt分别为
珡K=K+ 6Δt2M+
3ΔtC
(1043)
珚Pt+Δt=Pt+Δt+M6Δt2at+
6Δtat+2̈a( )t (1044)
在线性加速度法中,at+Δt是利用t+Δt时刻的运动方程得到的,K 出现在
有效刚度矩阵珡K 中,因此称为隐式积分法。可以证明,线性加速度法也是有条
件稳定的,故其应用受到了限制。下面将要介绍的Newmark法和 Wilson法都
是无条件稳定的,它们都可以看作线性加速度法的推广。
(3)Newmark法
Newmark(1959)假设
at+Δt=at+(1-γ)̈atΔt+γ̈at+ΔtΔt (a)
at+Δt=at+atΔt+(1/2-β)̈atΔt2+β̈at+ΔtΔt2 (b)
其中,γ和β是按积分精度和稳定性要求而决定的参数。当γ=1/2和β=1/6时,式(a)和(b)相应于线性加速度法。
在Newmark法中,t+Δt时刻的位移解答at+Δt也是通过满足t+Δt时刻
的运动方程
M̈at+Δt+Cat+Δt+Kat+Δt=Pt+Δt (1045)
而得到的。首先从式(b)中解得
ät+Δt=1βΔt2
(at+Δt-at)- 1βΔtat-
12β( )-1ät
代入式(a),然后再一并代入式(1045),从而得到由at,at,̈at计算at+Δt的公式
珡Kat+Δt=珚Pt+Δt (1046)
其中,珡K,珚Pt+Δt分别为
珡K=K+ 1βΔt2
M+γβΔtC (1047)
珚Pt+Δt=Pt+Δt+M1βΔt2
at+1βΔtat+
12β( )-1 ä[ ]t
881 第10章 动力分析
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+C γβΔtat+
γβ( )-1at+
γ2β( )-1Δẗa[ ]t (1048)
(4)Wilson法
Wilson法假定加速度ä在[t,t+θΔt]内呈线性变化,这里θ是≥10的参
数。以τ表示时间增量,0≤τ≤θΔt,则在[t,t+θΔt]内有
ät+τ=̈at+τθΔt
(̈at+θΔt-̈at) (a)
积分上式可得
at+τ=at+τ̈at+τ22θΔt
(̈at+θΔt-̈at) (b)
at+τ=at+τat+τ22ät+
τ36θΔt
(̈at+θΔt-̈at) (c)
在式(b)和(c)中令τ=θΔt,得
at+θΔt=at+θΔt2
(̈at+θΔt+̈at) (d)
at+θΔt=at+θΔtat+θ2Δt26
(̈at+θΔt+2̈at) (e)
由此可得到用at+θΔt表示的̈at+θΔt和at+θΔt
ät+θΔt=6
θ2Δt2(at+θΔt-at)- 6θΔt
at-2̈at (f)
at+θΔt=3θΔt
(at+θΔt-at)-2at-θΔt2 ät
(g)
t+θΔt时刻的动力学方程为
M̈at+θΔt+Cat+θΔt+Kat+θΔt=Pt+θΔt (1049)
将式(f)和(g)代入上式,得到
珡Kat+θΔt=珚Pt+θΔt (1050)
其中,珡K,珚Pt+θΔt分别为
珡K=K+ 6θ2Δt2M+
3θΔtC
(1051)
珚Pt+θΔt=Pt+θΔt+M6
θ2Δt2at+6θΔtat+2̈a[ ]t +C 3
θΔtat+2at+
θΔt2 ä( )t
(1052)
由式(1050)解出位移at+θΔt,由式(f)确定ät+θΔt。在式(a),(b),(c)中令
981103 结构动力响应
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τ=Δt,可得
ät+Δt= 1-1( )θ ät+1θät+θΔt
at+Δt=at+Δẗat+Δt2θ
(̈at+θΔt-̈at)
at+Δt=at+Δtat+Δt22ät+
Δt26θ
(̈at+θΔt-̈at
烍
烌
烎)
(1053)
由此式计算t+Δt时刻的加速度̈at+Δt,速度at+Δt和位移at+Δt。
104 解的稳定性
1041 基本概念
在选择时间步长Δt时,必须考虑两个因素,即解的稳定性和精度。如果在
任何时间步长Δt下,对于任何初始条件,方程的解不无限制地增长,则称此算
法是无条件稳定的;如果Δt必须小于某个临界值Δtcr时上述性质才能保持,则
称此算法是有条件稳定的。
运动方程解耦后,其性质不变,因此可以方便地用非耦合微分方程讨论解的
稳定性。由于各振型的运动是相互独立的,方程是相似的,故只须从中取出典型
振型的运动方程来分析即可
ẍi+2ωiλixi+ω2ixi=ri (1054)
解的稳定性实质上是误差的响应问题,因此可令上式的ri=0。由于阻尼对解
的稳定性是有利的,故可令阻尼项为零。为简洁起见,推导过程中略去下标i。
于是,可用下式讨论解的稳定性
ẍ+ω2x=0 (1055)
1042 稳定性条件
为保证解的稳定性,对于中心差分法,必须满足
Δt≤Δtcr=Tnπ
(1056)
其中,Δtcr为临界时间步长;Tn 为系统的最小固有周期。
对于Newmark法,如果
091 第10章 动力分析
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γ≥12, β≥
1412+( )γ
2(1057)
则无条件稳定,一般取γ=05,β=025即可;如果不满足上述条件,要得到稳
定的解,时间步长必须满足
Δt<Δtcr (1058)
其中临界时间步长根据下式确定
Δtcr=Tnπ
1(1/2+γ)2-4槡 β
(1059)
对于Wilson法,为保证积分无条件稳定,需θ≥137。通常采用θ=140可得到较好的结果。
1043 条件的推导
(1)特征方程
现以中心差分法为例,说明稳定性条件的推导过程。在t时刻,式(1055)为
ẍt+ω2xt=0 (1060)
采用中心差分法对式(1060)进行积分,其差分格式为
ẍt=1Δt2
(xt-Δt-2xt+xt+Δt)
将上式代入式(1060)可得
xt+Δt=-(Δt2ω2-2)xt-xt-Δt (1061)
假定解的形式为
xt+Δt=λxt, xt=λxt-Δt (1062)
将其代入式(1061),得特征方程
λ2+(p-2)λ+1=0 (1063)
其中,p=Δt2ω2。方程(1063)的根为
λ1,2=2-p± (p-2)2槡 -4
2(1064)
(2)解的性质
λ关系到解的性质。首先为使在小阻尼情况下的解具有震荡特性,λ必须是
191104 解的稳定性
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复数,即要求
(p-2)2-4<0
亦即p<4。由于p=Δt2ω2,并注意到ω=2π/T,故有
Δt<Tπ(1065)
其次,为使解不会无限地增长,还要求|λ|≤1。根据式(1064),|λ1|=|λ2|=1,故上述要求自动满足。
前面已经说明,直接积分法相当于采用同样的时间步长对所有n个振型的
单自由度方程同时进行积分。因此,中心差分法的时间步长由系统的最小自振
周期所决定。为保证解的稳定性,根据式(1065),必须满足式(1056)。
1044 简单讨论
采用直接积分法时,高阶振型的动力响应是被自动积分的。也就是说,运动
方程(101)的 直 接 积 分 等 价 于 用 一 个 统 一 的 时 间 步 长Δt去 积 分 方 程 组
(1034)的每个方程。如果采用的算法是有条件稳定的,那么为了保证解的稳定
性,时间步长必须小于临界时间步长Δtcr。根据前面的分析,Δtcr取决于系统的
最小自振周期Tn。在有限单元法中,由Tn 决定的临界时间步长是非常小的时
段。
然而,在结构动力反应中,高频分量的贡献是很小的,只要考虑结构的低频
部分即可,从而可采用较大的时间步长。如果算法是无条件稳定的,那就意味着
当采用较大的Δt时,不会因高阶振型的误差使低阶振型的解失去意义,因此无
条件稳定的算法显示出优越性。
105 结 语
进行动力分析时,结构的离散、位移函数的选择、荷载的移置等与静力问题
完全相似,但也有其特殊性。例如在进行动力响应分析时,一般应选择较为均匀
的网格布局。这是因为结构的固有频率和振型只与质量分布和刚度分布有关,
不存在类似应力集中问题;均布网格使结构刚度矩阵、质量矩阵中各元素的大小
相差不大,可以减少数值计算误差。
习 题
101 试推导动力问题的弱形式(即虚位移原理)和势能变分原理,并根据它们
建立动力有限元方程组(提示:动力平衡微分方程为σij,j+fi=ρ̈ui):
291 第10章 动力分析
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M̈a+Ka=P
102 说明振型叠加法的基本思路,并根据动力有限元方程组推导振型叠加法
的非耦合微分方程组。
103 各种直接积分法的基本假设是什么?
104 什么是解的稳定性?什么是无条件稳定?什么是有条件稳定?
391习 题
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第11
章
多场问题
从本质上讲,有限单元法是一种求解微分方程的方法,因此适用于任何已经
建立起微分方程的物理或工程问题。对于那些不同于结构分析的问题,推导有
限元公式仍然基于弱形式或变分原理;而弱形式或变分原理的建立同样基于微
分方程的等效积分形式。作为例子,本章将介绍热传导与变温应力、流体与结构
相互作用问题的有限元分析方法。
111 热传导与变温应力
结构在变温条件下运行,可能会因温度变化产生显著的应力。此时进行结
构设计必须考虑变温应力;而要计算变温应力,首先需要确定温度场。这就是热
传导与变温应力问题,其中温度场的改变影响应力场,而应力场对温度场的影响
则可以忽略不计。
1111 基本方程
(1)热传导方程
在固体热传导问题中,通常可假定热流密度与温度梯度成正比,即
qx=-λxTx
, qy=-λyTy
, qz=-λzTz
(111)
其中,qx,qy,qz分别为x,y,z方向的热流密度,即单位时间内通过单位面积所
流过的热量;λx,λy,λz分别为x,y,z方向的导热系数。由于热量是从高温处向
低温处流动,故上式取负号。
从固体中取微元体进行分析,根据热平衡原理可以得到热传导方程
x λx
T( )x + yλy
T( )y + zλz
T( )z +qv=cρ
Tt
(112)
其中,c为比热;ρ为材料质量密度;qv为内部热源,即在单位时间内单位体积放
出的热量。
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(2)边界条件
热传导问题可能遇到三类边界条件。在第一类边界Γ1上已知温度,即
T|Γ1=T(x,y,z,t) (113)
在第二类边界Γ2上已知热流密度q,即
λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn Γ2
=-q(x,y,z,t) (114)
对于热流各向同性介质,上式成为
λTn Γ2=-q(x,y,z,t) (115)
热流方向是边界外法线方向,亦即热流量从物体向外流出时q为正。
第二类边界上的热流密度是人工供给的,而在第三类边界Γ3上,固体与
流体因温度差而发生热对流。此时,通过固体表面的热流密度与温度差成正
比
λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn Γ3
=-β(T-Tc) (116)
其中,β为换热系数;T为固体表面温度;Tc为流体温度。
(3)初始条件
在稳态热传导中,温度将不随时间变化,此时的温度场称为稳态温度场,这
种问题不需要初始条件。当需要考虑一个系统的加热或冷却过程时,我们将面
对瞬态热传导问题,需求解瞬态温度场,初始条件可表示为
T t=0=T0(x,y,z) (117)
1112 变分原理
现在推导稳态热传导的变分原理。将第一类边界条件作为强制边界条件,
取温度变分δT为任意函数,则该问题的等效积分形式为
-∫Ω x λx
T( )x + yλy
T( )y + zλz
T( )z +q[ ]vδTdΩ
+∫Γ2 λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn+( )qδTdΓ
+∫Γ3 λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn+β
(T-Tc[ ])δTdΓ=0
591111 热传导与变温应力
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即
-3
i=1∫Ω(λiT,i),iδTdΩ+3
i=1∫Γ2λiT,iniδTdΓ+3
i=1∫Γ3λiT,iniδTdΓ
-∫ΩqvδTdΩ+∫Γ2qδTdΓ+∫Γ3β(T-Tc)δTdΓ=0 (a)
上式中的指标i出现三次,按求和约定需要加求和号。考虑上式中的第一项积
分
3
i=1∫Ω(λiT,i),iδTdΩ=3
i=1∫Ω(λiT,iδT),idΩ-3
i=1∫ΩλiT,iδT,idΩ (b)
根据散度定理,并注意到边界Γ1上的温度变分为零,上式右边第一项可化为面
积积分
3
i=1∫Ω(λiT,iδT),idΩ=3
i=1∫ΓλiT,iniδTdΓ
=3
i=1∫Γ2λiT,iniδTdΓ+3
i=1∫Γ3λiT,iniδTdΓ (c)
将式(c)代入式(b),再代入式(a)得
3
i=1∫ΩλiT,iδT,idΩ-∫ΩqvδTdΩ+∫Γ2qδTdΓ+∫Γ3β(T-Tc)δTdΓ=0
(118)
这就是热传导问题的弱形式。上式中的第一项为
3
i=1∫ΩλiT,iδT,idΩ=δ∫Ω12λi(T,i)2dΩ (d)
于是,式(118)可写成
δ∫Ω 12λi(T,i)2-qv[ ]T dΩ+∫Γ2qTdΓ+∫Γ3β
12T
2-Tc( )T d{ }Γ =0
即
δΠ=0 (119)
这就是热传导变分原理,而泛函Π为
Π(T)=∫Ω 12 λx T( )x2+λy
T( )y
2+λz
T( )z[ ]
2-qv{ }T dΩ
+∫Γ2qTdΓ+∫Γ3β(T2/2-TcT)dΓ (1110)
691 第11章 多场问题
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1113 离散方程
(1)稳态温度场
将结构离散后,总体泛函等于所有单元的泛函之和,即
Π(T)=eΠe
单元泛函为
Πe=∫Ωe 12 λx T( )x2+λy
T( )y
2+λz
T( )z[ ]
2-qv{ }T dΩ
+∫Γe2qTdΓ+∫Γe3β(T2/2-TcT)dΓ
单元内温度可用形函数表示为
T= N1 ⋯ N[ ]m
T1…
T烅烄
烆烍烌
烎m=NTe (1111)
其中,m为单元的节点数;Te为单元节点温度向量。根据变分原理
δΠ=eδTeTΠ
e
Te =0(1112)
其中
ΠeTe=
ΠeT1
ΠeT2
⋯ ΠeT[ ]
m
T=KeTTe-PeT (1113)
PeT =∫ΩeqvNTdΩ-∫Γe2qNTdΓ+∫Γe3βTcN
TdΓ (1114)
KeT =Ke1+Ke2 (1115)
这里,PeT 相当于等效节点荷载向量,KeT 相当于结构计算中的单元刚度矩阵。
其中Ke1的元素为
kij=∫Ωe λxNixNjx +λyNiyNjy +λz
NizNj[ ]z dΩ (1116)
而Ke2与下述项有关
Ti∫Γe3
βT22dΓ=∫Γe3βT
TTidΓ=∫Γe3βNiNT
edΓ
791111 热传导与变温应力
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或
Te∫Γe3
βT22dΓ=∫Γe3βN
TNTedΓ=Ke2Te
其中
Ke2=∫Γe3βNTNdΓ (1117)
将式(1113)代入式(1112)并进行单元集成,可得
δΠ=e
(δTeTKeTTe-δTeTPeT)=δTT(KTT-PT)=0
注意到变分δT的任意性,有
KTT=PT (1118)
其中,T为整体节点温度向量(相当于结构计算中的整体节点位移向量);KT(相
当于整体刚度矩阵)和PT(相当于整体节点荷载向量)分别由单元的KeT 和PeT集合而成,集成方式与刚度矩阵及荷载向量的集成方式完全相同。
(2)瞬态温度场
求解瞬态温度场时,要求在空间域内用有限单元法,而在时间域内用有限差
分法。从初始温度场开始,每隔一个时间步长求解下一时刻的温度场。
假定时间变量t暂时固定,即先考虑在一具体时刻(Tt
仅是位置坐标的函
数)下对泛函的变分,然后再考虑t的变化而把Tt
离散化。这样,瞬态温度场问
题的泛函为
Π=∫Ω 12 λx T( )x2+λy
T( )y
2+λz
T( )z[ ]
2-qvT+ρc
Tt{ }T dΩ
+∫Γ2qTdΓ+∫Γ3β12T
2-Tc( )T dΓ (1119)
类似前面的方法,空间离散化后得到
KTT+MT·
=PT (1120)
与方程(1118)相比,上式左边多出了第二项,其余相同。这里的 M 为瞬态变
温矩阵,其计算公式为
M =eMe (1121)
Me=∫ΩeNTρcNdΩ (1122)
891 第11章 多场问题
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式(1120)为以时间为变量的常微分方程组。对时间的离散可以采用多种
差分格式(文献38)。例如
αT·
t+(1-α)T·
t-Δt=1Δt
(Tt-Tt-Δt) (1123)
其中,0≤α≤1,而α=0时为向前差分格式;α=1时为向后差分格式;α=1/2时
为Crank?Nicolson差分格式。计算表明,Crank?Nicolson格式精度较高且无条件
稳定,故得到较为广泛的应用。此时
12
(T·
t+T·
t-Δt)=1Δt(Tt-Tt-Δt) (1124)
在t时刻满足方程(1120),即
KTTt+MT·
t=PTt (a)
从式(1124)中解出T·
t后代入上式得
(KT+2M/Δt)Tt=PTt+(2M/Δt)Tt-Δt+MT·
t-Δt (b)
为了消去上式中的MT·
t-Δt,可在t-Δt时刻满足方程(1120)
KTTt-Δt+MT·
t-Δt=PTt-Δt (c)
从中解出MT·
t-Δt,代入式(b)得
(KT+2M/Δt)Tt=PTt+PTt-Δt+(2M/Δt-KT)Tt-Δt (1125)
其中,Tt-Δt为初始时刻或前一时刻的节点温度向量。由此可解得任意时刻t的
节点温度向量。
1114 变温应力
变温应力计算属于初应变问题。变温T 引起的初应变就是没有任何约束
时由自由膨胀或收缩产生的应变,这种应变与应力无关。对于各向同性弹性介
质,温度变化不引起剪应变。例如,对于空间问题,初应变为
ε0= αT αT αT[ ]0 0 0 T
其中,α为线膨胀系数。
实际结构物总是受到约束,因此变温将引起弹性体内的变温应力。为计算
变温引起的位移和应力,只要将变温造成的初应变转化成等效节点荷载,再进行
通常的有限元计算即可;而初应变引起的单元等效节点荷载向量则按式(951)
计算,即
991111 热传导与变温应力
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Peε0=∫ΩeBTDε0dΩ (1126)
112 流体与结构相互作用
当流体与结构共同构成的体系受到动荷载(例如地震)作用时,流体与固体
之间发生相互作用,即固体在流体作用下产生变形或运动,而这变形和运动又反
过来影响流体的运动。这就是流体与固体的耦合问题,其中流体域或固体域均
无法单独求解。
1121 基本方程
(1)控制方程
我们这里研究的重点在结构,故可对流体做出适当的简化。首先,假设流体
小幅度运动,从而在分析中可以忽略高阶小量。取微元体,考虑质量守恒,不难
得出连续方程
ρvxx +
vyy+
vz( )z =-
ρt
或
ρvi,i=-ρ (a)
其中,ρ为流体的质量密度;vi为流体速度分量。
其次,假设流体无黏性,因而微元体上无黏性力作用。考虑微元体的动态平
衡,可得运动方程
ρvi=-p,i (b)
流体密度的相对变化取决于压力的变化,故状态方程(也即本构方程)可写
为
dρ=ρdpK
或 ρ=ρKp (c)
其中,K为流体的体积模量。
在流体动力学分析中,以压力为基本场变量比较简单。从上述控制方程中
消去速度,可得
p,ii-c-2̈p=0 (1127a)
即
002 第11章 多场问题
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2px2
+2py2
+2pz2
-1c22pt2
=0 (1127b)
这就是小幅度流体波动方程。其中c= K/槡 ρ为声波速度。
(2)边界条件
流体边界条件有三种。第一种是已知压力的边界Γp,边界条件为
p=珔p 在Γp 上 (1128)
其中,珔p为Γp 上给定的动水压力,在自由面边界上可简单地假设压力为零。
第二种边界为流固交界处的接触边界Γu,该处的法向速度应保持连续,即
vnf=vf·nf=vs·nf=-vs·ns=-un (d)
其中,vf,vs分别为交界面处流体和固体的速度;nf,ns分别为交界处流体表面和固
图111 流固耦合
体表面的单位外法向矢量,显然nf=-ns(图111);un 为交界处结构表面位移的
法向分量。式(d)对时间求导得
vnf=-ün
根据运动方程(b),有
ρvnf=-p,n
从上述两式不难得到
p,n=ρ̈un 或 pn=ρ
2unt2
在Γu 上 (1129)
第三种边界是刚性固定边界Γb,它可视为第二种边界的特例,即法向位移
为零时的特例,此时p,n=0。
1122 离散方程
(1)流体平衡
将第一种边界条件作为强制边界条件,任意函数取压力的变分δp,则类似
热传导问题,不难推导出流体运动的变分原理
δΠ=0
泛函Π为
102112 流体与结构相互作用
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Π=∫Ω 12p( )x
2
+p( )y
2
+p( )z[ ]
2
+1c22pt2{ }p dΩ-∫Γuρ
2unt2pdΓ
(1130)
流体离散以后,总体泛函等于所有单元的泛函之和,即Π=eΠe,而单元
泛函为
Πe=∫Ωe 12p( )x
2
+p( )y
2
+p( )z[ ]
2
+1c22pt2{ }p dΩ-∫Γeuρ
2unt2pdΓ
(1131)
单元内压力场函数可表示为
p= N1 ⋯ N[ ]m
p1…
p烅烄
烆烍烌
烎m=Npe (1132)
其中,m 为单元的节点数;pe为单元节点压力向量。
Πepe
=Heppe-Pep (1133)
Hep 的元素和Pep 的表达式分别为
hij=∫Ωe NixNjx +NiyNjy +
NizNj[ ]z dΩ (1134)
Pep=-∫ΩeNT1c22pt2dΩ+∫Γe2ρN
T2unt2dΓ=-G
ëpe+Sëae (1135)
其中
Ge=∫ΩeNTc-2NdΩ, Se=∫ΓeuρNT珚NdΓ (1136)
而珚N 为流体与固体交界处固体边界位移法向分量un 的插值函数,即
un=珚Nae (1137)
进行单元集成得
Hp+G̈p-S̈a=0 (1138)
其中
H =eHe, G=
eGe, S=
ni
i=1∫ΓeuρNT珚NdΓ (1139)
202 第11章 多场问题
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其中,ni为流固交界处结构边界上的单元数。
(2)固体平衡
除需要考虑流固接触边界力以外,结构的控制方程及边界条件与通常情况
没有什么不同。因此,结构离散后的动力方程可表示为
M̈a+Ca+Ka=P+Pp (1140)
其中,Pp 是流固接触边界上流体压力的等效节点荷载。显然,作用在结构表面
上的流体压力为-pns。设接触边界处的单元发生虚位移δu,则根据虚功等效
原则,该单元上流体压力的等效节点荷载Pep 满足下述方程
δaeTPep=-∫Γeupns·δudΓ=-∫ΓeupδundΓ=-δaeT∫Γeu珚N
TpdΓ
从而
Pp=-ni
i=1∫Γeu珚NTpdΓ=-STp/ρ (1141)
于是,有联立方程
Hp+G̈p-S̈a=0 (1142)
M̈a+Ca+Ka+STp/ρ=P (1143)
可求解流体压力、固体位移、速度和加速度。
如果流体不可压缩,即c→∞,则G=0。由式(1142)得
p=H-1S̈a (1144)
代入式(1143)得
(M+Mp)̈a+Ca+Ka=P (1145)
其中
Mp=STH-1S/ρ (1146)
可见,在流体不可压缩的情况下,结构运动方程的形式与无流固耦合时的相
同,只是在质量矩阵M 上增加了一个附加矩阵Mp。Mp 反映了流体对固体运
动的影响,故称为附加质量矩阵。如果仅研究结构在流固耦合中的动力问题,可
以不必求解流体压力,只在结构上增加附加质量即可。
流固耦合问题的具体解法有两种,即整体求解方法和交替求解方法。前者
是将流体和固体的动力学方程联立求解。由于描述流体和固体的方程在性质上
有很大不同,故给求解过程带来很大困难。在交替求解方法中,将流体和固体分
302112 流体与结构相互作用
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成两个单独的求解域,在数值计算过程中交替地求解这两个域,并在交替过程中
通过界面耦合进行有关物理量的传递,从而达到不同求解域的耦合。
113 结 语
本章讨论的问题与结构分析课题密切相关,实际上它们可以看作结构分析
问题的组成部分。就不同的问题类型,演示了下述普遍方法:从控制方程和边界
条件的等效积分形式入手,通过分部积分推导弱形式或变分原理;在此基础上建
立有限元离散方程。
对于正交各向异性热传导问题,通常只知道关于主轴(或对称轴)的材料性
质。只要在单元中建立局部坐标系,使其坐标轴与材料主轴一致,便可方便地在
局部坐标系内进行单元计算。由于温度场函数在空间点的值为标量,因此在集
成整体矩阵之前,不需要对在局部坐标系中计算的单元矩阵进行变换。
习 题
111 试根据二维热传导方程和第二类、第三类边界条件的等效积分形式推导
问题的弱形式和变分原理。
x λx
T( )x + yλy
T( )y +qv=cρ
Tt
T Γ1=T(x,y,t)
λxTxl+λy
Tym Γ2
=-q(x,y,t)
λxTxl+λy
Tym Γ3
=-β(T-Tc)
112 试根据本章列出的基本方程推导小幅度流体波动方程(1127)。
402 第11章 多场问题
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第12
章
有限元原理进阶与单元构造
在结构有限元分析中,第2章介绍的势能变分原理具有突出的地位,基于该
原理构造的位移型单元也是应用最为普遍的单元。本章将要介绍的广义变分原
理和修正变分原理为有限单元法提供了更为广泛的理论基础,基于它们分别构
造出了混合单元和杂交单元。此外,从20世纪60年代后期开始,加权余量法被
用来确定单元特性和建立有限元方程。这种方法的独特价值在于可用来处理已
知问题的微分方程,但泛函尚未找到或者根本不存在的情况。
本章除给出上述原理与单元构造方法外,还将简要介绍非协调单元和广义
协调单元的基本原理及构造方法。
121 修正泛函及其构造方法
1211 多变量泛函
第2章介绍的变分原理具有变分的附加条件:势能变分原理要求事先满足
几何方程和位移边界条件;余能变分原理要求事先满足平衡微分方程和应力边
界条件。在有些情况下,要求假定的场函数事先满足全部附加条件不容易做到。
此外,经典泛函中仅包含一类变量(例如势能泛函中的位移)也并不总是有利于
问题的求解。因为控制方程或泛函中某类变量的消失,会提高对其他场函数光
滑性的要求,即提高控制方程中场函数导数的阶次,有时这会给单元构造带来困
难(例如C1型的板壳单元)。位移、应力等变量本来同时出现在控制方程中,因
此保留多类变量的混合解法也许更为自然(文献93)。
于是,提出了各种多变量泛函及广义变分原理,其基本思想是:利用适当的
方法,将场函数事先满足的附加条件引入修正泛函,使具有附加条件的经典变分
原理变成无附加条件的广义变分原理。这样,假设场函数时就不必再事先满足
附加条件,从而变得容易些。
在有限单元法中,除经典变分原理中变分的附加条件以外,还提出了场函数
在单元交界面上的连续性或平衡性要求。如果将这种条件也引入修正泛函,则
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可以建立修正变分原理。显然,修正变分原理也可以理解为广义变分原理的特
殊形式。
引入附加条件构造修正泛函的常用方法有Lagrange乘子法和罚函数法,现
分别加以介绍。
1212 Lagrange乘子法
设场函数u使泛函Π取驻值,且还需满足下列附加条件
C(u)=C1(u)
C2(u)烅烄
烆烍烌
烎…
=0 在Ω内 (121)
其中,C是微分算子。通过定义在Ω中的未知函数向量λ=[λ1 λ2 ⋯]T,将
上述附加条件引入原泛函,从而构造出修正泛函
Π =Π+∫ΩλTC(u)dΩ=Π+∫ΩλiCi(u)dΩ (122)
λi是独立坐标的函数,也是修正泛函Π的自变函数,称为Lagrange乘子。通
常情况下,Lagrange乘子的物理意义能够识别出来。
如果式(121)事先得到满足,则修正泛函Π将退化成原泛函Π;否则附加
条件通过Π的驻值条件
δΠ =δΠ+∫ΩδλiCi(u)dΩ+∫ΩλiδCi(u)dΩ=0 (123)
加以实现。注意到δλi的任意性,必有Ci(u)=0,进而有δCi(u)=0。可见,
Π取驻值时Π也取驻值,而且还包括了附加条件。应该指出,修正泛函不一定
保持原泛函在驻值点的极值性质。也就是说,使Π取极值的场函数将使Π取
驻值,但不一定取极值。此外,自变函数λi的增加使得修正泛函Π比原来的泛
函Π要复杂。
用类似的方法也可以引入边界上的附加条件。例如,若要求u满足下述条
件
E(u)=
E1(u)
E2(u)烅烄
烆烍烌
烎…=0 在Γ上 (124)
其中,E是微分算子。可以将积分
602 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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∫ΓμTE(u)dΓ=∫ΓμiEi(u)dΓ (125)
引入原来的泛函。其中μ=[μ1 μ2 ⋯ ]T是定义在边界Γ上的Lagrange乘子。
1213 罚函数法
仍然考虑上述泛函Π的驻值问题。显然,CTC=Ci(u)Ci(u)总是取正值
或零,故可以利用罚参数α将附加条件以乘积的形式引入原泛函
Π =Π+α∫ΩCi(u)Ci(u)dΩ (126)
如果真实解使Π取极小值,α应取正数;而且α值越大,附加条件满足得就越好。
不难发现,利用罚函数求解条件驻值问题不增加未知量的个数,且不改变驻值的性
质。也就是说,若原泛函取极值,则用罚函数法构造的修正泛函仍取极值。
很多情况下,罚函数法是非常有效的,实际上第1章中引入边界条件的大数
法就是罚函数法。但在实际计算中,α不能取值过大,否则方程将呈现病态甚至
使求解失败。显然,采用罚函数法只能得到近似解。此外,将罚函数法用于有限
元分析有时会遇到困难。例如,δΠ=0将导致下列形式的离散方程
(K1+αK2)a=P (127)
其中,K1是由原始泛函导出的,而K2是由附加条件导出的。随着α增大,上述
方程将退化为
K2a≈P/α→0 (128)
可见,结果将是a=0,除非矩阵K2是奇异的,而K2的奇异性并非总是能够得
到保证。
122 广义变分原理与混合单元
1221 H?R变分原理
用Lagrange乘子法将余能变分原理中的两个变分附加条件解除,即把修正
泛函表示为
ΠH?R=∫ΩWσdΩ+∫Ω(σij,j+fi)λidΩ-∫Γu珔uipidΓ-∫Γσ(σijnj-珔pi)γidΓ(129)
702122 广义变分原理与混合单元
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其中,λi和γi分别是Ω域内和Γσ 边界上的Lagrange乘子,它们是独立坐标xi的任意函数。把σij,λi,γi作为独立变量,修正泛函ΠH?R的变分为
δΠH?R=∫ΩWσσijδσijdΩ+∫Ω(σij,j+fi)δλidΩ+∫Ωλiδσij,jdΩ
-∫Γu珔uiδpidΓ-∫Γσ(σijnj-珔pi)δγidΓ-∫ΓσγiδσijnjdΓ (a)
上式中右边第三项为
∫Ωλiδσij,jdΩ=∫Ω(λiδσij),jdΩ-∫Ωλi,jδσijdΩ (b)
根据散度定理,上式右边的第一项为
∫Ω(λiδσij),jdΩ=∫ΓλiδσijnjdΓ=∫ΓuλiδσijnjdΓ+∫ΓσλiδσijnjdΓ (c)
将式(c)代入式(b),再代入式(a),并注意到pi≡σijnj,有
δΠH?R=∫Ω(Wσσij
-λi,j)δσijdΩ+∫Ω(σij,j+fi)δλidΩ
+∫Γu(λi-珔ui)δσijnjdΓ+∫Γσ(λi-γi)δσijnjdΓ-∫Γσ(σijnj-珔pi)δγidΓ (1210)
由于变分δσij,δλi,δγi都是相互独立的任意函数,且
λi,jδσij=12
(λi,jδσij+λj,iδσji)=12
(λi,j+λj,i)δσij
故ΠH?R的驻值条件是
Wσσij
-(λi,j+λj,i)/2=0 在Ω内
σij,j+fi=0 在Ω内
λi-珔ui=0 在Γu 上
λi-γi=0 在Γσ上
σijnj-珔pi=0 在Γσ
烍
烌
烎上
(1211)
可见,Lagrange乘子的力学意义为λi=γi=ui。将其代入式(1211),可得
下述4个方程
802 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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Wσσij
-(ui,j+uj,i)/2=0 在Ω内
σij,j+fi=0 在Ω内
ui-珔ui=0 在Γu 上
σijnj-珔pi=0 在Γσ
烍
烌
烎上
(1212)
关于上式中的第一个方程,有两种解释。如果附加本构方程
εij=Wσσij
(1213)
则该式代表几何方程;如果附加几何方程
εij=12
(ui,j+uj,i) (1214)
则该式代表本构方程。可见,H?R变分原理仍需附加某种条件才能完全等价于
弹性力学的全部控制方程和边界条件。
将λi=γi=ui代入式(129)得到泛函
ΠH?R=∫ΩWσdΩ+∫Ω(σij,j+fi)uidΩ-∫Γu珔uipidΓ-∫Γσ(σijnj-珔pi)uidΓ(1215)
由于其中
∫Ωσij,juidΩ=∫Ω(σijui),jdΩ-∫Ωσijui,jdΩ
=∫ΓσijnjuidΓ-∫Ω[σij(ui,j+uj,i)/2]dΩ
故将上式代入式(1215),并在方程前冠以负号,可得其等价泛函
ΠH?R=∫Ω[-Wσ-fiui+σij(ui,j+uj,i)/2]dΩ-∫Γu(ui-珔ui)pidΓ-∫Γσ珔piuidΓ(1216)
在线性弹性条件下,注意到
Wσ=12σ
TD-1σ
式(1216)可写成矩阵形式
ΠH?R=∫Ω -12σTD-1σ-uTf+σT( )εdΩ-∫ΓupT(u-珔u)dΓ-∫Γσu
T珔pdΓ
(1217)
902122 广义变分原理与混合单元
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上述泛函中包含两类变量σij和ui,故称为两类变量变分原理,也称为混合
变分原理。该原理最早由Hellinger于1914年提出,后经Reissner(1950)加以完
善,因此通常称为Hellinger?Reissner变分原理,简称H?R变分原理。
1222 H?W变分原理
利用Lagrange乘子将几何方程和位移边界条件引入势能泛函,修正泛函可
以表示为
ΠH?W=∫ΩWεdΩ-∫ΩfiuidΩ+∫Ω[εij-(ui,j+uj,i)/2]λijdΩ
-∫Γσ珔piuidΓ+∫Γu(ui-珔ui)γidΓ (1218)
其中,λij和γi分别是Ω域内和Γu 边界上的Lagrange乘子,它们是独立坐标xi的任意函数。把ui,εij,λij,γi作为独立变量,修正泛函ΠH?W的变分为
δΠH?W=∫ΩWεεi( )jδεij-fiδui+[εij-(ui,j+uj,i)/2]δλi{ j
+λij[δεij-(δui,j+δuj,i)/2}]dΩ-∫Γσ珔piδuidΓ+∫Γu[(ui-珔ui)δγi+γiδui]dΓ
对上式体积分中λij(δui,j+δuj,i)进行分部积分,则上式可改写为
δΠH?W=∫ΩWεεij
+λi( )jδεij+(λij,j-fi)δu{ i
+[εij-(ui,j+uj,i)/2]δλi}jdΩ-∫Γσ(λijnj+珔pi)δuidΓ+∫Γu[(ui-珔ui)δγi+(γi-λijnj)δui]dΓ (1219)
注意到所有变分δεij,δui,δλij,δγi都是相互独立的,因此ΠH?W的驻值条件是
Wεεij
+λij=0 在Ω内
λij,j-fi=0 在Ω内
εij-(ui,j+uj,i)/2=0 在Ω内
λijnj+珔pi=0 在Γσ上
γi-λijnj=0 在Γσ上
ui-珔ui=0 在Γu
烍
烌
烎上
(1220)
可见,Lagrange乘子的力学意义为
012 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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λij=-σij, γi=-珔pi (1221)
代入式(1220),可得弹性力学全部控制方程和边界条件;代入式(1218)得
ΠH?W=∫Ω Wε-fiui+σij[εij-(ui,j+uj,i)/2{ }]dΩ
-∫Γσ珔piuidΓ+∫Γuσijnj(ui-珔ui)dΓ (1222)
可见,ΠH?W中包含σij,εij,ui三类独立变量,故相应的变分原理属于三类变
量变分原理。该原理由胡海昌和KWashizu提出,称为H?W变分原理。
1223 参数变分原理
为使已有的各种变分原理获得统一的形式,并希望导出新的变分原理,
Long(1986)、Liu等(1988)、Rong(1988)、Felippa(1994)先后提出了参数变分原
理。各种参数变分原理,在基本思想上大同小异,即在泛函中引入参数,通过调
整参数得到各种变分原理。
现从弹性力学控制方程和边界条件的等效积分形式入手,推导参数变分原
理。将各种方程列出如下
σij,j+fi=0 在Ω内
εij=(ui,j+uj,i)/2 在Ω内
σij-Wεεij
=0 在Ω内
εij-Wσεij
=0 在Ω内
ui-珔ui=0 在Γu 上
σijnj-珔pi=0 在Γσ
烍
烌
烎上
(a)
引入6个参数并以场函数的变分为任意函数,上述各式的等效积分形式为
C1∫Ω(σij,j+fi)δuidΩ+C2∫Ω σij-Wεεi( )jδεijdΩ
+C3∫Ω εij-Wσσi( )jδσijdΩ+C4∫Ω[εij-(ui,j+uj,i)/2]δσijdΩ
+C5∫Γu(ui-珔ui)δpidΓ+C6∫Γσ(pi-珔pi)δuidΓ=0 (b)
对式(b)中的第一项进 行 分 部 积 分,并 令C4=C1,C3+C4=C2,C5=C1,
C6=-C1,则
δΠ=0 (1223)
112122 广义变分原理与混合单元
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其中
Π(C1,C2)=∫Ω[C1(σij,j+fi)ui+C2σijεij-C2Wε-(C2-C1)Wσ]dΩ
-∫ΓuC1珔uipidΓ-∫ΓσC1(pi-珔pi)uidΓ (1224)
通过调整 参 数,可 以 得 到 各 种 泛 函 及 变 分 原 理。例 如,令C1=-1和
C2=-1,式(1224)变成
ΠH?W=Π(-1,-1)
=∫Ω[-σijεij+σij(ui,j+uj,i)/2+Wε-fiui]-∫Γu(ui-珔ui)pidΓ-∫Γσ珔piuidΓ即H?W泛函。
令C1=1和C2=0,式(1224)简化成H?R泛函
ΠH?R=Π(1,0)
=∫Ω[(σij,j+fi)ui+Wσ]dΩ-∫Γu珔uipidΓ-∫Γσ(pi-珔pi)uidΓ实际上,由于参数C1和C2可以任意选取,故可以得到其他变分原理。探
讨不同参数对有限元计算结果的影响是一个值得研究的问题(文献19,76)。
1224 混合单元
广义变分原理在有限单元法中的应用导致多类变量的混合模型。现基于
H?R变分原理建立有限元方程。结构离散化以后,假定单元应力场,将单元内部
应力σ表示为广义节点力Fe的函数
σ=EFe (1225)
边界Γu 上的边界面力与应力的关系为
p=nσ
将式(1225)代入上式得
p=nEFe=RFe (1226)
再假定单元位移场,单元内部位移u用节点位移ae来插值
u=Nae (1227)
将上式代入几何方程得
ε=Bae (1228)
对于有限元系统,整体泛函式(1217)为
212 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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ΠH?R=∑e∫Ωe -12σTD-1σ-uTf+σT( )εd[ Ω-∫Γeup
T(u-珔u)dΓ-∫ΓeσuT珔pd ]Γ
将式(1225)至(1228)代入上式得
ΠH?R=∑e-12F
eTα1eFe-aeT珚Fe+FeTαe2ae+FeT珔( )a=-12F
Tα1F-aT珚F+FTα2a+FT珔a (1229)
其中
αe1=∫ΩeETD-1EdΩ, αe2=∫ΩeETBdΩ-∫ΓeuRTNdΓ (1230)
珚Fe=∫ΩeNTfdΩ+∫ΓeσNT珔pdΓ, 珔ae=∫ΓeuR
T珔udΓ (1231)
泛函式(1229)取驻值,有
-α1F+α2a+珔a=0
αT2F-珚F烍烌
烎=0(1232a)
写成矩阵形式
-α1 α2αT2
熿
燀
燄
燅0F{ }a =
-珔a珚{ }F
(1232b)
123 修正变分原理与杂交单元
1231 修正余能原理
在第2章中用最小余能原理建立有限元公式时,认为系统总余能等于所有
单元的余能之和。实际上,这里除了要求假设的应力场在单元内部满足平衡微
分方程、在单元的应力边界上满足应力边界条件外,还要求在单元交界面Γabint上
按pi=σijnj定义的面力保持平衡,即
图121 单元交界
pai+pbi=0 (a)
其中,pai=σaijnaj,pbi=σbijnbj 分别为交界面处单元a和b的侧面边界Γaint,Γbint上的面力(图121);交
界处两 侧 面 的 外 法 线 方 向 相 反,故 方 向 余 弦
naj=-nbj。
312123 修正变分原理与杂交单元
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在选择单元应力函数时,可以先不考虑单元交界面上的平衡条件,而是用
Lagrange乘子将其引入修正泛函
Πmc=Πc-∑abGab (b)
其中,Πc为原来意义上的余能泛函,即
Πc=∑e∫Ωe12CijklσijσkldΩ-∫Γeu珔uipid( )Γ
而等式右边的第二项表示对所有单元交界面求和,其中
Gab=∫Γabintλi(pai+pbi)dΓ=∫Γaintλip
aidΓ+∫Γbintλip
bidΓ
其中,λi是定义在单元交界面上的Lagrange乘子。若式(b)均对单元求和,则可
以写成
Πmc=∑e∫Ωe12CijklσijσkldΩ-∫ΓeintλipidΓ-∫Γeu珔uipid( )Γ (c)
其中,Γeint为单元e与其他单元的交界面。由于最小余能原理要求满足平衡微
分方程、应力边界条件和本构方程,故
εij=Cijklσkl, δσij,j=0
考虑到pi≡σijnj,单元e的全部边界Γe=Γeσ+Γeu+Γeint,式(c)的变分为
δΠmc=∑e∫Ωe[εij-(ui,j+uj,i)/2]δσijdΩ+∫Γeuiδpid{ Γ
+∫ΓeintλiδpidΓ+∫ΓeintpiδλidΓ-∫Γeu珔uiδpid }Γ
=∑e∫Ωe[εij-(ui,j+uj,i)/2]δσijdΩ+∫Γeint(λi+ui)δpid{ Γ
-∫Γeu(ui-珔ui)δpidΓ+∫Γeintpiδλid }Γ
=∑e∫Ωe[εij-(ui,j+uj,i)/2]δσijdΩ-∫Γeu(ui-珔ui)δpid{ }Γ
+∑ab∫Γabint2(λi+ui)δpidΓ+∫Γabint(p
ai+pbi)δλid[ ]Γ
由修正泛函的驻值条件可知,λi=ui。代入式(c)得
Πmc=∑e∫Ωe12CijklσijσkldΩ-∫ΓeintuipidΓ-∫Γeu珔uipid( )Γ (1233)
在最小余能原理中,要求假定的应力事先满足给定的应力边界条件。若将
412 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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其也引入余能泛函,则有
Πmc=∑e
12∫ΩeσTCσdΩ-∫Γeσ(p
T-珔pT)udΓ-∫ΓeintpTudΓ-∫Γeup
T珔ud( )Γ=∑
e
12∫ΩeσTCσdΩ-∫ΓepTudΓ+∫Γeσ珔p
Tud( )Γ (1234)
上述修正余能泛函的变分等于零称为修正余能原理,或称为修正H?R变分
原理。在修正泛函中,独立变分的场函数有单元内的应力σ和单元边界上的位
移u。需要指出,修正余能原理不再是极值原理,而只是驻值原理。
1232 修正势能原理
在基于经典势能变分原理的位移有限单元法中,要求假设的单元位移函数
在单元交界处连续,即
uai-ubi=0 在Γabint处 (1235)
在假设单元位移函数时,此条件可先不考虑,而是用Lagrange乘子法将其引入
修正泛函
Πmp=Πp-∑abHab (1236)
其中,Πp 为原来意义上的势能泛函,即
Πp=∑e∫Ωe12DijklεijεkldΩ-∫ΩefiuidΩ-∫Γeσ珔piuid( )Γ
而泛函的修正项为
Hab=∫Γabintλi(uai-ubi)dΓ
根据修正泛函的驻值条件δΠmp=0,可得
λi=pai =σaijnaj =-pbi
代入式(1236)得
Πmp=∑e∫Ωe12DijklεijεkldΩ-∫ΩefiuidΩ-∫Γeσ珔piuid( )Γ -∑
ab∫Γabintpai(uai-ubi)dΓ
=∑e∫Ωe12DijklεijεkldΩ-∫ΩefiuidΩ-∫Γeσ珔puidΓ-∫Γeintpiuid( )Γ (1237)
512123 修正变分原理与杂交单元
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如果将需要事先满足的位移边界条件也引入修正势能泛函,则有
Πmp=∑e∫Ωe12DijklεijεkldΩ-∫ΩefiuidΩ-∫ΓepiuidΓ+∫Γeupi珔uid( )Γ
=∑e∫Ωe12εTDεdΩ-∫ΩeuTfdΩ-∫ΓeuTpdΓ+∫Γeuu
T珔pd( )Γ(1238)
由上式可知,修正势能原理的独立变量为单元内的位移ui以及单元交界处
的边界面力pi。
1233 杂交平面单元
采用修正势能原理和修正余能原理,可以分别构造位移杂交单元和应力杂
交单元。这里仅介绍具有较大使用价值的应力杂交单元。采用这种单元时,在
单元内部假定满足平衡条件的应力场,而在单元边界上假定协调的位移场,利用
修正余能原理建立有限元方程(图122)。
图122 应力杂交单元
(1)边界面力和位移
为说明问题简单起见,不考虑体力。此时,假定的应力应满足齐次平衡微分
方程,可表示为
σ=EF (1239)
其中广义参数F是未知量。单元边界力p与应力的关系为
p=nσ (1240)
将式(1239)代入上式得
p=nEF=RF (1241)
单元边界上的位移用节点位移表示如下
u=Lae (1242)
因为只是在每段边界上构造插值函数L,故要保证单元之间的协调性是比较容
易的。这是杂交单元与协调单元之间的重要差别。
612 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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(2)有限元公式
将式(1239),(1241),(1242)代入式(1234),可得
Πmc=∑e
12F
THF-FTGae+PeTa( )e (1243)
其中
H=∫ΩeETCEdΩ, G=∫ΓeRLdΓ, PeT=∫Γeσ珔pTLdΓ (1244)
式(1243)对F的变分为零,给出泛函的驻值条件
HF-Gae=0
从而可得
F=H-1Gae
代入式(1243),可消去广义参数F
Πmc=∑e
12a
eTKeae-aeTP( )e (1245)
其中
Ke=GTH-1G (1246)
经过集成,式(1245)变为
Πmc=12a
TKa-aTP (1247)
令上述泛函变分为零,可得有限元系统方程
Ka=P (1248)
图123 矩形单元
可见,最终的有限元方程只以节点位移作为
未知量,而假定应力场中的广义参数F在单元水
平上就被凝聚掉了。因此杂交单元仍是一类变
量的单元,这与混合单元不同。为加深对杂交单
元的理解,下面以平面问题矩形单元为例进行说
明(图123)。
首先,假定单元内部应力场如下
σ=
σx=β1+β2yσy=β3+β4xτxy=β
烅烄
烆烍烌
烎5
=1 y 0 0 00 0 1 x 0熿
燀
燄
燅0 0 0 0 1
β1…
β
烅烄
烆烍烌
烎5=EF (a)
712123 修正变分原理与杂交单元
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不难验证,上述应力场满足平面问题的(无体力)平衡微分方程。由上式可求出
单元各边界上的边界力。例如,在边界12上,l=0,m=-1,故
p12x =lσx+mτxy=-β5p12y =lτxy+mσy=-β3-β4x
同理可得其他边界力,从而
p=
p12xp12yp23xp23yp34xp34yp41xp41
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
0 0 0 0 -10 0 -1 -x 01 y 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 10 0 1 x 0-1 -y 0 0 00 0 0 0 -
熿
燀
燄
燅1
β1β2β3β4β
烅
烄
烆
烍
烌
烎5
=RF
假定单元边界位移沿边界线性变化,从而可用节点位移表示边界位移。例
如,在边界23上,位移为
u23= 1-y( )b u2+ybu3
, v23= 1-y( )b v2+ybv3
同理可得其他边界位移,从而
u=
u12v12u23v23u34v34u41v
烅
烄
烆
烍
烌
烎41
=
1-ξ 0 ξ 0 0 0 0 0
0 1-ξ 0 ξ 0 0 0 0
0 0 1-η 0 η 0 0 0
0 0 0 1-η 0 η 0 0
0 0 0 0 ξ 0 1-ξ 0
0 0 0 0 0 ξ 0 1-ξ1-η 0 0 0 0 0 η 0
0 1-η 0 0 0 0 0
熿
燀
燄
燅η
u1v1u2v2u3v3u4v
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
=Lae
其中
ξ=xa
, η=yb
将上面计算出的E,R,L代入式(1244)得H,G,再代入式(1246)得单元
刚度矩阵Ke。经过单元集成,可得整体刚度矩阵K。
812 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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1234 杂交薄板单元
(1)修正泛函
在薄板弯曲问题中,由于挠度在单元交界处法向导数的连续性难以实现,因
此那些只要求挠度连续的变分原理受到重视。例如,将式(1234)所示的修正余
能泛函用于薄板问题,并注意到Mn 与wn
符号相反,有
Πmc=∑e
12∫AeMTCMdA-∫Γe Vnw-Mnw( )n dΓ+∫Γeσ 珚Vnw-珡Mn
w( )n d[ ]Γ
=∑e
12∫AeMTCMdA-∫ΓepTudΓ+∫Γeσ珔p
Tud[ ]Γ (1249)
其中
u=w
-w烅烄
烆烍烌
烎n, p=
VnM烅烄
烆烍烌
烎n, 珔p=
珡Vn珨M烅烄
烆烍烌
烎n
M =[Mx My Mxy]T, Vn=Qn+Mnss
C=D-1= 12Et3
1 -ν 0-ν 1 00 0 2(1+ν
熿
燀
燄
燅
烍
烌
烎)
(1250)
图124 矩形板单元
上述泛函中的独立变量为单元内力、单元边界
上的挠度及其法向导数,而且只要求单元交界处挠
度连续。同时假定单元内力和边界位移,将构造出
杂交薄板单元。
(2)边界位移
对于矩形单元(图124),取4个角点的wi,
θxi=w( )x i
,θyi=w( )y i
为 节 点 位 移 参 数。与
DKT单元类似,每条边界ij的两端有两个挠度
wi,wj,两个切向转角θsi=w( )s i
,θsj=w( )s j
,故
可假设挠度w 是边界线坐标s的三次多项式,从而
wij=H(0)i wi+H
(0)j wj+H
(1)iθsi+H
(1)jθsj (1251)
其中
912123 修正变分原理与杂交单元
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H(0)i =1-3ξ2+2ξ3
H(0)j =3ξ2-2ξ3
H(1)i =lij(ξ-2ξ2+ξ3)
H(1)j =-lij(ξ2-ξ3)
(ξ=s/lij烍
烌
烎
)
每条边界的两端有两个法向转角,即θni=w( )n i
,θnj=w( )n j
,故可假设θn沿边界线性分布,从而
θijn =(1-ξ)θni+ξθnj (1252)
单元边界位移表示为
u=Lae (1253)
其中
ae=a1…
a烅烄
烆烍烌
烎4
, ai=
wiθxiθy
烅烄
烆烍烌
烎i
(i=1,2,3,4)
u=[w12 θ12y w23 -θ23x w34 -θ34y w41 θ41x]T
可见,用杂交应力元法建立薄板单元时,很容易保证边界上法向斜率的连续
性,这是一般的位移元难以完成的(文献10)。
(3)单元内力
假设单元内力场时,必须满足作为变分附加条件的平衡方程,即
2Mxx2 +2
2Mxyxy+
2Myy2
+q=0 (1254)
可假设为线性的(m=9)、二次的(m=15)或三次的(m=23)。例如,取三次式
Mx=β1+β4y+β6x+β10y2+β12x2+β14xy+β16y3+β18x3+β20x2y+β22xy3
My=β2+β5y+β7x+β11y2+β13x2+β15xy+β17y3+β19x3+β21x2y+β23xy3
Mxy=β3+β8y+β9x-(β12+β13)xy-12
(3β18+β23)x2y-12
(3β19+β20)xy2
写成矩阵形式为
M=EF (1255)
其中
F=[β1 β2 ⋯ β23]T (1256)
022 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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(4)边界力
边界力矩阵为
p=[-V12y M12y V23x M23x V34y M34y -V41x M41x]
考虑到
Vx=Qx+Mxyy
, Vy=Qy+Mxyx
及式(1255),边界力可表示为
p=RF (1257)
(5)单元计算
将E,R,L代入式(1244)得H,G 以及单元等效荷载向量;再将H 和G代入式(1246)得单元刚度矩阵Ke。
124 加权余量法与单元构造
1241 基本概念
第2章及本章前面的讨论表明,运用微分方程的弱形式或变分原理求解连
续介质问题,前提是推导出弱形式或构造出问题的泛函。然而,并非所有以微分
方程表达的连续介质问题都能做到这一点。此时,可以采用加权余量法建立有
限元公式。
加权余量法是一种以微分方程的等效积分形式为基础来求解微分方程近似
解的方法。在第2章中已经指出,场函数u必须满足的微分方程和边界条件可
以被一般地表示如下
A(u)=0 在Ω内 (1258)
B(u)=0 在Γ上 (1259)
如果场函数u是精确解,则严格满足上述微分方程和边界条件,或严格满足它
们的等效积分形式,即
∫ΩvTA(u)dΩ+∫Γ珔vTB(u)dΓ≡0 (1260)
其中,v,珔v为任意函数向量。
显然,对于复杂问题,这样的精确解是很难找到的,因此人们便设法寻求具
有一定精度的近似解。选取近似解u为一族含有待定参数的已知函数,其一般
122124 加权余量法与单元构造
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形式为
u=Na (1261)
其中,a是具有n 个待定参数的向量;N 称为试探函数矩阵。显然 近 似 解
(1261)将不能精确满足式(1258)和(1259),即出现相应的残差或余量
A(Na)=R, B(Na)=珚R (1262)
如果用规定的n个函数来代替式(1260)中的任意函数v和珔v,即
wj=v, 珚wj=珔v, (j=1,2,⋯,n) (1263)
则可以得到近似的等效积分形式
∫ΩwTjRdΩ+∫Γ珚wTj珚RdΓ=0 (j=1,2,⋯,n) (1264)
其中,wj和珚wj称为权函数。如果微分方程个数为m1,边界条件个数为m2,则
wj和珚wj分别为m1阶、m2阶的函数列阵。
式(1264)为一组方程,可用以求解待定参数。这就是加权余量法(WeightedResidualMethod,简称WRM),其实质是余量的加权积分为零,即通过选择待定
参数a,强迫余量在某种平均意义上等于零。很显然,加权余量法的权余方程就
是微分方程的等效积分形式。
1242 简明阐释
为清晰起见,现以单变量标量场问题为例阐释加权余量法。设在区域Ω内
u满足微分方程
A(u)=0 (a)
在边界上满足
B(u)=0 (b)
其中,A和B是微分算子。选取近似解u为
u=α1N1+α2N2+⋯+αnNn=∑n
i=1αiNi (c)
其中,αi是待定系数;Ni为满足边界条件(b)的线性独立函数,并取自完备函数
集合(即任一函数都可用此集合表示)。
近似解(c)不能精确满足式(a),出现相应的残差或余量R
A(u)=R (d)
222 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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可以选择系数αi,使得在某种平均意义上余量R等于零。例如,令余量的加权
积分值等于零
∫ΩwiRdΩ=0 (i=1,2,⋯,n) (e)
其中,wi是权函数。上述n个方程可用来求解式(c)中的n个待定系数αi。选
用不同的权函数,将得到不同的近似计算方法。常用的方法有最小二乘法、
Galerkin法、配点法、子域法、矩法等,这里只介绍前面两种。
(1)最小二乘法
在最小二乘法(leastsquaremethod)中,选取满足边界条件的近似解(c)并将
余量的平方在区域Ω内积分,即
I=∫ΩR2dΩ (f)
选择系数αi,使积分I取极小值,即
Iαi=∫ΩRRαidΩ=0 (i=1,2,⋯,n) (g)
由此得到n个方程,可求得n个系数αi。比较式(e)和(g),可知此时的权函数
为
wi=Rαi
(h)
(2)Galerkin法
在Galerkin法中,选取满足强制边界条件的近似解(c),并取权函数为
wi=Ni (i=1,2,⋯,n) (i)
代入式(e)得
∫ΩNiRdΩ=0 (i=1,2,⋯,n) (j)
由此n个方程,可求得n个系数αi。
1243 有限元方程
在各种加权余量法中,Galerkin法的计算精度较高,而且当存在泛函时,将
导致与变分原理相同的结果。因此,用加权余量法建立有限元公式时,几乎无例
外地采用Galerkin法。作为例子,现用这种方法建立热传导问题的有限元公式。
对于稳态热传导问题,基本方程和边界条件的余量加权形式为
322124 加权余量法与单元构造
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∫Ω x λx
T( )x + yλy
T( )y + zλz
T( )z +q[ ]v wdΩ
+∫Γ2 λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn+( )q珡w1dΓ
+∫Γ3 λxTxl+λy
Tym+λz
Tzn+β
(T-Tc( ))珡w2dΓ=0
上式进行分部积分,令珡w1=珡w2=-w,并注意到在Γ1上余量为零,有
∫Ω wx λxT( )x +wy λyT( )y +wz λz
T( )[ ]z dΩ
-∫ΩqvwdΩ+∫Γ2qwdΓ+∫Γ3β(T-Tc)wdΓ=0 (1265)
将结构离散后,单元内温度可用形函数表示如下
T=[N1 N2 ⋯ Nm]
T1…
T烅烄
烆烍烌
烎m=NTe (1266)
其中,m 为单元的节点数;Te为单元节点温度向量。整个系统的加权余量形式
为
∑e∫Ωe
wix λx
T( )x +
wiy λy
T( )y +
wiz λz
T( )[ ]z dΩ
-∑e∫ΩqvwidΩ-∫Γ2qwidΓ-∫Γ3β(T-Tc)wid[ ]Γ =0
(1267)
采用Galerkin法,上式中
wi=Ni (i=1,2,⋯,m)
代入式(1267)得
∑e
(KeTTe-PeT)=0 (1268)
PeT =∫ΩeqvNTdΩ-∫Γe2qNTdΓ+∫Γe3βTcN
TdΓ
KeT=Ke1+Ke2 (1269)
其中,Ke1的元素为
kij=∫Ωe λxNixNjx +λyNiyNjy +λz
NizNj[ ]z dΩ
422 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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而Ke2与下述项有关
∫Γe3βTwidΓ=∫Γe3βNiNTedΓ (i=1,2,⋯,m)
即 ∫Γe3βNTNTedΓ=Ke2Te
其中
Ke2=∫Γe3βNTNdΓ (1270)
将式(1268)按单元集成,可得
KTT=PT (1271)
125 小片试验与非协调元
位移型单元包括协调元和非协调元。例如,以前各章介绍的实体单元均为
协调元,而在薄板弯曲问题的有限元分析中,已经遇到过非协调元。非协调元因
单元间不连续性而不能保证收敛。不过,在实际计算中发现,有时采用非协调元
比协调元还要好。为什么会出现这种现象呢?
我们知道,假设位移函数相当于给单元施加了约束,从而使结构模型比实际
结构更刚一些;采用非协调单元意味着允许单元分离或重叠,从而使结构的刚度
变小了。上述两种效应有可能使误差相互抵消,自然会得到较好的结果。
非协调元比协调元可以更好这一事实促使人们有意地引入非协调性,以改
进位移型单元。构造非协调元的基本思想是在单元中引入内参位移,以获得较
高次数的完备插值多项式,而内部参数可在单元水平上凝聚掉。本节介绍
Wilson提出的非协调元和龙驭球等人提出的广义协调元。
1251 Wilson非协调元
(1)平面单元
为了改善双线性单元Q4,Wilson提出在满足协调条件的单元位移函数中附
加引起非协调的位移项,即
u=∑4
i=1Niui+α1(1-ξ2)+α2(1-η2)
v=∑4
i=1Nivi+α3(1-ξ2)+α4(1-η2
烍烌
烎)(1272)
522125 小片试验与非协调元
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其中
Ni=(1+ξiξ)(1+ηiη)/4 (i=1,2,3,4)
而α1,α2,α3,α4是内部自由度。
在双线性单元的形函数中,包含1,ξ,η,ξη等4项,其中有非完全的二次
项。显然,从数学上看,Wilson非协调元通过引入ξ2,η2,使形函数中的二次多
项式趋于完全,从而达到提高计算精度的目的。将式(1272)写成矩阵形式
u=Nae+珚Nαe (1273)
其中
u=u{ }v , ae=
u1v1…
v
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
, αe=
α1α2α3α
烅
烄
烆
烍
烌
烎4
N=N1 0 N2 0 N3 0 N4 00 N1 0 N2 0 N3 0 N
[ ]4
珚N=1-ξ2 1-η2 0 00 0 1-ξ2 1-η
[ ]
烍
烌
烎2
将式(1273)代入几何方程得
ε=Bae+珚Bαe (1274)
再代入本构方程得
σ=Dε=D(Bae+珚Bαe) (1275)
将虚位移原理应用于有限元系统
∑e∫ΩeδεTσdΩ=∑e∫ΩeδuTfdΩ+∑e∫Γeσδu
T珔pdΩ (a)
将式(1275)及
δu=Nδae+珚Nδαe
δε=Bδae+珚Bδαe
代入式(a)得
∑e
[δaeT(Keuuae+Keuααe-Peu)+δαeT(Keαuae+Keαααe-Peα)]=0 (b)
622 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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其中
Keuu=∫ΩeBTDBdΩKeuα=KeTαu=∫ΩeBTD珚BdΩKeαα=∫Ωe珚BTD珚BdΩPeu=∫ΩeNTfdΩ+∫ΓeσN
T珔pdΓ
Peα=∫Ωe珚NTfdΩ+∫Γeσ珚NT珔pd
烍
烌
烎Γ
根据式(b),考虑到虚位移δae,δαe的任意性,有
Keuuae+Keuααe=Peu (c)
Keαuae+Keαααe=Peα (d)
先由式(d)解得αe,再代入式(c)得
Keae=Pe (1276)
其中
Ke=Keuu-Keuα(Keαα)-1Keαu (1277)
Pe=Peu-Keuα(Keαα)-1Peα (1278)
可见,消去内部自由度以及修正刚度矩阵和荷载向量都是在单元水平上进
行的,此过程称为内部自由度的凝聚。以后分析的步骤与通常单元的相同。
(2)空间单元
此外,Wilson还将上述平面非协调元的思想推广到空间等参单元上,效果
更加显著。例如,8节点空间非协调元的位移函数可表示为
u=∑8
i=1Niui+α1珡N1+α2珡N2+α3珡N3
v=∑8
i=1Nivi+α4珡N1+α5珡N2+α6珡N3
w =∑8
i=1Niwi+α7珡N1+α8珡N2+α9珡N
烍
烌
烎3
(1279)
其中
722125 小片试验与非协调元
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Ni=18
(1+ξiξ)(1+ηiη)(1+ζiζ) (i=1,2,⋯,8)
珡N1=1-ξ2, 珡N2=1-η2, 珡N3=1-ζ烍烌
烎2
(3)小片试验
单元交界处的非协调意味着该处存在无限大的应变,从而引起交界处的附
加能量。根据虚位移原理或最小势能原理推导有限元方程时并没有考虑这部分
能量,从而引入误差甚至造成解答不收敛。学者们指出,通过Irons等(1972)提
出的小片试验,是保证非协调元收敛的充分条件。计算实践也表明,通过小片试
验的单元使用起来是令人放心的(文献68)。
图125 单元片
图125所示为一单元小片,其中节点i完全被若干
个单元所包围,其平衡方程为
∑m
e=1
(Keijaj-Pei)=0 (1280)
其中,m 是单元片包含的单元数目,节点j代表单元片
除节点i以外的所有节点。将与常应变状态相应的位移
值及荷载值赋予单元片各个节点。如果式(1280)能够
满足,则认为通过小片试验。
例如,在平面问题中,与常应变相应的位移是线性位移。由平面问题的平衡
微分方程可知,与常应变也即常应力状态相应的荷载条件是体力为零,同时在节
点i上也不能作用集中力。因此,式(1280)中的Pei必须为零。这样,通过小片
试验的要求变为
∑m
e=1Keijaj=0 (e)
其中,aj是与任意线性单元位移场相应的节点位移向量,因而它也具有任意性。
现在来看Wilson非协调元能否通过小片试验,或者说在什么条件下能够通
过小片试验。当单元位移函数不包含非协调项时,自然是满足收敛条件的,当然
也必定能通过小片试验,因此有
∑m
e=1(Keuu)ijaj=0
将式(1277)代入式(e)并注意到上式,有
∑m
e=1(Keuα)ip(Keαα)-1pm(Keαu)mjaj=0 (f)
由于Keαα是非奇异的(因附加位移不存在刚体移动),注意到Keuα=KeTαu及aj的任
822 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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意性,故上式成立的条件是
Keαu=0即
∫Ωe珚BTDBdΩ=0 (1281)
注意到DB是相应于任一常应力的应力矩阵,具有任意性,故通过小片试验的条
件简化为
∫Ωe珚BTdΩ=∫1
-1∫1
-1珚BTJdξdη=0 (1282)
由于珚B的元素是ξ或η的一次齐函数,故当Jacobi行列式J为常数时,上式恒成
立。可以证明,当单元为平行四边形时J为常数,故此时非协调元能通过小片
试验,而任意四边形单元则不能。为使非协调元在任意四边形单元时也能通过
小片试验,Wilson建议在计算Keαu时,对相关项取单元中心的数值以使J为常
数。
1252 广义协调元
不难发现,构造非协调元的难点在于如何合理地引入或确定非协调位移项
(文献74)。龙驭球等人提出的广义协调元法,为此提供了一条可行的途径。这
里仅以平面单元为例加以说明,关于薄板广义协调元请参见文献49。
(1)非协调位移
在平面4节点等参单元Q4中,节点自由度为
ae=[u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4]T
单元内位移为
u=∑4
i=1Niui, v=∑
4
i=1Nivi (a)
其中的形函数见第5章的式(512)。我们知道,上述位移函数在单元交界处满
足协调性要求。
为了改进该单元,将单元位移表示成如下两部分之和
u=ua+uλ (1283)
其中,ua采用式(a),它在单元边界Γe(包括单元交界)上满足协调性要求;而uλ在Γe上引起非协调。显然,系统总势能泛函为
922125 小片试验与非协调元
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Πmp=∑e
(Πep+Hep) (b)
其中,Πep 为单元的势能;Hep 为单元周边非协调位移引起的附加能量,即
Hep=∫ΓepT(u-ua)dΓ=∫ΓepTuλdΓ (c)
其中,p为单元边界面力。
(2)广义协调条件
广义协调元不要求精确满足单元交界处的协调条件,而是要求至少在网格
无限细分、单元位移场趋近于常应变和刚体位移场时,附加能量Hep 趋于零。于
是,得到保证单元收敛的广义协调条件为
Hep=∫ΓepTuλdΓ=0 (1284)
对应于常应变和刚体位移场的广义协调条件称为基本广义协调条件。
从加权余量法看,式(1284)是单元间位移协调的权余方程,其中p为权函
数。如果权函数取为任意函数,则由上式得出uλ=0,此时单元间位移协调条件
得到精确满足。选用不同的权函数,可得不同的广义协调条件。例如,对于Q4单元,当取权函数对应于自平衡的应力场(为了保证收敛性,设定的内力场必须
包括对应于常内力状态的常数项)
σx=β1+β4ησy=β2+β5ξτxy=β
烍烌
烎3
时,边界力与应力的关系为
p=pxp烅烄
烆烍烌
烎y=nσ=
nx 0 ny0 ny n
[ ]x
σxσyτx
烅烄
烆烍烌
烎y
=nxβ1+nyβ3+nxηβ4nyβ2+nxβ3+nyξβ烅烄
烆烍烌
烎5
将上式代入式(1284)得
∫Γe[β1nxuλ+β2nyvλ+β3(nyuλ+nxvλ)+β4nxηuλ+β5nyξvλ]dΓ=0
其中,uλ和vλ为非协调的位移分量。由于参数βi是任意的,故得5个广义协调
条件如下
032 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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∫ΓenxuλdΓ=0∫ΓenyvλdΓ=0∫Γe(nyuλ+nxvλ)dΓ=0
∫ΓenxηuλdΓ=0∫ΓenyξvλdΓ=
烍
烌
烎0
(1285)
满足上述条件的位移uλ称为广义协调位移。
(3)广义协调位移
构造广义协调元时,单元自由度仍由n个常规的单元节点位移来定义,而
单元内部的位移场设为含k个待定系数的多项式,且k≥n。然后,灵活选取k个广义协调条件,用于确定k个待定系数。
例如,对于4节点四边形单元,将广义协调位移表示为完整二次式
uλ=λ1+λ2ξ+λ3η+λ4ξ2+λ5ξη+λ6η2
vλ=λ′1+λ′2ξ+λ′3η+λ′4ξ2+λ′5ξη+λ′6η烍烌
烎2(d)
由此可求出单元中心c(ξ=0,η=0)处的位移uc,vc及转角ωc如下
uc=λ1, vc=λ′1, ωc=12Jc
(a3λ2-a1λ3+b3λ′2-b1λ′3) (e)
其中,ai,bi,Jc与节点坐标有关。将式(d)代入广义协调条件(1274),得到包含
待定系数的5个方程。与式(e)联立,共8个方程,可用λ4,λ6,λ′4,λ′6,uc,vc和
ωc来表示8个参数λ1,λ2,λ3,λ5,λ′1,λ′2,λ′3和λ′5。若单元中心位移取为
uc=-λ4-λ6, vc=-λ′4-λ′6, ωc=0 (f)
则
uλ=珚Nλe (1286)
其中
λe=[λ4 λ6 λ′4 λ′6]T
(4)单元刚度矩阵
单元位移为
u=ua+uλ=Nae+珚Nλe (1287)
132125 小片试验与非协调元
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应变可表示为
ε=Bae+Bλλe
应变能为
U =t2∫AeεTDεdA=12aeTKaaae+12λeTKλλλe+λeTKλaae其中
Kaa=t∫1
-1∫1
-1BTDBJdξdη
Kλλ=t∫1
-1∫1
-1BTλDBλJdξdη
Kλa=t∫1
-1∫1
-1BTλDBJdξd
烍
烌
烎η
(1288)
由Uλe=0
,得
λe=-K-1λλKλaae
最后,单元刚度矩阵为
Ke=Kaa-KTλaK-1λλKλa (1289)
综上所述,广义协调元以修正势能原理为出发点,而仍以最小势能原理为归
宿。它要求在单元尺寸逐渐减小的极限情况下,连续性得到恢复。因此,从本质
上讲,广义协调元也是非协调元。然而,它既能保证收敛,又能克服协调元刚度
过硬的缺点。
126 结 语
对给定的定解问题建立有限元方程时,可以考虑采用经典变分原理、广义变
分原理、弱形式或加权余量法,这些原理均基于定解问题的等效积分形式,从而
为有限单元法提供了一个精致而统一的基础和框架。在各种原理中,弱形式应
用最为普遍。
习 题
121 在泛函中引入附加条件的方法有哪几种?简述各自的基本概念。
122 什么是H?W变分原理和H?R变分原理?它们各自有哪几类独立的场变
232 第12章 有限元原理进阶与单元构造
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量?
123 试将位移边界条件和单元交界面上的位移协调条件用Lagrange乘子引
入势能泛函,推导下述修正泛函算式
Πmp=∑e∫Ωe12εTDεdΩ-∫ΩeuTfdΩ-∫ΓeuTpdΓ+∫Γeuu
T珔pd( )Γ124 混合单元、杂交单元之间有什么区别?
332习 题
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第13
章
非线性方程求解
到目前为止,我们所讨论的均属于小变形条件下的线性弹性问题。所谓小
变形是指应变和转动都很小,因此几何方程是线性的,列平衡条件时也不必考虑
物体形状和尺寸的变化。此外,材料的本构方程是线性的,即采用广义Hooke定律。用有限单元法分析这种问题,最后均归结为求解线性代数方程组。这种
分析在很多情况下是合适的,因此在实际问题中被广泛采用。
然而,有些材料在小变形条件下就表现出塑性、黏性等非线性性质,计算时
须考虑为材料非线性问题;在大变形情况下的几何非线性问题中,必须采用非线
性的几何方程并在变形后的物体形状与位置上列出平衡方程;在接触和碰撞问
题中,接触边界是变动的、接触条件是高度非线性的,因而被称为边界非线性问
题。
无论何种非线性问题,最后都归结为求解非线性方程组。解法可分为两
种基本类型,即迭代法和增量法;而当同时应用这两种方法时,称为混合法。本
章将介绍这些方法,以及非线性计算中的迭代收敛判据、荷载增量步长。至于建
立各种非线性有限元方程组的原理与方法,将在接下来的3章中分别加以介
绍。
131 迭 代 法
1311 直接迭代法
对于非线性弹性问题和简单加载条件下的弹塑性问题等,有限元方程组可
写成全量形式,即
K(a)a=P (131)
其中,P为独立于节点位移向量a的已知节点荷载向量。如果将a理解为节点
位移增量,P理解为节点荷载增量,则上式为增量非线性方程。此外,可用下式
表示实际结构的荷载位移曲线
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Q=K(a)a (132)
即Q(a)表示与变量位移a对应的荷载。
方程组(131)可采用迭代法求解,其特点是在每次迭代过程中都施加全部
荷载,但逐步修改位移和应变,使之满足非线性本构方程或荷载位移曲线。为
此,可首先令位移a0=0,或者通过求解线弹性问题得到a0,并根据本构方程求
出刚度矩阵
K(a0)=K0T由
a1=(K0T)-1P
求出位移第一次近似值;然后由a1求割线刚度矩阵
K(a1)=K1s由K1s求出位移第二次近似值
a2=K-1sP
重复上述步骤,每次由下式求位移近似值
an=K-(n-1)
s P (133)
直到an 和an-1充分接近时为止,即两者之差的某种范数小于某个规定的允许
小量
‖an-an-1‖≤er (134)
图131 直接迭代法
通常情况下,er 取10-3~10-4即可得到较为
满意的结果。上述方法称为直接迭代法,也称为变
刚度法(图131)。其特点有二:一是每次迭代都
施加全部荷载;二是K1s,K2s,⋯,Kn-1s 为割线刚度
矩阵。该法的重大缺点在于,每步计算都要重新计
算刚度矩阵。
1312 Newton?Raphson法
(1)N?R法
牛顿?拉弗森法(Newton?Raphson法,简称N?R法)是一种求解非线性方程
组非常著名的方法。将方程组(131)改写为
Ψ(a)≡K(a)a-P≡Q(a)-P=0 (135)
532131 迭 代 法
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设上述方程组的第n次近似解an 已经得到。显然,an 不能精确满足式(135),
即Ψ(an)≠0。为求得进一步的近似解an+1,可将Ψ(a)在an 处作Taylor展
开,并仅保留线性项
Ψ(a)=Ψ(an)+ dΨd( )a n(a-an) (136)
设an+1近似满足式(135),并令
Δan=an+1-an (137)
则得线性方程组
Ψ(an)+ dΨd( )a nΔan=0 (138)
其中,dΨda
是切线矩阵,且显然有
dΨda=
dQda=KT
(a) (139)
于是,由式(138)和(135)得
Δan=-K-nT Ψ(an)=K-nT (P-Qn) (1310)
an+1=an+Δan (1311)
其中
KnT=KT(an), Qn=Q(an) (1312)
图132 Newton?Raphson法
图132显示出N?R法的求解步骤。重复上
述迭代过程,直到满足收敛要求为止。
(2)mN?R法
为了更有效地进行迭代,最好在每步计算中都用
相同的刚度矩阵。在N?R法中,每次迭代都需要形成
新的切线刚度矩阵并求其逆,从而花费较多机时。为
克服这一缺陷,常采用修正牛顿?拉弗森法(modifiedNewton?Raphson法,简称mN?R法)。在mN?R法中,
切线刚度矩阵总是采用其初始矩阵(图133),即
KnT=K0T (1313)
因此式(1310)修正为
Δan=(K0T)-1(P-Qn) (1314)
632 第13章 非线性方程求解
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图133 修正Newton?Raphson法 图134 Aitken加速
显然,在mN?R方法中,系数矩阵只需要分解一次,而每次迭代只进行一次
回代即可。当然,这种方法降低了收敛速度,特别当Q?a曲线突然趋于平坦时,
收敛速度会很慢。通常是采用某种加速收敛的措施来提高效率,其中Aitken加
速法是一种简单而有效的方法(图134)。
(3)qN?R法
拟牛顿?拉弗森法(quasiNewton?Raphson法,简称qN?R法)的基本思想是
在每次迭代后用一种简单方式修改刚度矩阵K,既不像N?R法那样每次迭代都
要计算新的矩阵,也不像mN?R法那样不改变矩阵。也就是说,用某个矩阵Gn代替式(1310)中的KnT 或式(1314)中的K0T。显然,qN?R法的迭代公式与
N?R法的形式相同,可写成
Δan=G-1n(an)(P-Qn)=G-1n ΔRn (1315)
现在的问题是如何利用Gn,Δan,ΔRn 去计算Gn+1。已经提出了几种计算
方法和公式,下面给出Broyden?Fletcher?Goldfard?Shanno提出的BFGS公式和
Davidon?Fletcher?Powell提出的DFP公式。
BFGS公式
G-1n+1=G-1n +(Δan-G-1n ΔRn)ΔaTnG-1n
ΔaTnG-1n ΔRn(1316)
DFP公式
G-1n+1=G-1n +(Δan-G-1n ΔRn)(Δan-G-1n ΔRn)T
(Δan-G-1n ΔRn)TΔRn(1317)
它们可统一写成
G-1n+1=G-10 +∑n
k=0βkvkwTk
vk=Δak-G-1kΔR烍烌
烎k
(1318)
732131 迭 代 法
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对于BFGS法
βk=1
ΔaTkG-1kΔRk, wTk =ΔaTkG-1k (1319)
对于DFP法
βk=1
(Δak-G-1kΔRk)TΔRk, wk=vk (1320)
按照qN?R法的上述算法,G0只需分解一次,故可大量节省机时。该法因
收敛性好、效率高而受到重视。不过,每次迭代的βk和vk必须保存,故qN?R法
占用较多的存储空间。
(4)Aitken加速
在连续两次迭代之后,对后一次计算结果进行修正,可以加速迭代过程(图
134)。例如,在求得Δa1和Δa2之后,作图中虚线所示的割线,于是
K0T(Δa1-Δa2)=K1sΔa1 (a)
从而有
(K1s)-1=α1(K0T)-1 (b)
其中
α1=Δa1
Δa1-Δa2(c)
是对角矩阵,称为加速因子矩阵。根据图134,并注意到式(b),可知
Δa′2=a′2-a1=(K1s)-1(P-Q1)=α1(K0T)-1(P-Q1) (d)
因
Δa1=(K0T)-1(P-Q1) (e)
代入式(d)得
Δa′2=α1Δa1a′2=a1+α1Δa1
一般地有
Δa′n+1=αnΔan (1321)
a′n+1=an+αnΔan (1322)
αn=Δan
Δan-Δan+1(1323)
832 第13章 非线性方程求解
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对于具有N个自由度的系统,加速因子矩阵为
αn=
α(1)n 0
α(2)n
0 α(N)
熿
燀
燄
燅n
(1324)
其中
α(i)n =
Δan,iΔan,i-Δan+1,i
(i=1,2,⋯,N) (1325)
由上式可见,如果对于某个自由度i,Δan,i-Δan+1,i很小,则α(i)n 将很大甚
至大到使计算发生困难。为避免此种情况,又提出了修正的Aitken方法,即用
一个标量αn 代替对角矩阵αn
αn=(Δan-Δan+1)TΔan
(Δan-Δan+1)T(Δan-Δan+1)(1326)
图135 初应力
1313 初应力法
当应力显式地表达为应变的函数时,可采用
初应力法进行迭代求解。因为在此情况下,任何非
线性本构方程都可以用弹性本构方程叠加适当的
初应力来实现(图135),即
σ=f(ε)=D0ε+σ0 (1327)
其中,D0为初始切线弹性矩阵;σ0为初应力,应按
下式计算
σ0=f(ε)-D0ε (1328)
这样,非线性单元就可以看成具有初应力的线性弹性单元。根据第9章中的公
式(950),初应力引起的等效节点荷载为
Peσ0=-∫ΩeBTσ0dΩ (1329)
若记
Ke0=∫ΩeBTD0BdΩ
932131 迭 代 法
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则按单元集成,可得整体刚度方程
K0a=P+Pσ0 (1330)
其中,P为外荷载引起的整体节点荷载向量;Pσ0为初应力产生的整体节点荷载
向量,即
Pσ0=∑ePeσ0=-∑e∫ΩeBTσ0dΩ (1331)
上述方法称为 初应力法,其计算步骤如下:首先根据原始荷载P(即令
Pσ00=0)及刚度矩阵K0,计算第一次近似位移a1(即线性弹性解)
a1=K-10 P (1332)
由a1求出应变ε1,根据式(1328)计算初应力
σ01=f(ε1)-D0ε1 (1333)
根据式(1331),可求出初应力产生的节点荷载
Pσ01=-∑e∫ΩeBTσ01dΩ (1334)
于是,由下式计算第一次位移增量
Δa1=K-10 Pσ01 (1335)
位移的第二次近似值为
a2=a1+Δa1 (1336)
由a2求出应变ε2;根据式(1328)计算第二次初应力σ02;根据式(1331)
求第二次初应力产生的节点荷载;计算第二次位移增量Δa2。重复上述步骤,直
到Δan 充分小时为止。
图136 初应力迭代
初应力法迭代(图136)是以线性弹性解为基
础的,因此当本构方程偏离线性弹性规律较大时,迭
代次数将明显增加。
1314 初应变法
对于蠕变等问题,应力不能用应变显式地表示,
即无法给出σ=f(ε)。但是,可以显示地以应力表
示应变,即
042 第13章 非线性方程求解
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ε=f(σ) (1337)
此时可采用初应变法。该法的基本思想是,非线性本构方程可以用弹性本构方
程叠加适当的初应变来实现,即(图137)
ε=D-10 σ+ε0 (1338)
其中,ε0为初应变,即
ε0=ε-D-10 σ=f(σ)-D-10 σ (1339)
这样,非线性单元就可以看成具有初应变的线性弹性单元。根据第9章中的公
式(951),初应变引起的等效节点荷载为
Peε0=∫ΩeBTDε0dΩ (1340)
整体刚度方程为
K0a=P+Pε0 (1341)
其中,Pε0为初应变产生的整体节点荷载向量,即
Pε0=∑ePeε0=∑e∫ΩeBTDε0dΩ (1342)
图137 初应变
用初应变法分析非线性问题的步骤与初应力法
类似(图137)。首先根据原始荷载P 及刚度矩阵
K0,计算第一次近似位移a1a1=K-10 P (1343)
由a1求出应力σ1,根据式(1339)计算初应变
ε01=f(σ1)-D-10 σ1 (1344)
根据式(1342),可求出初应变产生的节点荷载
Pε01=∑e∫ΩeBTDε01dΩ (1345)
于是,由下式计算第一次位移增量
Δa1=K-10 Pε01 (1346)
位移的第二次近似值为
a2=a1+Δa1 (1347)
142131 迭 代 法
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重复上述步骤,直到Δan 充分小时为止。
根据本节的讨论可知,迭代法就是用总荷载作用下不平衡的线性解去逼近
平衡的非线性解,迭代过程就是消除失衡力的过程。
132 增 量 法
1321 基本思想
增量法的基本思想是将荷载划分为若干个增量,每次施加一个增量。在每
个增量步内,假定刚度矩阵是常数;而对于不同的增量步,刚度矩阵具有不同的
数值,并与本构方程相对应。
可见,增量法是用一系列线性问题去近似非线性问题,实质上是用分段线性
的折线去替代非线性曲线。只要荷载增量选得足够小,增量法就能保证得到收
敛解,且通常总是合理的。此外,计算得到的中间结果提供了“加载”过程中的有
用信息。
设把总荷载分为m 个增量。施加第i个荷载增量之前,荷载累加到
Pi-1=∑i-1
j=1ΔPj (1348)
相应的位移和应力分别为
ai-1=∑i-1
j=1Δaj, σi-1=∑
i-1
j=1Δσj (1349)
施加第i个荷载增量ΔPi,将产生位移增量Δai和应力增量Δσi。因此,在施加
第i个荷载增量后,位移和应力分别为
ai=ai-1+Δai, σi=σi-1+Δσi (1350)
在施加荷载增量时,通常引入不变的参考荷载P0和标量参数λ来描述荷
载的变化。令
P=λP0 (1351)
则整体刚度方程(135)成为
Ψ(a)≡K(a)a-P≡Q(a)-λP0=0
对λ求导得
dQdadadλ-P0=0
(1352)
242 第13章 非线性方程求解
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注意到
dQda=KT
(a), dλP0=dP (1353)
式(1352)成为
KTda=dP (1354)
将上式写成有限增量形式
KTΔa=ΔP (1355)
至于如何由荷载增量ΔP计算位移增量Δa和应力增量Δσ,取决于增量步
刚度的选择。
1322 增量步的刚度
(1)始点刚度法
设第i-1步末的应力σi-1已求出,根据σi-1及本构方程可以确定第i-1步末的切线刚度矩阵Ki-1。假定在第i步内刚度矩阵保持不变且近似等于
Ki-1,于是由下列方程可计算第i步的位移增量Δai
图138 始点刚度法
Ki-1Δai=ΔPi (i=1,2,⋯,m)(1356)
其中,Ki-1=Ki-1(ai-1),而初始刚度矩阵K0是根
据本构关系曲线在开始加荷时计算的。这种方法称
为始点刚度法,也称为Euler法(图138)。
(2)中点刚度法
始点刚度法计算简单,但比较粗糙,计算精度较
低。为了提高精度,可在每步计算中采用平均刚度:
先用Ki-1根据式(1356)计算初步的Δai 和ai ,然
后根据ai 和本构方程计算第i步的Ki,由此可计算
第i步的平均刚度矩阵和位移增量
图139 中点刚度法
珡Ki=12
(Ki-1+Ki) (a)
珡KiΔai=ΔPi (b)
其中,“”表示临时用的量。
如上计算虽然提高了精度,但式(a)表明增加了
存储量。因此,采用下述中点刚度法(图139)更为
合适:首先施加荷载增量的一半ΔPi/2,用Ki-1计算
342132 增 量 法
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相应的位移增量Δai-1/2
珡Ki-1Δai-1/2=ΔPi/2 (c)
因此,中点位移为
ai-1/2=ai-1+Δai-1/2 (d)
根据ai-1/2及本构方程求得中点刚度矩阵Ki-1/2,再由下式计算第i步的位移
增量
Ki-1/2Δai=ΔPi (1357)
133 若干实际考虑
1331 迭代法与增量法
迭代法的计算量比增量法小些,对计算精度也能加以控制。但是,这种方法
的适用范围较小,且不能给出荷载?位移过程线。在直接迭代法、N?R法及其修
正方法中,要求K可以显式地表示为a的函数,故它只适用于与应力历史无关
的非线性问题,例如非线性弹性问题和可以应用全量理论的弹塑性问题。对于
必须用增量理论进行分析的弹塑性问题,只能采用增量法求解。此外,初应力法
要求本构方程可以写成σ=f(ε),初应变法要求写成ε=f(σ)。
增量法的适用范围广,且可提供荷载?位移过程线。如果采用足够小的荷载
增量,可以得到足够精确的解。不过,这种方法也有其缺点。其一是比迭代法通
常要消耗更多的计算时间,而且不知道近似解与真实解相差多少。其二是单纯
的增量计算不可避免地随着每个荷载增量积累误差,最终有可能导致结果失去
平衡,即所谓解的漂移现象(图1310)。因此,在单纯使用增量法时,必须利用
全量方程定期检查整体的平衡。
图1310 增量解的漂移
442 第13章 非线性方程求解
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图1311 混合法
1332 混合法的使用
为了改进增量法的精度,可以采用混合法。所谓混
合法就是同时采用增量法和迭代法,即荷载被分为较少
的几个荷载增量,在每个荷载增量段内进行迭代计算(图
1311)。混合法在一定程度上包含了增量法和迭代法的
优点,并减少了两者的缺点,但该法的计算量较大。
1333 迭代收敛判据
用迭代法或混合法解题时,必须给出迭代收敛判据,
以适时终止迭代。常用的收敛判据有位移判据、失衡力判据和能量判据。
(1)位移判据
当相邻两次迭代位移差即位移增量的范数满足
‖Δan‖≤αD‖an‖ (1358)
时,可终止迭代。其中范数通常取Euclid范数‖·‖2,即
‖Δan‖2= ∑N
i=1
(Δani)槡 2 (1359)
位移收敛容差常取0.1%≤αD≤5%。
当材料硬化严重时,位移增量的微小变化将引起失衡力的较大偏差,此时不
能用位移判据,而用失衡力判据比较合理。
(2)失衡力判据
失衡力判据要求失衡力
ΔQn=P-Q(an) (1360)
满足下述条件
‖ΔQn‖≤αQ‖P‖ (1361)
其中,αQ 为力收敛容差。
显然,当材料接近理想塑性时,失衡力的微小变化将引起位移增量的较大偏
差,此时不能用失衡力判据。
(3)能量判据
能量判据是把内能增量(即失衡力在位移增量上所做的功)与初始内能增量
相比较,即
542133 若干实际考虑
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ΔaTn[P-Q(an)]≤αΔEΔaT1[P-Q(a1)] (1362)
其中,αΔE为能量收敛容差。
失衡力判据同时控制位移增量和失衡力,提供了收敛的绝对度量;而以位移
为基础的判据仅提供了收敛的相对度量,因此使用前者常更为合理。
1334 荷载增量步长
用增量法或混合法求解时,可事先将荷载分为若干个增量。例如,把结构不
发生塑性变形的弹性极限荷载作为第一个增量,其余的荷载再细分为若干增量。
然而,有些情况下这种方法并不可行,例如求结构极限荷载问题。对于理想弹塑
性材料,当接近极限荷载时,事先规定的步长可能使总荷载超过极限荷载而使分
析无法进行。此外,若步长过大,计算结果可能不可靠;步长过小,则耗时较大。
可见,如何合理地选择荷载增量步长是个重要问题。最好是程序根据具体
情况自动选择。根据荷载?位移曲线,凭直观可断定:结构非线性程度越大,步长
应越小。因此,根据结构刚度的变化选择步长大小是合理的,基本思想是:对于
每个增量步,结构刚度的变化差不多。主要方法有特征刚度法、当前刚度参数
法,下面仅介绍后者。
(1)刚度参数
Bergan等人提出第i增量步的刚度Si 用下式度量
Si=ΔPTiΔPiΔaTiΔPi
(1363)
初始(线性弹性)刚度S0 用下式度量
S0=PTePeaTePe
(1364)
其中,Pe,ae分别为弹性极限荷载、弹性极限位移。于是,第i增量步的刚度参
数定义为
Si=Si/S0 (1365)
注意到
Pe=λeP0, ΔPi=ΔλiP0
有
Si=Δλiλ( )e
aTeP0ΔaTiP0
(1366)
642 第13章 非线性方程求解
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如果给定进入非线性状态后的第一个增量因子Δλ1和刚度参数的变化值
Δ珔S(可在005~02之间选取),则可按下式选择步长
Δλi=Δλi-1Δ珔S
|Si-2-Si-1|(1367)
(2)弹性因子
为了确定弹性极限荷载因子λe,先施加任意荷载λP0,求解结构内最大等效
应力珋σmax,则
λe=λσs0珋σmax
(1368)
其中,σs0是材料的初始屈服应力。
然后,给定第一步荷载增量因子Δλ1,用λ1=λe+Δλ1求解进入非线性状态
后的第一增量步。
134 结 语
在线性问题中,解总是唯一的;而在非线性问题中,情况就不这样了。非线
性有限元分析对很多参数是敏感的,分析者必须对有可能导致错误的因素有非
常清醒的认识。而且,为了得到有意义的解答,经常需要依靠基于物理本质考虑
的直观判断。
非线性有限元分析的计算量相当大,因此人们非常关注求解的效率。经验
表明,采用低阶单元运算速度快,精度也不错。因此,4节点四边形等参单元和8节点六面体等参单元得到广泛应用。此外,常用的板壳单元是由三维实体单元
退化而成的C0型单元。
习 题
131 求解非线性方程组的方法主要有哪几种?各种方法的基本特点是什么?
132 迭代收敛判据有哪几种?
133 程序根据什么原则自动选择荷载增量步长?
742134 结 语
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第14
章
材料非线性问题
结构分析中的材料非线性问题通常是指这样的小变形问题,即除本构方程
非线性外,其余的控制方程和边界条件与线性弹性条件下的完全相同。第2章
中曾指出,在满足几何方程和位移边界条件的情况下,平衡微分方程和应力边界
条件的弱形式即虚功方程,它与材料特性无关。因此,线性弹性问题中有限单元
法的基本表达格式同样适用于材料非线性问题,只需将本构方程表达成合适的
形式并引入求解过程即可。
本章首先给出小变形条件下的各种本构方程;然后导出各种材料非线性问
题的有限元公式,并简要讨论典型问题的基本算法。
141 材料本构方程
1411 材料变形与本构方程
(1)基本概念
材料变形特性的研究基于试验资料。在截面为A0的圆柱形试件上施加轴
向拉力F,试件将处于单向拉伸应力状态,其名义应力为
σ=F/A0 (141)
还可以测量在荷载作用下试件变形后的直径或面积,从而求出真实应力,即用实
际受力面积计算出的应力
σT=F/A (142)
其中,A为该瞬时试件的实际截面积。在小变形条件下,真实应力与名义应力
相差很小,可以忽略不计。
在加载的同时测量试件的轴向伸长,相对伸长即轴向应变ε。小变形时,可
采用原始尺寸定义应变
ε=Δl/l0 (143)
称为工程应变。大变形时,须采用真实应变,即
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ε=∫l
0
dll =ln
(l/l0) (144)
(2)基本特征
对于大多数固体材料,单向拉伸试验曲线具有某些共性。图141a是低碳
钢试件的简单拉伸试验曲线,其中A点所对应的应力σA 称为比例极限,B点的
应力称为弹性极限σe或屈服应力σs。一般材料的比例极限、弹性极限或屈服应
力相差不大,故为简便起见通常不加区分。有些材料(例如铝合金)没有明显的
屈服阶段(图141b)。常以残余应变达02%时作为塑性变形的开始,其相应的
应力σ02作为屈服应力。
BC段称为塑性平台,在应力不变的情况下可继续发生变形,通常称为塑性
流动。如果应力达到σD 时卸载,则可以认为应力应变关系自D点沿DE到达E点,OE为塑性应变部分εp,ED′为弹性应变部分εe,总应变为
ε=εe+εp (145)
若在D点卸载后重新加载,则在σ<σD 以前,材料呈弹性变形;当σ>σD以后才重新进入塑性变形阶段。这就相当于提高了屈服应力,这种现象称为应
变硬化或强化。材料由初始弹性阶段进入塑性阶段称为初始屈服,而再度屈服
则称为后继屈服。F点是材料所能承受的最大应力,称为强度极限。
图141 单向拉伸试验
对于一般金属材料,通常可以认为拉伸与压缩时的应力应变曲线相同,如图
142所示。对于应变硬化材料,若加载至硬化阶段后卸载,卸载至零后再反向
加载,则拉伸屈服应力σ+s 与压缩屈服应力σ-s 之间的关系可分为两种情况(图
143):(1)σ+s =σ-s ,σ+s +σ-s >2σs(BB′)时 称 为 等 向 硬 化;(2)σ+s >σ-s ,
σ+s+σ-s=2σs(BB″)时称为随动硬化。这种拉伸时硬化影响到压缩时弱化的现
象称为Bauschinger效应。
P.W.Bridgman(1945)对金属材料进行了静水压力试验,结果表明,当压力
不太大时,体积应变θ与压力p呈线性关系
θ=p/K (146)
942141 材料本构方程
![Page 260: Finite Element Method 有限单元法idl.hbdlib.cn › book › 00000000000000 › › pdfbook › 013 › 001 › ... · 前 言 有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062303/5f040e7a7e708231d40c1a64/html5/thumbnails/260.jpg)
而且,静水压力卸除后,体积变形基本上可以完全恢复。因此,可以认为,对于一
般金属材料,体积变形是线性弹性的。式(146)中K为体积模量。
图142 拉伸与压缩 图143 Bauschinger效应
试验还表明,通常压力下金属材料的体积变形不仅可被视为弹性的,而且这
种体积变化很小,很多情况下可以忽略不计;对于金属材料来说,静水压力不影
响屈服。
(3)本构方程
随着计算机技术和数值方法的迅速发展,结构应力变形分析越来越普及,这
种需要极大地推动了材料本构理论的研究。到目前为止,已经发展了多种试验
方法来描述材料的变形特性,并建立了数以百计的本构方程。
本构方程也称为本构关系或数学模型。描述和说明材料变形特性的理论称
为本构理论,它涉及到材料变形机理的说明、基本假定、本构方程的建立和特性
参数规律性的研究(文献83)。一般说来,材料应力不只与应变有关,还与加载
历史、加载方式、温度和时间等多种因素有关。在建立本构方程时,需要测定试
件上的应力、应变、温度等可以观测的物理量随时间的变化,并可一般地表示
为
σij=f(εij,t,T,P,⋯) (147)
其中,t为时间;T为温度;P为应力路径;等等。
在影响材料变形特性的因素当中,温度和加载速率特别重要。当温度超过
一定数值后,温度升高将使材料屈服应力降低而塑性变形能力提高,且表现出蠕
变现象即应力不变而应变随时间不断增长。当加载速率(即荷载对时间的变化
率)比通常静力试验时的速率高几个数量级时,会发现屈服应力提高而塑性变形
能力降低。然而,在温度不高、时间不长的情况下,可以忽略蠕变效应;在加载速
率不大的情况下,可以忽略其对变形的影响。这样的问题就是所谓静力问题,此
时研究材料变形可忽略时间因素的影响,建立与时间无关的静力本构方程。当
材料变形的稳定时间较长时,需要考虑时间因素。对于这种流变问题,必须建立
材料的流变本构方程。
052 第14章 材料非线性问题
![Page 261: Finite Element Method 有限单元法idl.hbdlib.cn › book › 00000000000000 › › pdfbook › 013 › 001 › ... · 前 言 有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062303/5f040e7a7e708231d40c1a64/html5/thumbnails/261.jpg)
本构特性研究的基本思路是根据某些试验数据,寻找某种函数表达式,并确
定相关的参数。通常是根据简单试验获取材料在简单应力状态下的本构关系,
然后通过某种理论把这些试验结果推广应用到复杂应力状态上去,求取普遍形
式的本构关系(文献71,72,86,85)。
1412 非线性弹性本构方程
根据非线性弹性理论,非线性弹性材料的本构方程虽为非线性,加载卸载却
仍然沿着同一条曲线进行,而与应力历史和应力路径无关。此时,必然有弹性势
函数ω(εij)存在,且应力分量为势函数对应变的导数
σij=ωεij
(148a)
写成向量形式
σ=dωdε(148b)
其中应力向量和应变向量为
σ=[σx σy σz τxy τyz τzx]T
ε=[εx εy εz γxy γyz γzx]T
在增量分析中,采用切线弹性张量Dτijkl或切线弹性矩阵Dτ,其表达式为
Dτijkl=σijεkl=
2ωεijεkl
或 Dτ=dσdε=d2ωdε2
(149)
1413 弹塑性增量本构方程
弹塑性增量理论假定,当材料变形进入塑性状态且在加载条件下,应变增量
为弹性应变增量与塑性应变增量之和,即
dε=dεe+dεp
增量本构方程为
dσ=Depdε 或 Δσ=DepΔε (1410)
其中,Dep为弹塑性矩阵,其计算式为
Dep=D-Dgσ
f( )σ
T
D A+ f( )σ
T
Dg[ ]σ (1411)
其中,D为弹性矩阵,见式(27);g和f分别为塑性势函数和屈服函数;A 是与
152141 材料本构方程
![Page 262: Finite Element Method 有限单元法idl.hbdlib.cn › book › 00000000000000 › › pdfbook › 013 › 001 › ... · 前 言 有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062303/5f040e7a7e708231d40c1a64/html5/thumbnails/262.jpg)
硬化规律有关的硬化函数,其表达式为
A=- fε( )p
T+fH
Hε( )p[ ]
T gσ
(1412)
其中,H为硬化参数。
塑性势理论假设在塑性状态存在着某种塑性势函数g,塑性应变的方向与
塑性势函数的梯度或外法线方向相同。当g=f时,称为相关联的流动法则,这
时式(1411)成为
Dep=D-Dfσ
f( )σ
TD A+ f
( )σTDf[ ]σ =D-Dp (1413)
采用不同的屈服条件和硬化规律,将得到不同的本构矩阵。
(1)屈服条件
材料初始屈服时的条件称为初始屈服条件,其一般形式为
f(σij)=0 或 f(σ)=0 (1414)
其中,f(σ)称为屈服函数,屈服条件在空间形成的曲面称为屈服面。
进入塑性阶段后,卸载并不产生塑性变形,只有加载时才会出现后继屈服问
题,故后继屈服条件也称为加载条件。后继屈服条件不仅与应力状态有关,而且
还取决于塑性应变和反映加载历史的硬化参数H,故后继屈服条件可写成
f(σij,εpij,H)=0 或 f(σ,εp,H)=0 (1415)
其中,f(σ,εp,H)称为后继屈服函数或加载函数。
当塑性应变为零时,硬化还未发生,故H=0,式(1415)退化为初始屈服条
件。在分析问题时,可将初始屈服视为后继屈服的特殊情况。此外,由于理想塑
性材料不存在硬化问题,故其屈服面的大小、形状和位置均保持不变。换句话
说,理想塑性材料的后继屈服面与初始屈服面重合。
(2)硬化规律
对于理想弹塑性材料,屈服函数与塑性应变无关,也没有硬化问题,故A为
零。对于硬化材料,为确定后继屈服条件的具体形式,提出了多种模型。其中最
常用的是等向硬化模型和随动硬化模型。等向硬化模型假设拉伸时的硬化屈服
极限和压缩时的硬化屈服极限相等。这样,在塑性变形过程中,后继屈服面均匀
扩大。从数学上看,后继屈服函数只与应力σ和硬化参数H 有关,式(1415)可
写成
f(σ,H)=0 (1416)
式(1412)变成
252 第14章 材料非线性问题
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A=-fH
Hε( )p
Tfσ
(1417)
其中,H通常可取为塑性功
H=Wp=∫εpij
0σijdεpij=∫
εp
0σTdεp (1418)
或假定H是塑性应变的函数,即
H=H(εp) (1419)
例如,当假定H=Wp时,有fH=
fWp
,Hεp=σ
,故式(1417)成为
A=-fWp
σTfσ
(1420)
可根据单向拉伸实验确定。
随动硬化模型假设在塑性变形过程中,后继屈服面只在空间作平动,而不改
变其大小和形状。从数学上看,后继屈服函数f只与应力σij和决定平动量大小
的塑性应变εpij有关,即
f(σij,εpij)=0 (1421)
若为线性硬化,则在单向拉伸条件下,上式可写成
σ-cεp=σs该式与初始屈服条件的区别就是用σ-cεp 代替σ。若初始屈服条件写成
f(σij)=0,则推广到复杂应力状态
fσij-cεpi( )j =0 (1422)
其中的常数c可根据单向拉伸实验确定。
对于给定的任何屈服准则和硬化规律,都可以确定相应的弹塑性本构矩阵
Dep,以下将推导几种常用的模型。
(3)等向硬化Mises模型
Mises屈服条件:对于金属材料,Mises屈服条件得到了广泛应用。该条件
初始屈服时的表达式为
f= 3J槡 2-σs=0 (1423a)
或
f=珋σ-σs=0 (1423b)
352141 材料本构方程
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首先假定材料等向硬化,则Mises屈服条件为
f= 3J槡 2-σs(H)=0
其中,σs为单向拉伸屈服应力,与硬化参数有关;J2,珋σ分别为应力偏量第二不变
量和等效应力,其计算式分别为
J2=12sijsij=
16
[(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σz-σx)2+6(τ2xy+τ2yz+τ2zx)]
珋σ= 3J槡 2 (a)
弹塑性矩阵:根据上述各式,不难求得
fσ=
32 3J槡 2
J2σ=
32σ
[sx sy sz 2sxy 2syz 2szx]T (b)
注意到上式、弹性矩阵(27)以及sx+sy+sz=0,可得
Dfσ=3Gσ
[sx sy sz sxy syz szx]T=3GσS (c)
其中
S=[sx sy sz sxy syz szx]T
由式(c)得
Dfσf( )σ
TD= 3G( )σ
2SST (d)
由式(b),(c)并注意到式(a),可得
f( )σ
TDfσ=
9G2珋σ2
[sx sy sz 2sxy 2syz 2szx]ST (e)
=9G2珋σ2×sijsij=3G
将式(d),(e)代入式(1413)中得
Dp=1
A+3G3G( )σ
2SST
= 9G2(A+3G)珋σ2
s2x sxsy sxsz sxsxy sxsyz sxszxs2y sysz sysxy sysyz syszx
s2z szsxy szsyz szszx对 s2xy sxysyz sxyszx
称 s2yz syzszxs2
熿
燀
燄
燅zx
(1424)
452 第14章 材料非线性问题
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硬化函数计算:假定材料等向硬化,且硬化函数取为塑性功。在单向拉伸条件
下,加载应力与塑性应变之间的关系如图144所示。此时有f=σ-σs(Wp)=0,且
式(1418)成为
H=Wp=∫εp
0σdεp
代入式(1420)得
A=dσs(Wp)dεp
(1425)
图144 单向塑性加载 图145 单向拉伸曲线
(4)随动硬化Mises模型
Mises屈服条件:假定材料随动硬化,则根据式(1421)和(1422),Mises屈
服条件可写为
f=珋σ(σij-cεpij)-σs=0 (1426)
在单向拉伸实验中,σ1=σ,σ2=σ3=0;εp1=εp,εp2=εp3=-εp/2,代入上式得
σ=σs+3c2ε
p (a)
线性硬化材料单向拉伸时的曲线为(图145)
σ=σs+E11-λε
p (b)
其中,λ=E1/E。式(a)与式(b)比较,可得
c=2E13(1-λ) (1427)
考虑到工程应变分量与应变张量分量之间的关系,引入对角矩阵
c=c·diag[1 1 1 1/2 1/2 1/2] (1428)
552141 材料本构方程
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则式(1426)可写成
f=珋σ(σ-cεp)-σs=0 (1429)
令
珘σ=σ-cεp (1430)
则式(1429)可写成
f=珋σ(珘σ)-σs=0 (1431a)
或
f= 3J槡 2-σs=0 (1431b)
弹塑性矩阵:仿照上节的推导,不难得出
fσ=
fσ= 3
2 3J槡 2
珓J2σ=32σs
[珓sx 珓sy 珓sz 2珓sxy 2珓syz 2珓szx]T (1432)
Dfσ=D
f珘σ=
3G
3J槡 2
珘S=3Gσs珘S (a)
其中
珘S=[珓sx 珓sy 珓sz 珓sxy 珓syz 珓szx]T (1433)
由式(a)得
Dfσ
f( )σ
T
D=Df珘σ
f珘( )σ
T
D= 3Gσ( )s
2珘S珘ST (b)
由式(1432)和式(a),并注意到珓J2=珓sij珓sij/2和σ2s=3珓J2,可得
f( )σ
TDfσ=
9G2σ2s
[珓sx 珓sy 珓sz 2珓sxy 2珓syz 2珓szx]珘ST=3G (c)
将式(b),(c)代入式(1413)中得
Dp=1
A+3G3Gσ( )s
2珘S珘ST (1434)
硬化函数计算:当材料随动硬化时,屈服函数中不含硬化参数,式(1412)变
为
A=- fε( )p
Tfσ
(1435)
652 第14章 材料非线性问题
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由式(1429)可得
fεp=-c
fσ
代入式(1435)得
A=- f( )σ
Tcfσ
将式(1432)代入上式得
A=3c/2 (1436)
(4)Drucker?Prager模型
D?P屈服条件:对于混凝土、岩土等材料,静水应力或第一应力不变量I1对
屈服的影响不可忽略。因此针对金属材料发展的经典屈服条件不再适用,而
Mohr?Coulomb屈服条件比较符合实际。不过,由于Mohr?Coulomb屈服条件不
光滑,应用起来不方便,故Drucker等人在其基础上进行简化,提出了Drucker?Prager屈服条件
f=βI1+ J槡 2-k=0 (1437)
其中,β和k如表141所示。
表141 D?P屈服条件的参数
问 题 类 型 β k
空间问题 槡3sinφ3 3+sin2槡 φ
槡3ccosφ3 3+sin2槡 φ
轴对称问题 2sinφ槡3(3-sinφ)
6ccosφ槡3(3-sinφ)
平面应变问题 tanφ9+12tan2槡 φ
3c9+12tan2槡 φ
注:表中c为黏聚力,φ为内摩擦角。
弹塑性矩阵:采用上述屈服条件,不难推导出弹塑性矩阵。例如
fσ=βδ-
12 J槡 2
J2σ=βδ-
12 J槡 2
[sx sy sz 2sxy 2syz 2szx]T (a)
其中
δ=[1 1 1 0 0 0]T (1438)
仿照前面的推导,并注意到体积模量公式
752141 材料本构方程
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K= E3(1-2ν) (1439)
可得
Dfσ=3Kβδ+GJ槡2S (b)
其中
S=[sx sy sz sxy syz szx]T
对于理想塑性材料,A=0,于是
Dp=Dfσ
f( )σ
TD f
( )σTDfσ
(1440)
将式(a),(b)代入上式得
Dp=1
9Kβ2+G9K2β2δδT+
3KβGJ槡2
δST+Sδ( )T +G2
J2SS[ ]T (1441)
1414 弹塑性全量本构方程
(1)全量本构方程
在简单加载条件下,增量本构方程可以沿加载路径积分,从而得到如下全量
本构方程
sij=2珋σ3珋εeij
, σm=E1-2νεm
(1442)
其中,珋σ和珋ε分别为等效应力和等效应变;sij为应力偏量,eij为应变偏量,即
sij=σij-σmδij (a)
eij=εij-εmδij (b)
而平均应力σm和平均应变εm分别为
σm=(σx+σy+σz)/3, εm=(εx+εy+εz)/3 (c)
(2)单一曲线假设
通常情况下,假设简单加载条件下材料的珋σ与珋ε关系与应力状态无关,而
只与材料特性有关,可表示为
珋σ=(珋ε)=3G珋ε[1-ω(珋ε)] (1443)
这就是所谓的单一曲线假设(图146)。试验表明,对于金属材料来说,这一假
852 第14章 材料非线性问题
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设相当符合实际。有了这假设,(珋ε)可根据单向拉伸试验曲线来确定。在单向
拉伸条件下,有珋σ=σ及珋ε=ε,故σ?ε曲线就是珋σ=(珋ε)。
图146 单一曲线假设
(3)割线弹塑性矩阵
根据以上各式,可将本构方程(1442)变换成矩阵形式。例如,容易推导出
σx=sx+σm=E
3(1-2ν)[(1+2α)εx+(1-α)εy+(1-α)εz]
τxy=sxy=23珋σεεxy=
13珋σεγxy=
E3(1-2ν)
32αγxy
其中
α=2(1-2ν)珋σ3Eε
(a)
同理,不难得到其他应力分量的表达式。从而有
σx=E
3(1-2ν)[(1+2α)εx+(1-α)εy+(1-α)εz]
σy=E
3(1-2ν)[(1-α)εx+(1+2α)εy+(1-α)εz]
σz=E
3(1-2ν)[(1-α)εx+(1-α)εy+(1+2α)εz]
τxy=E
3(1-2ν)32αγxy
τyz=E
3(1-2ν)32αγyz
τzx=E
3(1-2ν)32αγ
烍
烌
烎zx
(1444a)
写成矩阵形式
σ=Dsepε=f(ε) (1444b)
其中,割线弹塑性矩阵Dsep为
952141 材料本构方程
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Dsep=E
3(1-2ν)
1+2α 1-α 1-α 0 0 01+2α 1-α 0 0 0
1+2α 0 0 0对 3α/2 0 0
称 3α/2 03α/
熿
燀
燄
燅2
(1445)
(4)切线弹塑性矩阵
全量理论的本构方程也可写成增量形式。若把上述各式中的sij,eij,σm,
εm,σ,ε等改写为增量形式,本构方程将变为
dσ=Dτepdε 或 Δσ=DτepΔε (1446)
其中,Dτep为切线弹塑性矩阵,即
Dτep=E
3(1-2ν)
1+2α′ 1-α′ 1-α′ 0 0 01+2α′ 1-α′ 0 0 0
对 1+2α′ 0 0 03α′/2 0 0
称 3α′/2 03α′/
熿
燀
燄
燅2(1447)
α′=2(1-2ν)d珋σ3Ed珋ε
(5)弹塑性矩阵特例
平面问题:在平面应变条件下,非零应变分量有εx,εy,γxy。此时的应力向
量和应变向量分别为
σ=[σx σy τxy]T, ε=[εx εy γxy]T
Dsep不难退化为
Dsep=E
3(1-2ν)
1+2α 1-α 0对 1+2α 0
称 3α/
熿
燀
燄
燅2
(1448)
在平面应力条件下,非零应变分量有εx,εy,εz,γxy,但εz 并不独立。根据
σz=0,考虑式(1444)得
εz=-1-α1+2α
(εx+εy)
062 第14章 材料非线性问题
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代入式(1444),可得
Dsep=αE
(1-2ν)(1+2α)
2+α 1-α 0对 2+α 0
称 α+1/
熿
燀
燄
燅2
(1449)
轴对称问题:在轴对称情况下,非零应力向量和应变向量分别为
σ=[σr σθ σz τrz]T, ε=[εr εθ εz γrz]T
为了得到轴对称情况下的Dsep,只要将空间问题Dsep式(1445)中的最后两行和
两列划去即可,即
Dsep=E
3(1-2ν)
1+2α 1-α 1-α 01+2α 1-α 0
对 1+2α 0称 3α/
熿
燀
燄
燅2
(1450)
1415 流变本构方程
通常将流变问题分为黏弹性问题(蠕变问题)和黏塑性问题。从微观机理上
讲,蠕变与黏塑性基本相似,主要区别在于与两种行为相关的时间不同:蠕变一
般以小时为测量单位,而黏塑性以秒或分为测量单位。
(1)黏弹性
假设应变率为弹性应变率与蠕变应变率之和,即
εij=εeij+εcij (1451)
其中应力率与弹性应变率之间符合Hooke定律,即
σij=Dijklεekl 或 εij=Cijklσkl (1452)
蠕变应变的确定则有不同的方法。
在流变问题中,温度的影响比较显著。但是,在流变方程中通常并不显含温
度变量,而是通过测量不同温度下的材料常数来考虑温度对蠕变的影响。具体
分析时可假定参数在时段开始时突然变化,而在时段中间保持为常量。根据单
轴蠕变试验资料,蠕变应变通常可表示为
εc=Aσmtn (a)
其中,A,m,n是与温度有关的材料常数。上述规律适合于描述初始阶段的蠕
变。若σ不变,则
162141 材料本构方程
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εc=Anσmtn-1 (b)
将单轴试验中观察到的规律推广到多轴状态。例如,用等效蠕变应变珋εc和等效
应力珋σ代替单轴蠕变方程中的应力和应变,有
珋εc=A珋σmtn (c)
此外,还常将蠕变应变率表示为应力和蠕变应变的某个函数,即
εc=f(σ,εc) (1453)
例如,对于蠕变应变与应力之间的关系,可假定流动法则依然成立
εcij=λcfσij
(d)
其中,f是与塑形理论相似的加载函数。将上式代入式(1453),再根据等效应
力公式,可以推出
λc=3εc
2σ(e)
(2)黏塑性
如果材料只在塑性阶段才呈现明显的黏性,且蠕变与塑性耦合,则假设应变
可以分解为弹性应变与黏塑性应变εηpij两部分,应变率可表示为
εij=εeij+εηpij (1454)
其中应力率与弹性应变率之间符合Hooke定律。
为确定黏塑性应变率,通常假设黏塑性应变的出现由黏塑性屈服函数f控
制,屈服条件为
f(σ,εηp,κ)=0 (1455)
其中,κ为硬化参数。黏塑性流动法则为
εηpij=γ<(f)>gσij
(1456)
其中,g(σij)是黏塑性势函数,上式表明塑性应变率的方向就是黏塑性势面的外
法线方向。当g=f时,为相关联的黏塑性流动;γ是控制塑性流动速率的流动
参数。对于x>0,(x)是一个正的单调增函数。为保证在屈服面内部(f<0)
的应力状态不引起黏塑性流动,使用了符号< >,其含义是
<(x)>=(x) x≥00 x<{ 0
(a)
262 第14章 材料非线性问题
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若采用相关联的黏塑性流动法则,以及Mises屈服准则,则黏塑性应变率表
述为
εηpij=γ<(珋σ-σs)>fσij
(b)
如果σs=0,为指数函数,则上式可写成下列形式
εηpij=εcij=γ珋σmsij (1457)
这就是著名的Norton?Soderberg蠕变定律。
142 弹塑性有限元方程
1421 全量离散方程
(1)全量形式
当本构方程为全量形式时,可建立全量有限元方程。由于虚位移原理并不
要求材料为线性弹性,因此可将由割线矩阵表达的应力代入平衡方程(122a),
即
∑eAeT∫ΩeBTσdΩ=P (a)
从而可得
Ksa=P (1458)
其中
Ks=∑eAeTKesAe, Kes=∫ΩeBTDsepBdΩ (1459)
可见,割线刚度矩阵Ks与材料割线弹塑性矩阵Dsep有关;而Dsep取决于等
效应变珋ε,不再是常数矩阵。由于珋ε是由应变ε计算的,而ε与节点位移a有
关,故Ks是a的函数,即
Ks(a)a=P (1460)
(2)增量计算
即使是非线性弹性或简单加载问题,通常也采用增量法计算。对平衡方程
(a)微分得
362142 弹塑性有限元方程
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∑eAeT∫ΩeBTdσdεdεdaeda
e
dadadΩ=dP(b)
由于
dσdε=D
τep, dε
dae=B, dae
da=Ae
故式(a)可写成
KTda=dP (1461)
其中
KT =∑eAeTKeTAe, KeT =∫ΩeBTDτepBdΩ (1462)
将式(1461)写成有限增量形式
KTΔa=ΔP (1463)
1422 增量离散方程
采用增量本构方程进行弹塑性分析时,须将荷载分成若干增量。对于每个
荷载增量,将弹塑性方程线性化,从而把弹塑性分析分解为一系列线性问题。
设t时刻的荷载为Pt,在Pt作用下的节点位移at、应力σt等已经求得。现
在的问题是求解t+Δt时刻的解答,此时的荷载水平为Pt+Δt=Pt+ΔP。若
t+Δt时刻与外荷载平衡的应力为σt+Δt=σt+Δσ,则虚位移原理可表述为:在
虚位移发生时,外力所做虚功等于物体的虚应变能,即
∑e∫ΩeδεT(σt+Δσ)dΩ=δaT(Pt+ΔP) (a)
由于t时刻的位移和应变是已知量,故
δε=δ(εt+Δε)=δΔε, δa=δ(at+Δa)=δΔa (b)
将单元位移和位移增量表示成节点位移和位移增量的形式
u=Nae, Δu=NΔae (c)
则
Δε=BΔae, δΔε=BδΔae, Δσ=DepΔε=DepBΔae (d)
将式(b),(c),(d)代入式(a),并进行单元集成得
462 第14章 材料非线性问题
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KΔa=ΔP+Q (1464)
其中
K=∑eKe, Ke=∫ΩeBTDepBdΩ (1465)
而
Q=Pt-∑e∫ΩeBTσtdΩ
是t时刻的不平衡力。如果荷载Pt及其对应的应力σt精确满足平衡条件,则
Q=0。在近似计算中,做不到这一点。不过,可将Q 保留下来作为荷载校正
项。
143 流变有限元方程
1431 黏塑性问题
(1)应变增量
设已求得t时刻的节点位移at,应力σt,黏塑性应变率εηpt 和应变εηpt ,现在
问题是求t+Δt时刻的解答。从t到t+Δt所产生的黏塑性应变增量为
Δεηp=Δt[(1-θ)εηpt+θεηpt+Δt] (a)
当θ=0时,上式为向前差分法;当θ=1时,为向后差分法。
将黏塑性本构方程(1456)写成向量形式
εηp=γ<(珋σ-σs)>fσ
(1466)
对εηp在t时刻作Taylor展开并取线性项,则
εηpt+Δt=εηpt+HtΔσ (b)
其中
Ht=dεd( )σ t
=Ht(σt)
而Δσ是在Δt内产生的应力增量。将式(b)代入式(a)得
Δεηp=Δtεηpt+CtΔσ (1467)
其中
562143 流变有限元方程
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Ct=θΔtHt (1468)
(2)应力增量
弹性应变增量与应力增量服从广义Hooke定律,即
Δσ=DΔεe=D(Δε-Δεηp) (c)
注意到单元应变与单元节点位移向量之间的关系
Δε=BΔae (d)
将式(1467)代入式(c)得
Δσ=^D(BΔae-εηptΔt) (1469)
其中
D^=(I+DCt)-1D=(D-1+C)-1 (1470)
(3)平衡方程
增量平衡方程为
∑e∫ΩeBTΔσdΩ=ΔP
将式(1469)代入上式得
KΔa=ΔP+R (1471)
其中
K=∑eKe, Ke=∫ΩeBT^DBdΩ (1472)
R=∫ΩeBT^DεηptΔtdΩ (1473)
(4)回代求解
由平衡方程(1471)解得节点位移增量Δa,由式(1469)求得单元的应力
增量Δσ。于是
at+Δt=at+Δa, σt+Δt=σt+Δσ (1474)
由式(c),(d)可得
Δεηp=BΔae-D-1Δσ
于是
εηpt+Δt=εηpt+Δεηp (1475)
662 第14章 材料非线性问题
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1432 蠕变问题
蠕变应变率不仅取决于当时的应力应变状态,而且一般说与整个应力应变
历史有关。因此,为了确定某个时间段内的蠕变增量Δεc,必须知道以前所有时
段的应力应变状态。在计算过程中实际上可以获得这些数据,所以在原则上没
有什么困难。然而,实际执行起来便显露出难题,因为要存储全部应力应变史的
数据是不现实的。
如果不考虑蠕变应变εc对蠕变应变率εc的影响,则式(1453)成为
εc=f(σ) (1476)
将此式与黏塑性本构方程(1466)加以比较,可知两者在形式上完全一致。因
此,只要将上述公式中的εηpt 换成εct,Δεηp换成Δεc,并令
H= f(σ)[ ]σ t
(1477)
即可得到蠕变分析的各种公式。
144 若干实际考虑
1441 弹塑性计算
(1)增量计算
在增量形式的有限元分析中,每步都要确定Dep和ΔP,而它们基于上一增
量步的计算结果,例如t时刻的应力σt以及反映历史的等效塑性应变珔εpt等。因
此,为了进行下一增量步的计算,需要根据本步算得的位移增量确定Δσ,Δ珔εp
等,从而得到本步结束时的弹塑性状态。
(2)特性矩阵
在弹塑性分析中,首先要判断材料是处于弹性阶段还是已进入塑性阶段。
如果处于弹性阶段,本构方程采用Hooke定律。如果材料已进入塑性阶段,则
必须判断是加载还是卸载。如果处于卸载状态,应力减小量与应变减小量之间
服从Hooke定律;如果材料处于塑性阶段的加载状态,则采用塑性本构方程。
可见,弹塑性增量本构方程仅在进入塑性阶段后的加载情况下成立,而在弹
性阶段或进入塑性阶段的卸载情况下要用弹性本构方程。为此,本构方程可写
成如下形式
Δσ=DtΔε (1478)
762144 若干实际考虑
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其中
Dt=D f<0或f=0,Δf<0Dep f=0,Δf≥烅烄烆 0
(1479)
根据已求出的εt和σt可计算出物体内各点的屈服函数值f,从而知道哪些
点处在弹性区,哪些点处在塑性区(当某点的f<0时,处在弹性区;f=0时处在
塑性区)。Δf用于判断施加下一个荷载增量时,某点是卸载还是加载。显然,
Δf只能在σt+Δt求出后才能计算,而σt+Δt现时还未求出,故无法计算Δf,也就
无法判断是卸载还是加载。作为第一次近似,在弹性区令Dt=D,在塑性区
Dt=Dep;σt+Δt求出后再作修正。
1442 平衡的修正
在增量分析中,求得t+Δt的解以后应进行平衡修正,因为σt+Δt不是精确
值,下述平衡方程不能精确满足
∑e∫ΩeBTt+Δtσt+ΔtdΩ=Pt+Δt (1480)
有几种方法可用来进行修正,其中最简单的方法是计算下述不平衡力,并将其叠
加到下一增量步的外荷载上去
Ψ =∑e∫ΩeBTt+Δtσt+ΔtdΩ-Pt+Δt (1481)
1443 塑性问题求解
黏塑性模型也可方便地用来求解纯塑性问题,而且比按弹塑性问题的算法
计算更为简单。在这种算法中,施加常荷载并对时间进行积分,直至所有的应变
率均为零,此时的解即为静力塑性解。这样求解塑性问题时,时间因素并不重
要,它实际上只起着形式上的作用。
145 结 语
在各种非线性问题中,材料非线性问题是最简单的。除了通常采用增量形
式外,材料非线性问题的有限元公式与线性弹性问题的没有什么不同。因此,本
章用相当的篇幅介绍了非线性的本构方程以及引入有限元方程的形式。
862 第14章 材料非线性问题
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习 题
141 材料非线性问题与线性弹性问题的不同点在什么地方?有限元分析中应
注意哪些问题?
142 弹塑性本构理论包括哪些内容?如何推导弹塑性本构矩阵?
143 简述各种流变本构理论的基本思想。
144 怎样用黏塑性分析求解与时间无关的弹塑性问题?
962习 题
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第15
章
几何非线性问题
此前各章处理的均为小变形问题。在这种问题中,应变与位移之间的关系
式即几何方程是线性的,列平衡方程时也无需考虑物体位置和形状(简称构形)
的变化。这种小变形分析在很多情况下能够满足精度要求。然而,对于大变形
问题,要想较为精确地确定位移与应力,就必须考虑变形对平衡的影响,同时几
何方程中也应包括位移的二次项(故大变形问题也称为几何非线性问题)(文献
87,37,52,8)。
在实际工程中,可能会遇到两类几何非线性问题。一种是尽管应变很小甚
至未超过弹性极限而位移却较大,例如在平板大挠度问题中,应变很小时材料线
元素可有较大的转动。这就是所谓大位移小应变问题,此时材料的本构方程可
以是线性弹性的或非线性的。另一种是大应变问题,即大应变引起大变形,属于
几何和材料双重非线性问题。
本章首先阐述大变形理论,然后介绍有限元分析方法。内容包括:(1)变形
和位移;(2)应变度量;(3)应力度量;(4)本构方程;(5)平衡方程;(6)虚功(率)原
理;(7)有限元方程。
151 变形和位移
1511 物体状态描述
(1)物质坐标与空间坐标
物体占有的区域称为该物体的构形。物体在t=0时刻占有的区域Ω0称
为初始构形,在当前研究的时刻占有的区域ω称为现时构形。为了描述物体的
运动或变形,需要选择某特定时刻的构形Ω作为参考构形,以确定每时刻每个
物质点的位置,据此来判断流动构形的变形程度。参考构形的意义在于运动或
变形是参考这个构形而定义的。
如何标记物质点X?简单的办法是用物质点X在参考构形中的位置X来
命名它。为此,需要建立一个物质坐标系X1X2X3。也就是说,每个物质点X都有其在参考构形中的位置X(X1,X2,X3),或说X(X1,X2,X3)标记了物质点
X。为了描述物质点的运动,需要建立一个空间坐标系x1x2x3,物质点X在任
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图151 参考构形与现时构形
一时刻t的空间位置由x(x1,x2,x3)确定。可见,物质坐标系用于参考构形,空
间坐标系用于现时构形。为简单起见,通常是选择两个完全重合的直角坐标系
(图151)。于是,物质点的运动轨迹可用下列方程来描述
x=x(X,t), xi=xi(X1,X2,X3,t) (i=1,2,3)
就特定的物质点X而言,上式表示该物质点的运动轨迹;而当时间t固定时,上
式表示t时刻物体的构形。在连续性假设下,函数xi(X1,X2,X3,t)是单值、连
续的且Jacobi行列式不等于零,即
J=xiXj
=
x1X1
x1X2
x1X3
x2X1
x2X2
x2X3
x3X1
x3X2
x3X3
≠0 (151)
坐标Xi(i=1,2,3)是识别物质点的标志,某一特定物质点在运动中保持同
样的Xi值,故Xi称为物质坐标,也称为Lagrange坐标;坐标xi(i=1,2,3)是识
别空间点的标志,同一物质点在不同时刻可以占据不同的空间点,同一空间点在
不同时刻可以由不同的物质点所占据,故xi称为空间坐标,也称为Euler坐标。
若以空间坐标表示物质坐标,则有
X=X(x,t), Xi=Xi(x1,x2,x3,t) (i=1,2,3) (152)
对于特定的空间点x,上式表示t时刻占据该空间位置的是物质点X。
(2)两种描述方式
在连续介质力学中,把以物质坐标Xi和时间t作为独立自变量的描述方法
称为Lagrange描述;把以空间坐标xi和时间t作为独立自变量的描述方法称为
172151 变形和位移
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Euler描述。Lagrange描述以物质点作为观察对象,Euler描述则是在介质所占
据的固定的空间点上来研究问题。
在固体力学中,Lagrange描述应用最为普遍,因为它能够很容易地处理复杂
的边界条件。在物体变形过程中,只要参考构形是已知的,就可以按Lagrange描述并在现时构形上建立基本方程。
1512 变形梯度张量
(1)线元的变换
参考构形Ω中两个相邻物质点X和X+dX,它们之间的距离为dX。到了
t时刻,这两个物质点在现时构形ω中的距离是dx(图151)。现在,让我们研
究参考构形中微小线元dX与现时构形中相应线元dx之间的变换。显然
dx=x(X+dX,t)-x(X,t)=xXdX=FdX(153a)
dxi=xiXjdXj=FijdXj (153b)
其中
Fij=xiXj=
x1X1
x1X2
x1X3
x2X1
x2X2
x2X3
x3X1
x3X2
x3X
熿
燀
燄
燅3
(154)
可见,F反映了微小线元的变形和运动情况,故把它称为变形梯度张量,一般是
非对称的。F是一个线性变换,它把初始微元dX 变换成现时微元dx;一方面
使dX伸长,另一方面又使它旋转一个角度。此外,显然有
dX=Xxdx=F-1dx (155)
(2)体元的变换
在参考构形Ω中取微小长方体元,其边长分别为dX1,dX2,dX3,微元体积为
dΩ=dX1dX2dX3在现时构形ω中,该微元体变为由a,b,c三个有向线元组成的微小平行六面体
元dω(图152)
272 第15章 几何非线性问题
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图152 体元变换
a=x1X1dX1e1+
x2X1dX1e2+
x3X1dX1e3
b=x1X2dX2e1+
x2X2dX2e2+
x3X2dX2e3
c=x1X3dX3e1+
x2X3dX3e2+
x3X3dX3e
烍
烌
烎3
于是
dω=a·b×c=
x1X1dX1
x2X1dX1
x3X1dX1
x1X2dX2
x2X2dX2
x3X2dX2
x1X3dX3
x2X3dX3
x3X3dX3
=JdX1dX2dX3
即
dω=JdΩ (156)
(3)面元的变换
现时构形ω中的微小面元用da表示,其法线方向余弦为ni;在参考构形
Ω中与nida相应的有向面元用NidA 表示,Ni为面元的法线方向余弦。这里
不加证明地给出
nida=JNlF-1lidA 或 nda=JF-TNdA (157)
1513 位移梯度张量
(1)Lagrange描述
若一物质点在参考构形Ω 中的位置为X,在现时构形ω中的位置为x,则
372151 变形和位移
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物质点X的位移为(图153)
u=x-X, x=X+u (158)
代入式(153)得
dx=(I+H)dX, dxi= δij+uiX( )jdXj (159)
其中,I为单位张量;而
Hij=uiXj=
u1X1
u1X2
u1X3
u2X1
u2X2
u2X3
u3X1
u3X2
u3X
熿
燀
燄
燅3
(1510)
H称为位移梯度张量。比较式(153)与(159),可知
F=I+H (1511)
图153 物质点的位移
(2)Euler描述
式(158)可写成
X=x-u
代入式(155)得
dX=(I-h)dx, dXi= δij-uix( )jdxj (1512)
其中
472 第15章 几何非线性问题
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hij=uixj=
u1x1
u1x2
u1x3
u2x1
u2x2
u2x3
u3x1
u3x2
u3x
熿
燀
燄
燅3
(1513)
h也称为位移梯度张量。比较式(155)与(1512),可知
F-1=I-h (1514)
1514 刚体运动描述
任何刚体运动都可以表示为平动xT(t)和绕原点的转动,即
x(X,t)=R(t)X+xT(t) (1515)
其中,R(t)是转动张量或转动矩阵,它是一个正交矩阵,即它的转置矩阵等于其
逆矩阵。现证明如下:
对式(1515)求微分,注意到平动的微分为零,有
dx=RdX (a)
因而
dxTdx=dXTRTRdX (b)
由于刚体转动不改变长度,故对于任意dX,应有
dxTdx=dXTdX
故由式(b)可知
RTR=I (1516)
可见,转动矩阵R(t)是正交矩阵。
1515 物理量的导数
当物质坐标固定时,对时间的导数称为物质时间导数,简称物质导数。按定
义,物理量G的物质导数为
G=Gt+
Gxixit=
Gt+vi
Gxi
(1)速度
速度v(X,t)是物质点X的位置矢量的变化率,即当X保持不变时,位置
572151 变形和位移
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矢量x对时间的导数
v(X,t)=xt=(X+u)t =ut≡
u (1517)
(2)加速度
物质点的加速度即速度的物质导数,其表达式为
a(X,t)=v(X,t)t =
2ut2≡̈u
(1518)
152 应 变 度 量
1521 Green应变
(1)定义
考察在参考构形Ω和现时构形ω中任意微元线元dS和ds,有
(dS)2=(dX1)2+(dX2)2+(dX3)2=dXTdX (a)
(ds)2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=dxTdx (b)
注意到式(153),有
(ds)2=dXTFTFdX
线元长度平方的改变量为
(ds)2-(dS)2=dXTFTFdX-dXTIdX=dXT(FTF-I)dX
Green应变张量定义为
E=12(FTF-I)=12
(C-I) (1519)
其中
C=FTF (1520)
称为右Cauchy?Green变形张量。将式(1511)代入式(1519)得
E=12(H+HT+HTH) (1521a)
Eij=12
(Hij+Hji+HkiHkj)=12uiXj+ujXi+ukXiukX( )j
(1521b)
分析表明(文献37),Green应变分量虽然没有明显的几何意义,但把它们应
672 第15章 几何非线性问题
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用于小变形情况时,与无限小应变分量的几何意义完全一样。
(2)客观性
对应于任何刚体运动,与形变有关的物理量(例如应变、应力等)的度量必须
为零,这就是所谓客观性要求。小变形问题中采用的无限小应变不能消除刚体
运动的影响,因而无法度量大变形物体的变形状态(例题152);而Green应变
张量是客观张量,适用于描述大变形物体(例题151)。
【例题151】 试证明Green应变张量是客观张量。
解 设物体发生刚体运动,即
x(X,t)=R(t)X+xT(t)
则
F=xX=R
E=12(FTF-I)=12
(RTR-I)=0
可见,刚体运动情况下的Green应变为零,因此可用来度量大转动时物体的变形
状态。
图154 单元转动
【例题152】 设一平面单元绕原点发生刚
体转动,转角为θ(图154)。试计算小变形条件
下定义的工程应变。
解 这里发生的纯转动可表示为
x=RX
或
x{ }y =cosθ -sinθsinθ cos
[ ]θ
X{ }Y位移为
uxu烅烄
烆烍烌
烎y=cosθ-1 -sinθsinθ cosθ
[ ]-1
X{ }Y代入线性几何方程得
772152 应 变 度 量
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εx=uxX=cosθ-1
εy=uyY=cosθ-1
γxy=uxY+
uyX
烍
烌
烎=0
根据上式,如果θ较大,刚体转动时的正应变不能视为零。可见,此时线性
几何方程不能采用,需要按几何非线性考虑。显然,上式暗示了转动多大才需按
几何非线性问题对待,因为它表达了存在转动时按小变形分析带来的误差。将
cosθ展开成Taylor级数,代入应变算式
εx=cosθ-1=1-θ22+O
(θ4)-1≈-θ2
2
可见,按小变形计算时,应变误差是二阶的。若转动量级为10-2弧度,则应
变误差量级为10-4。若感兴趣的应变量级是10-2,能够接受的误差为1%,则
转动量级不超过10-2弧度时可按小变形分析。若感兴趣的应变量级是10-4,那
么为满足1%的误差,转动量级不超过10-3弧度时才可按小变形分析。
1522 Almansi应变张量
根据式(155),有
(dS)2=dXTdX=dxTF-TF-1dx
于是,线元长度平方的改变量为
(ds)2-(dS)2=dxTIdx-dxTF-TF-1dx=dxT(I-F-TF-1)dx
Almansi应变张量定义为
e=12(I-F-TF-1) (1522)
将式(1514)代入上式得
e=12(h+hT+hTh) (1523a)
eij=12
(hij+hji+hkihkj)=12uixj+ujxi+ukxiukx( )j
(1523b)
不难证 明 Almansi应 变 张 量 也 是 客 观 张 量。此 外,Green应 变 张 量 和
Almansi应变张量之间存在如下关系
872 第15章 几何非线性问题
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E=FTeF, e=F-TEF-1 (1524)
如果位移分量ui及其一阶偏导数是小量,则一阶偏导数的乘积可忽略,变
形前后坐标的差别也不需考虑。此时,Green应变式(1521)和Almansi应变式
(1523)均退化成小变形情况下的无限小应变,即
εij=12uixj+ujx( )i
1523 变形率与应变率
(1)变形率d定义速度梯度张量l
l=vx, lij=
vixj
(1525)
l可以分解为对称部分和反对称部分
l=12(lT+l)-12
(lT-l)=d-ω (1526)
其中的对称部分定义为变形率张量d,反对称部分定义为旋转率张量ω,即
d=12(lT+l) 或 dij=
12vjxi+vix( )j
(1527)
ω=12(lT-l) 或 ωij=
12vjxi-vix( )j
(1528)
d可写成
dij=12ujxi+uix( )j=12
tujxi+uix( )j
(1529)
在物理上,它所代表的是真应变的瞬时变化率。
(2)应变率E·
根据式(1519),Green应变率张量为
E·
=12(FTF
·
-F·TF) (1530)
为推导变形率d与Green应变率E·
之间的关系,对式(1525)作如下变化
l=vx=vXXx=
tu( )X Xx=F
·
F-1 (1531)
972152 应 变 度 量
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故
d=12(lT+l)=12
(F-TF·T+F
·
F-1) (1532)
根据式(1530)和(1532),不难推导如下关系式
E·
=FTdF, E·
ij=xkXixlXjdkl (1533)
d=F-TE·
F-1, dij=XkxiXlxjE
·
kl (1534)
153 应 力 度 量
1531 Cauchy应力
外力是在变形后的物体上与其引起的内力达到平衡的。因此,应该以变形
后物体内的面元定义应力,并从变形后物体内取微元体来建立平衡微分方程和
应力边界条件。在小变形条件下,物体变形前后的构形没有明显的差别,因此无
论是应力的定义还是平衡方程的建立,均不考虑物体变形的影响。然而,在大变
形问题中就不能在忽略变形的影响了。
设物体的现时构形中有一微小面元向量nda,面元上作用着面力dt,其分
量为dti。Cauchy应力定义为
t(n)i =lim
da→0
dtida
(1535)
若该面元与3个平行于坐标面的微小面元njda构成一微小四面体,则由该四
面体的平衡条件可得
dti=σjinjda, dt=σTnda
σij=σji, σ=σ烍烌
烎T(1536)
故面元nda上的应力为
t(n)i =σjinj, t(n)=σTn (1537)
其中
σij=
σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23σ31 σ32 σ
熿
燀
燄
燅33
(1538)
082 第15章 几何非线性问题
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这就是Cauchy应力张量。Cauchy应力是一种基于现时构形中变形后单位面积
的应力,因此称为真应力。
1532 PK1应力
尽管Cauchy应力是真应力,但应用起来比较困难,因为求解问题需要给出
边界条件,而现时构形的边界事先并不知道。实际中,采用Lagrange描述的工
程应力比较方便。为此,用dT=dt和NdA定义新的应力,即仍用现时构形中
面元nda上的作用力,而NdA则是参考构形中与nda相应的面元(图155)。
仿照Cauchy应力,可得
dTi=dti=PjiNjdA, dT=dt=PTNdA (1539)
Pij=
P11 P12 P13P21 P22 P23P31 P32 P
熿
燀
燄
燅33
(1540)
P称为第一Piola?Kirchhoff应力张量,简称PK1应力张量。
根据式(157)即nda=JF-TNdA,有
dt=σTnda=JσTF-TNdA (1541)
比较式(1539)和(1541),并注意到σ的对称性,有
P=JF-1σ, Pij=JF-1ikσkj (1542)
注意到σ是对称张量,F-1是非对称张量,故PK1应力张量P是非对称张
量。这种应力张量不适用于描述本构方程,因为应变张量总是对称的。此外,当
物体发生刚体转动时,dti将发生变化而dA,Nj不变,故根据式(1539),P将
随刚体转动而发生变化,这表明P不是客观张量。
图155 二维PK1应力的定义 156 二维PK2应力的定义
1533 PK2应力
P是非对称、非客观张量,不能用于本构方程。为此,可用参考构形中的面
182153 应 力 度 量
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元NdA和作用力dT来定义应力张量,而dT就是像微小线元那样“伸长和旋
转”了的dt,即(图156)
dTi=Xixjdtj, dT=F-1dt (1543)
于是,仿照Cauchy应力,可得
dTi=SjiNjdA, dT=STNdA (1544)
Sij=
S11 S12 S13S21 S22 S23S31 S32 S
熿
燀
燄
燅33
(1545)
S称为第二Piola?Kirchhoff应力张量,简称PK2应力张量。
根据上述定义,不难推导出S与σ,S与P之间的下述关系式
S=JF-1σF-T, Sij=JXixkXjxlσkl (1546)
S=PF-T, Sij=PikXjxk
(1547)
在PK2应力的定义中,联系变形前后面元dA和da上作用力dTi和dti的
关系式,与联系变形前后线段微元dXi和dxi的关系是相同的。这样,当物体发
生刚体位移时,dti 将发生变化而dTi 总是不变。因参考构形中的dA,Nj 不
变,故根据式(1544),Sij也不随刚体位移而变,即为客观张量。
1534 应力速率张量
为了建立率形式的本构方程,在连续介质力学中,定义了多种不随刚体转动
而改变的速率型对称应力张量,例如Jaumann率、Truesdell率和Green?Naghdi率。这里仅给出Jaumann应力速率张量的定义式
σJij=σij-σikωkj-σkjωki (1548a)
σJ=σ-σω-ωTσ (1548b)
其中,ωij是转动张量。
可以证明,Jaumann应力速率张量是客观的对称张量,在物理上所代表的是
真应力的瞬时变化率。
282 第15章 几何非线性问题
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154 本 构 方 程
1541 客观性原理
当物体发生大变形时,用于度量小变形情况的应力和应变不再适合于描述
本构关系,须基于前面定义的应力和应变建立大变形本构方程。在现代连续介
质力学中,特别重视建立本构方程所应遵循的客观性原理。该原理也称为标架
无关性原理,是指本构方程与参考标架的任意变动无关,或者说与持有不同时钟
和进行不同运动的观察者无关。
关于张量的客观性,有两种不同的观点。设对物体施加刚性转动,转动张量
为R。如果转动前后的张量T,T^具有如下关系
T^=RTRT
则Truesdell学派称T是客观的。
然而,Hill认为在刚性转动后形式不变的物理量才是客观的。Green应变张
量E,PK2应力张量S就是在这种意义上具有客观性。例如,施加刚性转动R
后,F^=RF,于是有
E^=12(F^TF^-I)=12
(FTRTRF-I)=12(FTF-I)=E
不过,这两种观点应用到本构方程客观性问题上,结论是一致的。
此外,由于固体材料的应力应变关系取决于变形历史,故本构方程通常以物
质坐标表示,以便能够追踪物质点的运动和材料单元的变形历史。
1542 大位移小应变
S与E都是客观的对称张量,而且在小应变情况下,它们在数值上就等于
工程应力和工程应变。这样,大转动小应变时的本构方程与小变形情况下的本
构方程具有相同的形式和材料常数,只是要用S和E代替小变形时的应力和应
变即可。
(1)线性弹性
在大转动小应变条件下表现为线性弹性的材料称为Kirchhoff材料,其本构
方程为
Sij=DijklEkl (1549)
其中,Dijkl为弹性本构张量。对于各向同性材料,有
382154 本 构 方 程
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Sij=λEkkδij+2GEij (1550)
λ= νE(1+ν)(1-2ν), G= E
2(1+ν)
弹性常数E,G,ν由通常小变形条件下的材料试验确定。式(1550)可写成矩
阵形式
S=DE (1551)
其中,D为弹性矩阵,见第2章式(27);S,E分别为PK2应力向量和Green应
变向量(符号与相应的张量相同,但具体场合下不难区分张量与向量)
S=[S11 S22 S33 S12 S23 S31]T
E=[E11 E22 E33 2E12 2E23 2E31]T
由于几何非线性分析采用增量形式,故本构方程也写成增量形式,即
ΔSij=DτijklΔEkl 或 ΔS=DτΔE (1552)
显然,线性弹性情况下的切线本构张量Dτijkl恒等于Dijkl。
(2)非线性弹性
对于非线性弹性材料,应力Sij与应变能密度函数WE(Eij)(其函数形式与
小变形情况下的完全相同)之间存在下述关系
Sij=WEEij
(1553)
切线本构张量为
Dτijkl=SijEkl
=2WEEijEkl
(1554)
(3)弹塑性
对于弹塑性材料,本构方程以增量形式给出
ΔSij=DepijklΔEij 或 ΔS=DepΔE (1555)
其中,Depijkl是弹塑性本构张量;Dep是弹塑性本构矩阵(见第14章)。需要注意的
是,本构矩阵与应力向量有关,其中须用S代替小应变情况下的工程应力向量。
1543 大位移大应变
(1)非线性弹性
对于大应变下的非线性弹性材料,假定存在应变能密度函数ω(是Eij的解
析函数),且PK2应力S与Green应变E具有如下关系
482 第15章 几何非线性问题
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Sij=ωEij
=2ωCij(1556)
切线本构张量为
Dτijkl=SijEkl
= 2ωEijEkl
(1557)
通常称具有上述性质的材料为超弹性材料。其中的ω可用右Cauchy?Green变
形张量C的不变量I1,I2,I3表示。例如,适用于橡胶材料的Mooney?Rivlin模
型表示为
ω=A(I1-3)+B(I2-3)+C(1/I23-1)+D(I3-1) (1558)
其中
C=12A+B, D=A
(5ν-2)+B(11ν-5)2(1-2ν)
超弹性材料(例如橡胶类材料)大多是几乎不可压缩材料,其泊松比ν一般在
048~05之间(不包含05)。
(2)弹塑性
在大应变情况下,为了反映与加载历史的相关性,通常采用速率型弹塑性本
构方程。我们知道,Cauchy应力的Jaumann导数σJij和变形率dij分别代表真实
应力和真实应变的瞬时速率,因此弹塑性本构方程可表示为
σJij=Depijkldkl (1559)
写成矩阵形式
σJ=Depd (1560)
其中
σJ=[σJ11 σJ22 σJ33 σJ12 σJ23 σJ31]T
d=[d11 d22 d33 2d12 2d23 2d31]烍烌
烎T
其中弹塑性本构矩阵在形式上与小应变的完全相同(见第14章),只要把其中的
应力偏量和等效应力分别改用Cauchy应力偏量和等效的Cauchy应力即可。此
外,为确定本构矩阵中的硬化函数A,须进行大应变单向拉伸试验,用真实应力
和真实应变(对数应变)描述材料行为。
必须指出,不能用Cauchy应力的物质导数σij和变形率dij来建立率形式的
本构方程,因为dij是客观张量而σij不是客观率。例如,受初应力σ0ij作用的物体
发生转动时,变形率dij为零;而应力分量在转动中将发生变化,即应力的物质导
582154 本 构 方 程
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数σij非零,故σij=Depijkldkl无效。
155 平 衡 方 程
荷载作用下的物体是在变形后的现时构形ω上达到平衡的。因此,平衡方
程(包括平衡微分方程和应力边界条件)应该在现时构形中列出。在小变形情况
下之所以在初始构形上给出平衡方程,是因为此时可忽略初始构形和现时构形
的差别;而在大变形情况下,忽略这种差别是不允许的。
如果在现时构形中任取一微小六面体单元,其面与坐标面平行,那么与小变
形问题类似,有限变形问题的平衡微分方程表示Cauchy应力分量与体力分量之
间的关系。在边界处取微小四面体,则应力边界条件表示Cauchy应力分量与面
力分量之间的关系。在现时构形中,物体的全部边界、面力边界和位移边界分别
为a,aσ和au。根据平衡原理可得
σjixj+fi=ρvi 在ω内 (1561)
σjinj=珔pi 在aσ上 (1562)
其中,fi,珔pi分别为现时构形中的体力分量、面力分量;ρ是现时构形的质量密
度;vi是加速度分量。
156 微分方程弱形式
在几何非线性问题中,建立有限元方程的步骤和形式与线性问题或材料非
线性问题是相似的,即从平衡微分方程和应力边界条件的等效积分形式出发,通
过分部积分建立弱形式(虚功原理或虚功率原理);然后在弱形式的基础上推导
有限元离散方程。
1561 虚功率原理
设几何方程、位移边界条件和本构方程事先得到满足,现研究定解问题的弱
形式。取虚速度即速度的变分δvi为任意函数,则式(1561),(1562)的等效积
分形式为
-∫ωσjixj+fi-ρv( )iδvidω+∫aσ(njσji-珔pi)δvida=0 (a)
对上式中的第一项进行分部积分
682 第15章 几何非线性问题
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∫ωσjixjδvidω=∫ω
xj(σjiδvi)-σji
(δvi)x[ ]jdω (b)
根据散度定理,有
∫ω xj(σjiδvi)dω=∫anjσjiδvida (c)
由于δvi在速度或位移边界上为零,因此上式可写成
∫ω xj(σjiδvi)dω=∫aσnjσjiδvida (d)
将上式代入式(b),再代入式(a)得
∫ωσji(δvi)xj
dω+∫ωρviδvidω-∫ωfiδvidω-∫aσ珔piδvida=0 (e)
注意到σij的对称性以及变形率dij=12vixj+vjx( )i
,不难推得上式第一项为
∫ωσji(δvi)xj
dω=∫ωσijδdijdω于是,式(e)成为用Cauchy应力和变形率表示的虚功率方程
∫ωσjiδdijdω+∫ωρviδvidω-∫ωfiδvidω-∫aσ珔piδvida=0 (1563a)
对于静力学问题有
∫ωσjiδdijdω-∫ωfiδvidω-∫aσ珔piδvida=0 (1563b)
以下为公式简洁起见,只考虑静力问题(增加惯性项不会引起任何困难)。
该虚功率方程要求在现时构形ω上积分,而现时构形是未知的且随变形而
不断变化,现时构形中的体力分量fi和面力分量珔pi也是未知的。因此,在固体
力学中,上述方程很少应用。由于在已知的参考构形上易于描述边界条件,故可
考虑将式(1563)转换为参考构形上的积分公式。为此,将式(1534),(1546)
分别写为
dij=F-TikE·
klF-1lj , Sij=JF-1ikσklF-Tlj从而有
∫ωσjidijdω=∫ΩJF-1ljσjiF-TikE·
kldΩ=∫ΩSlkE·
kldΩ=∫ΩSjiE·
ijdΩ
782156 微分方程弱形式
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用许可的变形率δdij及相应的应变率δE·
ij分别代替上式中的dij和E·
ij,上式自然
也是成立的,从而有
∫ωσjiδdijdω=∫ΩSlkδE·
kldΩ (a)
假定荷载是保守的,即在物体运动过程中荷载的大小和方向都不变。若在
参考构形Ω中,全部边界、面力边界和位移边界分别用A,Aσ 和Au 表示;体力
分量、面力分量分别用Fi,珚Pi表示,则有
FidΩ=fidω, 珚PidA=珔pida
从而
∫ωfiδvidω=∫ΩFiδvidΩ, ∫aσ珔piδvida=∫Aσ珚PiδvidA (b)
将式(a),(b)代入式(1563),便得到用PK2应力S和Green应变率E·
表示的虚
功率方程
∫ΩSjiδE·
ijdΩ-∫ΩFiδvidΩ-∫Aσ珚PiδvidA=0 (1564)
1562 虚位移原理
式(1564)乘以时间微元dt,可得用PK2应力S和Green应变E表示的虚
功方程
∫ΩSjiδΔEijdΩ-∫ΩFiδΔuidΩ-∫Aσ珚PiδΔuidA=0 (1565a)
或
∫ΩSjiδΔEijdΩ=δΔW (1565b)
其中,δΔW 为外力虚功增量,即
δΔW =∫ΩFiδΔuidΩ+∫Aσ珚PiδΔuidA可见,Cauchy应力σ与变形率d,PK2应力S与Green应变率E
·在功率上
都是共轭变量;S与E在功上是共轭变量。事实上,能量的度量必定与参考框
架无关,即它是客观的。在实际问题分析中,为保证应变能密度的客观性,应力
882 第15章 几何非线性问题
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和应变必须共轭,即无论应力和应变采取什么样的度量形式,它们必须使应变能
保持客观性,即两者之积给出功或功率(在功率上共轭的变量也可以说在功或能
量上是共轭的)的真实描述。
157 有限元离散方程
1571 两种格式
几何非线性有限元分析一般采用增量法,其任务是确定物体在一系列离散
时间点0,Δt,2Δt,⋯处于平衡状态的位移、应变、应力等力学参量。设物体t时
刻以前的解均已得到,当前的任务是建立方程以求解时刻t+Δt的各未知量。
变形过程中的每一个时刻都对应一个构形。当求解t+Δt时刻的构形时,
前面各时刻0,Δt,2Δt,⋯,t的构形是已知的。因此,这些构形都可以作为
Lagrange描述的参考构形。显然,把初始构形和t时刻构形作为参考构形最方便。
因此,在固体力学分析中通常采用两种不同的表达格式,即完全的Lagrange格式(简
称TL格式)和更新的Lagrange格式(简称UL格式)。这两种格式可以互换,因此
本质上是相同的。究竟选择哪种格式,通常取决于本构方程的具体形式。
(1)TL格式
在TL格式中,以初始构形为参考构形,即场变量总是参考于初始构形;导
数是对于物质坐标Xi的;弱形式涉及初始构形Ω0上的积分,通常用虚功原理
导出有限元离散方程。
(2)UL格式
在UL格式中,以t时刻的构形为参考构形,即场变量参考于每一荷载或
时间步长开始时的构形,观察从t到t+Δt时的运动情况;导数是对于t时刻构
形的物质坐标进行的,而此时的物质坐标等于t时刻的空间坐标xi;弱形式涉及
在t时刻构形Ω上的积分。在UL格式中,分析过程中参考构形将不断更新;
常采用率形式,由虚功率原理建立有限元离散方程。
实际中,经常采用TL格式;但在有些情况下,采用UL格式更为有效。
1572 TL格式
为了建立用于求解t+Δt时刻构形内各未知量的方程,需要应用与t+Δt时刻构形内物体平衡等效的虚功(率)原理。在TL格式中,以初始构形Ω0作
为参考构形Ω。因此,在t+Δt时刻列出虚功方程(1565),有
∫Ω0St+Δtij δΔEijdΩ0=δΔW (1566)
982157 有限元离散方程
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其中
St+Δtij =Stij+ΔSijEt+Δtij =Etij+ΔEijut+Δti =uti+Δu
烍烌
烎i
于是,虚功方程(1566)可写成
∫Ω0(Stij+ΔSij)δΔEijdΩ0=δΔW (1567)
根据Green应变分量与位移之间的关系式(1521),即
Eij=12uiXj+ujXi+ukXiukX( )j
有
ΔEij=Et+Δtij -Etij=ΔELij+ENLij (1568)
其中
ΔELij=12ΔuiXj
+ΔujX( )i+12
utkXiΔukXj
+utkXjΔukX( )i
(1569)
ΔENLij=12ΔukXi
ΔukXj
(1570)
这里待求量是位移增量Δu,而ut是已知的。可见,ΔELij是线性项,而ΔENLij 是
非线性项。
(1)小应变
在小应变情况下,同线性弹性问题相比,非线性弹性或弹塑性问题原则上不
引入附加的复杂性。例如,线性弹性本构方程为
ΔSij=DijklΔEij (1571)
只要用非线性弹性切线矩阵Dτijkl或弹塑性矩阵Depijkl代替上式中的Dijkl即可。因
此,以下推导只涉及到线性弹性。将式(1568)及上式代入式(1567)得
∫Ω0(Stij+DijklΔELkl+DijklΔENLkl)(δΔELij+δΔENLij)dΩ0
=∫Ω0ΔELklDijklδΔELijdΩ0+∫Ω0ΔE
LklDijklδΔENLijdΩ0
+∫Ω0ΔENLklDijklδΔELijdΩ0+∫Ω0ΔE
NLklDijklδΔENLijdΩ0
092 第15章 几何非线性问题
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+∫Ω0StijδΔELijdΩ0+∫Ω0S
tijδΔENLijdΩ0
=δΔW
即
∫Ω0ΔELklDijklδΔELijdΩ0+∫Ω0ΔE
LklDijklδΔENLijdΩ0
+∫Ω0ΔENLklDijklδΔELijdΩ0+∫Ω0ΔE
NLklDijklδΔENLijdΩ0
+∫Ω0StijδΔENLijdΩ0
=δΔW-∫Ω0StijδΔELijdΩ0 (a)
在有限元分析中,将区域Ω0划分成若干单元Ωe0。单元位移增量Δu用单
元节点位移增量Δae表示,即
Δu=NΔae (1572)
代入式(1568)并写成矩阵形式
ΔE=(BL+BNL)Δae (1573)
其中,BL相应于式(1567)中的第一项,仅是坐标Xi 的函数,与Δae 无关;而
BNL相应于式(1568)中的第二项,是坐标Xi和Δae的函数。
式(a)中右端第一项为体力和面力的虚功增量,按单元集成后可写成
δΔW=(δΔa)TP (b)
其中,δΔa为整体节点虚位移增量。式(a)右端第二项中的Stij可看作初始应力,
而该项即初始应力虚功增量,按单元集成后可写成
∫Ω0StijδΔELijdΩ0=(δΔa)TR
将上式及式(1573)及式(b)代入式(a),并注意到δΔa的任意性可得
(K0+Kσ+KL)Δa=P-R (1574a)
或
KTΔa=P-R (1574b)
KT=K0+Kσ+KL称为切线矩阵,而
192157 有限元离散方程
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K0=∑e∫Ωe0B
TLDBLdΩ0
Kσ=∑e∫Ωe0B
TNLStdΩ0
KL=∑e∫Ωe0(B
TLDBNL+BTNLDBL+BTNLDBNL)dΩ
烍
烌
烎0
(1575)
其中,K0是线性刚度矩阵。Kσ 表示大变形情况下初应力对结构刚度的影响,
因其与初应力有关,故称为初应力刚度矩阵;又因其与材料常数无关,只与单元
的几何特征有关,故也称为几何刚度矩阵。KL称为初位移刚度矩阵或大位移
刚度矩阵,是由大位移引起的。
(2)大应变
在大应变情况下,超弹性材料的本构方程(1556)也可表示为ΔSij与ΔEij之间的关系,故只要将切线弹性张量(1557)代入式(1575)即可求得单元刚度
矩阵。然而,大应变情况下弹塑性材料的本构方程只能采取率形式。因此,需要
对式(1559)进行变换。将该式t时刻的方程两边乘以Δt,可得增量形式的本
构方程
ΔσJij=DijklΔdkl (c)
其中
Δdkl=12Δulxk
+Δukx( )l
ΔσJij=Δσij-σik12Δujxk
-Δukx( )j-σkj
12Δuixk
-Δukx( )
烍
烌
烎i
(d)
为将式(c)转换成ΔSij与ΔEij之间的关系,根据Sij与σij之间的关系式(1546)求
Sij的物质导数
S·
ij=JXixkXjxl
σkl-σkpvlxp-σpl
vkxp+σkl
vpx( )p
上式两边乘以Δt,得
ΔSij=JXixkXjxl
Δσkl-σkpΔulxp
-σplΔukxp
+σklΔupx( )p
(e)
由式(c),(d)和(e),可得
ΔSij=JXixkXjxl
(DklmnΔdmn-σkpΔdpl-σlpΔdpk+σklΔdpp) (1576)
292 第15章 几何非线性问题
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此外,根据式(1534),有
Δdij=XkxiXlxjΔEkl (1577)
代入式(1576)得
ΔSij=DepijrsΔErs
其中
Depijrs=JXixkXjxlXrxm
(DklmnXsxn-σkm
Xsxl-σlk
Xsxm
+σklXsxm
)
其中,σij是t时刻的Cauchy应力,可由t时刻的PK2应力Sij变换得出。用Depijrs代替式(1575)中的弹性矩阵即可得到大应变情况下的刚度矩阵。可见,求解大
应变弹塑性问题时,采用TL格式是很复杂的。
1573 UL格式
在UL格式中,以t时刻的构形为参考构形,即求解t+Δt时刻的构形时
不考虑t时刻构形的变形,或者说t时刻应变为零,故计算的应变增量就是
t+Δt时刻的应变。此外,t时刻构形的Lagrange坐标就是Euler坐标。于是
Et+Δtij =ΔEij=ΔELij+ΔENLij (1578)
其中
ΔELij=12Δuixj
+Δujx( )i
, ΔENLij=12Δukxi
Δukxj
(1579)
t+Δt时刻的PK2应力为
St+Δtij =Stij+ΔSij其中,Stij是t时刻的PK2应力。因它以t时刻构形为参考构形,故就是t时刻
的Cauchy应力σtij,于是有
St+Δtij =σtij+ΔSij虚功方程(1565)可写成
∫Ω(σtij+ΔSij)δΔEijdΩ=δΔW (1580)
(1)小应变
在小应变情况下,将式(1571),(1578)代入式(1580)得
392157 有限元离散方程
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∫ΩΔELklDijklδΔELijdΩ+∫ΩΔELklDijklδΔENLijdΩ+∫ΩΔENLklDijklδΔELijdΩ+∫ΩΔENLklDijklδΔENLijdΩ+∫ΩσtijδΔENLijdΩ
=δΔW-∫ΩσtijδΔELijdΩ将单元位移增量Δu=NΔae代入式(1578)得
ΔE=(BL+BNL)Δae (1581)
经过与TL格式相似的过程,可得
(K0+Kσ+KL)Δa=P-R (1582a)
KTΔa=P-R (1582b)
其中,KT=K0+Kσ+KL,而
K0=∑e∫ΩeBTLDBLdΩ
Kσ=∑e∫ΩeBTNLσtdΩ
KL=∑e∫Ωe(BTLDBNL+BTNLDBL+BTNLDBNL)d
烍
烌
烎Ω
(1583)
(2)大应变
在UL格式中,每个增量步的计算总是从t时刻的构形出发,而且知道此
时的真实应力σij。显然,以t时刻的构形为参考构形时,有J=1和Xi=xi。于
是,式(1576),(1577)变为
ΔSij=δikδjl(DklmnΔdmn-σkpΔdpl-σlpΔdpk+σklΔdpp)
=DijmnΔdmn-σipΔdpj-σjpΔdpi+σijΔdpp (a)
Δdij=ΔEij (b)
将式(b)代入(a)得
ΔSij=DepijmnΔEmn (1584)
其中
Depijmn=Dijmn-σimδnj-σjmδni+σijδmn (1585)
用Depijrs代替式(1583)中的弹性矩阵可得大应变情况下的刚度矩阵。可见,采
492 第15章 几何非线性问题
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用UL格式处理大应变弹塑性问题时较容易引入本构方程。
1574 更新与变换
(1)构形更新
在UL格式中,积分与求导是在t时刻构形上进行的。为此,必须在每一
增量步计算结束时计算各物质点的坐标,以便进行下一步增量的计算。在有限
单元法中,计算各节点的坐标,即
xt+Δti =xti+Δai (1586)
为了进行下一步的计算,必须算出t+Δt时的Cauchy应力,即
σt+Δtij =σtij+Δσij (1587)
在UL格式中,t+Δt结束时直接算出的是PK2应力增量ΔSij。因此,须用式
(1546)将ΔSij变换成Δσij。
(2)坐标变换
在TL格式中,积分在初始构形上进行;在UL格式中,积分在t时刻构
形上进行。然而,当采用等参单元时,形函数均表示成母单元局部坐标的函数,
积分都将在母单元上进行。
例如,在4节点四边形单元中,形函数见式(55),即
N1=(1-ξ)(1-η)/4N2=(1+ξ)(1-η)/4N3=(1+ξ)(1+η)/4N4=(1-ξ)(1+η)/
烍
烌
烎4
当然,两种格式的子单元在不同的构形上,坐标变换公式也有所不同(图157)。
图157 坐标变换
592157 有限元离散方程
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1575 线性化处理
几何非线性方程为
KTΔa=P-R
其中,切线刚度矩阵KT=K0+Kσ+KL依赖于位移增量Δa。显然,Δa=0时
的KT就是当前增量步的初始刚度。此时,大位移刚度矩阵KL=0,而
KT=K0+Kσ (1588)
在当前增量步内的计算中,可采用不同算法。若采用Euler?Newton法,则
每次迭代都要修改K0,Kσ 和R。若采用Euler?修正的Newton法,则在增量步
内KT保持不变,但每次迭代仍要根据前一次迭代所得的结果修改R。当然,该
增量步迭代结束时,也要修改KT以备下一增量步计算。如果在增量步内KT和R都认为是常数,则为Euler法。此时,只需根据当前增量步所得结果修改
KT和R,以备下一增量步计算。
158 结 语
大变形理论也称为有限变形理论,它是连续介质力学的核心内容。深刻理
解这部分内容对于分析几何非线性问题和边界非线性问题至关重要,其中关键
是物质坐标、空间坐标、客观性等基本概念,以及应变和应力的度量。
几何非线性问题的难度比较大,关键问题是虚位移原理的推导及本构方程
的选择与引入。此外,对于大变形问题,变形过程中网格边界上的物质坐标是不
变的,因此物质坐标描述的网格将因变形而扭曲。高阶单元因扭曲而性能下降,
当扭曲过度时,Gauss积分点的J可能成为负值,从而使计算程序中止或者引入
显著的局部误差。因此在几何非线性分析中,必须像关注单元的原始形状一样
地注意单元扭曲后的形状(文献8)。
习 题
151 何谓参考构形?为什么要用参考构形?在几何非线性分析中常用的参考
构形有哪几种?
152 证明Green应变张量和Almansi应变张量为客观张量,即证明当发生刚
体转动x=RX(R为转动矩阵)时,Green和Almansi应变张量为零,从而
可以度量大变形物体的变形状态;而按小变形条件下的线性应变公式计
算的应变分量并不等于零。
692 第15章 几何非线性问题
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153 试证明Green应变张量E和Almansi应变张量e之间下述关系式
E=FTeF, e=F-TEF-1
154 试推导Green应变率张量E·
与变形率张量d之间的下述关系式
E·
=FTdF, d=F-TE·
F-1
155 TL格式和UL格式各自具有怎样的特点?
156 为什么要将在现时构形中建立的弱形式即虚功率原理转换到参考构形
上?
157 试推导动力问题的几何非线性有限元方程。
158 在几何非线性分析中,刚度矩阵由哪几部分组成?TL格式和UL格式
的刚度矩阵有何不同?
159 设忽略阻尼影响,推导增量有限元方程
MΔ̈a+KTΔa=P-R
792习 题
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第16
章
边界非线性问题
物体间的接触和碰撞(以下简称接触问题)是现实中经常发生的现象,例如
列车轮轨接触、轴与轴承接触、汽车相互碰撞、飞行物撞击结构等。在接触问题
中,接触界面及接触状态是事先不知道的,且在物体运动与变形过程中不断地发
生变化。此外,接触问题常伴随材料非线性和大变形,从而使接触力学分析成为
难题,通常只能依靠数值方法求解。
本章介绍接触问题有限元分析的基本内容,包括:(1)接触问题的定义;(2)
接触分析原理;(3)接触问题算法。
161 接触问题定义
1611 接触界面定义
(1)名称与标记
设有两个物体A和B,分别用ΩA 和ΩB 表示它们的构形,ΓA 和ΓB 表示其
边界;并用Ω=ΩA+ΩB 表示两个物体域的组合,Γ=ΓA+ΓB 表示两个物体边
界的组合(图161)。为研究方便起见,称物体B为目标体(target)或主控体,物
体A为接触体(contactor)或从属体。
图161 接触面和接触力
接触界面是两个物体表面的交界,用ΓC 表示,即
ΓC=ΓA∩ΓB (161)
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此界面在两个物体中分别用ΓAC,ΓBC 表示,其中ΓBC 称为目标面(targetsurface)
或主表面,ΓAC 称为接触面(contactsurface)或从表面。在接触问题中,接触界面
是时间的函数,即随加载过程而变化,这使得接触问题只能用增量法求解。
(2)接触坐标系
如果将ΓAC,ΓBC 分别视为物体A,B的面力边界,即接触边界,则其上的面力
就是接 触 力。为 了 表 达 接 触 力,可 在 目 标 面 的 每 一 点 建 立 局 部 坐 标 系(图
161)。构造相切于目标体表面的单位矢量eB1和eB2,于是物体B的法线为
nB=eB1×eB2 (162)
显然,两个物体的法线方向相反,即
nA=-nB (163)
(3)接触物理量
两个相互接触的点P,Q称为接触点对,其中主控体B上的点称为主接触
点,从属体A上的点称为从接触点。接触处的物理量主要有接触力、速度、位移
等。例如,作用于P点和Q点的接触力分别为FAP 和FBQ(为简化起见,常略去点
号P,Q)。每个接触力在局部坐标系中有三个分量,可表示为
FA=FANnA+FA1e1+FA2e2=FAN+FAT (164a)
FB=FBNnB+FB1e1+FB2e2=FBN+FBT (164b)
1612 接触形式分类
在接触问题中,把加载前已经接触的边界和加载后可能接触的边界都看成
是接触边界;把已接触边界上的任意一个节点看成是属于两接触体的一对点,把
有可能接触的点也成对看待。
接触状态或接触形式可分为三种,即黏式接触、滑移接触和开式接触。所谓
黏式接触就是接触点对法向无间隙,切向不滑移;滑移接触是指接触点对法向无
间隙而切向发生滑移;当接触点对处于分离状态(尚未进入接触或已脱离接触)
时,称为开式接触。
我们也可把接触状态分为两种,即接触与非接触(即开式接触)。在实际计
算过程中,当判明点对处于非接触状态时,通常不需要做任何处理。之所以把开
式接触包括进来,是因为在接触问题中把可能接触的点对也视为接触边界点。
在接触问题中,关键是正确地表述接触界面条件并采用适当的方法将其引
入求解过程。接触界面条件可法向和切向来讨论。此外,接触条件可以全量形
式和增量形式给出,但因边界非线性问题采用增量法求解,故通常应用增量形式。
992161 接触问题定义
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1613 法向接触条件
法向接触条件包括两个,一是不可贯入性条件,即接触体不可相互侵入;二
是接触力的法向分量只能是压力,即通常不考虑接触表面之间的黏性。
图162 接触点对
(1)全量形式
在接触问题中,必须满足不可贯入性条件,它
是接触面之间运动学方面的条件,可表示为
ΩA∩ΩB=0
对于ΓA 上 的 任 一 点P(xA)和ΓB 上 的 任 一 点
Q(xB),不可贯入条件为
gN=(xA-xB)·nB≥0 (165)
其中,nB 为物体B的外法向单位向量。
在不考虑接触面间的黏附或冷焊的情况下,法向接触力只可能为压力,即
FBN≤0, FAN=-FBN≥0 (166)
(2)增量形式
设t时刻的解已求得,现求t+Δt时刻的解。t+Δt时刻的不可贯入条件
为
gt+ΔtN =(xAt+Δt-xBt+Δt)·nBt+Δt≥0 (a)
其中
xAt+Δt=xAt+ΔuA, xBt+Δt=xBt+ΔuB (b)
代入式(a)得
gt+ΔtN =(ΔuA-ΔuB)·nBt+Δt+(xAt-xBt)·nBt+Δt=ΔuAN-ΔuBN+gtN≥0 (167)
其中
ΔuAN=ΔuA·nBt+Δt, ΔuBN=ΔuB·nBt+Δt, gtN=(xAt-xBt)·nBt+Δt
一般情况下,nBt+Δt是依赖于位移而变化的。在实际计算中,可采取近似的
方法加以处理,即在每次迭代过程中对gt+ΔtN 进行微分或变分时,假定nBt+Δt是
常量;而在迭代求解后,根据新的位移值计算出新的nBt+Δt来代替原有的数值,
以进行下次迭代的计算。
003 第16章 边界非线性问题
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1614 切向接触条件
(1)全量形式
通常将切向接触力模型称为摩擦模型。如果两物体间的摩擦可忽略不计,
则切向接触力为零,此即无摩擦模型,切向接触条件为
FAT=FBT=0, 或 FAi=FBi=0 (i=1,2) (168)
如果需要考虑摩擦作用,则常采用Coulomb摩擦模型。在该模型中,摩擦力FAT的数值不能超过其极限值μ|FAN|(μ为摩擦系数);当|FAT|<μ|FAN|时,两个接
触面之间无切向相对滑动,即相对切向速度珔vT 为零,此时的接触条件为
珔vT=vAT-vBT=0 或 珔vi=vAi-vBi=0 (i=1,2) 当|FAT|<μ|FAN| (169)
当|FAT|=μ|FAN|时,滑动不受限制即相对滑动速度珔vT 不定;但珔vT 与FAT 方向相
反。这样,滑动摩擦条件可写成
珔vT=vAT-vBT≠0 且 珔vT·FAT=(vAT-vBT)·FAT<0 当|FAT|=μ|FAN|(1610)
(2)增量形式
考虑从t至t+Δt时间间隔内的切向条件。速度与Δt的积是位移增量,故
黏式接触时的无相对滑动位移条件(169)可改写为
Δ珔uT=ΔuAT-ΔuBT=0 当|FAT,t+Δt|<μ|FAN,t+Δt| (1611a)
或
Δ珔ui=ΔuAi-ΔuBi=0 (i=1,2) 当|FAT,t+Δt|<μ|FAN,t+Δt|(1611b)
其中,ΔuAT,ΔuBT 分别为从、主接触点在t至t+Δt时间间隔内的切向位移增量。
滑动接触时相对滑动条件(1610)可改写为
Δ珔uT=ΔuAT-ΔuBT≠0 当|FAT,t+Δt|-μ|FAN,t+Δt|=0 (1612a)
或
Δ珔ui=ΔuAi-ΔuBi≠0 (i=1,2) 当|FAT,t+Δt|-μ|FAN,t+Δt|=0(1612b)
且
(ΔuAT-ΔuBT)·FAT,t+Δt<0 (1613)
103161 接触问题定义
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(3)本构方程
在Coulomb摩擦模型中,摩擦力FAT 与相对速度珔vT 之间的关系是高度非线
性的(图163),摩擦力的突然变化将造成数值计算中迭代的收敛困难,因此提
出了规则化的替代模型(图164),其表达式为
FAT=-μ|FAN|2πarctan
珔vT( )C eT (1614)
其中,eT 是切向相对滑动的方向,即
eT=珔vT|珔vT|
(1615)
而C是一个控制参数。C越小,规则化摩擦模型与Coulomb摩擦模型就越接
近。
图163 Coulomb摩擦模型 图164 规则化摩擦模型
采用规则化摩擦模型意味着只要摩擦力存在,就伴随着相对滑动,这显然更
合理地描述了实际摩擦现象。事实上,规则化模型是一种界面本构方程,实际中
常为下述本构模型所代替
ΔFAT=-kΔu (1616)
其中,k为界面刚度;Δu为Δt时段内接触点C(ξC,ηC)滑移矢量,计算式为
Δu=xt+Δt(ξt+ΔtC ,ηt+ΔtC )-xt(ξtC,ηtC) (1617)
接触点处的总的摩擦力为
FAT,t+Δt=FAT,t+ΔFAT (1618)
显然,其大小应受到最大摩擦力的限制。
203 第16章 边界非线性问题
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162 接触分析原理
1621 虚位移原理
采用UL格式时,几何非线性问题t+Δt时刻的弱形式或虚功方程见第
15章式(1580),即
∫Ω(σtij+ΔSij)δΔEijdΩ-δΔWL=0 (1619)
其中,δΔWL是外荷载的虚功增量。
对于接触问题,上式仍可采用,只是需进行必要的修改。首先须考虑接触界面
条件,包括接触边界上接触力的虚功增量δΔWC和位移约束。其次在碰撞问题中,惯
性力通常不可忽略,故需增加惯性力的虚功增量δΔWI。于是,接触问题的虚功方程为
δΠu=∫Ω(σtij+ΔSij)δΔEijdΩ-δΔWL-δΔWI-δΔWC=0(1620)
其中
δΔWI=-∫Ωρt+Δẗut+Δti δΔuidΩ (1621)
δΔWC=∫ΓACFAi,t+ΔtδΔuAidΓ+∫ΓBCF
Bi,t+ΔtδΔuBidΓ
=∫ΓCFAi,t+Δt(δΔuAi -δΔuBi)dΓ (1622a)
或 δΔWC=∫ΓACFAJ,t+ΔtδΔuAJdΓ+∫ΓBCF
BJ,t+ΔtδΔuBJdΓ
=∫ΓCFAJ,t+Δt(δΔuAJ -δΔuBJ)dΓ (1622b)
其中,下标为J的量是沿整体坐标轴的分量;下标为i的量是沿局部坐标轴的分
量;Δui是Δt时段内的位移增量;Fi,t+Δt是t+Δt时刻的接触力。
1622 接触条件的引入
(1)等效节点荷载
很显然,接触问题的控制方程与非接触问题的相同,只是在接触边界上需要
增加接触界面条件。在位移法有限元分析中,接触边界上的位移约束作为强制
边界条件引入,而接触力则按照虚功等效原则转化为等效节点荷载。显然,式
303162 接触分析原理
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(1620)中的虚功增量δΔWC也就是等效节点荷载的虚功增量。
(2)位移约束条件
对于非接触问题,引入位移边界条件很容易实现,具体形式是在形成整体刚度
方程后直接引入。而在接触问题中,增加了接触边界处的位移约束条件,即不可贯入
条件ΔuAN-ΔuBN+gtN≥0。这个条件不是给定边界位移值,其不等式形式表现为高度
非线性,难以简单地将其引入求解方程,需要结合具体算法通过迭代过程加以实现。
163 接触问题算法
1631 接触算法概述
(1)两种基本方式
在某些有限元程序(例如ANSYS)中,运动物体之间的接触作用通过接触单
元来模拟。接触单元是覆盖在接触界面之上的一层单元。在变形过程中,一旦
确认可能的接触面,则通过接触单元来定义它们。通常考虑三种接触形式,即
点?点接触、点?面接触和面?面接触,相应地可构造三种单元。例如,在点?面接触
中,通过跟踪接触面上的点相对于目标面上线或面的位置,来跟踪两个面的相对
位置。点?面接触单元的形状为三角形(2D)、四面体(3D),其底面由目标面上的
节点组成,而顶点为接触面上的节点。这种单元主要用于模拟点?面接触行为。
如果通过一组节点来定义接触面,生成多个单元,则可通过点?面接触单元来模
拟面?面接触问题。使用点?面接触单元不需要预先知道确切的接触位置,接触
面之间也不需要保持一致的网格,并且允许有大变形和大的相对滑移。
在另一些程序(例如LS?DYNA)中则不用接触单元,只要定义可能接触的
接触表面、它们之间的接触类型,以及与接触有关的参数,在程序执行过程中就
能保证接触界面之间不发生穿透或发现穿透时做出处理,并在接触界面相对运
动时考虑摩擦作用。本章仅介绍后一种方式。
(2)基本计算步骤
接触范围和接触状态的未知性和变动性,决定了接触问题需要采用试探?校
核的方式。无论何种算法,每一增量步的试探?校核过程可归纳如下:
步骤1:根据前一步的结果和本步加载条件,假定本步第一次迭代求解时接
触面的区域和接触状态;
步骤2:根据上述假定,对于接触面上的每一点,将不等式约束改为等式约
束。然后将其作为定解条件引入方程,并进行求解;
步骤3:利用接触界面上的不等式约束作为校核条件对结果进行检查。如
果接触界面(包括假设中尚未进入接触的部分)上的每一点都不违反校核条件,
403 第16章 边界非线性问题
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则结束本步的求解并转入下一增量步的计算。否则,回到步骤1再进行搜寻和
迭代求解,直至结果满足校核条件为止。
(3)接触点对搜寻
在接触问题中,目标面或主表面上的单元表面称为主片,主片上的节点称为
主节点;接触面或从表面上的单元表面称为从片,从片上的节点称为从节点。对
于刚体与柔体接触问题,总是将刚性面作为目标面,柔性面作为接触面。对于柔
体与柔体接触问题,当刚度不同时,以较硬的面为目标面;如果一个面上的网格
较细,另一个面上的网格较粗,可指定粗网格所在的面为目标面。
数值计算的核心内容之一是接触点对的搜寻。这项任务包括两种情况,其
一是未进入接触的从节点在下一次计算中是否和主表面接触。如果接触,则应
确定其具体接触位置;其二是已经处于接触状态的从节点在下一次计算时是否
仍和主表面保持接触。如果保持接触,则应确定新的接触位置。
1632 对称罚函数法
发展了几种无接触单元算法,其中对称罚函数法的原理比较简单,也最为常
用。这里仅介绍这种方法。
对于每个时步,对称罚函数法可归纳为:检查接触体是否贯入目标体,也即
检查各从节点是否穿透主表面。当没有穿透时,对该从节点不做任何处理;如果
发生穿透,则在该从节点与被穿透主表面之间引入一个较大的界面接触力(称为罚函
数值),其大小与穿透深度、主片刚度成正比。罚函数值的物理意义相当于在从节点和
被穿透主表面之间放置一个法向弹簧,以限制从节点对主表面的穿透。若计算中发现
明显贯入,则可以增大罚函数值或减小时步来调节。在数值计算过程中,小量的贯入是
允许的,即不可贯入条件被近似地满足。对各个从节点处理完后,再用同样的算法对各
主节点处理一遍,这就是称为对称罚函数法的缘故。下面仅介绍从节点的处理方法。
对于任一从节点ns,计算步骤如下:
(1)从节点ns搜索
从节点ns搜索,确定与它最靠近的主节点ms。给定节点坐标后,这种搜索
图165 接触搜索
503163 接触问题算法
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是件简单的事情。对于图165所示的情况,ms周围的主片是S1,S2,S3,S4。
(2)确定接触主片
检查与主节点ms有关的所有主片,确定从节点ns穿透主表面时可能接触
的主片。在主节点ms与从节点ns不重合的情况下,若满足下列两个不等式,则
从节点ns可能与主片Si接触
(ci×s)·(ci×ci+1)>0, (ci×s)·(s×ci+1)>0 (1623)
其中,ci,ci+1是主片Si的两条边矢量,从主节点ms向外;s是矢量g在主表面上的
投影矢量;而g是从主节点ms到从节点ns的矢量。根据矢量几何,有下列关系式
s=g-(g·m)m (1624)
其中,m是主片Si的外法线单位矢量,即
m=ci×ci+1|ci×ci+1|
(1625)
如果ns接近或位于两个主片的交线上,不等式(1623)可能不确定。在这
种情况下,即ns位于两个主片的交线ci上时,下述量为极大值
g·ci|ci|
(1626)
(3)确定接触点位置
确定从节点ns在主片Si上可能接触点C的位置。在整体坐标系中,主片
Si上任一点的位置矢量r可表示为(图166)
r=f1(ξ,η)e1+f2(ξ,η)e2+f3(ξ,η)e3 (1627)
其中
fi(ξ,η)=∑4
j=1Nj(ξ,η)xji (1628)
图166 接触点
603 第16章 边界非线性问题
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Nj(ξ,η)=14(1+ξjξ)(1+ηjη) (1629)
而xji是单元第j节点的xi坐标值。
设从节点ns在整体坐标系中的位置矢量为t,则接触点C(ξC,ηC)的位置
必须满足下列两个方程
r(ξC,ηC)
ξ·[t-r(ξC,ηC)]=0
r(ξC,ηC)
η·[t-r(ξC,ηC)]
烍
烌
烎=0(1630)
上式联立求解,可得接触点C的坐标(ξC,ηC)。
(4)检查是否穿透主片
接触界面法向接触条件(165)可写成
gN=[t-r(ξC,ηC)]·ni≥0 (1631)
其中,ni是在接触点C(ξC,ηC)处主片Si的外法向单位矢量,其算式为
ni=r(ξC,ηC)
ξ×r(ξC,ηC)
ηr(ξC,ηC)
ξ×r(ξC,ηC)
η(1632)
如果式(1631)成立,则从节点ns没有穿透主表面。此时,不用作任何处
理,从节点ns 的搜索结束。如果gN<0,则表示从节点ns 穿透包含接触点
C(ξC,ηC)的主片Si。此时,须进行下一步的处理。
(5)施加法向接触力
如果从节点ns穿透主片Si,则在从节点ns上施加法向接触力矢量FsN,其
大小为
FsN=-gNkini (1633)
其中,ki为主片Si的刚度因子,可按下式计算
ki=fKiA2iVi
(1634)
而Ki,Vi,Ai分别是主片Si所在单元的体积模量,体积,主片面积。f是接触刚
度比例因子,例如可取010。取值过大时,可能造成不稳定,除非缩短时间步长。
根据作用反作用原理,在主片Si上的接触点C(ξC,ηC)处作用一个反方向
的接触力即-FsN。按照虚功等效原则,可计算出-FsN 在主片Si的4个主节点
上的等效节点接触力
Fjm=-Nj(ξC,ηC)FsN=Nj(ξC,ηC)gNkini (j=1,2,3,4) (1635)
703163 接触问题算法
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(6)摩擦力计算
从节点ns的法向接触力为FsN,接触点的最大摩擦力值为
Fy=μ|FsN| (1636)
设在前一时刻t,从节点ns处的摩擦力为FT,t,则t+Δt时刻可能产生的摩擦
力(试探摩擦力)为
FT,t+Δt=FT,t-kΔu (1637)
其中,k是界面刚度;Δu为
Δu=rt+Δt(ξt+ΔtC ,ηt+ΔtC )-rt(ξtC,ηtC) (1638)
由此,t+Δt时刻的摩擦力为
FT,t+Δt=FT,t+Δt |FT,t+Δt|≤FyFT,t+Δt=FyFT,t+Δt/|FT,t+Δt| |FT,t+Δt|>F
烍烌
烎y(1639)
按作用反作用原理,计算对应主片Si上的4个主节点摩擦力。
(7)等效节点荷载
将接触力矢量FsN,Fjm和摩擦力矢量投影到整体坐标轴方向,得到节点力
整体坐标方向的分量,将其组集到整体节点荷载向量P中。
按照上述算法,对所有从节点和主节点进行处理即为对称罚函数法。在这
种方法中,以本构方程表示接触界面上摩擦力与相对位移之间的关系,引入罚法
向接触力来消除贯入量(允许小量贯入)。
164 结 语
接触和碰撞过程的数值模拟或仿真是有限单元法应用的前沿课题之一。在
设计与制造领域,计算机仿真显得越来越重要,因为它在很多情况下能代替昂贵
而困难的原型试验。
在接触问题的有限元分析中,关键问题是如何正确地表述接触界面条件并
将其引入计算过程。至于单元类型,原则上说,以前所讨论过的各种单元都可用
于接触分析,但是实际上通常采用低阶单元,例如离散实体结构的4节点四边形
等参单元、8节点六面体等参单元。此外,在接触问题中,大变形可能造成单元
过分扭曲,甚至使计算无法继续进行。因此,到一定程度可重新划分网格,然后
再继续分析。
803 第16章 边界非线性问题
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习 题
161 与通常的问题相比,接触和碰撞问题有何特点?试简要阐述其基本解题
思路。
162 接触界面条件有哪几种类型?为什么在计算中必须采用增量形式的接触
条件?
163 试简述对称罚函数法的基本思想。
903习 题
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第17
章
有限单元法旁系发展
在求解定解问题的各种数值方法中,较早发展的是有限差分法。现在,这种
方法在流体力学等领域仍有其优越性,但很少还有人将其用于结构分析,故本章
不予介绍。而成效最显著、应用最广泛的数值方法无疑是有限单元法,它对结构
形状、荷载形式、本构方程及边界条件的适应性极强,几乎可以求解任何结构分
析问题。
然而,有限单元法也有其固有的局限性,例如:完全离散化导致解的精度不
高;限于单元内部的插值限制了插值精度;单元和节点的紧密联系使其在处理需
要单元和节点变化的问题是缺乏灵活性等。因此,在有限单元法获得迅速发展
的同时,还提出了很多方法以弥补经典有限单元法的不足,例如边界单元法、有
限条法、有限元线法、无网格法等。目前,这些方法都已成为有特色的、独立的数
值方法。但是,它们都与有限单元法有某种联系,或者说它们都渗入了有限单元
法的思想,因而都可以看作有限单元法的发展。
本章简明地介绍上述吸收有限元技术而发展起来的数值方法,帮助读者纵
向地了解各种方法的特点,以便必要时做出合适的选择。
171 边界单元法
1711 基本思想
边界单元法(BoundaryElementMethod,简称BEM)是在经典边界积分方程
法的基础上吸收有限单元法离散技术而发展起来的一种数值方法。我们已经知
道定解问题有微分方程提法和泛函变分提法,此外还有边界积分提法。从本质
上讲,各种提法都是等价的;然而不同提法将导致不同的求解方法。例如,基于
泛函变分提法,发展了有限单元法;基于经典的边界积分方程法,并与有限单元
法相结合产生了边界单元法。
简单地说,边界单元法首先将所研究问题的微分方程转换为在边界上定义
的边界积分方程;然后将边界离散化使积分方程变为只含有边界节点未知量的
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代数方程组;求解方程组得出边界节点上的未知量,并由此进一步求得区域内部
的未知量。
1712 数值方法
(1)边界归化
在边界单元法中,关键步骤是将求解微分方程问题转化为求解边界积分方
程问题,这叫做边界归化。边界积分方程是通过基本解的叠加来建立的,而基本
解就是控制微分方程在无限区域内的点源影响场。例如,无限大弹性体内某点
受到集中力作用时的Kelvin解。
根据建立边界积分方程时利用基本解的方式不同,有多种边界归化途径。
换句话说,针对同一问题,采用不同的归化途径将得到不同的边界积分方程,从
而导致不同的边界单元法。经典的归化方法有直接归化法和间接归化法。在直
接归化法中,通过基本解直接把边界上的待求边界函数与已知边界条件联系起
来建立积分方程,从这个方程解出来的就是未知边界值。间接归化法则不用边
界的待求边界值作为未知函数,而是在无限区域内沿着该问题的计算边界配置
某种点源分布函数作为间接未知量,然后通过基本解的叠加来近似满足边界条
件。由于基本解自动满足控制方程,因此只要这些点源函数在边界处产生的影
响刚好与给定的边界条件一致,则根据定解问题解的唯一性原理,它们在计算区
域内和边界上的影响也就是该边值问题的特解。由于直接归化法不引入新的变
量,积分方程的未知量就是原问题的未知量,故该法易于理解且便于应用,很受
工程界欢迎。
在弹性力学边值问题中,可以用Betti功的互等定理推导积分方程。设某弹
性体受一组外力(面力和体力)作用,产生相应的应力、应变和位移;又设另一组
外力作用在该弹性体上,产生相应的应力、应变和位移,则联系这两个边值问题
的Betti定理可表述如下:第一组作用力在第二组位移上所做的功,等于第二组
作用力在第一组位移上所做的功。
现以实际问题中的作用力为第一组力系,包括作用在域Ω内的体力f和Ω的边界Γ上的所有面力p(给定的面力和支承处的边界反力)。这显然是一组平
衡力系,它引起的位移为u。取某平衡力系作为第二组力系,它们以及它们产生
的位移分别为f,p,u。根据Betti功的互等定理,即在任一线性弹性变形
系统中,第一组外力在由于第二组外力引起的位移上所做的功,等于第二组外力
在由于第一组外力引起的位移上所做的功,有
∫ΓpiuidΓ+∫ΩfiuidΩ=∫ΓpiuidΓ+∫ΩfiuidΩ (171)
113171 边界单元法
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如果第二组边值问题的解已知,则上式就是利用已知解把实际问题的作用
力与待求位移联系起来的积分方程。在弹性力学问题中,第二组平衡力系及其
解答就是Kelvin问题及其解答,即以无限域内作用单位集中力时的解答。在无
限域内,沿着与实际问题完全相同的边界Γ取出部分弹性介质作为脱离体。设
点源即单位集中力作用在域内,则在脱离体边界上作用的面力pi(由边界应力
换算)与单位集中力保持平衡。于是,Betti互等定理的积分方程(171)成立。
设域内P1处点源为沿坐标轴xj方向的单位集中力,它在任意点P处沿xi方向
引起的位移和面力分别为uij(P1,P)和pij(P1,P)。物 理 上 常 用 狄 拉 克
(Dirac)函数,即δ函数来描述集中分布的量,例如集中质量、集中电荷、集中荷
载等。当r1处作用集中荷载时,域内体力分量可用δ函数表示
δ(r-r1)=0 当r≠r∞ 当r={ r
(172)
δ函数具有如下性质
∫Ωδ(r-r1)dΩ=1 (173)
∫Ωf(r)δ(r-r1)dΩ=f(r1) (174)
因此,式(171)成为
uj(P1)=∫Γpi(P)uij(P1,P)dΓ-∫Γpij(P1,P)ui(P)dΓ
+∫Ωfi(P)uij(P1,P)dΩ (175)
式(175)称为Somigliana公式,它通过基本解直接把域内点上的位移值与
边界点上的边界值(位移和面力)以及体力的影响联系起来。由于其中包含了未
知的边界值和域内位移,故只靠边界上给定的条件还不足以解出所有未知数。
只有在求得边界值以后,才能用该式计算域内点的位移。
图171 边值问题
为了求解未知的边界值,需把点源由域内移到边界上,使其位移成为边界位
移,从而得到边界积分方程。当点源位于平滑边界上的P0点时,可推导出如下
213 第17章 有限单元法旁系发展
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边界积分方程
12uj
(P0)=∫Γpi(P)uij(P0,P)dΓ-∫Γpij(P0,P)ui(P)dΓ
+∫Ωfi(P)uij(P0,P)dΩ (176)
当不计体力时,上式成为
12uj
(P0)=∫Γpi(P)uij(P0,P)dΓ-∫Γpij(P0,P)ui(P)dΓ (177)
显然,上式中的所有量均为边界值。
(2)数值求解
一般情况下,边界积分方程(176)没有解析解。采用边界单元法求解时,需
要把边界Γ离散为边界单元并在其节点之间插值,从而将边界积分方程转变为
线性代数方程组。由此解出各单元节点处的待定边界值,再利用把边界值与域
内函数联系起来的解析公式(175),可求得域内任一点的函数值。为说明简便
起见,考虑不计体力的弹性力学问题。
将边界划分成n个边界单元,单元内任一点的位移和面力通过插值函数用
单元节点位移和节点面力表示。边界单元可分为常数单元、线性单元、二次单元
和高阶单元。例如,常数单元假定单元的位移和面力均为常量,且等于单元中间
节点处的值。将单元位移和面力表示为
u=Nue, p=Npe (178)
其中,ue,pe分别为单元节点位移和节点面力向量。若令
u=
u11 u12 u13u21 u22 u23u31 u32 u
熿
燀
燄
燅33
, p=
p11 p12 p13p21 p22 p23p31 p32 p
熿
燀
燄
燅33
(179)
则式(177)成为
12u=∑e∫Γeu
pdΓ-∫Γepud( )Γ (1710)
将式(178)代入上式,整理并集成后得
HU=GP (1711)
其中,U为整体节点位移向量;P为整体节点面力向量。
根据边界条件,在边界单元上,要么节点面力是已知的,要么节点位移是已
知的。因而,对式(1711)作适当处理后,总可得到以未知节点位移和未知节点
313171 边界单元法
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面力为未知量的代数方程组
AX=F (1712)
从而问题得解。
1713 简单讨论
边界单元法引入基本解,具有解析与离散相结合的特点;只在域的边界上划
分单元,从而使问题的维数降低,所得线性代数方程组的未知数显著减少;离散
误差只发生在边界,且应力与位移具有同样的精度,因而计算精度高。实践表
明,边界单元法在处理单一介质问题,特别是无限域问题、空间问题或带有奇异
性的问题中显示了突出的优越性。
边界单元法的缺点是对非线性问题较难适应;线性代数方程组的系数矩阵
是满阵且不对称;当计算区域包括有多种不同性质的介质时,要划分为若干个分
区,从而增加了各分区交界面上的未知数。
有限单元法与边界单元法在很多方面具有优势互补性,因此两者耦合方法
越来越受到人们的重视,即对于需要进行非线性分析的区域采用有限单元法,对需
要进行线弹性分析或具有无限域或半无限域边界的区域采用边界单元法,充分发挥
各自的长处,从而使计算效率和计算精度得到提高(文献41,88)。
172 有 限 条 法
1721 基本思想
张佑启于1968提出有限条法(FiniteStripMethod,简称FSM),其基本思路
和解题过程与有限单元法极为相似。该法以子域代替单元,以节线或界面位移
参数为基本未知量。子域的位移函数构造出来以后,有限条法的其他列式与传
统有限元的完全相同。显然,可将这里的子域称为单元,将有限条法看作有限单
元法的分支。有限条法的具体分析步骤如下(文献15):
(1)结构离散:有限条法将结构划分成若干个子域即单元(条、棱柱或层),单
元间通过节线或界面相连接;
(2)单元分析:选择单元位移函数并用节线或界面位移表示单元位移场。用势能变
分原理求出单元刚度矩阵,并按等效原则进行荷载移置,求得节线或界面荷载向量;
(3)整体分析:就节线或界面建立平衡方程,或将势能变分原理应用于整个
结构,从而得到整体刚度方程;
(4)数值求解:引入边界条件,求解整体刚度方程,并进而计算单元的应力和变形。
413 第17章 有限单元法旁系发展
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1722 数值方法
(1)结构离散
将结构沿某一或两个维度划分成子域,它们是条、棱柱或层(图172)。这
些子域类似于有限单元法中的单元,只不过单元间通过节线或界面相连接。
图172 结构离散
(2)位移函数
在有限条法中,假定单元在节线方向的位移分布形式。通常,单元位移函数
取一维或二维多项式与谐和级数的组合,而谐和级数的选择应满足端部的边界
条件。例如,对于薄板弯曲问题中的矩形条,位移函数可选为
w=∑r
m=1fm(x)Ym(y) (1713)
其中,fm(x)为对应于第m 项的具有待定常数项的多项式,应能反映x方向的
常应变;Ym(y)是沿y方向满足端部边界条件的函数,用于表示结构沿y方向
的变形形式。对于棱柱,位移函数可选为
w=∑r
m=1fm(x,z)Ym(y) (1714)
为简明起见,现以一对边简支的薄板横向弯曲问题为例说明有限条法的基
本步骤。沿薄板跨向划分为若干矩形条,即有限条法中的单元。每个单元有两
个节线(节线局部码为1,2),而每根节线有两个位移自由度,即沿z方向的挠度
和绕y轴的转角。这样,每个单元有4个位移分量w1,θ1,w2,θ2(图173)。
图173 薄板弯曲与板条
513172 有 限 条 法
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现讨论位移函数的具体形式。当板的两端边界为简支时(图173),有
w=0, 2wy2=0
从而要求
Y(0)=Y″(0)=0, Y(b)=Y″(b)=0
此时可选
Ym(y)=sinmπyb(a)
对于条来说,位移函数的形函数为与节线位移参数有关的多项式。对于图
173所示的板条,取节线1,2的挠度幅值w1m,w2m和转角幅值θ1m,θ2m作为
基本未知量。显然,形函数可取x的三次多项式。定义局部坐标
x=x1+aξ (1715)
其中,x1为节线1的x坐标。这样,单元位移函数可表示为
w=∑r
m=1(α1+α2ξ+α3ξ2+α4ξ3)sin
mπyb
(b)
注意到
w1=∑r
m=1w1msin
mπyb
, θ1=w( )x 1
=∑r
m=1θ1msin
mπyb
, 当ξ=0
(c)
w2=∑r
m=1w2msin
mπyb
, θ2=w( )x 2
=∑r
m=1θ2msin
mπyb
, 当ξ=1
(d)
将上式与坐标代入式(b)可确定4个待定系数,再代回式(b)得
w=∑r
m=1Nmaem =Nae (1716)
其中形函数矩阵和单元节线位移向量为
N=[N1 N2 ⋯ Nr], ae=
ae1…
ae烅烄
烆烍烌
烎r
(1717)
而
613 第17章 有限单元法旁系发展
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Nm=[N1(ξ) N2(ξ) N3(ξ) N4(ξ)] (1718)
N1=1-3ξ2+2ξ3
N2=a(ξ-2ξ2+ξ3)
N3=3ξ2-2ξ3
N4=a(-ξ2+ξ3
烍
烌
烎)
(1719)
aem=[w1m θ1m w2m θ2m]Tsinmπyb(1720)
(3)刚度方程
有了单元的位移模式后,单元应力和应变、单元刚度矩阵、单元等效节点荷
载向量、整体刚度矩阵和整体节点荷载向量的集成等和薄板有限元的计算相似。
现用最小势能原理建立刚度方程。
根据第8章的分析,薄板应变为
ε=
εx
εy
γx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-z2wx2
-z2wy2
-2z2wx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=z
κx
κy
κx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=zκ (1721)
其中,κ称为广义应变。薄板应力为
σ=D′ε=zD′κ (1722)
其中,D′为平面应力问题的弹性矩阵。薄板内力或称广义应力为
M=
Mx
My
Mx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=-h3
12D′
2wx2
2wy2
22wx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=Dκ (1723)
其中
D=h3
12D′=D1 ν 0ν 1 00 0 (1-ν)/
熿
燀
燄
燅2
(1724)
将最小势能原理用于整个薄板
713172 有 限 条 法
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Πp=∑eΠep=∑
e
12ΩεTσdxdydz-Γσ
wqd( )Γ=∑
e
12∫
b
0∫a
0κTMdxdy-∫
b
0∫a
0wqdxd( )y
=∑e
12∫
b
0∫a
0κTDκdxdy-∫
b
0∫a
0wqdxd( )y (1725)
将式(1716)代入广义应变计算式,可得
κ=∑r
m=1Bmaem =Bae (1726)
代入式(1725)得
Πp=∑e
12a
eTKeae-aeTP( )e (1727)
其中单元刚度矩阵为
Ke=∫b
0∫a
0BTDBdxdy=
k11 k12 ⋯ k1rk21 k22 ⋯ k2r
… … … …
kr1 kr2 ⋯ k
熿
燀
燄
燅rr
(1728)
其中
kmn=∫b
0∫a
0BTmDBndxdy (1729)
式(1727)中的单元等效节线荷载向量为
Pe=∫b
0∫a
0NTqdxdy=∫
b
0∫a
0
NT1NT2…
NT
熿
燀
燄
燅r
qdxdy (1730)
对于级数的第m 项,有
Pem=∫b
0∫a
0NTmqdxdy (1731)
由于级数各项互不耦合,故可以先就每项计算,然后叠加。对于第m 项,有
Πpm=∑e
12a
eTmKemaem-aeTmPe( )m =12aTmKmam-aTmPm (1732)
813 第17章 有限单元法旁系发展
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令上述泛函变分为零,可得整体刚度方程
Kmam=Pm (1733)
其中,Km,am,Pm 分别为对应第m 项的整体刚度矩阵、整体节线位移向量、整
体节线荷载向量。
1723 简单讨论
有限条法是一种半离散结构分析方法,其基本思路和解题过程与有限单元
法相似。两者相比,有限条法具有下述优点:由于维数的降低,输入数据量大大
减少;子域数目远小于单元数,节线或界面数目远小于节点数目,因此整体刚度
矩阵的阶数与带宽大为减少。有限条法特别适用于有规则几何形状与简支边界
条件的结构,例如板式、肋梁式结构。
当然,有限条法的适应性不如有限单元法那样强,例如难以处理边界条件非
简支和沿跨方向为变截面的结构问题。
173 有限元线法
1731 基本思想
有限元线法(FiniteElementMethodofLines,简称FEMOL)是一种以常微
分方程求解器为支撑软件的半解析数值方法,是经典的线法与有限元技术相结
合的产物(文献89,26)。
线法是一种古老的结构分析方法,其基本思想是利用差分技术将结构的控
制微分方程半离散成定义在节线上的常微分方程组,然后利用解析法或数值法
求解该方程组。经典的线法有两个缺陷,即求解区域限于规则区域和求解常微
分方程组比较困难,因而长期没有得到发展。有限元技术的引入使有限元线法
可以求解任意区域的问题;高效常微分方程求解器的应用克服了常微分方程组
求解的困难。有限元线法的具体分析步骤如下(文献26):
(1)结构离散:将结构划分为由节线和端边组成的单元,并用单元集合体代
替结构;
(2)单元分析:以单元节线位移函数为基本未知函数,并通过插值用节线位
移函数表示单元内的位移;求出单元应力和应变,进而写出单元用节线位移函数
表示的半离散势能泛函;
(3)整体分析:将各单元的势能泛函集成,得到结构的总势能泛函;利用势能
变分原理推导出用节线位移表示的一组常微分方程及其相应的边界条件,即有
913173 有限元线法
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限线法的ODE(OrdinaryDifferentialEquation)体系;
(4)数值求解:采用高效求解器求解ODE体系,得到节线位移;然后进一步
求解其他未知量。
可见,有限元线法的基本原理(即变分原理)与有限单元法的相同,解题的基
本步骤也是完全相似的。
1732 数值方法
(1)结构离散
现以图174所示的薄板弯曲问题为例,对有限元线法加以阐释。采用
FEMOL矩形单元对板进行离散,每个单元有两个节线和两个端边。与有限条
法相同,每根节线有两个位移自由度,即沿z方向的挠度和绕y轴的转角。这
样,每个单元有4个节线位移w1,θ1,w2,θ2。
图174 FEMOL矩形单元
(2)位移函数
设单元中心的整体坐标为(x0,y0)。定义局部坐标
x=x0+aξ, y=y0+bη (1734)
单元位移函数可表示为
w=Nae (1735)
其中形函数矩阵为
N=[N1(ξ) N2(ξ) N3(ξ) N4(ξ)] (1736)
而
N1=(ξ3-3ξ+2)/4
N2=a(ξ3-ξ2-ξ+1)/4
N3=(-ξ3+3ξ+2)/4
N4=a(ξ3+ξ2-ξ-1)/
烍
烌
烎4
(1737)
023 第17章 有限单元法旁系发展
![Page 331: Finite Element Method 有限单元法idl.hbdlib.cn › book › 00000000000000 › › pdfbook › 013 › 001 › ... · 前 言 有限单元法(FiniteElementMethod,简称FEM)起源于20世纪40年代至50](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062303/5f040e7a7e708231d40c1a64/html5/thumbnails/331.jpg)
单元节线位移向量为
ae=[w1(η) θ1(η) w2(η) θ2(η)]T (1738)
(3)刚度方程
将式(1735)代入广义应变计算式得
κ=
κx
κy
κx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-2wx2
-2wy2
-22wx
烅
烄
烆
烍
烌
烎y
=
-1a2N″ae
-1b2Na″e
-2abN′a′
烅
烄
烆
烍
烌
烎e
(1739)
将最小势能原理应用于整个薄板结构,并将上式代入得
Πp=∑eΠep=∑
e
12Ae
κTDκdxdy-Aewqdxd( )y
=12∫1
-1[a″TAa″+2νaTB1a″+2(1-ν)a′TB2a′+aTCa]dη-∫
1
-1aTPdη
上式经过分部积分,并令其变分为零,可得用节线位移函数表示的常微分方程组
Aa(4)+Ba″+Ca=P (1740)
以及相应的边界条件(略)。其中,A,B等为系数矩阵;a为整体节线位移向量。
1733 简单讨论
在有限条法中,为了避免求解节线方向的常微分方程组,假定了节线方向位
移的分布形式。在有限元线法中,由于对节线位移函数不做任何事先假定,而是
通过求解常微分方程来优选,因而较有限条法更为方便灵活且能得到较高的精
度。因此,有限元线法可以看成通过求解节线方向的常微分方程组从而得到节
线方向最优解的有限条法。
在有限元线法中,由于采用有限元技术进行半离散化,因而较传统的线法对
求解区域的适应能力为高。由于取节线位移而不是节点位移作为基本未知量,
因而网格划分及数据输入较有限单元法简单。采用节线和单元映射等技术,有
限元线法可以求解任意区域的问题,在最大程度上实现有限单元法对结构形状、
荷载形式及边界条件的良好适应性,并克服有限单元法的某些不足之处。目前,
有限元线法已经成功地应用于求解平面问题、空间问题、板壳结构等各种结构分
析领域。
123173 有限元线法
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174 无 网 格 法
1741 基本思想
有限单元法在处理网格大变形、裂纹扩展等问题时遇到困难,其主要原因是
网格的存在妨碍了处理与原始网格不一致的不连续面。因此,学者们从20世纪
70年代开始,广泛研究不用单元和网格的数值方法。到目前为止,已经提出了
十多种这类方法(文献63,13),可以统称为无网格法(MeshlessMethod)。
为简洁起见,阐述中以标量场问题为例。各种无网格法均在求解域Ω内取
一组离散节点,节点i的坐标为xi(i=1,2,⋯,n),把与节点i相关联的场变量
记为ui,并采用数值方法求ui的近似解。具体做法是采用有紧支域(也称为影
响域)的权函数,使近似解在某区域内更好地逼近真实解。在二维情况下,常用
的紧支域为圆或矩形(图175)。图中的粗线是全域的边界线,细线为与节点i相关联的紧支域,标记为Ωi。权函数在紧支域上非零,在紧支域外的剩余域为
零。紧支域之间相互有重叠部分,实际计算中通常可取5~10个紧支域重叠在
一个节点上。
图175 紧支域
无单元法(Element?freeMethod,EFM)属于无网格法(文献55,8),其数学基
础是移动最小二乘法(movingleast?squareapproximation,MLS)。本节只以该法
为例说明无网格法的具体步骤(文献76)。
1742 数值方法
(1)移动最小二乘法
移动最小二乘法是用加权最小二乘法来近似场函数的一种方法。下面以定
义于二维域内的标变量场问题为例,来说明移动最小二乘法的基本思想。
设给定场函数u(x)在n个节点xi(x,y)上的值u(xi)=ui(i=1,2,⋯,
n),场函数u(x)可以近似为
u(x)=∑m
j=1pj(x)aj(x)=pT(x)a(x) (1741)
223 第17章 有限单元法旁系发展
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其中,p(x)为m 维基向量。基向量可以采用一般多项式基、正交多项式基、小
波基函数等。一般多项式基取自完全多项式,例如平面问题中的一次基和二次
基分别为
p(x)=[1 x y]T, p(x)=[1 x y x2 xy y2]T
式(1741)中的a(x)为m 维待定系数向量,它是坐标x的函数,可由下式
在任意点x取极小而得到
J=∑n
i=1wi(x)[pT(xi)a(x)-ui]2=∑
n
i=1w(x-xi)[pT(xi)a(x)-ui]2
(1742)
其中,w(x)为权函数,wi(x)=w(x-xi)为节点i的权函数;n为x点影响域
内的节点数,这些节点成为点x的临近节点。
Ja=2∑
n
i=1wi(x)p(xi)[pT(xi)a(x)-ui]=0
即
∑n
i=1wi(x)p(xi)pT(xi)a(x)=∑
n
i=1wi(x)p(xi)ui
写成矩阵形式
A(x)a(x)=B(x)u (1743)
其中,A(x)为m×m 阶矩阵,B(x)为m×n阶矩阵,u为n维向量,它们的表
达式为
A(x)=∑n
i=1wi(x)p(xi)pT(xi)
B(x)=[w1(x)p(x1) ⋯ wn(x)p(xn)]
u=[u1 u2 ⋯ un]T, wi(x)=w(x-xi
烍
烌
烎)
(1744)
由式(1743)可解得
a(x)=A-1(x)B(x)u (1745a)
即
aj(x)=∑n
i=1[A-1(x)B(x)]jiui (1745b)
将式(1745)代入式(1741)得
323174 无 网 格 法
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u(x)=∑m
j=1pj(x)aj(x)=∑
n
i=1∑m
j=1pj(x)[A-1(x)B(x)]jiui (1746)
定义形函数
i(x)=∑m
j=1pj(x)[A-1(x)B(x)]ji (1747)
则式(1746)可写成有限单元法中熟悉的表达式
u(x)=∑n
i=1i(x)ui (1748)
(2)权函数的选取
权函数在无网格法中具有非常重要的作用。就数值逼近而言,使用权函数
可以使近似解和精确解在某一划定区域上拟合得更好。选取节点i的权函数
wi(x)=w(x-xi)时,要满足下列条件:
非负;保证a(x)的唯一性;在自身节点xi处取值最大,并随x与xi的距离
增加而逐渐减小,在某距离外取零值;具有一定阶次的连续性,以保证插值函数
从而近似解连续可导。
通常将权函数表达为两点距离的函数,即
wi(x)=wi(ri) (1749)
其中,ri=‖x-xi‖表示两点x与xi之间的距离。例如,获得广泛应用的有理
式权函数为
wi(ri)=r2mi
r2i+ε2r2mi1-r2ir2( )mi
k
ri≤rmi
0 ri>r烅烄
烆 mi
(1750)
其中ε为参数。
(3)离散化方法
在无单元伽辽金法中,从微分方程在局部子域上的弱形式出发来建立离散
方程。局部子域Ωs完全在整体域Ω的内部,通常为球(三维)和圆(二维)。球
或圆的中心为所研究点的位置x。为说明问题简单起见,以下列控制方程和边
界条件为例
Δ
2u=f 在Ω内
u(x)=珔u(x) 在Γu 上
u,n(x)≡t=珋t 在Γt烍烌
烎上
(1751)
其中,n为边界的外法线。上述问题在局部子域上伽辽金方程为
423 第17章 有限单元法旁系发展
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∫Ωs(
Δ
2u-f)vdΩ-α∫Γsu(u-珔u)vdΓ=0 (1752)
其中,u是近似函数;v是试探函数;Γsu 是子域Ωs的边界Γs中有基本边界条件
的边界。如果子域完全位于整体域内,那么Γs与整体边界Γ不相交,在Γsu 上的
边界积分自然也就为零。
用移动最小二乘法近似变量u时,不容易直接预先满足基本边界条件。因
此式(1752)中引入的罚参数α(α1),用来满足基本边界条件。用散度定理,
容易将式(1752)化为
∫Γsniu,ivdΓ-∫Ωs(u,iv,i+fv)dΩ-α∫Γsu(u-珔u)vdΓ=0
子域的全部边界为Γs=Γsu+Γst+Γsr,其中Γsr=Γs∪Γ为局部边界的其他部
分。注意到问题的边界条件,上式可写为
∫ΓsrtvdΓ+∫ΓsutvdΓ+∫Γst珋tvdΓ-∫Ωs(u,iv,i+fv)dΩ-α∫Γsu(u-珔u)vdΓ=0
(1753)
为简化方程(1753),可特别选择试探函数,使其在边界Γsr 上等于零。在
移动最小二乘法中,将权函数作为试探函数,那么上述要求很容易满足,即只要
将局部子域Ωs的半径作为权函数的紧支域半径rmi即可。采用这种试探函数,
重新排列式(1753)得
∫Ωsu,iv,idΩ+α∫ΓsuuvdΓ-∫ΓsutvdΓ=∫Γst珋tvdΓ+α∫Γsu珔uvdΓ-∫ΩsfvdΩ(1754)
对于任意一点x,方程(1754)就像在Ωs上处理局部边值问题。子域的半
径将影响方程的解。对于一个点(因而是对一个局部域)应用式(1754),将得到
一个含有未知量的线性方程。对于整个域应用该式,可以得到与节点数相同的
线性代数方程组。因此,在整个域中就需要有节点数相同的局部域。将移动最
小二乘法的近似式(1748)代入式(1754),得到离散方程组
Ku=F (1755)
其中
Kij=∫Ωsj,k(x)v,k(x,xj)dΩ+α∫Γsuj(x)v(x,xi)dΓ-∫Γsuj,n(x)v(x,xi)dΓ
(1756)
523174 无 网 格 法
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Fi=∫Γst珋t(x)v(x,xi)dΓ+α∫Γsu珔u(x)v(x,xi)dΓ-∫Ωsf(x)v(x,xi)dΩ
(1757)
1743 简单讨论
无单元法与有限单元法一样,也是利用形函数构造近似解来逼近真实解;但
在两种方法中形成形函数的数学基础不同。无单元伽辽金法以移动最小二乘法
为基础,从微分方程的弱变分形式出发,导出求解问题的代数方程。
采用无网格法建立代数方程组时仅需要对节点和边界条件进行描述,从而
避免了单元网格划分工作,前处理极为简单。在无网格法中,场函数及其梯度在
整个求解域内是高次连续的,故可得到高次连续的应变场和应力场等,计算精度
高且不需要有限单元法中的应力处理,从而克服了有限单元法中由于场函数的
局部近似所引起的误差。
有限单元法依赖于网格,因此在处理裂纹扩展问题时,需要不断地重新划分
网格,这使得工作量激增从而限制了应用;在大变形情况下,网格发生畸变将使
精度降低甚至求解失败。无网格法只需要节点信息而不需要网格,故只要预先
沿着裂纹可能扩展的方向布置节点就可以方便地跟踪裂纹扩展过程;因不需要
网格,也就没有网格畸变问题(文献14)。
目前,无网格法的计算效率不如有限单元法;由于无网格法中的近似函数不
通过节点变量值,因此要满足基本边界条件(指已知函数值得边界条件即第一类
边界条件)就比较困难,这也是无网格法的一个难点。
175 结 语
本章只是简要地介绍了与有限单元法密切相关的几种数值方法,包括边界
单元法、有限条法、有限元线法和无网格法,目的是帮助读者大致了解各种方法
的基本思想与特点。
习 题
171 试简要叙述边界单元法、有限条法、有限元线法、无网格法的基本思想与
特点。
623 第17章 有限单元法旁系发展
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