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Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 1/40

Finanzierung und Investition

Kruschwitz/Husmann (2012)

Oldenbourg Verlag Munchen

7. Auflage, Kapitel 2


2 Entscheidungstheorie2.1 Nutzentheorie unter Sicherheit2.2 Nutzentheorie unter Unsicherheit2.3 Formen der Risikoeinstellung2.4 Stochastische Dominanz2.5 Klassische Entscheidungstheorieregeln


C0

C1

(x0,x1)

(y0,y1)

x0

x1

y0

y1

(z0,z1) = [{x0,y0 ||α,1− α},{x1,y1 ||α,1− α}]

Abbildung 2.1: Konvexitat der Praferenzen

2 Entscheidungstheorie 2.2 Nutzentheorie unter Unsicherheit


Tabelle 2.1: Ergebnismatrix

Z1 Z2 . . . Zs . . . ZSq1 q2 . . . qs . . . qS

A1 x11 x12 . . . x1s . . . x1SA2 x21 x22 . . . x2s . . . x2S. . . . . . . . . . . . . . . .

Ai xi1 xi2 . . . xis . . . xiS. . . . . . . . . . . . . . . .

AI xI1 xI2 . . . xIs . . . xIS



Tabelle 2.2: Exemplarische Ergebnismatrix

Z1 Z2 Z3

q1 = 0,3 q2 = 0,5 q3 = 0,2

A1 Mountainbike Waschmaschine LaptopA2 Smartphone Digitalkamera Londonreise



q

1− q

x1

x2

Abbildung 2.2: Einfache Lotterie



q1

1− q1q2

1− q2

x1

x3

x2

Abbildung 2.3: Zusammengesetzte Lotterie



Tabelle 2.3: Nutzenmatrix

Z1 Z2 . . . Zs . . . ZSq1 q2 . . . qs . . . qS

A1 U(x11) U(x12) . . . U(x1s) . . . U(x1S)A2 U(x21) U(x22) . . . U(x2s) . . . U(x2S). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ai U(xi1) U(xi2) . . . U(xis) . . . U(xiS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AI U(xI1) U(xI2) . . . U(xIs) . . . U(xIS)



Tabelle 2.4: Nutzenwerte exemplarischer Ergebnisse

x U(x)

Digitalkamera 0,00Smartphone 0,30Waschmaschine 0,40Mountainbike 0,75Laptop 0,80Londonreise 1,00



Tabelle 2.5: Exemplarische Nutzenmatrix

Z1 Z2 Z3 E[U(xi)]q1 = 0,3 q2 = 0,5 q3 = 0,2

A1 0,75 0,40 0,80 0,585A2 0,30 0,00 1,00 0,290



q

1− qMontainbike ∼

Londonreise

Digitalkamera

Abbildung 2.4: Vergleich eines sicheren Resultats mit einer Referenzlotterie



Tabelle 2.6: Transformierte Ergebnismatrix

Z1 Z2 Z3

q1 = 0,3 q2 = 0,5 q3 = 0,2

A1 [x, x||0,75, 0,25] [x, x||0,40, 0,60] [x, x||0,80, 0,20]A2 [x, x||0,30, 0,70] [x, x||0,00, 1,00] [x, x||1,00, 0,00]



Tabelle 2.7: Zustandsabhangige Cashflows zweier Investitionen

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6

q1 = 0,05 q2 = 0,05 q3 = 0,10 q4 = 0,50 q5 = 0,20 q6 = 0,10

A1 49.000 52.500 56.000 57.500 63.000 66.500A2 61.000 48.000 58.000 62.000 60.000 45.000



x

U(x)

45.000 66.500

0,25

0,50

0,75

1,00

Abbildung 2.5: Logarithmische Nutzenfunktion



Tabelle 2.8: Nutzen der zustandsabhangigen Cashflows zweier Investitionen

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6

q1 = 0,05 q2 = 0,05 q3 = 0,10 q4 = 0,50 q5 = 0,20 q6 = 0,10

A1 0,2181 0,3947 0,5600 0,6277 0,8616 1,0000A2 0,7790 0,1653 0,6498 0,8206 0,7366 0,0000



Tabelle 2.9: Zeitpraferenzen bei Entscheidungen unter Unsicherheit

Z1 Z2 Z3

q1 = 0,3 q2 = 0,5 q3 = 0,2

t = 0 x0s Mountainbike Waschmaschine LaptopU0(x0s) 0,75 0,40 0,80




Tabelle 2.10: Intertemporale Ergebnisse und Nutzenfunktionen

Z1 Z2 Z3

q1 = 0,3 q2 = 0,5 q3 = 0,2

t = 0 x0s Smartphone Digitalkamera LondonreiseU0(x0s) 0,30 0,00 1,00


U(x0s, x1s) 1,00 0,35 1,60



x

U(x)

linear

konkav

konvex

Abbildung 2.6: Idealtypische Nutzenfunktionen

2 Entscheidungstheorie 2.3 Formen der Risikoeinstellung


Tabelle 2.11: Eigenschaften idealtypischer Nutzenfunktionen

U(x) U ′(x) U ′′(x) implizierteRisikoeinstellung

konkav positiv negativ strikte Risikoscheulinear positiv null Risikoneutralitat

konvex positiv positiv strikte Risikofreude



x

U(x)

E[x] = x1+x22

U(E[x])

x1

AU(x1)

x2

BU(x2)

E[U(x)] = U(x1)+U(x2)2

Abbildung 2.7: Nutzenfunktion bei strikter Risikoaversion



x

U(x)

Abbildung 2.8: Savage-Friedman-Funktion



Tabelle 2.12: Ausgewahlte Nutzenfunktionen und absolute sowie relativeRisikoabneigung

Nutzenfunktion ARA RRA

U(x) = x− 12bx

2 IARA IRRA

U(x) = −e−x/b CARA IRRA

U(x) =√x DARA CRRA

U(x) = lnx DARA CRRA



Tabelle 2.13: HARA-Nutzenfunktionen und Risikoaversion

DRRA CRRA IRRA

DARA a > 0 und b < 0 a > 0 und b = 0 a > 0 und b > 0

CARA a→ 0 und b > 0

IARA a < 0 und b > 0



Tabelle 2.14: Parameterwahl fur spezielle Nutzenfunktionen der HARA-Klasse

Parameterwahl Nutzenfunktion Funktionstyp

a = −1 b > 0 U∗(x) = x− 12bx

2 Quadratische Funktion

a→ 0 b > 0 U∗(x) = −e−x/b Exponentialfunktion

a = 1γ b = 0 U∗(x) = 1

1−γ x1−γ Potenzfunktion

a→ 1 b = 0 U∗(x) = lnx Logarithmusfunktion

a = 2 b = 0 U∗(x) =√x Wurzelfunktion

a→∞ b = 0 U∗(x) = x Lineare Funktion



Tabelle 2.15: Zustandsdominanz

Konjunktur

(1) (2) (3) (4) (5)Lotterie Boom Aufschwung keine Abschwung Depression

Veranderung

F 900 700 500 300 100G 800 600 400 200 0

2 Entscheidungstheorie 2.4 Stochastische Dominanz


Tabelle 2.16: Ausgangsbeispiel fur stochastische Dominanz erster Ordnung

Konjunktur

(1) (2) (3) (4) (5)Lotterie Boom Aufschwung keine Abschwung Depression

Veranderungq1 = 0,2 q2 = 0,2 q3 = 0,2 q4 = 0,2 q5 = 0,2

F 900 300 500 700 100G 800 600 400 200 0



Tabelle 2.17: Beispiel fur stochastische Dominanz erster Ordnung

Gewinn Wahrscheinlichkeit kumulierte Wahr- Differenz derscheinlichkeit kum. Wahrsch.

Lotterie F Lotterie G Lotterie F Lotterie Gs xs qFs qGs F (xs) G(xs) G(xs)− F (xs)

1 0 0,00 0,20 0,00 0,20 0,202 100 0,20 0,00 0,20 0,20 0,003 200 0,00 0,20 0,20 0,40 0,204 300 0,20 0,00 0,40 0,40 0,005 400 0,00 0,20 0,40 0,60 0,206 500 0,20 0,00 0,60 0,60 0,007 600 0,00 0,20 0,60 0,80 0,208 700 0,20 0,00 0,80 0,80 0,009 800 0,00 0,20 0,80 1,00 0,20

10 900 0,20 0,00 1,00 1,00 0,00



Gewinn

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Lotterie GLotterie F

Abbildung 2.9: Verteilungsfunktionen der Gewinne zweier Lotterien beistochastischer Dominanz erster Ordnung



x

F (x), G(x)

x x′ x0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Lotterie FLotterie G

Abbildung 2.10: Stochastische Dominanz erster Ordnung(Wahrscheinlichkeitsverteilungen)



Tabelle 2.18: Ausgangsbeispiel fur stochastische Dominanz zweiter Ordnung

(1) (2) (3)Lotterie schlecht mittel gut

q1 = 1/3 q2 = 1/3 q3 = 1/3

F 100 300 300G 100 200 400



Tabelle 2.19: Beispiel fur stochastische Dominanz zweiter Ordnung

Gewinn kumulierte Wahr- Differenz derscheinlichkeit kum. Wahrsch.

Lotterie F Lotterie Gs xs F (xs) G(xs) G(xs)− F (xs)

1 100 1/3 1/3 02 200 1/3 2/3 1/33 300 3/3 2/3 −1/34 400 3/3 3/3 0



Gewinn

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

0 100 200 300 4000,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Abbildung 2.11: Verteilungsfunktionen der Gewinne zweier Investitionsprojektezur Veranschaulichung der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung



Tabelle 2.20: Beispiel fur stochastische Dominanz zweiter Ordnung (Fortsetzung)

Gewinn kumulierte Wahr- Differenz der kumulierte Produkte ausscheinlichkeit kum. Wahrsch. Diff. der kum. Wahrsch.

und Gewinndifferenzens xs F (xs) G(xs) G(xs)− F (xs)

∑si=1

(G(xi)− F (xi)

)∆xi

1 100 1/3 1/3 0 02 200 1/3 2/3 1/3 100/33 300 3/3 2/3 −1/3 04 400 3/3 3/3 0 0



x

F (x), G(x)

x x0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

Lotterie G

Lotterie F

Abbildung 2.12: Stochastische Dominanz zweiter Ordnung(Wahrscheinlichkeitsverteilungen)



x

∫ xx

(G(t)− F (t)

)dt

x x

Abbildung 2.13: Stochastische Dominanz zweiter Ordnung



Tabelle 2.21: Zustandsabhangige Cashflows zweier Investitionen

Z1 Z2 Z3 Z4

q1 = 0,1 q2 = 0,2 q3 = 0,3 q4 = 0,4

A1 50 40 90 30A2 50 60 30 80

2 Entscheidungstheorie 2.5 Klassische Entscheidungstheorieregeln


Streuung (σ)

Erwartungswert (µ)

Abbildung 2.14: Iso-Praferenzkurven bei Risikoscheu



Streuung (σ)

Erwartungswert (µ)

Abbildung 2.15: Iso-Praferenzkurven bei Risikofreude



x

U(x)

Abbildung 2.16: Lineare Nutzenfunktion



x

U(x)

Abbildung 2.17: Quadratische Nutzenfunktion


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