Matematica superior ingenieria en sistemas de informacion ao 2015introduccion

La Matemtica es una de las asignaturas que, por su esencia misma (estructura, lgica, formalidad, la demostracin como su mtodo, lenguaje cuantitativo preciso y herramienta de todas las ciencias), facilita el desarrollo del pensamiento y posibilita al sujeto conocedor integrarse a equipos de trabajo interdisciplinario para resolver los problemas de la vida real, los mismos que, actualmente, no pueden ser enfrentados a travs de una sola ciencia. Adems, la sociedad tecnolgica e informtica en que vivimos requiere de individuos capaces de adaptarse a los cambios que sta fomenta; as, las destrezas matemticas son capacidades fundamentales sobre las cuales se cimientan otras destrezas requeridas en el mundo laboral.La fortaleza de la matemtica como herramienta en la solucin de problemas se sustenta en su capacidad para reconocer en realidades diversas elementos comunes y transformarlos en conceptos y relaciones entre ellos, para elaborar modelos generales que luego se aplican exitosamente a problemas diversos, e incluso, bastante diferentes de aquellos que originaron el modelo. Por ello, aprender a generalizar partiendo de lo particular es necesario para establecer propiedades entre los objetos matemticos que representan la realidad, y comprender el alcance de estos as como su uso en la solucin de los problemas.En la solucin de problemas mediante la Matemtica muy a menudo es necesario realizar clculos, grficos, tareas respectivas, etc. Estas, en general, consumen mucho tiempo y esfuerzo que, gracias a la tecnologa, pueden ser llevadas a cabo por medio de software matemtico en computadoras, o por medio de calculadoras grficas o emuladores de las mismas. El tiempo y el esfuerzo que se puede ahorrar al utilizar exitosamente las tecnologas debe ser empleado en aquello que las tecnologas no pueden hacer: elaborar modelos matemticos para resolver los problemas. Esta misma idea se debe aplicar en el proceso de enseanza-aprendizaje: las tecnologas no reemplazan nuestras capacidades de abstraer, generalizar, formular hiptesis y conjeturas para poder transformar un problema de la vida real en un modelo matemtico, la tecnologa nos provee de herramientas valiosas para resolver el problema. Por lo tanto, el conocimiento, el uso racional y la eficiencia de las tecnologas ser una herramienta invaluable en la aplicacin de los conocimientos matemticos para la solucin de los problemas.

UNIDAD I

ECUACIONES DIFERENCIALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuaciones diferencialesDefinimos Ecuacin diferencial (E.D.) a una ecuacin que relaciona una funcin (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.Existen distintas maneras de clasificar a las ecuaciones diferenciales: Una de ellas es la clasificacin por el orden de la ecuacin (que viene dado por la derivada de mayor orden que aparezca en la expresin) y otra por la linealidad. sta ltima es quizs una de las clasificaciones ms importantes en el sentido de que permite caracterizar inmediatamente la facilidad con que se pueden hallar sus soluciones. En este sentido, se puede decir que las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden resolverse solo en algunos casos especiales (como lo es el caso de las ecuaciones diferenciales de Bernoulli, las exactas, las separables, las homogneas, etc.) mientras que las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden siempre pueden resolverse de manera exacta. Pero la distincin es quizs ms relevante cuando se hablan de ecuaciones de orden dos o superior ya que en el caso de ecuaciones lineales existe la posibilidad de hallar una forma manejable de solucin (ya sea exacta o en forma de serie de potencias), mientras que en las no lineales, hallar una solucin suele ser todo un desafo. Esto no significa que una ecuacin diferencial no lineal de orden superior no tenga solucin sino ms bien que no hay mtodos generales para llegar a una solucin explcita o implcita. Aunque esto parezca desalentador hay algunas cosas que se pueden hacer tales como analizar cuantitativamente la ecuacin no lineal (a travs de mtodos numricos) o cualitativamente (a travs de diagramas de fases).Sistema de ecuaciones diferencialesUn sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incgnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solucin del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Segn el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinariasEn un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razn en este artculo slo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explcita es un sistema de ecuaciones de la forma:

AplicacinSi nos interesa estudiar a dos poblaciones en un medio, el modelo que utilicemos debe tener en cuenta que ambas especies interactan y compiten en el mismo ambiente. El modelo demogrfico de sus poblaciones x(t) t y(t) podra ser un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, como:

Supongamos que dos especies animales interactan en el mismo ambiente o ecosistema: la primera se alimenta de vegetacin y la segunda se alimenta de la primera. En otras palabras, una especie es depredador (x(t)) y la otra es presa(y(t)).Si no hubiera presas (estuviera extinta) cabra de esperar que los depredadores disminuyeran en nmero al carecer de alimento. Utilizando el modelo de crecimiento exponencial, se tendr:

Cuando hay presas en el sistema, supondremos que la cantidad de encuentros o iteraciones por unidad de tiempo entre ambas especies es proporcional de forma simultnea a ambas poblaciones (o sea, es proporcional al producto xy, nuevamente siguiendo un comportamiento parecido al descripto por un modelo de crecimiento exponencial. Cuando hay presas, hay alimento para los depredadores y stos crecen a una tasa bxy>0. Por lo tanto, para tener una descripcin completa del crecimiento de los depredadores, debemos sumar los dos efectos anteriores. Se obtiene un modelo demogrfico para los depredadores descripto por:

Para las presas, cuando no hay depredadores, supondremos que las reservas de alimentos son ilimitadas y que el modelo de crecimiento exponencial sera adecuado para describir su modelo, por lo que las presas creceran con una rapidez proporcional a su poblacin en el momento t:

Pero cuando hay depredadores, el modelo demogrfico para las presas debe incluir el efecto que causa en su poblacin la caza por parte de los depredadores. Nuevamente supondremos que la cantidad de interacciones entre ambas especies es proporcional simultneamente a sus poblaciones, pero esta vez de forma negativa. Cuando hay depredadores, las presas decrecen a una tasa de (-kxy) 0 la temperatura es igual a u(x; t) = bn(sennx) e-kn2t ; donde k > 0 es una constante positiva. Asimismo, hay un principio de superposicin que nos permite aadir los efectos de diferentes distribuciones iniciales de temperatura. Por lo tanto, si la temperatura inicial es:Entonces en tiempo t>0, se tiene:

De acuerdo a esto, dada por ejemplo, una temperatura inicial u(x; 0)=f(x)=3senx+5sen2x y con la condicin de que la temperatura sea mayor a cero, la serie de Fourier para esta funcin nos queda:

Conclusin: La transformada de Fourier tiene una gran variedad de aplicaciones prcticas. Los nmeros complejos y sus propiedades son fundamentales a la hora de modelar numerosos problemas.

unidad iii

TRANSFORMADA DE LAPLACEINTRODUCCION TEORICA:Transformada de Laplace Sea una funcin dada que est definida para toda 0. Multiplique () por e integre respecto de desde cero hasta infinito, entonces si la integral resultante existe, es una funcin de , por ejemplo, ()

En todos los valores de para los cuales la integral impropia converge.La funcin de la variable , se llama Transformada de Laplace de la funcin original de la variable independiente y se denotar por (), as entonces:(1)La operacin que acaba de describirse, la cual conduce a a partir de una dada, se llama Transformacin de Laplace Es ms, la funcin original que aparece en (1) se conoce como transformada inversa o inversa de () y se denotar por 1(); es decir se escribir () = 1().

Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrales La derivacin de una funcin de la variable , corresponde simplemente a la multiplicacin de la transformada F por s. Esto permite reemplazar a las operaciones del clculo por simples operaciones algebraicas sobre transformadas. Adems, como la integracin es la operacin inversa de la derivacin, es de esperar que corresponda a la divisin de transformada entre s.Teorema 1: Derivacin de Suponga que es continua para toda 0, satisface (1), para alguna y , y tiene una derivada que es seccionalmente continua sobre todo intervalo finito en el semieje 0. Entonces la transformada de Laplace de la derivada existe cuando > y

Importante: Este Teorema se puede extender hacia las funciones seccionalmente continuas. Al aplicar (1) a la segunda derivada , se obtiene: () =() (0) =[() (0)]-(0) Esto es: () =2() (0) (0) De manera anloga: () =3() 2(0) (0) (0).

aplicacin:Utilizacin de la transformada de Laplace para obtener la funcin de transferencia de la amortiguacin de un automvil:CONCEPTOS BASICOS:Antes de comenzar a desarrollar el tema, se proceder a explicar los conceptos bsicos necesarios para comprender el problema y su solucin. La amortiguacin de un automvil permite controlar la carga del vehculo, mantener las ruedas alineadas, mejorar la maniobrabilidad y, principalmente, reducir las vibraciones provocadas por la forma del terreno sobre el cual se transita. Esto se logra gracias al uso de amortiguadores, muelles (resortes) y de los neumticos. La funcin de los neumticos en la amortiguacin es la de absorber las pequeas desigualdades del terreno. En cambio, la de los muelles es absorber las desigualdades grandes, y por ltimo, los amortiguadores se encargan de limitar las oscilaciones del movimiento de los muelles. El comportamiento de la amortiguacin es un proceso dinmico, es decir, que es variable en el tiempo. Es por esto, que se debe describir con ecuaciones diferenciales para poder representarlo matemticamente.FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE PROCESOS DINMICOS:En general, los procesos dinmicos pueden representarse de manera aproximada por el siguiente modelo:

Como la amortiguacin del automvil es un proceso dinmico, la ecuacin que lo describe ser similar a la anterior y para formularla utilizaremos la segunda ley de Newton, la cual indica que la sumatoria de fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual a su masa por la aceleracin, es decir:

Una vez que se obtiene la ecuacin que describe el movimiento de la amortiguacin, en base a la segunda ley de Newton, se aplica la transformada de Laplace para poder obtener la funcin de transferencia. Esta funcin es un modelo matemtico que relaciona la forma en que responde un sistema con respecto a una seal de entrada. Es decir, que describe cmo reacciona un sistema frente a un estmulo. La ecuacin de la funcin de transferencia es la siguiente:

Donde X(s )es la entrada del proceso (estmulo), e Y(s) es el cambio en la salida del proceso (respuesta al estmulo). Matemticamente, X(s) es la transformada de Laplace de la seal de entrada, e Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta del sistema.

FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA DE AMORTIGUACIN DE UN AUTOMVIL:Para encontrar la funcin de transferencia, primero se debe plantear el problema y encontrar la ecuacin que describe el movimiento de la amortiguacin del automvil en funcin del tiempo. Para simplificar el problema se estudiar el proceso en una de las ruedas segn la figura 2 dada.

k: representa el muelle o resorte, y tambin ser considerado como la constante elstica del mismo. b: representa el amortiguador. f(t): representa la fuerza de entrada. z(t): representa el desplazamiento o respuesta del sistema.

Entonces, utilizando la ecuacin de Newton, se modela el problema de la siguiente forma:

Como se puede observar, la ecuacin (8) respeta la forma de (1), es decir que describe un proceso dinmico que vara en el tiempo, mediante una ecuacin diferencial. Para poder resolverla, se debe aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros, considerando que z(0)=z(0)=z(0)=0 . Por lo tanto, se obtiene:

Obteniendo el resultado entonces como:

En la figura se puede observar un esquema de la aplicacin de la funcin de transferencia de la amortiguacin de un automvil a modo de ejemplo.

CONCLUSION:Las transformadas de Laplace fueron presentadas por Pierre-Simon Laplace (1749-1827) en respuesta a la bsqueda de una solucin a las ecuaciones diferenciales. El trabajo de Laplace se bas en las investigaciones de Leonhard Euler (1707-1783), logrando as transformar una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica. Es por esta razn, que son de gran utilidad en el estudio de vibraciones y de circuitos elctricos, como as tambin en la resolucin de problemas matemticos que utilizan ecuaciones diferenciales.

unidad ivTRANSFORMADA Zintroduccion teorica:La Transformada de Zeta es un modelo matemtico similar a la transformada de Fourier para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de seales digitales, como son el anlisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por computadoras. Al considerar la TZ de una funcin de tiempo x(t), solo se toman en cuenta los valores muestrados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T), donde T es el periodo de muestreo. La TZ de una funcin del tiempo x(t), donde t es positivo, ode la secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o de enteros positivos y T e el periodo de muestreo, de define mediante la siguiente ecuacin:

Para una secuencia de nmeros x(k), la TZ se define como:

La TZ definida mediante las ecuaciones se conocen como TRANSFORMADA Z UNILATERAL.

aplicacin:Uso de la transformada z en probabilidad:En el caso de variables aleatorias enteras no negativas, se puede utilizar la transformada z para determinar momentos de las variables en lugar de realizar las integrales respectivas, de manera similar a como se utiliza la transformada de Laplace para variables aleatorias continuas. La transformada z que se utiliza en probabilidad no es la misma que la transformada z que se utiliza en ingeniera de control para analizar sistemas discretos. Si existe relacin entre ambas, ya que provienen de la transformada de Laplace para el caso de variables discretas. En ingeniera de control, la transformada z se aplica a las variables, pero en probabilidad, la transformada z se aplica a las funciones de distribucin de probabilidad.

Supngase que se tiene una variable aleatoria, x, que solamente puede tomar valores enteros no negativos. Si la probabilidad de que la variable aleatoria x tome el valor de k est definida por P[x=k] , para k = 0, 1, 2, 3, .. La transformada z de la funcin de probabilidad para x est definida como sigue:

Un ejemplo para esto sera:

En algunos casos se utiliza una distribucin geomtrica para modela la longitud de los mensajes que llegan a un concentrador en una red de comunicacin de datos. Si n representa el nmero de bytes que tiene un mensaje, la probabilidad de que un mensaje tenga k bytes est dada por:

Cul es el la longitud promedio de los mensajes que llegan al concentrador? La longitud promedio de mensajes que llegan al concentrador est dado por:

En este ejemplo, el clculo de la longitud promedio de los mensajes en sencillo con ambos mtodos, pero en otras situaciones es ms rpido usando transformada z.

CONCLUSION: La transformada Z es aplicable con mayor intensidad para el tratamiento de imgenes digitales como las que se usan en los televisores o las cmaras de alta definicin, pero como vemos en el ejemplo, tambin es utilizable en el rea de la probabilidad.

unidad vMETODOS NUMERICOSintroduccion teorica:Los mtodos numricos se aplican cuando se necesita un valor numrico como solucin a un problema matemtico, y los procedimientos "exactos" o "analticos" (manipulaciones algebraicas, teora de ecuaciones diferenciales, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por fsicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de stos de obtener soluciones, aunque la precisin no sea completa. Debe recordarse que la fsica experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayora de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenmeno arrojen valores exactamente iguales.Errores Los errores se definen como la diferencia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.

Concepto de interpolacin Supongamos que hay dos magnitudes x e y de los que se conocen n+ 1 valores relacionados{(0,0),(1,1),,(,)}relacionados, por ejemplo, datos obtenidos en una experimentacin. Con la condicin, . Nos planteamos si existe una funcin p tal que ()= k=0 ,, n es decir, queremos una funcin cuya grfica "pase" por los puntos del plano dados. Si p verifica (1) diremos que p interpola los datos dados p es una funcin de interpolacin para los datos (,),=0 ,, Este tipo de problemas suele darse cuando tenemos datos obtenidos por experimentacin y sabemos que hay una funcin f que rige el proceso pero que desconocemos y queremos trabajar con una funcin alternativa p que represente bien a esos datos de la muestra. Si f rige el proceso entonces ()= luego exigiremos a la funcin p ese mismo requisito, esto nos proporciona condiciones que imponer a p con las que trataremos de obtenerla y una vez conseguido nos permitira conocer o predecir qu habra pasado en otros x en los que no se ha experimentado.

aplicacin:Aplicacin Mtodo de la biseccin Dos partculas A1 y A2 se mueven recorriendo las trayectorias respectivas. A1= x A2= cos(x) Se desea conocer el punto (, ) donde se cortan Luego calcular dos aproximaciones al punto usando el mtodo de la biseccin. Solucin: -Primero se halla el punto de interseccin: >> x=-2:0.5:2; >> y=x; >> z=cos(x); >> plot(x,y,x,z); >> grid

-El punto de interseccin es [0.5, 1].

Solucin Analtica:

Con Matlab:

Algoritmo: function [c,err,yc,max1]=biseccion(fun,a,b,tol) %datos %fun: es el nombre de la funcin definida previamente en un fichero .m %a y b: son los extremos del intervalo izquierdo y derecho respectivamente %tol: Tolerancia %Resultados %c: Es la aproximacin al cero de la raz de la ecuacin fun(x)=0 %yc: Es el valor de la aproximacin, yc= fun (c) %err: Es el error estimado de la aproximacin a c %Mensaje: dice si el procedimiento falla o es exitoso %max1: es el nmero de iteraciones realizadas ya=feval(fun,a);yb=feval(fun,b); max1=floor((log(b-a)-log(tol))/log(2))+1; if ya*yb>0 c=[]; err=[]; yc=[]; max1=[]; disp('El procedimiento no tuvo exito, pues, f(a)*f(b)>0'); return end for k=1:max1 c=(a+b)/2; yc=feval(fun,c); if yc==0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a < tol,break, end end err=abs (b-a); disp('el procedimiento fue exitoso');

Definimos la funcin:function y=fun(x) % Es la funcion del ejercicio del parcial y=x-cos(x);

Calculamos:

>> [c,err,yc,max1]=biseccion('fun',0.5,1,0.0001) el procedimiento fue exitoso c = 0.7391 err = 6.1035e-05 yc = -1.7449e-05max1 = 13

Medios de Transporte:En general, para la concepcin y produccin de un vehculo (ya sea un automvil, un avin o un barco) es muy comn utilizar modelos numricos de dinmica de fluidos para simular el comportamiento del vehiculo en movimiento (ya sea en tierra, en aire o en ambos). Esto permite optimizar la forma geomtrica exterior del mismo de manera que su resistencia al avance sea la mnima posible, lo que permitir tener una vida til ms larga, menor consumo de combustible, que sea menos contaminante, que sea ms ligero (ms barato de producir). Pero el estudio no termina ah. Los modelos anteriormente descritos deben acoplarse con estudios que permitan el modelado de situaciones extremas de servicio del vehculo que podran afectar la seguridad de sus ocupantes, tales como: choque , vuelco, aterrizaje forzoso, etc., lo que exige hacer uso de modelos avanzados de dinmica estructural no lineal. Por otra parte, cada vez es ms usual utilizar simulaciones numricas para reproducir el ciclo de diseo y fabricacin de piezas de los vehculos. Ejemplos de estos procesos pueden encontrase en: la embuticin, el doblado y el corte de piezas de chapa para carroceras y fuselajes; el modelado de la fabricacin del monoblock de un motor, de una biela o de un pistn (problema termo-mecnico con cambio de fase para modelar la solidificacin del colado de la pieza); el diseo de mejores sistemas de seguridad activos y pasivos en caso de colisin (refuerzos estructurales, bolsas de aire, etc.).La integracin de todos estos modelos computacionales, que estn fuertemente ligados a la aplicacin de los mtodos numricos, estn permitiendo concebir la denominada fabrica virtual, que permitir optimizar todo el ciclo productivo. En la Figura 14, puede verse la simulacin numrica de una prueba que se realiza en automviles, para garantizar la seguridad de sus ocupantes ante un choque lateral. Este tipo de laboratorios virtuales es ampliamente utilizado en la industria automotriz.

unidad viintroduccion teoorica:Son muchos los problemas en ingeniera, fsica y otros campos de la ciencia, que pueden ser formulados mediante ecuaciones diferenciales, y son muchas las tcnicas existentes que tratan sobre la resolucin analtica de ellas, algunas de las cuales se han estudiado en los cursos de Clculo. Sin embargo algunas ecuaciones diferenciales que se presentan en la prctica no pueden resolverse con dichas tcnicas y, ms an, de las resolubles analticamente no siempre es posible calcular explcitamente la solucin que pasa por un punto, o evaluar con facilidad esa solucin en cualquier punto. Por ello, y teniendo en cuenta que desde el punto de vista aplicado interesa, en muchos casos, la determinacin de la solucin en un nmero de puntos ms que determinar la solucin global en un intervalo, es por lo que resulta interesante estudiar tcnicas numricas para la resolucin aproximada de estos problemas. En esta lnea, el objetivo de esta unidad ser la exposicin de algunos mtodos numricos que proporcionen una solucin aproximada del problema de valor inicial (PVI): = (, ), () =

Mtodos de Runge-Kutta Los mtodos hasta ahora comentados se pueden englobar en los denominados mtodos de Runge-Kutta. As el mtodo de Euler se puede definir como un mtodo de Runge-Kutta de primer orden, que aunque es muy sencillo de aplicar e histricamente es el ms conocido, es fcilmente mejorable con cualquier otro mtodo de Runge-Kutta. El mtodo de Euler Mejorado es un mtodo de Runge-Kutta de segundo orden como ya se ha visto anteriormente. Los mtodos de Runge-Kutta de tercer y cuarto orden pueden ser obtenidos de forma anloga a los de primer y segundo orden, pero aqu vamos a exponer el ms conocido, que es el de cuarto orden y que por su importancia, se suele conocer simplemente como mtodo de Runge-Kutta. nicamente indicaremos que la frmula del mtodo de Runge-Kutta se basa en un promedio de los valores de y = f (x, y) en distintos puntos del intervalo considerado [xn, xn+1], con diferentes pasos cada uno, y viene dada por

aplicacinPVI en problemas elctricosSe conecta un inductor de 0,4 Henries en serie con una resistencia de 8 Ohms, un capacitor de 0,015 Faradios y un generador de corriente alterna dada por la funcin 30 sen(5t) Volts para t0.

Aplicando las leyes de Kirchoff, resulta la ecuacin diferencial que modeliza este circuito elctrico:(1)

o, equivalentemente,(2)

Como es

(3)

podemos escribir (2) como(4)

que, reacomodando constantes, resulta(5)

Las condiciones iniciales de este problema son Q(0) = 0, Q(0) = 0.

Solucin numricaComo primer paso, se debe transformar la ecuacin diferencial de segundo orden (5) en dos ecuaciones de primer orden. Para ello, se hace dQ/dt = z, y se tiene entonces el siguiente PVI:(6)

Aplicando el mtodo de Runge Kutta, con un paso h = 0,1, se obtiene la siguiente tabla de valores:tQtQ

0,10,06425881,1-0,4306057

0,20,18461331,2-0,3417422

0,30,33333611,3-0,1692096

0,40,42480791,4 0,0447506

0,50,41408931,5 0,2477540

0,60,29975361,6 0,3900987

0,70,11078621,7 0,4369336

0,8 0,10558841,8 0,3767919

0,9-0,29608391,9 0,2243984

1-0,41403962 0,0170644

PVI en problemas mecnicosConsidere una viga uniforme con un extremo libre, cuya longitud es L = 5 m y su peso constante es w = 300 kg. Se desea encontrar la curva elstica y determinar tambin la deflexin del extremo libre. Tomar EI = 150.000.En la figura se muestra la viga y su curva elstica (lnea punteada). Se considera el origen O del sistema de coordenadas en el extremo empotrado de la viga, y la direccin positiva del eje y hacia abajo.

Sea x un punto cualquiera de la viga. Para calcular el momento de flexin en el punto x, M(x), se considera la parte de la viga a la derecha de P, y que slo una fuerza hacia abajo acta en esa porcin, w (L-x), produciendo el momento positivo(1)

En la teora de vigas, se demuestra que M(x) est relacionado con el radio de curvatura de la curva elstica calculado en x, siendo entonces(2)

donde E es el mdulo de elasticidad de Young, que depende del material con el que se construy la viga, e I es el momento de inercia de la seccin transversal de la viga en x.Si se supone que la viga se flexiona muy poco (que es el caso general), la pendiente de la curva elstica es tan pequea que se puede suponer(3)

Con esta suposicin, la ecuacin (2) puede aproximarse por:(4)

Por lo tanto, la modelizacin matemtica del problema, suponiendo que la viga se flexiona muy poco (caso general), est dada por:(5)

que, transformando la ecuacin de segundo orden de (5) en dos de primer orden, con el cambio de variable y' = z, resulta:(6)

CONCLUSION:Como vemos aqu, hemos aplicado el mtodo de Runge-Kutta para problemas fsicos mecnicos, deduciendo que los mtodos numricos tienen un amplio espectro de aplicaciones en el mundo real.

BIBLIOGRAFIAhttp://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Ezequiel%20Halberg.pdfhttp://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Juan%20Manuel%20Guti%C3%A9rrez.pdfhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/Paginas/MateParaTodos/apoyo/PlaticaTransformadasJorgeOlvera.pdfhttp://www.cimat.mx/Eventos/tallermn/img/botello_rionda.pdfhttp://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/

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