FIM702: lecture 3
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Economy & Finance
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Modelisation de strategies en finance demarche
Seance 8 : Modelisation du rendement
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]
Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke
Le 8 mars 2017
![Page 2: FIM702: lecture 3](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022032617/55ae2ddc1a28aba1108b4813/html5/thumbnails/2.jpg)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Table de matiere
Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Table de matiere
Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Rendements stochastiques
I Les rendements sont senses d’etre aleatoires.
I Par exemple, les rendements logarithmiques sontfrequemment senses d’etre distribues selon la loinormale, ce qui donne le mouvement browniengeometrique pour les prix.
I Les rendements stochastiques sont utilises pourl’evaluation des produits derives (par exemple le modelede Black & Scholes) et pour la modelisation deMonte-Carlo.
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Exemple : rendements stochastiques
I Les estimations du rendement moyen et de la variance
µR = 2.7%, σR = 18.7%
I Le processus pour les rendements et les prix :
Rt = µR ·∆t + Wt · σR√
∆t, Pt = Pt−∆t · expRt
ou ∆t est l’increment du temps (disons, 1/252 ans),Wt ∼ N (0, 1).
I Matlab :
m = 100; % nombre de simulations
n = 252; % nombre d’increments du temps
R = normrnd(mu_R/n, sigma_R/sqrt(n), n, m);
P = 100*cumprod(exp(R),1);
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Exemple : Monte-Carlo
50 100 150 200 25040
60
80
100
120
140
160
180
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Table de matiere
Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH
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Modelisation destrategies en
finance de marche
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Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Modeles ARMA
I Autoregressive – moving average, ARMA(p, q) :
rt = µ+
p∑i=1
θi rt−i +εt +
q∑i=1
αiεt−i , εt ∼ N(0, σ2
)I La valeur de q peut etre trouvee en utilisant la fonction
d’autocorrelation, tandis que pour determiner p, il fautanalyser la fonction d’autocorrelation partielle.
I Le modele tient compte du fait que les rendements nesont pas independants.
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Modelisation destrategies en
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Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Fonction d’autocorrelation
I La fonction d’autocorrelation
ACF (τ) = corr (Rt ,Rt−τ )
I La fonction d’autocorrelation partielle est la fonction decorrelation entre Rt et Rt−τ obtenue lorsque l’influencede Rt−1, Rt−2, . . ., Rt−τ+1 a ete retiree.
I Matlab :
autocorr(R); % Attention aux NaNs!
parcorr(R);
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Rendements de l’indice S&P 500 : ACF
0 5 10 15 20−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Aut
ocor
rela
tion
Sample Autocorrelation Function
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Rendements de l’indice S&P 500 : PACF
0 5 10 15 20−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Par
tial A
utoc
orre
latio
ns
Sample Partial Autocorrelation Function
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
ARMA : estimation
I Essayons ARMA(2, 2) :
Mdl = arima(2,0,2);
[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);
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Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
ARMA(2, 2)
ARIMA(2,0,2) Model:
--------------------
Conditional Probability Distribution: Gaussian
Standard t
Parameter Value Error Statistic
----------- ----------- ---------- ----------
Constant 0.0002685 0.0002907 0.9236
AR{1} -0.2359 0.2795 -0.84
AR{2} 0.0231 0.1216 0.1899
MA{1} 0.1226 0.2803 0.438
MA{2} -0.1022 0.1455 -0.7026
Variance 0.0001639 2.04e-06 80.33
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Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
ARMA : estimation
I Essayons ARMA(2, 2) :
Mdl = arima(2,0,2);
[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);
I Le critere d’information d’Akaike : AIC = −14 503.
aic = aicbic(logL, 5);
I Pour ARMA(1, 1) et AR(2), AIC = −14 507, AR(2)etant marginalement preferable
Mdl = arima(2,0,0);
[eMdl,eCov,logL,info] = estimate(Mdl, R);
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
AR(2)
ARIMA(2,0,0) Model:
--------------------
Conditional Probability Distribution: Gaussian
Standard t
Parameter Value Error Statistic
----------- ----------- ------------ -----------
Constant 0.000260 0.0002698 0.9638
AR{1} -0.1132 0.0116 -10.15
AR{2} -0.06328 0.008705 -7.269
Variance 0.000164 2.028e-06 80.8
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Modelisation destrategies en
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Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
ARMA :previsions
Mdl = arima(2,0,0);
eMdl = estimate( Mdl, R( 1:(end-21) ) );
[Rf,MSE] = forecast(eMdl,21, ’Y0’, R(1:(end-21)));
plot([R( (end-20):end ) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...
Rf+1.96*sqrt(MSE) ]);
I Les previsions convergent tres rapidement vers lamoyenne.
I La variance conditionnelle est constante.
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
ARMA : previsions
5 10 15 20−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Ren
dem
ent
Jours
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Table de matiere
Modelisation du rendementApproche stochastique a la modelisation des rendementsModelisation econometrique des rendements : modelesARMAModelisation econometrique des rendements : modelesGARCH
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
Modeles GARCH
I Le modele GARCH (generalized autoregressiveconditional heteroscedasticity) permet d’estimer lavariance conditionnelle
σ2t+1 = V (εt+1 |εt , εt−1, . . . )
I Le modele GARCH(p, q) :
rt = µ+n∑
i=1
θi rt−i + εt
εt |εt−1, εt−2, . . . ∼ N(0, σ2
t
)σ2t = ω +
p∑i=1
αiε2t−i +
q∑i=1
βiσ2t−i
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : specification (1)
I Pour determiner si l’effet ARCH est present, il fautanalyser les fonctions d’autocorrelation des residuscarres du modele ARMA retenu ou effectuer les testsstatistiques correspondants.
I Matlab :
Mdl = arima(2,0,0); % Le modele AR(2) retenu
eMdl = estimate(Mdl, R);
res = infer(eMdl, R); % Les residus
autocorr(res .^ 2); % ACF
parcorr(res .^ 2); % PACF
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : specification (2)
0 5 10 15 20−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Aut
ocor
rela
tion
Sample Autocorrelation Function
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : specification (3)
0 5 10 15 20−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Lag
Sam
ple
Par
tial A
utoc
orre
latio
ns
Sample Partial Autocorrelation Function
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : estimation (1)
I Si l’effet ARCH est present, le modele GARCH(1, 1) esthabituellement suffisant.
I Matlab :
Mdl = arima(’ARLags’, [1 2],...
’Variance’, garch(1,1));
eMdl = estimate(Mdl, R);
% Les residus et les variances conditionnelles
[res, V] = infer(eMdl, R);
autocorr(res .^ 2 ./ V); % ACF
parcorr(res .^ 2 ./ V); % PACF
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : estimation (2)
Standard t
Parameter Value Error Statistic
----------- ----------- ------------ -----------
Constant 0.0006578 0.0001682 3.912
AR{1} -0.05994 0.02408 -2.489
AR{2} -0.01947 0.02157 -0.903
----------- ----------- ------------ -----------
Constant 2.140e-06 5.834e-07 3.668
GARCH{1} 0.8760 0.01090 80.2
ARCH{1} 0.1069 0.009236 11.58
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : estimation (3)
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Date
Ren
dem
ent
![Page 26: FIM702: lecture 3](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022032617/55ae2ddc1a28aba1108b4813/html5/thumbnails/26.jpg)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : estimation (4)
0 5 10 15 20
Lag
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sam
ple
Aut
ocor
rela
tion
Sample Autocorrelation Function
![Page 27: FIM702: lecture 3](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022032617/55ae2ddc1a28aba1108b4813/html5/thumbnails/27.jpg)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : estimation (5)
0 5 10 15 20
Lag
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sam
ple
Par
tial A
utoc
orre
latio
ns
Sample Partial Autocorrelation Function
![Page 28: FIM702: lecture 3](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022032617/55ae2ddc1a28aba1108b4813/html5/thumbnails/28.jpg)
Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : previsions (1)
I Les previsions pour les rendements et pour les variancesconditionnelles :
Mdl = arima(’ARLags’, [1 2], ’Variance’,...
garch(1,1));
eMdl = estimate(Mdl, R(1:(end-21)));
[Rf, MSE, Vf] = forecast(eMdl,21, ’Y0’,...
R(1:(end-21)));
plot([R( (end-20): end) Rf Rf-1.96*sqrt(MSE)...
Rf+1.96*sqrt(MSE) sqrt(Vf)]);
I La volatilite inconditionnelle
σR =ω
1−p∑
i=1αi −
q∑i=1
βi
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : previsions (2)
5 10 15 20−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Ren
dem
ent
Jours
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Modelisation destrategies en
finance de marche
Alexander Surkov
Modelisation durendement
Stochastique
ARMA
GARCH
GARCH : modifications
I Nombreuses modifications de GARCH existent :I Differentes formes fonctionnelles (A-GARCH,
E-GARCH. . .)I Des distributions des residus autres que la loi normale
(t GARCH)
I Modeles GARCH multivaries permettent de capturer ladynamique de la correlation.
I Evidemment, les modeles GARCH peuvent etre utilisesdans les simulations Monte-Carlo.
I Voir :I Alexander, C. Market Risk Analysis : Vol. 2. Practical
Financial Econometrics. John Wiley & Sons, Ltd., 2008.I Tsay, R.S. Analysis of Financial Time Series. John
Wiley & Sons, Inc., 2002.