FILTRI ED ENERGIA Filtri Decibel Energia e segnali periodici Segnali periodici e Serie di Fourier...

FILTRI

ED ENERGIA

• Filtri

• Decibel

• Energia e segnali periodici

• Segnali periodici e Serie di Fourier

• Autocorrelazione per segnali

deterministici

• Spettro di densita’ di

Potenza/Energia

Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3

FILTRI IDEALI

UN FILTRO IDEALE E’ UN SISTEMA L.T.I. CHE, DATO UN

SEGNALE IN INGRESSO CONSENTE UN PASSAGGIO

INALTERATO DELLE SUE COMPONENTI IN FREQUENZA

COMPRESE ENTRO UNA CERTA BANDA E NON

CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE ALTRE FREQUENZE.

IN GENERALE SI PUO’ SCRIVERE:

H fke f f f

altrove

j td

1 2

0

A SECONDA DELLA SCELTA DI E SI POSSONO

OTTENERE 3 TIPI DI FILTRI :

•FILTRO PASSA-BASSO

•FILTRO PASSA-ALTO

•FILTRO PASSA-BANDA

f1 f2

Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.1

FILTRO PASSA-BASSO (LPF)

E’ CARATTERIZZATO DA

IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE COMPONENTI

IN FREQUENZA CON MENTRE ANNULLA LE

COMPOENTI CON

ESEMPI :

f f 1

f f 1

H(f)X(f) Y(f)

H f

f1

f

X(f) Y(f)

x t y t 1f

t t

ff


f1

1

1f

FILTRO PASSA-ALTO (HPF)

E’ CARATTERIZZATO DA :

IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO

DELLE COMPONENTI IN FREQUENZA CON

MENTRE ANNULLA LE COMPONENTI CON

ESEMPI:

f f f1 2

H f

f f 1

H(f)X(f) Y(f)

f1

f

f1

f

Y(f)X(f)

x t y t f f1 2

t

t

f

1 2 2 cos f t


1

f1

k

FILTRO PASSA-BANDA (BPF)

E’ CARATTERIZZATO DA :

IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO DELLE

COMPONENTI IN FREQUENZA TALI CHE

MENTRE ANNULLA LA COMPONENTI AL DI FUORI DI TALE

BANDA.

ESEMPIO :

f f f1 2

H(f)X(f) Y(f)

H f

f1

ff2

f1 f2

X(f) Y(f)

f f


CARATTERIZZAZIONE DI UN FILTRO MEDIANTE LA FASE

IN GENERALE SI ASSUME CHE LA FASE SIA LINEARE

NEL “CAMPO DI ESISTENZA” DEL FILTRO.

H f H f

H f H f

f1 f1 f2 f2 f3

f3

ff

ff


NOTAZIONE :

I FILTRI POSSONO ESSERE INDICATI NEGLI SCHEMI

NELLA SEGUENTE MANIERA :

L.P.F

B.P.F

H.P.F

• FILTRO PASSA-BASSO (LOW-PASS)

•FILTRO PASSA-ALTO (HIGH-PASS)

•FILTRO PASSA-BANDA (BAND-PASS)

~~

~~~

~~


FILTRI REALI

NELLA PRATICA I FILTRI IDEALI NON POSSONO ESSERE

REALIZZATI. IN REALTA’ LE CARATTERISTICHE DEI

FILTRI SONO :

AUMENTANDO LA COMPLESSITA’ CIRCUITALE AUMENTA

LA PENDENZA DEL FILTRO MA ANCHE IL COSTO

REALIZZATIVO.

f

~

~~

~~

~~

f

f


I FILTRI PIU’ SEMPLICI DA REALIZZARE SONO QUELLI

PASSA-BASSO, MENTRE QUELLI PIU’ DIFFICILI DA

REALIZZARE SONO I PASSA-BANDA. IN PARTICOLARE

PER I FILTRI PASSA -BANDA OCCORRE TENERE CONTO

DELLA LARGHEZZA DI BANDA RISPETTO ALLE

FREQUENZE DI LAVORO :

IN PRATICA E’ OPPORTUNO AVERE :

ESEMPIO : SE

E’ DIFFICILISSIMO REALIZZRE UN FILTRO PASSA-BANDA

AD 1MHZ CON

1% 10%1

f

fBANDA FRAZIONARIA

f MHz f14 51 10 10

f KHz f KHz 100 1 o con

Fattore di Merito con Qf

fQ 1 10 100

H f

ff2


f1

f f f 2 1

DECIBEL

CONSIDERIAMO UN AMPLIFICATORE CARATTERIZZATO

DA UNA CERTA E DA UNA CERTA

RIDUCE LA SCALA IN MODO LOGARITMICO

PIN POUT

g guadagnoP

POUT

IN

g gdB log10 10

g

gdB

10 10 10

0 10 20 30

2 31

g gdB10 10


Pin, Pout

POTENZE

SE g E’ UN RAPPORTO TRA POTENZE

-20

10-2

PARAMETRI DI UN FILTRO

• BANDA PASSANTE DEL FILTRO GAMMA DI FREQ.

PER LE QUALI L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’

MINORE DI 3 dB. (*)• FREQUENZA DI TAGLIO FREQUENZA PER CUI

L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’ UGUALE A 3 dB.

(*) QUESTA DEFINIZIONE (3 dB) PUO’ ESSERE

APPLICATA PER DEFINIRE LA BANDA PASSANTE

DI UN SEGNALE.

H f2

1(0 dB)

(-3 dB)

f


fT

SE SI USA UNA POTENZA DI RIFERIMENTO PARI A 1mW

SE SI CONSIDERANO DELLE AMPIEZZE SI HA :

VANTAGGI :

• SI RIDUCE LA SCALA

• I RAPPORTI E I PRODOTTI DIVENTANO DIFFERENZE

E SOMME.

PP

mWdBm10

110log

gV

VdBOUT

IN

20 10log


PP

WdBW 10110log

P V P VP

P

V

V

V

V

V

V

OUT

IN

OUT

IN

OUT

IN

OUT

IN

2 210 10

2

2

10

2

10

10 10

10 201

log log

log log

BANDA PASSANTE DI UN FILTRO

VEDIAMO A COSA EQUIVALE IN TERMINI DI AMPIEZZA

ASSOLUTA L’ ATTENUAZIONE DI 3dB.

H f1

2

per f H f in dB H f dB

per f f H f dB

cioe H f dB

ovvero H f

dB

s dB

10log

0 1 0

3

3

10 1 2

2 2

2

2

2 0 3

`

.

IL GUADAGNO SI E’ DIMEZZATO :


NELLA PRATICA :

REGIONE DI TRANSIZIONE, LUNGHEZZA LEGATA ALLA PENDENZA DEL FILTRO.

RIPPLE DELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO

f fp s

1

2 RIPPLE FUORI BANDA

1 2, , ,f fs p CARATTERISTICHE LEGATE AL MODULO DEL FILTRO

PER QUANTO RIGUARDA LA FASE SI VUOLE CHE ESSA SIA LINEARE NELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO.

f sf p

H f2

KdB

KdB-3dB

KdB-10dB

2 1

2 2



ESEMPIO DI FILTRO PASSA BANDA

LO SCHEMA CIRCUITALE DI UN B.P.F. PUO’ ESSERE IL

SEGUENTE :

IL CIRCUITO RISUONA (ZP MOLTO GRANDE ) QUANDO:

R

C L

Zp

LC jLCc c 01


VEDIAMO COME SI COMPORTA UN FILTRO PASSA-BASSO

NEL DOMINIO DEL TEMPO :

IL FILTRO P.B. IDEALE RIMUOVE COMPLETAMENTE LE

ALTE FREQUENZE (OLTRE LA FREQUENZA DI TAGLIO)

PRODUCENDO OVERSHOOT E OSCILLAZIONI NEL TEMPO.

(FENOMENO DI GIBBS)

USCITA DEL FILTRO IDEALESi suppone di

avere messo in ingresso un gradino

1

O.5

t


LA RISPOSTA IN FREQUENZA E’ DEL TIPO :

H(f)

f

SI DEFINISCONO :

Qf

f

Q

f

f

c

c

1

FATTORE DI MERITO DEL FILTRO

LARGHEZZA DI BANDA FRAZIONALE

NON SI POSSONO FARE FILTRI CON Q GRANDE A

PIACERE (CIOE’ FILTRI MOLTO SELETTIVI)

f

fc


PER AUMENTARE LA SELETTIVITA’ SI POSSONO METTERE

PIU’ MODULI LC IN PARALLELO CIASCUNO CON FREQ. DI

RISONANZA fc DIVERSA.

R2

C2 L2

R1

C1 L1


ENERGIA E SPETTRO DEI SEGNALI

SI DEFINISCE ENERGIA DI UN SEGNALE DETERMINISTICO

x(t) LA QUANTITA’ :

• SE x(t) E’ PERIODICO EX E’ UNA QUANTITA’ INFINITA

• EX E’ SEMPRE 0

• CONSIDERIAMO SOLO SEGNALI (DETERMINISTICI)

PERIODICI O A ENERGIA FINITA.

E x t dtx

2

E X f dfx

2

TEOREMA DI RAYLEIGH


TEOREMA DI RAYLEIGH

CONSENTE DI CALCOLARE L’ ENERGIA DI UN SEGNALE

PASSANDO PER LA SUA TRASFORMATA DI FOURIER.

E x t dt

X e d X e d dt

x

j t j t

2

21

2

INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE

1

2

1

21

2

1

2

X X e dtd d

X X d d

X X d

j t


E X dx

1

2

2

ESISTE QUINDI UNA RELAZIONE TRA ENERGIA DEL

SEGNALE E MODULO DELLA SUA TRASFORMATA DI

FOURIER. CIO’ PUO’ ESSERE SFRUTTATO PER

DETERMINARE LO SPETTRO DI UN SEGNALE.

DETERMINAZIONE DELLO SPETTRO DI UN SEGNALE

VEDIAMO COME SI PUO’ DETERMINARE SPERIMENTALMENTE LO SPETTRO DI UN SEGNALE SFRUTTANDO IL TEOREMA DI RAYLEIGH. SI PUO’ UTILIZZARE UN BANCO DI FILTRI AVENTI FREQUENZE DI TAGLIO ADIACENTI E SCOMPORRE IL SEGNALE x(t) IN N COMPONENTI CIASCUNA AD UNA PARTICOLARE BANDA.

X 2


H0

H1

Hn

x t0

x t1

x tn

x t

SE I FILTRI SONO IDEALI SI PUO’ RICOSTRUIRE IL SEGNALE CON UN SOMMATORE

x t1

x t0

x tn

x t

X H X H X H Xn 0 1 .....

E X d X d X d

1

22

1

22 2

0

20

0

1

...

1


MISURANDO L’ ENERGIA SI PUO’ QUINDI RISALIRE

ALL’ ANDAMENTO DELLO SPETTRO :

LE PRESTAZIONI DI UN ANALIZZATORE DI SPETTRO

DIPENDONO DA :• QUANTO I FILTRI SI AVVICINANO ALLA CONDIZIONE

DI IDEALITA’.• QUANTO E’ LA RISOLUZIONE MINIMA IN TERMINI

DI BANDA PASSANTE CHE SI RIESCE AD OTTENERE

DAI FILTRI.

LA QUANTITA’ VIENE CHIAMATA SPETTRO DI

DENSITA’ DI ENERGIA .

L’ INTEGRALE TRA E DI FORNISCE

PROPRIO L’ ENERGIA DI x(t) PER A

MENO DI

X 2

i i1 X 2

i i 1

1 2

X 2

H H H H HN0 1 2 3

E1E0

E2

E3

EN

1

22 2

1

1

X d X di

i

i

i


L’ ENERGIA ASSOCIATA A CIASCUNA BANDA PUO’ ESSERE CALCOLATA NEL SEGUENTE MODO :

L’ ANALIZZATORE DI SPETTRO ESEGUE PROPRIO QUESTAOPERAZIONE. DAL TEOREMA DI RAYLEIGH POSSIAMOSCRIVERE CHE :

2 x t1 E1

2 x t0 E0

2 x tn En

E X d X di

i

i

i

i

1

2

12 21 1

L’ ENERGIA DI CIASCUNA BANDA IN CUI E’ SCOMPOSTO

IL SEGNALE E’ QUINDI IN RELAZIONE CON L’ANDAMENTO

DELLO SPETTRO IN QUELLA BANDA.


SEGNALI PERIODICI

PREMESSA : RICORDIAMO QUANTO VALE LA TRASF.

DI FOURIER DI UN TRENO DI IMPULSI.

DOVE

UN SEGNALE SI DICE PERIODICO SE :

t nTT

kTn k k

2 20= 0

x t x t mT m

T periodo

int

POTENZA MEDIA :

(IN GENERALE)

PT

x t dtT T

T

lim

0

0

0

1

0

2

2

2

0 2 3 4T T T T 02 4

T T

2T

t

1

20

T

Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.24.1

P=0 PER SEGNALI DI ENERGIA.

PER QUESTI SEGNALI SI PUO’ CONSIDERARE POT.

MEDIA SU T FINITI

P. MEDIA PER UN SEGNALE PERIODICO :

PT

x t dtT

x t dtT

T T

T

1 12

0 0

2

2

2

00

0

lim


CONSIDERIAMO UNA x(t) PERIODICA, OSSIA :

SI PUO’ SCRIVERE :

ALLORA :

x tx t t T

altrovep

0

0

x t x t t nTpn

XT

X kT

TX k

Tk

T

X k k

kT

pk

kp

pk

kk

2 2

2 2 2

22

0 0 0 =

x tp

tT0

0

2

T

=-

+


x t kT

t kT

trk ik= + 2 0k=1

cos sen2 2

x t kT

t j kT

t

kT

t j kT

t

k

k

= +

0k=1

k=1

cos sen

cos sen

2 2

2 2

(SERIE DI FOURIER)

CIOE’ UNAGENERICA FUNZIONE PERIODICA x(t) E’ UNA FUNZIONE REALE ESPRESSA MEDIANTE UN TERMINECOSTANTE, UNA FREQUENZA FONDAMENTALE (k=1) EDUNA SERIE DI ARMONICHE DI FREQUENZA MULTIPLADELLA FONDAMENTALE (k>1). LA x(t) PUO’ ESSERE SCRITTA ANCHE COME :

x t A kT

t

T

kk

k

01

2

2

cos

(PULSAZIONE FONDAMENTALE)

PER I SEGNALI PERIODICI LO SPETTRO E’ QUINDI A RIGHE E LA DISTANZA TRA LE RIGHE VALE 2

T


k p

jkT

T

k

TX k

T Tx t e dt

1 2 1 2

0

COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER

DAL FATTO CHE: 2 0

1

0

e j t

SI PUO’ SCRIVERE :

x t ek

jkT

t

k

2

(SERIE DI FOURIER)

PROPRIETA’ :

DATO x(t) SEGNALE REALE :

CIOE’ SE :

k k*

k Rk ik k Rk ikj j

t

=-

+


PER SEGNALI PERIODICI L’ ENERGIA E’ INFINITA. ALLORA

SI DEFINISCE LA POTENZA IN UN PERIODO COME :

CERCHIAMO L’ EQUIVALENTE DEL TEOREMA DI RAYLEIGH

PER SEGNALI PERIODICI.

PT

x t dtx T

T

, 1 2

0

PT

e e dt

Te dt

e

x T k

jkT

t

h

jhT

t

hk

T

k h

j k hT

tT

hk

j k hT

t

,

1

1

2 2

0

2

0

2

PUO’ ESSERE ESPRESSO IN TERMINI DISEN E COS (EULERO). k E h SONO NUMERI INTERI IN UN PERIODO SI HA UN NUMERO INTERO DI OSCILLAZIONI DI SEN E COS SE k +h0 , ALLORA L’INTEGRALE SI ANNULLA. SE k +h=0, L’ INTEGRALE VALE T.


k h k h

PT

T

P

x T k kk

x T kk

0

1

2

,

,

TEOREMA DI PARSEVAL

SI DEFINISCE SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO LA FUNZIONE :

SI OTTIENE UNO SPETTRO A RIGHE. GLI IMPULSI HANNO AREA DATA DA .

IL NOME SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ LECITO IN QUANTO TALE QUANTITA’ INTEGRATA ATTORNO AD UNA DELLE ARMONICHE FORNISCE LA POTENZA LOCALE DEL SEGNALE STESSO.

22 2

kk

kT

k2

P dx T,

1

2


SCEGLIENDO UN INTERVALLO PICCOLO IN MODO

CHE SIA CIRCA COSTANTE IN , SI PUO’

APPROSSIMARE L’INTEGRALE STESSO CON UNA

IL SEGNALE NON PERIODICO PUO’ ESSERE ESPRESSO

CON UNA DI SEN E COS E ALLORA SI PUO’ PENSARLO

COMPOSTO DA UN CONTINUO DI FREQUENZE CIASCUNA

DELLE QUALI PORTA UN CONTRIBUTO ENERGETICO.

CIASCUN SI TROVA IN UNA POSIZIONE MULTIPLA

DEL PRIMO .

1

f 1

f N

0

0

definita dal

definita dalN N

SIGNIFICATO FISICO TRASF. DI FOURIER

X

X

E X d X nn

1

2

1

22 2


ALLORA IL COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER

VALE :

DAL PUNTO DI VISTA ENERGETICO :

QUESTE CONSIDERAZIONI MOSTRANO IL SIGNIFICATO

FISICO DELL’ INTEGRALE DI FOURIER (ENERGIA-FREQ.)

k

k X k

E X kk =1

2

2

E x t dt Ekk

2

Ek CONTRIBUTO ASSOCIATO AD UNA COMPONENTE SINUSOIDALE DI FREQUENZA k


SEGNALI DETERMINISTICI

VALORE MEDIO

POTENZA MEDIA

v tT

v t dt v t

w t

T T

T

lim1

2

2

SEGNALE DI POTENZA

SEGNALE DI ENERGIA

E w t dt W f df

W d

w

2 2

21

2

ENERGIA

v t

• UN SEGNALE E’ DETTO SEGNALE DI POTENZA SE

PT

v t dt v t

P

vT

v

T

T

lim1

0

2 2

2

2

<ESISTE E VALE

SE ESISTE E VALE 0< Ew < Ew


FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

(DI UN SEGNALE DETERMINISTICO)

SEGNALE DI POTENZA (IN GENERALE COMPLESSO ANCHE NON PERIODICO)

v t

RT

v t v t dt v t v tvT T

T

lim * *

1

2

2

R P

R R

R R

v v

v v

v v

0

0

*

PROPRIETA’ :

•

•

•

INDICE DI SIMILARITA’ :

• TRA E v t v t*

MAX IN MODULO PER

( E ALLINEATI) v t v t*

ES. v t

t

t

v t

v t v t

(PERIODICA)

*


SEGNALE DI ENERGIA

R w w

R w w Rw

w w

QUANDO E’ REALE :

w t

R w t w t dt w w

R E

R R

R R

w

w w

w w

w w

* *

*

*

0

0

PROPRIETA’ :

w t

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

INDICE DI SIMILARITA’ :

• TRA E w t w t*


SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA/ENERGIA

R G fv v

R G fw w

G f W f W f W fw * 2

SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA :

SPETTRO DI DENSITA’ DI ENERGIA :

IN QUESTO CASO :

G fv

v(t) SEGNALE DI POTENZA

w(t) SEGNALE DI ENERGIA

DATO CHE x t X f* *


FUNZIONE DI CROSSCORRELAZIONE

IN GENERALE :

CASO PARTICOLARE:

x(t)h(t)

y(t)

R y t x t dt h Ryx x

*

R R h

R h h

y yx

x

*

*

=

=

G f G f H fyx x

G f H f G fy x 2

R v t w t dt v wvw * *

GUADAGNO DI ENERGIA AD UNA GENERICA f


GW(f), SONO DESCRIZIONI LEGATE SOLO AL

MODULO (QUADRO) DELLA T. DI FOURIER DI w(t), h(t)QUINDI SONO COMPLETE COME DESCRIZIONI

“ENERGETICHE”

MA NON CONSENTONO DI RISALIRE ALLE FUNZIONI w(t),

h(t) . AD ES. DIVERSE w(t), IL CUI SPETTRO DIFFERISCE

PER LA FASE, AVRANNO STESSA GW(f).

QUESTA INCOMPLETEZZA DELLA DESCRIZIONE VALE

ANCHE PER LA RW().

(NON POSSO RICOSTRUIRE w(t) A PARTIRE DA RW()).

H f2

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