Filter Banks and DWT

23
kdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup :14 Vljqdo prghov djdlq Uhfdoo wkdw lq kdswhu 5 zh glvfxvvhg ydulrxv vljqdo prghov/ erwk frqwlqxrxv dqg glvfuhwh1 Zdyhohw wkhru| fdq eh dssurdfkhg iurp erwk wkh frqwlqxrxv srlqw ri ylhz dqg wkh glvfuhwh srlqw ri ylhz1 Wkh frqwlqxrxv prgho lv vrph zkdw gdxqwlqj dqg grhv qrw doorz rqh wr jhw wr wkh frpsxwdwlrqdo dssolfdwlrqv yhu| txlfno|1 Wkxv zh zloo ghyhors wkh zdyhohw phwkrgv glvfuhwh vljqdo prghov rqo|1 Wkh glvfuhwh prgho lv ehvw dssurdfkhg wkurxjk wkh phfkdqlvp ri d owhu edqn1 D owhu edqn jlyhv ulvh wr d glvfuhwh zdyhohw wudqvirup E(`A vlplodu wr wkh glvfuhwh Irxulhu wudqvirup1 Wkh glvfuhwh zdyhohwv dsshdu dv sxuh zdyhirupv dvvrfldwhg wkh (`A mxvw dv wkh h{sr0 qhqwldo sxuh zdyh irup durvh iurp wkh urzv ri wkh Irxulhu wudqvirup pdwul{1 Wkhuh duh wzr dyrxuv ri wkh (`A ghshqglqj rq zkhwkhu rq lv xvlqj qlwh glvfuhwh vlj0 qdov ru lqqlwh glvfuhwh vljqdov1 Ehiruh surfhhglqj zlwk wkh edvlf lghdv ri owhu edqnv ohw xv djdlq uhylhz wkh wzr vljqdo prghov/ wkhlu frqyroxwlrqv dqg wkhlu wudqvirupv1 Lw wxuqv rxw wkdw wkh el0lqqlwh prgho E] lv wkh uhohydqw prgho1 Qrwdwlrq W|sh E] glvfuhwh/ lqqlwh grpdlq E]* ] glvfuhwh/ shulrg +qlwh vdpsoh, dqg wkh vlwxdwlrqv zkhuh wkh| duh xvhg= Qrwdwlrq Xvh E] frpsxwdwlrq/ gdwd vwuhdp surfhvvlqj/ uhdo wlph vdpsohg prghov E]* ] frpsxwdwlrq/ exhuhg surfhvvlqj/ lpdjhv +urzv dqg froxpqv, Iru hdfk prgho wkhuh lv d Irxulhu wudqvirup/ frqyroxwlrq dqg d zdyhohw wudqvirup1 Qrwdwlrq Irxulhu W|sh Wudqvirup rqyroxwlrq u E] 5 0wudqvirup sro|qrpldo frqyroxwlrq/ l1h1/ frqy/frqy5 u E]* ] GIW flufxodu frqyroxwlrq Qrwdwlrq Zdyhohw wudqvirup u E] glvfuhwh zdyhohw wudqvirup E(`A ,/ u E]* ] (`A 4L_

description

Filter Banks

Transcript of Filter Banks and DWT

������� ����� �� �� � � ��� ������� ���������� �����

��� �� �� ������ ���

������ ���� � ������ �� ��������� ������� ����� ������� ���� �������� ����������� ������� ������ �� �� ���������� ���� ���� ��� �������� ���� �� ������ ��� �������� ���� �� ����� ��� �������� ����� �� ���� ���� ������ ������ �� ����� �� �� ��� �� ��� ������������ ����������� ���� �������� ���� ������ ������� ��� ������� ������� �������� ����� ������ ���� ��� �������� ����� ������ ���������� ������� ��� �������� �� � ����� ���� ����� ��� ����� ���� ��� �������� ������� �������� ���� � ������� �� ��� �������� !������ ��������� ���"�������� ��������# ������ �� ���� ��������� ���������� ��� ��� $��� �� ��� �%��&����� ���� ���� ���� ����� ���� ��� ���� �� ��� !������ �������� �����%� �������� ��� '������ �� ��� ��� ������� � ������� � �� ���� ���� �������� ���&��� �� ����� �������� ������� (����� ��������� ���� ��� ����� ����� �� ����� ������� �� ���� ������ ��� ��� ����� ������� ����� ���������� �� ����� ���������� )����� ��� ���� ��� ��&����� ����� �2��� �� ��� ������� ������

*������ �����2��� ��������� ����� ������2������ ��������� ������ � +���� ������,

�� ��� ��������� ����� ���� ��� ����-

*������ .���2��� ����������� "���� ������ ���������#� ���� ���� ������� �������2������ ����������� "��/���� ���������#� ������ +���� �� ������,

!�� ���� ����� ����� �� � !������ ��������� ��������� �� � ������� ���������

*������ !������ ���� �������� ���������2��� �&�������� "���������# ���������� ����� ������� �2������ 0!� �������� ���������

*������ ������� ���������2��� �������� ������� �������� ���� ,��2������ ��� ����

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 456

�� ���� ��������� � ��� �������� ������� �������� ������ ������ �� ���� ���&����� �� ���� ������� �� ��� ��� ��/���� ������ � ��� ����� ������ 1����� ����������� ������� ��� ����� ��� ��� �� ��� 2.) ������� ��� ����� � ��� �����������

�2��� ����� ������� �2������ ������� �� ��3� ������ �������� +3��� ��� �� ��������, ���� �������"�4���� ������# ����������� �������������� ����� ��� ��������� � ��������� �� ����� ������ �� ���� ������ ����������� "��/����# ��������������� ����� ��� ����� ����� �� ��� ����������� �������� ���� ������������ ���� ��� ���� �������� ������������� ��� � ����� ���� ������� ������ � �������� ������� ���� ��3� ������ ���� ��3� �������

��� ��� � � ����� ����� �� �� � ����� � � �� �����

5� �� ��� ��� �������� �� ��� !������ �������� �� ���� �� ������� �� �� ��������� ������ ��� ��������� ���������� �� ��� ���� ���� ��� ����� �� �������� �� ������ ��� ����� ��� ������ ���� ������ ���� �������� �� �������� ��� ����� ���������� �������� ����� ��� ���� ���� �� �� �������� ��� ���� �� ��� �����������) � �������� ������� �� ��������� ��� ����� �� ��� ���� �� ���� ���� ������ ������� ������������ �� �������� ���������� *�� ���� � ���� �� ��� ���� �� �������� ������� � �� �� �� ���� � ������������ �� � ����� ��� � ������� ���������� ��������� ��� ��������� ����� �������� ��� ��� ���� ����� ��� �������� ������� �� ������ ��� ����� �����

6�� �� ���������� ���� ���� � ������� �%������ !�� ��� ��� ���� �� ���� ���� �������� ���� ���� ��� �������� ��� ���� �������� �� ��� ���� ��/������-

���� ��

���� �

���� � � ����������

��� ��

��� �

��

��� � � ����������

!�� � ������ � �� ��� ��� ��� ���� � � � �� ���� ���� �� ������� ����� �� ���%������� ��� ��� ������ �� � �� �� ���-

����� � � ����� ����� ��� � ��

����

����� � ����� ��������� � ��

����

����� � �� � ��� ��� ����������� ��������� �������� +��� ��� � ������ �� ������� ������ � � � � �� ��� ���� ������,� �� ���� � � � ��� ������ �����%������

457 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�� � �� �� ��� ���� ��������� ������� �� �� 6��7� ���������� ���� ���� � ����������%������ ) ��� ����� ������ ��� ����� � ��� ����� ��� �� ���� ��-

���� � �� ���

��� ���� ����

���

��� ����o

����� � �� ���� �������� ����������� ������ &8 �� 8� ����� �� ������ �� ���� ���� �������� �� �� ����� ��� � � � � � � � ���� ������ ��� ����� ��� �������� ��� ���� �� ���� ���� ���������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2original signal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2smooth aproximation and high level details

!��� 9�8 6�� ����� ���� ���� ������������

�� ����3� ��� ����� ��� ������ �������� ���� ���� � � � �� ���� ������� ��� ���������� �� ���� �%������ �� ���

� �

�����������

�f���2���e�D�S�.

�����������

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 458

�� ���

� �� � �� ��

�����������

�f �.�f ���� �2�2 ���� �e�e �D�D �S�S �.

����������� �� � �� �

�����������

�f � �.�� � �f�2 � ���� � �2�e � ���D � �e�S � �D�. � �S

������������

!��� ��� ������� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� ���������� � ���� � �� �� �� �

� � � �� ��

��� ��� ������� ���� ��� ����� ������� �� ���� �� ���� ������� ����� �� ���� ������ �� ������� ����� :������� ��� � �� ���� �� �� �������� ���� �� ��� ����������� �� ����� �� ���� �� ������� ��� ������� ����� )� �� ����� ���� ����� ������������ �� �� �� �� �� ��� ��� �������-

�� � � �� ��

�����f �.�2 ���e ���S �D

����

�� � � �� ��

�����f � �.�2 � ���e � ���S � �D

���� �

��� ������ � ����� ��� � �������� ����� �� �� ��������-

�� �� ��� 6�� � �� ���� ��� ��� ���������� �������� � � �� � ��2

��

� � ��f �� �2c � � � ��3�� � ��f �2 � � � ��*2�

�� ����� �� ����� ��� ��� ������� ������� +*��� ��� ������� ������ �� ����������,�

!��� �� �� �� �� ��� ����� ��� ������-

� �

���

��

��

�����������

�f �.�2 ���e ���S �D�f � �.�2 � ���e � ���S � �D

������������

459 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

:��� �� ��� �� ������� ��� ������� ����-

�� �� ��

�����f �.�� �2�� �e�D �S

����

����

�f � �.��� �2��� �e��D �S

���� �

�����f�2�e�S

����

�� � �� ��

�����f �.�� �2�� �e�D �S

�����

����

�f � �.��� �2��� �e��D �S

���� �

�����.�����D

���� �

�� ���� ��������� ��� ��� ������� ������ ������ ���� ���� ��� ��������� ���������

��� ������� ����� ��� �� ���������� �� ��� ��������� ����� �� �� �������� �� �� ������ ���� ;��� ��$���� �� �� ���������� � �������� � � ������� �� ����� ����� �� � ������ �� ������� �� �� ��������� � < �� �� �� ���������������

��@� � �� � � ���

� ��

�@� � �� � � �

��� ������ ��@� �� �@� �������� ������� �� ��� �� � ������ �������� ������&����� ��� ���������� � �@ �� @ ������� ���� ���� �� � �������� ����� ��� &������� ��� ���� �� ��� �������� ���&�����

�� ���� ����� ���� ��� ���� ��� ���������� ���� �� �� �%�� �� ��� ��������������� ����� ��� ����� ������� ��-

�� � �� � � ��r��

� �

� � �� � �r�

��� ��� ������� ��������� ��� �������� �� ��������� ��������� �� ��� ��������� �r �� r ��� ��� �������� ������� ���� ��� ��/���� ���� ��� ������� �� �@�� @� ��� ������� �������� �� � ����� ��� ������� ��� �� �� ���� ���-

��@� � �� � �

� ��

�@� � �� � �

�������������� ���������������

� �� � � ��r��

� �

� �� � � �r�

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 45:

!����� ��� 5� ������� ��� ����� ������� �������� ����� ��� ���� �� $��� � �&����� �� ��� ������ �� ��� ��������� �������� ������� �������� ���������

�����������

�����������������

�������������

����������

��������������

���������3�

�������������������

!����� ��� !����� ���� ��� �� ����������� �� ��������� �� ������� ���� � ������ ������� )� �� ��� ���� ��� ���� ����� �� �� ��� ������� ���� �� ��� ������������ �� ������� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ��� ��� �� �������� �� ��������

!����� ��" ��� ����� �� �3��� ���4����� � �@ @ �r �� r �� ��� ���� ������ �� �� ������ ��� ����� �� ����� ;������ ���� ����� ��� �� ����� ) � ���� ������������� ������������� ����� ���� ����� �� ���� ���� � �� ���� ���� �� ������ ��� � ���� ��/�� �������� �� � � ����� ���� ��� � �� � � � ��� � ��� ������� ���� ������ ��� ��� ��/�� �� ��� ���� ��� � � � �� �� ������ ��� �� ��� ���������� �� ����� ���� ���� ����� ��� ���������� ����� �� ��� ����� �� ���� ��� ������������ ���� ���� ��-

�������� ������� � �� ������� � ���

�� �������������

��� �� ���� ��� � �� ��� � ��� � �

���� ���� ����� � �

�������� ������� � �� ������� � ��� � �

� � �

� � �����

� ����

��� ������ ����� ���� � � � ��� � ��� ������� ����� ���� �� ����� ��� ��� ����� � ��� ������������ ��/��� � ����� � ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� ������������������ �� ����� ��� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ��������� � ��� �%� ����� ����� ��� ���� ����� �� ��� ����� �� ��� �� ��� ��������������� ����� �� � ��� ��� � � "����# ��� ��� ���� �������

45; Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

6�� �� ���� ���� ������ ���� � ������� �� � �� ����� ��������

0 200 400 600 800 1000 1200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1

0

1

2

3

!��� 9� ;���� +����� ���, �� �� ����� 0�� �������� +����� ���,

��� ����� ���� �� ��� ���� ���� �� ������� ������� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� ����������� � ��� ������ ����� ����� ���� ���� ����� ������� ���� ��� ��� ������/������ �� ��� ������� ������ 5������ ���� ���� �� ��� ���� �� � ��� ���� ���������

��" #���$ ����%���� � � ��� �� �� � ����� �� �

& ����� �� � 6��7� ����3� ��� ������� ����� ��� � ����� �� ��� �������� �&

������� �� ��� �� �������� ��� ���- � �

���

��

��� � �����% ��������������

��

��

���@�� ��� �������� ��� ������� � �� � ��� ���� ��-

� ��

�����������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

�����������

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 45<

� ��

�����������

� � � � � � � ���� � � � � � � �� �� � � � � � �� � �� � � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � � � � �� �

������������

*�%� �� ��� �� ���������� )� �� ���� �� ����� ���� ��� ���������� �����% � ��������� ������� ��� ��� ���&������� ���� �� ��� ������� �����%� +������� ��� � � � � �� �� �����-

�� �

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

����

�����������

�f���2���e�D�S�.

������������

�����f�2�e�S

���� �

*�� ��� ����� �������� �����% ��� ��� �������� ����-

�@ �

�� �

� �

���������������������������

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

���� �

2

�����������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

�����������

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

���� �

2

�����������

� � � � � � � ���� � � � � � � �� �� � � � � � �� � �� � � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � � � � �� �

�����������

���������������������������

463 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

������������

����

2� � � � � � �

2

� �

2

2� � � � �

� � � �

2

2� � �

� � � � � �

2

2�

����

����

2� � � � � � � �

2

� � �

2

2� � � � �

� � � � �

2

2� � �

� � � � � � �

2

2�

����

������������

�����������

2� � � � � � �

2

� �

2

2� � � � �

� � � �

2

2� � �

� � � � � �

2

2�

2� � � � � � � �

2

� ��

2

2� � � � �

� � � ��

2

2� � �

� � � � � � �

2

2�

�����������

!����� ��' )� �� ��� ����� ��� ���� �������� ������-

���� ��

����� �

���� � � ����������

��� ��

���� �

��

��� � � ����������

�� ����� ���� ����� � ���� ������ �����%�����������

2

2� � � � � �

� � �

2

2� � � �

� � � � �

2

2� �

� � � � � � �

2

2�

2��

2� � � � � �

� � �

2��

2� � � �

� � � � �

2��

2� �

� � � � � � �

2��

2

������������

:������ � ��� ��������� =8 �� ����� �� ��������� ���� ����� ���� �� ������:������ �� ���� �� ������� ����� ���� *�� � ����� ��������� ���� ����� ���� � �������� :������ � ����&���� ����� ��������� �� ����� �� ���� ������ ����� ��� ��������� ��� ������ �� ������� ��������� ���� ������ �������

6��� �������3� ��� ����� ����������� �� � ��������

�� �� ��� 6�� ������ �� �� ������ ��� ��� �������� �� � �&����� ������������ ��� �� � ����� �������� @c� � �

� � �� ���� �� � �����% �������������-

@c���� ��@�

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 464

�����

�@ �

�� �

� �

��

1��� �%�������� �� ����-

@c���� �

���

��

��

�� ��� ��

��

�� �

� �

� �

��

�� ���� @c� ��� �&����� ����� ���� ��������� +��� ��

�� ����� �� � *�� ��� �� �%���� ��� �����% ��������� �� ��� �������� ��������� � ��������� �� ��� ��������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ��� ��� ���������� ��������� ���� ������ �������� �� ������ ��� ��������� �������� �����������3���� � ������ ��� ������� ���� � 3������

�� �� ��" ��� ��������� ��������- � �� � �2� �� ��� ������������-

� ��f �� � � � ��3�� � ��f � ��c� � � � ��3� ���

��� ��������� �� ���������� �������� ���� � ������ �����������-

� �|�

� ��������� �� ��� ���������� ��� ����� ����� ��� �������� ��� �� � ������ ������� ��� ������� ���� 6��7� ��� ��� ������� �������� ��������� ;�� �� � �r ��� � r� ��� ���� �� �� �� �� ��� ��� �������3�� ����� ���� � ����� �����- ��������������� ����� �� ���-

� �

���

�2

��

� ��

�2

��

� �� ��

�� �2

��� �� �� �� �2

����� �� �� �2 ��� ��� ����� �� ����� ������ �� ��� ����� ������ �� ��� �����&������ �����% ������������� ���������� ��-

� �

���

�2

��

�� ��

� � ��

�2

� ��

� � �r�

�����

�r � �� ��

�6��7� ���� � �������-

�� �� ��' 6�� ������ �� �� ������ ��� ��� �������� �� � �&����� ������������� ��� �� � ����� �������� rc� � �

� � �� ���� �� � �����% �������������-

rc���� ��r�

465 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�����

�r � �� ��

��

1��� �%�������� �� ����-

rc���� � rc�

����

�2

� �

�� ��

� � ��

�2

�� �� �� �� �2�

�� ���� rc� ��� �&����� �� �&����� ����� ����� ���� ��������� �� !����

��� ����� ������� �������� ���� �� ����� ��� ������� �������� �� �������� ������� ��� �������� ����� � ������� ������������ ����� ����

�� �� ��( ����� ������������� �� ������������ ����� ��� ���� �� �� �������� ������� �������� �� �������� ������ ��� �������� ����������� ��� �@ �� �r

����� ��� �������� ��� ������� �� ��������� ���-

�r�@ � "�

) ����� �� ��� �������� ������ �� ���-

rc��@c����� � ��

�� �� ��) ����� ��� ���� �� ���������� �� �@ �� � ��������� �����%� �����@�

|@ � "� ) ���� ����-

�r �� |@�

!����� ��( ��� ������� �������� �� � ��������� �����% �� ��� ����������� ����� ��������� ������ ���� � � � � � |� ��� ���� �������� ���

�@� ��@� � ��@� �|�@�

� � |� |@�@�

� � |� |@�@�

� � |"�

� � � ��

) ���������� ��� ����� �� � ����� �� ��������� ���� �@� ��@� � � ���

�� �� ���������� ���� �������� ������� � ��� ������� ������ �� �������� ��������� � ��������� ����� ���� ) ���� ���� �� ����-

�r �� |@

�� �� ��

�� �r �� |

@

�� �

� �

�|

��� ��

| �� ��|�

� |

��| |

��|�

� |

� |�

��

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 466

>�������� ���� ���� $��� �� �� �� ����-

�� � |� �� �� � |

�� ����������� ���� �������� ������� � ������ ?� >%������ ?�=� �� ������ �� ��������� ������� ����������

*������� ��� ��� �� ������ �� �������� ������ �� ����� ���

� |��� � ��� � ��

�W��� � ��� � ���

��� �� ����������� ����������� ������� ��������

s| � |s �� sW � W

s �

!����� ��) �� �� ���� ���� � | ��� ���� �������� �� � ����

� |��� � ��� � �� � ����������

+$����� ��� 6�� � � � �� � ��f �� �2 ��

���� � | �

�f �� �2 ��

�+��������� �� � ������ ����� �� ��� � ������,� ���

s �

�����f �� �2 ���� �f �� �2�2 �� �f ���� �2 �� �f

���� s| �

�����f �� �2 ���� �f �� �2�2 �� �f ���� �2 �� �f

���� � |

s

��"�� #����� ������ ���� �� ���

��� ������� ���� ��% ��� ��� ��/���� ������������� �� ��� ������� ������������ ������� ������ � ����� ����� ����� �� ��� ����� �� ������� �� ��� ��������� ��������� �� ������ ���������� ��� �� ����������� ��� ������ �� ������������� �� ��� �������� ���� ��� ����� �� ��� �� �� � ������ ����������� � ������� ��������� � � ����� �������

)���� ���� ����� �� �������� ����;���� �2��� �2������ ������ ������ ���� ���� ��������������

;������� ������ ���� ���� ������� �������

�������� �� ��� � ������ +�� � 1�����,0��� ��3� ������ �������������� �� ��� ���� ��3� +���� ��������,

��� �&�������� ������ �� ����� ��� ������� �� �������� �� ��� ��3��� ) ��� 1����������� ��� ��� �� ������ ����� ��� �� ��� �������� ���� ��� ��3� ������� ������������� �� ��������� �� ��� �������� ��/������� 1����� ���� ������ ���

467 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

��� ��� ������� ������ � ��� ������� ��� ������ ������� �� 8� ������� ������� ��� ������� �� @� ��� ��/����� �� ���������� ��� � ����� ����� �� ������������� �� ���� � �������� ��� ������� �� ��������� ������ �����������

��� ���� ��3� ��� �� ������� :������ ��� �������

�(`A� �� RoJSerr

� � � (`A3�

� �

������ ��������� ���� ��3�� �������� ���� ��� �����% � � �� ��� ���� ��3� �� �� ������������3� ���� ��� ���� ����� �� ������ �� ��� ������� ��������� ��� ����������� ��� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ������������ !�� ����� ������ ��� ��/��������� ������ ������������ �� ����� �� ��� ����������

��' #%������� ����� �� �� � � ��� ������� ������� ��� �����

�� ��� ����� ����� ���� ��������� !�� �%����� ������ ���� ���� �� ��� ��� ���������� �� ��� ��� �� ��� ������� ������ ������� ���� ��� �%����� ���� ������� ������

��@� � �� � � ����

��@� � �� � � ��� �

� � �@� � �� � � ���

�@� � �� � � �

��@� � �� � � ����

��@� � �� � � ��� �

� �@� � �� � � ��� �

� ��@� � �� � � ��� �

�@� � �� � � ��

�@� � �� � � �

��� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ������������-

�� ���

���

��

��

:17 Pxowlvwdjh �owhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup 468

��

�������

���

���

���

����

������������� +��� ����� ��������� �� ��� ���� ���������, ��� ��� ����� ��� �������� ����� �� ������������ ����� ��� ��� ���� ������ ��� ��� ����� ���� ������&���� �� ��������� ��� ����� ����� ��� �� ��� &����� ���� ����� ��� ����� ���� ��������� �� ������ �� ������� �������� ����� �� �� �� ������ ����� ������ �� �� �����&����� � 1������ ������ �� �� ��������� �� �� �� ����� �� ������� ��/���� ����� ������� ����� ����� 6�� �� ������� ��� ��� ����� ������������ ��������� �� ��� ������� ����� ����� ���� ��� ������������ ��� ��� �������� �������3����-

�`@c�

���

��

�`@c2

�� ���

���

��

�� �

���� ��� ������� �����% �� ��� ����� ��� ��� ��� ����- � � �@c2�@c� ������@c� ��� ��� ��������� ���� ����� ��� � ������� �����% �� �@c2 ��� ��� ����-

�@c2 �

�#@c2 �� "

����� #@c2 �� ��2� �

2������� �����%�

!����� ��� ) ��� ����� ���� �� ��� ������� �� ���� �� �� ����� ) ��� �������� �� �� ���� � ���� �� ��� �� ��� ������ ��3�� ����� ���� ����� � ������ ����������� �� � ����� ����� �� �

469 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

:��� �� � ������� �� �� �� ��� ����� ���������-

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1

0

1

2

0 200 400 600 800 1000 1200-2

0

2

4

0 200 400 600 800 1000 1200-4

-2

0

2

4

!��� 9�A 5������� 8&����� �� &����� ������� ���������

�� �� ��� 6�� �� � �� � ��� ���� ���� ���� ����� ��� ����� !�� ! � � � � � ����� ��� � �� �����%

�@c� �

�#@c� �� "�

����� #@c� �� ��� ������� ����� ��� �����% ��������� �� �� � �������� � ��������� ����� ���3� �� "� �� � ������������ ������� �����%� ��� �&����� �� �&������������� ������� �������� �� ��� ����� �������� � �� ����� ��-

� � @co��� ��@co�@co3� �@c���

��� ������������ �� �/����� �� ���������� � �� � ������� ����� ��� ����������� ��� ������� ������ �� ���� ������ )� ��� �� �� ��� ���������� �������� ������� ��� ������ ������� �������� �� ��� �������� ����� �� ����� �%���� �� ����

� � rco��� ��rc��rc2 �rco��

���� �rc� �� �� ����� ��-

�rc� �

�#rc� �� "�

�� #rc� �� ��� ����������� �������� �����%� ������������� ��� �������� ���/����� �� ���������� �������� ����� ������ )� �� �� �� ��� �� ���� ����� �� �������� �� ��� ��������� �� ����� @ �� r�

!����� ��, )� ��� ���� ������ � �� � ��� ����� �� �� � ����������� ������ ���rco�@co���� � � ��� ��� � �� ��� ��

:18 Wkh 5G zdyhohw wudqvirup 46:

��( ��� � ������� ��� �����

*�� ���� ��� �� � �� � ��� ����� ���� ���� ����� ���� �� ���� �� � �� �����%������ �� ������ ���� ���� �� � ��� ��������� �� ��������� ����� ������ �� ������ ��� ��� �������� � ������� ��������� �� �� ����� ��� �������� �� ����������� �� �� �������� ��� ��� ������ �� � �� ��� ��� ��� ���� �� ��� �������������%� 6��7� ���� � ��������

�� �� ��, 6�� � � � �� �� �� ������ ��� ��� �&������ � ��������������� ��������� �� �� � �� ��� ����� �������� ���� ��-

@c���� �� @���� @

� �|

������ @� ��� @

� ��� ��� � �� ��� ������� �������� ��������� �� �� ��;��������� ���� ��� ������ ��������-

rc���� �� r���� r

� �|

+$����� ��� 6�� �� ���� ��� ������ �� ����� �������� �� "(������# ���� ��� �&����� ������� ���������

!��� 9�= 5������ )���� !�� 9�? 8&����� 0�� ��������

����� ��� �� �������� ���� � ��� ������ ��� � �������� ����� � ���� ������������ �� ����� ����� ��$��$$$ �� � ��� ���������-

��� ������� �� $����� �$ $$

���� ����

��� �����%������ �������� ����������� ����3���� ������� ������� �������

��� �� ����� +���&���, �� � ��� ����� ���� ��� ����� �� ����� ���� �������������� � ���� ���������� 5� ��� ���� ������ �� �� ��� ���� ���� ��� ������� �������

46; Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�� �� �� ������ ��� �����%������� ��� ������� ����� ������ ��� ������ ��������������� ��� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ������� � ��� ����3������������ +����, �� ��� ���� ������� � ��� �������� �������� +������,� �� ����� ��� ����� $�� ��� ������� ������� � ���� ���&������ ���� �� ������ ���� �������� �������� ��������� ���� ����� ������� �� ������������ �� ��� �������� ����� ���� ���� �������� ��������� ���� ��� ������ �������� �������� ��� ��������������� ���� �������� �%��������� )� � � @����� ��� �� �����-

� �

��� �T

�M �(

����� ���� �� ��� �������� �� � �2� �

2�����%�

#%��-����� ��� ������ �� ��� �� ������ �� � �����&����� ���������� (���� ������ &����� �������� �� (�������

!��� 9�B &����� 0�� ��������

!����� ��. !�� ����� ������� �� ������� ���� �� � � � �� � ������� ����� �������� �� �����%������ ��������% �� �� ������ ���&����������

6��7� ���� ��� ������ ���� � ������� �� ��� ���������� � ��� ���� ���������� � ��������

�� �� ��. 6�� � � � �� �� �� � ��� �������� �������� 6�� �� �2� � � �o �� ��� �������� ������ �� �������- ��� �����% �� �� ��� �����% ������ ���������� ��� ��� �� � ���-

�� �� @���� @

� �| �

���c� ��cT

��cM ��c(

�� ���

:18 Wkh 5G zdyhohw wudqvirup 46<

*�%� ��� ��c� �� ����2� �

2����� ���� ������� �� �� +��� �����%������ ���&�����,

�� ��� �2 �� ��� �����% ������� ���� �� �� �������� ��c� �� ��� ��� �����

�2 �

�� @

�*2��c���@�*2�

| ��cT

��cM ��c(

��

����c��� ���c��T���c��M ���c��(

���cT

��cM ��c(

��

��

��2c� �2cT

�2cM �2c(

���cT

��cM ��c(

��

) ������� ����� ����� �o ��� �oc� �� ����2o

� �2o����� ���� �����%������ ���&

�����%� ��� �on� �� ��� �����% ������� ���� �o �� �������� �oc� �� ��� 8 �������� ����� ��� ��� ���� ������� ������-�

�on�c� �on�cT

�on�cM �on�c(

��

!�� �%����� �� ����� A �� ���-

�� �

����

��

���c� �2cT

��cM ��c(

��2cT

�2cM �2c(

�� ��cT

��cM ��c(

���� �

��� �&����� +�� � &�����, ��� �������� �� � �� ��� �����% �o� ) ������� �� ����-

@co � � � �o �� �o � @co���

��������� ��� �������� ��������

rco � �o � ��

�� ������� �� �������� ��� ����� ����� ���� ��� �������� ������� �� ���������

������� ��� �� ������ ����� ���� ��������� @co � � � �o �� � �����

���������� �� �� ����� � �� � ���� � ������������ ����� ���

rco � 3�

@co

�� ��� �� ���������� �����

rco � |@co�

!����� ���/ �� ���� ��� � �� �� �� �� ��� �� ��� ��� ����� �� �������������@ ��� �� �� ���������� ��������� �� � �����%� ��� ������������ ������������ ���� ��� �������� ��� ���������- +@���� � �@�� �� � � � �� ;�� ������ �8B�

473 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

!����� ���� ��� ������� ���� ��% ��� ��� ��/���� �������� �� ��� ���������������� ��� ���� ����� � ������ ��� ������ �����% �� ��� ���� ������������������� ) ��� 1 �6 ( ������ ������ �� ������ ����� ��� �� ��� ������������ ��� ���� ������� ) ��� ������ �� �� ��� �� �� � ������ ����� o �� �����%���� ����� �� ������� ���� �� �� ) ��� 1 �6 ( ������ �� ��������� ��� ����� �� � ���� �� �� ��� �������� ���� �� ���� ��� ��� ����� ������������ �� ������ � ��� �� �� �� ���� ������ ��� � ��� 1 �6 ( ������ ��� ��3� ����� �����% ��� �� ������� :������� ��� �������

�(`A� �� RoJSerr

� � � (`A3�

� �

������ ��������� ���� ��3�� �������� ���� ��� �����% � � �� ��� ���� ��3� �� �� ������������3� ���� ��� ���� ����� �� ������ �� ��� ������� ��������� ��� ����������� ��� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ������������

!����� ���� ��� �������3���� �� �� ��� ����� ��� ��� �&����� ���������

��) &����$���� � � � ������

�� ��� ����� ��� �&����� �� &����� 0��7� ��

���

��

�� @c����

�� ���

���

��

�� � @c2���

����� �� �� �� ��� ����� ������� �� ������2�� ��� �� �,� ��� ������� �� �����

�e� 5������ ����

� � rc��@c����� � rc�

����

��

� rc�

����

���

� rc�

����

� rc�

�����

� %�� &���

��� ��� ������� %�� �� &�� ��� ������ ��� ����� � �� ����� � +��� ����, �����%���&���� �� +���� ����, ������� ������������� *��� ���� %�� �� &�� ��� ������� �� ������� ��3� �� � ������ ��� ����������� ������� �, �� �� ��� ������� �� ���� ���

:19 Dssur{lpdwlrqv dqg ghwdlov 474

��3�� *�� ��� �� ���� �� ��� �%� �����-

� � rc2�@c2���� � rc2

���� ���

���

��

����

� rc2

���� ���

��

����

����

����

� rc2

���� ���

��

����rc2

���� ����

����rc2

���� �

���

����

*�� �� ��� ���������� �� ��� ����� ����� �� ��� ���

rc2

���� �

���

���� � rc�

���� �

���

����

�� ���� �� ��� �����-

� � %2� &2� &��

����� %2� �� &2� ��� ������ ��� ����� �����%������ �� ������� ������������� ����� ������ �� ����� ��

� � %�� &�� &2� &��

� %�e &e� &�� &2� &��

� � %o� &o� &o3�� &2� &���

:��� ��� ��� �������� �� � �� ������ �� �����%������ �� �������

475 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX3

!��� 9�9 0������ �� �����%�������

)� �� ��� � � %�f �� ����- 5�������� �� ������������-

%f� � %�� &�� �� � %f� � � � &��

%�� � %2� &2� �� � %2� � %�� � &2�

%2� � %�� &�� �� � %�� � %2� � &��

����� %?n�� � %?� � &?n��� ���� �� ��� ������ �� ������ �����%������� �� � �������������� ������ �/ ������� �� ������� ������� ���� ��� ������� �� )� � �� � ���������� �� �� ������ ���� ��� ��� ������ ��� ������� � ��� ����� ���� �� ���� ������� ����������

&����$���� � � � ������ ��� ����� �� �� �� ��� ���� ��� ������ ������

:19 Dssur{lpdwlrqv dqg ghwdlov 476

��� ��� �� �%���� ����3����� �������� �� ������� ������� �����������

%f� � rc��@c�����

� rc�

���� �T

�M �(

� rc�

���� �� �

� rc�

��� �T

� �

rc�

��� ��M �

� rc�

��� �� �(

� �� �T �M �(

:��� ��� ��� ������� ����������-

CA XA

!��� 9�C- ����%������ ���4����� �� �������������

CV XV

!��� 9�D E������� ������ ���4����� �� �������������

477 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

CH XH

!��� 9�8@ :���3���� ������ ���4����� �� �������������

CD XD

!��� 9�88 0������ ������ ���4����� �� �������������

��� +$������

+$����� ��� 6�� � �� � ������ ������ ����� ��� ���� �� ����� ������ ������%o� � %o� �� &on��� &on�� ��� � � � � � � � � � ���� �� ��� ������� ���������� ���F

*��0��� ��� ��� ���������� ����������� ���������� �� �������� ������� �������� �� ��� �� ��� ����������� %o� %o3�� � %o� &o� %o32� � %o3�� &o3��