Filosofía, Matemáticas y Educación: una perspectiva histórico-cultural en Educación Matemática

8/18/2019 Filosofía, Matemáticas y Educación: una perspectiva histórico-cultural en Educación Matemática

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Filosofía, Matemáticas y Educación: una perspectiva

histórico-cultural en Educación Matemática 1

Philosophy, Mathematics and Education: A Cultural-HistoricalPerspective on Mathematics Education

Filosofia, Matemática e Educação: Uma Perspectiva Histórico-

Cultural em Educação Matemática

Fecha de recepción: enero 2014 Fecha de aceptación: julio 2014

Gilberto Obando Z.2 Luis Carlos Arboleda A.3

Carlos Eduardo Vasco U.4

Resumen

Sobre la base de planteamientos epistemológicos derivados dela teoría de la actividad, en este artículo se argumenta en favorde una postura sobre el conocimiento matemático que posiciona los procesos individuales y sociales de suconstitución como polos de una dualidad dialéctica mediada por los sistemas de prácticas socialmente compartidos. Con base en estos planteamientos, y tomando en consideración lanoción de configuración epistémica, en la segunda parte se presenta una caracterización de los sistemas de prácticamatemática. Como resultado de lo anterior, se presentanelementos teóricos y metodológicos que se han mostrado potentes en algunos estudios de las prácticas matemáticas delos individuos en condiciones institucionales específicas.

Palabras clave: Sistemas de práctica matemática; Teoríasen Educación Matemática; Teoría de la actividad;configuración epistémica.

1 Artículo de investigación2 Universidad de Antioquia. Facultad de Educación, Medellín, Colombia. Contacto: [email protected] Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Cali, Colombia.Contacto:[email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Doctorado Interinstitucional en Educación, Bogotá, Colombia.Contacto: [email protected]


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Abstract

In this article, based on epistemological approaches derivedfrom activity theory, the authors argue in favor of a conception

on the mathematical knowledge that positions the individualand social processes of its formation as poles of a dialecticduality mediated by socially shared practice system. Based onthese approaches, and taking into consideration the notion ofepistemic configuration, a characterization of mathematical practice systems is proposed in the second part. As a result ofthese considerations, a few theoretical and methodologicalelements for the study of individuals’ mathematical practicesin specific institutional conditions are presented.

Keywords: Mathematical practice systems; Theories inMathematics Education, Activity Theory; Epistemicconfiguration.

Resumo

Neste artigo, com base em abordagens epistemológicasderivadas da teoria da atividade, argumenta-se em favor deuma posição sobre o conhecimento matemático que posicionaos processos individuais e sociais de sua formação como polosde uma dualidade dialética mediada por sistemas práticossocialmente compartilhados. Com base nestas aproximações, etendo em conta a noção de configuração epistêmica, a segunda parte apresenta uma caracterização dos sistemas de práticasmatemáticas. Como consequência do acima apresentaelementos teóricos e metodológicos importantes para o estudodas práticas matemáticas de indivíduos em condiçõesinstitucionais específicas.

Palavras-chave: Sistemas de prática matemática, Teoriasem Educação Matemática, Teoria da Atividade, Configuraçãoepistêmica.

IntroducciónLa educación matemática, en su proceso deconsolidación, ha transitado por diferentescaminos teóricos, algunos

complementarios, otros excluyentes, peroen todo caso, fundamentados en procesosinterdisciplinares que muestran sucomplejidad (Vasco, 1994), al punto que seconsidera, en el presente, un campo de


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investigación y de prácticas enconstrucción, un cruce de caminos dediferentes enfoques teóricos ymetodológicos (Clements, Bishop, Keitel-

Kreidt, Kilpatrick y Leung, 2013; D'Amore,2005; Sriraman y English, 2010). Aún conel riesgo de simplificar la complejidad de ladiscusión, puede decirse que estos enfoquesse despliegan entre el individualismo — monismo epistémico y cognitivo — , y las posturas de corte dialógico en donde locognitivo y epistemológico se explicancomo procesos eminentemente culturales.

Siendo conscientes de las tensionesgeneradas en este debate acerca de si loindividual o lo social es lo determinante enlos procesos de constitución delconocimiento, en este artículo, sobre la base de planteamientos que provienen de lateoría de la actividad y de una filosofía dela práctica, se busca argumentar en favor decuestiones relativas tanto al conocimientomatemático, como a su aprendizaje. Semuestra que lo individual y lo social — loinstitucional — son polos de una tensión

dialéctica movilizada a partir de lossistemas de prácticas históricamenteconstituidos. Como lo manifestó JohnDewey, se trata de reconocer que laconstrucción de la experiencia humana noes sólo el producto de la acción mental delindividuo, sino también el resultado de los procesos sociales subyacentes a lasrelaciones humanas:

[…] vivimos, del nacimiento hasta la

muerte, en un mundo de personas ycosas, que en gran medida son lo queson por lo que se ha hecho ytransmitido desde las actividadeshumanas previas. Cuando se pasa poralto este hecho, la experiencia setrata como si fuera alguna cosaexclusivamente dentro del cuerpo y

la mente de un individuo. No deberíaser necesario decir que la experienciano se produce en un vacío. Hayfuentes fuera de un individuo quedan lugar a la experiencia. (Dewey,

1960, p. 43)Estas fuentes externas provienen de lacultura en forma de sistemas de prácticasinstitucionalizadas que reglan las formas deacción de los individuos — acción orientadaa una finalidad, acción con otros — , y que asu vez posicionan al individuo frente a esaacción conjunta — habitus, en el sentido deBourdieu — .

Los individual y lo social delconocimiento

Una práctica — o mejor, un sistema de prácticas — es un conjunto de estructurasdinámicas objetivas y de condicionesobjetivadas socialmente que orientan ylimitan las formas de hacer — y de pensar — de los individuos adscritos a una

institucionalidad específica, pero a la vez,en tanto la adscripción institucional de laacción del individuo no es una imitaciónciega ni una repetición mecánica, estambién el conjunto de posicionessubjetivas que condicionan la manera comoel individuo actualiza su acción en un aquíy un ahora (Bourdieu, 1977, 2007;Bourdieu y Johnson, 1998). Estasestructuras dinámicas objetivas permiten elmínimo de acuerdos posibles para lamovilización de la actividad de losindividuos y generan, por tanto, unadisposición de los sujetos, unas formas desensibilidad para la orientación subjetiva yobjetiva de su acción. Por su parte, el posicionamiento subjetivo es el que permiteal sujeto, en el marco de las disposiciones


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objetivas de su campo, “ver” la ocasión para la acción, imprimir un enfoque oforma específica a su actividad, hacer de su práctica un objeto de reflexión. En el marco

de esta tensión continua entre el conjuntode restricciones que un sistema de prácticasimpone al individuo, y el posicionamientosubjetivo en la práctica actuada, es donde elsujeto toma distancia en un acto de creación

— libertad creativa en el marco de lascondiciones del campo de prácticas — quele permite reflexionar sobre su práctica,transformar su acción y construirconocimiento.

De otro lado, lo institucional denotaese espacio simbólico — con límites más omenos definidos — de prácticas compartidas por un colectivo de individuos, los practicantes de esa comunidad, espaciodonde se comparte, se negocia, se actúa conlos otros — donde también se excluye — , endonde resuenan las voces presentes demuchos otros y las voces pasadas que hanconstituido la memoria cultural de lacomunidad. El términoinstitucional hace

notar que cuando se despliega una prácticaen, o con, las matemáticas, ésta se hace bajo unas condiciones específicas que ledan las marcas propias de un momento,época y lugar — maneras de hacer, de pensar, de relacionarse con y a través de lasmatemáticas, fines, medios, utilidad, entreotros — , que imprimen a la acción delindividuo unas condiciones que él compartecon otros individuos. Lo institucionaldispone al individuo en un conjunto deformas de acción socialmente constituidas,que le permiten ser en y desde la cultura através de su acción

Lo individual es la inscripción del ser en ese capital simbólico construido por lacomunidad: el individuoes , en tanto es

reconocido por otros, en oposición a otros — lo comunal se constituye sobre la base delas subjetividades de los individuos — . Elindividuo se hace en la medida que se

inscribe en ese conjunto de prácticascompartidas, y esa inscripción esaprendizaje. A la acción de aprender,siguiendo a Radford (2008, 2010), se le puede llamarla subjetivación del saber , esdecir, apropiarse del legado culturalinstitucionalizado en la comunidad, hacerobjeto aquellas estructuras idealizadas en lacultura, constituirse como individuo en elseno de una comunidad a través de laacción reflexiva con y sobre las prácticassocialmente compartidas. Por otro lado,aprender es también un proceso semióticocultural de objetivación de ciertos saberes,un proceso reflexivo de transformación delas prácticas matemáticas que lo lleva ahacerse críticamente consciente de unaforma codificada de pensar y de hacer(Radford, 2013). A través del aprendizaje,el individuo a partir de sus prácticas se posiciona en relación a los otros, a la

cultura.

Objetos y conceptosmatemáticos: síntesis de laacción humana

Sobre los objetos matemáticos

Restivo y Collins (2010)afirman que “losobjetos con los que tratan las matemáticasmodernas…son reales en el siguientesentido. Ellos no soncosas ,…, ellos son, por el contrario, las operaciones, lasactividades que los matemáticos puedenrealizar.” (p. 11, cursivas en el original).


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Los objetos matemáticos provienen,no de la abstracción de objetos realesmediante la descripción de suscaracterísticas principales, sino de un proceso de objetivación de

procedimientos . Ellos no provienende una realidad exterior,independiente del hombre,representando la esencia desprovistade impurezas materiales, sino queellos formalizan la acción humana(Giusti, 2000, pp. 25-26, cursivas enel orginal).

Los objetos matemáticos antes que serabstracciones sobre otros objetos sonabstracciones sobre la acción — instrumentalmente mediada — , con y sobretales objetos — si se quiere de nivel previo — . El objeto sintetiza un campocomplejo de experiencias, es la percepciónde un conjunto complejo de operaciones yrelaciones que se tematizan5 a partir de laexperiencia vivida para la constitución denuevos objetos. Para el caso de lasmatemáticas, los objetos sintetizan no sololas formas de relación de las personas conlos otros objetos de conocimiento

matemático heredados de la cultura, sinotambién las formas de relación con el restodel mundo.6 Ese es el eterno ciclo creativo,en donde nuevos objetos emergen comoformas idealizadas de patrones de actividadsobre los objetos culturalmente ya

5 “Según Jean Cavaillès, quien introdujo eltérmino para distinguir la edificación lógica delas teorías de una simple generalización, latematización es el proceso por el cual unaoperación que previamente se ha realizado sobreun campo de objetos, es objeto de una segundaoperación, la cual se vuelve a su vez objeto deuna tercera operación, y así sucesivamente.”(Arboleda, 2011, p. 33).

6 Así por ejemplo, el número en los griegos, o elnúmero en la época moderna, es diferente nosolo porque el moderno sea más abstracto que elantiguo. Lo es sobre todo porque en uno y otromomento están sintetizando diversas formas derelación con el mundo.

constituidos. Estas formas idealizadas,estos patrones de actividad se fijan en elsigno que, a partir de ese momento, es laforma objetivada del objeto de

conocimiento constituido.Esta constitución de objetos es loque Radford (2009, 2013) denominaobjetivación , entendida ésta como un proceso social activo y creativo deconstrucción de sentidos y significados — para los objetos de conocimiento — enrelación con las formas culturales de hacery de pensar — conocimiento matemático — .Estos sentidos y significados descansan nosólo en el cuerpo de conocimientosestructurados formalmente — conceptos,objetos, axiomas, teoremas, entre otros — ,sino también, en las acciones — gestos,técnicas, modos de hacer — , en los medios para dichas acciones — signos,instrumentos, y otros — en las formas derazonamiento y de enunciación — génerosdiscursivos, en términos bajtinianos — aceptadas como válidas y, en general, en elconjunto de ideologías7 que permiten

ciertas formas de significación en relacióncon los objetos de conocimiento. Estasuperestructura simbólica, como diceRadford (2008, 2009), conforma el espaciosimbólico de los medios semióticos deobjetivación , que la cultura pone adisposición de los individuos para su posicionamiento ante el mundo, para laconstitución de su experiencia matemática.

7 Para Bajtín, la ideología es conciencia socialconstituida por la interiorización del signo, esdecir, la ideología es un “sistema de ideassocialmente determinado, como sistema devalores y puntos de vista” (Silvestri y Blanck,1993, p. 56).


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Sobre los conceptos matemáticos

En palabras de Frege (1996a, 1996b), unconcepto es toda predicación que se realice

sobre los objetos. Así por ejemplo, alafirmar que un cuadrado es una figurageométrica con sus cuatro lados iguales ysus cuatro ángulos iguales, la idea deigualdad en ángulos, y de igualdad enlados, expresan dos propiedades atribuiblesa todo aquello que sea cuadrado, o a lainversa, toda figura geométrica que hagaverdaderas estas esta proposición — cumpliral tiempo las dos propiedades, los dosconceptos — es el objeto cuadrado. Así pues, los conceptos se expresan, tomanforma, se constituyen a través de la palabra.

De otra parte, y siguiendo los planteamientos de Vygotsky (1993, 1994),detrás del concepto no sólo está la conexióndel objeto con su significado, sino que, enese proceso de elaboración del significado,la palabra que designa el objeto sintetiza elconjunto de operaciones mentales que permiten la abstracción de los atributos del

objeto que son resaltados en undeterminado concepto. Dicho de otramanera, el proceso de formación de unconcepto implica un proceso degeneralización de atributos, pero sobretodo, la síntesis de dichos atributos en unanueva unidad, el concepto formado.8 Finalmente, los conceptos matemáticos, en

8 Es importante resaltar que desde la perspectivade Vygotsky (1993) generalizar es algo más queidentificar los rasgos comunes a una clase deobjetos. Ésta es ante todo el proceso mediante elcual esos atributos identificados como comunesse constituyen, se sintetizan en una nuevaunidad. Con sus palabras, una cosa es identificartodos los atributos comunes a una clase objetosy otra la designación de dichos atributos a travésde una palabra, pues este acto de designacióncrea una etiqueta que los constituyeefectivamente en una unidad.

tanto conceptos científicos, deben serconsiderados como pertenecientes a una redsistémica, esto es, que cada nuevo conceptodebe posicionarse en el marco de una red

compleja de relaciones con otros conceptosrelativos al mismo y a otros objetos , locual permite relacionar diferentes objetosentre sí.

Actividad orientada:objetivación-subjetivación delser

En una primera aproximación se puedeentender la actividad como una categoríafilosófica que “refleja la relación del sujetohumano como ser social hacia la realidadexterna, relación mediatizada por el procesode transformación y cambio de estarealidad” (Davidov, 1988, p. 11). Estacategoría se erige como “…la abstracciónteórica de toda práctica humana universal,que tiene un carácter histórico-social…”(Davidov, 1988, p. 27). Se puede entonces

entender la actividad como el conjunto deacciones desarrolladas por los sereshumanos, en contextos particulares de práctica, socialmente orientada a un fin(intencional ) (Leontiev, 1978; Ricoeur,2001). Esta orientación intencional esregulada por la adscripción a un sistema de prácticas en un campo de experienciasdeterminado. La prácticaobjetiviza laacción del individuo, la orienta haciaobjetos específicos de su campo deexperiencias.

La actividad es un proceso colectivo enel cual la inter-acción es la base para laconstrucción de sentidos y significados, esdecir, la construcción de una concienciaindividual — que no es una conciencia


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solipsista — en el marco de los procesossociales subyacentes, en tanto la acción delindividuo en el proceso de objetivación estádeterminada por los agentes, instituciones o

instrumentos del campo — ser con otros — .Esto muestra el carácter intersubjetivo de laactividad, en función del carácter re-flexivode las acciones humanas. Lare-flexión ,siguiendo a Radford (2006, 2008), es ladialéctica entre una realidad — constituidahistórica y culturalmente — y un sujeto quea través de sus acciones refracta y modificadicha realidad, pero que además, se vuelvesobre sí mismo para construir un cambio deestructura en su existencia. La reflexión esla forma por medio de la cual el individuorefracta sobre sí mismo, a través de suacción, el conjunto de instrumentos que lacultura pone a su disposición. Esto significaque la acción del individuo no es pasivafrente a los instrumentos sino que, en suacción reflexiva, los transforma, los re-significa. Esta autonomía del sujeto en elcampo, en términos de conciencia ocapacidad reflexiva sobre su propia

práctica, es lo que puede llamarse la subjetividad : “La subjetividad aparececomo forma de participación y contribucióna la práctica social, de cambio de avance, yasí, como la forma en que las realizaciones prácticas de los humanos son conducidashacia sí mismos, hacia otras personas, haciasu mundo” (Stetsenko, 2005, p. 82).Pertenecen al dominio de la subjetividad losideales, conductas y valores a los que apelael sujeto para darle sentido a su práctica(ver por ejemplo, Detlefsen, 2005, sobre losideales en las matemáticas en el siglo XIX).La subjetivación es entonces el acto pormedio del cual el individuo se constituyecomo ser, es la manera como en función desu acción reflexiva se posiciona frente al

mundo. Es la manera como el individuoregula su participación en los entornos de laactividad práctica social, y por ende, laforma como habita las instituciones, las

hace vivir en la revisión y transformacióncontinua de dichos sistemas de prácticas(Bourdieu, 2007).

Lo Histórico – Cultural: 9 fundamentos semiótico-cognitivos

De acuerdo con lo antes expuesto, eldesarrollo del individuo en función de laexperiencia humana debe comprendersecomo un proceso mediado culturalmente,institucionalmente situado en contextosespecíficos de práctica — las acciones delos individuos y el contexto para la acciónforman una unidad inseparable — , ycognitivamente distribuido — en los otros,los instrumentos, los entornos sociales ynaturales — (Cole y Wertsch, 1996).

Mediación y cultura:construcción semiótica de laconciencia

Vygotsky introduce elementos deorden cultural en los mecanismosexplicativos de los procesos del desarrollo

9 Diversos autores (Cole, 1999a, 1999b; Cole yWertsch, 1996; Daniels, 2003, 2008; Leave,1991; Wertsch, 1988) proponen llamar histórico-críticos, o histórico-culturales, a los enfoquesque, sobre la base de los aportes de Vygotsky,Leontiev, Luria, entre otros, buscan unacomprensión del desarrollo humano en funciónde reconocer y estructurar las conexionesíntimas entre la acción humana y el entornodentro del cual se desarrollan dichas acciones,conexiones que se elaboran sobre la base de lamediación de los instrumentos culturales, loscuales son por naturaleza, institucionalmentesituados e históricamente constituidos


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humano. Estos procesos son ser estudiadosen dos grupos de fenómenos, totalmenteinterconectados, aunque perfectamentediferenciados. De un lado, en relación con

el dominio de los medios externos dedesarrollo cultural: el lenguaje, la escritura,el cálculo, el dibujo, entre otros. De otrolado, el de las funciones psíquicas

superiores , tales como la percepción, laatención voluntaria, la memoria lógica, laformación de conceptos, el lenguaje oral, ellenguaje escrito, y demás. El estudio deestos dos grupos de fenómenos pone demanifiesto la tesis central de la teoríavygotskiana, a saber, la conciencia, laexperiencia humana, como expresión de suconducta, tiene naturaleza doble: sedesarrolla en el plano de la cultura, desucesos históricamente constituidos, y en el plano interno de la construcción de losesquemas cognitivos. Es en esto que se basael principio de internalización : lareconstrucción interna, por parte delindividuo, de los planos sociales en lasfunciones psicológicas superiores.10

El signo es el medio a través delcual se realiza este proceso en tanto que, deun lado, todo signo es una construccióncultural, y de otro, la acción humana através del signo le permite al individuoapropiarse de ese legado cultural presenteen él — formas de hacer, operaciones, y de pensar cristalizadas en el signo — , y alhacer esto, el individuo constituye suconciencia, su capacidad crítica frente a esarealidad exterior, posicionándolo frente a suhacer y su saber. Así, los signos, a través de

10 Internalización no es una simple copia de larealidad exterior en la mente de las personas, esun proceso reconstructivo en el que laconstitución de esa realidad exterior en losplanos cognitivos, modifica la cognición mismadel individuo

la actividad de los individuos, permitenreconstruir para sí lo que la humanidad haconstruido en la cultura.11 Es en estesentido que Vygotsky refiere la función

instrumental de signo , esto es, en relacióncon algún tipo de operación psicológica — memorizar, recordar, informar, elegir,calcular, entre otras — , los signos son losinstrumentos de la actividad humana — eseste caso, actividad psicológica — , losmedios para la ejecución de las accionescognitivas necesarias en los procesos deconstitución de la conciencia comofenómeno cultural.

Actividad y mediación: accióninstrumentada, acción con elotro

Así pues, el concepto deactividad emerge,en la teoría vygotskiana, como un principioexplicativo que permite comprender cómola cultura permea el proceso de constituciónde la conciencia humana. Para Vygotsky, es

11 De esta manera el signo no es una marca, unahuella dejada sobre un medio soporte, una fichade un juego formal carente de significados — como lo pretendía el formalismo matemático — ,sino que el signo lo es en tanto que en relación aesa marca, a esa huella, a ese gesto – como diríaRadford (2006, 2008, 2013) – se han cristalizadoun conjunto de significados, de patrones deactividad de los sujetos, haciendo entonces deeste signo una construcción cultural, concapacidad para orientar la acción de losindividuos. Se puede decir que la marca, lahuella, el gesto son cada uno de ellos portadoresde unas formas de acción, de unos significadosdel objeto, y por ende, nos permiten, por asídecirlo, tener una impresión sensorial del objetoen sí mismo. La multiplicidad de estas miradassobre el objeto, de formas de acción con elobjeto, de significados para el objeto, permitennuevas elaboraciones sobre el objeto en símismo, como especies de síntesis que permitenconstituir nuevos niveles de relación sobre talmultiplicidad.


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la “actividad humana concreta histórica laque constituye el generador detrás de losfenómenos de la conciencia” (Kozulin,2003, p. 102). El desarrollo se debe

considerar como resultado de las accionesculturalmente significativas y no sólo comoun fenómeno biológico.

...la cultura origina formas especialesde conducta, modifica la actividad delas funciones psíquicas, edificanuevos niveles en el sistema decomportamiento humano deldesarrollo... En el proceso dedesarrollo histórico, el hombre socialmodifica los modos y procedimientosde su conducta, transforma susinclinaciones naturales y funciones,elabora y crea nuevas formas decomportamiento específicamenteculturales (Vygotsky, 1995, p. 34).

Cultura y desarrollo se co-determinan.Cuando el individuo actúa sobre su entorno para transformarlo en busca de bienestar,ese medio transformado genera nuevascondiciones para el desarrollo del individuo

(Hegedus y Moreno-Armella, 2011).

Di al écti ca suj eto-o bj eto: acci ónmediada ins t ru menta lmente

La idea de mediación — instrumental — de Vygotsky, o como lo hanllamado los teóricos actuales, la acciónmediada, es base fundamental para darcuenta del carácter eminentemente situado

— histórica y culturalmente — de la accióndel individuo (ver¡Error! No se encuentrael origen de la referencia. ).

Figura 1. Modelo de la estructura de mediación en la

perspectiva vygotskiana de la acción

mediada

Fuente: elaboración propia a partir de R. Engeström

y Kuutti, 2006, p. 46.

En este modelo,S representa unsujeto, M los instrumentos — artefactos,signos, símbolos, textos, fórmulas, mediosgráfico-simbólicos, explicaciones de otros,y demás — y O el objeto/motivo de laactividad.12 La línea S t(n)O representaformas de relación natural entre el sujeto yel objeto/motivo — sin mediación — ,mientras que la línea S t(n) MO , lasinteracciones entre el sujeto y elobjeto/motivo mediadas instrumentalmente.El subíndice “t( n)” bajo la letra “ S ” indicaun estado específico en un tiempo t dado,de modo que S t(n) será el estado delconocimiento del sujetoS en un tiempo t(n)dado, y OSt(n) es el objeto/motivo representado por el sujeto, en el tiempot(n), vía los medios de mediación, mientras

12 Siguiendo a Roth y Radford (2011) se usa la expresiónobjeto/motivo , y no simplemente objeto, para referir elobjeto de la actividad como una construcción culturalque orienta, que canaliza la acción del individuo sobrelos objetos del mundo, y de esta manera, la palabraobjeto se usa en el sentido usual: aquello que en ladualidad sujeto-objeto, denota la realidad objetiva, loque se antepone al sujeto, si se quiere, las cosasexistentes. Sobre la necesidad de esta doble distinciónver Roth & Radford (2011) o Kaptelinin (2005).


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que O t(n) es elobjeto/motivo en sí mismo endicho tiempo t(n) — por lo general, elobjeto, como construcción social, nocoincide con la representación que el sujeto

se hace de dicho objeto, la cual depende delas formas de mediación en el sujeto — .Finalmente, S t(n+1) es el estado deconocimiento del sujeto en un tiempo posterior a su acción sobre el objeto/motivoO.

A esta perspectiva vygotskiana se lehan criticado aspectos como: a) su idea demediación semiótica, que separa dos procesos de mediación — interna yexterna — a través de dos tipos deinstrumentos — signos y artefactos — y pone el peso de la mediación cognitivasobre los signos, lo cual deja por fuera todauna serie de acciones e instrumentos para laacción que también inciden en la formaciónmisma de la conciencia — en tantoconstrucciones culturales — , b) no mostrarde manera explícita otras formas demediación entre en el sujeto y el objeto, no presente en los signos o artefactos como

instrumentos de mediación, como son lasformas de acción social. Parafraseando aEngeström (1999), el modelo triangular dala impresión de que el sujeto actúa ensolitario en relación con el objeto/motivode su actividad, y no muestra lasinteracciones de los otros con ese mismoobjeto/motivo, con el sujeto mismo. Dichode otra forma, no muestra que la acción delsujeto está inmersa en un complejo sistemade actividades, en el cual las representaciones del sujeto sobre suobjeto/motivo de la actividad hacen partede un sistema estructurado de percepcionesy cogniciones pertinentes en el marco de lascondiciones institucionales que delimitanlas prácticas de los individuos.

Di al écti ca suj eto-ob j eto: a cci ónmediada socia l mente

Como se expresó, la actividad sedefine en relación al conjunto de acciones

socialmente dirigidas (orientadas) con elobjetivo de alcanzar un fin . Debido a estaorientación hacia una finalidad, la actividades de naturaleza social, y es la vía por laque el humano ejerce control sobre símismo, y sobre los demás. La actividad esentonces un complejo de relaciones entrelas personas en el curso de su acciónobjetiva y en el marco de sistemas de prácticas relativas a un mismo campo. Laactividad tiene como principales elementosconstitutivos elobjeto/motivo , las acciones y lasoperaciones .

El objeto/motivo de la actividad,aquello hacia lo que se orientanobjetivamente las acciones humanas, tieneuna doble finalidad: externamente, orienta ydirige el curso mismo de la actividad; e

internamente, es representación mental enel sujeto, lo cual permite al ser humanoreflexionar sobre la actividad misma ytransformarla (Kaptelinin, 2005; Leontiev,1978). De esta manera, la orientación de laactividad por el objeto/motivo permite latransformación mutua del uno sobre el otro

— sujeto y objeto — , en una dobledimensión que proyecta el objeto sobre lamente de los sujetos, pero que a la vez proyecta la mente de los individuos sobrelos objetos de la realidad objetiva(Kaptelinin, 2005). Es decir, la actividad,en la dialéctica entre el acto físico y larepresentación mental, hace posible laanticipación de la acción — por parte de lossujetos actuantes — a partir de un procesoestructurado de planificación.


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Figura 2. Estructura de la actividad humana según Leontiev

Fuente: elaboración propia

Las acciones son el conjunto de procesos por medio de los cuales los individuos planifican — representan mentalmente diceLeontiev — un objetivo, y cuyo fruto es

alcanzar dicha finalidad objetiva. De estamanera, acciones y finalidades estánestrechamente unidas. Las finalidades sedan arbitrariamente en el desarrollo decircunstancias objetivas. Su delimitación ytoma de conciencia no es ni automática niinstantánea, sino un proceso de prueba através de la acción.

Pero las acciones, además de laintención, comportan el cómo lograrlas, esdecir, el conjunto de procesos a partir de loscuales se hace concreta la acción. Leontievllamó a estos procesos lasoperaciones de laactividad. Las operaciones no están

determinadas por la acción en sí misma sino por las condiciones (objetivo-objeto ) paraser realizada.

Autores contemporáneos (Cole, 1999a;

R. Engeström y Kuutti, 2006; Y.Engeström, 1999, 2009) encuentran en los planteamientos de Leontiev tres elementosnuevos en la noción de mediación: ladivisión social del trabajo, las relacionescon la comunidad, y las reglas oconvenciones para la acción. Se amplía elhorizonte de la idea de mediación más alláde mediación instrumental, al incluirelementos que permiten comprender laacción del sujeto en el marco de formassociales más complejas (figura 3).

Operación

Acción

Actividad Objeto/motivo

Finalidad,objetivo

Condiciones


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Figura 3 . Modelo de la estructura de las formas de mediación en la teoría de laactividad de Leontiev

Fuente: elaboración propia

En este modelo, la división social deltrabajo implica que en el curso de laactividad, por lo general, lo que hace unindividuo sea sólamente parte de unconjunto de acciones con otros, y por lotanto, la distribución de las tareas delimitalas relaciones de poder y los posicionamientos de unos frente a otros. La comunidad permite comprender los procesos de colaboración entre losdiferentes individuos involucrados en laactividad — sistemas de prácticas que permiten las interacciones entre losindividuos en un marco institucionaldeterminado — . Las reglas se refieren a eseconjunto de normas, explícitas e implícitasque regulan las acciones de los individuos

en el seno de una comunidad — códigos decomportamiento, normas que orientan laacción, entre otros — .

Este nuevo modelo expande eltriángulo inicial para abarcar lasdimensiones sociales y colaborativas de laactividad — reglas, comunidad — , al igualque incluir las relaciones de poder que sedan en las mismas — división social deltrabajo — . Las flechas entrantes y salientesde cada uno de los puntos, indican que setrata de un modelo sistémico — aunquealgunas de las interacciones sean difícilesde identificar — lo que indica que cadanodo media entre los demás, y todosconjuntamente en la relación sujeto – objeto/motivo de la actividad. Igualmente,


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el sujeto tiene que ser visto como unindividuo en comunidad y, por tanto, laacción que conecta elobjeto/motivo de laactividad con el resultado es en realidad un

cúmulo de acciones que marchan en paralelo para poder llegar a la meta.13

Acción instrumentada: cognicióndistr ibuidaComo se puede concluir de las seccionesanteriores, la actividad práctica orientada aun fin es objeto de diferentes formas demediación, una de las cuales se da a travésde los instrumentos con los cuales seconfigura la acción. Los instrumentos, a lavez que síntesis sociales de los procesos deinter-acción, son mediadores en la formacomo los individuos se apropian de dichasconstrucciones sociales — entre ellas, elconocimiento — . La acción del humano através de instrumentos—la actividad — comporta, para ese individuo, apropiarse dela experiencia de la práctica social, la cual,hecha conciencia, se constituye en

conocimiento (Leontiev, 1978).Para Leontiev, el instrumento es a lavez el objeto con el que se realiza la acciónlaboral, pero también, el objeto social quesintetiza unos modos de acción socialmenteelaborados. El instrumento es el conjuntocomplejo de métodos y operacionessocialmente elaboradas y cristalizadas enél.14 Es una construcción social — material

13 En los últimos años la teoría de actividad hasufrido cambios sobre la base dereconceptualizar algunas de las nocionesclásicas. Por ejemplo, elobjeto/motivo de laactividad se ha interpretado como un campo deposibilidades, continuamente abierto a latransformación, y por ende, con potencialtransformador del sujeto. Para detalles ver Y.Engeström (2009) o Y. Engeström y Sanino(2010)

14 En este sentido, instrumento es diferente de

y simbólica — , y por tanto una abstracción,una generalización de las accionesculturales cristalizadas en su estructura(Leontiev, 1978).

Alex Kozulin retoma la noción deinstrumento psicológico de Vygotsky, y loredefine alrededor de conceptos másamplios: signos, símbolos, textos, fórmulas,medios gráfico-simbólicos. En sus palabras,“Los instrumentos psicológicos son losrecursos simbólicos que ayudan a losindividuos a dominar sus propias funciones psicológicas‘naturales’...” (Kozulin, 2000, p. 15). En ese sentido, los instrumentos noson sólo prótesis que amplifican lascapacidades humanas para hacer cosas. Sonverdaderas extensiones de su cuerpo, de sumente, que llevan la cognición humana másallá del cuerpo, distribuyéndola en losinstrumentos para la acción, en los otroscon los que se actúa. Decía Dewey quecuando el niño aprende a hablar, no solotiene nuevas necesidades y deseos, tambiénse le abren nuevas posibilidades para unsaber subsiguiente (Dewey, 1960).

De esta manera, la construcción delinstrumento que realiza el ser humano sehace indisociable del el desarrollo mismode las acciones prácticas humanas, en tantotoda acción es mediada por el uso de uninstrumento (físico o simbólico). Elindividuo, en el curso de su actividad,co-actúa con el instrumento, y en el desarrollode esta co-acción , se modificanmutuamente (Hegedus y Moreno-Armella,2010; Moreno-Armella & Hegedus, 2009).Este proceso de co-acción determina lo quese ha denominado la génesis instrumental,

artefacto, y esta diferenciación está en la línea delos planteamientos de Rabardel, Trouche, entreotros (Gueudet y Trouche, 2012; Rabardel, 2003,2005; Rabardel y Bourmaud, 2005; Trouche,2002)


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entendida en un doble movimiento: el primero, en relación al proceso mediante elcual los instrumentos son incorporados alsistema de actividades de los individuos

dando forma a su acción, y donde laapropiación del instrumento escontextualmente situada dentro de, y conrespecto a, un determinado sistema de prácticas (instrumentación), y el segundo,en función de la manera como la evolucióny desarrollo de las formas de accióninstrumentada de los individuos, y lascondiciones de entorno dentro de las cualesse desarrollan tales acciones, afectan alinstrumento mismo (instrumentalización).15

Sistemas de prácticamatemática

Configuración epistémica

Como se expresó en las seccionesanteriores, toda práctica, desde el punto devista institucional, descansa sobre unconjunto de valores y visiones que

demarcan las fronteras dentro de las cualesse desarrollan los episodios particulares dela investigación matemática en épocas ylugares específicos. Estos valores yvisiones toman forma en relación a lastécnicas disponibles, a los tópicos deinvestigación y problemas enconsideración, a las orientacionesheurísticas, entre otras; propias ocaracterísticas de una comunidad en elmomento particular en el que desarrolla suactividad matemática. Este conjunto de

15 Esta manera de presentar la génesis instrumentaldifiere de los planteamientos de autores comoTrouche y Rabardel entre otros, que siguen eldenominado enfoque instrumental (Gueudet yTrouche, 2012; Rabardel, 2003, 2005; Rabardel yBourmaud, 2005; Trouche, 2002).

recursos institucionales — físicos eintelecutales — constituyen lo que MoritzEppe (2004) denominó unaconfiguraciónepistémica , esto es, la episteme que hace

posible la existencia de prácticasmatemáticas determinadas: que reconocensu campo de problemas de una determinadamanera, reconocen ciertas técnicas o formasde heurísticas y no otras, y reconocenformas de razonar o enunciar específicas,entre otras.

Godino y colaboradores (Godino yFont, 2007) introducen la noción deconfiguración epistémica de manerasimilar, con la ventaja de aplicar susanálisis no al ámbito de la investigaciónmatemática, sino a los fenómenos deconstitución de conocimiento matemáticoen contextos escolares. En su perspectiva,una configuración epistémica refiere a laestructura de objetos y sus respectivossistemas de significados, al conjunto deelementos inmediatos al entorno del aula declase, sus formas de organización, susformas de significación. De esta forma, la

atención se fija en el proceso vivido por elsaber escolar — su tiempo y espacio — , ensus sentidos y significados, y para los finesde un análisis micro-didáctico detallado, elestudio de las configuraciones epistémicascentra la mirada en el cómo se constituyenlos sistemas de práctica matemática en elaula de clase, en la forma como seestructuran los sentidos y significados delos elementos que la constituyen y que seconstruyen a partir de la práctica misma, y por ende, de los sentidos y significados para los objetos de conocimientomatemático desde el punto de vista delsaber institucionalizado, para diferenciarlodel conocimiento como fue apropiado porel alumno.


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Práctica matemática

Las prácticas son siempre realizadas por personas, y por tanto, al decir“ práctica

matemática” se están refiriendo ciertaforma de acción de los individuos, en susrelaciones entre sí, y con el medio, a travésde los procesos de objetivación tanto de lacantidad y la forma — por ejemplo, medir,contar, comprar, vender, intercambiar,construir, fabricar, estimar, describir,localizar — , como de la variación de una uotra — movimiento, cambio, comparación,transformación, y otras — .

Los medios para la acción, eselegado cultural a partir del cual se despliegacualquier práctica matemática, se puedencaracterizar a partir de los siguienteselementos: los objetos de conocimientoscon — y sobre los cuales se actúa — losconceptos que se enuncian sobre losmismos, los instrumentos para la acción, lastécnicas que permiten tales instrumentos,los problemas, en tanto metas que orientanla acción, las formas de discursividad que

permiten poner el hacer en el lenguaje — formas de decir, de escribir, decomunicar — , y finalmente el conjunto devisiones metamatemáticas que permiten latoma de decisiones sobre el hacer — cosmovisiones, valoraciones sobre lasmatemáticas, fines de las matemáticas, posturas filosófica y ontológicas — .16

Los elementos antes enunciados nosólo constituyen la práctica sino que, en elcurso de la actividad matemática, sonemergentes de la práctica misma en la

16 Esta idea de práctica matemática, en esencia,recoge los elementos básicos descritos porKitcher (1984), Ferreirós (2010) Godino,Batanero, y Font (2008), Godino y Font (2007),D'Amore y Godino (2007) ampliando algunos delos sentidos propuestos por estos autores, eintroduciendo nuevos elementos de análisis.

medida que se forman, se transforman, sesustituyen (Kitcher, 1984). En este sentido,dichos elementos no son estáticos sino quecambian en el tiempo, y este cambio

determina la constitución de nuevoconocimiento matemático. El cambio de las prácticas se ve en la medida que, o nuevastécnicas sustituyen parcial o totalmente lasanteriores, o bien nuevos objetos emergen para brindar una mejor comprensión de lastécnicas utilizadas, y por ende, una mejor justificación de las mismas. Pero a la vez,este proceso permite la emergencia denuevos instrumentos para la acción, y elciclo continua.

L os p rob l emas por r esolve r

Los problemas por resolver son esoscampos válidos de indagación, y de cuyotratamiento emerge el conocimientomatemático objeto de estudio. El análisis delos problemas en términos de las prácticasmatemáticas es importante en tanto permite

comprender cómo en las situaciones17

queéstos propician se articulan los objetos deconocimiento que problematizan, lastécnicas e instrumentos disponibles para sutratamiento y, en general, los conceptos quese movilizan en los discursos que seconstituyen en relación a la solución detales problemas.

Para dar cuenta de lo anterior, yapoyándose en Rabardel y Bourmaud

17 La situación se entiende como ese espacioemergente de la interacción de un grupo deindividuos — o un individuo — con el problemaque se tiene en frente — que orienta la actividadde los sujetos — al actualizar en sus prácticastodo el acervo cultural del que disponen paraenfrentar el problema en busca de la solución, ypor ende, constituir un posicionamiento sobre elmismo.


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(2005), el análisis de los problemas alinterior de una práctica se puede hacerdesde dos perspectivas: 1) tipos de

situaciones , referidas al conjunto de

problemas agrupados en función decaracterísticas lo suficientemente cercanas para que la actividad de los sujetos sedesarrolle con cierto nivel de estabilidad; y2) familias de actividad , para referir a la ala finalidad de la acción común, es decir, enfunción de las prácticas — matemáticas — que despliegan los individuos al enfrentarlos problemas. De esta manera se puedendiferenciar los aspectos propiamenteestructurales del problema por resolver, delos relacionados con las formas deactuación del individuo al enfrentarse conel mismo. Los problemas se pueden miraren función de dos principios que respondena su estructura, y a la forma de la actividadde los individuos.

La estructura apunta a identificar enlos problemas la naturaleza de lascantidades o las formas involucradas — continuas o discretas — , las

representaciones y las cuantificaciones delas mismas — procesos de medición,simbolización, graficación, entre otras — ,las acciones sobre estas — agregar-desagregar, agrandar-achicar, transformar,y otras — , las relaciones entre ellas — comparación por cociente o por diferencia,covariación — , y su status lógico — lo dadoo lo desconocido — . Por su parte lasfamilias de actividad apuntan a identificarla estructura de la acción que el sujetoconfigura en función de los instrumentosdisponibles. Por ejemplo, calcular, explicar, justificar, formular, representar, modelar,aplicar (Giaquinto, 2005).

F orm as de d i scurs iv i dad

Desde una perspectiva bajtiniana, las prácticas se hacen signo a través del

lenguaje. Pero a la inversa, es el lenguajeun mecanismo fundamental para laconstitución de tales prácticas. En estesentido, el lenguaje cumple una doblefunción, es el instrumento fundamental enla construcción de la conciencia humana, ya la vez, determina el desarrollo social delser humano,“Con la ayuda del lenguaje secrean y se forman los sistemas ideológicos,la ciencia, el arte, la moral, el derecho, y almismo tiempo crea y forma la concienciade cada hombre” (Bajtín, 1993, p. 242).Todo sistema de prácticas está en estrechaconexión con el uso social de la lengua.

A cada forma de práctica secorresponden formas específicas de uso, omejor, esferas distintas del uso de la lengua.Estas esferas de uso de la lengua, estas prácticas sociales del uso, toman forma através del enunciado. La unidad básica, elenunciado — que fusiona contenido

temático, estilo y construccióncomposicional — está indisolublementeunido a una esfera de comunicación: “todoenunciado tomado aisladamente es, porsupuesto, individual, pero cada esfera dadadel uso de la lengua elabora sus tiposrelativamente estables de enunciados, a losque denominaremos géneros discursivos”(Bajtin, 1990, p. 248). Así, “los génerosdiscursivos son especies de esquemas […]que orientan la construcción de formastípicas de enunciados donde se dibujan, semuestran simulacros del mundo relacionados con los grandes dominios de laactividad” (Martínez, 2005, p. 14, cursivasdel original). El género discursivo es unaespecie de “práctica social discursiva,


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mediada por un contrato de comunicación eintercambio verbal” (Calderón, 2003) entredos interlocutores ligados por una situaciónde comunicación específica.

Finalmente, los actos enunciativos propiosde las prácticas sociales y humanas tienensentido en el marco del desarrollo de procesos discursivos:

La discursividad puede entendersecomo la característica particular quedefine la comunicación social comoactividad verbal. [lo cual significaque] 1) Se trata de una actividadhumana de tipo semiótico y denaturaleza verbal… 2) Estaactividad permite la configuración desujetos discursivos; … 3) Laactividad discursiva es realizada enla cotidianidad por sujetos de habla oenunciadores, quienes desarrollan einteriorizan su experiencia discursivaen los procesos de constanteinteracción con los enunciadosindividuales ajenos. (Calderón,2003).

De esta forma, el sujeto asume un papeldialógico ante los demás, es la suma de lamultitud de voces — pasadas y presentes — ,y su voz es la réplica a otras voces.

La elaboración de formas discursivases fundamental en el desarrollo de lasmatemáticas. A través de éstas el lenguajese extiende más allá de los límites de laacción física, como se puede ver, porejemplo, en la teoría de los números reales.

El objeto número real, como objetoabstracto, no estaba en los griegos; sedesarrolló a través de un lenguaje que hizo posible la extensión de las operaciones aaquellos ámbitos que superaban los límitesde lo físico — los números complejos, losirracionales, entre otros — . Se puede hablar

entonces de una doble funcionalidad dellenguaje en la actividad matemática: es elvehículo para realizar las operacionesmatemáticas pero también el medio para

expresarlas (Kitcher, 1984).

I ns t ru mentos y p roced imi en tos

Como se dijo, los instrumentos son eseconjunto de recursos simbólicos — signos,símbolos, textos, fórmulas, medios gráfico-simbólicos, artefactos, software, gestos — que constituyen los medios para la acciónmatemática. Además, los instrumentos quemedian las prácticas matemáticas en el aulade clase, dado que cristalizan en suestructura ciertas formas de relación que pueden ser puestas en analogía con formasde relación entre conceptos y objetosmatemáticos, en lo que se ha llamadoelcampo simbólico del artefacto , son portadores de conocimiento y por ende,tienen capacidad de generar procesos deaprendizaje cuando son usados en el curso

de la actividad de las personas. Igualmente,este potencial del instrumento paraincorporar conocimiento es lo que le da la posibilidad de estar en permanentedesarrollo — incorporando lasmodificaciones que le hacen los individuosa través de su uso — , generando lo queMoreno y Hegedus (2010; 2009) handenominado la zona de desarrollo próximodel instrumento, refiriéndose a ese potencial de uso del instrumento, que lo pone, en la relación mediadora entre elindividuo y su actividad, más allá de losfines para los que ha sido utilizado.


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Obj etos y conceptos

Como se mostró ampliamente en lassecciones anteriores, objetos y conceptos

tienen una base firme en la acciones deindividuo y por tanto, en su constitución, un punto crucial lo determinan, de un lado, eltipo de problemas al que se enfrentan las personas, a los cuales se orienta su práctica;y de otro, los instrumentos disponibles parala acción. En particular, el uso funcional delos signos juega un papel central en laformación de objetos y conceptos, a travésde ellos se dispone de los medios paradirigir objetivamente la acción, analizar ydestacar atributos, abstraer y sintetizar.

A manera de síntesis

En suma, al proponer la dialéctica entre loindividual y lo social — dialéctica mediada por las prácticas sociales — en palabras deCobb (2006), se trata es de investigar la

persona-individual-en-la-práctica-cultural .Se plantea entonces no una separación entre

los aspectos individuales o sociales en laconstrucción de conocimiento, sino que, porel contrario, se muestra que lo social y loindividual son como las dos caras de unamisma moneda, lo individual y lo social seconstituyen uno al otro dialécticamente.

La teoría de la actividad entregaentonces una serie de instrumentos para lacomprensión de esa dialéctica. La noción demediación instrumental , o mejor aún, deacción mediada instrumentalmente ,entendiendo el instrumento en el sentidoamplio de los medios culturales deobjetivación , es un lente potente paracomprender la manera en que la culturamedia en los procesos de constitución delconocimiento y de la conciencia humana.

De manera similar, la acción del sujeto enel marco de la actividad colectiva, laorientación social de la acción sobre unobjetivo, la planeación de la acción y la

ejecución de la misma, y el uso de losinstrumentos para la acción, permitencomprender cómo los procesos sociales seconstituyen en procesos mentales. De otrolado, la subjetivación del ser, presente enlos mecanismos de regulación de la participación — en las prácticas sociales — por parte del sujeto, en su reflexión sobre laacción, en su orientación hacia el objeto dela actividad produciendo nuevosobjetos/motivos para la acción, creando otransformando los instrumentos, produciendo nuevos sentidos y significados para el sistema de prácticas, muestran elretorno del sujeto sobre el mundo social ycultural, “la subjetividad humana, alretornar sobre el mundo a través de laactividad, inevitablemente cambia almundo, posiciona al sujeto en sí mismofrente a la realidad material de las prácticashumanas en sus formas objetivas reificadas

[en los instrumentos y los objetos de laactividad]” (Stetsenko, 2005, p. 83).Al aplicar estas ideas sobre la

actividad es necesario preguntarse, para una práctica determinada, cuáles son susinstrumentos y cuáles las operaciones propias de dicha actividad. Se puede proponer, al menos para las prácticasmatemáticas, que la actividad consiste enacciones orientadas a la solución de problemas. Los instrumentos sonfundamentalmente de orden semiótico: ellenguaje natural, las notaciones algebraicas,las gráficas cartesianas, las figurasgeométricas, entre otras. Por su parte, lasoperaciones se constituyen a partir de todoslos procesos, formas de hacer matemáticas,


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construidos históricamente por lahumanidad, que se han cristalizado en losdiferentes sistemas de representación que seusan en las matemáticas — los registros

algebraicos, las representacionescartesianas, las figuras geométricas, yotros — . Los procesos de instrumentación einstrumentalización — el movimientocontinuo entre lo individual y lo social — ,muestran la manera como avanza elconocimiento matemático — es el caso, porejemplo, de la emergencia de los procesosalgebraicos sobre los aritméticos, lo cualimplica una profunda transformación en laactividad matemática de las personas — .

Tal noción de práctica matemáticano es estática, sino que esinstitucionalmente situada, semióticamentemediada, históricamente constituida, a lavez que dinámicamente transformada en eltiempo. El carácter institucional de la práctica se evidencia en los tipos derestricciones sobre el lenguaje, sobre lastécnicas, que el campo impone a losindividuos en el seno de la comunidad — es

el caso de los intuicionistas frente a losformalistas en los albores del siglo XX — .El carácter individual se evidencia en el posicionamiento del individuo frente alsistema de prácticas — en la acciónreflexiva sobre su práctica — y por ende enlos procesos creativos del individuo — libertad creativa en el marco de las reglasdefinidas por el campo — . En esemovimiento individual-social, las prácticasse transforman, emergen nuevas técnicas,nuevos objetos, nuevos conceptos, nuevosdiscurso, en fin, nuevas condiciones paraacción práctica.

En este marco, el aprendizaje debeser entendido como un proceso detransformación constante del individuo —

transformación de las prácticas — , en elcontexto de un ordenamiento — disposición — delimitado por los sistemasde prácticas socialmente objetivados que

orientan la actividad de los sujetos, y de un posicionamiento frente a dichos sistemas deactividad determinado por la subjetividaddel ser.

Agradecimientos

Este artículo es derivado de la tesis doctoraldel primer autor tituladaSistemas de

prácticas asociados a las razones, las proporciones y la proporcionalidad: elcaso de las configuraciones epistémicas enalgunos grados de la educación básica ,tesis elaborada en el marco del énfasis enEducación Matemática del DoctoradoInterinstitucional en Educación de laUniversidad del Valle.

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Filosofía, Matemáticas y Educación: una perspectiva histórico-cultural en Educación Matemática

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