Filosofia di progettazione sismica e metodi di analisi
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Capitolo 1
Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
Prima di discutere a proposito di sistemi di dissipazione passiva,
sintroducono in questo capitolo alcuni aspetti inerenti alle filosofie di
progettazione sismica, a criteri di analisi strutturale e alla modellazione del
comportamento non lineare di tali sistemi. Dopo una breve introduzione sul
rischio sismico, in prima analisi ci si focalizza sui metodi di progettazione
sismica basati sulle forze (Force-based design), che costituiscono la base dei
pi moderni codici di progettazione. Si d una breve descrizione sui concetti
fondamentali dietro a questi metodi illustrando lanalisi statica lineare e
lanalisi dinamica lineare in modo estremamente sintetico. In seguito, si
evidenziano la filosofia del Performance-based Seismic Design e le procedure
di analisi non lineari, necessarie per capire la risposta dei sistemi sismo-
resistenti nel range non lineare. Infine si definisce la modellazione del
comportamento non lineare utilizzato per il presente lavoro di tesi.
Dal momento che i sistemi di dissipazione dellenergia e i sistemi di
isolamento possono essere implementati utilizzando ognuno di queste filosofie
di progettazione sismica e di metodi di analisi, questo capitolo costituisce uno
schema di base per gli argomenti trattati in questa tesi.
1.1 Il rischio sismico
Il rischio sismico definito dallIstituto internazionale per la ricerca in
Ingegneria Sismica (EERI, Earthquake Engineering Research Institute) come la
probabilit che le perdite attese (in termini sia di vite umane, sia di immobili o
attivit economiche) superino una soglia prestabilita, a seguito di un fenomeno
accidentale (hazard), in un determinato sito e per un fissato intervallo
temporale di esposizione. La stima del rischio sismico rappresenta
uninformazione molto importante perch pu spingere le pubbliche
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amministrazioni a un adeguato stanziamento di risorse economiche e tecniche
per lo sviluppo di specifici piani per la prevenzione e la riduzione dei danni.
La stima del rischio connesso a un determinato evento implica due
considerazioni: in primo luogo la valutazione dellhazard in termini
probabilistici, ovvero stimare la probabilit che il fenomeno si verifichi con
una data intensit e con un certo periodo di ritorno in una certa area geografica;
in secondo luogo determinare la vulnerabilit delle strutture (nel caso dei
manufatti edilizi), ovvero valutare la risposta degli elementi a rischio nei
confronti dellhazard considerato. Si pu esprimere il legame tra rischio,
hazard e vulnerabilit, attraverso la seguente espressione simbolica:
Rischio =Hazard !Vulnerabilit !Esposizione dove per Esposizione si intende il livello di importanza strategica del
manufatto e quindi di esposizione al danno. Da questa relazione facile capire
che il crollo di una struttura (rischio) tanto pi probabile quanto pi il sisma
severo (Hazard); a parit di Hazard, e quindi per uno stesso luogo, il crollo
tanto pi probabile quanto pi elevata la propensione delledificio ad essere
danneggiato (Vulnerabilit); infine, a parit di hazard e di vulnerabilit, le
perdite causate dal terremoto (in termini di vite umane, di patrimonio storico-
artistico, ecc) sono tanto maggiori tanto pi la costruzione esposta al danno
(importanza strategica, come ospedali e industrie).
Sulla base delle intensit registrate dei passati eventi sismici si
dedotto che lItalia un paese caratterizzato da un livello di pericolosit medio-
alta. Anche se ci sono paesi caratterizzati da pericolosit pi elevate
(Giappone, Nuova Zelanda, California), lItalia caratterizzata da una
Vulnerabilit molto alta a causa della notevole fragilit del suo patrimonio
artistico e del sistema infrastrutturale.
condiviso che, per un determinato evento sismico, se la Vulnerabilit
cresce, la probabilit che levento calamitoso si tramuti in disastro aumenta.
Poich non possibile ridurre lHazard e quindi il livello sismico, ma solo
prevederlo, lunica strategia percorribile per mitigare le perdite, ridurre la
Vulnerabilit, valutandone il livello per le diverse classi di elementi a rischio e
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scegliendo, su tale base, gli interventi di riabilitazione pi efficaci. Questo
approccio si inserisce nel quadro pi generale di una politica di prevenzione: si
tende a mitigare il danno potenzialmente atteso prima ancora che questo
accada. Tale aspetto riguarda non solo le costruzioni esistenti con livelli di
comportamento inadeguati alle prestazioni richieste da normativa, ma anche i
criteri di progettazione antisismica per le costruzioni di nuova edificazione.
La ricerca di metodi di analisi in grado di consentire una
quantificazione economica dei danni a livello preventivo ha portato negli ultimi
anni allo sviluppo e alla codifica procedurale del cosiddetto performance based
design basata sul rispetto di standard prestazionali predefiniti in funzione del
tipo di terremoto e del rischio sismico di riferimento. Tale filosofia inverte il
tradizionale processo di progettazione consentendo di lavorare con livelli
prestazionali differenziati, permettendo inoltre di definire livelli di risposta e di
operare delle limitazioni dirette sul tipo di risorse da impiegare a ogni livello.
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1.2 Procedura di progettazione basata sulle forze
Tutti i correnti codici normativi internazionali, tra cui si citano le
normative americane (FEMA 273, FEMA 356 e FEMA 450) e quella europea
(Eurocodice 8) utilizzano un approccio di progettazione sismica basato sulle
forze (Force-based seismic design). In Italia le Norme Tecniche per le
Costruzioni, introdotte con D.M. 14/01/08 (chiamate dora in poi NTC 08),
riprendono molti degli aspetti racchiusi negli eurocodici tra cui le filosofie di
gerarchia delle resistenze e di Performance-based design.
Se in passato la progettazione e la verifica delle strutture avevano
lobiettivo di rendere la resistenza degli elementi strutturali maggiore
delleffetto sollecitante, nella progettazione sismica la forza elastica di progetto
passa in secondo piano. stato confermato infatti, che nel corso di eventi
sismici, il danneggiamento della struttura un fatto ordinario. Per questo
motivo, diventa importante comprendere in che modo le strutture tendono a
danneggiarsi per poter sfruttare i meccanismi di dissipazione dellenergia
dovuti alla plasticizzazione degli elementi strutturali e quindi quantificare
queste risorse plastiche in termini di duttilit. Se si osserva la Figura 1.1, si
nota che per uno stesso spostamento richiesto alla struttura, possibile
progettare lelemento per differenti livelli di forza di progetto (secondo
lapprossimazione di uguagliare lo spostamento massimo di una struttura
elastica con quello di una elasto-plastica equivalente).
Figura 1.1 Legame forza spostamento per differenti livelli di progetto.
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Indipendentemente dal fatto che la struttura rimanga in campo elastico
o superi tale limite utilizzando le proprie risorse inelastiche, lo spostamento
massimo richiesto alla struttura rimane invariato. Se si considera quindi che gli
eventi sismici sono caratterizzati da differenti probabilit di accadimento
connessi a determinati periodi di ritorno e non si trascura laspetto economico
nellesecuzione di unopera, in generale si cerca di seguire questa filosofia
progettuale:
- per eventi caratterizzati da un basso periodo di ritorno, ovvero eventi
frequenti e non particolarmente intensi, si progetta la struttura in modo
che si comporti in maniera elastica o subisca piccole plasticizzazioni;
- per eventi sismici con periodo di ritorno pi elevato, ovvero eventi rari
e particolarmente intensi, si progetta la struttura in modo da sfruttare le
proprie capacit post-elastiche, consentendole di plasticizzarsi ovvero di
raggiungere un determinato livello di danneggiamento.
Le sezioni degli elementi strutturali si progettano per stati di
sollecitazioni ridotti rispetto a quelli della struttura che rimane in campo
elastico. Riducendo lazione sismica attraverso appositi coefficienti di
riduzione della domanda, si ottengono dimensioni degli elementi minori e
quindi costi minori. Nellesempio di Figura 1.1 il fattore di riduzione delle
forze (indicato generalmente con la lettera R) coincide con la duttilit della
struttura, termine invece legato a effetti quali deformazioni, curvature o
spostamenti:
FelFRi
=!max!yi
= i !1 (1.1)
dove il pedice i indica la struttura 1, 2 o 3 in questo caso. Le Norme
Tecniche per le Costruzioni (NTC 08) introducono il fattore di struttura (q) per
tenere in considerazione il comportamento dissipativo della struttura dovuto
alle sue risorse anelastiche e quindi per ridurre di conseguenza la forza sismica;
in genere si considera il solo stato limite di Salvaguardia della vita umana. Il
fattore di riduzione dellazione sismica tiene conto dei seguenti aspetti
strutturali:
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- la duttilit intesa come capacit di dissipare energia;
- il grado diperstaticit;
- la rigidezza complessiva.
Lapproccio alle forze pu essere applicato secondo i due tipi di analisi:
- Analisi statica lineare:
Questo tipo di analisi applicabile solo se esistono determinate
condizioni di regolarit strutturale e nel caso in cui siano trascurabili gli
effetti torsionali. Il primo modo di vibrare della struttura quello
fondamentale ed necessario che sia calcolato in condizioni elastiche.
Sono fornite anche relazioni semplificate per il calcolo del periodo
fondamentale, ad esempio la normativa italiana impiega: T1 =C1H 3/4 . Noto il periodo, tramite lo spettro di risposta elastico in termini di
accelerazione si determina la massima accelerazione che subisce la
massa sismica della struttura. Tale azione riferita a un sistema dal
comportamento indefinitamente elastico poi divisa per il fattore di
riduzione il quale imposto dalla normativa secondo la tipologia
strutturale. Una volta nota la forza, come prodotto di massa per
accelerazione, si ripartisce ai diversi piani. Il contributo legato a
questazione in termini di sollecitazione si somma a quello dei carichi
verticali. In tal modo si passa alla verifica dei dettagli strutturali.
Definite e verificate le sezioni si passa allanalisi dei limiti in termini di
deformazione o spostamenti dinterpiano imposti dalla normativa. Nel
caso questi ultimi non siano rispettati, occorre eseguire un
ridimensionamento degli elementi strutturali.
- Analisi dinamica lineare:
adatta ai casi in cui le strutture manifestino una certa irregolarit e
qualora siano non trascurabili gli effetti torsionali. In pratica ai quei casi
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in cui il primo modo di vibrare di una struttura si ritiene non sufficiente
a descriverne completamente il comportamento dinamico. La forza
sismica agente determinata per sovrapposizione modale degli effetti.
Ciascun modo di vibrare della struttura rappresentato da un oscillatore
semplice elastico, di periodo pari a quello del relativo modo, cui
compete una certa percentuale della massa totale. necessario
considerare un numero di oscillatori che attivi una percentuale minima
di massa sismica della struttura. Al singolo oscillatore corrisponde
quindi una forza, provocata da unaccelerazione agente sulla relativa
massa, dedotta dallo spettro di risposta elastico opportunamente ridotto
per il fattore di riduzione. Determinati gli effetti dinteresse su ciascun
oscillatore (sollecitazioni, spostamenti, ecc.) necessario combinarli
attraverso metodi di natura statistica come il CQC (Complete Quadratic
Combination) o lSRSS (Square Root of the Sum of the Squares).
La filosofia progettuale basata sulle forze affetta da varie
problematiche e limitazione fra le quali:
- il Force-Based Design si basa sulla stima della rigidezza iniziale della
struttura per determinarne il periodo e la distribuzione delle forze di
progetto nonostante essa possa essere determinata solo al termine
dellintero processo progettuale (cio una volta definiti gli elementi
strutturali che la costituiscono);
- il Force-Based Design consente di utilizzare per una determinata
tipologia di struttura realizzata con un certo materiale un unico fattore
di riduzione delle forze (cio di indicarne la capacit duttile);
- il sistema resistente progettato per sostenere i carichi verticali viene
concepito anche per sostenere i carichi orizzontali derivanti dallazione
sismica.
Inoltre, occorre sottolineare che la progettazione in zona sismica un
problema molto complesso, anche perch l'azione sismica influenzata dalla
risposta dinamica del sistema strutturale, quindi in funzione del comportamento
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del sistema varia lazione che lo stesso sistema pu subire. In conclusione,
quindi, possibile notare che la progettazione sismica delle strutture si basa sul
fatto che la risposta dinamica del sistema strutturale valutata, in un certo
senso, passivamente ed anzi non governata in modo tale da ottimizzarla;
infatti, il sistema strutturale che inizialmente viene concepito per portare solo i
carichi verticali, viene successivamente predisposto anche per portare i carichi
orizzontali sulla base del suo comportamento dinamico.
Proprio a causa delle diverse problematiche insite nellattuale
metodologia di progettazione sismica delle strutture, recentemente, si
assistito allo sviluppo di nuovi metodi di progettazione sismica. I recenti
contributi innovativi che si sono sviluppati nellambito della progettazione
sismica mirano (al contrario dellapproccio tradizionale), ad un controllo della
risposta dinamica del sistema strutturale, basato su differenti livelli di
performance.
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1.3 Performance-based seismic design
Il Performance Based Seismic Design, (PBSD), stato introdotto dal
PEER attraverso il documento Vision 2000 del 1995. Lintento del
Performance Based Seismic Design quello di fornire ai progettisti un metodo
che consenta loro di progettare, costruire e conservare gli edifici in modo tale
che questi siano in grado di esplicare determinate prestazioni se sottoposti a
determinati livelli di intensit sismica, ovvero siano in grado di soddisfare
prefissati obiettivi prestazionali.
Figura 1.2 Obiettivi prestazionali performance based design.
Come rappresentato in Figura 1.2, gli obiettivi prestazionali
(Performance Objectives) nascono dunque dallunione dei cosiddetti livelli
prestazionali e i cosiddetti livelli di intensit sismica previsti e descritti nel
documento Vision2000, e possono essere pi o meno stringenti in base
allimportanza della struttura stessa. Il Performance Based Design si pone
dunque come approccio nuovo alla progettazione sismica, ma anche come un
approccio di tipo diretto, in quanto consente al progettista di dare delle
informazioni al cliente sul prodotto e sulle prestazioni che tale prodotto in
grado di garantire. Si pu in un certo senso affermare che con il Performance
Based Seismic Design la figura dellingegnere diventa una figura attiva e
abbandona il ruolo di mero esecutore di calcoli.
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Gi con la definizione degli stati limite, presenti nelle nuove Norme
Tecniche per le Costruzioni (NTC 08), si fissano di fatto, delle performance
che una struttura deve possedere. Con il performance-based design sono stati
introdotti chiaramente i seguenti livelli prestazionali che possono essere
verificati oltre allo stato limite di salvaguardia della vita umana:
- Stato Limite di Operativit (SLO);
- Stato Limite di Danno (SLD);
- Stato Limite di Salvaguardia della vita umana (SLV);
- Stato Limite di Collasso.
Figura 1.3 Curva di capacit con i diversi livelli di performance.
In Figura 1.3 raffigurata una generica curva di capacit lungo la quale
si possono individuare i differenti stati limite raggiunti. A ciascun stato limite
assegnato un determinato spettro di risposta secondo il livello di performance
considerato, caratterizzato da una determinata probabilit di essere superato
nella vita utile della struttura (Figura 1.4).
Figura 1.4 Spettro elastico in accelerazione per i differenti stati limite
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Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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1.4 Metodi di analisi strutturale e Modellazione non lineare
Parlando di approccio alle forze sono stati presentati due tipi di analisi
lineare: statica e dinamica. Sono stati poi introdotti altri strumenti per valutare
in maniera pi raffinata il comportamento non lineare di una struttura e quindi
procedere alla verifica della capacit che essa possiede. Di seguito sono
elencati i tipi di analisi a disposizione consentiti anche dalla normativa italiana:
- analisi statica lineare;
- analisi dinamica lineare;
- analisi statica non lineare;
- analisi dinamica non lineare.
Le prime due sono state descritte al 1.2, mentre di seguito si illustrano le
rimanenti due tipologie di analisi.
1.4.1 Analisi statica non lineare
1.4.1.1 Caratteristiche generali
Lanalisi statica non lineare consiste nellapplicare alla struttura i
carichi gravitazionali e, per la direzione considerata dellazione sismica, un
sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione,
proporzionalmente alle forze dinerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb.
Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in
direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle condizioni di
collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllo
coincidente con il centro di massa dellultimo livello della costruzione (sono
esclusi eventuali torrini). Il diagramma Fb - dc rappresenta la curva di capacit
della struttura (D.M. 14-01-08). Questo metodo consente tra laltro di valutare i
rapporti di sovraresistenza !u /!1 , verificare leffettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di struttura q, e di
essere utilizzato come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione
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sostitutivo dei metodi di analisi lineari e come metodo per la valutazione della
capacit di edifici esistenti.
Figura 1.5 Sistema e diagramma bilineare equivalente
La Circolare n.617 02-02-2009, al paragrafo C7.3.4.1, illustra pi nel
dettaglio questo metodo di analisi. In particolare specifica che utilizzabile
solo per costruzioni il cui comportamento, sotto la componente del terremoto
considerata, governato da un modo di vibrare naturale principale,
caratterizzato da una significativa partecipazione di massa. Inoltre lanalisi
richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale
equivalente ad un grado di libert. La forza F* e lo spostamento d* del sistema equivalente sono legati alle corrispondenti grandezze Fb e dc del sistema reale dalle relazioni:
F* = Fb /!d* = db /!
(1.2)
dove ! il fattore di partecipazione modale definito dalla relazione:
! = !TM"
!TM! (1.3)
in cui ! il vettore di trascinamento corrispondente alla direzione del
sisma considerata, ! il vettore del modo fondamentale di vibrare del sistema
reale normalizzato ponendo dc =1 e M la matrice di massa del sistema reale.
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Alla curva di capacit del sistema equivalente occorre sostituire una
curva bilineare avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto
perfettamente plastico (vedi Figura 1.5). Detta Fbu la resistenza massima del
sistema strutturale reale ed Fbu* = Fbu /! la resistenza massima del sistema equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il punto
0,6Fbu* della curva di capacit del sistema equivalente; la forza di
plasticizzazione Fy* si individua imponendo luguaglianza delle aree sottese
dalla curva bilineare e dalla curva di capacit per lo spostamento massimo du*
corrispondente ad una riduzione di resistenza ! 0,15Fbu* . Il periodo elastico del sistema bilineare dato dallespressione:
T * = 2! m*
k* (1.4)
dove m* = !TM" e k* la rigidezza del tratto elastico della bilineare.
Nel caso in cui il periodo elastico della costruzione T * risulti T * ! TC la domanda in spostamento per il sistema anelastico assunta uguale a quella di
un sistema elastico di pari periodo (Figura 1.6, a sinistra):
dmax* = de,max* = SDe(T *) (1.5)
Nel caso in cui T * < TC , ovvero per sistemi pi rigidi, la domanda in
spostamento per il sistema anelastico maggiore di quella di un sistema
elastico di pari periodo (vedi Figura 1.6, a destra) e si ottiene da questultima
mediante lespressione riportata nella Circolare (C7.3.7).
Figura 1.6 Spostamento di riferimento per la struttura anelastica
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Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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1.4.1.2 Metodo dello Spettro di Capacit
Una altro metodo per valutare la risposta inelastica della struttura una
volta nota la curva di pushover il Metodo dello Spettro di Capacit (Capacity
Spectrum Method, CSM), che pu essere applicato nellottica del PBSD. un
metodo introdotto negli anni 70 (Freeman et al., 1975) che consente di
confrontare la capacit della struttura (nella forma di una curva di pushover)
con la domanda sismica sulla struttura (nella forma di uno spettro di capacit).
Lintersezione grafica delle due curve approssima la risposta della struttura.
Per tenere conto del comportamento inelastico non lineare della struttura, si
applicano valori di smorzamento effettivo allo spettro di risposta elastico
lineare.
Figura 1.7 Capacity spectrum Method
Convertendo il taglio alla base e lo spostamento in sommit di una
pushover non lineare, in accelerazioni e spostamenti spettrali equivalenti e
sovrapponendo una curva di domanda sismica, la pushover non lineare diventa
una curva di capacit spettrale e si ottiene una rappresentazione grafica nel
formato accelerazione-spostamento spettrali. La curva di domanda spettrale
rappresentata da differenti spettri di risposta corrispondenti a differenti livelli
di smorzamento viscoso equivalente. Tramite la determinazione del punto,
dove questa capacit spettrale incrocia la domanda sismica, lingegnere pu
sviluppare una stima dellaccelerazione spettrale, spostamento e danno che pu
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Domanda spettrale elastica
Domanda spettrale di progetto
Capacit spettrale
SLO
SLV
SLC
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occorrere per una specifica struttura sottoposta ad un dato sisma (Figura 1.7). Il
passaggio dal legame tra taglio alla base e spostamento in sommit al formato
ADRS avviene secondo le seguenti relazioni:
SD = !! =
!"1;
Sa =F
"1m!=F!m! .
(1.6)
1.4.2 Analisi dinamica non lineare
lanalisi pi realistica e onerosa fra quelle disponibili e richiede
limpiego di accelerogrammi reali e artificiali; tali accelerogrammi devono
essere spettro-compatibili. La normativa italiana prescrive ad esempio, che per
un set di accelerogrammi artificiali il loro spettro medio non sottostimi per pi
del 10% quello definito dalla normativa stessa, per uno smorzamento pari al
5%. Questo in un range di periodi che pu variare da 0,15 a 2 secondi o da 0,15
a 2T1, dove T1 il periodo fondamentale della struttura. Luso di un set di
accelerogrammi artificiali consente di avere una forte coincidenza tra il loro
spettro medio e quello introdotto dai codici ma non in grado di fornire una
rappresentazione realistica dellevento sismico.
Per quel che riguarda gli accelerogrammi reali, la normativa italiana
riporta solo il fatto che questi debbano essere spettro-compatibili oltre che
rappresentativi delle caratteristiche sismogenetiche al sito di costruzione.
LEurocodice 8 riporta, sia per accelerogrammi reali che artificiali, ai punti
3.2.3.1.2 e 3.2.3.1.3 i seguenti requisiti che necessario rispettare:
- Devono essere impiegati set con almeno tre accelerogrammi;
- La media delle PGA degli accelerogrammi reali non deve essere
inferiore alla PGA dello spettro fornito dalla normativa in questione;
- Lo spettro medio degli accelerogrammi valutati per uno smorzamento
elastico del 5%, non deve sottostimare per pi del 10% lo spettro
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fornito convenzionalmente per lo stesso livello di smorzamento. Tutto
ci deve valere in un range di periodi che varia da 0,2T1 2T1 .
In letteratura si trovano precisazioni riguardo allanalisi dei risultati
ottenuti con diversi set di accelerogrammi: qualora siano impiegati tre
accelerogrammi sar necessario prendere leffetto massimo dalle tre analisi
come risultato finale. Usando invece un numero di accelerogrammi pari a 7, o
superiore, si pu prendere come risultato dellanalisi la media degli effetti
valutati con ciascun accelerogramma.
Figura 1.8 Scelta di un set di sette accelerogrammi spettro-compatibili con lo spettro di risposta
elastico in termini di accelerazione fornito dalle NTC 08.
In questapprofondimento saranno impiegati 7 diversi accelerogrammi
spettro-compatibili in un range di periodi variabile da 0,15 a 2 secondi (vedi
Figura 1.8). La scelta degli accelerogrammi stata effettuata attraverso il
software Rexel fornito dallUniversit degli Studi di Napoli II. I database
inclusi nel software sono:
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- European Strong-motion Database (ESD);
- Italian Accelerometric Archive (ITACA);
- Selected Input Motions for displacement-Based Assessment and Design
(SIMBAD v.2.0).
Lanalisi dinamica non lineare risolve direttamente le equazioni del
moto che caratterizzano il comportamento dinamico della struttura ad ogni
fissato passo temporale. Con questo tipo di analisi si riescono a tenere conto le
non linearit geometriche e meccaniche presenti nella struttura. Il software di
calcolo impiegato (SAP2000) consente diversi metodi dintegrazione diretta
delle equazioni del moto. Il metodo utilizzato nel presente studio di tesi
lalgoritmo di Newmark, che si dimostra di essere il pi accurato dal punto di
vista computazionale.
I risultati forniti da questanalisi saranno presi come soluzione di
riferimento, fornendo cos un affidabile strumento di controllo dei metodi
semplificati utilizzati nello studio.
1.4.3 Comportamento non lineare dei telai
Per definire la curva di capacit (o di pushover) di una struttura,
necessario modellare il comportamento della stessa oltre il limite elastico.
Infatti nelle analisi non lineari si considera la capacit delle sezioni di
plasticizzarsi e di fornire resistenza anche dopo aver superato il limite elastico.
In sostanza si valutano le variazioni delle capacit meccaniche degli elementi
dopo lo snervamento e in particolare le deformazioni di tipo plastico non
reversibili allo scarico.
Si genera quindi un modello pi realistico della struttura che varia il
proprio comportamento con il variare dellentit della sollecitazione. Si
assegnano valori ultimi in termini di sollecitazioni e movimenti per ogni
sezione, dopodich si applicano gli incrementi di carico per step successivi.
Progressivamente gli elementi si plasticizzano, dando la possibilit di
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riconoscere gli elementi di debolezza e di valutare il margine di sicurezza della
struttura e il livello prestazionale raggiunto.
necessario quindi modellare il comportamento plastico di travi e
pilastri allinterno del software di calcolo. Le possibili alternative sono due: da
un lato vi sono i modelli a plasticit concentrata sulle estremit dellelemento
(modelli a cerniere plastiche), dallaltro quelli a plasticit distribuita sullintero
elemento (modelli a fibre). In questa tesi si utilizza il modello a plasticit
concentrata, inserendo cerniere plastiche in corrispondenza dei punti di
maggiore sollecitazione di ogni elemento. Per ogni asta si definiscono due
punti di plasticizzazione concentrata, collocati alle due estremit in prossimit
dei nodi, dove ci si aspettano le maggiori sollecitazioni per un evento sismico
in una struttura intelaiata in cemento armato.
1.4.3.1 Definizione delle cerniere plastiche
Volendo cogliere il comportamento strutturale reale necessario
innanzitutto impiegare, come parametri meccanici dei materiali, i valori
caratteristici e non quelli di progetto. Per edifici esistenti necessario dedurre,
da prove di cantiere o dalle normative in vigore nel periodo di costruzione, la
media della resistenza dei materiali. Tale valore deve essere poi diviso per il
fattore di confidenza (FC), fattore che quantifica numericamente il livello di
conoscenza che si possiede nei riguardi di una determinata struttura.
Figura 1.9 Valutazione della rotazione di corda e della luce di taglio
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Nel caso di analisi statica non lineare la valutazione della capacit degli
elementi duttili da intendersi in termini di deformazioni (limiti di
deformabilit ovvero capacit deformativa) (Manfredi et al., 2007). La capacit
deformativa definita in riferimento alla rotazione (rotazione rispetto alla
corda)
!
" della sezione destremit dellelemento valutata rispetto alla
congiungente di tale sezione con la sezione di momento nullo a distanza pari
alla luce di taglio
!
Lv = M /V . Tale rotazione anche pari allo spostamento relativo delle due sezioni diviso per la luce di taglio, vedi Figura 1.9.
Il legame momento rotazione andrebbe definito per ogni sezione di
interesse, tuttavia per semplificare lanalisi, si stabilito un andamento comune
a tutte le sezioni descritto in Figura 1.10. Le coordinate principali di tale
spezzata sono state ottenute dagli studi di Panagiotakos e Fardis (2001), e
recepite dalle istruzioni per lapplicazione delle NTC 08, che le introduce al
paragrafo C8.7.2.5 e al C8A.6.1.
Figura 1.10 Legame Momento-Rotazione alla corda, cerniere plastiche
Nel legame di Figura 1.10 possibile individuare tre differenti livelli di
rotazione descritti in normativa:
- Stato limite di esercizio (SLD)
-
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24
!
"ySLD = #y
Lv3 + 0,0013 1+1,5
hLv
$
% &
'
( ) + 0,13#y
db fyfc
(1.7)
dove:
-
!
"y la curvatura della sezione allo snervamento;
- h laltezza della sezione;
-
!
db il diametro medio delle barre di armature longitudinali; -
!
Lv la luce di taglio; -
!
fc, fy sono le tensioni medie a snervamento rispettivamente del calcestruzzo e delle barre darmatura longitudinali.
I tre addendi presenti nellEquazione (1.7) che descrivono la rotazione
di snervamento, rappresentano, rispettivamente, i contributi deformativi
flessionali, tagliante e di aderenza acciaio-calcestruzzo.
- Stato limite di collasso (SLC)
!
"uSLC =
1# el0,016 $ 0,3v( ) max(0,01; % & )max(0,01;&) fc
'
( ) *
+ ,
0,225 Lvh
- . /
0 1 2
0,3525
34 sxfywfc
-
. /
0
1 2 1,25( )1004 d (1.8)
dove i parametri che non compaiono gi nellEquazione (1.2) sono:
-
!
" el un fattore pari a 1,5 per elementi primari e a 1,0 per i secondari;
-
!
v lo sforzo assiale normalizzato agente sullintera sezione di cls;
-
!
" =As # fy(bh # fc )
e
!
" # =" A s $ fy
(bh $ fc ) le percentuali meccaniche di armatura
rispettivamente in trazione e in compressione;
-
!
"sx =Asxbwsh
la percentuale geometrica di armatura trasversale;
-
!
"d la percentuale di eventuali armature diagonali;
-
!
fyw tensione media a snervamento dellacciaio trasversale; -
!
" fattore di efficienza del confinamento dovuto alle staffe.
Negli elementi non dotati di adeguati dettagli di tipo antisismico il
valore fornito dallEquazione (1.8) deve essere moltiplicato per 0,85.
-
Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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- Stato limite di salvaguardia della vita (SLV)
!
"uSLV = 0,75"uSLC (1.9)
La capacit di rotazione rispetto alla corda in condizioni salvaguardia
della vita, assunto quindi come aliquota della rotazione ultima di collasso. Il
totale collasso dellelemento si assume al verificarsi di una rotazione pari a:
!
1,5"uSLC
Si analizza ora il grafico in Figura 1.10. Il primo tratto caratterizzato
da un comportamento elastico della sezione. La pendenza del segmento si
ricava dalla rigidezza dellelemento ed calcolata automaticamente dal
programma attraverso la geometria dellelemento e le propriet del materiale.
Questo tratto non viene quindi descritto nel programma in fase di inserimento
dati.
Con My sintende il momento di snervamento della sezione, al cui
raggiungimento corrisponde linizio del tratto plastico. Questo dato pu essere
calcolato automaticamente dal programma nel caso in cui si lasci a
questultimo il compito di calcolare la curva, ma ci implica laver fornito
lindicazione delle armature presenti in ogni sezione critica. Si quindi
preferito generare le cerniere manualmente calcolando in autonomia le
coordinate dei punti significativi della curva, al fine di avere un maggior
controllo del comportamento della struttura e una maggiore rispondenza ai
dettami della normativa italiana. Il valore di My viene calcolato per i pilastri a
partire dal diagramma di interazione M-N, in funzione dello sforzo normale
dovuto ai carichi verticali e in base alle caratteristiche geometriche della
sezione. Per le travi il momento di snervamento viene ricavato con buona
approssimazione secondo:
!
My = As fyk0,9d (1.10) dove As indica larmatura tesa della sezione, fyk la resistenza
caratteristica dellacciaio e il prodotto 0,9d approssima il braccio della coppia
interna nellipotesi di rottura bilanciata. Inoltre !yel il valore della rotazione di
-
Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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snervamento valutata in base ai soli effetti flessionali. Si consideri infatti la
deformata tipo di unasta del telaio come rappresentata in Figura 1.9. Visto il
corrispondente diagramma del momento flettente si pu pensare di isolare una
porzione di asta della lunghezza approssimativa di L/2, la quale si comporter
come una mensola sollecitata da una forza trasversale in sommit. Per la
mensola in questione, in condizioni di snervamento possibile ricavare lo
spostamento orizzontale !y ottenuto da:
!y =Fy (L / 2)33EJ (1.11)
dove Fy la generica forza orizzontale applicata in sommit in
condizioni di snervamento. Poich la reazione si considera dincastro, il
momento alla base per la mensola pu essere descritto come:
My = Fy (L / 2) (1.12) Sostituendo lEquazione (1.12) nellEquazione (1.11) si ottiene:
!y =MyL212EJ (1.13)
Da semplici considerazioni geometriche, per la mensola di lunghezza
L/2 si ricava quindi:
!yel =
"yL / 2 =
MyL6EJ (1.14)
Il tratto successivo a quello elastico, descrive il comportamento plastico
della cerniera, dallo snervamento al raggiungimento del momento ultimo, posto
convenzionalmente pari a 1,2My che si raggiunge in corrispondenza della
rotazione ultima !u . Questo stadio fatto corrispondere anche al
raggiungimento dello Stato Limite di Collasso (SLC) e la rotazione descritta
dallEquazione (1.8). Gli altri punti significativi di questo ramo sono le
rotazioni allo Stato Limite di Esercizio e allo Stato Limite di Salvaguardia della
Vita. Il primo descritto dallEquazione (1.7) mentre il secondo
dallEquazione (1.9).
Per determinare la curvatura al limite elastico si proceduto secondo i
seguenti procedimenti, a seconda che si calcoli per una trave o un pilastro.
-
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27
Per le travi sipotizza un comportamento elastico lineare e si calcola il
momento di snervamento per la sezione. Questo si ottiene implicitamente
ipotizzando la deformazione !y dellacciaio al valore di snervamento. Sulla
base della teoria statica del cemento armato e considerando il comportamento
lineare dei materiali, dallequazione di equilibrio orizzontale si ricava la
posizione dellasse neutro:
xy =n2b2 As
2 + !As2 + 2As !As( )+ 2nb Asd + !As !d( ) "nb As +
!As( ) (1.15)
dove As e !As sono le aree dellarmatura tesa e compressa, b la larghezza della sezione ed n il coefficiente di omogeneizzazione tra il modulo elastico dellacciaio e del calcestruzzo. Determinato lasse neutro si
ricava la curvatura al limite elastico con:
!y =fy
Es d ! x( ) (1.16)
Per i pilastri bisogna invece considerare anche lo sforzo assiale agente
sulla sezione. Riscrivendo quindi lequazione di equilibrio alla traslazione ed
ipotizzando che le armature tese abbiano raggiunto la deformazione di
snervamento si ottiene:
!As fyd + "AsEs "!s +bx2 !cEC = N (1.17)
dove Es e Ec sono il modulo elastico dellacciaio e del calcestruzzo mentre !!s e !c sono le deformazioni dellarmatura compressa e del
calcestruzzo. Risolvendo lEquazione (1.17) in funzione del rapporto x/d,
ovvero per la profondit della zona compressa, si ricava una formula
semplificata che pu essere scritta come:
!y = n2A2 + 2nB( ) ! nA (1.18)
dove i termini A e B sono definiti da:
A = ! + !! + !v +Nbdfy
B = ! + !! !" + 0,5!v (1+ !" )+Nbdfy
(1.19)
-
Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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dove ! , !! e !v sono i rapporti geometrici di armatura rispettivamente
in zona tesa, compressa e nellanima (se si considerano pilastri o pareti, sono
generalmente presenti ferri longitudinali anche nella zona centrale e non solo ai
lembi estremi della sezione). Pu porsi ! = As / bd , !! = !As / bd e!v = Av / bd , dove As , !As e Av sono rispettivamente le armature al lembo teso, al lembo compresso e nellanima. Il termine !! il rapporto tra il copri ferro e laltezza
utile della sezione !d / d . Infine N rappresenta lo sforzo normale, positivo se di compressione. Risolta lEquazione (1.18) possibile determinare la curvatura a
snervamento con:
!y =fy
Es 1!"y( )d (1.20)
Una volta raggiunta la rotazione di collasso, si ha il cedimento della
cerniera, perdendo resistenza e aumentando la rotazione. Questo processo non
avviene drasticamente per cui si convenzionalmente posto un limite alla
rotazione pari a 1,5!u e ad un momento resistente residuo pari a 0,2My . Oltre
tale rotazione la resistenza crolla a zero quindi lasta perde ogni capacit
resistente e gli sforzi che le competono si ripartiscono sulle aste adiacenti.
1.4.3.2 Implementazione delle cerniere plastiche
Sulla base degli aspetti evidenziati, necessario, per generare una
cerniera plastica, conoscere una serie di dati costituiti dalle caratteristiche del
materiale, dalle caratteristiche geometriche della sezione, dalla quantit e
disposizione delle armature nonch dalla presenza o meno di armatura danima
e dal rapporto di questultima con larmatura ai lembi. Infine, il dato che esula
dalla geometria della struttura e che richiede di aver svolto una prima analisi
per carichi gravitazionali, in combinazione sismica, lo sforzo normale
presente nei pilastri che occorre per il calcolo del momento resistente e che
interviene significativamente nella determinazione delle rotazioni critiche. Il
momento resistente per i pilastri per, varia a seconda del valore dello sforzo
normale presente, il quale a sua volta variabile nel processo di carico.
-
Filosofie di progettazione sismica e metodi di analisi
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La creazione di un modello rigoroso imporrebbe quindi lintroduzione
di apposite cerniere per i pilastri in cui inserire anche un diagramma di
interazione sforzo normale-momento flettente. Tuttavia, si cercato di snellire
lanalisi per il programma utilizzando soltanto cerniere tipo trave; si
inserito cio per ogni sezione di estremit dei pilastri un solo momento
resistente, ricavato dal diagramma dinterazione M-N della sezione in
corrispondenza dello sforzo normale ottenuto con lapplicazione dei carichi
verticali, valutati in combinazione sismica. Questo costituisce
unapprossimazione, ma se si considera un telaio con unestensione orizzontale
significativa, la variazione dello sforzo normale sensibile soltanto nei pilastri
di bordo, mentre nelle campate intermedie il fenomeno risulta trascurabile. Nel
complesso quindi lapprossimazione introdotta risulta accettabile.