Linguaggi logici

Linguaggi artificiali congegnati per esprimersi senza ambiguità, vaghezza, dipendenza dal contesto. Servono a rendere completamente esplicita la struttura dei nostri enunciati e a facilitare la determinazione dei nessi inferenziali.

Si distribuiscono in una gerarchia di complessità.

Linguaggi logici più semplici:

- Linguaggio proposizionale (o enunciativo)

- Linguaggio predicativo del primo ordine

Logica formale

• È lo studio delle forme (o schemi) argomentative, che sono comuni a molti diversi argomenti

• Alcuni argomenti sono validi indipendentemente dal contenuto delle premesse e della conclusione (es. modus ponens, modus tollens).

• Se Alessandra va alla festa, ci va anche

Giulia; Alessandra va alla festa. Quindi Giulia

va alla festa.

• Se piove, non vengo. Sta piovendo, quindi

non vengo.

• Se oggi è lunedi, devo andare dal dentista;

oggi è lunedi, quindi devo andare dal

dentista.

Forma generale: A B, A

________

B

Logica proposizionale

L’unità di analisi è la proposizione. Non si entra nel merito dei suoi costituenti.

Si studiano le condizioni alle quali una o più proposizioni ne implicano un’altra (e più in generale i tipi di relazione tra proposizione) in relazione alla forma (congiunzione, disgiunzione, condizionale ecc.) delle due proposizioni.

Linguaggio proposizionale (linguaggio della logica proposizionale)

ALFABETO

i) Un insieme di lettere proposizionali: P, Q, R, …

ii) Un insieme di connettivi o operatori logici:

¬ (‘non’) & (‘e’) v (‘o’) (‘se… allora’)

(‘se e solo se’)

iii) Le parentesi: ( )

REGOLE DI BUONA FORMAZIONE

i) Ogni lettera proposizionale è una formula ben formata (fbf)

ii) Se P è una fbf, anche ¬ P è una fbf; Se P e Q sono fbf, anche P&Q, PvQ, PQ, PQ sono fbf

(iii. nient’altro è una fbf)

Formalizzazione

È la traduzione di uno o più enunciati dell’italiano (o di un altro linguaggio naturale) negli enunciati del linguaggio proposizionale.

Da ricordare:

• La disgiunzione in logica formale è inclusiva:

A v B = A o B o entrambi;

Ma nell’italiano ordinario l’interpretazione è a volte esclusiva: A o B = o A o B ma non entrambi.

Esempi:

(I) Il candidato deve avere una laurea in ingegneria o cinque anni di esperienza come programmatore.

(E) Il candidato deve essere cittadino italiano o avere permesso di soggiorno valido.

• Il condizionale in logica formale (A B) è vero anche se l’antecedente è falso.

* Si parla di condizionale materiale per distinguerlo dall’implicazione ordinaria che spesso assume la verità dell’antecedente.

Formalizzazione: esercizi

• Solo se lei è bugiarda lui è competente • Malgrado lui sia molto competente, lei lo evita

• Paola andrà alla festa, ma Quinto no

• Paola andrà alla festa se e solo se ci andrà anche Quinto

• Né Paola né Quinto andranno alla festa

• Paola non andrà alla festa se ci andrà Quinto

• O Paola andrà alla festa oppure ci andranno Riccardo e Quinto

• Se né Riccardo né Quinto andranno alla festa, allora ci andrà Paola

• Se sta sia nevicando che piovendo, allora sta nevicando

• Se non sta piovendo, allora non è vero che sta sia nevicando che piovendo

• O sta piovendo, o sta sia nevicando che piovendo

• O sta sia piovendo che nevicando, o sta nevicando ma non piovendo

Formalizzazione di un argomento

a) associare a ogni proposizione semplice una lettera proposizionale e a ogni proposizione complessa l’appropriata combinazione di lettere proposizionali

b) mettere l’argomento in forma esplicita

c) separare le premesse dalla conclusione in forma verticale o orizzontale, usando l’indicatore inferenziale (di conclusione) appropriato:

- forma orizzontale : segno di asserzione ├

- forma verticale: linea di separazione ___

Es. A, AB A, AB ├ B

______

B

Formalizzazione: esercizi

• Dio non esiste, perché, se Dio esiste, la vita ha senso.

La vita invece non ha senso.

• Se l’aereo non fosse precipitato, avremmo avuto qualche contatto radio. Non abbiamo avuto alcun contatto radio con l’aereo, quindi è precipitato.

• La domanda per la borsa di studio è già stata spedita. Se i commissari la ricevono per venerdi, la prenderanno in considerazione; quindi la prenderanno in considerazione, poiché, se la domanda è già stata spedita, la riceveranno per venerdi.

• O lei non è a casa o non risponde al telefono; ma, se lei non è a casa, allora è stata rapita e, se non risponde al telefono, si trova in qualche altro pericolo. Quindi, o è stata rapita o si trova in qualche altro pericolo.

Sintassi e semantica

SINTASSI: insieme delle regole di buona formazione e (in un senso più ampio) delle regole di inferenza

SEMANTICA: valore di verità di una fbf. Più in generale, è la specificazione di quali valori di verità assumono le fbf complesse in funzione dei valori di verità assunti dalle fbf costituenti.

Principio di bivalenza

Ci sono due soli valori di verità (Vero e Falso), e ogni fbf ha (se ce l’ha) un unico valore di verità.

se una fbf è vera, non può essere falsa, e viceversa.

Ci sono logiche non bivalenti (= che non si conformano al principio di bivalenza), ma noi non ce ne occupiamo.

(es. logica trivalente: Vero, Falso, Né Vero né Falso)

Assioma del terzo escluso A v ~A

(= una fbf deve avere un valore di verità, il vero oppure il falso)

L’assioma del terzo escluso presuppone il principio di bivalenza (se ci fossero più valori di verità, il terzo escluso sarebbe falso), ma non è implicato dalla bivalenza, che è compatibile con la possibilità che una fbf non riceva un valore di verità (un conto è dire che una proposizione non ha valore di verità, e un altro è dire che ha un terzo valore di verità, il né vero né falso).

Nella logica classica valgono sia la bivalenza che il terzo escluso.

Ancora sul principio di bivalenza

• La bivalenza non può essere espressa in un linguaggio logico, perché è un principio metalogico. Se non si adotta tale principio, si ottiene una logica diversa dalla logica classica (che ci siano solo il vero e il falso è un presupposto della logica standard, è un fatto espresso dalla notazione stessa: scrivere A è la stessa cosa che scrivere “A è vero”).

• Rifiutare la bivalenza equivale ad ammettere più valori di verità (p. es. verità assoluta, verità probabile, falsità probabile, falsità assoluta).

Studio della validità

• METODI SEMANTICI

– Tavole di verità

– Alberi di refutazione

• METODI SINTATTICI (FORMALI, NON SEMANTICI)

– Metodo delle regole di inferenza:

Calcolo Proposizionale

P Q P & Q

V V V

V F F

F V F

F F F

P Q P v Q

V V V

V F V

F V V

F F F

P Q P Q

V V V

V F F

F V V

F F V

P Q P Q

V V V

V F F

F V F

F F V

P ~ P

V F

F V

Limiti della logica proposizionale

Tutti gli uomini sono mortali

Socrate è uomo

______________

Socrate è mortale

P, Q ├ R ???

Ci sono argomentazioni molto semplici che non possono essere formalizzate nella logica proposizionale (perché la validità dell’argomento dipende dalle relazioni che sussistono tra i costituenti delle proposizioni).

Un linguaggio con più risorse espressive

Ci serve un linguaggio in cui sia possibile:

1) Riferirsi a proprietà e a individui (oggetti particolari)

2) Fare affermazioni particolari o universali, senza necessariamente far riferimento a individui specifici (= usare pronomi e aggettivi indefiniti)

Argomenti che possiamo esprimere con un

linguaggio più potente

Fido è un cane, quindi ho almeno un amico fedele.

Qualche mammifero è carnivoro; tutti i carnivori sono predatori; quindi qualche mammifero è predatore.

Nessuno dei referendum darà gli esiti desiderati. Quindi, ogni referendum darà esiti indesiderati.

Gianni è più alto di Luca, Luca è più alto di Andrea; quindi

Gianni è più alto di Andrea. Luca è più alto di Andrea. Quindi c’è qualcuno che è più alto

di Andrea.

Linguaggio predicativo (linguaggio della logica predicativa del primo ordine)

ALFABETO

i) Un insieme di variabili (individuali): x, y, z, …

ii) Un insieme di costanti individuali: a, b, c, …

iii) Un insieme di costanti predicative: A, B, C, …

iv) Un insieme di connettivi o operatori logici:

¬ & v

v) Due simboli detti quantificatori: " (= per ogni), $ (= esiste)

vi) Le parentesi: ( )

più, eventualmente:

vii) il simbolo = (l’identità)

INTERPRETAZIONE DELL’ALFABETO

Intuitivamente:

VARIABILI = PRONOMI (indeterminati)

COSTANTI INDIVIDUALI = NOMI PROPRI (e, con una grossa semplificazione, descrizioni definite)

COSTANTI PREDICATIVE = PREDICATI e RELAZIONI: VERBI, NOMI COMUNI, AGGETTIVI

QUANTIFICATORI = ‘tutti’, ‘qualcuno/qualcosa’

CONNETTIVI = come nel linguaggio proposizionale

Le costanti sono simboli extralogici. Variabili, quantificatori e connettivi sono simboli logici. Variabili e costanti individuali sono dette termini del linguaggio.

Linguaggio predicativo (segue)

DEFINIZIONE DI FORMULA (ben formata)

i. Definiamo formula atomica un’espressione Pt1, … tn (dove P è un simbolo predicativo e ti è un termine, cioè una costante individuale oppure una variabile).

ii. Ogni formula atomica è una formula.

iii. Se a e b sono formule, allora anche

¬a, a & b, a v b, ab, ab sono formule.

iv. Se a è una formula e x è una variabile, allora ("x)a e ($x)a sono formule

(* le parentesi che racchiudono $x e "x si possono anche omettere)

Linguaggio predicativo (segue)

Specificazione alternativa di iv:

iv. Se a è una fbf che contiene una costante

individuale a, allora anche $x a x/a e "x a x/a

sono fbf, dove a x/a è la formula che si ottiene

sostituendo in a ogni occorrenza di a con una

variabile x non già presente in a.

Es. "x(Fx (Ga & Hxa)) è una fbf, quindi anche

"x $y(Fx (Gy & Hxy)) è una fbf.

Linguaggio predicativo (segue)

• FORMULE APERTE e CHIUSE

Una formula è aperta se contiene variabili non vincolate (= “sganciate”, non “rette”) da quantificatori. (es. Fx, Fa & Gx, Axb)

Una formula è chiusa se non contiene variabili oppure se tutte le variabili che contiene sono vincolate da quantificatori.

(Es. Aec, Cf, "xPx, $xPx & Ga, "x$y(Fx & Gy) )

• ENUNCIATI (o PROPOSIZIONI)

Sono tutte e sole le formule chiuse:

- una formula atomica non contenente variabili (es. Pa, Rab), è un enunciato;

- una formula chiusa quantificata (es. "xPx) è un enunciato.

Formule aperte e chiuse

Una formula aperta è semanticamente indeterminata:

Se scrivo Fx sto parlando di cose che sono F, ma non è specificato se sto parlando di un F in particolare, di alcuni F, o di tutti gli F.

L’indeterminazione scompare se:

a) Sostituisco una costante alla variabile: Fa

oppure:

b) Vincolo con un quantificatore la variabile:

"xFx, $xFx

Proposizioni e funzioni proposizionali

Una proposizione è un’espressione dotata di valore di verità ( ha un valore semantico, è semanticamente valutabile).

Se omettiamo uno dei termini che la compongono e inseriamo al suo posto una variabile, x, otterremo una funzione proposizionale, che non è più semanticamente valutabile.

(Esempi: Mario è simpatico X è simpatico; Mario e Maria si amano X e Y si amano; Quello fa paura Z fa paura).

Torna ad essere semanticamente valutabile (= da formula aperta diventa una formula chiusa) se:

- reintroduciamo una costante individuale

- vincoliamo con i quantificatori le variabili: $xSx $x$y(Axy & Ayx) $zPz

Quantificatori

• Esistenziale ($) – Qualche italiano è simpatico; Maria ama qualcuno;

Esiste un pianeta abitato; moltissimi cinesi sono

veloci; quasi tutti gli svedesi sono biondi; amo solo

una ragazza.

• Universale (") – Tutti gli italiani sono simpatici; ogni cinese conosce

l’elettronica; I numeri o sono divisibili o sono primi.

Non esiste un numero primo divisibile per 2; tutti

coloro che studiano saranno promossi; Nessuno dei

promossi è stato pigro.

Predicazione e quantificazione

• I quantificatori non vanno letti come se indicassero entità specifiche (il tutto o un qualcuno in particolare) ma come se indicassero tutte le entità (quello universale) e almeno una entità (quello esistenziale).

Es. Tutti gli italiani sono europei:"x (PxQx) si legge: per tutti gli x, se x è italiano allora x è europeo

Qualche italiano è sardo: $x (PxQx) si legge: esiste (almeno) un x tale che x è italiano e x è sardo

NB si noti l’associazione (quasi sistematica) del quantificatore universale al condizionale e del quantificatore esistenziale alla congiunzione

Predicazione e quantificazione

Forme tipiche

"x (PxTx) Tutti i pinguini sono tristi

$x (PxTx) Almeno un pinguino è un triste

Forme atipiche (ben formate ma estremamente improbabili o prive di una semantica chiara)

"x (PxTx) Ogni cosa è un pinguino triste [= nel mondo esistono solo pinguini tristi e niente altro]

$x (PxTx) *C’è qualcosa tale che, se è un pinguino, allora è triste

Formalizzazione - esercizi

Tutti i politici sono corrotti

Qualche politico è corrotto

Non tutti i pinguini sono tristi

Molti studenti pigri sono brillanti

Tutti i grandi chef sono capricciosi

C’è qualcuno che ama Irene

Irene non ama tutti i cantautori

Irene ama qualche cantautore

Ogni calciatore ama una velina

Non tutti i calciatori amano una velina

Chi va al mulino s’infarina

Ci sono italiani che adorano solo se stessi

Solo gli italiani adorano se stessi

Semantica

Def. INTERPRETAZIONE o MODELLO una coppia

I = dove D è un insieme di oggetti, il dominio dell’interpretazione, e f è una funzione che associa ad ogni costante individuale del linguaggio un oggetto del dominio e a ogni costante predicativa del linguaggio un insieme di oggetti del dominio.

Semantica

Una stessa formula del linguaggio predicativo può assumere significati diversi (e dunque diverso valore di verità) a seconda dell’interpretazione scelta.

La verità è dunque relativa a un’interpretazione.

La proprietà rilevante in logica predicativa è la validità, cioè la verità in tutte le interpretazioni.

Attenzione a non confondere la validità in logica proposizionale con la validità in logica predicativa: nel primo caso è una proprietà degli argomenti, non delle proposizioni; nel secondo caso è una proprietà delle formule.

Semantica: un esempio

Costanti individuali: {a, b}

Costanti predicative: {A, C}

Dominio = {alberto, bice}

f(a) = alberto; f(b) = bice; f(A) = insieme di coloro che si amano; f(C) = insieme di coloro che corrono

Enunciati: bice corre; alberto corre; alberto ama bice; bice non ama alberto, ecc.