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讲义教师事业部

浙江华图教研室

目录

第一章数与集合......................................................................................................................................1

1.1 式与数集.................................................................................................................................... 1

1.2 集合.......................................................................................................................................... 10

第二章方程与不等式........................................................................................................................... 14

2.1 方程.......................................................................................................................................... 14

2.2 不等式..................................................................................................................................... 16

第三章函数............................................................................................................................................19

3.1 映射.......................................................................................................................................... 19

3.2 函数的概念及其表示.............................................................................................................. 19

3.3 函数的性质.............................................................................................................................. 20

3.4 基本初等函数图像及其性质.................................................................................................. 23

3.5 三角函数.................................................................................................................................. 32

第四章数列............................................................................................................................................38

4.1 等差数列.................................................................................................................................. 38

4.2 等比数列.................................................................................................................................. 39

4.3 特殊数列求通项...................................................................................................................... 40

4.4 特殊数列求前 n项和.............................................................................................................. 40

第五章平面几何................................................................................................................................... 42

5.1 图形的初步认识..................................................................................................................... 42

5.2 图形的位置关系..................................................................................................................... 57

第六章立体几何................................................................................................................................... 62

6.1 位置......................................................................................................................................... 62

6.2 数量......................................................................................................................................... 66

第七章解析几何................................................................................................................................... 73

7.1 向量......................................................................................................................................... 73

7.2 直线和圆.................................................................................................................................. 74

7.3 圆锥曲线.................................................................................................................................. 76


浙江华图教研室

第八章统计与概率............................................................................................................................... 80

8.1 统计......................................................................................................................................... 80

8.2 排列组合................................................................................................................................. 85

8.3 概率.......................................................................................................................................... 88

第九章高等数学................................................................................................................................... 94

9.1 极限.......................................................................................................................................... 94

9.2 导数与微分.............................................................................................................................. 99

9.3 积分....................................................................................................................................... 105

9.4 线性代数............................................................................................................................... 111

第十章奥数..........................................................................................................................................119

10.1 计算题.................................................................................................................................. 119

10.2 应用题.................................................................................................................................. 120

第十一章小学数学教材教法............................................................................................................. 125

第一节义务教育数学课程标准................................................................................................. 125

第二节数学教学论知识............................................................................................................. 141

第三节数学案例分析................................................................................................................. 143

第四节教学设计......................................................................................................................... 150


浙江华图教研室1

第一章数与集合

1.1 式与数集

1.1.1 实数的分类

1.实数

2.整数

①整数的意义：像-3，-2，-1，0，1，2，3 等这样的数，叫做整数，全体整数构成整

数集，其中 0 和正整数统称为自然数；-3，-2，-1 等这样的数称为负整数。

②计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。

③数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

④整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去

读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0都不读出来，其它数位连续有几个

0都只读一个零。

⑤整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那

个数位上写 0。

⑥奇数和偶数：整数按能否被 2整除的特征可分为奇数和偶数，能被 2 整除的数叫做偶

数，不能被 2 整除的数叫做奇数（0也是偶数）。

⑦质数和合数：一个数，如果只有 1 它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），



比如 2、3、5 等都是质数。其中 2 为最小的质数。一个数，如果除了 1 和它本身还有别的约

数，这样的数叫做合数，比如 4、6、8 等都是合数。其中 4 是最小的合数。0 和 1既不是质

数也不是合数；自然数中除了 0 和 1外，其他的数不是质数就是合数。

⑧整除、约数和倍数

整数 𝑎除以整数 b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说 𝑎 能被 b整除，或

者说 b能整除 𝑎。

如果 𝑎能被 b(b ≠ 0)整除，𝑎就叫做 b的倍数，b就叫做 𝑎的约数（或 𝑎的因数），倍数和

约数是相互依存的。

⑨公约数和公倍数

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数；

公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

⑩整数的大小比较

如果被比较的整数数位不同，则数位多的整数大；

如果被比较的整数数位相同，第一位大的那个数就大，如果第一位数大小相同，就比较

第二位，依此类推。

3.小数

①小数由整数部分、小数部分和小数点组成。

②小数是十进制分数的一种特殊表现形式，分母是 10、100、1000....的分数可以用小

数表示。所有的分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。

③小数计数单位：分位上的最小量。例如 0.9 的计数单位是 0.1；0.57 的计数单位是

0.01。

④小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。

⑤小数的大小比较

先比较整数部分，整数部分大的小数大；整数相同则比较十分位上的数，十分位上的数大的

小数大；若十分位上的数相同则比较百分位上的数，依此类推。

⑥小数点的移动



小数点右移，小数变大；小数点左移，小数变小。

小数点向右移 𝑛位，小数扩大 10𝑛倍；

小数点向左移 𝑛位，小数缩小 10𝑛倍。

⑦小数的改写

改写时可以直接在原数的万位或亿位后面点上小数点，同时要在改写的小数后面添上

“万”或“亿”字；

如果原数的位数不够，改写的时候要用“0”补足。

4.分数

①把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

分数中间的一条线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。

②分数单位：把单位“1”平均分成若干份，取一份的数叫做分数单位。例如：

2

4的分数单位是

1

4。

③分数和除数的关系：除数

被除数除数被除数。

④分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

⑤分数的分类

真分数：分子比分母小的分数；

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，即假分数大于或者等于 1；

带分数：把假分数写成整数和真分数的形式。

⑥通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数（通分一般用异分母的

最小公倍数）。

⑦约分：把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数值不变。

⑧最简分数：分子、分母是互质数的分数。

⑨分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相

比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

⑩分数的加法和减法：

同分母分数加、减法：分母不变，分子相加减；



异分母分数加、减法：通分后再用同分母分数的加、减法；

带分数加减法：带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并

起来。

5.百分数

①百分数的意义

百分数表示一个数是另一个数的百分之几。是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

②百分数与分数的区别

意义不同：百分数只表示两个数的被比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体

的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位名称。

百分数的分子可以是整数，也可以是小数；而分数的分子不可能是小数，只能是除 0

以外的自然数；百分数不可以约分，表示具体数时可带单位名称。

任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数，而分母是 100 的分数并不都具有百分

数的意义。

百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量

中得不到整数结果时使用。

③百分数与小数的互化

百分数化小数：把分子的小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

小数化百分数：把小数的小数点向右移动两位，同时添上百分号。

④百分数与分数互化

百分数化分数：先把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分的要约成最简分数。如

果百分数的分子式小数时，在改成分母是 100 的分数后，可根据分数的基本性质，化成分子

是整数的分数，然后能约分的要约成最简分数。

分数化百分数：如果是常见的分数，可以直接化成小数，再化成百分数；

如果分母是 100 的因数，可以根据分数的基本性质，化成分母是 100 的分数，然后再改

写成百分数；根据分数和除法的关系，用分子除以分母，除不尽时保留三位小数，再化成百

分数。

6.有理数

整数和分数统称有理数（分数指的是传统意义上的分数，像3

这样的分数不是有理数）。



7.无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，归纳起来有四类：

①开方开不尽的数，如 3；

②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π + 8；

③有特定结构的数，如 0.1010010001…等；

④某些三角函数，如 sin60°等。

1.1.2 实数的表示

1.有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数

字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2.科学计数法

一个数写做± 𝑎 × 10𝑛(1 ≤ 𝑎 < 10)的形式，其中 𝑛是整数，这种记数法叫做科学记数法。

1.1.3 实数的运算

（一）直接计算

1.实数的相反数、绝对值、倒数

①相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是

零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 𝑎与 𝑏互为相反数，

则有 𝑎 + 𝑏 = 0,𝑎 =− 𝑏，反之亦成立。

②绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， 𝑎 ≥ 0。零的绝对值是它本身，

也可看成它的相反数，若 𝑎 = 𝑎，则 𝑎 ≥ 0；若 𝑎 =− 𝑎，则 𝑎 ≤ 0。

③倒数

如果 a与 b互为倒数，则有 ab = 1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1，零

没有倒数。



2.平方根、算术平方根和立方根

①平方根

如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数 a的平方根记做“ a ”。

②算术平方根

正数 a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ a”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

0

02

aa

aaaa

；

注意： a的双重非负性

0

0

a

a

。

③立方根

如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做a的立方根（或 a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33 aa ，即三次根号内的负号可以移到根号外面。

3.比较大小

①数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素

缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能

灵活运用。

②实数大小比较的几种常用方法

i) 数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

ii) 求差比较法：设a、b是实数，

,0 baba ,0 baba baba 0 。

iii) 求商比较法：设a、b是两正实数，



;1;1;1 bab

aba

b

aba

b

a

iv) 绝对值比较法：设 a、b是两负实数，则baba 。

v) 平方法：设 a、b是两负实数，则 baba 22。

4.四则运算

①四则混合运算

交换律：加法 abba 乘法 abba

结合律：加法 cbacba 乘法 cbacba

分配律： cabacba

实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如果遇到括号，则先

进行括号里的运算，即：加减乘除乘方开方括号。

②带余除法

整数 a除以整数b，若除尽，则余数为 0，称为整除；若除不尽，则余数不为 0，就

称为带余除法。

在一道带余除法算式中，涉及四个数：被除数÷除数=商······余数，最基本的数量

关系式是：被除数=商×除数+余数。

（被除数-余数）÷除数=商；

（被除数-余数）=商×除数；

（被除数-余数）÷商=除数。

③积的变化规律

两数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍，积就扩大或缩小；

两数相乘，两个因数都扩大或缩小，积也扩大或缩小两个倍数的乘积倍。

④商不变性质

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

⑤比和比例

比和比例的意义和基本性质



⑥正比例和反比例

⑦比例尺

比例尺实际距离

图上距离。

（二）整除

1.整除规律

①若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8，则这个数能被 2 整除。

②若一个整数的数字和能被 3(9)整除，则这个整数能被 3(9)整除。

③若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4整除。

④若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5整除。

⑤若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6整除。

⑥把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的

差,如果这个差是 11 的倍数(包括 0),则这个数就一定能被 11 整除。

⑦若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2倍，如果差是 7的倍

数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继续上述[截尾、

倍大、相减、验差]的过程，直到能清楚判断为止。



2.运算封闭性

整数集对加、减、乘运算是封闭的（即：对任意整数进行加、减、乘后结果依然是整数）。

（三）常见的量

1.长度：千米、米、分米、厘米、毫米（进率：1000/10）。

2.面积：平方米、平方分米、平方厘米。

3.地积：平方千米、公顷、公亩（平方米）（进率：100/10000）。

4.体积：立方米、立方分米、立方厘米。

5.液体体积：升、毫升（进率：1000）。

6.质量：吨、千克、克。

7.时间：世纪、年、月、日、时、分、秒。

8.货币：元、角、分。



1.2 集合

1.2.1 集合

一、关于集合的基本概念

1.集合

我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合的性质：1.确定性 2.互异性 3.无序性

2.表示方法

①列举法：

常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合

的方法叫做列举法。

例：𝐴 = 1,2 ,𝐵 = 0,2

②描述法：

常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在

大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。

例：小于𝜋的正实数组成的集合表示为： 𝑥 0 < 𝑥 < 𝜋

③图示法（Venn 图）：

画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

3.特殊集合的表示符号

正实数集 R+、负实数集 R- 、整数集 Z 、正整数集 Z

+、负整数集 Z-

有理数集 Q 、正有理数集 Q+、负有理数集 Q- 、自然数集 N

4.元素与集合的关系

“属于”与“不属于”两种。

属于：符合是“∈”，例：若 𝐴 = 1,2 ,则 1 ∈ 𝐴,2 ∈ 𝐴

不属于：符合是“∉”，例：若 𝐴 = 1,2 ，则 3∉ 𝐴

5.集合与集合的关系

子集：若集合 𝐴中的元素都是 𝐵中的元素，则集合 𝐴是集合 𝐵的子集，记作 𝐴 ⊆ 𝐵，



或者 𝐵 ⊇ 𝐴。

真子集：若集合 𝐴中的元素都是 𝐵中的元素，且 𝐴 ≠ 𝐵，则集合 𝐴是集合 𝐵的真子集。

空集：不含任何元素的集，记做∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。

相等：若集合 𝐴中的元素都是 𝐵中的元素，且集合 𝐵中的元素都是集合 𝐴的子集，

即 𝐴 ⊆ 𝐵且 𝐵 ⊆ 𝐴，则集合 𝐴 = 𝐵。

注：一个集合 𝐴的元素有 𝑛个，那么它的子集个数有2𝑛个，真子集有2𝑛 − 1 个，非

空真子集有2𝑛 − 2 个。

6.并集、交集与补集

全集：集合中所有元素的全体叫做全集。用符合“𝑈”表示。

并集：以属于 𝐴或属于 𝐵的元素为元素的集合称为 𝐴与 𝐵的并（集），记作 𝐴 ∪ 𝐵(或 𝐵 ∪

𝐴)，读作“𝐴并 𝐵”（或“𝐵并 𝐴”），即 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴或 𝑥 ∈ 𝐵 。

交集：以属于 𝐴且属于 𝐵的元素为元素的集合称为 𝐴与 𝐵的交（集），记作 𝐴 ∩ 𝐵(或 𝐵 ∩

𝐴)，读作“𝐴交 𝐵”（或“𝐵交 𝐴”），即 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴且 𝑥 ∈ 𝐵 。。

补集：若全集为 𝑈，𝐴是它的一个子集，则 𝑈中除集合 𝐴中的元素外的集合。记作𝐶𝑈𝐴,

即𝐶𝑈𝐴 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑈且 𝑥 ∉ 𝐴 。

7.运算性质

①若 𝐴 ⊆ 𝐵,𝐵 ⊆ 𝐴，则 𝐴 = 𝐵，若 𝐴 ⊆ 𝐵,𝐵 ⊆ 𝐶，则 𝐴 ⊆ 𝐶

② 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴,𝐴 ∩ ∅ = ∅

③ 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴,𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴,𝐴 ∪ ∅ = 𝐴

④ 𝐴 ∩ 𝐶𝑈𝐴 = ∅,𝐴 ∪ 𝐶𝑈𝐴 = 𝑈

8.逻辑联结词

或：两个简单命题至少一个成立，符号“∨”。

且：两个简单命题都成立，符号“∧”。

非：对一个命题的否定，符号“¬”。

9.命题

能判断真假的语句叫做命题。不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑

联结词构成的命题叫做复合命题。



①四种命题:

原命题：若 p则 𝑞；逆命题：若 𝑞则 p；

否命题：若¬p则¬𝑞；逆否命题：若¬𝑞则¬p 奎屯

新疆

王新敞

②四种命题的转换：

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

注：命题的否定是指只否定结论，不否定条件。

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题奎屯

新疆

王新敞

③四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⟺逆否命题)

（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。

10.充分条件、必要条件和充要条件

充分条件和必要条件:若 𝑝 ⟹ 𝑞，则 𝑝是 𝑞的充分条件，𝑞是 𝑝的必要条件；

充分不必要条件:若 𝑝 ⟹ 𝑞,𝑞 ⇏ 𝑝，则 𝑝是 𝑞的充分不必要条件；

必要不充分条件:若 𝑞 ⟹ 𝑝,𝑝 ⇏ 𝑞，则 𝑝是 𝑞的必要不充分条件；

充要条件:若 𝑝 ⟺ 𝑞，则 𝑝是 𝑞的充要条件；

11.全称命题与特称命题

①全称量词与特称量词

常见的全称量词有：

“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等，全称量词的符号“∀”。

常见的特称量词有：

原命题若p则q

否命题若┐p则┐q

逆命题若q则p

逆否命题若┐q则┐p

互

为

逆

否互

逆否

互

为

逆否

互

互逆

否

互



“存在一个”“至少一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等，特称量词的符号“∃”。

②全称命题与特称命题

含有全称量词的命题叫做全称命题，含有特称量词的命题叫特称命题。

命题命题的否定

∀𝑥 ∈ 𝑀,𝑝(𝑥) ∃𝑥 ∈ 𝑀,¬𝑝(𝑥)

∃𝑥 ∈ 𝑀,𝑝(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑀,¬𝑝(𝑥)



第二章方程与不等式

2.1 方程

2.1.1 一元一次方程的概念

1.方程

含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方

程 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0(𝑥为未知数，𝑎 ≠ 0)叫做一元一次方程的标准形式，𝑎是未知数 𝑥的系数，

𝑏是常数项。

5.一元一次方程的应用

①分数应用题：了解分数所对应的数值；注意倍数的应用

路程 =时间×速度

工总 =工时×工效

利润率 =售价−进价

进价× 100%

总价 =单价×数量

②行程应用题：注意速度、时间和距离的关系

（1）相遇问题：全程 =（甲速 +乙速）× 时间

（2）追及问题：追及路程 =（甲速 -乙速）× 追及时间

③工程应用题：注意功效与时间的关系

通常将总工程量设为单位“1”。



2.1.2 一元二次方程

1.一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

𝑎x2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 𝑥的二次多项式，等

式右边是零，其中 𝑎𝑥2叫做二次项，𝑎叫做二次项系数；𝑏𝑥叫做一次项，𝑏叫做一次项系数；

𝑐叫做常数项。

①直接开平方法

直接开平方法适用于解形如(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑏 的一元二次方程。根据平方根的定义可知，

𝑥 + 𝑎 是 𝑏的平方根，当 𝑏 ≥ 0时，𝑥 + 𝑎 =± 𝑏，𝑥 =− 𝑎 ± 𝑏，当 𝑏 < 0 时，方程没有实

数根。

②配方法

配方法的理论根据是完全平方公式𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)2，把公式中的a看作未知数 𝑥，

并用 𝑥代替，则有𝑥2 ± 2𝑏𝑥+ 𝑏2 = (𝑥 ± 𝑏)2。

③公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的求根公式：𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎(𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0)

④因式分解法

2.1.4 一元二次方程根的判别式

一元二次方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)中，𝑏2 − 4𝑎𝑐叫做一元二次方程

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐。

2.1.5 一元二次方程根与系数的关系

如果方程 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的两个实数根是𝑥1,𝑥2，那么𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎，𝑥1𝑥2 =

𝑐

𝑎。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二

次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。



2.1.6 分式方程

1.分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得到的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，

就是原方程的根。

2.1.7 二元一次方程组

1.二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形

式是 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦+ 𝑐 = 0，且 𝑎,𝑏不等于 0。

2.二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程组的解法

（1）代入法（2）加减法

2.2 不等式

2.2.1 不等式基本性质

1. 𝑎 > 𝑏 ⟺ 𝑏 < 𝑎；

2. 𝑎 > 𝑏,𝑏 > 𝑐 ⟹ 𝑎 > 𝑐；

3. 𝑎 > 𝑏 ⟹ 𝑎+ 𝑐 > 𝑏 + 𝑐；

4. 𝑎 > 𝑏,𝑐 > 0 ⟹ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐，𝑎 > 𝑏,𝑐 < 0 ⟹ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐；

5. 𝑎 > 𝑏,𝑐 > 𝑑 ⟹ 𝑎+ 𝑐 > 𝑏 + 𝑑；

6. 𝑎 > 𝑏 > 0,𝑐 > 𝑑 > 0 ⟹ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑；

7. 𝑎 > 𝑏 > 0 ⟹ 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛(𝑛 ∈ 𝑁,𝑛 > 1)；



8. 𝑎 > 𝑏 > 0 ⟹ 𝑛 𝑎 >𝑛𝑏(𝑛 ∈ 𝑁,𝑛 > 1)；

2.2.2 不等式的概念

1.不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2.不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解集。

2.2.3 一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这

样的不等式叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项

（5）将 𝑥项的系数化为 1。

2.2.4 一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数 𝑥都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2. 一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

2.2.5 一元二次不等式

1.一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式。



2.2.6 不等式的解法

1.分式不等式

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)> 0 ⟺ 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) > 0；

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)< 0 ⟺ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 < 0；

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)≥ 0 ⟺ 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ≥ 0且 𝑔(𝑥) ≠ 0；

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)≤ 0 ⟺ 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ≤ 0且 𝑔(𝑥) ≠ 0

2.2.7 几个重要不等式

1.均值不等式

①均值不等式定理：若 𝑎 > 0,𝑏 > 0，则 𝑎 + 𝑏 ≥ 2 𝑎𝑏，即𝑎+𝑏

2≥ 𝑎𝑏．

其中𝑎+𝑏

2称为正数 𝑎,𝑏的算术平均数， 𝑎𝑏称为正数 𝑎,𝑏的几何平均数。

2.常用的基本不等式：

①𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2𝑎𝑏(𝑎,𝑏 ∈ 𝑅)； ②𝑎𝑏 ≤𝑎2+𝑏2

2(𝑎,𝑏 ∈ 𝑅)；

③𝑎𝑏 ≤𝑎+𝑏

2

2(𝑎 > 0,𝑏 > 0)； ④𝑎2+𝑏2

2≥

𝑎+𝑏

2

2(𝑎,𝑏 ∈ 𝑅)

3.极值定理：设 𝐱,𝐲都为正数，则有

①若 𝑥 + 𝑦 = 𝑠（和为定值），则当 𝑥 = 𝑦时，积 𝑥𝑦取得最大值𝑠2

4；

②若 𝑥𝑦 = 𝑝（积为定值），则当 𝑥 = 𝑦 时，和 𝑥 + 𝑦 取得最小值 2 𝑝。



第三章函数

3.1 映射

3.1.1 定义

两个非空集合 A 与 B 间存在着对应关系 𝑓，而且对于 A 中的每一个元素 𝑥，B 中总有

唯一的一个元素 𝑦与它对应，就称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作：𝑓:𝐴 → 𝐵。

其中，A 中的元素 𝑥称为原像，B 中的对应元素 𝑦称为 𝑥的像，记作：𝑓:𝐴 → 𝐵。

3.1.2 映射的性质

①任意性：②有序性： ③存在性：④唯一性： ⑤封闭性：

一对一，多对一是映射。但一对多显然不是映射。

3.1.3 一一映射

若映射满足：（1）A中的每一个元素在 B中都有唯一的像与之对应；

（2）A 中的不同元素的像也不同；

（3）B中的每一个元素都有原像，则称为是一一映射，也称作一一对应。

3.2 函数的概念及其表示

3.2.1 函数的概念

函数的定义：数集 A（非空集合）中任意一个元素，通过对应法则能找到唯一的数，与

之对应，这个对应法则称为函数，而通过对应法则得到的数组成的集合称为值域，集合 A

为定义域。

在遇到函数问题时，最先想到的应该是求变量 x的取值范围，即定义域，这是函数最其

本的性质。

函数的三要素：定义域、值域、解析式。

3.2.2 函数的表示法



函数的表示方法通常有三种，分别是列表法、图像法和解析法。

列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。但是，它只能表示

有限个元素间的函数关系。

图像法可以直观的表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势。

解析法表示的函数关系能较便利的通过计算等手段研究函数性质。但是，一些实际问题

很难找到它的解析式。

3.3 函数的性质

3.3.1 单调性

1.定义

一般地，设函数 𝑓 𝑥 的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自

变量𝑥1,𝑥2,当𝑥1 < 𝑥2时，都有 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) 𝑓(𝑥1 > 𝑓(𝑥2))，那么就说在 𝑓 𝑥 在区间 D 上是

增（减）函数。

2.单调区间的方法

a.定义法；b.导数法；c.图象法；

d.复合函数 𝑓[g 𝑥 ]在公共定义域上的单调性：同增异减

3.一些有用的结论

（1）奇函数在其对称区间上的单调性相同；

（2）偶函数在其对称区间上的单调性相反；

（3）在公共定义域内，增函数 )(xf +增函数 )(xg 是增函数；减函数 )(xf +减函数 )(xg

是减函数；增函数 )(xf 减函数 )(xg 是增函数；减函数 )(xf 增函数 )(xg 是减函数。

3.3.2 奇偶性

1.定义

一般地，对于函数 ( )f x 的定义域内的任意一个 x，若：



（1）有 ( ) ( )f x f x ，那么 ( )f x 就叫做偶函数；

（2）有 ( ) ( )f x f x ，那么 ( )f x 就叫做奇函数。

2.具有奇偶性的函数的图像的特征

偶函数的图像关于 y 轴对称；

奇函数的图像关于原点对称。

3.复杂函数奇偶性

已知： )()()( xgxfxH

若非零函数 )(),( xgxf 的奇偶性相同，则在公共定义域内 )(xH 为偶函数

若非零函数 )(),( xgxf 的奇偶性相反，则在公共定义域内 )(xH 为奇函数

4.常用的结论

若 )(xf 是奇函数，且 0 在定义域内，则 0)0( f 。

3.3.3 周期性

1.定义

若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 )()( xfTxf 恒成立，则 ( )f x 叫做周

期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

2.判定

（1） ( )y f x 对 x R 时， ( ) ( )f x a f x a 或 ( 2 ) ( )( 0)f x a f x a 恒成立，

则 ( )y f x 是周期为 2a的周期函数；

（2）若 ( )y f x 是偶函数，其图像又关于直线 x a 对称，则 ( )f x 是周期为 2 a 的周

期函数；

（3）若 ( )y f x 奇函数，其图像又关于直线 x a 对称，则 ( )f x 是周期为 4 a 的周期

函数。



3.3.4 最值

1.定义法

设函数 ( )y f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意 x I ，都有 ( )f x M ，

存在 0x I ，使得 0( )f x M ，则 M 为最大值；而如果存在实数 M 满足：对于任意 x I ，

都有 ( )f x M ，存在 0x I ，使得 0( )f x M ，则 M 为最小值。

2.函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值。

3.换元法

换元法有两类：代数换元和三角换元。

4.配方法

配方法是求二次函数最值的基本方法，如2( ) ( ) ( )F x af x bf x c

5.不等式法

常用的基本不等式如下：

2 2 2 ( , )a b ab a b 为实数；a

2 ( 0, 0)2

bab a b

；

6.数形结合法

利用函数图像，通过图像和数值结合的方法进行计算。

7.平方法

对含根式的函数或含绝对值的函数，可以利用平方法，巧妙地转化为我们易于解决的函数最

值问题。



3.4 基本初等函数图像及其性质

3.4.1 一次函数

1.定义

形如 )0( kbkxy 的函数称为是一次函数。当 0b 时， )0( kkxy 称为是正比例

函数。

2.图像及其性质

k的符号 b的符号函数图像图像特征

0k

0b

图像经过一、二、三象限， y随 x

的增大而增大.

0b

图像经过一、三、四象限， y随 x

的增大而增大.

0k 0b图像经过一、二、四象限， y随 x

的增大而减小



0b

图像经过二、三、四象限， y随 x

的增大而减小.

3.4.2 反比例函数

1.定义

形如 )0( kx

ky 的函数称为是反比例函数。

2.图像及其性质

k的符号 0k 0k

图像

、

O

性质

① x 的取值范围是 0x ，

y 的取值范围是 0y ；

②当 0k 时，函数图像的两个分

支分别在第一、三象限. 在每个象

限内， y 随 x的增大而减小.

① x 的取值范围是 0x ，

y 的取值范围是 0y ；

②当 0k 时，函数图像的两个分

支分别在第二、四象限. 在每个象

限内， y 随 x的增大而增大.



3.4.3 二次函数

1.概念

一般地，如果 )0,,(2 acbacbxaxy 是常数，，那么 y叫做 x的二次函数。

)0,,(2 acbacbxaxy 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.图像特点

二次函数的图像是一条关于a

bx

2 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3.二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画

出对称轴。

（2）求抛物线 cbxaxy 2与坐标轴的交点：

当抛物线与 x轴有两个交点时，描出这两个交点 A，B 及抛物线与 y轴的交点 C，再

找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得

到二次函数的图像。

当抛物线与 x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y轴的交点 C 及对称点 D。

由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出

一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

4.二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式： )0,,(2 acbacbxaxy 是常数，

（2）顶点式： )0,,()( 2 akhakhxay 是常数，

（3）当抛物线 cbxaxy 2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 02 cbxax 有

实根 1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式 ))(( 212 xxxxacbxax ，二次

函数 cbxaxy 2 可转化为两根式 ))(( 21 xxxxay 。如果没有交点，则不能这样

表示。

5.二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当



a

bx

2 时，

a

bacy

4

4 2最值。

如果自变量的取值范围是 21 xxx ，那么，首先要看a

b

2 是否在自变量取值范围

21 xxx 内，若在此范围内，则当a

bx

2 时，

a

bacy

4

4 2最值；若不在此范围内，

则需要考虑函数在 21 xxx 范围内的增减性，如果在此范围内， y随 x的增大而增大，

则当 2xx 时， cbxaxy 222最大，当 1xx 时， cbxaxy 1

21最小；如果在此范

围内， y随 x的增大而减小，则当 1xx 时， cbxaxy 121最大，当 2xx 时，

cbxaxy 222最小。

6.二次函数的性质

（1）二次函数的性质

函数二次函数： )0,,(2 acbacbxaxy 是常数，

图像

0a 0a



性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延

伸；

（2）对称轴是a

bx

2 ，顶点坐标

是（a

b

2 ，

a

bac

4

4 2）；

（3）在对称轴的左侧，即当a

bx

2

时， y随 x的增大而减小；在对称轴

的右侧，即当a

bx

2 时 y随 x的增

大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当a

bx

2

时，y有最小值，a

bacy

4

4 2最小值

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是a

bx

2 ，顶点坐标是

（a

b

2 ，

a

bac

4

4 2）；

（3）在对称轴的左侧，即当a

bx

2 时，

y随 x的增大而增大；在对称轴的右侧，

即当a

bx

2 时， y随 x的增大而减小，

简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当a

bx

2 时，

y有最大值，a

bacy

4

4 2最大值

（2）二次函数 )0,,(2 acbacbxaxy 是常数，中， cb、、a 的含义：

a表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上

a <0 时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为a

bx

2

c表示抛物线与 y轴的交点坐标： ),0( c

（3）二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的 ac4b 2 ，在二次函数中表示图像与 x轴是否有交点.

当 >0 时，图像与 x轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x轴有一个交点；当 <0 时，图

像与 x轴没有交点。



3.4.4 指数函数

1.运算

①MN M Na a a ②

/ /M N M Na a a ③ NM MNa a

2.指数函数： )0( aay x

3.性质：

（1）过固定点 )1,0( ；

（2）值域是 ),0( ；

（3） 1a 单调递增，0 1a 单调递减.

1xy a a （） 1xy a a （0 ）

3.4.5 对数函数

1.运算

① log log loga a aMN M N ② log log loga a a

MM N

N

③ log log ( )na aM n M n R ④

loglog

logc

ac

bb

a

2.对数函数： )0,10(log xaaxy a 且

3.性质：

(1)过固定点 (1,0) ；

(2)定义域是 (0, ) ；

- - ---- --- -

y

- - ---- --- -

x

y



(3) 1a 单调递增，0 1a 单调递减。

3.4.6 幂函数

1.定义：

一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x为自变量，为常数。

注意：（1）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，前面的系数必须是 1，没有其他项.

（2）定义域与的值有关系。

（3）判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：看未知数 x是指数（指数函数）还是底

数（幂函数）。

2.图像及性质：

我们只讨论2

1,1,3,2,1 时的情形.

（1） y x

定义域：R；值域：R；单调性：在 R 上为单增函数；奇偶性：在 R 上为奇函数。

（2） 2y x

定义域：R；值域： ,0 ；单调性：在 ,0 上为单增函数；在 0, 上为单增函数；



奇偶性：在 R 上为偶函数。

（3） 1y x

定义域： 0x x ；值域： 0y y

单调性：在 0 + )( ，上为单减函数；在 0, 上为单减函数

奇偶性：在 0x x 上为奇函数

（4） 3y x

定义域：R；值域：R；单调性：在 R 上为单增函数；奇偶性：在 R 上为奇函数

（5）1

2y x

定义域：[0 )，；值域：[0 )，；

单调性：在[0 )，上为单增函数

奇偶性：非奇非偶函数



3.4.7 反函数

1.定义：

一般地，设函数 ))(( Axxfy 的值域是 C，根据这个函数中 yx, 的关系，用 y

把 x表示出，得到 )( ygx . 若对于 y在 C 中的任何一个值，通过 )( ygx ， x在 A

中都有唯一的值和它对应，那么， )( ygx 就表示 y是自变量，x是因变量 y的函数，

这样的函数 ))(( Cyygx 叫做函数 ))(( Axxfy 的反函数，记作 )(1 xfy . 反

函数 )(1 xfy 的定义域、值域分别是函数 )(xfy 的值域、定义域。

2.反函数性质：

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线 xy 对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）反函数是相互的

（5）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）

（6）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））

3.求反函数步骤：

（1）反解：把 )(xfy 看作是 x的方程，解出 )(1 yfx ；

（2）互换：将 yx, 互换得 )(1 xfy ，注明其定义域（即原函数的值域）。

3.5 三角函数

3.5.1 三角函数计算

1.任意角的概念、弧度的意义

①象限角

第一象限角：

Zkkk ,

222|



第二象限角：

Zkkk ,2

22|

第三象限角：

Zkkk ,

2

322|

第四象限角：

Zkkk ,22

2

32|

②弧度制

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0

（2）角的弧度数的绝对值r

l （ l为弧长， r为半径）

（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同.

2.基本三角函数

函数定义域值域

siny R [ 1,1]

cosy R [ 1,1]

tany { | , }2

k k Z R

① sin 在一二象限是正，三四象限为负

② cos 在一四象限为正，二三象限为负

③正余切函数在一三象限为正，二四象限为负。

符号口诀：“一全二正弦，三切四余弦”。

例如：2

1

6sin)

62sin()390sin(

④常用三角函数值



角度 0 0 306

454

603

902

sin 01

22

2

3

21

cos 13

2

2

2

1

20

tan 0 3

31 3 不存在

3.常用公式

①诱导公式

（1）

)(cos

)(sin)

2(sin

为奇数

为偶数

n

nn

（2）

)(sin

)(cos)

2(cos

为奇数

为偶数

n

nn

求任意角三角函数时，可以转化为特殊角的三角函数：“奇变偶不变，符合看象限”。

②三角恒等变换

1cossin 22 ， 22 sin1cos ， 22 cos1sin ；

tan =

cos

sin； cottan =1； 22 sectan1 ， 22 csccot1 。

③两角和与差公式

sincoscossinsin ；

sinsincoscoscos ；

tantan1

tantantan

。



④倍角公式

cossin22sin ；

2222 sin211cos2sincos2cos ；

2tan1

tan22tan

。

⑤半角公式

2

cos1

2sin

；

2

cos1

2cos

；

cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2tan

。

3.5.2 三角函数图像和性质

1.正余弦函数

y=cosx

y=sinx

2 3 4 5 6--2-3-4-5-6

-6 -5 -4 -3 -2 - 65432

-1

1

y

x

-1

1

o x

y

正

余弦函数性质：

(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数

(2)均为周期函数 2

(3)正弦函数的对称轴是： Zkkx ,2

，对称中心： 0,k ， Zk ；



余弦函数的对称轴是： Zkkx , ，对称中心：

0,

2

k ， Zk 。

(4) xy sin ：单调增区间： 2 ,2 ( )2 2

k k k Z

；

单调减区间：3

2 + ,2 ( )2 2

k k k Z

。

(5) xy cos ：单调增区间： 2 ,2 ( )k k k Z ；

单调减区间： 2 ,2 ( )k k k Z 。

2.正余切函数

图像：

性质：a.均为奇函数（关于原点对称）

b.周期均是 .

c.正切函数的定义域是

*,

2| Nkkxx

，关于 *,2

Nkk

x

中心对称；

余切函数的定义域是 *,| Nkkxx ，关于 *,2

Nkk

x

中心对称。

d. xy tan 的递增区间是 , ( )2 2

k k k Z

3.三角函数的伸缩平移

① 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥左右平移成𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝜌)图象

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥所有的点向左(𝜌 > 0)或向右(𝜌 < 0)平移变成𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜌)。

②𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥横坐标伸缩成𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥(𝜔 > 0)图象

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥所有的点横坐标缩短(𝜔 > 1)或伸长(0 < 𝜔 < 1)变成𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 (𝜔 > 0)。

③𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥纵坐标伸缩成𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥图象

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥所有的点纵坐标伸长或缩短 𝐴或1

𝐴倍变成𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑥。

y=

y=



④.𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥变成𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑥 + 𝜌)图象

法一：先左右移动𝜌个单位，再将横坐标作伸缩𝜔个单位变换。

法二：先将横坐标作伸缩𝜔个单位变换，再将图象左右平移𝜔

𝜌个单位。

注：关于平移伸缩变换一般提倡先平移后伸缩。切记每一个变换都是对字母 𝑥而言。

(1) 𝑦 = 𝑓 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥 ± 𝑎)将 𝑦 = 𝑓 𝑥 图像沿 𝑥轴向左（右）平移 𝑎个单位（左加右减）

(2) 𝑦 = 𝑓 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑏将 𝑦 = 𝑓 𝑥 图像沿 𝑦轴向上（下）平移 𝑏个单位（上加下减）

3.5.3 解三角形

1.正弦定理

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

变形：

（1）C

B

c

b

C

A

c

a

B

A

b

a

sin

sin,

sin

sin,

sin

sin

（2） CBAcba sin:sin:sin::

（3） RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin （R 为外接圆半径）

2.余弦定理

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

3.面积公式

cbaABC chbhahS2

1

2

1

2

1

AbcBacCabS ABC sin2

1sin

2

1sin

2

1



第四章数列

4.1 等差数列

4.1.1 概念

1.数列

（1）数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个

“定义域为正整数集 N*或其有限子集｛1，2，3，…，n }"的函数，其中的”｛1，2，3，…，

n“不能省略。

（2）用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也

不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b.图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项

公式给出数列和以递推公式给出数列。

函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.通项公式

数列的第 N 项 na 与项的序数 n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数

列的通项公式。

3.递推公式

如果数列 na 的第 n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫

做这个数列的递推公式。

例： 1)1( 1 nna 可推知 0,2,0,2 4321 aaaa

4.等差数列定义

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列

就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

5.等差数列通项公式

dnaan )1(1

6.等差数列前 n项和公式



dnnnaaan

S nn )1(

2

1

2

)(1

1

4.1.2 性质

1. dnmaa nm )(

2. 等差中项： cba ,, 成等差数列，b叫做 a与 c的等差中项，则 cab 2 。

3. 若 qpnm ，则 qpnm aaaa ，两个下标和相等。

4.等差数列 na ，首项为 1a 公差为 d ，前 n 项和为 nS ，则有： ,,, 232 nnnnn SSSSS

也成等差数列， )()(2 232 nnnnn SSSSS 。

4.2 等比数列

4.2.1 概念

1.等比数列定义

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数

列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示。

2.等比数列通项公式

11

nn qaa

3.等比数列前 n项和

当 1q 时， 1naSn

当 1q 时，q

qaa

q

qaS n

n

n

11

)1( 11

4.2.2 性质

1. nmnm qaa ；



2. 若 ),,,( *Rqpnmqpnm ，则 qpnm aaaa

3. 序号成等差数列的项成等比数列；

4. 若三个数等比，常设 aqaq

a,, ；

5. 等比数列 cba ,, 成等比数列，则 acb 2，b称为是等比中项。

6. 等比数列 na ，首项为 1a 公比为 q，前 n 项和为 nS ，则有： ,,, 232 nnnnn SSSSS 也

成等比数列，且有 )()( 232

2 nnnnn SSSSS 。

4.3 特殊数列求通项

1.递推公式法

数列 na 前n项和 nS 与通项 na 的关系式：

2,

1,

1

1

nSS

nSa

nnn

2.累和法

如果数列 na 的通项满足 )(1 nfaa nn ，则可用累和法求通项公式。

3.累积法

如果数列 na 的通项满足 )(1 nfa

a

n

n ，则可用累积法求通项公式。

4.4 特殊数列求前 𝐧项和

1.重要公式

)1(2

1321 nnn ；

)12)(1(6

1321 2222 nnnn



2.裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即 )()1( nfnfan ，然后累加时抵消中间的

许多项。应掌握以下常见的裂项：1

11

)1(

1

nnnn。

3.错项相消法

nnn bac ， na 是等差数列， nb 是等比数列。 ns 乘等比数列的公比后于原来的前n项和

相减，求 ns 。



第五章平面几何

5.1 图形的初步认识

5.1.1 基本几何元素

1.直线、射线和线段

（一）直线

①直线

（1）定义：向两端无限延伸的线称为直线。

②直线的性质

（Ⅰ）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过：

（Ⅱ）过一点的直线有无数条。

③射线

从一定点开始，向一端无限延伸的直线称为射线。

④线段

（1）定义：两定点之间的直线称为线段。

（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的性质

（Ⅰ）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

（Ⅱ）线段的中点到两端点的距离相等。

（Ⅲ）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

（4）线段垂直平分线的性质定理及逆定理

（Ⅰ）垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

（Ⅱ）性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

（Ⅲ）逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（二）角

①角的相关概念



（1）角：由两条有公共端点的射线组成的图形称为角，其中公共端点是角的顶点，这两

条射线是角的两边。由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形称为角。

（2）余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，其中一

个角为另一个角的余角。同角的余角相等，等角的余角相等。

（3）补角：如果两个角的和是一个平角，那么称这两个角互为补角，简称互补，其中一

个角为另一个角的补角。

同角的补角相等，等角的补角相等。

若一个角和它的补角相等，则这个角为直角。

任意角的补角比它的余角大 90°。

（4）对顶角：两条直线相交所得的只有一个公共点且角的两边互为反向延长线的两个角

互为对顶角。对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角。

（5）邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补

角。

一个角与它的邻补角的和为 180°。

（6）同位角：两个都在截线的同旁，又分别处于被截的两条直线的同侧位置的角称为同

位角。

（7）内错角：两个分别在截线的两侧，又分别处于被截的两条直线之间的角称为内错角。

同旁内角：两个都在截线的同旁，又分别处于被截的两条直线的中间的角称为同旁内角。

其中与为对顶角；与为邻补角；与为同位角；与为内错

角；与为同旁内角。

②角的平分线及其性质

（1）角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

（2）性质：

（Ⅰ）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。



（Ⅱ）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

（三）平面内直线的位置关系

①重合

②平行

（1）平行线公理及其推论

（Ⅰ）平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

（Ⅱ）推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（2）平行线的判定

（Ⅰ）判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：

同位角相等，两直线平行。

（Ⅱ）判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，

两直线平行。

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角

互补，两直线平行。

（Ⅲ）补充：

平行于同一条直线的两直线平行。

垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的性质

（Ⅰ）两直线平行，同位角相等。

（Ⅱ）两直线平行，内错角相等。

（Ⅲ）两直线平行，同旁内角互补。

③相交

（1）垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中

一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线，互相垂直，记作“ ”（或“ ”)，读作“ 垂直于 ”

（或“ 垂直于 ”）。



(2)垂线的性质

性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

2.基本图形

（一）三角形

①三角形的分类

（1）按边的关系分类：

（2）按角的关系分类：

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形，它是两条直角边相

等的直角三角形。

②三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

③三角形的内角和定理及推论

（1）三角形的角

外角：三角形的一条边与另一条边的延长线形成的角，称为三角形的外角。

内角：三角形中与外角互为邻角的角称为三角形的内角。

（2）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。

（3）推论：

（Ⅰ）直角三角形的两个锐角互余。

（Ⅱ）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

（Ⅲ）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

④三角形的三边关系定理及推论



（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

（2）推论：三角形的两边之差小于第三边。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

⑤三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做

三角形的角平分线。（三角形的三条角平分线的交点称为三角形的内心）

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（三角形的三

条中线的交点称为三角形的重心）

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简

称三角形的高）。（三角形的三条高的交点称为三角形的垂心）

注：三角形三条边上的垂直平分线上的交点称为三角形的外心。

⑥三角形的中位线

（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

（3）三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

（4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

⑦三角形的周长与面积

，

。



⑧等腰三角形

（1）性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。

推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高重合。

推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。

（2）判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等

边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

⑨直角三角形

（1）性质

两个锐角互余：。

在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

勾股定理：直角三角形两直角边，的平方和等于斜边的平方，即。

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每

条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

由三角形面积公式可得：。

（2）判定

（ⅰ）有一个角是直角的三角形是直角三角形。

（ⅱ）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（ⅲ）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，有关系，那么

这个三角形是以为直角的直角三角形。

（3）解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中



除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

在中，，，，所对的边分别为，，，

三边之间的关系：（勾股定理）；

锐角之间的关系：；

边角之间的关系：

，，，

，，。

（二）四边形

①四边形的相关概念

（1）四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

在同一平面内，由不再同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次详解所组成的封闭

图形叫做多边形，其中各条边相等且各个角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

设多边形的边数为，则多边形的对角线条数为。

（3）四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边

形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方

面有着广泛的应用。

（4）四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于。



推论：多边形的内角和定理：边形的内角和等于；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于。

②平行四边形

（1）定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）性质

性质 1：平行四边形的邻角互补，对角相等。

性质 2：平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

性质 3：平行四边形的对角线互相平分。

性质 4：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以

对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

（3）平行四边形的判定

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

判定定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

（5）平行四边形的周长与面积

；

。

③矩形

（1）定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。



（2）矩形的性质

性质 1：具有平行四边形的一切性质。

性质 2：矩形的四个角都是直角。

性质 3：矩形的对角线相等。

性质 4：矩形是轴对称图形。

（3）矩形的判定

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形。

判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。

（4）矩形的周长与面积：

；

。

④菱形

（1）定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）菱形的性质

性质 1：具有平行四边形的一切性质。

性质 2：菱形的四条边相等。

性质 3：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

性质 4：菱形是轴对称图形。

（3）菱形的判定

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。

判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（4）菱形的面积：



。

⑤正方形

（1）定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）正方形的性质

性质 1：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

性质 2：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

性质 3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

性质 4：正方形是轴对称图形，有 4条对称轴。

性质 5：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把

正方形分成四个全等的小等腰直角三角形。

性质 6：正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

（3）正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

ⅰ先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

ⅱ先证它是菱形，再证有一个角是直角。

判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

ⅰ先证明它是平行四边形；

ⅱ再证明它是菱形（或矩形）；

ⅲ最后证明它是矩形（或菱形）。

（4）正方形的周长与面积：

；

。

⑥梯形

（1）定义



一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

（2）梯形的判定

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

判定定理 1：一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（3）等腰梯形的性质

性质 1：等腰梯形的两腰相等，两底平行。

性质 2：等腰梯形的对角线相等。

性质 3：等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

（4）等腰梯形的判定

定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。

判定定理 1：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

判定定理 2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

（5）梯形的周长与面积

；



。

梯形中有关图形的面积：

；

；

。

（三）圆

①圆的相关概念

（1）圆

在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所

形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

圆的几何表示：以点为圆心的圆记作“ ”，读作“圆 ”。

能够完全重合的两个圆称为等圆。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中的。

（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的），直径等于半径的 2倍。

（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“⌒”表示，以，为端点的

弧记作“ ”，读作“圆弧 ”或“弧 ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母

表示）。

同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧称为等弧。

②垂径定理及其推论



垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论 1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。

③圆的对称性

（1）圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

④弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理及其推论

（1）圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

（2）弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）定理及其推论

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

⑤圆周角定理及其推论



（1）圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理及其推论

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。

推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

⑥点和圆的位置关系

设⨀𝑂的半径是 𝑟，点 𝑃到圆心 𝑂的距离为 𝑑，则有：

𝑑 < 𝑟 ⟺ 点 𝑃在⨀𝑂内；𝑑 = 𝑟 ⟺ 点 𝑃在⨀𝑂上；𝑑 > 𝑟 ⟺ 点 𝑃在⨀𝑂外。

⑦三角形与圆

（1）过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（3）三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

⑧四边形与圆（四点共圆的判定条件）

圆内接四边形对角互补。

⑨直线与圆的位置关系

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共

点叫做交点。

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。



如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：

直线与相交；

直线与相切；

直线与相离。

⑩切线的判定和性质

（1）切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

⑪圆和圆的位置关系

（1）圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

（2）圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

（3）圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为和，圆心距为，那么

两圆外离；

两圆外切；

两圆相交；

两圆内切；

两圆内含。

（4）两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；



相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

⑫弧长和扇形公式

（1）弧长公式

𝑛°的圆心角所对的弧长 𝑙的计算公式为 𝑙 =𝑛𝜋𝑅

180

（2）扇形面积公式

𝑆 =𝑛

360𝜋𝑅2 =

1

2𝑙𝑅

其中 𝑛是扇形的圆心角度数，𝑅是扇形的半径，𝑙是扇形的弧长。

（3）圆锥的侧面积

𝑆 =1

2𝑎 ∙ 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟𝑎

其中 𝑎是圆锥的母线长，𝑟是圆锥底面圆的半径。

5.2 图形的位置关系

5.2.1 全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（写成“边角边”或“SAS”）

(2)角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（写成“角边角”或“ASA”）

(3)边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

(4)角角边定理:



有两角和非夹边对应相等的三角形是全等三角形（写成“角角边”或“AAS”）

(5)斜边、直角边定理：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（写成“斜边、直角边”或“HL”）。

5.2.2 等腰三角形

1.等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。

推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）

推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。

2.等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

5.2.3 等腰三角形

1.两个锐角互余：。

2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4.勾股定理

5.射影定理

6.直角三角形的判定

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。

（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）逆定理:如果三角形的三边长 𝑎,𝑏,𝑐,满足𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形是直角三角形。

5.2.4 相似



1.比例线段

①比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段 𝑎,𝑏的长度分别为 𝑚,𝑛，那么就说这两条线段的比

是𝑎

𝑏=

𝑚

𝑛，或写成 𝑎:𝑏 = 𝑚:𝑛。在两条线段的比 𝑎:𝑏中，𝑎叫做比的前项，𝑏叫做比的后项。

若四条 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑满足 𝑎:𝑏 = 𝑐:𝑑，那么 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑叫做组成比例的项，线段 𝑎,𝑑叫做比例外项，线

段 𝑏,𝑐叫做比例内项，线段 𝑑叫做 𝑎,𝑏,𝑐的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 𝑎:𝑏 = 𝑏:𝑐，那么线段 𝑏叫做线段 𝑎,𝑐的比例中项。

②比例的性质

（1）基本性质

𝑎:𝑏 = 𝑐:𝑑 ⟺ 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑

𝑎:𝑏 = 𝑏:𝑐 ⟺ 𝑏2 = 𝑎𝑐

（2）合比性质

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑⟹

𝑎 ± 𝑏

𝑏=𝑐 ± d

𝑑

（3）等比性质

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑=𝑒

𝑓= … =

𝑚

𝑛(𝑏+ 𝑑 + 𝑓 + …+ 𝑛 ≠ 0) ⟹

𝑎+ 𝑐 + 𝑒 + … +𝑚

𝑏+ 𝑑 + 𝑓 + … + 𝑛=𝑎

𝑏

③黄金分割

把线段 𝐴𝐵分成两条线段 𝐴𝐶,𝐵𝐶(𝐴𝐶 > 𝐵𝐶)，并且使 𝐴𝐶是 𝐴𝐵和 𝐵𝐶的比例中项，叫做把线

段 𝐴𝐵黄金分割，点 𝐶叫线段 𝐴𝐵的黄金分割点，其中 𝐴𝐶 =5−1

2𝐴𝐵 ≈ 0.618。

2.相似三角形

①相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作

“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

②相似三角形的基本定理



平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形

相似。

相似三角形的等价关系：

（1）反身性

（2）对称性

（3）传递性

③三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

Ⅰ定义法：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

Ⅱ平行法：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三

角形相似。

Ⅲ判定定理 1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（可简述为两角对应相等，两三角形相似。）

Ⅳ判定定理 2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边成比例，并且夹角相等，那么这两个

三角形相似。（可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。）

Ⅴ判定定理 3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（可简述为三边对应成比例，两三角形相似。）

（2）直角三角形相似的判定方法



Ⅰ以上各种判定方法均适用。

Ⅱ定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似。

Ⅲ垂直法：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

④相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

⑤相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做

相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

（2）相似多边形的性质

Ⅰ相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

Ⅱ相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比。

Ⅲ相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。

Ⅳ相似多边形面积的比等于相似比的平方。



第六章立体几何

6.1 位置

6.1.1 平面的相关公理及其应用

1.平面的基本性质及其推论

①公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

②公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。

推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

③公理 3：如果不重合的两个平面有一个共同点，那么它们有且只有一条过这个点的公共

直线。

④三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它

也和这条斜线垂直。

⑤逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在

平面内的射影垂直。

2.应用

①公理 1可用来证明点在平面内或直线在平面内；

公理 2可用来确定一个平面，为平面化做准备或用来证明点线共面；

公理 3可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点；

三垂线定理可用来证明两条异面直线垂直或作出二面角的平面角。

②三点共线：转化为证明这些点为某两个平面的公共点，再根据公理 3证明这些点都在这

两个平面的交线上。

③三线共点：先证明两条直线交于一点，在根据第三条直线经过这点，点问题转化为证明

点在直线上。

④点线共面：先确定一个平面，再确定有关点、线在此平面内；或者先证明有关点、线确



定一个平面，在证明其余元素确定另一个平面，最后证明两个平面重合。

6.1.2 直线与直线的关系

1.线线平行的判定

①定义法：在同一个平面内，且没有交点的两条直线互相平行。

②公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行；

③线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面

相交的交线和这条直线平行；

④面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；

⑤线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

2.线线垂直的判定

①线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与该平面内的任一条直

线垂直；

②三垂线定理及逆定理。

3.异面直线的判定

①定义法：一般不容易实现。

②反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经

过推理导出矛盾，从而否定假设，判定两直线异面。这是最常用的方法。

③过平面外一点和平面内的一点的直线，与平面内不过该点的直线异面。这是主观题中经

常用到的方法。



6.1.3 直线与平面的关系

1.线面平行

①判定方法

（1）定义法：直线与平面没有交点（常用反证法）。

（2）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

关键是找出平面内与已知直线平行的直线，可以先直观判断平面内是否已有这样的直线，若

没有，则需要构造这样的直线。一般优先考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知

直线作一平面找其与平面的交线。

（3）面面平行的性质定理：若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行

于另一个平面。

②性质

一条直线与一个平面平行，则过该条直线的任一平面与此平面的交线与该平面平行。

在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行

的性质。

2.线面垂直

①判定方法

（1）定义法：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与该平面垂直。

（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与该平面

垂直。

（3）平行线的传递性：两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和

这个平面垂直。

（4）面面平行的性质：两个平行平面中有一个平面和一条直线垂直，则另一个平面也和

该直线垂直。

（5）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂



直于另一个平面。

②性质

如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。

如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6.1.4 直线与平面的关系

1.平面与平面的关系

2.面面平行

①判定方法

⑴定义法：两个平面没有交点（常用反证法）。

⑵判定定理：如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

将面面平行转化为一个平面内两条相交直线与另一个平面平行的判定。

⑶面面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面平行。

⑷线面垂直的性质：两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。

②性质

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3.面面垂直

①判定方法

定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

面面平行的性质：两个平行平面中有一个平面和第三个平面垂直，则另一个平面也和第三

个平面垂直。这个常用于客观题中。

②性质

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

特别指出：立体几何中平行.垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：



6.2 数量

6.2.1 角度

1、异面直线的夹角

①定义：设 ba, 是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线 aa // ， bb // ，把 a与b

所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a与b所成的角（或夹角）。

②范围：

2,0 。

③求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图

形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面

直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。

（向量法）

21

21arccos

mm

mm

，其中 1m 、 2m 分别为异面直线 a、b的方向向量，

2,0 。

2、直线与平面的夹角

①定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角，叫这条直线和这个平面所成的

角。

②范围：

2,0 。

当直线与平面垂直或平行（含直线在平面内）时，规定分别为2

和0。

③求法

定义法：作出直线在平面上的射影，找到线面角；

射影法：设斜线段 AB在平面内的射影为 BA ，则 AB与所成的角，



AB

BA cos 。

向量法：nAB

nAB

arcsin ，其中 n为平面内的法向量。

④斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

3、二面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任一点

为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平

面角。

②平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。

③二面角的范围： ,0 。

④求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，

得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性。

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定

理作出二面角的平面角。

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的

交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

（4）射影法：利用面积射影公式 cos 原射影 SS ,其中为平面角的大小，此方法不

必在图形中画出平面角。

（5）向量法：

21

21arccosnn

nn

或

21

21arccosnn

nn

，其中 1n 、 2n 分别为平面、

的法向量。

6.2.2 长度

1.点到直线的距离

一般用三垂线定理作出垂线再求解。



（向量法）点P到直线 l的距离：

a

babad

22

，其中 QAa 为直线 l的方向向

量， QPb ，点Q为直线 l上的一点。

2.点到平面的距离

①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键。

②体积法：转化为求三棱锥的高。

③等价转移法。

④向量法：点P到平面的距离：n

nPAd

，其中点 A为平面上的一点，PA为经

过平面的一条斜线， n为平面的法向量。

3.异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有

一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。

①直接找公垂线段而求之。

②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。

③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。

④向量法：异面直线 1l 、 2l 的距离：n

nABd

，其中n为公垂向量，点 A、B分别为

直线 1l 、 2l 上的一点。

4.直线与平面的距离

前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的

距离。

5.两平行平面之间的距离

转化为求点到平面的距离。

6.球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）的计算步



骤：

①计算线段 AB的长；

②计算球心角 AOB 的弧度数；

③用弧长公式计算劣弧 AB的长。

特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则。

6.2.3 简单几何体

1.多面体

由若干个多边形围成的几何体叫做多面体。其中，每个多边形称为多面体的面，相邻两个

面的公共边称为多面体的棱，两条棱的交点称为多面体的顶点，连接不在同一个平面内的两

个顶点的线段称为多面体的对角线。多面体有几个面就称为几面体，如四面体由四个面围成。

①凸多面体：把多面体的任一个面延展成平面，若其他各面都位于这个面的同一侧，这样

的多面体称为凸多面体。

②正多面体：多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的正多面角。

③正多面体只有正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。

2.棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的

几何体称为棱柱。互相平行的两个面称为棱柱的底面，其余各面称为棱柱的侧面，相邻侧面

的公共边称为棱柱的棱，不在同一个平面内的两个顶点的连线称为棱柱的对角线，两底面间

的距离称为棱柱的高。

①性质：（i）各个侧面都是平行四边形，侧棱都相等；

（ii）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的权等多边形；

（iii）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

②分类：（i）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（ii）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（iii）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（iv）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；

（v）直平行六面体：侧棱垂直于底面的直平行六面体；



（vi）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（vii）正四棱柱：底面是正方形的直平行六面体；

（viii）正方体：棱长都相等的正四棱柱。

③直观图画法：画坐标轴；画底面；画侧棱；成图。

3.棱锥

由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体称为棱锥。

有公共顶点的三角形称为棱锥的侧面，多边形称为棱锥的底面，所有侧面的公共顶点称为

棱锥的顶点，顶点到地面的距离称为棱锥的高。

正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥。

①性质：平行于底面的截面与底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底

面距离的比。截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方。

②直观图画法：画坐标轴；画底面；画高线；成图。

4.棱台

棱台被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分成为棱台。

棱台所有侧棱的延长线交于一点，可以将棱台还原成棱锥。

5.圆柱

以矩形的一边为旋转轴，旋转一周而形成的几何体称为圆柱。

圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的几何体称为圆锥。

圆台：以直角梯形垂直于两边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体称为圆

台。

性质：（i）平行于底面的截面都是圆；

（ii）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等

腰梯形。

（iii）圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，

可以得到圆锥。

6.球

半圆以其直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面围成的几何体称为球。

半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径，连接球面上两点



且经过球心的线段称为球的直径。

性质：（i）用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆。

（ii）球心与不过球心的截面圆心的连线垂直于截面，球心在截面上的射影是截面的

圆心。

（iii）球心到截面的距离 d 与球的半径R、截面圆的半径 r，有下面的关系：

22 dRr 。

6.2.4 面积

1.直棱柱：高底面周长侧 S ；底侧 SSS 2 。

2.圆柱：母线长为 l，底面半径为 r， rlS 2侧，2rS 底， 222 rrlS 。

3.圆锥：母线长为 l，底面半径为 r， rlS 侧， 2rS 底，2rrlS 。

4.正棱锥：底面周长 c，斜高 h， hcS 2

1侧。

5.正棱台：上、下底面周长为 c、 c，斜高 h， hccS 2

1侧。

6.圆台：上、下底面半径为 r、r，母线长为 l， lrrS 侧， 22 rrlrrS 。

7.球：半径为R， 24 RS 。

6.2.5 体积

1.柱体：高底 SV

①圆柱： hrV 2 （ r为地面半径， h为高）；

②直棱柱：侧棱底 lSV ；

③三棱柱： SdV2

1 （ S 为三棱柱一个侧面的面积，d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面

的距离）。

2.锥体：高底 SV3

1

3.台体：高下底上底下底上底 SSSSV3

1



4.球体： 34

3V R

球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半

径R及截面圆半径 r之间的关系是22 dRr 。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球

面，还包括其内部）。



第七章解析几何

7.1 向量

7.1.1 向量的运算

1.向量的加法

三角形法则：

𝐴�⃗� + 𝐵𝐶 = 𝐴�⃗�

平行四边形法则：

𝐴�⃗� + 𝐴�⃗� = 𝐴�⃗�

加法的交换律：�⃗� + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

加法律结合律： �⃗� + 𝑏 + �⃗� = 𝑎 + (�⃗� + �⃗�)

2.向量减法

向量�⃗�加上的向量�⃗�相反向量，是向量�⃗�与向量𝑏的差。

3.平面向量的坐标运算

若�⃗� = 𝑥1,𝑦1 ,�⃗� = (𝑥2,𝑦2)，

�⃗� + �⃗� = 𝑥1 + 𝑥2,𝑦1 + 𝑦2 ,�⃗� − �⃗� = 𝑥1 − 𝑥2,𝑦1 − 𝑦2 ，

λ𝑎 = λ𝑥1,λ𝑦1 ,�⃗� ∙ 𝑏 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

若 𝐴(𝑥1,𝑦1), 𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝐴�⃗� = 𝑥2 − 𝑥1,𝑦2 − 𝑦1 若 𝐴 𝑥1,𝑦1 ,𝐵 𝑥2,𝑦2 ，则 𝐴𝐵 两点间

距离为 (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2。

若 𝐴 𝑥1,𝑦1 ，𝐵 𝑥2,𝑦2 ，则线段 𝐴𝐵的中点坐标为𝑥1+𝑥2

2,𝑦1+𝑦2

2。

4.数量乘积

结合律：λ 𝜇�⃗� = (λ𝜇)�⃗�；

分配律： λ + 𝜇 �⃗� = λ�⃗� + 𝜇�⃗�,λ �⃗� + �⃗� = λ�⃗� + λ𝑏

a

bc

BA

CD

a

bc

B C

A



7.2 直线和圆

7.2.1 直线方程

1. 倾斜角与斜率：

𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑘 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1,这时是斜率存在的时候，当斜率不存在时，倾斜角是90°，直线是𝑥 = 𝑥0

2.直线方程

名称方程的形式常数的几何含义适用的范围

点斜式 𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥− 𝑥0) (𝑥0,𝑦0)是直线上一定点, 𝑘为斜率不能表示垂直于 𝑥

轴的直线

斜截式 𝑦 = 𝑘𝑥+ 𝑏 𝑘表示斜率，𝑏表示在 𝑦轴上的截

距

不能表示垂直于 𝑥

轴的直线

两点式 𝑦 − 𝑦1𝑦2 − 𝑦1

=𝑥− 𝑥1𝑥2 − 𝑥1

𝑥1,𝑦1 ,(𝑥2,𝑦2)是直线上两定点不能表示垂直于坐

标轴的直线

截距式 𝑥

𝑎+𝑦

𝑏= 1

𝑎表示在 𝑥轴上的截距，𝑏表示在

𝑦轴上的截距。（截距带符号）

不能表示垂直于坐

标轴和经过原点的

直线

一般式 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0斜率为−

𝐴

𝐵，在 𝑥轴上的截距为

−𝐶

𝐴，在 𝑦轴上的截距为−

𝐶

𝐵

任意直线

3.两直线位置关系

斜截式

𝑦 = 𝑘1𝑥 + 𝑏 ;𝑦 = 𝑘2𝑥 + 𝑏

一般式

𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0;𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0

相交 𝑘1 ≠ 𝑘2 𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1 ≠ 0

垂直 𝑘1 ∙ 𝑘2 =− 1 𝐴1𝐴2 + 𝐵1𝐵2 = 0

平行 𝑘1 = 𝑘2,𝑏1 ≠ 𝑏2 𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1 = 0𝐵1𝐶2 − 𝐵2𝐶1 ≠ 0

或𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1 = 0𝐴1𝐶2 − 𝐴2𝐶1 ≠ 0

重合 𝑘1 = 𝑘2,𝑏1 = 𝑏2 𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1 = 𝐵1𝐶2 − 𝐵2𝐶1 = 𝐴1𝐶2 − 𝐴2𝐶1 = 0

4.点到直线的距离

已知点(𝑥0,𝑦0)与直线 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0，𝑑 =𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶

𝐴2+𝐵2.



5.平行线间距离

若𝑙1:𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0;𝑙2:𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0,则 𝑑 =𝐶1−𝐶2

𝐴2+𝐵2.

注意：𝑥,𝑦对应项系数应相等。

7.2.2 圆的方程

1. 圆的方程

①标准方程：(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2，(𝑎,𝑏)---圆心，𝑟---半径。

②一般方程：𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦+ 𝐹 = 0,(𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 > 0)

( −𝐷

2, −

𝐸

2)---圆心 𝑟 =

𝐷2+𝐸2−4𝐹

2---半径。

2.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为𝑂1,𝑂2，半径分别为𝑟1,𝑟2， 𝑂1𝑂2 = 𝑑

𝑑 > 𝑟1 + 𝑟2 ⟺外离 ⟺4 条公切线

𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2 ⟺外切⟺3 条公切线

𝑟1 − 𝑟2 < 𝑑 < 𝑟1 + 𝑟2 ⟺ 相交 ⟺2 条公切线

𝑑 = 𝑟1 − 𝑟2 ⟺内切⟺1 条公切线

0 < 𝑑 < 𝑟1 − 𝑟2 ⟺内含⟺无公切线

3.直线与圆位置关系

直线 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0与圆(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦− 𝑏)2 = 𝑟2 圆心到直线的距离：𝑑 =𝐴𝑎+𝐵𝑏+𝐶

𝐴2+𝐵2

三种位置关系：

𝑑 > 𝑟 ⟺相离Δ < 0

𝑑 = 𝑟 ⟺相切Δ = 0

𝑑 < 𝑟 ⟺相交Δ > 0



7.3 圆锥曲线

7.3.1.椭圆

1.定义

定义Ⅰ：若𝐹1,𝐹2是两定点,𝑃为动点,且 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎 > 𝐹1𝐹2（𝑎为常数）,则 𝑃点的轨

迹是椭圆。

定义Ⅱ：若𝐹1为定点,𝑙为定直线,动点 𝑃到𝐹1的距离与到定直线 𝑙的距离之比为常数

𝑒(0 < 𝑒 < 1),则 𝑃点的轨迹是椭圆。

2.标准方程

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1(𝑎 > 𝑏 > 0)

定义域： 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

值域： 𝑦 − 𝑏 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏

长轴长=2𝑎，短轴长=2𝑏，焦距=2𝑐

准线方程：𝑥 =±𝑎2

𝑐

离心率：𝑒 =𝑐

𝑎

𝑎,𝑏,𝑐的关系：𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

注意：

(1) 图中线段的几何特征：

𝐴1𝐹1 = 𝐴2𝐹2 = 𝑎 − 𝑐, 𝐴1𝐹2 = 𝐴2𝐹1 = 𝑎 + 𝑐，

𝐵1𝐹1 = 𝐵1𝐹2 = 𝐵2𝐹2 = 𝐵2𝐹1 = 𝑎

𝐴1𝐵2 = 𝐴1𝐵2 = 𝑎2 + 𝑏2，

顶点与准线距离.焦点与准线距离分别与 cba ,, 有关；



(2)椭圆上的点有时常用到三角换元：𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃

；

(3)注意题目中椭圆的焦点在 𝑥轴上还是在 𝑦轴上，请补充当焦点在 𝑦轴上时，其相应的性

质。

7.3.2.双曲线

1.定义

定义Ⅰ：若𝐹1,𝐹2是两定点,𝑃为动点,且 𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 = 2𝑎 < 𝐹1𝐹2（𝑎为常数）,则 𝑃点的

轨迹是双曲线。

定义Ⅱ：若𝐹1为定点,𝑙为定直线,动点 𝑃到𝐹1的距离与到定直线 𝑙的距离之比为常数 𝑒(𝑒 >

1),则 𝑃点的轨迹是双曲线。

2.标准方程

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0)

定义域： 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎或 𝑥 ≤− 𝑎

值域：𝑅

实轴长=2𝑎，虚轴长=2𝑏，焦距=2𝑐

准线方程：𝑥 =±𝑎2

𝑐

离心率：𝑒 =𝑐

𝑎

𝑎,𝑏,𝑐的关系：𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2

注意：

(1)图中线段的几何特征：

𝐴𝐹1 = 𝐵𝐹2 = 𝑐 − 𝑎, 𝐴𝐹2 = 𝐵𝐹1 = 𝑎 + 𝑐，

顶点到准线的距离：𝑎 −𝑎2

𝑐或 𝑎 +

𝑎2

𝑐



焦点到准线的距离：𝑐 −𝑎2

𝑐或 𝑐 +

𝑎2

𝑐

两准线间的距离：2𝑎2

𝑐；

(2)若双曲线方程为𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 ⟹渐近线方程：

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 0 ⟹

𝑥

𝑎±

𝑦

𝑏= 0

若渐近线方程为𝑥

𝑎±

𝑦

𝑏= 0 ⟹双曲线可设为

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= λ

(3)特别地当 𝑎 = 𝑏时 ⟺离心率 𝑒 = 2 ⟺两渐近线互相垂直，分别为 𝑦 =± 𝑥，此时双曲线

为等轴双曲线，可设为⟺ 𝑥2 − 𝑦2 = λ；

(4)注意题目中双曲线的焦点在 𝑥轴上还是在 𝑦轴上，请补充当焦点在 𝑦轴上时，其相

应的性质。

7.3.3 抛物线

1.定义

到定点 𝐹与定直线 𝑙的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点 𝐹的距离与到定直线 𝑙的距离之比是常数 𝑒(𝑒 = 1)。

2.标准方程

方程：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)；𝑝

焦点：(𝑝

2,0)，通径：2𝑝；

准线：𝑥 =−𝑝

2；

焦半径： 𝐴𝐹 = 𝑥0 +𝑝

2;过焦点弦长 𝐴𝐵 = 𝑥1 +

𝑝

2+ 𝑥2 +

𝑝

2= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑝

注意：

(1)几何特征：

焦点到顶点的距离:𝑝

2；焦点到准线的距离: 𝑝；通径长 2𝑝



顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

(2)抛物线𝑦2 = 2𝑝𝑥上的动点可设为 𝑝(𝑦02

2𝑝,𝑦0)或 𝑃(2𝑝𝑡2,2𝑝𝑡)

(3)注意题目中抛物线的焦点在 𝑥轴上还是在 𝑦轴上，请补充当焦点在 𝑦轴上时，其相应

的性质。



第八章统计与概率

8.1 统计

8.1.1 统计名词

1.平均数

一般地，如果有 n 个数,,,, 21 nxxx 那么，

)(1

21 nxxxn

x 叫做这 n 个数的

平均数， x读作“ x 拔”。

2.众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

3.中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均

数）叫做这组数据的中位数。

4.期望

一组数据 1 2, , , nx x x 的平均数 )(1

21 nxxxn

x 即为这组数据的期望。

5.方差

在一组数据 1 2, , , nx x x 中，各数据与它们的平均数 x

的差的平方的平均数叫做这组数

据的方差，通常用“ 2s ”表示。方差反映了这组数据的波动情况。

2 2 22

1 2

1[ ]ns x x x x x x

n

方差反映了这组数据的波动情况



8.1.2 抽样方式

1.基本概念

①总体

所有考察对象的全体叫做总体。

②个体

总体中每一个考察对象叫做个体。

③样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

④样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。

⑤.样本平均数

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

⑥总体平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均

数。

2.三种抽样方式

①简单随机抽样

（1）基本思想：

用样本估计总体。

（2）简单随机抽样：

一般的，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样本 )( Nn ，

如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽

样。

（3）特点：

ⅰ总体个数有限；ⅱ逐个抽取；ⅲ不放回抽样；ⅳ等可能抽样。

（4）抽样方法：

ⅰ抽签法；ⅱ随机数表。



②系统抽样

（1）定义：

当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后

按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。

（2）步骤：

（ⅰ）编号；（ⅱ）分段；（ⅲ）不确定起始个体编号；（ⅳ）按规则抽取。

③分层抽样

（1）定义：

当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常

将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按

层在总体中所占比例进行简单随机抽样。

（2）适用特征：

（ⅰ）总体由差异明显的几部分组成；（ⅱ）分成的各层互不重叠；

（ⅲ）各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即N

n。

8.1.3 统计图

1.频数与频率

在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数，每个对象出现的次数与总次数的比

值（或百分比）称为频率。

2.频率分布的意义

在很多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占

的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

3.研究频率分布的一般步骤及有关概念

①研究样本的频率分布的一般步骤

（1）计算极差（最大值与最小值的差）

（2）决定组距与组数



（3）决定分点

（4）列频率分布表

（5）画频率分布直方图

②频率分布的有关概念

（1）极差：最大值与最小值的差。

（2）频数：落在各个小组内的数据的个数。

（3）频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量 n）的比值叫做这一小组的频率。

③列表法求概率

（1）列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（2）列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有

可能的结果，通常采用列表法。

④树状图法求概率

（1）树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（2）运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所

有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

⑤利用频率估计概率

（1）利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，



可以估计这个事件发生的概率。

（2）模拟实验

在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这

样的试验称为模拟实验。

4.统计图

统计图在统计资料整理和分析中占有重要地位，分为：条形统计图、折线统计图、扇形

统计图、茎叶统计图、直方统计图、象形统计图等。

其中条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图。

①条形统计图：可以直观地反映每组具体数据。

②扇形统计图：可以直观地反映出各部分数据在总量中所占的份额。

可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与总体之间的数量关系。

③折线统计图：可以反映同一事物在不同时间里的数量增减变化的情况。

④象形统计图：按照调查对象本身的实物形象，表示统计资料的数字大小和变动。

象形统计图形象具体、生动，一目了然的反映数字的大小。

⑤茎叶统计图

（1）概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数表示十位数，即第一个有效数字,

两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，通常把这样的图叫做茎叶图。

（2）茎叶图直观反映数据的集中趋势

（3）茎按从小到大的数序从上往下列出，茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺

序同行列出。

（4）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据



（5）数据是由整数部分和小数部分组成时，可以把整数部分作为茎，小数部分作为叶。

8.1.4 统计表

1.统计表

统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式。

2.统计表构成

统计表一般由表头（总标题），行标题，列标题和数字资料四个主要部分组成。

3.分类

通常是按项目的多少，分为单式统计表与复式统计表两种。

①只对某一个项目数据表示统计的表格，称为单式统计表也称之为简单统计表。

②统计项目在 2 个或 2个以上的统计表格，称之为复式统计表。

8.2 排列组合

8.2.1 分步、分类计数原理

1.加法原理（分类计数原理）

做一件事，完成它有 n类办法，在第一类办法中有 1m 种不同的方法，在第二类办法中

有 2m 种不同的方法，，在第 n类办法中有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有：

nmmmmN 321 种不同的方法。



2.乘法原理（分步计数原理）

做一件事，完成它有n个步骤，做第一步时有 1m 种不同的方法，接着做第二步时有 2m

种不同的方法，，做第 n 步有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有：

nmmmmN 321 种不同的方法。

特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。

8.2.2 排列

1.排列定义

从 n 个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从 n 个中取m个元素

的一个排列。

全排列：若将 n个不同元素全部取出，即 nr 的一个排列称为全排列。

2.排列数定义

从 n 个不同的元素中，取m（m n ）个不重复的元素的所有排列的个数称为从 n 个

中取 r个元素的排列数，用 mnA 表示。

公式： !1 1 , ,

!mn

nA n n n m m n N m n

n m

规定：0! 1

8.2.3 组合

1.组合定义

从 n 个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为

从 n 个中取m个元素的无重组合。

2.组合数定义

从 n 个不同的元素中，取m个不重复的元素的所有组合的个数称为从 n 个中取m个元

素的组合数，用rnC 表示。

公式：

01 1 !, , 1

1 2 1 ! !

mm nn nm

m

n n n mA nC m n N m n C

A m m n m m



3.排列与组合的关系

从 n个不同元素中取 r 个元素的无重排列是从 n个不同元素中取 r 个元素的无重组合

后，对取出的 r个不同元素进行全排列得到的。

rr

rn

rn ACA

4.组合数的性质

① mnn

mn CC

② 11

m

nmn

mn CCC

8.2.4 排列、组合的综合求法

1.直接法

适用于排列组合的情况简单，可以直接列举所有的情况或利用排列、组合公式。

2.排除法

不符合条件的排列组合的情况简单时，从反面考虑。

3.元素优先法

对于问题中有特殊要求的元素应优先考虑其排列，然后再对其他元素进行排列。

4.捆绑法

在特定要求下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好后再考虑他们“局部”

的排列。它主要用于解决“元素相邻问题”。

5.插空法

先把一般元素排列好，然后将待定元素插排在它们之间或两端的空档里，比较适用于解

决“元素不相邻问题”。

8.2.5 二项式定理

0 1 1 1n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N ，

其中组合数 rnC 为第 1r 项的二项式系数，二项展开式共有 1n 项，其中第 1r 项为

nrbaCT rrnrnr ,,1,01

称为二项式展开式的通项。



特别提醒：

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1时，系数

就是二项式系数。

如在 nbax 的展开式中，第 1r 项的二项式系数为 rnC ，第 1r 项的 x 系数为 rrnr

n baC ；

而

n

xx

1的展开式中的系数就是二项式系数。

8.3 概率

8.3.1 随机事件

1. 基本概念

①随机试验

将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称

为随机试验，简称为试验，常用 E表示。

②随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

③确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

④相互独立事件

事件 A的发生对事件B的发生没有影响，同样事件 B的发生对事件 A的发生也没有影

响，则称这两个事件为相互独立事件。

如果事件 A和B独立，则 BPAPABP

⑤互斥事件

不能同时发生的两个事件称为互斥事件。

如果事件 A和B互斥，则 BPAPBAP （加法公式）。



⑥对立事件

两个互斥事件中必有一个发生,则称这两个事件为对立事件

如果事件 A和B对立，则 BPAP 1

说明：（1）对立一定是互斥，互斥不一定对立

（2）从集合论来看，互斥事件只需交集是空集，但对立事件要求交集是空集且并

集是全集。

2.随机事件发生的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可

能不同。对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预

测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可

能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一

样，用数据来说明问题。

3.概率的意义及表示方法

①概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率m

n会稳定在某个常数 p附近，那

么这个常数 P就叫做事件 A的概率。

②表示方法

一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，…，常数 p 表示事件 A 的概率，可记为 ( )P A

③确定事件和随机事件的概率之间的关系

（1）确定事件概率

Ⅰ当 A是必然发生的事件时， 1AP 。

Ⅱ当 A是不可能发生的事件时， 0AP 。

（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系



1

2

必然发生不可能发生

10

当 A是随机事件时， 10 AP 。

8.3.2 等可能事件

1. 古典概型（等可能概型）

①古典概型特点

（1）试验中所有可能出现的基本事件中只有有限个；

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

②古典概型求事件 A的概率公式

一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

A包含其中的 m种结果，那么事件 A 发生的概率为 ( )m

P An

那么在古典概型中：

n

mAAP

所有基本事件的个数

包含的基本事件的个数事件

③等可能事件概率

AP A

包含的基本事件的个数

基本事件的总数

2.几何概率

①几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样

的概率模型为几何模型，简称为几何模型。

②几何模型的特点

（1）所有可能出现的基本事件为无限个；

（2）每个基本事件发生的可能性相等。



③几何模型求事件 A的概率公式

积或体积）的区域的几何度量（面试验所有可能结果构成

积或体积）的区域的几何度量（面构成事件AAP

3.古典概型与几何模型的主要区别

几何模型是另一种等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。

8.3.3 独立重复事件的概率

1.n 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率

①概念：

一次试验中，事件 A发生的概率为 p。相同条件下，独立、重复进行了 n次试验，称

作 n次独立重复试验。

②概率公式：

n次独立重复试验中，事件 A发生的次数记为 n,,1,0 ，则事件 A恰好发生 k次

的概率为： nkppCkP knkkn 01 。

8.3.4 离散型随机变量及分布列

1.离散型随机变量

①随机变量

（1）概念：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量、随机变量

常用希腊字母、等表示。

（2）理解：

Ⅰ随机变量是将随机事件的结果数量化。

Ⅱ随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

Ⅲ若是随机变量，则 ba （其中a、b是常数）也是随机变量。

② 离散型随机变量



（1）概念：

对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型

随机变量。

（2）离散型随机变量分布列

设离散型随机变量可能的取值为 ,,,, 21 ixxx ，取每一个值 ,2,1ixi 的概率

为 i nP x p ，则随机变量的概率分布（简称的分布列）为：

注意：

Ⅰ随机变量将随机事件的结果数量化。

Ⅱ若ξ是随机变量，则 a b （其中 a、b 是常数）也是随机变量。

分布列具有如下性质：

（ⅰ） ,2,1,10 ipi ；（ⅱ） 121 pp 。

2.两种常见离散型随机变量的分布

①（0—1）分布

参数为 p 的分布律为 ( 1) , ( 0) 1P p P p

②二项分布

参数为 ,n p的分布律为 nkppCkP knkkn 01 ，例如 n次独立重复试验

中，事件 A发生的的概率 p ,记 n次独立重复试验中事件 A发生的次数记为，此时随机变

量服从二项分布，记作 pnB ,~ 。

3.随机变量的期望与方差

①离散型随机变量的期望

（1）一般地，随机变量ξ的概率分布为



则称为的数学期望或平均数、均值，简称为期望。

1 1 2 2 +... ...n nE x p x p x p （）

注：（1）数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平

（2）随机变量 a b （a、b 为常数）的期望为： ( )E a b aE b

②离散型随机变量的方差

若离散型随机变量的分布列为

2 2 21 1 2 2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]n nD x E p x E p x E p

注：（1）方差反映了离散型随机变量取值的波动水平；

（2）随机变量 ba （其中 a、b是常数）的期望为 DabaD 2 。



第九章高等数学

9.1 极限

9.1.1 极限的定义及求法

1.极限的概念

①数列极限

设数列𝑥𝑛与常数 𝑎有如下关系：对任意给定的正数𝜀，总存在正整数 𝑁，当 𝑛 > 𝑁 时，

有 𝑥𝑛 − 𝑎 < 𝜀成立，则称数列𝑥𝑛收敛于 𝑎，记作𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑎。

语言描述：当 𝑛充分大时，数列一般项𝑥𝑛无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定

的常数 𝑎，则称 𝑎就是数列 𝑥𝑛 的极限。

“𝜀 − 𝑁”语言：∀𝜀 > 0,∃𝑁,当 𝑛 > 𝑁时，有 𝑥𝑛 − 𝑎 < 𝜀。

②函数极限

对任意给定的正数𝜀，总存在正数𝛿，当 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿时， 𝑓 𝑥 − 𝐴 < 𝜀成立，则称

𝑓(𝑥)当 𝑥 → 𝑥0时以 𝐴为极限，记作 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐴。

语言描述：当 𝑥 → 𝑥0时，𝑓(𝑥)无限趋近（接近）于某个常数 𝐴。

“𝜀 − 𝑁”语言：∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0，对任意的 𝑥 ∈ 𝑈(𝑥0)，有 𝑓(𝑥) − 𝐴 < 𝜀。

③左极限（右极限）

𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0−

𝑓(𝑥) = 𝐴 或 𝑓 𝑥0− = 𝐴（ 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0+

𝑓(𝑥) = 𝐴 或 𝑓 𝑥0+ = 𝐴）

语言描述：当 𝑥从𝑥0左（右）侧趋于𝑥0时，𝑓(𝑥)无限趋近于某个常数 𝐴。

“𝜀 − 𝑁”语言：∀𝜀 > 0,∃𝛿 > 0,对任意的 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿,𝑥0)或 𝑥 ∈ (𝑥0,𝑥0 + 𝛿),有

𝑓(𝑥) − 𝐴 < 𝜀。

④函数极限存在的条件

函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，即

AxfxfAxfxxxxxx

000

000

limlimlim 。



2.极限的运算法则

①极限的运算法则

设 𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 = 𝐴,𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥 = 𝐵，则有

⑴lim 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 ± 𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥 = 𝐴 ± 𝐵

⑵lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥 = 𝐴 ∙ 𝐵

⑶lim𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥=

𝐴

𝐵(𝐵 ≠ 0)

⑷𝑙𝑖𝑚𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐𝐴(𝑐为常数)

⑸lim [𝑓 𝑥 ]𝑛 = [𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 ]𝑛 = 𝐴𝑛(𝑛为整数)

3.极限的求法

①直接代入法

代入法就是直接将要趋近的值代入函数表达式中，这种方法的前提条件是这个值能使函

数有意义。

②约公因子法

所趋近的值使得函数没有意义，因此需要进行约公因子，约公因子通常运用因式分解的

方法。

③最高次幂法

当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过这种方法。主要是比较分子

与分母次数的高低：

0

010 1

10 1

,

lim 0,

,

m mm

n nxn

an m

ba x a x a

n mb x b x b

n m

当

当

当

④两个重要极限公式

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑥=1



𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

(1+1

𝑥)𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

𝑣→0(1 + 𝑣)

1𝑣 = 𝑒

方法：遇到1∞形式的极限，通常都需要将其化为(1 + 𝛼)1

𝛼的形式；或者利用对数恒等式，

再利用洛必达法则；也可以先取对数，再利用洛必达法则〔真数部分大于 0〕。

⑤等价无穷小

⑥罗必达法则

（Ⅰ）法则 1（0

0型）：

设（1） 0)(lim,0)(lim xgxf ，

（2） x变化过程中， ( )f x ， ( )g x 皆存在，

（3）( )

lim( )

f xA

g x

（或）；

则 Axg

xf

)(

)(lim （或）。

注意：如果( )

lim( )

f x

g x

不存在，则不能得出( )

lim( )

f x

g x不存在。

（Ⅱ）法则 2（

型）：

设（1） lim ( ) , lim ( )f x g x ，

（2） x变化过程中， ( )f x ， ( )g x 皆存在，

（3）( )

lim( )

f xA

g x

（或）；

则 Axg

xf

)(

)(lim （或）

注意：离散型不能直接用洛必达法则；

直接用洛必达法则更麻烦，先作变量替换， tx

2

1。



4.无穷大与无穷小

①无穷小与无穷大

（1）定义

若 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0

𝑓(𝑥) = 0，则称在 𝑥 → 𝑥0过程中，𝑓(𝑥)是无穷小量；

若 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0

1

𝑓(𝑥)= 0，则称在 𝑥 → 𝑥0过程中，𝑓(𝑥)是无穷大量；

注：极限的存在与否以及极限的大小和函数在该点的情况（是否有定义和函数值大小）

无关。

（2）无穷小与无穷大的关系：倒数关系。

（3）无穷小与极限的关系

𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 = 𝐴 ⟺ 𝐴+ 𝛼(𝑥),其中 𝑙𝑖𝑚𝛼 𝑥 = 0。

（4）两个无穷小的比较

在自变量同一变化过程（𝑥 → 𝑥0或 𝑥 → ∞）中，设 𝑙𝑖𝑚𝑓 𝑥 = 0，𝑙𝑖𝑚𝑔 𝑥 = 0，且 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑙，

（ⅰ）𝑙 = 0，称 𝑓(𝑥)是比 𝑔(𝑥)高阶的无穷小，记作：𝑓 𝑥 = 𝑜[𝑔(𝑥)]；

（ⅱ）l = ∞，称 f(x)是比 g(x)低阶的无穷小，记作：f x = O[g(x)]；

（ⅲ）l ≠ 0，称 f(x)与 g(x)是同阶无穷小；

（ⅳ）l = 1，称 f(x)与 g(x)是等价无穷小，记作：f(x)~g(x)。

②常用等价无穷小

（1）当 0x 时的等价无穷小量

sin x x ； tan x x ； arcsin x x ； arctan x x ； 1xe x ； ln 1 x x ；

21 1 2x x ；

2

1 cos2

xx ； 1 lnxa x a 。

（2）应用：利用等价无穷小代换求极限。

9.1.2 函数的连续与间断

1.函数在一点连续的概念

定义 1 若 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)，则称 𝑓(𝑥)在点𝑥0处连续。（或∆𝑥 → 0时∆y → 0）



定义 2 设函数 𝑦 = 𝑓(𝑥)，如果 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)，则称 𝑓(𝑥)在点𝑥0处左连续；

如果 𝑙𝑖𝑚𝑥→ 𝑥0+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)，则称 𝑓(𝑥)在点𝑥0处右连续。

结论：𝑦 = 𝑓(𝑥)在点𝑥0处连续⟺ 𝑓(𝑥)在𝑥0处既是左连续，又是右连续。

2.函数在区间内（上）连续的定义

如果函数 𝑦 = 𝑓(𝑥)在开区间(𝑎,𝑏)内的每一点都连续，则称 𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)内连续。

如果 𝑦 = 𝑓(𝑥)在开区间(𝑎,𝑏)内连续，在区间端点 𝑎右连续，在区间端点 𝑏左连续，则

称 𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上连续。

（注：对于分段函数在分点处的连续性的讨论，应根据连续的定义。

需满足:1.函数在该点有定义；2.函数在该点的左极限=右极限=该点的函数值）

3.函数的间断点及分类

①函数的间断点的定义

如果函数 ( )y f x 在点 0x 处不连续，则称 0x 为 ( )f x 的间断点。

②函数间断点的类型

（1）第一类间断点

设 0x 是函数 ( )y f x 的间断点，如果 ( )f x 在间断点 0x 处的左、右极限都存在，则称 0x

是 ( )f x 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。〔至少一个单侧极限不存在〕

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。



例如： 0x 是sin

( )x

f xx

的可去间断点，是 ( )x

f xx

的跳跃间断点，是1

( )f xx

的无

穷间断点，是1

( )sin

f xx

的振荡间断点。

9.2 导数与微分

9.2.1 导数的概念

1.导数的定义

设 ( )y f x 在点 0x 的某一邻域内有定义，如果 0 0

0 0lim limx x

f x x f xy

x x

存在，

则称函数 ( )y f x 在点 0x 处可导，并称该极限值为函数 ( )y f x 在点 0x 处的导数，记为

0xf ，0xxy ，

0xxdx

dy ，

0xxdx

xdf ，即

x

xfxxf

x

yxf

xx

00

000 limlim 。

导数常用形式还有以下两种：

0

00

0

( )- ( )'( )= lim

x x

f x f xf x

x x ；0

0 0

0

( )- ( )' = limx x

h

f x h f xy

h



2.导数的几何意义

曲线 ( )y f x 上点 0 0( , ( ))M x f x 附近取一点 0 0( , ( ))N x x f x x ，则割线 MN的斜率

为 0 0( )- ( )=f x x f x

kx

割

；

当 0 ,N M x k k 沿曲线

切割（即时 )， 0 0

0

( )- ( )= lim

x

f x x f xk

x

切

3.左导数与右导数

( )f x 在点 0x 处的左导数记为 '0( )f x ，规定： ' 0 0

00

( )- ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

；

( )f x 在点 0x 处的右导数记为 '0( )f x ，规定： ' 0 0

00

( )- ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

。

注：

（1） ( )f x 在 0x 处可导（ '0( )f x 存在） '

0( )f x 与 '0( )f x 都存在且相等。

（2）左导数与右导数统称为单侧导数。

4.导函数的定义

（1）函数在开区间内可导

若 ( )f x 在 ( , )a b 内每一点可导，则称 ( )f x 在 ( , )a b 内可导。

（2）函数在闭区间上可导

( )f x 在 ( , )a b 内可导，且 f a 与 f b 都存在，则称 ( )f x 在[ , ]a b 上可导。

（3）导函数：



若 ( )f x 在区间 I 内每一点可导，则 ( )f x 在 I 内任一点的导数是 x的函数，称为 ( )f x

的导函数，记为'( )f x 或

'y 或dy

dx或

( )df x

dx，即

' 0 0

0 0

( ) ( )( ) ( )( ) lim lim

x h

f x h f xf x x f xf x

x h

注意：

（ⅰ）上式称为导函数的定义式。

（ⅱ）导数与导函数的关系：0

' '0( ) ( )

x xf x f x

。

（ⅲ）在不致于引起混淆的场合，导函数通常简称为导数。

9.2.2 可导与连续的关系

定理：若函数 ( )y f x 在点 0x 处可导，则 ( )y f x 在点 0x 处必连续。

证：0 0

'00 0 0

0

( ) ( )lim[ ( ) ( )] lim ( ) ( ) 0 0x x x x

f x f xf x f x x x f x

x x

注：（1）逆命题不成立，即“连续不一定可导”。

（2）逆否命题成立：“不连续一定不可导”。

9.2.3 函数求导

1.基本初等函数求导

①'( ) 0C

②' 1( )x x 特别：

'' '

2

1 1 1( ) 1, ( ) ,

2x x

x xx

③'( ) lnx xa a a 特别：

'( )x xe e

④

' 1(log )

lna x x a

特别：

' 1(ln )x

x

⑤'(sin ) cosx x '(cos ) sinx x

' 2(tan ) secx x ' 2(cot ) cscx x



'(sec ) tan secx x x '(csc ) cot cscx x x

⑥

'

2

1(arcsin )

1x

x

'

2

1(arccos )

1x

x

'2

1(arctan )

1x

x

'

2

1(arc cot )

1x

x

2.复合函数求导

①函数的和、差、积、商的求导法则

定理：设 ( )u u x ， ( )v v x 都可导，则

（1）' ' '[ ( ) ( )] ( ) ( )u x v x u x v x ；

（2）' ' '[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x ，特别地，

' '[ ( )] ( )Cu x Cu x ；

（3）

' ''

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

u x u x v x u x v x

v x v x

。

注：' ' ' '[ ]uvw u vw uv w uvw 。

②复合函数的求导法则

定理：若 ( )y f u ， ( )u g x 都可导，则复合函数 [ ( )]y f g x 也可导，且

dy dy du

dx du dx ，或 ' ' '

x u xy y u ，

或' ' ' ' '( [ ( )]) ( ) ( ) [ ( )] ( )f g x f u g x f g x g x 。

（简言之，函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数）

9.2.4 导数应用

1.求曲线上一点处的切线方程与法线方程

①切线斜率：函数 ( )f x 在点 0x 处的导数'

0( )f x 在几何上表示曲线 ( )y f x 在点

0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率．即'

0( )f x k 切。

② ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 000 xxxfxfy 。



③ ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的法线方程为 00

0

1xx

xfxfy

。

注意：

（1）函数 ( )f x 在 0x 处可导在几何上表示曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处具有不垂直于

x轴的切线；

（2）若'

0( )f x ，则切线垂直于 x轴。

2. 求函数的单调性

①利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 内可导，

（1）如果恒 '( ) 0f x ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上是增函数

（2）如果恒 '( ) 0f x ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上是减函数

（3）如果恒 '( ) 0f x ，则函数 ( )y f x 在区间 ( , )a b 上为常数函数

②利用导数求函数单调性的基本步骤：

（1）求函数 ( )y f x 的定义域

（2）求导数 '( )f x

（3）解不等式 '( ) 0f x ，解集在定义域内的不间断区间为增函数；

解不等式 '( ) 0f x ，解集在定义域内的不间断区间为减函数。

3.求函数的极值

①概念：设函数 xfy 在 0x 及其附近有定义，如果对附近所有的点都有 0( ) ( )f x f x

（ 0( ) ( )f x f x ），则称 0( )f x 是函数 xfy 的极大值（极小值）。

②可导函数的极值可根据研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数的定义域

（2）求导数 '( )f x ；

（3）求方程 '( ) 0f x 的所有实根，顺次将定义域划分成若干小区间并列表，根据函



数在定义区间内增减性变化（导函数与零的关系）来判断极值。

（ⅰ） 0lim

xf

ax， 0lim

xf

ax af 是 xfy 的极小值；

（ⅱ） 0lim

xfax

， 0lim

xfax

af 是 xfy 的极大值。

4.求函数的最大值与最小值

①如果区间内只有一个极(大/小)值，则这个极值就是最(大/小)值；

②闭区间上，所有极值与端点函数值比较，得到的是最值。

9.2.5 微分

1.微分

①定义

设函数 xfy 在 x 的邻域内有定义， xx 0 在区间内。如果数的增量

00 xfxxfy 可表示为 xoxAy （其中 A是不依赖于 x 的常数），而

xo 是比 x 高阶的无穷小量，那么称函数 xf 在点 0x 是可微的，且 xA 称作函数在点

0x 相应于自变量增量 x 的微分，记做 dy，即 xAdy 。

0 0| ( )x xdy df x 微分记法：

( )= ( )dy df x y dx f x dx 微分与导数关系：

②求法

设 x 为自变量， y为因变量

（1）先求出导数 'y ，用 'dy y dx 写出微分。

（2）利用一阶微分形式不变性，两端同时求微分，解出dy。

2.微分公式

求导公式微分公式



'

'

' 2

' 2

(sin ) cos

(cos ) sin

(tan ) sec

(cot ) csc

x x

x x

x x

x x

2

2

(sin ) cos

(cos ) sin

(tan ) sec

(cot ) csc

d x xdx

d x xdx

d x xdx

d x xdx

3.微分的运算法则

① dxxfdy

② dvduvud

③ udvvduuvd

④ 2v

udvvdu

v

ud

9.3 积分

9.3.1 不定积分

1.概念

定义 1 如果对任一 Ix ，都有 )()( xfxF 或 dxxfxdF )()( ，则称 )(xF 为 )(xf

在区间 I 上的原函数。

定义 2 如果 )(xF 为 )(xf 的一个原函数，则 CxFdxxf )()( ，（C为任意常数）。

2.性质与基本公式

①性质

性质 1． dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

性质 2． dxxfkdxxkf )()( （ k 为常数， 0k ）

②基本积分公式

(1) kdx kx C ( k 为常数)



1

(2)1

xx dx C

( 1 )

(3) ln | |dx

x Cx

(4) sin cos cos sinxdx x C xdx x C (5) x xe dx e C

3.积分方法

①第一类换元积分法（凑微分法）

设 ( )f 是的连续函数， ( )x 及其导数 '( )x 是 x 的连续函数，又

( ) ( )f d F C ，则 ( ( )) '( ) ( ( ))f x x dx F x C 。

利用第一换元积分法（也称凑微分法）求不定积分，其关键是被积函数 ( )g x 可以看作为两

个因子 ( ( ))f x 与 '( )x 的乘积，即 ( ) ( ( )) '( )g x f x x ，且一个因子是 ( )x 的函数，另

一个因子是 ( )x 的导数。

【凑微分法常见类型及换元关系】

（1）1

( ) ( ) ( ), 0,f ax b dx f ax b d ax b a ax ba

（2） 1 1( ) ( ) ( ), 0,b b b b bf ax x dx f ax d ax ab ax

ab

（3） ( ) ( ) ( ),x x x x xf e e dx f e d e e

（4）1

(ln ) (ln ) (ln ), lnf x dx f x d x xx

（5） (sin )cos (sin ) (sin ), sinf x xdx f x d x x （6） ( s ) sin (cos ) (cos ), cosf co x xdx f x d x x



（7）2

1(arctan ) (arctan ) (arctan ), arctan

1f x dx f x d x x

x

（8） 2(tan )sec (tan ) (tan ), tanf x xdx f x d x x （9） 2( t ) c ( t ) ( t ), tf co x cs xdx f co x d co x co x

（10）2

1(arcsin ) (arcsin ) (arcsin ), arcsin

1f x dx f x d x x

x

②分部积分法

dv v vd 或 ' 'v dx v v dx 。

用分部积分法公式求 ( )f x dx 的关键在于恰当地选择与 dv。先把 ( )f x 看成两个因

子之积，即 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x ，再把其中一个因子 dx与 dv合成（求其积分得 v），另一

个因子为。

注意：至于与 dv的选择一般有如下原则：

（1） 'v 容易积分；

（2） 'vdx 比 'v dx 易于计算。

当被积函数为不同类的两个函数之积时，通常要考虑分部积分法。特别地，若被积函数

中含有 , , sin , cosx xa e x x型的函数因子，一般将该因子与 dx合成 dv ，余者为；而当被

积函数中含有 ln ,arcsin , arccos , arctan , cotx x x x arc x型的函数因子，一般将该因子取作

，余者与 dx合成 dv。

9.3.2 定积分

1.概念

①定义



设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有定义，任取分点 bxxxxxa nn 1210

把区间 ],[ ba 任意分割成 n 个小区间 ],[ 1 ii xx ，在每个小区间 ],[ 1 ii xx 上任取一点

),,2,1( nii 作和式 i

n

ii xf

)(1

，当 0 时，若极限 i

n

ii xf

)(lim1

0

存在（这个极

限值与区间 ],[ ba 的分法及点 i 的取法无关），则称函数 )(xf 在 ],[ ba 上可积，并称这个极限

为函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的定积分，记作 b

adxxf )( ，即

b

adxxf )( i

n

ii xf

)(lim1

0

。

其中，“ )(xf ”称为被积函数，“ dxxf )( ”称为被积表达式， x 称为积分变量， a称为积

分下限，b称为积分上限， ],[ ba 称为积分区间。

②几何意义

设 )(xf 是 ba, 上的连续函数，由曲线 )(xfy 及直线 0,, ybxax 所围成的

曲边梯形的面积记为 A .定积分有如下几何意义：

（1）当 0)( xf 时， Adxxfb

a )(

（2）当 0)( xf 时， Adxxfb

a )(

（3）如果 )(xf 在 ba, 上有时取正值，有时取负值时，那么以 ba, 为底边，以曲线

)(xfy 为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于 x轴的上方或下方.这时

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图所示，有

321)( AAAdxxfb

a ，

其中 321 ,, AAA 分别是图中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数。



2.性质

①积分的运算性质

由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，

其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的。

b

a

b

adxxfkdxxkf )()(

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()( .

b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( .

b

aabccdx )( （c 为常数)

②性质 2（积分的保序性）：如果在区间 ],[ ba 上,恒有 )()( xgxf ，则有

b

a

b

adxxgdxxf )()( 。

③性质 3（积分估值定理）：如果函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有最大值M 和最小值m，则

)()()( abMdxxfabmb

a 。

④性质 4（积分中值定理）：如果函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续,则在 ),( ba 内至少有一点，

使得 b

aabfdxxf ))(()( ， ),( ba 。

⑤性质 5（对称区间上奇偶函数的积分性质）：设 )(xf 在对称区间 ],[ aa 上连续，则有

如果 )(xf 为奇函数，则 a

adxxf 0)( ；

如果 )(xf 为偶函数，则

a

a

adxxfdxxf

0)(2)( 。



3.牛顿—莱布尼兹公式

如果函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续，且 )(xF 是 )(xf 的任意一个原函数，那么

b

aaFbFdxxf )()()( .

)()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式。

4.定积分的求法

①换元积分法

设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且满足下列条件：

（1） )(tx ，且 )(a ， )(b ；

（2） )(t 在区间 ],[ 上单调且有连续的导数 )(t ；

（3）当 t从变到时， )(t 从a单调地变到b .则有 b

adtttfdxxf

)()]([)(

②分部积分法

设函数 )(xuu 和 )(xvv 在区间 ],[ ba 上有连续的导数，则有

)()()]()([)()( xduxvxvxuxdvxub

a

b

a

ba .

上述公式称为定积分的分部积分公式。

5.定积分的应用

①求平面图形的面积

计算由区间 ,a b 上的两条连续曲线 y f x 与 y g x ，以及两条直线 x a 与

x b 所围成的平面图形的面积。

由微元法，取 x 为积分变量，其变化范围为区间 ,a b ，在区间 ,a b 的任意一个小区间

,x x dx 上，相应的面积可以用 x点处的函数值 f x g x 为高，以 dx为底的矩形



面积近似代替，从而得到面积元素 dA f x g x dx ，所以，所求平面图形的面积 A

为 dxxgxfAb

a )()( 。

9.4 线性代数

9.4.1 行列式

1.定义

n

n

n

jjjnjjj

jjj

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

2121

)(

21

22221

11211

)1( ，这里

njjj 21

表示对所有 n 级

排列求和。

2.性质

①性质 1：行（列）互换，行列式不变。即

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

21

22221

11211

性质 1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样

成立。例如下三角形的行列式

nn

nnnn

aaa

aaa

aa

a

2211

21

2221

11

0

00

②性质 2：行列式D 它的转置行列式D。

③性质 3：



nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

k

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

21

21

11211

这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行

列式。令 0k ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零。

结论：某一行全为 0的行列式

11 1n

n1 n2 nn

0 0( ) 0i

个

④性质 4：行列式中若某行（列）是两组数的和，则该行列式可分解成两个行列式的和，

除了相应那行（列）分别各是一个加数外，其余以数行（列）和原行列式一样。

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

nn

n

aaa

ccc

aaa

aaa

bbb

aaa

aaa

cbcbcb

aaa

21

21

11211

21

21

11211

21

2211

11211

这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两

个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

⑤性质 5：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对

应元素都相等。

⑥性质 6：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

⑦性质 7：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

⑧性质 8：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

3.行列式按行（列）展开

①余子式： n阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i行和第 j列划去后，留下来的 1n 阶行



列式称为元素 ija 的余子式，记作 ijM 。

②代数余子式： ijji

ij MA 1 称为元素 ija 的代数余子式。

③行列式的计算：

⑴ niAaAaAaD ininiiii ,,2,12211 。

⑵若 n阶行列式中，除元素 ija 外其余全为零，则 ijijAaD 。

9.4.2 矩阵

1.矩阵的概念

由 nm 个数 njmiaij ,,2,1;,,2,1 排成的m行n列数表

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

称为m行 n列的矩阵，简称 nm 矩阵，记为：

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

或

mnmm

n

n

mnnm

aaa

aaa

aaa

AA

21

22221

11211

，

其中 njmiaij ,,2,1;,,2,1 称为矩阵的元素。

①方阵：行数和列数都为 n的矩阵 A称为 n阶方阵，可简记为 nA 。

②行矩阵（行向量）：行数为 1的矩阵 naaaA 21 。

③列矩阵（列向量）：列数为 1的矩阵

na

a

a

A2

1

。



④ 对角矩阵（对角阵）：形如

n

A

00

00

00

2

1

的方阵，简记为

ndiagA ,,, 21 。

注意： i 不全为 0。

⑤零矩阵：元素全为 0的矩阵，简记为 nm0 或0 。

注意：不同阶数的零矩阵是不相等的。

⑥单位矩阵（单位阵）：形如

100

010

001

nEE 的方阵。

⑦同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数相等，称为同型矩阵。

⑧矩阵相等：对应元素都相等的同型矩阵称为矩阵相等。

2.矩阵的运算

①矩阵的加法：矩阵 nmijaA

和

nmijbB

，则矩阵 A与B的和记作 BA ，且

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

BA

2211

2222222121

1112121111

②矩阵的数乘：常数与矩阵 A的乘积记作 A 或 A ，且

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

AA

21

22221

11211

。

③矩阵的乘法：设矩阵 smijaA

与

nsijbB

的乘积是 nmijcC

，记作 ABC ，其

中

s

kkjiksjisjijiij njmibabababac

12211 ,2,1;,2,1 。

④矩阵的转置：将矩阵 nmijaA

中行与列的元素互换，得到 A的转置矩阵



mnji

T aAA

。

⑤矩阵的秩

k阶子式：矩阵 A的任意 k行和 k列交叉点上的元素构成 k阶子矩阵，此子矩阵的行列

式即为 k阶子式。

若矩阵 A有一个非零 r阶子式，且所有 1r 阶子式全为零，则矩阵 A的秩为 r，记为

rAR 。

求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即

为给定矩阵的秩。

⑥逆矩阵

对于n阶矩阵 A，若有一个n阶矩阵B使得 EBAAB （ n阶单位矩阵），则称 A可

逆，B为 A的逆矩阵，记为 BA 1。

3.矩阵的初等变换

①初等变换：（i）换行或换列；（ii）倍行或倍列；（iii）倍行加或倍列加。

②初等矩阵：n阶单位阵E经过一次初等变换所得矩阵称为 n阶初等矩阵。根据初等变换

的三种类型，对应初等矩阵分三种：

⑴互换 E的 i与 j两行（列）所得的矩阵；

⑵用非零常数 k乘E的第 i行（列）所得的矩阵；

⑶把E的第 i行（列）的 k倍加到第 j行（列）所得的矩阵。

定理：对 nm 矩阵 A施行一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的 nm 阶初等矩

阵左（右）乘 A。

9.4.3 线性方程组

1.克莱姆法则

含有 n个未知数 nxxx ,,, 21 的线性方程组



)1(

,

,

,

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

。

若线性方程组(1)的系数行列式 0D ，

则线性方程组(1)有唯一解，其解为j

j

Dx

D 1,2, ,j n ，

其中 ),,2,1( njD j 是把 D中第 j列元素 njjj aaa ,,, 21 对应地换成常数项 ,,,, 21 nbbb 而其

余各列保持不变所得到的行列式。

2.极大线性无关组

①线性向量空间

（1）n维向量：由数域P中 n个数组成的有序数组 naaa ,,, 21 称为数域P上一个n维

向量，其中 ia 称为向量 naaa ,,, 21 的分量。

（2）向量的加法：数域 P上 n维向量 naaa ,,, 21 与 nbbb ,,, 21 的和记为

，其中 nn bababa ,,, 2211 。

（ⅰ）交换律：；

（ⅱ）结合律：。

（3）向量的数乘：设 k为数域P中的数，n维向量 naaa ,,, 21 与 k的乘积记为 k ，

其中 nkakakak ,,, 21 。

（4）向量空间：以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，考虑到定义在它们上面的

加法和数乘，称为数域P上的 n维向量空间。



②向量组的线性关系

（1）线性组合

对于给定的向量组 ,21 s，，，，如果存在一组数 skk ,,1 使得：

sskkk 2211 ，

则称向量 s21 ，，，是向量组的一个线性组合，或称可以由向量组：

,21 s ，，，线性表示。

零向量是任何一向量组的线性组合。

（2）线性相关、线性无关的定义

设 ,21 s ，，，是一组 n维向量（当然是同型）

（ⅰ）如果存在一组不全为 0的数 skk ,,1 使得： 02211 sskkk ,则称向量

组 ,21 s ，，，线性相关。

任何一个包含零向量的向量组必线性相关。

（ⅱ）如果不存在不全为 0 的数 skk ,,1 ，使得： 02211 sskkk ，则称向

量组 ,21 s ，，，线性无关。

一向量组 ,21 s ，，，线性无关，如果 02211 sskkk ，则必有

021 skkk 。

③极大无关组

向量组Ⅰ： s ，，， 21 的一个部分组riii ,,,

21 本身是线性无关的，其次再任意

添进去一个都线性相关，则称riii ,,,

21 是向量组Ⅰ： s ，，， 21 的一个极大线性

无关组。

④向量组的秩

向量组 s ，，， 21 的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组的秩。



4.线性方程组的解

设 n元线性方程组为 bAx ，系数矩阵 A的秩为 AR ，其增广矩阵的秩为 bAR , ，则

①若 bARAR , ，则该线性方程组无解；

②若 nbARAR , ，则该线性方程组唯一解；

③若 nbARAR , ，则该线性方程组有无穷多解。



第十章奥数

10.1 计算题

1.有余除法

解这类题目的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数

与除数、商和余数的关系求出被除数。

在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数=商×除数＋余数。

2.“同余问题”

两个整数 ,如果它们除以同一自然数所得的余数相同，则称对于模同余。

记作：。读作：同余于模。

同余的主要性质：

①对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余；

②对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余；

③对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除；

④对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

3.尾数规律

自然数末位的数字称为自然数的尾数；自然数在进行运算时，其结果的尾数有一定的规

律可循。

（1）几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数；

（2）两个相邻自然数的乘积的尾数只能是 0、2、6之一；

（3）一个自然数的平方的尾数只能是 0、1、4、5、6、9这六个数之一。

4.周期问题

日常生活中，有一些按照一定规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年四个季节，

一个星期七天等，类似的问题称为简单周期问题。这类问题一般利用余数的知识来解答。

在研究这些问题时，首先要仔细审题，判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，

然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确结果。

5.简单推理

做推理时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，

然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明推理正确，否则再换个结论来验

证。



10.2 应用题

10.2.1 基本应用题

1.和倍问题

解决这类问题的关键是要先找出两数的和以及对应的倍数和，进而先求出 1 倍数，再求

出几倍数。

公式：两数和除以（倍数+1）=小数（1倍数）

小数乘以倍数=大数（几倍数）

两数和-小数=大数

2.差倍问题

该类问题的关键是找出两数的差以及与其对应的倍数，从而先求出 1倍数，再求出几倍

数。

公式：两数差除以（倍数-1）=小数（1倍数）

小数乘以倍数=大数（几倍数）

注：有些问题数量关系比较隐蔽，并没有直接的公式，此时可借助线段图，梳理数量关

系

3.和差问题

解决这类问题的方法一是假设法：假设小数增加到与大叔一样多，先求大数，再求小数

或者假设大数减少到与小数一样多，先求小数，再求大数。方法二则是利用线段图进行求解。

公式：（和+差）除以 2=大数

（和-差）除以 2=小数

10.2.2 行程问题

行程问题是专门讲物体运动速度、时间和路程三者关系的应用题。主要数量关系是：路

程＝速度×时间。

1.追击与相遇问题

相向而行：相遇时间＝距离÷速度和

相背而行：相背距离＝速度和×时间

“追击问题”：一般指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同后者追上前者的问题。

此类问题的基本数量关系是：速度差×追击时间＝追击路程



2.火车过桥问题

火车过桥（或隧道）所用的时间＝（桥或隧道长+火车身长）÷火车速度；

两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间＝两火车车身长度和÷两车速度和；

两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间＝两火车车身长度和÷两车速度差。

3.流水行船问题

解答这类题的要素包含下列几点：水速、流速、划速、距离。

解答时的思路与和差问题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流

速相当于和数，逆流速相当于差数。

划速＝（顺流船速＋逆流船速）÷2；

水速＝（顺流船速－逆流船速）÷2；

顺流船速＝划速＋水速；

逆流船速＝划速－水速；

顺流船速＝逆流划速＋水速×2；

逆流船速＝顺流划速－水速×2。

4.“环形问题”：

在行程问题中，与环形有关的行程问题需要注意如下两点：

①两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；

②同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。

10.2.3 分数问题

1.经济问题

售价=进价+利润=进价×（1+利润率）

利润=售价-进价

利润率=（售价-进价）/进价×100%

2．浓度问题

浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示：

3.工程问题

涉及到完成一项工程的时候，可以将总任务设为“1”；遇到复杂的应用题时，可从题目

中找出不变的量，把不变的量看做单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单

位“1”的几分之几，再列示解答。



工程总量=工程效率×工程时间

10.2.4 植树问题

1.在线段上的植树问题可以分为以下四种情形：

①两端都要植树，棵数=间隔数+1。

② 只有一端要植树，棵数=间隔数。

③ 两端都不植树，棵数=间隔数－1。

④ 路线的两边要植树，那么植树的棵数应乘以 2。

2.封闭线路上植树：

棵数=间隔数。

10.2.5 爬楼问题

从地面爬到第N楼：要爬N-1 层，中间可以休息N-2 次

从第M楼爬到第N楼：要爬N-M层，中间可以休息N-M-1 次

10.2.6 容斥问题

解答用“包含与排除原理”，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应

从它们的和中排除重复部分。

（1）两个集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B—A∩B

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

解题策略：从条件入手认真分析，可画出图示，借助图形思考，找出哪些是重复的，



重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答办法。

10.2.7 钟表问题

夹角来表示：重合时距离为 0度，成一直线时距离为 180 度，成直角时距离为 90度。

各自的速度也用角度来表示：

时针每十二个小时绕钟面转一圈, 每分钟走 360÷12÷60=0.5 度

分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走 360÷60=6 度

速度差为 6-0.5= 5.5 度/分钟，速度和为 6+5.5= 6.5 度/分钟

10.2.8 年龄问题

“年龄问题”是“和差问题”及“差倍问题”的综合。

已知两个人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。

我们得出年龄问题的三大规律：

1、两人的年龄差是不变的；

2、两人年龄的倍数关系是变化的量；

3、随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量。

10.2.9 牛吃草问题

当牛在吃草的时候，草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均

匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的的草是不变的，新长

出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所用每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有

的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。

10.2.10 抽屉原理

把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中有两个苹果，这个事实的正确

性是非常明显的。进一步推广，就是数学里常用的“抽屉原理”。

1.基本抽屉原理：

（1）如果把个元素放到个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以

上的元素；

（2）如果把个元素放到个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有



个或更多的元素。当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成

下面的等式：

元素总数＝商×抽屉数＋余数

如果余数不是0，则最小数＝商＋1,；如果余数正好是0，则最小数＝商。

2.解题策略

一定注意题目中哪些是“抽屉”，哪些是“元素”。

按照如下步骤解答：

①构造抽屉，指出元素；

②把元素放入（或取出）抽屉；

③说明理由，得出结论。



第十一章小学数学教材教法

第一节义务教育数学课程标准

第一部分前言

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现

代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对

于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而

且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是 20 世纪中叶以来，数学与计算

机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作

为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需

要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。

一、课程性质

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。

数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养

学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数

学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。

二、课程基本理念

1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性

发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数

学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生

的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与

结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与

间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。



3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学

与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性

思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自

主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实

验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式

和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、

主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基

本的数学活动经验。

4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和

改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也

要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来

的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。

5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。

数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内

容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提

供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进

教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

三、课程设计思路

义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知

规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，

体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生

体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。

按以上思路具体设计如下。

（一）学段划分

为了体现义务教育数学课程的整体性，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展



的生理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1～3 年级）、第二学段

（4～6年级）、第三学段（7～9 年级）。

（二）课程目标

义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、

情感态度等四个方面加以阐述。

数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等

术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述（术语解释见附录 1）。

（三）课程内容

在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”

“综合与实践”。“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解

决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生

解决现实问题的能力。

“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；

字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。

“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；

图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的

位置和运动。

“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、

绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提

取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，

学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合

与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分

析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课

程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于

学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。



符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号

可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是

数学表达和进行数学思考的重要形式。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物

体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画

出图形等。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得

简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数

学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过

分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要

根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收

集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于

学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们

学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有

的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实

（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照

逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演

绎推理用于证明结论。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的

过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数

等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习

有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界

中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形

有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过



程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自

己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和

规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数

学教育的始终。

第二部分课程目标

一、总目标

通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、

基本活动经验。

2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思

维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习

惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。

总目标从以下四个方面具体阐述：

知

识

技

能

●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。

●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知

识和基本技能。

●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与

概率的基础知识和基本技能。

●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经

验。

数

学

思

考

●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象

思维。

●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能



力，清晰地表达自己的想法。

●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

问

题

解

决

●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，

增强应用意识，提高实践能力。

●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

●学会与他人合作交流。

●初步形成评价与反思的意识。

情

感

态

度

●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

●体会数学的特点，了解数学的价值。

●养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整

体。在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，

是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学

思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他

三个目标的实现。

第三部分实施建议

一、教学建议

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。

数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得

直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、

思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学

生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的

能力。

在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为, 处理好教师讲授与学生

自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引



导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材，积极

开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地

实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；合理地运用现代信息技术，有条件的地

区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。

1. 数学教学活动要注重课程目标的整体实现

为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而

且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目

标。

课程目标的整体实现需要日积月累。在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中

可能蕴涵的、与上述四个方面目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的

整体目标。因此，无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学

生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本

思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、

合作交流、反思质疑等良好的学习习惯。

例如，关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑：教学目标不仅要包括了解零指数

幂的“规定”、会进行简单计算，还要包括感受这个“规定”的合理性，并在这个过程中学

会数学思考、感悟理性精神（参见例 81）。

2. 重视学生在学习活动中的主体地位

有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生

的全面发展。

（1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。

学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过

自主探索等方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能

的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度

方面得到发展。

（2）教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环

境和条件。

教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实



质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，

教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活

泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。

教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲

授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理

解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手

段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。

教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活

动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。

（3）处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。

好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位

的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，

是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。

实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。教师富有启发性的

讲授；创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察现象、

提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学

习。

3. 注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握

“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态

度”目标的载体。

（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。

学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩

固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、

与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，

抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学

生理清相关知识之间的区别和联系等。

数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整

体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感



受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理

解。

（2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理

解程序和步骤的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知

道相应的算理；对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的

理由。

基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训

练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。

4. 感悟数学思想，积累数学活动经验

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上

的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，

通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

例如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分

类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨

论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什

么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区

别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种

重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数

学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在

“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。

教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发

展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。例如，在统计教学中，设计有效的统计活动，

使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并

利用这些信息说明问题。学生在这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想

与方法。

“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的“综合与实践”问题的

过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成



数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，

让别人体会自己成果的价值。通过这样的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经

验。

5. 关注学生情感态度的发展

根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机

地融合在数学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：

如何引导学生积极参与教学过程？

如何组织学生探索，鼓励学生创新？

如何引导学生感受数学的价值？

如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？

如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？

如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆

质疑？

如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？

如何帮助学生锻炼克服困难的意志？

如何培养学生良好的学习习惯？

在教育教学活动中，教师要尊重学生，以强烈的责任心，严谨的治学态度，健全的人格

感染和影响学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值；要在教学实

践中善于用本标准的理念分析各种现象，恰当地进行养成教育。

6. 合理把握“综合与实践”的实施

“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学

习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全

程参与、实践过程相对完整的学习活动。

积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个

数学课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。“综合与实践”的教学，

重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生

积极动脑、动手、动口。重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、

数学内部知识的联系和综合应用。



教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：问题的选择，问题的展开过程，学

生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。

要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题

既可来自教材，也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生

特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题。

实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学

生之间的合作交流，并照顾到所有的学生。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于

求成，要鼓励引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验、展现思考过程、交

流收获体会、激发创造潜能。

在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提

高教师自身和学生素质的互动过程。

教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标，合理设计并组织实

施“综合与实践”活动。

7. 教学中应当注意的几个关系

（1）“预设”与“生成”的关系

教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和

再创造。理解和钻研教材，应以本标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价

值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材

和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。

实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动

往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，

使教学活动收到更好的效果。

（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系

教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促

进每个学生在原有基础上的发展。

对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活

动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心

地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣



和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，

指导他们阅读，发展他们的数学才能。

在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中

所表现出的不同水平；问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有

学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策

略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。

（3）合情推理与演绎推理的关系

推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。

义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学

生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合

情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学

生的年龄特征提出不同程度的要求。

在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与

演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对

证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，

清晰而有条理（参见例 63）。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和

方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。

（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系

积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内

容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。有条件的地区，教学中要尽可能

地使用计算器、计算机以及有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要积极创造条件改

善教学设施，另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学设施的不足。

在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，鼓励学生用计算器完成较为繁

杂的计算。课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据内容标准的要求，允许学生使用计

算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动（参见例 28，例 51）。

现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手

段难以达到甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形的运动变化过程；



从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地

理解随机事件以及随机事件发生的概率；等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重

课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好

地把握教学内容的脉络。

二、评价建议

评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。

评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、

数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。

评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多

样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心

和自信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教

师进行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程。

1. 基础知识和基本技能的评价

对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础

知识和基本技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。在对学

生学习基础知识和基本技能的结果进行评价时，应该准确地把握“了解、理解、掌握、应用”

不同层次的要求。在对学生学习过程进行评价时，应依据“经历、体验、探索”不同层次的

要求，采取灵活多样的方法，定性与定量相结合、以定性评价为主。

每一学段的目标是该学段结束时学生应达到的要求，教师需要根据学习的进度和学生的

实际情况确定具体的要求。例如，下表是对第一学段有关计算技能的基本要求，这些要求是

在学段结束时应达到的，评价时应注意把握尺度，对计算速度不作过高要求。

表 1 第一学段计算技能评价要求

学习内容速度要求

20 以内加减法和表内乘除法口算 8～10 题/分

百以内加减法口算 3～4 题/分

三位数以内的加减法笔算 2～3 题/分

两位数乘两位数笔算 1～2 题/分



一位数除两位或三位数的除法笔算 1～2 题/分

教师应允许学生经过较长时间的努力，随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。

在实施评价时，可以对部分学生采取“延迟评价”的方式，提供再次评价的机会，使他们看

到自己的进步，树立学好数学的信心。

2. 数学思考和问题解决的评价

数学思考和问题解决的评价要依据总目标和学段目标的要求，体现在整个数学学习过程

中。

对数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法，特别要重视在平时教学和具体

的问题情境中进行评价。例如，在第二学段，教师可以设计下面的活动，评价学生数学思考

和问题解决的能力：

用长为 50 厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？

在对学生进行评价时，教师可以关注以下几个不同的层次：

第一，学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；

第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；

第三，在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测

问题的结果；

第四，对猜测的结果给予验证；

第五，鼓励学生发现和提出一般性问题，如，猜想当长和宽的变化不限于整厘米数时，

面积何时最大。

为此，教师可以根据实际情况，设计有层次的问题评价学生的不同水平。例如，设计下

面的问题：

（1）找出三个满足条件的长方形，记录下长方形的长、宽和面积，并依据长或宽的长短

有序地排列出来。

（2）观察排列的结果，探索长方形的长和宽发生变化时，面积相应的变化规律。猜测当

长和宽各为多少厘米时，长方形的面积最大。

（3）列举满足条件的长和宽的所有可能结果，验证猜测。

（4）猜想：如果不限制长方形的长和宽为整厘米数，怎样才能使它的面积最大？

教师可以预设目标：对于第二学段的学生，能够完成第（1）（2）题就达到基本要求，对于



能完成第（3）（4）题的学生，则给予进一步的肯定。

学生解决问题的策略可能与教师的预设有所不同，教师应给予恰当的评价。

3. 情感态度的评价

情感态度的评价应依据课程目标的要求，采用适当的方法进行。主要方式有课堂观察、

活动记录、课后访谈等。

情感态度评价主要在平时教学过程中进行，注重考查和记录学生在不同阶段情感态度的

状况和发生的变化。例如，可以设计下面的评价表，记录、整理和分析学生参与数学活动的

情况。这样的评价表每个学期至少记录 1次，教师可以根据实际需要自行设计或调整评价的

具体内容。

表 2 参与数学活动情况的评价表

学生姓名：时间：活动内容：

评价内容主要表现

参与活动

思考问题

与他人合作

表达与交流

教师可以根据实际情况设计类似的评价表，也可以根据需要设计学生情感态度的综合评

价表。

4. 注重对学生数学学习过程的评价

学生在数学学习过程中，知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现不是

孤立的，这些方面的发展综合体现在数学学习过程之中。在评价学生每一个方面表现的同时，

要注重对学生学习过程的整体评价，分析学生在不同阶段的发展变化。评价时应注意记录、

保留和分析学生在不同时期的学习表现和学业成就。

例如，可以设计下面的课堂观察表用于记录学生在课堂中的表现，积累起来，以便综合了解

学生的学习表现以及变化情况。观察表中的项目可以根据实际需要自行调整，随时记录学生

在课堂教学中的表现。教师可以有计划地每天记录几位同学的表现，保证每学期每位同学有

3～5 次的记录；也可以根据实际情况记录某些同学的特殊表现，如提出或回答问题具有独

特性的同学、在某方面表现突出的同学、或在某方面需要改进的同学。经过一段时间的积累，



对于学生平时数学学习的表现，就会有一个较为清晰具体的了解。

5. 体现评价主体的多元化和评价方式的多样化

评价主体的多元化是指教师、家长、同学及学生本人都可以作为评价者，可以综合运用

教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，对学生的学习情况和教师的教

学情况进行全面的考查。例如，每一个学习单元结束时，教师可以要求学生自我设计一个“学

习小结”，用合适的形式（表、图、卡片、电子文本等）归纳学到的知识和方法，学习中的

收获，遇到的问题，等等。教师可以通过学习小结对学生的学习情况进行评价，也可以组织

学生将自己的学习小结在班级展示交流，通过这种形式总结自己的进步，反思自己的不足以

及需要改进的地方，汲取他人值得借鉴的经验。条件允许时，可以请家长参与评价。

评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放式问题、

活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等（参见例 83）。在条件允许的

地方，也可以采用网上交流的方式进行评价。每种评价方式都具有各自的特点，教师应结合

学习内容及学生学习的特点，选择适当的评价方式。例如，可以通过课堂观察了解学生学习

的过程与学习态度，从作业中了解学生基础知识与基本技能掌握的情况，从探究活动中了解

学生独立思考的习惯和合作交流的意识，从成长记录中了解学生的发展变化。

6. 恰当地呈现和利用评价结果

评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描述性评价为

主，第二学段采用描述性评价和等级评价相结合的方式，第三学段可以采用描述性评价和等

级（或百分制）评价相结合的方式。

评价结果的呈现和利用应有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，

使学生养成良好的学习习惯，促进学生的发展。评价结果的呈现，应该更多地关注学生的进

步，关注学生已经掌握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪些

方面还存在不足，等等。

例如，下面是对某同学第二学段关于“统计与概率”学习的书面评语：

王小明同学，本学期我们学习了收集、整理和表达数据。你通过自己的努力，能收集、

记录数据，知道如何求平均数，了解统计图的特点，制作的统计图很出色，在这方面表现突

出。但你在使用语言解释统计结果方面还存在一定差距。继续努力，小明！评定等级：B。

这个以定性为主的评语，实际上也是教师与学生的一次情感交流。学生阅读这一评语，



能够获得成功的体验，树立学好数学的自信心，也知道自己的不足和努力方向。

教师要注意分析全班学生评价结果随时间的变化，从而了解自己教学的成绩和问题，分

析、反思教学过程中影响学生能力发展和素质提高的原因，寻求改善教学的对策。同时，以

适当的方式，将学生一些积极的变化及时反馈给学生。

7. 合理设计与实施书面测验

书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于

全面考查学生的数学学业成就，及时反馈教学成效，不断提高教学质量。

（1）对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握内容标准中的要求。

例如，对于一元二次方程根与系数关系的考查，内容标准中的要求是“了解”，并不要求应

用这个关系解决其他问题，设计测试题目时应符合这个要求。

内容标准中的选学内容，不得列入考查（考试）范围。

对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，考查学生

能否在具体情境中合理应用。因此，在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧，不出偏题怪题。

（2）在设计试题时，应该关注并且体现本标准的设计思路中提出的几个核心词：数感、

符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应

用意识和创新意识。

（3）根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，

为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能

力，可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；

为了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题。

（4）在书面测验中，积极探索可以考察学生学习过程的试题，了解学生的学习过程。

第二节数学教学论知识

一、数学思想方法

1.数形结合思想

数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思



维策略。

2.转化思想

把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简

单问题”。

3.分类思想

分类思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转

化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。

4.集合与对应的思想

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，比如直线上的点（数轴）与表

示具体的数是一一对应的。

5.特殊到一般思想

从特殊性的结果推出一般性结论的思想。

6.极限思想

从有限中理解无限的思想，例如：圆的面积。

7.函数与方程思想

函数的思想，就是分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，

使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的

动态研究，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量.这就是

方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

8.整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，善于用“集成”的眼光把某些

式子或图形看成一个整体，把握他们之间的联系。在代数式的化简与求值，解方程等有广泛

的应用。

9.必然与或然思想

也称为统计与概率思想，研究数学问题时，是在“偶然”中寻找“必然”，在使用“必

然”的规律去研究“偶然”的问题，比如概率问题。

10.符号化思想

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学问题，这就是



符号化思想。比如方程，定律，公式等。

11.数学模型思想

数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从特定的生活原型出发，运用观察，

实验，操作，比较分析等得到简化和假设，它是把生活中的实际问题转化为数学问题模型的

一种思想方法。

(1)各类应用题的解题规律，各类图形的周长与面积、体积的公式都是各种数学模型，

学生有了这种模型思想才能应用它解释生活中的现实问题。

(2)如“平行四边形面积的计算”通过剪一剪，拼一拼，想办法把平行四边形转化为已

学过的图形，然后利用已有知识来推导它的面积计算方法。

二、数学证明方法

1.综合法

从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后达到特征结论或需

求问题，“由因导果”。

2.分析法

从求证的结论出发，由果索因，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件。

3.归纳法

证明 n取第一个值时命题成立

假设 n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时成立，则原命题得证

第三节数学案例分析

一、案例分析概念

案例分析是教师招聘统考后数学学科专业知识新增的一种题型，是通过向考生提供一段

背景资料，然后提出问题，在问题中要求考生阅读分析给定的资料，依据教育教学知识和数

学新课程标准做出决策或者做出评价，或提出具体的解决问题的方法或意见等。

案例分析题属于综合性较强的题目类型，考察的是高层次的认知目标，不仅考察考生对教育

教学知识和数学新课程标准的了解程度，而且能考察考生理解、运用知识的能力，更重要的



是它能考察考生综合、分析、评价方面的能力。因此案例分析是区分度很高的一类题型。

二、案例分析基本结构

教学案例一般由背景、案例事件、案例分析与启示、案例问题几部分构成。可以从不同

的角度对它进行分类。按案例内容可分为：单一性的、综合性的、专题性的。按教育科学领

域可分为：教育方法、教育艺术、教育形式、教育内容、教育评价五类。按学科分：语文、

数学、英语、科学、艺术等学科案例。

三、案例分析基本要素

（1）背景：案例事件发生的环境和条件。案例需要向读者交代故事发生的有关情况,

例如时间、地点、人物、事情的起因等。背景介绍并不需要面面俱到，重要的是说明故事的

发生是否有什么特别的原因或条件。

（2）主题：案例主题是案例所要反映的核心理念和观点。案例必须要有主题。写案例

首先要考虑这个案例所要反映的主题是什么,如是说明如何转变后进生，还是强调怎样启发

学生思维,或者是介绍如何组织小组讨论等等。

（3）案例问题事件：是通过对原始材料进行筛选，通过情景与细节的描述，对案例问

题产生、解决过程中的环境、人物活动的描述，有针对性地向读者交代特定的内容，是案例

反映主题所包含的各种问题的事件。

（4）问题解决的效果：案例不仅要说明问题的产生、解决的过程，还要交待问题解决

的结果。如教学的思路、教学的过程的描述，还要交代教学的结果——某种教学措施的即时

效果，包括学生的反应和教师的感受等。让读者知道结果，将有助于加深其对整个教学过程

的了解。

（5）诠释与研究：案例事件多角度的分析与受到的启示。作者对于案例所反映的主题和

内容，包括教育教学的指导思想、过程、结果，以及利弊得失的看法和分析。诠释与研究是

在案例事件基础上的议论，可有感而发，它能进一步揭示事件的意义和价值。

（6）有待继续讨论的问题。在案例的最后，几个可供思考、分析、讨论的典型问题。

四、基本理论

（一）创设情境

《标准》在“教学建议”中指出：数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得



间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习

的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、

基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问

题的能力、分析问题和解决问题的能力。

1.目的和作用：

（1）激发学生学习兴趣，激发学生学习内在需要。把学生引入环境中去，让学生身临其

境，自然发生学习需求；

（2）引导学生体验学习过程。让学生在经历和体验中学习数学，而不是直接获得结论；

（3）帮助学生有效的解决问题。创设情境，沟通知识点之间的联系，沟通数学与生活之

间的联系，科学地思考问题，寻找解题途径；

（4）促进情感与态度的发展。避免只重知识技能，不重学生人文精神的培养。

2.原则：

数学情境要从教学的需要出发，创设与教学内容相适应，含有以相关数学知识和数学思

维价值取向的刺激性的数据材料或背景信息。学生熟悉的、简明的、有利于引向数学实质的、

真实或合理的情境是“好情境”。创设好的数学情境要遵循如下原则：

（1）针对性：创设的情境要对准新知识，目的性和针对性要强，有助于学生初步明确

学什么，怎么学。无论创设什么情境，首先都要考虑它是否符合本节课的教学目标及教学内

容要求，脱离了这个根本前提，再好的情境都是无济于事的。

（2）启发性：在创设问题情境时，一定要保证所创设的情境能激起学生的认知冲突，

启发学生积极思考。因而在创设情境时，要求其能引起学生认知结构上的“不平衡”，造成

学生心理上的悬念，从而唤起学生的求知欲望，激发起学习的兴趣，把学生带入一种与问题

有关的情境中去，使他们产生积极思考的欲望。

（3）层次性：人类认识事物是一个从简单到复杂，由易到难，循序渐进的过程。老师

在创设问题情境时，应尽可能设计有层次、也有梯度的问题。

（4）生活化：创设情境时，要把情境内容与学生的生活实际紧密联系起来，让学生体

验情境中的数学问题，增加学生的直接经验，这样不仅有利月学生理解生活中的数学问题，

而且有利于学生体验在生活中数学事无处在的，培养学生用数学的眼光观察生活的能力以及

初步解决实际问题的能力。



（5）趣味性和多样性：情境创设的内容和形式都是多样化的，一般中低端的教学情境

应与学生直接相关的、发生在他们身边的、可以直接接触到的“有趣、好玩、新奇”的事物

作为情境内容，而高段教学情境应与学生的直接经验相冲突的对象和“有挑战性”的任务为

情境内容；情境的表现形式也应该是多种多样的，可以是故事、图片，也可是操作、活动、

信息和问题等。

（二）学生观、教师观、教学观

新课程理念强调让学生在一定的情境中学习数学，并不是数学脱离了情境，就远离了

学生的生活，就不是新课程理念下的数学课。有专家建议：并不是每节课都一定从情境引入，

对于一些不好创设情境的教学内容，可以采取开门见山的方式，直接导入新课。

数学《标准》在课程基本理念中指出：“数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需

要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这也是数

学课程最核心的理念，这也就要求教师在上课过程中不仅要注重学生的主体地位和自主发展，

还需要正视学生的差异，尊重学生的个性。

数学《标准》在教学建议中提到：“要重视学生在学习活动中的主体地位。有效的数学

教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生的全面发展。

学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。学生获得知识，必须

建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式；学生应

用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与

教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。

教学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。

数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获

得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、

思考、探索、等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主

动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为,处理好教师讲授与学生自主

学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、

合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材，积极开发、

利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施有



差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要

尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。

（1）数学教学活动要注重课程目标的整体实现

（2）重视学生在学习活动中的主体地位

（3）注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握

（4）感悟数学思想，积累数学活动经验

（5）关注学生情感态度的发展

（6）合理把握“综合与实践”的实施

（7）教学中应当注意的几个关系

（三）教学评价

评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。

评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、

数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。

评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化

的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自

信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进

行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程。

（1）基础知识和基本技能的评价

（2）数学思考和问题解决的评价

（3）情感态度的评价

（4）注重对学生数学学习过程的评价

（5）体现评价主体的多元化和评价方式的多样化

（6）恰当地呈现和利用评价结果

（7）合理设计与实施书面测验

（四）课堂提问

1.课堂提问的功能

课堂提问是在教学过程中，教师根据一定的教学目标要求，针对教学内容、教学重难

点以及学生实际，设置一系列问题情境，要求学生思考回答，促进学生积极思维、提高教学



质量的一种教学手段。通常来说，好的课堂提问有如下功能：

（1）课堂提问是最有时效的反馈方式

数学课堂上恰当的提问，可以使教师了解学生对知识的理解和掌握，从而及时的调控

教学程序，采用正确的教学策略。同时，学生也可以通过回答问题，从老师那里获取评价自

己学习状况的反馈信息，可以在学习中不断审视自己，进而改进自己的学习态度、方法、习

惯等

（2）课堂提问可以提高学生听课的注意力

教学过程中，教师可以用一个个由浅入深、循序渐进的“问号”来吸引学生的注意力，

紧紧的把学生的思维抓住，激发学习兴趣，赋予学习动机，从而起到良好的教学效果

（3）课堂提问可以让学生发现不足

有些问题可以诱发学生思考，帮助学生克服盲目的自满情绪，

这些问题对提高学生学习效率、突破教学难点有用。此外，还可以拓宽学生的视野，诱

发学生的发散思维，增强学生的应变能力，培养学生思维的广阔性和深刻性

（4）课堂提问可以提高学生的语言表达能力和观察能力

（5）课堂提问有利于学生促进师生交流，形成良好的师生关系

实现师生互动、双向交流的方式很多，其中常用且有效的就是恰当的进行课堂提问。

通过提问，教师可以直接表达关心学生的思想情感，让学生体验学习的乐趣和发现的喜悦，

有利于师生之间的互相沟通和信息交流。通过提问，能够发现学生在作业、考试中的不足，

以便在教学中及时解决。

2.课堂提问运用原则

（1）目的性原则

课堂提问应有鲜明的针对性和明确的目的性，不能信手拈来、随意发挥，要围绕着教学

要求展开，为学生理解和运用知识服务。

（2）启发性原则

提问要在理解的关键处、知识的连接点和解决问题的支撑点上，才能启迪学生的思维，

疏通学生的思路，足以引起学生丰富的联想、猜想，以及知识和方法的正向迁移，从而引发

学生的创造性思维。

（3）可及性原则



所提问题应以学生已有知识、生活经验为基础，不能过易，也不过难，应尽量避免“不

启发”和启而不发“的问题

（4）适量性原则

一堂课的提问并不是越多越好，对一堂课的提问，我们不但要看其量，还要看其质，更

重要的是要适量。

（5）及时性原则

提问要把握稍纵即逝的时机，要问在学生接受知识、思考问题的”节骨眼“上。

（6）层次性原则

问题之间要有内在链子，有主有次，具体明确，使学生的思维、有明确目标，切忌把问

题提得大而笼统

（7）全体性原则

提问的方式要面向大多数，问题的难易程度应能分别适应不同层层次的学生，促进全体

学生都能参与到教学中来

（8）及时评价原则

教师对学生回答要及时作出恰当、中肯的评价。即教师要对学生回答得不正确的地方进

行重述，对未尽之处进行追问，对错误的地方给予更正，对回答正确或有创意的学生予以鼓

励和表扬

3.课堂提问使用的误区：

（1）不重视创设问题情境

问题缺少置疑和认知冲突的激发，就会太过于简单或僵化

（2）提问离题遥远，脱离学生思维”最近发展区“

学生的现有水平与学生经过思考可以达到的水平之间的区域，启而不发。设计的问题过

难、过偏或过于笼统，学生难以理解和接受。

（3）提问无目的性，随心所欲，淡化了正常教学。

备课时问题未精心设计，上课时随意发问，不分主次，面面俱到，信口开河的提问，会

使学生学习目的不明确，抓不抓重点，学习效率低，能力得不到提高、反馈性问题流于形式

（4）反馈问题流于形式

教师诊断效果失真，并没有表明学生是否真正理解，这样的提问无法有效的诊断学生的



知识缺陷而获得真正反馈信息，从而不利于教师调控教学过程。

（5）提问只求标准答案，排斥求异思维

提问时对学生新颖或者错误的回答额置之不理，或中途打算，只满足标准答案，这样不

利于学生求异思维的培养

（6）提问面向少数学生

教师设计的问题太难，只有少数学生能答上来，课堂就会有“被遗忘的角落”。

第四节教学设计

一、教学设计的基本内容

（一）课题：课题是本课时所讲的题目，一般要写在一页的首行中间，要醒目。

（二）课型：即说明属于新授课，还是练习课、复习课。

（三）课时安排：要根据教材的分量和学生的接受能力而定，各课时教学内容的分配要讲究

科学性，要注意重点难点的合理分布，要突出重点、分散难点。

（四）教学目标：也叫教学要求或教学目标，即说明本课时所要完成的教学任务，是一篇教

材教学的行动纲领，要写得具体、明确、恰当、适中。确定教学目的的依据，一是大纲要求，

二是教材特点，三是学生水平。只有三者兼顾，教学目的才能定位准确。教学目标主要包括

过程性目标和结果性目标，分为知识技能、过程方法、情感态度与价值观等多个方面。设计

教学目标，要从知识技能、过程方法、情感态度价值观等不同方面设计教学目标，考虑短

期目标、长期目标。

（五）教学重点

即说明本课所必须解决的关键性问题。是教材中为了达到教学目的而着重指导学生必

须熟练掌握的内容。

（六）教学难点

即本课学习时易产生困难和障碍的知识点。就是学生对教材中不易理解掌握的地方。重

难点的确定一定要站在学生的角度去考虑。

（七）教学资源

即说明辅助教学手段使用的工具。教具准备不仅要写在教案中，还要提前检查和试用



一下，确保课堂上的成功利用。

（八）教学方法

（九）教学过程

即教学的内容、方法和步骤。教学过程的安排没有固定的格式，但有一定的规律，要求

要安排得恰当合理、符合人们的认识规律和逻辑规律。

（十）板书设计

即上课时准备写在黑板上的内容。板书要求具有科学性、整体性、条理性。

二、教学目标

（一）教学目标的基本内容

1．知识与技能

了解、理解、掌握、灵活运用

①了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情景中

辨认或者举例说明对象。

同类词：知道，初步认识。

实例：知道三角形的内心和外心，能结合具体情境初步认识小数和分数。

②理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

同类词：认识，会。

实例：认识三角形，会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

③掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。

同类词：能。

实例：能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。

④运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

同类词：证明。

实例：证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

2．过程与方法(数学思考、解决问题)

通过......（探索、小组合作）过程，提高什么能力（创造力、抽象思维能力、小组协作

能力、运用数学知识解决实际问题的能力......）经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用

所学知识解决问题的过程



3．情感态度价值观

通过解决实际问题进一步提高的数感，能积极地克服数学活动中遇到的困难，有克服

困难和运用知识解决问题的成功体验。发展学生的空间观念，体验数学与日常生活密切相

关，认识到许多实际问题可以借助数学方法来解决，通过观察、操作、归纳、类比、推断

等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确

定性。

（二）教学目标补充说明

1.教学内容分析和学生分析是学习目标制定的依据和前提。因此，如果对教学内容分析

的要求越透彻，对学生分析的要求越科学和规范，学习目标的设计就越不是一件简单而迅

速的工作。

2.教学目标是为学生的“学”所设计，教师的“教”是为学生的教学目标的达成服务的。

教学目标是个性化的，又是尊重数学学科发展需要和学生未来学习需要的。

3.教学目标的制定应从以上几个方面进行思考，但具体形式不一定逐条对应。

三、如何确定重难点

（一）确定教学重难点的方法

怎样确定教学中的重点与难点呢？主要有以下几个种方法：地位作用分析法、课题

分析法、例习题推断法、理论分析法（学习心理学原理分析）、学情分析法（经验分析法）。

1.地位作用分析法

根据重点的含义，教材知识体系中具有重要地位作用的知识、技能与方法是教学的

重点。所以，可以从分析学习内容在教材知识体系中的地位和作用来确定是否为教学重点。

这些教学重点都是根据数学知识、思想和方法在数学学习研究中的重要作用而确定的。

2.课题分析法

很多情况下学习内容的标题（课题）就明确了将要学习的主要内容，由此可以根据学习

内容的标题（课题）来确定教学的重点。

3.例习题分析法

重点内容的学习要求学生要达到理解、掌握和灵活运用，因此，教材中一般都配比了一

定数量的例习题供学生练习、巩固并形成技能与能力。



4.理论分析法

这是指根据数学学习理论的分析确定教学重点。根据数学学习理论，数学学习的关键

在于对数学知识的真正理解。只有真正理解了数学知识意义，才能真正感悟和体会到数学

的精髓和实质，也才能体会到数学的博大精深和无穷魅力，才能真正发挥数学文化的育人作

用，也才能真正掌握数学知识本身和灵活运用其解决问题。所以，概念教学和公式定理法

则教学的第一节课都应把对概念涵义的理解，公式定理法则的推导过程、结构特征以及相

互联系作为教学重点。

5.学情分析法（经验分析法）

学情分析法又叫经验分析法，是指教师根据往届学生学习理解本节内容的困难程度或

者根据知识本身的难易程度再结合学生的理解水平来确定教学的重难点。

四、教学方法

（一）常用数学教学方法

1.谈话法：谈话法就是教师在课堂上运用师生对话的方式进行教学的一种方法。这种方法

的特点是：教师讲，学生也讲。

2.讲解法：讲解法是教师通过语言，系统地，而且有重点地传授知识的一种教学方法。是通

过叙述、描述事实、说明问题，解析概念和规律，论证原理的教学方法。这种方法的特点是：

教师讲，学生听。

3.演示法：演示法就是指教师使用一些直观教具或实物进行演示实验，配合谈话或讲解引

导学生进行系统观察，使学生对事物的现象获得感性认识，以便在感性认识的基础上理解

数学概念和算理，验证间接知识的一种教学方法。

4.指导练习法：学生在教师的指导下进行独立作业，通过独立作业掌握基础知识与基本技

能，培养能力，发展智力的方法叫指导练习法。

5.活动教学法：活动教学法是教师根据教学要求和学生获取知识的过程为学生提供适当的

学习情境，让学生参与阅读、讨论、游戏、学具操作等一系列学习活动，按自己的能力去学

习知识的方法。

6.此外还有启发式探究法，小组合作学习法等，这些教学方法的特点是学生参与活动，通过

听觉、视觉、空间知觉、触角等在大脑指挥下协同活动而获取知识。



五、教学过程举例

（一）导入新课

要求设计精巧活泼，精确概括。导入作用在激发学习兴趣，为学习新知识作引子，

要依据教学内容和目标、学生年龄和心理特征灵活运用。常用的方法有：活动（游戏）

导入、动手实践导入、诗歌导入、图片导入、实际问题导入、悬念导入、直观导入等，可以

采用的名称有：依旧拓新、承上启下、开门见山、设置疑问，引起悬念，直观演示等。

创设情境的方法：巧设生活情境、巧设操作情境、巧设问题情境、巧设故事情境等，数与代

数常用的有：去超市买东西（小数的认识）、通过图片展示的形式（亿以内数的认识），空间

与图形常用：观察生活中的图片，找一找，做一做。

1. 情景导入（小数乘整数）

利用多媒体展示公园游玩的情境，提出“在公园里我们一般都会干一些什么？” （引出放

风筝），展示一些风筝的图片和价格，提出：你能从找提取那些数学信息呢？分组活动，让

学生选择自己喜欢的风筝，制成统计表，并根据表格提出问题（如：喜欢燕子风筝的 3人，

买 3 个需要多少元？）

2. 游戏导入（方程的意义）

向学生展示做游戏的道具，让学生随意抽取一张牌，不能让老师看到。将牌中的数字经过图

中方式计算后告诉老师所得结果。老师马上就能猜出学生抽中的是哪张牌，并请几位学生尝

试和讨论引出课题。

3. 谈话导入（轴对称图形）

师：老师这里有一张白纸，如果是你的话你会怎么玩？生：我会做飞机；师：女孩都会这飞

机呀！你呢？

生：我会折青蛙，然后跟同学一起玩；我会折星星，然后许一个愿望；我会剪窗花。

师：我们班的同学真是会玩，你们知道老师是怎么玩的吗？老师先将这张纸从中间对折，然

后在折痕的地方容易的撕下一块，你们看，想玩吗？

师：每个人桌上都有这样的白纸，每个同学都想这样来玩一玩吧。谁愿意将他的作品进行展

示？我们一起来看看他们的作品。它们的大小怎么样？形状呢？都不一样，但是你们在这些

图形身上有没有发现什么共同的地方呀？

生：他们的左右两边都相同；他们是轴对称图形



师：我们今天就来研究这样的图形。

4. 故事导入（平行四边形的面积）

师：同学们，以前有一个地主，他给两个儿子分地：长方形分给大儿子，平行四边形分给小

儿子。可两个儿子都认为分给自己的那块地小，都说老地主偏心！这可把老地主气坏了，可

他又说不明白？你们有什么好办法帮助这个地主吗？

生：只要知道这两块地的面积就可以比较大小了

师：怎么求这两块地的面积呢？长方形的面积怎么求？平行四边形呢？这就是今天我们要学

习的。

5. 视频导入（平均数）

师：同学们，你们喜欢玩套圈游戏吗？

生：喜欢，课间经常玩。

师：三年级二班的同学跟我们班的同学一样也都喜欢玩套圈游戏，下面跟老师一起看他们是

怎么玩的，好，看一段视频。

师：他们玩的开心吗？老师将他们两组的成绩绘制成了统计图，看到这样的统计图你有什么

想说的？

生：一号女生比一号男生套圈套的多，二号男生比二号女生套圈套的多，女生的人数比男生

多...

师：我们发现了这么多的信息，但是呢，这是一次比赛同学们一定想知道谁获胜了，你们认

为哪一个队获胜呢？

（预测比赛结果，感受如何处理信息）

生：男生；生：女生。。。。

师：意见出现分歧了，我们来进行一个辩论赛。

（寻找评价标准）

生：我认为女生获胜，因为女生的第一名成绩比男生的第一名成绩要好。（我认为男生，男

生的成绩稳定；我认为女生人数多应该女生获胜。）

师：发现了没有，有的同学认为应该比两队当中某一个同学的成绩，有的同学认为应该看哪

个队更稳定，又有同学认为女生的人数多投的自然多应该获胜，比的是总数，你们觉得这样

合理吗？那怎么办呢？通过今天的学习啊我们就能解决这样的问题了。



（二）讲授新课

要求针对不同教学内容选择不同的教学方法。包括如何提问、如何启发、教师怎么

教、学生怎么学、详细步骤安排、需用时间等。要注意：精选合作学习内容；选准合作

学习时机；明确合作学习步骤；必须保证合作学习时间。

1. 小数乘整数

（一）结合情境，解决问题

教师活动：

提出：火腿肠的总价是多少呢？怎么列式？对于这样的式子，你能求出它的积吗？

组织学生自己计算。在学生完成以后收集学生的计算结果进行展示，并请相关学生说一

说自己所用的方法的意义（如 0.8×3就表示的是 3个 0.8 相加等等）。

学生活动：

学生自己计算，联系以前学习的知识，找出解决问题的方法。

【设计理念】教师抛出一串相关问题，由学生自主发现，教师与学生通过互动，活跃课

题气氛，使学生在活跃的课堂中学到知识。

（二）教师展示，同学讨论

教师活动：

教师进行板书展示竖式计算的书写规范，在写竖式的时候两个因数要末尾对其，书

写规范，提出：0.8×3 是几个 0.1 乘以 3，并进行标注，进一步提出 8 个 0.1×3 是多

少个 0.1 得出 24 个 0.1，进而得到 2.4。

提出：1. 你能说说看 0.8×3，我们是怎样乘的呢？组织学生四人小组讨论并总结。

2. 2.35×3你们又是怎么计算的？组织学生自主思考。

学生活动：

学生认真观看教师关于竖式计算的书写规范，并在小组内讨论教师提出的第一个问

题，进一步理解其中的算理，讨论结束后小组代表或组员进行回报。

学生自主完成教师的第二个问题认识到 2.35×3 是 235 个 0.01×3=705 个 0.01。通过观

察两道竖式，进一步理解小数乘整数的算理。

【设计意图】教师使用讲解法，直观地向学生展现解题过程，能够使学生通过表象的直



观认识而内化到自己的认知结构当中。另一方面新课程倡导学生学习的主要方式是自主

探究，合作交流以及小组讨论，该过程教师提问，学生活动，探究算理充分发挥了学生

的主体地位，由学生小组讨论出解决问题的方法。

（三）猜想-验证-结论

教师活动：

教师提出：1. 发现点小数点是计算的关键，思考小数乘整数因数的小数点和积的小数

点有什么关系？你们有什么好方法确定积的小数点吗？开展图中的活动，激发学生找出

方法进行验证。

学生活动：

通过抢答游戏找出规律，说出因数有几位小数，积就有几位小数，总结点小数点的

方法。

【设计意图】通过游戏的环节，帮助学生很快发现规律，找到方法，既发展了学

生总结归纳的能力，又活跃了课堂激发学生的参与性。

2 .轴对称图形

（一）交流讨论，直观感知

师：再一次观察一下黑板上图形，你还能发现什么特点？

生：形状一样；面积也一样；

师：如果我们再把它重新对折的话会怎么样？

生：假如对折会完全重合。

师：深入了，体会一下是不是这样，这三个图形如果再对折的话会不会重合，你们手中

的同学是不是也是这样的，试一试。（感受轴对称图形的特点）

师：对折后重合吗？有这样的特点吗？

生：有

师：谁能总结一下这类图形的特征？

生：折痕两边完全相同。

（二）抽象概念

师：这样的图形，刚才有同学给它取了个名字叫轴对称图形，你们觉得合适吗,为什么？

生：沿着中间那条线两边的图形是对称的所以叫轴对称图形。



师：她说的好不好，沿着中间的线，这条线就是对称轴，而对称轴两边的图形是完全相

同的。

师：下面在自己的作品上也画上对称轴，画完了吗？我们现在来总结一下什么是轴对称

图形？同学们就是刚才我们简单的折一折、撕一撕我们就创作出数学中的轴对称图形

了。数学有时候就这么简单。

（三）动手操作，升华认识

师：我们认识的很多图形也是轴对称图形，你们想看看吗？哪些图形是轴对称图形呢？

有时候我们眼睛看到不一定是正确的，我们该怎么办呢？对了，实践。老师给大家准备

了这 5个图形，大家动手操作进行探究。（组织学生小组操作研究深化认识）

师：先可以大胆的猜一猜再动手操作一下。进入汇报的阶段了，谁先来试一试。

生：觉得平行四边形是轴对称图形，左边图形平移后就变成长方形，对折后完全重合，

就是轴对称图形。

生：觉得不是，平移改变了形状，应该直接对折，不能完全重合，就不是轴对称图形了，

就像这样折。（依次叙述）

（通过操作和交流能够正确辨别图形是否是轴对称图形）

（三）巩固练习

要求练习设计精巧、有层次、有梯度、有密度，要考虑到进行的方式和所需时间。

平行四边形的面积

1.基本题

（1）下面哪个平行四边形的面积是 2*3=6 平方厘米呢？

（2）已知平行四边形的高和底求平行四边形的面积。



（3）看看谁的思路活，请直接说出这个平行四边形的面积。

2.我能判

（1）已知平行四边形的底是 1.2 米，高是 0.8 米，求面积的算式是 1.2*0.8. （）

（2）平行四边形的底是 20 米，高是 16 米，面积是 320 米。（）

（3）一个平行四边形的底是 5 分米，高是 0.5 厘米，它的面积是 2.5 平方厘米。（）

（4）平行四边形的底和高分别与长方形的长和宽相等，它们的面积一定相等。（）

3.知识应用

（1）三铃汽车的标志（如下图），做这样一个标志至少需要多少平方厘米的钢板?

（2）停车场里两个不同的平行四边形停车位的面积各是多少？

（四）归纳小结

要考虑怎样进行，是教师还是学生归纳，以及所需时间，总结可以让学生自己总结，

可以是知识方面，也可以是情感方面。也可以完成表格等等。

1. 小数乘整数

教师提出：

（1）谁能说一说小数乘整数可以怎么去做？应该注意一些什么？

（2）我们今天都用了那些方法来探究小数乘整数的计算方法，这些方法以前我们用过吗？

（3）请同学们下课后观察生活中还有哪些问题可以用小数乘整数解决，谁能总结一下小数



乘整数的方法是什么？

【设计意图】数学课堂的总结是非常有必要的，一方面可以让学生形成完整的知识体系，另

一方面可以让教师了解本节课在授课形式、授课内容和方法是否取得良好的效果。

（五）作业安排

要考虑布置哪些内容，需不需要提示或解释等。

浙江华图教师客服微信：huatu2468

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